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• Dan Ruber Cañar

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Miguel Tasiguano S. Xavier Camacho M. Oswaldo Aldaz P. Patricio Vallejo A.

----------------------------------~P OFESORES DE LA "' TECNICA NACIO AL · -Ec ador

QUINTA .EDICIÓN Corregida y aumentada ..: '\

Reservados todos los derechos.Queda terminantemente prohibida la reproducción total o parcial sin autorización previa del autor.

.

.

..

,

~ ,

,

VECTORES r

'

•

~

6

-

1.- Un vector

A 1(mili

línea de acción de

ti _O" on el eje (x). Su proyección sobre la

1111

'{ 1

10 unidades. Determinar:

)J

a)

La direc ión del {' '(01 I

b)

La

pI' 'sióll

ti,·)

-

- -

a.- S i.l )M~.I t TI i I i, I.n pro

en

A

('('ti

función del

-

t r A

y

J

y

obre esta línea es igual a 10

.'.' ......'

M

D.···· .~ ..

..··············.A

...' .. ...' .' '

....

'

'

e 10

cos 15°

= 10.33u

A = 10.33 sen 30° = 5,165 u !I

= o.

46 i + .l

---

A = ( . 4 )~ I

OA

=-

... ~i

( .) 6.

8.

- ------:;_

DA

b.-

OA = J 0.33 UOA

anterior

incide con la línea de acción del vector

,

unidad ·s. -) án ult a zud B A e igual a 15°.

DA =

unitario

'

10.

f(

x

·.

- -

_ Dos fuerzas FJ y F] actúan sobre un cuerpo de tal manera que la fuerza resultante

-

-

tiene un módulo igual al de FI y es perpendicular a ella. Si F I es

igual a 10 unidades. Determinar el valor y la dirección de la fuerza F] ,con respecto a la fuerza FI'

A

R

Si FI= R el triángulo formado es is s '01

'S

por 1< ItI '1

II\~ 1110

()A H .,"

F22 = F,2 + R2

F2

=

14.14 unidades

tan 8 =

R -

=

1

F2 (J = 45°

l.

- - -

Una persona hala de un objeto con una fuerza dada por el vector FJ = 4i + 3) unidades. Determinar vectorialmente la mínima fuerza F] que debe hacer otra persona para que el objeto se mueva únicamente en la dirección Este..

y

o p'

p

p"

x

8

Toda partícula: n u n la dirección de la fuerza resultante. Si al vector inicial se le lima 1r vector de .manera que la resultante coincida con la dirección E t '; C m pudiera ser OP', OP u OP" . Pero para que esta sea mínima s d escoger la que sea perp dicular ya que es la menor .

...

Por lo tanto F2

=

3 j unidades

Dando un sistema de coordenadas Determinar en términos de i, j.

--

a)

b) e) J)

e)

r

y 1 puntos A( 5 ; - 3) u , B( -7 ; 4 ) u

La po ición de A h-a posición de La distancia ntr A y I La posici n d /\ n r p cto a B El v ctor unitario de B hacia A

y

x

-

...... ...... b) OB = -7 i + 4 j

a) OA = 5 i -3 j u

- --

---

c) OB + BA= OA

- --

BA= OA- OB

BA=12 i -7 j u

+ (_7)2

BA=J(12)2

--

HA =13.89

--

II

d)fBtA=OH-OA

-

--

rS/A = -12 i + 7 j

-

u

e) ti = AB AB AB

= 12i - 7 j 13.89 = O.864i

- 0.504j

Dados los puntos A (2 ; 4 ) u; B ( -2 ; 2) u y C ( 1 ; 5 ) u Expresar sus radios vectores. Demostrar que la suma de los vectores dados por los lados del triángulo es igual a cero Encontrar el vector que coincida con la mediana trazada desde -1 punt B. y

- 21... ...... - ......

a. - OA= OB

+ 4j u

= -2i + 2j

oc = i + 5j

u

u

b.- Si se determina los vectores que van desde A hasta B, de B hasta C. y de C hasta A se tiene que:

- -...... + - -BC ~

= OC

Be = 3i

- OB

3j u

A=OA- OC

-+

....

CA=i-ju --+

AB= -+

A -+

c.-

A

_.

= - 4i

AS

--

-

+

_.

- 2j

--

+

A

A= O

- - ---

La mediana divide al lad en dos partes iguales CM = MA= A/2

-

BM=BC+

-

BM

6.-

LI

CM

... + 3j..+ 0.5i...- 0.5 j... u

= 3i

...

_.

BM = 3.5i + 2.5) u La posición de P con respecto a Q esta dada por S 60° E ; 80 Km . Otra ciudad R se halJa localizada respecto a P en la posición N 10° O ; 120 Km . ¿Cuál es la posición de Q con respecto a R?

~

rY

N

t O

············f········ ....~

E

S :········································ ..···~x

¡ ---+

---+

p

.......

...

Determinamos QP y PR en función de lo unitarios i, j y k QP y QP y QP,

=

80 co 60° u

= 40 =

Ll

80 sen 60° u

QP, = 69.28

Ll

PI y= 120 cos 10°

PRy= 118.18 u P~

120 sen 10° u PRx = 20.84 u =

-+

..

..

PR = -20.84 i + 118.18 j u

-

1a p ición de Q con respecto a R esta dada por el vector RQ

--

luego será el vector negativo de la suma QP + PR

- --+ - .. RQ= - (QP

PR)

..

RQ= -48.45 i-78.17 j

7 h 1)

Km.

s los puntosA( 3,4,-5) u y B( 1, -3, -2) u. Determinar: Los radios vectores o vectores de posición de los puntos anteriores La distancia entre esos puntos. El ángulo que forman los radios vectores. los cosenos directores del vector (OA - 20B)

--

A

Por la correspondencia entre las coord na las d un punto y los módulos de las componentes de un vector posición ~ pLI . 1, s ribir:

---+

:1

....

......

-.

OA = 3 i + 4 j - 5 k u

-

-

b) La distancia entre A y B será el módulo del vector AB

AB= OB-OA

JilJ- -2( - 7 i AB =

3-u

.J(- 2i + (-7y + (3)2

AB = 7.87 u e) Para encontrar el ángulo se aplica la ley de los cosenos.

cos8= (7.07)2 + (3.74)2 - (7.87)2 2(7.07)(3.74)

----.

_.,......

d) El vector OA - 20B

=

por lo tanto, el módulo

~

e

---+

-t

i + 10j - k

a este vector se le denomina

ees igual a 10.099 ....

I -

u( -

lO} - k

10.099

Uc = 0.099 T + 0.99J - 0.099k cosa = 0.099

a = 84.32°

cos P = 0.99 P = 8.07° cosy = - 0.099 Y = 95.68°

8.- Un . .tor in el espacio forma un ángulo de 300 con el eje (x) y tiene una mu ,nitud de 16 unidades. Su proyección en el plano YZ forma un ángulo de 45° con los j 's mencionados. Determinar: a) I~Ive ror proyección en el plano XY b) :1 ve 'Ior unitario paralelo al vector en el espacio e) El valor de l s ángulos directores

y

x

z ea el prisma rectangular que contiene el ve t r.

11

T=QP --+

--+

--+

OQ+QP= OP OQ= 16 cos30° OQ= 13.85 u PQ= ~(l6)l ~ (1 .8 )l OT=PQ=8 u OR= 8 cos 45° OR= 5.65 u OR = RT por ser un ángulo de 45°,

ti n que

--+

13.85? + 5.65 J + 5.65k u a proyección del vector en el plano XY será:

OP

=

= 13.85i+ 5.65/ u

PX_l'

= 13.857+ 5.65/ + 5.65k uQ/I

uOP

16 = 0.866 ¡+ 5.65/+ 5.65 k~

a = 0.866 . ). tJ = 0.35 I 1

."Y

=

0.35

a = 30° tJ = 69.29° Y = 69.29°

.ión de un vector en el plano YZ es: aJ + ale el vector forma un 11I1"d" O .on el eje X y tien un módulo igual a 2a. Calcule: 1) I I \ l' I Ir n términos de I "unitarios normalizados.

I

I

I

I I

.'

J

b) e)

El vect r unirari I oral I Los c s n . dirc tore .

a) Ayz= El

la royección del vector en el plano XZ

r ak

i I ángul que forma el vector con el eje X, se denomina y el módulo del vector A = 2a

ex

.....

......

A=Ax + aj + ak

I

2

2

2a =\j (Ax) + a + a

2

de donde se obtiene:

af2

Ax =

r;:::"

A=avLi

..

+aj+ak

..

A,.z = aE T + a k

b)

J 2a2 + / u A . = A z= .fiar + ak =

Axz =

Axz

xz

) cosa:

=

/Ja

~ .. +

(1k

v"3 f'3 1

ha Ji.

