• Author / Uploaded
• DE

Citation preview

somos

#

link

UNIDAD 07 | TRIGONOMETRÍA | MATEMÁTICAS

07

Consulta la versión digital de esta unidad

TRIGONOMETRÍA

154-155 PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD 154

07

Trigonometría

¿Qué tipo de dificultades preveo que puedo tener en esta unidad a la vista de los contenidos que se van a tratar?

Observa las imágenes y enumera los distintos tipos de triángulos que veas. Exponed luego en clase dicha enumeración y clasifica los triángulos según sus lados y sus ángulos.

Sugerencias metodológicas •

















•









•





























































•













































































•











•



-



-



INNOVACIÓN EDUCATIVA > Aprendizaje cooperativo Emplear la estructura MEJOR ENTRE TODOS para visualizar y sacar conclusiones sobre lo que este inicio de unidad pretende.

> Metacognición El alumno debe responder a la pregunta que para tal objeto está planteada en esta página, reconocible con el icono de circunferencias concéntricas. Al finalizar la unidad el alumno deberá dar respuesta a otra pregunta, que bajo el título DIARIO DE APRENDIZAJE pretende comprobar si se han conseguido las expectativas iniciales.

122

116084_MATEMATICAS_ACAD_4_ESO_LP_u7.indd 122

30/6/16 9:45

MATEMÁTICAS | TRIGONOMETRÍA | UNIDAD 07

156-157 01. MEDIDAS DE ÁNGULOS: EL RADIÁN 02. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO 156

07 Trigonometría

157

01 Medidas de ángulos: el radián

02 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo A continuación, vamos a estudiar las relaciones existentes entre los ángulos agudos de un triángulo rectángulo.

Un ángulo es la región de plano limitada por dos semirrectas de origen común llamado vértice. Los sistemas de unidades utilizados para medir ángulos son: · 3 600

Sistema sexagesimal

· 60

Minuto

60

lo

Segundo

60

án

α

r; entonces, una circunferencia tiene 2 rad o 360°.

ACTIVIDAD RESUELTA

π 2

circunferencia, con lo que mide

rad o 180°.

• Un

ángulo recto es el ángulo que se forma cuando se cortan dos semirrectas perpendiculares, con lo que su arco es la cuarta parte de la circunferencia y mide π rad o 90°. 2

π

2π

3π 2

De este modo, para convertir ángulos de grados a radianes, y viceversa, se utiliza la siguiente equivalencia: 180° = rad

a.

2π 5

α

cateto contiguo b = a hipotenusa

α

cateto opuesto c = cateto contiguo b

α

El seno, el coseno y la tangente tienen razones inversas que se denominan, respectivamente, cosecante, secante y cotangente:

3π rad = 3 π rad · 180° = 270° 2 2 π rad

Cosecante de un ángulo α

60° = 60° · π rad = π rad 180° 3

α

1 =a sen a c

Secante de un ángulo α α

1 =a cos a b

Cotangente de un ángulo α 1 =b tg a c

α

ACTIVIDADES

b.

c.

b.

c.

2π 3

5

8

d.

2 a.

α

α

3π 2

ACTIVIDADES

1

Tangente de un ángulo α

α cateto opuesto c = a hipotenusa

1

• El arco de un ángulo llano es la mitad de la

Cateto opuesto

Como los catetos son menores que la hipotenusa, tanto el seno como el coseno son números comprendidos entre 0 y 1, mientras que la tangente puede tomar cualquier valor positivo:

En consecuencia, los ángulos fundamentales miden los siguientes radianes:

• La longitud de la circunferencia es L = 2

Coseno de un ángulo α

α

r

c b

Cateto contiguo

Seno de un ángulo α

r

radi

3 600

a

α

Se definen del siguiente modo:

d= itu ng

Grado

sa

nu

Hip

y 90°, y sus lados.

Sistema circular

· 60

ote

Las razones trigonométricas son las relaciones que se establecen entre los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, que están comprendidos entre 0°

d.

9 a.

6

10

B’ B

b.

3 7

4

c.

α A

C

C’

SOLUCIONES PÁG. 156

1

a. 72º

b. 200,54º

c. 120º

d. 85,94º

2

a. π rad 9

b. 3π rad 4

c. 7π rad 6

d. 19π rad 6

3

Un radian equivale a 57,3º. Un grado equivale a 0,02 rad.

4

Es mayor un radián que un grado sexagesimal.

5

Los tres ángulos en grados sexagesimales miden 60º, 36º y 84º, respectivamente, y en radianes miden 0,2π, π y 7π . 3 15

6

Respuesta abierta.

7

El ángulo interior de un hexágono mide 120º, es decir, 2π rad. 3

SOLUCIONES PÁG. 157

8

b. La hipotenusa del triángulo mide 20,5 cm.

a. El cateto opuesto al ángulo α mide 36 cm. sen α = 0,96

sen β = 0,28

cos α = 0,28

cos β = 0,96

tg α = 3,43

tg β = 0,29

cosec α = 1,04 cosec β = 3,57 sec α = 3,57

sec β = 1,04

cotg α = 0,29

cotg β = 3,43

sen α = 0,98

sen β = 0,22

cos α = 0,22

cos β = 0,98

tg α = 4,45

tg β = 0,22

cosec α = 1,02 cosec β = 4,54 sec α = 4,54

sec β = 1,02

cotg α = 0,22

cotg β = 4,45

c. El cateto contiguo al ángulo α mide 5,25 cm sen α = 0,69

sen β = 0,72

cos α = 0,72

cos β = 0,69

tg α = 0,95

tg β = 1,05

cosec α = 1,45 cosec β = 1,39 sec α = 1,39

sec β = 1,45

cotg α = 1,05

cotg β = 0,95

123

116084_MATEMATICAS_ACAD_4_ESO_LP_u7.indd 123

30/6/16 9:45

UNIDAD 07 | TRIGONOMETRÍA | MATEMÁTICAS

SOLUCIONES PÁG. 157

9

10 sen α = 0,38

sen β = 0,92

cos α = 0,92

cos β = 0,38

tg α = 0,42

tg β = 2,38

AB' = r · AB AB' = AC' = B'C' = r ò AC' = r · AC AB AC BC B'C' = r · BC

cosec α = 2,63 cosec β = 1,09 sec α = 1,09

sec β = 2,63

cotg α = 2,38

cotg β = 0,42

Al ser triángulos semejantes, se cumple que:

r · BC BC = sen α = B'C' = AB' r · AB AB r · AC AC = cos α = AC' = AB' r · AB AB r · BC BC = tg α = BC' = Ac' r · AC AC

INNOVACIÓN EDUCATIVA > Aprendizaje cooperativo Leer el texto que introduce este epígrafe utilizando la estructura LECTURA COMPARTIDA. Guardar un tiempo para resolver dudas a través de una PARADA DE TRES MINUTOS. Emplear la estructura LÁPICES AL CENTRO para resolver las actividades y para corregirlas emplear la estructura NÚMEROS IGUALES JUNTOS.

158-159 03. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS 07 Trigonometría

159

03 Razones trigonométricas de algunos ángulos

03.2 Razones trigonométricas de un ángulo de 45° Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo de 45°, se parte de un triángulo rectángulo isósceles, ya que sus ángulos agudos son iguales a 45°, como se aprecia en la figura del margen.

Los ángulos de 30°, 45° y 60° son muy utilizados, y sus razones trigonométricas se pueden calcular de forma sencilla.

a

a = b 2 + b 2 = 2b 2 = b 2

h

60°

b= b = 1 = 2 a b 2 2 2

2 2 2 a 3 h = a – b = a – a = a 2 – a = 3a = 2 4 4 2

b= b = 1 = 2 a b 2 2 2

b b

2

ACTIVIDAD RESUELTA

Finalmente, se hallan las razones trigonométricas a partir de su definición:

Razones trigonométricas de 30° a b=2=1 a a 2

Razones trigonométricas de 60° a 3 h= 2 = 3 a a 2

Relaciones entre las razones trigonométricas de 30° y 60° 1 2

2 3 3 a 3 h= 2 = 3 a a 2 2 3 3 a b= 2 = 1 = 3 h a 3 3 3 a 32 h= 2 = 3 a b 2

2 h = ⇒ 2 3

3 2 2

⇒

2 b = ⇒ 2 3

3 2 2

⇒

a 3 h= 2 = 3 a b 2

2 3 3

ACTIVIDADES

3 3

11

h 45° b

3 2

a b=2=1 a a 2

13

3

a b= 2 = 1 = 3 h a 3 3 3 2

n ulo

eno

oseno

Tan ente

3 3

14 a.

