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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO Departamento Académico de Física Escuela de Ingeniería Mecatrónica UNT

Prof. Luis M. Angelats Silva [email protected]

Curso: Física II- 2018-I La naturaleza de las partículas y Mecánica cuántica

Textos de Referencia: 1. Sears-Zemansky-Freedman_Young, FISICA UNIVERSITARIA, Volumen I. 2. R. Serway – J. Jewett, FISICA, Volumen I.

Luis Angelats Silva

LA NATURALEZA ONDULATORIAS DE LAS PARTÍCULAS “Los electrones tienen naturaleza dual partícula-onda” (1923, Luis De Broglie) “..Ya que los fotones tienen a la vez características ondulatorias y de partículas, es posible que todas las formas de la materia tengan ambas propiedades..” Según la energía relativista, la energía del fotón de masa cero (m = 0), es:

E  pc p

Donde, p  cantidad de movimiento del fotón

E hf h   c λf λ

ó

λ

h p

Longitud de onda del fotón

Según De Broglie, para partículas materiales, p = mv , tienen una longitud de onda característica dada para el fotón:



h h  p mv

Longitud de onda de De Broglie,

y:

f 

E h

Ejemplo: Compara la longitud de onda de De Broglie para un electrón que se mueve a 1.00x107 m/s con la longitud de onda de De Broglie para una piedra de 50 g que se desplaza con una rapidez de 40 m/s. Rpta. 7.28x10-11 m , 3.32x10-34 m. Luis Angelats Silva

10/07/2018



h h  p mv

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Werner Heisenberg (1901-1976), Nobel 1932

- Principio de indeterminación de Heisenberg o principio de incertidumbre (1927, Werner Heisenberg ): “..físicamente es imposible medir de manera simultánea la posición exacta y la cantidad de movimiento exacto de una partícula..”

O

x, t

 xp  2

y

Et 

 2

Paquete de onda que representa una partícula

Luis Angelats Silva

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Aplicación: Microscopio electrónico de Transmisión (TEM) y de Barrido (SEM): Basado en las características ondulatorias de los electrones

Los electrones tienen longitudes de onda típicas muy cortas. Pueden dar aumentos espectaculares sin las limitaciones de los microscopios de luz  Microscopio electrónico X 2000

X 3900

X 10 000 Luis Angelats Silva

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Solución Considerando que:



h  p

h 2meVab

Despejando Vab:

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FUNCIONES DE ONDA Y LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER: Interpretación de la función de onda: (ver cap. 39, pag. 1362, Texto Física Universitaria; Sears-Zemansky) La función de onda  (x,y,z,t) ó  (x,y,z) describe el estado de una partícula en el espacio (y tiempo), así como las funciones de onda electromagnética describen la distribución de los campos eléctrico y magnético.

Estados estacionarios y probabilidad: Sea:

 ( x, y , z , t )   ( x, y , z )e  it

,

la amplitud de probabilidad, o función de onda (completa) asociada con un sistema de partículas

Donde:

  2 f

 ( x, y , z )

e

 i t

e



y

i  1

Función espacial (considerando que la energía potencial sólo depende de las coordenadas de las partículas)

 iEt / 

 Función temporal compleja (Fórmula de Euler)

e  i  Cos  iSen Luis Angelats Silva

Considerando una partícula:

P( x, y, z )dV   dV 2

   *

Si  ( x , y , z ) representa la partícula y dV, un elemento de volumen pequeño, Probabilidad de hallar la partícula en el elemento de volumen dV.

