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SISTEMAS DE CONTROL Integrantes: • Daniel Maldonado

INDICE 1.1

TEMA................................................................................................................. 2

1.2

OBJETIVOS....................................................................................................... 2

1.3

Resumen ............................................................................................................. 2

1.4

MARCO TEÓRICO ........................................................................................... 3

1.5

PREGUNTAS DE REPASO.............................................................................. 5

1.6

RESOLUCION DE EJERCICIOS ..................................................................... 6

1.7

CONCLUSIÓN ................................................................................................ 40

1.8

RECOMENDACIÓN ....................................................................................... 40

1.9

BIBLIOGRAFÍA:............................................................................................. 40

1.10 LINKOGRAFÍA: ............................................................................................. 40

CAPITULO 6 RESPUESTA EN EL TIEMPO

1.1 TEMA Resolución de ejercicios sobre estabilidad y el criterio de Routh-Hurwitz. 1.2 OBJETIVOS General • Resolución de los sistemas de estabilidad y el criterio de Routh-Hurwitz. Específicos • Investigar y analizar la teoría para así tener la capacidad de resolver ejercicios. • Diferenciar cuando un sistema se considera estable o no. • Resolver ejercicios usando el criterio de Routh para conocer la posición de los polos en el plano s, así como también la estabilidad del sistema. 1.3 Resumen Las raíces del polinomio numerador N(s) se denominan ceros de la función de transferencia, mientras que a las raíces del denominador D(s) se las llama polos. Casualmente, la naturaleza de las raíces del denominador son las que determinan el patrón de la respuesta temporal a una dada señal de entrada y nos permite un conocimiento cualitativo de la dinámica del sistema. Un sistema se dice que es estable si para toda entrada acotada produce una salida acotada, independientemente de su estado inicial. Un sistema es estable si las raíces de la ecuación característica son reales negativas o complejas conjugadas con parte real negativa. O dicho en forma más compacta, si todas las raíces se encuentran en el semiplano izquierdo de la variable compleja s. El teorema de Routh–Hürwitz sirve para analizar la estabilidad de los sistemas dinámicos. Básicamente, el teorema proporciona un criterio capaz de determinar en cuál semiplano (izquierdo o derecho) del plano complejo están localizadas las raíces del denominador de la función de transferencia de un sistema; y en consecuencia, conocer si dicho sistema es estable o no. Si tras aplicar el criterio nos da como resultado que todos los polos están en el semiplano izquierdo, el sistema es estable, y si hay un mínimo de un polo en el semiplano derecho, el sistema es inestable. El criterio se refiere a la función de transferencia en lazo cerrado del sistema. Para aplicar el criterio a un sistema descrito por su función de transferencia en lazo abierto, hay que incluir la realimentación haciendo:

El criterio de Routh-Hurwitz también se utiliza para el trazado del lugar de las raíces. En este caso, dicho procedimiento de análisis estudia la función de transferencia del sistema en bucle abierto 1+K·Gba(s)=0 (siendo K la ganancia variable del sistema). Su objetivo es determinar los puntos de corte del LdR con el eje imaginario. Dichos puntos marcan el

límite de estabilidad del sistema, dicho en otras palabras, determinan el límite en el que los polos del sistema en bucle cerrado pasan al semiplano derecho complejo y por lo tanto el sistema se vuelve inestable. Como es evidente, tras la aplicación del criterio de Routh-Hurwitz, los resultados obtenidos quedarán en función de la ganancia K, lo cual nos indicará a partir de qué valores de K el sistema pasará de estable a inestable (ganancia K límite). Abstract The roots of the numerator polynomial N (s) are called zero transfer function, while the roots of the denominator D (s) are called poles. Coincidentally, the nature of the roots of the denominator are what determine the temporal pattern of response to a given input signal and allows a qualitative understanding of the dynamics of the system. A system is said to be stable if for every bounded input produces a bounded output, regardless of its initial state. A system is stable if the roots of the characteristic equation are negative real or complex conjugate with negative real part. Or a more compact form, all roots are in the left half of the complex variable s. The Routh-Hurwitz theorem is used to analyze the stability of dynamic systems. Basically, the theorem provides a criterion able to determine which (left or right) half-plane of the complex plane are located the roots of the denominator of the transfer function of a system; and thus, determine whether the system is stable or not. If after applying the criterion gives us the result that all poles are in the left half plane, the system is stable, and if there is at least one pole in the right half-plane, the system is unstable. 1.4

MARCO TEÓRICO

Estabilidad Capacidad de un sistema para llegar al estado de equilibrio. El problema más importante de los sistemas de control lineal tiene que ver con la estabilidad.

