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TEMA 16. DISCUSION Y RESOLUCION DE ECUACIONES 1 LINEALES.TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. METODO DE GAUSS - JORDAN OPOSICIONES DE MATEMATICAS

TEMA 16 DISCUSIÓN Y RESOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. METODO DE GAUSS – JORDAN. INDICE SISTEMATICO 1. INTRODUCCION. 2. SISTEMAS DE ECUACIONESLINEALES. GENERALIDADES. 2.1 Definiciones. 2.2 Interpretación de un sistema lineal. Notaciones abreviadas. 3. SISTEMAS LINEALES Y APLICACIONES LINEALES. 4. SISTEMAS LINEALES CUADRADOS CON SOLUCION UNICA. 5. DISCUSION DE UN SISTEMA LINEAL GENERAL. TEOREMA DE ROUCHE 5.1 Rango o características de una matriz. 5.2 Teorema de Rouché. 5.3 Discusión y resolución del sistema lineal general. 5.4 Dimensión del subespacio de soluciones. 6. CASO PARTICULAR DE LOS SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS. 7. METODO DE GAUSS Y DE GAUSS – JORDAN 7.1Sistemas lineales equivalentes. Transformaciones elementales sobre un sistema. 7.2 Método de reducción de Gauss. 7.2.1 Caso de sistema lineal cuadrado con solución única. 7.2.2 Caso de sistema lineal general 7.3 Método de Gauss – Jordan. 8. ELIMINACION LINEAL DE PARAMETROS

1. INTRODUCCION Por todos es conocida la importancia que tienen los sistemas de ecuaciones lineales en la resolución de problemas, tanto en la matemática pura como en la aplicada. En este caso vamos a tratar de la resolución de sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas cada uno y con coeficientes en un cuerpo K (que habitualmente será 3, pero puede ser Q o C"). Elsa Puente Gutiérrez

TEMA 16. DISCUSION Y RESOLUCION DE ECUACIONES 2 LINEALES.TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. METODO DE GAUSS - JORDAN OPOSICIONES DE MATEMATICAS El teorema de Rouché-Fröbenius (también conocido bajo el nombre de Kronecker) nos da las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de solución. La Regla de Cramer nos permite obtener dicha solución de forma explícita, aunque a costa de realizar un gran número de operaciones. Describiremos por tanto, diferentes métodos numéricos que nos permitirán de forma directa obtener la solución exacta. La teoría de espacios vectoriales y de aplicaciones lineales nos va a permitir deducir resultados sobre el conjunto de las soluciones. 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. GENERALIDADES. 2.1 Definiciones. Una ecuación lineal (o ecuación algebraica de primer grado) con n incógnitas es en general una igualdad del tipo:

a1 x1 + a2 x 2 +a3 x3 + …+an x n=b Donde los términos en “a” son elementos de un grupo conmutativo K (que en adelante

supondremos que es R). Los elementos “a” se denominan coeficientes y el b termino independiente. Las letras “x” son las incógnitas. En el caso particular de que el término independiente es nulo (b = 0) la ecuación se denomina ecuación lineal homogénea. Un sistema lineal o sistema de ecuaciones lineales en general es un conjunto de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

Diremos que el sistema anterior es un sistema lineal m x n. Una solución del sistema lineal es cualquier n – upla (

∝ 1 , ∝ 2 , ∝ 3 , … , ∝n ¿



R

n

, que se solución de todas y cada

una de las ecuaciones. Resolver el sistema es determinar el conjunto de todas las soluciones. Atendiendo al conjunto S de sus soluciones un sistema lineal puede ser:

 

Incompatible: si no tiene solución (S = ). Compatible: si tiene solución (S  ). En este caso se probara que puede ocurrir, bien que el sistema tenga una solución única (determinado) o bien que tenga infinitas soluciones (indeterminado). Diremos que dos sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de incógnitas

son Equivalentes si toda solución del primero lo es del segundo, y al revés. También serán Elsa Puente Gutiérrez

TEMA 16. DISCUSION Y RESOLUCION DE ECUACIONES 3 LINEALES.TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. METODO DE GAUSS - JORDAN OPOSICIONES DE MATEMATICAS equivalentes si ambos carecen de soluciones. En la definición de sistemas equivalentes, en ningún momento se alude a que deban mantener el mismo número de ecuaciones. 2.2 Interpretación de un sistema lineal. Notaciones abreviadas. a) Si en el sistema anterior consideramos los vectores – columna de coeficientes y el vector – columna de términos independientes:

a1 j a c´ j = 2 j … amj

()

