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Tema 21: Resolución de problemas. 1.INTRODUCCIÓN La resolución de problemas es un contenido prioritario con el área de matemáticas porque es una manera de aprender y reforzar contenidos, además de permitir la interacción entre los distintos bloques y el resto de las áreas. El RD 1513/2006 considera a los procesos de resolución de problemas como uno de los ejes principales de la actividad matemática y debe ser la base de apoyo de esta área a lo largo de toda la educación primaria. Al resolver problemas se usan muchas capacidades básicas: leer comprensivamente, reflexionar, establecer un plan de trabajo que se va revisando durante el proceso, modificar el plan si es necesario, comprobar la solución… La resolución de problemas contribuye al desarrollo como la exploración de nuevas actitudes, valores, distintos puntos de vista, autoestima… 2.RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. 1. Concepto de problema. Los términos problema y ejercicio, suelen confundirse con bastante frecuencia dentro del contexto escolar. Un problema lo podemos definir como una situación en la que se pretende alcanzar una meta que por el momento está bloqueada. El sujeto no debe conocer a priori el camino para alcanzar la meta, pues si no, sería un ejercicio. Para que se considere problema necesita 3 cosas: - Una persona que desee resolverlo - Una meta a alcanzar. - Algún tipo de impedimento para lograrlo. En un problema podemos distinguir 4 componentes. 1. Meta: lo que se desea alcanzar, en los problemas matemáticos, las metas suelen estar bien definidas. 2. Datos: son las informaciones numéricas o verbales que nos ofrece el enunciado del problema. Los datos pueden estar bien o mal definidos. 3. Restricciones: son los factores que limitan el camino para encontrar la solución. 4. Métodos: se refieren a resolver los problemas. 2. Etapas de la resolución de un problema.

los procedimientos usados para

A lo largo del SXX muchos autores han propuesto fases para poder resolver problemas con éxito. George Poyla admite 4 fases: 1. Comprender el problema: consiste en analizar el enunciado y es muy importante porque si no se comprende el problema no se puede resolver. 2. Concebir un plan: se trata de elaborar un plan de acción estableciendo conexiones de datos y recurriendo a estrategias heurísticas. Como ejemplos de estrategias heurísticas destacamos: - Ensayo- error: consiste en elegir un resultado y comprobar si es una solución del problema. - Subir la cuesta: consiste en avanzar desde el inicio a otra posición más cercana a la meta pues así se puede evaluar el nuevo estado y elegir el que más convenga. - Trabajar en sentido inverso: esto resulta útil cuando el estado final del problema está claro pero el inicial no, es resolver el problema a partir de la meta y trata de transfórmala en datos. 3. Ejecutar el plan y comprobar si todos los pasos han sido correctos. 4. Examinar la solución obtenida: hay que analizar si es razonable. A través de los planteamientos de Poyla, Schoenfeld propuso un método de resolución que se desarrolla en 3 etapas: - Análisis: trazar un diagrama, examinar casos particulares y probar a simplificar el problema - Exploración: Examinar problemas muy similares, examinar problemas ligeramente modificados y examinar problemas ampliamente modificados. - Comprobación de la solución obtenida: verificar la solución usando criterios específicos o verificar la solución usando criterios generales. 3.DIFERENTES CLASES Y MÉTODOS DE RESOLUCIÓN En la resolución de un problema están implicados procesos mentales (planificar estrategias). Los métodos de resolución de problemas, establecen una serie de pasos o etapas que sirven para ir aproximándonos a la solución, para poder aplicar cualquier método de resolución necesitamos cierto nivel de desarrollo, ya que requieren un pensamiento reflexivo que el estudiante alcanza al final de la etapa de E.P. También al inicio de esta etapa podemos guiar a los alumnos con una instrucción.

