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LICEO NAVAL C DE C MANUEL CLAVERO

CUARTO AÑO

TEMA: LÓGICA PROPOSICIONAL PROPOSICIONES Son enunciados que deben ser verdaderas o falsos. Ejemplos: -

Todas las aves vuelan 3 es un número irracional

Las proposiciones pueden ser:

Simples o Atómicas No tienen conjunciones gramaticales o el adverbio “no”.

Compuestas o Moleculares Contienen conjunciones gramaticales como “y”, “o”, . . . “si”, “entonces”, “sí y solo sí”, “no”, etc.

CONECTIVOS LÓGICOS: Son símbolos que se usan para relacionar proposiciones; para formar proposiciones compuestas partiendo de las proposiciones simples.

SON

LOS SABIOS QUIENES LLEGAN A LA VERDAD A

TRAVÉS DEL ERROR; LOS QUE INSISTEN EN EL ERROR SON LOS NECIOS

RÜCKERT

ARITMÉTICA

4º AÑO

1

LICEO NAVAL C DE C MANUEL CLAVERO

Símbolo

Nombre

~

Negación

∧

Conjunción Disyunción inclusiva Disyunción exclusiva

Ѵ ∆

CUARTO AÑO

Lenguaje común “no”, “no es cierto que” “no es el caso que” “y”, pero, sin embargo, además, aunque. “o” “o”, “o... o...”

→

Condicional

“si... entonces...” “si... dado que...” “... siempre que...”

↔

Bicondicional

“sí y solo sí”

1. Conjunción Une dos proposiciones mediante e l término “y” Ejemplo: Juan es estudiante y juega fútbol p: Juan es estudiante En símbolos p ∧ q q: Juan juega fútbol La Conjunción es verdadera solo cuando ambas proposiciones son verdaderas

2. Disyunción Inclusiva (ѵ) Une dos proposiciones mediante el término “o” Ejemplo: Juan irá al cine o al estadio p: Juan irá al cine q: Juan irá al estadio

2

ARITMÉTICA

En símbolos p ѵ q 4º AÑO

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CUARTO AÑO

La Disyunción Inclusiva es falsa únicamente cuando ambos componentes son falsos siendo verdadera cuando al menos uno de las componentes es verdadera.

3. Disyunción Exclusiva (∆ ) Une dos proposiciones mediante el conector “o” pero exclusivo. Ejemplo: Einstein era Peruano o Judío P: Einstein era Peruano En símbolos p ∆ q q: Einstein era Judío La Disyunción Exclusiva es verdadera cuando sus componentes tienen diferentes valores de verdad y es falsa cuando tienen iguales valores de verdad o falsedad.

4. Condicional (→) Es la combinación de dos proposiciones mediante: “si... entonces” Ejemplo: Si trabajas tendrás dinero P: Trabajas En símbolos p → q q: Tendrás dinero

El condicional es falso cuando antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los demás casos es verdadero. 5.

Bicondicional (↔)

ARITMÉTICA

4º AÑO

3 10

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CUARTO AÑO

Es la combinación de dos proposiciones con “... si y solo si ...” Ejemplo: Serás profesional si y solo si estudias P: Serás profesional q: Estudias

En símbolos p ↔ q

La bicondicional es verdadera cuando ambos componentes tienen igual valor de verdad y es falso cuando sus componentes son de diferentes valores. 6.

Negación (~)

Cambia el valor de verdad de la proposición Ejemplo: No es cierto que Juan sea ingeniero y médico P: Juan es Ingeniero q: Juan es médico Observaciones:

En símbolos ~(p ∧q)

1.

~(~ p) = p

2.

p ∆ q ≡ ~(p ↔ q)

3.

Cuando las proposiciones compuestas tienen más de 2

conectivos, se usan de agrupación. Ejemplo: a)

(p ѵ q) ∧ r

b)

p ↔ [p ѵ (q → r)]

LEYES LÓGICAS 1. De Morgan

4

ARITMÉTICA

4º AÑO

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CUARTO AÑO

~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧~q 2.

De Condicional p → q ≡ ~p ѵ q p → q ≡ ~(p∧~q)

3.

