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Técnicas numéricas en ingeniería de fluidos Introducción a la dinámica de fluidos computacional (CFD) por el método de volúmenes finitos

Jesús Manuel Fernández Oro Profesor Titular de la Universidad de Oviedo Departamento de Energía – Área de Mecánica de Fluidos

Barcelona · Bogotá · Buenos Aires · Caracas · México

Técnicas numéricas en ingeniería de fluidos. Introducción a la dinámica de fluidos computacional (CFD) por el método de volúmenes finitos

Copyright © Jesús Manuel Fernández Oro

Edición en e-book: © Editorial Reverté. S.A., 2012 ISBN: 978-84-291-9277-3 Edición en papel: © Editorial Reverté. S.A., 2012 ISBN: 978-84-291-2602-0

Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Tel: (34) 93 419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89 [email protected] www.reverte.com Reservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, queda rigurosamente prohibida sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes.

Para Ana, Daniel y Ángela

ÍNDICE DE CONTENIDOS PRÓLOGO

XIII

AGRADECIMIENTOS NOMENCLATURA

XVII

XIX

1. INTRODUCCIÓN AL CFD 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

¿Qué es el CFD? 3 Reseña histórica sobre el CFD 3 Campos de aplicación 12 Ventajas e inconvenientes 15 Desarrollo y empleo de códigos: usuario frente a programador 1.5.1 Códigos CFD: secuencia y estructura 17 1.5.2 Códigos CFD: estrategias a seguir 20

1.6 Objetivos de este libro 23 1.7 Estructura del libro 24

2. ALGUNAS IDEAS FUNDAMENTALES

27

2.1 CFD: estrategia de utilización 29 2.2 Discretización espacial: sistema algebraico de ecuaciones 30 2.2.1 Método de diferencias finitas 30 2.2.2 Método de elementos finitos 31 2.2.3 Método de volúmenes finitos 32

16

viii

Índice de contenidos

2.3 Solución del sistema algebraico de ecuaciones 33 2.3.1 Aplicación de condiciones de contorno 34 2.3.2 Dependencia de la malla 35

2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

El problema de la no linealidad de las ecuaciones 36 Método iterativo de resolución 38 Criterio de convergencia para la solución iterativa 40 Estabilidad numérica 42 Precisión, consistencia, estabilidad y convergencia 44 El problema del cierre turbulento 46

3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE CONSERVACIÓN 51 3.1 Ecuación general de conservación 53 3.2 Ecuaciones de gobierno para el flujo y la transferencia de calor 57 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4

Ecuación de conservación de masa 57 Ecuación de conservación de momento 58 Ecuación de conservación de la energía 58 Ecuación de conservación de las especies 59

3.3 Forma integral de la ecuación general 60 3.4 Ecuaciones simplificadas para la resolución del flujo: técnicas numéricas 61 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4

Flujo potencial y flujo ideal 62 Flujo incompresible en la capa límite Flujo viscoso incompresible 64 Flujo compresible 65

63

3.5 Clasificación matemática de las ecuaciones en derivadas parciales 3.5.1 Consideraciones físicas 66 3.5.2 Consideraciones matemáticas 67 3.5.3 Clasificación para las ecuaciones de flujo

71

3.6 Condiciones iniciales y de contorno 72

4. MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS (MVF) 75 4.1 Conceptos generales 77 4.2 Características y tipos de mallado

78

4.2.1 Mallados estructurados 80 4.2.2 Mallados no estructurados 83 4.2.3 Calidad de la malla y buenas prácticas

85

4.3 Discretización numérica por el método de volúmenes finitos 4.3.1 Definiciones generales de la metodología numérica 86 4.3.2 Fundamentos del método de volúmenes finitos 88

4.4 Implementación del método de volúmenes finitos 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4

Mallados decalados 91 Discretización del término temporal 94 Discretización del término fuente 94 Discretización del término difusivo 94

91

86

65

Índice de contenidos

4.4.5 Discretización del término convectivo 95 4.4.6 Ecuación algebraica por volúmenes finitos 97

4.5 Métodos de discretización espacial 98 4.6 Métodos de discretización temporal 100

5. MVF EN PROBLEMAS DIFUSIVOS PUROS 103 5.1 Difusión 1-D estacionaria

105

5.1.1 Discretización 105 5.1.2 Discusión 107

5.2 Difusión 2-D estacionaria

107

5.2.1 Discretización 107 5.2.2 Discusión 109

5.3 Implementación de condiciones de contorno

110

5.3.1 Condición de contorno de Dirichlet (valor) 111 5.3.2 Condición de contorno de Neumann (flujo) 112 5.3.3 Condición de contorno de Robin (mixta) 113

5.4 Difusión 2-D no estacionaria

114

5.4.1 Esquema explícito 116 5.4.2 Esquema implícito 117 5.4.3 Esquema Crank-Nicholson

5.5 5.6 5.7 5.8

118

Difusión 2-D en coordenadas cilíndricas 119 Difusión 2-D en dominios axisimétricos 121 Difusión 3-D no estacionaria 123 Consideraciones adicionales 125 5.8.1 5.8.2 5.8.3 5.8.4 5.8.5

Interpolación del coeficiente de difusión 125 Linealización del término fuente 126 Subrelajación 127 Análisis de estabilidad de Von Neumann 129 Discretización en mallados no estructurados 132

6. MVF EN PROBLEMAS DIFUSIVOS-CONVECTIVOS 137 6.1 Difusión-convección 1-D estacionaria 6.2 Difusión-convección 2-D estacionaria

139 142

6.2.1 Esquema en diferencias centradas (CDS) 142 6.2.2 Esquema upwind 144 6.2.3 Generalización a mallas no estructuradas 145

6.3 Esquemas de primer orden con soluciones exactas 6.3.1 Esquema exponencial 147 6.3.2 Esquema híbrido 149 6.3.3 Esquema potencial 150

6.4 Esquemas de orden superior 6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.4.4

151

Difusión y dispersión numéricas 151 Esquemas de segundo orden 153 Esquemas de tercer orden 154 Generalización a mallas no estructuradas 156

147

ix

x

Índice de contenidos

6.5 Difusión-convección no estacionaria

158

6.5.1 Formulación general 158 6.5.2 Condición de Courant para esquemas explícitos 159 6.5.3 Caso particular: difusión-convección no estacionaria 3-D con esquema híbrido y discretización implícita 162 6.5.4 Extensión no estacionaria a otros esquemas de primer orden 162

6.6 Condiciones de contorno

164

6.6.1 Condiciones de entrada 164 6.6.2 Condiciones de salida 165 6.6.3 Condiciones geométricas 166

7. RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE FLUJO 167 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Introducción 169 Mallado decalado 171 Discretización de la ecuación de momento 173 Discretización de la ecuación de continuidad 177 Algoritmo SIMPLE de resolución 177 7.5.1 Ecuación de corrección para la presión 7.5.2 Subrelajación 181 7.5.3 Algoritmo completo 184

180

7.6 Otros algoritmos de acoplamiento presión-velocidad 7.6.1 Algoritmo SIMPLER 186 7.6.2 Algoritmo SIMPLEC 190 7.6.3 Algoritmo PISO 191

7.7 Conclusiones y reflexiones finales

194

8. CONDICIONES DE CONTORNO Y TÉRMINOS FUENTE 197 8.1 Introducción 199 8.2 Linealización 200 8.2.1 Especificación de valores 201 8.2.2 Especificación de flujos 202

8.3 Condiciones de contorno típicas 8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.3.4 8.3.5 8.3.6

202

Condición de flujo entrante 202 Condición de flujo saliente 204 Contornos sólidos 206 Condición de perfil de presión constante Condición de simetría 212 Condiciones periódicas y cíclicas 212

8.4 Otras fuentes 214 8.5 Reflexiones finales y conclusiones

211

214

9. MÉTODOS ITERATIVOS DE RESOLUCIÓN 219 9.1 Introducción

221

9.1.1 Métodos iterativos frente a métodos directos 9.1.2 Almacenamiento de variables 223

222

186

Índice de contenidos

9.2 Algoritmo para matrices tridiagonales (TDMA)

227

9.2.1 Método punto-a-punto (TDMA 1-D) 227 9.2.2 Método línea-a-línea (TDMA 2-D) 228 9.2.3 Método plano-a-plano (TDMA 3-D) 230

9.3 Métodos iterativos Jacobi y Gauss-Seidel 9.3.1 Métodos iterativos generales 232 9.3.2 Convergencia de los métodos iterativos 9.3.3 Análisis de los métodos iterativos 238

9.4 Métodos multigrid 9.4.1 9.4.2 9.4.3 9.4.4

231 234

239

Corrección mediante malla basta 240 Multigrid geométrico (GMG) 241 Multigrid algebraico (AMG) 244 Estrategias cíclicas 246

9.5 Reflexiones finales y conclusiones

248

10. MODELIZACIÓN DE LA TURBULENCIA 251 10.1 ¿Qué es la turbulencia?

253

10.1.1 La naturaleza de la turbulencia 253 10.1.2 La ubicuidad de la turbulencia 256 10.1.3 El origen de la turbulencia: inestabilidades

256

10.2 Escalas de la turbulencia: la cascada de energía 10.3 El problema del cierre de la turbulencia 264 10.4 Aproximaciones numéricas para el tratamiento de la turbulencia 265

259

10.4.1 Simulaciones directas (DNS) 265 10.4.2 Promediados de las ecuaciones (técnicas LES y modelos RANS)

10.5 Large Eddy Simulation (LES)

268

270

10.5.1 Filtrado espacial. Tipos de filtro 271 10.5.2 Tratamiento de las subescalas de malla 279 10.5.3 El problema de la pared: técnicas híbridas 280

10.6 Modelos de turbulencia para las ecuaciones RANS 10.6.1 10.6.2 10.6.3 10.6.4 10.6.5

284

Filtrado temporal. Propiedades 284 Modelo de longitud de mezcla de 0 ecuaciones 289 Modelos de viscosidad artificial (Eddy Viscosity Models, EVM) 291 Modelos de transporte para las tensiones de Reynolds (RSM) 299 El problema de la pared: tratamiento de la capa límite 304

10.7 Estrategias y buenas prácticas para la utilización de los modelos de turbulencia 307

11. APLICACIÓN DEL CFD A FLUJOS INDUSTRIALES (I-CFD) 311 11.1 Introducción 313 11.2 Transferencia de calor

313

11.2.1 Introducción 314 11.2.2 Convección natural. Fenómenos de flotabilidad 11.2.3 Radiación 319

315

xi

xii

Índice de contenidos

11.3 Flujos multiespecie

322

11.3.1 Transporte sin reacción química 323 11.3.2 Transporte con reacción química 325 11.3.3 Combustión 330

11.4 Flujos multifásicos 11.4.1 11.4.2 11.4.3 11.4.4 11.4.5

336

Elección del modelo multifase apropiado 338 Modelo de fase dispersa (DPM) 340 Modelo euleriano 341 Modelo de mezcla 344 Modelo de volumen de fluido (VOF) 347

11.5 Modelos de solidificación 352 11.6 Transporte de escalares como trazadores 353 11.7 Modelización del flujo en máquinas de fluidos 356 11.7.1 11.7.2 11.7.3 11.7.4

Flujo no estacionario en máquinas de fluidos: mallas dinámicas Flujo en máquinas volumétricas: mallados deformables 357 Flujo en turbomáquinas: mallados deslizantes 360 Ejemplos de análisis del flujo en turbomáquinas 364

11.8 Reflexiones finales y conclusiones

REFERENCIAS 371 ÍNDICE ALFABÉTICO 379

370

356

PRÓLOGO Las técnicas numéricas en Ingeniería han experimentado un gran desarrollo en las últimas décadas y, en particular, la Mecánica de Fluidos ha sido una de las disciplinas científicas donde este auge ha tenido una mayor repercusión. Para el estudio de las ecuaciones generales de comportamiento de los flujos se han desarrollado diversas técnicas y aproximaciones, siendo el Método de los Volúmenes Finitos (MVF) el más utilizado hoy día gracias a su flexibilidad y particular adecuación para describir ecuaciones de conservación. En este libro, se presentan las bases de este método como herramienta para el estudio computacional de la Mecánica de Fluidos. Se aborda el desarrollo de esta metodología mostrando cómo se implementan y se resuelven las ecuaciones de conservación (masa, momento, energía y especies) desde los casos más sencillos y simplificados hasta su formulación más general. Finalmente, se complementa el método con la inclusión de modelos de turbulencia y de otros modelos de propósito industrial que permiten extender la simulación de los flujos al ámbito de la Ingeniería de Fluidos. Aunque las obras publicadas en castellano sobre esta disciplina son escasas, sí existe una amplia bibliografía en inglés dedicada a esta temática. Sin embargo, la mayoría de esas referencias son textos avanzados, muy específicos, que no han sido concebidos como una breve introducción a las técnicas numéricas sino más bien como vastos tratados en la materia. A pesar de ello, sí que hay un reducido número de textos en inglés que abordan estas técnicas desde un punto de vista más aplicado, centrándose en lo esencial y ofreciendo una mejor didáctica. Cabe citar específicamente en este prólogo dos contribuciones que han inspirado al autor para desarrollar su trabajo, y que destacan por lo acertada de su estructura

xiv

Prólogo

y por la claridad expositiva de sus contenidos. Se trata del texto de los profesores H.K. Versteeg y W. Malalasekera, “An Introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method” (Ed. Pearson, 2007, 2º edición), y de las notas de los profesores S. Mathur y J. Y. Murthy, “The Finite Volume Method, class notes for Numerical Methods in Heat, Mass and Momentum Transfer” (2001-2011), en los que se ha basado la estructura adoptada aquí y de los cuales se han considerado un buen número de contenidos y de figuras, adaptándolos al contexto de esta obra. En particular, del primero se han adaptado parcialmente contenidos de los temas dedicados a los algoritmos de resolución de las ecuaciones de flujo y a la definición de las condiciones de contorno (capítulos 7 y 8), mientras que del segundo se han recogido los contenidos relacionados con las discretizaciones difusivas y convectivas para mallas no estructuradas (capítulos 5 y 6), así como los conceptos básicos de los métodos iterativos de resolución (capítulo 9). Además de acudir a estas referencias básicas, se han adaptado contenidos de otra serie de fuentes para equilibrar los temas abordados aquí y poder presentar una obra lo más completa y adecuada posible. Así, para elaborar un tema inicial sobre ideas fundamentales acerca del CFD, se adaptó diverso material on-line de los profesores R. Bhaskaran y L. Collins, expertos en la docencia sobre simulación numérica para la Ingeniería. Del mismo modo, para la descripción general del Método de Volúmenes Finitos se han adaptado algunas notas del profesor C. Hirsch, basadas en su libro "Numerical Computation of Internal and External Flows. The Fundamentals of Computational Fluid Dynamics" (Ed. Elsevier-Butterworth-Heinemann, 2007). Análogamente, para la descripción de las técnicas LES y DNS en el capítulo sobre modelización de la turbulencia, se ha acudido a los apuntes del profesor U. Piomelli, resultado de varias de sus ponencias en el Von Kárman Institute for Fluid Dynamics (Bélgica). Finalmente, para el repaso de los distintos modelos de turbulencia disponibles en los softwares comerciales, así como de otros modelos de carácter industrial (multifase y multiespecie) se ha utilizado la ayuda al usuario del programa ANSYS® FLUENT®. Como podrá comprobar el lector, en cada capítulo se ha añadido una breve reseña donde se indica la bibliografía de referencia consultada para la elaboración de cada tema del libro. El texto se compone de once capítulos que proporcionan una visión global y muy detallada, no sólo de las bases del método, sino también de las posibles aplicaciones industriales. En particular, el texto ha sido desarrollado con vocación de dar respuesta a las necesidades de modelización que aparecen en los diversos ámbitos de la Ingeniería. De esta forma, se han incluido temas específicos que analizan las implicaciones prácticas del método, así como otros que contemplan modelos específicamente desarrollados para procesos industriales tan comunes como son los flujos de calor y masa en hornos, coladas continuas, motores y turbi-

Prólogo

nas, sistemas de ventilación y precipitadores o reactores de mezcla. Los temas desarrollados son: c

Capítulo 1. Introducción al CFD.

c

Capítulo 2. Algunas ideas fundamentales.

c

Capítulo 3. Ecuaciones diferenciales de conservación.

c

Capítulo 4. Método de Volúmenes Finitos (MVF).

c

Capítulo 5. MVF en problemas difusivos puros.

c

Capítulo 6. MVF en problemas difusivos-convectivos.

c

Capítulo 7. Resolución de las ecuaciones de flujo.

c

Capítulo 8. Condiciones de contorno y términos fuente.

c

Capítulo 9. Métodos iterativos de resolución.

c

Capítulo 10. Modelización de la turbulencia.

c

Capítulo 11. Aplicación del CFD a flujos industriales (I-CFD).

En el desarrollo del texto se ha tratado de mantener un enfoque práctico, orientando a aquellos lectores que buscan comprender los puntos clave de cualquier simulación numérica. Se ha prestado especial atención en mostrar las ideas básicas relacionadas con las aplicaciones en la Ingeniería de Fluidos pensando en quienes realizan modelizaciones CFD con software comercial, con el objetivo de que puedan desarrollar toda la potencialidad de este tipo de herramientas. Además, se ha buscado una exposición pedagógica de las bases y aplicaciones del método, tratando de evitar planteamientos excesivamente formales y académicos. Todos los temas han sido estructurados de forma homogénea, intentando que fuesen equilibrados en extensión y contenidos. Sin embargo, dada la particular importancia de la modelización de la turbulencia, se ha hecho una revisión muy concisa de los distintos enfoques que existen en la literatura en cuanto al tratamiento específico de flujos turbulentos. Además, se ha introducido un capítulo con ideas fundamentales acerca de todo el proceso de modelización, que ha de ser de especial utilidad como punto de partida para entender el alcance de las técnicas CFD. Finalmente, para aquellos lectores interesados en profundizar en algún aspecto concreto, se proporciona una bibliografía complementaria especializada donde pueden ampliar sus conocimientos. Esta publicación resume toda la experiencia acumulada por el autor durante la última década en la simulación de flujos industriales, período en el que además ha firmado ya una veintena de artículos de investigación en diversas revistas internacionales de reconocido prestigio, entre las que cabe destacar el “IMechE Journal of

xv

xvi

Prólogo

Power and Energy”, el “International Journal for Numerical Methods in Fluids”, el “ASME Journal of Fluids Engineering”, el “Internacional Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow”, o el “Journal of Turbulence”. Además, esta amplia experiencia y conocimiento en la simulación de flujos industriales es actualmente desarrollada por el autor en la asignatura sobre Técnicas Numéricas de Ingeniería Térmica y de Fluidos del nuevo Máster de Investigación en Ingeniería Energética de la Universidad de Oviedo de acuerdo con los nuevos programas de doctorado en el marco del Espacio Europeo de Educación Superior. Finalmente, es preciso destacar que el ambicioso objetivo de este libro no es simplemente el de proporcionar una visión integral de las técnicas CFD para que el lector las comprenda y sepa qué ofrecen los paquetes comerciales, tanto desde el punto de vista del usuario como del programador avanzado; también se ha perseguido dotar de las herramientas y metodologías necesarias para que pueda adquirir los conocimientos y habilidades suficientes que le permitan desarrollar sus propios códigos. Jesús Manuel Fernández Oro

AGRADECIMIENTOS Quiero expresar mi agradecimiento a todos mis compañeros del Área de Mecánica de Fluidos de la Universidad de Oviedo por su apoyo y colaboración en mi trayectoria docente e investigadora durante estos últimos años. Ellos han contribuido, con su ambiente de trabajo, la sensibilidad por las cosas bien hechas y el espíritu crítico, a que esta publicación haya podido ver la luz. En especial, quiero citar al Profesor Rafael Ballesteros, con quien me inicié en el uso de las técnicas CFD y cuyos enfoques impregnan muchas partes de este libro, y al Profesor Eduardo Blanco, por sus acertadas intuiciones e innumerables enseñanzas sobre modelización numérica. También quiero agradecer a la propia Universidad de Oviedo, como institución, todos los medios y posibilidades que brinda a sus profesores e investigadores, entre los que me incluyo, para desarrollar las diversas actividades docentes e investigadoras. Mi reconocimiento es también para todos los organismos y empresas financiadoras, tanto públicos como privados, que han participado en el desarrollo de muchas de las investigaciones que se recogen en este libro. Todos ellos, al apostar por el desarrollo y la innovación, y por entender la necesidad de investigar en el ámbito de la Ingeniería, me han permitido adquirir los conocimientos suficientes para llevar a cabo una obra de estas características. Respecto a los contenidos del libro, el autor quiere agradecer expresamente a la profesora Jayathi Y. Murthy y al profesor Sanjay Mathur, de la Purdue University (Indiana, EEUU), por su colaboración y permiso para adaptar parte de algunos capítulos de sus notas de clase para este volumen en castellano. También quiere agradecer a los profesores Rajesh Bhaskaran y Lance Collins, así como al "Swanson Engineering Simulation Program" de la Cornell University en Ithaca (New York, EEUU) dedicado a la integración de la simulación por CFD en el ámbito de la educación en Ingeniería, por permitir adaptar diversos contenidos de su página web

xviii Agradecimientos para la elaboración del capítulo 2 de este libro. Y, finalmente, reconocer a los profesores Charles Hirsch, de la Universidad Libre de Bruselas, y Ugo Piomelli, actualmente en la Queen's University (Ontario, Canadá), por ver con buenos ojos la adaptación hecha aquí al castellano de diversos materiales suyos, recopilados de entre sus conferencias y publicaciones más relevantes. En lo personal, no puedo olvidar el apoyo de toda mi familia durante estos últimos años, muy intensos de trabajo y repletos de sacrificios. En especial, a mis padres, por confiar siempre en mí, y por supuesto, a mi esposa Ana, por su paciencia y ánimo durante la preparación de esta obra. Por último, quiero agradecer al personal de Editorial Reverté su confianza, desde el principio, en esta publicación y el tiempo y esfuerzo dedicado para mejorar el contenido de la misma. A todos ellos mi reconocimiento por su contribución para que este libro sea una realidad.

NOMENCLATURA Símbolos a A b B Br c c ′k , c ′k′

cp cξ C Cl C1, C1’ C2, C2’ Cb2 Cν1 C ε1 C ε2 Cμ Cf CS

Coeficiente de la ecuación algebraica de transporte. Área. Matriz de coeficientes. Factor pre-exponencial. Matriz de términos independientes. Término fuente. Número total de coeficientes. Término de flotabilidad. Número de Brinkman. Velocidad de onda. Constante de proporcionalidad modelo de mezcla. Constante estequiométrica de reactantes y reactivos. Calor específico a presión constante. Constante de escala turbulenta en reacciones químicas. Factor de curvatura (discretización QUICK). Constante de Kolmogorov. Constante del modelo RSM. Constante del modelo RSM. Constante del modelo RSM. Constante del modelo Spalart-Allmaras Constante del modelo Spalart-Allmaras Constante del modelo k-épsilon. Constante del modelo k-épsilon. Constante del modelo k-épsilon. Coeficiente de fricción. Constante del modelo Smagorinsky-Lilly. Constante en el término de difusión del modelo RMS.

xx

Nomenclatura

CP CD d, d dP D Di Dij DT,ij DL,ij DP e eij er eθ eξ eη

E f fν1 fβ , fβ∗

f F F , FV Ftg g, g G Gr Gk Gν h hcc H HL i I I, I J J J j

Término convectivo. Contante del modelo ASM. Distancia a la pared. Distancia a la pared en técnicas DES. Coeficiente de corrección de presión Intensidad de difusión. Matriz diagonal. Diámetro. Difusividad másica. Término de difusión en el modelo RMS. Término de difusión turbulenta en el modelo RMS. Término de difusión molecular en el modelo RMS. Término difusivo. Energía por unidad de masa. Gradiente de deformación. Vector unitario en la dirección radial. Vector unitario en la dirección tangencial. Vector unitario en la dirección intrínseca 1. Vector unitario en la dirección intrínseca 2. Energía. Constante de pared. Energía de activación. Factor de discretización temporal. Fracción de vapor. Función del modelo Spallart-Almaras. Funciones del modelo k-omega. Campo másico. Intensidad de convección. Función no lineal. Fuerza. Fuerza volumétrica. Fuerza de cizalladura en la pared. Aceleración gravitatoria. Función genérica. Matriz de iteración. Núcleo (kernel) de convolución. Número de Grashof. Producción de energía cinética turbulenta. Producción viscosidad turbulenta. Entalpía por unidad de masa. Coeficiente de película en condición de contorno. Entalpía. Poder calorífico. Calor latente de solidificación. Vector unitario en la dirección x. Nodo i-ésimo. Intensidad de radiación. Tensor identidad. Operador de refino. Determinante del jacobiano de la transformación. Nodo j-ésimo. Flujo. Vector unitario en la dirección y.

Nomenclatura

k k, kr k

Kb Kf l ℓ L Le m mi m M Mk Ma Mat n N n

O( ) p p( ) pv p Pij Pe Pr q q qcc qH Q Q r r R Rk Ra Re

Coeficiente de conductividad térmica. Energía cinética turbulenta. Energía cinética turbulenta residual. Vector unitario en la dirección z. Constate de deformación en reacción química. Constante de formación en reacción química. Nivel de refinado. Escala espacial característica. Longitud característica. Matriz inferior. Escala de longitud integral. Número de Lewis. Masa. Modo de Fourier. Fracción másica i-ésima. Caudal másico. Matriz de descomposición. Peso molecular de la especie k-ésima. Número de Mach. Número de Mach turbulento. Instante n-ésimo. Número de celda. Número de puntos. Matriz de descomposición. Vector normal a la superficie. Orden de truncamiento. Presión. Función de probabilidad. Presión de vapor. Presión promediada. Término de producción de tensiones de Reynolds en el modelo RMS. Número de Peclet. Número de Prandtl. Flujo de calor por unidad de masa. Vector flujo de calor por unidad de área. Flujo por condición de contorno. Calor intercambiado por un sistema por unidad de masa. Fuente volumétrica. Potencia calorífica. Coordenada radial. Matriz de residuos. Vector desplazamiento. Residuo. Tasa molar de Arrhenius. Número de Rayleigh. Número de Reynolds.

xxi

xxii

Nomenclatura

Rij Rc Re s'ij s s′ S Sc Stk Sij SC SP Sg t T TP Tu u u+ ur, uθ, uz u0 uˆ uτ U v v ,vg

vi V w w W x xj x y y+ Yν YM z

Tensiones de Reynolds algebraicas. Coeficiente de creación de burbujas (cavitación). Coeficiente de destrucción de burbujas (cavitación). Tensor fluctuante de deformaciones. Vector de dirección de radiación. Vector de dispersión de radiación. Término fuente. Superficie. Número de Schmidt. Número de Stokes. Tensor de deformaciones. Coeficiente independiente de linealización del término fuente. Coeficiente de linealización del término fuente. Gradiente secundario. Tiempo. Temperatura. Período. Término temporal. Intensidad de la turbulencia. Componente de la velocidad en la dirección x. Velocidad adimensional de pared. Vectores unitarios en coordenadas cilíndricas. Velocidad característica. Energía interna específica. Velocidad cortante en la pared. Módulo de la velocidad de un flujo uniforme. Cantidad escalar. Matriz superior. Componente de la velocidad en la dirección y. Módulo de velocidad. Vector velocidad. Velocidad de malla. Base de vectores. Volumen. Componente de la velocidad en la dirección z Velocidad relativa. Potencia. Coordenada cartesiana. Fracción molar de la especie j. Vector de posición. Coordenada cartesiana. Profundidad. Distancia adimensional a la pared. Destrucción de viscosidad turbulenta. Disipación por dilatación. Coordenada cartesiana. Cota geométrica.

Nomenclatura

Símbolos griegos α α∗ αm β

γ Γ Γt Δ δ δ δ∗ ε εijk ζ

θ θ η η’,η” ϑ

κ κc λm μ μt

ν ν νt

ξ ξ* π Π Πij Πij,r Πij,s

Difusividad térmica. Factor de subrelajación. Coeficiente de sustitución. Constante de Kolmogorov y del modelo k-omega. Fracción de volumen. Constante del modelo k-omega. Coeficiente de variación autoespacial. Amplitud de los modos de variación espaciales. Coeficiente de sustitución. Constante del modelo k-omega. Coeficiente de dilatación térmica. Exponente de temperatura. Fracción de líquido. Coeficiente de sustitución. Coeficiente de intercambio. Coeficiente de transporte. Difusividad turbulenta. Tamaño de celdas. Tamaño de filtro. Distancia entre centroides. Espesor de la capa límite. Espesor de desplazamiento de la capa límite. Tasa de disipación turbulenta. Error. Valor infinitesimal. Operador de signo. Coordenada intrínseca o curvilínea 3. Coordenada tangencial. Operador booleano. Coordenada intrínseca o curvilínea 2. Escala de Kolmogorov de longitud. Exponentes de las especies. Volumen. Escala característica de velocidad. Parámetro de discretización. Constante de pared de Von Karman. Número de onda. Filtro de corte. Modo de variación espacial. Viscosidad (dinámica). Viscosidad artificial (turbulenta). Viscosidad cinemática. Turbulencia viscosa modificada. Viscosidad cinemática turbulenta. Vorticidad. Coordenada intrínseca o curvilínea 1. Escala de longitud turbulenta en reacciones químicas. Pi. Tasa de transferencia de energía. Esfuerzos de presión en el modelo RSM. Reflejo sobre pared. Término rápido en los esfuerzos de presión en el modelo RSM. Término lento en los esfuerzos de presión en el modelo RSM.

xxiii

xxiv Nomenclatura Πij,w ρ σ σ σ σε σk σm σs σt σν

τ τ τij τpared

ϒ

φ Φ ΦL ψ χ ω Ω Ωij Ωk ωm

Término de reflexión de pared en los esfuerzos de presión en el modelo RSM. Densidad. Constante de Stefan-Boltzmann. Tensión superficial. Tensor de tensiones. Constante del modelo k-épsilon. Constante del modelo k-épsilon. Modo de variación temporal. Coeficiente de dispersión de radiación. Coeficiente de difusividad turbulenta. Constante del modelo Spallart-Almaras. Escala temporal de Kolmogorov. Tiempo de inestabilidad térmica. Tensor de tensiones viscosas. Tensiones de Reynolds. Tensiones de subescala SGS. Tensión cortante en la pared. Efecto de reacciones indirectas. Variable genérica. Función potencial de velocidad. Solución exacta de variable genérica. Función desfase Energía específica disipada. Función de corriente. Disipación molecular. Velocidad de Onda. Velocidad de giro. Volumen. Tensor vorticidad. Vector rotación. Autovector de variación espacial.

Operadores matemáticos ∝

Proporcional.

∫

Operador integral.

∇ ∂ Δ Σ d

Operador gradiente. Operador divergencia. Operador derivada parcial. Variación de una variable. Operador Laplaciana. Sumatorio. Operador derivada.

Operador estadístico. Promedio temporal.

Nomenclatura

Subíndices y superíndices b B comb cc ch c.v. dato des e externa E fase i in interna j k kk lam liq max min n N ox p pared pro P q r rad s S sim st t T

Abajo. Abajo. Combustible. Condición de contorno. Característico. Celdas vecinas. Valor conocido. Deslizamiento. Este, exterior. Subcapa límite exterior. Este. Fase. Punto o componente i-ésima. Inerte. Subcapa límite interior. Punto o componente j-ésima. Instante k-ésimo. Diagonal principal. Laminar. Líquido. Máximo. Mínimo. Dirección normal. Norte. Norte. Oxidante. Partícula. Valor en la pared. Producto. Presión. Fase q-ésima. Dirección radial. Radiación. Sur. Relación estequiométrica. Superficie. Sistema. Salida. Sur. Simulación. Estequiométrico. Total. Dirección tangencial. Arriba. Arriba.

xxv

xxvi Nomenclatura th tran turb vap V VC w W x y z 0 1 ∞ ∗ ∗∗ ∗∗∗ − ‘ ^

Teórica. Transición. Turbulento. Vapor. Volumétrica. Volumen de control. Oeste. Oeste. Coordenada cartesiana. Coordenada cartesiana. Coordenada cartesiana. Inicial. Instante previo. Referencia. Instante actual. Condiciones del flujo aguas arriba. Condiciones de longitud infinita. Numérico. Supuesto. Doblemente supuesto. Triplemente supuesto. Valor medio. Filtrado espacial. Fluctuación. Correción Pseudo

Siglas ACF AMG ASM CAE CDS CFD CFL CHAM CINDEX COEF CSF DES DNS DO DOF DPM

Función de autocorrelación Multigrid aritmético Modelo algebraico Computer-Aided Engineering Central Differences Scheme Computational Fluid Dynamics Courant-Friedrich-Lewy Concentration Heat And Momentum Matriz de índices de celda Matriz de coeficientes Continuum Surface Force Detached Eddy simulation Direct Numerical Simulation Discrete Ordinates Degrees Of Freedom Discrete Phase Model

Nomenclatura

DSGS DTR EARSM EDC EVM EWT FIC FIDAP FINE FLOPS GMG I-CFD IBM LANL LES LES-NWR LLNL MAC MANIAC NASA NNSA NWF PDF PHOENICS PIC PISO PLIC PNS QUICK RANS RSM RTD S-A S2S SGS SIMPLE SIMPLEC SIMPLER SLIC

Dinamic Subgrid Scale Discrete Transference Radiation Explicit Algebraic Reynolds Stresses Model Eddy Dissipation Concept Eddy Viscosity Models Enhanced wall treatment Fluid In Cell Fluid Dynamics Analysis Package Flow INtegrated Environments FLoating points Operations Per Second Multigrid geométrico Industrial-CFD International Business Machines Los Alamos National Laboratory Large Eddy Simulation LES-Near Wall Resolved Lawrence Livermore National Laboratory Marker And Cell Mathematical Analyzer Numerical Integrator And Computer National Aeronautics and Space Administration National Nuclear Security Administration Non-equilibrium wall-function Probability Distribution Function Parabolic Hyperbolic Or Elliptic Numerical Integration Code Particle In Cell Pressure Implicit with Splitting of Operators Piecewise Linear Interface Calculation Parabolized Navier Stokes Quadratic Upwind Interpolation for Convective Kinetics Reynolds Averaged Navier Stokes Reynolds Stress Models Residence Time Distribution Spallart-Almaras Surface-To-Surface Escalas de submalla (subgrid scale) Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations Consistent Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations Revised Simple Line Interface Calculation

xxvii

xxviii Nomenclatura SST SWF TDMA TSH URANS VC VECINDEX VLES VLES-NWR VOF WALE WF WRLES

Shear Stress Transport Standard wall function Algoritmo de Tridiagonalización de Matrices Thin Shear Layer Unsteady RANS Volumen de Control Matriz de índices vecinos Very Large Eddy Simulation Very Large Eddy Simulation with Near Wall Modeling Volume Of Fluid Wall-Adapting Local Eddy-viscosity model Wall-function Wall-Resolved LES

1 INTRODUCCIÓN AL CFD Las técnicas numéricas en Ingeniería han experimentado un gran desarrollo en las últimas décadas, siendo concretamente la Mecánica de Fluidos una de las disciplinas científicas donde este auge ha tenido mayor repercusión. Las ecuaciones generales de la Mecánica de Fluidos no admiten soluciones generales analíticas. Por esta razón, su estudio se ha abordado desde diferentes puntos de vista, tales como la experimentación, el análisis dimensional o el análisis matemático simplificado. Con la evolución de los computadores desde mediados del siglo pasado, se ha añadido una nueva técnica de análisis: el estudio computacional de los flujos, comúnmente conocido como Dinámica de Fluidos Computacional (CFD). En este primer capítulo se abordan los antecedentes de esta disciplina, mostrando su desarrollo histórico desde sus comienzos hasta la situación actual. Además se presentan una serie de ideas introductorias, acerca del uso de estas técnicas, que resumen sus capacidades y restricciones, así como las aplicaciones más destacadas en el ámbito de la Ingeniería.

2

Capítulo 1

Introducción al CFD

Contenidos 1.1. ¿Qué es el CFD? 1.2. Reseña histórica sobre el CFD 1.3. Campos de aplicación 1.4. Ventajas e inconvenientes 1.5. Desarrollo y empleo de códigos: usuario frente a programador 1.5.1. Códigos CFD: secuencia y estructura 1.5.2. Códigos CFD: estrategias a seguir 1.6. Objetivos de este libro 1.7. Estructura del libro

1.1 ¿Qué es el CFD?

1.1

¿Qué es el CFD?

Este acrónimo —adoptado directamente del inglés— hace referencia a la rama de la Mecánica de Fluidos denominada Computational Fluid Dynamics, traducida normalmente al castellano como Fluidodinámica Computacional o Dinámica de Fluidos Computacional, y que consiste en el empleo de computadores y de técnicas numéricas para resolver todos aquellos problemas físicos que están relacionados con el movimiento de los fluidos y, en ocasiones, de otros fenómenos asociados como la transferencia de calor, las reacciones químicas, el arrastre de sólidos, etc. En general, el CFD comprende un amplio abanico de disciplinas científicas, entre las que cabe destacar a las matemáticas, la programación, las ciencias físicas y la ingeniería, que deben aunarse para dar lugar el desarrollo de un código que sea capaz de resolver las ecuaciones del flujo de manera satisfactoria. Por tanto, el objetivo final es la creación de un software (programa numérico) que proporcione el cálculo detallado del movimiento de los fluidos por medio del empleo del ordenador (capaz de ejecutar una gran cantidad de cálculos por unidad de tiempo) para la resolución de las ecuaciones matemáticas que expresan las leyes por las que se rigen los fluidos.

1.2

Reseña histórica sobre el CFD

Lógicamente, la consolidación de estas técnicas ha sido una consecuencia más del progresivo desarrollo de los computadores desde los años 1950-1960. Hasta entonces, los métodos computacionales para resolver numéricamente las ecuaciones del flujo no eran viables, al no disponerse de máquinas capaces de ejecutar un gran número de operaciones de cálculo por unidad de tiempo. Hace ya casi dos siglos desde que las ecuaciones de gobierno de la Mecánica de Fluidos quedaron definitivamente formuladas por Claude Navier (1785-1836) y George Stokes (1819-1903) cuando introdujeron los términos de transporte viscoso a las ecuaciones de Euler (1707-1783), dando lugar a las famosas ecuaciones de Navier-Stokes:

G ∂ρ + ∇⋅( ρv ) = 0 ∂t

G ∂v G G G ρ + ρ(v ⋅∇)v =−∇p + ρg + ∇⋅τij ∂t ρ

∂E G G G  + q + ρ∇⋅ (vE ) = ∇⋅ (k ∇T ) + ρg + ∇⋅ (σ ⋅ v ) + W f H ∂t

[1.1]

[1.2]

[1.3]

3

4

Capítulo 1

Introducción al CFD

Estas ecuaciones incluyen las leyes de conservación para la masa, la cantidad de movimiento y la energía de un flujo. Desgraciadamente, se constituyen en un sistema acoplado de ecuaciones, del que no es posible obtener una solución analítica única. Por esta razón, la experimentación y el análisis dimensional siempre acompañaron históricamente a la vía analítica, como dos herramientas esenciales en el estudio de la Mecánica de Fluidos, para validar y contrastar los limitados estudios teóricos. Afortunadamente, gracias a la aparición de los modernos computadores, sobre todo a partir de la década de 1970, se dispuso de una nueva herramienta como el CFD, que complementa tanto a los estudios teóricos como a los experimentales. Basadas en estas mismas ecuaciones, las modernas técnicas de CFD permiten su resolución numérica en un tiempo razonable, con el objeto de simular tanto flujos reales, de interés en la industria, como flujos canónicos, para la investigación o la docencia. A principios del siglo XX, ya asentadas las bases teóricas de la Mecánica de Fluidos, las investigaciones en este campo de la ciencia se centraron en el estudio de capas límite, de capas de cortadura de chorros y, en general, de la turbulencia en los flujos[1]. De hecho, el análisis de la turbulencia sigue siendo uno de los mayores retos a los que se enfrentan los investigadores en este campo científico; su modelización y su tratamiento son ahora mismo la principal línea de investigación dentro del CFD. Los primeros trabajos en esta materia son obra de Ludwig Prandtl (1875-1953), quien desarrolló una teoría sobre la capa límite que ya introducía el concepto de “longitud de mezcla” para el modelado de los términos turbulentos en las ecuaciones. Posteriormente, Theodore von Kárman (1881-1963) estudió el desprendimiento de vórtices en las estelas de cuerpos en flujo externo, fenómeno que se conoce precisamente como vórtices de Von Kárman. Geoffrey Ingram Taylor (1886-1975) avanzó la utilización de modelos estadísticos para el estudio de la turbulencia, definiendo microescalas para la isotropía de la turbulencia. Sus ideas serían la base para la introducción de la teoría de las escalas de la turbulencia, formulada por Andréi Nikoláyevich Kolmogórov (1903-1987) en 1941, y en la que se definía el concepto del espectro universal de energía de la turbulencia y de la cascada de energía. Aunque no es fácil determinar la fecha exacta de los primeros cálculos realizados utilizando técnicas CFD, sí se puede citar al inglés Lewis Fry Richardson (1881-1953) como el precursor de la utilización de dichas técnicas. De hecho, fue el primero en utilizar un modelo numérico para la predicción meteorológica, dividiendo el espacio en celdas y empleando un primitivo método por diferencias finitas. Su propio intento de 1. Los pioneros trabajos de Osborne Reynolds (1842-1912) permitieron evidenciar las diferencias entre condiciones de flujo laminar y de flujo turbulento. Su experimento puso de manifiesto las irregularidades y la turbulencia que caracterizan a un flujo a partir de un determinado ratio entre las fuerzas viscosas y las fuerzas de inercia del fluido (a la postre, el número de Reynolds). La condición de flujo laminar sólo se satisface para valores del número de Reynolds normalmente muy bajos.

1.2 Reseña histórica sobre el CFD

predecir la evolución de las condiciones meteorológicas durante un período de 8 horas necesitó de 6 semanas de cálculos intensivos que terminaron en fracaso. En posteriores estudios comenzó a emplear “ordenadores humanos”, habitaciones repletas de personas provistas con rudimentarias calculadoras, que ejecutaban hasta 2000 procesos iterativos por semana (Richardson, 1911), y por las que percibían apenas un salario de 2 euros semanales (Emerson et al., 2007). Aproximadamente, cada persona habría ejecutado 20 000 operaciones por semana, lo que en una jornada de 40 horas semanales, equivaldría a unos 0,140 flops[2]. Los rudimentarios métodos de Richardson, realizados en las décadas de 1910 y 1920, suponen el punto de partida del empleo del CFD, e incluso profetizan el empleo del cálculo computacional en paralelo como vía para disponer de mayores capacidades de cálculo. En la década de 1930, las irresolubles limitaciones de los estudio analíticos fueron una motivación muy importante para continuar con el lento desarrollo de metodologías computacionales. Así, la primera simulación numérica (aún sin computadores) del flujo alrededor de un cilindro fue realizada en 1933 en Inglaterra por A. Thom (1933), y comunicada por el propio G.I. Taylor. Similares resultados fueron obtenidos por M. Kawaguti en Japón, resolviendo las ecuaciones de NavierStokes para el flujo alrededor de un cilindro para un número de Reynolds de 40. Según palabras del propio Kawaguti (1953), “la integración numérica de este estudio precisó de un año y medio, con 20 horas de cálculo por semana y una considerable cantidad de trabajo y resistencia”. No en vano, él mismo realizó todos los cálculos, usando simplemente una calculadora de escritorio. A partir de finales de la década de 1950 y en toda la década de los 60, el laboratorio nacional de Los Alamos (LANL), auspiciado por la NASA, se constituyó en el verdadero impulsor de las técnicas CFD, desarrollando los primeros códigos y dando los primeros pasos en el empleo de computadores. Hoy día, muchos métodos que se emplean en la actualidad en programas comerciales provienen de aquellos pioneros trabajos. Dicho laboratorio contaba con los ordenadores más potentes de la época, como el MANIAC (1952) que realizó los cálculos para el desarrollo de la primera bomba de hidrógeno, o el IBM 704, que fue el primer computador fabricado en serie (se vendieron 123 unidades en todo el mundo) y que ya disponía de arquitectura para calcular en coma flotante. Su memoria era algo limitada, pues disponía solamente de 4 Kb (sic), pero ya permitía 40 000 instrucciones por segundo (aprox. 40 Kiloflops). 2. Los flops (floating point operation per second) son el número de operaciones de coma flotante por segundo que puede realizar una máquina. En 2008, el supercomputador de IBM Roadrunner, el más potente del mundo hasta la fecha construido para el LANL —Los Alamos National Laboratory— en Estados Unidos alcanzó 1,026 Petaflops (1,026 × 1015 flops), con un coste aproximado de 0,1 euros por cada Gigaflops. Este supercomputador, con 122 400 procesadores, tiene una capacidad de 8,6 Gigaflops por procesador, lo cual supone que cada núcleo es capaz de hacer los 20 000 cálculos semanales de aquellas “calculadoras humanas”, ¡y en tan sólo 16 ms! Además, el coste por Gigaflops de aquellos pobres obreros sería ridículo: 0,00000000028 euros, prácticamente una trillonésima parte del coste actual del supercomputador.