2 2

ACTIVIDAD RESUELTA

b. 1 2

15

12

h

3=h⇒ 2

b

Razones trigonométricas de 45°

b

Se sabe que b es la mitad que a, y la altura, h, se calcula en función de a y b, utilizando el teorema de Pitágoras: 2

b

45°

Se hallan las razones trigonométricas a partir de su definición:

Para hallar las razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°, se parte de un triángulo equilátero, ya que todos sus ángulos miden 60°. Si se divide uno de estos ángulos por una de sus alturas, se obtienen dos triángulos rectángulos de ángulos agudos 30° y 60°, como se indica en la figura del margen.

2

45°

a

Se calcula la hipotenusa en función de los catetos, utilizando el teorema de Pitágoras:

30°

03.1 Razones trigonométricas de los ángulos de 30° y de 60°

3m

158

a.

60º

2 3

b.

2m

SOLUCIONES PÁG. 159

11

Ángulo

Seno

Coseno

Tangente

30º

1 2

3 2

3 3

45º

2 2

2 2

1

60º

3 2

1 2

3

12

_ 2b 2 b` ò 6 = 2 ò d = 12 = 8,49 cm d 2 6 2 cos 45° = bb d a Aplicando Pitágoras: cos 45° =

d = 6 2 + 6 2 = 36 + 36 = 8,49 cm 124

116084_MATEMATICAS_ACAD_4_ESO_LP_u7.indd 124

30/6/16 9:45

MATEMÁTICAS | TRIGONOMETRÍA | UNIDAD 07

SOLUCIONES PÁG. 159

13

Si forma un ángulo de 30º estará a 50 m, si forma un ángulo de 45º estará a 70,7 m y si forma un ángulo de 60º estará a 86,7 m del suelo.

14

a.

2 3 5 3+9 2 3 + + + 2= 2 2 3 6

b.

2+4 3 2 2 1 + 1= · + · 3= 4 4 2 2 3

15

a. Los ángulos agudos miden 30º y 60º. b. El otro cateto mide 7,79 cm.

INNOVACIÓN EDUCATIVA > Aprendizaje cooperativo Tras la exposición de los contenidos dar un tiempo para resolver dudas a partir de la estructura PARADA DE TRES MINUTOS. Para realizar las actividades emplear la estructura LÁPICES AL CENTRO. Para la corrección seguir la estructura EL NÚMERO.

160-161 04. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA 160

07 Trigonometría

161

04 Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

04.2 Razones trigonométricas de los ángulos que coinciden con los ejes Las razones trigonométricas de los ángulos que coinciden con los ejes, se hallan aplicando el mismo razonamiento que en el caso de un ángulo cualquiera. De este modo:

Para hallar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, se emplea una circunferencia de centro 0 y radio 1, circunferencia goniométrica, situada en un sistema de ejes cartesianos que divide el plano en cuatro cuadrantes.

n ulos

Y 0° X

180°

360°

Situamos sobre la circunferencia goniométrica un punto cualquiera, P (x , y). Las razones trigonométricas del ángulo α comprendido entre el semieje positivo de abscisas y el segmento OP se definen como:

α

ordenada y = radio 1

α

abscisa x = radio 1

α

270°

ordenada y = x abscisa

P (x , y) 1

0

0

19 a.

b.

2π 3

c.

e.

d.

f.

g.

π 5

h.

b.

c.

d.

20

5π 4

17

El signo de las razones trigonométricas en los distintos cuadrantes depende del signo de la ordenada, y, y de la abscisa, x, del ángulo que estemos considerando.

α

a.

Tercer cuadrante 180° < α < 270°

Y

0

1

1

X

04.1 Signo de las razones trigonométricas según el cuadrante

Y

Tan ente

1 0

0

16

y x

y

α x

a.

Segundo cuadrante 90° < α < 180°

oseno

0 1

ACTIVIDADES

Y

O

Primer cuadrante 0° < α < 90°

eno

90°

Se toma como origen de medida de ángulos el semieje positivo de abscisas y se considera como sentido positivo el sentido contrario al de las agujas del reloj.

Cuarto cuadrante 270° < α < 360°

Y

Y

b.

α

c.

α

d.

α

21

α α

22

α α

ACTIVIDAD RESUELTA 1 α 1

1

1

α

2

2

X

X

α

1

α

X

2

2

18

1 2

a.

Resumiendo, los signos de las razones trigonométricas, según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo, son los siguientes:

1

2

1

1

2

1

2

2

d.

130

1

100°

40 30

2

1

2

1

1

2

2

1

0,5

120

150 160

20

170

10

180

0

0

110

140

eno oseno

90

1,5

b.

cuadrante

80

cuadrante

70

er

60

cuadrante

100

cuadrante

50

er

c.

X 2

0

0,5

1

1,5

Tan ente

SOLUCIONES PÁG. 161

16

17

a. Primero.

c. Tercero.

b. Tercero.

d. Cuarto.

Ángulo

Cuadrante

sen

cos

tg

198º

3.º

–

–

+

2π rad 3

2.º

+

–

–

18

Actividad resuelta.

45º

1.º

+

+

+

19

a. sen 48º = 0,74

294º

4.º

–

+

–

95º

2.º

+

–

–

π rad 5

1.º

+

+

+

5 rad

4.º

–

+

–

5π rad 4

3.º

–

–

+

cos 48º = 0,67 tg 48º = 1,1

125

116084_MATEMATICAS_ACAD_4_ESO_LP_u7.indd 125

30/6/16 9:45

UNIDAD 07 | TRIGONOMETRÍA | MATEMÁTICAS

SOLUCIONES PÁG. 161 b. sen 300º = –0,87 cos 300º = 0,5

20

Sus razones trigonométricas son las mismas porque se corresponden con el mismo ángulo, al ser un ángulo agudo de dos triángulos rectángulos semejantes. Esta situación la explica el teorema de Tales.

21

La tangente de un ángulo es por definición el cociente del cateto

tg 300º = –1,73

c. sen 210º = –0,5 cos 210º = –0,87 tg 210º = 0,58 opuesto entre el cateto contiguo. Para el ángulo de 90º, tg 90º = 1 ; 0 como no es posible dividir entre 0, la tangente de 90º no existe. Del mismo modo ocurre con la tangente de 270º, ya que tg 270º = –1 . 0

d. sen 130º = 0,77 cos 130º = –0,64

22

tg 130º = –1,19

a. Ninguna.

c. Seno.

b. Tangente.

d. Coseno.

INNOVACIÓN EDUCATIVA > Aprendizaje cooperativo Tras la exposición de los contenidos, emplear la estructura PARADA DE TRES MINUTOS. Realizar dos o tres turnos de preguntas. Los alumnos del equipo podrán alternar en el papel de portavoz. Con la estructura MEJOR ENTRE TODOS, resolver las actividades y corregirlas con la estructura NÚMEROS IGUALES JUNTOS.

162-163 05. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 162

07 Trigonometría

163

05 Relaciones entre las razones trigonométricas

ACTIVIDAD RESUELTA

Las razones trigonométricas están relacionadas entre sí de modo que, conociendo una de ellas, se pueden calcular las demás.

Relación entre la tangente, el seno y el coseno

a

α

c

α

2

2

b.

2

2 2 2 2 2 2 sen 2 α + cos2 α = c + b = c 2 + b 2 = c +2b = a 2 = 1 a a a a a a

c.

α

1 cos 2 a

Observa 2

α

2

α

2

α

α α

b.