Transposición p → p ≠ ~q → ~p

CONTRADICCIÓN Cuando los valores de su operador principal son todos falsos.

p V V F F

q V F V F

[(p

∧

q)

V F F F

ѵ V F F F

q] V F V F

∧ F F F F

~q F V F V

TAUTOLOGÍA Cuando todos los valores del operador principal son verdaderos. p q [(~p ∨ q) V V V V F F F V F F F F CONTINGENCIA Cuando los valores de su operador una falsedad. ARITMÉTICA

∧ F F F V

~q] F V F V

→ V V V V

~q F F V V

tiene por lo menos una verdad y

4º AÑO

5

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p V V F F

q V F V F

(p

→ V F V V

CUARTO AÑO

q)

∧

(p

∧

F F V F

q)

F V V F

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

¿Cuáles

siguientes

de

las

Son contingencias:

proposiciones

compuestas

son

3.

tautológicas? i.

y “r∆ s” es falso. Hallar el (p ∧ ~q) ѵ

valor

(~p ѵ q) ii.

de

verdad

r

y

s,

respectivamente (q → ~p)

∆ (p ∧ ~q) iii.

4.

Si “w ↔ t” es verdadero y “v → t” es falso, hallar el valor de verdad de t, v y w, respectivamente.

5.

Si la proposición compuesta: (p ∧~q) → (r → ~s) Es falsa, hallar el valor de verdad de las proposiciones q, p, r, s, respectivamente.

6.

Si la proposición compuesta: ~[(q ↔ r) ∧ ~(r ѵ t)] es falsa, hallar el valor de verdad de

(~q ↔ p) → (q∆ ~ p) 2.

De las siguientes

proposiciones i.

(p → q) ↔ (p∧~q)

ii.

(p → q) ↔ (~p ѵ q)

iii.

[(p ∧ ~q) ѵ q] ∧ ~p

iv.

[(p ѵ q) → q)] ∆ [(q ∧p) ∆ q]

6

Si “r ∧ s” es falso

ARITMÉTICA

4º AÑO

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las proposiciones: q, r, t, respectivamente. 7. Si la proposición compuesta: ~{(q → t) ѵ [q ∆ (p ↔ t)]} Es verdadera, hallar el valor de verdad de las proposiciones, q, t, p respectivamente. 8.

proposiciones verdaderas? i.

(p ѵ s) ∧q

ii.

(t ∧ q) → r

iii.

11.

compuesta: (~p ∧r) → (r ∧ ~q) verdad de las proposiciones r, q y p, respectivamente. 9.

[(p ∧r) → q] ∆ [(p ѵ ~q) ѵ (p → q)] Es

verdadera,

valores

de

p,

hallar q

y

i. ii. iii.

Si se sabe que:

los r,

(s ∆ t) → q

Si la proposición

Es falsa, hallar el valor de

son

iv. v.

Sabiendo que: ~(p ∧ q) → [(p → q) ѵ r] es falsa, podemos concluir que:

verdadera verdadera es falsa es falsa

(p ѵ q) es (p ∧ q) es (p ∆

r)

(p ↔ r)

Más una es correcta

de

respectivamente. 10.

Si

la

proposición

12.

Si (p ∆ q) y (q → r) son falsas ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?

i.

(~p ѵ t)

compuesta: ~ (p ∨~ q) ∧ (q ↔ r) Es

verdadera

y

las

proposiciones s y t tienen valor de verdad desconocido. ¿Cuáles de las siguientes ARITMÉTICA

ѵq

4º AÑO

7

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ii. iii.

~(p ∧ (~q ѵ q))

[~p ѵ (q ∧ ~t)] ↔ [(p → q) ∧ ~(p ∧ t)] 13. Sabiendo que: [(p → q) ѵ ~r] es falsa, y que [(s ↔ p) ∆ r] es verdadera. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?

i. ii. iii.

[~(p ѵ s)] es verdadera falsa

(s ∧ t) es (q → s) es

verdadera 14.

Si la proposición:

CUARTO AÑO

ii. iii.

(s → q) ∆ (p ѵ r)

(q → r) ѵ

(p ∆ r) 15.

Si la proposición compuesta (r → ~q) ѵ (r ↔ ~s) Es falsa y además t es una proposición cuyo valor de verdad se desconoce. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? i. ~r → (t ∧ ~s) ii. (t → ~q) ѵ (r ∧ q) iii. ~(r ∆ s) ∧ (r ѵ t)

(p ∆ q) ∧ ~(q → r) Es verdadera. ¿Cuáles son verdaderas? i.

(p ѵ s)

(s ∧ r) →

COMO

UN IR Y VENIR DE OLA DE MAR, ASÍ

QUISIERA SER EN EL QUERER, DEJAR A UNA

MUJER PARA VOLVER, VOLVER A OTRA MUJER PARA EMPEZAR

8

ARITMÉTICA

4º AÑO

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CUARTO AÑO

LEONIDAS YEROVI

ARITMÉTICA

4º AÑO

9

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CUARTO AÑO

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Si la proposición (~p ∧~r) → (r ∆ q) Es falsa y las proposiciones s y t tienen valor de verdad desconocido. ¿Cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas? i. (p ∧ s) ѵ q ii. (s ѵ t) → r iii. (t ∧ q) → p A) Solo II C) I y II E) Ninguna

ii.

iii.

