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• Renzo Jovani Pardo

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1c. Determinar el área de la región limitada por las curvas f ( y )=2+4 y g ( y )=2 y 2+ 4 y −30.

y

Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en Geogebra. Nótese que x = f (y) o x = g (y) Solución. Despejo las funciones presentadas de forma explícita. Ya que graficar las funciones de forma explícita la función, haré un cambio de ejes en donde y lo transpongo a x y la variable y la transpongo con x. Y hago una gráfica, con la cual puedo hallar un área equivalente. La gráfica es la siguiente.

4

4

A=∫ ( f ( x )−g(x ) ) dx=∫ ( ( 2+4 x ) −( 2 x 2 + 4 x−30 ) ) dx −4

−4

4

A=∫ ( 2+4 x−2 x 2−4 x+ 30 ) dx −4

4

A=∫ ( 32−2 x2 ) dx −4 4

4

A=32 ∫ dx−2 ∫ x 2 dx −4

−4

A=32¿ )−¿)= 2 2 A=32 ( 4+ 4 ) −( (4)3 − (−4)3) 3 3

( 23 ( 4 ) − 23 (−4 ) )=256−85.33=170.67 u

A=32 ( 8 )−

3

3

2

2c. Encontrar el volumen del sólido en revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje x la región encerrada entre las curvas y=x −x2 y y=0. Solución. Gráfico Área Acotada.

Teniendo en cuenta que el volumen de un cilindro es:

V =π r 2 Usando la imaginación al hacer girar la función f (x)= x−x2 , sobre el eje x, que es la misma función y=0; entonces se puede notar que el radio de cada uno de los cilindros infinitesimales que formaran el volumen del cuerpo sólido, entonces al aplicar el método integral para hallar el volumen, queda de la siguiente forma. 1

1 2

2

2 V =π ∫ f ( x ) dx=π ∫ ( x− x ) dx 0

0

Tengo que.

( x−x 2 )

2

=( x−x 2)( x−x 2) = x 4 −2 x 3 + x 2

Entonces. 1

1

2

1

V =π ∫ f ( x )2 dx=π ∫ ( x− x2 ) dx=π ∫ ( x 4−2 x 3+ x2 ) . dx 0

0

1

0

1 2

V =π ∫ f ( x ) dx=π ∫ ( x 4 −2 x3 + x 2 ) . dx 0

0

1

V =π ∫ ( x 4 −2 x 3 + x 2 ) . dx=π ¿ ¿ 0

V =π ¿ V =π ¿ V=

π 2 u 30

3c. Dada la función marginal R´ =750 x−3 x 2, con R(0) = 0 = C. Determine el ingreso total para la venta de 100 unidades. Solución Nota. La función de ingreso marginal es la derivada de la función ingreso R(x). El valor que se obtiene de esta derivada es una aproximación del ingreso verdadero cuando se vende una unidad más de cierto producto o servicio. El error absoluto es constante, sin importar la posición que ocupe la nueva unidad.

Por lo tanto para obtener la función de Ingreso R(x) debo integrar la función marginal.

R´ =750 x−3 x 2

∫ (R¿¿ ´ )dx=R ( x ) =∫ (¿ ¿ 750 x−3 x 2)dx=750 ∫ xdx−3 ∫ x 2 dx = R ( x )=375 x2 −x3 + R( 0) Función de Ingreso . R ( x ) =375 x 2−x 3 Ahora. El Ingreso Total para la venta de 100 unidades es.

R ( 100 )=375(100)2−(100)3 R ( 100 )=375∗10000−1000000 R ( 100 )=3750000−1000000 R ( 100 )=2 75 0000 Respuesta. El ingreso total por la venta de 100 unidades es $2´750.000

750∗1 2 3 3 ∗x − ∗x +C ¿ ¿¿ 2 3

4c. Se sabe que la función de posición de un objeto que se mueve sobre una recta de coordenadas es s ( t ) =3 t 2−6 t , donde s mide en metros y t en segundos. ¿Qué distancia se ha recorrido en el intervalo de tiempo [0, 14]? Solución. Posición Final.

S ( 14 s )=3 (14 s )2−6(14 s) S ( 14 s )=3 ( 196 s2 ) −84 m S ( 14 s )=588 m−84 m=504 m Posición Inicial.

S ( 0 s )=3(0 s)2−6(0 s) S ( 14 s )=3 ( 0 s2 ) −0 m S ( 14 s )=0 m−0 m=0 m La distancia que se ha recorrido es igual al desplazamiento, si se supone el movimiento en línea recta.

Desplazamiento=s f −s 0=504 m−0 m=504 m . Respuesta. La distancia que se ha recorrido en el intervalo de tiempo de 0s a 14s es de 504m.