(i = 1, 2, 3… n)

b1 ´ b2 b= … bm

()

Dicho sistema puede expresarse en forma vectorial:

x 1 c´ 1 + x 2 c´ 2 +…+ x n ´c n=b´

Una solución del sistema es toda n-upla de escalares (

permita expresar el vector – columna

vectores - columna

∝1 , ∝ 2 , ∝3 , … , ∝n ¿

que

b´ , mediante combinación lineal de los

c´ 1 , c´ 2 , … , ´cn .

b) Si formamos una matriz m x n tomando las n columnas

c´ j .

tendremos la matriz de

coeficientes del sistema:

A=

(

a11 a11 a21 a22 … … a m 1 am1

… a1 n … a2 n … … … a mn

)

=

(aij )m·n

Tomando la matriz columna

columna de incógnitas

x1 ´x = x 2 … xn

()

b´

de los términos independientes y otra matriz

el sistema puede expresarse en forma matricial A

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TEMA 16. DISCUSION Y RESOLUCION DE ECUACIONES 4 LINEALES.TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. METODO DE GAUSS - JORDAN OPOSICIONES DE MATEMATICAS

´x = b´ a1 x1 + a2 x 2 +…+a n x n=bi , lleva como primer

c) .Cada una de las ecuaciones lineales Ei:

miembro la expresión de una forma lineal.fi:

base dual de la canónica de

x3,…, xn) de

R

n

R

n

entonces fi(

Rn R

cuyas coordenadas con respecto a la

son (a1, a2, a3,…, an). Si tomamos el vector

´x ¿=a 1 x 1+a 2 x 2+a 3 x 3+ …+anxn

tomando el homomorfismo como: f (

´x =(x1, x2,

y se puede poner

´x ¿=b´ .

3. SISTEMAS LINEALES Y APLICACIONES LINEALES El sistema homogéneo A ´x

=

0´

puede interpretarse como las ecuaciones

cartesianas del núcleo de la aplicación lineal inducida por la matriz. Es decir los vectores solución constituyen en Ker f, que es un subespacio vectorial de

Rn , lo cual significa:

a) Todo vector lineal homogéneo es compatible, pues al menos admite la solución trivial representada por el vector nulo

0´



R

n

. Es obvio porque todo subespacio

vectorial es no vacio, y por tanto Ker f  . Cuando f sea un homomorfismo entonces Ker fase reducirá al subespacio trivial { homogéneo será la trivial. b) Para cualesquiera dos soluciones

0´ }

´' ´ y xo xo

y la única solución del sistema

del sistema homogéneo, toda

combinación lineal de aquellas es también solución: En efecto:

{

´ 0´ A xo= ´ '=0´ A xo

´ xo ´ '¿  A ( xo+

´ =  A xo

´ +  A xo '

 R.

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=

0´ +  0´ = 0´ , , 

TEMA 16. DISCUSION Y RESOLUCION DE ECUACIONES 5 LINEALES.TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. METODO DE GAUSS - JORDAN OPOSICIONES DE MATEMATICAS

´' ´ y xo xo

En efecto, para cualquiera dos soluciones

diferencia es solución del sistema homogéneo asociado, pues A (

del sistema, el vector

´' ´ xo xo− )=

´ ´0 . b´ y b=

Resulta por tanto que el conjunto de todas las soluciones del sistema completo puede ponerse a partir de una solución particular del mismo, sumándole todas las soluciones del sistema homogéneo. Es decir, podamos poner:

f

−1

(

b xo ´ ¿= b´ ´¿ ¿= xo ´ + Ker f. donde f(

4. SISTEMAS LINEALES CUADRADOS CON SOLUCIONES UNICA Un sistema lineal con el mismo numero de ecuaciones que de incógnitas (o sea, un sistema lineal n · n, es un sistema lineal cuadrado. La matriz A de coeficientes es, en este caso, una matriz cuadrada. Si dicha matriz es regular (

| A|

 0) el sistema lineal se denomina de

Crámer). PROPOSICIONES  Toso sistema de Crámer es compatible determinado.  Si un sistema lineal cuadrado tiene solución única, entonces es un sistema de Crámer. 5. DISCUSION DE UN SISTEMA LINEAL GENERAL 5.1 Rango o características de una matriz. Dada una matriz A de dimensiones m x n, denominamos menor de orden H de dicha matriz al determinante de toda submatriz cuadrada que pueda extraerse de A tomando los elementos situados en h filas y h columnas. Decimos que el rango o características de la matriz A es r, y escribimos rg (A) = r, si se cumplen las dos condiciones siguientes:  

