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TEMA 21 LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. DIFERENTES CLASES Y MÉTODOS DE RESOLUCIÓN. PLANIFICACIÓN, GESTION DE LOS RECURSOS, REPRESENTACIÓN, INTERPRETACIÓN Y VALORACIÓN DE LOS RESULTADOS. ESTRATEGIAS DE INTERVENCIÓN EDUCATIVA. INDICE 1. Introducción 2. La resolución de problemas 3. Diferentes clases y métodos de resolución 3.1. Clasificación de problemas 3.2. Métodos de resolución de problemas 4. Planificación, gestión de los recursos, representación, interpretación y valoración de los resultados 4.1. Planificación y gestión de los recursos 4.2. Representación, interpretación y valoración de los resultados 5. Estrategias de intervención educativa 5.1. Primer ciclo 5.2. Segundo ciclo 5.3. Tercer ciclo 6. Conclusión 7. Bibliografía 8. Referencias Legislativas

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1. INTRODUCCIÓN El área de Matemáticas se orienta hacia el desarrollo de las capacidades y habilidades instrumentales que perfeccionen y aumenten las posibilidades de conocimiento de los alumnos. Las Matemáticas han de desempeñar un papel formativo básico de capacidades intelectuales, un papel aplicado, funcional, a los problemas y situaciones de la vida diaria y un papel instrumental en cuanto a conocimientos en otras materias. Tanto el Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Primaria, como el Decreto 56/2007, de 10 de mayo, por el que se establece el currículo de la Educación Primaria para la Comunidad Autónoma de Cantabria, destacan la importancia de la resolución de problemas, ya que es un contenido actitudinal que implica la capacidad de los alumnos para detectar problemas, deseo y gusto por la resolución y debe ser el eje en torno al cual han de girar los contenidos del área de matemáticas. Gracias a este tipo de actividades, el alumnado adquiere formas de pensar, hábitos de constancia y curiosidad y seguridad en situaciones de aprendizaje relacionadas con la vida diaria.

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2. LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Antes de profundizar en la resolución de problemas, vamos a detenernos en aclarar conceptos muy relacionados: 

Problemas:

en

matemáticas,

este

concepto

abarca

muchas

definiciones. Lester lo define como, "una situación que un individuo o un grupo quiere o necesita resolver y para la cual no dispone de un camino rápido y directo que le lleve a la solución". En definitiva, es una situación en la que se pretende alcanzar una meta cuya consecución está bloqueada, ya sea por falta de recursos, de información…Implica una pregunta o situación que no se puede resolver usando los conocimientos disponibles. Para su resolución existen muchas posibilidades y debemos pensar cuál es la más correcta, sencilla, rápida y útil. 

Ejercicios: son actividades de entrenamiento y aplicación mecánica que no implican una actividad intensa de pensamiento para su resolución. Generalmente tienen una sola solución. No debemos abusar de su realización, sino que debemos seleccionar aquellos que nos resultan más útiles para evaluar el grado de comprensión de los conceptos matemáticos por parte de los alumnos, ya que pueden provocar aburrimiento y desmotivación.

Debemos ser conscientes de que la enseñanza de las matemáticas debe capacitar al alumno para:  Construir nuevos conocimientos a través de la resolución de problemas.  Resolver problemas que surjan de las matemáticas y otros contextos.  Aplicar y adaptar estrategias apropiadas para resolver problemas.  Controlar el proceso de resolución de problemas, reflexionar sobre él.

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3. DIFERENTES CLASES Y MÉTODOS DE RESOLUCIÓN 3.1. Clasificación de problemas En Educación Primaria se trabajan problemas aritméticos verbales (a través de un texto escrito o de una narración oral). Dichos problemas presentan datos en forma de cantidades entre los que se establecen relaciones de tipo cuantitativo. Para su resolución se necesitan operaciones aritméticas. Los distintos problemas que vamos a trabajar en Educación Primaria podemos clasificarlos en función de distintos criterios: 1. En función de la operación a realizar: 

Problemas aditivos/sustractivos: Se resuelven mediante una suma o una resta. Carpenter y Monser distinguen 4 categorías: 

De cambio: una cantidad inicial es sometida a una acción que la modifica y puede resolverse juntando o separando objetos. (Eje: tengo 12 cromos y mi hermano me da 20, ¿Cuántos cromos tengo en total?)