α

α

α

α

sen a = 0,8 cos a 0,6

α

0,64

2 3

d.

α

e.

α

h.

f.

α

i.

1 2

g.

α)2 α)2

Si dividimos la relación fundamental de la trigonometría entre sen2 α, se obtiene: sen 2 a + cos 2 a = 1 ò sen 2 a + cos 2 a = 1 ò 1 + cotg 2 a = 1 sen 2 a sen 2 a sen 2 a sen 2 a sen 2 a sen 2 a

1 sen 2 a

α α α

2 5 5

d.

α

f. g. h.

4 3 7 2

α 7 3

α α α

α

b.

α

c.

α

d.

α

26 α

α

a.

1 sec 2 a

b.

α

e.

α α

f. g.

2

α

2

α α

c. d.

α α

3 3 5 3

a.

α 5 3 3

α

c.

α

5 4

α

e.

α

2 5

α

α)2

Relación entre la cotangente y el seno

2

⇒

2

α

α

a.

Si dividimos la relación fundamental de la trigonometría entre cos2 α, resulta:

2

α

2 2

24

α

Relación entre la tangente y el coseno cos 2 a + sen 2 a = 1 ò cos 2 a + sen 2 a = 1 ò 1 + tg 2 a = 1 cos 2 a cos 2 a cos 2 a cos 2 a cos 2 a cos 2 a

⇒ ⇒

25 a.

2

α α

23

Se consideran las definiciones de seno y coseno a partir del triángulo rectángulo, sen α = c y cos α = b , así como el teorema de Pitágoras, a2 = b2 + c2: a a

α

2 2

ACTIVIDADES

sen a cos a

Relación fundamental de la trigonometría

2

α

b

Dado el triángulo rectángulo, se observa que: _ c b tg a = b b bb c sen a ` ò tg a = cos a sen a = a = c b cos a b b b b a a

α

α

α

A continuación, consideramos el triángulo rectángulo del margen y enunciamos las diversas relaciones existentes entre las distintas razones trigonométricas.

α

α

α

α α

1 + 1 = 1 sen 2 a cos 2 a sen 2 a · cos 2 a α

α

α

1 1 + cotg 2 a 1+

1 1 tg 2 a

2

2

α

α

126

116084_MATEMATICAS_ACAD_4_ESO_LP_u7.indd 126

30/6/16 9:45

MATEMÁTICAS | TRIGONOMETRÍA | UNIDAD 07

SOLUCIONES PÁG. 163

23 a. cos α = 0,70

24

b. sen α = 0,93

cos α = 0,37

c. sen α = 0,92

tg α = 2,29

d. sen α = 0,75

tg α = 1,12

e. cos α = 0,98

tg α = 0,18

f. sen α = 0,98

tg α = 5

g. sen α = 0,52

cos α = 0,85

h. cos α = 0,96

tg α = 0,29

i. sen α = 0,91

tg α = 0,41

a. sen α = –

2 5 5

b. sen α = 3 5 c. sen α = –

5 5

cos α = –

cos α = – 4 5 3 5

cos α =

22 5

d. sen α = – 3 5

cos α = – 4 5

e. sen α = 2 7

cos α =

3 5 7

c. 1 + tg2 α =

1 ⇒ 1 + 0,52 = 1 ⇒ 1 + 1 = 1 ⇒ 4 cos 2 a cos 2 a cos 2 a

⇒ 5 = 12 ⇒ cos α = 4 cos a

4=2 5 5 5

Como el coseno es el doble, el seno valdrá la mitad del coseno, por lo que: 2

cos2 α + sen2 α =

2

2 5 5 + =4+1 =1 5 5 5 5

Como se cumple la relación fundamental de la trigonometría, sí es cierto. d. cos2 α + sen2 α = 0,952 + 0,482 = 0,902 5 + 0,230 4 ≠ 1 Con lo que no puede ser posible.

tg α = 2 tg α = – 3 4 tg α = –

66 22

tg α = 3 4 tg α =

2 5 15

f. sen α = –

2 10 7

cos α = 3 7

tg α = –

g. sen α = –

3 2

cos α = – 1 2

tg α = 3

cos α = – 4 5

tg α = – 3 4

h. sen α = 3 5

25

tg α = 1,01

2 10 3

a. No es posible que exista un ángulo α cuyo coseno sea 0,3 y su seno sea el doble que el coseno: cos2 α + sen2 α = 0,32 + 0,62 = 0,09 + 0,36 = 0,45 ≠ 1 b. Supongamos que la tangente sea x y su seno sea, por tanto, 2x, entonces: tg α = sen a ⇒ x = 2x ⇒ cos α = 2x cos a x cos a Aquí consideramos dos casos: • Si x ≠ 0, entonces cos α = 2x = 2, que es imposible, ya que el x coseno es un número entre –1 y 1. • Si x = 0, habría que encontrar un ángulo α < 90º tal que sen α = 0, y tg α = 0, que es el ángulo α = 0º.

26

a. No es cierto, ya que

1 = cos2 α ≠ sen2 α · cos2 α sec 2 a

b. Sí es cierto, ya que: 2 2 tg α + cotg α = sen a + cos a = sen a + cos a = cos a sen a cos a · sen a 1 = = 1 · 1 = sec α · cosec α cos a · sen a cos a sen a

c. Sí es cierto, ya que: cotg α · sec α = cos a · 1 = 1 = cosec α sen a cos a sen a d. Sí es cierto, ya que: 1 + 1 = cos 2 a + sen 2 a = 1 sen 2 a cos 2 a sen 2 a · cos 2 a sen 2 a · cos 2 a e. Sí es cierto, ya que: tg α · cosec α = sen a · 1 = 1 = sec α cos a sen a cos a f. No es cierto, ya que: 1 = 1 + cotg 2 a =

1 1 = = 2 sen 2 a + cos 2 a cos a 1+ sen 2 a sen 2 a

1 = sen2 α ≠ cos2 α 1 sen 2 a

g. Sí es cierto, ya que: 1 1+

1

tg 2 a

=

1 1 = = 1 = sen2 α 2 1 sen 2 a + cos 2 a cos a 1+ sen 2 a sen 2 a sen 2 a

INNOVACIÓN EDUCATIVA > Aprendizaje cooperativo Tras la exposición de los contenidos, emplear la estructura PARADA DE TRES MINUTOS. Resolver las actividades con la estructura 1-2-4. La corrección se puede hacer con la estructura UNO POR TODOS.

127

116084_MATEMATICAS_ACAD_4_ESO_LP_u7.indd 127

30/6/16 9:45

UNIDAD 07 | TRIGONOMETRÍA | MATEMÁTICAS

RECURSOS Ampliación A-07-01. Razones trigonométricas (1)

A-07-02. Razones trigonométricas (2)

En formato digital, descargable desde www.somoslink.com

En formato digital, descargable desde www.somoslink.com

Con soluciones.

Con soluciones.

164-165 06. REDUCCIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS AL PRIMER CUADRANTE 07 Trigonometría

165

06 Reducción de las razones

06.4 Ángulos complementarios Dos ángulos son complementarios cuando suman 90°.

trigonométricas al primer cuadrante

Y

06.1 Reducción del segundo cuadrante al primero. Ángulos suplementarios

α

α

α

α

α

90

x

º�

α

Dado un ángulo cualquiera comprendido entre 90° y 360°, existe un ángulo en el primer cuadrante cuyas razones trigonométricas son iguales, en valor absoluto, a las del ángulo dado.

=

164

α

y

x

y

X

1 tg a

α

Un ángulo del segundo cuadrante es suplementario de su ángulo reducido del primer cuadrante.

06.5 Ángulos mayores de 360°

Y = 180º 2 α y

α

α

α

α

α

y α 2x

x

X

ACTIVIDADES

Un ángulo del tercer cuadrante y su ángulo reducido del primer cuadrante difieren en 180°.

27 Y

= 180º 1 α

α

α α

α

170

Por ejemplo, el ángulo 890°, es equivalente al ángulo 170°, que está en el segundo cuadrante.

