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• Miguel Ángel

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TEMA II

FUNCIONES LOGICAS

FUNCIONES LOGIGAS DEFINICION

FUNCIONES BASICAS

Son aquellas funciones que interrelacionan las variables binarias de un circuito o sistema digital mediante los operadores lógicos, suma (+), multiplicación(*) y negación (-).

a)

Funciones directas  Función OR ó Suma lógica f(A,B,C) = A+B+C

 Función AND ó producto lógico f(A,B,C)=A*B*C =ABC b)

Donde A, B y C son variables binarias, vale decir que pueden tomar uno de los estados binarios 1 ó 0

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Funciones Lógicas complemento o inversa 

Función NOT ó Inversa lógica



Función NOR



Función NAND

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ALGEBRA DE BOOLE • Definición

k

Es un sistema matemático que permite operar y manipular las variables binarias de una función lógica. • Teoremas de 1 variable OR

AND

𝑋+0=𝑋

𝑋∗0=0

𝑋+1=1

𝑋∗1=𝑋

𝑋+𝑋 =𝑋

𝑋∗𝑋 =𝑋

𝑋+𝑋=1

𝑋∗𝑋 =0

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FORMAS CANONICAS

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FORMAS NO CANONICAS DEFINICION: Son aquellas funciones cuyos términos NO contienen todas las variables de la función. Ejemplos

a)

Suma de productos

b)

Producto de sumas

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FORMAS NUMERICAS DE LAS FUNCIONES LOGICAS Las funciones lógicas pueden ser expresadas en su forma numérica, utilizando el valor posicional 2n de cada una de la variables. Así:

Ejemplos:  Para suma de productos

A= 20 = 1; B= 21 = 2;

Ejercicio

C= 22 = 4; D= 23 = 8

Si: Z4 = con términos canónicos completos

E= 24 = 16; Etc

=> Z = numérico ?

Las variables invertidas, toman el valor numérico de 0

 Para productos de sumas

a) Cuando la función contiene términos canónicos

Ejercicio

El valor numérico de los términos canónicos, se obtiene sumando el valor numérico de las variables literales

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Si: Z canónico completo, expresar Z numéricamente

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FORMAS NUMERICAS DE LAS FUNCIONES LOGICAS b)

Cuando la función contiene términos NO canónicos

En este caso, se suman los valores numéricos de las variables directas, y entre paréntesis se colocan el valor de las variables directas faltantes No se consideran las variables invertidas

 Z = 1(2)(8) + 5(8) + 8(1)(2)(4) Ahora, convirtiendo a términos canónicos: 1(2)(8) = 1, 3, 9, 11 5(8) = 5, 13 8(1)(2)(4) = 8, 9, 10, 12, 11, 13, 14, 15

Ejemplo 1

Nota: El numero de elementos por cada termino numérico es:

Si: Z= AB + C => Z= 3(4) + 4(1)(2)

n° elementos = 2k , k=n° de paréntesis

Ahora, esta función puede ser llevada a suma de productos canónicos, mediante sumas sucesivas entre los valores numéricos:

Luego, Z expresado en suma de productos canónicos, será:

3(4) = 3, 7 4(1)(2) = 4, 5, 6, 7  Z3 =W (3, 4, 5, 6, 7) -> canónico Ejemplo 2: Si Z= A𝐶+A𝐵𝐶 + 𝐷, convertir Z en suma de productos canónicos Circuitos Lógicos y Secuenc

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 Z4 = W(1,3,5,8,9,10,11,12,13,14,15) Expresar una función en suma de productos canónicos es IMPORTANTE, por que es requerido para el proceso de simplificación de funciones

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SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LOGIGAS b.

METODO DE LOS MAPAS DE KARNAUGH •

Es un método sistemático y gráfico.

•

Requiere que la función lógica esté expresada en forma canónica

•

Este método utiliza diferentes formatos de acuerdo al numero de variables que tenga la función

a)

Formatos para 2 variables

PROCESO DE SIMPLIFICACION 1.

Colocar altos en los casilleros que correspondan a los términos canónicos de la función

2.