--=-

2a a

os 3= 2a

1

=-

a

2 1

2a

2

7=-=-

2

... r:>

..

+

10.- l ad el siguiente vector en el espacio A=i 3a1 + 2aj - 3ak. Determinar:

L s cosenos directores '1 ángulo que forma el vector con su proyección en el plano XZ ,

'1

l vector unitario paralelo al vector proyección en el plano XZ El ángulo que forma el vector con su proyección en el eje y. -
10 Km/h y 1 viento que sopla a razón de 6 Km/h desde algún punto ntr I N rt y I J·.SlC par e que viene de 15° al Este del Norte. Determinar: a) La verdadera dirección del viento. -..

-+

V vrr = V crr + V V/C Vcrr = 10 Km/h VV/C

= 6 Km/h 2_ 2 2

Vvrr - V 2

6=10 V

2

= VI

CfT 2

+V

V/C -

C = ciclist V = vient

19,32± ~ ( -19,32)2 - 4(64)

V VI ,= ] 5,08 Km/h.

°

2V V/C·V crr·Cos 15

+Vv/c-2Vv/c.lO.COS15u

2

N

Vcrr

VVI

VVIT

II(])

Sen15° 15,08

Senc: =--.Sen15° 6 139,68°

(])=

9.-

La rapidez de vuelo de un avión es de 270 Km/h. (respecto al aire). El avión está volando hacia el Norte de tal forma que siempre se encuentra sobre una carretera que corre en dirección Norte-sur. Un observador de tierra informa al piloto que está soplando un viento de 140 Km/h (no indica la dirección). El piloto a pesar del viento observa que recorre una distancia de 270 Km sobre la carretera en el tiempo de una hora. Calcular: a)

b

La direcci 'n en la que sopla el viento, "1 ur d l avi n (dir ión) e, t arr t fa .

1 ángulo entre el eje del avión y la

N

1\ - av! n V = vi nt

-----~~------------------~E V Avrr= V AV/V+ VV/T VAV/V= 270Kn1fh

270 Km/h =----1 h

VAvrr

V vrr= 140 Km/h V"vrr = V~vrr + y2AVN (140Y - 2(270 Cos9= -2(270).(270)

ai. b.

N 75° O N 300 E

- 2VAvrr .VAVIV

Cos 9

10.- Demostrar que el tiempo necesario para cruzar en línea recta y con la mínima rapidez una calle de ancho C, por la que circulan con rapidez V automóviles de ancho Q_y espaciados uno de otro es igual a:

'ª

B

V

A t=

C -(a lb +b I a)

......

V=

V

......

VAIT

Vp= V rr r

!l.ABD AB

IvPlTI

t= -

(1)

Sene=BD/AB c AB = -(2)

senfl (2) en (1)

Sen -+

VPIT

C

e V-

t=----

(4)

p1T

~

= Jí l'

.....

IIIT

v

Cos8=__!LL Vi/Ir

+v PIII

D

V Pff = V AIT.

cose

(3)

(3) en (4)

t=

------

c senñv Afrcos6.

c 1 v senü, cose

MFG

t=~[ELl

b senfl =--

IEPI

_2

pero EF

ab

2

2

=a +b

a

t=~(~+~J

-

cose

V

=--

vlb

EF

lqqd

a

11.- Tres barcos A, B, y C se mueven en trayectorias rectilíneas cruzándose uno junto de otro, en un cierto instante. Las velocidades relativas en millas/hora, de A respeto a B y de C respecto a B son:

-

......

V AIB = 6i - 3j mis -

VCIB

=

7-.,...

-81 - 10J mis

Determinar la magnitud y la dirección que A parece tener para un observador situado en C. V

... ... V V

- - -

AlC = V AIB AlC =

V

CIB

--

(6 i -3 j) - ( -8 i -1Oj )

--

- -

14 i + 7 j

(millas/h) 12. Los motores de un bote 10 impulsan con una velocidad de 3i + 7j mis respecto alagaa. El momento que comienza a cruzar un río de ancho 1 Km. (Punto O), un pasajero deja caer un sombrer en el agua. Calcular la posición del bote respecto al sombrero en función de 1 s unitarios i, j, k; un minuto más tarde, si la corriente del río lleva una velocidad de: _:-::_-:-: __ :':':_-~--~-_:-::_-:-: __ :':':- -~-_:-::_:-:: __ :':':_-~-_:-::_:-:: __ :':':_-~--~--~_-:-:_-~-----------_. a) 4i.!¡lfseg. b) - 4i mlseg. ::::::::::::{J::::: ::::::::::::::::::::::.' -----------------_. ------------------- ---------------------_. -----------------------------------------------------------_..... -----------------------------------._._ V BI = (3 i + 7 j) mIs ------------------- ----------------------_. --------.-------------------------------, ----.----------------------------------_... ------------------------------------------------------------------------------. ----.----------------------------------_. ------------------- ---------------------_. AlC =

---

-

-

--

O

x

-

-

) V crr = 4 i mis V a/r

-

-

= V B/C + V crr ~

--+

--+--+

--..

V Brr = (3i + 7j ) mis + 4 i mis = (7 i + 7 j) mis

- -

r a/r = -r srr + -+ r BIS

.

r

BIS

=rBrr

-

r BIS

-

fsrr

= -V BiT·t - V srr

--+

t= t(V arr - V srr)

=

-

-

(180 i + 420 j )m

•

b) V"" ~ [(3 ¡+ 7 j) -4¡J mis ~ - ¡+ 7T mis 7", =t.

[(

r BIS= 60s

-i+7"]} - n= 2836° 10' (7

= -=

~1.- Un esquiador inicia un salto horizontal como se indica en la figura. En que

punto golpeará el esquiador sobre una pendiente de 30°, si su velocidad de salida es de 40 mis. Calcular: a) La distancia desde A hasta el punto de choque. b) El tiempo transcurrido desde A hasta el impacto. e) La velocidad con la que choca en la pendiente

_

e.

X2

J

y - tan . x - "2g.

2

40 .1 de (1) y = tan30°.x 2

- x tan 30° = -

1,10x 2(1600)

x = 106,66m P = (184,75 - 106,66) m ..

:+

..

r= 184,751-106,66j m

1-;1= 213,32 m h) V

x

x

=-=!> t=Ox t V Ox

,) Vx= 40 Vy= 0- g.(4,62) ..

-+

t

= - 46,2

184,75 ---=452s 40

'

mis

..

V = 40i - 46,2j (m / s) I

Una pelota es lanzada con una velocidad inicial de 25 mis en la dirección S 45° 0, ángulo de elevación de 60° después de un cierto tiempo la velocidad de la pelota forma un ángulo de depresión d 30° (cuando la pelota está cayendo). 1 eterminar: 1) El tipo de movimiento de la pita n '1 la un) f los j 's. h) El tiempo transcurrido desd J lanz uui 'I\t 1 h Isla tU 1 , .tor ., CI a J forme el ángulo indicado . .) El vector desplazamiento durante e 1) El vector unitario del desplazamient

~~==~~~

o +-__

S

~x (E)

16

a)

Eje

Tipo de movimiento Movimiento uniforme Movimiento uniforme variado Movimiento uniforme.

X b)

Vo=

y Z 25 mis

VOd = Vocos 60° = V cos30° -Vy

V = 14,43mls

=VOy- gt

t= 25.sen 60° +14,43sen 30° 10ml ;t

e)

= 2,89 s

V: =V~ - 2.g.y Y

=

d

=

(25.sen.600)2 - (14,43sen300)2 =

2.10 Vad.t = 36,08s

20 87m '

x = z =d cos45° = 25,5m ..... ..... ... I1r = (- 25,5i + 20,87 j + 25,5k)m

...

d)

l1r =41,68m

-

...

I1r

u_á

r

...,.

=_= (-0,611

Il.r

~

......