Un sistema lineal e invariante en el tiempo es estable si ante una entrada acotada su salida también lo es. Son los sistemas llamados BIBO (Bounded Input- Bounded Output). Un sistema lineal e invariante en el tiempo es estable, si todos los polos de la función de transferencia están en el semiplano izquierdo del plano s.

Criterio de Routh-Hurwitz El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz dice si existen o no raíces inestables en una ecuación polinomial, sin tener que obtenerlas en realidad. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos.

Pasos de Aplicación del Criterio de Routh-Hurwitz 1. Los coeficientes del polinomio D(s) deben existir y ser reales. 2. La condición necesaria, pero no suficiente, para que un polinomio sea de Hurwitz es que todos los coeficientes del polinomio estén presentes y tengan el mismo signo. 3. La condición suficiente para que un polinomio sea de Hurwitz es que todos los coeficientes de la tabulación de Routh (αi) sean mayores que cero. El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz plantea que el número de raíces de un polinomio con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del array. La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de un polinomio en s se encuentren en el semiplano izquierdo del plano transformado es que los coeficientes del polinomio an>0 y que todos los términos αi>0.

1.5

DESARROLLO 1) ¿Qué parte de la respuesta de salida causa la determinación de estabilidad de un sistema lineal? La respuesta libre o también llamada respuesta natural.

2) ¿Qué ocurre a la respuesta que se cita en la pregunta 1 que crea inestabilidad? Ésta crece sin límite. 3) ¿Qué ocurriría a un sistema físico que se torna inestable? se destruiría o golpearía sus límites. 4) ¿Por qué son marginalmente estables los sistemas considerados inestables bajo la definición BIBO de estabilidad? Porque entradas sinusoidales de la misma frecuencia que la respuesta natural producen respuestas ilimitadas a pesar de que la entrada sinusoidal es acotada. 5) ¿En dónde tienen que estar los polos de un sistema para asegurar que un sistema no es inestable? Los Polos deben estar en la mitad izquierda del plano o en el eje jw. 6) ¿Qué nos dice el criterio de Routh-Hurwitz? Características sobre el número de polos de la función de transferencia en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano izquierdo, el semiplano derecho, y en el eje jw. 7) ¿Bajo qué condiciones nos diría fácilmente el criterio de Routh-Hurwitz la ubicación real de los polos en lazo cerrado de un sistema? Los cambios de signo nos indican el número de polos ubicados en el semiplano derecho. 8) ¿Qué ocasiona que un cero aparezca sólo en la primera columna del arreglo de Routh? que este funcione solo de una manera aritmética, reemplazado por un €. 9) ¿Qué ocasiona que todo un renglón de ceros aparezca en el arreglo de Routh? que se pierda información, se debe factorizar el renglón superior al renglón de ceros y reemplazar el polinomio factorizado en el renglón de ceros.

10) ¿Por qué a veces multiplicamos un renglón de un arreglo de Routh por una constante positiva? Para la facilidad de encontrar los coeficientes que están por debajo de esa fila 11) ¿Por qué no multiplicamos un renglón de un arreglo de Routh por una constante negativa? Afectaría el número de cambios de signo.

12) Si un arreglo de Routh tiene dos cambios de signo arriba del polinomio par y cinco cambios de signo abajo del polinomio par, ¿cuántos polos del semiplano derecho tiene el sistema? siete. 13) ¿La presencia de todo un renglón de ceros significa siempre que el sistema tiene polos jw? No; ya que podría tener polos de cuadrante.