α

06.2 Reducción del tercer cuadrante al primero. Ángulos que difieren en 180°

α

Observa

Si el ángulo es mayor de 360°, se puede reducir a un ángulo comprendido entre 0° y 360°. Para ello, se divide el ángulo entre 360 (sin realizar ninguna simplificación), de modo que el cociente es el número de vueltas que da el ángulo en cuestión, y el resto, el ángulo simplificado.

α

2x

y x

2y

31 a.

d.

g.

b.

e.

h.

f.

i.

c.

28

α

a. b.

X

α

a.

06.3 Reducción del cuarto cuadrante al primero. Ángulos opuestos

b.

29 Y

α

α

α

α

α

α

α

c.

α α

d.

15

α

e.

α

f.

α

α

e.

α

f.

α

α

t α

α

t α

α

α

α α

α

a. y α x �α �y

α

d.

α

Un ángulo del cuarto cuadrante es opuesto al ángulo correspondiente del primer cuadrante.

α

c.

α

32

α

α

b.

α X

30

α

α

α

α

SOLUCIONES PÁG. 165

27

a. sen 135º = sen (180º – 45º) = sen 45º =

2 2

b. tg 150º = tg (180º – 30º) = –tg 30º = –

3 3

c. cos 315º = cos (–45º) = cos 45º =

29

a. sen α =

15 ; cos α = 1 4 4

b. Razones trigonométricas del ángulo complementario: sen (90° – α) = cos α = 1 4

2 2

d. tg 300º = tg (–60º) = –tg 60º = – 3 tg (90° – α) =

2 e. cos 225º = cos (180º + 45º) = –cos 45º = – 2

sen (180° – α) = sen α =

g. cos 210º = cos (180º + 30º) = –cos 30º = –

15 4

cos (180° – α) = –cos α = – 1 4

3 2

tg (180° – α) = –tg α = – 15

3 2

Razones trigonométricas del ángulo opuesto:

i. tg 240º = tg (180º + 60º) = tg 60º = 3

28

15 15

Razones trigonométricas del ángulo suplementario:

f. sen 330º = sen (–30º) = –sen 30º = – 1 2

h. sen 120º = sen (180º – 60º) = sen 60º =

15 4

cos (90° – α) = sen α =

sen (–α) = –sen α = –

a. sen α = –0,6

d. cos (180º + α) = 0,8

b. tg α = 0,75

e. cos (–α) = –0,8

cos (–α) = cos α = 1 4

c. cos (180º – α) = 0,8

f. tg (180º + α) = –0,75

tg (–α) = –tg α = – 15

30

15 4

Si el seno es negativo puede encontrarse en el tercer o en el cuarto cuadrante.

128

116084_MATEMATICAS_ACAD_4_ESO_LP_u7.indd 128

30/6/16 9:45

MATEMÁTICAS | TRIGONOMETRÍA | UNIDAD 07

SOLUCIONES PÁG. 165

31

tg α = 3

sen α

2 5 5

3 10 10

2 6 5

cos α

5 5

10 10

6 12

sen (180º + α)

–

1 5

cos (180º – α)

–

6 12

tg (90º – α)

1 5

1 5

sen (–α)

2 6 5

2 6 5

cos (90° – α)

4.º cuadrante

–1 5

–1 5

2 6 5

tg α

6 12

–

sen (180º – α)

1 5

tg (180º + α)

6 12

sen (–α)

sen α cos α

–

cos (–α)

–

32

tg α = 2

3.º cuadrante

–

2 5 5

–

5 5

–

3 10 10

1 2 –

2 5 5

2 5 5

10 10 1 3

–

3 10 10

3 10 10

INNOVACIÓN EDUCATIVA > Aprendizaje cooperativo Tras la exposición de los contenidos, emplear la estructura PARADA DE TRES MINUTOS. Resolver las actividades con la estructura MEJOR ENTRE TODOS. La corrección se puede hacer con la estructura EL NÚMERO. RECURSOS Refuerzo R-07-02. Razones trigonométricas (1)

R-07-03. Razones trigonométricas (2)

En formato digital, descargable desde www.somoslink.com

En formato digital, descargable desde www.somoslink.com

Con soluciones.

Con soluciones.

166-167 07. APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA 166

07 Trigonometría

167

ACTIVIDAD RESUELTA

07 Aplicaciones de la trigonometría

Pueblo A

Teodolito

6 km

Son numerosas las aplicaciones de la trigonometría que nos ayudan a resolver situaciones de la vida cotidiana, como el cálculo de longitudes en polígonos, áreas y volúmenes, el cálculo de distancias y alturas inaccesibles, etc.

Pueblo B

Ermita

sen 60° =

Pueblo A

ACTIVIDAD RESUELTA h x

6 km

z Pueblo B

60º y

Ermita 2

x 2 + h 2 = 1 2 + 3 3 = 1 + 27 = 2 7

4 km

_ sen 30° = h bb 2 ` ò h = 1 ò h = 1 ò h = 1cm 2 2 sen 30° = 1 bb 2a ⇒

60º

_ 4 km 3b 2 b` ò h = 3 ò h = 3 3 ò h = 3 3 km 6 2 sen 60° = h bb 6 a _ cos 60° = 1 bb y 1 2 `ò = ⇒ ⇒ y 6 2 cos 60° = bb 6a

Las razones trigonométricas, junto con el teorema de Pitágoras y el teorema de Tales, son las herramientas fundamentales que se utilizan para efectuar cálculos como los mencionados.

1 2

2 cm h α = 30° 4 cm

ACTIVIDADES

2

33

ACTIVIDAD RESUELTA

36 a. b.

a

34

α = 30° 10 cm

30º h 10 m

3 2 _ 3b 2 b` ò 5 = 3 ò a = 10 = 10 3 ò a = 10 3 cm a 2 3 3 5 3 cos 30° = a bb a 10 3 20 3 + 30 + 10 = 3 3 ⇒

cos 30° =

h

h

a2 – 52 =

10 3 3

2

– 25 =

5 3 3 = 25 3 ò A = 25 3 3 3

2

37

35 b

a = 10 m

10 ·

45º 42,3 m

_ 3b tg 30° = 3 b` ò h = 3 ò h = 5 3 5 3 3 tg 30° = h bb 5 a

b· h = 2

60º

60º

5 3 5 3 ò h= 3 3

2

120º

7 hm

a α = 30° 5 cm

150º

2

B = 30 m

c

150º

4 hm 30º

10 hm

129

116084_MATEMATICAS_ACAD_4_ESO_LP_u7.indd 129

30/6/16 9:45

UNIDAD 07 | TRIGONOMETRÍA | MATEMÁTICAS

SOLUCIONES PÁG. 167

33

36

a.

_ b b 3 `ò h = ò h = 3 3 cm 6 2 bb a 6·3 3 b · h A= = = 9 3 ≈ 15,59 ⇒ A = 15,59 cm2 2 2 3 2 cos 30° = h 6 cos 30° =

tg 60° = 3 = 10 + x ò a = 10 + x a 3

b. 116084_11_B

3 x 3 3 10 + x ò 3x = 10 + x ⇒ x = 5 m · = ò x = a= 3 a 3 3 3 La ventana de Paula está a 5 m. tg 30° =

37 Un hexágono consta de 6 triángulos equiláteros. _ 3b cos 30° = 2 b` ò h = 3 ò h = 4 3 cm 8 2 cos 30° = h bb 8 a 8·4 3 = 96 3 ≈ 166,28 ⇒ A = 166,28 cm2 A = 6 · b· h =6· 2 2

34 La altura del edificio es de 100,08 m. 35

Las longitudes del triángulo superior derecha son: sen 60° =

3 h' 7 3 hm = ò h' = 7 2 2

z = 14 2 – 7 2 = 147 ≈ 12,12 ⇒ z = 12,12 hm El área de dicho triángulo es: A1 = 14 · h' = 2 cos 30° =