+0,5) + 0,61k)

43.- Un avión vuela horizontalmente a una altura de 1500 metros en línea recta con una rapidez de 540 km/h (constante); un cañón antiaéreo (e) se encuentra situado a una distancia de 1000 m de la proyección de la trayectoria de avión sobre el suelo. En el instante que el avión pa a por el punto A (ver la figura) el cañón dispara. A es el punto de intersección entre la trayectoria del avión con el plano vertical perpendicular a la trayectoria anterior; este plana pasa por el punto donde se encuentra ubicado el cañ 'n. Determinar: a) La velocidad inicial del proyectil. b) La dirección del disparo. Con iderar que la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil, mínima necesaria para alcanzar el avión A E h = 1500m

B ................................... F

77

a)

~~

1500 m V~ =V~ - 2gyIllÚ.r. V./Y= 173,21 m/. Ymáx =

DF

=Vavión

.t

=

2598m

VJj' =VOy - gt~t

=17,32s

~DF2+DC2 x=Vox.t~Vox= 2

2

=160,73mls

t 2

Vo = Vox + VOY ~ Va = 236,29rn I s Vox 160,73rnl s cos a= Vo = 236,29m /s ~ a= 47,14°

b)

~4.-Un disco gira con una aceleración tangencial de magnitud constante de 5 m/s', Si el radio del disco es 1 metro y parte el disco. Determine: a) El número de vueltas que da el disco durante el tercer segundo. B) Resuelva el ejercicio gráficamente (wvs.t) a = ar = 5rad I S2

a)

R en 3 segundos

/le3

= w,

t +H)a.t2

/le3

= 22

Srad

en dos segundos

/le2 =~ .(5.i)

=

10rad

durante el tercer segundo girará un ángul ) I!'wllll:

[lle3-lle2]= lle b)

=

se

12,5 rad [l{~vJ

w=w.,+ou t = Os

wo =0

t = Zs;

w~ =10(rad / s)

t

= 3s,'

WJ

=15(rad I s)

lle

I ,() a,.t

a

V2

=-

R

l'

ae = a,.

=

(a,.t)2

=

R

R

a,.2.8.R.t2 ,

r.R 1I

r -

2. al' tan 8

lqqd.

Vll111

nt

47 .- Una partícula se mueve con una velocidad de módulo constante V, sobre una circunferencia de radio R. La partícula se mueve desde la posición A hasta la posición B, girando un ángulo D.6su vector posición. Demostrar que: a) El tiempo de A hasta Bes t = R i:J.G/ V

B)

El módulo de la aceleración media es: a

A)

V t = D.8.R D.8 'ti1 = t V R El módulo de la aceleración media será:

b)

111

liS =

D.V (fllll=

(D.V)2

-

t =

V2 + V2

-

2V.V cosfl.8

AV

,",

{i.1-1 cos D.8.v

2

(/,1/

4

R.D.8

- os m' vil,' l' rren una pista circular horizontal como se indica en la figu Palien el misrn in tante de dos puntos A y B diametralmente opuesto rnoviéndo . ~en s ntidos contrarios. Se cruzan por primera vez en el punto

81

I N = 40m y una segunda vez en el punto P,AP - 20m. i nrre la primera y Ii, segunda vez que se cruzan tran curren 2 CglU1 i s. terminar: 1) La longitud de la pista circular. h) La rapidez de cada móvil (m/s). A

VI

x

1) ti=tz X -

40 = 40 =!> Vj

T{

V2

= x - 40

V2

(1)

40

t3= t4 (x - 40) + 20

=

40 + (x - 20)

V2

Vi

x +20

~

z - 20

20

-=--

(2)

(1) = (2) VI

x - 40

V2

40

_-

=

x 2 - 60 x + 800

x + 20 x - 20 = 40x

+ 800

x = 100

11)

L = 200m y +20 --=20 ~

VI = 6 mis

x - 20 V.,

=

V2 = 4 mis

20

49 .- Dos partículas A y B recorren una circunferencia de radio R. en sentidos opuestos, parten simultáneamente del punto P con la misma rapidez inicial Vo

Ver el gráfico. La partícula A acelera uniformemente con una aceleración tangencial constante; mientras que B se retarda uniformemente con la misma aceleración tangencial. Las dos partículas se cruzan en el punto M, en el instante en que la partícula B invierte su movimiento (comienza a regresar). Determinar: a) El tiempo que transcurre hasta su encuentro en función de R y Vo. b) El valor de la aceleración tangencial en función de R y Vo. e) El ángulo que forman entre si las aceleraciones totales de las dos partículas en el punto M.

2

a) aA= a. rad/s as = - a. radis:

Va ) .t+a·t'2 e, = ( R

(1)

e = (Va)R ':":t'

(2)

2

e, +e,

= 21r=

2(~ )'1

TC.R

f=-

Vo

b

VJ¡

a

o Vu 1'.1

{¡jo -

a.t =

Vo

f(T,)

o v.2 a=- o TC.R2

c)

U1 =

/

2(VR'

O )

tan e =.:2. ~

•

~=4

=(~).(.J!:_) 4~ TC.R

(~~

=_1 4.1r

C/> = 4,55°

Lo 11

= 90

- C/> = 85,45°

Un electrón (e J parte del reposo y se desplaza con movimiento uniforme variado en una órbita circular de radio R, que forma un ángulo de 60° con la horizontal ver figura). En el instante en que su rapidez es de 2 x Id mis su aceleración vale 4 x I07 mls2 y forma un ángul de o n la tangente a la curva en ese punto; sale disparado dirigiénd a un an 1 le tr magl1étic9 que produce 'o el electrón una aceleraci n r s iltautc !l01 jz Si la masa es 10 Kg* Yel coeficiente de rozamiento entre el piso y el sofá vale 0,2 calcule la fuerza que se está ejerciendo y las reacciones sobre sus cuatro patas.La fuerza F se aplica a lo largo de la línea horizontal que contiene al centro de gravedad :Y •

_. -----------------

F

------_._-------10 Kg

fq

Solución: Podemos plantear el problema, considerando un equilibrio estático en la dirección vertical y Dinámica en horizontaL- Además tomar en consideración la segunda condición de equilibrio,

De acu rd

Condiciones de

G)

~F

Equilibrio

@

~MI). = O

Ecu ción d Din mi

G)

~F

1I

x

= O

= m .a

rarn de fuerzas, encontramos:

G)

N 1 + N 2 = 100

(2)

100(0.50) - N 1(1) + F(0.50) = O

@

- fr 1 - fr 2 = (10)

2

cuaciones, calculamos los valores de:

Resolví n N1

Y

=

70 N

N2 = 30 N

F

=

40 N

PROBLEMAS PROPUE TO Una varilla uniforme OA de longitud 2L y pes W, e ap ya n una ranura rectangular como se indica en la figura- alcular las reacciones n I s puntos O y B.

a

na mesa que pesa 50 Kg* tiene sus patas a una distancia de 2 metros y su centro de gravedad a 0.65 metros del piso.- Si le," vantamos las patas de la mesa del.lado izquierdo C.E. y las apoyamos sobre una balanza de O,65m altura 36 centímetros- Considerando' despreciable toda clase de rozamiento; ¿cuánto marcará la balanza? --- ... ---

-~!

--

2m

os barras rígidas homogéneas AB , BC de longitudes L y 2 L, de pesos W y 2W o respec ivamente, están unida rígidamente en el punto B formand un án 'ulo de r 20° en la posición de quili rio.\ El extremo C soporta un peso Wo como se indica en la figura .Determinar el valor de Wo, en función de W, si el punto medio de BC se enuentra en la vertical OA: na rueda de peso W está sujeto a la acción de una lu 'I/,' h rizontal F para traF tar de al a " I x t ulo de altura h como se indica n la 1I iura.« Encuentre el valor de la fuerza F '11 Iun ión del peso de la rueda (w); sabicruk IU h = d/4 (d es el diámetro h

de la rueda .-

5.- Una viga uniforme de peso 100 lb* (OA), articulada en el punto O, está soportando un peso

de 800 lb*en el punto A.- Pa-

A

ra mantener la viga en la posición indicada enla figura se tiene elcableBD.-Si OB es igual a 3/4 de OA.- Calcular: a) La tensión en el cable DB. b) La reacción en la articulación, situada en el extremo inferior de la viga (punto 0).-

o

6.- Una puerta deslizante de 180 lb* de peso, está montada sobre un carril horizontal como se indica en la figura.- Los coeficientes de rozamiento estáticos entre el ca rril y la puerta en A y B son 0,2 y 0,3 respectivamente.- Calcular la fuerza horizontal P que debe aplicarse a la manija C, para mover la puerta hacia la 1 .1 derecha. 4 mes . lJ

ll_

~ 5 pies

,

......

, "'p

~

7.- Un camión que marcha a una v 1 cidad e n tante de 91 mis frena bruscamente, inmovilizando sus cuatro ruedas.La distancia que recorre el auto desde este momento hasta detenerse es 5 metrOs.- Calcular el valor de las reacciones y de las fuerzas de rozamiento en cada rueda durante1.2 todo el recorrido, en función del pe del camión W.A 14---""''_----'" 1 501

2m

8.- Una escalera de 4 metros de longitud y 10 kg* de peso está apoyada contra una

1B~t~

A

:l

pared vertical, como se indica en la figura. uando un hombre de peso 80 kg* alcanza un punto situado a 3 m del extremo inferior A, la escalera está, a punto de resbalar.Sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático entre la escalera y la pared es 0.2.Determine el coeficiente de rozamiento entre el piso y la escalera.-

).- Dos escaleras de longitudes 6m y 4.5 m r p

tivan nt stán articuladas en el punt A y unida' p r una u rda horizontal ituada In p r n ima del suelo e m indi a n la fí ura.llS p s re p tiv n: 4 y kg

mientras que el e ntr d grav dad de cada una se encuentra

11

su punt

medios. Considerando que no xist rozamiento con el suelo.- Calcular:

e

B

a) La fuerza ejercida en el punto de apoyo de cada escalera. b) La tensión de la cuerda. e) La fuerza que una escalera ejerce sobre la otra en el punto A. d) Si se suspende en el punto A un cuerpo de peso 100 kg* calcule la tensión en la cuerda.

