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MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS 3.º ESO somoslink

SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO

Unidad 1. Números reales

2

Unidad 1. Números reales SOLUCIONES PÁG. 21 1

Copia y completa estas igualdades en tu cuaderno: a. 23 = 5 · 4 + 23 = 5 · 4 + 3 b. –21 = 6 · (–4) + –21 = 6 · (–4) + 3 c. –45 = 7 ·

+4

–45 = 7 · –7 + 4 d. –67 =

· (–8) + 5

–67 = 9 · (–8) + 5 2

Expresa con una fracción estos enunciados: a. La parte de una guardia de 8 horas que realiza un bombero si hay una plantilla de 12 trabajadores. 8 2 = 12 3 b. Se plantan 3 arbustos por cada 5 árboles para repoblar un monte. 3 5 c. En una pomada, hay 4 g de principio activo por cada 100 g de medicamento. 4 1 = 100 25 d. La parte de los beneficios de un negocio que reciben Luis y Julia si a ella le corresponde el doble que a él. 1 2 Luis recibe de los beneficios, y Julia, . 3 3

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3 3

Copia en tu cuaderno estas fracciones y rodea con el mismo color las que representan el mismo número racional:

2 3

10 15

10 40

64 40

4 6

8 5

1 4

24 15

12 24

18 27

2 4 10 18 = = = 3 6 15 27 1 10 = 4 40 8 64 24 = = 5 40 15 12 2 1 8 no es equivalente ni a , ni a , ni a . 24 3 4 5 4

Expresa en forma de fracción irreducible los siguientes números racionales: a.

18 18 : 9 2 = = 315 315 : 9 35

−70 −70 :14 −5 = = 42 42 :14 3 −12 −12 : 6 2 = = c. −18 −18 : 6 3 198 198 : 6 33 = = d. −84 −84 : 6 −14

b.

5

Indica a qué conjunto (ℕ, ℤ o ℚ) pertenece cada número.

4 10 −5 −12 7 6 −8 11 −5 , , , ,− ,− ,− , , 3 −5 8 −6 10 −3 9 7 −4 Pertenecen a ℕ:

−12 6 y− −6 −3

Pertenecen a ℤ:

10 −5

Pertenecen a ℚ: el resto de números.

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4 SOLUCIONES PÁG. 23 6

Clasifica los siguientes números decimales según sean exactos, periódicos puros o periódicos mixtos. Indica, en cada caso, la parte entera, el período y el anteperíodo. a. 0,334 5 → Decimal exacto b. 2,003 3… → Decimal periódico mixto c. 2,003 3 → Decimal exacto d. 6,717 1 → Decimal exacto e. 2,356 356… → Decimal periódico puro f. 4,317 272… → Decimal periódico mixto g. 3,197 → Decimal exacto h. 9,443 939… → Decimal periódico mixto i. 0,001 111… → Decimal periódico mixto

7

Número

Parte entera

Anteperíodo

Período

2,003 3…

2

00

3

2,356 356…

2

--

356

4,317 272…

4

31

72

3,197 7…

3

19

7

9,443 939…

9

44

39

0,001 111…

0

00

1

Halla la expresión decimal de cada número racional y clasifica dicha expresión según el tipo de número decimal que sea. a. b. c. d. e. f.

2 = 0,066... → decimal periódico mixto. 30 19 = 0,95 → decimal exacto. 20 9 − = –0,562 5 → decimal exacto. 16 456 − = –0,506 6... → decimal periódico mixto. 900 41 = 1,64 → decimal exacto. 25 25 − = –3,571 428 571 428... → decimal periódico puro. 7

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5 8

Halla la fracción generatriz de estos números: a. –1,25 =

−125 −125 : 25 −5 = = 100 100 : 25 4

b. 2,36 100 N = 236,363 636… N = 2,363 636 36… 99 N = 234 ⇒ N =

234 234 : 9 26 = = 99 99 : 9 11

) c. −3, 1

10 N = –31,111 111… N = –3,111 111… 9 N = 28 ⇒ N =

−28 9

) d. 2,6

10 N = 26,666 666… N = 2,666 666… 9 N = 24 ⇒ N = e. 0,625 =

24 24 : 3 8 = = 9 9 :3 3

625 625 :125 5 = = 1000 1000 :125 8

) f. 0,06

100 N = 6,666 666… 10 N = 0,666 666… 90 N = 6 ⇒ N =

6 6 :6 1 = = 90 90 : 6 15

) g. −3,06

100 N = –306,666 666… 10 N = –30,666 666… 90 N = –276 ⇒ N =

−276 −276 : 6 −46 = = 90 90 : 6 15

) h. 4,203

1000 N = 4 203,333 333… 100 N = 420,333 333… 900 N = 3 783 ⇒ N =

3783 3783 : 3 1261 = = 900 900 : 3 300

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6

i. 1,56 100 N = 156,565 656… N = 1,565 656… 99 N = 155 ⇒ N =

9

155 99

Escribe, en cada caso, un número decimal que cumpla la condición pedida. Después, compara tus respuestas con las de tus compañeros. a. La parte entera es 8, y tiene tres cifras decimales iguales. Respuesta abierta. Por ejemplo: 8,111 b. Es periódico puro, la parte entera es 1, una de sus cifras periódicas es 4, y la otra es mayor que 3. Respuesta abierta. Por ejemplo: 1,454 545... c. La parte entera es 5, la cifra del anteperíodo es menor que 7, y tiene exactamente dos cifras periódicas que suman 8. Respuesta abierta. Por ejemplo: 5,017 17... d. Es periódico puro, tiene más de dos cifras periódicas que suman 12, y las cifras de la parte entera suman 6. Respuesta abierta. Por ejemplo: 33,426 426... e. Es exacto, la parte entera es 0, y el producto de sus cifras decimales es 3. Respuesta abierta. Por ejemplo: 0,113

10 Reflexiona y resuelve estas cuestiones: a. Halla la expresión decimal de cada una de estas fracciones:

1 2 3 4 , , , 9 9 9 9

0,111...; 0,222...; 0,333...; 0,444... b. Analiza los resultados del apartado anterior y explica qué propiedad cumplen los números decimales obtenidos. Se obtienen números periódicos puros cuyo periodo coincide con la cifra del numerador de la fracción generatriz. c. Sin efectuar las divisiones, escribe la expresión decimal de cada una de 5 6 7 8 las siguientes fracciones: , , , 9 9 9 9 0,555... ; 0,666... ; 0,777... ; 0,888... 11 Actividad resuelta.

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7 12

Sin efectuar la división, clasifica los números decimales que corresponden a las siguientes fracciones:

a.

9 → Exacto 24

b.

74 → Mixto 35

c.

37 → Exacto 40

d.

25 → Mixto 48

e.

48 → Exacto 75

f.

49 → Puro 21

7 42 y , resuelve las siguientes cuestiones: 3 18 a. ¿Son equivalentes?

13 Dadas las fracciones

Son equivalentes porque 7 · 18 = 42 · 3 = 126. b. ¿Representan el mismo número racional? Justifica tu respuesta. Al ser fracciones equivalentes, corresponden al mismo número racional. c. Calcula las expresiones decimales de

7 42 y . 3 18

La expresión decimal en ambos casos es el número periódico puro 2,333... d. Explica si la expresión decimal de un número racional depende de la fracción elegida para representarlo. La expresión decimal de un número racional no depende de la fracción que se elige, puesto que las divisiones que se realizan son equivalentes.

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8 14 Razona y resuelve las siguientes cuestiones: ) ) ) a. Halla las fracciones generatrices de −1,9, 4,9 y 15,9 . Las fracciones generatrices corresponden a los números –2, 5 y 16. 10 N = –19,999 999… N = –1,999 999… 9 N = –18 ⇒ N =

−18 = −2 9

10 N = 49,999 999… N = 4,999 999… 9 N = 45 ⇒ N =

45 =5 9

10 N = 159,999 999… N = 15,999 999…

144 = 16 9 b. ¿Se pueden expresar los números enteros como números decimales periódicos? Justifica tu respuesta. Cualquier número entero puede expresarse como un decimal periódico puro de periodo 9. c. Expresa el número –21 como un número decimal periódico. Respuesta abierta. Por ejemplo: –21 = –20,999... 9 N = 144 ⇒ N =

SOLUCIONES PÁG. 25 15 Clasifica los siguientes números según sean racionales o irracionales: a. 0,123 456 789 101 112… → Irracional 16 → Racional

b. –

c. 1,233 233 332… → Irracional d.

45 → Racional 5

e. 1,456 789 789… → Racional f. 1 –

18 → Irracional

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9 16 Indica cuál es el menor de los conjuntos (ℕ, ℤ, ℚ o ℝ) a los que pertenece cada uno de estos números: 2 a. − → Pertenece a ℚ . 5 b. 2,111… → Pertenece a ℚ. c. (–5)2 → Pertenece a ℕ. d. 6,002 22… → Pertenece a ℚ. e. 17 – 5 → Pertenece a ℝ. −81 → Pertenece a ℤ. f. 27 g.

22 → Pertenece a ℝ.

h. 1,246 810 121 4 → Pertenece a ℝ. i. 9,81 → Pertenece a ℚ. j. 2π → Pertenece a ℝ. 17 Calcula el valor absoluto de los siguientes números: a. –3 = 3 3 3 b. − = 2 2 c. 2,65 = 2,65 d. –0,121 1 = 0,121 1 e. –4π = 4π 5 5 f. = 3 3 18 Simplifica las expresiones propuestas. a. 3 2 − 7 2 + 9 2 = 5 2 b. 5 π + 6 − 9π − 12 = −4π − 6 c.

1 2 5 3 4 5 4 2 π− π+ π = π− π+ π= π= π 2 3 6 6 6 6 6 3

d. 2 6 + 5 − 7 6 + 1 = −5 6 + 6 19 Simplifica estas expresiones y analiza los resultados obtenidos: a. 2 5 − 3 5 + 5 = − 5 + 5 = 0 b. 4 2 + 1 − 3 2 − 2 = 4 2 + 1 − 4 2 = 1 ¿Dan estas operaciones como resultado siempre números irracionales? ¿Son números reales? Justifica tu respuesta. Los ejemplos muestran que el resultado de operar con números irracionales no siempre es un número irracional, aunque siempre es un número real porque ℝ contiene a los números naturales, los enteros, los racionales y los irracionales.

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10 SOLUCIONES PÁG. 27 20 Aproxima a las milésimas, por redondeo y por truncamiento, los siguientes números reales. Después, compara los resultados que has obtenido con los de tu compañero. a. 2,345 299 d. 1,818 811 888 111… b. 7,235 55…

e. 3,675

c. 0,256

f. 5,439 77…

21 Actividad resuelta 22 Opera con la calculadora cuando sea necesario y aproxima el resultado a las centésimas, por exceso y por defecto. a. 8 d. 98,997 23 ) 7 b. e. 23, 725 15 13 c. f. 47 7

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11

21 . Después, copia en tu cuaderno y completa 11 la siguiente tabla con las aproximaciones correspondientes: 21 La expresión decimal de es 1,909 090… 11

23 Halla la expresión decimal de

24 Calcula el error absoluto y el error relativo que se comete en las siguientes aproximaciones: 7 a. ≈ 1,2 6 7 −1,2 7 6 = 0,028 57... ∆ = − 1,2 = 0,033 3...; ε = 7 6 6 7 b. ≈ 1,16 6 7 −1,16 7 6 − 1,16 = 0,006 66...; ε = = 0,005 742 857... ∆= 7 6 6 17 c. ≈ 1,4 12 17 −1,4 17 12 − 1, 4 = 0,016 66...; ε = = 0,011 76... ∆= 17 12 12 17 d. ≈ 1,42 12 17 −1, 42 17 12 − 1,42 = 0,003 33...; ε = = 0,002 352... ∆= 17 12 12 e. 2,592 01 ≈ 2,5 2,592 01 − 2,5 = 0,035 497 5... ∆ = 2,592 01 − 2,5 = 0,092 01; ε = 2,592 01 f. 2,592 01 ≈ 2,6 ∆ = 2,592 01 − 2,6 = 0,007 99; ε =

2,592 01 − 2,6 2,592 01

= 0,003 082 54...

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12

223 22 y como aproximaciones del número π. 71 7 Investiga otras aproximaciones de π que se hayan propuesto a lo largo de la historia y responde a las siguientes cuestiones: a. Calcula la expresión decimal de las fracciones y redondea a las décimas, centésimas y milésimas. 223 22 = 3,140 845 07...; = 3,142 857 143...; π = 3,141 592 654... 71 7

25 Arquímedes utilizó las fracciones

b. ¿Qué fracción proporciona aproximaciones por defecto? 223 La fracción proporciona aproximaciones por defecto. 71 c. ¿Qué fracción proporciona aproximaciones por exceso? 22 La fracción proporciona dos aproximaciones por defecto, pero la 7 aproximación a las milésimas es por exceso. 26 Actividad resuelta. 27 Julio ha gastado 24 150 € en un coche, y Laura se ha comprado un equipo de música por 1 350 €. Calcula el error relativo que se comete si se aproxima el precio del coche a 24 000 € y el del equipo de música a 1 500 € e indica con qué aproximación se comete un error más grave. ∆ (coche) = 24150 − 24 000 = 150 € ε (coche)=

150 = 0,006 211... ≈ 0,006 21 = 0,621 % 24150

∆ (equipo de música) = 1 350 − 1 500 = 150 €

ε (equipo de música) =

150 = 0,111... ≈ 0,111 1 = 11,11 % 1350

Con la aproximación del equipo de música se comete mayor error porque el error relativo es mayor.

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13 28 Un supermercado vende cajas de tomates de 3 kg con una variación de 30 g y bolsas de manzanas de 0,5 kg con una variación de 15 g. ¿Qué variación resulta más ventajosa para el supermercado? 3 000 − 30 2 970 = ε (tomates) = = 0,99 = 99 % 3 000 3 000

ε (manzanas) =

500 −15 500

=

485 =0,97 = 97 % 500

Por tanto, la variación más ventajosa para el supermercado es la de los tomates. SOLUCIONES PÁG. 29 29 Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor: 8 2 1 3 a. , − , , − 5 5 5 5 Todas las fracciones tienen el mismo denominador, luego es menor la que tiene menor numerador. 3 2 1 8 − < − < < 5 5 5 5 2 2 2 2 2 b. , , , , 7 3 11 5 9 Todas las fracciones tienen el mismo numerador, luego es menor la que tiene mayor denominador. 2 2 2 2 2 < < < < 11 7 9 5 3 3 5 5 7 4 c. , − , , − , − 2 6 4 8 3 Se reducen las fracciones a común denominador. 3 36  =  2 24  5 20  − =− 6 24   5 30 21 20 30 36 4 7 5 5 3  32 =

> > − 4 8 9 11

33 Silvia, Miguel y Lola han sido los alumnos más votados en la elección a delegado de clase. Silvia ha recibido la tercera parte de los votos; Miguel, la cuarta parte, y Lola, una sexta parte. Indica en qué orden aparecerán los nombres en el acta de la elección si figuran en orden decreciente de votos.

1 1 1 , Miguel ha recibido y Lola, . Como las tres fracciones 3 4 6 1 1 1 tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menos denominador: > > . 3 4 6 Los nombres aparecen en el acta en el siguiente orden: Silvia, Miguel y Lola.

Silvia ha recibido

34 En África vive el 15 % de la población mundial, mientras que en Oceanía se localiza el 0,9 %. Asia tiene aproximadamente el 60,43 % de los habitantes del planeta; Europa, el 11,20 %, y uno de cada cinco habitantes es americano. Ordena los continentes en orden creciente según el número de habitantes. África → 15 % Oceanía → 0,9 % Asia → 60,43 % Europa → 11,20 % 1 América → = 20 % 5 0,9 % < 11,20 % < 15 % < 20 % < 60,43 % Los continentes según el número de habitantes se ordenan del siguiente modo: Oceanía, Europa, África, América y Asia.

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16 35 Halla, en cada caso, un número que esté comprendido entre los números dados. Usa la calculadora si es necesario. 5 a. y 1,7 3 Respuesta abierta. Por ejemplo: 1,68 11 b. y 5 5 Respuesta abierta. Por ejemplo: 2,22 c. 3, 47 y 3,538 Respuesta abierta. Por ejemplo: 3,475 17 d. y 3 10 Respuesta abierta. Por ejemplo: 1,721 36 Halla el número racional representado en cada caso. a.

Se ha dividido la unidad en 4 partes y se han cogido 3, por lo tanto:

3 . 4

b.

Se ha dividido la unidad en 3 partes, y se han cogido 5 partes: 3 partes corresponden a lo que va entre 0 y 1, y 2 partes corresponde a lo que va entre 5 1 y 2. Por lo tanto: 3 37 Actividad resuelta.

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17 38 Representa en la recta numérica los siguientes números: 5 a . 6 Con origen en 0, se traza una semirrecta. Sobre ella se construyen seis segmentos iguales y consecutivos. El último punto de la semirrecta se une con el punto 1 y se trazan rectas paralelas en cada uno de los puntos de la semirrecta.

b.

11 5 Con origen en 2, se traza una semirrecta. Sobre ella se construyen cinco segmentos iguales y consecutivos. El último punto de la semirrecta se une con el punto 3 y se trazan rectas paralelas en cada uno de los puntos de la semirrecta.

5 7 Con origen en 0, se traza una semirrecta. Sobre ella se construyen siete segmentos iguales y consecutivos. El último punto de la semirrecta se une con el punto –1 y se trazan rectas paralelas en cada uno de los puntos de la semirrecta.

c. −

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18

8 3 Con origen en –2, se traza una semirrecta. Sobre ella se construyen tres segmentos iguales y consecutivos. El último punto de la semirrecta se une con el punto –3 y se trazan rectas paralelas en cada uno de los puntos de la semirrecta.

d. −

SOLUCIONES PÁG. 31 39 Determina, en cada caso, si el número cumple la desigualdad que se indica. a. x = 2 (–3 < x < 1) → No la cumple. b. x = –5

(x < –4) → Sí la cumple.

c. x = 1

(x > 3) → No la cumple.

d. x = 0,25

(0 < x < 0,35) → Sí la cumple.

e. x = 2

(–1 < x ≤ 2) → Sí la cumple.

f. x = 0,001

(0 < x) → Sí la cumple.

g. x = –1

(x < –1) → No la cumple.

40 Escribe dos números que pertenezcan a cada uno de los siguientes intervalos: a. [–5 , –3] → Respuesta abierta. Por ejemplo: –4, –3 b. (–∞ , 2] → Respuesta abierta. Por ejemplo: –7, 0 c. (5 , 6) → Respuesta abierta. Por ejemplo: 5,1; 5,99 d. (–∞ , –2) → Respuesta abierta. Por ejemplo: –10, –2,001 e. [3 , +∞) → Respuesta abierta. Por ejemplo: 3,001; 27 f. (–4 , –3] → Respuesta abierta. Por ejemplo: –3,9; –3,01

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19 41 Representa en la recta real los siguientes intervalos: a. [5 , 7]

b. [–6 , –3)

c. [2 , +∞)

d. (–∞ , 2)

e. (–4 , 0)

f. (1 , 2]

g. (–∞ , –3)

h. (–∞ , 3]

i. [0 , 1]

j. (0 , 1)

k. (0 , +∞)

l. (–∞ , 0]

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20 42 Escribe en forma de intervalo cada uno de los siguientes conjuntos de números reales: a. [–3 , 2] b.

(–3 , 2) c.

[–3 , 2) d. (–3 , 2] 43 Expresa cada enunciado haciendo uso de los signos , ≥. Después, escribe y representa cada conjunto. a. La estatura mínima para montar en una atracción es de 1,20 m. x ≥ 1,20; [1,20 , +∞); b. Al menos 3 millones de personas usan Internet. x ≥ 3 000 000 c. El precio de la entrada a un concierto es como mínimo de 20 €, pero no supera los 50 €. 20 ≤ x ≤ 50; [20 , 50] d. La velocidad mínima en autovía es de 60 km/h, y la máxima, de 120 km/h. 60 ≤ x ≤ 120; [60 , 120] e. La temperatura anual de una región oscila entre 5 °C bajo cero y 39 °C. –5 ≤ x ≤ 39; [–5 , 39] 44 Actividad resuelta.

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21 45 Escribe los siguientes conjuntos usando los signos , ≥ y represéntalos gráficamente. Indica, en cada caso, si los números pertenecen o no al correspondiente conjunto. a. (–4 , 1] a = –4; b = 1; c = –3,9 –4 < x ≤ 1; pertenece al intervalo b y c.

b. (2 , 7)

a = 2; b = 7,000 1; c = 5

2 < x < 7; pertenece al intervalo c.

c. (2 , +∞)

a = 2; b = 5; c = –1

x > 2; pertenece a la semirrecta b.

d. [5 , 6]

a = 5,3; b = 6; c = 5

5 ≤ x ≤ 6; pertenecen al intervalo a, b y c.

e. (–∞ , –2]

a = –1,9; b = 6; c = –5

x ≤ –2; pertenece a la semirrecta c.

46 Expresa en forma de intervalo o semirrecta los siguientes conjuntos, definidos mediante desigualdades: a. –1 < x < 0 → (–1 , 0) b. x ≥ –7 → [–7 , +∞) c. –2 ≤ x ≤ –1 → [–2 , –1] d. x < 8 → (–∞ , 8) e. 0 ≤ x < 9 → [0 , 9) f. x > –4 → (–4 , +∞)

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22 47 Representa gráficamente los conjuntos de la actividad anterior. a.

b.

c.

d.

e.

f.

SOLUCIONES PÁG. 32 1.

Escribe en forma de fracción irreducible los siguientes números racionales: 28 28 : 7 4 = = a . 21 21: 7 3 275 275 :11 25 = = b. −198 −198 :11 −18 −105 −105 : 15 7 = = c −75 −75 :15 5 −147 −147 : 21 −7 = = d. 126 126 : 21 6 −207 −207 : 9 23 = = e. −117 −117 : 9 13

2.

Calcula la expresión decimal de las fracciones anteriores y clasifícalas. 28 a . = 1,333… (periódico puro) 21 275 b. = –1,388 8… (periódico mixto) −198 −105 c = 1,4 (decimal exacto) −75 −147 d. = –1,1666… (periódico mixto) 126 −207 = 1,769 230 769 230… (periódico puro) e. −117

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23

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24 3.

Usa la calculadora y escribe en tu cuaderno las expresiones decimales tal y como se hace en el ejemplo. ) ) 1 7 1 = 0,3 ⇒ = 2 + = 2 + 0,3 3 3 3 1 25 1 a. = 0,25 ⇒ = 6 + = 6 + 0,25 = 6,25 4 4 4 ) ) ) 1 13 1 b. = 0,16 ⇒ = 2 + = 2 + 0,16 = 2,16 6 6 6 1 12 1 = 1 + 0,09 = 1,09 c. = 0,09 ⇒ = 1+ 11 11 11 1 17 1 d. = 0,125 ⇒ = 2 + = 2 + 0,125 = 2,125 8 8 8

SOLUCIONES PÁG. 33 1

¿Qué conjunto de números es ampliado por los números racionales? Justifica tu respuesta con ejemplos. Los números enteros, ya que el cociente de dos números enteros exige la definición del conjunto de los números racionales.

2

Investiga sobre la historia de los conjuntos ℕ, ℤ, ℚ y ℝ y elabora una wiki con tus compañeros de clase que trate los siguientes puntos: a. Origen histórico de las diferentes clases de números en diversas épocas y culturas. b. Sistemas de numeración y escritura de fracciones. c. Operaciones con números y máquinas de cálculo. d. Aplicaciones de los conjuntos babilónica, griega, egipcia, china…

numéricos

en

distintas

culturas:

e. Números reales y sus aproximaciones con fracciones. f. Aproximaciones de π y 2 . Respuesta abierta. 3

Elabora con tus compañeros una wiki en la que aparezcan todos los contenidos del mapa conceptual convenientemente explicados. Poned ejemplos de cada uno de los contenidos.

Respuesta abierta.

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25 4

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a. El conjunto de los números enteros incluye a los números negativos. Verdadero b. Todo número decimal puede expresarse en forma de fracción. Falso c. Dos números reales distintos no pueden tener el mismo valor absoluto. Falso d. Los números racionales solo pueden representarse en la recta real de forma aproximada. Falso e. El error relativo siempre es menor que el absoluto. Falso

SOLUCIONES PÁG. 34 – REPASO FINAL NÚMEROS NATURALES, ENTEROS Y RACIONALES 1

Expresa cada número entero como diferencia de dos números naturales. a. –3 → Respuesta abierta. Por ejemplo: 6 – 9 b. –7 → Respuesta abierta. Por ejemplo: 3 – 10 c. –12 → Respuesta abierta. Por ejemplo: 12 – 24 d. –20 → Respuesta abierta. Por ejemplo: 20 – 40 e. –30→ Respuesta abierta. Por ejemplo: 30 – 60 f. 0 → Respuesta abierta. Por ejemplo: 5 – 5

2

Dos números son «amigos» si cada uno de ellos es la suma de los divisores del otro. ¿Son amigos los números 45 y 36? ¿Y los números 220 y 284? •

Los divisores de 45 son: {1, 3, 5, 9, 15, 45}, y los divisores de 36 son: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}. Si se suman los divisores de 45, exceptuando él mismo, se tiene que: 1 + 3 + 5 + 9 + 15 = 33 Si se suman los divisores de 36, exceptuando él mismo, se tiene que: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 = 55; por tanto, 45 y 36 no son números amigos.

•

Los divisores de 220 son: {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220}, y los divisores de 284 son: {1, 2, 4, 71, 142, 284}. Si se suman los divisores de 220, exceptuando él mismo, se tiene que: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 Si se suman los divisores de 284, exceptuando él mismo, se tiene que: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220; por tanto, 220 y 284 son números amigos.

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26 3

4

5

Escribe, en cada caso, una fracción equivalente con el denominador que se indica. 7 7 ·12 84 = a. , denominador 24 → 2 2 ·12 24 b.

64 64 · 6 384 = , denominador 90 → 15 15 · 6 90

c.

3 3 · 21 63 , denominador 105 → = 5 5 · 21 105

d.

21 21 7 7· 25 175 , denominador 400 → = = = 48 48 16 16· 25 400

Halla, en cada caso, el término que falta para que las fracciones sean equivalentes. 3 x 3 ·12 = 9 a. = ⇒x= 4 12 4 b.

2 −10 2 ·15 = –3 = ⇒y= y 15 −10

c.

1 −5 −10 ·1 = 2 = ⇒a= −10 a −5

d.

b −3 −3 · ( −10) = 2 = ⇒b= 15 −10 15

e. −

m 12 21 ·12 = –18 = ⇒m= 21 14 −14

f. −

15 −1 −15 · ( −3) = –45 = ⇒n= n −3 −1

Piensa y responde a cada pregunta con una fracción irreducible. a. ¿Qué fracción de hora son 12 min? Una hora tiene 60 minutos, por lo tanto:

12 1 = 60 5

b. ¿Qué fracción de euro son 20 cts.? Un euro son 100 céntimos, así:

20 = 100

1 5

c. ¿Qué fracción de centímetro es un milímetro? Un centímetro tiene 10 milímetros, por lo tanto:

1 10

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27 d. ¿Qué fracción de kilómetro son 300 m? Un kilómetro tiene 1 000 m, por lo tanto.

300 3 = 1000 10

NÚMEROS DECIMALES: CLASIFICACIÓN Y CONVERSIÓN 6

Halla el número decimal que corresponde a cada número racional y clasifícalo. 21 a. − = –1,05 → Exacto 20 10 b. = 0,307 307... → Periódico puro 27 31 c. = 0,516 66... → Periódico mixto 60 481 d. − = –3,848 → Exacto 125 491 = –3,273 33... → Periódico mixto e. − 150 1 f. = 0,142 857 142... → Periódico puro 7

7

Copia en tu cuaderno la tabla y completa los huecos en blanco. (Recuerda a ). que a % = 100

8

Calcula el número racional que representa cada número decimal. a. 8,24 100 N = 824,242 424… N = 8,242 424… ⇒N=

99 N = 816

816 816 : 3 272 = = 99 99 : 3 33

) b. 0,04

100 N = 4,444 444… 10 N = 0, 444 444… 90 N = 4

⇒N=

4 4 :2 2 = = 90 90 : 2 45

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28 ) c. 8,24

100 N = 824,444 444… 10 N = 82, 444 444… ⇒N=

90 N = 742 d. 7,25 =

742 742 : 2 371 = = 90 90 : 2 45

725 9 = 100 4

e. 0,04 100 N = 4,040 404… N = 0,040 404… 99 N = 4 ⇒ N =

4 99

) f. 7,25

100 N = 725,555 555… 10 N = 72, 555 555… 90 N = 653

9

⇒N=

653 90

Formad grupos en clase y realizad la siguiente actividad: a. Determinad los números decimales que representan las fracciones

1 , 11

2 3 4 5 , , y con ayuda de la calculadora. 11 11 11 11 0,090 909...; 0,181 818...; 0,272 727...; 0,363 636...; 0,454 545 45...; b. Analizad los resultados y elaborad una hipótesis sobre los números decimales que habéis obtenido. El período del primer número es 09 y el período de los demás números se obtiene multiplicando 9 por el numerador correspondiente. 6 7 c. Hallad los números decimales que corresponden a los números , y 11 11 8 comprobad si vuestra conclusión es correcta. 11 0,545 454...; 0,636 363... ; 0,727 272... d. Comparad con el resto de los grupos las conclusiones que habéis obtenido. Respuesta abierta.

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29 10 Lee atentamente, reflexiona y escribe, en cada caso, dos ejemplos de números que cumplan la condición indicada. a. Números enteros, pero no naturales. Respuesta abierta. Por ejemplo: 0 y –6 b. Números racionales, pero no enteros.

1 4 y − 2 5 c. Números decimales que tienen infinitos cincos y sietes y que no son Respuesta abierta. Por ejemplo:

racionales. Respuesta abierta. Por ejemplo: 0,575 5755 57... y 0,757 755 777 555... d. Números decimales que tienen infinitos cincos y sietes y que son racionales. Respuesta abierta. Por ejemplo: 0,575 7... y 0,557 557... e. Números reales que no son racionales y que se suelen expresar mediante un símbolo. Respuesta abierta. Por ejemplo: Φ y π 11 Piensa y clasifica los números decimales que corresponden a estas fracciones sin efectuar la división: 31 → Periódico puro, porque al descomponer el denominador en producto de a. 7 factores, no contiene ni al 2 ni al 5. b. −

19 → Periódico mixto, porque al descomponer el denominador en producto 12 de factores primos, contiene al 2 o al 5 y además a otros números primos.

c.

45 → Decimal exacto, porque al descomponer el denominador en producto de 80 factores primos, contiene al 2, al 5 o a ambos.

d.

49 → Periódico puro, porque al descomponer el denominador en producto de 21 factores, no contiene ni al 2 ni al 5.

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30

e. −

21 → Periódico puro, porque al descomponer el denominador en producto de 13 factores, no contiene ni al 2 ni al 5.

f. −

18 → Periódico puro, porque al descomponer el denominador en producto de 11 factores, no contiene ni al 2 ni al 5.

SOLUCIONES PÁG. 35 NÚMEROS DECIMALES: CLASIFICACIÓN Y CONVERSIÓN

12 Copia la tabla en tu cuaderno y escribe cada número según el menor conjunto al que pertenezca:

−6 −3 12 −4

2 +1

1,232 23…

2,345 345…

1,25

16,27

̶6

2π 3

0

−

3 7

23

23

13 Piensa y escribe, en cada caso, un número que cumpla la condición indicada. a. Un número racional negativo que no sea entero. 1 Respuesta abierta. Por ejemplo: − 3 b. Un número entero que no sea natural.

Respuesta abierta. Por ejemplo: –6 c. Un número que sea real, pero no racional.

Respuesta abierta. Por ejemplo: π d. Un número que sea real, pero no irracional.

Respuesta abierta. Por ejemplo: 1,5

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31 14 Expresa con un número decimal positivo o negativo cada una de las siguientes situaciones: a. El saldo a mi favor en la cuenta es de 286,50 €. → +286,50 b. La temperatura media del planeta durante el año 2012 ha aumentado 0,45 ºC. → +0,45 c. El saldo a favor del banco en la cuenta es de 151,25 €. → –151,25 d. La capa de ozono se reduce aproximadamente un 2 % cada año. → –2 % 15 Escribe un número que cumpla cada una de las condiciones pedidas. a. Número decimal periódico entre 2,5 y 2,55. Respuesta abierta. Por ejemplo: 2,511 11... b. Número irracional entre 2 y 3. Respuesta abierta. Por ejemplo:

5

c. Número racional entre 4,5 y 4,6. Respuesta abierta. Por ejemplo: 4,555... d. Número irracional entre 9,1 y 9,2. Respuesta abierta. Por ejemplo:

84

16 Calcula, en cada caso, la diagonal aplicando el teorema de Pitágoras e indica si la solución es un número irracional. a. Rectángulo de 3 cm de largo y 4 cm de alto.

d 2 = 42 + 32 ⇒ d 2 = 25 ⇒ d = 25 = 5 Racional: 5 cm b. Rectángulo de 8 m de largo y 7 m de alto.

d 2 = 82 + 72 ⇒ d 2 = 113 ⇒ d = 113 Irracional:

113 m

17 Actividad resuelta. 18 Simplifica las expresiones cuando sea posible. a. 3 + 5 3 − 7 3 = 6 3 − 7 3 = − 3 b. 5 + 11 → No se puede simplificar. c. 3π + 7π − 2π = 10π − 2π = 8π d. 4 7 − 2 + 3 7 + 5 = 7 7 + 3 19 Halla, en cada caso, el valor absoluto. −1 1 = a. −2 2 b. −6 ⋅ 11 = 6 ⋅ 11 c. −5 π = 5π © María Presentación García López; Juana Municio Hernández; Pedro Ortega Pulido; Eva M.ª Villaoslada Marín © GRUPO EDELVIVES

32 20 Observa atentamente este vídeo sobre el descubrimiento de los números irracionales y responde a las siguientes preguntas: https://www.youtube.com/watch?v=kXx6p46gS1E a. ¿A quién se le atribuye este descubrimiento? Hipaso de Metaponto. b. ¿Qué supuso tal hallazgo para los pitagóricos? El descubrimiento puso en duda el principio pitagórico de que la realidad se podía describir mediante números enteros y racionales. c. ¿Qué números irracionales se mencionan en el vídeo? π; e, Φ y 2 APROXIMACIONES Y ERRORES 21 Usa la calculadora y redondea a las milésimas. a. 6 + 2 3 = 5,914 b. π + 3 2 = 7,384 c.

3 = 0,866 2

d. π2 = 9,870 e.