De combinación: expresan la relación existente entre un conjunto y dos subconjuntos distintos (Ej.: un niño tiene 48 canicas en la maleta y 29 en el bolsillo del pantalón. ¿Cuántas canicas tiene en total?).



De comparación: implican la comparación de dos conjuntos distintos y disjuntos. Puesto que uno de los dos es comparado con el otro, podemos referirnos a ellos como el conjunto comparado y el conjunto referente. El tercer dato es la diferencia. En estos problemas una de las tres cantidades es la desconocida (Ej.: María tiene 21 años y mi amiga Marta tiene 4 años más que ella. ¿Cuántos años tiene Marta?)



Igualación: es la mezcla entre un problema de comparación y un problema de cambio (Ej.: Felipe tiene 68 canicas, Jorge tiene 34 y Ana tiene tantos como Felipe y Jorge juntos. ¿Cuántas canicas tiene Ana?)

Las estrategias que usan los alumnos para resolver este tipo de problemas son: la modelación directa con los objetos o con los dedos, conteo de secuencias o estrategias de contar y hechos numéricos.

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 Problemas

de

multiplicación/división:

Se

resuelven

con

una

multiplicación o división. Peled y Nesher los clasifican en problemas de: 

Razón: en los que hay una proporción simple y directa entre las cantidades. Se resuelve con una división. Conocemos el dividendo y el divisor, hay que hallar el cociente. (ej.: Un edificio tiene 9 pisos. En cada piso viven 12 personas. ¿Cuántas personas viven en el edificio?)



Comparar: trabajamos con dos colecciones, en la que la mayor contiene un número exacto de veces a la menor. (Ej.: Ana tiene 36 cromos, Manolo tiene el doble que Ana y David tiene el triple que Manolo. ¿Cuántos cromos tienen Manolo y David?)



Producto cartesiano: hay una composición de dos colecciones. Será de multiplicar si las conocemos y de dividir si conocemos solo una de las colecciones y la final (Ej.: Julia tiene tres pantalones y dos blusas. ¿Cuántos días se puede vestir de diferente manera?)

2. En función de los datos del problema (Pozo):  Los problemas bien definidos: problemas con datos completos formulados en diferentes sistemas: oral, escrito, de imágenes…  Los problemas mal definidos: El punto de partida o las normas que estipulan los pasos a seguir no están claros. Es posible encontrar distintas soluciones, todas ellas válidas.  Problemas con los datos incompletos: donde los alumnos deben determinar qué datos son los que faltan y cómo se pueden obtener.  Problemas con datos que no son necesarios para su resolución: Los alumnos deben seleccionar los datos que se dan y plantear el problema sólo con los necesarios.  Problemas de razonamiento lógico: son aquellos en los que los alumnos no deben operar, solo razonar (Ej.: si A es B y B es C, A es igual a C)

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3.2. Métodos de resolución de problemas 

El método de George Polya: su enseñanza se centraba en el proceso de descubrimiento. La resolución de problemas requiere una actividad mental que empieza cuando nos llega un problema y lo asumimos como un reto, y no termina hasta que solucionamos el problema. Para que los alumnos aprendan a resolver problemas, debemos explicitar los procesos de pensamiento que tienen lugar y ofrecerles situaciones para que puedan ejercitarse en los procesos mentales que conlleva la resolución de problemas. Fases del método:  Fase 1. Comprensión del problema: Implica entender el texto y la situación que nos presenta el problema, diferenciar la información y comprender qué debe hacer.  Fase 2. Configurar un plan: Es la parte fundamental del proceso de resolución de problemas. Una vez comprendido el problema y teniendo clara la meta, es el momento de planificar las acciones. Es necesario abordar cuestiones como para qué sirven los datos, qué puede calcularse, qué operaciones utilizar y en qué orden se debe proceder. Escribir cada paso ayuda a controlar el proceso de resolución.  Fase 3. Ejecutar el plan: Puesta en práctica de cada uno de los pasos diseñados en la planificación, se aplican todas las estrategias y se efectúan los distintos razonamientos y el cálculo.  Fase 4. Mirar hacia atrás o vista retrospectiva: Una vez resuelto se vuelve al enunciado y se verifica que se ha respondido a todas las preguntas, también se reflexiona sobre los pasos seguidos y la solución. Realizar una revisión del proceso seguido, para analizar si es o no correcto el modo como se ha llevado a cabo la resolución. La finalidad de la Resolución de

