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I.-Conceptos Básicos de las Ecuaciones Diferenciales

Las

ecuaciones diferenciales proporcionan un medio eficaz para resolver numerosas cuestiones prácticas de ingeniería, física y ciencia en general así como problemas puramente matemáticos. Se

concibe una ley y se expresa mediante un sistema de ecuaciones diferenciales; las solución de ese sistema explica los estados y movimientos de las substancias que siguen esa ley.

Material a desarrollar Definición Tipos

de ED: Ordinaria y Parcial

Definición ED

de Ecuación Diferencial(ED)

de orden y grado

Lineal

Ejemplos

y discusión

TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Definición

de Ecuación Diferencial(ED):Ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables . Ejemplos(1):

Se le llama ecuación diferencial

ordinaria:

“y” es dependiente solo de la variable independiente “x”. Ejemplos(2):

Se llama ecuación diferencial

parcial :

Cuando “y” es dependiente de dos o mas variables , en este caso “x” y “t”.

DEFINICIONES DE ORDEN Y DE GRADO DE UNA ED Y EJEMPLOS Orden

: es el orden que tiene la ecuación

según la derivada que sea mayor, (es decir que se derive más veces). Es de orden uno Grado

: es el grado algebraico de su derivada de mayor orden. 𝟑(𝒚′′ )𝟒 + 𝟐𝒚′ + 𝟏𝟒 = 𝟎 Es de grado 4

EJERCICIO : IDENTIFICA EL ORDEN Y EL GRADO DE CADA UNA DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES 

Es de orden 2 , y grado 1



Es de orden 1 y, grado 1.



Es de orden 2 y grado 2

LINEALIDAD Una

Ecuación Diferencial es lineal si :

a)La

variable dependiente “y” y todas sus derivadas son de primer grado(potencia uno en la derivada). b)Cada En





coeficiente depende solo de la variable “x”.

una ED de primer orden se tiene : +P(x)*y = Q(x)

donde P(x) y Q(x) son funciones(Nota

esta es la Ecuación De Bernoulli).

EJERCICIO :DETERMINA SI LAS SIGUIENTES ED SON LINEALES





 



es una ED lineal de primer grado

es una ED lineal de primer grado

Es una ED lineal NO LINEAL es de segundo orden y grado dos. es una ED lineal NO LINEAL, de orden uno.

COMPROBACION DE SOLUCIONES DE UNA ED

Una

solución de una ED ordinaria de dos variables es una relación entre las variables que satisface la ecuación. Ejemplo Ecuación

es una solución de la

(substituir y se debe obtener una igualdad).

TEOREMA DE EXISTENCIA Una

ecuación diferencial

Tiene , en una región S una solución única satisfecha por (Xo,Yo) que está dentro de S tal que f(x,y) y sean reales, uniformes y continuas en S. Nota: Es decir para cada punto interior hay una única curva que

satisface la ecuación Diferencial dada.

Problemas de valor inicial Se

comprueba fácilmente que soluciones de la ecuación diferencial

es una Familia de

Y,

cuando especificamos una condición inicial ,digamos y(0) = 3, obtenemos el valor de c y encontramos una solución particular :  ( ecuación que pasa por (0,3)). Si

ahora queremos ver al a solución para y(1)= -2, es decir que pasa por (1,-2) entonces c= y la solución es ahora . La

gráfica de esas dos funciones es:

Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos La

descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama modelo matemático. En

este paso especificamos el nivel de resolución del modelo.

Se

establece un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que tratamos de describir. Las

hipótesis acerca de un sistema implican con frecuencia la razón o tasa de cambio de una o más de las variables, el enunciado matemático de todas esas hipótesis es una o más ecuaciones donde intervienen derivadas. En otras palabras, el modelo matemático es una ecuación o sistema de ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos La

descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama modelo matemático. Las

aplicaciones son variadas :

1.Crecimiento

y decaimiento poblacional. 2.Capitalización continua del interés 3.Reacciones químicas 4.Ley de Newton del enfriamiento 5.Mezclado de soluciones salinas. 6.En hidrodinámica en vaciado de un tanque. 7.Segunda ley de Newton del movimiento 8.Caída libre 9.Caída de los cuerpos y resistencia del aire 10.Circuitos Eléctricos en serie, etc.

Teorema de solución única

ECUACIONES DIFERENCIALES TECNICAS DE SOLUCIÓN Y APLICACIONES(José Ventura Becerril, David Elizarraz)

ECUACIONES DIFERENCIALES TECNICAS DE SOLUCIÓN Y APLICACIONES

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