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MC-2313 Mecánica de Fluidos II Aplicación del Teorema П – Buckingham

Preparador: Alejandro Fuenmayor

Se desea conocer los parámetros adimensionales de estudio para obtener una correlación empírica de la fuerza de arrastre FD que se opone al avance de cuerpos geométricamente semejantes a una cierta velocidad inmersos en un fluido compresible de densidad y viscosidad conocidas y sometido al campo gravitatorio. Del enunciado podemos identificar las siguientes variables de interés: Fuerza de arrastre (FD) [MLT-2] Velocidad de crucero (U) [LT-1] Densidad del fluido (ρ) [ML-3] Viscosidad del fluido (µ) [ML-1T-1] Longitud característica (Lc) [L] Velocidad del sonido (c) [LT-1] Aceleración de gravedad (g) [LT-2] La longitud característica del cuerpo debe incluirse en las variables de interés ya que nos referimos a cuerpos semejantes y esta longitud representará una relación de escala entre modelos, prototipos y productos finales. La velocidad del sonido se ha considerado por tratarse de un fluido compresible (de igual forma se pudo considerar la relación de los calores específicos, la constante de gas ideal y la temperatura del fluido; por medio del análisis dimensional se llegaría a la expresión conocida para la velocidad del sonido). En un principio podemos describir nuestra variable principal de interés por medio de una cierta función FD, que dependa del resto de las variables: FD = FD(U, ρ, µ, Lc, c, g) Las dimensiones básicas incluidas por cada uno de estos términos serán la masa, la longitud y el tiempo, por lo que el número de términos adimensionales П a obtener será: # П adim. = # vars. de estudio - # dim. básicas = 7 – 3 = 4 términos П. El método de Buckingham para la obtención de estos términos nos lleva a elegir tres variables cuyas dimensiones incluyan las tres básicas involucradas pero que no puedan constituir un número adimensional П por sí solas. En nuestro caso estas serán Lc (aporta [L]), U (aporta [T]) y ρ (aporta [M]). Puede verificarse que por sí solas jamás podrán formar un número adimensional por lo que las llamaremos nuestras variables base. Para formar cada término adimensional bastará tomar las otras variables restantes y multiplicarlas por las variables base acompañadas de un exponente tal que constituyan términos sin dimensiones propias. Por ejemplo, tomemos como primera variable la fuerza de arrastre FD: [FD] x [Lc0U0ρ0] = [MLT-2] x [1] Primero nos deshacemos de la dimensión [M] elevando la densidad al primer exponente negativo:

[FD] x [Lc0U0ρ-1] = [MLT-2] x [M-1L3] = [L4T-2] Ahora, podemos descartar la dimensión [T] si elevamos la velocidad de crucero al cuadrado negativo: [FD] x [Lc0U-2ρ-1] = [L4T-2] x [L-2T2] = [L2] Finalmente, sólo nos resta elevar la longitud característica al cuadrado negativo para obtener el primer término П1: [FD] x [Lc-2U-2ρ-1] = [L2] x [L-2] = [1] F Π1 = 2 D 2 Lc ⋅ U ⋅ ρ De manera similar se puede obtener los términos adimensionales restantes mostrados a continuación: µ c g ⋅ Lc Π2 = ; Π3 = ; Π 4 = Lc ⋅ U ⋅ ρ U U2 Cuando se estudia con parámetros adimensionales, se debe tener en cuenta que las variaciones que nos interesan en estudio son las correspondientes sólo a las magnitudes. Si los términos se definen en cierta forma, sus recíprocos presentarán comportamientos recíprocos por lo que es indiferente desde el punto de vista experimental si estos se definen a la inversa de parámetros adimensionales conocidos. De esta manera identificamos que el segundo tercer término adimensional son en realidad los recíprocos de los números de Reynolds y de Mach, por lo que podemos definir: µ 1 c 1 Π2 = = ⇒ Π 2 = Re ; Π 3 = = ⇒ Π 3 = Ma Lc ⋅ U ⋅ ρ Re U Ma Así mismo, el comportamiento de un parámetro adimensional multiplicado por una constante adimensional o sometido a otra operación aritmética reflejará igualmente en su comportamiento dicha transformación. Es por esto que podríamos trabajar con la raíz cuadrada del recíproco del cuarto término y obtener el número de Froude: g ⋅ Lc g ⋅ Lc 1 Π4 = ⇒ Π4 = = ⇒ Π 4 = Fr 2 2 Fr U U

Luego, en la experimentación podremos determinar una correlación empírica con la cual se cumpla: FD = F (Re, Ma, Fr ) 2 Lc ⋅ U 2 ⋅ ρ Como se sabe, establecer la similitud para modelos y prototipos según todos los parámetros adimensionales será imposible, pero la experimentación demostrará cual de los parámetros adimensionales puede ser más o menos importante de acuerdo con el fenómeno a estudiar.