! ).- En el siste.ma de la figura, i m) es mayor que m2 demue tre que: m 1 (m2 + 1'T1:3).

,

= 4m2 m

.

2

e equilibra sol J' • 1111 q Y en la división 50 cm.Cuando se ponen dos moneda de 5 gr cada una ('11 J I murca 12 cm, se encuentra que la regla en estas condicione se equilibra (11 1111 III oyo en la marca 45.5 cm.Calcule la masa de laregla.-

11.- Una regla de 1 m de longitud

I

12.~Si el peso d l puntal de Ja figura es despreciable.- Determinar: a) El pe o necesario w para producir una tensión de 200 Kg* en el cable horizontal b) l val r y dirección de la fuerza ejercida sobre el puntal en el extremo inferior.

o 13.- De los vértices de un triángulo rectángulo cuyos lados son: 3,4 Y5 cm. Están Cuerdas con pesos cuyo valor en gramos es igual al valor de la longitud del lado opuesto.Si los pesos se mantienen en un mismo plano y perpendiculares a la hipotenusa del. triángulo.Determinar el punto de aplicación de F, para que el sistema se mantenga en equilibrio ( desprecie el pe d l triángulo ).

.

~

14.- Una silla ha de ser alTa trada ha i' la d r cha a velocidad

60cm

60cm

F

constante

sobre una

superfici h rizontal, si el coeficiente de rozamient dinámic e igual a 0.3 y el peso de la silla 25 a) ¿Qué fu rza horizontal es necesaria? b) ¿ uál es la fuerza vertical ejercida sobre cada pata, . i la fuerza que arrastra la silla está ejercida n I\? e) ¿Cuál ' la altura máxima a la cual puede ser aplicada la fuerza, para que no se produzca el volcamiento de la silla?

15.1 En el sistema de la figura, determine la ten ión en la cuerda y las componentes d

la fuerza que actúa en el pasad r u icado en A a vi a es uniforme y pesa IO Kg*.

A

x

I

(

I~

110 con m Ir s en 3

Una grúa levanta un bloque de 90 N, part una velocidad inicial igual a cero y llega a una ullur

segundos. Determinar: a) la aceleración con la que sube el bloqu b) El trabajo neto realizado sobre el bl ,U' e) El trabajo realizado para subir al bl que d) La potencia media desarrollada, por la ,1 r'r

I

a) 1

at

a=2Y/t2

18m19

2

a = 2 mis

b)

2

Y=Vot + -

=

2

2

I:F = ma T-mg=ma mg=90N m=9Kg.

1111'

TFo = mah TFo = 9Kg (2m) s e)

(JlI

TFn = 162 Joule El trabajo para ubir .l hluqu« '. medio de la tensión d -J 'ahl ,

I11

1I',lId,,1'

11 I111111

JI,r

T=ma+mg 2

T = 9Kg. (2ml s ) + 90N T= 108 N. TT = T.cos 0° h TT= 108 N.( 9m) TT = 972Joules d)

Potencia desarrollada por la grua e )11 ¡'I nde a la de la tensión. T 972Joules p=- --3s-e-g-.- =324 W At

.1

2.

t rrninar el trabajo realizado

...

.....

.....

.....

.....

...

!:tJ~= 51+ 2k(m)

partícula que tiene un desplazamiento

..........

..

por la fuerza F = Oí - 4 j(N) sobre una ~

...

T = F. Ar = (Oi - 4 j + Ok) . (5i + OJ +2k)(N.m)

T = O(Joules) a) Qué potencia desarrollará el motor de un automóvil que pesa 2 toneladas, para que baje una pendiente de 4% con rapidez constante de 15 mis el coeficiente de rozamiento es 0,07. b) Cuál es el trabajo neto realizado al moverse 300 m. N

a)

tg

a = 4/

100

a = arctg

(4 /100) = 229°

.rapidez constante

~

Fy = O

~Fy=O

N- m N ~ F

r 0,

'ose

O

1111'

()

Ji I 1111 .' nO

s6+mg

l'

h

r

111

20 O kgf

l'

,5 Kgf

P

F.V

p

g

'1' 11 lll\

ene= O

,2Kgf .mls = 8992 W

A Ecinética

=O

~ Fx = O

1.-

Un motociclista inicia W1 movimiento enAcon aceleración e n tante sobre W1 plano inclinado, partiendo del reposo y liega a B con una rapidez de 36 Km/h. Si la suma de las masas del motociclista y la m t s 200 Kg. Calcular: a) La potencia media desarrollada por la moto. Datos: h = 15 metros B

T El

V)

.-

La potencia desarrollada por la moto corresponde a la de la fuerza F del siguiente gráfico (fuerza motriz) N

~Fy=O N - rng cose = N=mg co 6 ~Fx=rn.a F - rng sen 6 = m.a La aceleración pued a=

V

82 -

2.d sen 6= 3/5 d=25m

V =

el" 'al \lludl pOI' cillt'lIlllí • 1.

2 A

15/d

a=2m/s2 F = m.a +m.g.sen 6 F = m (a + gsenñ)

F = 200KJÓ + 10.( ,6)m/s2 F = 1600N

.....

Pm = F.Vm

Vrn

= 5rnls

Pro = 1600 N. (5m1s) cos 0° Pm= 8000W \).

Un cuerpo de masa 7 Kg. resbala por un plano inclinado partiendo del reposo desde la parte superior del mismo. La rapidez del cuerpo al llegar al fondo del plano es de 1 mis, el ángulo de inclinación del plano es de 30° y su altura 10 cm. Calcular: a) El trabajo realizado por la fuerza de fricción. b) La fuerza constante debido a la fricción. e) Si se lubrica al plano inclinado y la fuerza de fricción se reduce a 1/10 de su valor inicial. ¿ Cuál será extremo inferior del plano?

la rapidez con la que llega el cuerpo al N

.1

~Fy

=O

N - mg cos30° = O N = rng cos30° d = Rlsen 30° = O,2m por cinemática 2

a= VB

2

VA 2.d -

a = 2,5 mi

S2

~Fx=m.a mg sen30° - umg cos30°

u= II=

- a +gsen30° gcos30° 0,289

T, = f .cos180°.d

=

m.a

Tfr

= umgcos30°

Tfr

=-

( -l).d

0,5 Joules

b)

fr =u.N fr = 2,5 N

c)

~Fx=m.a 2

mgsen30° - u mgcos30° f 10 = m.a a

= g(sen30°

- ( uf 10).cos300)

a = 4 ,75 m/s" 2

2

VB = VA + 2.a.d VB =1.3 mis "

Si la posición de una partícula de 1 Kg, en función del tiempo (en ...

segundos) viene dada por: r = (2 + t)

~

1

~

? ...

+ 2J - (3 + t~)k(m), determinar la

variación de la energía potencial de la partícula de t=2 (s) a t=12 (s).

La energía potencial gravit tria n cualquier in tante rá: Ep, = mgh, donde h será 1 vol r d la n p n nt vector posición. Pero

s , nsuuuc, 'S ti 'ir h

2m, para cualquier tiemp AEpg

=

O , ya que Epg = cte = 111•• 11 Epg

=

20 (Joules).

/

n y 1J

I 1 1'. I()111/.

'.

111

7. On cuerp , desliza partiendo del reposo por un plano inclinado que forma un ángulo le .171)con la horizontal, y luego continúa moviéndose en un plan horizontal hast detenerse. Determinar el coeficiente de rozamiento up ni ndo que e: el n i me para las dos superficies; de tal manera que la di tan ia r corrida en los dos planos sea la misma.

N

NI h=O Vc=O

~------------~~---------d~------~C mg

Desde A hasta B ~Fy=O

N - mgcos37° = O Desde B hasta

e

~Fy=O NI-mg=O Balance de Energía entre A y B . EMSA = EMSB - TfrAB Balance de Energía entre B y e EMSB = E MSC

-

TfrBE

(1) (2)

E MSC es igual a cero por H=O

Vc=O

sumando (1) y (2)

EMSA = -Tfr AB ~PA = - frAB al.

