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TEOREMA DE BAYES Mgr. Mariela Jimena Rosas Simon Departamento de Ciencias Exactas Facultad de Tecnología Universidad Privada del Valle

17 de Abril de 2020

CONTENIDO DEFINICIÓN TEOREMA DE BAYES

FORMULA DEL TEOREMA DE BAYES APLICACIONES DEL TEOREMA DE BAYES

EJEMPLOS RESUELTOS DE BAYES EJERCICIO DE TAREA

DEFINICIÓN TEOREMA DE BAYES

El teorema o regla de Bayes, fue planteado por el matemático y religioso inglés, Thomas Bayes. Este teorema fue publicado en el año 1763, dos años después de la muerte de Bayes. El teorema de Bayes, nos permite calcular la probabilidad de que ocurra un evento, a partir de valores conocidos de otras probabilidades relacionadas al evento.

FORMULA DEL TEOREMA DE BAYES

1

𝑃 𝐴𝑖 ∙ 𝑃 𝐵 𝐴𝑖 P 𝐴𝑖 𝐵 = 𝑛 σ𝑖=1 𝑃 𝐴𝑖 ∙ 𝑃 𝐵 𝐴𝑖

Sean A1, A2, A3,…An eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos, P(Ai) ≠ 0 para cada Ai. Sea B cualquier evento con P(B) ≠ 0.

FORMULA DEL TEOREMA DE BAYES

2

𝑃 𝐴 ∙𝑃 𝐵 𝐴 P 𝐴𝐵 = 𝑃 𝐵

A y B son eventos, y además: P(B) ≠ 0. P(A|B): es la probabilidad de que ocurra A, dado que ha ocurrido B. P(B|A): es la probabilidad de que ocurra B, dado que ha ocurrido A. P(A): es la probabilidad de que ocurra A. P(B): es la probabilidad de que ocurra B.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE BAYES

EJEMPLO

El teorema expresa la probabilidad de que ocurra el evento A, dado que ha ocurrido B, en función de la probabilidad de que ocurra B dado que ha ocurrido A, de la probabilidad de A y de la probabilidad de B.

Conociendo la probabilidad de que una persona tenga fiebre dado que tiene gripe, nos permite calcular la probabilidad de que una persona que tiene CORONAVIRUS, dado que tiene fiebre.

EJEMPLOS RESUELTOS DE BAYES 1

En las carreras de ingenierías, la probabilidad de que a un alumno seleccionado al azar le guste el helado es del 60 %, mientras que la probabilidad de que a un alumno le guste la torta es del 36 %. Además, se sabe que la probabilidad de que a un alumno le guste la torta dado que le gusta el helado es del 40 %. Calcular la probabilidad de que a un alumno le guste el helado, dado que le gusta la torta.

EJEMPLOS RESUELTOS DE BAYES

SOLUCIÓN

Primero definimos los 2 eventos con los que vamos a trabajar: A: Que a un alumno le guste el helado. B: Que a un alumno le guste la torta.

Tenemos los siguientes datos: P(A) = 0.6 P(B) = 0.36 P(B|A) = 0.4

Nos piden calcular: P(A|B)=?

EJEMPLOS RESUELTOS DE BAYES

SOLUCIÓN

𝑃 𝐴 ∙𝑃 𝐵 𝐴 P 𝐴𝐵 = 𝑃 𝐵 0.6 ∙ 0.4 0.24 2 P 𝐴𝐵 = = = = 0.6667 = 66.67% 0.36 0.36 3

EJEMPLOS RESUELTOS DE BAYES 2

En el consultorio de Jorge, el 40% de los pacientes fingen tener una enfermedad (para obtener un certificado médico). Además, el 10% de los pacientes del consultorio son hombres. La probabilidad de que un paciente finja una enfermedad dado que es hombre, es del 50%. Calcular la probabilidad de que un paciente sea hombre, dado que finge una enfermedad.

EJEMPLOS RESUELTOS DE BAYES

SOLUCIÓN

Primero definimos los 2 eventos con los que vamos a trabajar: A: Que un paciente finge una enfermedad. B: Que un paciente sea hombre.

Tenemos los siguientes datos: P(A) = 0.4 P(B) = 0.1 P(A|B) = 0.5

Nos piden calcular: P(B|A)=?