3 h = ⇒h=5 3 m 2 10

sen 30° = 1 = x ⇒ x = 5 m 2 10 5 3 cos 60° = 1 = h ò 1 = ⇒ c = 10 3 m c 2 c 2 y 3 = sen 60° = ⇒ y = 15 m 2 10 3 b = B – (x + y) = 30 – (5 + 15) ⇒ b = 10 m P = 10 + 10 + 10 3 + 30 = 50 + 10 3 ≈ 67,32 ⇒ P = 67,32 m (B + b) · h (30 + 10) · 5 3 A= = = 100 3 ≈ 173,21 ⇒ A = 173,21 m2 2 2

7 3 2 = 49 3 ha 2 2

14 ·

Las dimensiones del triángulo inferior derecha son: tg 30° =

3 4 = ò h = 12 = 4 3 ≈ 6,93 ⇒ h = 6,93 hm 3 h 3

sen 30° = 1 = 4 ⇒ y = 8 hm 2 y El área de dicho triángulo es: 4·4 3 A2 = b · h = = 8 3 ha 2 2 El área del rectángulo es: A3 = b · h = 10 · 4 3 = 40 3 ha Con lo que el área total es: A = A1 + A2 + A3 = ⇒ A = 118,65 ha

49 3 137 3 + 8 3 + 40 3 = ≈ 118, 65 ⇒ 2 2

La longitud de valla que necesita es: P = 7 + 12,12 + 8 + 10 + 6,93 = 44,05 hm 130

116084_MATEMATICAS_ACAD_4_ESO_LP_u7.indd 130

30/6/16 9:45

MATEMÁTICAS | TRIGONOMETRÍA | UNIDAD 07

INNOVACIÓN EDUCATIVA > PBL. Aplicando la trigonometría Ver el enunciado en la página 213 del libro del alumno y el desarrollo completo en www.somoslink.com RECURSOS Ampliación A-07-03. Lectura matemática

A-07-04. Retos matemáticos

En formato digital, descargable desde www.somoslink.com

En formato digital, descargable desde www.somoslink.com

Con soluciones.

Con soluciones.

A-07-05. Estrategia matemática En formato digital, descargable desde www.somoslink.com Con soluciones.

168 HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS LA TRIGONOMETRÍA Y LA CALCULADORA CIENTÍFICA 168

07 Trigonometría

07 Trigonometría

169

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS

APRENDO A APRENDER

La trigonometría y la calculadora científica

Copia, completa e ilustra en tu cuaderno el siguiente mapa conceptual y después contesta a las preguntas. También lo puedes realizar en el ordenador con el programa CmapTools.

Con ayuda de la calculadora científica se pueden realizar operaciones en las que aparezcan ángulos y calcular tanto las razones trigonométricas del seno, el coseno y la tangente, como el ángulo que se corresponde con el valor de una de estas razones trigonométricas.

TRIGONOMETRÍA

Selección de la unidad de medida del ángulo

Razones trigonométricas

Medida de ángulos Teclas Pantalla sencilla

MODE

º ‘ ’’

2

Pantalla descriptiva

cos

º ‘ ’’

2

º ‘ ’’

5

2

º ‘ ’’

5

º ‘ ’’

6

2

cos

Grados sexagesimales

º ‘ ’’

6

=

Seno

•

2

α

2

α

• •

sin

sin-1

tan

cos

•

Cálculo de un ángulo correspondiente a una razón trigonométrica

Cálculo de razones trigonométricas

tan-1

cos-1

cos

ACTIVIDADES

sin

SHIFT SHIFT

tan

SHIFT

Teclas Pantalla sencilla Teclas

peraci n

Pantalla sencilla 4

Pantalla descriptiva

sin

5

sin

4

esultado

0

5

SHIFT

α

4

5

sin

0

1

5

2

6

=

5

Cálculo de una razón trigonométrica a partir de otra

eno

Tan ente

Teclas pantalla sencilla

º ‘ ’’

3

3

º ‘ ’’

1

2

SHIFT

osecante

tan

ecante

cos

4 a.

Teclas pantalla descriptiva SHIFT

n pantalla

Teclas SHIFT

º ‘ ’’

SHIFT

tan

1

7

oseno

α

Teclas º ‘ ’’

SHIFT

3

º ‘ ’’

7

sin

=

5

Cálculo de razones trigonométricas de ángulos en forma compleja

n ulo

Pantalla descriptiva

2

=

cos

9 10

b.

=

Ans

8

c.

esultado

11

d.

º ‘ ’’

e.

169 APRENDO A APRENDER 07 Trigonometría

169

APRENDO A APRENDER

ora científica

Copia, completa e ilustra en tu cuaderno el siguiente mapa conceptual y después contesta a las preguntas. También lo puedes realizar en el ordenador con el programa CmapTools.

zar operaciones en las onométricas del seno, nde con el valor de una

TRIGONOMETRÍA

Razones trigonométricas

Medida de ángulos Teclas Pantalla sencilla

º ‘ ’’

2

Pantalla descriptiva

cos

º ‘ ’’

5

º ‘ ’’

2

2

º ‘ ’’

5

º ‘ ’’

6

2

6

cos

Grados sexagesimales

º ‘ ’’

=

Seno

•

2

α

2

α

• • •

Cálculo de un ángulo correspondiente a una razón trigonométrica sin-1

tan-1

cos-1

sin

SHIFT SHIFT

cos

Teclas Pantalla sencilla 0

5

ACTIVIDADES

tan

SHIFT

SHIFT

Pantalla descriptiva sin

SHIFT

sin

0

5

1

5

2

6

=

3 Cálculo de una razón trigonométrica a partir de otra α

eno

1

Tan ente

2

SHIFT

osecante

tan

ecante

cos

4 a.

Teclas pantalla descriptiva SHIFT

tan

1

7

oseno

α Teclas pantalla sencilla

2

=

cos

Ans

=

8 9 10

b. c.

11

d. e.

131

116084_MATEMATICAS_ACAD_4_ESO_LP_u7.indd 131

30/6/16 9:45

UNIDAD 07 | TRIGONOMETRÍA | MATEMÁTICAS

TRIGONOMETRÍA estudia

Razones trigonométricas

Medida de ángulos puede ser en

que son

Radianes Grados sexagesimales

Seno

cuya equivalencia es

Coseno

se relacionan entre sí con las expresiones

Tangente

• sen2 α + cos2 α = 1

sus inversas son

• tg α =

180° = π rad Cosecante

Secante

Cotangente

sen a cos a

• 1 + tg2 α =

1 cos 2 a

• 1 + cotg2 α =

1 sen 2 a

SOLUCIONES PÁG. 169

1 2

0°

90°

180° 270°

Seno

0

1

0

Coseno

1

0

Tangente

0

Cosecante

La relación fundamental del al trigonometría es: cos2 α + sen2 α = 1

Las razones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son el seno, el coseno y la tangente, siendo sus inversas la cosecante, la secante y la cotangente, respectivamente.

3

4

6

Para medir ángulos se utilizan los grados sexagesimales y los radianes, de modo que π rad equivalen a 180º.

30°

60°

45°

1

1 2

3 2

2 2

–1

0

3 2

1 2

2 2

b

0

b

3 3

3

1

b

1

b

1

2

2 3 3

2

Secante

1

b

–1

b

2 3 3

2

2

Cotangente

b

0

b

0

3

3 3

1

Otras relaciones importantes son: tg α = sen a cos a

7

1 + tg2 α =

1 cos 2 a

1 + cotg2 α =

1 sen 2 a

sen (180° – α) = sen α cos (180° – α) = –cos α tg (180° – α) = –tg α

8

sen (180° + α) = –sen α cos (180° + α) = –cos α tg (180° + α) = tg α

9

sen (90° – α) = cos α cos (90° – α) = sen α tg (90° – α) = 1 tg a

10

sen (–α) = –sen α cos (–α) = cos α tg (–α) = –tg α

a. Falso, está entre –1 y 1. b. Falso, sí puede.

11

c. Verdadero.

Respuesta abierta.

d. Verdadero. e. Falso, la suma de sus cuadrados es igual a la unidad.