Agrupar los altos en el siguiente orden:

Casilleros adyacentes Dos casilleros son adyacentes, cuando al multiplicar las variables de columnas x filas, difieran solo en una variable. Así: Adyacentes horizontales: 0-2 y 1-3

Formatos para 3 y 4 variables

3.

a) Octetos b) Cuartetos c) Pares d) Individuales En cada grupo anular las variables iguales complementadas y no complementadas

Adyacentes verticales: 0-1 y 2-3 Circuitos Lógicos y Secuenc

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SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LOGIGAS Ejemplo 1: Simplificar la función: Z= ABC+AB(AC)

Ejemplo 2: Simplificar : Z=W(0,1,3,5,8,9,10,11,12,15)

Llevando a la forma canónica, la función de 3 variables:

Ubicando ALTOS en los casilleros correspondientes y agrupando términos adyacentes:

Z=ABC+ABC+ABC Aplicando Mapas de Karnaugh:

Se tiene: 3 grupo de 4 altos Y 3 grupos de 2 pares, de donde:

Se tiene 2 grupos de pares adyacentes:

1er cuarteto: CD

1er par: ABD

2do cuarteto: AC

2do par: ABD

3er cuarteto: BC

3er par: ABD

Luego: Circuitos Lógicos y Secuenc

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METODOS NUMERICOS METODO DE MC KLUSKLEY

Tabla N° 2: Diferencias

Es un método sistemático que utiliza diferentes tablas: altos, diferencias, hasta llegar a una tabla de implicantes primos y reducida, de donde se obtiene las funciones simplificadas de acuerdo al cubrimiento de variables.

Se forman pares a partir de la tabla N° 1, restando los elementos de cada fila con el subsiguiente. Diferencias

Ejemplo: Simplificar la función F=Σ(1,3,5,10,11,12,13,14,15) Tabla N° 1: Altos Se organizan los elementos de la función de acuerdo al número de altos: ALTOS

ELEMENTOS

1

1

2

3,5,10,12

3

11,13,14

4

15

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2 4 8 8 1 4 1 2

Elementos pares 1-3 1-5 3-11 5-13 10-11 v 10-14 v 12-13 v 12-14 v

4 2 1

11-15 v 13-15 v 14-15 v

Pares seleccionados

Diferencias

10-11; 14-15 12-13; 14-15 12-14;13-15

1,4 1,2 2,1

Tabla N° 3

Tabla N° 3: Implicantes primos De la tabla 2, Seleccionar los pares con diferencias de igual valor y cuya diferencia de sus primeros elementos sean potencias de 2 Dr. Basilio Salas A.

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METODOS NUMERICOS 1

3

1-3

x

x

1-5

x

TABLA N° 4: Tabla general • •

Colocar en la 1ª fila todos los elementos de la función En la columna de la izquierda colocar los pares no seleccionados de la tabla 2, y los implicantes primos de la tabla 3.

•

Marcar con x aquellos casilleros que contengan los elementos de la función.

•

Los implicantes primos de la tabla 3, forman parte de la solución, por tanto aquellos casilleros marcados con x en sus filas correspondientes involucran a los elementos de sus columnas (10, 11, 12, …15).

•

Se observa que los casilleros de las filas correspondientes a los implicantes primos y las columnas de 1, 3, y 5 no están marcados, entonces esta sección forman la tabla nº 5 reducida

5

10

11

13

14

15

x

x

x

x

x x

3-11

12

x x

5-13

x x

10-11; 14-15

x

x

12-14; 13-15

x

Tabla N° 4 1

3

1-3

x

x

1-5

x

3-11

5 x

x

5-13

x

Tabla N° 5 reducida De tabla reducida: F= (10-11; 14-15) + (12-14; 13-15) + (1-3) + (1-5)

F= 10(1)(4)+12(2)(1)+1(2)+1(4) ഥ𝑫 ഥ + 𝑨𝑩 ഥ𝑫 ഥ 𝑭 = 𝑩𝑫 + 𝑪𝑫 + 𝑨𝑪

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METODOS NUMERICOS METODO B.SALAS Es un método sistemático ideado por el Ing. Basilio Salas A. basado en los principios del método numérico, pero que modifica y simplifica su procedimiento El formato que utiliza es una tabla de altos y diferencias, dividida en filas de los altos y de las diferencias de (2n).