2

Donde:

y:

*

Densidad de probabilidad (siempre real y positivo)  Complejo conjugado de 

Ejercicio 1: (a) ¿Cuál es el complejo conjugado de c = a + ib? (a y b, reales) (b) ¿Cuál es el valor de c*c? Ejercicio 2: (a) Determine el complejo conjugado de la función: 2 (b) Determine  ( x , y , z , t )

 ( x , y , z )e iEt / 

Ejemplo: Una partícula libre se mueve a lo largo del eje x con longitud de onda,

 = h/px (según De Broglie): x

Donde:

 ( x)  Ae

ikx

(Función de onda para la partícula libre que se mueve a lo largo del eje x)

k  2 /  (Número de onda de la onda que representa la partícula) A  Amplitud (constante) Y la función de onda completa es entonces:

ψ(x, t)  Aeikx e -it  Aei(kx ωt)  A[cos(kx  ωt)  isen(kx  ωt)] (x) y Calcule el complejo conjugado de ¿Cuál

(x)

2

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Funciones de onda unidimensionales y valores permitidos: La probabilidad de que la partícula se encuentre en el intervalo dx alrededor del punto x, es: 2

P( x)dx   dx

Para un intervalo arbitrario, a  x  b, es:



2

Pab  La probabilidad de hallar la partícula en el intervalo

a  x  b (representada por el área bajo la curva entre los puntos a y b) y,

0  Pab  1

Pab

¿Qué significa que Pab = 0.30? a

b

x

Como la partícula debe estar en algún lugar a lo largo del eje x, la  2  dx  1 suma de probabilidades en todos los valores de x debe ser 1, es decir:  Nota:



Si una función de onda  satisface esta expresión, se dice que  está Normalizada (existe en algún punto en el espacio).

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

x   * x dx

La posición promedio, llamado Valor esperado de x, se define por:





Para cualquier función f(x), asociado con una partícula, el valor esperado es:

f x    * f ( x) dx 

Pregunta de análisis: ikx  ( x )  Ae Considere la función de onda para la partícula libre dada por: Determine la densidad de probabilidad para esta función de onda. De acuerdo con su resultado: ¿En qué valor de x es más probable que la partícula se encuentre en un tiempo determinado?: (a) ¿En x = 0? (b) ¿a pequeños valores de x? (c) ¿a grandes valores de x? (d) ¿en cualquier punto a lo largo del eje x? Ejercicio (Ver pág. 1190, Texto R. Serway): 1.Considere una partícula cuya función de onda se grafica en la figura y se (x) proporciona por:  x 2

 ( x)  Ae

 ( x)  Ae x

2

x Luis Angelats Silva 0

(a) ¿Cuál es el valor de A si se normaliza esta función de onda?, (b) ¿cuál es el valor esperado de x para esta partícula? Rpta. (a) A= (2a/)^(1/4), (b) 0.

LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER: Permite determinar las funciones de onda y los niveles de energía de varios sistemas Suponiendo que el electrón esta bajo la acción de una fuerza conservativa originada por una energía potencial U(x):

 2 d 2 ( x ) ( )  U ( x ) ( x )  E ( x ) 2m dx 2

(E es la energía y es constante) ¿Cómo saber si esta ecuación es correcta? Caso: Ecuación de onda para una partícula libre: U(x) = 0 y energía: E = p2/2m Propuesta:

Sea la función de onda para la partícula libre que se mueve a lo largo del eje x,

ψ(x, t)  Acos(kx  ωt)  Bsen(kx  ωt)]

A y B Constantes

Con:

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La función de onda de la ecuación ψ(x, t) no parece estar en la forma de  iEt /  estado estacionario: es decir, de la forma:  ( x , y , z )e Haciendo B = iA:

ψ(x,t)  Acos(kx  ωt)  iAsen(kx  ωt)

 A[cos(kx  ωt)  isen(kx  ωt)]

 Aei(kx ωt)  Aikx e  ωt

(Función de onda independiente del tiempo, para un estado estacionario)

Luis Angelats Silva

Si sustituimos (x) en el lado izquierdo de la ecuación de Schrödinger, con U(x) = 0:

, Siendo p2/2m = E

Por lo tanto, satisface la ecución de Sch.

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APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCH.