5

1.er 2.º 3.er 4.º cuadrante cuadrante cuadrante cuadrante Seno

+

+

–

–

Coseno

+

–

–

+

Tangente

+

–

+

–

132

116084_MATEMATICAS_ACAD_4_ESO_LP_u7.indd 132

30/6/16 9:45

MATEMÁTICAS | TRIGONOMETRÍA | UNIDAD 07

INNOVACIÓN EDUCATIVA > Aprendizaje cooperativo Para completar el esquema de los contenidos de la unidad se puede utilizar la estructura MAPA CONCEPTUAL A CUATRO BANDAS. Una vez completado el esquema, se puede aplicar la estructura CADENA DE PREGUNTAS para repasar los contenidos. RECURSOS Refuerzo R-07-01. Vocabulario matemático En formato digital, descargable desde www.somoslink.com Con soluciones.

170-173 REPASO FINAL Y EVALUACIÓN 170

07 Trigonometría

171

REPASO FINAL

6

12

1 2π 6

c.

3π 5

e.

3π 4

g.

173

d.

f.

h.

7

g.

f.

h.

18

13 a.

2π 5

3

a.

d.

g.

b.

e.

h.

c.

f.

i.

b.

14

α

c.

α

d.

α α

e.

α

f.

α

19 c.

a.

c.

b.

d.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA

c.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

a.

ACTIVIDAD RESUELTA

a.

α

2 cm

α

c.

a

β

α

c

8,75

α

α

β

Pantalla sencilla Pantalla descriptiva

0

SHIFT

α

0

22

2

SHIFT

sin

2

α

e.

4.

22

0

4

d.

6 5

α

α 2

4

24

22

f.

2

4

22

22 24 24

α

α

1 sen a

g.

α α

41 4

α α

b.

f.

2

27

α

α

2 9

α

i.

α

3 5

2 α ⇒ ⇒

α

⇒ α 2 α

α

2 2

α

α

⇒

α

b.

⇒

2

2

α

•

α

•

α

α

c.

α

d.

α

e.

α

f.

α

α

α

α2

α

c.

b.

α

d.

α α

b.

cos a – sec a cos a + sec a

e. 1 –

c.

cos 2 a 1 – sen a

f.

sen a · cotg a cosec a · tg a α

α

2

α

f.

2

b.

cos 2 a 3

c.

α

2

α

α

d.

α

e. f.

2

α

α

α

d.

c.

2 3 3+ 2 + d. 2 6 2

b.

d.

3+ 2 2

6 10

α b.

a.

b.

α

c.

d.

α

α

c.

d.

sen 3 a + sen a · cos 2 a cos a 2

α

b.

α

α

c.

b.

c.

d.

α

d.

9 α

d

11 h

36

cm 25º 6 cm

a.

α

α 2

1+ 2 2

a.

8 cm

α

20º

b.

2

c.

2

d.

2

30º

a. x

32

2

10

31

1 2

α

a.

d.

4π 9

8

α

e.

30

24

tg 2 a + 1 d. cotg 2 a + 1

c.

a.

a.

35 α

b.

tg 2 a – sec 2 a a. 1 + cotg 2 a

b.

7

α

a.

29

α2

c.

6

α

APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA 1 ⇒α 2

c.

b.

5 α

α

28

x =1 ⇒* 1 2 x 2 = –3

b.

4

34

a.

α

a.

α 5 2

a.

h

h.

9π 4

3 Tierra

α

α α

a.

a.

S (3,04 , 22,6)

a.

e.

d.

α

α

α

2 2 1 4

d

b.

α

1 3

α

c.

b.

a.

21

2 0

f.

α α

e.

4

α

α

a.

26

α

c. 2

22

Q (23,71 , 1,52) 4

24

10 11

b.

2 0

22

24 R (21,1 , 23,85)

2

0

24

4

24

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS 2

sin

d.

b.

4

22

2.

4 cm

Teclas en la calculadora

3.

sen a = cotg 2 a 1 + tg 2 a

20

d.

α

a

4,2 cm

cm

P (2,14 , 3,39)

4

24

α

2 cm

2,5

c.

2

d.

c β

α

a. 1.

9,25 cm

4,8 cm

b.

b.

16

cm

β

a.

c.

15

9

cos a = 1 + sen a 1 – sen a

c.

a.

2

Satélite 100°

2

23

b.

b.

b.

1

33

25

ACTIVIDAD RESUELTA

a. a.

1 = cosec 2 a (1 + cos a) · (1 – cos a)

d.

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

8

4

a.

km

b.

b.

e.

d.

66

g.

α

f.

c.

b.

63

h.

e.

α

d.

a.

=

f.

c.

α

b.

REDUCCIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS AL PRIMER CUADRANTE

22

17

32 a.

α

e.

rra

d.

a.

3π 2

α

c.

EVALUACIÓN

R Tie

b.

α

a.

2

5

07 Trigonometría

REPASO FINAL

MEDIDAS DE ÁNGULOS: EL RADIÁN

a.

172

b.

c.

d.

y 115,5 m

DIARIO DE APRENDIZAJE

α

SOLUCIONES PÁG. 170 MEDIDAS DE ÁNGULOS: EL RADIÁN

1 2

3 4

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

a. 60º

c. 108º

e. 135º

g. 270º

b. 257,83º

d. 148,97º

f. 450º

h. 216º

5

Actividad resuelta.

6

a. α = 78º 31’ 17,97’’ = 1,37 rad

a. 7π rad 36

e. 10π rad 9

b. α = 19º 56’ 54,4’’ = 0,35 rad

b. 7π rad 18

f. 5π rad 9

d. α = 19º 52’ 36,75’’ = 0,35 rad

c. 13π rad 9

g. 5π rad 2

f. α = 70º 1’ 0,82’’ = 1,22 rad

d. 19π rad 18

h. 29π rad 18

Los tres ángulos en grados sexagesimales miden 20º, 72º y 88º, respectivamente. En radianes son 2π , π y 22π , respectivamente. 5 9 45

c. α = 15º 6’ 34,47’’ = 0,26 rad e. α = 50º 12’ 29,45’’ = 0,88 rad

7

a. sen (87º) = 0,99

f. tg (1,2 rad) = 2,57

b. cos (32º 45’ 6’’) = 0,84

g. cos (7º 54’’) = 0,99

c. sen (78º 55’) = 0,98

h. tg (76º 34’ 45’’) = 4,19

d. tg (1,1 rad) = 1,96

i. cos (56º 25’’) = 0,55

e. sen (0,3 rad) = 0,30

a. α = 51º 25’ 42,86” = 2π rad c. α = 60º = π rad 7 3 b. α = 45º = π rad 4

d. α = 40º = 2π rad 9 133

116084_MATEMATICAS_ACAD_4_ESO_LP_u7.indd 133

30/6/16 9:45

UNIDAD 07 | TRIGONOMETRÍA | MATEMÁTICAS

SOLUCIONES PÁG. 170

8

a. El cateto opuesto mide 210 m. sen α = 1

sen β = 0,07

cos α = 0,07

cos β = 1

tg α = 14,48

tg β = 0,07

cosec α = 1

cosec β = 14,52

sec α = 14,52

sec β = 1

cotg α = 0,07

cotg β = 14,48

9

a. El lado desconocido mide 5,2 cm. α = 22,6º

β = 67,4º

sen α = 0,38

sen β = 0,92

cos α = 0,92

cos β = 0,38

tg α = 0,42

tg β = 2,4

b. El lado desconocido mide 1,5 cm.

b. La hipotenusa mide 8,2 cm.