En el ámbito escolar los problemas se resuelven sobre todo de manera verbal, la primera actividad que se realiza en la escuela corresponden a problemas aritméticos que se clasifican en: - Problemas de estructuras aditivas (suma o resta). - Problemas de estructura multiplicativa (multiplicación y división). 1. Problemas de estructura aditiva. Clasificación: - Problemas de cambio: en estos problemas la cantidad inicial se somete a una acción que la modifica y puede resolverse juntando o separando objetos. Hay 3 cantidades: la inicial, la final y la de cambio. - Problemas de combinación: en estos se describe una relación entre conjuntos del tipo “parte-parte-todo” puede darse que la incógnita sea una de las partes o el todo. - Problemas de comparación: presentan una comparación entre 2 cantidades. Intervienen 3 cantidades: la de referencia, la comparada y la diferencia - Problemas de igualación: Contienen elementos de los problemas de comparación y de cambio. La comparación viene dada por el comparativo de igualdad “tanto como” y el cambio por la acción que sirve para comparar 2 cantidades distintas. Estrategias de resolución: Las estructuras que usan los niños para resolver problemas de estructuras aditivos son de 3 tipos: - Estrategias de modelación directa: consiste en usar objetos (canicas, fichas…) o los dedos para representar los elementos de los objetos y ejecutar con ellos las acciones descritas en el problema. La estrategia de modelación directa es: “contar todos” se representa los 2 conjuntos con los objetos o con los dedos y después de unirlos, contar los elementos de los conjuntos resultantes. “Separar desde” se representa la mayor cantidad mediante dedos, se separa la cantidad menor y contamos los elementos del conjunto resultante. “Ensayo error” si la incógnita es la cantidad inicial se hace más difícil puesto que no se pueden representar. Algunos estudiantes los resuelven mediante ensayo-error.

“Emparejar”se representan los 2 conjuntos y después se establecen correspondencia uno a uno entre los 2 conjuntos contando los elementos sobrantes. -

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Estrategias de contar: son más eficientes que las de modelación directa. En la modelación directa el alumno usaba objetos o dedos, mientras que aquí los usa como referencia. Ejemplo: o “Contar desde el primero” se realiza el recuento comenzando por el número que aparece en l primer lugar; la secuencia de conteo termina cuando el número de pasos contados que representan el segundo sumando se ha completado. o “Contar desde el mayor” es similar al anterior pero el recuento comienza por el sumando mayor. o “Contar hasta” contar hacia adelante comenzando por el numero más pequeño hasta llegar al más grande. o “Contar hacia atrás desde” consiste en contar hacia atrás comenzando por el numero mayor. o “Contar hacia atrás” consiste en contar hacia atrás empezando por el numero mayor hasta llegar al número menor. Hechos numéricos: es una relación entre números. Las estrategias que se usan se apoyan en la comprensión de la relación entre los números.

Niveles de desarrollo: Las edades en las que los niños usan las distintas estrategias descritas anteriormente varían con los individuos pues si al inicio de la E.P casi todos los alumnos son capaces de resolver problemas con estrategias directas, pocos lo son usando hechos numéricos. El desarrollo de las habilidades pasa por 4 niveles: o Nivel 1: modelación directa:  A: en esta primera etapa los niños son capaces de resolver problemas de cambio juntando y combinando (la cantidad final es una incógnita).  B: En esta segunda etapa los niños resuelven problemas juntando pero usan las estrategias de “añadir hasta”. o Nivel 2: Transición a las estrategias de contar. En este nivel los alumnos utilizan tanto la modelación directa como estrategias de contar en una etapa de transición. o Nivel 3: Estrategias de contar. En este nivel los alumnos entienden la relación parte- todo y esto les permiten resolver problemas de combinación en los que la incógnita es su parte. o Nivel 4: Hechos numéricos.  A: Conocen hechos numéricos y utilizan hechos derivados.

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B: han memorizado las tablas de sumar y recuerdan los hechos numéricos instantáneamente. 2. Problemas de estructura multiplicativa. Al contrario de los problemas sobre estructura aditiva (sumas) los problemas con multiplicaciones están todavía construyéndose. Por eso se usan unas estrategias de resolución. 1. Estrategias de modelación directa: para resolver las multiplicaciones usan:  “el agrupamiento”: se forman conjuntos y cada uno tiene igual número de elementos, después se cuentan el número total de elementos.  “Medida”: se usa para los problemas de división. En estos problemas los datos son el número total de elementos y el número de elementos de cada conjunto, la incógnita es el número de conjuntos.  “Reparto”: se usa para los problemas de división. . Consiste en repartir una cantidad en un número determinado de conjuntos y saber cuántos elementos hay en cada conjunto. 2. Estrategias basadas en el conteo, la suma y la resta.  Conteo a saltos: consiste en contar hacia delante de 2 n 2, de 3 en 3… se usa para resolver problemas de multiplicación y de división.  Suma reiterada: se parece a la anterior pero se suma reiteradamente: 2+2+2+2+2:10  Conteo hacia atrás a saltos: se usa para resolver problemas de división.  Resta reiterativa: 10 euros gatas 3 veces 2.  Ensayo- error: se usan sucesivas estimaciones que se van aproximando a la solución de un problema.