De A puede extraerse un menor de orden r no nulo. Son nulos todos los menores de A de orden superior a r.  Es suficiente con que sean nulos todos los menores de orden r + 1, para 

que lo sea cualquier menor de orden superior a r. Si rg (A) = r, un menor de orden r no nulo se denomina menor principal (Mr  0).

PROPOSICION El rango de una matriz A coincide con el numero de sus columnas (o filas) linealmente independientes. 5.2 Teorema de Rouché. Elsa Puente Gutiérrez

TEMA 16. DISCUSION Y RESOLUCION DE ECUACIONES 6 LINEALES.TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. METODO DE GAUSS - JORDAN OPOSICIONES DE MATEMATICAS Dado un sistema de ecuaciones lineales A

´x =

b´ , llamaremos matriz ampliada a

se

obtiene de añadir la matriz columna

b´

matriz A como (n + 1)-

ésima columna. Se representa por (A

b´ ).

la

matriz

que

S = (A

a la

b´ ) =

TEOREMA: La condición necesaria y suficiente para que un sistema lineal general sea compatible es que la matriz de coeficientes y la matriz ampliada tengan igual rango. S compatible ⇔ rg (A) = rg (B). Además, será compatible determinado si rang (A) = n e indeterminado en caso contrario. 5.3 Discusión y resolución del sistema lineal general Si rg (A)  rg (B)el sistema no tendría solución. Si es rg (A) = rg (B) = r, en la matriz B hay también a lo sumo r filas linealmente independientes, que corresponderán a las r ecuaciones principales del sistema (supongamos que sean las r primeras tras reordenar las ecuaciones del sistema). Las n – r ecuaciones restantes son superfluas al ser combinaciones lineales de aquellas r primeras. El sistema reducido a sus ecuaciones imprescindibles quedara simplificado al sistema equivalente:

S’ 

{

a 11 x 1+a 12 x 2+…+ a 1nxn=b 1 a 21 x 1+ a 22 x 2+ …+a 2 nxn=b 2 …… …… ar 1 x 1+ ar 2 x 2+ …+arnxn=br

Puede ocurrir: a) R =n En este caso el sistema seria cuadrad y además la matriz de coeficientes tendría como determinante el menor principal Mr  0, por consiguiente seria un sistema de Cramer , que como sabemos es compatible determinado. b) R < n En este caso nos quedan menos ecuaciones que incógnitas. Eligiendo como incógnitas principales las correspondientes a las r columnas de las que se ha extraído Mr (habíamos supuesto que eran las r primeras), las demás n- r incógnitas no principales las podemos pasar al segundo miembro delas ecuaciones. Este sistema vuelve a ser cuadrado y con determinante de los coeficientes Mr ≠ 0, por lo cual proporciona una solución del sistema S para cada

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TEMA 16. DISCUSION Y RESOLUCION DE ECUACIONES 7 LINEALES.TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. METODO DE GAUSS - JORDAN OPOSICIONES DE MATEMATICAS velor arbitrario de las incógnitas no principales, que se toman como parámetros para expresar la solución general del sistema. En este caso dicha solución general vendrá dada por unas ecuaciones paramétricas en las que figuraran n – r parámetros. Al dar a estos valores arbitrarios obtenemos las infinitas soluciones del sistema. Decimos entonces que el sistema indeterminado tiene n – r grados de libertad. Nótese que no puede ser r > n, obviamente, pues el rango de A no puede superar el numero de columnas de A, que es n. Nos queda el cuadro general:

Discusión

{

rg ( A ) ≠ rg ( B ) S incompatible rg ( A ) =rg ( B ) r =n S compatible determinado r< n S compatible indeterminado

{

5.4 Dimensión del subespacio de soluciones.

En virtud de los teoremas de isomorfía, se tiene

dim

R

n

Rn Ker f

 Im f, y de aquí:

= dim (Ker f) + dim (Im f)  dim (Ker f) = n – r.

