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TEMA 3: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS PARA LA LOCALIZACIÓN INDUSTRIAL

Ingeniería de Sistemas y Automática

Control de Robots y Sistemas Sensoriales

Robótica Industrial ISA.- Ingeniería de Sistemas y Automática

Herramientas matemáticas para la localización espacial Representación de la posición Representación de la orientación Matrices de transformación homogénea Cuaternios Relación y comparación entre métodos Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

2

Localización espacial Manipulación de piezas

Movimiento espacial del extremo del robot

Necesidad de herramientas matemáticas para especificar posición y orientación Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

3

Representación de la posición en coordenadas cartesianas Z Y p(x,y,z) x p(x,y)

z

a

Y

o y x

0

y X

X

2 dimensiones

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

3 dimensiones

4

Representación de la posición en coordenadas polares/cilíndricas Z Y p(r,0,z) p(r,0)

z

Y

O r

r 0 0

O

X

X

Polares

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Cilíndricas

5

Representación de la posición en coordenadas esféricas Z

p(r,0,0)

0 r

Y

O

0 X

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6

Representación de la orientación. Matrices de Rotación 2D Y

Y

V

V U

jy iu

jv O

U a)

[

p xy = p x , p y

]

T

ix

O

X

b)

= p x ⋅ i x + p y ⋅ jy

p uv = [p u , p v ] = p u ⋅ i u + p v ⋅ j v T

 i x iu R=  j y i u

X

α

i x jv   j y jv 

px  pu   = R  pv p y

 cos α R =  sen α

- sen α   cos α 

• Una matriz de rotación es ortonormal: R-1=RT Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

7

Representación de la orientación. Matrices de Rotación 3D (I) Z

Z

W

W

Y

V

O

α

V α

α

Y

O

U U X

X a)

b)

puvw = [ pu , p v , p w ] = pu ⋅ i u + p v ⋅ jv + p w ⋅ k w T

pxyw = [ p x , p y , p z ]T = p x ⋅ i x + p y ⋅ j y + p z ⋅ k z  i x i u i x jv i x k w    R =  j y i u jy jv j y k w   k z i u k z jv k z k w 

 px    p y  = R p   z

1 0  R( x ,α ) = 0 cos α 0 senα

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 pu     pv  p   w 0   - senα  cos α  8

Representación de la orientación. Matrices de Rotación 3D (II) Z

Z

φ

W

W

θ Y

V

O

Y

O θ

φ

θ

φ X

V

U

X

U a)

 cos φ  R( y ,φ ) =  0 − sen φ

b)

0 sen φ   1 0  0 cos φ 

cos θ  R( z ,θ ) = sen θ  0

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− sen θ cos θ 0

0  0 1

9

Representación de la orientación. Composición de rotaciones Orden de la composición:

❶ Rotación sobre OX ❷ Rotación sobre YO ❸ Rotación sobre OZ Cθ  T = R( z ,θ ) R( y ,φ ) R( x ,α ) =  Sθ  0 CθCφ  =  SθCφ  − Sφ

− Sθ Cθ 0

0  0 1

 Cφ 0 Sφ    0 1 0   − Sφ 0 Cφ 

− SθCα + CθSφSα CθCα + SθSφSα CφSα

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1 0  0 Cα 0 Sα

0   − Sα  = Cα 

SθSα + CθSφCα   − CθSα + SθSφCα   CφCα 10

Representación de la orientación. Angulos de Euler ❶ Girar el sistema OUVW un ángulo φ con respecto al eje OZ, ❷ ❸

convirtiéndose así en el OU'V'W'. Girar el sistema OU'V'W' un ángulo θ con respecto al eje OU', convirtiéndose así en el OU''V''W''. Girar el sistema OU''V''W'' un ángulo ψ respecto al eje OW'' convirtiéndose finalmente en el OU'''V'''W''' W '' W '''

Z W W' φ

ψ θ

V ''' ψ V '' θ V' φ

O φ θ UX

Y V ψ U '''

U ' U ''

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Representación de la orientación. Roll, Pitch y Yaw ❶ Girar el sistema OUVW un ángulo ψ con respecto al eje OX. (Yaw) ❷ Girar el sistema OUVW un ángulo θ con respecto al eje OY. (Pitch) ❸ Girar el sistema OUVW un ángulo φ con respecto al eje OZ. (Roll) Z W φ

R oll

P itch Yaw

O

θ

Y V

ψ X U Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

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Representación de la orientación. Par de rotación ■

Mediante la definición de un vector k (kx,ky.kz) y un ángulo de giro θ, tal que el sistema OUVW corresponde al sistema OXYZ girado un ángulo θ sobre el eje k Z

V W

k θ

kz

Y

O kx ky X U b)

Rot( k ,θ ) p = p cos θ − ( k × p ) sen θ + k ( k ⋅ p )(1 − cos θ ) Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