4.PLANIFICACIÓN, GESTIÓN DE LOS RECURSOS, REPRESENTACIÓN, INTERPRETACIÓN Y VALORACIÓN DE LOS RESULTADOS. La teoría del procesamiento de la información considera los problemas como activadores de una representación mental interna y genera técnicas que conducen a la solución. 1. Procesos de comprensión y representación de problemas. El comprender un problema significa transformar la información recibida en una representación interna e integrarla en un esquema cognitivo que permita darle significado. Los esquemas cognitivos se organizan en torno a un tema y contienen “huecos” porque se van rellenando con la información entrante.

La teoría del procesamiento de la información denomina al proceso de comprensión “representación del espacio del problema”. La facilidad o dificultad para resolver un problema va a depender de si esa comprensión refleja las características objetivas de ese problema (datos, metas…) Una vez que el alumno decide resolver un problema comienza a presentar objetos, cualidades, nexos… como en el ámbito escolar esa representación inicial es una de las dificultades principales que tienen los alumnos, necesitaremos crear estrategias para representar los problemas y entre ellas están: - Dramatizaciones o simulaciones y puesta en acción. - Representaciones lineales: se construye una recta y sobre ella se sitúan las posiciones de los valores. - Representaciones con tablas (tabulares) son útiles para resolver problemas con 2 variables. 2. Procesos de búsqueda de la solución. Recursos cognitivos. Para llegar a la solución de un problema se usan 3 tipos de recursos cognitivos: - Específicos: son las herramientas matemáticas que se tienen a disposición (conocimiento sobre el problema, hechos…) - Generales: son las estrategias o procesos de acción que facilitan resolver el problema pero no garantizan su solución. - Recursos meta cognitivos: son los que planifican, dirigen, controlan y evalúan todos los procesos. En la etapa de la E.P necesitamos que los alumnos adquieran conocimiento y desarrollen estrategias que les permitan abordar de manera cada vez más autónoma, los procesos de resolución de problemas. 1. Habilidades meta cognitivas. La capacidad meta cognitiva es la habilidad que tiene una persona para conocer lo que conoce y tener conciencia de sus propios pensamientos. Implica una autorregulación, una reflexión y saberse capaz de resolver problemas. Entre las habilidades meta cognitivas podemos encontrar: - Planificar: implica comprender y definir el problema, prever actividades, predecir resultados… - Supervisión, control y regulación: el supervisor consiste en comprobar que el proceso de ejecución se está llevando a cabo correctamente. El controlador implica darse cuenta si se lleva a cabo el plan trazado.

El regulador consiste en ajustar todos los elementos en el proceso. - Evaluar o contrastar los resultados con las estrategias, objetivos y metas. 5.ESTRATEGIAS DE INTERVENCIÓN EDUCATIVA. El RD 1513/2006 señala que los contenidos asociados a la resolución de problemas son la principal aportación que desde esta área se puede hacer a la autonomía e iniciativa personal. Se incluye como un objetivo del área “Elaborar y usar instrumentos y estrategias personales de cálculo mental y medida”. En la E.P tenemos que presentar a los alumnos como un cuerpo organizado porque ellos tienen que buscar, ensayar y caer en errores para que logren fundamentos matemáticos. El resolver problemas puede ayudarles en la vida cotidiana a valorar distintos puntos de vista, a confiar en las propias habilidades y también en la autoestima. Los problemas podemos sacarlos de situaciones que parten de la realidad del alumno y de relaciones imaginarias atractivas. Propondremos problemas abiertos con dificultades. Los problemas estarán formulados en términos fáciles, excluyendo enunciados sexistas y no solo usaremos vocabulario matemático si no también expresiones usuales supuestamente sencillas. 6.CONCLUSIÓN. El resolver problemas tenemos que entenderlo como la esencia del pensamiento y el saber matemático debe inspirar todos los conocimientos que vayamos construyendo en la E.P. La resolución de problemas fomenta la autonomía e iniciativa personal, promueve búsquedas que fomentan lecturas comprensivas.

Bibliografía  M.E.C: “Diseño curricular base de la E.P”.  NÁPOLES: “Aventuras, venturas y desventuras de la resolución de problemas en la escuela”.  ALONSO: “Motivación y aprendizaje en el aula”.