El conjunto de soluciones de sistema completo, como vimos, una variedad afin cuyo espacio lineal subyacente es Ker f. Por lo tanto la dimensión afín del espacio de soluciones es también n – r. En el caso particular de que el sistema sea compatible y r= n, el conjunto de soluciones se reduce a una variedad afín de dimensión 0, es decir, a un punto. La solución es entonces única. 6. CASO PARTICULAR DE LOS SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS. La discusión se reduce a dos casos: c) rg (A) = r = n = nº de incógnitas  sistema compatible determinado (única solución, la trivial), ya vimos antes que en este caso, el núcleo de la aplicación lineal inducida por la matriz A se reduce a Ker f = {

0´ } pues seria dim (Ker f) = n – r = 0.

d) rg (A) = r < n = nº de incógnitas  sistema compatible indeterminado con n – r grados de libertad (infinitas soluciones no triviales). En este caso dim (Ker f) > 0. En particular si el sistema lineal homogéneo es cuadrado, el caso b) anterior ocurrirá cuando la matriz de coeficientes A sea singular. Es decir si se cumple la siguiente proposición: Elsa Puente Gutiérrez

TEMA 16. DISCUSION Y RESOLUCION DE ECUACIONES 8 LINEALES.TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. METODO DE GAUSS - JORDAN OPOSICIONES DE MATEMATICAS “La condición necesaria y suficiente para que un sistema lineal homogéneo n · n tenga solución

| A|

no trivial es que 7.

= 0”.

METODOS DE GAUSS Y DE GAUSS – JORDAN. 7.1 Sistemas lineales equivalentes. Transformaciones elementales sobre un sistema Dos sistemas lineales son equivalentes si ambos tienen el mismo conjunto de

soluciones, es decir, toda solución del primero es solución del segundo y viceversa. Es evidente que dos sistemas lineales equivalentes han de tener el mismo numero de incógnitas, aunque no necesariamente el mismo numero de ecuaciones. Llamaremos transformaciones elementales sobre las ecuaciones de un sistema lineal a las operaciones que pueden realizarse con esas ecuaciones y que dan como resultado un sistema equivalente al de partida. Una ecuación lineal del tipo a1x1 + a2x2 + a3x3 + anxn = b se asociara aun vector (a1, a2, a3…an, b) de

R

n+1

, y convendremos denotarla por:

E = (a1, a2, a3,…, an b) De esta manera la idea de combinación lineal de vectores se traslada fácilmente al de combinación lineal de ecuaciones. PROPOSICION: “Dadas K ecuaciones lineales Ej = (a1j, a2j,…, anj  bj) en las incógnitas x1, x2,…, xn, cualquier n-upla (∝1, ∝2, ∝3,…, ∝n) que sea solución de todas ellas, es también solución de toda ecuación lineal E obtenida como combinación lineal de las Ej”. Se tienen también como consecuencias inmediatas: 1.

Si se multiplica alguna ecuación del sistema por un número no nulo el sistema que

resulta es equivalente. 2. Si se suprime (o añade) una ecuación que es combinación lineal de las restantes ecuaciones, el sistema obtenido el equivalente al primero. 3. I se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumarle una combinación lineal de las restantes ecuaciones, obtendremos un sistema equivalente al de partida. 7.2 Método de reducción de Gauss

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TEMA 16. DISCUSION Y RESOLUCION DE ECUACIONES 9 LINEALES.TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. METODO DE GAUSS - JORDAN OPOSICIONES DE MATEMATICAS 7.2.1 Caso de sistema lineal cuadrado con solución única Un método importante para resolver un sistema lineal n x n que tenga solución única es el método de Gauss de reducción en cascada o de triangulación. El sistema esta completamente determinado por la matriz ampliada o partida:

E1 E1 … En

b´ ¿=¿

(A 

El método consiste en aplicar transformaciones elementales a las filas (ecuaciones) a saber:  

Intercambio de filas. Cambio de escala de una fila: multiplicar cualquier vector fila de la matriz por una



constante no nula. Pivotación: reemplazar cualquier vector fila de la matriz por la suma de si mimo con un múltiplo de un vector fila diferente. En cada paso el sistema obtenido es equivalente al anterior. 7.2.2 Caso de sistema lineal general El método de Gauss sirve también para discutir y resolver sistemas lineales generales

que no tengan necesariamente el mismo número de filas que de columnas. En este caso la matriz partida: (A 

b´ ¿=¿

Se reduce ala forma escalonada por filas:

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TEMA 16. DISCUSION Y RESOLUCION DE ECUACIONES 10 LINEALES.TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. METODO DE GAUSS - JORDAN OPOSICIONES DE MATEMATICAS

u 11 ¿ u 12 … u 1n c 1 0 u 21 … u 2n c 2 0 0 … ¿… ¿ 0 ¿ … ( ¿¿ …¿ ) 

Todas las filas que tienen solo ceros aparecen debajo de filas con registros distintos de



cero. El primer registro de la primera fila es distinto de cero. Después de la primera fila, un primer registro distinto de cero de cualquier fila aparece en una columna a la derecha del primer registro distinto de cero de la fila anterior. Al llegar a la forma escalonada puede ocurrir:



Aparece una fila en la matriz partida con todos los registros ceros a la izquierda dela



partición y el elemento de la derecha distinto de cero.(sistema incompatible). Una vez eliminadas la filas de ceros que nos van saliendo en la matriz partida, por corresponder a ecuaciones superfluas 0x1 +0x2 + 0x3+…+0xn = 0, nos queda el mismo



numero de ecuaciones que de incógnitas. (sistema compatible determinado. Si haciendo lo mismo que en b) se llega aun sistema escalonado pero con menos ecuaciones que de incógnitas , hay que tomar como parámetros o variables libres, y pasar al segundo miembro, tantas incógnitas como sean necesarias para que el sistema pueda ser resuelto por sustitución regresiva. (compatible indeterminado). 7.3 Método de Gauss – Jordan El método de Gauss- Jordan es un avance del método de Gauss, que tiene como

objetivo, evitar la sustitución regresiva. Se usan las transformaciones elementales para reducir la parte izquierda de la matriz partida a la forma diagonal con todos los pivotes 1, es decir, a la matriz identidad. El sistema reducido equivalente queda de la forma (I  esto es siempre posible), de donde la solución es directamente

c´

) (en caso de solución única

´x = c´ .

La técnica consiste en ejecutar el método de Gauss hasta llegar a la forma triangular superior, pero haciendo cada pivote 1 mediante una operación de cambio de escala, y usar el pivote para crear ceros arriba y debajo de el en esa columna. 8. ELIMINACION LINEAL DE PARAMETROS Elsa Puente Gutiérrez

TEMA 16. DISCUSION Y RESOLUCION DE ECUACIONES 11 LINEALES.TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. METODO DE GAUSS - JORDAN OPOSICIONES DE MATEMATICAS

Nos planteamos un problema reciproco al de la resolución de un sistema lineal compatible indeterminado. Esto es un conjunto de ecuaciones paramétricas del tipo:

{

x 1=c 1+ K 11 t 1+ K 12 t 2+…+ K 1 ptp x 2=c 2+ K 21t 1+ K 22 t 2++ K 2 ptp … .. xn=cn+ Kn1 t 1+ Kn 2t 2+ ….+ Knptp

Buscamos un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas x1, x2,…, xn cuyo conjunto de soluciones sea el conjunto de las infinitas n – uplas obtenidas en el conjunto anterior al dar valores arbitrarios a los parametrost1, t2,…, tp, Tomando vectores – columna;

() () ( )

x1 ´x = x 2 … xn

c1 ´ c2 ; c= … cn

Kij K2j : Kj ¿ … Knj

Las ecuaciones anteriores pueden ponerse en forma vectorial:

K´ 2

´ +…+ tn Kn , denotamos por M =

vectores 

K´ 1, K´ 2 , …,

( Kij)nxp

´x

=

c´

+ t1

K´ 1

+ t2

la matriz cuyas columnas son los

´ Kn ,

Si esos vectores son linealmente independientes o sea rg (M) = p entonces dos

´x distintos. ´ Kn K´ 1, K´ 2 ,

sistemas de valores distintos para t1, t2,…, tn , determinan vectores 

Si por el contrario rg(M) = r < p, entonces de los p vectores

…,

,,

podemos quedarnos con r de ellos linealmente independientes y prescindir de loa p – r restantes. TEOREMA: “Si rg (M) = r < n, entonces los parámetros de las ecuaciones (*) pueden ser eliminados y su eliminación da lugar a n – r ecuaciones lineales en las incógnitas x1, x2,…, xn”.

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