-

Tfr BC

cos180° - frBe cosl Sü'd

g. H = u. N ,d + u, NI' d

1', J J = u m. g , cos 37° d + um , g . d 1I ti s n 37° ('11 \ l" u( cos 37° + 1)

III

" '11 ,

11

('1 11

1/ \

7"

\1"11)

Un bloque de 5 Kg se encuentra situado sobre una superficie horizontal, se le aplica una fuerza constante de 20 N que forma un ángulo de 37° con la horizontal, como se indica en la figura. Si el coeficiente de rozamiento único es 0,2. Determinar: a) El trabajo neto realizado sobre el cuerpo después de 5 segundos. b) La variación de la energía cinética.

mg a)

~Fy=O N - F sen 3 T" - mg = O N = F sen 37° + mg ~Fx =ma = F neta F cos 37° - fr= F neta F cos 37° - u (F sen 37° + mg) = F neta F neta = 3,6 N

a

Fneta

=

3,6 N

= ,72 m /

2

m SK , espacio recorrid 11 se IIlld s u partir I I1 f'

)SO

2

d =Vot+ ~ a, t d=9m Tneto = Fneta . cos 0° . ti Tneto = 32,4 Joules b)

La variación de Energía inéíi !J. Ec = Tneto = 32,4 Joule

a ..

j

'11

d JI I'J 11ajo Neto.

Por la parte más baja (A) de un plano in -Jlu,ldo pnsu un bloque arriba del plano hasta detenerse en W1 punto B. COIII H lid I 11Ie la energía mecánica total del bloque en A y en B son: 100 y 7 .)0111 • 1 spc tivamente. Determinar: a) El coeficiente de fricción entre el bloqu . ·1 pluno b) Analizar con la información disponibl , si I bloque desciende o no luego de detenerse en B; y si baja ¿ cual 'S 111 nergía cínética al pasar por B.? Nota: cos a

=

J2.. /2

N VB =0

H=O a)

Aplicando la ecuación Trabajo - Energía entre A y B EMSA =

TFNC

EMSB -

= Trabajo

TFNC de las fuerzas no conservativas.

Establecemos un nivel de referencia H= O EMA = EMB - T tRAB TIRAB = -30 Joules TfRAB = fR . cos 1800 . d d = H/sen 45° N = mg cos 45° -30 Joules = u . mg cos 45° (-1) HJsen 450 -30 J ul = -u . mg H u= /7 b)

Sup nern

1 movimiento hacia abajo.

el entid

N B

A.....c;.._....a....

_

:EFx

= ma mg sen 45° - umg cos 45° = ma a = g(sen 45° - ucos 45°) a= 4 mls2

La aceleración es positiva, luego baja. EMSO = ~SA - T IRBA Tm.BA = TIRAS (igual u, N y d) EMS¡\ = 40 Joules (al regreso)

183

lO.

La pista de la figura, está compuesta de d2.§.tramos curvos AB y CD sin rozamiento, y el tramo recto - horizontal BC de longitud..125 m. Se suelta del reposo un bloque desde el punto A situado a 2 m sobre BC. Considerando que existe rozamiento entre el bloque y el tramo BC (coeficiente de rozamiento 0,32). Determinar: a) El punto (posición) donde el bloque se detendrá. b) Hacia donde se dirigia el bloque, un instante antes de detenerse.

D

A

N.R. (h = o)

1--1,25 m---i B e

Balance de Energía entre la posición inicial y [mal del bloque.

a)

EMi= EMf-TfR

TfR es la energía perdida al pasar por BC debido a la fricción.

EMf= O se detiene en el punto más bajo h = o mgh = fR cos 1800 d d es la distancia recorrida mgh = u mg d d = 6~25 m Para r e 11' !._sa dist IJ) ia dch nll t stu ~ ... pOI la parte plana B ' Se detien n 1 punt e didrll h II ji l It puul .

b)

I•

Un cuerpo de 1 kg en reposo se halla ini 'iallllllll Al cabo de 5 (s) de la acción de las sigui nt s jll ...

...

......

...

~

-

T

F)= 3i + 4 j - 5k ;

F2 = 51 + 6 j - 6K

F3= 15i

mg= -

...

...... ... + 5j + 15k

...

10j N

Determinar: a) El trabajo neto realizado sobre el cuerpo 11 lo. '> (s). b) El trabajo realizado por ~ p~so 1.el cuerp '11 los 5 (s) e) El trabajo realizado por F), F1 y F} (F exteri r s) obre el cuerpo en los 5 (s). d) La variación de la energía mecánica del cu rpo en el intervalo de Oil a

Sil.

....

....

-+

....

~

- ---

FN = F¡+F2 + F3 + mg

FN = 23i + 5j + 4k N

'1_ 1_-2 _ =Vo.t +-a. t ; a = FN 1m . 2

Lli

-t

Llr

~

....

~

--- - - -

=287,5i + 62,5 j +50k m

TN = ( 23i + 5j + 4k) . (287,5i + 62,5j + 50k) N.m

TN = 7125 Joules. b)

- ...-

Tmg=

mg.zir

....

Tmg = (-10 j . (287,5i Trng = - r625 Joules

c~

....

.......

- -

Tfcxt- «E)+F2 + F3)

.....

•

........

+ 62,5 j+ 50k) N.m

tAn

_'

- ~-

Tfex = (23i + 15j + 4k).(287,5i + 62,5 J +50k) N . m Tfcx = 7750 Joules. !

!

Etvli = Emf - TFNC ; T FNC = trabajo de las fuerzas no conservativas. d)

EMi= EMF- T Fex

II EM= L\ EM 1_.

Mr - .. ¡ 77 OJoul '

lo' x

,'1 11 lo.' rizos d las figuras (a) y (b) se abandona una misma de, de 111po~i'i60 A. ¿En cada uno de los casos la partícula llegará al 1':. pi i IU su r spue tao Desprecie cualquier tipo de rozamiento.

¡\

B

~

-

N 11

""" ~

(a)

(b)

a)

EMA

= EMB

EpA= EpB+ ECB ECB=O

Yz m V! = O V B = O , la partícula no podrá llegar al.

ItI Hlo qu para hacerlo necesita tener en esta posición una rapidez mínimu rapidez irítica =

b)

[Ri)

ErvJA =

EMB EpA = EpB+ E CB

ECB =0 V B = O , sí podrá llegar a B, puesto IlIl , 01.. l I I pista puede pasar por B con cualquier velocidad, inclusive VII () 1\,

Una varilla de longitud "L" y masa dcspr •. j ,hit 11 -u os xtr mos se sujetan las masas mI y m2, se suelta desde la posición hOI zou 111I y ,( istema empieza a girar alrededor de un eje fijo situ ,d() (" ,1 pUIII) In di de las masas, Cuando la varilla.pasa por la posi i m vr rtlC'lIl 1I ',,11 l. rnpid 'z de la partícula.

V

M

(1)

(2) M,

Balance de Energía Mecánica 1·1 ,j I Sistema mi + m, + Varilla Varilla de masa despreciable no sumu

IhllU 11tlp

,

I

pllflto

1011 1111

',11 Y final

I

EMsi= EMsf Epli +

Ep2f= Eclf+ Eplr+

E:2CI-.EpU

Tomamos como nivel de referencia Rapidez de las dos masas es la misma.

1111'

h

1';)

1 ,1 istema la

Eplf= O

m 19 . L/2 + m 2 g . L/2 = 'lí . m, y2 m 1 = 2 m2 reemplazando

en la e

yJ

111,

lUU'U')Jl

gL 1111 'ti r y simplificando I

I 111

y=~gL/3 I l.

Una piedra atada a una cuerda de longitud l..... · de 'plaza por una trayectoria circular en un plano vertical. Determinar la masa ID de In pi . I a abiendo que la diferencia entre 1-tensión máxima y la mínima de la cuerda es i{1I 11' 10 N,

A

~Fs=FcB Ts - mg = FCB

mg

(1)

La tensión es mínima en A. ~FA = FCA

TA +mg= Fc, TA+

rng=

(2)

FCA

Restando (1) - (2) y sustituyendo Fe TB - TA = (miL) (Y~ + 2mg Balance de energía para A y B H= para el punto B .

ytJ

°

Ecs="' A + EpA 12 . my2o= 12. mY A

+

mg L

y2s-V2A=4.gL

reemplazando en (3) TB - TA = 6 mg = ION m= 10 NI 6g m= 0,16 Kg. 5.