α = 36,9º

β = 53,1º

sen α = 0,6

sen β = 0,8

cos α = 0,8

cos β = 0,6

tg α = 0,75

tg β = 1,3

sen α = 0,22

sen β = 0,98

cos α = 0,98

cos β = 0,22

α = 18,9º

β = 71,1º

tg α = 0,225

tg β = 4,44

sen α = 0,32

sen β = 0,95

cosec α = 4,56

cosec β = 1,03

cos α = 0,95

cos β = 0,32

sec α = 1,03

sec β = 4,56

tg α = 0,34

tg β = 2,92

cotg α = 4,44

cotg β = 0,225

c. El lado desconocido mide 3 cm.

d. El lado desconocido mide 5,8 cm. α = 43,6º

β = 46,4º

sen α = 0,69

sen β = 0,72

sen β = 0,98

cos α = 0,72

cos β = 0,69

cos α = 0,98

cos β = 0,20

tg α = 0,95

tg β = 1,05

tg α = 0,20

tg β = 4,95

cosec α = 5,05

cosec β = 1,02

sec α = 1,02

sec β = 5,05

cotg α = 4,95

cotg β = 0,20

c. El cateto contiguo mide 19,8 cm. sen α = 0,20

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS

10

ap = 5,2 cm

11

El cateto opuesto mide 2,6 cm y la hipotenusa mide 5,2 cm.

SOLUCIONES PÁG. 171

12

a. Los dos ángulos agudos miden 45º. b. El cateto desconocido mide 4 cm.

13

Uno de los catetos mide 6 cm y el otro cateto mide 3,46 cm.

14

a. La diagonal mide 9,24 cm. b. El ancho mide 4,62 cm. c. A = 36,96 cm2; P = 25,24 cm

134

116084_MATEMATICAS_ACAD_4_ESO_LP_u7.indd 134

30/6/16 9:45

MATEMÁTICAS | TRIGONOMETRÍA | UNIDAD 07

SOLUCIONES PÁG. 171 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA

15

17

a. Se encuentra en el tercer cuadrante. sen 256º = –0,97

a. sen 160º = 0,34 cos 160º = –0,94

cos 256º = –0,24

tg 160º = –0,36

tg 256º = 4,01 b. Se encuentra en el cuarto cuadrante. sen 297º 56’ = –0,88 cos 297º 56’ = 0,47 tg 297º 56’ = –1,89 c. Se encuentra en el primer cuadrante.

b. sen 80º = 0,98 cos 80º = 0,17

sen 24º = 0,41

tg 80º = 5,67

cos 24º = 0,91 tg 24º = 0,45 d. Se encuentra en el primer cuadrante. sen 74º 29’ = 0,96 cos 74º 29’ = 0,27 tg 74º 29’ = 3,6 e. Se encuentra en el tercer cuadrante. sen 202º = –0,37 cos 202º = –0,93 tg 202º = 0,40 f. Se encuentra en el tercer cuadrante.

c. sen 310º = –0,77 cos 310º = 0,64

sen 234º 54’ = –0,82

tg 310º = –1,19

cos 234º 54’ = –0,58 tg 234º 54’ = 1,42 g. Se encuentra en el segundo cuadrante. sen 105º = 0,97 cos 105º = –0,26 tg 105º = –3,73

d. sen 220º = –0,64

h. Se encuentra en el segundo cuadrante.

cos 220º = –0,77

sen 160º 25’ = –0,94

tg 220º = 0,84

cos 160º 25’ = –0,94 tg 160º 25’ = –0,36

18

a. En el primero o segundo. b. En el segundo o cuarto.

16

c. En el segundo o tercero.

a.

Hipotenusa

Seno

Coseno

Tangente

d. En el primero o tercero.

1.

4,01

0,85

0,53

1,58

e. En el primero o cuarto.

2.

4,01

0,38

–0,93

–0,41

f. En el segundo o tercero.

3.

4

–0,96

–0,28

3,5

4.

4

–0,65

0,76

–0,86

b.

Ángulo 1.

57,7º

2.

157,67º

3.

254,05º

4.

319,46º 135

116084_MATEMATICAS_ACAD_4_ESO_LP_u7.indd 135

30/6/16 9:45

UNIDAD 07 | TRIGONOMETRÍA | MATEMÁTICAS

SOLUCIONES PÁG. 171 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

19

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

20

a. sen α = –0,35

cos α = –0,94

tg α = 0,38

b. sen α = –0,96

cos α = 0,24

tg α = –4

c. sen α = 0,999 6

cos α = –0,098

tg α = –10,2

d. sen α = –0,71

cos α = –0,71

tg α = 1

e. sen α = –0,5

cosα = 0,87

tg α = –0,57

f. sen α = 0,92

cos α = –0,4

tg α = –2,29

sen α = 0,84

cosec α = 1,19

cos α = 0,55

sec α = 1,82

tg α = 1,52

cotg α = 0,66

sen α = 0,92

cosec α = 1,09

cos α = 0,39

sec α = 2,56

tg α = 2,35

cotg α = 0,43

sen α = 0,77

cosec α = 1,3

cos α = 0,64

sec α = 1,56

tg α = 1,2

cotg α = 0,83

d.

sen α = 0,33

cosec α = 3,03

e. 1 –

cos α = 0,94

sec α = 1,06

tg α = 0,35

cotg α = 2,86

sen α = 0,92

cosec α = 1,09

cos α = 0,38

sec α = 2,63

tg α = 2,42

cotg α = 0,41

sen α = 0,97

cosec α = 1,03

cos α = 0,25

sec α = 4

tg α = 3,87

cotg α = 0,26

sen α = 0,50

cosec α = 2

cos α = 0,87

sec α = 1,15

tg α = 0,58

cotg α = 1,72

sen α = 0,99

cosec α = 1,01

cos α = 0,16

sec α = 6,25

tg α = 6,28

cotg α = 0,16

sen α = 0,35

cosec α = 2,86

cos α = 0,94

sec α = 1,06

tg α = 0,37

cotg α = 2,70

21

a.

tg 2 a – sec 2 a = –sen2 α 1 + cotg 2 a

2 a b. cos a – sec a = –sen cos a + sec a cos 2 a + 1 2 c. cos a = 1 – sen2 α 1 – sen a

tg 2 a + 1 = tg2 α cotg 2 a + 1 sen a · cotg a = sen2 α cosec a · tg a

f. sen3 α + sen α · cos2 α = sen α

SOLUCIONES PÁG. 172

22

a. Sí es cierta.

23 Actividad resuelta.

b. Sí es cierta. c. No es cierta. d. Sí es cierta.

136

116084_MATEMATICAS_ACAD_4_ESO_LP_u7.indd 136

30/6/16 9:45

MATEMÁTICAS | TRIGONOMETRÍA | UNIDAD 07

SOLUCIONES PÁG. 172

24

a. cos2 α – 1 = sen2 α ⇒ cos2 α – sen2 = 1 ⇒ 2 2 1 2 2 2 ⇒ 1 – sen α – sen α = ⇒ –2sen α = 1 – 1 ⇒ 2 2 1 1 2 2 ⇒ –2sen α = – ⇒ sen α = ⇒ sen α = ± 1 4 2 2

e. 2tg α – 3cotg α = 1 ⇒ 2tg α – 3 1 = 1 ⇒ tg a 2tg 2 a – 3 2 ⇒ = 1 ⇒ 2tg α – 3 = tg α ⇒ tg a ⇒ 2tg2 α – tg α – 3 = 0 Hacemos el cambio x = tg α: 2x 2 – x – 3 = 0

a = 30° + 360° k • sen α = 1 ⇒ α = arcsen 1 ⇒ 2 2 a = 150° + 360° k para cualquier entero k.

1 ± 1 + 24 1 ± 5 x= = = 4 4

a = 330° + 360° k • sen α = – 1 ⇒ α = arcsen – 1 ⇒ 2 2 a = 210° + 360° k para cualquier entero k.

• tg α = 3 ⇒ α = arctg 3 = 56,31° + 180° k 2 2 para cualquier entero k.

2 b. cos a = 1 – sen α ⇒ cos2 α = 3 – 3sen α ⇒ 3

• tg α = –1 ⇒ α = arctg (–1) = 135° + 180° k para cualquier entero k.