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Representación de la orientación. Cuaternios ■ ■

Alta eficiencia computacional Utilizados por algunos fabricantes de robots (ABB) Q = [ q 0 ,q 1 ,q 2 ,q 3 ] = [s, v ]

Giro de un ángulo 2 sobre el vector k: θ θ  Q = Rot( k ,θ ) =  cos , k sen   2 2

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Coordenadas homogéneas ■ ■ ■

Coordenadas de un espacio (n+1)-dimensional para representar sólidos en el espacio n-dimensional p(x,y,z) p(wx,wy,wz,w) con w=factor de escala Vector en coordenadas homogéneas:  x   aw   a   y   bw   b  p= = =   z   cw   c        w   w  1 

■ ■

Ejemplo: 2i+3j+4k Vector nulo:[0,0,0,n]T

[4,6,8,2]T ó [-6,-9,-12,-3]T

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Matrices de transformación homogénea ■

Matriz 4x4 que representa la transformación de un vector en coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro

 R 3x3 T=  f 1x3 ■ ■ ■ ■

p3x1   Rotacion Traslacion  =  Perspectiva Escalado  w1x1  

R3x3: matriz de rotación p3x1: vector de traslación f1x3: transformación de perspectiva w1x1: escalado global (1)

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Aplicación de las matrices de transformación homogénea  R 3x3 p3x1  Rotacion Traslacion  T= =  0 1  1   0

❶ Representar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado

❷ ❸

O'UVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ., que es lo mismo que representar una rotación y traslación realizada sobre un sistema de referencia. Transformar un vector expresado en coordenadas con respecto a un sistema O'UVW, a su expresión en coordenadas del sistema de referencia OXYZ. Rotar y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

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Traslación con matrices homogéneas ■

Matriz básica de traslación: 1 0 0  0 1 0 T( p ) =  0 0 1  0 0 0

■

px   py   pz   1

Cambio de sistema de coordenadas:

rx 1 r  0  y =  rz  0     1  0

0 0 px ru ru + px     1 0 py rv  rv + py =  p   0 1 z rw rw + pz     0 0 1  1  1 

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Ejemplo de traslación (I) Según la figura el sistema O'UVW está trasladado un vector p(6,-3,8) con respeto del sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx , ry ,rz) del vector r cuyas coordenadas con respecto al sistema O'UVW son ruvw(-2,7,3)

r x  r   y = r z    1

1  0 0  0

6  1 0 − 3 0 1 8  0 0 1 0 0

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− 2     7 =  3    1

 4    4 11    1 19

Ejemplo de traslación (II) ■

Calcular el vector r’xyz resultante de trasladar al vector rxyz(4,4,11) según la transformación T(p) con p(6,-3,8)

 r'x   1  r'  0  y =   r'z  0     1  0

6  1 0 − 3 0 1 8  0 0 1 0 0

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 4  10      4  =  1 11 19       1  1 20

Rotación con matrices homogéneas ■

Matrices de rotación básicas: 0 0 1  0 cos α - senα T( x,α ) =  0 senα cos α  0 0 0

■

0  0 0  1

 cos φ 0 sen φ 0  0 1 0 0   T(y,φ ) = − sen φ 0 cos φ 0   0 0 1  0

cos θ sen θ T( z,θ ) =   0   0

− sen θ cos θ 0 0

0 0 0 0  1 0  0 1

Cambio de sistema de coordenadas: rx    r y  = T rz    1

 ru     rv  r w   1

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Ejemplo de rotación ■

Según la figura el sistema OUVW se encuentra girado -90º alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas del vector rxyz si ruvw = [4,8,12]T

rx   0  r  - 1  y =   rz   0    1  0

1 0 0 0

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0 0 1 0

0 0  0  1

 4  8   8  - 4   =  12  12       1  1  22

Combinación de rotaciones y traslaciones (I) ■

■

Es posible combinar rotaciones y traslaciones básicas multiplicando las matrices correspondientes El producto no es conmutativo: rotar y trasladar = trasladar y rotar

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Combinación de rotaciones y traslaciones (II) ■

Rotación seguida de traslación: 0 1  0 cosα T(( x ,α ) , p) =  0 senα  0 0

■

0 − senα cosα 0

px  p y  pz   1

Traslación seguida de rotación: 0 1  0 cosα T(p,( x ,α )) =  0 senα  0 0

0 − senα cos α 0

 p y cosα − p z senα   p y senα + p z cosα   1  px

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Ejemplo de combinación traslación-rotación (I) Un sistema OUVW ha sido girado 90º alrededor del eje OX y posteriormente trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx ,ry ,rz) del vector r con coordenadas ruvw (-3,4,-11)

 r x  1  r  0  y =   r z  0     1  0

0 0 8  0 − 1 − 4  1 0 12   0 0 1 

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−3 5   4  7   =  − 11 16       1  1 25