Una esfera atada a una. cuerda parte del punto A con una rapidez inicial de 2 mis. En la parte más baja, la cuerda choca con una barra fija situada en B, perpendicular al plano de oscilación de la esfera. Encontrar el mínimo valor del ángulo 8 para que la esfera pa e por el punto E. indicado en la figura. VA =2 mis

Tomamos como N. R, el nivel del punto C. EMA=

EME

EpA + ECA = EpE+

ECE

mgh, + Yí m VAl = mgh, + Yí VE2 (mínima) hA = 90 - 90 cos Bcrn. = 0,9 (1 -cos E) V A = 2 m/s hE = 60 cm

=

VE = Vcrítica

0,6 m

=

~Rg

=

~0,3 (10) = .[3m/s

cos 8= 3,5/9

8=67,11° 1,

Un pequeño bloque de masa "m" se suelta desde A sobre la pista lisa de la figura. Determinar en función de R: a) El valor de H, para que el bloque se separe de la pista en E. b) La distancia horizontal donde caería el bloque, medida desde C. e) La reacción de la pista sobre el bloque en el punto horizontal D. A

a)

Balance de energía entre Ay E

EME EpA = EpE + E

EJVIA =

CE

2

mgH = Yí . m VE + mg hE hs = R + R sen 450

(1) (2)

I:FrE= FCE mg sen 45 + NE = FCE NE = O si el bloque se separa de la pista. 0

VE2 = Rgsen 4SO Reemplazando (2) y (3) en (1) H b)

=

(3)

R(1 +3{i)

VEx= JR.g.sen45° . cos 45°

(4)

X=VEx.t y = VEY.t- 1/2.g.t2 Y = -hE = -R - R sen 45°

(5) (6)

VEy = JR.g.sen45°.seu45° reemplazando

en (6) obtenemos el valor de t

t =1,03 R seg. Reemplazando (4) y el t en (5) x = 1,9 R Distancia desde e = x - R cos 45°

e = 1,2 R

e)

:EFro = FCD N

n

=mVn

2

R

Balance de energía entre A y D EPA = Eq, + Epn mg(I+3fi V2n=

65 Rg

No=6/i 17.

)R= Y2mVo2+ mgR mg

En un plano inclinado sin fricción que forma un ángulo de 30° con la horizontal, un cuerpo de masa "m" está girando atado a una cuerda de longitud "L" generando una circunferencia, como se indica en la figura Demostrar que la tensión en el punto más bajo excede a la tensión en el punto más alto en tres veces el peso del cuerpo.

(A) ~Fr= ro vl/R TA +mgsen30° =mVA2/R (B) ~Fr= roVB TB- mg sen 30°= mVB2/ R

N

A

~MSA =~SB

EPA = Ecs + EPa ~ mVl+mgh= ~ roVa2 2 VA - Va2 - 2g R CA

~I'A m' se0300 _m (Va2 - 2gR) - -~;;...._--A ,

u=

mg/2 = A

B-

3 mg.

R mg/2 - 2mg

rng

N.R. mg

189

1K. El plano P es totalmente liso y forma un ángulo de 30° con la horizontaL Una pista ABCDE totalmente lisa se coloca sobre el plano inclinado como se indica en la figura. Los tramos AB y DE son tramos rectos y miden 60 cm cada uno; el radio de la semi-circunferencia es 20 cm. Determinar: a) La mínima rapidez con la que se debe lanzar una bola, por el interior de la pista, desde A para que no se separe de ella en ningún instante. b) La fuerza resultante que actúa sobre la bola, en el instante que pasa por el punto C. e) El valor de la fuerza centrípeta en el punto C. d) Los tipos de energía que tiene la bola en los puntos A,B,C,D, y E.

La normal ejercida por la pista en el punto C es igual a cero para que se encuentre en la situación límite. N

e rng

l::Frc = Fcc Nc+ mg sen 30° = Fe, rng sen 30° = rnVc / R R=0,2m VCmin= 1 mis Balance de energía entre A y C ECA=Ecc+Epe 2 ' 2 YírnVA= Yí rnVc+ m.g.Hc He = (0,6 + 0,2) m. sen 30° = 0,4 m VA=3m1s.

JI

o

",

I:F R. = F e = mg en 30° (Nc = O, N Y mg e 30° se anulan) Fcc= m (l m/ )2 lO 2 m = 5m (mis) Energía Cinética: A, B, e, D, E. Energía Potencial: B C, D.

b) c) el) 19.

Desde la base de un plano inclinado se lanza un cuerpo de 1 kg. con una rapidez de 12 mis. En la parte más alta del plano se encuentra un resorte ideal de masa despreciable, cuya constante es 200 N/m. Cuando el bloque choca contra el muelle que tiene una longitud normal de 60 cm le comprime hasta que su longitud es 50 cm. El coeficiente de rozamiento único entre el bloque y el plano es 0,2. Determine: a) La distancia que recorre el bloque desde el punto A, hasta detenerse momentáneamente arriba del plano. b) La energía total del cuerpo en la posición anterior. e) La rapidez con la que pasa el cuerpo de regreso por el punto A. En el punto B, V B = O y también ECB= O

A...:;__._

____;.____;.=-.

a) Aplicando la ecuación Trabaj - ·n rgia entre A y B ECA = E MB - Tf.N.C. Para un nivel de referencia HA = O ECA = EPB + Epe., - T tRAB Y2.mV2A = mgH+ 1í.kx2 - fRcos 180°.dAB fr = u.mgcos30° H = dABsen 30° reemplazando en la ecuación anterior ciA - 9,21 m. b) . J sistema está formado por el resorte y Lamasa, la energía del cuerpo s s lamente mgH, está detenido H = 4,6 m E, = 46 Joules 1 alan 1 Energías entre By A. EMSB ~ MSA- T FRAB El 11 I .pe 8= "CA- fRBAcos 180°.d

111gl1 u

I

1í k

2=

.l m ,2

VA = \ ,95 mis.

1í .mVA2 + umg cos 30° .d

En el arreglo de resortes de la figura, determinar: a) b)

La constante equivalente del sistema (ke) El trabajo desarrollado por la fuerza F.

k, = 100 N/m k, = 1000 N/m ~=900N/m k, = 505 N/m F = 500 N

F a) Los resortes (1) y (2) están en paralelo, entonces

kl_2

= k,

+ k, = 1100 N/m

están en serie, por 10 que k(I-2)-3 = (kr.; k3) / (~2 +k3) = 495 N/m k(I-2) -ay k4 están en paral 1 k (1-2)-3)-4 = ke = k (1-2)k4 - I N/n k

1-2 Y k3,

b) T p= Yí keXT2; xT= d f rn ti í6 F = ke.xxT = F/ke = ,5(n) T F = 1í .1000 (N/m) (0,5 m)2 T F= 125 Joules.

tal ',1 sist

'111:1

lanza un cuerpo de masa 1 kg sobre 1 sis! '111.1 I ti, r' : 1, la figura, ti \ tal forma que lo comprime una distancia" ". 1 11 ,'U I ucrp regresa, I corriendo la superficie horizontal lisa H; 'lIh J plano 111 .linado que es rugoso ( = 0,p5) comprimí 11 lo 10 '111 al resorte de la .¡ recha. La constante "k" es la misma para ca In r 'soll . y tiene un valor d· 1000 N/m. Se conoce además que la distancia 1 mide 15,9tñ 1) 'terminar:

ror

I

v --....;.__~--'-----'-__.__---..-:-

a) b) a)

A' A El valor de la deformación La energía total del cuerpo Para la pista AB el sistema

EpeA

- - - - ~~-~~ - - - - - - - - - - - - - - - - . 8 "X" al pasar nuevamente por el punto B. es conservativo

= EMSB

Sea el punto D donde instantáneamente se detiene el bloque, comprimiendo el resorte superior, El sistema de B a D es disipativo

= 4tso -T frBO Epex = EPD + Epej, - T frBO EMSB

Fr= ul-! N= m.g.cos 30° L s re rte en A se encuentran en serie: l/k + l/k = l/ks ks = 5000 N/m 12.ks.X2= m.g.H,+ 12k.x?- ( umg cos 300)cos 180° .d u=0,25 d = 16m x1=0,lm k= 1000N/m Ho=8m x = 0,69m b)

22.

Balance de energía entre D y B EMSO = EMsB- T frDB EMSB = EMSD + T frDB EMSB= m.g.Hj, + 12.K.X¡2 + (umg cos 30°) cos 180°.d .&v1SB= 50,35 J

Se suelta un bloque de 10 Kg. desde lo alto de un plano inclinado que forma un ánguJo de 30° con la horizontal y de longitud 60 cm. El bloque choca contra un resorte ideal y lo deforma 10 cm. Conociendo que el oeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es de O 3; determine la on tante elástica del resorte.