Este método, requiere que la función este expresada en valores numéricos.

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Procedimiento a) Ubicar los altos en los casilleros de la fila de altos y realizar la diferencia entre ellos b)

Si la diferencias tiene valor de 2n , colocar esa diferencia en los casilleros de las filas que correspondan a (2n ).

c)

Realizar la diferencias de altos en cada fila de las diferencias, y poner entre paréntesis el resultado si este es valor de 2n

d)

Realizar diferencias entre altos con el mismo valor entre paréntesis en cada fila de las diferencias. Si el resultado tiene valor de 2n , poner nuevamente entre paréntesis

e)

Repetir (f) hasta agotar todas las posibilidades

f)

Construir el cuadro de implicados empezando por los términos con mayor numero de paréntesis y encontrar los términos implicados

g)

Finalmente, obtener la función simplificada

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METODOS NUMERICOS Ejemplo 1: Reducir la función F=Σ(1,3,5,10,11,12,13,14,15), por el método BSA. a) Tabla de altos y diferencias:

b) Tabla resultante de implicados:

F = 10(4)(1)+12(2)(1)+1(3)+1(4) ഥ𝑫 ഥ + 𝑨𝑩 ഥ𝑫 ഥ 𝑭 = 𝑪𝑫 + 𝑩𝑫 + 𝑨𝑪 Circuitos Lógicos y Secuenc

Ejemplo 2 Simplificar F=Σ(0,1,3,5. 8, 9,10,11,12,15). a) Tabla de altos y diferencias

b) Tabla resultante de implicados

F= 0(8)(1)+8(2)(1)+1(8)(2)+11(4)+1(4)+12 Dr. Basilio Salas A.

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IMPLEMENTACION DE LOS CIRCUITOS LOGICOS Las funciones lógicas son implementadas mediante circuitos digitales, con la finalidad de conseguir una respuesta lógica frente al estimulo (entradas) de variables lógicas o binarias, a fin de que el circuito cumpla tareas especificas. La implementación circuital se realiza utilizando unidades digitales básicas denominadas COMPUERTAS LOGICAS.

IMPLEMENTACION DE CIRCUITOS LOGICOS COMPUERTAS LOGICAS Son unidades fundamentales de los circuitos digitales y/o sistemas digitales, compuestos por diodos, transistores, condensadores, resistencias, etc, que trabajan como circuito integrado denominado como CHIP.

b) Compuerta AND Implementan la función lógica AND Z= ABC..

COMPUERTAS BASICAS Unidades digitales, que implementan circuitalmente las Funciones Lógicas Básicas. a) Compuertas OR

c) Compuerta NOR Implementa la función inversa ó negada del OR; conocida como N-OR ó NOR

Implementa la función lógica OR

Z= A+B+C+…

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IMPLEMENTACION DE CIRCUITOS LOGICOS d) Compuerta NAND Implementa la función inversa ó negada del AND, conocida como N-AND ó NAND:

COMPUERTAS EXCLUSIVAS Son aquellas que implementan funciones lógicas exclusivas, y que se obtienen de la conexión de algunas compuertas básicas. f) Compuertas EX-OR Circuito de implementación:

e) Compuerta NOT Implementa la función negada o inversa de una variable binaria

Función simbolizada EX-OR: Circuitos Lógicos y Secuenc

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IMPLEMENTACION DE CIRCUITOS LOGICOS g. Compuerta EX-NOR Circuito de implementación:

•

Compuertas básicas en circuitos integrados conocidos como CHIP

Función simbolizada EX-NOR:

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CIRCUITO LOGICO COMBINATORIO DEFINICION Es un circuito con un conjunto de entradas y salidas binarias , y que resulta de la conexión de compuertas básicas (OR, AND, NOR, NOT, etc.),. La respuesta de estos circuitos depende de la combinación binaria de sus entradas del momento.

Ejemplo 1: Implementar la función

Todos los circuitos combinatorios pueden ser implementados a partir de una función lógica. Son utilizados, en el diseño de circuitos de control y mando, de equipos y máquinas, en calculadoras, computadoras, etc.