problemas es

aprender durante el desarrollo del proceso.

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

El método de Manson, Burton y Stacey: tres fases:

 La fase del abordaje: puede resumirse en la frase: ¡Lee atentamente el problema!, la cual pretende dar respuesta a tres preguntas: ¿Qué es lo que sé?, ¿Qué es lo que quiero?, ¿Qué puedo usar?  La fase del ataque: consiste en hacer conjeturas, afirmaciones razonables que no han sido demostradas y justificarlas. Intervienen tres etapas: buscar el porqué, buscar una estructura y el convencimiento.  La fase de la revisión: hay que mirar atrás y revisar el trabajo hecho. Comprobando, reflexionando y generalizando las estrategias en otros problemas. 4. PLANIFICACIÓN, GESTIÓN DE LOS RECURSOS, REPRESENTACIÓN, INTERPRETACIÓN Y VALORACIÓN DE LOS RESULTADOS Las matemáticas que se trabajan en la Educación Primaria son, habitualmente, de aprendizaje de procedimientos o de aplicación de conceptos y operatoria, puesto que nuestros alumnos aún están desarrollando los procesos mentales propios del pensamiento lógico. Tenemos que dotar a nuestros alumnos de los conceptos, procedimientos y estrategias necesarias. Es importante enseñarles: gráficos y diagramas para manejar la información y relaciones, a ser sistemáticos y exhaustivos en su trabajo, estrategias generales de resolución… Hay que enseñarles a planificar bien su trabajo. 4.1. Planificación y gestión de los recursos La planificación constituye una ayuda tanto para la comprensión del problema como para la búsqueda de diferentes caminos para alcanzar la solución. La eficacia de la planificación es directamente proporcional al éxito en la resolución de problemas. En esta etapa es importante prestar atención a: 

La comprensión: atendiendo a la edad del alumnado de Primaria, hay que poner atención al desarrollo de estrategias que faciliten la escucha y lectura analítica dirigidas a facilitar la comprensión de la situación planteada en el

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problema: decir lo mismo, pero de otra forma, separar datos e incógnitas, deducir qué se puede calcular a partir de los datos conocidos… 

Lectura analítica: Lectura profunda del texto para diferenciar sus partes y distinguir las relaciones entre ellas. El fin es comprender el problema.

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Reformulación: lectura y análisis profundo del texto, su análisis tiene como finalidad que el alumno pueda elaborar una representación de todo el sistema de relaciones, es un nuevo proceso de síntesis.

4.2. Representación, interpretación y valoración de los resultados Debemos de ofrecer continuamente a nuestros alumnos las herramientas de representación que necesitan: figuras, diagramas, tablas, listados…. No basta con exponerlas; es importantísimo enseñarles a utilizarlas. Podemos servirnos de distintas formas y estrategias para representar problemas: mediante objetos que los simbolizan o mediante esquemas gráficos como los siguientes: 

Lineales: cuando en el enunciado aparece una sola información.



Tabulaciones: utilizados cuando en el enunciado aparecen varias informaciones. Normalmente se utiliza una tabla.



Ramificación: para problemas de combinaciones y en los multiplicativos.



Conjuntistas: cuando la información se refiere a características de los elementos de un conjunto, generando la formación de nuevos conjuntos.