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Capítulo 1

Introducción al CFD

Figura 1.1 Computadores MANIAC, de la serie ENIAC (izquierda) e IBM-704 (derecha - imagen copyright de Lawrence Livermore National Laboratory, LLNL, EE.UU.) en Los Alamos National Laboratory (LANL).

Con el centro de computación más grande del mundo a su servicio, el LANL creó un gran número de métodos (Johnson, 1996), como son el Particle-in-Cell (PIC), el Fluid-in-Cell (FIC), los “vorticity-stream function methods” o el Marker-and-Cell (MAC). Retomando los antiguos trabajos para estudiar el desprendimiento de vórtices alrededor de cilindros, Fromm y Harlow realizan por primera vez el cálculo por computador del desprendimiento no estacionario de vórtices en 1963, para números de Reynolds por debajo de 1000 (Fromm y Harlow, 1966)[3]. Basándose en la formulación de vorticidad y función de corriente, desarrollaron un modelo explícito de diferencias finitas para flujo incompresible. También se inician los primeros intentos de simular flujos compresibles, empleando la técnica PIC para flujos no viscosos, si bien no se consiguen reproducir los efectos de choque sónico con gran precisión. Eran tiempos de aprendizaje en los que prácticamente todo estaba por hacer, ¡y en los que los resultados obtenidos se mostraban en gráficos que se hacían a mano! Aunque los primeros métodos para simular flujos incompresibles empleaban formulaciones basadas en la vorticidad y la función de corriente, a finales de los años 60 se consiguen desarrollar las primeras simulaciones en términos de las variables primitivas, velocidad y presión. Esto se consiguió gracias al desarrollo del método MAC por Harlow y Welch (1965), precursor del actual mallado decalado (staggered mesh) que se implementa hoy día en la mayoría de los códigos por volúmenes finitos. Otro importante salto hacia delante fue la inclusión de los primeros modelos de turbulencia en las simulaciones, como el desarrollo de las bases del modelo de turbulencia k-ε (k-épsilon) en 1967, si bien fue denominado entonces como q-d por las limitaciones de los editores de texto de la época. A finales de los 3. Hoy día, con la utilización de software comercial, esta simulación es un pequeño ejercicio práctico que puede hacerse en una tarde.

1.2 Reseña histórica sobre el CFD

años 60 y principios de los 70, el CFD experimenta un auge muy notable, extendiéndose por otros lugares del planeta y abandonando el lugar que le vio prácticamente nacer como lo conocemos hoy. Así lo afirmaba Harlow en 1968, director del departamento de CFD en el LANL durante esos años, reconociendo que “una nueva era comenzaba”. El mismo decía que ése había sido el último año en que aún estaba al corriente de todos los desarrollos de CFD que se hacían en todo el mundo. A partir de la década de 1970, un grupo liderado por Brian Spalding en el Imperial College de Londres toma el relevo en la frontera del conocimiento de las técnicas numéricas. Inspirándose en los trabajos del LANL, Patankar y Spalding (1972) desarrollan una formulación implícita (basada en el upwind differencing) en términos de velocidad y presión, en la que introducen por primera vez el método de acoplamiento SIMPLE. Estos nuevos métodos implícitos tienen una clara ventaja frente a los explícitos, pues no presentan restricciones en la discretización temporal, garantizando siempre la estabilidad numérica. Posteriormente se desarrollaron toda una serie de modificaciones y mejoras al modelo de acoplamiento, dando lugar a los métodos SIMPLER (1980), SIMPLEC (1984) o PISO (1986). Además, en 1972, el propio Spalding en colaboración con Launder (1972) universaliza el modelo de turbulencia k-ε tal y como se emplea hoy día, sin duda el modelo más robusto y de mayor utilización de entre todos los existentes. En 1980, Suhas V. Patankar publica Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, probablemente el primer gran libro que trata en profundidad las metodologías de CFD y que ha servido de inspiración para la creación de infinidad de códigos numéricos. Patankar (1980) y el Imperial College sientan las bases definitivamente del método de volúmenes finitos con esta notable contribución. El auge de estas técnicas, junto con todos los avances conseguidos, llevó a la industria aeronáutica y aeroespacial a lanzarse a una carrera desbocada por el empleo del CFD en sus fases de diseño y verificación de modelos. A principios de los 70, empresas punteras como el consorcio anglo-francés para la fabricación del Concorde, o la empresa americana Boeing (Seattle, USA) comienzan a emplear códigos 3-D, incompresibles de flujo potencial (1973), obteniendo unos esperanzadores resultados con máquinas CDC6600, que ya superaban el Megaflops de capacidad (figura 1.2). Estos éxitos les permitieron una notable reducción del número de ensayos experimentales en túnel de viento y una drástica reducción de costes. Por aquel entonces, apenas se realizaban de 100 a 200 simulaciones al año, nada que ver con las actuales cifras, superiores a las 20 000 simulaciones anuales. La figura 1.3, tomada de Johnston et al. (2003), muestra claramente cómo la progresiva implantación de estas técnicas numéricas ha reducido las pruebas experimentales desde los 77 ensayos efectuados a finales de los 70 para el Boeing 767 a las escasas 5 utilizadas para el nuevo modelo 7E7 (base del Boeing 787, que entró en servicio en 2009). En palabras del propio Johnston, “el uso del CFD ha revolucionado el proceso del diseño aerodinámico de los aviones. Tanto las técnicas CFD como los ensayos de vuelo y el túnel de viento son hoy día herramientas esenciales para el diseño”. Hasta bien

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Capítulo 1

Introducción al CFD

1015 1012 Operaciones/s

8

109 6

10

103 0

“Roadrunner ”

TERA FLOPS

“Q”

“Blue Mountain”

TMC CM-5 Cray T3D TMC CM-1 Cray Y-MP Cray X-MP

GIGA FLOPS MEGA FLOPS

Cray-1

CDC 7600

CDC 6600 IBM 7030 KILO IBM 704 y 709 FLOPS Maniac II Maniac I Sumadoras (IBM 405)

10 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Año

Figura 1.2 Evolución histórica de la potencia de cálculo de los supercomputadores (fuente: LANL y NNSA).

mediada la década de los 80, las empresas punteras aún desarrollaban sus propios códigos, muchas veces apoyadas por centros tecnológicos (NASA), que les daban soporte y nuevas soluciones. Sin embargo, todo cambia con la llegada de la década de los 80. A la sombra de la progresiva publicación de nuevos textos especializados, comienza n a aparecer en el mercado los primeros paquetes de CFD comerciales. Sirva de apunte que hasta 1975, por ejemplo, ninguno de los códigos desarrollados en el LANL había sido distribuido fuera de su ámbito académico. Sin embargo, muchas empresas que se habían intere-

Tecnología Wave Drag Army FLO22/ Cartesian Mach Box Fan-In-Wing FLEXSTAB 27/28 Grid Woodward Contract Contract A411 PANAIR Tech. TA30 Herramientas TA139/201 TA176/217 A230 FLEXSTAB de Boeing

Productos de Boeing

1965

1970 SST

1975

TLNS3D

1985 737-300

Unstructured Adaptative Grid N-S

TRANAIR OptimiA619 zation ZEUS GGNS

TRANAIR A488 P582 A502 A555 A588 1980 767 757 KC-135R

CFL3D TLNS3D-MB OVERFLOW

1990

777

1995 2000 737NG

7E7

77 38 Número de alas testadas

18

11

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5?

Figura 1.3 Impacto del uso de técnicas de CFD en la reducción de ensayos en túneles de viento para la empresa Boeing. (Reproducido de Johnston et al., 2005, con permiso de Elsevier.)

1.2 Reseña histórica sobre el CFD

sado por el uso de CFD en sus investigaciones (mayormente aeronáuticas y aeroespaciales hasta entonces), dejaron de desarrollar sus propios códigos para comenzar a utilizar los nuevos paquetes comerciales. El propio Spalding funda Concentration Heat and Momentum Ltd (CHAM) en Wimbledon, Inglaterra, en 1974 (empresa que aún existe en la actualidad), comenzando a distribuir códigos específicos según las necesidades de cada empresa. Pronto se dieron cuenta de que mantener soporte para un gran número de códigos distintos no era eficiente, así que en 1980, CHAM modifica su filosofía y presenta el primer código de propósito general, denominado Parabolic Hyperbolic Or Elliptic Numerical Integration Code Series (PHOENICS). Fue lanzado al mercado en 1981, considerado un hito por ser el primer paquete comercial de CFD pensado para modelizar cualquier tipo de flujo (dentro de las limitaciones de los modelos existentes hasta la fecha, claro está). Originalmente, este código permitía modelizar dominios discretizados con celdas estructuradas (prismas hexagonales), analizar flujos estacionarios y no estacionarios, compresibles e incompresibles, laminares y turbulentos (se pueden imaginar el modelo de turbulencia que implementaba como opción básica) e incluso podían modelarse reacciones químicas y flujos de una o dos fases. Al mismo tiempo que Spalding y su grupo del Imperial Collage lanzaban PHOENICS al mercado, un grupo de investigadores de la Universidad de Sheffield, en Inglaterra, que estaban trabajando con códigos CFD para simular problemas de combustión, desarrollaron, impulsados por Creare —una consultora tecnológica ubicada en New Hampshire, USA—, un nuevo paquete comercial de propósito general, llamado FLUENT. Su lanzamiento al mercado, en 1983, contaba también con discretizaciones estructuradas (hexagonales), únicamente para flujo estacionario, con posibilidad de modelizar flujos laminares y turbulentos, pero sobre todo potenciaba la transferencia de calor, fenómenos de combustión y fases dispersas, así como la convección natural. Uno de los mayores inconvenientes seguía siendo el uso de mallas estructuradas, que limitaban notablemente la discretización de geometrías complejas. En 1987, otro empleado de Creare demostró las grandes posibilidades de utilizar mallas no estructuradas, mejor adaptadas a las geometrías, en varios proyectos impulsados desde la NASA. Sus avances se incorporaron después a las funcionalidades de FLUENT, dando lugar a la creación en 1991 del código solver Rampant y del programa para crear mallas tetraédricas TGrid. Nacía el primer código de propósito general que resolvía mallas no estructuradas, pensado para aplicaciones aeroespaciales de flujo compresible (altos números de Mach). A finales de los años 80 y principios de los 90 se produce un boom en la creación de códigos comerciales, emulando a los pioneros PHOENICS y FLUENT. Entre ellos, cabe destacar a FIDAP (Fluid Dynamics Analysis Package), desarrollado a partir de los trabajos del Illinois Institute of Technology al mismo tiempo que FLUENT —y posteriormente adquirido por FLUENT—; STAR-CD desarrollado en 1987 como spin-off de los trabajos del Imperial Collage y centrado en mallas móviles, no estruc-

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Capítulo 1

Introducción al CFD

Figura 1.4 Empleo de mallas estructuradas y no estructuradas en Boeing. (Reproducido de Johnston et al., 2005, con permiso de Elsevier.)

turadas; FLOW3D desarrollado por la Autoridad de la Energía Atómica (AEA) en Inglaterra a finales de los años 80 para aplicaciones nucleares; FLOW-3D (con guión, a diferencia del anterior) surgido de los esfuerzos del LANL en 1985 para comercializar su potente modelo de flujos con superficie libre (SOLA-VOF); TASCflow, desarrollado en Canadá también en 1985, y posteriormente fusionado con el FLOW3D de la AEA para dar lugar al CFX-4 a mediados de los 90 o los códigos FINE (Flow Integrated Environments), desarrollados desde 1992 por NUMECA, empresa impulsada por Charles Hirsch de la Universidad Libre de Bruselas y autor de otro de los libros de referencia sobre CFD (Hirsch, 1990). Las empresas aeronáuticas y automovilísticas no permanecen ajenas a estos cambios y comienzan a utilizar códigos comerciales en sus fases de diseño. La aparición de mallas no estructuradas permite simulaciones con un grado de detalle que hasta entonces no era viable. Así, Boeing comienza a utilizar códigos comerciales desde 1996, primero con CFD++ y después con FLUENT en 1998. No tardan en seguir sus pasos otras empresas como Airbus, utilizando Flowmaster, así como otras compañías del sector dedicadas a la fabricación de motores de avión, como General Electric, Pratt&Whittney o Rolls-Royce. A partir de 1995, las técnicas CFD comienzan a ser aplicadas en el sector del automóvil. Multitud de casos, tanto de flujos externos como de flujos internos, son analizados desde esta nueva óptica numérica. General Motors y Ford son pioneros en el uso de estas técnicas. En general, la aerodinámica del vehículo, en términos de fuerza de arrastre y penetración al aire, es el tema estrella de estas aplicaciones. Pero también hay otros muchos estudios, a nivel de componentes, con un gran interés como pueden ser el enfriamiento de los discos de freno, el flujo interno y la combustión en los cilindros del motor, o incluso el flujo en las conducciones de salida de gases o en el tubo de escape (Dhaubhadel, 1996). Actualmente, dentro del sector del automóvil, es el mundo de la Fórmula 1 el que dispone de los medios técnicos más avanzados, con potentes superordenadores para analizar las características

1.2 Reseña histórica sobre el CFD

aerodinámicas de sus monoplazas. En concreto, en 2007, el equipo BMW-Sauber F1 pasó a disponer del superordenador más potente de toda la F1, Albert 2, con 5160 procesadores de doble núcleo y una capacidad de 12,2 Teraflops (aprox. 100 veces menos potente que el Roadrunner), en el que ejecutaban el programa ANSYS® FLUENT®, ¡con modelos que podían llegar a alcanzar mil millones de celdas! Debido a la complejidad de las ecuaciones y al grado de detalle que normalmente se desea obtener de las simulaciones, los ingenieros encargados en el desarrollo de estas técnicas CFD siempre han necesitado de las máquinas y supercomputadores más potentes del mundo. Por tanto, aunque se utilice un software comercial a nivel de usuario, siempre hay que recordar que estos códigos están basados en un conjunto de ecuaciones no lineales, muy complejas y acopladas entre sí, que se resuelven de forma iterativa mediante algoritmos muy específicos incluidos en el propio paquete (el solver). El objetivo que se persigue es que el usuario sea capaz de resolver cualquier flujo dentro de una geometría prefijada, que limitamos con unas condiciones iniciales y de contorno, y para el que los fenómenos físicos implicados están identificados a priori. Los resultados del código CFD comercial pueden normalmente representarse gráficamente o como un mapa de distribuciones, tanto de variables escalares (contornos) como de variables vectoriales (mapa de vectores, líneas de corriente, etcétera). La posterior evolución de todos estos códigos ha estado marcada por una intensa competitividad y una febril actividad de fusiones y cambios de manos. Tras el dominio inicial de PHOENICS, FLUENT se convirtió en el referente de esta industria, sobre todo a partir de la segunda mitad de la década de los 90. Sin embargo, desde 2003, se ha producido una importante concentración de estos paquetes, iniciada por ANSYS con la compra de CFX-4. ANSYS, líder mundial en el desarrollo de herramientas de análisis en el campo de la ingeniería asistida por computador (CAE), desembarcaba por fin en la industria del CFD con la adquisición de un importante código numérico, al que pasaría a llamar simplemente CFX. Finalmente, tras unos años de intensa rivalidad comercial, en 2006 ANSYS compraba a FLUENT por un

Figura 1.5 Simulación del flujo alrededor de un fórmula 1 con FLUENT (izquierda). Superordenador Albert 2 del BMW-Sauber F1 Team (derecha). Imágenes cortesía de BMW Sauber y ANSYS, Inc.

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Capítulo 1

Introducción al CFD

total de 630 millones de dólares, creando así al nuevo líder mundial en desarrollo de técnicas numéricas. Actualmente, sólo CD-adapco, heredera del código STAR-CD y participada por la importante empresa de CAD Dassault Systems (fabricante de CATIA), se puede comparar en cierto modo al nuevo gigante de ANSYS. La concentración de los códigos ha dado lugar a un progresivo incremento en los precios de las licencias. Sin embargo, esta tendencia puede verse contrarrestada con la aparición de nuevos códigos numéricos de distribución libre, siguiendo el espíritu de sistemas operativos libres, como Linux. El pionero en la creación de códigos libres de CFD es OpenCFD, que desarrolla actualmente un avanzado solver libre denominado OpenFOAM. Probablemente, en un futuro no muy lejano, el papel del software libre tenga un claro impacto en un campo tan especializado como el del CFD, obligando a reducir los precios de las licencias de los actuales distribuidores y volviendo en cierto modo a aquellos románticos tiempos a mediados de los sesenta en los que todo era un territorio nuevo por explorar. En resumen, las técnicas CFD son ya, a todos los efectos, una herramienta más dentro de la ingeniería asistida por computador (CAE), utilizada universalmente en la industria. Sus posibilidades para simular todo tipo de fenómenos y flujos permiten a los diseñadores y a los analistas disponer de un túnel de viento virtual en sus centros de computación. Asimismo, el software para el CFD ha evolucionado espectacularmente, mucho más de lo que Navier-Stokes o el mismísimo L. F. Richardson pudieran haber imaginado. El CFD se ha convertido en una parte indispensable en el proceso del diseño aerodinámico e hidrodinámico para aviones, trenes, automóviles, cohetes, barcos, submarinos y de cualquier otro medio de locomoción o proceso productivo de nuestros días.

1.3

Campos de aplicación

El repaso a la evolución de las técnicas computacionales en la Mecánica de Fluidos demuestra cómo la industria aeroespacial fue pionera en el empleo de estas herramientas. Sin embargo, hoy día su utilización se ha extendido a todo tipo de procesos industriales, gracias a la universalización de códigos comerciales y a la progresiva mejora de los algoritmos que implementan. Existen infinidad de aplicaciones, casi tantas como sectores productivos, entre las que cabe destacar: c

Industria automovilística, en la que prima el estudio de la aerodinámica de vehículos, pero que también potencia el análisis de la climatización del habitáculo interior, de la refrigeración de discos de freno y bloque motor o el flujo en conductos de descarga y válvulas de distribución.

1.3 Campos de aplicación

c

Industria aeroespacial, centrada en la aerodinámica de transbordadores, de aviones supersónicos y cazas militares y de cohetes. También se estudia el flujo en condiciones cercanas a la ingravidez, así como las condiciones de salida y reentrada de vehículos espaciales.

c

Industria aeronáutica, volcada en el estudio de perfiles aerodinámicos para alas en aviones comerciales, en la caracterización del flujo alrededor del fuselaje así como en el diseño de trenes de aterrizaje.

c

Industrial naval, interesada en las características de las hélices de propulsión y en el diseño óptimo de carenas de barcos y submarinos. También se emplean estas técnicas para mejorar las prestaciones de barcos de competición.

c

Industria de fabricación de motores, tanto alternativos de combustión interna, como propulsores de aviones y helicópteros, centrados en el análisis del flujo interno, la eficiencia y la transmisión de potencia así como de las transferencias de calor y refrigeración asociadas.

c

Industria de generación eléctrica, interesada en diseños eficientes de turbinas de vapor, en el caso de centrales térmicas y nucleares, y de turbinas hidráulicas de gran rendimiento y operabilidad en el caso de centrales hidráulicas. También es habitual el estudio de flujos en la caldera, así como el análisis de los repartos y eficiencias térmicas. También el sector de las energías renovables, con el estudio de los perfiles aerodinámicos empleados en las palas de los aerogeneradores, trata de conseguir una óptima transferencia energética con mínimo impacto sonoro.

c

Industrias pesadas y metalúrgicas, como el caso de acerías con procesos de fundición continua, plantas de fabricación de vidrio, fábricas de transformado de plásticos con el llenado de moldes, trefilerías y plantas transformadoras para fabricación de aluminio y zinc… todas ellas interesadas en el estudio de flujos de metales líquidos a altas temperaturas.

c

Industria química, que estudia deposición de vapores químicos, flujos reactivos complejos en los que se producen intercambios de masa, calor y reacciones químicas.

c

Industria electrónica, para analizar refrigeración (líquida o por aire) de los componentes de computadores, sistemas y redes, flujos de aire en las carcasas, etc.

c

Industria nuclear, con el flujo en aquellos conductos con sustancias originadas en las reacciones nucleares, el enfriamiento del reactor y flujos en su interior, así como la eficiencia del intercambiador de calor.

c

Industria biomédica y farmacéutica, para estudiar los distintos flujos vitales, flujos de aire en la caja torácica, flujos de sangre en arterias y venas y en el interior del corazón. Diseño de dispositivos para centrifugación e inyecciones intravenosas.

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Capítulo 1

Introducción al CFD

c

Industria alimentaria, con procesos de pasteurización, ciclones, precipitadores, reactores, hornos de convección, procesos de extrusión de líquidos.

c

Otras industrias y actividades, con aplicaciones de lo más variado: impacto eólico en torres, puentes y edificios; ventilación en edificios y estructuras; simulación de incendios; estudio de combustiones; dispersión de humos y contaminantes; hidrología y oceanografía; flujo en conductos de calefacción, refrigeración, redes de tuberías; meteorología; transporte de sedimentos; física del plasma; flujo en sprays; flujos en turbomáquinas (bombas, ventiladores); flujos en máquinas de desplazamiento positivo; flujos en el deporte (túneles de viento, bolas de golf, trajes de natación); etc.

Figura 1.6 Algunos ejemplos de aplicaciones de la CFD a la industria (imágenes adaptadas de Wikimedia Commons, bajo licencia Creative Commons).

1.4 Ventajas e inconvenientes

1.4

Ventajas e inconvenientes

Está claro que el uso de las técnicas CFD permite un número muy importante de ventajas. Sobre todo, permite reducir tiempo y costes en fases de diseño, y además proporciona un número casi ilimitado de información: cada una de las celdas que componen el dominio de simulación equivale a un pequeño sensor que nos mide cada una de las variables del flujo. Además, en aquellas situaciones en las que la experimentación no es segura (accidentes, flujos a altas temperaturas, situaciones de incendio, etc.), no es abordable por una empresa (líneas de fabricación que no pueden verse alteradas, por ejemplo) o simplemente no es viable (reentradas aeroespaciales o condiciones de ingravidez), el CFD permite obtener información muy valiosa. Sin embargo, las técnicas CFD no son gratuitas, y aunque reducen notablemente los costes derivados de la experimentación, se necesitan máquinas muy potentes (hoy día es casi obligado el uso de clusters para realizar computación en paralelo) y las licencias para varios procesos, lo que encarecen mucho el precio final. Al mismo tiempo, es necesario contar con personal cualificado, que sepa interpretar el sentido físico de los resultados que arroja el software de cálculo y que domine el programa y la gestión de los resultados. En caso contrario, se pueden dar por buenos resultados erróneos o incoherentes. En la figura 1.7 se han resumido las principales ventajas e inconvenientes de las técnicas numéricas para el estudio de flujos industriales.

VENTAJAS Reducción sustancial de tiempos y costes en los nuevos diseños. Posibilidad de analizar sistemas o condiciones muy difíciles de reproducir experimentalmente. Velocidades hipersónicas, temperaturas muy altas o bajas, movimientos relativos, etc... Capacidad de estudiar sistemas bajo condiciones peligrosas. Accidentes, situaciones límite de equipos, etc. Nivel de detalle prácticamente ilimitado. Facilidad para estudios paramétricos. Gran cantidad de información. Sin coste por aumento de sensores. Computer-aided designed. Un valor añadido al producto.

Figura 1.7

INCONVENIENTES Las técnicas CFD no son baratas. Máquinas de gran capacidad de cálculo Programas con un precio no asequible al gran público. Se necesita personal cualificado. Ejecutar programas y definir modelos. Analizar soluciones. No siempre es posible obtener resultados lo suficientemente precisos. Necesidad de simplificar el fenómeno. Imposibilidad práctica de todo tipo de ejecuciones. Limitación de los modelos existentes para la turbulencia, la combustión, flujos multifásicos... Tendencia a creerse los resultados sin la suficiente contrastación.

Ventajas e inconvenientes en la utilización del CFD.

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Capítulo 1

Introducción al CFD

La integración de las técnicas CFD junto con otras herramientas de diseño asistido por computador (CAE), como el cálculo de tensiones y esfuerzos —térmicos y mecánicos— en estructuras, comienza a ser una realidad, aunque aún se está lejos de una total conectividad entre ellas. La fusión de todas estas técnicas permitirá un avance espectacular en la interdisciplinariedad de la Mecánica de Fluidos con el análisis dinámico de estructuras. En este camino se encuentra la reciente fusión de ANSYS, líder mundial en el estudio de estructuras por elementos finitos, con FLUENT, el paquete líder en CFD por volúmenes finitos. De estos progresos depende en gran medida que complejas disciplinas como la termo-aeroelasticidad puedan dar un respuesta global a los diseños de los próximos componentes industriales en el siglo XXI.

1.5

Desarrollo y empleo de códigos: usuario frente a programador

El desarrollo histórico de las técnicas CFD nos ha enseñado cómo la utilización de paquetes comerciales se impuso finalmente en la mayoría de los sectores. Únicamente en el sector aeroespacial, por razones de tradición, algunas empresas muy importantes han apostado por continuar con sus propios códigos, si bien con eventuales ayudas de software comercial. Actualmente, las empresas que desarrollan los paquetes comerciales cuentan con importantes departamentos de desarrollo e investigación centrados en la depuración e implementación de nuevos algoritmos en sus programas. Sin embargo, sigue siendo labor principal de universidades y centros de investigación la propuesta de nuevos modelos matemáticos y físicos, que posteriormente estas empresas adaptan a sus lenguajes de programación. Por tanto, parece claro que la utilización del CFD tiene una doble vertiente. Por un lado, se puede utilizar un programa comercial en forma de caja negra, a nivel de usuario, de manera que introduciéndole unos datos de entrada, el solver del programa nos devuelva la solución final que pasaríamos directamente a analizar. En este caso, no sabemos qué hace el programa internamente, pero obtenemos una solución a nuestro problema. La segunda opción es la de desarrollar un código por nosotros mismos y ejecutarlo, utilizando las técnicas numéricas que hay en la bibliografía a nivel de programador. Lógicamente, dispondríamos de control total sobre lo que estamos haciendo, ¡si bien la creación del código, su depuración y la creación de interfaces para el mismo podría ser un proyecto de mayor envergadura que el propio problema que queremos resolver!

1.5 Desarrollo y empleo de códigos: usuario frente a programador

Punto de vista del PROGRAMADOR (orientado a las herramientas) —centrado en cómo resolver cada paso del proceso de simulación CFD—

Geometría - Seleccionar geometría - Parámetros geométricos - Dominio (forma y tamaño) - Límites acotados Física - Compresibilidad - Transferencia de calor - Turbulencia - Multifases - Multiespecies - Transporte de escalar

PROCEDIMENTAL para FÍSICOS, MATEMÁTICOS e INFORMÁTICOS

Mallado - Estructurado - No estructurado - Mallas en CC - Contornos

Validar

Resolver

- Estacionario/ No estacionario - Iteraciones/pasos temporales - Relajación - Modelización de la turbulencia - Convergencia - Precisión - Radiación - Esquemas - Balances numéricos - Condiciones de operación y contorno Modelo

Resultado

- Variables globales - Gráficos XY (fuerzas, presión, - Contornos velocidades) - Distribuciones - Verificación - Mapas de vectores - Sensibilidad de - Animaciones la malla - Postprocesado - Parámetros - Exportación de datos - Validación de datos

Punto de vista del USUARIO (orientado a los resultados) —proceso completo para una simulación numérica usando un código comercial de CFD— TRANSVERSAL para INGENIEROS Figura 1.8

Diagrama de flujo de una aplicación CFD típica.

Evidentemente, es muy interesante disponer de ambas perspectivas. Aunque no seamos capaces de desarrollar por nuestra cuenta un código de propósito general capaz de resolver cualquier flujo, es interesante conocer los algoritmos fundamentales de resolución. Así, a lo largo de este libro se irán explicando dichas técnicas, mostrando los modelos más importantes, que servirán para entender mucho mejor cómo funciona por dentro un código comercial. Pero ahora es el momento apropiado para ver cuál es la estructura típica de un código y las secuencias que se emplean hasta llegar a la solución de un caso. Más adelante tendremos la oportunidad de emular la estructura de un código comercial para resolver problemas fluidodinámicos sencillos.

1.5.1.

Códigos CFD: secuencia y estructura

En general, la mayoría de los programas comerciales (FLUENT, CFX, CDAdapco…) utiliza el método de volúmenes finitos para resolver numéricamente las ecuaciones de gobierno de la Mecánica de Fluidos. De forma muy esquemática, lo que plantean es lo siguiente:

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Capítulo 1

Introducción al CFD

c

El dominio se discretiza (se divide) en un número finito (aunque habitualmente muy grande) de volúmenes de control (celdas volumétricas en simulaciones tridimensionales y planas en casos bidimensionales).

c

Se plantean en cada celda las ecuaciones generales de conservación (o transporte) para la masa, la cantidad de movimiento, la energía, etc.

∂ ∫ ρφ dV + ∫ ρφv dA = ∫ Γ∇φ dA + ∫ Sφ dV ∂t V A A V temporal

convectivo

difusivo

[1.4]

fuente

La ecuación 1.4 representa la expresión general de transporte, en la que se tiene en cuentan los términos convectivos, difusivos, de generación y/o destrucción y temporales de las ecuaciones (v. capítulo 3). La variable φ es una variable genérica que, según el valor que adopte, nos devuelve cada una de las ecuaciones anteriores. A saber: Tabla 1.1

Valores de φ en la ecuación general de transporte.

Ecuación

Variable φ

Continuidad

1

Cantidad de movimiento en x

u (componente en x de la velocidad)

Cantidad de movimiento en y

v (componente en y de la velocidad)

Cantidad de movimiento en z

w (componente en z de la velocidad)

Energía

h (entalpía)

c

Las ecuaciones que sea necesario resolver se discretizan y linealizan para obtener un sistema algebraico de ecuaciones. (Las ecuaciones vienen expresadas en derivadas parciales y no siempre es necesario resolverlas todas, ya que, por ejemplo, la transferencia de calor puede no estar implicada en el problema.)

c

Finalmente, se resuelve numéricamente (de forma iterativa) el sistema algebraico para obtener la solución final del campo fluidodinámico.

Con esta filosofía en mente, los paquetes comerciales tratan de proporcionar un acceso sencillo a estas tareas mediante interfaces amigables (user-friendly) para el modelado de las geometrías y la introducción de los parámetros de resolución. Habitualmente, suelen incorporar también un módulo adicional para facilitar el análisis y la presentación de resultados.

1.5 Desarrollo y empleo de códigos: usuario frente a programador

Por tanto, todos los códigos presentan la siguiente estructura: un módulo de preproceso, otro módulo de solver y un módulo final de postproceso. Cada uno de ellos responde a las siguientes funciones: c

PREPROCESO: Suele ser una utilidad, de interfaz amigable, que permite introducir los datos de entrada al programa de resolución, convirtiéndolos luego a un formato compatible para el solver. Esta fase comprende: c

c

Definición de la geometría a modelizar: el dominio computacional. Generación de la malla o división del dominio en un número suficiente de celdas o elementos que no se superpongan y que cubran todo la geometría.

c

Identificación de los fenómenos físicos y químicos que pretenden modelarse.

c

Definición de las propiedades del fluido (o fluidos).

c

Especificación de las condiciones iniciales y de contorno del problema.

La generación de la malla es muy importante, porque condicionará definitivamente la calidad de los resultados. En principio, cuanto más fina sea la malla, más próxima a la solución real será la simulación. Sin embargo, mallas extraordinariamente finas penalizan el tiempo de cálculo haciéndolo excesivamente grande, por lo que siempre es necesario llegar a una elección de compromiso. Además, un mallado eficiente siempre ha de ser más fino en aquellas zonas donde se prevé un mayor gradiente en las variables del flujo. c

SOLVER: Constituye la parte central del programa de resolución y es el encargado de resolver de forma iterativa las ecuaciones que se han activado previamente en el preproceso (los modelos). Aun siendo la parte más importante del programa, el usuario del código no hace más que lanzar la ejecución y esperar que los recursos computacionales de los que dispone resuelvan el caso. Las ejecuciones, en función de los modelos que resuelvan y del tamaño de la malla, pueden durar desde minutos hasta semanas (o meses) de cálculos en tiempo real.

c

POSTPROCESO: En este módulo se incluyen normalmente una serie de herramientas gráficas que permiten analizar los resultados. Es una parte fundamental por cuanto permiten gestionar la ingente cantidad de información que el código es capaz de generar. No sólo se trata de disponer de una interfaz gráfica, sino de una herramienta que permita proporcionar variables integradas y promediadas para ofrecer resultados globales. Incluye: c

c

c

Representación gráfica del dominio y la malla. Mapas de contornos de las variables y ploteado de vectores y líneas de corriente. Gráficas y distribuciones.

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Capítulo 1

Introducción al CFD

c

Gráficos de superficies, bidimensionales y tridimensionales.

c

Animaciones y exportación de resultados a otros formatos.

SOLVER

PREPROCESO MODELADO DE LA GEOMETRÍA MALLADO DE LA GEOMETRÍA PARÁMETROS DEL SOLVER

POSTPROCESO

Figura 1.9

1.5.2.

Ec. algebraicas resueltas en la malla: EC. TRANSPORTE - Masa (fracciones especie/vol.) - Momento - Energía EC. ESTADO EC. MODELOS FÍSICOS - Propiedades físico-químicas de los materiales - Condiciones de contorno y condiciones iniciales

MODELOS FÍSICOS - Turbulencia - Combustión - Radiación - Multifase - Cambio de fase - Zonas deslizantes - Malla deformable - Otras

Estructura de un código CFD comercial.

Códigos CFD: estrategias a seguir

En cada una de las fases de la modelización es muy importante que el usuario del código tenga muy claras una serie de ideas fundamentales. En caso contrario, es muy posible que la simulación no sea correcta o que no proporcione (en tiempo y formas) los resultados esperados. Por tanto, para conseguir una correcta utilización de estos programas comerciales, es necesario seguir unas estrategias muy definidas en cada una de las fases en que se divide el proceso. Dichas estrategias se formulan como un cuestionario al que hay que contestar para saber cómo se debe hacer la simulación y qué se espera obtener de ella. c

IDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA Y PREPROCESO. Este primer punto se divide en tres partes: definición de los objetivos buscados con la simulación, identificación del dominio a modelar y diseño y creación de la malla. En cada parte se debe hacer frente a las siguientes preguntas: c

Definición de los objetivos buscados en la simulación.

• ¿Qué resultados se quieren y para qué se necesitan? Y por tanto, ¿qué tipo de modelo físico se va a utilizar? La respuesta a estas preguntas surge de una reflexión sobre los fenómenos físicos que ocurren en el problema: – ¿Qué fenómenos físicos se necesitan incluir en el análisis?

1.5 Desarrollo y empleo de códigos: usuario frente a programador

– ¿Qué hipótesis simplificativas hay que hacer? – ¿Qué hipótesis simplificaticas se deben hacer? • ¿Qué grado de exactitud y acuerdo se necesita en la simulación? Esto condiciona drásticamente el planteamiento de las simulaciones, en tiempo de cálculo, número de celdas, número de ejecuciones y casos a contemplar, etc. • ¿De cuánto tiempo se dispone para hacer la simulación? ¿En qué plazo máximo se necesitan los resultados? A veces se necesitan resultados rápidos en los que una primera aproximación a la solución real sea suficiente (análisis de tendencia, influencia de un parámetro, etcétera). • ¿Basta con un modelo bidimensional o es necesario simular todo el espacio? ¿Se requiere la variable tiempo o sólo interesa el estado permanente? ¿Es un fenómeno estable o fluctúa en el tiempo? c

Identificación del dominio a modelar.

• ¿Cómo se va a aislar la zona de interés del dominio físico? • ¿Dónde comenzará y finalizará el dominio computacional? ¿Se dispone de información del flujo en esas fronteras? ¿Se puede utilizar esa información como condición de contorno del modelo? ¿Es posible extender el dominio hasta una zona donde se tengan datos razonables acerca de la naturaleza del flujo?, ¿o están demasiado lejos y se obtendrá un dominio demasiado grande para modelar en el tiempo disponible? • Los límites de la simulación, ¿no afectarán a la solución que se obtenga? • ¿Se puede aproximar el modelo a un caso 2-D, o a un caso axisimétrico? c

Diseño y creación de la malla.

• ¿Qué tipo de malla se va a emplear? ¿Qué tipo de malla es más conveniente? ¿Estructurada o no estructurada? ¿Cómo de compleja es la geometría? ¿Es necesario reproducir todos los detalles de la geometría o hay zonas que pueden simplificarse antes de mallar? • ¿Qué grado de resolución requiere la malla en las distintas zonas? ¿es la resolución suficiente para el fenómeno en estudio y es coherente con los objetivos y la agenda? ¿Habrá zonas con importantes gradientes? ¿Será necesario adaptar la malla para refinar la solución obtenida? • ¿Se dispone de suficiente memoria computacional? ¿Cuál es el ratio entre número de celdas y modelos? ¿Se usa una malla del mismo orden que otros estudios de la bibliografía?

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22

Capítulo 1

Introducción al CFD

• ¿Se ha hecho un análisis de sensibilidad de la malla? ¿Cambian los resultados si se emplea una malla más fina o más gruesa? c

EJECUCIÓN DEL SOLVER. Este segundo punto comprende la implantación del modelo numérico y su ejecución y la monitorización del proceso iterativo. Nuevamente, es preciso responder a las siguientes preguntas: c

Implantación y ejecución del modelo.

• ¿Cuáles son los modelos físicos apropiados? • ¿Qué propiedades relevantes tendrá el fluido a modelar? ¿Son relevantes las interacciones entre los fluidos si se tiene un flujo multifásico o multiespecie? • ¿Cuáles son las condiciones de operación? ¿Y las condiciones iniciales y de contorno? • ¿Cuáles son los parámetros apropiados para los modelos? ¿Y los parámetros de convergencia? • ¿Cuándo se obtiene una solución al modelo? Tras un número de iteraciones, ¿se cumple el criterio de convergencia?, ¿se hace la solución asintótica, cumpliendo las ecuaciones conservativas? • Si no se alcanza la convergencia, ¿habrá iterado lo suficiente el modelo?, ¿serán apropiados los modelos utilizados?, ¿es apropiada la resolución de la malla y su calidad?, ¿son correctos los parámetros de implementación?, ¿son compatibles las condiciones de contorno elegidas? c

POSTPROCESO. Finalmente, el análisis de resultados comprende dos importantes tareas: la propia validación de la solución y las revisiones y mejoras al modelo que podrían derivarse del estudio de los resultados. En este caso, lo que el usuario debe plantearse es: c

Análisis de resultados.

• Analizar los resultados y revisar la solución para obtener información relevante. • Las herramientas de postproceso de tipo cualitativo (mapas, distribuciones, vectores) se utilizan para contestar a las siguientes preguntas: ¿Es correcto el patrón global del flujo?, ¿hay separación?, ¿predice correctamente las capas límites? ¿Las prestaciones de los diseños y los parámetros clave del fenómeno, ¿están bien resueltos? • Por otro lado, las herramientas de postproceso cuantitativas (gráficas, integrales, valores, promedios) se utilizan para conocer fuerzas y momentos, balances, coeficientes medios de transferencia de calor, integrales de

1.6 Objetivos de este libro

superficie y volumétricas… Los resultados obtenidos, ¿concuerdan con lo esperable?, ¿son coherentes con lo que predicen las teorías?, ¿son semejantes a los publicados en la literatura científica? c

Revisiones y mejoras del modelo.

• ¿Son correctos los modelos físicos empleados?, ¿es el flujo turbulento?, ¿no estacionario?, ¿compresible?, ¿efectos 3-D?, ¿transmisión de calor? Replantear todo de nuevo desde el principio… • ¿Es necesario cambiar el enfoque por completo? • ¿Son correctas las condiciones de contorno empleadas? • ¿Es el dominio numérico suficientemente grande? ¿Es apropiada la elección de las condiciones? ¿Son razonables sus valores? • ¿Es la malla adecuada?, ¿se puede mejorar? ¿Cambia la solución si se modifica la calidad del mallado? ¿Hay que mejorar la malla en los contornos?

1.6

Objetivos de este libro

En este libro se presentan las bases de la metodología numérica empleada en el estudio computacional de la Mecánica de Fluidos. Se aborda el desarrollo de esta metodología mostrando cómo se implementan y resuelven las ecuaciones de conservación (masa, momento y energía) desde los casos más sencillos y simplificados hasta su formulación más general. El ambicioso objetivo que se persigue es que el lector adquiera los conocimientos y habilidades suficientes para desarrollar sus propios códigos. De esta forma, adquirirá una visión integral de las técnicas CFD y comprenderá de forma mucho más profunda cómo funciona y qué ofrece un paquete comercial. Se trata de acercarlo al CFD desde dos puntos de vista, el del usuario y el del programador. Se mostrarán las funciones básicas del software comercial para diversas aplicaciones académicas e industriales —excesivamente complejos para ser desarrollados por el lector y fuera del objeto de este libro—, y también se mostrará cómo programar (y con qué algoritmos) casos ilustrativos que garanticen un aprendizaje significativo. Como todo libro técnico, se espera del lector una serie de conocimientos básicos, en particular relacionados con las matemáticas y las ecuaciones diferenciales, con la programación y los métodos numéricos, así como lógicamente con la Mecánica de

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Capítulo 1

Introducción al CFD

Fluidos. De todas formas, el contenido del libro está estructurado y explicado de forma que el lector con carencias en alguna de estas materias no encuentre especial dificultad para ponerse al día. Tras la lectura de este libro, se espera que el alumno adquiera una serie de competencias generales y específicas. Entre las primeras, el estudiante desarrollaría su capacidad para el análisis y la síntesis, profundizaría en conocimientos de informática y programación, potenciaría su capacidad para la organización y la planificación, afianzaría su destreza en la resolución de problemas y en el razonamiento crítico y, por supuesto, aplicaría su aprendizaje autónomo. Entre las segundas, se trataría de adquirir una cierta destreza en la investigación, en mostrar su capacidad para desarrollar modelos teóricos y validarlos, en ser capaz de sintetizar y gestionar la información y, cómo no, en demostrar una compresión teórica de los fenómenos físicos y del uso de métodos matemáticos avanzados para resolverlos. Si el esfuerzo que ha supuesto la elaboración de este material sirve para que el lector entienda algo de cómo se comportan los flujos viscosos e incompresibles… Si estas líneas le permiten conocer qué técnicas numéricas se emplean para resolver computacionalmente un problema en Ingeniería de Fluidos y cómo se articulan e implementan para generar un código… Si al final se comprende cuál es, y por qué es así, la estructura de un código comercial y atisba a saber qué está resolviendo internamente el paquete comercial… Si usando un paquete comercial reconoce cómo debe hacer frente a una simulación... Si es capaz de diseñar una malla eficiente y sabe discernir qué modelos, condiciones de contorno necesita… Si, en definitiva, ha comprendido los entresijos del CFD y ha descubierto el reto que supone utilizar estas herramientas, entonces las largas horas de trabajo para dar a luz estas notas habrán merecido la pena.