14) Si un sistema de séptimo orden tiene un renglón de ceros en el renglón s3 y dos cambios de signo abajo del renglón s4. ¿cuántos polos jw tiene el sistema? Ninguno; el polinomio par tiene 2 polos en el semiplano derecho y dos polos en el semiplano izquierdo. 15) ¿Es cierto que los valores característicos de la matriz de un sistema son iguales a los polos en lazo cerrado? Sí. 16) ¿Cómo encontramos los valores característicos? Det (sI-A) = 0 1.6

RESOLUCION DE EJERCICIOS 1. Diga cuántas raíces del siguiente polinomio hay en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje jw. ()= 5+34+53+42+

+ 3.

semiplano izquierdo=3 semiplano derecho=2 2. Mediante el uso del arreglo de Routh, diga cuántos polos de la siguiente función hay en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje jw. +8

()=

5

−

4

+ 4 3− 4 2+ 3 − 2

semiplano derecho=3 semiplano izquierdo =2 3. La función de transferencia en lazo cerrado de un sistema es 2+7 ()=

6+24− 2−2

+ 10

Determine cuántos polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje jw.

Grado

4:

4

en

jw;

Resto:

1

en

semiplano

derecho;

Total:

5

4. ¿Cuántos polos hay en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje jw para el sistema en lazo abierto de la figura?

Grado 2: 2 en jw, resto: 2 en el semiplano izquierdo. 5. ¿Cuántos polos hay en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje jw para el sistema en lazo abierto de la figura?

Grado 4: 2 en el semiplano izquierdo, 2 en el semiplano derecho; Resto: 1 en el semiplano izquierdo y 1 en el semiplano derecho. Total: 3 izq; 3 derecho. 6. Utilice el MATLAB para hallar las ubicaciones del polo para el sistema del problema 5.

7. Utilice el MATLAB y las rutinas de matemática simbólica para generar un arreglo de Routh para resolver el problema 2.

syms e s5=[1 4 3 0 0] s4=[-1 -4 -2 0 0] if -det([s5(1) s5(2);s4(1) s4(2)])/s4(1)==0 s3=[e... -det([s5(1) s5(3);s4(1) s4(3)])/s4(1) 0 0]; else s3=[-det([s5(1) s5(2);s4(1) s4(2)])/s4(1)... -det([s5(1) s5(3);s4(1) s4(3)])/s4(1) 0 0]; end if -det([s4(1) s4(2);s3(1) s3(2)])/s3(1)==0 s2=[e ... -det([s4(1) s4(3);s3(1) s3(3)])/s3(1) 0 0]; else s2=[-det([s4(1) s4(2);s3(1) s3(2)])/s3(1) ... -det([s4(1) s4(3);s3(1) s3(3)])/s3(1) 0 0]; end if -det([s3(1) s3(2);s2(1) s2(2)])/s2(1)==0 s1=[e ... -det([s3(1) s3(3);s2(1) s2(3)])/s2(1) 0 0]; else s1=[-det([s3(1) s3(2);s2(1) s2(2)])/s2(1) ... -det([s3(1) s3(3);s2(1) s2(3)])/s2(1) 0 0]; end s0=[-det([s2(1) s2(2);s1(1) s1(2)])/s1(1) ...

-det([s2(1) s2(3);s1(1) s1(3)])/s1(1) 0 0]; 's3' s3=simplify(s3); pretty(s3) 's2' s2=simplify(s2); pretty(s2) 's1' s1=simplify(s1); pretty(s1) 's0' s0=simplify(s0); pretty(s0)

8. Determine si el sistema realimentado unitariamente de la figura es estable si: ()=

()=

240 ( + 1)( + 2)( + 3)( + 4)

240 4

+ 10 3 + 35 2 + 50 + 264

Existen 2 polos en el semiplano izquierdo y 2 en el derecho. 9. Utilice el MATLAB para hallar las ubicaciones del polo para el sistema del problema 8.