Sea el punto B donde se detiene instantáneamente por primera vez el bloque comprimiendo al resorte 0,1 m El nivel de referencia se coloca en el punto B. Balance de energía entre A y B EMSA = ~SB - Tfr EpA = Epej, - fr.cos 180°.d MgHA = ~ kx? + urng cos 30° .d d =0,7m; HA=d sen 30° = 0,35 m k= 3362,7 N/m La pista de la figura es lisa, con excepción del tramo DE que es rugosa. Un cuerpo de masa "m" se deja caer desde el punto A. Si el resorte se comprime una distancia igual a RJIO Determinar: a) El coeficiente de rozamiento en el plano rugoso. b) La lectura de una balariza colocada en el punto C. NOTA. Se conoce además que para estirar el resorte una distancia igual a R1 es necesaria una fuerza de (538/3) mg.

Ai~.

e

,

6R

1 B a)

D

Es un sistema conservativo de A hasta D.

EMsr ErvlsD Ubiquemos un punto F donde el bloque momentáneamente comprimiendo al resorte. Balance de energía entre D y F.

se ha detenido

EMSD = EMsF - TfrDF EPA= EpF+ Epe F - fr.cosI80°. d mgHA = mgHF + ~ kx2 + urng cosfí.d 8 = 36,8° sen 8 = 3/5 cos 8= 4/5 d=R / sen8 = 53R150 x=RJIO HA=5R

k = _!3_= 538 mg =2512 mgl3R

b)

XI 3(R/4) Reemplazando en (I) u =0,25 La balanza marcará la normal en ese punto

EFrc= Fcc

(1)

MVc2

R

Nc+mg=

Balance de energía entre A y e EMSA = EMSC

EpA = Epc + Ecc

?

MgHA = mgH e + Y2 .mVe V2c= 6R.g

Reemplazando en (2) Nc = 5 mg 24.

El cursor deslizante e de masa 2,5 Kg lleva un resorte y se mueve desde A hasta B a lo largo de la barra fija; bajo la acción de una fuerza externa .... constante F = 20i + 30j - 20k (N) Y la fuerza de rozamiento. El cursor tiene en A una rapidez de 1,80 mis yal llegar a B de 2,40 mis. La costante del resorte es k = 30 N/m y su longitud natural (no deformado) es 0,90m. Determinar a) La variación de la energía mecánica total entre los puntos A y B. b) La energía perdida por rozamiento.

..

..

...

y

a) L\EM(A - B) = E MB - EMA L\EM = EeB

+ EPB

1

- ECA

-

Epe A

1

2

cB = 2m VB = 2(2,5Kg)(2,4 mis)

2

= 7,2 J

PB = mgh =(2,5Kg)(10mls 2)(1,5m) = 37,5 J

-::.p

121

0= -

2

]

kxB = -:(20N/m

...A = -2 roVA cp

A

2

2

C::.!..kxB2 2

Kv121,2

222

+ 0,9 - 0,9) m = 15,6 J

1 2 = - (2 5Kg)(1 8m1s) = 4 05 J 2' , , =

.!.. (30N/m) 2

(J l,i

+0 92

-

0,9l m2 = 5,4 Joules

A~

= 50,85 Joules b)

FNC

EMA =

EMB - TFNC

EMA

Er-.1B - TF - TfT

=

Fyfr

TF

EM. .. .. .... ... = EAr = (2Qi +30 j - 20k) - (Oi + 1.5j - 0.9k) N.m

TF

= 63

T fr = (EMB - EMA) -

.....

...

TF

=

TF

J

T fr = 50,85 - 63 = - 12,15 J _ Se pierden 12,15 J por efecto del rozamiento 5.

Un bloque de 10 kg cae desde una determinada altura sobre un resorte cuya constante es k = 200 N/m, comprimiéndole una distancia X. Impulsado por el resorte el cuerpo asciende hasta una altura de 30 m, medida desde la posición de máxima compresión del resorte. Entre el bloque y el aire hay una fuerza de fricción de 20 N. Calcular: a) La altura desde la que se soltó el bloque, medida desde la posición de máxima compresión del resorte. b) La rapidez con la que el bloque toca el resorte al momento de caer.

·········l ..

t ~ltí r-- -te

oC

1

................

a)

b)

~

T ':l.

A

i

,,:U

r: ~

J...J.... J..

.R.

N.R. coincidente con EMB= EMe - Te Epej, = Epe - fr.hc.cos 1 11 1í .kxB2= mghc - fr.h .c s 1800 X¡F 0,6m EMA = EME - Tn Ep A= Epe-, - fr.hx.cos 1800 2 mgh , = Yí.kx 13f1'.h A .cos 180(1 hA = 45m hp = hA - X = 44,4 m EMA = EMD- r, EPA= Eco + E~o - fr.hn.cos 1800 mgh , = 1f2.l11 VD + mgX - fr.h . Vo= 26,6 m/

1800

PROBLEMAS PROPUESTOS l. - Un motor que tiene UD rendimiento del 90 % mueve una grúa cuyo rendimiento e d 40%. a) Con qué rapidez levantará la grúa una masa de 500kg, si se aplica al motor un potencia de 5kw. b) La magnitud de la fuerza realizada por la grúa para levantar el bloque. 2.- Un bloque de masa 100kg., es llevado por una máquina hacia arriba de una colina una rapidez constante de 1 mis; si la colina forma un ángulo de 37° con la horizontal el coeficiente de fricción es 0,4 entre las superficies en contacto. a) ¿Cuáles el trabajo hecho sobre el bloque al moverse 10metros hacia arriba de colina? b) ¿Cuál es la potencia de la máq urna en Cv, y HP? e) ¿Cual es el trabajo resistente realizado sobre el bloque en los 10m. d) ¿Cual es el trabajo neto realizado sobre el bloque? 3,- Un auto de masa 1500 kg sube por una carretera recta, cuya pendiente es de15% instante = O tiene una rapidez de 36 km/h, Qué potencia debe desarrollar e1m t considerando una ficien ia mecánica de 90% para que en 5 segundos, alcance u rapidez de 54 km/h. n ider nd una resi tencia total al movimiento de 1/10 d peso del auto. 4.- Un avión vuela hacia el norte con un r pid z constante de 420 km/h la potencia de I turbinas es de 200 H. P.Calcular: a) El valor de la fuerza de resistencia del aire. b) El trabajo que realizan las turbina del avión en 10 segundos. e) El trabajo neto sobre el avión. 5.- Un vehículo cuya masa es 1000 kg sube un plano inclinado que forma un ángul de 30° con la horizontal, lma distancia de 100 m a 36 Km/h. La fuerza de fricción v I 2000 N. Determinar. a) a fuerza (magnitud) desarrollada por el motor La p tencia del motor en HP , El traba] neto realizado sobre el vehículo en el trayecto de los 100 m.

197

(l.

Los cuerpos A y B parten del reposo al mismo instante Determinar: a) ¿De que altura hB debe partir B para que choque con A en P? b) El trabajo realizado por los pesos de A y B desde t=0 hasta que chocan en P. ms=50Kg

t=05 u=O.3

mA= 50Kg t=05

p

l.

Una partícula de S kg parte del reposo y se mueve durante 10 s bajo la acción de las siguientes fuerzas:

.......

...

FI = SON (0,70i - 0,70 j - 0,14k)

,F+,

+ - 0,60 +j + nk)..

2 = 20N; ilF2 = (- 0,3i

y su peso. Determinar: a) La variación de energía cinética de la partícula durante los 10 segundos. b) La variación de energía mecánica en el mismo intervalo de tiempo. K,

Un cuerpo de masa "m" se desliza partiendo del reposo hacia abajo de un plano inclinado rugoso que forma un ángul d 30° con la horizontal. Si el 70% de la energía mecánica total inicial se disipa dur nt 1de cen en forma de calor, calcular el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y I plano inclinado. Un bloque de masa 1 Kg es disparado hacia arriba de un plano inclinado 20( pasando por la base del plano (A) con una velocidad Yo. iel coeficiente de fricción entre el bloque y el plano es 0,2; y si el tiempo que utiliza I loque hasta detenerse en la pan más alta del plano es 1s. Calcular a) La rapidez de Yo con la que pasó por el punto A. b) La distancia que recorre el bloque, hasta llega al punto más alto del plano.