1.7

Estructura del libro

Este libro es una introducción a las técnicas numéricas en CFD. Se pretende realizar un acercamiento a la implementación numérica de los algoritmos más habituales que permiten resolver las ecuaciones de Navier-Stokes usando el método de volúmenes finitos. En el capítulo 2 se analizan una serie de ideas fundamentales, a partir de ejemplos muy básicos, que permiten identificar la problemática a la que nos enfrentamos. Conceptos como el de cálculo iterativo, la no linealidad de las ecuaciones, la resolución numérica y las discretizaciones o la convergencia y la estabilidad, que son vitales en todo código CFD y que aparecerán recurrentemente en el resto de los

1.7 Estructura del libro

capítulos, se introducirán, de forma casi divulgativa, para comprender claramente el alcance de los métodos numéricos. El capítulo 3 es un breve repaso (inevitable) de la Mecánica de Fluidos, donde se formularán las ecuaciones de conservación y se mostrará cuál es la naturaleza y el sentido físico de cada uno de los términos de dichas ecuaciones. Las ecuaciones, por complicadas que parezcan, no son más que el reflejo de unos balances (de un transporte) que se plantean dentro de un volumen de control. Se verán las hipótesis simplificativas más habituales que pueden aplicarse a dichas ecuaciones, en función del tipo de flujo en estudio, y los niveles de aproximación adoptados por las resoluciones numéricas. Finalmente, se formulará la ecuación general de transporte, sobre la cual girarán el resto de los capítulos. En el capítulo 4 se muestra cómo se hace la discretización de cada uno de los términos de la ecuación general de transporte (difusivo, convectivo, temporal y fuentes) y se verán los esquemas más habituales con sus ventajas y sus inconvenientes. En el capítulo 5 se estudia la ecuación difusiva pura, en la que se elimina el término convectivo, lo cual simplifica mucho las cosas. Además, se analizan varios problemas difusivos puros (la transferencia de calor en sólidos, por ejemplo) que permitirán ir adquiriendo soltura con la forma de discretizar e implementar los códigos. Se abordará la difusión no estacionaria, para que el lector se familiarice con la discretización temporal y para ampliar la complejidad de la simulación de las ecuaciones de transporte. El capítulo 6 muestra cómo tratar la ecuación con todos sus términos, acoplando todos los esquemas necesarios para resolver la convección-difusión. Se verá en profundidad el concepto de mallado decalado (staggered grid), y cómo utilizarlo correctamente con los términos convectivos, mediante esquemas upwind, híbridos o QUICK. Se supondrá que el campo de velocidades es conocido, lo cual nos evitará, de momento, el problema del acoplamiento presión-velocidad. En el capítulo 7 será el momento de descubrir la complejidad de la ecuación en toda su extensión: la naturaleza no lineal que subyace en los términos y el acoplamiento entre los campos de presión y velocidad. Se mostrarán los algoritmos que permiten resolver iterativamente la compleja interacción de las ecuaciones, los algoritmos SIMPLE, SIMPLEC o PISO, cuando el campo de velocidades es una incógnita. En el capítulo 8 se abordan las diferentes condiciones de contorno que pueden plantearse (Von Neumann o Dirichlet) y cómo se linealizan los términos fuente que podrían estar presentes en la ecuación de transporte. Se verán los tipos más habituales de condiciones de contorno que se emplean y cuáles son compatibles entre sí. En el capítulo 9 se considerarán métodos eficientes para la resolución iterativa de los sistemas de ecuaciones algebraicas y se definirán métricas y criterios para asegurar la convergencia y la estabilidad.

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26

Capítulo 1

Introducción al CFD

En el capítulo 10 se trata brevemente el problema de la turbulencia. La complejidad de la modelización de la turbulencia constituye un tema de estudio por sí mismo, que daría sin lugar a dudas para escribir otro volumen. Se mostrará la problemática de su modelización, cómo aparece en las ecuaciones promediadas de Navier-Stokes y en las ecuaciones filtradas LES, y cuáles son las técnicas empleadas (modelos de 0, 1, 2 ecuaciones, modelos algebraicos y modelos anisotrópicos) para resolverla. Finalmente, en el capítulo 11 se abordan algunos flujos típicos del ámbito industrial. Se presentan modelos adicionales (multiespecie, multifásicos), necesarios para analizar problemas con superficies libres o con existencia de reacciones químicas.

2 ALGUNAS IDEAS FUNDAMENTALES Este capítulo introduce una serie de ideas fundamentales relacionadas con las técnicas numéricas en Mecánica de Fluidos. Estos conceptos son muy útiles en sí mismos y tienen importantes implicaciones que serán desarrolladas en detalle en capítulos posteriores. En concreto, se analizan las bases de todo modelo numérico, explicando de manera sencilla por qué es necesario discretizar las ecuaciones, cómo se hace y cómo se resuelve el sistema de ecuaciones algebraico resultante. Con ejemplos muy sencillos, se trata de ilustrar cuáles son los mayores inconvenientes de estas técnicas, como el problema de la no linealidad de las ecuaciones de transporte, y cómo se trata de paliarlos con el objeto de resolver las ecuaciones de flujo. Muchas veces las técnicas numéricas parecen al lector algo demasiado especializado, con una carga matemática excesiva y que se aleja de las aplicaciones prácticas. En este capítulo se mostrará cómo es posible tener una visión global de todo el proceso sin necesidad de adentrarse en el formalismo de las ecuaciones constitutivas y de gobierno de los flujos. El objetivo final es dotar al lector de una perspectiva general que proporcione garantías suficientes para comprender el alcance y la utilidad de las técnicas numéricas.

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Capítulo 2

Algunas ideas fundamentales

Contenidos 2.1. CFD: estrategia de utilización 2.2. Discretización espacial: sistema algebraico de ecuaciones 2.2.1. Método de diferencias finitas 2.2.2. Método de elementos finitos 2.2.3. Método de volúmenes finitos 2.3. Solución del sistema algebraico de ecuaciones 2.3.1. Aplicación de condiciones de contorno 2.3.2. Dependencia de la malla 2.4. El problema de la no linealidad de las ecuaciones 2.5. Método iterativo de resolución 2.6. Criterio de convergencia para la solución iterativa 2.7. Estabilidad numérica 2.8. Precisión, consistencia, estabilidad y convergencia 2.9. El problema del cierre turbulento

Bibliografía de referencia: Este capítulo ha sido adaptado de Bhaskaran, R. y Collins, L., "Introduction to CFD Basics", Draft notes en la Sibley School of Mechanical and Aerospace Engineering, Cornell University (EE.UU.), 2002. Esta fuente, así como diversos tutoriales y materiales educativos, se pueden consultar directamente en su página web: https://confluence.cornell.edu/display/simulation/FLUENT+Learning+Modules

2.1 CFD: estrategia de utilización

2.1

CFD: estrategia de utilización

En general, la estrategia utilizada en el CFD es la de reemplazar un problema definido sobre un dominio continuo (hipótesis del continuo en Mecánica de Fluidos clásica) por un dominio discreto definido a partir de una malla. En el continuo, cada variable del flujo (presión, velocidad, temperatura) está definida en todos los puntos del espacio. Sin embargo, en el dominio discreto, cada variable del flujo está definida únicamente en los puntos (nodos) que configuran la malla. A este proceso se le denomina discretización espacial, porque el espacio se “discretiza” en un número finito de puntos. La figura 2.1 muestra un ejemplo simplificado de una variable fluidodinámica cualquiera, φ, sobre un dominio unidimensional comprendido entre 0 y 1. Se observa cómo el dominio ha sido discretizado en N puntos, de manera que la variable discretizada, φi, sólo puede tomar valores en dichos puntos. En una simulación CFD solamente se resuelven las variables de interés en los puntos que definen la malla. Los valores en otras posiciones se pueden determinar interpolando entre los valores resueltos en los nodos. Lógicamente, y como se recordará en el próximo capítulo, las ecuaciones de gobierno en derivadas parciales, así como las condiciones de contorno, están definidas matemáticamente mediante las variables continuas, φ. Es posible aproximar estas complejas ecuaciones no lineales por una serie de ecuaciones algebraicas que relacionan las variables discretizadas, φi. El sistema de ecuaciones resultante es un gran conjunto de ecuaciones algebraicas acopladas en variables discretas. Manipular este sistema y resolverlo (lo cual implica un problema de inversión matricial) requiere un número muy grande de cálculos repetitivos, que deberán ser realizados por ordenador. Esta idea, representada aquí a partir de un simplificado dominio unidimensional, puede ser fácilmente extrapolable a cualquier otro tipo de dominio genérico (multidimensional).

Dominio continuo 0 0,3)

Flujo ideal / Flujo ideal, no viscoso (μ = 0) potencial (si irrotacional)

Dinámica de gases (k = 0)

Flujo en la capa límite

Flujo laminar / turbulento (función del Re)

Transferencia de calor

Flujo viscoso (separado)

Flujo laminar / turbulento (función del Re)

Transferencia de calor

U∞

Flujo en la capa límite

Flujo no viscoso

Figura 3.2

Zonas de flujo externo sobre un perfil aerodinámico.

Flujo viscoso (separado)

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Capítulo 3

Ecuaciones diferenciales de conservación

3.4.1. Flujo potencial y flujo ideal En el caso de flujos con números de Reynolds suficientemente altos, despreciar los efectos viscosos y de conducción resulta una aproximación bastante cómoda, pues elimina los términos difusivos de segundo orden en las ecuaciones, convirtiéndolas en ecuaciones de primer orden. Manteniendo la condición de flujo subsónico, al igualar la viscosidad a cero, se obtienen las ecuaciones de Euler, en las que todo el transporte de cantidad de movimiento se debe a fenómenos convectivos macroscópicos. Esto es: G ∇⋅ v = 0 G G ⎛ ∂v G G⎞ ρ⎜ + (v ⋅ ∇ ) v ⎟= ρf − ∇p ⎝ ∂t ⎠

[3.19]

En el caso de flujo estacionario, se cumple que ⎛ v2 ⎞ p ∇⎜ ⎜ 2 + ρ + gz ⎟ ⎟= 0 , ⎝ ⎠  

H

por lo que H no varía a lo largo de una línea de corriente. Si el flujo es irrotacional se G cumple además que ∇ × v = 0, por lo que H se hace constante en todo el dominio del flujo. En estas condiciones, denominadas de flujo potencial, se puede definir un G potencial de velocidad, v = ∇Φ , que introducido en la ecuación de continuidad proporciona la ecuación de Laplace. Esta ecuación se resuelve con la condición de componente normal nula en la superficie de un cuerpo sumergido y con la especificación de la velocidad en los puntos lejanos al cuerpo. Una vez obtenido el campo de velocidades, la ecuación de Euler proporciona el campo de presiones. La ecuación de Laplace es lineal y posee soluciones exactas simples que pueden superponerse para crear nuevas soluciones. Los métodos para flujo potencial fueron desarrollados en los albores de las técnicas numéricas, a partir del concepto básico de potencial de velocidades. Constituye una simplificación muy ilustrativa para cálculo de flujos estacionarios con un gran interés conceptual. Cuando la velocidad no se puede expresar a partir de un potencial, el flujo ideal G se suele resolver introduciendo la vorticidad (∇ × v ), que ya no es nula, en las ecuaciones de cantidad de movimiento y energía.

3.4 Ecuaciones simplificadas para la resolución del flujo: técnicas numéricas

3.4.2. Flujo incompresible en la capa límite La capa límite es la zona del campo fluido próxima a un contorno sólido en la que se manifiestan especialmente los efectos viscosos. Debido a la viscosidad y a la condición de no deslizamiento, cerca de cualquier contorno sólido aparece un gradiente de velocidades en la dirección normal a dicho contorno. En la capa límite se puede hacer una serie de simplificaciones acerca de las derivadas de la velocidad en la dirección normal a la superficie. Además, se supone que en condiciones de equilibrio para flujo desarrollado (estacionario) el gradiente de presiones en la dirección vertical es cero, de modo que en flujo bidimensional cabe plantearse que:

∂u ∂v + =0 ∂x ∂y ∂u ∂v ∂2u 1 dpe u +v =− +υ 2 ∂x ∂y ρ dx ∂x

[3.20]

donde el subíndice e se refiere a la zona exterior, no afectada por la capa límite y donde la viscosidad es despreciable de modo que puede plantearse la ecuación de Bernouilli:

−

dpe du = ρue e . dx dx

Este sistema de ecuaciones se resuelve de forma diferente en función de que el régimen de flujo sea laminar o turbulento (tabla 3.2). En el caso laminar existe, además, una formulación analítica exacta para casos sencillos de flujo sobre placas planas. En el caso de flujo turbulento, es preciso abordar el problema desde un punto de vista estadístico, promediando las ecuaciones sobre un período de tiempo característico e introduciendo un modelo adicional de cierre para las tensiones de Reynolds. Se han desarrollado algunos métodos específicos para resolver el flujo en estas zonas próximas a los contornos sólidos. Algunas de las metodologías que se pueden encontrar en la bibliografía son: c

Modelos de distribución de pérdidas (actualmente en desuso).

c

Modelos de capa límite (Boundary layer approximations).

c

Modelos de capa de cortadura, TSH (Thin Shear Layer).

c

Modelos de ley de pared.

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64

Capítulo 3

Ecuaciones diferenciales de conservación

3.4.3. Flujo viscoso incompresible Aunque las simplificaciones que puedan aplicarse a las ecuaciones de gobierno son ya reducidas para este tipo de flujo, conviene poner énfasis en él por la gran cantidad de problemas relacionados con las condiciones de flujo viscoso incompresible. En realidad, salvo ciertas aplicaciones en la industria aeronáutica y aeroespacial, constituyen la aplicación más importante y compleja de resolver en la Mecánica de Fluidos (Batchelor, 1967). En condiciones de flujo isotermo, la hipótesis de incompresibilidad implica que la solución de las variables primitivas del flujo (presión y velocidad) se haga independiente del campo de temperaturas. El sistema de ecuaciones requerido queda reducido a la ecuación de continuidad adivergente y a la ecuación de cantidad de movimiento, que expresadas vectorialmente establecen: G ∇⋅ v = 0 G G ∂v G G G ρ + ρ (v ⋅∇ ) v = ρf − ∇p + μ∇2v ∂t

[3.21]

Contrariamente a lo que cabría esperar, la hipótesis de incompresibilidad complica la resolución de las ecuaciones. No sólo la densidad, sino también los distintos coeficientes de transporte del fluido, son independientes de la presión y de la temperatura. Pese a la ventaja que esto parece implicar, en la práctica las dos ecuaciones a resolver se vuelven “rígidas” por la ausencia de derivada temporal en la ecuación de continuidad, y su solución resulta más laboriosa al no ser posible una iteración tomando ambas expresiones como punto de partida. Respecto a las condiciones de contorno, éstas dependen del problema considerado. Así, si un contorno sólido limita el dominio, es necesario imponer velocidad nula en el mismo (no deslizamiento en la interfase líquido-sólido). En el caso de una interfase líquido-líquido, la velocidad y la tensión deben ser continuas, mientras que en los contornos de entrada y salida (alejados de la zona de interés) se deben especificar todas las variables dependientes menos una. Respecto a los esquemas de resolución, en el caso de flujo laminar y naturaleza bidimensional, es posible plantear una formulación alternativa a la ecuación 3.21 en términos de vorticidad y función corriente. La ventaja es eliminar la presión entre las dos componentes de la ecuación de cantidad de movimiento y evitar el problema antes mencionado de la falta de un punto de partida común para las dos ecuaciones en cada iteración. De esta forma se plantearía:

∂ξ ∂ξ ∂ξ 1 ⎛ ∂2 ξ ∂2 ξ ⎞ ∂u ∂v +u +v = ⎜ + 2⎟ − con ξ = ⎜ ⎟ 2 ∂t ∂x ∂y Re⎝ ∂x ∂y ∂x ∂y ⎠ ∂ψ ∂ψ ψ ⇒ u= ; v= donde ∇2 ψ = ξ ∂x ∂y

[3.22]

3.5 Clasificación matemática de las ecuaciones en derivadas parciales

En caso de flujo turbulento, la descripción del movimiento de las partículas fluidas debido al efecto de la turbulencia se vuelve muy complejo, y se requieren modelos adicionales y técnicas específicas (promediados, filtrados) para resolver numéricamente el flujo. En el capítulo 10 se mostrarán las metodologías fundamentales para abordar el fenómeno de la turbulencia en condiciones de flujo viscoso incompresible.

3.4.4. Flujo compresible Este tipo de flujos está asociado a altas velocidades o grandes diferencias de temperatura, por lo que la ecuación de la energía ya no está desacoplada de la ecuación de cantidad de movimiento. En el caso particular de flujo no viscoso se tendría: ∂ρ G + ∇⋅ ( ρv ) = 0 ∂t G G ⎛ ∂v G G⎞ ρ⎜ + (v ⋅ ∇ ) v ⎟= ρf − ∇p ⎝ ∂t ⎠ ⎛ ∂e G ⎞ G ρ⎜ + v ⋅ ∇e ⎟+ p∇⋅ v = 0 ⎝ ∂t ⎠

[3.23]

Para estas condiciones se ha trabajado intensamente en el desarrollo de un modelo parábolico de las ecuaciones de Navier-Stokes (PNS; Parabolized NavierStokes) que sea capaz de resolver flujos supersónicos e hipersónicos con captura de ondas de choque y transferencia de calor. Estas ecuaciones de gobierno parabólicas se obtienen a partir de las de Navier-Stokes introduciendo las hipótesis de flujo estacionario, gradientes de esfuerzos viscosos despreciables en la dirección de la corriente y gradientes de presión aproximados a su valor en las capas límites en la dirección de las líneas de corriente.

3.5

Clasificación matemática de las ecuaciones en derivadas parciales

La ecuación general de transporte es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden que gobierna las variaciones espacial y temporal de la variable φ. Si además las propiedades ρ y Γ o el término fuente Sφ son funciones de φ, entonces resulta ser no lineal.

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Capítulo 3

Ecuaciones diferenciales de conservación

Las ecuaciones de flujo representan un balance entre términos convectivos y términos difusivos, además de la inclusión de términos fuente. En flujos difusivos aparecen términos con derivadas de segundo orden como consecuencia de la ley de Fick generalizada. En flujos convectivos aparecen derivadas de primer orden que expresan propiedades de transporte o arrastre. Cada una de estas contribuciones tiene influencia en la naturaleza matemática de las ecuaciones, dando lugar a tres tipos de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales: elípticos, parabólicos e hiperbólicos. Desde el punto de vista físico, podemos distinguirlos a su vez según dos comportamientos clásicos: problemas de equilibrio (elípticos) y problemas transitorios (parabólicos e hiperbólicos), como se verá a continuación.

3.5.1. Consideraciones físicas El sistema de ecuaciones diferenciales a resolver necesita, además de una formulación linealizada y discretizada, de una serie de condiciones de contorno que cierren el dominio y fijen el valor de las variables en las zonas extremas, tanto en tiempo como en espacio. En función de estas condiciones se distinguen dos tipos de comportamiento: los problemas de equilibrio (equilibrium problems) y los problemas transitorios (marching problems). Los problemas de equilibrio comprenden aquellos casos de flujo estacionario cuya solución no va a variar en el tiempo. Pueden presentar una fase inicial no estacionaria, en la que evolucionan desde los valores iniciales hasta la solución final de forma asintótica, pero como las condiciones de contorno no dependen del tiempo ni el flujo produce fenómenos no estacionarios, la descripción final del campo fluidodinámico es estática. El típico ejemplo de este tipo de comportamientos es la distribución de temperatura en una placa plana, con condición de temperatura constante (en el tiempo) en los bordes. Este tipo de problemas está gobernado por ecuaciones elípticas, siendo la ecuación de Laplace el paradigma de todas ellas: flujo irrotacional de un fluido incompresible con transferencia de calor estacionaria por conducción. La resolución de este tipo de problemas exige la definición de las condiciones de contorno en las fronteras para todas las variables del flujo a resolver. Por esta razón también reciben el nombre de problemas de contorno. Los problemas transitorios, por el contrario, comprenden aquellos tipos de flujo cuya solución depende del tiempo o evoluciona con éste. Normalmente responden a este patrón los problemas de transferencia de calor transitorios, los flujos no estacionarios y fenómenos oscilatorios u ondulatorios. Este tipo de problemas está gobernado por ecuaciones parabólicas e hiperbólicas.

3.5 Clasificación matemática de las ecuaciones en derivadas parciales

Además, las condiciones de contorno no sólo deben estar bien definidas en las fronteras del dominio, sino que han de describir la variación temporal de las variables en esos contornos (al menos en aquellas donde vaya a haber variación temporal significativa). Lógicamente, el transitorio del problema dependerá de la condición inicial (en t = 0), por lo que a este tipo de problemas también se les denomina problemas de condición inicial. La tabla 3.3 resume las principales características de las ecuaciones en derivadas parciales desde el punto de vista físico de los problemas de flujo.

Tabla 3.3

Características de las ecuaciones de flujo desde el punto de vista físico (tomado de Versteeg y Malalasekera, 2007).

Problema tipo

Ecuación tipo

Problemas de equilibrio

Elíptica (laplaciana)

Problemas transitorios y disipación

Parabólica

Problemas transitorios sin disipación

Hiperbólica

Expresión tipo

Condiciones

Dominio tipo

Continuidad de solución

∇ ⋅ ( α∇φ) = 0

Condiciones de contorno

Cerrado

Sí

∂φ

Condiciones iniciales y de contorno

Abierto

Sí

Condiciones iniciales y de contorno

Abierto

Puede ser discontinua

∂t

= α∇ ⋅ ( ∇φ)

2

∂ φ ∂t

2

= c ∇ ⋅ ( ∇φ) 2

3.5.2. Consideraciones matemáticas Desde un punto de vista estrictamente matemático, las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se pueden clasificar a partir de una definición genérica, en coordenadas x e y de las mismas como:

a

∂2 φ ∂x 2

+b

∂2 φ ∂2 φ ∂φ ∂φ +c 2 +d +e + f φ+ g = 0 ∂x∂y ∂x ∂y ∂y

[3.24]

La clasificación de estas ecuaciones está determinada por el comportamiento de sus derivadas de orden superior, por lo que únicamente se considerarán estos términos y sus coeficientes. Además, se supone que los coeficientes a, b, c, d, e, f y g son constantes, o a lo sumo funciones de las coordenadas x e y, independientes por tanto de la variable φ.

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Capítulo 3

Ecuaciones diferenciales de conservación

Se puede demostrar que el comportamiento de la ecuación general 3.24 varía en función del signo del discriminante D = b2 – 4ac, de manera que es posible distinguir tres casos: c

Si D < 0: la ecuación se denomina elíptica.

c

Si D = 0: la ecuación se denomina parabólica.

c

Si D > 0: la ecuación se denomina hiperbólica.

A continuación se consideran brevemente algunas de las principales características de estos tipos de ecuación, especialmente por su relación con los fenómenos físicos que describen.

3.5.2.1. Comportamiento elíptico

La ecuación elíptica más básica es la ecuación de Laplace que, expresada en un dominio bidimensional, se obtiene de la ecuación general 3.24 cuando se fija que a = c = 1 y se igualan a cero el resto de coeficientes. Por tanto, establece que: ∂2 φ ∂x 2

+

∂2 φ ∂y 2

=0

[3.25]

La característica más importante de esta ecuación es que cualquier perturbación en el interior del dominio conlleva un cambio en todos los puntos restantes del dominio. Esto significa que las perturbaciones se pueden transmitir en todas las direcciones del espacio (imagínese la analogía con una piedra que se arrojase en medio de un estanque en reposo). Si existiese simetría completa, la perturbación se propagaría idénticamente en todas las direcciones, siendo el comportamiento de la ecuación de tipo esférico. Una consecuencia directa de lo anterior es que las condiciones en las fronteras afectan a la solución en todos los puntos del dominio. Por tanto, en el caso de que no existiesen términos fuente, el valor de la variable tiene que estar necesariamente acotado por los valores máximos en las condiciones de contorno. Además, puesto que cualquier perturbación se propaga en todas las direcciones, la solución de todo problema físico descrito por una ecuación elíptica es continua y suave, incluso si existen discontinuidades en las condiciones de contorno. Estas dos últimas propiedades son un buen criterio para comprobar que el método numérico empleado para resolver una ecuación elíptica es apropiado. Por tanto, es evidente que para que la información (en la resolución) se propague en todas las direcciones, las técnicas numéricas utilizadas en problemas elípticos deben permitir

3.5 Clasificación matemática de las ecuaciones en derivadas parciales

que cualquier variación en un punto del dominio pueda influir sobre todos sus nodos vecinos.

3.5.2.2. Comportamiento parabólico

La ecuación parabólica más básica es la ecuación de difusión en modo no estacionario, que expresada en un dominio bidimensional, se obtiene de la ecuación general 3.24 cuando se fija que a = –α y e = 1 y se igualan a cero el resto de los coeficientes. Por tanto, establece que: ∂φ ∂2 φ =α 2 ∂t ∂x

[3.26]

La característica fundamental de esta ecuación es que cualquier perturbación en el interior del dominio sólo puede tener influencia en instantes posteriores a la aparición de la perturbación, propagándose nuevamente en todas las direcciones del espacio. Además, la aparición de la derivada temporal exige la definición de unas condiciones iniciales que tendrán influencia en los valores futuros de la variable. Lógicamente, las condiciones iniciales afectan también a la solución en todos los puntos del dominio, aunque su impacto irá decreciendo conforme el tiempo avanza. La presencia del término difusivo conlleva que las condiciones en la frontera afecten a la solución en todos los puntos del dominio, al igual que en la ecuación elíptica (nótese que la ecuación parabólica se reduce a la elíptica cuando la derivada temporal se anula). Por tanto, en ausencia de términos fuente, el valor de la variable debe estar acotado por los valores máximos de las condiciones de contorno y de las condiciones iniciales. Las ecuaciones parabólicas pueden tender a un estado estacionario cuando t → ∞, en el que la solución sea independiente de los valores iniciales y por tanto se recupere el carácter elíptico. De todas formas, queda claro a la vista de la ecuación fundamental 3.26 que en este tipo de problemas la variable temporal se comporta de manera muy diferente respecto del resto de las variables espaciales. La variación en t sólo admite influencias en un sentido (one-way), mientras que la variable x permite variaciones en los dos sentidos (two-way), esto es, propagaciones en todas las direcciones del espacio en 3-D. Por esta razón, la variable t se conoce habitualmente como dimensión transitoria o parabólica. Las variaciones espaciales también pueden comportarse de este modo, como por ejemplo en el caso de un flujo axial en el interior de una tubería, pero debe ser el propio flujo el que imponga una limitación (física, no matemática) al sentido de propagación (en ese caso, cualquier perturbación se propaga hacia aguas abajo en caso de flujo subsónico).

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Capítulo 3

Ecuaciones diferenciales de conservación

3.5.2.3. Comportamiento hiperbólico

La ecuación hiperbólica más básica es la ecuación de onda, característica en problemas vibratorios u ondulatorios, y que, expresada en un dominio bidimensional, se obtiene de la ecuación general 3.24 cuando se fija que a = –ω2 y c = 1 y se igualan a cero el resto de los coeficientes. Por tanto, establece que: ∂2 φ ∂t 2

2

=ω

∂2 φ

[3.27]

∂x 2

donde ω representa la velocidad de propagación de una perturbación en el seno del fluido. Este tipo de ecuaciones aparece en problemas no estacionarios con fenómenos de disipación prácticamente despreciables. Además de la ecuación de onda y fenómenos vibratorios afines, como el caso de los modos de vibración de una cuerda, el comportamiento hiperbólico está íntimamente ligado al caso de flujo compresible en régimen transónico y supersónico. Para este tipo de flujos, la velocidad del sonido (es decir, la velocidad de propagación de las perturbaciones en el medio) puede dar lugar a la aparición de ondas de choque, que son claras manifestaciones de la naturaleza hiperbólica de sus ecuaciones de gobierno. Las ecuaciones no viscosas (o con disipación viscosa irrelevante) de flujo compresible son hiperbólicas y ponen de relieve que las perturbaciones en un punto únicamente pueden alcanzar unas zonas muy limitadas en el espacio. Al contrario que en los comportamientos elíptico y parabólico, en los que se supone que la velocidad de propagación de las perturbaciones es infinita, en el caso hiperbólico su valor es finito e igual a la velocidad de propagación ω. La figura 3.3 muestra esquemáticamente para las ecuaciones 3.25 a 3.27 el sentido de las zonas de dependencia y zonas de influencia de los distintos tipos de comportamiento de las ecuaciones en derivadas parciales. En abscisas, el eje x representa la dimensión espacial unidimensional, mientras que el eje de ordenadas representa el eje temporal t. t

t

t

P(x, t) P(x, t) P(x, t) Zona de dependencia x=0

x=L Hiperbólico

Zona de dependencia

Zona de dependencia x=0

x=L Parabólico

x=0

x=L Elíptico

Figura 3.3 Zonas de dependencia para comportamientos hiperbólicos, parabólicos y elípticos (adaptado de Versteeg y Malalasekera, 2007).

3.5 Clasificación matemática de las ecuaciones en derivadas parciales

3.5.3. Clasificación para las ecuaciones de flujo La ecuación general de conservación mostrada en la ecuación 3.7 tiene mucho en común con los distintos tipos de comportamiento presentados anteriormente para las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Así, por ejemplo, bastaría con imponer condiciones estacionarias en ausencia de flujo para plantear una difusión pura con comportamiento elíptico. El mismo problema, pero en condiciones no estacionarias, mostraría un comportamiento parabólico. Por otro lado, el término convectivo de la ecuación de transporte tiene un claro carácter hiperbólico. En la mayoría de las aplicaciones para la Ingeniería, la ecuación presenta un comportamiento mixto, con términos difusivos dándole un carácter elíptico y términos temporales y convectivos otorgándole características parabólicas e hiperbólicas. La correcta clasificación de la ecuación de transporte puede ser de interés puesto que en función del comportamiento característico de la ecuación existen distintos métodos numéricos de discretización y resolución de las ecuaciones. Sin embargo, en los próximos capítulos se abordarán métodos numéricos generales capaces de manejar el comportamiento mixto de las ecuaciones de gobierno, tal y como se hace hoy día en la mayoría de softwares comerciales. Las ecuaciones de Navier-Stokes, así como sus expresiones simplificadas (vistas en el apartado 3.4), se pueden clasificar según los comportamientos vistos con anterioridad, tal y como se muestra en la tabla 3.4.

Tabla 3.4

Clasificación del comportamiento de los principales tipos de flujo (tomado de Versteeg y Malalasekera, 2007).

Tipo de flujo

Flujo estacionario

Flujo no estacionario

Flujo viscoso

Elíptico

Parabólico

Flujo ideal (no viscoso)

Si Ma < 1: Elíptico Si Ma > 1: Hiperbólico

Hiperbólico

Flujo en capa límite (thin shear layer)

Parabólico

Parabólico

La clasificación de la tabla 3.4 es una clasificación formal de las ecuaciones de flujo, puesto que en la práctica, la mayoría de los flujos se comporta de forma compleja. De todas formas, queda claro que las ecuaciones de Navier-Stokes estacionarias, así como la ecuación de la energía (o la entalpía) son formalmente elípticas, mientras que su formulación no estacionaria es parabólica.

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Capítulo 3

Ecuaciones diferenciales de conservación

La clasificación matemática de las ecuaciones para flujo ideal es notablemente diferente debido a la falta de los términos (viscosos) disipativos de orden superior. En este caso, la clasificación depende en realidad de la importancia de los fenómenos de compresibilidad y por extensión del valor del número de Mach (Ma). Así, la naturaleza elíptica de los flujos ideales para números de Mach menores de la unidad se debe a la acción de los gradientes de presión: la presión puede propagar perturbaciones a velocidades sónicas, que es mayor que la velocidad del flujo. Por el contrario, si la velocidad del flujo es supersónica (Ma > 1) la presión es incapaz de propagarse a las regiones aguas arriba, limitando las zonas de influencia de las perturbaciones y dando el carácter hiperbólico a las ecuaciones de gobierno. Finalmente, en el caso de flujos con elevados números de Reynolds, en los que las zonas de influencia viscosa ocupan una extensión muy reducida dentro del problema estudiado y el resto de zonas pueden considerarse como flujo ideal, todas las derivadas de la velocidad en la dirección del flujo (normalmente, direcciones x y z) son mucho más pequeñas que las derivadas en la dirección transversal (dirección y). Capas límite, chorros, capas de cortadura, estelas y flujos en conducto totalmente desarrollados son ejemplos que responden a este patrón (thin shear layer). Es estas condiciones, las ecuaciones de gobierno contienen únicamente un término (de segundo orden) de difusión, lo que resulta en un comportamiento claramente parabólico. A modo de recordatorio y resumen de la ecuación general de conservación, se insiste en que: c

Los fenómenos de difusión actúan en todo el espacio, independientemente de la dirección predominante del flujo (comportamiento elíptico).

c

Los fenómenos de convección actúan en la dirección de propagación, en regiones concretas del espacio (comportamiento hiperbólico).

c

Entre ambas situaciones, una ecuación con comportamiento parabólico representa una situación intermedia que se puede interpretar como un proceso de difusión en todas las direcciones, pero amortiguado en el tiempo.

3.6

Condiciones iniciales y de contorno

La complejidad de la mezcla de comportamientos elípticos, parabólicos e hiperbólicos tiene fuerte implicaciones en la manera en que las condiciones de contorno deben introducirse en un problema fluidodinámico, en particular en aquellas zonas en las que el flujo está limitado por condiciones de contorno fluidas (no contornos sólidos).

3.6 Condiciones iniciales y de contorno

Típicamente se definen tres tipos distintos de problema en función de las condiciones de contorno e iniciales necesarias para la resolución de un flujo. Éstos son: c

c

c

Problemas de contorno: se fijan condiciones en los contornos del dominio y se busca la solución en el interior. Este tipo de problemas aparecen en el caso de flujo estacionario subsónico no viscoso irrotacional o en el caso de flujo estacionario viscoso. Hay 3 variantes (v. figura 3.4): c

Condición de Dirichlet (valor).

c

Condición de Von Neumann (flujo).

c

Condición de Robin (combinación).

Problemas de valor inicial: se conoce la solución en t = 0 y se busca la evolución de dicha solución en el tiempo. A este tipo de problema corresponden el flujo no estacionario viscoso, el flujo estacionario supersónico no viscoso o el flujo en capa límite. Problemas híbridos, como es el caso del flujo estacionario subsónico rotacional o el flujo estacionario no viscoso irrotacional con zonas subsónicas y supersónicas.

JA

h

A

Von Neumann (flujo) Figura 3.4

Dirichlet (valor)

Tipos de condiciones de contorno.

Robin (mixta)

73

4 MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS (MVF)

Los fenómenos físicos relacionados con los flujos y la transferencia de calor pueden ser descritos mediante una ecuación general de transporte, conservativa, cuya resolución numérica exige de la definición de una discretización y del uso de un método de resolución. La bibliografía científica recoge varios métodos para discretizar las ecuaciones básicas de conservación de la Mecánica de Fluidos, entre los que destacan los métodos de diferencias finitas (FDM), elementos finitos (FEM) y volúmenes finitos (MVF, o FVM en inglés). Sin embargo, este último es el más general y más extendido, por lo que en este capítulo (y en el resto del libro) nos centraremos esencialmente en él. En este capítulo se muestra cómo discretizar por volúmenes finitos los distintos términos que componen la ecuación general de conservación. Se recogen además los distintos esquemas que se emplean para evaluar los flujos en las distintas caras de los volúmenes de control de una malla. También se muestran las distintas estrategias que se utilizan para discretizar dominios complejos, y cómo implementar la discretización temporal en el caso de flujos no estacionarios.

76

Capítulo 4

Método de volúmenes finitos (MVF)

Contenidos 4.1. Conceptos generales 4.2. Características y tipos de mallado 4.2.1. Mallado estructurado 4.2.2. Mallado no estructurado 4.2.3. Calidad de la malla y buenas prácticas 4.3. Discretización numérica por el método de volúmenes finitos 4.3.1. Definiciones generales de la metodología numérica 4.3.2. Fundamentos del método de volúmenes finitos 4.4. Implementación del método de volúmenes finitos 4.4.1. Mallados decalados 4.4.2. Discretización del término temporal 4.4.3. Discretización del término fuente 4.4.4. Discretización del término difusivo 4.4.5. Discretización del término convectivo 4.4.6. Ecuación algebraica por volúmenes finitos 4.5. Métodos de discretización espacial 4.6. Métodos de discretización temporal

Bibliografía de referencia: Los apartados 4.2, 4.3, 4.5 y 4.6 han sido extractados de Hirsch, C., "Numerical Computation of Internal and External Flows. The Fundamentals of Computational Fluid Dynamics" Ed. Elsevier-Butterworth-Heinemann, 2007. Part II, "Basic Discretization Techniques".

4.1 Conceptos generales

4.1

Conceptos generales

El objetivo del método de volúmenes finitos es desarrollar una metodología numérica para resolver la ecuación general de transporte. La idea de partida fundamental es el concepto de discretización: reemplazar una solución analítica en derivadas parciales que proporciona el valor de φ de forma continua en todos los puntos del espacio por una solución numérica aproximada que da el valor de φ únicamente en una serie de puntos discretos definidos por la malla del dominio. El método de volúmenes finitos propone una forma de llevar a cabo esa discretización. En particular, establece que los valores discretos de φ quedarán descritos por un conjunto de ecuaciones algebraicas que relacionan el valor de la variable en un punto con el valor en los puntos vecinos. La forma en que se transmite la información entre esos nodos requiere de algún tipo de aproximación, que en el caso de volúmenes finitos es mediante esquemas conservativos que evalúan los flujos a través de superficies de control. La transformación de las ecuaciones diferenciales en un conjunto de ecuaciones algebraicas precisa necesariamente de una discretización espacial. Esto se consigue generando una malla que permite dividir el dominio de interés en una serie de celdas a las cuales se les asocia el valor de la variable discreta φ. La razón por la cual el método de volúmenes finitos es el más empleado para desarrollar códigos CFD reside en su generalidad, su simplicidad conceptual y su facilidad para ser implementado en cualquier tipo de mallado, ya sea estructurado o no estructurado. Existen una serie de propiedades fundamentales en el método de volúmenes finitos que merece la pena destacar. En primer lugar, hay que recordar que el método discretiza el dominio en un número finito de celdas (o volúmenes de control). Por tanto, el método se basa en valores discretos que están promediados en la celda, la variable numérica fundamental en toda aplicación de CFD. Esto distingue claramente al método de volúmenes finitos de otros métodos como diferencias finitas o elementos finitos, en los que la variable numérica fundamental es el valor local de la función en los nodos de la malla. Tras la generación del mallado, el método de volúmenes finitos asocia un volumen finito local, también denominado volumen de control, a cada punto de la malla, y a continuación aplica las leyes integrales de conservación a cada volumen local. Esta es otra gran diferencia con el método de diferencias finitas, donde el espacio discretizado se considera como un conjunto de puntos, mientras que en MVF el espacio discretizado está formado por un conjunto de pequeñas celdas, donde cada una de ellas está asociada a un nodo de la malla.

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Capítulo 4

Método de volúmenes finitos (MVF)

El método de volúmenes finitos tiene más ventajas con las mallas arbitrarias, en las cuales un gran número de opciones quedan abiertas para poder definir distintos volúmenes de control en los que imponer las leyes de conservación. La posibilidad de modificar la forma y la localización de los volúmenes finitos asociados a los nodos, así como las leyes y la precisión en la evaluación de los flujos a través de las superficies de control, proporciona una enorme flexibilidad al MVF. Esto explica la generalidad del método, aun cuando existan una serie de reglas que deben respetarse durante estas operaciones. Una ventaja esencial del método de volúmenes finitos es que garantiza una discretización conservativa, que encaja perfectamente con el hecho de tener que resolver una ecuación de transporte conservativa. En las ecuaciones discretizadas es muy importante mantener la conservación global de las variables básicas del flujo: masa, momento y energía; por lo que será preciso respetar una serie de condiciones en la forma en que se lleva a cabo la discretización. El método de volúmenes finitos tiene, por tanto, una ventaja decisiva: la discretización conservativa se satisface automáticamente con la discretización directa de la forma integral de las ecuaciones de gobierno. Esta propiedad fundamental se discutirá en detalle en el apartado 4.3.

4.2

Características y tipos de mallado

La generación de la malla es la parte más importante en la preparación de un modelo para simulación por CFD. Ninguna simulación puede realizarse sin haber previamente definido una malla con una distribución de puntos (celdas) apropiada. Se han desarrollado un gran número de métodos para ayudar al usuario de las técnicas CFD a generar mallas óptimas. Ha de tenerse en cuenta que la importancia de las propiedades de la malla son esenciales, por cuanto la precisión y la bondad de los resultados finales estarán extremadamente condicionadas por la calidad de la malla utilizada. Toda malla empleada en el método de volúmenes finitos discretiza el dominio físico en un número finito de celdas, siendo la celda la unidad fundamental del mallado (v. figura 4.1). Cada celda está asociada a un centroide, y también está limitada por un número de superficies o caras, que a su vez están ancladas a una serie de nodos o vértices. El tipo de conectividad existente entre los diferentes puntos (celdas) de la malla permite clasificar los mallados en dos categorías básicas: mallas estructuradas y mallas no estructuradas. En las primeras, la retícula de celdas se construye a partir

4.2 Características y tipos de mallado

Cara Celda

Vértice Celda

Centroide

Malla no estructurada Figura 4.1

Nodo (Vértice)

Cara

Malla estructurada

Terminología empleada en el método de volúmenes finitos.

de una red de familias de líneas coordenadas; mientras que en las segundas la red no sigue ningún tipo de dirección preferente. El desarrollo de mallas no estructuradas ha sido una consecuencia de la necesidad de desarrollar geometrías cada vez más complejas en las que no es fácil poder adecuar bloques paralepipédicos con mallas ortogonales. El empleo de este tipo de mallas consigue reducir significativamente los tiempos de construcción de los modelos, pero, lógicamente, existe una penalización, tanto en términos de precisión como en coste computacional, en comparación con las mallas estructuradas. Sea cual sea el tipo de malla que el usuario de CFD vaya a emplear, es esencial satisfacer una serie de requisitos básicos para conseguir una buena discretización. Entre ellos es preciso destacar los siguientes: c

La malla debe ser generada con cierta previsión en función del tipo de flujo que se espera resolver.

c

Es necesaria una mayor resolución en aquellas zonas donde el flujo presente importantes gradientes.

c

Es muy importante que el mallado se distribuya por todo el dominio de la forma más regular posible, de modo que no haya variaciones importantes en la malla.

c

La resolución en las zonas donde se establezca una capa límite debe estar en consonancia con el modelo de turbulencia y de pared que luego vaya a utilizarse.

c

Deben evitarse elementos singulares, muy deformados (celdas angulosas).

c

Es interesante que el mallado sea capaz de adaptarse de forma dinámica a las variaciones de las variables en la solución del flujo.

c

El tamaño global de la malla debe ajustarse a las posibilidades y potencia de cálculo de los equipos en los que vaya a resolverse el problema.