PARTÍCULA EN UNA CAJA: Modelo Newtoniano Modelo Cuántico:  U(x)

(x) (0)= 0 0

0xL



(L) = 0 L

(b) Función de energía potencial para el sistema (Modelo Cuántico) (a) Partícula de masa m y rapidez v, confinada a rebotar entre dos paredes impenetrables (Movimiento Newtoniano, Modelo CLASICO) Luis Angelats Silva

Función de onda para una partícula en una caja (“Pozo de altura infinita)”: La función de onda debe satisfacer las condiciones de frontera:

=0

x=0

(1)

x=L

(2)

La Ec. de Sch. con U(x) = 0, se expresa como:

 2 d 2 ( ) 2  E 2m dx

ó

con,

d 2 2mE 2      k  2 2 dx  2mE k 

Y,

(partícula en una caja)

k 2 2 E 2m

¿Cuáles serían las posibles formas de  para que sean soluciones de la ecuación de Sch.? ¿cuáles son los niveles de energía permitidos? Idea clave: !Una función de onda para una partícula debe satisfacer tanto la ecuación de Sch., como las condiciones de frontera y además ser no nula en la región del espacio¡. Luis Angelats Silva

Planteamos la siguiente función de onda (solución general) que satisface la ecuac. de Sch:

 ( x )  A1 eikx  A2 e ikx

Por la fórmula de Euler:

 ( x )  A1 (cos kx  isenkx )  A2 [cos(  kx )  isen( kx )]  A1 (cos kx  isenkx )  A2 (cos kx  isenkx )  ( A1  A2 ) cos kx  i( A1  A2 )senkx

Aplicando condiciones de frontera:

1. Cuando  (x=0)= 0, Reemplazando resulta:

2. Cuando (x=L)= 0

 (0)  A1  A2  0

A2   A1

 ( x)  2iA1 sen kx  Csenkx

, Con C = 2iA

 ( L)  Csen kL  0

kL = , 2, …= n.

kL 

2mE L  n 

Los valores posibles de k y de , son entonces:

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Niveles de energía para una partícula en una caja: Como para cada valor de n se tienen valores correspondientes de p,  y E: Y considerando la relación de De Broglie: p 

h

nh pn   n 2 L

h



y,

2 2 2 2 2 2 p n h n   y, En  n   2m 8mL2 2mL2

p2 E 2m (n = 1, 2, 3,…) (Niveles de energía, partícula en una caja)

Si sustituimos k = n/L en la ecuación  (x) = Csen kx, entonces:

 ( x)  Csen

n x L

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Modelo CUÁNTICO Para un pozo infinito:

U = 0, 0 < x < L,

U = , x < 0 y x > L

Funciones de onda:  ( x)  Csen n x

L

2 2 2 2 2 n h n   Niveles de energía: En   8mL2 2mL2

Luis Angelats Silva

Ejemplo: Si la partícula atrapada es un electrón y la caja tiene un ancho de 5.0 x 10-10 m (un poco mayor que un átomo) ¿Cuál es el nivel de energía mas bajo para el electrón? Solución: En la ecuación:

n2h2 , En  8mL2

(1) 2 (6.626x1034 J.s) 2 19 E1   2 . 4 x 10 J  1.5eV 8(9.11x1031 kg )(5 x1010 m) 2

¿Si la partícula fuese un protón o neutrón (m = 1.67 x 10-27 kg) y medio del núcleo)?

E1  1.7 MeV

L = 1.1 x 10-14 m (ancho

!  106 veces mayores que las energías de los e- en los átomos¡

¿Si la partícula fuese una esfera de billar ( m = 0.2 kg) y L = 1.5 m (ancho entre las bandas de la mesa)?

E1  4 x1067 J  2.5 x1048 eV  0.000000..........25 eV !Los efectos cuánticos no tienen mucho efecto en un juego de billar¡ Luis Angelats Silva

10/07/2018

Ejemplo 2: Un electrón está confinado entre dos paredes impenetrables con una separación de 0.20 nm. (a) Determine los niveles de energía para los estados n = 1, 2 y 3. (b) encuentre la rapidez del electrón en el estado n = 1, Rptas. (a) 9.42 eV, 37.7 eV, 84.8 eV., (b) 1.82x106 m/s.