e) El trabaj realizado por la fuerza de fricción. d) La energía mecánica total en la parte más alta del plano. e) uego de detenerse en la palie alta del plano, descenderá o no el bloque ¿Por qué? f) En caso de descender, con qué rapidez pasará de regreso por el punto A. 10.- Un bloque de masa 1 Kg es disparado hacia arriba de un plano inclinado. coeficiente de fricción único es 0,5. Si las condiciones energéticas del bloque son: en base del plano, energía cinética = 100 J; energía potencial gravitatoria = 50 J. En parte más alta es: energía cinética = O J, energía potencial gravitatoria= 90 J. De información determinar: a) Si el bloque desciende o no por el plano. ¿Por qué? b) El valor de la fuerza de fricción bajo la condición anterior. c) Si se lúbrica el plano inclinado y la fuerza de fricción se reduce a 1/1Ode su val bajo las mismas condiciones energéticas, llegará el bloque a la parte más alta plano con alguna rapidez? ¿En caso afirmativo, cuál es ese valor? 11.- Dos partículas A y B de masas "m" y "15m" respectivamente se mueven por u superficie horizontal lisa siguiendo trayectorias rectilíneas. La energía mecánica tot es la misma para las dos partículas. a) ¿Cuál e el trabajo que debe realizarse sobre cada una de ellas para detenerlas, funciónde 'm"y~. b) Si se aplica una misma fuerza F br cada una de las partículas, en direcci contraria a su movimiento.¿ ué di 'tan ia, desde ese instante, recorre ca unahastadetenerseenfunci6nd 'm' F yyA? 12.- Un muchacho esta en reposo en la part uperior de un montículo de hielo semi esférico de Radio R (ver figura). Si 1muchacho comienza a resbalar y el hielo supone sin rozamiento. Determinar:

6LJ O

a) al b) LH I e D 1"[1.

n del punto donde el muchacho se separa del hielo en función de R. 11 donde cae el muchacho en el suelo, respecto al centro de la serni-

I \,- Se deja caer un bloque de hielo desde la parte superior de un recipiente de forma de media esfera de radio 20 cm. Si la masa del hielo es de 30gr., determinar: a) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, si la velocidad del bloque en el punto más bajo es 100 cm/s. b) Si se practica un corte en el fondo del recipiente y se coloca una balanza como

se indica en la figura. ¿Cuánto marcará la balanza, en el instante que el bloque pasa por este punto?

11.- Se deja caer un bloque de masa "m" desde el punto 1 de la pista sin rozamiento, como se indica en la figura. Determinar: a) La magnitud y dirección, respecto a la horizontal, de la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo en el punto 2. b) La velocidad del cuerpo en el punto 3. e) La magnitud de la fuerza que ejerce el bloque sobre la pista en 3. 1

em

- Un ciclista y su bicicleta pesan 800 N y se mu ·v '11 11 1111 , pi ta circular vertical de 2,5 m de radio. Si la rapidez en el punto má bajo ti . 111 trayectoria circular es de 15 mis. Despreciando el rozamiento de la pista. al .ul ir: a) La aceleración en el punto más alto de la tray t H j \. b) La magnitud y dirección de la fuerza que ha I pi ta sobre la bicicleta. en el punto más alto.

2

16. Un cuerpo de masa "m" comienza a resbalar desde el punto A de la pista sm rozamiento, si el radio de la pista circular es 1 m. Determinar: a) La mínima altura H, desde donde se debe soltar al cuerpo para que no se separe de la pista en uingún punto. B) Suponiendo que la pista estuviera cortada en el punto D a qué distancia del punto de tangencia B impactaría el cuerpo en el plano horizontal? D

17.-Un cuerpo de masa "m" se encuentra atado en el extremo de una cuerda de longitud "L" y girando en un plano vertical. Demostrar que la tensión de la cuerda en el punto más bajo de la trayectoria excede a la tensión de la cuerda en el punto más alto de la trayectoria en 6 veces el peso del cuerpo que gira. 18.- En la figura determinar respecto al sistema de referencia XY. y

·········· ..x

a)

En qué posición se encuentra la..l2artículaque resbala por el rizo, cuando sobre ella actúa un fuerza resultante F.

-

--

F = 5mgi_.- 4mgj

b)

La coordenada en Y del punto P, desde el cual se deja caer la partícula con velocidad =Oi - Oj mis para que cumpla la condición del literal anterior.

19.-En la pista de la figura (A - B - e) existe rozamiento sólo en el tramo Be, si se suelta en A un cuerpo de masa 2 Kg y este luego de deslizar sobre la pista (A - B - e) hace impacto en el piso en el punto D, determinar el trabajo de la fuerza de rozamiento en el tramo B-e de la pista.

A B=25m

1 H

R=3m

B

h=20m d=10m

:c

1

t······ h

!

···· -. D

k--d--+I 0.-Un resorte de longitud "Lo ' necesita de una fuerza de 250 N para estirarle una distancia de 8 cm. ¿Qué trabajo en J es necesario realizar, para estirarlo una distancia adicional de 2,5 cm? Resuélvalo analítica y gráficamente. l.-Se suelta un cuerpo desde una altura de 2 ID, sobre un resorte ideal vertical de constante elástica 40 N/cm, si el resorte se comprime 20 cm, determine el peso del cuerpo. .-En el sistema de la figura, un bloque de masa "m" se encuentra unido a un resorte ideal de longitud "Lo" y constante "k" fijo en el punto A. Se empuja el cuerpo hacia arriba deformándol al resorte una distancia X, en este in tante se suelta el sistema. D m trar qu en ausencia de rozamiento, la distancia que r correrá el 'u rp sobre el pi no inchnado está dada por la siguiente relación:

d

Zmg sen =

k

ñ

+2

23.- En el sistema de la figura, determinar: a) La distancia XI que se debe comprimir al resorte (1) parta que un cuerpo de

masa 5 Kg se detenga en el punto A; luego de atravesar la pista, comprimir al resorte (2) y regresar. b) La energía mecánica perdida por el rozamiento en todo el recorrido e) La velocidad del cuerpo en O,al regreso d) El trabajo realizado por la normal durante todo el recorrido. kr= 1500 N/m kz= 2000 N/m u = O,3 A

50 cm_!!_' I 1+---75 cm .1 1+----100 cm --_

VD

El agua fluye de E a D. 14.- El agua (ó= 1.0) que se encuentra en un depósito cerrado de gran tamaño está sujeta a una presión manométrica de 0.20 kg*/cm2 , ejercida por el aire comprimido introducido en la parte superior del depósito. En la pared lateral del mismo hay un pequeño orificio situado a 3 nr por debajo del nivel del agua. Calcule la rapidez en mis con la cual sale el agua por este orificio.

Pman= 0.19 kg*/cm2 =1900 gr*/cnl p}/, 022 J 1 + ( Y]I ,

2g) + Y1 = ~ Ig 2' .

- (V

2

12g ). + y 2

(PmanIg )+ y = y221 2g v2 = 9.9 mis 15.- En dos puntos diferentes A y B de una tubería inclinada por la que fluye agua, se toman las siguientes lecturas. La presión, velocidad y altura en A son: 14.7 N/cm2; 6.26 mis y 40 m respectivamente; en el punto B, tenemos: 5.89 Nzcnr'; 7.67 mis y 44 m. Determine: a) en base de cálculos, si el líquido fluye de A hacia B o de B hacia A. b) la energía perdida en "Joules" por unidad de masa "kilogramos" al fluir el líquido de un punto al otro.

P A= 14.7 N/cm2 = 147000 N/m2

PB= 5.89 N/cm2 VB=

=

58900 N/m2

7.67m1s

hB = 44 mis

hA =40 m

(147000/1000) + 6.262/2g + 40 = (5890011000) + 7.6721 2g + 44 188.95 = 105.84

erA =

188.95 J

ETA = 105.84 J

Falso

...

E-rA> ETA

Fluye de A hacia B

16.- Un reservorio se encuentra 100 m más alto que la casa de máquinas. Si el caudal que pasa a las máquinas es 1.5 m'zs, Calcule la potencia de la turbina (en kw) asumiendo un rendimiento del 90%. 3

Q =1.5 m /s f}= 0.9

Pturbimil

=?•

P turbina

=

Pentrada

= ((1000 kg*/m3).

Pennada =

Psa1e

=

9L Q h

1.6xl06W=

9 LQ

=

X

100 m) /0.9

2222.22 HP

h

Psa1e = (1000 kg*/m3). Psale

1.5 m3/s

1.5 m3/s x 100 m

1.5x 106 W = 2000 HP

/

\

PROBLEMAS

PROPUESTOS

1.- En dos puntos cercanos "a" y "b", de una tubería horizontal por la que fluye

agua (densidad = 1.0) se colocan tubos delgados como se indica en la figura. En el tubo "a" el agua sube hasta una altura de 2.50 m y en el tubo "b" hasta 2.80 m. Determine: a) la velocidad y la presión en ese sector de la tubería b) el caudal en lis, si el diámetro de la tubería es de 1.5cm

2.- El tubo representado en la figura tiene una sección transversal de 25 cm' en la parte ancha y 20 cm 2 en la parte angosta. Por la tubería fluye agua a razón de 20 lis; el punto