7 ⋅ 5 = 5,916

f. − 5 − 2 3 = –5,700

22 Con la ayuda de la calculadora, aproxima a las centésimas por exceso y por defecto los siguientes números: 21 a. 28 c. e. 80 19 b.

45 7

d. 21,512

f. 9,03

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33 SOLUCIONES PÁG. 36 23 Redondea a las milésimas cada número irracional y después calcula un valor aproximado para cada expresión. 2 = 0,707 a. 2 3π b. = 1,178 8 c. 5 − 6 = –3,764

1+ 5 = 1,618 2 e. 2 7 − 9 = –3,708 1 π f. − = –1,237 3 2 d.

24 Aproxima a las centésimas el área de un círculo de 5 m de radio. A = π ⋅ 5 2 = 78,539 8 … El área es 78,54 m2. 25 Miguel cruza en diagonal un parque rectangular de 8 km de largo y 7 km de ancho. Calcula aproximadamente los kilómetros que recorre. ¿Es razonable dar el resultado con tres cifras decimales? Razona tu respuesta. Miguel recorre: d 2 = 82 + 72 ⇒ d 2 = 113 ⇒ d = 113 = 10,630 145 81... km ≈ 10,630 km.

El resultado, expresado con tres cifras decimales, se corresponde con una aproximación a los metros, por lo que es una aproximación razonable en el contexto del problema. 26 Carlos va a cercar un terreno con forma circular de 15 m de radio. Calcula cuántos metros de valla necesita comprar aproximadamente.

=2⋅

⋅ 15 = 94,247 779…

Necesita comprar 95 m de valla. 27 En un campamento para refugiados se dispone de 500 kg de arroz al día para alimentar a 3 500 personas. a. Calcula la ración diaria que recibe cada persona. 500 : 3 500= 0,142 857 142… Cada persona recibe una cantidad diaria de 0,142 kg. b. ¿Se puede redondear por exceso el resultado? Razona tu respuesta. No se puede redondear por exceso porque al multiplicar 0,143 por 3 500 se obtendría una cantidad de arroz superior a la cantidad de que se dispone.

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34 28 Con la ayuda de la calculadora, redondea el error relativo que se comete al 11 aproximar por los siguientes números decimales: 32 a. 0,3 11 = 0,343 75 32 0,343 75 − 0,3 0,043 75 = ε= = 0,127 0,343 75 0,343 75 b. 0,34 ε=

0,343 75 − 0,34 0,343 75

=

0,003 75 = 0,011 0,343 75

c. 0,4 0,34375 − 0,4

0,056 25 = = 0,164 0,34375 0,34375 d. 0,3438 0,343 75 − 0,343 8 0,000 05 = = 0,000 1 0,343 75 0,343 75

29 Entra en esta página web y calcula los errores relativos y los errores absolutos que se cometen al realizar las aproximaciones que se indican. Después, verifica las soluciones que has obtenido pulsando sobre Comprobar. http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena1/3q1 _ejercicios_resueltos_5b.htm Respuesta abierta. 30 La tarifa Casa Óptima de electricidad es de 0,050 789 71 €/kWh, y el consumo medio anual de una familia es de 9 500 kWh. a. Calcula el valor exacto del consumo anual con la ayuda de la calculadora. Después, redondea adecuadamente el valor obtenido. El valor exacto es 482,502 245 €, y el valor aproximado, 482,50 €. b. ¿Cuál es el error relativo cometido en la aproximación anterior? 482,502 245 − 482,50 0,002 245 = ε= = 0,000 004 7 482,502 245 482,502 245 c. Copia la tabla en tu cuaderno y redondea el precio del kilovatio hora según se indica. Después, calcula el importe de la factura anual.

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35 d. Calcula el error relativo que se comete en cada uno de los casos anteriores. Los errores relativos son, respectivamente: ε=

ε=

ε=

482,502 245 − 482,6 482,502 245 482,502 245 − 484,5 482,502 245 482,502 245 − 475 482,502 245

=

=

0,097755 = 0,000 20 482,502 245

=

1,997 755 = 0,000 046 5 482,502 245

7,502245 = 0,015 55 482,502 245

e. Compara los resultados anteriores con el error obtenido en el apartado b. y explica si efectuar primero los redondeos y después las operaciones influye en el error cometido. Los errores relativos son mayores que en el apartado b.; por tanto, es mejor efectuar las operaciones y después redondear el resultado. 31 Los errores relativos de dos aproximaciones de un número son 0,001 y 0,01. ¿Cuál de las dos es más exacta? Razona la respuesta. Es más exacta la que menor error relativo tiene. COMPARACIÓN, ORDENACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES 32 Ordena los siguientes números de menor a mayor usando la calculadora: 5 28 18 113 a. , , , 4 9 11 90 5  = 1,25  4  )  28 = 3,1  5 113 18 28 9 < < ⇒ < 18 4 90 11 9 = 1,63   11 ) 113 = 1,25  90  1 3 7 4 b. − , − , − , − 3 4 2 9 )  1 − = −0,3  3  3 − = −0,75   7 3 4 1 4 ⇒− 0 tiene como gráfica una parábola abierta hacia abajo. Falso; es una parábola abierta hacia arriba. k. Si el vértice de una parábola es el punto (3 , 6) y a < 0, la parábola corta el eje X en dos puntos. Verdadero. l. Si una función cuadrática tiene un máximo en (3 , 4), entonces dicho punto es el vértice. Verdadero; el máximo o mínimo de una función cuadrática se corresponde con el vértice de la parábola que la representa.

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30 SOLUCIONES PÁG. 184 REPASO FINAL FUNCIONES LINEALES 1 Representa gráficamente, en cada caso, la función lineal y determina la pendiente de la recta correspondiente, indicando si es creciente o decreciente. Después, comprueba los resultados que has obtenido con Wiris. a. y = –4x b. y = 4x

c. y = 2x d. y = –2x

e. y = –x f. y = 5x

a. Pendiente: –4; función decreciente. b. Pendiente: 4; función creciente. c. Pendiente: 2; función creciente. d. Pendiente: –2; función decreciente. e. Pendiente: –1; función decreciente. f. Pendiente: 5; función creciente. 2 Determina la pendiente y la expresión algebraica de las funciones lineales que pasan por los siguientes puntos: a. A (3 , 1) Pendiente: m = ; ecuación: y = x b. B (–8 , 4) Pendiente: m = – = – ; ecuación: y = – x c. C (4 , –2) Pendiente: m = – = – ; ecuación: y = – x d. D (–1 , 1) Pendiente: m = –1; ecuación: y = –x

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31 3 Determina el dominio y el recorrido de estas funciones lineales: a. y = 3x Dominio: ℝ; recorrido: ℝ b. y = 0 Dominio: ℝ; recorrido: {0} c. y = –5x Dominio: ℝ; recorrido: ℝ d. y = 8x Dominio: ℝ; recorrido: ℝ 4 Completa en tu cuaderno las siguientes tablas, sabiendo que corresponden a funciones lineales: a.

b.

5 Para elaborar pan, se necesitan 700 g de agua por cada 300 g de harina. a. ¿Cuántos litros de agua se utilizarán para elaborar una masa de pan que contiene 3 kg de harina? Mediante una regla de 3, se obtiene que necesitamos 7 000 g de agua, que suponen 7 L de agua. b. ¿Qué cantidad de harina se precisa para preparar la masa de pan que contiene 14 L de agua? 6 000 g de harina; es decir, 6 kg de harina. c. Determina la expresión algebraica de la función que relaciona los gramos de harina que se usan en función de los gramos de agua. (Nota: 1 L agua = 1 000 g agua). y = x, donde x son los gramos de agua, e y, los gramos de harina.

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32 FUNCIONES AFINES 6 Indica cuál es la expresión algebraica de la función afín cuya gráfica pasa por el punto (0 , 4) y tiene pendiente 3. a. y = 3x + 4

c. y = 3x

b. y = 4x + 3

d. y = 4x

La respuesta es la a ya que es la única con pendiente 3 que cumple la igualdad al sustituir el punto dado. 7 Halla, en cada caso, la expresión algebraica de la función afín cuya gráfica pasa por los siguientes pares de puntos y determina si es creciente o decreciente, indicando también cuál es su dominio y su recorrido. a. A (1 , 2) y B (4 , 1) y = mx + n → 2 = m + n y 1 = 4m + n → n =

ym=–

f (x) = – - + ; la función afín es decreciente; Dominio: ℝ; Recorrido: ℝ b. A (8 , 2) y B (3 , 1) y = mx + n → 2 = 8m + n y 1 = 3m + n → n =

ym=

f (x) = - + ; la función afín es creciente; Dominio: ℝ; Recorrido: ℝ c. A (3 , 1) y B (–3 , –3) y = mx + n → 1 = 3m + n y –3 = –3m + n → n = –1 y m = f (x) = - – 1; la función afín es creciente; Dominio: ℝ; Recorrido: ℝ d. A (–3 , 4) y B (1 , 1) y = mx + n → 4 = –3 m + n y 1 = m + n → n = y m = − f (x) = − - + ; la función afín es decreciente; Dominio: ℝ; Recorrido: ℝ

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33 8 Representa las siguientes funciones en unos mismos ejes de coordenadas: y = –4x y = –4x + 2 y = –4x + 1 y = 4x y=2 y = 4x + 2

a. ¿Existe alguna relación entre las gráficas de estas funciones? Las funciones tienen la misma pendiente, aunque unas con signo contrario de las otras. b. Indica la pendiente de cada una y su ordenada en el origen. Pendientes: –4, –4, –4, 4, 0,4; ordenadas en el origen: 0, 2, 1, 0, 2, 2

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34 9 Una piscina municipal tiene una profundidad de 200 cm. Al inicio de la temporada se vacía y se limpian sus paredes con productos especiales para, a continuación, volver a llenarla. En este proceso, el nivel de la piscina aumenta a razón de 0,5 cm por minuto. a. Construye una tabla en la que se refleje el nivel del agua (expresado en centímetros) en función del tiempo de llenado (expresado en minutos).

b. Determina la expresión algebraica de esta función e indica de qué tipo es. y = 0,5x; es una función lineal c. Represéntala gráficamente.

d. ¿Cuál será el nivel de agua a los 10 min de empezarse a llenar? A los 10 minutos, el nivel del agua alcanza los 5 cm. e. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse? Tarda en llenarse 400 min.

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35 SOLUCIONES PÁG. 185 FUNCIONES CUADRÁTICAS 10 Indica cuáles de las siguientes funciones cuadráticas tienen máximo y cuáles tienen mínimo y calcúlalos en cada caso: a. y = 2x2 + x + 3 xv = – = – ⇒ yv = f

=2·

b. y = x2 + 6x + 9 xv = – = – = –3 ⇒ yv = f c. y = –x2 + 3x xv = – = = ⇒ yv = f d. y = –4x2 + 8x xv = – = = 1 ⇒ yv = f

– +3=

; se trata de un mínimo.

= 9 – 18 + 9 = 0; se trata de un mínimo.

=

+ = ; se trata de un máximo.

= –4 + 8 = 4; se trata de un máximo.

11 Indica cuáles de las siguientes funciones cuadráticas tienen un máximo: a. y = –3x2 + 2x – 3

b. y = 3x2 + 2

c. y = –x2 + 5x – 3

d. y = 4x2 + 3x – 1

Tienen máximo a. y c porque a < 0. 12 Calcula el vértice y el eje de simetría de estas parábolas: Vértice (–

, f (–

))

a. y = –x2 + 16 Vértice: xv = = 0 ⇒ yv = 16; V (0 , 16). Eje de simetría: x = 0 b. y = –2x2 – 8x – 6 Vértice: xv = = –2 ⇒ yv = –8 + 16 – 6 = 2; V (–2 , 2). Eje de simetría: x = –2 c. y = x2 + 2x – 5 Vértice: xv = – = –1 ⇒ yv = 1 – 2 – 5 = –6; V (–1 , –6). Eje de simetría: x = –1

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36 13 Representa gráficamente las funciones cuadráticas propuestas. Después, comprueba los resultados obtenidos con Wiris. a. y = x2 + 3x + 2

b. y = –3x2 + 5x + 2

c. y = –x2 – 3x + 10

d. y = x2 – 6x + 15

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37 14 Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones cuadráticas: a. y = x2 – 9x Como a > 0 y su eje de simetría está en x = , la función es decreciente en (–∞ , ) y creciente en ( , +∞). b. y = –x2 – 2x + 2 Como a < 0 y su eje de simetría está en x = –1, la función es creciente en (–∞ , –1) y decreciente en (–1 , +∞). 15 Determina la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (–4 , 10) y (–2 , 2) y corta el eje Y en (0 , 10). Al cortar el eje Y en (0 , 10), tenemos: ax2 + bx + c = y → 0·x2 + b·0 + c = 10 → c = 10 Sustituyendo el punto y el vértice tenemos el sistema de ecuaciones: 16a – 4b = 10 4a – 2b = 2

que da como solución: a = 2 y b = 8 → f (x) = 2x2 + 8x + 10

16 Determina la ecuación de la parábola que corta el eje X en los puntos (–1 , 0) y (3 , 0) y el eje Y en el punto (0 , –3). Al cortar el eje Y en el punto (0 , –3) y sustituirlo en la expresión algebraica de la función cuadrática (y = ax2 + bx + c) se deduce que c = –3. Si sustituimos el vértice y el punto que nos queda obtenemos: (–1 , 0) → a · (–1)2 + b·(–1) – 3 = 0 → a – b – 3 = 0 (3 , 0) → a · 32 + b · 3 – 3 = 0 → 9a + 3b – 3 = 0 Resolviendo el sistema tenemos que a = 1 y b = –2 por lo que la expresión algebraica de la función es: f (x) = x2 – 2x – 3 17 Indica cuál es el punto de corte con el eje Y de las siguientes parábolas. Después, comprueba con Wiris los resultados obtenidos. a. y = x2 + 5x – 3 (0 , –3) porque al sustituir x por 0, el punto resultante es ese. b. y = –4x2 + 5x (0 , 0) porque al sustituir x por 0, el punto resultante es ese. c. y = x2 – 7x + 19 (0 , 19) porque al sustituir x por 0, el punto resultante es ese. d. y = –3x + 2x + 1 (0 , 1) porque al sustituir x por 0, el punto resultante es ese.

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38 18 El espacio recorrido por un móvil sigue una trayectoria parabólica determinada por la ecuación y = –3x2 + 8x, donde y representa el espacio recorrido, expresado en metros, y x, el tiempo, expresado en segundos. Determina cuál es la máxima altura a la que llega y en qué instante la alcanza. El vértice de la gráfica de la función cuadrática y = –3x2 + 8x es: xv = = = 1,33 ⇒ yv = –3 · + 8 · = = Por tanto, V ( ,

).

La altura máxima se alcanza para x =

alcanza una altura de 5,33 m

s, es decir, a los 1,33 s. En ese momento se

.

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39 19 Entra en esta página web y lee la información que se proporciona sobre las funciones cuadráticas: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm A continuación, estudia los tipos de funciones cuadráticas y modifica los parámetros de las ecuaciones correspondientes para ver cómo varían las gráficas. Finalmente, representa en tu cuaderno estas otras funciones cuadráticas: a. y = –x2 + x – 3

b. y = 2x2 + 3

c. y = –x2 + 2x – 5

d. y = 6x2 + 4x – 4

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40 APLICACIONES GEOMÉTRICAS 20 Representa gráficamente las soluciones de las siguientes ecuaciones lineales: a. 2x + 3y + 4 = 0

b. –x + 2y = 0

c. 8x – 2y = 16

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41 d. y – x = 9

e. 2x + 7 = y

f. –3x – 4 = 9y

21 Estudia la posición relativa de estos pares de rectas: a. 3x + 5y = 1; x – 3y = 2 y= - -ey= + -. Como tienen pendientes distintas, son rectas secantes. b. 4x – 2y = 3; 2x – y = 5 b. y = +2- e y = 2x – 5. Como tienen la misma pendiente, pero sus ordenadas en el origen son distintas, la primera

y la segunda –5, son rectas paralelas.

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42 22 Indica cuáles de las siguientes rectas son paralelas a la recta y = –3x + 5: a. y = 3x + 2

c. y = 5x – 3

b. y = –3x + 4

d. y = –3x

b y d tienen la misma pendiente y además sus ordenadas en el origen son distintas. Por lo que b y d son paralelas a la recta dada. SOLUCIONES PÁG. 186 23 Determina si los siguientes pares de rectas son paralelas o secantes: a. y = x – 5; y = 3x – 5 Son secantes, pues tienen distinta pendiente. b. y = 4x; y = 4x + 2 Son paralelas, pues ambas tienen pendiente 4 y distinta ordenada en el origen. c. y = 5x – 2; y = 5x + 2 Son paralelas, pues ambas tienen pendiente 5 y distinta ordenada en el origen. d. y = 3; y = 4 Son paralelas, pues ambas tienen pendiente 0 y distinta ordenada en el origen. 24 Halla la ecuación de la recta que es paralela a y = –5x + 7 y pasa por el punto (1 , 1). y = mx + n → 1 = –5 + n → n = 6: y = –5x + 6 25 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A (1 , 1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos P (–1 , 2) y Q (1 , –1). y = mx + n → 2 = –m + n y –1 = m + n → m = – y n = . La recta por tanto es: – x + . La segunda recta que debe ser paralela a la anterior, se calcula sustituyendo el punto por el que pasa y calculando n: 1 = – · (1) + n → n = y la recta sería: y = – x + .

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43 26 Determina si los siguientes sistemas de ecuaciones lineales tienen solución y, en caso afirmativo, obtén las soluciones de forma gráfica: & (# ! +" " & %# ! "

a.

Se cortan en el punto (1 , 3); luego, la solución del sistema es x = 1, y = 3. b.

( & %# ! ( "# ! 3

Se cortan en el punto (2 , –2); luego, la solución del sistema es x = 2, y = –2. % &#!" % &#!$ Se trata de dos rectas paralelas, ya que la pendiente de ambas es –2 y tienen distinta ordenada en el origen. c.

d.

%

$# ! +( $# ! +"

Se cortan en el punto (1 , 3), luego la solución es x = 1, y = 3.

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44 27 Determina las ecuaciones de las rectas r y s, teniendo en cuenta que la primera pasa por los puntos (1 , 1) y (3 , 0), y que la segunda tiene pendiente 4 y pasa por el punto (2 , 1). Calculamos la recta r: y = mx + n → 1 = m + n y 0 = 3m + n → m = – y n = . La recta por tanto es: y = – x + Calculamos la recta s: y = mx + n → 1 = 4 · 2 + n → n = –7 La recta por tanto es: y = 4x – 7 a. ¿Son paralelas o secantes? En caso de ser secantes, calcula su punto de corte. Son rectas secantes, pues tienen diferentes pendientes. Para obtener el punto de corte se representan ambas rectas o se resuelve el sistema de ecuaciones:

El punto de corte es

,

b. Determina la ecuación de la recta paralela a r que pasa por el punto (3 , 1). 1 = – · 3 + n → n = → y = – x + 28 Determina la ecuación de la recta que es paralela a y = x + 2 y pasa por el punto de corte de estas rectas: r : x + 5y = 2; s : –4x + y = –8 Se representan las rectas y se calcula el punto de corte:

Resolviendo el sistema también se puede calcular el punto de corte. Obtenemos que x = 2 e y = 0. El punto es entonces (2 , 0). 0 = 2 + n → n = –2 → y = x – 2

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45 29 Calcula las coordenadas de los vértices del triángulo que resulta de la intersección de estas tres rectas: r : x – 1 = 0; s : –x + y = 1; t : x + y = –1 La representación de las tres rectas es:

Los vértices del triángulo son (1 , 2), (1 , –2) y (–1 , 0). 30 Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas e interpreta los resultados de forma gráfica: a. 2x2 – 5x + 3 = 0 -!

± √ 0

1

=

± √



→ x1 = = y x2 = 1.

La parábola que representa la función cuadrática corta el eje X en los puntos (1 , 0). b. –2x2 + 14x – 24 = 0 ± √ 0

1

± √

, 0 y



-! = → x1 = 4 y x2 = 3 La parábola que representa la función cuadrática corta el eje X en los puntos (4 , 0), (3 , 0) c. x2 + 7x = 0 ± √ 0

1

± √

-! = → x1 = 0 y x2 = –7 La parábola que representa la función cuadrática corta el eje X en los puntos (–7 , 0), (0 , 0). d. x2– 3x + 10 = 0

-!

± √ 0

1

=

± √

→ No tiene solución real, por lo que la parábola que

representa la función cuadrática no corta el eje X en ningún punto. e. –x2 + 3x + 9 = 0

-!

± √ 0

1

=

± √ *

√

* √

y x2 = La parábola que representa la función cuadrática corta el eje X en los puntos (4,85 ; 0) y (–1,85 ; 0). f. x2 – 10x + 25 = 0 ±√ 0

1

→ x1 =

±√

-! = → x = 5 solución doble. La parábola que representa la función cuadrática corta el eje X en el punto (5 , 0).

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46 31 Resuelve estas ecuaciones cuadráticas e interpreta los resultados de forma gráfica: a. –x2 + 6x – 8 = 0 ± √ 0

1

± √



-! = → Soluciones: x = 2, x = 4. La parábola y = – x2 + 6x – 8 corta el eje X en los puntos (2 , 0) y (4 , 0) b. x2 – 5x = 0 ± √ 0

1

± √

-! = → Soluciones: x = 0, x = 5. La parábola y = x2 – 5x corta el eje X en los puntos (0 , 0) y (5 , 0) c. 2x2 + 2x + 6 = 0 ± √ 0

1

± √

= → No tiene soluciones. La parábola y = 2x2 + 2x + 6 no -! corta el eje X en ningún punto. d. –x2 + 8x – 16 = 0 ± √ 0

1

± √



-! = → Soluciones: x = 4 (solución doble). 2 La parábola y = – x + 8x – 16 corta el eje X en un único punto, (4 , 0), que es su vértice.

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47 32 Determina los puntos de corte con los ejes de las parábolas representadas e indica, en cada caso, una ecuación de segundo grado cuyas soluciones coincidan con las abscisas de los puntos de corte. a.

Puntos de corte con los ejes: (0 , 0) y (2 , 0). Una ecuación cuadrática con estas soluciones es: x (x – 2) = x2 – 2x = y b.

Puntos de corte con los ejes: (2 , 0) y (3 , 0). Una ecuación cuadrática sería: (x – 2)(x – 3) = x2 – 5x + 6 = y c.

Puntos de corte: (–1 , 0), (2 , 0). Una ecuación cuadrática sería: (x + 1) (x – 2) = x2 – x – 2 = y

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48 LAS FUNCIONES EN LA VIDA COTIDIANA 33 El año 2000 se instauró el euro en algunos países de la Unión Europea. Antes de dicha fecha, la moneda que existía en España era la peseta. El sistema de cambio aproximado permitía obtener 6 € por cada 1 000 pesetas. a. Copia en tu cuaderno y completa esta tabla:

b. Encuentra la expresión algebraica de la función que proporciona el número de pesetas que se pueden obtener con cierto número de euros. ¿Se trata de una función de proporcionalidad directa? Se trata de una función de proporcionalidad directa definida por la expresión algebraica: y = 166,66x SOLUCIONES PÁG. 187 34 Una academia de matemáticas cobra una cuantía fija de 20 € en concepto de matrícula más 28 € mensuales. a. Halla la expresión algebraica de la función que proporciona el precio que se ha de pagar por asistir un número determinado de meses. y = 20 + 28x b. Representa gráficamente la función.

c. Determina su dominio y su recorrido. Dom = (0 , ∞); Rec (20 , ∞)

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49 35 Dos estanques de 1 000 L de capacidad se están llenando simultáneamente. El estanque A se llena a razón de 4 L/min, mientras que el estanque B lo hace a razón de 3 L/min. Si el estanque A estaba vacío y el estanque B tenía 16 L de agua: a. Determina la expresión analítica de las funciones que expresan el llenado de cada estanque. y = 4x para el estanque A e y = 16 + 3x para el estanque B. b. Representa las funciones gráficamente.

c. ¿Existe algún instante en el que los estanques tengan la misma cantidad de agua? El momento en el que ambos estanques tienen la misma cantidad de agua se alcanza para x = 16, momento en que se cortan las dos rectas. Es decir, a los 16 minutos. d. ¿Cuál de los dos estanques se llena antes? Se llena antes el estanque A. A partir del minuto 16, los valores de la recta y = 4x son mayores que los de la recta y = 16 + 3x. 36 Un trabajador cobra 12 € por cada hora de trabajo. a. Construye una tabla que exprese la relación entre el sueldo que percibe el trabajador y las horas que trabaja.

b. ¿Son magnitudes directamente proporcionales? En caso afirmativo, ¿cuál es la constante de proporcionalidad? ¿Cuál es la expresión algebraica de esta función? Son magnitudes directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad es 12. La expresión de la función lineal es: f (x) = 12x

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50 37 Un balón de baloncesto sigue una trayectoria determinada por la expresión y = 5x – x2, donde y representa la altura que alcanza, expresada en metros, y x el tiempo, expresado en segundos. a. Dibuja la gráfica que muestra su trayectoria.

b. ¿Cuál es la máxima altura a la que llega? ¿En qué instante la alcanza? Calculamos el vértice de la parábola: xv = = e yv = f =f =5· – La altura máxima es de

2

=

= 6,25 m y se alcanza en el instante x = , es decir a los 2,5 s.

38 Joanna desea construir un recinto rectangular para un rebaño de ovejas y dispone de 200 m de valla. Calcula cuáles han de ser las dimensiones del rectángulo para que el área sea máxima. Si se designa el ancho con x y el largo con y, y se considera que el perímetro del rectángulo es de 200 m, entonces se tiene: 2x + 2y = 200 → x + y = 100 → y = 100 – x Por tanto, el área del rectángulo en función del ancho viene dado por la función cuadrática: f (x) = x (100 – x) = 100x – x2 El vértice de la parábola que representa esta función es: xv = ! = 50 ⇒ yv = f = f (50) = 100 · 50 – 502 = 5 000 – 2 500 = 2 500 Luego, el ancho es x = 50, y el largo, y = 50. El rectángulo es de 50 × 50 (es el rectángulo de área máxima). El área máxima es 2 500 m2.

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51 EVALUACIÓN 1 La pendiente de la función lineal que pasa por el punto (4 , 8) es: a. 4

b. 2

c.

Solución b porque m = = 2

+ %

d. 8

2 La expresión algebraica de la función que determina el precio de x kg de kiwis si 2 kg valen 6 € es: a. y = 6x

b. y = 2x

c. y = 3x

d. y = x

Solución c porque y = x = 2x 3 ¿Cuáles de las siguientes rectas son paralelas? a. y = 3x; y = x + 3 b. y = 2; y = 2x

c. y = 4x – 1; y = 4x d. y = x + 2; y = 2x

Solución c porque tienen igual pendiente y distinta ordenada en el origen. 4 ¿Cuál de las siguientes funciones es afín? a. y = 5x

b. y = 8

c. y = –7x

d. y = x2

Solución b porque n es un número real no nulo. 5 La ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos A (2 , 2) y B (1 , –1) es: a. y = 3x – 4 b. y = 4x – 2

c. y = 3x d. y = –3x + 4

Solución a porque m =

= 3 y n = 2 – 2m = –4

6 ¿Cuál es el máximo de la función y = x2 – 4x + 2? a. (2 , 4)

b. (4 , –2)

c. No tiene.

d. (2 , – 4 )

Solución c porque a > 0 y no tiene máximo, tiene mínimo. 7 El eje de simetría de la parábola y = 3x2 – 12x + 1 es la recta: a. x = –12 b. x = 2 c. x = 6 d. x = 5 Solución b porque xv =

!

=2

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52 8 La parábola y = –x2 – x + 6: a. No tiene ningún punto de corte con el eje X. b. Tiene un punto de corte con el eje X. c. Tiene dos puntos de corte con el eje X. Solución c porque 5

467 = 25 > 0

9 ¿Cuál es el punto de corte con el eje Y de la parábola y = –5x2 + 3x + 7? a. No tiene.

b. (0 , 7)

c. (7 , 0)

d. (0 , –7)

Solución b porque cuando x = 0 → y = 7 10 La función f (x) = 3x2 + 6x – 3 es creciente en: a. (–∞ , –1) b. (–1 , +∞)

c. (–∞ , –6) d. (–6 , +∞)

Solución b porque xv =

!

= –1 y al ser a > 0, es un mínimo y decrece hasta –1.

Por tanto, crece desde ahí hasta +∞.

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MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS 3.º ESO somoslink

SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO

UNIDAD 9. GEOMETRÍA PLANA

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2

Unidad 9. Geometría plana SOLUCIONES PÁG. 198 1

Indica tres elementos de la vida cotidiana que puedan identificarse con cada uno de estos elementos geométricos: a. Recta. Respuesta abierta. b. Semirrecta. Respuesta abierta. c. Segmento. Respuesta abierta.

2

Dada una recta, r, y un punto, P, exterior a esta, indica cuántas rectas podemos trazar que pasen por P y sean: a. Secantes a r. Infinitas. b. Paralelas a r. Solo una. c. Perpendiculares a r. Solo una.

3

Decide si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando convenientemente tu respuesta: a. Toda recta, r, perpendicular a otra recta, s, es secante a esta. Verdadero. La corta bajo un ángulo de 90º. b. Toda recta, r, secante a otra recta, s, es perpendicular a esta. Falso. Puede cortarla bajo cualquier ángulo; no tiene que ser necesariamente de 90º.

SOLUCIONES PÁG. 201 4

Actividad resuelta.

5

Calcula la amplitud de los ángulos indicados.

El ángulo α y el ángulo de 150º son suplementarios y sus amplitudes suman 180º. Por lo tanto:α = 180º ‒ 150º = 30º El ángulo β y el ángulo de 150 son ángulos opuestos por el vértice, por lo tanto, miden lo mismo: β = 150º

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3 6

Actividad resuelta.

7

Calcula, en cada caso, la amplitud del ángulo α. a.

⇒ El ángulo α’ es suplementario con el ángulo de 137º. Por lo tanto, su amplitud es: α' =180º ‒ 137º = 43º Los ángulos α y α' son correspondientes, y por tano, tienen la misma amplitud, es decir, α = α' = 43º b.

⇒ Los ángulos α y α' son correspondientes, por lo tanto, miden lo mismo. El ángulo α' y el ángulo de 30º son ángulos suplementarios, y suman 180º. Así: α' = 180º ‒ 30º = 150º. Es decir, α = 150º. 8

Calcula la amplitud de los siguientes ángulos: a.

⇒ Los ángulos α y α' son correspondientes, por lo tanto, miden lo mismo. El ángulo α' y el ángulo de 110º son ángulos suplementarios, y suman 180º. Así: α' = 180º ‒ 110º = 70º. Es decir, α = 70º. Los ángulos β y β' son correspondientes, por lo tanto, miden lo mismo. El ángulo β' y el ángulo de 75º son ángulos suplementarios, y suman 180º. Así: β' = 180º ‒ 75º = 105º. Es decir, β = 105º. b.

⇒ Los ángulos γ y γ' son correspondientes, por lo tanto, miden lo mismo. El ángulo γ' y el ángulo de 40º son ángulos suplementarios, y suman 180º. Así: γ' = 180º ‒ 40º = 145º. Es decir, γ = 40º.

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4 Los ángulos δ y δ' son correspondientes, por lo tanto, miden lo mismo. El ángulo δ' y el ángulo de 135º son ángulos suplementarios, y suman 180º. Así: δ' = 180º ‒ 135º = 45º. Es decir, δ = 45º. c.

⇒ Los ángulos ε y ε' son correspondientes, por lo tanto, miden lo mismo. El ángulo ε' y el ángulo de 45º son ángulos opuestos por el vértice. Así: ε' = 45º y, por tanto, ε = 45º. El ángulo α y el ángulo de 45º son ángulos suplementarios, y suman 180º. Así: α = 180º ‒ 45º = 135º. Es decir, α = 135º. Los ángulos α y α’ son ángulos opuestos por el vértice. Por tanto, α = α’ = 135º. La suma de los ángulos internos en un triángulo es de 180º. Entonces: α’ + 10º + λ’’ = 180º ⇒ λ’’ = 180º – 10º – 135º = 35º. Los ángulos λ’’ y λ' son opuestos por el vértice, por lo tanto, miden lo mismo, 35º. Los ángulos λ' y λ son ángulos correspondientes, y miden lo mismo. Es decir, λ = 35º. 9

Halla la amplitud de los ángulos indicados.

⇒ El ángulo α y el ángulo de 60º son ángulos suplementarios, y suman 180º. Así: α = 180º ‒ 60º = 120º. El ángulo λ’ y el ángulo de 60º son ángulos correspondientes. Por lo tanto, miden lo mismo: λ’ = 60º. Los ángulos λ’ y δ son ángulos suplementarios y suman 180º. Así: λ’ + δ = 180º ⇒ δ = 180º – 60º = 120º. El ángulo ε’ y el ángulo de 60º son ángulos correspondientes. Por lo tanto, miden lo mismo: ε’ = 60º. Los ángulos ε’ y β son ángulos suplementarios y suman 180º. Así: ε’ + β = 180º ⇒ β = 180º – 60º = 120º.

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5 SOLUCIONES PÁG. 202 10 Dibuja en tu cuaderno el lugar geométrico de los puntos del plano que distan 3 unidades de una recta dada. Son dos rectas paralelas a la recta dada que distan de ella 3 unidades. Se siguen estos pasos: 1. Se dibuja una recta:

2. Se dibuja una circunferencia de 3 cm de radio.

3. Se dibuja una recta paralela a la dada y secante a la circunferencia en la parte superior de la circunferencia:

4. Y por último se dibuja otra recta paralela a la dada y secante a la circunferencia en la parte inferior de la circunferencia:

11 Determina el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas paralelas. Es la recta paralela media. 12 Traza en tu cuaderno el lugar geométrico de los puntos del plano que distan 2 unidades de un punto fijo, O. ¿De qué figura conocida se trata?

Es una circunferencia de centro el punto O y radio 2 unidades.

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6 13 Dibuja un triángulo cuya base mida 6 cm y cuyos lados sean de 5 cm y 4 cm, respectivamente. a. Traza las mediatrices de los segmentos que forman los lados del triángulo y comprueba que se cortan en un punto.

b. ¿Recuerdas cómo se llama ese punto? ¿Qué propiedad cumple dicho punto con respecto a los vértices del triángulo? Circuncentro. Cumple la propiedad de equidistar de los vértices del triángulo y, por tanto, es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. SOLUCIONES PÁG. 203 14 Traza un cuadrado de 4 cm de lado y las bisectrices de sus ángulos. ¿Qué deduces? Dibuja ahora un rectángulo de 4 cm de base y 2 cm de altura. Traza las bisectrices de sus ángulos. ¿Qué sucede?