EJEMPLOS RESUELTOS DE BAYES

SOLUCIÓN

𝑃 𝐵 ∙𝑃 𝐴 𝐵 P 𝐵𝐴 = 𝑃 𝐴 0.1 ∙ 0.5 0.05 1 P 𝐴𝐵 = = = = 0.125 = 12.5% 0.4 0.4 8

EJEMPLOS RESUELTOS DE BAYES 3

En un acuario se tienen solo 2 especies de peces. El 40 % de los peces del acuario son de la especie azul y el 60% son de la especie roja. De la especie azul, el 30 % son machos; mientras que, de la especie roja, el 40% son hembras. Si se selecciona un pez al azar:

a) Si resulta que es hembra, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la especie azul? b) Si resulta que es macho, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la especie azul?

EJEMPLOS RESUELTOS DE BAYES

SOLUCIÓN

Primero definimos los 2 eventos con los que vamos a trabajar: A: Que sea de la especie Azul. B: Que sea de la especie Roja. Tenemos los siguientes datos: P(A) = 0.4 P(B) = 0.6

EJEMPLOS RESUELTOS DE BAYES

SOLUCIÓN

Información adicional con la que vamos a trabajar: De la especie Azul el 30% son machos. De la especie Roja el 40% son hembras.

Tenemos los siguientes datos: P(M|A) = 0.3 P(H|B) = 0.4

Por lo tanto decimos que: P(H|A) = 0.7 P(M|B) = 0.6

EJEMPLOS RESUELTOS DE BAYES

SOLUCIÓN

EJEMPLOS RESUELTOS DE BAYES

SOLUCIÓN

Nos piden calcular:

𝑃 𝐴 ∙𝑃 𝐻 𝐴 P 𝐴𝐻 = 𝑃 𝐻

a) P(A|H)=? b) P(A|M)=?

𝑃 𝐴 ∙𝑃 𝑀 𝐴 P 𝐴𝑀 = 𝑃 𝑀

EJEMPLOS RESUELTOS DE BAYES

SOLUCIÓN a)

𝑃 𝐴 ∙𝑃 𝐻 𝐴 P 𝐴𝐻 = 𝑃 𝐻

0.4 ∙ 0.7 0.28 P 𝐴𝐻 = = 0.4 ∙ 0.7 + 0.6 ∙ 0.4 0.28 + 0.24 0.28 P 𝐴𝐻 = = 0.5385 = 53.85% 0.52

EJEMPLOS RESUELTOS DE BAYES

SOLUCIÓN b)

𝑃 𝐴 ∙𝑃 𝑀 𝐴 P 𝐴𝑀 = 𝑃 𝑀 0.4 ∙ 0.3 0.12 P 𝐴𝑀 = = 0.4 ∙ 0.3 + 0.6 ∙ 0.6 0.12 + 0.36 0.12 1 P 𝐴𝑀 = = = 0.25 = 25% 0.48 4

EJERCICIO DE TAREA

En una reunión de ingenieros 65% son ingenieros financieros y el resto son ingenieros industriales. Los hombres son el 80% y 60% respectivamente. a) Calcular la probabilidad de que sea Ingeniero Industrial dado que es hombre. b) Tomando una mujer al azar. Calcular la probabilidad de que sea Ingeniera Financiera

EJEMPLOS RESUELTOS DE BAYES

SOLUCIÓN a)

𝑃 𝐵 ∙𝑃 𝐻 𝐵 P 𝐵𝐻 = 𝑃 𝐻

0.6 ∙ 0.35 P 𝐵𝐻 = 0.8 ∙ 0.65 + 0.6 ∙ 0.35 21 P 𝐵𝐻 = = 0.2877 = 28.77% 73

EJEMPLOS RESUELTOS DE BAYES

SOLUCIÓN b)

𝑃 𝐴 ∙𝑃 𝑀 𝐴 P 𝐴𝑀 = 𝑃 𝑀

0.2 ∙ 0.65 P 𝐴𝑀 = 0.2 ∙ 0.65 + 0.4 ∙ 0.35 13 P 𝐴𝑀 = = 0.4815 = 48.15% 27