Ejemplo de combinación traslación-rotación (II) Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ y girado 90º alrededor del eje OX. Calcular las coordenadas (rx , ry , rz) del vector r de coordenadas ruvw (-3,4,-11)

 r x  1  r  0  y =   r z  0     1  0

0 0 8  −3  5  0 − 1 − 12  4  − 1 =   − 4  − 11  0  1 0     0 0 1   1  1

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Significado geométrico de las matrices homogéneas  n x ox a x  n y oy a y  T=  n z oz a z  0 0 0

px  p y   n o a p = p z   0 0 0 1  1

terna ortonormal que representa la orientación n,o,a vector que representa la posición p ||n||=||o||=||a||=1 nxo=a [n o a]-1=[n o a]T Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

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Inversa de una matriz de transformación homogénea n x  ox -1  T = ax  0 r xyz = T r uvw

ny oy

nz oz

ay 0

az 0

− nT p  − oT p  − aT p   1  T -1 r xyz = r uvw

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Composición de matrices homogéneas ■

■

Una transformación compleja puede descomponerse en la aplicación consecutiva de transformaciones simples (giros básicos y traslaciones) Una matriz que representa un giro de un ángulo α sobre el eje OX, seguido de un giro de ángulo φ sobre el eje OY y de un giro de un ángulo θ sobre el eje OZ, puede obtenerse por la composición de las matrices básicas de rotación C θ  Sθ T = T( z ,θ ) T( y ,φ ) T( x ,α ) =  0  0  Cφ C θ  SθCφ =  − Sφ   0

− Sθ Cθ

0 0   Cφ 0 0  0  0 1 0  − Sφ  0 0 1  0 − SθCα + CθSφSα CθCα + SθSφSα CφSα 0

Sφ 0

0  1 0 0  0 Cα  0 Cφ 0  0 Sα  0 0 1  0 0 SθSα + CθSφCα − CθSα + SθSφCα CαCφ 0 0 1

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0 − Sα Cα 0

0 0 = 0  1

0 0  0  1 29

Criterios de composición de matrices homogéneas ❶ Si el sistema fijo OXYZ y el sistema transformado O'UVW son coincidentes, la matriz homogénea de transformación será la matriz 4 x 4 unidad, I4

❷ Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema fijo OXYZ, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá premultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas.

❸ Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema móvil, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá postmultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas. Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

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Ejemplo de composición de matrices homogéneas (I) PREMULTIPLICACIÓN ■

Obtener la matriz de transformación que representa al sistema O'UVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante un giro de ángulo -90º alrededor del eje OX, de una traslación de vector pxyz(5,5,10) y un giro de 90º sobre el eje OZ 0 − 1 1 0 o o T = T( z ,90 ) T( p ) T( x ,-90 ) =  0 0  0 0

0 0 1 0

0 0  0  1

1 0  0  0

0 1 0 0

0 5  1 0 0 5  0 0  1 10  0 − 1  0 1  0 0

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0 1 0 0

0  0 0 − 1 − 5  0 5  0  1 0 =  0  0 − 1 0 10     0 1  1  0 0

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Ejemplo de composición de matrices homogéneas (II) POSMULTIPLICACIÖN ■

Obtener la matriz de transformación que representa las siguientes transformaciones sobre un sistena OXYZ fijo de referencia: traslación de un vector pxyz(-3,10,10); giro de -90º sobre el eje O'U del sistema trasladado y giro de 90º sobre el eje O'V del sistema girado

1 0 T = T(p ) T( u ,-90º ) T( v ,90º ) =  0  0

0 0 − 3 1 0 10   0 1 10   0 0 1

1 0 0 0  0 − 1  0 0

0 0 1 0  0 0  0 1

0 0  − 1  0

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0 1 0 1 0 0 = 0 0 0  0 0 1

0 0 − 1 0   0 −1  0 0

1 − 3 0 10   0 10   0 1

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Gráficos de transformación

( M TO )−1 R

M

TO = R

TR R

TE

TO = (

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R

M

TE E

E

TH =

O

TH ( O TH )

T R)

−1

M

TH

−1

TO

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Comparación entre métodos de localización espacial Método

Ventajas

Matrices de • Posición y orientación transformación de forma conjunta homogénea • Comodidad

Inconvenientes • Alto nivel de redundancia (12 compon. para 6 gdl) • Coste computacional

Angulos de Euler

• Notación compacta

• Sólo orientación • Dificultad de manejo para composición

Par de rotación

• Notación compacta

• Sólo orientación • Dificultad de manejo para composición

Cuaternios

• Composición simple y • Sólo orientación relativa eficiente de rotaciones y traslaciones Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

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