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80

Capítulo 4

Método de volúmenes finitos (MVF)

4.2.1. Mallados estructurados Los mallados estructurados son, de algún modo, la elección más “natural” para resolver un flujo determinado, pues éste estará generalmente alineado con las direcciones principales de la malla. En cierto sentido, las líneas de la malla siguen a las líneas de corriente, las cuales se alinean con los contornos sólidos del dominio. Es importante destacar que las mallas estructuradas tienen, en comparación con las no estructuradas, mejores prestaciones desde el punto de vista del CFD en términos de precisión, tiempo de cálculo y consumo de memoria computacional. Por tanto, el empleo de mallas no estructuradas está únicamente ligado a la necesidad industrial de generar geometrías en reducidos intervalos de tiempo y al uso de herramientas automáticas de generación de mallas. Aunque resulta más complejo, las mallas estructuradas también pueden sistematizarse para poder ser generadas de forma automática. Requieren de la elección de bloques y familias topológicas bien definidas (escalables, modulares, etc.) y del uso de macros o scripts para completar operaciones repetitivas de mallado. Finalmente, otra ventaja importante de las mallas estructuradas es que su morfología es ideal para la extensión a dominios tridimensionales. En primer lugar, porque se economiza el número de celdas, ya que a igualdad de densidad de malla, los mallados no estructurados están formados por un número mayor de celdas que los estructurados. Y en segundo lugar, porque pueden ser extruidos según una dirección preferente, permitiendo un mallado completamente regular en todas las direcciones. De esta forma, es posible plantear estrategias de economización del número de celdas, distribuyendo inteligentemente el patrón de nodos en todas las direcciones del espacio. La malla estructurada ideal es una distribución cartesiana de los nodos, de modo que todos los puntos estén equidistantes y las celdas sean cubos, donde se cumple que ∆x = ∆y = ∆z. Este tipo de malla proporciona la mayor precisión posible en el método de volúmenes finitos y se llega a la misma formulación que en el caso de diferencias finitas. Por tanto, es muy habitual que la evaluación de la calidad de una malla (o una celda) se refiera en términos relativos a una celda cúbica ideal (v. apartado 4.2.3). Cuando la geometría a simular presenta contornos alabeados o curvos, éstos no pueden formar parte de líneas cartesianas. Para introducirlos, o bien se mantienen las líneas cartesianas con un tratamiento especial para las celdas que cortan esos contornos curvados, o bien se emplean mallas curvilíneas de manera que éstas se adapten a la forma de los contornos de la geometrías. Este segundo tipo de estrategia, denominado mallado curvilíneo generalizado o body-fitted (por aquello de que se amolda a la forma del dominio), define unas coordenadas curvilíneas (ξ, η, ζ) con

4.2 Características y tipos de mallado

isolíneas coincidentes con los puntos de la malla en el espacio físico y que se vuelven cartesianas en el espacio matemático definido por ellas. Uno de los principales inconvenientes de las mallas estructuradas es que presentan cierta rigidez. Así, por ejemplo, si se quiere introducir localmente un nuevo punto en la malla, es imprescindible hacer pasar nuevas líneas ortogonales por el punto, que, por extensión, afectarán al resto de los puntos del dominio, obligando a regenerar toda la familia de curvas ya existentes. En el caso de geometrías complejas esto puede llegar a ser muy laborioso, y al usuario puede darle la sensación de que la generación de la malla es algo manual, casi artesanal. Para evitar estos inconvenientes, es habitual introducir mallas multibloque, de manera que el dominio completo se subdivide en bloques independientes. Además, para facilitar aún más las operaciones de mallado, se suele permitir que la conectividad de los puntos no sea total, de modo que haya líneas que no tengan su línea correspondiente en el bloque adjunto (non-matching lines). Otra opción, aunque más compleja desde el punto de vista matemático, es el empleo de mallas superpuestas (overlapping grids). De forma general, los mallados estructurados pueden clasificarse de la siguiente forma: c

Mallas cartesianas uniformes: sólo aplicables para geometrías regulares sencillas.

c

Mallas cartesianas no uniformes: la malla sigue siendo ortogonal, pero ya no es regular en todas las direcciones. Entre ellas se distinguen: c

c

Mallas distribuidas, en las que las líneas de malla se apilan o concentran en determinadas zonas. Ideales para capas límites y zonas locales con grandes gradientes. Mallas quadtree (2-D)/octree (3-D), en las que también se permiten refinos locales de la mallas, pero a costa de introducir hanging-nodes, es decir, puntos sin líneas correspondientes en todas las direcciones. Este tipo de mallas da lugar a lo que habitualmente se denomina non-conformal grids.

Para tener en cuenta el corte de estas mallas cartesianas con contornos curvos, se utiliza alguno de estos métodos: c

c

Inmersed boundary method, en el que se mantiene la malla cartesiana a ambos lados del contorno y se define un método numérico en el solver para introducir la condición de contorno física. Staircase shape, en el que los contornos sólidos curvos se aproximan por “dientes de sierra” o escalones. Requiere de una densidad local de malla muy grande para ofrecer cierta resolución y buena precisión.

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Capítulo 4

c

c

c

Método de volúmenes finitos (MVF)

Cut-cells, en el que la intersección del contorno alabeado con la malla cartesiana define celdas con formas arbitrarias que deben ser implementadas.

Mallas body-fitted estructuradas: la malla se hace curvilínea para adaptarla lo más posible a la forma geométrica del dominio a modelar. Normalmente emplea métodos sofisticados para mantener condiciones de continuidad y suavidad en el tamaño de las celdas. Dependiendo de la orientación de las líneas del mallado, se pueden plantear distintas configuraciones, identificadas por una letra que recuerda la forma de dichas líneas. Los más habituales son: c

Mallado en H (H-mesh).

c

Mallado en C (C-mesh).

c

Mallado en O (O-mesh).

c

Mallado en I (I-mesh).

Mallas multibloque (Multi-block grids): consisten en una combinación de mallas estructuradas, que aplican diversas topologías en diferentes zonas del dominio. De esta manera se consiguen: c

Matching and non-matching boundaries entre bloques, dependiendo de si se hacen o no interfaces conformes o no conformes (correspondencia biunívoca –o no– entre puntos de la mallas en distintos bloques).

c

Mallados C-H.

c

Mallados H-O-H.

c

Mallados en forma de mariposa (butterfly grids) para flujos internos, muy apropiados para hacer transformaciones de geometrías cuadradas a geometrías circulares (circunscritas).

Mallado cartesiano no uniforme Figura 4.2

Malla body-fitted estructurada en C

Ejemplos de mallas estructuradas.

Malla multibloque estructurada

4.2 Características y tipos de mallado

c

Mallados O-H con matching and non-matching boundaries.

c

Superposición de mallas (overset/overlapping grids).

4.2.2. Mallados no estructurados Los mallados no estructurados se han ido convirtiendo en el estándar para el CFD de uso industrial debido a la imposibilidad de generar mallas estructuradas de forma completamente automática sobre geometrías arbitrarias. Las mallas no estructuradas permiten, gracias a diversos algoritmos de generación (técnicas de avance frontal y de triangularización de Delaney), cubrir con celdas tetraédricas cualquier dominio tridimensional sin necesidad de conocer a priori las topologías constitutivas del mismo. Una de las grandes ventajas de las mallas no estructuradas es la posibilidad de efectuar un refino local sin afectar la distribución de celdas fuera de esa zona. Esto permite introducir estrategias de adaptación de la malla, bien para refinar localmente, bien para reducir el número de celdas, mediante algún criterio basado en el gradiente del flujo o en estimación de errores. Por tanto, la adaptación de la malla se usa para incrementar o reducir el número de puntos de la malla de forma que se incremente la precisión en aquellas regiones con fuertes gradientes del flujo y se ahorre el gasto computacional en aquellas zonas donde se ha alcanzado un nivel aceptable de precisión. Puesto que cualquier geometría poligonal puede ser reducida progresivamente a un conjunto de elementos triangulares y cuadriláteros, las mallas no estructuradas emplean este tipo de elementos como su unidad básica de generación de celdas. Por esta razón, la mayoría de los generadores de malla no estructurada consideran las siguientes topologías básicas: c

Mallas triangulares (2-D)/ tetraédricas (3-D): Presentan una flexibilidad extrema a la hora de adaptarse a los límites del dominio, permitiendo una construcción automática del mismo. Generalmente basta con especificar un número de nodos a los contornos, y un algoritmo de cálculo es capaz de generar toda la retícula de celdas.

c

Mallas híbridas: El gran inconveniente de los mallados no estructurados es que capturan de forma muy deficiente los fenómenos relacionados con la capa límite, tanto en la proximidad de contornos sólidos como en zonas de estelas, chorros o capas de cortadura[1]. Una solución de compromiso, bastante eficiente, es

1. Se puede deducir que la relación de aspecto óptima de una celda en la capa límite de un flujo a altos números de Reynolds debería ser del orden de ∆x/∆y ∼ Re0,5, donde ∆x y ∆y son los tamaños de malla representativos en la dirección de la corriente y su perpendicular, respectivamente. Esto implica relaciones de aspecto del orden de 1000 (para flujos industriales típicos), y la generación de triángulos increíblemente deformados, con relaciones base-altura de ese orden, que comprometerían significativamente la convergencia y la fiabilidad de la solución.

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Capítulo 4

Método de volúmenes finitos (MVF)

emplear mallados híbridos, de forma que se introduce un mallado estructurado en la capa límite que a continuación se conecta con el resto del dominio mediante un mallado no estructurado. Así se consigue, además, una gran densidad de nodos en la capa límite, y un progresivo descenso del número de celdas en zonas alejadas de la capa límite, donde normalmente hay menores gradientes. c

Mallas cuadriláteras (2-D)/hexaédricas (3-D): Otra opción interesante es emplear celdas con forma de cuadriláteros, distribuidas arbitrariamente y de forma desorganizada sobre el dominio, que en geometrías tridimensionales se convierte en prismas de base hexagonal. Este tipo de elementos son más eficientes que los puramente triangulares o tetraédricos y necesitan de menores recursos de memoria (el ratio entre número de celdas y número de vértices es cercano a 6 para tetraedros, mientras que se mantiene prácticamente en 1 para hexaedros).

c

Mallas arbitrarias: Este tipo de configuración, totalmente genérica, se suele conseguir mediante algún tipo de proceso de aglomeración de celdas más sencillas (triangulares/cuadriláteras), o bien empleando la malla dual respecto de una malla híbrida original (uniendo los centros de las celdas de partida). El método de agregación tiene importancia en los métodos multigrid de aceleración de convergencia (v. capítulo 9), en los que se agrupan las celdas en mallados menos densos (normalmente se usan ratios de 1:8) y se avanza en la solución iterativa por niveles.

Mallado triangular no uniforme

Mallado cuadrilátero no estructurado

Triángulos

Cuadriláteros

Malla tetraédrica no estructurada

Figura 4.3

Malla híbrida en forma de capa límite

Ejemplos de mallas no estructuradas.

4.2 Características y tipos de mallado

4.2.3. Calidad de la malla y buenas prácticas Uno de los puntos críticos de cualquier simulación CFD es la inevitable pérdida de precisión asociada al empleo de mallas no uniformes, hecho especialmente grave si se consideran los esquemas de discretización empleados en la práctica, estrictamente de segundo orden sobre mallas uniformes. Téngase en cuenta que aunque se utilicen esquemas numéricos de orden superior, si se aplican sobre mallas con importantes saltos en la progresividad de las celdas, éstos se reducen automáticamente a primer orden. Los esquemas de primer orden conllevan importantes niveles de error, haciéndolos desaconsejables para problemas no estacionarios y excesivamente difusivos para problemas estacionarios. Además de la suavidad y continuidad de la malla, hay otros factores importantes (relacionados más con cada celda en particular que con la malla en su conjunto) como pueden ser la distorsión de las celdas o su degeneración respecto a la celda cartesiana ideal. Para cuantificar estas ideas es muy habitual definir una serie de parámetros, como por ejemplo la relación de aspecto, ∆x/∆y, o el factor de distorsión (skewness factor), que miden el ángulo entre dos caras adyacentes en una celda. Aunque no es fácil cuantificar el efecto de estos parámetros de forma sobre la precisión y fiabilidad del modelo numérico, sí es recomendable tener en cuenta que celdas muy distorsionadas (alta relación de aspecto y alta distorsión) siempre tendrán un efecto negativo sobre la precisión de la solución, y, como consecuencia, la convergencia del modelo empeorará. En función de todo esto, es imprescindible seguir las siguientes recomendaciones para conseguir un mallado con una buena calidad: c

Bajo ningún concepto deben aparecer discontinuidades en los tamaños de las celdas. Si existe variación entre zonas, ésta debe ser progresiva y suavizada. Cualquier salto inesperado en el tamaño de las celdas puede reducir la precisión local a orden cero.

c

Cuando el tamaño de la malla varía, debe hacerlo de forma continua en todas las direcciones. Esto no es nada fácil de conseguir, por lo que se debe ser muy precavido y cuidadoso en la utilización de este tipo de estrategias.

c

Es imprescindible minimizar, cuando no eliminar, la distorsión de celdas, evitando elementos en forma de cuña, cóncavos o con ángulos entre caras que se alejan demasiado de la ortogonalidad. Si esos ángulos son excesivamente pequeños (menores de 20-30 grados), la pérdida de calidad en los resultados está asegurada.

c

Hay que evitar celdas con uno (o varios) lados muy pequeños. Esto es únicamente aceptable en las capas límites, donde se pueden utilizar grandes relaciones de aspectos si las celdas son suficientemente ortogonales al contorno sólido (o a la dirección preferente de cortadura).

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Capítulo 4

Método de volúmenes finitos (MVF)

La importancia de estas recomendaciones es especialmente crítica en zonas de flujo con altos gradientes en las que se observan rápidas variaciones de las variables fluidodinámicas. En zonas de flujo uniforme o cuasiuniforme, estas restricciones pueden relajarse. También conviene insistir en algunos puntos importantes con respecto a la generación automática de mallas no estructuradas. En particular, es deseable una eficiente conversión de información desde los sistemas CAD a los generadores de malla para poder “apoyar” la malla no estructurada de manera efectiva sobre los distintos contornos sólidos; es muy recomendable el uso de técnicas de generación de malla eficaces, de modo que se preserven las propiedades anisotrópicas de la malla en las zonas contiguas a las paredes; y deben implementarse funcionalidades para adaptación de la malla en módulos adjuntos al solver.

4.3

Discretización numérica por el método de volúmenes finitos

En este apartado se van a resumir algunos conceptos básicos relacionados con el método de volúmenes finitos y sus implicaciones en la implementación práctica de un código de resolución.

4.3.1. Definiciones generales de la metodología numérica La forma general de una ley de conservación para una cantidad escalar U, con fuentes volumétricas Q, sobre un volumen finito que incorpora flujos por las caras del volumen de control viene dada por: ∂ ∫ U dΩ + ∫S J ⋅ dS = ∫Ω Q dΩ ∂t Ω

[4.1]

La ecuación general de transporte en su formulación integral ya había sido definida en el capítulo anterior como ∂ ∫ ρ φ dV + ∫ ( ρ v φ − Γ ∇φ) ⋅ dA = ∫ Sφ dV ∂t V A V

4.3 Discretización numérica por el método de volúmenes finitos

(ecuación 3.17 con los flujos convectivo y difusivo Gagrupados en la misma integral G de superficie). Basta con identificar que U = ρ φ, J = ρ v φ − Γ ∇φ y Q = Sφ, así como que el volumen se representa por Ω en lugar de V y el área por S en vez de A, para entender que estamos ante la misma expresión. En este capítulo se utilizará esta nueva nomenclatura introducida en la ecuación 4.1, pues es muy habitual su uso en la mayoría de los textos de referencia. Además, esta forma de expresar la ecuación de transporte es muy compacta e identifica de forma matemática el sentido de los términos involucrados: término temporal (unsteady), término de flujo por las superficies de control (fluxes) y término fuente. La propiedad esencial de esta formulación es la presencia de la integral de superficie, así como el hecho de que la variación temporal de U dentro del volumen dependa únicamente de los flujos a través de esas superficies. Para observar que realmente se cumple que el esquema es conservativo, se procede a continuación a subdividir un volumen cualquiera en tres subvolúmenes (figura 4.4).

B C

Ω1

Ω2

D Ω3

E

A Figura 4.4

Leyes de conservación para los subvolúmenes Ω1, Ω2 y Ω3.

Aplicando las leyes de conservación a cada subvolumen se tendría:

⎫ ∂ U dΩ + ∫ J ⋅ dS = ∫ Q dΩ ⎪ ∫ ABCA Ω1 ∂t Ω1 ⎪ ⎪ ∂ U dΩ + ∫ J ⋅ dS = ∫ Q dΩ⎬ ∫ DEBD Ω2 ∂t Ω2 ⎪ ⎪ ∂ ∫ U dΩ + ∫AEDA J ⋅ dS = ∫Ω3 Q dΩ⎪⎭ ∂t Ω3

[4.2]

Nótese que se puede recuperar la conservación global si simplemente se suman las tres ecuaciones en 4.2. Además, cuando se suman las integrales de superficie, las contribuciones de las líneas interiores ADB y DE siempre aparecen dos veces, pero

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Capítulo 4

Método de volúmenes finitos (MVF)

con signos opuestos, evidenciando que los flujos internos se cancelan dos a dos. Por G G ejemplo, para el volumen Ω2 se tiene la contribución ∫ J ⋅ dS , mientras que para DE G G G G el volumen contiguo Ω3 se tiene el término similar ∫ED J ⋅ dS = −∫DE J ⋅ dS , que se recorre en sentido opuesto. Por tanto, al hacer la suma, ambos términos se cancelan. Esta propiedad esencial debe cumplirse en toda discretización numérica para afirmar que el esquema empleado es conservativo. Cuando esto no ocurre, la suma de las ecuaciones discretizadas sobre un número de volúmenes adyacentes contiene contribuciones de flujos interiores que aparecen como fuentes (numéricas) volumétricas internas. En ese caso, se dice que la discretización es no conservativa. Nótese que si se comenten errores en la evaluación de los flujos en las fronteras interiores, la conservación global no se verá afectada.

4.3.2. Fundamentos del método de volúmenes finitos Históricamente, el método de volúmenes finitos fue empleado por primera vez en el ámbito del cálculo numérico de la Mecánica de Fluidos de manera independiente por P. McDonald (1971) y R. MacCormack y A. Paullay (1972) para la resolución de la ecuación de Euler en flujos bidimensionales no estacionarios. Posteriormente fue extendida a casos tridimensionales por A. Rizzi y M. Inouye (1973). El punto fuerte del método es su conexión directa con las propiedades físicas del flujo. De hecho, los fundamentos del método recaen en la discretización directa de la expresión integral de las leyes de conservación. Esto distingue claramente al método de volúmenes finitos de los métodos por diferencias finitas y elementos finitos, que discretizan la forma diferencial de las leyes de conservación. Para aplicar el método se debe subdividir el mallado obtenido de la discretización espacial en un número finito de volúmenes (celdas), quedando cada volumen de control asociado a cada uno de los puntos de la malla. Después se aplicará la ley de conservación en forma integral a cada uno de esos volúmenes finitos. Respecto a la forma en que se asocian los volúmenes de control (celdas) a los puntos del mallado, existen dos posibilidades: c

Esquema basado en celdas (cell-based o cell-centered approach): en el que las variables se asocian (se almacenan) en los centros de las celdas y las líneas de las mallas definen los volúmenes finitos (celdas) y sus superficies. Es la elección obvia: hacer coincidir los volúmenes de control con las celdas. Las variables de flujo son valores promediados sobre cada celda y representativos, por ejemplo, del centroide de dicha celda.

4.3 Discretización numérica por el método de volúmenes finitos

c

Esquema basado en nodos (node-based, vertex-based o cell-vertex approach): en el que las variables se asocian en los vértices de la malla. Por tanto, las incógnitas están almacenadas en los puntos de la malla, es decir, en los vértices de las celdas. Este esquema es menos intuitivo que el anterior pero permite una mayor flexibilidad en la definición de los volúmenes de control.

Sea cual fuere la elección adoptada (normalmente el esquema basado en celdas, y por eso se habla indistintamente de celdas o de volúmenes de control), se debe garantizar que la suma de todos los volúmenes ΩJ (donde el subíndice J representa a cada una de las celdas del dominio) cubran el dominio discretizado y que no queden por tanto zonas vacías. A continuación se reemplaza en cada volumen de control ΩJ la ecuación integral 4.1 por su expresión discretizada, de forma que las integrales de volumen se expresan como los valores medios de las variables en el interior de las celdas y las integrales de superficie se reemplazan por la suma de los flujos en cada una de las caras de dicho volumen. Es decir: G G ∂ U J ΩJ ) + ∑ J ⋅ ∆S = QJ ΩJ ( ∂t caras

[4.3]

La figura 4.5 muestra una discretización bidimensional típica centrada en las celdas (izquierda). En este caso (cell-based), se identificaría la celda 1 (i, j) con el dominio ΩJ (superficie total ABCD en 2-D) y la variable UJ correspondería con Ui, j. El término de flujo debe sumar las contribuciones de los cuatro lados: AB, BC, CD y DA. La ecuación 4.3 es la expresión general del método de volúmenes finitos y debe ser el usuario el que defina, para cada volumen ΩJ seleccionado, cómo se definen las caras y volúmenes de cada elemento (esto es, cell-based o node-based) y cómo se calculan los flujos en las caras. Además, esta ecuación presenta una serie de características interesantes, que diferencia la interpretación del MVF de los métodos en diferencias o elementos finitos:

2 9 C i,j+1 B F 1 4 8 i,j i+1,j i–1,j E A D 6 5 7 i,j–1 K G H

C i,j+1 B F 1 8 i–1,j A E i,j 7 i+1,j D 6 K G i,j–1 H

Volumen de control centrado en celda (cell-centered)

Volumen de control centrado en nodos (cell-vertex)

3

Figura 4.5 Configuración de volumen de control centrado en celda y cara (adaptado de Hirsch, 2007).

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Capítulo 4

Método de volúmenes finitos (MVF)

c

Las coordenadas del punto J, asociadas a la localización exacta de UJ dentro del volumen de control, no aparecen explícitamente en la ecuación. Por lo tanto, UJ no está necesariamente anclado a un punto fijo dentro del volumen de control, sino que se puede considerar como un valor medio de la variable del flujo U en dicho volumen.

c

Las coordenadas de los puntos de la malla aparecen únicamente en la obtención del volumen de la celda y de las áreas de las caras. Por ejemplo, en referencia a la figura 4.5, para la celda ABCD, que comprende el punto 1, sólo se requieren las coordenadas de A, B, C y D.

c

Cuando no haya términos fuente, la formulación por MVF expresa que la variación del valor promediado de U sobre un intervalo de tiempo ∆t es igual a la suma de flujos que intercambia la celda considerada con sus vecinas. Para flujos estacionarios, la solución numérica se obtiene como resultado del balance de todos los flujos entrantes o salientes al volumen de control, es decir: G

G

∑ J ⋅ ∆S = 0 caras c

El método de volúmenes finitos permite una implementación directa de las condiciones de contorno, por ejemplo en los contornos sólidos en los que determinadas componentes normales han deG ser cero. Así, en el caso de la ecuación de G conservación G deG masa para la que J = ρv , la condición de contorno en una pared será J ⋅ dS = 0.

La ecuación 4.1, además de reemplazarse por su forma discreta, requiere de una integración temporal debido a la existencia del término no estacionario. Si se integra dicha ecuación desde el instante anterior (n – 1) ∆t hasta el instante final n ∆t para cada volumen de control ΩJ asociado a la celda J se obtiene:

∫Ω U dΩJ J

n

= ∫ U dΩ J

n−1

ΩJ

−∑

G G ∫ ( J ⋅ ∆ S ) dt + n

c

caras n−1

n

∫ dt ∫Ω Q dΩJ

n−1

[4.4]

J

Introduciendo la variable promedio en el interior de la celda, U nJ−1 , así como la fuente QnJ−1 , ambas evaluadas en el instante (n – 1)∆t; y definiendo las cantidades G promediadas en el tiempo para el volumen de control como Q∗J para la fuente y J ∗ para el flujo numérico se tiene: U Jn−1 =

1 ΩJ

∫Ω

QJ =

J

1 ΩJ

U dΩ J

∫Ω

J

n−1

Q dΩ J

G G G∗ 1 n G J ⋅ ∆S = J ⋅ ∆ S dt ∫ ∆t n−1

[4.5]

1 n ∫ Q dt ∆t n−1 J

[4.6]

QJ∗ =

4.4 Implementación del método de volúmenes finitos

Por tanto, la discretización conservativa toma la forma: U J ΩJ

n

= U J ΩJ

n−1

G G − ∆t ∑ J ∗ ⋅ ∆S + ∆t Q j ∗ Ω J

[4.7]

caras

La ecuación 4.7 es una relación exacta para la evolución temporal de las variables conservativas U nJ−1 y promediadas en el interior de la celda J. Obsérvese nuevamente cómo no hay ningún punto de la malla asociado a U Jn−1 (la variable está G únicamente anclada a la celda J). La forma en que se calcule el flujo numérico J ∗ será la que permita identificar Gel esquema de discretización empleado (v. ejemplos en 4.4), pues la definición de J ∗ es la que permite aproximar el flujo real promediado en el tiempo para cada cara de una celda. Es evidente que en aras de satisfacer el principio de conservación a este nivel discreto, la estimación del flujo numérico en una determinada cara de una celda debe ser independiente de la celda a la que pertenece. La ausencia en la ecuación 4.7 de un índice temporal tanto en el sumatorio de los flujos numéricos como en el término fuente indica que es posible elegir en qué instante se quieren evaluar: bien en el instante anterior (n – 1) –esquema explícito–, bien en instante actual n –esquema implícito– como se verá en el próximo apartado.

4.4

Implementación del método de volúmenes finitos

En el apartado anterior se presentaron los fundamentos del método y se analizó en clave matemática la forma genérica de implementarlos para su resolución. En este apartado se van a ilustrar algunas fórmulas prácticas que se pueden emplear para implementar el método de volúmenes finitos satisfactoriamente. Para ello, se retoma la nomenclatura empleada en el capítulo 3 de este libro, estudiando por separado cada uno de los términos que configuran la ecuación general de transporte en forma integral.

4.4.1. Mallados decalados Antes de analizar cada uno de los términos de la ecuación, conviene repasar alguna de las características de los mallados que se van a emplear a continuación. Si bien en el apartado 4.3 se plantearon las expresiones de forma genérica para poder emplearlas sobre cualquier mallado arbitrario, en lo sucesivo se supondrá que se trabaja con un mallado cartesiano regular. El objeto de emplear esta tipología básica es la de

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Capítulo 4

Método de volúmenes finitos (MVF)

simplificar al máximo los cálculos de los flujos para mantener al lector centrado en los fundamentos, reduciendo la complejidad matemática lo más posible. Como convención para la nomenclatura, en el método de volúmenes finitos es práctica habitual utilizar letras (en vez de subíndices) para definir la celda actual y sus vecinas. Por tanto, en lugar de utilizar los subíndice i, j para una malla bidimensional, se utiliza el subíndice P para identificar el centroide del volumen de control. Análogamente, la celda adyacente situada a la izquierda se identifica con la letra W (west), mientras que la celda adyacente situada a la derecha se identifica con la letra E (east). Como habrá adivinado el lector, todas las celdas contiguas se nombran empleando los puntos cardinales en inglés. Además, las celdas y sus puntos centrales (centroides) se denotan con mayúsculas mientras que las caras se escriben en minúsculas (v. figura 4.6). La definición de los volúmenes de control, tal y como se vio en 4.3.2, podía hacerse centrada en las celdas o bien centrada en los vértices, aunque es práctica habitual hacerlo en los centroides. Parecería lógico, por tanto, definir todas las variables que se quieran resolver (velocidades, presiones, temperaturas, etc.) sobre esos centros de las celdas. Sin embargo, si las componentes de la velocidad y las presiones se almacenan en las mismas posiciones, podría ocurrir que en ciertas circunstancias (gradientes de presión muy elevados) la solución final obtenida con el método fuese irreal, siguiendo un patrón en forma de tablero de ajedrez (checker-boarding). Para evitar esto, se utiliza un mallado decalado (staggered grid), de forma que: c

Las variables escalares, como la presión, la temperatura o la fracción másica, se evalúan en los centros de las celdas (cell-based).

c

Las componentes vectoriales, es decir, las componentes de la velocidad se almacenan en las caras de las celdas (face-based).

N n W

w

P

E e

s S y x

Figura 4.6 Nomenclatura habitual en el método de volúmenes finitos.

4.4 Implementación del método de volúmenes finitos

Volumen de control para escalares (coincide con celda) N vn W

n

w P Tp pp vs

uw

E ue e

s S y x Figura 4.7

Volumen de control para velocidades (celda decalada)

Mallado decalado (staggered grid).

Si no hay que resolver un campo de velocidades (por ejemplo, en el caso de difusión pura de calor, como se verá en el capítulo 5) o el campo de presiones no está acoplado con el de velocidades (por ejemplo, en el caso de convección pura con gradiente de presión conocido, capítulo 6) no es necesario realizar esta estrategia de decalado. En el caso general, será imprescindible realizar este desfase entre los volúmenes de control, y entonces se dice que la malla está decalada (staggered). Las ventajas frente al no decalado son: c

La velocidad está influenciada por la presión en dos nodos adyacentes, lo que evita soluciones no realistas.

c

La velocidad está directamente disponible en la cara (sin interpolación), que es donde se necesita para evaluar los flujos en la discretización de las ecuaciones.

A continuación se plantea la discretización de la ecuación de conservación en forma integral, mediante integración para cada celda P y cada paso temporal ∆t. ⎛∂ ρ φ ⎞ 1 1 G + ∇⋅ (v ρ φ) − ∇⋅ ( Γ ∇φ)⎟dV dt = ⎜ ∫ ∫ ∫ ∫ S dV d t t V ∆ ∆t ∆t ∆ t V φ ⎝ ∂t ⎠

[4.8]

en donde se ha dividido por ∆t en ambos miembros de la ecuación por simplicidad. En los siguientes subapartados se irá planteando la discretización de cada término por separado.

93

94

Capítulo 4

Método de volúmenes finitos (MVF)

4.4.2. Discretización del término temporal Para el término temporal, TP , se supone que el valor de la variable en el interior de la celda es constante por lo que se puede intercambiar el orden de los operadores. Por tanto, se puede establecer:

∂ ( ρφ) ∂ ( ρφ) 1 1 d V dt = d t dV = ∫ ∫ ∫ ∫ ∆ ∆ t V V t P ∆t ∂t ∆t P ∂t ⎡ ρ φ n − ρ φ n−1 ⎤ 1 P P ⎢ P P ⎥dV = ∫ V ⎢ ⎥ P ∆t ∆ t ⎣ ⎦

TP =

Y así:

TP =

(

VP n ρP φP − ρP φP ∆t

n−1

)

[4.9]

donde VP representa el volumen de la celda, (n – 1) se refiere al valor de la variable al principio del paso temporal, y n representa el valor al final del paso temporal.

4.4.3. Discretización del término fuente En el caso del término fuente se debe discretizar

FP =

1 ∫ ∫ S d V dt , ∆t ∆t V φ

donde además se supondrá que dicho término viene expresado como Sφ = SC + SPφ, siendo SP ≤ 0. Con esta definición se está planteando indirectamente que Sφ se ha linealizado. Integrando ahora esta expresión para el volumen de control asociado al punto P se tiene:

FP = VP (SC + SP φP )

[4.10]

donde SC y SP son coeficientes. Ha de tenerse en cuenta que la formulación lineal del término fuente parece falsamente restrictiva (luego se verá que expresiones más generales de Sφ se pueden escribir de esa forma). Además, en la integración se ha supuesto nuevamente que φP es uniforme en la celda y de valor constante en todo ∆t e igual al valor final del intervalo. En el apartado 4.6 se discutirá esta elección.

4.4 Implementación del método de volúmenes finitos

4.4.4. Discretización del término difusivo En el caso del término difusivo se obvia nuevamente la integración temporal y se supone que el valor se mantiene constante durante todo ∆t. Es una idea similar a lo hecho con el término fuente (y que se discutirá en el apartado 4.6), tratando de aglutinar el efecto no estacionario de todos los términos únicamente en el término temporal. Esto permitirá elegir en qué instante evaluar los flujos y términos difusivos en la ecuación discretizada. Aplicando el teorema de Gauss de la divergencia es inmediato establecer para el flujo difusivo que: G DP = −∫ ∇⋅ ( Γ ∇φ) dV = −∫ Γ ∇φ dS VP SP . O, equivalentemente, de forma discreta: G DP = − ∑ Γ ∇φ n A caras

cara

[4.11]

G donde n representa la normal externa a la cara que se está evaluando. Para completar la discretización se supone que la variable φ varía linealmente entre los centros de las celdas que comparten la cara que se está evaluando. De esta forma el gradiente se sustituye, por ejemplo en la cara e de la figura 4.7, por una diferencia centrada:

De = −Γ e

φ E − φP Ae PE

[4.12]

El valor de Γe en la cara no está disponible, ya que el coeficiente de difusión, al ser un escalar, se almacena en el centro de las celdas. Si dicho coeficiente fuese una constante (por ejemplo la viscosidad en la ecuación de momento para un fluido newtoniano isotrópico) no sería necesaria ninguna discusión adicional. En un caso más general, se obtiene por interpolación (aritmética o armónica) de los valores en los nodos adyacentes, por ejemplo: Γe =

Γ P eE − Γ E Pe PE

[4.13]

Expresiones similares del término difusivo se obtendrían para los flujos en el resto de las direcciones espaciales.

4.4.5. Discretización del término convectivo Nuevamente se omite en la discretización la derivada temporal. Aplicando una vez más el teorema de Gauss de la divergencia: G G G CP = ∫ ∇⋅ ( ρ v φ) dV = ∫ ρ v φ dS VP

SP

95

96

Capítulo 4

Método de volúmenes finitos (MVF)

Y de forma discreta: CP =

∑ ρ vG φ nG A cara

[4.14]

caras

G donde n representa la normal externa a la cara que se está evaluando. Retomando de nuevo el ejemplo de la cara e en la figura 4.7, se obtendría:

Ce = ρe φe ue Ae

[4.15]

En la ecuación 4.15 los valores de Ae y ue son conocidos, gracias a la ventaja del staggering, pues el valor de la velocidad está disponible (almacenado) en la cara. Sin embargo, en este caso no se dispone del valor de la densidad en esa cara ni del valor de la variable (se tiene en los centros de las celdas que comparten la cara que se está evaluando). Por tanto, es necesario establecer de nuevo una interpolación entre los valores disponibles para estimar un valor de la variable en la cara. Por ejemplo, se puede emplear un esquema de discretización por diferencias centradas: ρe φe =

ρP φP eE − ρE φE Pe PE

[4.16]

Desafortunadamente, los esquemas relacionados con el término convectivo son bastante restrictivos debido a la influencia de la velocidad en el transporte de las variables. Así, en el caso de las diferencias centradas empleadas en 4.16, se demuestra que sólo son válidas si se cumple que: Pe =

ρe ue eE 2, y especialmente cuando la convección es mucho mayor que la difusión, se utiliza un esquema alternativo, denominado upwinding. En este esquema se evalúa el valor ρe φe en el mismo nodo que aguas arriba. Es decir: ρe φe = ρP φP si ue > 0 ρe φe = ρE φE si ue < 0

[4.17]

4.4 Implementación del método de volúmenes finitos

Obsérvese el claro sentido físico de esta aproximación, al asignar al valor en la cara el que le proporciona la corriente incidente. Es evidente que este esquema dará mejores resultados cuanto más significativa sea la influencia de la convección en el fenómeno físico que se pretende resolver. En el apartado 4.5 se indican otros esquemas de discretización espacial de orden superior que también se emplean con frecuencia en la discretización del término convectivo.

4.4.6. Ecuación algebraica por volúmenes finitos Agrupando las discretizaciones de los cuatro términos implicados en la ecuación de transporte, y habiendo evaluado los flujos por las caras del este y del oeste en el dominio de la figura 4.7 (supuesto unidimensional), se establece para el nodo P:

(

VP n ρP φP − ρ P φP ∆t

n−1

)− A u

w w ρW φW

+ Ae ue ρP φP −

φ − φP φ − φP −Aw Γw W − Ae Γ e E = VP ( SC + SP φP ) δx w δx e

[4.18]

Agrupando términos alrededor de la variable a resolver y dejando φP a la izquierda, se tiene: ⎛V ρ ⎞ A Γ AΓ φP⎜ P P + Ae ue ρP + w w + e e − VP SP ⎟= δx w δx e ⎝ ∆t ⎠ [4.19]

⎛ ⎛A Γ ⎞ V A Γ ⎞ = φW ⎜ Aw uw ρW + w w ⎟+ φE⎜ e e ⎟+ P ρP φP δx w ⎠ ⎝ ⎝ δxe ⎠ ∆t

n−1

+ VP SC

donde se ha evaluado el término temporal entre n y (n – 1). Denotando los coeficientes que acompañan a las variables con la letra a y añadiéndoles un subíndice que se corresponde con el centroide al que hacen referencia, se obtiene la ecuación algebraica de forma compacta:

(aP − VP SP ) φP = aW φW + aE φE + aT φT + VP SC

[4.20]

97

98

Capítulo 4

Método de volúmenes finitos (MVF)

donde por continuidad se ha de cumplir que aP = aW + aE + aT . Como el lector ya habrá podido intuir, este caso unidimensional puede extenderse fácilmente a un caso general tridimensional, resultando que: ⎛ ⎞ ⎜ ∑ ai φi ⎟+ aT φT + VP SC ⎜ ⎟ ⎝ celdas vecinas ⎠ φP = (aP − VP SP )

[4.21]

La interpretación de la ecuación algebraica 4.21 es que el valor de la variable a resolver en el nodo P es la media ponderada del valor de φ en las celdas vecinas, cada una con su contribución de peso ai, del valor de φ en el instante anterior, con un peso aT , y del valor del término fuente con peso VP SC.

4.5

Métodos de discretización espacial

Para la discretización del término convectivo se han desarrollado distintos esquemas, tanto de primero y de segundo orden como de órdenes superiores. Aunque en el capítulo 6 se desarrollarán más en detalle, conviene que el lector se vaya familiarizando con ellos, por lo que aquí se presenta su formulación básica (para el caso unidimensional asociado a los volúmenes de control de la figura 4.7) con algunas pequeñas consideraciones. c

Diferencias centradas:

Ce = ρe φe ue Ae =

ρP φP eE − ρE φE Pe ue Ae PE

[4.22]

Aunque es un esquema de segundo orden, tiene la restricción en el número de Peclet. Nótese que para una velocidad característica y propiedades físicas dadas, se puede satisfacer el criterio (Pe < 2) si se reduce el tamaño de malla suficientemente. Sin embargo, en la mayoría de las situaciones esto requeriría de mallados extraordinariamente finos, con el consiguiente gasto computacional. c

Upwind:

Ce =⎡ ⎣ ρP φP ue θ − ρE φE (−ue ) (1 − θ )⎤ ⎦Ae

con θ = max (ue ue ,0)

[4.23]

A pesar de que el esquema upwind garantiza que el sistema de ecuaciones será resoluble, resulta ser de primer orden, por lo que puede presentar problemas de difusión numérica.

4.5 Métodos de discretización espacial

En la literatura especializada se pueden encontrar toda una serie de esquemas de discretización de primer orden que tratan los términos convectivos y difusivos conjuntamente. Este tipo de esquemas normalmente aproximan las variaciones entre nodos a la solución exacta de una ecuación convectiva-difusiva restringida localmente. Ha de tenerse en cuenta que su comportamiento en dominios multidimensionales es similar al del esquema upwind. c

Esquema exponencial: Se deduce de la solución exacta de la ecuación convectiva-difusiva unidimensional. Aunque el desarrollo se detalla en el capítulo 6, aquí se muestra su formulación para el flujo convectivo-difusivo de la cara este:

⎛ φ − φE ⎞ J e Ae = ρe ue⎜ φP + PPe ⎟ ⎝ e e −1 ⎠

[4.24]

donde JeAe representa el flujo conjunto por la cara este. Debido a que el empleo de la función exponencial es costosa computacionalmente hablando, se han buscado soluciones alternativas que aproximen este comportamiento pero de forma más sencilla, como es el caso de los esquemas híbrido y potencial. c

Esquema híbrido: Para implementarlo basta con usar una formulación upwind y multiplicar la contribución de la difusión por el factor (1 – 0,5Pee) en la cara este. Así, en la ecuación 4.24 se puede deducir que el coeficiente aE que afecta a la variable φ en el nodo E es

aE =

Fe e

Pee

−1

donde Fe = ρe ue representa la “intensidad de convección”. Definiendo análogamente De = Γe/δx como una “intensidad de difusión”, el coeficiente aE queda expresado alternativamente como: Pe aE = Pe e De e e −1

Finalmente, reemplazando esta exponencial por la ley lineal expresada anteriormente, se formula el esquema híbrido como: ⎧ −Pe si Pe < −2 aE ⎪ ⎨ 1 − 0,5Pe si −2 ≤ Pe ≤ 2 De ⎪ 0 si Pe > 2 ⎩ c

[4.25]

Esquema potencial: En este caso se ajusta la curva exponencial aE/De por un polinomio de orden 5 y se obtiene: 5⎤ ⎡ ⎡ ⎤ aE De = max⎢ 0, 1 − 0,1 Pe ( ) ⎥ ⎣ ⎦+ max⎣ 0,−Fe ⎦

[4.26]

99

100 Capítulo 4 Método de volúmenes finitos (MVF) que es una expresión con un comportamiento muy similar a la exponencial, pero mucho menos costosa de computar. Finalmente, para paliar el problema de las limitaciones de estos esquemas de primer orden, se han desarrollado otras formulaciones que, basadas en las características del upwinding, han ampliado el orden de truncamiento para incrementar la precisión. Su formulación se detallará en el capítulo 6, aunque de forma genérica se pueden plantear según la expresión: 1 φe = φP + ⎡ ⎣(1 − κ ) ( φP − φW ) + (1 + κ) ( φE − φP )⎤ ⎦ 4

[4.27]

En función del valor del parámetro κ se obtienen los siguientes esquemas de segundo orden: c

Esquema centrado: si κ = 1. Se recuperan las diferencias centradas (ecuación 4.22).

c

Esquema Beam-Warming: si κ = –1. Es un esquema upwind de segundo orden.

c

Esquema Fromm: si κ = 0.

Y también es posible conseguir esquemas de tercer orden: c

c

Esquema QUICK: si κ = 1/2. Responde a las siglas Quadratic Upwind Interpolation for Convective Kinetics y plantea una corrección parabólica para la interpolación lineal de φe. Esquema cúbico: si κ = 1/3.

4.6

Métodos de discretización temporal

Una vez que se han visto las posibilidades para completar la discretización espacial, es el momento de abordar los métodos de integración temporal. En la ecuación 4.7 había quedado pendiente en qué momento del paso temporal (si al inicio o al final) era preciso evaluar los flujos y términos fuente en cada celda. Una discusión similar había quedado pendiente en la discretización de los términos convectivo, difusivo y fuente cuando se obvió el operador integral sobre la ecuación de transporte. En la ecuación 4.18 se ve claramente que el término temporal discretizado es función de la variable φ en P tanto al principio (n – 1) como al final del intervalo (n). El resto de los términos en la ecuación son función de φP , φW , φE, etc., que deben ser lógicamente evaluados “en algún momento intermedio” entre (n – 1) y n. Por supuesto, también pueden ser evaluados en los extremos del intervalo temporal, es decir, en (n – 1) o en n.

4.6 Métodos de discretización temporal

De forma general se puede establecer que los flujos (y también los términos fuente) se pueden interpolar en función del instante en que son evaluados a partir de un factor f que varía entre 0 y 1. Por lo tanto: G G

∫∆t J ⋅ A dt =( f J n + (1 − f ) J n−1 ) A ∆t c

Si se fija que f = 0, se obtiene el esquema explícito, en el que los flujos y los términos fuente se evalúan usando exclusivamente los valores al inicio del intervalo (es decir, los valores del paso temporal anterior). Esto implica las siguientes consideraciones: c

c

c

c

c

[4.28]

En el mejor de los casos son estables de forma condicional y presentan una limitación importante con respecto al tamaño máximo de paso temporal que se puede emplear (∆tmax). Normalmente, dicho paso temporal es bastante pequeño, especialmente en el caso de flujos con fenómenos de convección dominantes, en los que se establece que ∆tmax < CFL (∆x/c), siendo c del orden de la velocidad del sonido. Por ejemplo, para garantizar CFL = 1, en caso de que ∆x ∼ 10–2 m y c ≈ 330 m/s se necesitaría ∆tmax < 3 × 10–5 segundos. El gasto computacional es reducido porque se puede evaluar en cada instante el valor de la variable φ en cada celda en función de los valores en el instante anterior: no se necesita por tanto resolver un sistema de ecuaciones acoplados ni es preciso realizar la inversión matricial. Por el contrario, el exigente límite de estabilidad requerirá un gran número de iteraciones.