En el cuadrado, las bisectrices coinciden con las diagonales; por tanto, las diagonales se cortan en el punto medio del cuadrado y son perpendiculares entre sí.

En el rectángulo, hay 4 bisectrices (una por cada ángulo) y se cortan dos a dos perpendicularmente, pero ya no coinciden con las diagonales. En este caso, las diagonales se siguen cortando en el punto medio del rectángulo, pero ya no lo hacen bajo ángulos de 90º.

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7 15 En la plaza de un pueblo se quiere colocar una estatua dedicada a un ciudadano ilustre. Se desea situarla a igual distancia de la iglesia, el ayuntamiento y el colegio. Copia este esquema en tu cuaderno y traza el punto exacto donde debe colocarse el monumento.

La estatua se debe situar en el punto de intersección de las mediatrices de los segmentos que unen el ayuntamiento con el colegio y el colegio con la iglesia.

16 Dibuja un triángulo de 5 cm de base y cuyos lados midan 6 cm y 7 cm, respectivamente. Traza las bisectrices de los ángulos del triángulo y comprueba que se cortan en un punto. ¿Qué propiedad cumple ese punto con respecto a los lados del triángulo? ¿Cómo se denomina dicho punto?

Las tres bisectrices se cortan en el incentro. El incentro cumple la propiedad de equidistar de los lados del triángulo y es, por tanto, el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

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8 17 En un parque que tiene la forma que se muestra en la ilustración se desea colocar una farola de manera que se encuentre a igual distancia de los dos lados rectos y que, a su vez, equidiste de las dos entradas. Copia este esquema en tu cuaderno y señala el punto exacto donde debe colocarse la farola.

La farola se debe colocar en el punto de intersección de la bisectriz de los lados rectos del parque con la mediatriz del segmento que une las dos entradas.

SOLUCIONES PÁG. 207 18 Actividad resuelta. 19 Encuentra el número de lados de un polígono convexo, sabiendo que la suma de sus ángulos interiores es 1 440°.

(n ‒ 2) · 180º = 1 440º ⇒ 180n ‒ 360 = 1 440 ⇒ n =

1800 = 10 180

Tiene 10 lados. 20 Determina el número de lados de un polígono convexo, sabiendo que tiene 9 diagonales en total. n (n − 3 ) 2 ⇒n=

= 9 ⇒ n2 − 3n = 18 ⇒ n2 − 3n − 18 = 0 ⇒

3 ± 9 − 4 ⋅ ( −18 ) 2

3+9  n = 2 = 6 3 ± 81 3 ± 9 = = ⇒ 2 2 n = 3 − 9 ⇒ Solución no valida  2

El polígono convexo tiene 6 lados.

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9 21 Ayudándote de la cuadrícula, calcula el área de los siguientes triángulos:

Triángulo naranja: 3 u2 Triángulo rojo: 2 u2 Triángulo verde: 1 u2 Triángulo azul: 1,5 u2 Triángulo rosa: 2 u2 22 Calcula el área de la siguiente figura:

La figura se ha descompuesto es 3 figuras más sencillas. El área de dicha figura es la suma de cada una de las áreas. Se calcula el área de cada una de ellas: A = AT1 + AT2 + AT3 AT1 =

9⋅3 = 13, 5 cm2 2

AT2 =

3⋅3 = 4,5 cm2 2

AT3 =

3⋅3 = 4,5 cm2 2

A = 13, 5 cm2 + 4, 5 cm2+ 4, 5 cm2 = 22,5 cm2 23 Expresa en metros cuadrados el área de la figura coloreada.

Acuadrado grande = 72 = 49 ⇒ Acuadrado grande = 49 dm2 Acuadrado pequeño = 3,52 = 12,25 ⇒ Acuadrado pequeño = 12,25 dm2

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10

Atriángulo =

3,5 ⋅ 7 = 12,25 ⇒ Atriángulo = 12,25 dm2 2

Afigura coloreada = 49 ‒ (12,25 · 3) = 12,25 ⇒ Afigura coloreada = 12,25 dm2 = 0,122 5 cm2 24 Clasifica los siguientes cuadriláteros:

(Nota: en la primera edición del libro del alumno, había un triángulo rectángulo en vez de un trapecio rectángulo.)

25 El área de un rombo es de 75 cm2. ¿Cuánto mide su diagonal mayor si la menor es de 10 cm? 75 =

D⋅7 75 ⋅ 2 ⇒D= = 15 2 10

La diagonal mayor mide 15 cm.

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11 26 La plaza de un pueblo tiene forma de trapecio isósceles como el de la ilustración.

Con motivo de las fiestas, la banda de música tocará en la parte de la plaza que aparece coloreada en la figura. ¿Cuántos metros cuadrados de lona se necesitan para formar un toldillo que proteja a la banda del sol? Atrapecio =

(110 + 30 ) ⋅ 30 = 2

4 200 = 2 100 ⇒ Atrapecio = 2 100 m2 2

El área total del trapecio es 2 100 m2. Atriángulo no coloreado =

110 ⋅ 30 = 1 650 Atriángulo no coloreado = 1 650 m2 2

El área del triángulo no coloreado es 1 650 m2. La superficie del toldillo es 2 100 – 1 650 = 450 m2. 27 Halla la amplitud del ángulo central y de los ángulos interiores de un polígono regular de doce lados. El ángulo central mide: α =

360º 360º = = 30º n 12

Cada uno de los ángulos interiores mide: β =

( n − 2 ) ⋅180º = (12 − 2 ) ⋅180º n

12

= 150º.

28 ¿Cuál es el área de un hexágono regular de 6 cm de lado y 5,2 cm de apotema? Ahexágono =

P·ap 6 ⋅ 6 ⋅ 5, 2 = 93,6 cm2 = 2 2

29 Determina el valor de la apotema de un decágono regular de 4 cm de lado cuya área es de 123,11 cm2.

123,11 =

10 ⋅ 4 ⋅ ap 246, 22 ⇒ 246, 22 = 40 ⋅ ap ⇒ ap = = 6,156 cm 2 40

30 Actividad resuelta.

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12 31 Calcula el área de un heptágono regular de 5 cm de lado, sabiendo que el diámetro de la circunferencia inscrita es de 10,38 cm. El radio de la circunferencia inscrita es la mitad del diámetro, r = 5,19 cm. La longitud de la apotema del heptágono mide lo mismo que el radio de la circunferencia inscrita:

Aheptágono =

P· ap 7 ⋅ 5 ⋅ 5,19 = = 90,825 ⇒ Aheptágono = 90,825 cm2 2 2

SOLUCIONES PÁG. 209 32 Para realizar esta actividad, formad grupos de dos o tres alumnos. Se trata de obtener de forma empírica el valor de π. Para ello, tenéis que partir del hecho de que en cualquier circunferencia π es el cociente entre la longitud y el diámetro. Proceded del siguiente modo: • Coged un objeto con base circular, por ejemplo un portalápices. • Medid, con ayuda de una cuerda o hilo de algodón grueso, la circunferencia de la base y anotad su longitud. • Medid con la misma cuerda el diámetro de la base del objeto. • Anotad el cociente entre ambas medidas. • Repetid el proceso varias veces, utilizando otros objetos de base circular (una lata de refresco, una papelera, etc.). • La aproximación del valor de π se determinará a partir de la media aritmética de los distintos cocientes obtenidos. De esta forma, se minimiza el margen de error cometido en las mediciones. Respuesta abierta.

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13 33 La primera aproximación del número π, que data del antiguo Egipto (1800 a. C.), partía del supuesto de que el área de un círculo de diámetro d era «similar» al 8 área de un cuadrado de lado d. A partir de esta aproximación se obtenía una 9 fracción que resultaba ser una aproximación bastante razonable de π. Intenta obtener tú esa fracción partiendo de un círculo de 9 unidades de diámetro. Busca información sobre otros métodos para calcular el número π. Área círculo de diámetro 9 unidades = 20,25π u2 Área cuadrado de lado 8 unidades = 64 u2 Igualando y despejando π, se tiene: π =

64 6 400 256 = = = 3,1604 20, 25 2025 81

34 Calcula la amplitud del ángulo inscrito en una circunferencia de 9 cm de radio, sabiendo que abarca un arco de 7π cm. larco =

2 ⋅ π· r · n 2⋅ π ⋅9⋅ n 3600 ⋅ 7 ⋅ π 2 520 7π n = = 1400 ⇒ = ⇒ = 0 0 360 360 18 2⋅ π ⋅9

El ángulo central mide 140º y, por tanto, el inscrito mide 70º.

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14 35 Determina el área de las siguientes figuras circulares: a. Sector circular de 3 cm de radio y 45° de amplitud.

π ⋅ 32 ⋅ 450 9π = = 3,53 cm2 0 360 8

Asector circular =

b. Corona circular cuyos radios miden 7 cm y 5 cm. Acorona circular = π · (72 ‒ 52) = 24π cm2 = 75,4 cm2 c. Trapecio cuyos radios miden 2 cm y 6 cm y que tiene una amplitud de 30°. Atrapecio circular =

(

)

π ⋅ 62 − 22 ⋅300 360

0

=

8π = 8,38 cm2 3

d. Segmento circular de 5 cm de radio y 90° de amplitud.

Asector circular =

Atriángulo =

π ⋅ 52 ⋅ 900 = 3600

25π = 19,63 cm2 4

5⋅5 = 12,5 cm2 2

Área del segmento circular = 19,63 – 12,5 = 7,13 cm2

SOLUCIONES PÁG. 211 36 Halla la altura de un triángulo equilátero de 6 cm lado. En un triángulo equilátero los tres lados miden lo mismo. Se aplica el teorema de Pitágoras: 62 = 32 + h2

h=

27 = 5,2 cm

37 Calcula el área de un triángulo equilátero de 27 dm de perímetro. Lado = 9 Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la altura: 92 = 4,52 + h2 ⇒ h = 60, 75 = 7,79 dm A =

9 ⋅ 7, 79 = 35,06 dm2 2

La altura del triángulo mide h = 7,79 dm; el área es 35,06 dm2

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15 38 En un triángulo isósceles, los lados iguales miden 10 cm y el lado desigual 12 cm. ¿Cuánto mide su altura? Se aplica el teorema de Pitágoras: 102 = 62 + h2 ⇒ h =

64 = 8 cm

39 Averigua cuánto miden los lados iguales de un triángulo isósceles, sabiendo que su altura es de 7 dm y que el lado desigual mide 4 dm.

l2 = 22 + 72 ⇒ l =

53 = 7,28 cm

Cada lado mide 7,28 cm. 40 Determina el lado de un cuadrado cuya diagonal vale 8 m. 82 = a2 + a2 ⇒ 64 = 2a2 ⇒ a2 = 32 ⇒ a = El lado mide 5,66 m.

32 = 5,66 m

41 ¿Cuánto vale la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 15 y 20 m? h2 = 202 + 152 ⇒ h =

625 = 25 m

La diagonal mide 25 m. 42 Una rampa de 13 m de longitud salva un desnivel de 5 m. ¿Qué longitud tiene la base de la rampa? 132 = 52 + b2 ⇒ b =

144 = 12 m

La base de la rampa mide 12 m. 43 La piscina del pabellón polideportivo de mi ciudad es un rectángulo que mide 40 m de largo y 30 m de ancho. ¿Cuánto mide la diagonal? h2 = 402 + 302 ⇒ h =

2 500 = 50 m

La diagonal mide 50 m.

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16 44 Actividad resuelta. 45 Halla el valor de x en el siguiente triángulo:

152 = 92 + a2 ⇒ a =

144 = 12 cm

x2 = 72 + 122 ⇒ x =

193 = 13,89 cm

La altura mide 12 cm, de manera que x = 13,89 cm. 46 Actividad resuelta. 47 Representa gráficamente sobre la recta real los siguientes números irracionales:

10 ; 17 ; •

Para representar

26 ; 13 ;

3

10 se descompone de la forma

10 = 12 + 32 . A partir de

esta expresión, el teorema de Pitágoras permite expresar 10 como la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 3 unidades.

•

17 se descompone de la forma 17 = 12 + 42 . A partir de esta expresión, el teorema de Pitágoras permite expresar 17 como la

Para representar

hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 4 unidades.

•

Para representar

26 se descompone de la forma

26 = 12 + 52 . A partir de

26 como la esta expresión, el teorema de Pitágoras permite expresar hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 5 unidades.

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17

•

Para representar

13 se descompone de la forma

13 = 32 + 22 . A partir de

esta expresión, el teorema de Pitágoras permite expresar 13 como la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 2 unidades.

•

Para representar

3 se descompone de la forma

2

3 = 12 + 2 . A partir de

3 como la esta expresión, el teorema de Pitágoras permite expresar hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 2 unidades.

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18 48 Calcula el área de las siguientes figuras: a.

⇒ El área de la figura es la suma de las áreas de los triángulos T1 y T2. Se halla la altura del triángulo T1 aplicando el teorema de Pitágoras: 52 = 32 + h2 ⇒ h = El área de T1 es: AT1 =

16 = 4 cm

3⋅ 4 = 6 cm2 2

Se calcula la base del triángulo T2 aplicando el teorema de Pitágoras: 82 = 42 + b2 ⇒ b = El área de T2 es: AT2 =

48 = 6,93 cm

4 ⋅ 6, 93 = 13,86 cm2 2

El área total es: A = AT1 + AT2 = 6 cm2 + 13,86 cm2 = 19,86 cm2 b.

Se aplica el teorema de Pitágoras al triángulo grande para calcular la altura, h: 262 = 102 + h2 ⇒ h =

576 = 24 m

El área del triángulo grande es: AT1 =

10 ⋅ 24 = 120 m2 2

Se aplica el teorema de Pitágoras al triángulo pequeño para calcular la altura, h: 132 = 52 + h2 ⇒ h =

144 = 12 m

El área del triángulo pequeño es: AT2 =

5 ⋅12 = 30 m2 2

El área de la parte coloreada de la figura es: A = AT1 ‒ AT2 = 120 m2 ‒ 30 m2= 90 m2

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19 c.

⇒ Se aplica el teorema de Pitágoras en el triángulo T1 para calcular la altura, h: 102 = 82 + h2 ⇒ h = 36 = 6 dm El área del triángulo T1 es: AT1 =

6 ⋅8 = 24 dm2 2

Se aplica el teorema de Pitágoras en el triángulo T2 para calcular la base, b: 72 = 62 + b2 ⇒ b = 13 = 3,61 dm El área del triángulo T2 es: AT2 =

6 ⋅ 3, 61 = 10,83 dm2 2

El área del triángulo T3 es: AT3 =

2 ⋅ 3, 61 = 3,61 dm2 2

El área total de la figura en la suma de las tres áreas halladas: A = AT1 + AT2 + AT3 = 24 dm2 + 10,83 dm2 + 3,61 dm2 = 38,44 dm2 d.

⇒ Se aplica el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo T1 para hallar la hipotenusa: a2 = 82 + 62 ⇒ a = 100 = 10 mm La longitud del lado del triángulo T2 es el doble de la longitud anterior, es decir, 20 mm. Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la altura, h: 202 = 102 + h2 ⇒ h =

300 = 17,32 mm

El área total es la suma del área del triángulo T2 y seis triángulos T1:

 6 ⋅8  2  = 317,2 mm  2 

A = 173,2 + 6 · 

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20 49 Un poste está sujeto a tierra por dos cables que forman en su parte superior un ángulo de 90°. Halla la altura del poste, sabiendo que los cables miden 6 m y 8 m, respectivamente.

Se calcula el área del triángulo formado por los cables y por el suelo: A =

6 ⋅8 = 24 m2 2

Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la distancia entre los cables a pie del suelo, b: b2 = 62 + 82 ⇒ b = 100 = 10 m Conocida la longitud de la base y el área, se determina la altura del poste:

10 ⋅ h = 24 ⇒ 10h = 48 ⇒ h = 4,8 2

La hipotenusa mide 10 m. El área del triángulo es de 24 m2 y, por tanto, la altura del triángulo, que es la longitud del poste, es de 4,8 m.

SOLUCIONES PÁG. 215 50 Determina cuáles de estos triángulos son semejantes y explica el porqué:

Triángulos 1 y 6: son rectángulos y tienen un ángulo agudo igual. Triángulos 2 y 4: tienen dos lados proporcionales y el ángulo que comprenden es igual.

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21 51 Un mapa está hecho a escala 1:20 000 000. a. ¿Qué distancia separará Lugo de Murcia en el mapa si en la realidad distan 780 km?

780 000 m = 0, 039 m = 3,9 cm 20 000 000 b. La separación en el mapa entre Soria y León es de 1,6 cm. ¿Cuál es la distancia real? 0,016 · 20 000 000 = 320 000 m = 320 km 52 Las siguientes figuras son semejantes:

a. Calcula el área de la figura menor. Se calcula la altura común de los dos triángulos aplicando el teorema de Pitágoras: 112 = 102 + h2 ⇒ h = 21 = 4,58 cm. El área de la figura es la suma del triángulo menor más el triángulo mayor: Atriángulo menor =

2 ⋅ 4,58 = 4,58 cm2 2

10· 4,58 = 22,9 cm2 2 El área total de la figura menor es: Atotal = Atriángulo menor + Atriángulo mayor = 4,58 + 22,9 = 27,48 cm2 b. Halla la razón de semejanza y la longitud de los lados de la figura mayor. Atriángulo mayor =

La razón de semejanza es k =

3 . Los lados de la figura mayor son: 2

3 x = ⇒ x = 7,5 cm 2 5 3 y = ⇒ y = 15 cm 2 10 3 z = ⇒ z = 16,5 cm 2 11

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22 c. Deduce el área de la figura mayor sin calcularla. La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es k2. Así, el área de la figura mayor es: 2 Afigura mayor Afigura mayor 9·27,48 3 ⇒  = ⇒ Afigura mayor = = 61,83 cm2 k2 = Afigura menor 2 27,48 4   53 Los lados de un triángulo miden 7 dm, 8 dm y 10 dm, respectivamente. ¿Cuánto medirá el lado menor de un triángulo semejante a este cuyo perímetro es de 125 dm? La razón de semejanza entre dos polígonos es también la razón de semejanza entre los perímetros. Se halla el perímetro del triángulo del que se conocen los lados: P = 7 + 8 + 10 = 25 dm La razón de semejanza es: k=

125 =5 25

La longitud del lado semejante es: k =

l' ⇒ 7 · 5 = 35 dm 7

54 Un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 cm y 6 cm, respectivamente, es semejante a otro triángulo de 54 cm2 de área. Halla la razón de semejanza y la longitud de los lados del nuevo triángulo. El área del triángulo del que se conocen los lados es: b· h 8·6 A= ⇒A= = 24 ⇒ A = 24 cm2 2 2 La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es k2: k2 =

54 = 2,25 ⇒ k = 1,5 24

La razón de semejanza entre los triángulos es también la razón de semejanza entre los lados. Así: C1 = 8 · 1,5 = 12 cm C2 = 6 · 1,5 = 9 cm Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa del triángulo rectángulo pequeño: h2 = 82 + 62 ⇒ h = 100 = 10 Por tanto, la hipotenusa del triángulo rectángulo semejante es: h = 10 · 1,5 = 15 cm 55 Un triángulo isósceles que tiene 7 cm de base y cuyos lados iguales miden 10 cm es semejante a otro de 15 cm de altura. Halla la razón de semejanza de los triángulos y las dimensiones del segundo de ellos. Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la altura: h2 = 102 ‒ 3,52 ⇒ h = 87, 75 = 9,37 cm La razón de semejanza entre polígonos semejantes es la razón entre los lados homólogos: k =

15 = 1,6 9, 37

Las dimensiones del segundo triángulo son: b' b' k = ⇒ 1,6 = ⇒ b ' = 1,6·7 = 11,2 cm de base b 7 c' c' k = ⇒ 1,6 = ⇒ c ' = 1,6·10 = 16 cm lado igual c 10 © María Presentación García López; Juana Municio Hernández; Pedro Ortega Pulido; Eva M.ª Villaoslada Marín © GRUPO EDELVIVES

23 56 El mosquito tigre tiene una longitud media de 7 mm. ¿De qué tamaño se verá si lo observamos a través de una lupa que tiene un aumento de un 200 %? ¿Cuál es el factor de escala aplicado? A través del microscopio se verá con un tamaño de: 200 = 21 mm 7+7· 100 21 =3 El factor de escala es 7 57 Se quiere construir una maqueta de la catedral de Burgos. Sabiendo que la altura total de este monumento es de 88 m, halla la escala que se ha de emplear si se desea que la maqueta tenga 50 cm de altura. La escala es la razón de semejanza entre las dimensiones de la figura representada y las dimensiones de la figura real. 50 1 = Escala = 8 800 176 58 El siguiente plano representa el barrio en el que vive Miguel. Calcula la distancia que tiene que recorrer todos los días para ir de su casa al colegio.

La distancia de casa al colegio es de 5 cm aproximadamente: 1,7 + 1,4 + 1,9 = 5. La escala gráfica mide 1,45 cm. Entonces: 1,45 cm 5 cm = ⇒ x = 206,89 dam = 2 068,9 m 60 dam x

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24 59 Observa el siguiente plano:

a. Determina la escala aplicada. En el plano 3,7 cm equivalen a 6 m en la realidad; luego, la escala es

600 = 162 ⇒ 1 : 162, aproximadamente 3, 7 b. Calcula la superficie real de cada habitación. La casa tiene una superficie aproximada de 62,4 m2, repartidos de la siguiente manera: Terraza: 9,71 m2 Dormitorios 1 y 2: 10,85 m2 Baño: 4,72 m2 Cocina: 5,35 m2 Salón: 20,99 m2

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25 SOLUCIONES PÁG. 217 60 Dibuja en tu cuaderno un segmento, AB , de 5 cm de longitud y divídelo en 8 partes iguales. Para realizar el dibujo se siguen estos pasos: 1. Se dibuja un segmento AB de 5 cm de longitud. 2. Con origen en el extremo A del segmento, se traza una recta auxiliar con la inclinación que se desee. 3. Sobre la recta auxiliar, y comenzando en A, se marcan de forma consecutiva los extremos de ocho segmentos. El último extremo se designa con la letra C. 4. Se une el extremo C de la recta auxiliar con el extremo B del segmento que se va a dividir y se trazan paralelas a CB que pasen por las marcas que se han realizado en la recta auxiliar. El segmento queda así, dividido en ocho partes iguales.

61 Dibuja en tu cuaderno un segmento, AB , de 7 cm de longitud y divídelo en 3 partes proporcionales a 2, 3 y 4. Para realizar el dibujo se siguen estos pasos: 1. Se dibuja un segmento AB de 7 cm de longitud. 2. Con origen en el extremo A del segmento, se traza una recta auxiliar con la inclinación que se desee. 3. Sobre la recta auxiliar, y comenzando en A, se marcan de forma consecutiva los extremos de tres segmentos de 2 L, 3 L y 4 L de longitud, respectivamente. El último extremo se designa con la letra C. 4. Se une el extremo C de la recta auxiliar con el extremo B del segmento que se va a dividir y se trazan paralelas a CB que pasen por las marcas que se han realizado en la recta auxiliar. El segmento queda así, dividido en tres partes proporcionales a 2, 3 y 4.

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26 62 Halla el valor de x e y.

Las rectas paralelas cortan a dos rectas secantes formando segmentos proporcionales. Así, la proporción entre ellos es: 2,4 0,8 y = = 1,5 x 1,25 Realizando los cálculos se tiene que: 2, 4 0,8 0,8·1,5 = ⇒x= = 0,5 ⇒ x = 0,5 cm 1,5 x 2, 4 2, 4 y 2,4·1,25 = ⇒y = = 2 ⇒ y = 2 cm 1,5 1,25 1,5

63 ¿Qué perímetro tiene el triángulo ABC?

Son dos triángulos en posición de Tales. Por lo tanto, son semejantes. La razón de semejanza es: 16 k= =4 4 Así, los lados del triángulo ABC miden: AB = 16 cm CB = 3 · 4 = 12 cm AC = 2 · 4 = 8 cm El triángulo mayor tiene por lados 16 m, 12 m y 8 m, luego su perímetro es 36 m. También se puede resolver teniendo en cuenta que la razón de semejanza entre los dos triángulos es 4 y, como el triángulo pequeño tiene por perímetro 9 m, el grande debe tener perímetro igual a 36 m. 64 Actividad resuelta. 65 Una farola proyecta una sombra de 15 m en el mismo momento del día en el que un cartel publicitario de 3 m de altura proyecta una sombra de 4 m. Calcula la altura de la farola. La farola y el cartel publicitario determinan con la inclinación de los rayos solares dos triángulos en posición de Tales. Por tanto, se establece la proporción entre los lados de los triángulos: h 15 3·15 = ⇒h= = 11,25 ⇒ h = 11,25 m 3 4 4

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27 66 Halla el valor de a, b y c en las siguientes figuras:

Los triángulos son semejantes por ser rectángulos y tener un ángulo agudo con la misma amplitud por ser opuestos por el vértice. Así, en la figura de la izquierda: 3 a 3·18 = ⇒a= = 4,5 ⇒ a = 4,5 cm 12 18 12 Y en el triángulo de la derecha: 4·20  10 4 = ⇒c = = 8 ⇒ c = 8 cm 10 4 b  20 c 10 = =  20 c 12  10 b 10·12 = ⇒b= = 6 ⇒ b = 6 cm  20 12 20 67 El géiser Old Faithful es uno de los más conocidos del Parque Nacional de Yellowstone, Wyoming (EE UU). Al mediodía, cuando alcanza su altura máxima de 75 m, proyecta una sombra de 1,6 m. Calcula la altura que alcanzó este géiser en un día en el que su sombra al mediodía fue de 0,85 m. El géiser a su máxima altura y a otra altura determinan con la inclinación de los rayos solares dos triángulos en posición de Tales. Por tanto, se establece la proporción entre los lados de los triángulos: 75 h 75·0,85 = ⇒h= = 39,84 ⇒ h = 39,84 m 1,6 0,85 1,6 68 Calcula el valor de x, y, z y t en las siguientes figuras:

Son triángulos en posición de Tales. Por lo tanto, son semejantes. La proporción que se establece en los triángulos de la izquierda es: 9·8  9 12 = ⇒x= = 6 ⇒ x = 6 cm  9 12 5 + y  x 8 12 = =  x 8 y 12 5 + y = ⇒ 12y = 40 + 8 y ⇒ 4 y = 40 ⇒ y = 10 cm  8 y La proporción que se establece en los triángulos de la derecha es: 4·8 t 8 = ⇒t = = 6,4 ⇒ t = 6, 4 cm t 8 6 + z  4 5 5 = =  4 5 z 8 6 + z = ⇒ 8z = 30 + 5 z ⇒ 3z = 30 ⇒ z = 10 cm  5 z

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28 69 Esteban toma un autobús al pie de una montaña para subir hasta su cima. Cuando ya ha recorrido 1 000 m por la ladera de la montaña, el autobús se detiene en un mirador situado a 500 m de altura para permitir que los viajeros tomen fotografías. Después, continúa 2 000 m más hasta alcanzar la cima de la montaña. ¿Qué altura tiene la montaña?

Se observa en la figura que hay dos triángulos rectángulos en posición de Tales. Por tanto: 1000 3 000 3 000·500 = ⇒h= = 1500 ⇒ h = 1500 m 500 h 1000 70 Calcula cuántos metros cuadrados de lona amarilla y azul se necesitan para fabricar la vela de este barco.

Para calcular la altura del triángulo de lona amarilla se aplica el teorema de Pitágoras: Altura vela amarilla =

22 − 12 = 1,73 m

Las dos lonas están en posición de Tales. Por lo tanto, se establece la proporción: 1 2 1,5 = ⇒ 2 + 2 x = 3,5 ⇒ x = = 0,75 ⇒ x = 0,75 m 1 + x 3,5 2 Se aplica el teorema de Tales para calcular la altura del triángulo de lona azul: 2 3,5 3,5·1,73 = ⇒h= = 3,03 ⇒ h = 3,03 m 1,73 h 2 Se calculan las áreas Área vela amarilla = Área de la vela =

1 ⋅1, 73 = 0,865 m2 2

1, 75 ⋅ 3, 03 = 2,65 m2 2

Área vela azul = 2,65 – 0,865 = 1,785 m2

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29 71 Un camión baja un puerto, situado a 800 m de altura, por una carretera recta de 4 km de longitud. Cuando ha recorrido 1 km, se detiene a repostar en una gasolinera. Dibuja un esquema de situación y calcula la altitud a la que se encuentra la gasolinera.

Se observa en la figura que hay dos triángulos rectángulos en posición de Tales. Por tanto: 4 000 3 000 3 000·800 = ⇒ h' = = 600 ⇒ h' = 600 m 800 h' 4 000

SOLUCIONES PÁG. 218 1

Dibuja un polígono irregular convexo de siete lados y obtén dos polígonos semejantes cuyas razones de semejanza sean 0,75 y 1,5, respectivamente. Se dibuja un polígono convexo:

Se pulsa sobre el comando y se selecciona Homotecia. Se hace clic sobre el polígono y se fija el punto H

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30 Se indica el factor de escala, en este caso 0,75:

Se pincha en OK y aparece el nuevo polígono:

Para el polígono con factor de escala 1,75:

Se pincha en OK y aparece el nuevo polígono:

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31 2

Dibuja un polígono regular de nueve lados y obtén dos polígonos semejantes con una razón de semejanza de 0,3 y 1,75, respectivamente. Se pulsa sobre el comando Polígono regular y se escribe el número de lados del polígono:

Se pincha en OK y aparece el polígono:

Se pulsa sobre el comando y se selecciona Homotecia. Se hace clic sobre el polígono y se fija el punto J y se indica el factor de escala, 0,3:

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32 Y al pinchar en OK aparece el nuevo polígono:

Se le proporciona el nuevo factor de escala, 1,75:

Se pincha en OK y aparece el nuevo polígono:

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33 3.

Dibuja un polígono cóncavo de cuatro lados y obtén dos polígonos semejantes que tengan como razón de semejanza uno 0,5 y el otro 2. Se dibuja un polígono de 4 lados cóncavo:

Se pulsa sobre el comando y se selecciona Homotecia. Se hace clic sobre el polígono y se fija el punto E y se indica el factor de escala, 0,5:

Se pincha el OK y aparece el nuevo polígono:

Se pincha en el polígono, en el punto E y se indica el nuevo factor de escala, 2:

Se pincha en OK y aparece el nuevo polígono:

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34 SOLUCIONES PÁG. 219 1

Escribe las distintas posiciones que pueden tener dos rectas en el plano. Según su posición relativa, las rectas pueden ser: • Secantes: se cortan en un único punto. • Paralelas: no se cortan. • Coincidentes: tienen infinitos puntos en común.

2

Define ángulos opuestos por el vértice, ángulos alternos, internos y externos, e indica las relaciones que se establecen entre ellos. • Ángulos opuestos por el vértice: son los que tienen el mismo vértice y los lados de uno de los ángulos son prolongación de los lados del otro. • Ángulos alternos internos: al trazar dos rectas paralelas y una tercera secante a las dos primeras, aparecen ocho ángulos. Los ángulos alternos internos son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. • Ángulos alternos internos: al trazar dos rectas paralelas y una tercera secante a las dos primeras, aparecen ocho ángulos. Los ángulos alternos internos son los que están en la parte exterior de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

3

¿Qué es la mediatriz de un segmento? ¿Qué propiedad cumple? ¿Qué es la bisectriz de un ángulo? ¿Qué propiedad cumple? Asegúrate de que conoces la construcción gráfica de la mediatriz y la bisectriz. • La mediatriz de un segmento AB , es la recta perpendicular al mismo que pasa por su punto medio. Cumple la propiedad de que cualquier punto situado sobre esta, se encuentra a la misma distancia de los extremos del segmento. • La bisectriz de un ángulo es la recta que divide el ángulo por la mitad. Cumple la propiedad de que cualquier punto de esta, equidista de los lados que constituyen el ángulo.

4

Añade las fórmulas del número de diagonales y de la suma de ángulos de un polígono convexo. ¿Cuándo son semejantes dos polígonos? ¿Qué es una escala? n·(n − 3) • El número de diagonales de un polígono se determina: 2 • La suma de los ángulos de un polígono convexo se determina con: (n – 2) · 180º • Dos polígonos son semejantes cuando los ángulos homólogos son iguales y los segmentos homólogos son proporcionales. • Una escala es la razón de semejanza que existe entre las dimensiones de una figura representada y las dimensiones de la figura real.

5

¿Cuándo son semejantes dos triángulos? ¿Qué criterios de semejanza existen? Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales. Hay tres criterios de semejanza: • Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales. • Dos triángulos son semejantes si dos ángulos son iguales. • Dos triángulos son semejantes si dos lados homólogos son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual.

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35 6

¿Qué es un cuadrilátero? ¿Cuántos tipos de cuadriláteros distintos conoces? Escribe la fórmula del área en cada caso y añade un dibujo. Un cuadrilátero es cualquier polígono de cuatro lados y cuatro ángulos, cuyos ángulos interiores suman 360º. Los tipos de cuadriláteros son: Nombre

Área

Cuadrado

A = l2

Rectángulo

A=b·h

Rombo

Romboide

Trapecio

A=

Figura

D·d 2

A=b·h

A=

(B +b)·h 2

Trapezoide

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36 7

¿Cuándo es regular un polígono? ¿Qué tipos de polígonos regulares conoces? ¿Cuál es la fórmula del área de estos polígonos? ¿Cuánto valen los ángulos interiores y centrales? Un polígono es regular cuando todos los lados miden la misma longitud y todos los ángulos interiores tienen la misma amplitud. Por ejemplo, el hexágono regular, el pentágono regular. P·ap El área se calcula con la expresión: A = 2 (n − 2)·180º La amplitud de los ángulos interiores se obtiene con la expresión: , y la n 360º de los ángulos centrales: n

8

Escribe las fórmulas de la longitud de la circunferencia y del arco, así como la del área del círculo, en función del radio. lcircunferencia = 2πr 2πr ·n larco = 360º Acírculo = πr2

9

Define los conceptos de sector, corona, trapecio y segmento circular. Ayúdate de un dibujo. Escribe las fórmulas de las áreas correspondientes. Nombre

Sector circular

Corona circular

Trapecio circular

Área

A=

Figura

π ·r 2 ·n 360º

A = π · (R2 – r2)

A=

π ·(R2 − r 2 )·n 360º

Si n < 180º A = Asector circular – Atriángulo Segmento circular Si n > 180º A = Asector circular + Atriángulo

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37 10 Busca información sobre las principales contribuciones de Pitágoras y de Tales de Mileto a las disciplinas matemáticas. Respuesta abierta. SOLUCIONES PÁG. 220 – REPASO FINAL RECTAS Y ÁNGULOS 1

Calcula el valor de los ángulos indicados. a.