Ejemplo 2: Implementar Z=Σ(0,1,3,5) Ejemplo 3: Implementar la función lógica:

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DISEÑO DE CIRCUITOS LOGICOS COMBINATORIOS •

Tabla de verdad:

d) Simplificar la función lógica

•

Función lógica:

e) Implementar el circuito digital

•

Implementando el circuito:

•

Es un EX-OR:

PROCESO DE DISEÑO a) Comprender el problema y su necesidad b) Plantear la tabla de verdad c) Obtener la función lógica a partir de los minterminos

Ejemplo 1: Diseñar el circuito digital para el control conmutado de una lámpara. •

Circuito lógico:

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DISEÑO DE CIRCUITOS LOGICOS COMBINATORIOS Ejemplo 2 Diseñar el circuito de control de 2 chapas eléctricas, mediante un circuito digital, que produzca la apertura de la chapa 1 mediante el código 65 en octal y la chapa 2 mediante el código 34 octal •

Esquema funcional:

•

Tabla de verdad:

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•

Z1 =chapa 1 ; Z2 = chapa 2

•

Función lógica

•

Implementando el circuito digital:

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DISEÑO DE CIRCUITOS LOGICOS COMBINATORIOS Ejemplo 3 Se desea controlar el nivel del agua de 4 tanques de una planta de tratamiento. Los sensores de cada tanque, deben producir un ALTO cuando el nivel del agua hayan descendido por debajo del 50 % de su capacidad.

•

Tabla de verdad

•

Función lógica:

Diseñar un circuito de control que indique cuando el nivel del agua haya descendido por debajo de lo especificado en 2 ó más tanques. Esquema funcional:

Z=W(3,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15)

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COMPUERTAS UNIVERSALES DEFINICION Las compuertas NAND y NOR, pueden reemplazar a las compuertas básicas mediante conexionados equivalentes, permitiendo implementar las funciones lógicas con un solo tipo de compuerta ya sea NAND O NOR.

Ejemplo 1: Implementar la función lógica compuertas universales NAND a) Primera forma i. Implementando el circuito:

mediante

EQUIVALENTE NAND

ii.

Reemplazando las compuertas básicas por sus equivalentes NAND, iii. Simplificando las compuert NOT en cascada:

El equivalente con compuertas NAND, también puede ser encontrado mediante los teoremas de Boole, para lo que la función lógica debe estar expresado como SUMA DE PRODUCTOS .

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b)

Segunda forma

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COMPUERTAS UNIVERSALES Ejemplo 2 Expresar la función Z=A(B+CD)+BC, con compuertas NAND a) Por algebra de Boole:

ii.

Reemplazando por las NAND equivalentes

iii.

Simplificando las NOT en cascada

b) Por equivalentes NAND i. Implementando Z con compuertas básicas

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COMPUERTAS UNIVERSALES •

Ejemplo 1:

EQUIVALENTE NOR

Implementar la función lógica , mediante compuertas universales NOR a) Primera forma

•

El equivalente con compuertas NOR, también puede ser encontrado mediante los teoremas de Boole, para lo que la función lógica debe estar expresado como PRODUCTO DE SUMAS

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i.

Implementando el circuito:

ii.

Reemplazando las compuertas básicas por sus equivalentes NOR.

b) Por Boole:

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COMPUERTAS UNIVERSALES •

•

Implementar con compuertas NOR la función Compuertas básicas

•

Reemplazando por equivalente NOR

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•

Simplificando

•

Por Boole

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SIMBOLOGIA NORMALIZADA IEEE •

Simbología normalizada IEEE equivalente a las representación clásica

Ejemplo El circuito mostrado, expresar con compuertas lógicas con la simbología normalizada IEEE Utilizando simbología clásica:

Utilizando simbología IEEE

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SEGUNDA PRACTICA DIRIGIDA FUNCIONES Y CIRCUITOS LOGICOS

 Funciones lógicas  Circuitos lógicos básicos  Diseño de circuitos combinatorios.  Compuertas universales

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PRIMER LABORATORIO VIRTUAL

 Circuitos lógicos básicos  Circuitos combinatorios.  Compuertas universales

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CIRCUITOS COMBINATORIOS

HASTA LA PROXIMA

CHAU ! …

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