10. Considere el sistema realimentado unitariamente de la figura con ()=

1

4 2( 2 + 1)

Con el uso del criterio de Routh-Hurwitz, encuentre la región del plano s donde se hallan los polos del sistema en lazo cerrado. ()=

44 +42 +1

1

Grado 4: 4 polos en el eje jw. 11. Dado el sistema realimentado unitariamente, investigue cuantos polos de la función de transferencia en lazo cerrado se encuentran en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje jw

()= ( − + − − + − )

4

( )=

1 -1 -1 2

−

3

-7 10

2 -1 -2 1 -4 1 2 2

-2 2 0 0

7−2 6 + 2 5 −

44−3+22−2 +4

+ /2 /2 Fila ceros -

3

-8 0 2 0

+

0

+

7

9

0

5

2

+ (− 6 − 2 4 + 2 + 2) = −6 5 − 8 3 + 2

6to Resto Total

Smi Smd Eje jw 1 1 4 0 1 0 1 2 4

12. Con el uso del criterio de Routh-Hurwitz y el sistema realimentado unitariamente de la figura con ()=

1 23+

2

+2

Diga si el sistema en lazo cerrado es o no es estable. ()=

1

24 +53 +

2

+2 +1

Total: 2 polos en el semiplano izquierdo y 2 en el semiplano derecho.

13. Dado el sistema realimentado, diga cuantos polos en lazo cerrado están ubicados en el semiplano derecho, en el semiplano izquierdo y sobre el eje jw

()= ( − − + + − − )

8

()=

1 -2 -12

-1 2 8

2

16

−

3

88 48

−

7−2 6 − 5 +

4 -4 -8 8 -16 0 Fila ceros 8 0

24+43−82−4 +8

+ +

3

128 8

0 0

-

0

0

-

11

100

−

3

8

+ (−2 6 + 2 4 − 8 2 + 8) = −12 5 + 8 3 − 16

6to Resto Total

Smi Smd Eje jw 3 3 0 0 1 0 3 4 0

14. Resuelva el ejercicio 13 usando MATLAB ()= ( − − +

+ 8

()=

−2 6 −

7

5

+ 2 4 + 4 3 − 8 2− 4 + 8

Programa: numg=8; deng=[1 -2 -1 2 4 -8 -4 0]; 'G(s)' G=tf(numg,deng) 'T(s)' T=feedback(G,1) 'Poles of T(s)' pole(T)

−

− )

15. Considere el arreglo de Routh. Nótese que el renglón estaba originalmente en ceros. Diga cuantas raíces del polinomio original había en el semiplano derecho, en el semiplano izquierdo y sobre el eje jw

+ + + + + -

Smi Smd 1 1 1 0 2 1

6to Resto Total

Eje jw 4 0 4

16. Para el sistema de la figura, diga cuántos polos en lazo cerrado están ubicados en el semiplano derecho, en el semiplano izquierdo y sobre el eje jw. Nótese que hay realimentación positiva.

()=

18 5

+

4

− 7 3 − 7 2 − 18 − 18

Grado 4: 1 semiplano izquierdo, 1 semiplano derecho, 2 en el eje jw; Resto: 1 en el semiplano izquierdo. Total: 1 sp derecho, 2 sp izquierdo, 2 eje jw. 17. Con el uso del cirterio de Routh – Hurwitz, investigue cuantos polos en lazo cerrado del sistema que se muestra en la figura, se encuentran en el semiplano izquierdo, en el semiplano derecho y sobre el eje jw

507 4+

3 3 + 10 2 + 30 + 169

()= 507

1+

( 4 + 3 3 + 10 2 + 30 + 169)

507

()=

5+34+

1 3

10

169 507 5 0 507 0 30

1 15

144

−

0

0

10 3 + 30 2 + 169 + 507

+ /12 Fila de Ceros -

5

507

+

(3 4 + 30 2 + 507) = 12 3 + 60

4to Resto Total

Smi Smd Eje jw 2 2 0 1 0 0 3 2 0

18. Determine si el sistema realimentado unitariamente de la figura con ( 2 + 1)

( ) = ( + 1)( + 2)

Puede ser inestable. ( 2 + 1) ()=

(1 +

)2+3

+ (2 + )

Para un sistema de segundo orden, si todos los coeficientes son positivos, las raíces estarán en el semiplano izquierdo. Por lo tanto K>-1. 19. Para el sistema de realimentación unitariamente de la figura con ()=

( + 6)

( + 1)( + 3)

Determine el margen de K para asegurar la estabilidad. ( + 6)

()=

3

+ 4 2 + ( + 3)

+6

El sistema es estable para 0