⇒ El ángulo λ y el ángulo de 28º son ángulos correspondientes. Por lo tanto, miden lo mismo: λ = 28º. Los ángulos λ y α son ángulos suplementarios y suman 180º. Así: λ + α = 180º ⇒ α = 180º – 28º = 152º. Los ángulos ε y de 45º son ángulos suplementarios y suman 180º. Así: ε + 45 = 180º ⇒ ε = 180º – 45º = 135º. El ángulo ε y el ángulo de β son ángulos correspondientes. Por lo tanto, miden lo mismo, es decir: ε = β = 135º b.

⇒ Los ángulos β y de 105º son ángulos suplementarios y suman 180º. Así: β + 105º = 180º ⇒ β = 180º – 105º = 75º. El ángulo α’ y el ángulo de 111º son ángulos correspondientes. Por lo tanto, miden lo mismo: α’ = 111º. Los ángulos α’ y δ’ son ángulos suplementarios y suman 180º. Así: α’ + δ’ = 180º ⇒ ⇒ δ’ = 180º – 111º = 69º. Los ángulos δ y δ’, son opuestos por el vértice, así pues, miden lo mismo: δ = 69º. El ángulo γ’ y el ángulo de 105º son ángulos correspondientes, y miden lo mismo: γ’ = 105º. Los ángulos γ’ y γ son ángulos suplementarios y suman 180º. De esta manera: γ’ + γ = 180º ⇒ γ = 180º – 105º = 75º LUGAR GEOMÉTRICO 2

La figura adjunta muestra una calle en la que se quiere colocar un semáforo de manera que esté a la misma distancia de ambos lados de la calle y que a su vez equidiste de las dos señales de tráfico. a. Razona, de forma geométrica, dónde se debe instalar el semáforo. El semáforo se debe colocar en el punto intersección de la bisectriz de los dos lados rectos de la calle con la mediatriz del segmento que une las dos señales de tráfico.

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38 b. Traza con regla y compás el punto exacto.

c. Usando GeoGebra, comprueba que el resultado es el correcto.

POLÍGONOS 3

Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla:

⇒ (1) n – 3 = 20 – 3 = 17 (2)

n ( n − 3) 2

=

20·(20 − 3) = 170 2

(3) (n – 2) · 180º = (20 – 2) · 180º = 3 240º (4) n – 3 = 13 ⇒ n = 16 (5)

n ( n − 3) 2

=

16· (16 − 3) = 104 2

(6) (n – 2) · 180º = (16 – 2) · 108º = 1 512º

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39

(7)

n ( n − 3) 2

= 44 ⇒ n 2 − 3n − 88 = 0 ⇒

3 + 19  n = 2 = 11 3 ± 32 − 4·1· (−88) 3 ± 19 n= = ⇒ 2·1 2 n = 3 − 19 ⇒ Solución negativa no válida.  2 (8) n – 3 = 11 – 3 = 8 (9) (n – 2) · 180º = (11 – 2) · 180º = 1 620º (10) (n – 2) · 180º = 2 880º ⇒ n = 18 (11) n – 3 = 18 – 3 = 15 (12)

4

n ( n − 3) 2

=

18· (18 − 3) = 135 2

Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla:

360º 360º ⇒ = 24º n 15 n−2 15 − 2 (2) ·180º ⇒ ·180º = 156º n 15 (1)

(3) (n – 2) · 180º ⇒ (15 – 2) · 180º = 2 340º

360º = 40º ⇒ n = 9 n n−2 9−2 (5) ·180º ⇒ ·180º = 140º n 9

(4)

(6) (n – 2) · 180º ⇒ (9 – 2) · 180º = 1 260º

n−2 ·180º = 165º ⇒ 180º· n − 165º· n = 360º ⇒ n = 24 n 360º 360º (8) ⇒ = 15º n 24 (7)

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40 (9) (n – 2) · 180º ⇒ (24 – 2) · 180º = 3 960º (10) (n – 2) · 180º = 4 500º ⇒ 180º · n = 4 500º + 360º ⇒ n = 27

360º 360º ⇒ = 13,33º n 27 n−2 27 − 2 (12) ·180º ⇒ ·180º = 166, 67º n 27 (11)

5

Calcula el área de los siguientes polígonos: a. Rombo cuyas diagonales miden 6 cm y 9 cm. A=

9·6 = 27 cm2 2

b. Trapecio con bases de 12 cm y 7 cm y altura de 9 cm A=

(12 + 7 ) · 9 = 85,5 cm2 2

c. Triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 cm y 11 cm. A=

4 ·11 = 22 cm2 2

d. Hexágono regular de 10 cm de lado y 8,66 cm de apotema. A=

6 ·10 · 8, 66 = 259,8 cm2 2

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO. FIGURAS CIRCULARES 6

Calcula el área de las siguientes figuras circulares: a. Un sector con un radio de 4 m y una amplitud de 75°. A=

π · 4 2 · 75º 10π = = 10,47 m2 360º 3

b. Una corona cuyos radios miden 3 cm y 10 cm. A = π · (102 ‒ 32) = 91π = 285,88 cm2 c. Un trapecio cuyos radios miden 5 m y 9 m y que tiene una amplitud de 40°.

π · (92 − 52 ) · 40 56π A= = = 19,55 m2 360º 9 d. Un segmento de 10 cm de radio y 90° de amplitud. Área del sector =

π ·102 · 90º = 25π = 78,54 cm2 360º

b·h 10·10 = = 50 cm2 2 2 Área del segmento circular = 78,54 – 50 = 28,54 cm2 Área del triángulo =

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41 7

¿Cuántas vueltas tiene que dar una rueda de 1 m de diámetro para desplazarse 50 m? Se calcula la longitud de la rueda: L = 2 · π · r = 2 · π · 0,5 = π El número de vueltas es: n.º vueltas =

50 = 15,92 π

16 vueltas aproximadamente 8

Calcula la amplitud del ángulo inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio, sabiendo que abarca un arco de 9π cm. Se calcula la longitud de la circunferencia: L = 2 · π · 5 = 10π A partir de la expresión de la longitud del arco de una circunferencia se halla la amplitud del ángulo central:

larco =

2πr· n 10π· n 9π·360º ⇒ 9π = ⇒n= = 324º 360º 360º 10π

El ángulo central mide 324º y, por tanto, el inscrito mide 162º. 9

Un ángulo de 45° que está inscrito en una circunferencia abarca un arco de 8π cm. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia? El ángulo central mide el doble del ángulo inscrito: Ac = 2 · Ai ⇒ Ac = 90º A partir de la expresión de la longitud del arco de una circunferencia se halla el radio:

larco =

2πr· n 2πr·90º 8π·360º ⇒ 8π = ⇒ r= = 16 cm 360º 360º 2π·90º

El ángulo central mide 90º, y el radio de la circunferencia, 16 cm. 10 Determina el área de la parte coloreada de este dibujo:

El círculo grande tiene un diámetro de 7 cm, por lo que su radio mide 3,5 cm. Acírculo grande = πr2 = 12,25π cm2 El círculo mediano tiene un diámetro de 6 cm, por lo que su radio mide 3 cm. Acírculo mediano = πr2 = 9π cm2 El círculo pequeño tiene un diámetro de 5 cm, por lo que su radio mide 2,5 cm. Acírculo pequeño = πr2 = 6,25π cm2 Área pedida = 2 · (12,25 π – 9π + 6,25π) = 2 · 9,5π cm2 = 59,69 cm2

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42 SOLUCIONES PÁG. 221 11 Ana quiere construir en su jardín un parterre como el representado en el dibujo. En el círculo interior quiere plantar rosales; en la zona roja, geranios, y en la gris, hortensias.

a. ¿Qué superficie ocupará cada tipo de planta? Aci = π · 12 = π m2 La superficie plantada de rosales es: π m2 = 3,14 m2 Acc = π · (22 ‒ 12) = 3 π ⇒ 3π ·

240 = 2π 360

La superficie plantada de geranios es: 2π m2 = 6,28 m2 3π ·

120 = π 360

La superficie plantada de hortensias es: π m2 = 3,14 m2 b. Si cada planta requiere 4 dm2 de terreno, ¿cuántas plantas de cada tipo necesitará Ana para cubrir todas las áreas?

3,14 6, 28 3,14 = 78 rosales; = 157 geranios; = 78 hortensias 0, 04 0, 04 0, 04 c. El precio de las plantas por unidad es de 2 € los rosales, 1 € los geranios y 1,5 € las hortensias; ¿cuánto le costará a Ana el parterre? 78 · 2 + 157 + 78 · 1,5 = 430 € TEOREMA DE PITÁGORAS 12 Un gran vendaval tira un árbol de 3 m de altura que impacta contra la pared de un edificio situado a 2 m de él. ¿A qué altura impacta el árbol contra la pared del edificio? Se aplica el teorema de Pitágoras: 32 = 22 + h2 ⇒ h =

5 = 2,24 m

13 Actividad resuelta.

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43 14 Los bomberos acuden a un siniestro y posicionan la base de una escalera a 12 m de un edificio. La parte superior de la escalera reposa contra la pared del edificio a una altura de 15 m. Sin mover la base de la escalera, la inclinan sobre el edificio situado justo enfrente del primero y la parte superior de la escalera reposa contra el edificio a una altura de 7 m. Halla la longitud de la escalera y la anchura de la calle.

Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la escalera al triángulo formado por el edificio de la derecha, el suelo y la pared. h12 = 152 + 122 ⇒ h = 369 = 19,21 m Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la distancia del edificio de la izquierda al coche de bomberos, al triángulo formado por dicho edificio, el suelo y la escalera. 19,212 = 72 + c2 ⇒ c = 320, 02 = 17,89 m Ancho calle = 17,89 + 12 = 29,89 m La escalera mide 19,21 m. La calle tiene 29,89 m de ancho. 15 El mástil de un barco está unido a proa y a popa por dos cables de 15 m y 20 m de longitud, respectivamente, que forman entre sí un ángulo de 90º. Halla la longitud del barco y la altura del mástil.

Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la longitud del barco, pues es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por los dos cables. L = 152 + 20 2 = 625 = 25 Se calcula la altura del mástil:

15 · 20 25 ·h = ⇒ h = 12 m 2 2 El barco mide 25 m de largo. El mástil mide 12 m. 16 Valeriano es un granjero que necesita colocar una valla nueva a su gallinero, que tiene forma de rombo con unas diagonales de 14 m y 20 m. Si el precio de la valla es de 15 €/m, ¿cuánto le cuesta a Valeriano el vallado? Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del lado del rombo. L = 7 2 + 10 2 = 149 = 12, 21 m El perímetro del rombo es: P = 12,21 · 4 = 48,84 La valla cuesta: 48,84 · 15 = 732,6 € © María Presentación García López; Juana Municio Hernández; Pedro Ortega Pulido; Eva M.ª Villaoslada Marín © GRUPO EDELVIVES

44 17 Halla el área de los siguientes trapecios: a.

Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la altura: h = 7 2 − 32 = 40 = 6, 32 cm Se aplica la expresión del área para calcularla: (B + b )· h (10 + 4)·6,32 A= ⇒A= = 44,24 cm2. 2 2 b.

La base mayor mide: a = 6 2 − 52 = 11 = 3, 32 cm 5 + 3,32 = 8,32 cm El área es: A = 25 +

( 3,32 ·5) = 33,3 cm2 2

18 El patio del colegio de Luisa tiene forma de trapecio isósceles con unas bases de 300 m y 60 m. Se quiere construir una pasarela que comunique el edificio principal, situado en un extremo de la base mayor, con el gimnasio, localizado en el extremo opuesto de la base menor, tal y como muestra el dibujo. Calcula la longitud de la pasarela, sabiendo que el perímetro total del patio es de 660 m.

Se calcula la hipotenusa del triángulo rectángulo: h=

660 − 300 − 60 = 150 m 2

Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la altura del trapecio: htrapecio = 1502 − 1202 = 8100 = 90 m La pasarela es la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos 90 m y 180 m. Se aplica el teorema de Pitágoras: Pasarela =

90 2 + 180 2 = 40 500 = 201, 25 m

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45 SOLUCIONES PÁG. 222 19 El siguiente dibujo representa la planta de la vivienda de Andrés: la parte coloreada de azul corresponde al jardín, y la gris, a la casa.

Calcula la superficie de la casa, la superficie del jardín y los metros de valla necesarios para cercar el jardín. La casa tiene forma de trapecio. Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la altura del trapecio: h = 132 − 52 = 144 = 12 m Superficie de la casa =

( 20 +10 ) ⋅12 2

= 180 m2

El jardín tiene forma de trapecio. Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la altura del trapecio: y=

182 + 152 = 549 = 23,43 m ( 50 + 20 ) ⋅18

Superficie del jardín =

2

= 630 m2

La cantidad de valla que se necesita para cercar el jardín es: 50 + 2 · 23,43 = 96,86 m 20 Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de 4π cm de longitud. ¿Cuánto vale su área? El radio de la circunferencia circunscrita es: 2π · r = 4π ⇒ r = 2 cm Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la apotema del hexágono: ap = 22 − 12 = 3 = 1,73 cm El área es:

A=

6 · 2 ·1, 73 = 10,38 cm2 2

21 Calcula el área de un octógono regular cuyo lado mide 3,42 m y que está inscrito en una circunferencia cuyo círculo asociado tiene un área de 20π m2. El radio de la circunferencia circunscrita es: 20π = π · r2 ⇒ r = 20 = 2 5 = 4,47 cm Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la apotema:

ap = 4, 47 2 − 1, 712 = 17, 06 = 4,13 cm El área del octógono es:

A=

8 · 3, 42 · 4,13 = 56,5 cm2 2

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46 22 Determina el área de los siguientes polígonos regulares: a. Un pentágono tal que su circunferencia inscrita tiene 13 cm de radio, y su circunferencia circunscrita, 15 cm. Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la mitad del lado del pentágono: a = 152 − 132 = 56 = 7,48 cm El lado del pentágono mide el doble: 7,48 · 2 = 14,96 cm El área del pentágono es:

A=

5 ·14,96 ·13 = 486,2 cm2 2

b. Un hexágono de 4 cm de lado. Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la apotema: ap = 4 − 2 = 12 = 3,46 cm El área del hexágono es: 2

A=

2

6 · 4 · 3, 46 = 41,52 cm2 2

c. Un octógono con un lado de 10 m y una circunferencia circunscrita de 13 m de radio. Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la apotema: ap = 132 − 52 = 144 = 12 m El área del octógono es:

A=

8 ·10 ·12 = 480 m2 2

d. Un decágono con un lado de 4 cm y una circunferencia inscrita de 6,16 cm de radio. Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la apotema del decágono: ap = 6,162 − 22 = 33,95 = 5,83 cm El área del decágono es:

A=

10 · 4 · 5,83 = 116,6 cm2 2

23 En las figuras adjuntas, el lado del cuadrado es de 12 cm. ¿Cuánto mide el área de las partes sombreadas? a.

Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la diagonal del cuadrado:

122 + 12 2 = 288 = 16,97 cm. El radio del círculo mide la mitad de la diagonal del cuadrado: 8,485 cm. El área del círculo es: A = π · 8,4852 = 226,18 cm2. El área del cuadrado es: A = 122 = 144 cm2 El área pedida es: Acírculo ‒ Acuadrado = 226,18 cm2 ‒ 144 cm2 = 82,18 cm2

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47 b.

El área del círculo es: A = π · 62 = 113,1 cm2 El área del cuadrado es: A = 122 = 144 cm2 El área pedida es: Acuadrado ‒ Acírculo = 144 cm2 ‒ 113,1 cm2 = 30,9 cm2. 24 Calcula, en cada caso, el área y el perímetro de la zona coloreada. a.

Acírculo grande = π · 32 = 28,27 cm2 Acírculos pequeños = π · 1,52 = 7,07 cm2 ⇒ 2 · 7,07 = 14,14 cm2 Atriángulos = 4 ·

3 ·3 = 4 · 4,5 = 18 cm2 2

Atotal = 28,27 cm2 + 14,14 cm2 + 18 cm2 = 60,41 cm2 lcircunferencia grande = 2π · 3 = 6π = 18,85 cm lcírculos pequeños = 2 · 3π = 6π = 18,85 cm Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar el lado del cuadrado interior: h = 32 + 32 = 18 = 4,24 Pcuadrado = 4 · 4,24 = 16,96 cm Ptotal = 18,85 + 18,85 + 16,96 = 54,66 cm b.

Amedio círculo =

92 ⋅ π = 127,23 cm2 2

Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la apotema del hexágono:

92 − 4,52 = 60, 75 = 7,79 cm 6 · 9 · 7, 79 Amedio hexágono = = 105,165 cm2 4 ap =

Atotal = 127,23 cm2 ‒ 105,165 cm2 = 22,065 cm2 lmedia circunferencia = 9π = 28,27 cm Pmedio hexágono = 9 · 3 = 27 cm Ptotal = 28,27 cm + 27 cm = 55,27 cm

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48 25 ¿Qué área tiene la zona coloreada de la figura?

Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la base del triángulo rectángulo: b = 52 − 4 2 = 9 = 3 cm La base mayor del trapecio mide: 4 + 3 + 3 = 10 cm Atrapecio =

(10 + 4 ) ⋅ 4 2

= 28 cm2

Acírculo grande = 4π = 12,57 cm2 Acírculos pequeños = 2π = 6,28 cm2 El área pedida es: 28 cm2 ‒ 12,57 cm2 ‒ 6,28 cm2 = 9,15 cm2 26 Calcula la superficie de madera, expresada en metros cuadrados, necesaria para construir un marco en forma de hexágono regular para el espejo circular representado en la ilustración.

Aespejo = 9π = 28,27 dm2 Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la apotema del hexágono:

82 − 42 = 48 = 6,93 dm 6 · 8 · 6, 93 = 166,32 dm2 Ahexágono = 2

ap =

Se necesitan 166,32 – 28,27 = 138,05 dm2 = 1,380 5 m2 de madera.

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49 27 En una carrera popular, los participantes deben dar dos vueltas a un circuito como el que muestra la ilustración.

a. ¿Cuántos kilómetros recorrerán los participantes? lsemicírculo pequeño = 0,25π = 0,79 km lsemicírculo grande = 0,375π = 1,18 km Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la zona oblicua de la pista: a = 0, 752 + 0, 252 = 0, 625 = 0,79 km Los kilómetros que recorren los participantes son: 2 · (0,79 + 0,79 + 0,75 + 1,18) = 7,02 km b. Si el corredor que va en cabeza avanza con una velocidad media de 5 km/h, ¿cuánto tardará en alcanzar la meta?

t=

7, 02 = 1,404 h = 1 h 24 min 14,4 s 5

SEMEJANZA 28 Entra en esta página web: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/ san_felipe_neri/Depmat/calculo_de_la_ altura_de_las_pirmides_de_egipto_por_ thales_de_mileto.html Lee el texto en el que se explica el sistema que usó Tales de Mileto para medir la altura de la gran pirámide de Keops. Después responde a estas preguntas: a. ¿Qué método utilizó Tales de Mileto para medir la altura de la pirámide? Tales colocó un bastón en posición vertical y esperó hasta que, a media mañana, la sombra del bastón tuviera una longitud igual a la del bastón. Entonces, concluyó que la longitud de la sombra de la Gran Pirámide en ese momento era tan larga como la altura de dicha pirámide. b. ¿Se podría haber calculado el tamaño de la pirámide a cualquier otra hora del día? Justifica tu respuesta. Sí, aunque de forma más costosa. Tendría que haber calculado la proporción que mantenía la longitud del bastón con su sombra y haber establecido esa misma proporción entre la altura de la pirámide y la longitud de su sombra.

SOLUCIONES PÁG. 223 29 Un rectángulo de 8 cm de largo y 4 cm de ancho es semejante a otro de 18 cm2 de superficie. Halla la razón de semejanza y las dimensiones del segundo rectángulo. Se calcular el área del rectángulo semejante: A = 8 · 4 = 32 cm2

18 9 3 = = 32 16 4 3 3 El nuevo rectángulo mide: 8 · = 6 cm de largo y 4 · = 3 cm de ancho. 4 4 La razón de semejanza entre las áreas es: k =

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50 30 Desde una acera, Juan observa, bajo un ángulo de 37°, una señal de tráfico pintada en el suelo que se encuentra a 2 m de él. Justo en el edificio de enfrente, su amigo Pedro, asomado a la azotea, también ve la señal bajo el mismo ángulo. Halla la anchura de la calle sabiendo que Juan mide 1,65 m y que el edificio en el que se encuentra Pedro tiene 25 m de altura.

Se halla la razón de semejanza: 1,65 k= = 0,825 2 Como son dos triángulos semejantes: 25 ⇒ x = 30,3 0,825 = x La anchura de la calle es: 30,3 + 2 = 32,3 m 31 En un parque de aventuras se han colocado dos tirolinas. La primera cuelga de un árbol de 15 m de altura, y la segunda, de un árbol de 3 m de altura. Si las dos están ancladas a un mismo punto del suelo, situado a 46,86 m del árbol más alto y ambas tirolinas forman un ángulo de 60° con la vertical, ¿qué distancia separa los dos árboles?

Se halla la razón de semejanza: 15 k= = 0,32 46,86 Como son dos triángulos semejantes: 3 0,32 = ⇒ x = 9,375 x La distancia es = 9,375 + 46,86 = 56,235 m

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51 32 Una postal tiene unas dimensiones de 10,5 cm × 15 cm. Si hacemos una fotocopia ampliada un 50 %, ¿cuáles serán las dimensiones de la fotocopia? ¿Cuál es el factor de escala que pasa del original a la fotocopia? a = 10,5 + 10,5 · 0,5 = 15,75 b = 15 + 15 · 0,5 = 22,5 15,75 × 22,5 cm 15,75 El factor de escala es = 1,5 10,5 33 La maqueta de un coche de Fórmula 1 mide 3 cm de largo. Si la escala es 1:150, ¿cuánto mide el coche en la realidad? Que la escala sea 1 : 150 significa que cada unidad de la maqueta mide 150 unidades en la realidad. 1 3 = ⇒ x = 450 cm = 4,5 m 150 x 34 El mapa muestra parte de la costa este de los Estados Unidos. Calcula la escala a la que está realizado, sabiendo que la distancia entre Nueva York y Filadelfia es de 150 km. ¿Cuál es la distancia real entre Nueva York y Stamford?

La distancia entre Nueva York y Filadelfia en el mapa es de 2,2 cm. Se aplica el teorema de Tales: 1 2,2 = ⇒ x = 6 818181 x 15 000 000 La escala es 1 : 6 818 181. La distancia entre Nueva York y Stamford es: 1 1 = ⇒ x = 6818181 cm = 68 km 6 818181 x

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52 TEOREMA DE TALES 35 Dibuja en tu cuaderno un segmento, AB, de 9 cm de longitud y divídelo en 3 partes proporcionales a 1, 3 y 6. Comprueba el resultado que has obtenido con GeoGebra. partes iguales. Para realizar el dibujo se siguen estos pasos: 1. Se dibuja un segmento AB de 9 cm de longitud. 2. Con origen en el extremo A del segmento, se traza una recta auxiliar con la inclinación que se desee. 3. Sobre la recta auxiliar, y comenzando en A, se marcan de forma consecutiva los extremos de 3 segmentos de longitudes 1, 3 y 6 unidades. El último extremo se designa con la letra C. 4. Se une el extremo C de la recta auxiliar con el extremo B del segmento que se va a dividir y se trazan paralelas a CB que pasen por las marcas que se han realizado en la recta auxiliar. El segmento queda así, dividido en tres partes proporcionales a 1, 3 y 6.

36 En una prueba de esquí, los deportistas parten de un punto situado a 1 500 m de altura y se deslizan por una ladera de 10 km de longitud. Cuando han recorrido 3 km, pasan por el primer banderín de control. Calcula la altura a la que se encuentra dicho punto de control.

Son dos triángulos que están en posición de Tales. 10 000 7 000 = ⇒ h = 1050 1500 h El primer banderín está a una altura de 1 500 m

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53 EVALUACIÓN 1

Observa la figura y responde.

El segmento x mide: a. 30 cm b. 3 cm

c. 5 cm

10 10 + x = ⇒ 450 = 300 + 30 x ⇒ x = 5 30 45 El ángulo α mide: a. 65° b. 75° c. 45°

d. 4,5 cm

d. 60°

Los ángulos δ y de 95º son suplementarios y suman 180º. Por tanto: δ + 95º = 180º ⇒ ⇒ δ = 85º La suma de los ángulos internos en un triángulo suma 180º: 30º + δ + α’’ = 180º ⇒ 30º + 85º + α’’ = 180º ⇒ α’’ = 65º Los ángulos α’’ y α’ son ángulos correspondientes, y miden lo mismo: α’ = 65º Los ángulos α’ y α son ángulos opuestos por el vértice, y por lo tanto miden lo mismo: α = 65º El ángulo β mide: a. 65° b. 75°

c. 115°

d. 60°

Los ángulos α y β son suplementarios y suman 180º. Por tanto: α + β = 180º ⇒ β = 180º – 65º = 115º 2

El área de un hexágono regular de 60 cm de perímetro es: a. 180 cm2 b. 298,5 cm2 c. 259,8 cm2

d. 360 cm2

Si el perímetro mide 60 cm, el lado mide: l=

60 = 10 cm 6

Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la apotema: ap = 10 2 − 52 = 75 = 8,66 cm El área es: A=

6 ·10 · 8, 66 = 259,8 cm2 2

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54 3

El área de un trapecio circular con radios de 5 cm y 10 cm y amplitud de 60º es: 25 5 25 π cm2 a. 300 cm2 b. c. cm2 d. π cm2 36 4 2 A=

4

π ·(R 2 − r 2 )·n π ·(102 − 52 )·60º 25 ⇒A= = π cm2 360º 360º 2

Un globo aerostático está anclado a tierra por dos cables cuyas longitudes son de 80 m y 60 m, respectivamente, que forman entre sí un ángulo de 90º. La altura a la que se encuentra el globo es: a. 48 m b. 140 m c. 100 m d. 480 m Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la distancia que hay entre los dos cables anclados en el suelo: b = 80 2 + 60 2 = 10 000 = 100 m Se igualan las áreas:

80 · 60 100 ·h ⇒ h = 48 m = 2 2 5

La distancia que separa en la realidad dos puntos que distan 1,5 cm en un mapa a escala 1:500 000 es: b. 7,5 km c. 30 km d. 3 km a. 75 km

1 1,5 = ⇒ x = 750 000 cm = 7,5 km 500 000 x 6

Una señal de tráfico de 2,10 m de altura proyecta una sombra de 1,20 m. A la misma hora del día, un edificio de 140 m de altura proyecta una sombra de: b. 80 m c. 105 m d. 10,5 m a. 1,8 m Se calcula la razón de semejanza: k=

1, 20 = 0,57 2,10

x = 140 · 0,57 = 79,8 m ≈ 80 m

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MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS 3.º ESO somoslink

SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO

UNIDAD 10. MOVIMIENTOS EN EL PLANO

2

Unidad 10. Movimientos en el plano SOLUCIONES PÁG. 226 1

Copia en tu cuaderno estas figuras y dibuja, en cada caso, la figura homóloga en la transformación que se indica: a.

b.

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3 c.

d.

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4 e.

f.

2

Indica qué transformaciones de la actividad anterior cumplen las siguientes condiciones: a. Conserva la forma y el tamaño de la figura. a., b., c., y d. b. Conserva la forma de la figura, pero no el tamaño. e.

3

Actividad resuelta.

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5 4

Calcula los puntos invariantes en las siguientes transformaciones: a. (x , y) (2x – 1 , 2y + 1)

2x −1 = x ⇒ x = 1

2 y + 1 = y ⇒ y = −1

El punto invariante es (1 , –1) b. (x , y) (2x , y + 1) x = 2x ⇒ 0 = x y = y + 1 ⇒ 0y = 1 No hay punto invariante. c. (x , y) (x2 , 2y)

x = 0 x2 = x ⇒  x = 1 y = 2y ⇒ y = 0 Hay dos puntos invariantes: (0 , 0) y (1 , 0) (x + y , x – y) d. (x , y)

x+ y = x⇒ y =0 x − y = y ⇒ x = 2y ⇒ x = 0

Hay un punto invariante: (0 , 0) SOLUCIONES PÁG. 227 5

Señala, en cada caso, si la transformación en el plano que se ha aplicado a la figura adjunta corresponde a un movimiento, indicando, en caso afirmativo, si es directo o inverso.

Movimientos directos: a. y b. porque conservan la orientación de los ángulos. Movimientos inversos: f., porque invierte la orientación de los ángulos. No son movimientos: c., d., e, porque no se conserva el tamaño de la figura original.

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6 SOLUCIONES PÁG. 229 6

Copia en tu cuaderno estos vectores y traza un vector equipolente a cada uno de ellos con origen en A:

7

Representa los siguientes vectores y determina sus coordenadas y sus módulos: uuur a. AB , con A (4 , 2) y B (2 , 2) uuur AB = (2 , 2) – (4 , 2) = (–2 , 0)

uuur AB =

( −2 )

2

+ 02 = 2

uuur uuur CD = (4 , –2) – (–1 , 3) = (5 , –5) uuur 2 CD = 52 + ( −5 ) = 7, 07

b. CD , con C (–1 , 3) y D (4 , –2)

uuur c. EF , con E (5 , –5) y F (3 , –2) uur EF = (3 , –2) – (5 , –5) = (–2 , 3)

uur EF =

( −2 )

2

+ 32 = 3, 61

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7 8

Halla las coordenadas y el módulo de cada vector.

uuuur AA1 = (3 , 4) – (1 , 4) = (2 , 0) uuuur AA1 = 22 + 02 = 2 uuuur BB1 = (6 , 2) – (1 , 3) = (5 , –1) uuuur 2 BB1 = 52 + ( −1) = 5, 2 uuuur CC1 = (4 , 1) – (3 , –2) = (1 , 3) uuuur CC1 = 12 + 32 = 3,16 uuuur DD1 = (1 , –3) – (–2 , –1) = (3 , –2) uuuur 2 DD1 = 32 + ( −2 ) = 3, 61 uuuur EE1 = (–3 , 3) – (–1 , 1) = (–2 , 2) uuuur 2 EE1 = ( −2 ) + 22 = 2,83 uuur FF1 = (–5, –1) – (–5 , 2) = (0 , –3) uuur 2 FF1 = 02 + ( −3) = 3

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8

uuur 9

Considera el vector AB = (7 , –4), con origen en el punto A = (2 , –1). ¿Cuáles son las coordenadas del punto B? uuur AB = B − A ⇒ (7 , − 4) = B − (2, − 1) ⇒ B = (7 , − 4) + (2, − 1) ⇒ B = (9 , –5)

r

10 ¿Cuál debe ser el valor de x para que el módulo del vector v = (–6 , x) sea 10 unidades? r  v = 10 2 2 2  ⇒ 10 = ( −6) + x ⇒ 100 = 36 + x ⇒ x = ±8 r 2 2 v = ( −6) + x 

r

r

11 Dados los vectores u = (3 , –6) y v = (–4 , 5): r r a. Obtén las coordenadas del vector u + v . r r u + v = (–1 , –1) b. Realiza la suma gráficamente y comprueba que el resultado concuerda con lo obtenido en el apartado anterior.

12 Calcula la longitud de los lados de un triángulo que tiene sus vértices en los puntos A (–1 , 2), B (3 , –5) y C (–2 , –3). La longitud de los lados del triángulo son los módulos de los vectores determinados por cada par de vértices. uuur AB = (3 , –5) – (–1 , 2) = (4 , –7)

uuur 2 AB = 42 + ( −7 ) = 8, 06 uuur BC = (–2 , –3) – (3 , –5) = (–5 , 2) uuur 2 BC = ( −5 ) + 22 = 5,39 uuur AC = (–2 , –3) – (–1 , 2) = (–1 , –5) uuur 2 2 AC = ( −1) + ( −5 ) = 5,1

Así, las longitudes de los lados del triángulo son: AB = 8,06; BC = 5,39; AC = 5,1

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9

r

r

r

13 Copia en tu cuaderno los vectores u , v y w , y realiza gráficamente las r r r r r r sumas, u + v , u + w y v + w .

SOLUCIONES PÁG. 231 14 Actividad resuelta. 15 Copia este dibujo en tu cuaderno y aplica a la figura dos traslaciones r r sucesivas de vectores u y v , respectivamente. ¿Qué sucede si aplicas r r primero la traslación de vector v y después la de vector u ? ¿Por qué?

Se obtiene el mismo resultado con independencia del orden en que se realicen las traslaciones, ya que la composición de dos traslaciones es una traslación de vector r r r r u + v = v + u.

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10

16 Calcula, en cada caso, el vector de la traslación que transforma el primer punto en el segundo. a. A (–3 , 4) en A’ (2 , 6)

r uuuur v = AA’ = A’– A = (2 , 6) – (–3 , 4) = (5 , 2)

b. B (5 , –9) en B’ (0 , 3)

r uuuur u = BB’ = B’– B = (0 , 3) – (5 ,–9) = (–5 , 12)

c. C (0 , –1) en C’ (7 , –3)

r uuuur w = CC’ = C’– C = (7 , –3) – (0 , –1) = ( 7, –2)

17 Determina, en cada caso, el vector de la traslación que transforma la figura rosa en la figura naranja. Se elige un punto de la figura naranja y su homólogo en la figura rosa y se restan. a.

uur v1 = (–1 , –2) – (–2 , 2) = (1 , –4) b.

uur v2 = (2 , –2) – (–3 , 1) = (5 , –3)

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11 18 ¿Qué coordenadas ha de tener un punto, A, para que al aplicarle dos r r traslaciones sucesivas de vectores v = (–4 , –3) y u = (5 , –1), se obtenga el punto A’’ (0 , 5)? r r El vector A’’ = A + v + u ; luego: (0 , 5) = A + (–4 , –3) + (5 , –1) ⇒ A = (0 , 5) – (–4 , –3) – (5 , –1) ⇒ A = (–1 , 9)

r

19 Al aplicar al punto A (2 , 4) dos traslaciones sucesivas de vector v , se obtiene el punto A’’ (5 , 3). ¿Cuáles son las coordenadas de dicho vector? r El vector A’’ = A + 2 v ; luego:

r

r

r

3 2

1 2

(5 , 3) = (2 , 4) + 2 v ⇒ 2 v = (3 , –1) ⇒ v =  , −  20 Dados los puntos A (1 , –1), B (3 , 2) y C (4 , 6), halla: a. Las coordenadas de un cuarto punto, D, de manera que la figura de vértices ABCD sea un paralelogramo.

uuur

uuur

Las coordenadas del vector CD son las mismas que las del vector BA . Así:

uuur BA = (1 , –1) + (3 , 2) = (–2 , –3) uuur A partir del vector CD se obtiene el punto D: uuur D = C + CD = (4 , 6) + (–2 , –3) = (2 , 3)

b. La longitud de los lados AB y BC. La longitud de los lados AB y BC son los módulos de los vectores que tienen dichos uuur puntos como componentes: AB = (3 , 2) – (1 , –1) = (2 , 3)

uuur AB = 22 + 32 = 3, 61 uuur BC = (4 , 6) – (3 , 2) = (1 , 4) uuur BC = 12 + 42 = 4,12 uuur uuur AB = 3,61 u; BC = 4,12 u

SOLUCIONES PÁG. 233 21 Actividad resuelta.