Una vez resueltos los problemas, debemos acostumbrar a nuestros alumnos a analizar la solución, para ello hay que realizar varias pruebas y cotejar los resultados. Comprobar los resultados es otra técnica que nos garantiza que el procedimiento empleado y los cálculos realizados son correctos. Esto se hace de varias formas: realizando operaciones inversas, realizando el problema por otro camino, realizando el problema del revés, es decir, partiendo del resultado que nos ha dado, etc.

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5. INTERVENCIÓN EDUCATIVA A través de la resolución de problemas, los alumnos pueden experimentar la utilidad de las matemáticas. Los procesos de resolución de problemas son un eje principal del área y deben ser por lo tanto fuente y soporte de su aprendizaje. El alumnado se puede encontrar con alguna de las siguientes dificultades a la hora de resolver un problema matemático:  Falta de comprensión en el enunciado del problema.  Dificultad para reconocer la estrategia que se va a seguir.  Dificultad para captar el orden en que hay que realizar las operaciones.  No suelen plantearse si la solución es o no correcta. Para resolver problemas se requieren no sólo conocimientos del área de matemáticas, sino la utilización de muchas de las capacidades básicas: leer, comprender, reflexionar, establecer un plan de trabajo (modificarlo si es necesario) y comunicar resultados. Antes de aprender a resolver problemas, los alumnos deben adquirir formas de pensar, hábitos de perseverancia, curiosidad y confianza. Como maestros, debemos estimular al alumno con un entorno y peguntas que incorporen entusiasmo, reto o ilusión en la búsqueda de la solución. Debe ser una ayuda opcional ante posibles bloqueos o dificultades consistentes, reflexionando con los alumnos mediante preguntas, situaciones similares, etc. Debemos trabajar la autoestima de los alumnos reforzando en todo momento la valoración de los logros intermedios, valorando el uso de distintas estrategias, el aprendizaje a través de los errores, la revisión del problema… Y debemos seleccionar bien los problemas y enunciados cuidando que el grado de dificultad sea adecuado para el alumno y que éste tenga posibilidades de éxito. A continuación veremos cuál es el papel del maestro en este proceso según el RD 1315/2006, de 7 de diciembre, en los diferentes ciclos:

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5.1. Primer Ciclo El primer ciclo de Educación Primaria es el que posee las diferencias más tangibles entre los dos cursos que lo forman. En este primer ciclo se debe hacer especial hincapié en los problemas aritméticos simples aditivo-sustractivos, es decir, aquellos que se resuelven con una sola operación: suma o resta. Además, debemos iniciar a los alumnos en la resolución de problemas muy sencillos de razonamiento lógico, en los que es necesario insistir en la comprensión del enunciado o situación planteada. Se realizarán actividades para practicar la escucha analítica y así desarrollar la capacidad lógica y la expresión oral a través de giros lingüísticos. 

Primer curso: en primero los alumnos están aprendiendo a decodificar y, por tanto, se están iniciando en el desarrollo de la capacidad de comprensión lectora a través de textos escritos. Sobre todo al comienzo, se trabajará de manera intensiva a nivel oral y en gran grupo, resolviendo las actividades conjuntamente, alumnos y maestro. Las sesiones no deben ser muy largas.



Segundo curso: se centrará más en lo que es propiamente reconocimiento y aplicación de las diferentes fases del proceso. Se dará más importancia al trabajo por parejas, aunque se den también situaciones en las que la actividad se plantee en y para el gran grupo.

5.2. Segundo Ciclo En este ciclo, las diferencias en el desarrollo intelectual de los alumnos no son tan acusadas, si bien aún es necesario seguir trabajando en esa línea, la enseñanza se centrará más en la práctica e interiorización del proceso de resolución de problemas. A lo largo de este ciclo, el alumno debe familiarizarse con la identificación de situaciones de la vida cotidiana que se resuelven a través de multiplicaciones y/o divisiones.