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10/07/2018

Normalizando la función de onda (ver APÉNDICE) :  ( x)  Csen

n x L

[Nota: El proceso de hallar la constante C de llama “Normalización”]. 

Consideraciones:

  dx  1 2



Por lo que normalizando la función de onda definida por la ecuación para la partícula en una caja: n

 ( x)  Csen

L

x

Como (x) es cero excepto entre x = 0 y x = L, la ecuación se transforma en: L

2 2  C sen 0

nx d ( x)  1 L

Aplicando la identidad integral: sen2 = ½ (1-cos2),

C 2L / 2  1

 ( x) 

2 n sen x L L

ó

C  (2 / L)1/ 2

(n = 1, 2, 3,…) (partícula en una caja) Luis Angelats Silva

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Pozos de potencial: Es una función de energía potencial U(x) que tiene un mínimo (No infinito) “Un pozo de potencial que se aproxima mejor a varios casos físicos reales es un pozo con lados verticales, pero con altura finita [ U(x) = U0 ]” Una partícula en un pozo de U(x) potencial cuadrado (de altura finita): Casos reales: 1. Bidimensional: Un electrón dentro de II (U -= 0) III I una lámina metálica de e Uo espesor L Uo E, energía total (E L:

, se obtiene:

d 2 ( x) 2m(Uo  E )   ( x) dx 2 2

d 2 ( x) 2    ( x) Como (U – E) es positivo, expresamos de la forma: 2 dx Donde:  2  2m(Uo  E ) /  2 La solución general de la ec. de Sch. Sería:

 ( x)  Aex  Be x

Teniendo en cuenta que la solución debe permanecer finita cuando x    y además debe ser continua en x = 0 y x = L,

 I ( x)  Cex  III ( x)  De x Luis Angelats Silva

Región I ( x < 0) (Fuera del pozo)

Región III ( x > L) 10/07/2018

(x)

(x) (Posible función de onda para una partícula en un pozo de potencial finito)

e-

III = D e-Cx

I = C eCx x =L

x =0

II = ACoskx+ BSenkx

Para conocer la función de onda completa, se requieren las siguientes condiciones de frontera (permite conocer las constantes A, B, C y D):

 I (0)   II (0) d I ( x  0) d II ( x  0)  dx dx

 II ( L)   III ( L) d II ( x  L) d III ( x  L)  dx dx

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[Para lectura, Texto SearsZemansky, Física Universitaria– Vol. 2, págs.1382-1383] Sea

E 

 2 2 2

2mL



Energía del nivel fundamental infinitamente profundo

de

un

pozo

(i) : Cuando U >> E , (pozo muy profundo), se tienen muchos estados ligados, y las energías de los mas inferiores son casi iguales (ii) : Cuando U > E , (solo un poco mayor que E1), se tienen sólo unos cuántos estados ligados

Analice el ejemplo 40.4 del Texto sears – Zemansky, pág. 1384

Aplicaciones en nanotecnología: 1. Quantum corrals (corrales cuánticos): “Esta espectacular imagen fue producida en 1993 en Almaden Research Center de IBM (California). Los 48 picos formando el círculo marca las posiciones de átomos individuales de Fe sobre una superficie de Cu especialmente preparada. El círculo, el cual es alrededor de 14 nm en diámetro, es llamado QUANTUM CORRAL” (Texto: Fundamentals of Physics, Halliday-ResnickWalker. Sixth Edition. pp. 979, 991). 2. “Quantum dots” (Puntos cuánticos o “átomo por átomo”) Átomos artificiales para aplicaciones en la óptica electrónica y tecnología de computadoras (fabricación de chips o dispositivos de memoria).

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