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12 22 Copia en tu cuaderno las siguientes figuras y aplícales el giro con centro en el punto O y el ángulo indicado:

⇒

⇒ 23 Copia las siguientes figuras en tu cuaderno y determina, en cada caso, el centro y el ángulo de giro:

⇒

⇒

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13 24 Copia en tu cuaderno esta figura y aplícale un giro cuyo centro sea el origen de coordenadas y que tenga por ángulo 45°:

a. ¿Qué ángulo debe tener un giro para hacer coincidir el cuadrado verde con el amarillo? Un ángulo de 90º. b. ¿Y para hacer coincidir el verde con el rojo? 270º en sentido positivo, o bien –90º en sentido negativo.

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14 25 Copia en tu cuaderno esta figura y aplícale dos giros sucesivos con centros en el punto O y ángulos de 30° y 60°. ¿Qué sucede si se aplica primero el giro de 60° y después el de 30°? ¿Por qué?

Se obtiene el mismo resultado porque la composición de dos giros del mismo centro es otro giro de igual centro y ángulo α + β = β + α = 90º.

26 Razona e indica si existe algún giro, con 0 < α < 360°, que deje invariantes las siguientes figuras y determina, cuando corresponda, el centro y el ángulo de giro: a. Un cuadrado. El centro de giro es el punto de intersección de las diagonales. La figura queda invariante bajo un giro de 90º, 180º y 270º. b. Un rectángulo. El centro de giro es el punto de intersección de las diagonales. La figura queda invariante bajo un giro de 180º. c. Un rombo. El centro de giro es el punto de intersección de las diagonales. La figura queda invariante bajo un giro de 180º. d. Un romboide. El centro de giro es el punto de intersección de las diagonales. La figura queda invariante bajo un giro de 180º. e. Un triángulo equilátero. El centro de giro es el baricentro (que coincide con el resto de puntos notables). La figura queda invariante bajo un giro de 120º y 240º. f. Un triángulo isósceles. No hay ningún giro de ángulo menor que 360º que lo deje invariante. g. Un pentágono regular. El centro de giro es el punto de intersección de las mediatrices de los lados. La figura queda invariante bajo un giro de 72º, 144º, 216º y 288º. h. Un hexágono regular. El centro de giro es el punto de intersección de las diagonales que unen vértices opuestos. La figura queda invariante bajo un giro de 60º, 120º, 180º, 240º y 300º.

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15 Extrae conclusiones sobre la posición del centro y el valor del ángulo del giro que deja invariante a un polígono regular de n lados. Cuando el polígono es regular, lo deja invariante un giro cuyo centro es el centro del polígono y cuyo ángulo de giro es

360o k , donde k = 1, 2, ..., n – 1 (siendo n el n

número de lados del polígono). SOLUCIONES PÁG. 237

27 Copia en tu cuaderno las siguientes figuras y aplícales una simetría axial cuyo eje sea el que se indica: a.

⇒ b.

⇒

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16 28 Los siguientes pares de figuras resultan de aplicar simetrías axiales. Cópialas en tu cuaderno y traza, en cada caso, el eje de simetría. a.

⇒ b.

⇒ 29 Copia en tu cuaderno las figuras y aplícales la simetría central cuyo centro se indica: a.

⇒ b.

⇒

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17 30 A las figuras del dibujo se les ha aplicado una simetría de eje r y posteriormente una simetría de eje paralelo s. Copia las figuras y dibuja en tu cuaderno, en cada caso, el eje r. El resultado de aplicar dos simetrías sucesivas de ejes paralelos es una traslación de vector perpendicular a dichos ejes cuyo módulo es dos veces la distancia entre las rectas. Se toman dos puntos homólogos y se traza el vector que los une, con origen en el punto homólogo de la primera figura. Se designa con r la recta paralela a s situada a una distancia que es justo la mitad del módulo de dicho vector. a.

⇒ b. (Nota: en la primera edición del libro del alumno la figura que aparece es incorrecta. Debe ser esta.)

⇒ 31 Copia en tu cuaderno las siguientes figuras y aplícales dos simetrías axiales sucesivas de ejes r y s, respectivamente. ¿Mediante qué movimiento se puede pasar de la primera figura a la última figura transformada sin pasar por la intermedia? a.

⇒

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18 Se puede pasar de la primera a la última figura mediante un giro de centro el punto de intersección de las dos rectas, O, y de ángulo igual a 147,39º, ya que el ángulo que forma r con s es de 73,695º. b.

⇒ Se puede pasar de la primera a la última figura mediante una traslación de vector

uuuur ZZ´´ cuya dirección es perpendicular a los ejes y cuyo módulo es de 6 unidades,

ya que la distancia entre los ejes es de 3 unidades. 32 Dibuja en tu cuaderno una figura y aplícale dos simetrías centrales sucesivas de centros diferentes, O y O´, respectivamente. ¿Mediante qué movimiento se puede pasar de la primera figura a la última figura transformada sin pasar por la intermedia?

uuuur

´ Mediante una traslación de vector 2 · OO .

SOLUCIONES PÁG. 238 1

Inserta varias imágenes y compón una escena con traslaciones y giros. Respuesta abierta.

SOLUCIONES PÁG. 239 1

¿Qué es una transformación en el plano? Pon un ejemplo. Es una aplicación que hace corresponder a cada punto, A (x , y), del plano otro punto A’ (x’ , y’), denominado homólogo del punto A en la transformación. Por ejemplo:

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19 2

¿Cómo se llama el punto transformado de otro punto? ¿Qué son los puntos dobles? ¿Cuándo se puede afirmar que una figura es doble? Se llama punto homólogo. Los puntos dobles en una transformación geométrica son los que coinciden con su homólogo. Una figura es doble cuando coincide con su homóloga.

3

¿Cuándo se puede afirmar que una transformación es un movimiento? ¿Qué tipos de movimientos existen? Una transformación es un movimiento cuando se conserva el tamaño y la forma de la figura original. Existen dos tipos de movimientos, los directos, en los que se conserva la orientación de los ángulos, y los inversos, en los que se invierte la orientación de los ángulos.

4

¿Qué es un vector? Comprueba que conoces todos sus elementos y que sabes calcular las coordenadas de un vector a partir del origen y el extremo. Un vector es un segmento orientado del que se conoce su origen, A, y su extremo, uuur B. Se denota como AB . Los elementos de un vector son:

uuur Sean, por ejemplo, los puntos A (5 , 4) y B (–8 , 8), las coordenadas del vector AB viene uuur determinado por la diferencia entre el punto extremo, B, y el punto origen, A: AB = B – A = (–8 , 8) – (5 , 4) = (–13 , 4)

5

¿Cuándo decimos que dos vectores son equipolentes? ¿Cómo son las coordenadas de dos vectores equipolentes? Comprueba que sabes sumar vectores tanto analítica como gráficamente. Dos vectores son equipolentes cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Tienen por tanto las mismas coordenadas. uuur uuur Sean, por ejemplo, los vectores AB = (3 , 5) y CD = (3 , –1), la suma analítica de los vectores es: uuur uuur AB + CD = (3 , 5) + (3 , –1) = (6 , 4) La suma gráfica es: 1. Se representan los dos vectores haciendo coincidir su origen.

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20 uuur uuur 2. Se traza un vector equipolente a CD con origen en el extremo del vector AB .

3. El vector suma el origen uuur viene determinado por el vector que tiene como origen uuur del vector AB y como extremo el extremo del vector equipolente de CD

6

¿En qué consiste trasladar una figura mediante un vector? Asegúrate de que sabes trasladar una figura analítica y gráficamente. Consiste en un movimiento transforma cada punto, A, de la figura en otro uuur que r punto, A’, de manera que AA' = v . Para trasladar una figura analíticamente se suma a cada punto las coordenadas del r r vector, v : A’ = A + v . Sea, por ejemplo, la figura de vértices A (5 , –2), B (9 , –3), C (11 , –1) y D (5 , 2). r Dicha figura se quiere trasladar mediante un vector v = (4 , 1). La traslación analítica sería: r A’ = A + v ⇒ A’ = (5 , –2) + (4 , 1) ⇒ A’ = (9 , –1) r B’ = B + v ⇒ B’ = (9 , –3) + (4 , 1) ⇒ B’ = (13 , –2) r C’ = C + v ⇒ C’ = (11 , –1) + (4 , 1) ⇒ C’ = (15 , 0) r D’ = D + v ⇒ D’ = (5 , 2) + (4 , 1) ⇒ D’ = (9 , 3) Para realizar la traslación gráfica se siguen estos pasos: 1. Se representan los vértices de la figura inicial en los ejes de coordenadas y se unen los segmentos:

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21

r

2. Se dibuja el vector v :

r

3. Se dibujan los vectores equipolentes a v con origen en cada uno de los vértices de la figura. Los extremos de dichos vectores corresponden a los vértices homólogos de la figura trasladada:

4. Se unen los vértices homólogos con segmentos, con lo que se obtiene la figura trasladada:

7

¿En qué consiste un giro de centro O y ángulo α? Asegúrate de que sabes realizar un giro gráficamente, así como encontrar el centro y el ángulo de giro, dada una figura original y su homóloga. ¿Qué sucede si se aplican dos giros sucesivos de igual centro? Consiste en un movimiento que transforma cada punto A del plano en otro punto A’  de manera que OA = OA' y AOA' =α. Si se quiere girar la siguiente figura con centro en O y un ángulo de 75º, se siguen estos pasos:

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22 1. Se traza una recta, r, que pases por el vértice A y el centro de giro O:

2. Se traza un arco de circunferencia centrado el O y de radio OA:

3. Se traza una recta, r’, que pase por el centro O y forme un ángulo de 75º con r:

4. El punto de intersección del arco de circunferencia con la recta r’ es el vértice homólogo, A’, de la figura girada:

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23 5. Procediendo de igual forma con el resto de vértices de la figura, se hallan los vértices homólogos; al unirlos mediante segmento se obtiene la figura girada:

Para encontrar el centro y el ángulo de giro dadas una figura y su homóloga se siguen estos pasos:

1. Se unen dos parejas de puntos homólogos mediante segmentos:

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24 2. Se trazan las rectas mediatrices de ambos segmentos:

3. El punto de corte de las dos mediatrices es el centro de giro O:

4. Se traza el segmento OA y el segmento OA’:

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25

 5. Se mide el ángulo AOA' que corresponde al ángulo de giro α. Su signo es, en este caso, negativo, por ir en el mismo sentido de las agujas del reloj:

8

¿Qué es una simetría central? ¿A qué equivale? ¿Qué efecto tiene sobre las coordenadas de un punto una simetría cuyo centro es el origen de coordenadas? Una simetría central de centro O es un movimiento que asocia a cada punto del plano, A, otro punto, A’, llamado simétrico, de manera que el punto O es el punto medio del segmento AA' . Equivale a un giro de 180º. El simétrico de un punto (x , y) mediante una simetría central de centro el origen de coordenadas es el punto A (x’ , y’).

9

¿Qué es una simetría axial? Comprueba que sabes trazar gráficamente la figura simétrica de una figura dada, así como el eje de simetría, dada una figura y su simétrica. Una simetría axial o respecto de una recta, r, es un movimiento que transforma cada punto A del plano en otro punto, A’, llamado simétrico, de manera que la recta r es la mediatriz del segmento AA' .

10 Explica cómo varían las coordenadas de un punto según se aplique una simetría respecto del eje X o respecto del eje Y. ¿Qué sucede si se aplican dos simetrías axiales sucesivas? Responde según sean los ejes paralelos o secantes. El simétrico de un punto A (x , y) mediante una simetría respecto del eje de abscisas o eje X es el punto A’ (x , –y). El simétrico de un punto A (x , y) mediante una simetría respecto del eje de ordenadas o eje Y es el punto A’ (–x , y). Si se aplica a un punto A una simetría axial cuyo eje sea una recta r, se obtiene otro punto, A’. Si posteriormente se aplica al punto A’ una nueva simetría axial que tenga por eje la recta s, se obtiene un tercer punto, A’’. Las coordenadas de este punto A’’ dependen de la posición relativa de las rectas r y s: • Si las rectas r y s son paralelas el resultado es una traslación de vector perpendicular a los ejes cuyo módulo es igual a dos veces la distancia entre los ejes y cuyo sentido es el de la primera recta hacia la segunda. • Si las rectas r y s son secantes el resultado es un giro con centro en el punto de intersección de las dos rectas, cuyo ángulo es dos veces el ángulo que forman las rectas y suyo sentido es el de la primera recta hacia la segunda.

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26 11 Estudia qué puntos o figuras son dobles en una traslación, un giro y una simetría, tanto central como axial. En una traslación no existen puntos dobles. En un giro, el único punto que permanece invariante es el centro de giro. En una simetría axial, los únicos puntos invariantes son los situados en el eje de simetría. En una simetría central, el único punto invariante es el centro de simetría. SOLUCIONES PÁG. 240 – REPASO FINAL TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS 1

Calcula los puntos dobles en las siguientes transformaciones: (x – 2 , y + 2) a. (x , y) x – 2 = x ⇒ 0x = 2 y + 2 = y ⇒ 0y = –2 No hay puntos dobles. b. (x , y) (y , x) x=y y=x La recta y = x es doble punto a punto. c. (x , y) (–y , x – 1) x = –y 1 1 y = x – 1 ⇒ y = –y – 1 ⇒ 2y = –1 ⇒ y = − ⇒ x = 2 2

1 2

1 2

El punto doble es  , −  MOVIMIENTOS EN EL PLANO 2

Muchas empresas tienen un logotipo que las identifica y que generalmente está compuesto por movimientos simples de objetos básicos. a. Busca alguno de estos logotipos e identifica el movimiento empleado en su construcción. Respuesta abierta. b. Crea tu propio logotipo en el que intervengan diferentes movimientos. Respuesta abierta.

3

Indica cuáles de las transformaciones que permiten pasar de la primera figura a las demás son movimientos y cuáles no. Indica también qué movimientos son directos y cuáles son inversos.

Movimientos directos: figura 1 Movimientos inversos: figuras 2 y 3 No son movimientos: figuras 4 y 5 © María Presentación García López; Juana Municio Hernández; Pedro Ortega Pulido; Eva M.ª Villaoslada Marín © GRUPO EDELVIVES

27 VECTORES 4

Indica cuáles de los siguientes vectores son equipolentes entre sí:

Son equipolentes: vector rojo y vector naranja; vector azul, vector lila y vector color pistacho; vector verde y vector rosa. No son equipolentes: vector verde, vector marrón, vector azul claro.

uuur uuur 5

Representa en unos ejes de coordenadas cartesianas los vectores AB , CD y uuur EF , teniendo en cuenta que A (–5 , 1), B (0 , –3), C (–4 , –1), D (2 , –2), E (8 , –2) y F (–6 , 5). Después, determina sus coordenadas y sus módulos.

uuur uuur 2 AB = (0 , –3) – (–5 , 1) = (5 , –4); AB = 52 + ( −4 ) = 6, 4 uuur uuur 2 CD = (2 , –2) – (–4 , –1) = (6 , –1); CD = 6 2 + ( −1) = 6, 08 uur uur 2 EF = (–6 , 5) – (8 , –2) = (–14 , 7); EF = ( −14 ) + 7 2 = 15, 65

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28 6

Calcula las coordenadas y los módulos de los siguientes vectores:

uuuuuuur uuuuuuur 2 naranja = (–4 , 1) – (–1 , 1) = (–3 , 0); naranja = ( −3) + 02 = 3 uuuuuuuur uuuuuuuur 2 2 morado = (–2 , –2) – (1 , –1) = (–3 , –1); morado = ( −3 ) + ( −1) = 3,16 uuuur uuuur 2 2 rojo = (3 , –1) – (5 , 1) = (–2 , –2); rojo = ( −2 ) + ( −2 ) = 2,83 uuuur uuuur 2 azul = (2 , 1) – (0 , 2) = (2 , –1); azul = 22 + ( −1) = 2, 24

uuur 7

8

9

Dado el vector AB = (–4 , 6), cuyo extremo es B (5 , –1), ¿cuáles son las coordenadas del punto A? uuur uuur AB = B − A ⇒ A = B − AB ⇒ A = (5, − 1) − ( −4,6) ⇒ A = (9, − 7) ur ¿Cuál debe ser el valor de a para que el módulo del vector v = (a , –3) sea 5 unidades? r v = a 2 + ( −3)2  a = 4 2 2 2 2 2  ⇒ a + ( −3) = 5 ⇒ a + ( −3) = 25 ⇒ a = 16 ⇒  r v =5 a = −4 

r r Considera los vectores u = (–1 , 2) y v = (3 , 4). r r a. Calcula las coordenadas del vector u + v r r u + v = (‒1 , 2) + (3 , 4) = (2 , 6) b. Realiza la suma gráficamente y comprueba que el resultado concuerda con el obtenido en el apartado a.

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29

r r 10 Copia en tu cuaderno estos vectores y realiza gráficamente las sumas: u + v , r r r r u + w y v + w

11 Dos ciclistas parten de una misma localidad, A, y desean llegar a la localidad B. Uno de los ciclistas toma el camino recto, y el otro decide desviarse y hace una parada en C. Calcula los kilómetros que recorre cada uno.

uuur uuur AB = (150 , 87) – (30 , 22) = (120 , 65); AB = 120 2 + 652 = 136, 47 uuur uuur AC = (95 , 47) – (30 , 22) = (65 , 25); AC = 652 + 252 = 69, 64 uuur uuur CB = (150 , 87) – (95 , 47) = (55 , 40); CB = 552 + 402 = 68 El primer ciclista recorre 136,47 km, y el segundo, 69,64 km + 68 km = 137,64 km.

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30 SOLUCIONES PÁG. 241 TRASLACIONES 12 Copia estas figuras en tu cuaderno y trasládalas según el vector que se indica. Después, comprueba con GeoGebra los resultados que has obtenido. a.

⇒ b.

⇒ 13 Las siguientes figuras son trasladadas la una respecto de la otra. Encuentra, en cada caso, el vector de traslación. a.

r u = (–2 , –3) b.

r v = (–0,5 , 3) 14 Considera el siguiente paralelogramo:

a. Halla las coordenadas del punto D.

uuur BC = (13 , 1) – (11 , –1) = (2 , 2) uuuur D = A + BC = (7 , –1) + (2 , 2) = (9 , 1)

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31 b. ¿Cuánto vale su perímetro?

uuur uuur uuur AD = BC ⇒ AD = 22 + 22 = 2,83 uuur uuur DC = (13 , 1) – (9 , 1) = (4 , 0) ⇒ DC = 42 + 02 = 4 uuur uuur Perímetro = 2 AD + 2 DC = 2·( 2,83) + 2·4 = 13,66 u

c. Determina la longitud de las dos diagonales.

uuur uuur AC = (13 , 1) – (7 , –1) = (6 , 2) ⇒ AC = 62 + 22 = 6,32 uuur uuur 2 BD = (9 , 1) – (11 , –1) = (–2 , 2) ⇒ AC = ( −2 ) + 22 = 2,83

Diagonal AC = 6,32 u; diagonal BD = 2,83 u 15 La plaza del pueblo en el que vive Miguel tiene forma de paralelogramo. En uno de los vértices, de coordenadas A (–20 , –80), se encuentra el ayuntamiento; en el vértice opuesto, de coordenadas C (500 , 100), el parque, y en otro vértice, de coordenadas B (300 , 5), el colegio. La casa de Miguel está situada en el vértice D, tal y como muestra la figura.

a. Halla las coordenadas del vértice D.

uuur BC = (500 , 100) – (300 , 5) = (200 , 95) uuuur D = A + BC = (–20 , –80) + (200 , 95)= (180 , 15)

b. Calcula la distancia en línea recta, expresada en metros, que separa la casa de Miguel del colegio, el ayuntamiento y el parque.

uuur uuur 2 BD = (180 , 15) – (300 , 5) = (–120 , 10) ⇒ BD = ( −120 ) + 102 = 120, 42 uuur uuur AD = (180 , 15) – (–20 , –80) = (200 , 95) ⇒ BD = 2002 + 952 = 221, 42 uuur uuur 2 2 CD = (180 , 15) – (500 , 100) = (–320 , –85) ⇒ BD = ( −320 ) + ( −85 ) = 331,1

La distancia de casa al colegio es de 120,42 m; de casa al ayuntamiento, 221,42 m, y de casa al parque, 331,1 m. 16 El siguiente dibujo muestra una pared del salón de la casa de Vicki. Tras una remodelación del salón, el cuadro ha quedado descentrado. ¿Mediante qué vector tiene que trasladar el cuadro para que quede centrado sobre el sofá, a 30 cm de este? (Nota: toma como punto de referencia, (0 , 0), la esquina inferior izquierda de la pared). Centro cuadro = (350 , 275) = A Posición = (150 , 145) = B r uuur v = BA = (150 , 145) – (350 , 275) = (–200 , –130) = (–2 , –1,30)

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32 17 Copia la figura en tu cuaderno y aplícale dos traslaciones sucesivas de los r r vectores u y v . que se indican. ¿Qué sucedería si se aplicase primero la r r traslación de vector v y después la de vector u ? ¿Por qué?

Es equivalente, ya que la composición de dos traslaciones es otra traslación de vector igual a la suma de los dos vectores (y la suma de vectores es una operación conmutativa).

18 ¿Qué coordenadas debe tener un punto A para que al aplicarle dos r r traslaciones sucesivas de vectores v = (2 , 1) y u = (–3 , 5) se obtenga el punto A’’(1 , –2)? (1 , –2) = (x , y) + (2 , 1) + (–3 , 5) ⇒ (1 , –2) ‒ (2 , 1) ‒ (–3 , 5) = (x , y) ⇒ ⇒ (2 , –8) = (x , y) El punto A tiene coordenadas (2 , –8)

r

19 Calcula las coordenadas del vector v para que al aplicar dos traslaciones sucesivas de dicho vector al punto A (–1 , –2) se obtenga el punto A’’ (1 , 5). (1 , 5) = (–1 , –2) + 2 · (x , y) ⇒

(1, 5) − ( −1, 2

−2 )

= ( x, y ) ⇒

( 2, 7 ) = 2

( x, y )

⇒

 

7  = ( x, y ) 2 r  7 El vector es v = 1,   2

⇒ 1,

GIROS 20 Copia en tu cuaderno las siguientes figuras y aplícales un giro cuyo centro sea el punto O y cuyo ángulo sea el que se indica en cada caso. Después, comprueba el resultado obtenido con GeoGebra. a.

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33 b.

⇒

SOLUCIONES PÁG. 241 21 Las siguientes figuras son transformadas la una de la otra mediante un giro. Determina el centro y ángulo de dicho giro en cada caso. a.

⇒ b.

⇒

22 Copia las siguientes figuras en tu cuaderno y determina, en cada caso, el centro y el ángulo de giro. a.

⇒ b.

⇒

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34 23 Al aplicar a un punto A dos giros sucesivos iguales de centro O y ángulo α, se obtiene el punto A’’. Indica razonadamente cómo se puede determinar geométricamente el punto A’ que resulta de aplicar el primer giro.

uuur

uuur

El punto A’ se encuentra en la circunferencia de centro O y radio r = OA = OA" .

(

uuur uuur

)

Además, ángulo , OA, OA" = 2α; por tanto, el punto A’ se puede obtener como

(

uuur uuur

)

intersección de la bisectriz del ángulo , OA, OA" con la circunferencia de centro

uuur uuur O y radio r = OA = OA".

SIMETRÍAS 24 Copia en tu cuaderno las siguientes figuras y aplícales una simetría axial cuyo eje sea el que se indica: a.

⇒ b.

⇒

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35 25 Las siguientes figuras son transformadas la una de la otra mediante una simetría axial. Cópialas en tu cuaderno y traza geométricamente el eje de simetría. a.

⇒ b.

⇒ 26 Copia en tu cuaderno las siguientes figuras y aplícales una simetría central de centro el que se indica en cada caso. a.

⇒ b.

⇒

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36 27 Copia en tu cuaderno las figuras y aplícales dos simetrías axiales sucesivas de ejes r y s, respectivamente. Después responde razonadamente a las preguntas que se plantean.

⇒

⇒ a. ¿Mediante qué movimiento se puede pasar directamente de la primera a la última figura sin pasar por la figura intermedia? uur En el primer apartado, mediante una traslación de vector PP " de dirección perpendicular a los ejes y módulo de 6 unidades, ya que la distancia entre los ejes es de 3 unidades. En el segundo apartado, mediante un giro cuyo centro es el punto de intersección de las dos rectas, O, y con ángulo de 211,24º, ya que el ángulo que forma r con s es de 105,62º. b. ¿Se hubiera obtenido el mismo resultado si se hubiese aplicado primero la simetría de eje s y después la de eje r? No. En la primera figura uur se podría pasar de la primera a la última mediante una traslación de vector PP " , que sigue teniendo dirección perpendicular a los ejes y módulo de 6 unidades, pero con sentido contrario al anterior. En la segunda figura, se puede pasar de la primera a la última mediante un giro cuyo centro es el punto de intersección de las dos rectas, O, pero esta vez el ángulo es de 148,76º, ya que el ángulo que forma s con r es de 74,38º. c. A la vista de los resultados, ¿dirías que se cumple la propiedad conmutativa? No es conmutativo. 28 Copia en tu cuaderno la figura y aplícale dos simetrías centrales sucesivas de centros O y O´, respectivamente:

⇒

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37 a. ¿Mediante qué movimiento podemos pasar directamente de la primera a la última figura sin pasar por la figura intermedia?

uuuur

Mediante una traslación de vector doble al vector OO'

b. ¿Se hubiera obtenido el mismo resultado si se hubiera aplicado primero la simetría de centro O´ y después la de centro O?

uuuur No, ya que ahora la traslación es de vector doble a O'O , que tiene igual modulo y dirección que el vector anterior pero sentido contrario. c. A la vista de los resultados, ¿dirías que se cumple la propiedad conmutativa? No es conmutativo.

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38 SOLUCIONES PÁG. 243 29 Un teselado se crea partiendo de una figura inicial (motivo base) sobre la que se aplican diversas transformaciones isométricas, de forma que se recubra totalmente una superficie plana sin que queden huecos ni se superpongan las figuras. Esta técnica se ha utilizado a lo largo de la historia para formar mosaicos que adornan construcciones emblemáticas. Dado el siguiente motivo base, construye un teselado de cuatro formas diferentes que ocupe la región del plano que se propone. Asegúrate de aplicar el mayor número de movimientos posibles.

Respuesta abierta. 30 Para realizar esta actividad, podéis organizaros en grupos de tres alumnos. Se trata de dibujar en cartulinas de colores y recortar un número de piezas base como las que se proponen para formar un mosaico. Tenéis que describir los movimientos que permiten pasar de un motivo base a otro.

Respuesta abierta. 31 Visita esta página web y analiza las reglas que se detallan para construir un mosaico de Escher. Después, confecciona tu propio mosaico a partir de un motivo diseñado por ti mismo. http://juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/ materiales/3eso/geometria/moviemientos/mosaicos/mosaicos. Respuesta abierta.

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39 EVALUACIÓN 1

Dados los puntos A (1 , 2), B (3 , 5), C (–1 , 1) y D (–2 , –3), las coordenadas del

uuur

uuur

vector AB + CD + son: a. (–1 , 1) b. (3 , 7)

c. (1 , –1)

d. (–3 , –7)

uuur AB uuur = (3 , 5) – (1 , 2) = (2 , 3) CD = (–2 , –3) – (–1 , 1) = (–1 , –4) uuur uuur AB + CD = (2 , 3) + (–1 , –4) = (1 , –1) uuur 2

Dado el vector AB = (3 , –2), si el punto A tiene por coordenadas A (–6 , 4), las coordenadas del punto B son: a. B (–3 , 2) b. B (–3 , –6) c. B (9 , –6) d. B (–9 , –6) (3 , –2) = (x , y) ‒ (–6 , 4) ⇒ (x , y) = (–3 , 2)

3

ur Para que el módulo del vector v = (x , –9) sea de 15 unidades, x debe valer: a. 4 b. 12 c. – 4 d. –12 (Nota: en la primera edición del libro del alumno dice que el módulo del vector ur v sea de 13 unidades. No es correcto, debe ser de 15 unidades.)

r 2 v = x 2 + ( −9 ) = 15 ⇒ x 2 + 81 = 225 ⇒ x 2 = 144 ⇒ x = ±12 4

El vector de la traslación que transforma la figura verde en la figura roja es:

ur a. v = (4 , 4) (–4 , –4)

ur b. v = (4 , –4)

ur c. v = (–4 , 4)

ur d. v =

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40 5

Si se aplica a la figura inicial un giro de centro O y ángulo de 90°, se obtiene la figura: a. c.

b.

6

d.

Un ejemplo de movimiento que invierte la orientación de los ángulos es: a. La traslación. b. El giro. c. La simetría central. d. La simetría axial.

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MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS 3.º ESO somoslink

SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO

UNIDAD 11. CUERPOS GEOMÉTRICOS

2

Unidad 11. Cuerpos geométricos SOLUCIONES PÁG. 247 1 Nombra cinco objetos de tu alrededor que sean poliedros. Respuesta abierta. 2 Clasifica estos poliedros según sean cóncavos o convexos y comprueba que en los poliedros convexos se cumple la fórmula de Euler: a.

Convexo: 6 caras; 8 vértices; 12 aristas. 6 + 8 = 12 + 2 = 14 b.

Cóncavo. c.

Convexo: 7 caras; 10 vértices; 15 aristas. 7 + 10 = 15 + 2 = 17 d.

Convexo: 5 Caras; 6 vértices; 9 aristas. 5 + 6 = 9 + 2 = 11

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3 3 Dibuja en tu cuaderno el desarrollo plano de cada poliedro. a.

b.

c.

d.

4 Actividad resuelta. 5 Calcula el área de este poliedro:

Tiene 2 caras de dimensiones 6 × 3, otras 2 caras de dimensiones 6 × 2, y las otras dos, de 3 × 2. A = 2 · (6 · 3) + 2 · (6 · 2) + 2 · (3 · 2) = 2 · 18 + 2 · 12 + 2 · 6 = 36 + 24 + 12 = 72 cm2 © María Presentación García López; Juana Municio Hernández; Pedro Ortega Pulido; Eva M.ª Villaoslada Marín © GRUPO EDELVIVES

4 SOLUCIONES PÁG. 249 6 Indica a qué poliedro regular corresponden los siguientes objetos: a.

Hexaedro o cubo. b.

Icosaedro. c.

Dodecaedro. d.

Icosaedro.

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5 e.

Tetraedro. f.

Octaedro. 7 Comprueba que los poliedros regulares cumplen la fórmula de Euler. Tetraedro: 4 caras; 4 vértices; 6 aristas. 4 + 4 = 6 + 2 = 8. Sí, lo cumple. Octaedro: 8 caras; 6 vértices; 12 aristas. 8 + 6 = 12 + 2 = 14. Sí, lo cumple. Icosaedro: 20 caras; 12 vértices; 30 aristas. 20 + 12 = 30 + 2 = 32. Sí, lo cumple. Hexaedro: 6 caras; 8 vértices; 12 aristas. 6 + 8 = 12 + 2 = 14. Sí, lo cumple. Dodecaedro: 12 caras; 20 vértices; 30 aristas. 12 + 20 = 30 + 2 = 32. Sí, lo cumple. 8 ¿Por qué solo existen cinco poliedros regulares? En un poliedro regular, la suma de los ángulos que convergen en un vértice debe ser menor que 360°. Además, en cada vértice deben concurrir como mínimo 3 caras; por tanto, solo pueden darse las siguientes situaciones: Tetraedro: En cada vértice concurren 3 caras, que son triángulos equiláteros (suma de ángulos = 180°). Octaedro: En cada vértice concurren 4 caras, que son triángulos equiláteros (suma de ángulos = 240°). Icosaedro: En cada vértice concurren 5 caras, que son triángulos equiláteros (suma de ángulos = 300°). Hexaedro: En cada vértice concurren 3 caras, que son cuadrados (suma de ángulos = 270°). Dodecaedro: En cada vértice concurren 3 caras, que son pentágonos regulares (suma de ángulos = 324°). 9 Busca información sobre el origen de los poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos, y justifica el sobrenombre de dichos poliedros. Respuesta abierta.

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6 10 Indica a qué poliedro regular corresponde cada uno de los siguientes desarrollos planos: a.

Icosaedro. b.

Octaedro. c.

Octaedro. d.

Tetraedro. 11 Actividad resuelta.

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7 12 Calcula el área total de un cristal de fluorita con forma de octaedro regular de 3 cm de arista. Cada cara del octaedro es un triángulo equilátero con 3 cm de lado. Por tanto, por el teorema de Pitágoras, podemos calcular la altura de cada una de las caras. 32 = 1,52 + h2 ⇒ 9 = 2,25 + h2 ⇒ h = 2,6 cm , Por tanto, el área de cada cara es = 3,9 cm2 Así, el área total es 3,9 · 8 = 31,2 cm2 13 La figura adjunta se ha obtenido a partir de un icosaedro de 4 cm de lado en el que cada cara ha sido sustituida por un tetraedro. ¿Cómo calcularías su área?

Calculamos primero el área de cada triángulo. Para ello, obtenemos la altura de tal forma: 42 = 22 + h2 ⇒ 16 = 4 + h2 ⇒ h = 3,46 cm , = 6,92 cm2. El área de cada tetraedro (sin Por tanto, el área de cada triángulo es base) es 20,76 cm2. Como el icosaedro tiene 20 caras, entonces el área total es 415,2 cm2 14 La pamplina es una planta herbácea cuyos granos de polen recuerdan un dodecaedro. En primavera se pueden detectar concentraciones de 300 granos de polen por metro cúbico de aire. Investiga sobre la forma de estos granos y calcula la superficie total de los granos de polen contenidos en 1 m3 de aire, sabiendo que, por término medio, la arista de cada grano mide 20 µ, y la apotema de cada cara, 13,76 µ. Nota: 1µ = 10–6 m. El área de un dodecaedro, al tener 12 caras que son pentágonos, es A = 30 · a · ap, siendo a la arista y ap la apotema. Por tanto: A = 30 · 20 · 13,76 = 8 256 µ2 = 8 256 · 10–12 m2 En 1 m3 de aire hay 300 granos de polen, luego, la superficie total de los granos de polen es 2 476 800 · 10–12 m2 = 2,476 8 mm2

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8 SOLUCIONES PÁG. 251 15 Clasifica los siguientes elementos según los prismas que tienen sus mismas formas: a.