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Los problemas de razonamiento lógico y los de azar o probabilidad que fueron iniciados en primer ciclo seguiremos tratándolos también en este. Introduciremos como novedad los problemas aritméticos combinados. Son aquellos que conllevan la realización de dos o más operaciones. Siempre que se inicie una tipología de problema diferente es recomendable el modelado por parte del maestro para explicitar el razonamiento interno, así como los pasos seguidos para llevar a cabo su resolución. Al final de este ciclo se introducen los problemas de recuento sistemático. En este ciclo es muy importante insistir en la planificación. Se debe pedir al alumno que exprese por escrito cada uno de los pasos a seguir. 5.2. Tercer Ciclo Al comenzar el tercer curso, convendría que se hiciera alguna sesión, o al menos parte de ella, en gran grupo para repasar lo trabajado anteriormente. En este ciclo serán más capaces de expresarse matemáticamente en sus razonamientos y habrán construido su propio juicio para la valoración del resultado obtenido al final del proceso. Debemos continuar con problemas combinados de las cuatro operaciones que fueron iniciados al término del ciclo anterior e introducir o iniciarles en problemas aritméticos y problemas de inducción-generalización. Los problemas o cuestiones de azar y probabilidad se vienen trabajando también desde cursos anteriores. En este tipo de actividades es imposible predecir con certeza el resultado, por ello se trata de hacer conjeturas, defenderlas o justificarlas. Conviene entrenar al alumno para que cuente con recursos en el momento de enfrentarse a estas situaciones. Respecto al agrupamiento, al igual que en los cursos anteriores, en aquellas tipologías que puedan presentar especial dificultad, el número de actividades a abordar en gran grupo será mayor, ya que no debe olvidarse que la función del maestro es acompañar a los alumnos en su proceso de aprendizaje.

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En este ciclo sigue teniendo especial importancia la planificación. Los problemas aritméticos que se sugieren necesitan de unos pasos intermedios que deben aplicarse para llegar a la solución final. A medida que avanza el ciclo, en una misma sesión, se deben intercalar problemas de diferentes tipologías.

6. CONCLUSIÓN El R.D. 1513/2006, de 7 de diciembre, y el Decreto 56/2007, de 10 de mayo, por el que se establece el currículo de la Educación Primaria para la Comunidad Autónoma de Cantabria nos recuerdan que “los procesos de resolución de problemas constituyen uno de los ejes principales de la actividad matemática y deben ser fuente y soporte principal del aprendizaje matemático a lo largo de la etapa”. La LOE, reconoce como objetivo de la etapa de primara, la necesidad de: “Desarrollar la competencia matemática básica e iniciarse en la resolución de problemas que requieran la realización de operaciones elementales de cálculo, conocimientos geométricos y estimaciones, así como ser capaces de aplicarlos a situaciones de la vida cotidiana”. Como hemos visto a lo largo del tema, la resolución de problemas en el ámbito matemático no sólo incorpora conocimientos y contenidos propios de las matemáticas, sino una gran cantidad de habilidades necesarias para el desarrollo personal y para afrontar problemas de la vida cotidiana. Por ello, como maestros, debemos llevar a cabo una intervención educativa y una serie de orientaciones metodológicas que ofrezcan a nuestros alumnos las técnicas y estrategias necesarias para enfrentarse con éxito a la resolución de problemas, ya sea en el propio contexto matemático como en otros.

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7. BIBLIOGRAFIA

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POLYA, G: "Cómo plantear y resolver problemas"

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STACEY: “Resolver problemas: estrategias.”

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MASON, BURTON Y STACEY: “Pensar matemáticamente”

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POZO: “La solución de problemas”.

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VILA: “Matemáticas para aprender a pensar.”

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BERMEJO: “Cómo enseñar matemáticas para aprender mejor”.

8. REFERENCIAS LEGISLATIVAS 

LEY ORGANICA 2/2006, de 3 de mayo, de Educación.

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R.D. 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria.

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Decreto 56/2007, de 10 de mayo, por el que se establece el currículo de la Educación Primaria para la Comunidad Autónoma de Cantabria.

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Ley de Cantabria 6/2008, de 26 de diciembre, de Educación

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