“s ∧ t” puede ser verdadera o falsa. “q” es falsa A) Sol oI

B) I y II

C) II y III

B) Solo III D) II y III

E) Nin

D) I y II

guna 3. La

proposición

compuesta: (p ↔ q) → (q ѵ r) Es falsa, luego:

2. Si la proposición compuesta: (q ∧ s) ∆ (s ѵ t) Es verdadera. ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? i. “q → t” es verdadera.

i.

“p ∆ no es falsa

ii.

“q ∧ r” no es verdadera

iii.

“q → q” es falsa Son ciertas: A

10 ARITMÉTICA

q”

B 4º AÑO

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S olo I

y II

CUARTO AÑO

S olo II

C

D

)

)

I

I

E

C

D

)

)

I

I

y II

y III E

y III

) T

)

odas

T

5. Si la proposición

odas

compuesta: ~(s ∆ r) ѵ ~(r ∧t) 4. Sabiendo que la

Es

falsa

¿Cuáles

de

las

proposición r es verdadera.

siguientes proposiciones son

¿En cuál de los siguientes

falsas?

casos es suficiente dicha

i.

información para determinar el valor de verdad de las proposiciones? i.

~r ∧ (p ∆ q)

ii.

(p → r) ∧

(s → p) ѵ (r ∧q)

ii.

(q ѵ s) → (p ѵ t)

iii.

(r ↔ s) → [(r ∧p) ↔ (s ∆ t)]

q iii.

r ∧ (~q ↔ ~p)

oI A

B

)

)

S

S

olo I ARITMÉTICA

A)

B)

Sol

Sol

C)

o II

II y III

D) To

das E)

olo III 4º AÑO

11

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CUARTO AÑO

Nin

suficiente dicha información

guna

para determinar el valor de

6. Sabiendo que la proposición “r” es verdadera ¿En cuál de los siguientes casos es suficiente dicha información para determinar el valor de verdad de las proposiciones? i.

verdad de las proposiciones? i.

(~p → r) ѵ [(r ѵ s) ∆ t]

ii.

(p ∧ r) ∆ [p ѵ (q → s)]

iii.

[~p ∧ (q ѵ r)] → [s ↔ (r → t)]

~r ∧ (p ∆ q)

ii.

(p → r) ѵ q

iii.

(p ∆ r) →

oI

B)

Sol

Sol

C)

o II

Sol o III

S

S

I y III

olo III C

D

)

)

I

I

E

I y

N

y III

inguna

II

8. Para determinar “p”

es

verdadera ¿En cuál de los

12 ARITMÉTICA

)

)

E)

siguientes

)

D)

II

y III 7. Si

B

olo I

(r ∧q) A)

A

casos

es

el valor de verdad de la proposición: (p ∆ q) → (r ∧s) 4º AÑO

LICEO NAVAL C DE C MANUEL CLAVERO

Es

suficiente

para

CUARTO AÑO

saber A) Sol

que: oI

A)

“r”

es

B)

“s”

es

o III

C)

“r ѵ s” es

y III

D)

“q ∆

falsa

r”

es verdadera E)

“p ↔ q”

es verdadera 9. Sabiendo que la proposición “p” es falsa ¿En cuáles de los siguientes casos es suficiente dicha información para determinar el valor de verdad de las proposiciones? i. [(p ∧ q) → r] ↔ [(q → r) ∧p] ii. (p ∆ ~p) ∧ (p ↔ p) iii. (p ѵ q) → (r ∧p)

ARITMÉTICA

o II

II

D) I y

E) II

verdadera falsa

C) Sol

B) Sol

10.

Si {~[(p ↔ ~s) ∧~(r * s)] ѵ (p → r)} Es falsa, entonces r * s puede ser: i. r ∧s ii. rѵs iii. r →s iv. r∆ s A) I y II

y IV

C) II

B) II I y IV

I, y IV

D) I,

E) I, III y IV

4º AÑO

13

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CUARTO AÑO

CLAVES

1 . E

6 . D

2 . E

7 . D

3 . B

8 . E

4 . A

9 .

5 . E

1 0 . E

LICEO NAVAL CAPITAN DE CORBETA “MANUEL CLAVERO MUGA” SUB DIRECCIÓN DE SECUNDARIA

14 ARITMÉTICA

4º AÑO