Si se fija que f = 1, se obtiene el esquema implícito, en el que los flujos y los términos fuente se evalúan en el mismo instante en que se pretenden conocer las variables (es decir, los valores en el paso temporal actual). Ha de tenerse en cuenta que: c

c

c

c

A primera vista es evidente la complejidad que supone evaluar los flujos en función de los valores en las celdas contiguas, que pueden no estar aún disponibles en función del orden en que se vaya recorriendo el dominio a resolver. Son generalmente estables de forma incondicional, por lo que se pueden emplear pasos temporales muy grandes (teóricamente, incluso tendiendo a infinito). En la práctica, debido a las no linealidades de las ecuaciones de flujo, siempre aparecen restricciones sobre el tamaño del paso temporal. Además, la naturaleza no estacionaria (física) de un flujo puede incluso restringir aún más esta limitación (matemática). De todas formas, el paso temporal resultante siempre será significativamente mayor que el necesario para el esquema explícito.

101

102 Capítulo 4 Método de volúmenes finitos (MVF) c

c

c

c

Consecuentemente, el gasto computacional por iteración será mucho mayor que en el esquema explícito, por cuanto es imprescindible efectuar la inversión matricial. Un criterio muy útil para saber si el esquema implícito es más apropiado que el explícito es analizar la relación que existe entre el paso temporal máximo, ∆tmax, admisible desde el punto de vista matemático y el paso temporal físico recomendable. De esta forma, si el paso temporal físico es del orden del paso temporal matemático, indudablemente se debe emplear el esquema explícito. Por el contrario, si el paso temporal físico es significativamente mayor que el matemático, entonces debe emplearse un método implícito. Ésta es precisamente la situación en el análisis de un flujo estacionario, donde ∆tfísico → ∞. Para problemas no lineales, es necesario emplear técnicas de linealización junto con el esquema implícito, lo cual puede restringir las condiciones de estabilidad.

Si se fija que f =1/2, se obtiene el esquema Crank-Nicholson, una situación intermedia en la que esencialmente se supone una variación lineal para φP entre los instantes (n – 1) y n. En el próximo capítulo se verá más en detalle este esquema y las restricciones asociadas con respecto al tamaño máximo de paso temporal.

En resumen, la elección entre emplear un esquema explícito o uno implícito se debe tomar en función del valor del producto “coste computacional por paso temporal” por “número de pasos temporales”. Por tanto, se ha de equilibrar el paso temporal máximo admisible frente al mayor número de iteraciones necesarias para resolver el sistema implícito de ecuaciones algebraicas. Finalmente, los métodos de integración temporal más importantes, tanto para flujos estacionarios como no estacionarios, se pueden clasificar en tres grupos: c

Métodos multipaso (multistep methods), que implementan integración temporal implícita.

c

Métodos predictor-corrector, restringidos habitualmente a segundo orden y de carácter explícito, fáciles de programar (p.ej. el esquema de McCormack).

c

Métodos multietapa de Runge-Kutta, que son de tipo explícito pero permiten elegir arbitrariamente órdenes superiores en tiempo (cuarto e incluso quinto orden). Se adaptan especialmente bien a problemas convectivos con discretizaciones centradas.

5 MVF EN PROBLEMAS DIFUSIVOS PUROS El estudio de fenómenos difusivos tiene una gran importancia debido al elevado número de procesos físicos en los que está presente. Así, la difusión es un mecanismo esencial en la descripción de la transferencia de masa, calor y cantidad de movimiento, e incluso de otros procesos como la electroestática o la cinética química. En este capítulo se va a considerar la discretización y solución de la ecuación de transporte para problemas difusivos puros tanto estacionarios como no estacionarios. Además de observar las propiedades de las ecuaciones generales discretizadas cuando el término convectivo no está presente, el estudio del flujo difusivo puro es un punto de partida perfecto para asimilar los conceptos generales del método de volúmenes finitos planteado en el capítulo anterior. Se iniciará analizando el caso de difusión unidimensional en condiciones estacionarias, para ir aumentando en complejidad hasta plantear el caso tridimensional no estacionario. Por simplicidad y facilidad de comprensión, se considerarán mallados estructurados ortogonales en todos los casos, aunque también se planteará cómo resolver los distintos gradientes en caso de mallas no estructuradas. Finalmente, se presentarán las ecuaciones en el caso de dominios cilíndricos y axisimétricos, de gran aplicación en el estudio de flujo internos, como es el caso de flujo en conductos o en el interior de turbomáquinas.

104 Capítulo 5 MVF en problemas difusivos puros

Contenidos 5.1. Difusión 1-D estacionaria 5.1.1. Discretización 5.1.2. Discusión 5.2. Difusión 2-D estacionaria 5.2.1. Discretización 5.2.2. Discusión 5.3. Implementación de condiciones de contorno 5.3.1. Condición de contorno de Dirichlet (valor) 5.3.2. Condición de contorno de Neumann (flujo) 5.3.3. Condición de contorno de Robin (mixta) 5.4. Difusión 2-D no estacionaria 5.4.1. Esquema explícito 5.4.2. Esquema implícito 5.4.3. Esquema Crank-Nicholson 5.5. Difusión 2-D en coordenadas cilíndricas 5.6. Difusión 2-D en dominios axisimétricos 5.7. Difusión 3-D no estacionaria 5.8. Consideraciones adicionales 5.8.1. Interpolación del coeficiente de difusión 5.8.2. Linealización del término fuente 5.8.3. Relajación 5.8.4. Análisis de estabilidad de Von Neumann 5.8.5. Discretización en mallados no estructurados

Bibliografía de referencia: Este capítulo ha sido principalmente adaptado de Mathur, S.R. y Murthy J.Y., "The Finite Volume Method", Class notes for ME608, Numerical Methods in Heat, Mass and Momentum Transfer, Purdue University (EE.UU.), 2001-2011; Chapter 3: "The Diffusion Equation: a first look".

5.1 Difusión 1-D estacionaria

5.1

Difusión 1-D estacionaria

5.1.1. Discretización Aquí se considera la difusión unidimensional y estacionaria de un escalar φ en un dominio rectangular. Por tanto, anulando los términos convectivo y temporal[1] de la ecuación 3.7, se tiene: ⎛ ∂ρφ

⎞ + ∇⋅ (v ρφ) − ∇⋅ ( Γ∇φ)⎟ dV dt = ∫ ∫ Sφ dV dt ∆t VP P⎝ ∂t ⎠

∫∆t ∫V ⎜

[5.1]

Aplicando el teorema de Gauss, la divergencia del término difusivo se transforma en un flujo por las caras del volumen de control, de forma:

∫A Γ∇φ dA+ ∫V

P

S φ dV = 0

[5.2]

donde J = Γ∇φ define el vector de flujo difusivo, que en el caso unidimensional tiene, en cartesianas, componentes J = J x i y el operador nabla del gradiente queda definido simplemente como ∇=

∂ i ∂x

Además, según se observa en el volumen de control unidimensional de la figura 5.1, los diferenciales de área serán dA = dA i , donde dA será positivo o negativo según su vector normal saliente coincida o no con el sentido del vector unitario. Por lo tanto: ∂φ

∫A Γ ∂x dA+ ∫V

P

S φ dV = 0

[5.3]

La ecuación 5.3 se discretiza suponiendo que el vector del flujo difusivo varía linealmente entre los valores de los centroides de las celdas que comparten la cara analizada. Además, suponiendo que el valor medio del término fuente en el interior de la celda es S , para el volumen finito asociado al punto P de la figura 5.1 se tiene: ⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ ⎜ Γ i ⋅ A⎟ +⎜ Γ i ⋅ A⎟ + S ⋅∆VP = 0 ⎝ ∂x ⎠e ⎝ ∂x ⎠w

[5.4]

1. La ecuación 5.1 formulada de forma conservativa (o forma divergente) queda expresada simplemente como: ∇ ⋅ ( Γ ∇ φ) = S φ . Cuando el coeficiente de difusión Γ es constante y el término fuente Sφ es cero, la ecuación se convierte en la conocida ecuación de Laplace. Cuando el coeficiente de difusión Γ es constante y el término fuente Sφ no es cero, entonces se obtiene la ecuación de Poisson.

105

106 Capítulo 5 MVF en problemas difusivos puros δxw W

δxe P

E e

x Figura 5.1

Δx

Volumen de control unidimensional.

Las áreas en las caras este y oeste son unitarias (flujo unidimensional), de manera que Ae = i , Aw = −i , por lo que: ⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ Γ e⎜ ⎟ − Γ w ⎜ ⎟ + S ⋅ ∆x = 0 ⎝ ∂x ⎠e ⎝ ∂x ⎠w

[5.5]

donde al ser unidimensional, el volumen de la celda se reduce a ∆x, ya que ∆y ∼ 1 (por unidad de alto). Aproximando la derivada por diferencias finitas entre centroides de celdas contiguas en cada cara, se plantea finalmente: ⎛φ −φ ⎞ ⎛ φ − φW ⎞ P ⎟− Γ w⎜ P ⎟+ S ∆x = 0 Γ e⎜ E ⎝ δx e ⎠ ⎝ δx w ⎠

[5.6]

Si se acepta que el término fuente presenta una variación lineal según S = SC + SP φP , en la que se debe cumplir que SP ≤ 0, esta contribución se puede linealizar en la ecuación 5.6. En el apartado 5.8.2 se comprueba cómo cualquier forma general del término fuente puede expresarse linealmente. Introduciendo esto y reordenando para dejar la ecuación en función de los valores de φ en cada nodo se obtiene: ⎛ Γe ⎞ Γ Γ Γ ⎜ + w − SP ∆x ⎟φP = e φE + w φW + SC ∆x δx e δx w ⎝ δx e δ x w ⎠ b aP

aE

[5.7]

aW

Y denotando los coeficientes que afectan a las variables en los nodos como aP , aE y aW y al término independiente como b, se formula la ecuación algebraica final que afecta al nodo P según: aP φP = aE φE + aW φW + b

[5.8]

5.2 Difusión 2-D estacionaria

donde se cumple además que aP = aE + aW − SP ∆x. La ecuación 5.8 se puede expresar de forma aún más compacta como: aP φP = ∑ ac.v. φc.v. + b

[5.9]

c.v.

donde en este caso las celdas vecinas (c.v.) son únicamente E y W.

5.1.2. Discusión A continuación se plantean cuatro características importantes sobre esta discretización: c

La discretización de la ecuación expresa un balance entre los flujos discretos de entrada/salida y el término fuente en cada celda. De esta forma, la conservación está garantizada en cada volumen de control individual. Sin embargo, la conservación global no se garantiza si no se asegura la consistencia de los flujos en las caras de los volúmenes de control: los flujos por una pared han de ser iguales por ambos lados.

c

Los coeficientes que se obtienen, aP , aE y aW , han de ser todos positivos.

c

c

Por tanto, nótese que entonces es condición necesaria que SP ≤ 0 en caso de que existan términos fuente. La linealización del término fuente proviene de un desarrollo en serie de Taylor (v. 5.8.2).

En el caso bidimensional se extenderá la discusión sobre las implicaciones que tienen los coeficientes en el sentido físico de la discretización.

5.2

Difusión 2-D estacionaria

5.2.1. Discretización Tomando de nuevo la ecuación 5.2, donde en esta ocasión J = Γ∇φ define el vector de flujo difusivo, que en el caso bidimensional tiene como componentes cartesianas J = J x i + J y j y con el operador nabla del gradiente definido como ∇=

∂ ∂ i+ j, ∂x ∂y

107

108 Capítulo 5 MVF en problemas difusivos puros se puede plantear tras la discretización: ⎛ ⎛ ∂φ ∂φ ⎞ ⎞ ⎜ Γ i + j ⎟⋅ A⎟ + S ⋅ ∆VP = 0 ⎜ ⎜ ∂x ∂y ⎠ ⎟ ⎠c c=e ,w ,n, s⎝ ⎝

∑

[5.10]

Además, según se observa en el volumen de control bidimensional de la figura 5.2, las áreas en las caras de cada celda son Ae = ∆y i , Aw = −∆y i , An = ∆x j y As = −∆x j , con signos positivos o negativos según su vector normal saliente coincida o no con el sentido del vector unitario. De esta forma: ⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ Γe ∆y⎜ ⎟ − Γ w ∆y⎜ ⎟ + Γn ∆x⎜ ⎟ − Γ s ∆x⎜ ⎟ + S ⋅ ∆x ∆y = 0 [5.11] ⎝ ∂x ⎠e ⎝ ∂x ⎠w ⎝ ∂y ⎠n ⎝ ∂y ⎠s

Finalmente, aproximando las derivadas por diferencias finitas, linealizando de la misma forma que en el caso anterior y reordenando para dejar la ecuación en función de los valores de φ en cada nodo se obtiene: ⎛ Γ e ∆y Γ w ∆y Γn ∆x Γ s ∆x ⎞ ⎜ + + + − SP ∆x ∆y ⎟φP = δx w δ yn δy s ⎝ δx e ⎠

[5.12]

aP

=

Γ e ∆y Γ ∆y Γ ∆x Γ ∆x φE + w φW + n φN + s φ + SC ∆x ∆y δx e δx w δ yn δy s S b

aE

aW

aN

aS

xw

xe

N

An Δy

W

n

w P

Aw

e s

E

ys

As S

y x

Figura 5.2

yn Ae

Δx

Volumen de control bidimensional.

5.2 Difusión 2-D estacionaria

Y denotando los coeficientes que afectan a las variables en los nodos como aP , aE, aW , aN y aS y al término independiente como b, se formula la ecuación algebraica final que afecta al nodo P según:

aP φP = aE φE + aW φW + aN φN + aS φS + b

[5.13]

donde se cumple además que aP = aE + aW + aN + aS – SP ∆x ∆y. La ecuación 5.13 se reduce a la misma expresión compacta que antes (ecuación 5.9) en la que esta vez las celdas vecinas son E, W, N y S.

5.2.2. Discusión Los cuatro puntos fundamentales a tener en cuenta son: c

La consistencia debe cumplirse nuevamente evaluando los flujos en la dirección x y en la dirección y en cada cara, de manera que sea el mismo (y de signo contrario) en las celdas que comparten cada cara. Nótese que en mallados cartesianos esta condición es relativamente fácil de satisfacer; aunque no lo es tanto en mallados tridimensionales, no estructurados ni ortogonales.

c

Nuevamente, los coeficientes aP y ac.v. deben ser todos positivos. Este hecho tiene implicaciones físicas. Por ejemplo, si se está evaluando la difusión de temperatura en una placa plana, y la temperatura en el nodo E se ve incrementada, es de esperar que la temperatura en el nodo P también aumente.

c

Precisamente, para garantizar que aP sea positivo en cualquier caso, debe cumplirse que SP sea negativo. Esto también tiene un significado físico. Si por ejemplo, S se asocia a un término fuente para la temperatura, no es físicamente realizable que ante un aumento de la fuente se produzca un aumento indefinido de temperatura. Es necesario que el aumento quede acotado, de manera que la pendiente que relaciona ambos comportamientos debe ser negativa.

c

Cuando no hay términos fuente (ecuación de Laplace), se cumple que

aP = ∑ ac.v. , c.v .

por lo que la ecuación 5.9 se reduce a:

⎛a ⎞ φP = ∑⎜ c.v . φc.v . ⎟ a ⎠ c.v .⎝ P donde se cumple que

∑(ac.v. c.v.

aP ) = 1 .

[5.14]

109

110 Capítulo 5 MVF en problemas difusivos puros Puesto que φP es la suma ponderada de sus valores vecinos, esto significa que tiene que estar limitado por ellos. Y por extensión, φP tiene que estar necesariamente acotado por los valores en las fronteras (algo que ya se había visto en la ecuación elíptica canónica). Cuando SP ya no es cero, no tiene que cumplirse necesariamente esta característica, y es perfectamente válido que φP tome en el interior del dominio valores mayores que en los contornos.

5.3

Implementación de condiciones de contorno

La figura 5.3 muestra un volumen de control típico asociado a una condición de contorno. Este tipo de volúmenes de control (celdas) se caracteriza porque una o más de sus caras pertenece al contorno exterior del dominio. En este caso, además de almacenarse los valores discretos de φ en los centros de las celdas, también se almacenan en los centroides de las caras que pertenecen a la condición de contorno. Se considera a continuación la discretización de la celda P situada contigua a la condición de contorno. Integrando la ecuación de transporte sobre la celda se plantea: ⎛ ⎛ ∂φ ∂φ ⎞ ⎞ ⎜ Γ i + j ⎟⋅ A⎟ + S ⋅ ∆VP = 0 ⎜ ⎜ ∂x ∂y ⎠ ⎟ ⎠c c=cc ,e ,n, s⎝ ⎝

∑

[5.15]

donde cc se refiere a la cara de la condición de contorno y que no tiene nodo contiguo asociado a su izquierda. El vector de área para esa cara es Acc que, como siem-

xcc cc

xe

P

E e

x x

Figura 5.3 Volumen de control asociado a una condición de contorno.

5.3 Implementación de condiciones de contorno

pre, señala el sentido saliente a la celda. Finalmente, evaluando el flujo por dicha cara como ⎛ ∂φ ⎞ J cc ⋅ Acc = −Γ cc ∆y⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠cc y suponiendo variación lineal entre centroides de celda y cara, se establece: J cc ⋅ Acc = −Γ cc ∆y

φP − φcc δxcc

[5.16]

La definición completa de la condición de contorno requiere especificar bien el valor desconocido de la variable en el contorno, φcc, bien directamente el valor del flujo por la cara, J cc . A continuación se detallan cada una de estas posibilidades.

5.3.1. Condición de contorno de Dirichlet (valor) En la condición de Dirichlet, también denominada condición de valor, se conoce el valor de la variable en la cara; es decir: φcc = φcc,dato. Introduciendo esta condición en 5.16 y desarrollando 5.15 se obtiene: ⎛ Γ e ∆y Γn ∆x Γ s ∆x Γ cc ∆y ⎞ ⎜ + + + − SP ∆x ∆y ⎟φP = δ yn δy s δxcc ⎝ δx e ⎠

[5.17]

aP

=

Γe ∆y Γ ∆x Γ ∆x Γ ∆y φE + n φN + s φS + cc φ + SC ∆x ∆y δx e δy n δy s δxcc cc aE

aN

aS

acc b

donde se cumple que aP = aE + aN + aS + acc – SP∆x∆y y el término fuente incluye ahora: b = accφcc + SC∆x∆y. Conviene recordar un par de consideraciones acerca de esta discretización: c

c

En las condiciones de Dirichlet, se cumple que aP > (aE + aN + aS). Esta propiedad garantiza que se cumple siempre el criterio de Scarborough[2] para condiciones de contorno de valor. Con este esquema se garantiza que φP está acotado por los valores de φE, φN, φS y φcc si SC y SP son cero, lo cual sigue en consonancia con el comportamiento de la ecuación elíptica canónica.

111

112 Capítulo 5 MVF en problemas difusivos puros 5.3.2. Condición de contorno de Neumann (flujo) En la condición de Neumann, también denominada condición de flujo, se conoce directamente el flujo por la cara: −( Γ∇φ)cc = qcc . Por lo tanto, J cc ⋅ Acc = −qcc ∆y , expresión que introducida en 5.15 y tras desarrollar conduce a: ⎛ Γ e ∆ y Γ n ∆ x Γ s ∆x ⎞ ⎜ + + − SP ∆x ∆y ⎟φP = δy n δy s ⎝ δx e ⎠

[5.18]

aP

=

Γ e ∆y Γ ∆x Γ ∆x φE + n φN + s φ + qcc ∆y + SC ∆x ∆y δx e δy n δy s S b

aE

aN

aS

donde se cumple que aP = aE + aN + aS – SP∆x∆y y el término fuente incluye ahora: b = qcc∆y + SC∆x∆y. Conviene recordar las siguientes consideraciones acerca de esta discretización: c

c

c

En las condiciones de Neumann, se cumple que aP = (aE + aN + aS) si el término fuente es nulo. Si qcc y S son cero, se garantiza que el valor de φP está acotado por los valores de φE, φN y φS. Si no es así, entonces su valor puede exceder los valores vecinos de φ (o ser menores que ellos). Una vez que φP es conocido, se puede obtener el valor de la variable en la cara por medio de la siguiente expresión: Γ cc φ δxcc P Γ cc δxcc

qcc + φcc =

[5.19]

2. El criterio de Scarborough (1958) establece una condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones algebraicas pueda converger iterativamente. En particular, la condición se expresa precisamente en función de los coeficientes de la ecuación discretizada:

∑a

⎧ ≤ 1 en todos los nodos ⎨ a P − SP ⎩< 1 al menos en un nodo c.v.

c.v.

Los matrices de los sistemas de ecuaciones que satisfacen este criterio tienen una estructura diagonal dominante.

5.3 Implementación de condiciones de contorno

5.3.3. Condición de contorno de Robin (mixta) En este caso la condición de contorno relaciona el flujo por la cara de la celda con un valor de contorno de la variable lejos del dominio (subíndice ∞). El parámetro que relaciona ambas magnitudes es un coeficiente de película en la frontera, hcc. Este tipo de condición mixta establece entonces −( Γ∇φ)cc = hcc ( φ∞ − φcc ) . Por lo tanto, J cc ⋅ Acc = −hcc ( φ∞ − φcc ) ∆y , expresión que introducida en 5.16 y tras desarrollar conduce a: Γcc

φP − φcc = −hcc ( φ∞ − φcc ) δxcc

[5.20]

por lo que es posible despejar el valor φcc en la celda como: Γcc φ δxcc P Γ hcc + cc δxcc

hcc φ∞ + φcc =

[5.21]

De esta forma, sustituyendo nuevamente la expresión obtenida en 5.21 en 5.20, se obtiene la expresión para el flujo en función sólo de φ∞ y φP : Γcc δxcc ∆y ( φ∞ − φP ) J cc ⋅ Acc = − Γ hcc + cc δxcc hcc

[5.22]

Finalmente, introduciendo 5.22 en el desarrollo de la ecuación 5.15 se llega a: ⎛ Γ ∆y Γ ∆x Γ ∆x h ( Γ δx ) ⎞ cc cc cc n s ⎜ e + + + ∆y − SP ∆x ∆y ⎟φP = ⎜ δx e ⎟ y y h x δ δ + Γ δ n s cc cc cc ⎝ ⎠ aP

hcc ( Γ cc δxcc ) Γ ∆y Γ ∆x Γ ∆x = e φE + n φN + s φS + ∆y φ∞ + SC ∆x ∆y hcc + Γcc δxcc δx e δyn δy s aE

aN

aS

[5.23]

acc b

donde se cumple que aP = aE + aN + aS + acc – SP∆x∆y y el término fuente incluye ahora: b = accφ∞ + SC∆x∆y. Conviene recordar las siguientes consideraciones acerca de esta discretización:

113

114 Capítulo 5 MVF en problemas difusivos puros c

c c

En este caso se cumple que aP > (aE + aN + aS) si S = 0, de manera análoga a como en el caso de la condición de Dirichlet. El valor en la celda P, φP , está acotado por los valores vecinos φE, φN, φS y φ∞. El valor en la cara, φcc, se puede calcular a partir de la ecuación 5.21 una vez que se ha resuelto el sistema. Lógicamente está acotada por φP y φ∞, tal y como fija la ecuación.

5.4

Difusión 2-D no estacionaria

A continuación se procede a discretizar la ecuación 3.7 anulando únicamente el término convectivo, es decir: ⎛ ∂ρφ

∫∆t ∫V ⎜⎝ ∂t P

⎞ + ∇⋅ (v ρφ) − ∇⋅ ( Γ∇φ)⎟dV dt = ∫ ∫ SφdV dt ∆t VP ⎠

[5.24]

La integración del término temporal exige su evaluación en el paso temporal actual en comparación con el paso temporal anterior. Es habitual utilizar el superíndice 1 para indicar el paso temporal en curso y el superíndice 0 para el paso temporal anterior. De esta forma, y suponiendo como siempre que el término a integrar espacialmente es constante en el interior del volumen de control, se tiene: ⎛ ∂ρφ ⎞ (1) (0) ⎤ ⎡ ⎟dV dt =⎣ ( ρP φP ) − ( ρP φP ) ⎦∆VP P ⎠

∫∆t ∫V ⎜⎝ ∂t

[5.25]

Respecto a los flujos difusivos, suponiendo, como antes, que el flujo en las caras se reduce a los flujos reducidos a los centroides, se puede expresar que:

∫∆t ∫V (∇⋅ ( Γ∇φ)) dV dt = ∫∆t ∫A Γ∇φ⋅ dA dt = ∫∆t ∑ ( J c ⋅ Ac ) dt P

[5.26]

c=e ,w ,n, s

Para poder resolver la integral temporal se supondrá que el flujo difusivo en cada cara varía entre el instante inicial y final de forma lineal según un parámetro f como:

∫∆t ( J c ⋅ Ac ) dt =⎡⎣ f J (1) A + (1 − f ) J (0) A ⎤⎦∆t

[5.27]

5.4 Difusión 2-D no estacionaria

Con esta formulación es evidente que se pueden evaluar los flujos en el instante inicial o final sustituyendo simplemente los valores de las variables en los nodos en los instantes correspondientes. De esa forma, por ejemplo, para la cara este se tendría: J e(1) Ae = −Γe ∆y

(1) φ(1) E − φP δx e

; J e(0) Ae = −Γ e ∆y

(0) φ(0) E − φP δx e

[5.28]

pudiendo formularse expresiones análogas para el resto de las caras. Para concluir con la discretización se aborda ahora el término fuente. Tras la habitual linealización e interpolando nuevamente entre el instante inicial y final se tiene:

∫∆t (SC + SP φP ) ∆VP dt =⎡⎣ f (SC + SP φP )

(1)

(0)

∆ VP + (1 − f ) ( SC + SP φ P )

∆ VP ⎤ ⎦∆ t [5.29]

Una vez discretizados tanto espacial como temporalmente todos los términos, es posible formular la ecuación algebraica no estacionaria. Por simplicidad, se va a eliminar el superíndice 1, de modo que las variables sin superíndice representarán directamente el valor en el paso actual, mientras que las variables que mantienen el superíndice 0 se referirán a valores correspondiente del paso temporal anterior. Agrupándolo todo, y reordenando convenientemente, se tiene: ⎡ ⎤ (0) 0 (0) aP φP = ∑ ac .v .⎡ ⎣ f φc.v . + (1 − f ) φc .v . ⎤ ⎦+ b +⎢ aP − (1 − f ) ∑ ac.v . ⎥φP ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ c .v . c .v .

donde como siempre aE =

Γ e ∆y Γ ∆y Γ ∆x Γ ∆x ; aW = w ; aN = n ; aS = s δx e δx w δy n δy s

y se definen ahora aP = f ∑ ac .v . − f SP ∆x ∆y + aP0 , c .v .

donde aP0 =

ρ∆x ∆y , ∆t

0 0 (0) y el término fuente como b =⎡ ⎣ f SC + (1 − f ) SC + (1 − f ) SP φP ⎤ ⎦∆x ∆y .

[5.30]

115

116 Capítulo 5 MVF en problemas difusivos puros En función del valor que se fije para el parámetro f se tienen distintos esquemas de discretización temporal con distintas propiedades.

5.4.1. Esquema explícito Es el esquema que se obtiene si se fija f = 0. Como ya se ha comentado en capítulos anteriores, esto significa que los flujos difusivos y el término fuente se evalúan usando exclusivamente los valores obtenidos en el paso temporal previo. Con tal limitación, la ecuación general 5.30 se reduce a: ⎡ ⎤ 0 (0) aP φP = ∑ ac.v . φ(0) c .v . + b +⎢ aP − ∑ ac .v . ⎥φP ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ c .v . c .v .

[5.31]

donde aE =

Γ e ∆y Γ ∆y Γ ∆x Γ ∆x ; aW = w ; aN = n ; aS = s δx e δx w δy n δy s

y se define aP = aP0 =

ρ∆x ∆y ∆t

0 0 (0) y el término fuente como b =⎡ ⎣ SC + SP φP ⎤ ⎦∆x ∆y. Respecto a esta discretización cabe señalar: c

El segundo miembro de la ecuación 5.31 contiene valores única y exclusivamente del paso temporal anterior. Por tanto, se pueden calcular en su totalidad los nuevos valores en todos los nodos del dominio en el nuevo instante t + ∆t.

c

Obviamente, no es necesario resolver ningún sistema de ecuaciones algebraicas para conocer φP , puesto que el esquema explícito supone que φ(0) P prevalece en todo el paso temporal.

c c

Cuando ∆t → ∞, se recupera la ecuación en régimen estacionario. Este esquema es muy sencillo y conveniente, y se utiliza habitualmente en CFD. Sin embargo, presenta una limitación seria respecto a su consistencia. Así, en la ecuación 5.31, se puede observar cómo el término que multiplica a φ(0) P se puede hacer negativo si aP0 < ∑ ac.v . c .v .

Cuando esto ocurre, se observa cómo un aumento de φ en el paso temporal anterior puede causar una reducción de φ en el instante actual, comportamiento que

5.4 Difusión 2-D no estacionaria

es físicamente imposible. Lógicamente, se puede evitar este problema obligando a que aP0 ≥ ∑ ac.v . c .v .

Para el caso particular de mallado uniforme, con propiedades constantes, esto significa que ρ

∆x ∆y ∆y ∆y ∆x ∆x >Γ +Γ +Γ +Γ ∆t ∆x ∆x ∆y ∆y

y suponiendo que ∆x = ∆y, la condición de consistencia (para mallado bidimensional) se reduce a: 2

∆t
⎜Γ +Γ +Γ +Γ ⎟ 2⎝ ∆x ∆t ∆x ∆y ∆y ⎠

y suponiendo que ∆x = ∆y , la condición de consistencia (para mallado bidimensional) se reduce a: 2

ρ ( ∆x ) ∆t < 2Γ

[5.35]

Nótese que esta condición es menos restrictiva que en el caso totalmente explícito; en particular, el paso temporal puede hacerse el doble de grande que dicho esquema explícito. Por tanto, se puede ir el doble de rápido asegurando igualmente la consistencia. c

El esquema de Crank-Nicholson plantea esencialmente una variación lineal para φP entre los instantes t y t + ∆t.

5.5

Difusión 2-D en coordenadas cilíndricas

Puesto que la ecuación 5.1 está escrita de forma vectorial, su expresión es perfectamente válida para describir transporte difusivo en otro tipo de sistema de coordenadas. En particular, en este apartado se muestra cómo discretizar la ecuación en el caso de una malla que se ajusta a una geometría polar bidimensional. En la figura 5.4 se muestra un control de volumen típico para este caso. El volumen de control se encuentra en el plano r – θ limitado por las isolíneas de radio r y ángulo θ, y de volumen ∆VP = rP ∆r ∆θ.

119

120 Capítulo 5 MVF en problemas difusivos puros

w

N

e

rn n w

P

W

E

rs e

s S

r

er e

Figura 5.4 Volumen de control en una geometría polar.

Se supone que no hay variación fuera del plano, esto es, ∂φ ∂x = 0, y que se satisfacen condiciones estacionarias (el caso no estacionario se puede desarrollar fácilmente). Como se ha visto anteriormente, la discretización espacial de los flujos difusivos establece:

∑ ( J c ⋅ Ac ) + S ⋅ ∆VP = 0

[5.36]

c=e ,w ,n, s

Además, según se observa en el volumen de control bidimensional de la figura 5.4, las áreas en las caras de cada celda serán en polares: Ae = ∆r eθ,e , Aw = −∆r eθ,w , An = rn ∆θ er y As = −rs ∆θ er , con signos positivos o negativos según su vector normal saliente coincida o no con el sentido del vector unitario. Teniendo en cuenta que el flujo difusivo, J = Γ∇φ, tiene como expresión del operador nabla en polares: ∇=

∂ 1 ∂ er + e ∂r r ∂θ θ

y que se van a aproximar las derivadas por diferencias finitas linealizando entre nodos, se tiene: Γ e ∆r

φ − φW φ − φP φ − φS φ E − φP − Γw ∆r P + Γnrn ∆θ N − Γ s rs ∆θ P + [5.37] δrn δrs re δθe rw δθw +(SC + SP φP ) ⋅ rP ∆r ∆θ = 0

5.6 Difusión 2-D en dominios axisimétricos

donde se ha linealizado el término fuente según lo habitual. Reordenando para dejar la ecuación en función de los valores de φ en cada nodo se obtiene: ⎛ Γ e ∆r Γ w ∆r Γnrn ∆θ Γ s rs ∆θ ⎞ ⎜ + + + − SP rP ∆r ∆θ ⎟φP = δrn δrs ⎝ re δθe rw δθw ⎠

[5.38]

aP

=

Γe ∆r Γ ∆r Γ r ∆θ Γ r ∆θ φE + w φW + n n φN + s s φS + SC rP ∆r ∆θ re δθe rw δθw δrn δrs b

aE

aW

aN

aS

en la que denotando los coeficientes que afectan a las variables en los nodos como aP , aE, aW , aN y aS y al término independiente como b, se transforma en la ecuación algebraica habitual que afecta al nodo P según: aP φP = aE φE + aW φW + aN φN + aS φS + b

[5.39]

Es importante destacar los siguientes puntos: c

Independientemente de la forma de cada volumen de control, el proceso básico de discretización siempre es el mismo. La integración de la ecuación de transporte sobre el volumen de control y la aplicación del teorema de divergencia siempre conduce a un balance de flujos en cada celda, sea cual sea su forma.

c

La única diferencia con el mallado cartesiano ortogonal se encuentra en la expresión de los vectores de área de las celdas y en la formulación del operador nabla en el sistema de coordenadas considerado.

c

El sistema polar de coordenadas es ortogonal. De esta forma, los flujos se expresan directamente como diferencias finitas entre valores entre centroides contiguos. Cuando la malla es no ortogonal aparecen términos adicionales que deben incluirse y que aparecen como consecuencia de que la línea que une centroides de celdas deja de ser perpendicular a las caras de las celdas.

5.6

Difusión 2-D en dominios axisimétricos

Para el caso axisimétrico se utiliza un procedimiento similar, pero suponiendo que circunferencialmente no hay variación: ∂φ ∂θ = 0 . Nuevamente, analizando el caso estacionario para un volumen de control típico como el mostrado en la figura 5.5, en el que el nodo P se sitúa en el centroide de la celda que tiene un volumen ∆VP = rP ∆r ∆θ, se llega a la misma ecuación 5.36 que antes.

121

122 Capítulo 5 MVF en problemas difusivos puros xw

xe

N n W

r

rn

w

E

P e

rs

s S

x

r x

Figura 5.5

Volumen de control para geometría axisimétrica.

En este caso, las áreas en las caras de cada celda serán: Ae = re ∆r i , Aw = −rw ∆r i , An = rn ∆x er y As = −rs ∆x er , con signos positivos o negativos según su vector normal saliente coincida o no con el sentido del vector unitario. Teniendo en cuenta que el flujo difusivo, J = Γ∇φ, tiene como expresión del operador nabla en coordenadas 2-D axisimétricas: ∇=

∂ ∂ er + i ∂r ∂x

y que se van a aproximar las derivadas por diferencias finitas linealizando entre nodos, se tiene: φ − φW φ − φP φ E − φP − Γw rw ∆r P + Γnrn ∆x N − δx e δx w δrn φ − φS −Γ s rs ∆x P + (SC + SP φP ) ⋅ rP ∆r ∆x = 0 δrs Γe re ∆r

[5.40]

donde se ha linealizado el término fuente según lo habitual. Reordenando para dejar la ecuación en función de los valores de φ en cada nodo se obtiene: ⎛ Γ e re ∆r Γw rw ∆r Γnrn ∆x Γ s rs ∆x ⎞ ⎜ + + + − SP rP ∆r ∆x ⎟φP = δx w δrn δrs ⎝ δx e ⎠

[5.41]

aP

Γ r ∆r Γ r ∆r Γ r ∆x Γ r ∆x = e e φE + w w φW + n n φN + s s φS + SC rP ∆r ∆x δx e δx w δrn δrs b

aE

aW

aN

aS

5.7 Difusión 3-D no estacionaria

en la que denotando los coeficientes que afectan a las variables en los nodos como aP , aE, aW , aN y aS y al término independiente como b, se transforma en la ecuación algebraica habitual que afecta al nodo P: aP φP = aE φE + aW φW + aN φN + aS φS + b

5.7

[5.42]

Difusión 3-D no estacionaria

La difusión tridimensional no estacionaria se puede obtener fácilmente extrapolando la anterior ecuación 5.30 al caso en tres dimensiones. Para ello, según el volumen de control tridimensional del mallado cartesiano mostrado en la figura 5.6, basta con añadir los términos adyacentes por arriba (nodo T –top–) y por abajo (nodo B –bottom–) y tener en cuenta que las caras entre celdas son ahora superficies infinitesimales. T

Dy N

E

t n

w

P

y

Figura 5.6

Dz

s b

z

W

e

S

Dx x

B

Volumen de control tridimensional.

Como en apartados anteriores, se podría plantear la discretización espacial y temporal de todos los términos para obtener la formulación de la ecuación algebraica no estacionaria, pero, por simplicidad, se generalizan directamente los términos de la ecuación 5.30 (nótese que dicha ecuación es válida multidimensionalmente). Por tanto, para un esquema temporal cualquiera de parámetro f se obtiene: ⎡ ⎤ (0) ⎤ 0 (0) ⎢ ( ) ( ) aP φP = ∑ ac .v .⎡ f φ + 1 − f φ + b + a − 1 − f a ∑ ⎣ c .v . c .v . ⎦ P c .v . ⎥φP ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ c .v . c .v .

[5.43]

123

124 Capítulo 5 MVF en problemas difusivos puros donde en este caso,

∑ ac.v. = aE + aW + aN + aS + aT + aB , c .v .

siendo respectivamente Γe ∆y ∆z Γ ∆y ∆z Γ ∆x ∆z Γ ∆x ∆z ; aW = w ; aN = n ; aS = s ; δx e δx w δy n δy s Γ ∆x ∆y Γ ∆x ∆y ; aB = b aT = t δz t δz b aE =

y se definen ahora aP = f ∑ ac .v . − f SP ∆x ∆y ∆z + aP0 , c .v .

donde aP0 =

ρ∆x ∆y ∆z , ∆t

0 0 (0) y el término fuente como b =⎡ ⎣ f SC + (1 − f ) SC + (1 − f ) SP φP ⎤ ⎦∆x ∆y ∆z .

Como es sabido, en función del valor que se fije para el parámetro f se tienen distintos esquemas de discretización temporal con distintas propiedades. Por ejemplo, para el caso general implícito (f = 1), la formulación tridimensional queda como antes: aP φP = ∑ ac.v . φc.v . + b + aP0 φ(0) P c .v .

donde Γ e ∆ y ∆z Γ ∆y ∆ z Γ ∆x ∆z Γ ∆x ∆ z ; aW = w ; aN = n ; aS = s ; δx e δxw δyn δy s Γ ∆x ∆y Γ ∆x ∆y ; aB = b aT = t δz t δz b aE =

y se define aP0 =

0 ρ∆x ∆y ∆z a = , P ∑ ac .v . − SP ∆x ∆y ∆z + aP ∆t c .v .

y el término fuente como b = SC ∆x ∆y ∆z .

[5.44]

5.8 Consideraciones adicionales

5.8

Consideraciones adicionales

Para terminar el capítulo conviene incidir sobre algunos puntos importantes que están relacionados de manera indirecta con los esquemas de discretización presentados.

5.8.1. Interpolación del coeficiente de difusión En la discretización espacial del término difusivo ha quedado de manifiesto que el coeficiente de difusión Γ debe ser evaluado en las caras de las celdas: Γe, Γw, Γn, Γs, etc. Sin embargo, al ser este coeficiente un valor escalar, está almacenado en los centroides de las celdas, por lo que es necesario definir una forma de interpolarlo a las caras. La forma más inmediata es definir un interpolación aritmética, de forma que el valor en el cara dependa del valor en los nodos adyacentes, dando más peso al valor del nodo que esté más cerca. Así, para la cara evaluada en la figura 5.7, en la que se emplea un mallado 1-D, estructurado no cartesiano, se definiría la variación aritmética como: Γe =

1 ∆x E 1 ∆x P ΓP + Γ 2 δx e 2 δx e E

[5.45]

Esta definición conduce a la formulación en diferencias centradas (CDS) ya sobradamente conocida. En el caso de mallado cartesiano, la ecuación 5.45 se reduce a la semisuma de los nodos adyacentes a la cara. Sin embargo, es posible definir una formulación alternativa, especialmente desarrollada para tener en cuenta fronteras conjugadas cuando se discretizan problemas

xe Je

P

E

e

xP

xE

x

Figura 5.7 Interpolación del coeficiente de difusión.

125

126 Capítulo 5 MVF en problemas difusivos puros difusivos de temperatura. En este caso, se emplea un coeficiente de difusión alternativo mediante una interpolación armónica, que se define como: δx e 1 ∆x P 1 ∆x E = + 2 ΓP 2 ΓE Γe

[5.46]

donde el término δxe Γe se puede interpretar como un “resistencia” a la difusión entre los nodos P y E. El valor en la cara para el coeficiente sería entonces: ⎛ 1 ∆x P 1 ∆x E ⎜ 2 δx e 2 δx e Γe =⎜ + ⎜ ΓP ΓE ⎜ ⎝

⎞−1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

[5.47]

En el caso de mallado cartesiano la ecuación 5.47 se reduce a la semisuma armónica: Γe =

2 ΓP ΓE ΓP + ΓE

.

Nótese que si Γ P Γ E se llega además a Γe = 2 Γ E , lo cual tiene sentido, pues la zona con un gran coeficiente de difusión apenas ofrecería resistencia, y entonces la “resistencia equivalente” sería la proporcionada por la celda E, correspondiente a una distancia 0,5 ∆xE. La utilización de un esquema armónico es recomendable para el caso en que haya que tratar interfaces conjugadas (discontinuidades). Así, tanto celdas sólidas como fluidas pueden ser tratadas en el mismo dominio: basta con almacenar los distintos coeficientes de difusión en los centroides de las celdas correspondientes.

5.8.2. Linealización del término fuente El término fuente S puede ser una fuente añadida de no linealidad en la ecuación general de transporte. Es relativamente habitual que el término fuente sea una función de la propia variable φ a resolver. Por ejemplo, en el caso de transferencia de calor por radiación, el término fuente en la ecuación de la energía contiene potencias a la cuarta de la temperatura. Para linealizar estos términos se emplea el método iterativo de Piccard, en el cual se utiliza un desarrollo en series de Taylor, centrado en el valor de φ en la iteración

5.8 Consideraciones adicionales

anterior. De esta forma, es posible expresar de forma lineal cualquier expresión matemática en función de φ según la ya conocida relación: S = SC + SPφP . Denotando como φ∗ al valor de φ en la iteración anterior (y disponible en la iteración actual), se puede plantear el desarrollo en series de Taylor de S en torno al valor anterior φ∗ resultando: ⎛ ∂S ⎞∗ S = S∗ +⎜ ⎟ ( φ − φ∗ ) ⎝ ∂φ ⎠

[5.48]

Es evidente de la ecuación anterior que se puede identificar un término independiente y un coeficiente para φ agrupando simplemente como: ⎧ ⎛ ⎞∗ ⎪SC = S∗ −⎜ ∂S ⎟ φ∗ ⎪ ⎝ ∂φ ⎠ ⎨ ⎛ ∂S ⎞∗ ⎪ ⎪SP =⎜ ⎟ ⎝ ∂φ ⎠ ⎩

[5.49]

∗

Aquí, (∂S ∂φ) es el gradiente evaluado en el valor anterior φ∗. Para la mayoría de los problemas ese gradiente resulta negativo, por lo que se garantiza que SP sea negativo. Y de esta forma se asegura que el término fuente tienda a decrecer conforme φ aumenta, proporcionando un efecto estabilizador. Desafortunadamente esto no siempre es así, y habrá que introducir formulaciones (linealizaciones) alternativas cuando no se garantiza que SP < 0.

