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• Noelia Carretero Leal

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!LAS FUNCIONES DE COSTE Y LAS FUNCIONES DE PRODUCCIÓN COBBDOUGLAS 1. Obtenga la función de coste asociada a una función de producción Cobb -Douglas q = L" K$ SOLUCIÓN 1. Obtenga la función de coste asociada a una función de producción Cobb-Douglas Como sabemos, para obtener la función de coste total a largo plazo necesitamos: 1º La trayectoria de expansión: RMgST = w/r 2º La función de producción, que en el caso Cobb-Douglas es q = L" K$ 3º La ecuación de coste: CT = wL + rK Procedemos mediante tres pasos: (1º) Obtenemos la trayectoria de expansión igualando la relación marginal de sustitución técnica al precio relativo dado de los factores. (2º) Sustituimos la trayectoria de expansión en la función de producción obteniendo las demandas condicionadas, de los factores. (3º) Sustituimos las demandas condicionadas en la ecuación de coste. (1º) La minimización del coste mediante la ecuación de Lagrange nos permite obtener la trayectoria de expansión para unos precios dados, (w, r) y una tecnología dada (", $). La ecuación de Lagrange es: . Para minimizar el coste de obtener un determinado nivel de producción calculamos las primeras derivadas parciales y las igualamos a cero (Condición necesaria para un mínimo. La condición suficiente se cumple porque las isocuantas son estrictamente convexas):

A partir de las dos primeras ecuaciones obtenemos la trayectoria de expansión dividiendo la primera ecuación por la segunda y despejando para K

La expresión entre paréntesis es la pendiente de la trayectoria de expansión; por lo tanto, la pendiente depende de los precios de los factores y de la tecnología. Cuando estos parámetros cambien, cambiará la pendiente de la trayectoria de expansión. Es decir, la trayectoria de expansión se define para unos precios de los factores y una tecnología dados. Por eso la trayectoria de expansión es el lugar geométrico de las combinaciones de factores que minimizan el coste de obtención de cualquier cantidad de producción para unos precios de los factores y una tecnología dados. (ii) Sustituyendo la trayectoria de expansión en la función de producción, que nos da las cantidades producidas en función de las cantidades de los factores, obtenemos las demandas condicionadas de los factores productivos: las cantidades de los factores que minimizan el coste de obtener cualquier nivel de producción.

Esta expresión es la demanda condicionada del factor trabajo: la cantidad demandada del factor en función de la cantidad producida (que no tiene que ser necesariamente la óptima), los precios de los factores y la tecnología. Se obtiene de igual forma la demanda condicionada del factor capital: (iii) La función de coste se obtiene sustituyendo las demandas condicionadas en la ecuación de coste.

Donde

. Si para simplificar consideráramos que " = $ = 0,5, y por lo tanto, que " +

$ = 1, tendríamos que: . Puesto que la expresión entre paréntesis solamente contiene alfas y betas su valor es 2, como se puede comprobar sustituyendo en ella los valores indicados de " y $. Esta expresión es la función de coste, el coste mínimo de obtener cualquier nivel de producción, expresado en función de sus determinantes: 1.- La producción q. 2.- Los parámetros " y $, que son los exponentes que afectan a los factores productivos en la función de producción, y que representan la elasticidad producto del factor al que afectan; su suma, que es el coeficiente de la función, nos dice cómo son los rendimientos de escala. Es decir, los exponentes (", $) son los parámetros que describen la tecnología. La letra B resume la expresión entre corchetes de la última línea de ecuaciones, que solo contiene términos " y $, y , por lo tanto, resume la componente tecnológica. 3.- Los precios de los factores, w y r. Si consideramos dados la tecnología y los precios de los factores, los costes dependerán únicamente de la cantidad producida. Y diremos, que el coste de producción depende de la cantidad producida, ceteris paribus; es decir, suponiendo constantes todos los otros determinantes de los costes: la tecnología (", $) y los precios de los factores productivos (w, r). Si se modificara la tecnología o los precios de los factores la curva de costes se desplazará hacia arriba o hacia abajo. La función de producción de Cobb-Douglas en su forma general incluye un coeficiente A, cuya misión es garantizar la consistencia dimensional entre los dos lados de la ecuación de la función de producción, ya que K, L y q se miden en unidades físicas más que en sus valores monetarios, es decir, que la función de producción será en su expresión general: q = A K" L$ y en la expresión final de la función de costes la A aparecería dividiendo a toda la expresión: . Por ejemplo, si la función de producción del enunciado para los valores de " y $ indicados, la multiplicamos por A = 10, será y su función de coste: , puesto que