Paralelepípedo recto u ortoedro. b.

Paralelepípedo recto u ortoedro. c.

Paralelepípedo regular o cubo. d.

Prisma triangular recto. e.

Prisma hexagonal regular. f.

Paralelepípedo recto u ortoedro. 16 Actividad resuelta.

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9 17 Halla el área y el volumen de un ortoedro de 10 cm de altura cuyas bases tienen por dimensiones 3 cm × 4 cm. Para calcular el área hay que observar que tiene 2 caras de dimensiones 3×4, otras dos de dimensiones 10×3 y otras dos de 10×4. Por tanto: Área = 2 · (3 · 4) + 2 · (10 · 3) + 2 · (10 · 4) = 24 + 60 + 80 = 164 cm2 Volumen = 3 · 4 · 10 = 120 cm3 18 Actividad resuelta. 19 Calcula el área y el volumen de las siguientes figuras: a.

Llamamos x a cada arista del cubo e y a cada diagonal que se forma en los cuadrados de cada lado. Por tanto, por el teorema de Pitágoras, tenemos 2x2 = y2. Por otro lado, podemos tomar el triángulo formado por la diagonal del cubo, la diagonal del cuadrado de uno de sus lados y una arista, de tal forma que: 42 = x2 + y2 ⇒ 42 = x2 + 2x2 ⇒ 42 = 3x2 ⇒ x = 2,31. Por tanto, Área = 2,312 · 6 = 32,02 cm2; Volumen = 2,313 = 12,33 cm3 b.

Área = 2 · (5 · 4) + 2 · (5 · 3) + 2 · (4 · 3) = 40 + 30 + 24 = 94 cm2 Volumen = 5 · 3 · 4 = 60 cm3 c.

Hay que tener en cuenta que la hipotenusa del triángulo que está formado por los dos catetos de lados 6 cm y 8 cm es: h2 = 62 + 82 ⇒ h = 10 cm, por lo que es un cuadrado. Área = 2 · + 10 · 10 + 10 · 8 + 10 · 6 = 48 + 100 + 80 + 60 = 288 cm2 Volumen =



= 240 cm3

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10 d.

La apotema es: 62 = 32 + ap2 ⇒ ap = √27 = 5,2 cm. Cada base hexagonal, por tanto, , 6 93,6 cm2 tiene como área: Área = 93,6 · 2 + 6 · 6 · 9 = 187,2 + 324 = = 511,2 cm2 Volumen = 93,6 · 9 = 842,4 cm3 SOLUCIONES PÁG. 253 20 Nombra objetos o construcciones que tengan forma piramidal. Respuesta abierta. 21 Dibuja una pirámide recta de base pentagonal y señala sus elementos básicos.

22 ¿Existe alguna pirámide que sea un poliedro regular? Justifica tu respuesta. Sí, el tetraedro, que es una pirámide triangular en la que todas las caras son triángulos equiláteros. 23 ¿Existe alguna pirámide cuyas caras laterales sean paralelas? Justifica tu respuesta. No. En una pirámide, las caras laterales son triángulos que tienen un vértice común, luego dichas caras no pueden ser paralelas. 24 Indica si las siguientes afirmaciones son verdadera o falsas: a. La altura de una pirámide coincide con la altura de una de sus caras laterales. Falso, la altura de las caras laterales es la apotema de la pirámide. b. La apotema de una pirámide coincide con la altura de una de sus caras laterales. Verdadero. c. Toda pirámide tiene dos bases poligonales. Falso, tiene solo una base.

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11 d. Toda pirámide tiene un mínimo de tres caras laterales. Verdadero. e. Las pirámides tienen tantos vértices como aristas. Falso, por ejemplo la pirámide pentagonal tiene 10 aristas y 6 vértices. 25 Copia en tu cuaderno y relaciona cada pirámide con su desarrollo plano.

1-2; 2-3; 3-1 26 Actividad resuelta. 27 Calcula el área y el volumen de una pirámide hexagonal de 9 m de altura y 6 m de arista básica. En primer lugar, calculamos la apotema de la base. Como la base es un hexágono cuyos lados miden 6 m, entonces: 62 = 32 + apbase2 ⇒ apbase = 5,2 m , Por tanto, el área de la base es: 6 93,6 m2 ,

Volumen = A h= = 280,8 m3 Por otro lado, calculamos la apotema de la pirámide, teniendo en cuenta que tiene una altura de 9 m: appirámide2 = 92 + 5,22 ⇒ appirámide = 10,39 m , 6 187,02 m2 Por tanto, el área lateral es: Así, en área total es: 93,6 + 187,02 = 280,62 m2

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12 28 Calcula, en cada caso, el área y el volumen de la pirámide cuadrangular regular indicada. a. La arista básica mide 4 cm, y la altura, 5 cm. En primer lugar calculamos la apotema de la pirámide, teniendo en cuenta que la base es un cuadrado de lado 4 cm y la altura mide 5 cm. appirámide2 = 22 + 52 ⇒ appirámide = 5,39 m , Podemos calcular el área lateral, siendo 4 43,12 cm2, y si le sumamos el área de la base, que es 16 cm2, entonces el área total es 59,12 cm2 El volumen es: 26,67 cm3 b. La arista básica mide 8 m, y la apotema, 9 m. El área lateral es 4 144 m2 y el área de la base es 64 m2. Por lo tanto, el área total es 208 m2. Para calcular el volumen, primero calculamos la altura de la pirámide. Teniendo en cuenta los datos dados, tenemos: 92 = 42 + h2 ⇒ h = 8,06 m. , Por tanto, el volumen es: 171,95 m3 SOLUCIONES PÁG. 255 29 Busca información sobre tres edificios emblemáticos que tengan forma de cilindro. Respuesta abierta. 30 Dibuja los cuerpos de revolución que se obtienen al hacer girar estas figuras alrededor del eje de giro indicado: a.

Se obtiene un cono situado sobre un cilindro. b.

Se obtiene una semiesfera.

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13 c.

Se obtiene un cuerpo de revolución. 31 Actividad resuelta. 32 Se desea construir con cartulina un bote cilíndrico para lápices como el de la figura. ¿Qué superficie de cartulina se necesita? ¿Cuál es el volumen del bote?

A = 2πr (r + h) = 2 · π · 3,5 · (3,5 + 13) = 115,5π = 362,85 cm2 V = π · r2 · h = π · 3,52 · 13 = 159,25π = 500,3 cm3 33 En una almazara, un grifo vierte aceite en un tanque cilíndrico de 20 m de diámetro y 5 m de altura a razón de 50 L por minuto. ¿Cuánto tardará en llenarse el tanque? Volumen del tanque = π · r2 · h = π · 102 · 5 = 500π m3 = 500 000π L = 1 570 796 L Por lo tanto, 1 570 796 : 50 = 31 415,92 minutos = 21 días 19 h 35 min 54 s 34 El Partenón, templo griego dedicado a la diosa Atenea, cuenta con 8 columnas en cada una de sus dos fachadas frontales y con 17 columnas en cada una de las laterales. Cada columna mide 1,9 m de diámetro y 10,4 m de altura. Calcula qué volumen de piedra (expresado en metros cúbicos) tienen las columnas. El volumen de cada columna es: π · r2 · h = π · 0,952 · 10,4 = 29,49 m3 Como son 25 columnas en total, el volumen total es 737,25 m3 35 Una empaquetadora de paja prepara balas cilíndricas de 1,5 m de diámetro y 2 m de largo. Para su mejor conservación, durante el invierno, las balas son envueltas en plástico. Calcula la superficie de plástico (expresada en metros cuadrados) que se necesitará para resguardar la producción de este año, que asciende a 20 000 balas de paja. El área de una bala de paja es: 2πr (r + h) = 2π · 0,75 · (0,75 + 2) = 4,125π = 12,96 m2 Por lo tanto, al ser 20 000 balas de paja, se necesitarán 259 200 m2 de plástico para envasar todas las balas.

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14 36 ¿Qué cantidad de madera se ha empleado en la fabricación de este baúl?

La tapa del baúl es medio cilindro de 20 cm de radio y 90 cm de altura. A = π · 202 + π · 20 · 90 = 2 200π = 6 911,5 cm2 = 0,691 15 m2 En cuanto a la parte inferior, está constituido por: 2 rectángulos de dimensiones 40 × 50 cm: A = 4 000 cm2 = 0,4 m2 2 rectángulos de dimensiones 90 × 50 cm: A = 9 000 cm2 = 0,9 m2 1 rectángulo de dimensiones 90 × 40 cm: A = 3 600 cm2 = 0,36 m2 El área total es 2,35 m2. 37 Una fábrica produce tuberías de cemento para el alcantarillado. Si cada tubería tiene una longitud de 4 m, un diámetro interior de 1 m y un grosor de 2 cm, ¿cuántos litros de cemento se han de emplear en su construcción? Volumen cilindro exterior = π · r2 · h = π · 0,512 · 4 = 1,0404π m3 Volumen cilindro interior = π m3 Volumen cemento empleado = 1,0404 π m3 = 0,12692 m3 = = 126,92 dm3 = 196,92 L 38 Al verter el líquido de la primera probeta en la segunda, ¿qué altura alcanzará en esta?

La primera probeta contiene π · r2 · h = π · 0,52 · 3 = 0,75π = 2,356 cm3 de líquido. Por lo tanto, hay que tener en cuenta que ese mismo volumen tiene que estar en la segunda probeta, que tiene un radio de 0,75 cm. Así: 2,356 = π · 0,752 · h ⇒ h = 1,33 cm, que será la altura que alcance. 39 Una fábrica de conservas envasa caldo de pescado en latas cilíndricas de 10 cm de altura y 4 cm de radio. a. ¿Cuántas latas se necesitan para envasar 5 000 L de caldo? El volumen de cada lata es: π · r2 · h = π · 42 · 10 = 160π cm3 = 502,65 cm3 = 0,502 65 L Por lo tanto se necesitan , = 9 947 latas b. Si se venden las latas a 1,80 €, ¿cuánto dinero se obtiene por la comercialización de todas las latas del apartado anterior? 9 947 · 1,80 = 17 904,6 € © María Presentación García López; Juana Municio Hernández; Pedro Ortega Pulido; Eva M.ª Villaoslada Marín © GRUPO EDELVIVES

15 40 Calcula la masa de una tarta cilíndrica de 10 cm de radio y 7 cm de altura, sabiendo que 0,75 dm3 de tarta elaborada corresponden a una masa de 1 kg aproximadamente. Volumen tarta = π · r2 · h = π · 102 · 7 = 700π cm3 = 2 199 cm3 = 2,199 dm3 , = 2,932 kg aproximadamente. Por lo tanto, la tarta pesa ,"

SOLUCIONES PÁG. 257 41 Determina, en cada caso, el área y el volumen del cono indicado: a. El radio de la base mide 3 cm, y la altura, 6 cm. En primer lugar hayamos la generatriz: g2 = 62 + 32 ⇒ g = 6,71 cm Área = π · r · (r + g) = π · 3 · (3 + 6,71) = 29,13π = 91,51 cm2 Volumen = · π · r2 · h = · π · 32 · 6 = 18π = 56,55 cm3 b. El radio de la base mide 5 m, y la generatriz, 9 m. En primer lugar hayamos la altura: 92 = h2 + 52 ⇒ h = 7,48 cm Área = π · r · (r + g) = π · 5 · (5 + 9) = 70π = 219,91 cm2 Volumen = · π · r2 · h = · π · 52 · 7,48 = 62,33π = 195,81 cm3 c. La generatriz mide 15 cm, y la altura, 7 cm. En primer lugar hayamos el radio de la base: 152 = 72 + r2 ⇒ r = 13,27 cm Área = π · r · (r + g) = π · 13,27 · (13,27 + 15) = 375,14 π = 1 178,54 cm2 Volumen = · π · r2 · h = · π · 13,272 · 7 = 410,88π = 1 290,82 cm3 42 Cristina va a celebrar su cumpleaños y quiere construir unos gorritos en forma de cono con cartulinas de colores para ella y sus amigos. Averigua qué superficie de cartulina necesitará si en total van a ser 15 personas en la fiesta de cumpleaños.

Calculamos la generatriz: g2 = 302 + 102 ⇒ g = 31,62 cm Por lo tanto, el área de un gorrito es: π · r · (r + g) = π · 10 · (10 + 31,62) = 416,2π = = 1 307,53 cm2 Gastará en total 19 612,95 cm2 = 1,96 m2 de cartulina aproximadamente.

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16 43 Calcula la superficie de plástico, expresada en metros cuadrados, que se ha utilizado en la fabricación de un cono de señalización de 500 mm de altura y que tiene una base de 300 mm de diámetro.

Hallamos primero la generatriz: g2 = 5002 + 1502 ⇒ g = 522,02 mm Tenemos que considerar el área del cono, pero sin considerar la base, ya que no forma parte de la superficie del cono de señalización, así que solo calculamos el área lateral: Álateral = π · 150 · 522,02 = 245 996,13 mm2 = 0,245 9 m2, aproximadamente. 44 En una heladería, el precio de los helados depende del tamaño del cucurucho, tal y como se indica en la figura.

Suponiendo que sirviesen el helado a ras de la base del cucurucho, ¿cuál de los dos sale proporcionalmente más barato? Calculamos el volumen del cucurucho pequeño: Volumen = · π · r2 · h = · π · 22 · 7 = 9,33π = 29,32 cm3 Por lo tanto, cada cm3 cuesta

,

= 0,102 3 €

Ahora, el cucurucho grande: Volumen = · π · 2,52 · 9 = 18,75π = 58,9 cm3 Por lo tanto, cada cm3 cuesta

,

= 0,084 9 €

Así que el cucurucho grande es proporcionalmente más barato.

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17 45 Las últimas investigaciones en energías renovables van dirigidas a desarrollar paneles solares en forma de cono, lo que garantizaría que el panel recibe luz solar desde el amanecer hasta el crepúsculo. Calcula la superficie de exposición al sol de un sistema que cuente con 10 paneles cónicos como los de la figura.

En primer lugar calculamos la generatriz: g2 = h2 + r2 = 12 + 1,52 = = 3,25 ⇒ g = 1,8 m El área lateral de un cono es: π · 1,5 · 1,8 = 8,48 m2 El área total es 84,8 m2 46 Actualmente, los molinos de viento se emplean, entre otros usos, para almacenar trigo. Calcula la capacidad total de almacenaje de uno de estos molinos, sabiendo que tiene un diámetro de 10 m, una altura total de 12 m y que el alero del tejado se encuentra a 9 m del suelo.

Calculamos en primer lugar el cono que forma el tejado (5 m de radio de la base y 3 m de altura): Volumen = · π · r2 · h = · π · 52 · 3 = 25 π = 78,54 m3 Después, hayamos el volumen del cilindro que forma la pared lateral (5 m de radio de la base y 9 m de altura): Volumen = π · 52 · 9 = 225 π = 706,86 m3 Volumen total de almacenaje = 78,54 + 706,86 = 785,4 m3 47 Observa la figura y calcula cuántas copas se pueden llenar con el contenido de la lata de refresco.

Calculamos el volumen de la copa, que es un cono de radio 4 cm y de altura 6 cm: Volumen de la copa = · π · r2 · h = · π · 42 · 6 = 100,53 cm3 Ahora, el volumen de la lata, que es un cilindro cuya base tiene un radio de 3 cm y una altura de 10 cm. Volumen de la lata = π · 32 · 10 = 282,74 cm3 Se pueden llenar 2 copas y sobran 81,68 cm3 © María Presentación García López; Juana Municio Hernández; Pedro Ortega Pulido; Eva M.ª Villaoslada Marín © GRUPO EDELVIVES

18 48 El volcán Villarrica (en Chile), en la cordillera de los Andes, posee una forma cónica casi perfecta. Calcula la superficie del cono volcánico, sabiendo que su base ocupa una superficie de 2 040 km2 y que la longitud de su ladera es de aproximadamente 25 505 m.

Tenemos que saber cuánto mide el radio de la base. Sabiendo que la superficie de la base es 2 040 km2, entonces, 2 040 = π · r2 ⇒ r2 = 649,35 ⇒ r = 25,482 m El radio de la base mide 25,482 m, aproximadamente, y la generatriz, 25 505 m. La superficie del cono volcánico es: A = π · 25 482 · 25 505 = = 2 041,54 km2 SOLUCIONES PÁG. 258 49 Una fábrica de pelotas de tenis produce 10 000 pelotas cada día. Calcula los metros cuadrados de fieltro amarillo que necesitará diariamente, sabiendo que el diámetro de cada pelota es de 66 mm. La superficie de cada pelota es: 4 · π · r2 = 4 · π · 332 = 4 356π = 13 684,78 mm2 Se necesita, por tanto, para las 10 000 pelotas, 136,85 m2 de fieltro amarillo, aproximadamente. 50 Para preparar la fiesta de cumpleaños de Ana, su padre ha comprado unos globos esféricos que se hinchan hasta alcanzar un diámetro de 30 cm. ¿Cuántos globos puede hinchar como máximo con una bombona de aire que tiene una capacidad de 150 L? El volumen de cada globo es: · π · r3 = · π · 153 = 4 500π = 14 137,17 cm3 = 14,14 L, aproximadamente. Ahora, , = 10,61 Por tanto, se podrán hinchar 10 globos.

51 Si el volumen de un balón es de 74 dm3, ¿cuánto mide su radio? Hay que tener en cuenta que V = · π · r3. Por lo tanto, si sabemos que el volumen es 74 dm3, entonces: 74 = · π · r3 ⇒ r3 = 17,67 ⇒ r = 2,604 dm ⇒ r = 26,04 cm

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19 52 Calcula la superficie de vidrio, expresada en metros cuadrados, empleada en la fabricación de una farola que consta de 3 esferas iguales de 50 cm de diámetro cada una. La superficie de cada farola es: 4 · π · r2 = 4 · π · 252 = 2 500π = 7 853,98 cm2 Entonces, para las 3 esferas, se necesitan 7 853,98 · 3 = 23 561,94 cm2 = 2,36 m2 de vidrio, aproximadamente. 53 Averigua los litros de agua que se necesitan para llenar una cubitera de 12 cubitos semiesféricos, sabiendo que cada cubito de hielo tiene un diámetro de 4 cm. Cada cubito de hielo es una semiesfera de 2 cm de radio, por tanto, su volumen es: · π · r3 = · π · 23 = 16,76 cm3 Como se trata de 12 cubitos, el volumen total es 201,12 cm3 = 0,2 L, aproximadamente. SOLUCIONES PÁG. 259

54 Indica qué figuras esféricas se advierten en las siguientes fotografías: a.

Cuña esférica. b.

Segmentos esféricos (segmentos rojo y amarillo) y casquetes esféricos (segmentos verdes). 55 Un plano corta una esfera de 8 cm de radio de manera que determina una circunferencia de 3 cm de radio. Calcula la distancia que hay de este plano al centro de la esfera. Tomamos d como la distancia entre el plano y el centro de la esfera. 82 = d2 + 32 ⇒ 64 = d2 + 9 ⇒ d2 = 55 ⇒ d = 7,42 cm

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20 56 Al cortar una esfera por un plano que dista 6 cm de su centro, se obtiene una circunferencia de 9 cm de diámetro. ¿Cuánto mide el radio de esta esfera? Tomamos R como el radio de la esfera. R2 = 62 + 4,52 ⇒ R2 = 56,25 ⇒ R = 7,5 cm SOLUCIONES PÁG. 261 57 Actividad resuelta. 58 Halla las coordenadas geográficas de los puntos antípodas de estos otros puntos: a. A (33° 27’ N , 43° 51’ O) Latitud = –33° 27’ N = 33° 27’ S Longitud = 43° 51’ O – 180º = –136° 9’ O = 136° 9’ E A’ (33° 27’ S, 136° 9’ E) b. B (78° 44’ S , 50° 21’ E) Latitud = –78° 44’ S = 78° 44’ N Longitud = 50° 21’ E – 180º = –129° 39’ E = 129° 39’ O B’ (78° 44’ N, 129° 39’ O) c. C (20° 16’ S , 126° 39’ O) Latitud = –20° 16’ S = 20° 16’ N Longitud = 126° 39’ O – 180º = –53° 21’ O = 53° 21’ E C’ (20° 16’ N, 53° 21’ E) d. D (35° 23’ S , 115° 15’ E) Latitud = –35° 23’ S = 35° 23’ N Longitud = 115° 15’ E – 180º = –64° 45’ E = 64° 45’ O D’ (35° 23’ N, 64° 45’ O) 59 ¿Qué latitud tienen todos los puntos situados sobre el ecuador? 0°, pues es la referencia que se toma para hallar los ángulos de la latitud. 60 ¿Dónde están situados todos los puntos con longitud 0°? En el meridiano de Greenwich. 61 ¿Cuáles son las coordenadas geográficas del polo norte? ¿Y las del polo sur? El polo norte tiene coordenadas (90° N , 0°), y el polo sur, (90° S , 0°). 62 Si dos lugares de la Tierra están situados en un mismo meridiano, ¿qué coordenada geográfica tienen igual? ¿Y si están ubicados en el mismo paralelo? Si están sobre el mismo meridiano, tienen la misma longitud, y si están sobre el mismo paralelo, la misma latitud.

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21 63 Con la ayuda de un atlas, localiza una ciudad con las coordenadas geográficas que se indican en cada caso. Respuesta abierta. Se dan algunas soluciones posibles. a. Latitud norte y longitud este. Berlín (Alemania) b. Latitud sur y longitud oeste. Rio de Janeiro (Brasil) c. Latitud 0° y longitud oeste. Quito (Ecuador) d. Latitud norte y longitud 0°. Lérida (España) SOLUCIONES PÁG. 263 64 Actividad resuelta. 65 Averigua qué hora solar será en la necrópolis de Guiza (Egipto) (29° 58’ N, 31° 07’ E) cuando en la pirámide de Kulkukan (México) (20° 40’ N, 88° 34’ O) sea justamente media noche.

Tenemos que calcular a qué meridianos se encuentran tanto la necrópolis de Guiza como Kulkukan. Meridiano necrópolis de Guiza: (31º 07’ – 7,5º) : 15º = 1,57 Meridiano Kulkukan: (88º 34’ – 7,5º) : 15º = 5,4 Por lo tanto, aproximando el resultado al número entero superior, la necrópolis de Guiza se encuentra dos meridianos al este de Greenwich, y Kulkukan, seis meridianos al oeste; luego, la diferencia horaria entre ambos emplazamientos es de 8 h. Por tanto, cuando en Kulkukan son las 12 de la noche, en Guiza son las 8 de la mañana del día siguiente.

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22 66 Lucía toma un avión de París (48° 51’ N, 2° 21’ E) a Toronto (43° 42’ N, 79° 20’ O). Teniendo en cuenta que el vuelo dura 7 horas y media, aproximadamente, ¿a qué hora solar tomará tierra en Toronto si el avión despegó de París a las 9 h de la mañana? Calculamos la diferencia horaria entre Toronto y París. Meridiano Toronto: (79º 20’ – 7,5º) : 15º = 4,79 Meridiano París: (2º 21’ – 7,5º) : 15º = –0,34 Toronto se encuentra cinco meridianos al oeste de Greenwich, mientras que París está en el meridiano de Greenwich. Por tanto, la diferencia horaria es de 5 horas. Así pues, cuando el avión despegue serán las 4 h en Toronto, y tras 7 horas y media de vuelo, el avión aterrizará a las 11:30. 67 Eusebio toma un avión de Boston (42° 21’ 28’’ N, 71° 3’ 42’’ O) a Oslo (59° 54’ 40’’ N, 10° 45’ 10’’ E). Si el avión despega de Boston a las 11:35 h y aterriza en Oslo a las 23:26 h, ¿cuántas horas ha durado el vuelo? Vemos primero en qué meridiano está cada ciudad: Meridiano Oslo: (10º 45’ 10’’ – 7,5º) : 15º = 0,21 Meridiano Boston: (71º 3’ 42’’ – 7,5º) : 15º = 4,23 Oslo se encuentra un meridiano al este de Greenwich, y Boston, cinco meridianos al oeste; luego, la diferencia horaria entre ambos es de 6 h. Cuando lleguemos a Oslo, a las 23:26 h, en Boston serán seis horas menos, es decir, serán las 17:26 h. Por tanto, el vuelo ha durado 17:26 – 11:35 = 5 horas 51 minutos. 68 Responde a las siguientes preguntas: a. ¿A qué se llama antípoda de un punto, A, situado en la superficie terrestre? La antípoda de un punto A es el punto diametralmente opuesto a este. b. ¿Cómo difieren las coordenadas de un punto, A, de la Tierra y su antípoda? Si se denomina l a la latitud y L a la longitud, la antípoda de un punto de coordenadas geográficas (l , L) es otro punto de coordenadas (–l , L – 180°). c. ¿Cuál es la diferencia horaria entre los dos puntos? La diferencia horaria es de 12 horas. 69 La diferencia horaria entre dos lugares de la Tierra, A y B, es de 4 horas. Si A tiene una longitud de 50° 27’ O, ¿sabrías determinar de forma aproximada la longitud de B? Meridiano de A: (50º 27’ – 7,5º) : 15º = 2,86 Por lo tanto, A se encuentra tres meridianos al oeste de Greenwich. Así que, B tiene que estar un meridiano al este de Greenwich o siete meridianos al oeste de Greenwich. Por tanto, B debe tener una longitud comprendida entre los 7,5° y los 22,5° E, o bien, entre los 97,5° y los 112,5° O.

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23 70 El lunes 13 de abril a las 11:45 am se toma un vuelo en Ciudad del Cabo (Sudáfrica) (33° 55’ 30’’ S, 18° 25’ 30’’ E) hacia Juneau (Alaska) (58° 21’ 5’’ N, 134° 30’ 42’’ O).

a. Si el avión hace escala en Londres a las 20:10 pm, ¿cuánto dura el vuelo de Ciudad del Cabo a Londres? Primero tenemos que ver en qué meridiano se encuentra Ciudad del Cabo: Meridiano Ciudad del Cabo: (18º 25’ 30’’ – 7,5º) : 15º = 0,73 Por tanto, Ciudad del Cabo se encuentra un meridiano al este de Greenwich. Cuando en Ciudad del Cabo sean las 11:45 h, en Londres serán las 10:45 h, puesto que Londres está en el meridiano de Greenwich. El vuelo a Londres dura 9 h 25 min. b. Sabiendo que la duración del viaje es de 32 h y 5 min, ¿a qué hora y qué día se producirá el aterrizaje en Juneau? Calculamos en qué meridiano se encuentra Juneau: Meridiano Juneau: (134º 30’ 42’’ – 7,5º) : 15º = 8,46 Por tanto, Juneau se encuentra nueve meridianos al oeste de Greenwich, con lo que la diferencia horaria entre Ciudad del Cabo y Juneau son 10 horas. Entonces, cuando se aterrice en Juneau serán las 9: 50 h del día 14 de abril.

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24 71 Confecciona tu propio mapa de husos horarios en el que se muestren claramente los 24 husos horarios y las longitudes de cada uno de ellos. Utilízalo para calcular la diferencia horaria entre las siguientes ciudades: a. Viena (48° 12’ 30’’ N, 16° 22’ 23’’ E) y Montevideo (34° 52’ 1’’ S, 56° 10’ 0’’ O). Meridiano Viena: (16º 22’ 23’’ – 7,5º) : 15º = 0,59 Meridiano Montevideo: (56º 10’ 0’’ – 7,5º) : 15º = 3,24 Viena está un meridiano al este de Greenwich, y Montevideo, 4 meridianos al oeste; luego la diferencia horaria es de 5 h (5 h más en Viena que en Montevideo). b. Pekín (39° 54’ 18’’ N, 116° 23’ 29’’ E) y Calcuta (22° 48’ 0’’ N, 88° 22’ 0’’ E). Meridiano Pekín: (116º 23’ 29’’ – 7,5º) : 15º = 7,26 Meridiano Calcula: (88º 22’ 0’’ – 7,5º) : 15º = 5,39 Pekín se encuentra 8 meridianos al este de Greenwich, y Calcuta, 6 meridianos al este; luego, la diferencia horaria es de 2 h (2 horas más en Pekín que en Calcuta). c. San Francisco (37° 46’ N, 122° 25’ O) y Estambul (41° 0’ 36’’ N, 28° 57’ 37’’ E). Meridiano San Francisco: (122º 25’ – 7,5º) : 15º = 7,66 Meridiano Estambul: (28º 57’ 37’’ – 7,5º) : 15º = 1,43 Estambul se encuentra 2 meridianos al este de Greenwich, y San Francisco, 8 meridianos al oeste; luego, la diferencia horaria es de 10 h (10 horas más en Estambul que en San Francisco).

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25 SOLUCIONES PÁG. 264 1 Dibuja los siguientes cuerpos geométricos: a. Un icosaedro con un lado de 15 unidades.

b. Una esfera con un radio de 7 unidades.

c. Un cono con un radio de la base de 5 unidades y una altura de 9 unidades.

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26 SOLUCIONES PÁG. 265 1 ¿Qué es un poliedro? Define todos sus elementos. Escribe cuándo un poliedro es cóncavo y cuándo es convexo. ¿Qué relación cumplen los poliedros convexos? Asegúrate de que, dado un poliedro, sabes obtener su desarrollo plano. Un poliedro es un cuerpo geométrico cerrado delimitado por polígonos. Se dice que un poliedro es convexo cuando todo segmento resultante de unir dos cualesquiera de sus puntos está contenido en él; en caso contrario, es cóncavo. La relación que cumple un poliedro convexo es que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos (C + V = A + 2). 2 ¿Qué son los poliedros regulares? Escribe sus nombres y añade los dibujos correspondientes. ¿Sabrías justificar por qué no hay más poliedros regulares? Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada uno de cuyos vértices concurre el mismo número de caras.

No hay más poliedros regulares, ya que un poliedro tiene que verificar dos condiciones: que en cada vértice del poliedro concurran como mínimo tres caras, y que la suma de los ángulos que convergen en cada vértice ha de ser menor que 360º. 3 ¿Qué es un prisma? ¿Qué dos criterios se siguen para clasificarlos? Escribe las expresiones que proporcionan el área y el volumen de un prisma. Un prisma es un poliedro formado por dos caras iguales y paralelas entre sí, denominadas bases, y varias caras laterales formadas por paralelogramos. Se pueden clasificar según la perpendicularidad de las caras laterales con respecto a las bases y según el número de lados del polígono de las bases. Aprisma = 2Abase + Alateral Vprisma = Abase · h 4 ¿Qué es un paralelepípedo? ¿Cuántos tipos de paralelepípedos distintos conoces? Escribe sus nombres junto con la fórmula que proporciona el área y el volumen de cada uno de ellos y añade un dibujo. Un paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos. Los distintos tipos son cubo, ortoedro y romboedro.

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27 5 ¿Qué es una pirámide? Asegúrate de que conoces la fórmula del área y del volumen y de que sabes aplicarla independientemente del polígono que forme su base. Una pirámide es un poliedro que está formado por una base poligonal y varias caras laterales, constituidas siempre por triángulos, que confluyen en el vértice. Apirámide = Abase + Alateral Vpirámide = Abase · h 6 Explica la relación que existe entre el volumen de una pirámide y el de un prisma de igual base y altura. El volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen del prisma que tiene igual base y altura. 7 ¿Qué son los cuerpos de revolución? ¿Por qué se llaman así? ¿Qué figura plana genera cada uno de ellos? Los cuerpos de revolución son los cuerpos que se generan por el giro de una figura plana alrededor de un eje, al que se denomina eje de giro. 8 Escribe las expresiones que proporcionan el área del cono y del cilindro. Acono = π · r · (r + g) Acilindro = 2 · π · r · (r + h) 9 Escribe la expresión que proporciona el volumen de un cono a partir de un cilindro de igual base y altura. Vcono = · π · r2 · h El volumen del cono es la tercera parte del volumen del cilindro que tiene la misma base y altura.

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28 10 Define qué es una esfera y enumera las distintas figuras esféricas que conozcas. Escribe sus nombres junto con el dibujo de cada una de ellas. La esfera es el cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.

11 ¿Qué es un meridiano? ¿Y un paralelo? Un meridiano es toda circunferencia máxima que pasa por los polos y que es perpendicular al círculo ecuatorial, mientras que un paralelo es toda circunferencia menor paralela al círculo ecuatorial. 12 ¿Qué son las coordenadas geográficas de un lugar? Explica cómo se calculan, indicando qué meridiano y qué paralelo se toman como referencia. Las coordenadas geográficas es la forma de expresar un punto cualquiera de la superficie terrestre mediante la latitud y la longitud. La latitud toma como referencia el ecuador, mientras que la longitud toma como referencia el meridiano de Greenwich. 13 ¿Qué son los husos horarios? Explica para qué se crearon y como varía la hora al pasar de uno a otro. Los husos horarios son cada uno de las 24 zonas en las que se ha dividido el planeta de tal forma que todos los lugares situados en el mismo huso horario tengan la misma hora. Si el desplazamiento es hacia el este, habrá que sumar una hora por cada huso horario que nos desplacemos, pero si es hacia el oeste, habrá que restar una hora por cada huso horario. 14 ¿Qué es la antípoda de un punto? La antípoda de un punto es otro punto diametralmente opuesto al primero. © María Presentación García López; Juana Municio Hernández; Pedro Ortega Pulido; Eva M.ª Villaoslada Marín © GRUPO EDELVIVES

29 SOLUCIONES PÁG. 266 REPASO FINAL POLIEDROS 1 Dibuja los desarrollos planos de los siguientes poliedros, clasifícalos en cóncavos o convexos y comprueba que los convexos cumplen la fórmula de Euler: a.

Es convexo: C = 9; V = 9; A = 16. 9 + 9 = 16 + 2 = 18 Se cumple la fórmula de Euler. b.

Es cóncavo. c.

Es convexo: C = 5; V = 6; A = 9. 5 + 6 = 9 + 2 = 11 Se cumple la fórmula de Euler.

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30 d.