5.8.3. Subrelajación Cuando se emplean técnicas iterativas para resolver el sistema de ecuaciones algebraicas acopladas, muchas veces es necesario controlar la rapidez con la que las variables evolucionan durante las iteraciones. Por ejemplo, cuando se tiene una importante no linealidad en las ecuaciones y la solución de partida está muy lejos de la solución real, pueden aparecer importantes oscilaciones que dificulten notablemente el proceso iterativo. En este tipo de situaciones se utiliza una subrelajación para suavizar el proceso. La idea de fondo es limitar la velocidad de cambio de una variable entre una iteración y la siguiente. Así, sea φ∗P el valor estimado de φP en la iteración previa. Puesto que φP debe satisfacer la ecuación general 3.9 (supuesto flujo estacionario), sería de esperar que en la iteración actual se cumpliese:

∑ ac.v. φc.v. + b φP =

c .v .

[5.50]

aP

127

128 Capítulo 5 MVF en problemas difusivos puros Sin embargo, se pretende que φP no cambie tanto como predice la ecuación 5.50 en relación con su valor inicial φ∗P . En particular, se expresa el cambio en φP desde la iteración previa a la actual como

∑ac.v. φc.v. + b c .v .

aP

− φ∗P .

Por tanto, expresando que queremos que φP cambie únicamente en una fracción α del total, se tendría: ⎛ ∑a φ + b ⎞ c .v . c .v . ⎜ ⎟ φP = φ∗P + α⎜ c.v . − φ∗P ⎟ [5.51] aP ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ que agrupando términos conduce a:

aP 1− α φP = ∑ ac .v . φc .v . + b + aP φ∗P α α c .v .

[5.52]

donde α se denomina factor de subrelajación y cuyo valor está normalmente comprendido entre 0,3 y 0,7. Respecto a la ecuación 5.52 caben señalarse las siguientes características: c

c

Cuando el proceso iterativo ha convergido a la solución (φP = φ∗P ) se reestablece la ecuación discreta original. Esto implica que la subrelajación es únicamente una alternativa en el camino hacia la solución, y no en la propia discretización. Aunque se puede plantear sobrerrelajación (α > 1), lo habitual es que se limite a valores de α menores que 1. Fijando que α < 1 se puede asegurar que

aP > ∑ ac .v . α c .v . lo cual garantiza que se cumple el criterio de Scarborough. c

El valor óptimo de α depende del caso que se esté resolviendo, de la intensidad y características de las no linealidades del sistema a resolver, del tipo de malla empleada, etc. Un valor cercano a 1 permite acelerar el proceso iterativo, pero lo hace sensible a problemas de divergencia. Por el contrario, un valor bajo de α ralentiza el proceso y lo protege de divergir abruptamente. Aquí es necesario emplear la experiencia y la intuición para elegir el valor más apropiado en cada caso.

5.8 Consideraciones adicionales

c

Nótese la similitud que se establece entre la subrelajación y el paso temporal. La suposición inicial de valores actúa como una condición inicial, mientras que los ∗ términos aP α y ⎡ ⎣ (1 − α) α ⎤ ⎦aP φP reproducen los efectos de los términos no estacionarios.

5.8.4. Análisis de estabilidad de Von Neumann El análisis de estabilidad de Von Neumann es un método clásico para analizar la estabilidad de problemas lineales: proporciona condiciones exactas de estabilidad para ecuaciones lineales con coeficientes constantes y condiciones de contorno neutras. Sin embargo, cuando se tenga que tratar con coeficientes no constantes y/o términos no lineales en las ecuaciones básicas, la información sobre la estabilidad se vuelve muy limitada. En la práctica, el análisis de Von Neumann se emplea para proporcionar alguna directriz acerca del comportamiento general de sistemas idealizados. Evidentemente, la complejidad de las ecuaciones acopladas no lineales (como las de NavierStokes) llevará asociada la aparición de restricciones mucho más exigentes. En estos casos, será necesario utilizar la experiencia e intuición para garantizar la estabilidad del proceso iterativo. Por simplicidad se considera ahora la ecuación de Laplace 1-D no estacionaria, ecuación lineal sin términos fuente y con coeficientes constantes. Su forma discretizada, correspondiendo con la integración temporal explícita de la ecuación 5.4, sería: (0) 0 (0) aP φP = aE φ(0) E + aW φW + (aP − a E − aW ) φP

[5.53]

donde

aE =

Γe Γ ρ∆x ; aW = w ; aP0 = ; aP = aP0 δx e δx w ∆t

Denotando ahora a Φ como la solución exacta del sistema discretizado y a φ como la solución numérica incluyendo errores de truncamiento y redondeo, se define el error como ε = Φ – φ. Sustituyendo esta expresión en 5.53 y teniendo en cuenta que Φ debe satisfacerla, se obtiene: (0) 0 (0) aP εP = aE ε(0) E + aW εW + (aP − a E − aW ) εP

A continuación se formula el error como un serie infinita según

ε ( x , t ) = ∑ e σ mt ei λm x m = 0, 1, 2, ..., M m

[5.54]

129

130 Capítulo 5 MVF en problemas difusivos puros donde σm puede ser real o complejo y λm = (mπ/L), siendo L la longitud del dominio. Esta formulación presenta la dependencia espacial del error como una suma de funciones periódicas y la dependencia temporal como e σ mt . Si σm es real y mayor que cero, el error aumenta con el tiempo, pero si σm es real y menor que cero, el error se amortigua. Cuando σm es compleja la solución oscila en el tiempo. Se define el factor de amplificación como

ε ( x , t + ∆t ) ε( x, t ) Si este factor es mayor que uno, el error crecerá con el paso del tiempo, dando lugar a un esquema inestable. Si el factor es menor que uno, entonces el error disminuirá al avanzar las iteraciones y dará lugar a un esquema estable. Por simplicidad, se examinan ahora las consecuencias de estabilidad de únicamente un término del error en el sumatorio anterior, ε = e σ mt ei λm x . Sustituyéndolo dentro de la ecuación 5.54 y dividiendo por aP e σ mt e i λm x , se obtiene para el caso de mallado cartesiano (∆x = ∆y): e σ m ∆t =

Γ∆t

⎛

ei λ ∆x + e−i λ ∆x ) +⎜ 2( ⎜1 − m

m

ρ ( ∆x )

⎝

2 Γ∆t ⎞ ⎟ 2⎟ ρ ( ∆x ) ⎠

[5.55]

donde introduciendo β = λm∆x y usando la identidad ei λm∆x + e−i λm∆x = 2 cos β = 2 − 4 sen2 ( β 2)

se obtiene: e σ m ∆t = 1 −

4 Γ∆t 2

ρ ( ∆x )

sen2 ( β 2)

[5.56]

Finalmente se reconoce que el factor de amplificación es igual a: 4 Γ∆t ε ( x , t + ∆t ) = e σ m∆t = 1 − 2 ε( x, t ) ρ ( ∆x )

Así, para que haya estabilidad, ε ( x , t + ∆t ) ≤1 , ε( x, t )

[5.57]

5.8 Consideraciones adicionales

o lo que es igual: 1−

4 Γ∆t 2

ρ ( ∆x )

≤1 .

Desarrollando esta condición se obtienen dos posibilidades: a) que se cumpla 4 Γ∆t 2

ρ ( ∆x )

≥0 ,

lo cual es trivial, pues todos los parámetros de la expresión son positivos, y b) que se cumpla 4 Γ∆t 2

ρ ( ∆x )

≥2 ,

o lo que es igual: 2

∆t ≤

ρ ( ∆x ) . 2Γ

Para un caso bidimensional, el lector puede comprobar fácilmente que se obtiene un criterio equivalente para mallados cartesianos 2-D (∆x = ∆y) empleando un desarrollo del error del tipo ε = e σ mt ei λm x ei λn y . De esta forma se llegaría a una limitación en el paso temporal igual a 2

ρ ( ∆x ) . ∆t ≤ 4Γ Nótese que se obtiene la misma expresión que la ya vista en 5.32. Aunque en este caso el criterio de Von Neumann y el criterio de Scarborough han fijado la misma limitación para el paso temporal, hay que advertir que en otras situaciones pueden proporcionar resultados diferentes. Recuérdese que Von Neumann propone una limitación en el paso temporal para mantener únicamente acotados los errores de truncamiento y redondeo, aun cuando la solución que se obtenga sea físicamente imposible. Esto ocurre en el caso del esquema CrankNicholson, que el criterio de Von Neumann califica de incondicionalmente estable, mientras que Scarborough fija que para valores ρ∆x 1 < 2 ∑ ac .v . ∆t c .v . es posible obtener soluciones irreales.

131

132 Capítulo 5 MVF en problemas difusivos puros 5.8.5. Discretización en mallados no estructurados Se han visto los fundamentos de la discretización en problemas difusivos cuando se emplean mallados cartesianos. No es el objeto del libro plantear las formulaciones completas para todo tipo de malla, pero sí es interesante observar la complejidad que añade el empleo de mallas no estructuradas. En particular, introducir no ortogonalidad en el mallado conduce a la aparición de términos extras que desbaratan las ventajosas propiedades vistas hasta ahora y que obligan a operaciones más elaboradas para el cálculo de los gradientes espaciales. Se pretende que el lector alcance a comprender que la generación de una malla óptima, lo más regular y ortogonal posible, tiene una implicación directa en las discretizaciones, en la simplicidad y corrección del cálculo de gradientes y en el tiempo de cálculo asociado. En caso contrario será necesario introducir nuevas aproximaciones que harán más compleja la simulación y requerirán de mayor esfuerzo computacional. En la práctica, emplear mallas ortogonales en simulaciones industriales no es muy habitual debido a la propia complejidad de los dominios a modelar. Por esta razón, es interesante métodos que sean capaces de abordar la discretización de mallas generales no estructuradas. Considérese el mallado de la figura 5.8, representado por las celdas C0 y C1, en el que la línea que une los centroides de dichas celdas no es perpendicular a la cara c (se considera no ortogonal). Como en el apartado 5.2 se procede a plantear la discretización bidimensional de la ecuación difusiva estacionaria con términos fuente, de forma que para la celda C0:

∑ J c ⋅ Ac = (SC + SP φP ) ∆V0

[5.58]

caras

Cara interior

y

c

Cara exterior

Distancias en mallas no estructuradas

x Figura 5.8

Δη

ra

C0

Mallado no estructurado (adaptado de Mathur y Murthy, 2001-2011).

ra

a

r1 C1

r2

e e

ra

Δξ

C1 ca

C0

cc

Ac

ca

e

e

Δξ

C0

Ac

d

ca

b

Δη

Ac

5.8 Consideraciones adicionales

En este caso, escribir J c y Ac en función de ∂φ ∂x y ∂φ ∂y no es adecuado porque no se dispone de valores de centroides en esa dirección. Lógicamente, es mucho más conveniente expresarlo todo en función del sistema de coordenadas (ξ – η), a pesar de que sus vectores directores no sean ortogonales (eξ , e η ). Para poder expresar ⎛ ∂φ ∂φ ⎞ J c ⋅ Ac = −Γc⎜ Ax + A ⎟ ∂y y ⎠c ⎝ ∂x en el nuevo sistema de coordenadas, es necesario calcular el jacobiano de la transformación. Así, aplicando la regla de la cadena: ∂φ ∂φ ∂x ∂φ ∂y = + ∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ ∂φ ∂φ ∂x ∂φ ∂y = + ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η

[5.59]

Por simplicidad en la notación, se van a expresar las derivadas parciales como subíndice. De esta manera, la expresión 5.59 expresada matricialmente establecería: ⎛ φξ ⎞ ⎛ x ξ ⎜ ⎜φ ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎝ η ⎠ ⎝xη

y ξ ⎞⎛ φx ⎞ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟ yη ⎟ ⎠⎝ φ y ⎠

Calculando la inversa de la transformación se obtendría: φx =

φξ y η − φ η y ξ

J

; φy =

−φξ x η + φ η x ξ

J

[5.60]

donde J = xξ y η − x η yξ . Por tanto, introduciendo todo esto en la expresión del flujo difusivo, se obtendría: ⎛ Ax y η − Ax x η ⎞⎛ ∂φ ⎞ ⎛−Ax y ξ + Ax x ξ ⎞⎛ ∂φ ⎞ ⎟ ⎟⎜ ⎟ J c ⋅ Ac = −Γc⎜ ⎜ ⎟ − Γ c⎜ ⎜ ⎟ J J ⎝ ⎠⎝ ∂η ⎠c ⎝ ⎠⎝ ∂ξ ⎠c

[5.61]

donde las derivadas parciales para las coordenadas se pueden aproximar según lo visto en la figura 5.8 por x ξ = ( x1 − x0 ) ∆ξ , y ξ = ( y1 − y0 ) ∆ξ , x η = ( xb − xa ) ∆η , y η = ( yb − ya ) ∆η ; las áreas en cartesianas se expresan como Ax = ( yb − ya ) y Ay = −( xb − xa ) ; y los vectores unitarios se escriben eξ =⎡ ⎣ ( x1 − x0 ) i + ( y1 − y0 ) j ⎤ ⎦ ∆ξ y eξ =⎡ ⎣ ( xb − x a ) i + ( y b − y a ) j ⎤ ⎦ ∆η ,

133

134 Capítulo 5 MVF en problemas difusivos puros donde ∆ξ es la distancia entre centroides y ∆η es la distancia entre los vértices a y b. Nótese que ∆η = Ac. Sustituyendo estas últimas expresiones en ᏶ y reordenando, se llega a ᏶ = ( Ac ⋅ eξ ) ∆η . Finalmente, sustituyendo estas últimas expresiones en 5.60 y tras un poco de álgebra, es relativamente sencillo generalizar los coeficientes que afectan a los dos gradientes de φ de forma que: ⎛ A ⋅ A ⎞⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ c c ⎟⎜ ⎟ + Γ ⎜ Ac ⋅ Ac e ⋅ e ⎟⎜ ∂φ ⎟ J c ⋅ Ac = −Γc⎜ ξ η⎟ c⎜ ⎟ ⎝ Ac ⋅ eξ ⎠⎝ ∂ξ ⎠c ⎝ Ac ⋅ eξ ⎠⎝ ∂η ⎠c

[5.62]

Sg

donde al segundo sumando se le denomina habitualmente gradiente secundario, Sg. En un mallado ortogonal, ese gradiente se anula ( eξ ⋅ e η = 0 ) y sólo prevalece el primero que relaciona el flujo en la cara con el gradiente de los nodos contiguos. En este caso general, el cálculo de este gradiente secundario es problemático porque no hay centroides con valores de φ en la dirección η. La obtención de este gradiente secundario se plantea de forma diferente según estemos ante un mallado estructurado o uno no estructurado. c

c

Para mallados estructurados, el cálculo de ∂φ ∂x no tiene mayor dificultad por cuanto se reduce a obtener por interpolación los valores φa y φb y luego plantear el gradiente, o bien calcular el gradiente en los centroides C0 y C1 y luego interpolar estos valores a la cara. Para mallados no estructurados bidimensionales es posible plantear una estrategia similar al caso estructurado, por cuanto la dirección η está unívocamente definida. En tridimensional, no hay una dirección única, por lo que se utiliza una formulación algo más compleja: S g = −Γc ( ∇φ)c ⋅ Ac + Γ c

Ac ⋅ Ac Ac ⋅ eξ

( ∇φ)c ⋅ eξ

[5.63]

Nótese que en esta formulación se necesita el valor del gradiente en la cara ( ∇φ)c . Este valor se puede obtener bien almacenando el valor del gradiente en los centroides de C0 y C1 y luego aceptando que el valor en la cara se puede aproximar al valor medio, ( ∇φ)c = ( ∇φ0 + ∇φ1 ) 2, o bien aplicando el teorema del gradiente que nos permite establecer de manera general que: ∇φ =

1 1 ∑ ∫ φ dAc ≈ ∆V ∑ φc Ac ∆V0 caras A 0 c

[5.64]

5.8 Consideraciones adicionales

donde aún es necesario conocer el valor de la variable en la cara. La aproximación más simple es, como siempre, utilizar el valor medio entre las dos celdas implicadas: φc = ( φ0 + φ1 ) 2. Una alternativa más adecuada es tener en cuenta la distancia existente entre los centroides y la cara, de forma que según la notación de la figura 5.8, se podría plantear: φc =

( φ0 + ∇φ0 ⋅ r0 ) + ( φ1 + ∇φ1 ⋅ r1 )

[5.65]

2

La gran ventaja de este método es que se puede aplicar a cualquier tipo de geometría de celda, incluidos los mallados no conformes. Aún así, existen otras opciones, como la aproximación por mínimos cuadrados, que proporcionan incluso mejores estimaciones de los gradientes en las caras, pues tienen en cuenta la contribución de todas las celdas vecinas (y no sólo de las adyacentes a la cara analizada).

135

6 MVF EN PROBLEMAS DIFUSIVOSCONVECTIVOS En este capítulo se aborda el término convectivo, el único que queda por discretizar en la ecuación general de transporte de un escalar. Se mostrará cómo se discretiza este término por el método de volúmenes finitos y qué clase de problemas surgen a su alrededor. Una vez resuelto, se habrá obtenido finalmente una herramienta para poder resolver numéricamente la ecuación completa de convección-difusión. Por supuesto, en la realidad el campo de velocidades también es una incógnita que debe ser calculada numéricamente, dando lugar a resolución acoplada del flujo y que será el objeto de estudio en el siguiente capítulo. Se desarrollará la metodología completa para mallados cartesianos y se mostrarán las estrategias básicas para extenderla a mallas no estructuradas. Además, en una primera aproximación se supondrá que el flujo es conocido, es decir, que el vector velocidad está disponible en todos los puntos del dominio. De esta forma, se analizará cómo un escalar cualquiera es transportado en presencia de un campo fluidodinámico conocido.

138 Capítulo 6 MVF en problemas difusivos-convectivos

Contenidos 6.1. Difusión-convección 1-D estacionaria 6.2. Difusión-convección 2-D estacionaria 6.2.1. Esquema en diferencias centradas (CDS) 6.2.2. Esquema upwind 6.2.3. Generalización a mallas no estructuradas 6.3. Esquemas de primer orden con soluciones exactas 6.3.1. Esquema exponencial 6.3.2. Esquema híbrido 6.3.3. Esquema potencial 6.4. Esquemas de orden superior 6.4.1. Difusión y dispersión numéricas 6.4.2. Esquemas de segundo orden 6.4.3. Esquemas de tercer orden 6.4.4. Generalización a mallas no estructuradas 6.5. Difusión-convección no estacionaria 6.5.1. Formulación general 6.5.2. Condición de Courant para esquemas explícitos 6.5.3. Caso particular: difusión-convección no estacionaria 3-D con esquema híbrido y discretización implícita 6.5.4. Extensión no estacionaria a otros esquemas de primer orden 6.6. Condiciones de contorno 6.6.1. Condiciones de entrada 6.6.2. Condiciones de salida 6.6.3. Condiciones geométricas

Bibliografía de referencia: Este capítulo ha sido principalmente adaptado de Mathur, S.R. y Murthy J.Y., "The Finite Volume Method", Class notes for ME608, Numerical Methods in Heat, Mass and Momentum Transfer, Purdue University (EE.UU.), 2001-2011; Chapter 5: "Convection".

6.1 Difusión-convección 1-D estacionaria

6.1

Difusión-convección 1-D estacionaria

Considérese en primer lugar un dominio unidimensional en el que se experimenta el transporte de un escalar φ por un flujo conocido en condiciones estacionarias. Ante esta situación, la ecuación 3.7 quedaría expresada como: ⎛ ∂ρφ

⎞ + ∇⋅ (v ρφ) − ∇⋅ ( Γ∇φ)⎟dV dt = ∫ ∫ Sφ dV dt ∆t VP P⎝ ∂t ⎠

∫∆t ∫V ⎜

[6.1]

Agrupando los flujos difusivo y convectivo bajo la misma integral para aplicar el teorema de Gauss de la divergencia, se llega a:

∫A ( Γ∇φ − ρv φ) dA+ ∫VP Sφ dV = 0

[6.2]

donde J = Γ∇φ − ρv φ define el vector de flujo difusivo-convectivo, que en el caso unidimensional tiene, en cartesianas, componentes J = J x i y el operador nabla del gradiente queda definido simplemente como ∇=

∂ i ∂x

Se define ρ como la densidad del fluido y v como la velocidad (conocida) del flujo con componente, v = ui . Además, según se observa en el volumen de control unidimensional de la figura 6.1, los diferenciales de área serán dA = dA i , donde dA será positivo o negativo según su vector normal saliente coincida o no con el sentido del vector unitario. Por lo tanto:

⎛ ∂φ

⎞

∫A⎜⎝ Γ ∂x − ρuφ⎟⎠dA+ ∫V

P

S φ dV = 0

xw WW

W

xe P

E

e

w x

Figura 6.1

x

Volumen de control unidimensional.

[6.3]

139

140 Capítulo 6 MVF en problemas difusivos-convectivos La ecuación 6.3 se discretiza suponiendo que el vector del flujo difusivo varía linealmente entre los valores de los centroides de la celdas que comparten la cara analizada. Para el flujo convectivo es necesario conocer además el valor de la variable en las caras, por lo que habrá que introducir en ellas un esquema de discretización adicional. Además, aceptando que el valor medio del término fuente en el interior de la celda es S , para el volumen finito asociado al punto P de la figura 6.1 se tiene: ⎛⎛ ∂φ ⎞ ⎛⎛ ∂φ ⎞ ⎞ ⎞ ⎜⎜ Γ − ρu φ⎟i ⋅ A⎟ +⎜⎜ Γ − ρu φ⎟i ⋅ A⎟ + S ⋅ ∆VP = 0 ⎠ ⎠ ⎝⎝ ∂x ⎠e ⎝⎝ ∂x ⎠w

[6.4]

Las áreas en las caras este y oeste son unitarias (flujo unidimensional), de manera que Ae = i , Aw = − i , por lo que: ⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ Γe⎜ ⎟ − ρe ue φe − Γw⎜ ⎟ + ρw uw φw + S ⋅ ∆x = 0 ⎝ ∂x ⎠e ⎝ ∂x ⎠w

[6.5]

donde al ser unidimensional, el volumen de la celda se toma como ∆x, con ∆y ∼ 1 (por unidad de alto). Aproximando la derivada en las caras por diferencias finitas entre centroides de celdas contiguas, se plantea finalmente: ⎛φ −φ ⎞ ⎛ φ − φW ⎞ P ⎟− ρe ue φe − Γ w⎜ P ⎟+ ρw uw φw + S ∆x = 0 Γ e⎜ E ⎝ δx e ⎠ ⎝ δxw ⎠

[6.6]

Suponiendo, como siempre, que el término fuente presenta una variación lineal según S = SC + SP φP , en la que se debe cumplir que SP ≤ 0, se puede linealizar esta contribución en la ecuación 6.6. Puesto que la variable φ está definida en centros de celdas y no en caras, es preciso expresar el valor de φ en las caras (φe, φw) en función de los valores en los nodos vecinos. La opción natural más elemental es aplicar una variación lineal entre nodos (diferencia centrada), que en caso de malla equiespaciada establece que: φe =

φ + φP φ E + φP y φw = W 2 2

En definitiva: ⎛φ −φ ⎞ ⎛ φ − φW ⎞ φ + φP φ + φP P ⎟− ρe ue E ⎟+ ρw uw W Γe⎜ E − Γ w⎜ P + S ∆x = 0 [6.7] 2 2 ⎝ δx e ⎠ ⎝ δx w ⎠ Con objeto de compactar la expresión de la ecuación 6.7, es recomendable introducir los conceptos de intensidad de convección, definida como F = ρu, e inten-

6.1 Difusión-convección 1-D estacionaria

141

sidad de difusión, definida como D = Γ δx . El cociente de ambas expresiones define el número de Peclet, que mide la importancia relativa de los procesos de difusión y convección en el transporte del escalar. Lógicamente se basa en la longitud característica de cada celda y su analogía con el número de Reynolds es evidente:

Pe =

F ρu δx = D Γ

[6.8]

Finalmente, reordenando para dejar la ecuación en función de los valores de φ en cada nodo se obtiene: ⎛ ⎞ ⎛ F⎞ F ⎞ ⎜D − Fe + D + Fw + (F − F ) − S ∆x ⎟φ =⎛ De − e ⎟φE +⎜Dw + w ⎟φW + SC ∆x ⎜ e w e w P P ⎜ ⎟ 2 2 2⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ b 0 aE

aP

aW

[6.9]

donde se ha introducido el término (Fe – Fw) en el coeficiente de φP para poder obtener los coeficientes del resto de nodos integrados en aP como es habitual. Nótese además que ese término debe ser igual a cero para satisfacer continuidad. Por lo tanto, denotando a los coeficientes que afectan a las variables en los nodos como aP , aE y aW y al término independiente como b, se formula la ecuación algebraica final que afecta al nodo P según: aP φP = aE φE + aW φW + b

[6.10]

donde se cumple además que aP = aE + aW – SP∆x. La ecuación 6.10 se puede expresar de forma aún más compacta como: aP φP = ∑ ac .v . φc .v . + b

[6.11]

c .v .

donde en este caso las celdas vecinas (c.v.) son únicamente E y W. Se puede reconocer inmediatamente que la ecuación 6.11 a resolver para problemas de difusión-convección estacionaria adquiere exactamente la misma forma general que la ecuación 5.9 para problemas difusivos puros. La única diferencia está en los coeficientes de las variables, que incorporan en este caso nuevos sumandos para tener en cuenta los mecanismos convectivos. Por tanto, esta es una gran ventaja del método de volúmenes finitos en términos de definición del sistema de ecuaciones a resolver: se plantean ecuaciones algebraicas idénticas, por lo que las estrategias de resolución serán válidas en ambos casos y sólo habrá que introducir los coeficientes correspondientes para diferenciar la situación difusiva pura de la difusiva-convectiva.

142 Capítulo 6 MVF en problemas difusivos-convectivos

6.2

Difusión-convección 2-D estacionaria

6.2.1. Esquema en diferencias centradas (CDS) Tomando de nuevo la ecuación 6.2 y particularizando para caso bidimensional, donde J = Γ∇φ − ρv φ tiene por componentes J = J x i + J y j , el operador nabla del gradiente queda definido como ∇=

∂ ∂ i+ j ∂x ∂y

y el campo de velocidades conocido es v = ui + vj , se puede plantear tras la discretización: ⎡⎛⎛ ∂φ ⎞ ⎞ ⎤ ⎞ ⎛ ∂φ ⎜⎜ Γ − ρu φ⎟i +⎜ Γ − ρv φ⎟j ⎟ ⎟⋅ A ⎥ + S ⋅ ∆VP = 0 ⎢⎜ ⎠ ⎝ ∂y ⎢⎝⎝ ∂x ⎠ ⎠ ⎥ ⎦c c=e ,w ,n, s⎣

∑

[6.12]

Además, según se observa en el volumen de control bidimensional de la figura 6.2, las áreas en las caras de cada celda serán Ae = ∆y i , Aw = −∆y i , An = ∆x j y As = −∆x j , con signos positivos o negativos según su vector normal saliente coincida o no con el sentido del vector unitario. De esta forma: ⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ Γe ∆y⎜ ⎟ − ρe ue φe ∆y − Γ w ∆y⎜ ⎟ + ρw uw φw ∆y + Γn ∆x⎜ ⎟ − ⎝ ∂x ⎠e ⎝ ∂x ⎠w ⎝ ∂y ⎠n ⎛ ∂φ ⎞ −ρnvn φn ∆x − Γ s ∆x⎜ ⎟ + ρs v s φs ∆x + S ⋅ ∆x ∆y = 0 ⎝ ∂y ⎠s

[6.13]

Finalmente, aproximando las derivadas por diferencias finitas, linealizando de la misma forma que en el caso anterior e introduciendo esquema de diferencias centradas para los valores en las caras, se obtiene: φ − φW φ E − φP φ + φP − ρe ue ∆y E − Γ w ∆y P + δx e δx w 2 φ + φW φ − φP φ + φP + ρw uw ∆y P + Γ n ∆x N − ρnvn ∆x N − δy n 2 2 φ − φS φ + φS − Γ s ∆x P + ρ s v s ∆x P + S ⋅ ∆x ∆y = 0 δy s 2 Γe ∆y

[6.14]

6.2 Difusión-convección 2-D estacionaria

xe

xw

N n y

yn

w

W

E

P e s

ys

V S

y

x

x Figura 6.2

Volumen de control bidimensional.

Como ya se vio antes, se simplifica la notación introduciendo las intensidades de convección y difusión. En este caso, para un dominio bidimensional, se definen ∆y ∆y ; Fw = ρw uw ∆y ; Dw = Γ w ; δx e δx w ∆x ∆x Fn = ρnvn ∆x ; Dn = Γn ; Fs = ρs v s ∆x y Ds = Γ s δy n δy s

Fe = ρe ue ∆y ; De = Γ e

Nótese que Fc es el flujo másico a través de la cara c y que para evaluarlo se necesita el valor de φ en la cara. Sustituyendo en 6.14 y reordenando para dejar la ecuación en función de los valores de φ en cada nodo se obtiene: ⎛ ⎞ Fe Fw F F + Dn − n + Ds + s + (Fe − Fw + Fn − Fs ) − SP ∆x ∆y ⎟φP = ⎜ De − + Dw + 2 2 2 2 ⎝ ⎠ aP

⎛ ⎛ ⎛ ⎛ F ⎞ F ⎞ F ⎞ F ⎞ =⎜ De − e ⎟φE +⎜ Dw + w ⎟φW +⎜ Dn − n ⎟φN +⎜ Ds + s ⎟φS + SC ∆x ∆y 2⎠ 2⎠ 2 ⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ b

aE

aW

aN

aS

[6.15]

Y denotando los coeficientes que afectan a las variables en los nodos como aP, aE, aW, aN y aS y al término independiente como b, se formula la ecuación algebraica final que afecta al nodo P según: aP φP = aE φE + aW φW + aN φN + aS φS + b

[6.16]

143

144 Capítulo 6 MVF en problemas difusivos-convectivos donde se cumple además que aP = aE + aW + aN + aS – SP∆x∆y + (Fe – Fw + Fn – Fs). El término (Fe – Fw + Fn – Fs) representa el flujo másico neto dentro de la celda P analizada. Por supuesto, si el campo fluidodinámico satisface la ecuación de continuidad, es lógico que este término sea cero. La ecuación 6.16 se reduce a la misma expresión compacta que antes (ecuación 6.11) en la que esta vez las celdas vecinas son E, W, N y S. El esquema de diferencias centradas, a pesar de ser de segundo orden, presenta el grave inconveniente de que es susceptible a presentar coeficientes negativos en la ecuación 6.16. Si se considera un campo de velocidades tal que u > 0 y v > 0 en todo el dominio, es evidente que cuando Fe > 2De, el coeficiente aE se hace negativo, con lo que no se puede satisfacer el criterio de convergencia de Scarborough. Análogamente, cuando Fn > 2Dn, es entonces el coeficiente aN el que se vuelve negativo. Si se invirtiese el signo del vector velocidad, las restricciones vendrían entonces de aW y aS. Por tanto, de forma general, el esquema en diferencias centradas (CDS) presenta un comportamiento estable si se cumple que F < 2D, esto es, que el número de Peclet sea menor que 2 (para mallas cartesianas uniformes). Nótese que reduciendo el tamaño de malla suficientemente, se podría llegar a reducir el número de Peclet hasta cumplir la restricción. Sin embargo, esto requeriría en la mayoría de las situaciones de un gran número de celdas y de tiempos de cálculo muy elevados, lo cual hace que esta estrategia no sea útil en la práctica.

6.2.2. Esquema upwind El problema del esquema de diferencias centradas proviene de la media aritmética entre valores de nodos adyacentes para interpolar al valor de la variable en la cara. Una forma ingeniosa de resolver el problema es utilizar un esquema de diferenciación aguas arriba (upwind), en el que el valor en la cara se sustituye directamente por el valor en el centroide más cercano aguas arriba. De esta forma, para la cara e representada en la figura 6.2 se tendría: ⎧φP ⎪ φe ⎨ ⎪ ⎩φ E

si Fe ≥ 0 si Fe < 0

[6.17]

Esta expresión establece que el valor de φ en la cara viene determinado exclusivamente por la dirección preferente de la malla en la que el flujo incide en la celda. Expresiones similares se deducen para el resto de las caras, donde se aprecia el claro sentido físico de esta discretización. De esta forma, los valores de los coeficientes para la ecuación 6.16 serán: aE = De + max (−Fe ,0) aW = Dw + max ( Fw ,0) aN = Dn + max (−Fn ,0) aS = Ds + max ( Fs ,0) aP = ∑ ac.v . + ( Fe − Fw + Fn − Fs ) − SP ∆x ∆y b = SC ∆x ∆y c .v .

[6.18]

6.2 Difusión-convección 2-D estacionaria

El esquema upwind garantiza que los coeficientes nunca son negativos, por lo que se asegura que el valor de φP queda acotado siempre por los valores vecinos. De todas formas, aunque este esquema garantiza soluciones realistas, su precisión es únicamente de primer orden y se puede ver comprometida en determinados casos (en ausencia de difusión puede producir discontinuidades en la distribución de la variable). En los apartados 6.3 y 6.4 se presentan otras alternativas que evitan estos inconvenientes.

6.2.3. Generalización a mallas no estructuradas Para mallas no estructuradas ni ortogonales se pueden obtener esquemas de discretización por diferencias centradas o upwind para el término convectivo de forma relativamente sencilla. Debe tenerse en cuenta que en el caso no estructurado (figura 6.3), se pretende evaluar los flujos difusivos-convectivos por las caras como

∑

J c ⋅ Ac

c = e,w,n,s

donde precisamente el flujo en cada cara se define como J c = ( Γ∇φ)c − ( ρv φ)c , de manera que: J c ⋅ Ac = Γ c ( ∇φ)c ⋅ Ac − ( ρv )c ⋅ Ac φc

[6.19]

pudiendo definirse el flujo másico por la cara como Fc = ( ρv )c ⋅ Ac . En el capítulo anterior ya se había obtenido que el flujo difusivo a través de una cara podía expresarse como −

Γ c Ac ⋅ Ac ( φ − φ0 ) + S g ∆ξ Ac ⋅ eξ 1  Ac

 v

Δξ

C1 ra ca

C0

 eξ

y x

Figura 6.3 Convección en un mallado 2-D no estructurado (adaptado de Mathur y Murthy, 2001-2011).

145

146 Capítulo 6 MVF en problemas difusivos-convectivos donde siguiendo la convención actual para la intensidad de difusión se puede identificar: Dc =

Γ c Ac ⋅ Ac ∆ξ Ac ⋅ eξ

[6.20]

Por lo tanto, la anterior expresión 6.19 se puede reescribir de la forma compacta: J c ⋅ Ac = Dc ( φ1 − φ0 ) − Fc φc + S g

[6.21]

La ecuación 6.21 establece que, al igual que en las mallas cartesianas, el transporte convectivo de φ por la cara requiere de la evaluación del valor en la cara, φc. Como se ha visto en los subapartados anteriores, la definición del valor en la cara depende del tipo de discretización que se escoja. A continuación se van a mostrar las formulaciones finales según se escoja un esquema en diferencias centradas, o un esquema upwind. c

Tomando la aproximación por diferencias centradas, la opción más sencilla es calcular el valor en la cara como φc = ( φ1 + φ0 ) 2. Con esta aproximación, en la ecuación 6.11 los distintos coeficientes toman los siguientes valores:

ac .v . = Dc −

Fc a = ∑ a + ∑ F − SP ∆x ∆y b = SC ∆x ∆y −∑ S g 2 P c.v . c .v . c=e,w,n,s c c .v .

( )c.v. [6.22]

Al igual que en mallas estructuradas, se observa la limitación del número de Peclet en la cara para evitar que aparezcan coeficientes negativos. Además, el sumatorio de los flujos por las caras en el coeficiente aP será cero si se cumple continuidad para el campo de velocidades. c

Si se adopta un esquema upwind, la discretización sería: ⎧φ0 si Fc ≥ 0 ⎪ φc ⎨ ⎪ ⎩φ1 si Fc < 0 , obteniéndose los siguientes coeficientes para la ecuación 6.11:

ac .v . = Dc + max (−Fc ,0 ) aP = ∑ ac .v . + c .v .

∑ c=e,w,n,s

( )c.v.

Fc − SP ∆x ∆y b = SC ∆x ∆y − ∑ S g c .v .

[6.23]

Al igual que en el caso de mallas estructuradas, este esquema asegura que todos los coeficientes nunca sean negativos.

6.3 Esquemas de primer orden con soluciones exactas

6.3

Esquemas de primer orden con soluciones exactas

En la bibliografía es posible encontrar varios esquemas de primer orden para discretizar la ecuación difusiva-convectiva de forma completa. Así, en lugar de emplear estrategias distintas para tratar el término difusivo y para el término convectivo por separado, se va a introducir una formulación que se ajusta a la solución exacta de la ecuación difusiva-convectiva. En general, el comportamiento de estos esquemas es similar al esquema upwind (primer orden).

6.3.1. Esquema exponencial Se basa en la solución analítica de la ecuación difusiva-convectiva unidimensional, sin términos fuente: ∂ ∂ ⎛ ∂φ ⎞ ( ρu φ) − ⎜ Γ ⎟= 0 ∂x ∂x⎝ ∂x ⎠ La ecuación se define para un dominio 1-D acotado, de forma que 0 ≤ x ≤ L , siendo L la longitud del dominio, y en la que se imponen dos condiciones de contorno para los extremos: φ = φ0 en x = 0 y φ = φL en x = L. Dada la relativa simplicidad de dicha ecuación, se puede resolver analíticamente obteniéndose: Pe

x

φ − φ0 e L −1 = Pe φ − φL e −1

[6.24]

donde el número de Peclet viene definido como Pe = ρuL Γ , que se particularizaría en el número de Reynolds cuando el coeficiente de difusión, Γ, se sustituye por la viscosidad dinámica del fluido. En la figura 6.4 se ha representado la distribución de la ecuación 6.24 para distintos números de Peclet. Nótese que según este número sea mayor o menor que 1, la gráfica se mueve hacia los valores de los extremos φ0 y φL en todo el intervalo. Cuando Pe → 0, el comportamiento de la solución se reduce a una recta. A continuación se procede a introducir la expresión exacta 6.24 en la relación entre nodos una vez discretizada la ecuación general de transporte. Para ilustrar el proceso retomamos la ecuación unidimensional 6.5, donde se han identificado los flujos totales entrantes y salientes por las caras e y w: ⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ Γe⎜ ⎟ − ρe ue φe −Γ w⎜ ⎟ + ρw uw φw + S ⋅ ∆x = 0 ⎝ ∂x ⎠e ⎝ ∂x ⎠w J e ⋅Ae

J w ⋅Aw

[6.25]

147

148 Capítulo 6 MVF en problemas difusivos-convectivos 1 Pe = –10 Pe < –1

0,8

φ – φ0 φ – φL

Pe = – 1

0,6

Pe = 1

0,4 0,2

Pe > 1 Pe = 10

0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

x/L Figura 6.4

Solución exacta de la ecuación difusiva-convectiva 1-D en función de Pe.

Es el momento de utilizar la expresión exponencial para escribir φe y φw y los gradientes (∂φ ∂x ) y (∂φ ∂x ) en función de una ley matemática exacta. Así, e w suponiendo que φ(x) sigue la ecuación 6.24, se puede usar esta distribución para evaluar tanto φ como (∂φ ∂x ) en las caras e y w. En definitiva: J e ⋅ Ae = Fe φP +

φP − φ E

Fe e Pee − 1 φ − φP J w ⋅ Aw = Fw φW + W Fw e Pew − 1

[6.26]

donde Pee = Fe/De y Pew = Fw/Dw. Como siempre, agrupando y reordenando términos se obtiene la ecuación algebraica generalizada 6.10 (para flujo unidimensional) con los siguientes coeficientes: aE =

Fe e Pee − 1

aW =

Fw e Pew e Pew − 1

aP = a E + aW + ( Fe − Fw ) − SP ∆x b = SC ∆x [6.27]

Este esquema se puede extender fácilmente a su formulación bidimensional y tridimensional. Además, proporciona siempre coeficientes positivos y valores de la variable acotados en todo el dominio. Sin embargo, las exponenciales son costosas de evaluar computacionalmente (esto era un problema serio cuando se desarrollaron estos algoritmos para computadores muy limitados en memoria y capacidad) por lo que se han propuesto algoritmos alternativos que aproximan las exponenciales por expresiones matemáticas más sencillas.

6.3 Esquemas de primer orden con soluciones exactas

6.3.2. Esquema híbrido Este esquema, introducido por Spalding en 1972, trata de aproximar el comportamiento exponencial de los coeficientes definidos en 6.27 por medio de funciones sencillas que tiendan asintóticamente al mismo límite. Así, reordenando y representando el coeficiente aE, únicamente como función de Pe, podemos ver: Pe aE = Pe e De e e −1 5

[6.28]

aE De

4 3

–Pe e

2 Exponencial Híbrido

–5

–4

–3

1 1– Pee /2

–2

–1

0 0 Pe e

Pe e = 0 1

2

3

4

5

Figura 6.5 Variación exponencial de aE/De en función de Pee y aproximación híbrida (adaptado de Patankar, 1980).

