• Author / Uploaded
• Patricio Fernandez Llerena

Citation preview

TEORIA DE LA CURVA ELASTICA

INTRODUCCION

Cuando una viga se carga, el eje longitudinal de la misma, inicialmente recto, se deforma en una curva llamada curva elástica de la viga o curva de deflexión En el diseño de elementos de máquinas o de vigas para edificaciones, frecuentemente se requiere la determinación de la deflexión, bien sea la deflexión máxima o la deflexión en un punto particular Hay dos razones importantes para conocer la deflexión de una viga: La primera, es simplemente poder predecir la deflexión de una viga bajo carga. En edificios y partes de máquina, las especificaciones y otros requisitos limitan, a menudo, la deflexión que puede tolerarse. Por ejemplos, en vigas de pisos que tengan cielo raso de yeso, se suele limitar la flecha máxima a 1/360 de la luz, para que no aparezcan grietas en el yeso. En general, el diseño de edificaciones suele existir una limitación para las deflexiones, ya que las mismas se asocian con una sensación de inseguridad Una segunda, y posiblemente aún más significativa razón para calcular las deflexiones, es para poder resolver las vigas hiperestáticas Hay muchos métodos diferentes para calcular las deflexiones en las vigas; en esta parte se van a presentar tres de los más comunes: -

Método de la Doble Integración Método de la Cuarta Derivada Método de la Superposición

LA CURVA DE LA ELÁSTICA

Antes de determinar la pendiente o el desplazamiento en un punto de una viga (o un eje), con frecuencia es útil bosquejar la forma flexionada de la viga al cargarla, para “visualizar” los resultados calculados, y con ello comprobar en forma parcial esos resultados. El diagrama de deflexión del eje longitudinal que pasa por el centroide de cada área transversal de la viga se llama curva elástica. Para la mayor parte de las vigas la curva elástica se puede bosquejar sin grandes dificultades. Sin embargo, al hacerlo es necesario conocer cómo se restringen la pendiente o el desplazamiento en diversos tipos soportes. En general, los soportes que resisten una fuerza, como un pasador, restringen el desplazamiento, y los que resisten un momento por ejemplo una pared fija, restringen la rotación o la pendiente, y también el desplazamiento. Con lo anterior en mente, se muestran dos ejemplos característicos de curvas elásticas para vigas (o ejes) cargadas, bosquejadas con una escala muy exagerada

RELACIÓN ENTRE MOMENTO Y CURVATURA Ahora desarrollaremos una importante relación entre el momento interno en la viga y el radio de curvatura ρ (rho) de la curvatura elástica en un punto. La ecuación que resulte se usara como base para establecer cada uno de los métodos que se presentan para determinar la pendiente y el desplazamiento de la curva elástica para una viga (o eje) El análisis a continuación, en esta sección y en la siguiente, necesitara usar tres coordenadas. Como se ve en la figura (a), el eje x se extiende positivo hacia la derecha, a lo largo de del eje longitudinal inicialmente recto de la viga. Se usa para ubicar el elemento diferencial, que tiene un ancho dx no deformado. El eje v es positivo hacia arriba a partir del eje x. Mide el desplazamiento del centroide en el área transversal del elemento. Con estas dos coordenadas, después definiremos la ecuación de la curva elástica, de v en función de x. Por último, una coordenada y “localizada” se usa para especificar la posición de una fibra en el elemento de viga. Es positiva a partir del eje neutro, como se ve en la figura (b). Recuérdese que es la misma convención de signos de x y y que se usa para deducir la fórmula de la flexión.

Para deducir la relación entre el momento interno y ρ, limitaremos el análisis al caso más común de una viga inicialmente recta, que se deforma elásticamente mediante cargas aplicadas en dirección perpendicular al eje x de la viga, y que están en el plano de simetría x-v, para el área transversal

de la viga. A causa de las cargas, la deformación de la viga se debe tanto a la fuerza cortante interna como al momento de flexión interno. Si la viga tiene una longitud mucho mayor que su peralte, la máxima deformación se deberá a la flexión, y en consecuencia dirigiremos nuestra atención a sus efectos. Cuando el momento interno M deforma al elemento de la viga, el Angulo entre los cortes transversales se transforma en dϴ. El arco dx representa una porción de la curva elástica que corta al eje neutro para cada sección transversal. El radio de curvatura de este arco se define como la distancia ρ medida desde el centro de curvatura O’ hasta dx.

Todo arco en el elemento que no sea dx está sometido a una deformación unitaria normal. Por ejemplo, la deformación unitaria en el arco ds, ubicado en la posición y respecto al eje neutro es: ε = (ds’ - ds)/ds ; sin embargo ds = dx = ρ.dϴ que

y

ds’ = (ρ – y)dϴ ; por lo

ε = [(ρ – y)dϴ - ρ.dϴ]/ρ.dϴ ; es decir que

……………… (**)

Si el material es homogéneo y se comporta en forma lineal-elástica, se aplica la ley de Hooke ε = σ/E También como se aplica la fórmula de la flexión σ = -My/I Al combinar estas ecuaciones y sustituir en la ** se obtiene

donde, ρ = radio de curvatura en un punto específico de la curva elástica (1/ρ se le llama curvatura) M= momento interno en la viga, en el punto donde ρ se va a determinar E = módulo de elasticidad del material I = momento de inercia del área transversal de la viga, respecto al eje neutro

En esta ecuación, al producto EI se la llama rigidez flexionante, o rigidez a la flexión, y siempre es una cantidad positiva. El signo ρ, entonces, depende de la dirección del momento como se ve en la figura, cuando M es positivo, ρ se dirige hacia arriba de la viga, es decir, en la dirección de v positiva; cuando M es negativo, ρ se dirige hacia debajo de la viga, o sea hacia la dirección de v negativa Cuando se usa la fórmula de la flexión: σ = -My/I , también se puede expresar la curvatura en función del esfuerzo en la viga como sigue:

Las ecuaciones mencionadas son válidas para radios pequeños o grandes. Sin embargo, casi siempre el valor de ρ que se calcula es una cantidad muy grande Bibliografía -

Libro de Resistencia de Materiales sexta edición por R.C. Hibbeler Libro de Criterios Fundamentales para Resolver Problemas de Resistencia de Materiales volumen II por Aquiles Martínez R.