Es convexo: C = 12; V = 15; A = 25. 12 + 15 = 25 + 2 = 27 En este caso sí se cumple la fórmula de Euler. 2 Unos grandes almacenes dedicados al deporte y al ocio ofertan estas tiendas de campaña con forma de tetraedro:

¿Qué tienda de campaña aporta más beneficio a los grandes almacenes considerando exclusivamente la relación existente entre el precio de venta y la superficie de tejido que se ha empleado en su fabricación? Calculamos en primer lugar la apotema del primer tetraedro (tienda grande): ," 22 = 12 + ap2 ⇒ ap = 1,73 m. El área de la base es = 1,73 m2 Por tanto, el área es 4 · 1,73 = 6,92 m2 Se han empleado 6,92 m2 de tejido. Sale a 5,78 €/m2 Calculamos ahora la apotema del segundo tetraedro (tienda pequeña): , , 1,52 = 0,752 + ap2 ⇒ ap = 1,3 m. El área de la base es = 0,975 m2 Por tanto, el área es 4 · 0,975 = 3,9 m2 Se han empleado 3,9 m2 de tejido. Sale a 7,69 €/m2 Aporta más beneficio la tienda pequeña. 3 ¿Cuánto mide el lado del cubo que tiene la misma área que un tetraedro de 12 cm de lado? Calculamos el área del tetraedro: Primer calculamos el área de la cara, que es un triángulo equilátero de lado 12: 122 = 62 + h2 ⇒ h = 10,39 cm , = 62,34 m2 Acara = A = 4 · Acara = 4 · 62,34 = 249,36 cm2 El tetraedro tiene 249,36 cm2 de área. El cubo tiene como área 6 · l2, y queremos calcular l: 249,36 = 6 · l2 ⇒ l = 6,45 cm

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31 4 Visualiza este vídeo y responde luego a las siguientes preguntas: https://www.youtube.com/watch?v= LZ9Iw4dHpiY a. ¿Qué poliedro regular identificaba Platón con cada uno de los cuatro elementos que conformaban el universo, según su doctrina? Identificaba el fuego con tetraedros, el aire con octaedros, el agua con icosaedros y la tierra con cubos. b. ¿Qué poliedro regular identificaba con el universo? Dodecaedro. c. ¿Con qué otro nombre se conoce a los poliedros regulares? Sólidos platónicos. PRISMAS 5 Halla el volumen y el área total de los siguientes prismas triangulares: a.

Vprisma = Abase · h Calculamos primero el área de la base: Abase = = 6 cm2 Por tanto, Vprisma = 6 · 7 = 42 cm3 Aprisma = 2Abase + Alateral Calculamos el área lateral, teniendo en cuenta que la hipotenusa del triángulo de la base es igual a 5: Alateral = 7 · 5 + 7 · 4 + 7 · 4 = 84 cm2 Aprisma = 2 · 6 + 84 = 96 cm2 b.

Vprisma = Abase · h Calculamos primero el área de la base: Abase = = 20 cm2 Por tanto, Vprisma = 20 · 6 = 120 cm3 Aprisma = 2Abase + Alateral Calculamos el área lateral, teniendo en cuenta que el lado del triángulo de la base es igual a 6,4: Alateral = 2 · (6 · 6,4) + 6 · 8 = 124,8 cm2 Aprisma = 2 · 20 + 124,8 = 164,8 cm2

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32 6 Una empresa fabrica cajas de zapatos de 30 cm × 40 cm × 15 cm con cartón reciclado. ¿Cuántos metros cuadrados de cartón necesitará para abastecer un pedido de 800 de estas cajas? Superficie de 1 caja = 2 · (30 · 40) + 2 · (15 · 40) + 2 · (30 · 15) = 4 500 cm2 = 0,45 m2 Para satisfacer el pedido de 800 cajas se necesitan 360 m2 de cartón. 7 Una conocida marca de refrescos desea lanzar al mercado su nueva gama de productos, que quiere comercializar en briks de 1 L de capacidad. ¿Cuál de estos modelos deberá elegir para reducir costes durante el envasado?

Se puede comprobar que todos los briks tienen 1 000 cm3 = 1 L de capacidad. Área cubo = 6 · 102 = 600 cm2 Área ortoedro = 2 · (5 · 10) + 2 · (10 · 20) + 2 · (5 · 20) = 700 cm2 Por último, para calcular el área del prisma pentagonal, hay que tener en cuenta que el # , $ = 58 cm2 área de la base, que es un pentágono es Área prisma pentagonal = 2 · 58 + 5 · (17,25 · 5,8) = 616,25 cm2 Se gasta menos cartón en la construcción del primer brik. 8 Se desea colocar en un pueblo una estatua en honor a su ciudadano más ilustre. Para ello, se ha fabricado una peana de cemento en forma de prisma hexagonal con una arista básica de 1 m y una altura de 5 m. a. ¿Cuántos metros cúbicos de cemento se han empleado en su fabricación? Primero calculamos la apotema del hexágono: 12 = 0,52 + ap2 ⇒ ap = 0,87 m , " Con lo cual, el área del hexágono es = 2,61 m2 El volumen del prisma hexagonal es 5 · 2,61 = 13,05 m3 de cemento. b. ¿Cuántas teselas cuadradas de 1,5 cm de lado se necesitan para cubrir la peana? Calculamos el área del prisma. Para ello, primero hallamos el área lateral: Alateral = 6 · 5 = 30 m2 Como solo contamos una base, el área del prisma es 32,61 m2 = 326 100 cm2 Las teselas tienen un área de 2,25 cm2, por lo tanto, se necesitan 144 934 teselas. PIRÁMIDES 9 La gran pirámide de Giza, tumba del faraón egipcio Keops, tiene forma de pirámide cuadrangular regular. Sabiendo que su altura original era de 146,61 m y que la longitud media de cada lado de la base es de 230,347 m, calcula su volumen. Después, investiga sobre este monumento y las diferentes teorías existentes en relación con su método de construcción. V = · Abase · h = · 230,3472 · 146,61 = 2 593 029,514 m3 © María Presentación García López; Juana Municio Hernández; Pedro Ortega Pulido; Eva M.ª Villaoslada Marín © GRUPO EDELVIVES

33 10 Un tipi indio tiene forma de pirámide cuadrangular regular de 1,5 m de lado de la base y 2 m de altura. Calcula cuántos metros cuadrados de material se han usado en su fabricación. Calculamos en primer lugar la apotema de la pirámide: ap2 = 22 + 0,752 ⇒ ap = 2,14 m Por otro lado, el área de la base es 1,52 = 2,25 m2 , · , El área lateral es: 4 · = 6,42 m2 Por tanto, el área de la pirámide es 6,42 + 2,25 = 8,67 m2 SOLUCIONES PÁG. 267 11 El circo ha llegado a la ciudad y ha instalado una enorme carpa con forma de pirámide hexagonal regular que tiene una apotema de 20 m y cuya base mide 15 m de lado. a. ¿Qué superficie de lona plastificada se ha usado en su fabricación? Únicamente hay que calcular el área lateral, siendo 6 triángulos cuya altura es 20 m y · cuya base es 15 m. Por tanto, 6 · = 900 m2 b. ¿Sabrías calcular la altura de la carpa? Primero tenemos que calcular la apotema de la base: 152 = ap2 + 7,52 ⇒ ap = 12,99 m Por lo tanto, la altura ya se puede calcular: 202 = h2 + 12,992 ⇒ h = 15,21 m CUERPOS DE REVOLUCIÓN. CILINDRO 12 Un camión cisterna transporta gasoil en su tanque cilíndrico de 3 m de diámetro y 15 m de largo. ¿Cuántos metros cúbicos de combustible caben en el depósito? Si el precio del gasoil es de 1,39 €/L, ¿a cuánto asciende el valor del combustible que transporta el camión? Volumen tanque = π · 1,52 · 15 = 33,75π = 106,03 m3 = 106 030 L El combustible cuesta 106 030 · 1,39 = 147 381,7 € 13 Una ONG construye en un campo de refugiados un depósito de metal para almacenar agua potable. El depósito es un cilindro de 20 m de altura, cuya base tiene 10 m de radio y al que se le ha añadido una tapa metálica en la parte superior para que no se evapore el agua. a. ¿Qué capacidad, expresada en litros, tiene el depósito? Volumen depósito = π · 102 · 20 = 2 000π = 6 283,185 m3 = 6 283 185 L b. ¿Cuántos metros cuadrados de chapa se necesitan para construirlo? Área = 2 · π · 10 · (10 + 20) = 600π = 1 884,96 m2 de chapa.

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34 14 Antonio es un pastelero cuya especialidad son unos canutillos de hojaldre en forma de cilindro rellenos de crema. Todos los días elabora 125 de estos canutillos.

a. Cuántos metros cuadrados de lámina de hojaldre precisa Antonio cada día? Área lateral cilindro = 2 · π · 1,5 · 8 = 24π = 75,4 cm2 Hojaldre que se emplea en 125 canutillos = 125 · 75,4 = 9 425 cm2 = 0,942 5 m2 b. Averigua cuántos litros de crema necesita. Volumen cilindro = π · 1,52 · 8 = 18π = 56,55 cm3 Crema necesaria para fabricar 125 canutillos = 125 · 56,55 = 7 068,75 cm3 = 7,068 75 L c. ¿Por cuánto tiene que vender cada canutillo si quiere obtener un beneficio de 50 cts./unidad, sabiendo que compra el hojaldre a 5 €/m2 y la crema a 7 €/L? El hojaldre cuesta 5 · 0,942 5 = 4,71 € La crema cuesta 7 · 7,068 75 = 49,48 € En total, sale por 54,19 €. La fabricación de cada canutillo cuesta 54,19 : 125 = 0,43 €, aproximadamente; luego, debe venderse a 93 cts. cada canutillo. 15 Las partes de un vaso cilíndrico de 9 cm de altura y una base de 4 cm de diámetro están ocupadas por un refresco. ¿Qué altura alcanza el refresco en el vaso? Volumen vaso = π · 22 · 9 = 36π = 113,1 cm3 Las partes del vaso cilíndrico corresponden a 84,825 cm3 Por lo tanto, llamamos x a la altura que alcanza el refresco en el vaso, y tenemos: 84,825 = π · 22 · x ⇒ x = 6,75 cm 16 Calcula la altura, h, que debe tener el cilindro para que las dos figuras tengan el mismo volumen. Para ese valor de h, ¿qué figura tiene menor superficie? Volumen prisma = 52 · 18 = 450 cm3 Por lo tanto, el cilindro tiene que tener el mismo volumen: 450 = π · 2,52 · h ⇒ h = 22,92. La altura del cilindro es 22,92 Área prisma = 2 · 52 + 4 · (18 · 5) = 410 cm2 Área cilindro = 2 · π · 2,5 · (2,5 + 22,92) = 127,1π = 399,3 cm2 Tiene menor área el cilindro. 17 Indica cuántos briks con forma de ortoedro de 10 cm × 5 cm × 15 cm se pueden llenar con el mosto que cabe en una cuba cilíndrica de 1 m de diámetro y 1 m de altura. La cuba de mosto tiene una capacidad de: π · 0,52 · 1 = 0,25π = 0,785 m3 = 785 L El brik tiene una capacidad de: 10 · 5 · 15 = 750 cm3 = 0,75 L Como 785 : 0,75 = 1046,67, entonces se pueden llenar 1 046 briks.

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35 CUERPOS DE REVOLUCIÓN. CONO 18 Una manga pastelera tiene forma de cono de 12 cm de diámetro y 30 cm de altura. Calcula los litros de crema que puede contener. Volumen = · π · 62 · 30 = 360π = 1 130,97 cm3 = 1,13 L 19 ¿Cuántos metros cuadrados de plástico se han utilizado en la fabricación del diábolo de la figura? Si el precio del material es 5 €/m2, ¿cuánto cuesta fabricar 1 000 diábolos como este?

Área lateral de un cono (sin bases) = π · 7 · 18 = 126π = 395,84 cm2 Superficie total del diábolo = 791,68 cm2 1 000 diábolos tienen una superficie de 79,168 m2; por tanto, fabricarlos cuesta 5 · 79,168 = 395,84 € 20 Un silo para almacenar maíz tiene la forma y las dimensiones que se muestran en la siguiente figura:

a. ¿Cuántos metros cúbicos de maíz puede contener? Volumen cilindro = π · 52 · 5 = 125π = 392,7 m3 Volumen cono = · π · 52 · 8 = 66,67π = 209,45 m3 Volumen total = 392,7 + 209,45 = 602,15 m3 (volumen de maíz que almacena). b. ¿Cuántos metros cuadrados de chapa de acero se han usado en su fabricación? Área cilindro (solo 1 base) = 2 · π · 5 · 5 + π · 52 = 50π + 25π = 75π = 235,62 m2 Calculamos la generatriz del cono g2 = 52 + 82 ⇒ 9,43 m Área lateral del cono = π · 5 · 9,43 = 47,15π = 148,13 m2 Por lo tanto, el área total es: 235,62 + 148,13 = 383,75 m2 de chapa. c. Cuando se abre una válvula, sale el maíz a razón de 0,65 m3/min. ¿Cuánto tardará en vaciarse el silo? Tardará 602,15 : 0,65 = 926,38 min = 15 h 26 min 22 s

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36 SOLUCIONES PÁG. 268 21 Calcula la capacidad de un cohete espacial de las dimensiones que se muestran en la figura.

El cohete tiene dos partes diferenciadas, un cono en la parte superior cuya altura es de 3 m y el radio de su base es 3 m, y un cilindro cuya altura es 9 m y el radio de la base es el mismo que el del cono, 3 m. Volumen parte cónica = · π · 32 · 3 = 9π = 28,27 m3 Volumen parte cilíndrica = π · 32 · 9 = 81π = 254,47 m3 Volumen total del cohete = 28,27 + 254,47 = 282,74 m3 22 Calcula el volumen de las siguientes figuras: a.

Volumen prisma = 4 · 4 · 8 = 128 cm3 Volumen pirámide = · 42 · 2 = 10,67 cm3 Volumen total = 128 – 10,67 = 117,33 cm3 b.

Volumen cilindro = π · 82 · 22 = 1 408π = 4 423,36 m3 Volumen semiesfera = · π · 83 = 341,33π = 1 072,33 m3 Volumen total = 4 426,36 – 1 072,33 = 3 351,03 m3

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37 c.

Volumen cilindro = π · 32 · 3 = 27π = 84,82 dm3 Volumen cono = · π · 32 · 9 = 27π = 84,82 dm3 Volumen total = 84,82 + 84,82 = 169,64 dm3 d.

Volumen del cubo = 103 = 1 000 cm3 Volumen pirámide = · 102 · 5 = 166,67 cm3 Volumen total = 1 000 + 166,67 = 1 166,67 cm3 CUERPOS DE REVOLUCIÓN. ESFERA 23 Para realizar esta actividad, podéis organizaros en grupos de dos o tres alumnos. Se trata de buscar imágenes de objetos, edificios o estructuras que tengan las formas esféricas que se indican a continuación. Aseguraos de encontrar al menos dos imágenes de cada categoría.

Respuesta abierta. 24 ¿Cuántas bolas de helado de 5 cm de diámetro se pueden obtener con 5 L de helado? Volumen 1 bola = · π · 2,53 = 20,83π = 65,45 cm3 = 0,06545 L Entonces, como 5 : 0,06545 = 76,39, se pueden obtener 76 bolas de helado.

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38 25 Una fábrica de balones de playa produce balones de goma de dos tipos: uno de 4 dm de diámetro y otro de 6 dm. a. Calcula cuántos metros cuadrados de goma se necesitan diariamente, sabiendo que al día se producen 500 balones del primer tipo y 300 del segundo. Área balón grande = 4 · π · 32 = 36π = 113,1 dm2 Goma que se emplea en 300 balones = 113,1 · 300 = 33 930 dm2 Área balón pequeño = 4 · π · 22 = 16π = 50,27 dm2 Goma que se emplea en 500 balones = 50,27 · 500 = 25 135 dm2 Goma total = 33 930 + 25 135 = 59 065 dm2 = 590,65 m2 b. Si los balones se hinchan con gas, ¿cuántos metros cúbicos de gas consume la fábrica en un día? Volumen balón grande = · π · 33 = 36π = 113,1 dm3 Gas que se emplea en 300 balones = 113,1 · 300 = 33 930 dm3 Volumen balón pequeño = · π · 23 = 10,67π = 33,52 dm3 Gas que se emplea en 500 balones = 33,52 · 500 = 16 760 dm3 Gas total = 33 930 + 16 760 = 50 690 dm3 = 50,69 dm3 26 La cúpula del mausoleo de Gol Gumbaz (Karnataka, India) es la segunda cúpula más grande del mundo, después de la que corona la basílica de San Pedro, en Roma. Calcula su superficie exterior sabiendo que es una semiesfera de 37,92 m de diámetro interior y que los muros tienen, por término medio, un grosor de 3 m. ¿Qué volumen encierra esta cúpula? El radio exterior de la cúpula mide 21,96 m, ya que el radio interior sería de 18,96, a lo que hay que añadirle los 3 m de grosor. Por lo tanto, calculamos el área de la esfera y dividimos entre dos, al ser una semiesfera. Asemiesfera = 2 · π · 21,962 = 3 030 m2 aproximadamente. El radio interior de la cúpula mide 18,96 m. Calculamos el volumen que encierra la cúpula: Vsemiesfera = · π · 18,963 = 14 274,92 m3

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39 27 Determina cuál de los siguientes coladores tiene mayor capacidad:

Colador cónico de 20 cm de diámetro y 20 cm de altura

Colador esférico de 10 cm de radio

Volumen colador cónico = · π · 102 · 20 = 2 094,4 cm3 = 2,0944 L Volumen colador esférico = · π · 103 = 2 094,4 cm3 = 2,0944 L Tienen la misma capacidad. 28 Estas velas están hechas con el mismo tipo de cera aromática:

Todas ellas tienen 10 cm de alto y miden 10 cm de diámetro. ¿Cuál de ellas se consumirá antes? Volumen cilindro = π · 52 · 10 = 785,4 cm3 Volumen esfera = · π · 53 = 523,6 cm3 Volumen cono = · π · 52 · 10 = 261,8 cm3 La vela cónica es la primera en consumirse, ya que tiene menor volumen, mientras que la vela con forma de cilindro será la que más dure. Se puede ver la relación de que la vela cónica es la tercera parte del cilindro. SOLUCIONES PÁG. 269 29 Averigua cuántos barriles cilíndricos de 50 cm de radio y 1 m de altura se pueden llenar con el petróleo contenido en un tanque esférico de 90 m de diámetro. Volumen tanque esférico = · π · 453 = 121 500π = 381 703,51 m3 Volumen barril = π · 0,52 · 1 = 0,25π = 0,785 m3 Entonces, 381 703,51 : 0,785 = 486 246,51 Se pueden llenar 486 246 barriles. © María Presentación García López; Juana Municio Hernández; Pedro Ortega Pulido; Eva M.ª Villaoslada Marín © GRUPO EDELVIVES

40 30 Se corta una esfera de 9 m de diámetro por un plano que dista 2,5 m de su centro. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia resultante? Llamamos r al radio de la circunferencia resultante. Por tanto: 4,5 = 2,5 + r ⇒ r = 3,74 m. 2

2

2

31 Al cortar una esfera por un plano que dista 7 cm de su centro, se obtiene una circunferencia de 6 cm de diámetro. ¿Cuánto vale el radio de la esfera? Llamamos R al radio de la esfera. Por tanto: R2 = 72 + 32 ⇒ R = 7,62 cm LA ESFERA TERRESTRE 32 Sabiendo que el radio de la Tierra mide aproximadamente 6 371 km, calcula: a. La longitud del ecuador. Longitud del ecuador (perímetro) = 2 ·π ·6 371 = 40 030,17 km b. La superficie total de la Tierra. Superficie total (área) = 4 · π · 6 3712 = 510 064 471,91 km2 partes de la superficie terrestre c. El volumen del globo terráqueo. Si las corresponden a la hidrosfera, ¿qué superficie corresponde a la litosfera? Volumen globo terráqueo = · π · 6 3713 = 1 083 206 916 845,75 km3 La litosfera ocupa una superficie de 510 064 471,91 : 4 = 127 516 117,98 km2 33 Averigua las coordenadas geográficas de las siguientes ciudades y calcula las coordenadas geográficas de sus antípodas: a. Berlín. Berlín (52° 31' 0" N, 13° 22' 0" E) Latitud = –52° 31' 0" N = 52° 31' 0" S Longitud = 13° 22’ E – 180º = –166° 38’ E = 166° 38’ O ⇒ Antípoda (52° 31' 0" S, 166° 38' 0" O) b. Nueva York. Nueva york (40° 40' N, 73° 56" O) Latitud = –40° 40' N = 40° 40' S Longitud = 73° 56" O – 180º = –106° 4' O = 106° 4' E ⇒ Antípoda (40° 40' S, 106° 4' E) c. Tokio. Tokio (35° 41' N, 139° 46" E) Latitud = –35° 41' N = 35° 41' S Longitud = 139° 46" E – 180º = –40° 14" E = 40° 14" O ⇒ Antípoda (35° 41' S, 40° 14" O) d. Buenos Aires. Buenos Aires (34° 35' 59" S, 58° 22' 55" O) Latitud = –34° 35' 59" S = 34° 35' 59" N Longitud = 58° 22' 55" O – 180º = –121° 37' 5" O = 121° 37' 5" E ⇒ Antípoda (34° 35' 59" N, 121° 37' 5" E) © María Presentación García López; Juana Municio Hernández; Pedro Ortega Pulido; Eva M.ª Villaoslada Marín © GRUPO EDELVIVES

41 34 Isidro toma un avión en Moscú (55° 45’ N , 37° 37’ E) rumbo a Madrid (40° 26’ N , 3° 41’ O). Si el avión despega de la capital rusa a las 16:00 h y llega a Madrid a las 18:00 h, ambas horas locales, ¿cuánto dura el vuelo? Calculamos primero los meridianos en los que se encuentran Moscú y Madrid. Meridiano Moscú: (37º 37’ – 7,5º) : 15º = 2,01 Meridiano Madrid: (3º 41’ – 7,5º) : 15º = –0,25 Moscú se encuentra a tres meridianos al este de Greenwich, mientras que Madrid está en el meridiano de Greenwich, por lo tanto, hay 3 h de diferencia. Así que, si el vuelo despegó a las 16:00 h en Moscú, serían las 13:00 en Madrid, y como aterriza en Madrid a las 18:00 h, entonces el vuelo dura 5 horas. 35 Averigua que diferencia horaria hay entre Guadalajara (España) (40° 38’ N , 3° 10’ O) y Guadalajara (México) (20° 36’ N , 103° 21’ O). Investiga si existe alguna otra ciudad en el mundo con el nombre de tu ciudad y calcula la diferencia horaria entre ambas. Meridiano Guadalajara (España): (3º 10’ – 7,5º) : 15º = –0,29 Meridiano Guadalajara (México): (103º 21’ – 7,5º) : 15º = 6,39 Guadalajara (México) está siete meridianos al oeste de Greenwich, mientras que Guadalajara (España) se encuentra en el meridiano de Greenwich. Así pues, en Guadalajara (México) hay 7 horas menos que en Guadalajara (España). Algunos ejemplos de ciudades que se llamen igual son: Tarragona, en Perú; Mérida, en México, Argentina y Venezuela; Valencia, en Venezuela; San Martín, en Perú; Barcelona, en Venezuela; Córdoba, en Argentina; Mendoza, en Argentina; Santander, en Colombia; Trujillo, en Venezuela; San Martín, en Perú; Cuenca, en Ecuador; Santiago, en Chile; Linares, en México y en Chile; Cartagena, en Colombia; Puerto de la Cruz, en Venezuela (Puerto La Cruz); Madrid, en Suecia EVALUACIÓN 1 El volumen de un prisma hexagonal regular de 10 cm de arista básica y 7 cm de altura es: a. 4 200 cm3 b. 210 cm3

c. 1 818,7 cm3 d. 2 347,87 cm3

Primero calculamos el área de la base. Hallamos primero la apotema del hexágono, que vamos a llamar ap. 102 = 52 + ap2 ⇒ 100 = 25 + ap2 ⇒ ap2 = 75 ⇒ ap = 8,6603 cm El perímetro del hexágono es 60 cm, con lo que el área de la base es: ,

= 259,81 cm2 Así que, el volumen del prisma es 259,81 · 7 = 1 818,7 Solución c.

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42 2 Los metros cuadrados de cartón que se emplearon en la fabricación de 1 000 envases de zumo con forma de ortoedro de dimensiones 15 cm × 5 cm × 20 cm son: a. 1 500 m2

b. 95 m2

c. 47,5 m2

d. 9 500 m2

Calculamos en primer lugar el área de un envase: A = 2 · (15 · 5) + 2 · (15 · 20) + 2 · (5 · 20) = 950 cm2 Por lo tanto, en la fabricación de 1 000 envases se emplean: 950 · 1 000 = 950 000 cm2 = 95 m2 Solución b. 3 Dado un depósito cilíndrico, con tapa, de 7 m de altura y 12 m de diámetro de la base: • Su capacidad es: a. 3 165,12 L b. 791,68 L

c. 3 165 120 L d. 791 680 L

V = π · 62 · 7 = 791,68 m2 = 791 680 dm2 = 791 680 L Solución d. • La cantidad de chapa, expresada en metros cuadrados, que se ha usado en su fabricación es: a. 1 431,84 m2 b. 490,09 m2

c. 339,12 m2 d. 1 582,56 m2

A = 2 · π · 6 · (6 + 7) = 490,09 m2 Solución b. 4 El volumen que contiene un colador cónico de 5 cm de radio de la base y 8 cm de altura es: a. 628 cm3 b. 251,2 cm3

c. 209,44 cm3 d. 83,73 cm3

V = · π · 52 · 8 = 209,44 cm3 Solución c. 5 Un balón de voleibol tiene 66 cm de circunferencia. El volumen de aire necesario para hincharlo es: a. 1,39 L

b. 4,85 L

c. 0,46 L

d. 14,58 L

Primero hallamos el radio del balón de voleibol: 66 = 2 · π · r ⇒ r = 10,5 cm Ahora calculamos el volumen: V = · π · 10,53 = 4 849,05 cm3 = 4,85 dm3 = 4,85 L Solución b. © María Presentación García López; Juana Municio Hernández; Pedro Ortega Pulido; Eva M.ª Villaoslada Marín © GRUPO EDELVIVES

43 6 La superficie total de la Luna, suponiendo que se trata de una esfera perfecta de 1 740 km de radio, es: a. 19 013 328 km2 b. 12 675 552 km2

c. 38 045 943 km2 d. 22 055 460 480 km2

A = 4 · π · 1 7402 = 38 045 943 km2 Solución c. 7 Se toma un avión de San Petersburgo (59° 57´ N , 30° 19´ E) a Lisboa (38° 43’ N , 9° 10’ O). Si se despega de San Petersburgo a las 6 de la tarde y el vuelo dura 3 h y 46 aproximadamente, se aterrizará en Lisboa a las: a. 18:46 h

b. 21:46 h

c. 17:46 h

d. 22:46 h

Calculamos en primer lugar en qué meridianos se encuentran: Meridiano San Petersburgo: (30º 19’ – 7,5º) : 15º = 1,52 Meridiano Lisboa: (9º 10’ – 7,5º) : 15º = 0,11 Por lo tanto, San Petersburgo se encuentra a dos meridianos al este de Greenwich y Lisboa a un meridiano al oeste de Greenwich. Así que hay tres horas más en San Petersburgo. Si despega de San Petersburgo a las 6 de la tarde, quiere decir que en Lisboa son las 3 de la tarde, y si el vuelo dura 3 h y 46 minutos aproximadamente, entonces en Lisboa aterrizará a las 18:46 h. Solución a.

© María Presentación García López; Juana Municio Hernández; Pedro Ortega Pulido; Eva M.ª Villaoslada Marín © GRUPO EDELVIVES

MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS 3.º ESO somoslink

SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO

UNIDAD 12. ESTADÍSTICA

Unidad 12. Estadística SOLUCIONES PÁG. 274 1 Determina la población, la muestra y el tamaño de la muestra seleccionada en los siguientes estudios estadísticos: a. El control de calidad de una fábrica de bombillas requiere analizar las unidades defectuosas producidas seleccionando únicamente 1 000 bombillas. Población: bombillas fabricadas Individuos: bombillas Tamaño de la muestra: 1 000 b. Un sondeo electoral a pie de urna ha realizado un total de 5 000 encuestas con el fin de pronosticar los posibles resultados electorales. Población: censo electoral Individuos: cada una de las personas incluidas en el censo Tamaño de la muestra: 5 000 c. Una inmobiliaria realiza un estudio sobre el precio de la vivienda en Madrid a partir del valor que tienen 1 500 viviendas. Población: viviendas de Madrid Individuos: cada una de las viviendas de Madrid Tamaño de la muestra: 1 500 2 Se quiere realizar un estudio estadístico sobre el número de hermanos que tienen los alumnos de un instituto. El centro cuenta con 800 alumnos en la ESO y 200 alumnos en Bachillerato. Si se desea seleccionar una muestra representativa de 100 alumnos, ¿cuántos alumnos de cada nivel académico debería contener la muestra? Se tomarán 80 alumnos de la ESO y 20 alumnos de Bachillerato. 3 Para estudiar la puntualidad de los trabajadores de una multinacional que tiene en España 1 000 trabajadores, en Francia 800 y en Portugal 200, se ha realizado un estudio estadístico detallado de las fichas de 200 empleados. ¿Cuál es la población del estudio? ¿Cuáles son las unidades estadísticas? ¿Cómo debería ser la muestra? La población objeto de estudio son todos los trabajadores de la multinacional. Las unidades estadísticas son cada uno de los trabajadores. Como hay 1 000 trabajadores en España, 800 en Francia y 200 en Portugal, es decir, un total de 2 000, y la muestra la forman 200 trabajadores, para que dicha muestra sea representativa, se requiere seleccionar 100 trabajadores de España, 80 de Francia y 20 de Portugal.

SOLUCIONES PÁG. 275 4 Actividad resuelta. 5 Se van a celebrar elecciones municipales en cierta localidad de 10 200 habitantes y se ha realizado un sondeo electoral mediante 500 encuestas telefónicas. El censo electoral lo componen 7 350 personas, de las cuales el 40 % son varones y el 60 % mujeres. a. ¿Cuál es la población objeto de estudio? La población objeto de estudio son los electores del Municipio. b. ¿Cuál es el tamaño de la población? El tamaño de la población es 7 350. c. ¿Cuál es el tamaño de la muestra? El tamaño de la muestra es 500. d. Si se quiere que la muestra sea representativa y tenga en cuenta el sexo de los electores del municipio, ¿cuántas encuestas se deben realizar entre los hombres? ¿Y entre las mujeres? El número de encuestas que deberían realizarse a hombres es 200. El número de encuestas que deberían realizarse a mujeres es 300. 6 Una compañía de telefonía tiene 150 000 abonados, de los cuales 90 000 son mayores de 55 años, 45 000 tienen entre 30 y 55 años, y el resto son menores de 30 años. La compañía desea conocer la opinión de sus clientes a partir de una muestra de 2 000 abonados. Describe, en cada caso, cómo ha de ser la muestra en función del tipo de muestreo que se realice. a. Muestreo aleatorio simple. La población objeto de estudio son los 150 000 abonados que tiene la compañía telefónica, y el tamaño de la muestra, 2 000. Para realizar un muestreo aleatorio simple se requiere disponer de un listado ordenado de los 150 000 abonados y seleccionar de forma aleatoria 2 000 de ellos. Un procedimiento válido podría ser elegir 2 000 números aleatorios comprendidos entre 1 y 150 000. b. Muestreo aleatorio sistemático. El muestreo sistemático se realizará eligiendo al azar un abonado de la lista formada por los 150 00 abonados. Si se obtiene, por ejemplo, el número 125 000, se divide 150 000/2 000 = 75, de manera que el resto de elementos se irán eligiendo de 75 en 75. Así pues, los siguientes elementos a incluir en la muestra serán aquellos a los que correspondan los números 125 000, 125 075,… y así sucesivamente hasta completar los 2 000 elementos de la muestra. c. Muestreo estratificado por los tres grupos de edad. Para realizar el muestreo estratificado por grupos de edad, se realiza un reparto proporcional:



=



⇒







= 1 200





=



⇒







= 600

Así pues, la muestra debe contener 1 200 abonados mayores de 55 años, 600 abonados de entre 35 y 55 años y 200 abonados menores de 35 años. La selección de cada estrato se puede hacer por muestreo aleatorio simple o sistemático.

7 Determina cuáles de los siguientes caracteres son cualitativos y cuáles son cuantitativos, y en este último caso indica si la variable es discreta o continua. a. El número de días que ha llovido en cierto año. Cuantitativo discreto. b. El color preferido por los alumnos de un instituto. Cualitativo. c. El número de litros de agua consumidos en un mes. Cuantitativo continuo. d. Las personas que ingresan semanalmente en las urgencias de un hospital. Cuantitativo discreto. e. La profesión de las personas de una ciudad. Cualitativo. f. La temperatura corporal de las personas atendidas en el servicio de urgencias de un centro médico. Cuantitativo continuo. g. El sueldo que ingresan los obreros de determinado país. Cuantitativo discreto. h. Las actividades de ocio preferidas por los jóvenes de 15-20 años. Cualitativo. i. La marca de teléfono móvil preferida por los adolescentes de 14-18 años. Cualitativo. j. El color de los coches de una localidad. Cualitativo. k. El número de personas que visitan el Museo del Prado cierto día del año. Cuantitativo discreto.

SOLUCIONES PÁG. 277 8 Se ha realizado una encuesta entre 40 estudiantes de 3.º de la ESO en la que se les preguntaba acerca del número de horas diarias que dedican al estudio y se han obtenido las siguientes respuestas: 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 0, 1, 5, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 1 Elabora la tabla de frecuencias de este estudio.

9 Una fábrica distribuye la leche en grandes cajas que contienen envases de tetrabrik. En un control de calidad, el número medio de envases defectuosos encontrados en 20 cajas ha sido el siguiente: 0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 1, 2, 1 Determina el tipo de variable estadística y el número de datos y elabora la tabla de frecuencias correspondiente. Se trata de una variable cuantitativa discreta. El número de datos es 20.

SOLUCIONES PÁG. 279 10 Actividad resuelta.

11 A la salida de un cine se han obtenido las siguientes respuestas a la pregunta «¿cuál es tu género cinemato-gráfico favorito?»: W, W, Te, CF, Te, Te, Co, Dr, W, Te, Co, Co, T, CF, T, Co, Co, Te, CF, T (W: western; Te: terror; CF: ciencia ficción; Dr: drama; T: thriller; Co: comedia) Determina el tipo de variable estadística y el número de datos y elabora la tabla de frecuencias correspondiente. Es una variable cualitativa. El número de datos es 20.

12 Durante el verano, cientos de personas de diferentes nacionalidades concurren en la localidad alicantina de Calpe. Se ha realizado una encuesta acerca de su nacionalidad a varios turistas y se han obtenido los siguientes datos: In, Al, Al, Al, Es, Es, Al, Es, Es, Es, Es, Al, Ru, Fr, In, Al, Al, Fr, Fr, Fr, Fr, Es, Es, Es, Fr, Es, Al, Al, Al, Es, Es, Al, Es, Es, Al, Al, Es, Es, Fr, Al (Es: españoles; Fr: franceses; In: ingleses; Al: alemanes; Ru: rusos) Elabora la tabla de frecuencias correspondiente a este estudio.