A la vista de la figura se observan las siguientes asíntotas para el coeficiente: c

aE/De → 0

cuando Pee → ∞

c

aE/De → –Pee

cuando Pee → –∞

c

aE/De = 1 – Pee/2

cuando Pee = 0

Aprovechando estas características, el esquema híbrido utiliza las tangentes en las asíntotas para extenderlas a todo el dominio y proponer unos coeficientes únicamente con variación lineal de forma: ⎧0 si Pee > 2 aE ⎪ ⎨1 − Pee 2 si − 2 ≤ Pee ≤ 2 De ⎪ si Pee < −2 ⎩−Pee

[6.29]

149

150 Capítulo 6 MVF en problemas difusivos-convectivos Es muy ilustrativo notar que cuando −2 ≤ Pee ≤ 2, el esquema híbrido coincide con el esquema en diferencias centradas, mientras que para Pee > 2 o Pee < –2, el esquema híbrido se convierte en un upwind. La función exponencial para la cara oeste es simétrica, de forma que aW Pe e Pew = Pew Dw e w −1 En este caso, las asíntotas marcan las siguientes aproximaciones lineales: ⎧0 si Pew < −2 aW ⎪ ⎨1 + Pew 2 si − 2 ≤ Pew ≤ 2 Dw ⎪ si Pew > 2 ⎩Pew

[6.30]

que coinciden nuevamente con el esquema híbrido en la zona central y con el esquema upwind en las zonas exteriores. Finalmente, introduciendo estos coeficientes en la ecuación general de transporte discretizada, agrupando y reordenando términos se obtiene la ecuación algebraica generalizada 6.10 (para flujo unidimensional) con los siguientes coeficientes:

⎡ F ⎤ aE = max⎢−Fe , De − e ,0 ⎥ ⎣ 2 ⎦

⎡ ⎤ F aW = max⎢ Fw , Dw + w ,0 ⎥ ⎣ 2 ⎦

aP = aE + aW + ( Fe − Fw ) − SP ∆x

[6.31]

b = SC ∆x

6.3.3. Esquema potencial El esquema potencial o esquema en potencias, propuesto por Patankar en 1980, es una aproximación más precisa a la solución exponencial exacta y produce mejores resultados que el esquema híbrido. La principal aportación de este esquema consiste en anular el esquema difusivo en la celda cuando el número de Peclet exceda el valor de 10 en su interior (es decir, sobrepase un orden de magnitud). Si el número de Peclet está entre 0 y 10 entonces el flujo por la cara se evalúa con una expresión polinómica en potencias. Con estas restricciones, los coeficientes que se obtienen son: 5 ⎡−Fe ,0 ⎦ ⎤ aE = max⎡ ⎣ 0,(1 − 0,1 Pee ) ⎤ ⎦+ max⎣

⎡ 0,(1 − 0,1 Pe )5 ⎦ ⎤+ max⎣ ⎡ Fw ,0 ⎦ ⎤ aW = max⎣ w

[6.32]

6.4 Esquemas de orden superior

6.4

Esquemas de orden superior

6.4.1. Difusión y dispersión numéricas La precisión de los esquemas híbrido y upwind es únicamente de primer orden en términos de error de truncamiento para su desarrollo en series de Taylor. La utilización de la técnica upwind asegura esquemas muy estables pero su característica de primer orden lo hace especialmente sensible a errores de difusión numérica. Para entender el concepto de difusión numérica se analiza a continuación el caso de la ecuación bidimensional puramente convectiva, en la que el campo fluidodinámico (vector velocidad) es conocido. De esta forma, planteamos resolver:

∂ ( ρu φ) ∂ ( ρv φ) + =0 ∂x ∂y

[6.33]

Se considera el caso con campo de velocidades constante, cumpliendo que u > 0 y v > 0, y con densidad ρ constante. Empleando el esquema upwind en 6.33 se tendría:

ρu

φP − φW φ − φS + ρv P =0 ∆x ∆y

[6.34]

Considérese el mallado computacional de la figura 6.2. Desarrollando en series de Taylor las variables φW y φS alrededor de la variable φP se obtiene: 2

3

∂φ ( ∆x ) ∂2 φ ( ∆x ) ∂3 φ φW = φP − ∆x + − + ... 2! ∂x 2 3! ∂x 3 ∂x 2

φS = φP − ∆y

[6.35]

3

∂φ ( ∆y ) ∂2 φ ( ∆y ) ∂3 φ + − + ... ∂y 2! ∂y 2 3! ∂y 3

[6.36]

Todas las derivadas en las expresiones 6.35 y 6.36 se evalúan en el punto P. Reordenando dichas expresiones se obtiene: 2

φP − φW ∂φ ( ∆x ) ∂2 φ ( ∆x ) ∂3 φ = − + − ... 2! ∂x 2 3! ∂x 3 ∆x ∂x

[6.37]

2

φ P − φS ∂φ ( ∆y ) ∂2 φ ( ∆y ) ∂3 φ = − + − ... ∆y ∂y 2! ∂y 2 3! ∂y 3

[6.38]

151

152 Capítulo 6 MVF en problemas difusivos-convectivos Y empleando estas expresiones, 6.37 y 6.38, en la ecuación discretizada 6.34, se llega tras el reordenamiento de los términos a:

ρu

∂φ ∂φ ρu∆x ∂2 φ ρu∆y ∂2 φ + ρv = + + O ( ∆x 2 ) + O ( ∆y 2 ) 2 ∂x 2 2 ∂y 2 ∂x ∂y

[6.39]

Por simplicidad, considérese ahora el caso en que u = v y ∆x = ∆y, con lo que la ecuación anterior se reduce a:

ρu

∂φ ∂φ ρu∆x⎛ ∂2 φ ∂2 φ ⎞ 2 ⎜ 2 + 2⎟ + ρv = ⎟+ O ( ∆x ) 2 ⎜ ∂x ∂y x y ∂ ∂ ⎝ ⎠

[6.40]

La expresión 6.40 establece que la ecuación convectiva original se puede reemplazar por una ecuación equivalente o modificada que representa la ecuación continua que está modelando en realidad el método de volúmenes finitos. El primer miembro de la ecuación 6.40 se corresponde con nuestra ecuación diferencial de partida, mientras que el segundo introduce el error de truncamiento. Expresada en forma vectorial, la ecuación 6.40 se convierte en

∇⋅ ( ρv φ) −

ρu∆x ∇⋅ ( ∇φ) = O ( ∆x 2 ) 2

que no es más que una ecuación difusiva-convectiva truncada. Esto implica que aunque se ha planteado la solución de una ecuación puramente convectiva, al aplicar el esquema upwind se está resolviendo un problema que incorpora cierta difusión (numérica, generada por la discretización). A este fenómeno (matemático) se le denomina difusión numérica o artificial y es inherente al empleo de una discretización upwind. Nótese que el coeficiente de difusión artificial, (ρu∆x)/2, es proporcional al tamaño de malla, por lo que la difusión numérica se reduce al refinar el mallado, aunque nunca va a poder ser eliminado completamente. Para el caso en diferencias centradas se puede hacer un análisis similar, mediante el cual se llega a una expresión equivalente a la ecuación 6.40 de forma:

ρu

∂φ ∂φ ρu∆x 2 ⎛ ∂3 φ ∂3 φ ⎞ 3 ⎜ 3 + 3⎟ + ρv =− ⎟+ O ( ∆x ) ∂x ∂y 3! ⎜ ∂y ⎠ ⎝ ∂x

[6.41]

En este caso, la ecuación equivalente resuelve un problema que no sólo tiene en cuenta la convección pura, sino que añade un término en terceras derivadas. Este término es responsable de la inclusión de dispersión numérica, es decir, de posibles oscilaciones en la distribución de φ.

6.4 Esquemas de orden superior

Así, en resumen, se ha visto que el esquema upwind introduce una difusión numérica falsa o artificial que tiende a suavizar gradientes bruscos, mientras que el esquema en diferencias centradas tiende a introducir dispersión en la solución.

6.4.2. Esquemas de segundo orden Los errores de difusión y dispersión asociados a los esquemas vistos anteriormente se pueden minimizar empleando esquemas de discretización de orden superior. A continuación se muestran formulaciones que tratan al menos de proporcionar un error de truncamiento de segundo orden. Hasta ahora, en los esquemas de primer orden, el perfil que se adoptaba para el valor en la cara, φc, era esencialmente constante, como en el caso upwind donde para Fe > 0 se adoptaba que en la cara del este φe = φP. Ahora, se va a suponer que existe una variación de orden superior, ya sea lineal o cuadrática, para obtener una serie de esquemas tipo upwind ponderados. Esta idea se basa de nuevo en el desarrollo del valor de φc en series de Taylor en los nodos vecinos aguas arriba del nodo P. De esta forma: 2

φ ( x ) = φP + ( x − x P )

∂φ ( x − x P ) ∂2 φ + + O ( ∆x 3 ) 2 2! ∂x ∂x

[6.42]

A partir de la expresión 6.42 se obtienen esquemas de segundo orden si se utiliza una variación lineal entre nodos, que es equivalente a preservar los dos primeros términos del desarrollo de Taylor. Evaluando la anterior ecuación para la posición de la cara del este, xe = xP + ∆x/2, se obtiene: φe = φP +

∆x ∂φ 2 ∂x

[6.43]

donde esta aproximación tiene un error de truncamiento de segundo orden, O ( ∆x 2 ). Para escribir φe en función de los valores de los centroides adyacentes, se debe expresar la derivada ∂φ ∂x en diferencias finitas, pudiendo hacer esta diferencia hacia atrás (backward), hacia delante (forward) o centrada (central difference). De esta manera se obtienen tres posibilidades: c

Diferencia hacia atrás: ∂φ φP − φW , = ∂x ∆x

que introducida en la ecuación 6.43, proporciona el esquema Beam-Warming: φe = φP +

( φP − φW ) 2

[6.44]

153

154 Capítulo 6 MVF en problemas difusivos-convectivos c

Diferencia hacia delante: ∂φ φP − φW = ∂x ∆x

que introducida en la ecuación 6.43, proporciona el esquema en diferencias centradas ya conocido: φe = c

( φP + φ E )

[6.45]

2

Diferencia centrada: ∂φ φE − φW = ∂x 2 ∆x

que introducida en la ecuación 6.43, proporciona el esquema Fromm:

φe = φP +

( φE − φW )

[6.46]

4

En la ecuación 6.46, añadiendo y restando φP/4, se puede escribir de forma general que φe = φP +

( φP − φW ) ( φE − φP ) 4

+

4

Esta expresión se puede generalizar aún más introduciendo un coeficiente κ, de manera que en función de ese valor κ, se obtienen todas las posibilidades anteriores (e incluso las que se verán a continuación para esquemas de tercer orden): φe = φP +

(1 − κ) 4

( φP − φW ) +

(1 + κ) 4

( φ E − φP )

[6.47]

6.4.3. Esquemas de tercer orden Para obtener una aproximación de tercer orden, es necesario preservar sumandos hasta el término en derivada segunda en la ecuación 6.42, que evaluada para la posición de la cara del este, xe = xP + ∆x/2, proporciona: 2

φe = φP +

∆x ∂φ ( ∆x ) ∂2 φ + 2 ∂x 8 ∂x 2

[6.48]

6.4 Esquemas de orden superior

Nuevamente es necesario expresar las parciales en términos de diferencias finitas y como en el caso anterior, éstas se pueden plantear hacia delante, hacia atrás o centradas. Sin embargo, para no extender demasiado el análisis, se presenta únicamente el caso en diferencias centradas, dejando al lector que obtenga el resto de formulaciones por su cuenta. Introduciendo diferencias centradas, se tendría que

∂φ φE − φW ∂2 φ ( φE + φW − 2 φP ) = + O ( ∆x 2 ) y = + O ( ∆x 2 ) , 2 2 2 ∆x ∂x ∂x ( ∆x ) por lo que la ecuación 6.48 quedaría como:

φe = φP +

( φE − φW ) ( φE + φW − 2 φP ) 4

+

[6.49]

8

Este esquema, conocido como esquema QUICK (Quadratic Upwind Interpolation for Convective Kinetics) e introducido por Leonard en 1979, es una especie de corrección parabólica a la interpolación lineal de φe. Esta idea se puede ver claramente si se reordena la ecuación 6.49 introduciendo un “factor de curvatura”, C, de la forma:

φe =

( φ E + φP ) 2

− C ( φE + φW − 2 φP )

[6.50]

donde C = 1/8. Así, según 6.49, el esquema QUICK establece que el valor en una cara depende del valor en los nodos adyacentes y del nodo dos veces aguas arriba. De forma genérica, para una malla uniforme, el valor de φ en la cara situada entre dos nodos i e i – 1, se puede expresar como 1 6 3 φc = − φi−2 + φi−1 + φi , 8 8 8 por lo que para el dominio unidimensional de la figura 6.1 se tendría: 1 6 3 1 6 3 φe =− φW + φP + φE si ue > 0 ; φw =− φWW + φW + φP si uw > 0 8 8 8 8 8 8

[6.51]

Nótese que en la discretización del flujo por la cara oeste aparece el valor del nodo situado dos veces hacia el oeste con respecto al centroide de la celda P. Esta

155

156 Capítulo 6 MVF en problemas difusivos-convectivos formulación es válida suponiendo que las velocidades del flujo tienen dirección x positiva. En caso contrario, la expresión para las caras este y oeste debería ser: 1 6 3 1 6 3 φe =− φEE + φE + φP si ue < 0 ; φw =− φE + φP + φW si uw < 0 8 8 8 8 8 8 [6.52] Se puede demostrar que el esquema QUICK unidimensional queda generalizado y válido tanto para sentidos positivos como negativos del flujo, combinando las discretizaciones que se obtienen al aplicar 6.51 y 6.52. Así, de forma general, la discretización QUICK sería:

aP φP = aE φE + aW φW + aEE φEE + aWW φWW + b

[6.53]

donde aP = aE + aW + aEE + aWW + ( Fe − Fw ) − SP ∆x ; b = SC ∆x y cada uno de los coeficientes se escriben como: 3 6 1 aE = De − αe Fe − (1 − αe ) Fe − (1 − αw ) Fw 8 8 8 6 3 1 aW = Dw + αw Fw + (1 − αw ) Fw + αe Fe 8 8 8 1 aEE = (1 − αe ) Fe 8 1 aWW =− αw Fw 8

[6.54]

siendo

⎧1 si Fw > 0 ⎧ ⎪ ⎪1 si Fe > 0 y αw ⎨ αe ⎨ ⎪0 si Fw < 0 ⎪ ⎩ ⎩0 si Fe < 0

6.4.4. Generalización a mallas no estructuradas Todos los esquemas de orden superior vistos hasta ahora se han definido sobre mallas cartesianas (nodos alineados con los flujos). Así, la ecuación 6.50 muestra cómo la obtención de φe requiere, para el esquema QUICK, de los valores en los centroides φW, φP y φE, mientras que φw requiere de los valores φWW, φW y φP. Esto significa que el valor en la cara ya no depende únicamente de los valores en los centroides contiguos a la cara, sino que también se necesitan valores en celdas más alejadas. Evidentemente, esto representa un inconveniente muy importante en el caso de mallas no estructuradas, donde no es posible definir una única dirección preferente (figura 6.6).

6.4 Esquemas de orden superior  Ac

 v

 Δr1

Δξ

C1

ra ca

C0

 Δr0

y x

Figura 6.6 Esquema convectivo de segundo orden en mallas no estructuradas (adaptado de Mathur y Murthy, 2001-2011).

El desarrollo de esquemas de orden superior para mallas no estructuradas es un tema aún abierto. Existe un gran número de alternativas que pueden emplearse con precisión y que se encuentran disponibles en la literatura específica. Aquí, sólo como breve introducción, se muestra un formulación upwind de segundo orden, válida para mallas no estructuradas. El punto de partida es la formulación multidimensional equivalente a la ecuación 6.43. Si Fc > 0, es posible desarrollar φ en series de Taylor, centrado en el centroide de la celda C0 aguas arriba (figura 6.6):

(

φ ( x , y ) = φ0 + ( ∇φ )0 ⋅ ∆ r + O ∆ r

2

)

[6.55]

donde ∆r = ( x − x 0 ) i + ( y − y0 ) j . Lógicamente, para conocer el valor φc en la celda, se evalúa la expresión 6.55 en ∆r = ∆r0 , tal y como se muestra en la figura:

(

φc = φ0 + ( ∇φ)0 ⋅ ∆r0 + O ∆r0

2

)

[6.56]

Como en el caso de las mallas estructuradas, el problema serio es la evaluación de

( ∇φ)0 . En el capítulo anterior (apartado 5.8.5) ya se mostraron las estrategias que

se emplean normalmente para el cálculo de este gradiente y que pueden ser utilizadas del mismo modo en esta ocasión para plantear la formulación completa no estructurada.

157

158 Capítulo 6 MVF en problemas difusivos-convectivos

6.5

Difusión-convección no estacionaria

La discretización temporal de la ecuación 3.7 con todos sus términos exige la evaluación de las variables en el paso temporal actual en relación con el paso temporal anterior. Como en el capítulo precedente se van a discretizar cada uno de los términos por separado, introduciendo una formulación general para evaluar los flujos y los términos fuente.

6.5.1. Formulación general Se emplea el superíndice 0 para denotar los valores de las variables en el paso anterior. De esta forma, y suponiendo como siempre que el término a integrar espacialmente es constante en el interior del volumen de control, se tiene:

⎛ ∂ρφ ⎞ (0) ⎤ ⎡ ⎟dV dt =⎣ ( ρP φP ) − ( ρP φP ) ⎦∆VP P ⎠

∫∆t ∫V ⎜⎝ ∂t

[6.57]

Respecto al flujo difusivo-convectivo, suponiendo como antes que el flujo en las caras se reduce a los flujos reducidos a sus centros, se puede expresar que:

∫∆t ∫V ⎡⎣ ∇ ⋅ ( ρv φ) − ∇ ⋅ ( Γ∇φ)⎤⎦dV dt = ∫∆t ∫A ( ρv φ − Γ∇φ) ⋅ dA dt = P

J

=∫

∆t

[6.58]

∑ ( J c ⋅ Ac ) dt c =e , w , n , s

Del mismo modo que en el caso puramente difusivo, para poder resolver la integral temporal se va a suponer que el flujo difusivo-convectivo en cada cara varía entre el instante inicial y final de forma lineal según un parámetro f como:

∫∆t ( J c ⋅ Ac ) dt =⎡⎣ f J (1) A + (1 − f ) J (0) A ⎤⎦∆t

[6.59]

Con esta formulación es evidente que se pueden evaluar los flujos en el instante inicial o final sustituyendo los valores de las variables en los nodos en los instantes correspondientes. De esa forma, por ejemplo, para la cara este se tendría:

⎛ ∂φ ⎞ J e(1) Ae = Fe φe − Γ e ∆y⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠e

⎛ ∂φ(0) ⎞ ⎜ ; J e(0) Ae = Fe φ(0) − Γ ∆ y e e ⎜ ∂x ⎟ ⎟ ⎝ ⎠e

pudiendo formularse expresiones análogas para el resto de las caras.

[6.60]

6.5 Difusión-convección no estacionaria

Para concluir con la discretización se aborda ahora el término fuente. Tras la habitual linealización e interpolando nuevamente entre el instante inicial y final se tiene:

∫∆t (SC + SP φP ) ∆VP dt =⎡⎣ f (SC + SP φP )

(1)

(0)

∆ VP + (1 − f ) ( SC + SP φ P )

∆ VP ⎤ ⎦∆ t [6.61]

La ecuación 6.60 debe discretizarse espacialmente para poder obtener la ecuación algebraica no estacionaria. Como es bien sabido, en función de la discretización que se adopte (upwind, híbrida, QUICK…), se obtendrá una formulación u otra para los distintos coeficientes de las variables: aE, aW, aN, aS, etc. Agrupándolo todo, y reordenando convenientemente, se tiene: ⎡ ⎤ (0) 0 (0) a P φ P = ∑ ac .v .⎡ ⎣ f φc .v . + (1 − f ) φc .v . ⎤ ⎦+ b +⎢ a P − (1 − f ) ∑ ac .v . ⎥φ P ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ c .v . c .v .

[6.62]

donde como siempre ac.v. representan los valores de los coeficientes vecinos y se definen ahora como

aP = f ∑ ac .v . − f SP ∆VP + aP0 c .v .

donde aP0 =

ρ∆VP ∆t

0 0 (0) y el término fuente como b =⎡ ⎣ f SC + (1 − f ) SC + (1 − f ) SP φP ⎤ ⎦∆VP .

En función del valor que se fije para el parámetro f se tienen los distintos esquemas de discretización temporal vistos en capítulos anteriores.

6.5.2. Condición de Courant para esquemas explícitos Para analizar el acoplamiento de los fenómenos convectivos con el comportamiento temporal de las ecuaciones, se va a considerar en este apartado la ecuación canónica convectiva en el caso unidimensional. Por lo tanto, por simplicidad se fija que ρ = 1 y que no hay mecanismos de difusión (Γ = 0). De esta forma la ecuación difusivaconvectiva se reduce a: ∂φ ∂φ +u =0 ∂t ∂x

[6.63]

159

160 Capítulo 6 MVF en problemas difusivos-convectivos donde además se supone, como siempre en este capítulo, que el campo de velocidades es conocido y constante (no varía en el tiempo). Nótese que esta ecuación es de tipo hiperbólico, como se discutió en el capítulo 3. La discretización por volúmenes finitos de la ecuación unidimensional 6.63 establece que

⎛ ∂φ ⎞ u ( φ − φw ) = 0 ⎜ ⎟ + ⎝ ∂t ⎠P ∆x e Para completar el proceso, se debe introducir un esquema de discretización espacial (p. ej. en diferencias centradas o upwind) y otro temporal (implícito, explícito o Crank-Nicholson). c

Para empezar se estudia qué ocurre, con respecto al signo de los coeficientes de la discretización, cuando se emplea un esquema explícito o uno implícito en el caso de diferencias centradas (CDS). Así, si se emplea CDS con un esquema explícito se obtiene (0) ( φ(0) φP − φ(0) E − φW ) P +u =0, ∆t 2 ∆x

que aplicando el criterio de Von Neumann de estabilidad (v. subapartado 5.8.4), demuestra ser un esquema inestable incondicionalmente. Por tanto, no es viable bajo ningún supuesto, debido a la inestabilidad que surge como consecuencia de la combinación de las discretizaciones temporal y espacial. Ahora bien, si en su lugar se introduce un esquema implícito, entonces la ecuación algebraica a resolver es

( φE − φW ) φP − φ(0) P +u =0, ∆t 2 ∆x o lo que es equivalente:

φP = u∆t

φE − φW + φ(0) P , 2 ∆x

y que según Von Neumann resulta ser incondicionalmente estable. Sin embargo, a pesar de ser matemáticamente estable, físicamente tiene problemas con el signo de los coeficientes: si u > 0, entonces aW es siempre negativo; mientras que si u < 0,

6.5 Difusión-convección no estacionaria

entonces aE es siempre negativo. Sea como fuere, es nuevamente un esquema inviable por no cumplir el criterio de Scarborough para solvers iterativos. c

La siguiente opción más sencilla es emplear un esquema upwind para la discretización espacial y ver qué ocurre cuando se introduce un esquema temporal explícito. En este caso se tendría: (0) ( φ(0) φP − φ(0) P − φW ) P +u =0 , ∆t ∆x

que reordenando proporciona: φP = u

∆t (0) ⎛ ∆t ⎞ (0) φW +⎜1 − u ⎟φ ⎝ ∆x ∆x ⎠ P

[6.64]

Evidentemente, puesto que u > 0 en la definición del upwind, la condición (que en este caso coincide con la de estabilidad de Von Neumann) para que todos los coeficientes sean positivos es: 0≤u

∆t ≤1 ∆x

[6.65]

Precisamente, el parámetro u∆t/∆x se conoce como número de Courant o también CFL (por Courant, Friedrichs y Levy), por ser este autor el primero en analizar las características de convergencia de este tipo de esquemas. Los esquemas explícitos en situaciones convectivas presentan un límite de estabilidad que marca el número de Courant máximo que puede ser utilizado. Si ese valor se supera, el proceso iterativo comenzará a divergir. Obviamente, este hecho limita notablemente el tamaño de paso temporal que puede ser usado, y desaconseja claramente el uso de estrategias transitorias con esquemas explícitos para resolver flujos estacionarios. Nótese también el sentido físico del número de Courant, pues fija como paso temporal máximo aquel que obliga al flujo a no avanzar más de una celda en cada intervalo de tiempo. Los esquemas implícitos presentan una mayor estabilidad, con condiciones respecto al paso temporal mucho más relajadas que en el caso explícito. Teniendo esto en mente y dados los problemas de dispersión y realizabilidad del esquema en diferencias centradas y de difusión numérica para el esquema upwind, se recomienda utilizar siempre esquemas superiores, como el híbrido, con discretización implícita. Ésta será precisamente la formulación que se detalle en el siguiente subapartado.

161

162 Capítulo 6 MVF en problemas difusivos-convectivos 6.5.3.

Caso particular: difusión-convección no estacionaria 3-D con esquema híbrido y discretización implícita

La ecuación 6.62, cuando se particulariza para discretización temporal implícita con f = 1 y se incorpora la discretización espacial híbrida (ecuación 6.31) para los flujos difusivos-convectivos por las caras, proporciona: aP φP = aE φE + aW φW + aN φN + aS φS + aT φT + aB φB + aP0 φ(0) P +b

[6.66]

donde aP = aE + aW + aN + aS + aT + aB + aP0 + ( Fe − Fw + Fn − Fs + Ft − Fb ) − − SP ∆x ∆y ∆z ;

aP0

ρ(0) ∆x ∆y ∆z ; b = SC ∆x ∆y ∆z = ∆t

y los coeficientes, al ser un esquema híbrido, adoptan la forma ya conocida: ⎡ ⎡ ⎛ ⎛ F ⎞ ⎤ F ⎞ ⎤ aE = max⎢−Fe ,⎜ De − e ⎟,0 ⎥ ; aW = max⎢ Fw ,⎜ Dw + w ⎟,0 ⎥ 2⎠ ⎦ 2 ⎠ ⎦ ⎝ ⎣ ⎣ ⎝ ⎡ ⎡ ⎛ ⎛ F ⎞ ⎤ F ⎞ ⎤ aN = max⎢−Fn ,⎜ Dn − n ⎟,0 ⎥ ; aS = max⎢ Fs ,⎜ Ds + s ⎟,0 ⎥ 2⎠ ⎦ 2⎠ ⎦ ⎝ ⎣ ⎣ ⎝ ⎡ ⎡ ⎛ ⎛ F⎞ ⎤ F ⎞ ⎤ aT = max⎢−Ft ,⎜ Dt − t ⎟,0 ⎥ ; aB = max⎢ Fb ,⎜ Db + b ⎟,0 ⎥ 2⎠ ⎦ 2⎠ ⎦ ⎝ ⎣ ⎣ ⎝

[6.67]

Además, las expresiones para Fc y Dc se calculan según: Fe = ( ρu )e ∆y ∆z ; Fw = ( ρu )w ∆y ∆z ; Fn = ( ρv )n ∆x ∆z Fs = ( ρv )s ∆x ∆z ; Ft = ( ρw )t ∆x ∆y ; Fb = ( ρw )b ∆x ∆y y Γe Γ Γ ∆y ∆z ; Dw = w ∆y ∆z ; Dn = n ∆x ∆z δx e δx w δy n Γ Γ Γ Ds = s ∆x ∆z ; Dt = t ∆x ∆y ; Db = b ∆x ∆y δy s δz t δz b De =

6.5.4. Extensión no estacionaria a otros esquemas de primer orden Otro tipo de esquemas, como el esquema upwind o el exponencial se pueden incorporar a la ecuación general implícita sustituyendo las expresiones adecuadas para los coeficientes de la ecuación algebraica.

6.5 Difusión-convección no estacionaria

A continuación se muestra una generalización bidimensional que se ajusta a todos los posibles esquemas de primer orden vistos en este capítulo. La ecuación general responde a:

∆x ∆y + ( J e − Fe φP ) − ( J w − Fw φP ) + ( φP − φ(0) P )ρ ∆t

[6.68]

+ ( J n − Fn φP ) − ( J s − Fs φP ) = ( SC + SP φP ) ∆x ∆y donde para las celdas del este y del norte se puede escribir que Fe = ( ρu )e ∆y ; Fn = ( ρv )n ∆x

y análogamente

⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ J e = ( ρu )e φe ∆y − Γe⎜ ⎟ ∆y ; J n = ( ρv )n φn ∆x − Γn⎜ ⎟ ∆x . ⎝ ∂x ⎠e ⎝ ∂y ⎠n De forma genérica se puede establecer: J e − Fe φP = aE ( φP − φE ) donde a E = De ⋅ g ( Pe ) + −Fe ,0

[6.69]

Adoptando distintas expresiones para la función g, se recuperan los diferentes esquemas de primer orden: c

c

c

Esquema centrado: g ( Pe ) = 1 − 0,5 Pe

[6.70]

g ( Pe ) = 1

[6.71]

Esquema upwind:

Esquema exponencial: g ( Pe ) = Pe

c

(e Pe − 1)

[6.72]

Esquema híbrido: g ( Pe ) = 0,1 − 0,5 Pe

[6.73]

163

164 Capítulo 6 MVF en problemas difusivos-convectivos

6.6

Condiciones de contorno

Cuando se analizó la ecuación difusiva pura se presentó una clasificación de las condiciones de contorno de acuerdo con la información que se proporcionaba al modelo en cada una de ellas. Así, en las condiciones de tipo Dirichlet se especificaba el propio valor de φ en la frontera, mientras que en las condiciones de tipo Von Neumann se conocía el gradiente de la variable (flujo). Para problemas convectivos se debe distinguir, además, entre condiciones de flujo, donde el flujo entra o sale al dominio, y condiciones geométricas, que son aquellas que simplemente limitan el dominio a modelar (paredes y superficies, contornos sólidos o condiciones periódicas). Evidentemente, puesto que no es posible modelar el universo completo en nuestra simulación CFD, es necesario acotar el dominio, considerando tan sólo un subconjunto que incluya el sistema que se quiere resolver numéricamente. Por lo tanto, es imprescindible aportar la información que existe en los límites prefijados del dominio en referencia a las variables que se quieren resolver.

6.6.1. Condiciones de entrada En este tipo de condición de flujo se proporciona la distribución de velocidad a la entrada, así como el valor de la variable φ. Es decir:

v = vcc ; vc ⋅ Ac ≤ 0 φ = φcc ,dato

[6.74]

La discretización por volúmenes finitos en la celda de la frontera de la figura 6.7 establece que

J cc ⋅ Acc + ∑ J c ⋅ Ac = ( SC + SP φP ) ∆VP caras

donde el sumatorio aplica a las caras interiores de la celda (analizadas en apartados anteriores) y el flujo en la condición de contorno, Jcc , viene dado por:

J cc ⋅ Acc = ρvcc ⋅ Acc φcc − Γ cc ( ∇φ)cc ⋅ Acc

[6.75]

Introduciendo que φcc es dato y escribiendo el flujo difusivo según lo visto en el tema anterior, se llega a la expresión que puede ser incorporada al balance en la celda C0:

J cc ⋅ Acc = ρvcc ⋅ Acc φcc ,dato −

Γcc Acc ⋅ Acc ∆ξ Acc ⋅ eξ

( φ0 − φcc ,dato ) + Sg

[6.76]

6.6 Condiciones de contorno

MAL

 v cc

 eξ

C0

Δξ

cc

 eξ

C0

 Ac cc

Δξ

 v cc

 Ac Condición de entrada

Figura 6.7

BIEN

Posiciones de condición de salida

Condición de salida

Condiciones de contorno (adaptado de Mathur y Murthy, 2001-2011).

6.6.2. Condiciones de salida En las condiciones de salida se supone que la componente difusiva del flujo normal a la frontera es cero, esto es, −Γcc ( ∇φ)cc ⋅ Acc = 0. Por lo tanto, el flujo por la condición de contorno se reduce a

J cc ⋅ Acc = ρvcc ⋅ Acc φcc

; vcc ⋅ Acc > 0

que, aplicado a un esquema de tipo upwind, permite establecer directamente que φcc = φ0. Es decir:

J cc ⋅ Acc = ρvcc ⋅ Acc φ0

[6.77]

Por lo tanto, en las condiciones de salida no se necesita especificar el valor de φ, puesto que queda determinado por los procesos físicos en el interior del dominio y es transportado de forma convectiva por el flujo saliente. Nótese también que al despreciar el efecto difusivo en la condición de salida se está suponiendo que el flujo aguas abajo del dominio no tiene ninguna influencia en las características del flujo en el interior. Lógicamente, para satisfacer esta condición, debe asegurarse que las condiciones de contorno de salida se sitúan en zonas tales que las condiciones aguas abajo no influyen en la solución (evitando zonas de recirculación, por ejemplo, figura 6.7c).

165

166 Capítulo 6 MVF en problemas difusivos-convectivos 6.6.3. Condiciones geométricas En las condiciones geométricas, normalmente contornos sólidos, la componente normal de la velocidad es cero. Por tanto, vcc ⋅ Acc = 0 y el flujo en la frontera, Jcc , se debe únicamente a mecanismos difusivos según:

J cc =−Γcc ( ∇φ)cc

[6.78]

Nótese que en este tipo de condiciones geométricas, al ser puramente difusivas, la discusión se reduce a lo visto anteriormente en el capítulo previo; esto es, condiciones de valor, de flujo o mixtas, cuyas discretizaciones ya se trataron en el apartado 5.3.

7 RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE FLUJO Hasta ahora se había considerado la convección y difusión de un escalar en presencia de un campo fluidodinámico conocido. En este capítulo se aborda cómo resolver la ecuación cuando el campo es desconocido. Se presentarán las particularidades asociadas a la resolución de este nuevo problema acoplado: calcular el transporte de las variables cuando el propio flujo que transporta es una incógnita más. En realidad, las ecuaciones de momento tienen la misma forma que la ecuación general de conservación de un escalar, por lo que su discretización se completa fácilmente según lo visto en capítulos anteriores. El problema fundamental es que el campo de presiones que aparece en dichas ecuaciones (y normalmente uno de los mecanismos esenciales que provocan el movimiento de un fluido) es desconocido. Por tanto, es necesario resolver una ecuación adicional, que en este caso es la ecuación de continuidad. Lamentablemente, la resolución acoplada de estas dos ecuaciones es complicada. Por un lado, la ecuación de momento es una ecuación vectorial, ampliándose así la complejidad del sistema algebraico de ecuaciones. Por otro lado, la ecuación de continuidad no contempla la variable presión, por lo que es necesario sustituir el balance en velocidades por un balance artificial en presiones, mediante un algoritmo de acoplamiento presión-velocidad. A continuación se presentan los detalles de esta formulación.

168 Capítulo 7 Resolución de las ecuaciones de flujo

Contenidos 7.1. Introducción 7.2. Mallado decalado 7.3. Discretización de la ecuación de momento 7.4. Discretización de la ecuación de continuidad 7.5. Algoritmo SIMPLE de resolución 7.5.1. Ecuación de corrección para la presión 7.5.2. Subrelajación 7.5.3. Algoritmo completo 7.6. Otros algoritmos de acoplamiento presión-velocidad 7.6.1. Algoritmo SIMPLER 7.6.2. Algoritmo SIMPLEC 7.6.3. Algoritmo PISO 7.7. Conclusiones y reflexiones finales

Bibliografía de referencia: Este capítulo ha sido principalmente adaptado de Versteeg, H.K. y Malalasekera, W., "An Introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method", Ed. Pearson Education Ltd, 2007; Chapter 6: "Solution Algorithms for Pressure-Velocity Coupling in Steady Flows".

7.1 Introducción

7.1

Introducción

Los fenómenos de convección de una variable escalar φ dependen de la dirección y magnitud del campo de flujo local. Para desarrollar los métodos de discretización del término convectivo en el capítulo anterior se supuso que el campo de velocidades era conocido. En general, el campo de velocidades se desconoce y aparece como parte implicada en el proceso de resolución junto con el resto de las variables transportadas (normalmente escalares). El objetivo de este capítulo es presentar las estrategias más comunes para calcular el campo de flujo completo (presiones, velocidades, temperaturas, etcétera). Las ecuaciones de conservación para cada componente de la velocidad (las ecuaciones de momento) se pueden obtener de la ecuación general de transporte reemplazando la variable φ por cada una de las respectivas componentes (u, v, w). Por simplicidad, a partir de ahora se considerará el caso bidimensional, incompresible, en condiciones de flujo laminar para un fluido newtoniano. Esto es, las ecuaciones de Navier-Stokes 2-D para flujo laminar incompresible. Con estas hipótesis, se elimina una dimensión espacial, se garantiza que el flujo es adivergente (con la serie de simplificaciones que lleva asociado este hecho) y desaparecen las tensiones de Reynolds y el problema del cierre turbulento. En el apartado 3.2.2 ya se discutió que, en estas condiciones, la ecuación general de trasporte para el campo de velocidad adoptaba la expresión 3.12. Desarrollándola ahora para cada una de las componentes de la velocidad se tiene:

∂ ( ρu ) ∂p + ∇ ( ρvu ) − ∇ ( μ∇u ) = − + ρg x ∂t ∂x

[7.1]

∂ ( ρv ) ∂p + ∇ ( ρvv ) − ∇ ( μ∇v ) = − + ρg y ∂t ∂y

[7.2]

Nótese cómo, efectivamente, cada una de las ecuaciones 7.1 y 7.2 adopta la forma conservativa general vista en 3.7, donde el gradiente de presión y otras fuerzas conservativas (p. ej., el campo gravitatorio) se introducen en el término fuente de la ecuación. En el caso de flujo compresible, aparecen parciales adicionales en el conjunto de ecuaciones 7.1 y 7.2. Estas parciales provienen del tensor de tensiones. Para reescribir la ecuación en forma conservativa, se subdivide dicho tensor en dos partes, de modo que las tensiones normales se dejan en el término difusivo, mientras que el

169

170 Capítulo 7 Resolución de las ecuaciones de flujo resto se incluye también en el término fuente. Aunque en este tema no se abordará el caso compresible, se escriben a continuación las expresiones del término fuente bidimensional, donde el lector puede comprobar cómo los nuevos sumandos se cancelan en caso de flujo incompresible (∇⋅ v = 0).

Su = −

∂p ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂v ⎞ 2 ∂ ( μ∇⋅ v ) + ρg x + ⎜ μ ⎟+ ⎜ μ ⎟− ∂x ∂x⎝ ∂x ⎠ ∂y⎝ ∂x ⎠ 3 ∂x

[7.3]

Sv = −

∂p ∂ ⎛ ∂v ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞ 2 ∂ ( μ∇⋅ v ) + ρg y + ⎜ μ ⎟+ ⎜ μ ⎟− ∂y ∂y⎝ ∂y ⎠ ∂x⎝ ∂y ⎠ 3 ∂y

[7.4]

El término para el gradiente de presiones, que es fundamental en el establecimiento de un flujo en la mayoría de las aplicaciones ingenieriles, se escribe por separado (del resto de los términos fuente) para facilitar la discusión posterior. Esto se debe a la importancia de la variable presión en los distintos algoritmos empleados para resolver el problema de acoplamiento entre la ecuación de momento y la ecuación de continuidad. Esta última, en caso bidimensional incompresible, quedaría expresada sencillamente como:

∂ ( ρu ) ∂ ( ρv ) + =0 ∂x ∂y

[7.5]

Las ecuaciones 7.1, 7.2 y 7.5 están intrínsecamente acopladas porque cada una de las componentes de la velocidad aparece en cada ecuación de momento y también en la de continuidad. El mayor problema reside en resolver el papel que desempeña la presión en este sistema de ecuaciones: aparece en ambas ecuaciones de momento pero a primera vista no se dispone de una ecuación de transporte (o similar) para la presión. En los siguiente apartados se mostrará que este acoplamiento se puede resolver empleando estrategias iterativas, como el algoritmo SIMPLE propuesto por Patankar y Spalding en 1972. En este algoritmo, los flujos convectivos por las caras se evalúan a partir de un campo supuesto de velocidades. Es más, también se emplea un campo de presiones tentativo para resolver la ecuación de momento y una ecuación de corrección de la presión, deducida a partir de la ecuación de continuidad. Finalmente, esa corrección obtenida se utiliza para actualizar los campos de presión y velocidad. El proceso iterativo, ejecutado hasta que se fija la convergencia requerida, es nuevamente básico para hacer frente al fuerte acoplamiento entre las ecuaciones[1]. 1. Ya habíamos visto antes que el proceso iterativo era esencial para poder hacer frente a la no linealidad de las ecuaciones y para poder resolver el sistema de ecuaciones de una manera eficiente y factible.

7.2 Mallado decalado

7.2

Mallado decalado

El término de presión en las ecuaciones de momento añade una peculiaridad adicional a la discretización de las ecuaciones. En principio, toda discretización se inicia con la definición de los volúmenes de control (celdas) y la decisión asociada de dónde se van a guardar las variables (figura 4.5). Sea cual fuere, lo evidente sería almacenar todas las variables (escalares como presión o temperatura y vectoriales como las componentes de la velocidad) en la misma localización. Sin embargo, cuando las velocidades y las presiones se definen en los mismos nodos de una celda, aparece una tendencia natural a que campos de presión no uniformes con gradientes importantes actúen como campos uniformes en las ecuaciones discretizadas. Este fenómeno, conocido como checker-boarding, se ilustra en la figura 7.1 para un dominio unidimensional y muestra cómo, aun existiendo fuertes variaciones en el gradiente, éste se anula al efectuar la discretización típica por diferencias centradas. Si las presiones en las caras e y w se obtienen como interpolación lineal, el gradiente de presión respecto de x en la ecuación 7.1 se obtendría como: 100 − 100 ∂p pe − pw ( pE + pP ) 2 − ( pP + pW ) 2 pE − pW = = = ≈ = 0 [7.6] ∂x ∆x ∆x 2 ∆x 2 ∆x Lógicamente esto se debe a que las fluctuaciones de presión tienen una variación espacial igual a la distancia entre centroides. Queda claro, pues, que si las velocidades se definen en esos mismos nodos que la presión, la influencia de la presión no va estar correctamente representada en la ecuación de momento. Para romper este problema, basta con “decalar” los valores de velocidad con respecto a los nodos donde se almacena la presión. De esta forma, se define el denomi-

xw WW 50

xe

W

P

E

EE

100 w

50

e 100

50

x

x

Figura 7.1 Campo de presión en checker-board (adaptado de Versteeg y Malalasekera, 2007).

171

172 Capítulo 7 Resolución de las ecuaciones de flujo nado mallado decalado (staggered grid), introducido por Harlow y Welch en 1965, y que plantea evaluar las variables escalares (presiones, temperaturas…) en los centros de las celdas y calcular las componentes de la velocidad en un mallado decalado cuyos elementos están centrados en las caras de las celdas originales. La figura 7.2 muestra esta disposición para un mallado bidimensional. Las variables escalares, incluida la presión, se almacenan en los centroides de las celdas (si se emplea una formulación cell-centered) definidas como volúmenes de control y se representan con puntos. Las velocidades se definen en las caras de las celdas de los escalares (entre centroides contiguos) y se representan con flechas. Las flechas horizontales indican la localización de las velocidades en la dirección x (componente u) mientras que las flechas verticales denotan la componente en la dirección y (componente v). En el mallado decalado, todas las propiedades del fluido, como la densidad o el coeficiente de difusión, se almacenan en los centroides de las celdas (son valores escalares). Además, como se ha visto en capítulos anteriores, una de las grandes ventajas del mallado decalado es que las velocidades ya están disponibles en las caras de las celdas, que es donde se necesitan para evaluar los flujos convectivos.

N

vn W

uw

ue

P

S

E

vs

VC para las variables escalares (presión) VC para la componente x de velocidad VC para la componente y de velocidad Figura 7.2

Mallado decalado bidimensional.

7.3 Discretización de la ecuación de momento

7.3

Discretización de la ecuación de momento

Ecuación de momento en x

Por razones de simplicidad, se va a proceder a considerar únicamente el caso estacionario. El punto de partida es escribir, como siempre, la ecuación 7.1, que es la ecuación general de conservación particularizada para la velocidad, en forma discreta. En la disposición de la figura 7.2 se adopta el volumen de control cuyo centroide coincide con la localización de las velocidades horizontales. Como la variable a resolver ahora es u, conviene reconsiderar la notación, tal y como se observa en la figura 7.3. Por tanto, se formularía como es habitual:

aP uP = ∑ ac.v .uc .v . + b

[7.7]

c .v .

Nótese que ahora P se corresponde con el centroide de la celda definida para las componentes vectoriales y e es la cara este que se correspondería con la notación en mayúsculas para un centroide escalar. Recuerde el lector que en este caso la variable u es la incógnita en la ecuación de transporte (φ = u). El término fuente debe incluir el gradiente de presiones, que en este caso, se discretiza como: término

p − pw p − pe ∂p fuente − =− e ⎯⎯⎯⎯→ w ∆x ∆y = ( pw − pe ) ∆y ∂x ∆x ∆x

N n W

uW

w

uN

P

uP uS S

e

E

uE

s

Figura 7.3 Notación para el volumen de control de la velocidad u.

[7.8]

173

174 Capítulo 7 Resolución de las ecuaciones de flujo donde los valores de presión pw y pe están disponibles, pues las caras del volumen de control en la figura 7.3 se corresponden con los centroides de las celdas escalares (donde se han definido las presiones en la figura 7.2). Normalmente, el término de presiones se representa fuera del término fuente (dada su importancia), quedando entonces la ecuación como:

aP uP = ∑ ac.v .uc .v . + ( pw − pe ) ∆y + b

[7.9]

c .v .

Como ya es sabido, la definición de los coeficientes aP y ac.v. que afectan a la velocidad quedan definidos a partir de la elección de discretización que se haga en el problema. Por ejemplo, se puede adoptar el esquema híbrido (apartado 6.3.2), en el que los coeficientes contienen combinaciones del flujo convectivo por unidad de masa, F, y de la resistencia conductiva, D, en las caras de los volúmenes de control asociados a la velocidad u. De esta forma:

aE = max (−Fe , De − 0,5Fe ,0)

aW = max ( Fw , Dw + 0,5Fw ,0)

aN = max (−Fn , Dn − 0,5Fn ,0)

aS = max (−Fs , Ds − 0,5Fs ,0)

[7.10]

donde los valores de F y D en las caras se calculan como

Fe = ( ρu )e A e , Fw = ( ρu )w A w , Fn = ( ρv )n A n , Fs = ( ρv )s A s y De = ( Γe δxe ) A e , Dw = ( Γw δxw ) A w , Dn = ( Γn δyn ) A n , Ds = ( Γ s δys ) A s

En los valores de Fc se necesitan las velocidades en las caras de los volúmenes de control asociados a u. Sin embargo, estos valores no se encuentran disponibles en dichas localizaciones, puesto que esas caras coinciden con los centroides de las celdas escalares (donde están definidos los escalares, no las componentes de velocidad). Para superar este inconveniente, se plantea una interpolación lineal, de forma que:

( ρu )e =

( ρu ) E + ( ρu ) P

( ρv )n =

2

( ρv )N + ( ρv )P 2

( ρu )w = ( ρv )s =

( ρu )P + ( ρu )W 2

( ρv )P + ( ρv )S

[7.11]

[7.12]

2

Evidentemente, los valores de las velocidades que se necesitan para las caras en las ecuaciones 7.11 y 7.12 se toman de la iteración anterior. Además, debe tenerse en cuenta que las variables “conocidas” uE, uP, uW en la ecuación 7.11 (al igual que las

7.3 Discretización de la ecuación de momento

vN, vP, vS en 7.12) contribuyen a los coeficientes 7.10 de la discretización espacial elegida (híbrida en este caso). Son “diferentes” variables a las uP, y uc.v. de la ecuación 7.9, que son las incógnitas que realmente se están resolviendo iterativamente. Es muy importante haber tenido cuidado con la notación empleada. En este caso, siempre se ha alternado que las letras mayúsculas se corresponden con los centroides de las celdas analizadas: las centradas en los puntos para los escalares y las centradas en las flechas para los vectores. La complejidad de este cambio continuo en la notación hace que sea muy habitual emplear subíndices del tipo (I, J) e (i, j) para denotar los centroides y las caras de las celdas originales (centradas en nodos escalares). Ecuación de momento en y

En esta ocasión, utilizando la ecuación 7.2 para la componente vertical de la velocidad y adoptando un volumen de control cuyo centroide coincide con la localización de estas componentes (figura 7.4), se formularía que:

aP v P = ∑ ac.v .vc .v . + b

[7.13]

c .v .