⇒ 1 – sen2 α – 3 + 3sen α = 0 ⇒ –sen2 α + 3sen α – 2 = 0 ⇒ ⇒ sen2 α – 3sen α + 2 = 0

f. sen2 α + cos α = 1 ⇒ 1 – cos2 α + cos α = 1 ⇒

Hacemos el cambio x = sen α: x 2 – 3x + 2 = 0

⇒ cos2 α – cos α = 0 ⇒ cos α (cos α – 1) = 0 ⇒

x1 = 3 + 1 = 2 2 x2 = 3 – 1 = 1 2 • sen α = 2, no existe ningún ángulo que tenga ese seno, porque el seno es un número que puede tomar valores entre –1 y 1.

3± 9 – 8 3±1 x= = = 2 2

• sen α = 1 ⇒ α = arcsen (1) = 90° + 360° k, para cualquier valor de k.

⇒

REDUCCIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS AL PRIMER CUADRANTE

25

c. sen 1 200° = sen 120° = sen 60° =

⇒ 2 – 2sen2 α – 3sen α = 0 ⇒ 2sen2 α + 3sen α – 2 = 0

e. tg 225° = tg 45° = 1 f. sen 315° = sen (–45°) = –sen 45° = –

26

• sen α = –2, no existe ningún ángulo que tenga ese seno, porque el seno es un número que puede tomar valores entre –1 y 1. ⇒ 3 – 3sen2 α + 5 – 5sen α = 0 ⇒ ⇒ –3sen2 α – 5sen α + 8 = 0 ⇒ 3 sen2 α + 5sen α – 8 = 0

Seno

Coseno

Tangente

α = 16º

0,28

0,96

0,29

β = 74º

0,96

0,28

3,48

b. Esto ocurre porque 16º y 74º son ángulos complementarios, es decir, suman 90º.

Hacemos el cambio x = sen α: 3x 2 + 5x – 8 = 0

• sen α = 1 ⇒ α = arcsen (1) = 90° + 360° k, para cualquier entero k. • sen α = – 8 , no existe ningún ángulo que tenga ese seno, porque 3 el seno es un número que puede tomar valores entre –1 y 1.

2 2

a. El seno de 16º es el mismo que el coseno de 74º. El coseno de 16º coincide con el seno de 74º. La tangente de 16º es la inversa de la tangente de 74º.

d. 3cos2 α + 5 = 5sen α ⇒ 3 · (1 – sen2 α) + 5 – 5sen α = 0 ⇒

x 1 = –5 + 11 = 1 6 – 11 = – 8 – 5 x2 = 6 3

3 2

d. cos 450° = cos 90° = 0

Hacemos el cambio x = sen α: 2x 2 + 3x – 2 = 0

a = 30° + 360° k • sen α = 1 ⇒ α = arcsen 1 ò 2 2 a = 150° + 360° k para cualquier entero k.

a. tg 420° = tg 60° = 3 b. tg (–60°) = –tg 60° = – 3

⇒ 2cos2 α = 3sen α ⇒ 2 · (1 – sen2 α) = 3sen α ⇒

x 1 = –3 + 5 = 1 –3 ± 9 + 16 –3 ± 5 2 4 x= = = 4 4 – – 5 3 = –2 x2 = 4

a = 90° + 360° k a = 270° + 360° k cos a – 1 = 0 ò a = arcos (1) = 0° + 360° k cos a = 0 ò a = arcos (0) ò

para cualquier entero k.

c. 2cos α = 3tg α ⇒ 2cos α = 3 sen a ⇒ cos a

–5 ± 25 + 96 –5 ± 11 x= = = 6 6

3 x1 = 1 + 5 = 4 2 x 2 = 1 – 5 = –1 4

27

a. sen α = 1 – cos 2 a = 1 – 0,6 2 = 0,8 b. tg (–α) = –tg α = –

0,8 = –1,33 0,6

c. cos (180° – α) = –cos α = –0,6 d. sen (180° – α) = sen α = 0,8 e. cos (180° + α) = – cos α = –0,6 f. cos (90° – α) = sen α = 0,8

137

116084_MATEMATICAS_ACAD_4_ESO_LP_u7.indd 137

30/6/16 9:45

UNIDAD 07 | TRIGONOMETRÍA | MATEMÁTICAS

SOLUCIONES PÁG. 172

28

1 ⇒ 1 + 22 = 1 ⇒ cos α = cos 2 a cos 2 a Como está en el tercer cuadrante, cos α = – 1 5

a. 1 + tg2 α =

1 5

30

2

1 = 1– 1 = 4 5 5 5

b. sen α = 1 – cos 2 a = 1 –

Como está en el tercer cuadrante, sen α = – 4 5

a. P = 28,84 cm; A = 48 cm2

c. tg (180° + α) = tg α = 2 d. cos (180° + α) = –cos α =

1 5

e. sen (180° + α) = –sen α =

4 5

b. tg α = 6 = 1,5 ⇒ α = arctg 1,5 = 56,31° 4 tg β = 4 = 0,67 ⇒ β = 33,69° 6 Con lo que los ángulos son 2 · 56,31º = 112,62º y 2 · 33,69º = 67,38º.

f. tg (–α) = –tg α = –2 APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA

31

29

El radio de la circunferencia es: 3, 5 sen 25° = 0,42 = ⇒ r = 8,33 cm r La longitud de la circunferencia es:

cos 20º = 0,94 = h ⇒ h = 11,28 cm 12 sen 20º = 0,34 = x ⇒ x = 4,08 cm 12 A = 2x · h ⇒ A = 46,02 cm2 2

L = 2πr = 2π · 8,33 = 52,32 ⇒ L = 52,32 cm

32

Cada brazo mide 3,05 m.

SOLUCIONES PÁG. 173

33

La distancia del centro de la Tierra al satélite: sen 50° = 0,77 =

35

R ⇒ D = 6 366 = 8 267,53 km D 0,77

El ángulo pedido es:

La distancia del satélite a la Tierra será:

tg α = 8 = 8 = 0,71 ⇒ α = 35,37° d 11, 31

d = D – R = 8 267,53 – 6 366 = 1 901,53 km

34

La diagonal de la base del cubo mide: d = 8 2 + 8 2 = 11,31 ⇒ d = 11,31 cm

36

tg 20° = 0, 36 = x ò x = 0, 36 · h h 115, 5 – x 115, 5 – tg 30° = 0, 58 = ò h= 0, 58 h

_ b b x` bb a

Combinando las dos ecuaciones: h=

115, 5 – x 115, 5 – 0, 36 · h ⇒h= ⇒ 0, 58 0, 58

⇒ 0,58 · h = 115,5 – 0,36 · h ⇒ h = 122,87 m La torre tiene 122,87 m de altura.

sen 25° = 0,42 =

h' ⇒ h’ = 840 m 2 000

Con lo que el avión lleva una altura de: h = h’ + 50 = 840 + 50 = 890 m 138

116084_MATEMATICAS_ACAD_4_ESO_LP_u7.indd 138

30/6/16 9:45

MATEMÁTICAS | TRIGONOMETRÍA | UNIDAD 07

SOLUCIONES PÁG. 173 EVALUACIÓN

1

b.

6

c.

2

c.

7

d.

3

b.

8

b.

4

a.

9

b.

5

d.

10

a.

INNOVACIÓN EDUCATIVA > Aprendizaje cooperativo Con el fin de preparar al alumno para la evaluación se puede aplicar la técnica LA SUSTANCIA, donde el profesor pedirá a cada grupo una frase que defina cada uno de los apartados de la unidad. Para resolver la evaluación se puede emplear la estructura LÁPICES AL CENTRO y para realizar la corrección de la misma recurrir a la estructura EL NÚMERO.

> Metacognición Puede hacerse una puesta en común para que los alumnos comenten cuáles son las aplicaciones de la trigonometría, como puede ser el cálculo de perímetros, áreas, etcétera.

RECURSOS Evaluación E-07-01. Test matemático

E-07-02. Evaluación

En formato digital, descargable desde www.somoslink.com

En formato digital, descargable desde www.somoslink.com

Con soluciones.

Con soluciones.

139

116084_MATEMATICAS_ACAD_4_ESO_LP_u7.indd 139

30/6/16 9:45