13 Las facturas telefónicas, expresadas en euros, de una familia durante los últimos 20 meses han sido las siguientes: 125; 124,5; 120; 123; 127; 140; 135; 132; 126; 123,4; 123,1; 128,3; 134,5; 132,3; 133; 132,4; 138,5; 137,3; 128,2; 126,4 Construye una tabla de frecuencias con los datos agrupados en clases. Valor mínimo: 120; valor máximo: 140; rango o recorrido: 140 – 120 = 20; número de intervalos estimado: √20 = 4,47 (se toma, por tanto n = 5). Se agrupan los datos en 5 intervalos, de manera que la amplitud de cada intervalo es = 4. Las clases a considerar son: [120 , 124); [124 , 128); [128 , 132); [132 , 136); [136 , 140]

14 Las temperaturas máximas alcanzadas en una ciudad durante los últimos 20 días, expresadas en grados centígrados, han sido las siguientes: 27; 26; 28; 26,4; 25; 24; 28; 29,3; 27,5; 26,2; 25,3; 24,7; 23,5; 30; 26; 24,1; 26,7; 23,2; 29; 30 Agrupa los datos en 7 clases y elabora la tabla de frecuencias correspondiente. Valor mínimo: 23; valor máximo: 30; rango o recorrido: 30 – 23 = 7; número de intervalos estimado: √20 = 4,47 (se toma, por tanto n = 5). amplitud del intervalo: = 1; clases: [23 , 24); [24 , 25); [25 , 26); [26 , 27); [27 , 28); [28 , 29); [29 , 30]

Clases (xi)

Marca de clase (ci)

ni

[23, 24)

23,5

2

[24, 25)

24,5

3

[25, 26)

25,5

2

[26, 27)

26,5

5

[27, 28)

27,5

2

[28, 29)

28,5

2

[29, 30]

29,5

4

fi 2 = 0,1 20 3 = 0,15 20 2 = 0,1 20 5 = 0,25 20 2 = 0,1 20 2 = 0,1 20 4 = 0,2 20

Ni

Fi

2

0,1

5

0,25

7

0,35

12

0,6

14

0,7

16

0,8

20

1

15 Se ha registrado el número de botellas de agua de 1,5 L vendidas en un establecimiento durante los últimos 40 días y se han obtenido los siguientes resultados: 155, 157, 150, 159, 170, 200, 198, 197, 188, 205, 210, 220, 219, 218, 207, 208, 159, 159, 157, 208, 215, 218, 200, 156, 158, 151, 197, 194, 159, 155, 199, 156, 168 179, 178, 177, 179, 150, 154 a. Agrupa los datos en 7 clases y elabora la tabla de frecuencias correspondiente. Clases: 7; valor mínimo: 150; valor máximo: 220; rango: 220 – 150 = 70; amplitud del 10 intervalo:

b. Agrupa los datos en 10 clases y elabora la tabla de frecuencias. Clases: 10; amplitud del intervalo:

7

16 Elabora una tabla de frecuencias con el tiempo, expresado en minutos, que emplean tus compañeros de clase en llegar al instituto. Respuesta abierta. SOLUCIONES PÁG. 281 17 Actividad resuelta. 18 Dada la siguiente tabla de frecuencias:

a. Construye el diagrama de barras y el polígono de frecuencias correspondiente. b. Dibuja el diagrama de sectores asociado.

fi · 360º

19 Un control de velocidad situado en una carretera nacional ha permitido obtener los siguientes datos:

a. Representa estos datos en el gráfico adecuado. Se construye un histograma, por tratarse de datos agrupados:

b. Dibuja el diagrama de sectores. Se completa la tabla de frecuencias para construir el diagrama de sectores: fi · 360º

20 El número de pacientes que han asistido a la consulta de un médico rural en los últimos 25 días ha sido el siguiente: 16, 15, 17, 15, 20, 21, 20, 24, 25, 23, 25, 16, 28, 30, 29, 30, 26, 25, 15, 17, 21, 17, 16, 19, 17 a. Construye la tabla de frecuencias tomando los datos agrupados. N= 25; Valor mínimo: 15; valor máximo: 30; recorrido: 15; número de intervalos: √25 = 5 Si se agrupan los datos en 5 intervalos, la amplitud resulta:

Fi

19 22 25,5

b. Elabora el histograma y el polígono de frecuencias.

c. Dibuja el diagrama de sectores.

= 3

21 Construye la tabla de frecuencias de la variable estadística representada en este gráfico:

Fi

SOLUCIONES PÁG. 283 22 Calcula el valor de x en la siguiente distribución de datos para que se cumpla la condición indicada, en cada caso. 2, 2, 3, 2, 3, 3, x, x, 4, 5 a. La media aritmética es 3. ̅



3 ⇒ 24

2

30 ⇒



3

b. La moda es 4. x = 4. En este caso la moda sería 2, 3 y 4. c. La mediana es 3. Como N es par y = 5, la mediana se encuentra entre el 5.º y el 6.º dato. Como los datos son 2, 2, 2, 3, 3, 3, …, entonces, x ≥ 3. d. La moda es 3. x=3 e. La mediana es 2,5. Como N es par y = 5, la mediana se encuentra entre las posiciones 5.ª y 6.ª: = 2,5, luego, x = 2.

23 Actividad resuelta. 24 En una encuesta realizada a 30 familias se ha preguntado por el número de móviles que hay en sus hogares y se han obtenido los siguientes datos: 0, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 0, 2, 2, 2, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2 Construye la tabla de frecuencias, calcula la media, la moda, la mediana y los cuartiles. Interpreta los resultados.

̅

∑!# ! "! $

59 30

1,96

Mo = 2 Me = 2 Q1 = 1; Q2 = Me = 2; Q3 = x3 = 3 Las familias tienen en casa una media de 1,96 móviles. El número de móviles que tienen las familias con más frecuencia es 2. El número de familias que tienen menos de 2 móviles es igual al número de familias que tienen más de dos móviles. O, lo que es lo mismo, la mitad de las familias tienen menos de 2 móviles en casa. El 25 % de las familias tienen menos de 1 móvil. El 50 % de las familias tienen menos de 2 móviles. El 75% de las familias tienen menos de 3 móviles.

25 Se ha realizado un estudio sobre el número de libros que leen los socios de una biblioteca a lo largo de un mes y se han obtenido los siguientes datos:

Construye la tabla de frecuencias y calcula la media, la moda, la mediana y los cuartiles.

46

̅

127 46

2,76

Mo = 3 Me = 3 Q1 = x2 = 2; Q2 = Me = 3; Q3 = 3

26 En la siguiente tabla se ha recogido el número de turistas que han visitado las playas de una localidad del litoral mediterráneo durante los meses de julio y agosto en los últimos 25 años:

Construye la tabla de frecuencias y calcula la media, la moda, la mediana y los cuartiles. Interpreta los resultados.

̅

1 665 25

66,6

Mo = 65 Clase modal: 65 Intervalo modal: [60 , 70) Me = 65 Q1 = c2 = 65; Q2 = Me = 65; Q3 =c3 = 75 La media de turistas que visitan la localidad es de 66 600. El número de turistas más frecuente que han visitado la ciudad es de 65 000. El número de veces que han visitado la ciudad menos de 65 000 turistas es igual al número de veces que han visitado la ciudad más de 65 000 turistas. El 25 % de las playas reciben menos de 65 000 turistas. El 50 % de las playas reciben menos de 65 000 turistas. El 75 % de las playas reciben menos de 75 000 turistas.

SOLUCIONES PÁG. 285 27 Calcula la varianza y la desviación típica del siguiente conjunto de datos: 8, 7, 11, 15, 9, 7, 13, 15, 10, 9 Media: ̅

(

Varianza: '

(

Desviación típica: '

(



(

√8,24





( (

(

10,4

(



(

(

) 10,4

8,24

2,8705

28 Calcula la varianza, la desviación típica y el coeficiente de varianza de la siguiente distribución:

̅

6 565 40

164,125

'

1 078 430 ) 164,125 40

'

+23,734

,-

4,872 164,125

4,872 0,02968

23,734

29 El número de vehículos que tienen las familias de cierta localidad se recoge en la tabla.

a. Calcula la media.

400

̅ '

1 450 1 000

1,45

2 430 ) 1,45 1 000

0,3275

b. Halla la desviación típica. '

+0,3275

0,5722

c. Determina el coeficiente de variación. ,-

' ̅

0,5722 1,45

0,3946

SOLUCIONES PÁG. 287 30 Actividad resuelta.

31 Se ha anotado la altura, expresada en centímetros, de un grupo de alumnos de 3.º de la ESO y se han obtenido los siguientes datos: 150, 168, 171, 171, 172, 175, 180, 182, 183, 176, 179, 177, 154, 184 a. Calcula la mediana y los cuartiles. Me = 175,5; Q1 = 171; Q2 = Me = 175,5; Q3 = 180 Recorrido intercuartílico: RI = 180 – 171 = 9 Extremo inferior: EI = 171 – 1,5 · 9 = 157,5 Extremo superior: ES = 180 + 1,5 · 9 = 193,5 b. Representa esta distribución mediante un diagrama de cajas.

c. ¿Hay datos atípicos? Hay un dato atípico: 150 32 La distribución de las puntuaciones que han obtenido 80 personas en un examen tiene los siguientes parámetros: Q1 = 4; Me = 5,2; Q3 = 6. Construye el diagrama de caja de esta distribución y determina si existen datos atípicos, teniendo en cuenta que todas las puntuaciones toman valores comprendidos entre 0 y 9,5. Recorrido intercuartílico: R = 6 – 4 = 2; extremo inferior: EI = 4 – 1,5 · 2 = 1; extremo superior: ES = 6 + 1,5 · 2 = 9 El diagrama de caja es:

Los datos atípicos son los datos situados entre 0 y 1 y entre 9 y 9,5. 33 Interpreta el siguiente diagrama de caja, que representa el número de horas de sueño de los habitantes de una población:

Q1 = 6; Me = 6,9; Q3 = 8 El 50 % de la población duerme entre 6 h y 8 h. El 25 % de la población duerme 6 h o menos; el 75 % de la población, 8 h o menos, y el 25 % de la población, 8 h o más. Los datos atípicos corresponden a dormir 3 h o menos.

34 A continuación, se muestra la duración media (expresada en horas) de las bombillas fabricadas por nueve marcas de bombillas distintas: 437, 450, 456, 470, 480, 484, 490, 495, 500 Calcula los cuartiles, el recorrido intercuartílico, la media y elabora un gráfico que indique la posibilidad de algún dato atípico. . ̅

456

437

450

456

.

470

/0

480

480 9

484

490

.

495

490

500

473,55

Recorrido intercuartílico: RI = 490 – 456 = 34 Extremo inferior: EI = 456 – 1,5 · 34 = 405 Extremo superior: ES = 490 + 1,5 · 34 = 541

No hay datos atípicos. 35 Representa la distribución dada por la siguiente tabla mediante un diagrama de caja e indica si existe algún dato atípico:

.

4

.

/0

5

Recorrido intercuartílico: RI = 6 – 4 = 2 Extremo inferior: EI = 4 – 1,5 · 2 = 1 Extremo superior: ES = 6 + 1,5 · 2 = 9

x = 10 es un dato atípico.

.

6

36 Se ha anotado la masa de diez personas, expresada en kilogramos, y se ha obtenido esta distribución: 65, 60, 63, 63, 64, 64, 64, 65, 67, 72 a. Construye el diagrama de caja. .

63

.

/0

64

.

65

Recorrido intercuartílico: RI = 65 – 63 = 2 Extremo inferior: EI = 63 – 1,5 · 2 = 60 Extremo superior: ES = 65 + 1,5 · 2 = 70,5

b. ¿Cuál es la media de las masas? ̅

60

63

63

64

64

10

64

65

65

67

72

c. ¿Existe alguna masa atípica en la distribución? El único dato atípico es 72.

64,7

37 El dinero, expresado en euros, del que dispone semanalmente un grupo de alumnos de una misma clase es: 10, 15, 12, 20, 25, 18, 12, 30, 22, 19, 18, 15, 13, 20, 24 a. Construye la tabla de frecuencias de la distribución.

b. Calcula la media y la desviación típica.

̅ '

273 15

18,2

5 401 1 ) 18,2 15

5,369

c. Halla la mediana y los cuartiles. Me = 18; Q1 = x3 = 13; Q3 = x8 = 22 Recorrido intercuartílico: RI = 22 – 13 = 9 Extremo inferior: EI = 13 – 1,5 · 9 = –0,5 Extremo superior: ES = 22 + 1,5 · 9 = 35,5 d. Elabora el diagrama de caja.

SOLUCIONES PÁG. 288 1 Con la ayuda de una hoja de cálculo, determina, en cada caso, la media, la varianza y la desviación típica.

SOLUCIONES PÁG. 289 1 Indica si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos: a. «La moda de un estudio es 7» quiere decir que ese valor es el que más frecuencia absoluta tiene. Verdadero. b. En un estudio estadístico de 20 datos, la media es 5, por lo que la suma de los 20 datos será igual a 100. Verdadero. La suma de los datos es: 20 · 5 = 100 c. En un estudio estadístico, la varianza es 4; luego, la desviación típica será 16. Falso. La desviación típica es 2. d. En un estudio estadístico, la desviación típica es 3, por lo que la varianza es 9. Verdadero. e. Si el coeficiente de variación de un estudio es 0,41 y el coeficiente de variación de otro estudio es 0,32, entonces el estudio con los datos más dispersos es el segundo. Falso, el estudio con los datos más dispersos es el primero, el que mayor coeficiente de variación tiene de los dos.

f. Un histograma representa los datos de una variable cuantitativa discreta. Falso, un histograma representa los datos de una variable cuantitativa con datos agrupados que puede ser discreta o continua. g. Si los datos de una variable estadística cuantitativa vienen dados en metros, la varianza de dicha variable se expresa también en metros. Falso, la varianza vendría expresada en metros cuadrados. h. La desviación típica es un parámetro de dispersión. Verdadero. i. Para calcular la mediana utilizando una tabla, observamos la columna de las frecuencias absolutas acumuladas. Verdadero. j. Un estudio estadístico analiza el peso de una población de elefantes, por lo que la variable estadística es cuantitativa continua. Verdadero, el peso es una variable cuantitativa continua. k. La media y la moda son dos valores que coinciden en todos los estudios estadísticos. Falso, en general la media y la moda no han de coincidir. l. Si dos variables estadísticas tienen la misma media, pero sus desviaciones típicas son diferentes, entonces será más dispersa la que mayor desviación típica tenga. Verdadero, como el coeficiente de variación es el parámetro que sirve para comparar la dispersión de dos variables estadísticas y la media es la misma, el coeficiente de variación mayor será el que tenga mayor desviación típica. SOLUCIONES PÁG. 290 REPASO FINAL TERMINOLOGÍA 1 Una localidad de Madrid tiene 5 400 habitantes; de ellos, el 75 % son españoles; el 10 %, marroquíes; el 12 %, ecuatorianos, y el 3 %, ucranianos. Se desea realizar un estudio estadístico sobre las aficiones deportivas de los habitantes de la localidad, para lo que se han realizado 500 encuestas. a. Determina la variable estadística del estudio. La variable estadística es cualitativa. Los posibles valores de la variable son las diferentes modalidades deportivas. b. Calcula el tamaño de la población y el tamaño de la muestra. Tamaño de la población: 5 400; tamaño de la muestra: 500

c. Realiza el muestreo más adecuado para que el estudio sea representativo. El muestreo más adecuado es el estratificado. Para ello, se reparte la muestra de la siguiente forma: 75 % de 500 = 375 12 % de 500 = 60 10 % de 500 = 50 3 % de 500 = 15 Se realizarán por tanto 375 encuestas a habitantes españoles, 60 a ecuatorianos, 50 a marroquíes y 15 a ucranianos. En todos los casos se realizarán las encuestas de forma aleatoria. 2 Clasifica las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas y en este último caso indica si son discretas o continuas: a. El año de nacimiento de los vecinos de un inmueble. Cuantitativa discreta. b. El número de horas al día de conexión a Internet. Cuantitativa discreta. c. El color de las casas de una localidad. Cualitativa. d. El número de litros que consume determinado modelo de vehículo cada 100 km. Cuantitativa continua. e. La comunidad autónoma en la que se reside. Cualitativa. f. El perímetro craneal de los recién nacidos en un determinado hospital. Cuantitativa continua. g. El color de piel de los integrantes de un equipo de baloncesto. Cualitativa. h. La editorial del libro de texto de Matemáticas que utilizan los alumnos de 3.º de la ESO en los colegios e institutos de cierto municipio. Cualitativa. i. El número de mensajes diarios recibidos a través de WhatsApp por los alumnos de una clase. Cuantitativa discreta. j. El número de accidentes de tráfico que se producen durante un año. Cuantitativa discreta.

3 Formad grupos de 4 personas y considerad caracteres propios del grupo clase susceptibles de ser considerados en un estudio estadístico. a. Enumerad dos ejemplos de caracteres que den lugar a variables cualitativas. b. Enumera dos caracteres que den lugar a variables cuantitativas. c. Clasificad las variables cuantitativas en discretas o continuas. Respuesta abierta. FRECUENCIAS Y TABLAS 4 Se ha realizado una encuesta a 30 personas para conocer las preferencias musicales de los usuarios del metro de Madrid y se han obtenido las siguientes respuestas: Cl, Po, Ro, He, Cl, He, Sa, Re, Cl, Cl, Po, He, Sa, Sa, Re, Re, Po, Cl, Cl, Po, Po, Ro, He, He, Cl, He, Re, Po, Cl, Po (Cl: música clásica; Po: música pop; Ro: rock; He: heavy metal; Sa: salsa; Re: reggaeton) Elabora la tabla de frecuencias correspondiente.

5 Se ha realizado un estudio para determinar el tiempo, expresado en minutos, que tardan los vehículos en ir de Madrid a Zaragoza. Según refleja el estudio, el tiempo que han necesitado 50 vehículos para cubrir el trayecto ha sido el siguiente: 180, 182, 184, 190, 184, 181, 193, 192, 195, 190, 182, 185, 187, 194, 210, 204, 207, 203, 201, 203, 210, 209, 197, 185, 184, 183, 192, 191, 190, 189, 205, 207, 203, 201, 197, 184, 206, 207, 208, 201, 200, 190, 203, 209, 207, 204, 203, 197, 194, 195 a. Elabora la tabla de frecuencias agrupando los datos en 6 intervalos. Valor mínimo: 180; valor máximo: 210; recorrido = 210 – 180 = 30; 6 intervalos de amplitud = 5

b. Elabora la tabla de frecuencias agrupando los datos en 5 intervalos. 5 intervalos de amplitud

=6

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS 6 Construye un diagrama de barras o un histograma, según sea el tipo de datos, así como el polígono de frecuencias correspondiente para las tablas de frecuencias que has obtenido en las actividades 4 y 5. Dibuja también un diagrama de sectores.

7 ¿Qué gráfico estadístico es el más adecuado para representar variables cuantitativas continuas? Los histogramas.

SOLUCIONES PÁG. 291 REPASO FINAL 8 La siguiente tabla muestra el número de pizzas solicitadas en varios domicilios un viernes por la tarde:

a. Representa los datos en una gráfica adecuada. b. Completa la tabla para construir un diagrama de sectores, incluyendo en cada sector el porcentaje que corresponda con respecto al total.

9 La distribución de los alumnos de un centro educativo según sus nacionalidades es la siguiente:

Fi

fi · 360º

a. Representa los datos en una gráfica adecuada y construye su polígono de frecuencias. b. Completa la tabla para obtener el porcentaje con respecto al total de cada nacionalidad. c. Completa la tabla para construir el diagrama de sectores de esta distribución.

0,0090

0,90 %

10 A partir de la siguiente gráfica, construye una tabla de frecuencias que contenga las clases, las marcas de clase, las frecuencias absolutas, las frecuencias relativas, las frecuencias absolutas acumuladas y las frecuencias relativas y porcentuales.

11 En una empresa de 1 250 trabajadores se ha realizado un estudio sobre las edades del personal laboral y se ha obtenido el siguiente diagrama de sectores:

a. Representa los datos en un histograma o en un diagrama de barras. b. Determina las clases y sus frecuencias absolutas y relativas. Número de datos: 1 250

c. ¿Cuántos trabajadores tienen menos de 48 años? ¿Y más de 38 años? Trabajadores de menos de 48 años = 200 + 500 + 300 = 1 000 Trabajadores con 38 años o más = 300 + 100 + 150 = 550

PARÁMETROS DE CENTRALIZACIÓN Y DE POSICIÓN 12 Obtén la media, la moda, la mediana y los cuartiles de las siguientes colecciones de datos. Después, comprueba los resultados que has obtenido con una hoja de cálculo. a. 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 5, 7, 6, 6 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 5 + 7 + 6 + 6 38 = = 3,4545 11 11 ̅

Mo = 2 Me = 3 Q1 = 2; Q2 = Me = 3; Q3 = 6

b. 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 0 ̅=

0+1+0+1+0+1+0+1+2+0 6 = = 0,6 10 10

Mo = 0 Me =



= 0,5

Q1 = 0; Q2 = Me = 0,5; Q3 = 1 c. 7, 6, 7, 6, 1, 8, 5, 1, 9 ̅=

7 + 6 + 7 + 6 + 1 + 8 + 5 + 1 + 9 50 = = 5,55 9 9

Mo = 1, 6, 7 (es trimodal) Me = 6 Q1 = 5; Q2 = Me = 6; Q3 = 7

13 El precio de venta, expresado en miles de euros, de los vehículos producidos por una fábrica de automóviles es: 12,5 10 11 15 17,2 11,3 14 a. Calcula el precio medio y el precio mediano de venta. 12,5 ̅

10

11

15 7

17,2

11,3

14

91 7

13

El coste medio de un vehículo es de 13 000 €. Ordenando los datos en orden creciente, se obtiene: 10

11

11,3

12,5

14

15

17,2

Como son 7 datos, la mediana es el valor que ocupa la 4.º posición: Me = 12,5 El coste mediano de venta es de 12,5 miles de euros. b. Si existiera un precio de venta de 19 000 €, ¿qué ocurriría con la media? ̅

12,5

10

11

15

17,2 8

11,3

14

19

110 8

13,75

La media aumenta ligeramente, pues se ha incluido un séptimo precio más alto que los anteriores. 14 El Instituto Nacional de Estadística te propone la realización de un estudio estadístico sobre los hábitos de ocio. Entra en su página web y sigue los pasos que se indican para realizar el estudio a partir de los datos que obtengas de tus compañeros de clase. http://www.ine.es/explica/explica_pasos_primera_ encuesta.htm Actividad guiada.

SOLUCIONES PÁG. 292 REPASO FINAL 15 Las edades de las personas que han participado en un campeonato de ciclismo son las siguientes: 18, 18, 19, 18, 20, 19, 21, 19, 19, 20, 18, 22, 22, 24, 22, 23, 20, 22, 21, 20, 21, 20 a. Calcula la media, la moda y la mediana. ̅

18 · 4 + 19 · 4 + 20 · 5 + 21 · 3 + 23 · 1 + 24 · 1 446 = = 20,27 8 22

Mo = 20 Me = 20 b. Halla los cuartiles. Q1 = x2 = 19

Q2 = Me = 20

Q3 = 22

c. Comprueba los resultados que has obtenido con una hoja de cálculo. Los resultados se pueden comprobar mediante una hoja de cálculo.

16 En la siguiente gráfica se ha representado el número de tetrabriks defectuosos hallados en lotes de 30 unidades durante una revisión aleatoria:

a. Construye la tabla de frecuencias y representa los datos en un diagrama de sectores.

b. ¿Cuál es la media de tetrabriks defectuosos por cada lote de 30 unidades? ̅

0 2 17

1 2 14 2 2 6 40

323

35 40

0,875

c. Calcula la moda y los cuartiles e interpreta los resultados obtenidos. Mo = 0. Lo más frecuente es que los lotes de 30 tetrabriks no tengan ninguno que sea defectuoso. Primer cuartil: = 10; la primera frecuencia absoluta acumulada mayor que 10 es N1 = 17; luego, Q1 = x1 = 0, lo que indica que el 25 % de los lotes de tetrabriks no tienen ningún defecto. Segundo cuartil o Mediana: = 20; la primera frecuencia absoluta acumulada mayor que 20 es N2 = 31, y N1 = 17 es distinto de 20, luego Q2 = Me = 1, lo que significa que el 50 % de los lotes de 30 tetrabriks tienen 1 o menos defectos. = 30; la primera frecuencia absoluta acumulada mayor o igual que 30 Tercer cuartil: es N3 = 37, luego Q3 = x3 = 2, lo que significa que el 75 % de los lotes tienen menos de dos defectos. 17 Calcula la media, la moda y los cuartiles de la siguiente distribución con datos agrupados:

584

Media:

14,6

Mo: 18,5 Primer cuartil: = 10; la primera frecuencia absoluta acumulada mayor que 10 es N2 = 18 y N1 = 8 es distinto de 10, luego, Q1 = 12,5. Segundo cuartil o Mediana: = 20; N es par, luego la mediana se encuentra entre el 20.º y 21.º dato; Me = 15,5 = Q2 Tercer cuartil: = 30; la primera frecuencia absoluta acumulada mayor que 30 es N4 = 40; N3 = 26 es distinto de 30, luego Q3 = 18,5.

18 Las calificaciones que ha obtenido Miguel en Matemáticas en los últimos tres exámenes le permiten obtener una nota media de 4. ¿Qué calificación tendría que alcanzar como mínimo en el último examen para aprobar el curso?

3 3

4 3

4

5

4

5

= 4 ⇒ 3 + 4 + 5 = 12 6

≥5⇒

12 + 6 ≥ 5 ⇒ 12 + 6 ≥ 20 ⇒ 6 ≥ 8 4

La nota mínima para aprobar el curso tiene que ser un 8. 19 El director comercial de una compañía dedicada a la venta de mercancías desea analizar el número de llamadas recibidas al día durante los meses de enero y febrero. Para este estudio, se han obtenido los siguientes datos: 35, 38, 36, 35, 29, 28, 30, 35, 40, 48, 50, 20, 25, 60, 30, 27, 29, 46, 41, 31, 31, 31, 39, 28, 36, 37, 52, 44, 49, 52, 56, 58, 40, 39, 38, 40, 27, 24, 30, 32, 35, 38, 26, 25, 24, 60, 55, 48, 37, 31, 30, 22, 20, 24, 26, 23, 22, 28, 27, 60 Calcula la media, la moda y los cuartiles e interpreta los resultados. Después, compruébalos haciendo uso de una hoja de cálculo. ̅ 35,95; Mo = 30, 31 y 35; Q1 = 27,5; Me = 35 (la mitad de los días se han recibido 35 llamadas menos); Q3 = 40,5 (el 75 % de los días se han recibido 40 llamadas o menos). PARÁMETROS DE DISPERSIÓN 20 Halla la varianza, la desviación típica y el rango de los siguientes conjuntos de datos. Después, comprueba los resultados que has obtenido con una hoja de cálculo. a. 2, 2, 3, 6, 5, 7, 8, 4, 2, 4 Media: ̅ = Varianza: ' =

(

(

(

(

(

(

(

(

Desviación típica: ' = +√4,21 = 2,052

4,3 (

(

) 4,3 =

− 4,3 = 4,21

b. 0, 7, 5, 3, 5, 9, 6, 10, 5, 8, 10, 5, 4, 10, 9, 7, 4, 8, 2, 2 Media: ̅ =

Varianza: ' =

− 5,95 = 8,2475

Desviación típica: ' = ++8,2475 = 2,8718

5,95

21 Calcula la varianza, la desviación típica y el rango de las siguientes distribuciones: a. El número de veces que los habitantes de una ciudad van al teatro:

Rango = 4 – 0 = 4 Media: ̅

Varianza: '

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1,58

0 2 25 1 2 16 2 2 40 3 2 14 4 2 5 100

Desviación típica: '

√1,3236

) 1,58

1,3236

1,15

b. La estatura de 200 jóvenes de 15 años:

Rango = 190 – 150 = 40 Media: ̅

Varianza: '

2

2

2



2



2

2



2

2

155 2 55 165 2 100 175 2 30 185 2 15 100

Desviación típica: '

+72,4375

8,511

165,25



) 165,25

72,4375

22 El número de horas que dedica mensualmente al estudio un grupo de 40 alumnos de 3.º de ESO es: 14, 7, 9, 15, 12, 8, 12, 15, 16, 18, 23, 2, 12, 10, 11, 9, 7, 6, 5, 16, 18, 3, 4, 8, 17, 15, 12, 13, 16, 15, 14, 12, 12, 20, 21, 22, 20, 21, 20, 15 a. Reparte estos datos en intervalos. Valor mínimo: 2; valor máximo 23; recorrido: 23 – 2 = 21; número de intervalos: √40 6,32 (luego se toman 7 intervalos) Amplitud de cada intervalo:

=3

b. Calcula la media y la desviación típica. Media: ̅

Varianza: '



13,625

Desviación típica: '

) 13,625

28,6597

+28,6597

5,3534

23 En las siguientes tablas se muestran las calificaciones que ha obtenido un grupo de alumnos de 3.º de la ESO en las materias de Matemáticas e Inglés: Matemáticas

Inglés

a. Calcula la media y la desviación típica de cada una de las materias. Matemáticas: ̅ '

161 30

5,37

1 017 1 ) 5,37 30

+5,0631

2,25

+4,1022

2,025

Inglés: ̅

'

151 30

5,033

883 1 ) 5,033 30

b. Calcula el coeficiente de variación de cada una de las materias. CVMatemáticas = CVInglés =

, ,

, ,

0,419

0,4023

c. ¿Qué materia tiene las notas más dispersas? Las notas de Matemáticas son levemente más dispersas que las de Inglés, luego tienen un coeficiente de variación mayor.

24 El técnico de un equipo de baloncesto ha registrado en una tabla el número de triples que han conseguido anotar dos de sus jugadores durante diez partidos:

a. ¿Cuál es la media de triples anotados por cada jugador? Media del Jugador 1: ̅

3 4 5 4 6 7 3 2 4 1 10

39 10

3,9

Media del Jugador 2: ̅

3 4 4 4 4 3 1 2 4 5 10

34 10

3,4

Los dos jugadores tienen la misma media. b. Determina cuál de los dos jugadores es más regular. Jugador 1: '

8

) 3,9

√2,89

1,7

Jygador 2: '

8

) 3,4

√1,24

1,113

CVJugador 1 =

,

0,4358

,

CVJugador 2 =

,

,

0,3275

Es más fiable el jugador 2 (sus resultados presentan menor dispersión). DIAGRAMAS DE CAJA Y BIGOTES 25 Construye los diagramas de caja correspondientes a las siguientes distribuciones: a. 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 12, 14 Me = 7; Q1 =



4,5; Q3 =



8,5

Recorrido intercuartílico: RI = 8,5 – 4,5 = 4 Extremo inferior: EI = 4,5 – 1,5 · 4 = –1,5 Extremo superior: ES = 8,5 + 1,5 · 4 = 14,5

b. 25, 22, 27, 30, 23, 22, 31, 18, 24, 25, 32, 35, 20, 28, 30 Me = 25; Q1 = 22; Q3 = 30 Recorrido intercuartílico: RI = 30 – 22 = 8 Extremo inferior: EI = 22 – 1,5 · 8 = 10 Extremo superior: ES = 30 + 1,5 · 8 = 42

26 En la siguiente tabla se muestra el número de errores cometidos en un test por un grupo de alumnos de 3.º de la ESO:

a. Halla la moda, la mediana y los cuartiles e interpreta los resultados obtenidos. Mo = 1 (el número de errores más frecuente es 1); Me = 2 (el 50 % de los alumnos tiene una nota inferior a 2); Q1 = 1 (el 25 % de los alumnos tiene una nota inferior a 1); Q3 = 3 (el 75 % de los alumnos tiene una nota menor o igual a 3). Recorrido intercuartílico: RI = 3 – 1 = 2; extremo inferior: EI = 1 – 1,5 · 2 = –2; extremo superior: ES = 3 + 1,5 · 2 = 6 b. Representa esta distribución mediante un diagrama de caja.

c. ¿Tiene datos atípicos? No tiene datos atípicos.

EVALUACIÓN 1 Se ha preguntado a 25 alumnos cuántos libros han leído durante el último mes. Sus respuestas han sido las siguientes: 4, 1, 0, 3, 2, 2, 1, 0, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 7, 1, 1, 2, 5, 1, 0, 2, 2, 4, 5 Organiza los datos en una tabla e indica cuál de estas afirmaciones es cierta: a. La frecuencia acumulada del valor 0 es 25. b. La frecuencia absoluta del valor 2 es 9, y la frecuencia relativa, 0,9. c. La frecuencia absoluta del valor 2 es 9, y corresponde al 36 % de los datos. d. La frecuencia absoluta acumulada del valor 7 es 12.

La tabla de frecuencias de la distribución es la siguiente:

a. Falso, su frecuencia acumulada es 3. b. Es cierto que la frecuencia absoluta del valor 2 es 9, pero es falso que su frecuencia relativa sea 0,9, es 0,36. c. Verdadero. d. Falso su frecuencia absoluta es 1.

2 La media y la moda de los datos de la actividad 1 son: a. La media es 2, y la moda, 2,2. b. La media es 2,2, y la moda, 2. c. La media es 2, y la moda también es 2. d. La media es 3,2, y la moda es 2. ̅

0 · 3 + 1 · 6 + 2 · 9 + 3 · 2 + 4 · 2 + 5 · 2 + 7 · 1 55 = = 2,2 25 25

Moda: 2 a. Falso. b. Verdadero. c. Falso. d. Falso. 3 Los datos de la actividad 1 se pueden representar: a. Con un diagrama de barras y un diagrama de sectores. Verdadero. b. Con un diagrama de sectores y un histograma. Falso. c. Con un histograma y un polígono de frecuencias. Falso. d. Con un diagrama de cajas. Verdadero. 4 Supongamos que hemos obtenidos los siguientes datos relacionados con el número de horas que utilizan el teléfono móvil los habitantes de una localidad: 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7. Entonces podemos afirmar que: a. La mediana es 5.

c. Q2 = 5,5

b. Q1 = 5

d. Q3 = 7

a. Falso, la mediana es 6. b. Falso, Q1 = 4. c. Falso, Q2 = 6. d. Falso, Q3 = 6.

5 Teniendo en cuenta los datos del ejercicio anterior, se verifica que: a. La media aritmética es ̅ = 5,5. Falso, ̅ 5,27 b. La varianza es ' = 1,233. 324

Falso, ' = +8 11 − 5,27 = +√1,6816 = 1,2967 c. El coeficiente de variación es CV = 0,5. , Falso, CV = = 0,2460 ,

d. El recorrido es 3. Falso, recorrido = 2.