Nótese que ahora P se corresponde con el centroide de la celda definida para las componentes vectoriales verticales y e es la cara del este que se correspondería con la notación en mayúsculas para un centroide escalar (comparar con figura 7.2). Recuerde el lector que en este caso la variable v es la incógnita en la ecuación de transporte (φ = v).

N vN n W vW

e

P

vP

w

E

vE

s S

vS

Figura 7.4 Notación para el volumen de control de la velocidad v.

175

176 Capítulo 7 Resolución de las ecuaciones de flujo El término fuente debe incluir el gradiente de presiones que, en este caso, se discretiza como: término

−

p − ps p − pn ∂p fuente =− n ⎯⎯⎯⎯→ s ∆x ∆y = ( ps − pn ) ∆x ∂y ∆y ∆y

[7.14]

donde los valores de presión pn y ps están disponibles, pues las caras del volumen de control en la figura 7.4 se corresponden con los centroides de otras celdas escalares (donde se han definido las presiones en la figura 7.2). Al igual que en la ecuación de momento en x, el término de presiones se representa fuera del término fuente (dada su importancia), quedando entonces la ecuación como:

aP v P = ∑ ac .v .vc .v . + ( ps − pn ) ∆x + b

[7.15]

c .v .

Nuevamente la definición de los coeficientes aP y ac.v. que afectan a la velocidad v quedan definidos a partir del tipo de discretización que se haga en el problema. Si se adopta de nuevo el esquema híbrido, los coeficientes se calcularían según 7.10 donde otra vez se cumple que los valores de F y D en las caras se calculan como

Fe = ( ρu )e A e , Fw = ( ρu )w A w , Fn = ( ρv )n A n , Fs = ( ρv )s A s y

De = ( Γe δxe ) A e , Dw = ( Γw δxw ) A w , Dn = ( Γn δyn ) A n , Ds = ( Γ s δy s ) A s . Como era de esperar, en los valores de Fc se necesitan otra vez las velocidades en las caras de los volúmenes de control asociados a v. Sin embargo, estos valores no se encuentran disponibles en dichas localizaciones, puesto que esas caras coinciden con los centroides de las celdas escalares (donde están definidos los escalares, no las componentes de velocidad). Para superar este inconveniente, se plantea de nuevo la interpolación lineal, haciendo uso de 7.11 y 7.12, con los valores de las variables “conocidas” vN, vP, vS en la ecuación 7.12 asignados a la iteración anterior. Es importante entender de nuevo que esas variables que participan en la definición de los coeficientes son “diferentes” variables a las vP, y vc.v. de la ecuación 7.15 que se está resolviendo. Es muy importante haber tenido cuidado con la notación empleada. En este caso, siempre se ha alternado que las letras mayúsculas corresponden con los centroides de las celdas analizadas: las centradas en los puntos para los escalares y las centradas en las flechas para los vectores. La complejidad de este cambio continuo en la notación hace que sea muy habitual emplear subíndices del tipo (I, J) e (i, j) para denotar los centroides y las caras de las celdas originales (centradas en nodos escalares).

7.4 Discretización de la ecuación de continuidad

7.4

Discretización de la ecuación de continuidad

En el caso de flujo estacionario, incompresible, la ecuación de continuidad cumple la condición de adivergencia. Introduciendo la densidad, supuesta constante, en el operador divergencia, se obtiene:

∇⋅ ( ρv ) = 0

[7.16]

La discretización de esta ecuación en el volumen de control asociado a un centroide escalar (figura 7.2) determina que la suma de los flujos convectivos por las caras de dicha celda ha de ser cero. O lo que es igual:

∑

( ρv )c ⋅ Ac = 0 ,

c=e,w,n,s

que desarrollado queda:

( ρu )e ∆y − ( ρu )w ∆y + ( ρv )n ∆x − ( ρv )s ∆x = 0

[7.17]

que, como el lector habrá podido darse cuenta, equivale exactamente a:

Fe − Fw + Fn − Fs = 0

[7.18]

Lógicamente, la ecuación de continuidad está implícitamente incluida en la discretización de los términos convectivos. Esto se debe a la propiedad de conservación sostenida por la propia formulación de la ecuación general de transporte. Por tanto, desde el punto de vista de la discretización del sistema de ecuaciones, la ecuación 7.18 no aporta nada nuevo al no incluir la presión como incógnita a resolver. En el siguiente apartado se muestra cómo es posible reformular la ecuación de continuidad para que se pueda plantear la resolución de una ecuación algebraica para la presión (en realidad, para una variable de corrección de la presión).

7.5

Algoritmo SIMPLE de resolución

El algoritmo SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations), desarrollado por Patankar y Spalding en 1972, es un método basado en la reformulación de la presión, de utilización generalizada en el caso de flujos incompresibles.

177

178 Capítulo 7 Resolución de las ecuaciones de flujo La idea fundamental es definir una ecuación discretizada para la presión (o alternativamente, para una cantidad muy relacionada llamada corrección de la presión) a partir de la ecuación de continuidad discreta (ecuación 7.17). Puesto que la ecuación de continuidad contiene valores de velocidad en las caras, se necesita alguna forma de relacionar estas velocidades con los valores de presión en los centroides de las celdas. El algoritmo SIMPLE utiliza las ecuaciones de momento discretas para hacer esa relación. Para iniciar el algoritmo SIMPLE se parte de un campo de presiones supuesto, denotado como p∗. Las ecuaciones de momento en x e y, 7.9 y 7.15, se resuelven según ese campo de presiones, por lo que se obtiene, lógicamente, un campo de velocidades tentativo:

aP uP∗ = ∑ ac .v .uc∗.v . + ( pw∗ − pe∗ ) ∆y + b

[7.19]

c .v .

aP v P∗ = ∑ ac.v .vc∗.v . + ( ps∗ − pn∗ ) ∆x + b

[7.20]

c .v .

Ni el campo de presiones ni, por supuesto, los campos de velocidad obtenidos en 7.19 y 7.20 son los campos que estamos buscando. Definiendo el valor de corrección que separa los campos de la solución real de la solución supuesta mediante una variable primada, se puede establecer que:

p = p∗ + p′

u = u∗ + u′

v = v ∗ + v′

[7.21]

Es evidente que la utilización del campo correcto de presiones, p, en las ecuaciones de momento 7.9 y 7.15 proporcionará el campo de velocidades correcto (u, v). Por lo tanto, restando 7.19 y 7.20 de las ecuaciones exactas se tiene: ∗ ∗ ⎤ aP (uP − uP∗ ) = ∑ ac .v . (uc .v . − uc∗.v . ) +⎡ ⎣ ( pw − pw ) − ( pe − pe ) ⎦∆y

[7.22]

c .v .

∗ ∗ ⎤ aP (v P − v P∗ ) = ∑ ac .v . (vc.v . − vc∗.v . ) +⎡ ⎣ ( ps − ps ) − ( pn − pn )⎦∆x

[7.23]

c .v .

que al introducir las correcciones definidas en 7.21, se reducen a:

aP u′P = ∑ ac .v .u′c .v . + ( p′w − p′e ) ∆y

[7.24]

c .v .

aP v′P = ∑ ac .v .v′c .v . + ( p′s − p′n ) ∆x c .v .

[7.25]

7.5 Algoritmo SIMPLE de resolución

A continuación se hace una importante simplificación, eliminando la contribución de las celdas vecinas en las ecuaciones 7.24 y 7.25 para la corrección de las velocidades. De esta forma, en el SIMPLE se plantea de forma aproximada que: aP u′P ≈ ( p′w − p′e ) ∆y

[7.26]

aP v′P ≈ ( p′s − p′n ) ∆x

[7.27]

Renombrando los coeficientes que aparecen en 7.26 y 7.27 como dP, donde d P = ∆ y a P y d P = ∆ x a P corresponden, respectivamente, a cada componente u y

v, e introduciendo dichas expresiones (correcciones de velocidad) en 7.21 se llega a: u P = u ∗P + d P ( p′w − p′e ) ∆ y

[7.28]

v P = v P∗ + d P ( p′s − p′n ) ∆ x

[7.29]

Las expresiones 7.28 y 7.29 se han obtenido con la notación definida para las celdas centradas en vectores. A continuación se va a plantear la ecuación de continuidad sobre la celda escalar P (v. figura 7.5), por lo que se debe hacer la correspondencia entre las notaciones antiguas y las nuevas. Así, el punto P central del volumen de control para la velocidad u se convierte ahora en la cara e del nuevo volumen de control escalar. Haciendo lo mismo con el resto de los puntos, se reescriben las ecuaciones 7.28 y 7.29 como: ue = ue∗ + de ( p′P − p′E ) ∆y

[7.30]

v n = v n∗ + dn ( p′P − p′N ) ∆ x

[7.31]

También se pueden definir los flujos másicos en las caras norte y sur en función de los valores supuestos y sus correcciones según: Fe = ρe ue ∆y = ρe ue∗ ∆y + ρe de ∆y ( p′P − p′E )

[7.32]

Fn = ρn v n ∆ x = ρn v n∗ ∆ x + ρn dn ∆ x ( p′P − p′N )

[7.33]

Y análogamente: ′ − p′P ) Fw = ρw uw ∆ y = ρw uw∗ ∆ y + ρw dw ∆ y ( pW

[7.34]

Fs = ρ s v s ∆ x = ρ s v s∗ ∆ x + ρ s d s ∆ x ( p′S − p′P )

[7.35]

179

180 Capítulo 7 Resolución de las ecuaciones de flujo

N

vn W

uw

E

ue

P S

vs

Figura 7.5 Correspondencia entre volúmenes de control para las velocidades y para la presión.

7.5.1. Ecuación de corrección para la presión Introduciendo las ecuaciones 7.32 a 7.35 dentro de 7.18, se plantea que: ′ − p′P ) + Fe − Fw + Fn − Fs = ρe ue∗∆y + ρe de ∆y ( p′P − p′E ) − ρw uw∗ ∆y − ρw dw ∆y ( pW + ρnvn∗ ∆x + ρndn ∆x ( p′P − p′N ) − ρs v ∗s ∆x − ρs ds ∆x ( p′S − p′P ) = 0

[7.36]

Reordenando términos se obtiene una ecuación para la corrección de la presión p′P de la forma ya habitual:

( ρe de ∆ y + ρw dw ∆ y + ρn dn ∆ x + ρ s d s ∆ x ) p′P

′ + = ( ρ e d e ∆ y ) p′E − ( ρ w d w ∆ y ) pW

aP

aE

+ ( ρn dn ∆ x ) p′N − ( ρ s d s ∆ x ) p′S + ( aN

ρ e u e∗ ∆ y

aS

−

ρ w u w∗ ∆ y

aW

+

ρn v n∗ ∆ x

Fe∗ − Fw∗ + Fn∗ − Fs∗

− ρ s v s∗ ∆ x ) = 0 [7.37]

que se expresa más compacta como: aP p′P = ∑ ac.v . p′c .v . + b

[7.38]

c .v .

donde aE = ρe de ∆y, aW = ρw dw ∆y, aN = ρndn ∆x, aS = ρs ds ∆x y el término fuente es la suma de los flujos másicos de los campos de velocidad sin corregir b = Fe∗ − Fw∗ + Fn∗ − Fs∗ .

7.5 Algoritmo SIMPLE de resolución

La ecuación para la corrección de la presión es el vehículo para acoplar los campos de presión y velocidad de forma que satisfagan la ecuación de continuidad y la ecuación de momento a la vez. Al comenzar con un campo de presión tentativo y utilizar éste para resolver la ecuación de momento, es obvio que el campo de velocidades resultante no va a cumplir la ecuación de continuidad. De hecho, el término fuente b en la ecuación para la corrección de la presión 7.38 representa el desequilibrio en continuidad que aparece en la ecuación de continuidad al utilizar campos de velocidad u∗ y v∗ incorrectos. La ecuación de corrección para la presión corrige entonces la presión y los campos de velocidad para asegurar que el campo resultante cumple la continuidad. Esto significa que tras la resolución de 7.38 y la corrección de los campos de velocidad según 7.21, los campos de velocidad cumplirán estrictamente la continuidad. Evidentemente, esto implica que dejan de cumplir la ecuación de momento, por lo que el proceso iterativo entre las ecuaciones debe proseguir hasta que los campos de presión y velocidad cumplan ambas ecuaciones. Es importante observar que la omisión de los términos

∑ac.v.u′c.v. c .v .

y

∑ac.v.v′c.v. c .v .

no afecta a la solución final, porque la corrección para la presión y, por extensión, para las velocidades será cero cuando se obtenga la convergencia: p∗ = p, u∗ = u y v∗ = v. Sin embargo, sí afecta a la rapidez con la que se alcanza la convergencia. Por ejemplo, la componente u de velocidad en la ecuación 7.24 es función tanto del término correspondiente a la corrección de la velocidad

∑ac.v.u′c.v. c .v .

como del término de corrección de presión. Al eliminar el término de corrección de la velocidad, de forma implícita se está haciendo recaer sobre el término de la presión todo el peso de la corrección. Así, aunque la velocidad corregida cumplirá la continuidad, el campo de presiones quedará sobrecorregido. Este hecho implica que el algoritmo SIMPLE tiene tendencia a divergir si no se emplea alguna técnica de subrelajación.

7.5.2. Subrelajación Puesto que la ecuación de corrección de la presión es susceptible a divergir, se debe introducir un parámetro de subrelajación durante el proceso iterativo según: p = p ∗ + α p p′

[7.39]

181

182 Capítulo 7 Resolución de las ecuaciones de flujo donde αp es el factor de subrelajación y cuyo valor debe ser menor que uno para poder compensar la sobrecorrección introducida en la presión. Además, también se relajan las ecuaciones de momento introduciendo factores similares, αu y αv, tal y como se definió en la ecuación 5.52 del apartado 5.8.3. Sin embargo, es importante darse cuenta de que la relajación de las ecuaciones de momento no implica que la corrección de velocidad se relaja de la misma forma que la presión en 7.39. El procedimiento de corrección de presión trata de obtener unas correcciones para la velocidad que satisfagan la ecuación de continuidad; por tanto, introduciendo una subrelajación directamente a las velocidades, se perdería esta propiedad del SIMPLE. La subrelajación en la ecuación de momento permite suavizar los efectos de la no linealidad en la resolución. Denotando como u(n–1) y v(n–1) los valores de las componentes de velocidad en la iteración anterior, la relajación que se introduce establece que: u = α u u (n ) + (1 − α u ) u (n−1)

[7.40]

v = α v v (n ) + (1 − α v ) v (n−1)

[7.41]

donde u(n) y v(n) son los campos obtenidos tras la corrección en el SIMPLE. El campo final de velocidades para esa iteración es combinación del obtenido tras la corrección con el de la iteración anterior. Involucrando este proceso en las ecuaciones de momento, se obtiene tras un poco de álgebra:

(1 − αu ) aP (n−1) aP uP = ∑ ac .v .uc.v . + ( pw − pe ) ∆y + b + uP αu αu c .v .

[7.42]

(1 − αv ) aP (n−1) aP v P = ∑ ac .v .vc .v . + ( ps − pn ) ∆x + b + vP αv αv c .v .

[7.43]

Una correcta elección de los factores de subrelajación es esencial para conseguir simulaciones con costes computacionales eficientes. Un valor demasiado alto podría dar lugar a oscilaciones en el proceso iterativo, o incluso a divergir, mientras que un valor demasiado bajo conduciría a una convergencia excesivamente lenta. Desafortunadamente, los valores óptimos de subrelajación varían en función del caso que se esté resolviendo, por lo que no es posible conocer a priori cuál es la mejor elección. Sin embargo, sí es posible establecer una sencilla regla como condición necesaria para que sean óptimos.

7.5 Algoritmo SIMPLE de resolución

Condición necesaria para la optimización de factores de relajación en el algoritmo SIMPLE[2][2]

En el algoritmo SIMPLE, si se resuelve la corrección de la presión (ecuación 7.38) en lugar de con la propia variable de corrección, p′, con la variable de corrección relajada, αp p′, se obtiene para el coeficiente ac.v. de las celdas involucradas:

ac .v . = αu ( ρdc .v . ∆y ) = αu

ρ∆y 2

[7.44]

α p ∑ ac .v . c .v .

Como se verá más adelante en el apartado 7.6, existen variantes del algoritmo SIMPLE que tratan de acelerar su tiempo de convergencia. Estas variantes tratan de evitar la omisión de los términos

∑ ac.v.u′c.v.

y

c .v .

∑ ac.v.v′c.v. c .v .

en 7.24 y 7.25, introduciéndolos en el proceso pero con alguna simplificación ventajosa. Así, el método SIMPLEC (v. 7.6.2), aproxima ese término como

∑ ac.v.u′c.v. ≈ u′P ∑ac.v. c .v .

y

c .v .

∑ ac.v.v′c.v. ≈ v′P ∑ac.v. c .v .

c .v .

respectivamente, de modo que los nuevos dP resultan ser

dP =

∆y aP − ∑ ac .v . c .v .

para la componente en u. Con estos coeficientes, y suponiendo que la ecuación de momento no tiene términos fuente, es decir,

⎛ ⎞ ⎜ ∑ ac.v . ⎟ αu , aP =⎜ ⎟ ⎝ c .v . ⎠ se puede despejar:

ac .v . = ( ρdc .v . ∆y ) =

ρ∆y 2 aP − ∑ ac .v . c .v .

=

ρ∆y 2 1 − αu ∑a αu c.v . c .v .

2. Este apartado ha sido adaptado de Mathur S.R. y Murthy, J.Y., 2001-2011.

[7.45]

183

184 Capítulo 7 Resolución de las ecuaciones de flujo Finalmente, igualando 7.44 y 7.45 para conseguir que el algoritmo SIMPLE participe de los mismos coeficientes que el algoritmo SIMPLEC mejorado, se deduce fácilmente que se ha de cumplir:

(1 − αu ) = α p

⇒ αu + α p = 1

[7.46]

Esto es, la suma de los factores de relajación para las velocidades y para la presión debe sumar siempre uno. Así, la mayoría de los códigos comerciales (p. ej. FLUENT®) utiliza como valores por defecto αu = αv = 0,7 para la ecuación de momento y αp = 0,3 para la presión.

7.5.3. Algoritmo completo En definitiva, el algoritmo SIMPLE se compone de los siguientes pasos: 1. Estimar un campo tentativo para la presión, p∗. 2. Resolver la ecuación de momento 7.42 y 7.43 con p∗, obteniendo así los campos de velocidad aproximados u∗ y v∗. 3. Calcular los flujos másicos F∗ y resolver la ecuación 7.38 para obtener la corrección p′. 4. Calcular la corrección para la velocidad u′ y v′ mediante 7.26 y 7.27 y obtener los campos de velocidad corregidos (que satisfacen la continuidad) con la ecuación 7.21. 5. Resolver el resto de las ecuaciones (turbulencia, transporte de escalares, etc.) usando el campo de velocidad ya corregido (tras 7.21). 6. Si la solución no ha convergido, volver al punto 2 con la presión corregida de la iteración previa. Si ha convergido, detener el proceso. Por lo tanto, el algoritmo SIMPLE se aproxima a la convergencia mediante una serie de campos intermedios que van satisfaciendo la continuidad. El cálculo del resto de las variables transportadas φ (entalpía, temperatura, fracción másica, etc.) se hace tras la corrección de la velocidad (paso 5) para garantizar que los flujos convectivos de φ satisfacen la continuidad en cada iteración.

7.5 Algoritmo SIMPLE de resolución

Inicio Suposiciones: p*, u*, v*, φ* Paso 1: Resolver las ec. de momento ∗ ∗ ∗ ∗ aP uP = ∑ ac . v .uc . v . + ( pw − pe ) Δy + b c. v.

aP vP = ∑ ac . v .vc . v . + ( p s − pn ) Δx + b ∗

∗

∗

∗

c. v.

u*, v* Paso 2: Resolver la ec. de corrección para la presión aP p′P = ∑ a. c . v p′c . v . + b c. v.

p′ Fijar: ∗ p = p , u =u ∗

∗

∗

v =v , φ = φ

Paso 3: Corregir presión y velocidades ∗ p = p + p′ ∗ u P = u P + dP ( p′w − p′e ) Δy ∗ v P = v P + dP ( p′s − p′n ) Δx

p, u, v, φ

∗

Paso 4: Resolver otras ecuaciones de transporte

aP φP = ∑ ac . v .φc . v . + bφ c. v.

φ

No

¿Convergencia?

Sí Fin

Figura 7.6 2007).

Algoritmo SIMPLE (adaptado de Versteeg y Malalasekera,

185

186 Capítulo 7 Resolución de las ecuaciones de flujo

7.6

Otros algoritmos de acoplamiento presión-velocidad

El algoritmo SIMPLE ha sido muy utilizado en la literatura, y sigue siendo hoy día una de las elecciones más habituales en la resolución de simulaciones de carácter industrial (I-CFD). De todas formas, en las últimas décadas se han propuesto una gran cantidad de variantes mejoradas con el objeto de acelerar la convergencia global del método. A continuación se presentan los algoritmos modificados más relevantes.

7.6.1. Algoritmo SIMPLER El algoritmo SIMPLER, o “SIMPLE-Revisado”, es un algoritmo mejorado, propuesto por Patankar en 1980 y cuya principal novedad es que plantea la resolución de una ecuación discreta para la presión, en lugar de para la corrección de la presión como se planteaba anteriormente. Esto significa que el campo de presiones intermedio se obtiene directamente, sin necesidad de emplear ninguna corrección. Las velocidades, sin embargo, se siguen obteniendo a partir de correcciones similares a las planteadas en las ecuaciones 7.28 y 7.29. La idea propuesta en el SIMPLER es totalmente lógica, por cuanto trata de evitar la mayor debilidad del algoritmo SIMPLE: la eliminación de los términos

∑ ac.v.u′c.v.

y

c .v .

∑ ac.v.v′c.v. c .v .

y su consiguiente sobrecorrección de la presión que llevaba a la necesidad de introducir subrelajación. Puesto que la corrección de la velocidad, que obliga a satisfacer la continuidad, es algo positivo, parece apropiado seguir usando la corrección de la presión para corregir velocidades, pero introduciendo una manera alternativa de calcular la presión. Así, en este caso se va a reformular la ecuación de momento de la siguiente manera:

∑ac.v.uc.v. + b uP =

c .v .

aP

∑ac.v.vc.v. + b vP =

c .v .

aP

+ dP ( pw − pe )

[7.47]

+ dP ( ps − pn )

[7.48]

7.6 Otros algoritmos de acoplamiento presión-velocidad

en las que se renombran los quebrados como pseudovelocidades

∑ac.v.uc.v. + b uˆ P =

c .v .

aP

∑ ac.v.vc.v. + b y vˆP =

c .v .

aP

de forma que es posible plantear las siguientes expresiones: uP = uˆ P + d P ( pw − pe )

[7.49]

v P = vˆP + d P ( ps − pn )

[7.50]

Al igual que en el caso del SIMPLE, se reescriben las ecuaciones 7.49 y 7.50 para una notación con respecto a una celda escalar. Acudiendo nuevamente a la figura 7.5, es relativamente sencillo concluir que los subíndices pasan a ser: ue = uˆe + de ( pP − pE ) ∆y

[7.51]

vn = vˆn + dn ( pP − pN ) ∆x

[7.52]

También se pueden definir los flujos másicos en las caras este y norte en función de los valores circunflejos y el término de la presión según: Fe = ρe ue ∆y = ρe uˆë ∆y + ρe de ∆y ( pP − pE )

[7.53]

Fn = ρn vn ∆x = ρn vˆn ∆x + ρn dn ∆x ( pP − pN )

[7.54]

Y análogamente: Fw = ρw uw ∆y = ρw uˆw ∆y + ρw dw ∆y ( pW − pP )

[7.55]

Fs = ρ s v s ∆x = ρ s vˆs ∆x + ρ s d s ∆x ( pS − pP )

[7.56]

Y ahora, sustituyendo las ecuaciones 7.53 a 7.56 dentro de la ecuación de continuidad 7.18, se obtiene una ecuación algebraica para la presión:

( ρe de ∆y + ρw dw ∆y + ρndn ∆x + ρs ds ∆x ) pP = ( ρe de ∆y ) pE − ( ρw dw ∆y ) pW + aP

aE

aW

+ ( ρn dn ∆x ) pN − ( ρ s d s ∆x ) pS + ( ρe uˆë ∆y − ρw uˆw ∆y + ρn vˆn ∆x − ρ s vˆs ∆x ) = 0 aN

aS

Fˆe −Fˆw +Fˆn −Fˆs

[7.57]

187

188 Capítulo 7 Resolución de las ecuaciones de flujo que se expresa de forma más compacta como: aP pP = ∑ ac.v . pc .v . + b

[7.58]

c .v .

donde aE = ρe de ∆y , aW = ρw dw ∆y, aN = ρndn ∆x, aS = ρs ds ∆x y el término fuente es la suma de los flujos másicos de los campos de velocidad sin corregir b = Fˆe − Fˆw + Fˆn − Fˆs . Nótese que la forma de la ecuación 7.58 es idéntica a la ecuación para la corrección de la presión 7.38. Además, los coeficientes aP y ac.v. también son idénticos a los que gobiernan la ecuación de corrección de presión. Sin embargo, el término fuente b es diferente, ya que se introducen las pseudovelocidades uˆ , vˆ en lugar de las velocidades anteriormente supuestas u∗ y v∗. De hecho, aunque parezca semejante al visto en el de la ecuación para p′, éste no representa el desequilibrio en la continuidad. Una importante característica es que no se ha hecho ninguna aproximación para obtener la ecuación algebraica 7.58 para la presión. Esto significa que si el campo de velocidades es exacto, entonces es posible recuperar el campo de presiones inmediatamente. Ahora bien, aunque se resuelve la presión directamente, esto no significa que no haya que resolver la ecuación de corrección para la presión 7.38. De hecho, puesto que las velocidades se corrigen nuevamente mediante 7.21, la ecuación para p′ en 7.38 debe también resolverse para conseguir las correcciones de presión necesarias en las correcciones de velocidad. La secuencia completa del algoritmo se resume de la siguiente manera: 1. Estimar un campo tentativo para la velocidad, u∗, v∗. 2. Calcular los campos de pseudovelocidades a partir de los campos iniciales. 3. Resolver la ecuación para la presión 7.58 usando pseudovelocidades, obteniendo así p∗. 4. Resolver la ecuación de momento 7.47 y 7.48 con p∗ para obtener u∗ y v∗. 5. Con esos valores de velocidad, calcular el término fuente en 7.38 y resolver la ecuación para la corrección de la presión, determinando así p′. 6. Corregir las velocidades u∗ y v∗ según 7.28 y 7.29 para satisfacer la continuidad. Aquí no se corrige la presión. 7. Resolver la ecuación de transporte de cualquier otro escalar que sea de interés. 8. Comprobar si ha convergido. Parar en caso afirmativo y volver al punto 2 en caso contrario. Este procedimiento ha demostrado tener mejores prestaciones que su predecesor. Ello se debe a que el SIMPLER no necesita una buena suposición del campo inicial de

7.6 Otros algoritmos de acoplamiento presión-velocidad

Inicio Suposiciones:

p * , u * , v * , φ*

Paso 1: Calcular pseudovelocidades * ∑ ac . v. uc . v. + b uˆ P = c . v. aP

* ∑ ac . v.vc . v. + b c .v . vˆ P = aP

uˆ , vˆ

Paso 2: Resolver la ec. para la presión aP pP = ∑ ac . v. pc . v. + b c . v.

p

Añadido al SIMPLE

Fijar : p * = p p*

Paso 3: Resolver las ec. de momento

( (

) )

Fijar:

aP uP* = ∑ ac . v. u *c . v. + pw* − p *e Δ y + b

p *= p , u* = u

aP v P* = ∑ ac . v.v c*. v. + ps* − p n* Δ x + b

c . v. c . v.

v * = v , φ* = φ

u*,v *

Paso 4: Resolver la ec. de corrección para la presión aP pP′ = ∑ ac . v. p ′c . v. + b c . v.

p′

Paso 5: Corregir presión y velocidades p = p ∗ + p′ u P = uP* + d P (p w′ − p′e )Δ y

v P = v P* + d P (p s′ −p′n )Δ x p, u, v , φ*

Paso 6: Resolver otras ecuaciones de transporte aP φP = ∑ ac . v. φc . v. + bφ c . v.

φ

No

¿Convergencia?

Sí

Fin Figura 7.7

Algoritmo SIMPLER (adaptado de Versteeg y Malalasekera, 2007).

189

190 Capítulo 7 Resolución de las ecuaciones de flujo presiones, sino que obtiene las presiones a partir de una buena suposición de las velocidades, más fáciles de adivinar. Por lo tanto, el SIMPLER no tiene la tendencia natural a corromper un buen campo inicial de velocidades, tal y como hace el SIMPLE básico. Además, el algoritmo SIMPLER resuelve dos variables de presión, la presión como tal y su corrección, por lo que al resolver una ecuación adicional requiere mayor esfuerzo computacional que el SIMPLE, típicamente del orden de un 50% más. Por otro lado, como no es necesario usar la corrección de la presión para corregir el campo de presiones en el punto 6, no hay que relajar la corrección de la presión como en el SIMPLE (ecuación 7.39). De todas formas, no está de más introducir la relajación, especialmente en la ecuación de momento, para suavizar la no linealidad y mejorar la secuencia del proceso iterativo.

7.6.2. Algoritmo SIMPLEC El algoritmo SIMPLEC (“SIMPLE-Consistente”), desarrollado por Van Doormal y Raithby en 1984, trata de corregir la omisión de los términos

∑ac.v.u′c.v.

y

∑ac.v.v′c.v.

c .v .

c .v .

mediante una aproximación que tiene en cuenta los coeficientes vecinos, pero no realmente el valor de las variables vecinas. Es decir:

∑ac.v.u′c.v. ≈ u′P ∑ac.v. ∑ac.v.v′c.v. ≈ v′P ∑ac.v. c .v .

c .v .

c .v .

[7.59]

c .v .

De esta forma, la corrección para la velocidad queda planteada como: ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a P − ∑ ac .v . ⎟u′P ≈ ( p′w − p′e ) ∆ y ⎝ ⎠ c .v .

[7.60]

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a P − ∑ ac .v . ⎟v′P ≈ ( p′s − p′n ) ∆ x ⎝ ⎠ c .v .

[7.61]

donde los coeficientes que aparecen en 7.60 y 7.61 se renombran de nuevo como dP, donde ⎛ ⎞ ⎟ dP = ∆y ⎜ a − a ∑ c .v . ⎟ y d P = ∆ x ⎜ P ⎝ ⎠ c .v .

respectivamente para cada componente u, v.

⎛ ⎞ ⎜ a P − ∑ ac .v . ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ c .v .

7.6 Otros algoritmos de acoplamiento presión-velocidad

A partir de aquí el algoritmo es el mismo que en el caso SIMPLE. Por tanto, la única diferencia entre el SIMPLE y el SIMPLEC radica en la forma en que ambos métodos calculan los coeficientes dP. Con esta pequeña modificación, el SIMPLEC ha demostrado tener una convergencia más rápida, si bien padece como en el SIMPLE del problema de la degradación de buenas aproximaciones del campo de velocidades en las iteraciones iniciales, si aquellas no van acompañadas de una buena aproximación para las presiones. La ventaja adicional del SIMPLEC es que la corrección de la presión (al no haber eliminado totalmente la contribución de las celdas vecinas en 7.60 y 7.61) no necesita ser relajada según 7.39. Ahora bien, sí que es necesario relajar la ecuación de momento para evitar que el denominador de los nuevos coeficientes dP se haga cero. Finalmente, como ya se ha visto en el subapartado 7.5.2, la similitud entre ambos algoritmos permite establecer una condición óptima de valores de subrelajación para que el algoritmo SIMPLE acelere la convergencia emulando a su variante SIMPLEC.

7.6.3. Algoritmo PISO La última variante que se presenta en este apartado es el algoritmo PISO, acrónimo que responde a Pressure Implicit with Splitting of Operators y que fue introducido por Issa en 1986. Este algoritmo es un procedimiento para el cálculo de los campos de presión y velocidad que comprende un paso predictivo y dos pasos correctores, por lo que resulta ser un extensión mejorada del algoritmo SIMPLE con un paso corrector adicional. Paso predictivo

La ecuación de momento discretizada según 7.19 y 7.20 se resuelve para un campo tentativo de presión p∗, obteniéndose así unos campos de velocidad aproximados u∗ y v∗. Este primer paso es el mismo que se emplea en el algoritmo SIMPLE. Paso corrector 1

Como ya es sabido, los campos u∗ y v∗ no satisfacen la continuidad si la suposición inicial para la presión p∗ no es correcta. Como solución a este problema, se resuelve una ecuación para la corrección de la presión que, una vez obtenida, proporciona el campo de velocidades corregidas 7.30 y 7.31, que en este caso, se denotan como u∗∗ y v∗∗, ya que se utilizan a posteriori para un nuevo paso corrector. Nótese que hasta este punto se está reproduciendo exactamente la misma secuencia que en el SIMPLE. Así, se llega a: ue∗∗ = ue∗ + de ( p′P − p′E ) ∆y

[7.62]

v n∗∗ = v n∗ + dn ( p′P − p′N ) ∆ x

[7.63]

191

192 Capítulo 7 Resolución de las ecuaciones de flujo La corrección para la presión también se debe realizar, como en el SIMPLE, de acuerdo con la ecuación 7.21, si bien con la nueva notación (doble estrella) reza: p∗∗ = p∗ + p′. Paso corrector 2

La aportación del algoritmo PISO es la inclusión de un nuevo paso corrector. Así, para obtener una nueva ecuación de corrección para la presión, se plantea la resolución del campo de velocidad u∗∗ y v∗∗ con la ecuación de momento y se le resta un tercer campo de velocidad (doblemente corregido) denotado como u∗∗∗ y v∗∗∗, resultando:

∑ ac.v. (uc∗∗.v. − uc∗.v ) ue∗∗∗ = ue∗∗ +

c .v

ae

∑ ac.v. (vc∗∗.v. − vc∗.v. ) vn∗∗∗ = vn∗∗ +

c .v .

an

+ de ( p′P′ − p′E′ )

[7.64]

+ dn ( p′P′ − p′N′ )

[7.65]

donde p″ es la segunda corrección de la presión, de forma que se cumple p∗∗∗ = p∗∗ + p′′. La sustitución de u∗∗∗ y v∗∗∗ en la ecuación de continuidad 7.18 proporciona la segunda ecuación algebraica para la corrección de la presión: aP p′P′ = ∑ ac .v . p′c′.v . + b

[7.66]

c .v .

siendo aE = ρe de ∆y , aW = ρw dw ∆y , aN = ρndn ∆x, aS = ρs ds ∆x y donde el término fuente comprende los flujos másicos de la diferencia entre los campos de velocidad corregidos en el primer paso y los campos iniciales sin corregir: b= +

ρ∆y ρ∆y ac .v . (ue∗∗ − ue∗ ) − ∑ ∑a (u∗∗ − uw∗ ) + a P c .v . a P c .v . c . v . w ρ∆x ρ∆x ac.v . (vn∗∗ − vn∗ ) − ∑ ∑ a (v ∗∗ − vs∗ ) a P c .v . a P c . v . c .v . s

En definitiva, el algoritmo PISO se compone de los siguientes pasos: 1. Estimar un campo tentativo para la presión, p∗. 2. Resolver la ecuación de momento 7.42 y 7.43 con p∗, obteniendo así los campos de velocidad aproximados u∗ y v∗.

7.6 Otros algoritmos de acoplamiento presión-velocidad

3. Calcular los flujos másicos F∗ y resolver la ecuación 7.38 para obtener la corrección p′. 4. Calcular la corrección para la velocidad u′ y v′ mediante 7.26 y 7.27 y obtener los campos de velocidad corregidos u∗∗ y v∗∗ (que satisfacen la continuidad) mediante 7.21. Inicio Suposiciones: p ∗, u∗ , v ∗, φ∗

Pasos 1 a 3 del algoritmo SIMPLE - Resolver las ec. de momento - Resolver la ec. de corrección para la presión - Corregir presión y velocidades p ∗∗, u ∗∗, v ∗∗, p ′

Paso 4: Resolver la segunda ec. de corrección para la presión aP p P′ = ∑ ac. v . pc′. v . + b c. v .

p′′

Paso 5: Corregir presiones y velocidades p∗∗∗= p ∗∗ + p ′′

Fijar : ∗

c. v .

∗∗ v ∗∗∗ P =vP +

c. v .

∗

p =p , u = u v ∗ =v , φ∗ = φ

(

∑ ac. v . uc∗∗. v . −u c∗. v .

∗∗ u ∗∗∗ P = uP +

aP

(

∗∗ ∗ ∑ a c. v . vc. v . −v c. v .

)

+d P (p ′w′ − p′′e )

)

aP

+d P (p ′s′− p′′n )

p∗∗∗, u∗∗∗, v ∗∗∗

Fijar : p =p∗∗∗ ; u = u ∗∗∗ ; v = v ∗∗∗ p, u, v , φ∗

Paso 6: Resolver otras ecuaciones de transporte aP φP = ∑ ac. v . φc. v .+ bφ c. v .

φ

No

¿Convergencia?

Sí

Fin Figura 7.8

Algoritmo PISO (adaptado de Versteeg y Malalasekera, 2007).

193

194 Capítulo 7 Resolución de las ecuaciones de flujo 5. Calcular el término fuente de la segunda ecuación para la corrección de la presión a partir de u∗∗, v∗∗ y u∗, v∗ y resolver dicha ecuación 7.66 para obtener la corrección p′. 6. Corregir las presiones y las velocidades. Para la presión se utiliza la suma de todas las correcciones, de forma que p∗∗∗ = p∗ + p′ + p″. Para las velocidades se utilizan las ecuaciones 7.64 y 7.65. 7. Resolver el resto de las ecuaciones (turbulencia, transporte de escalares, etc.) usando los campos de velocidad ya corregidos en el punto 6. 8. Si la solución no ha convergido, volver al punto 2 con la presión corregida de la iteración previa. Si ha convergido, detener el proceso. Nótese que, al emplear una doble corrección para la presión, este método requiere de almacenamiento adicional para retener los campos de velocidad, corregidos y sin corregir, que se utilizan en el término fuente de la ecuación 7.66. Además, como en los métodos previos, es necesario introducir subrelajación para estabilizar el procedimiento iterativo.

7.7

Conclusiones y reflexiones finales

En este capítulo se han presentando varias posibilidades para conseguir la solución secuencial de las ecuaciones de momento y continuidad utilizando esquemas basados en la presión. Estos algoritmos presentan necesidades de almacenamiento reducidas y buen comportamiento en la mayoría de los problemas. Desafortunadamente, necesitan de un gran número de iteraciones para asegurar la convergencia en presencia de flujos con gradientes importantes, efectos de flotabilidad, rotación, etc., e incluso pueden divergir en casos extremadamente no lineales (aunque se introduzcan importantes subrelajaciones). Muchas de estas dificultades provienen del intento de hacer un tratamiento secuencial de las ecuaciones de momento y continuidad cuando éstas están particularmente acopladas. Este hecho, unido a la naturaleza no lineal de las ecuaciones, obliga a que se utilicen factores de subrelajación en todos los algoritmos de acoplamiento presión-velocidad con el propósito de asegurar la estabilidad del proceso iterativo. El método SIMPLE es un algoritmo relativamente sencillo que funciona para un buen número de situaciones en CFD. Para obtener la solución de las ecuaciones de flujo se resuelve una ecuación para la corrección de la presión, obligando a que las velocidades corregidas cumplan la continuidad. Esta estrategia, sin embargo, no es del todo óptima (la corrección de la presión es débil), por lo que se han planteado

7.7 Conclusiones y reflexiones finales

una serie de modificaciones que tratan de mejorar el esfuerzo computacional necesario con el propósito de acelerar la convergencia. Así, el método SIMPLER trata de resolver una ecuación para la presión directamente, evitando omitir términos en la ecuación de continuidad y usando la corrección de la presión para actualizar únicamente las velocidades. Aunque el número de cálculos necesarios en el SIMPLER es un 30% mayor que para su predecesor SIMPLE, se ha observado que el tiempo de cálculo se reduce entre un 30 y un 50%. Por esta razón, el SIMPLER se utiliza como algoritmo por defecto en un gran número de códigos comerciales. Los métodos SIMPLEC y PISO han demostrado ser tan eficientes como el SIMPLER en cierto tipo de flujos, aunque no hay una regla fija para afirmar cuando su uso está recomendado. El algoritmo SIMPLEC es una sencilla mejora del SIMPLE que acelera la convergencia porque es posible utilizar factores de subrelajación relativamente altos. Sin embargo, cuando la presencia de flujos turbulentos, altamente complejos, o el uso de mallas muy irregulares obligue el empleo de factores de subrelajación bajos, la ventaja de usar el SIMPLEC frente al SIMPLE desaparece. Por otro lado, el algoritmo PISO utiliza una doble corrección que lo hace especialmente adecuado para el caso de flujos transitorios (no estacionarios), especialmente cuando se utilizan pasos temporales grandes.

195

8 CONDICIONES DE CONTORNO Y TÉRMINOS FUENTE Este capítulo se centra en cómo integrar fácilmente las condiciones de contorno más habituales en CFD en el método de volúmenes finitos. La metodología más práctica es la de transformarlas en términos fuente en las celdas fronterizas, de modo que su integración en la ecuación general de transporte sea inmediata. Las condiciones de contorno tienen una importancia fundamental en la definición de todo problema numérico. Gracias a ellas el problema queda acotado, y además representan estrictamente el punto de partida para las ecuaciones de gobierno que, mediante sus diversos mecanismos, terminan por resolver el flujo en el interior del dominio según las leyes de transporte. Se mostrará en detalle cómo implementar flujos entrantes y salientes, cómo fijar la presencia de paredes y contornos sólidos, cómo tener en cuenta condiciones de simetría (en flujo y geometría) o cómo introducir fuentes de masa, calor o cantidad de movimiento cuando sea necesario. Además, se hará hincapié en la compatibilidad entre condiciones de contorno y se discutirá cuáles son las combinaciones óptimas que garantizan una rápida y adecuada convergencia.

198 Capítulo 8 Condiciones de contorno y términos fuente

Contenidos 8.1. Introducción 8.2. Linealización 8.2.1. Especificación de valores 8.2.2. Especificación de flujos 8.3. Condiciones de contorno típicas 8.3.1. Condición de flujo entrante 8.3.2. Condición de flujo saliente 8.3.3. Contornos sólidos 8.3.4. Condición de perfil de presión constante 8.3.5. Condición de simetría 8.3.6. Condiciones periódicas y cíclicas 8.4. Otras fuentes 8.5. Reflexiones finales y conclusiones

Bibliografía de referencia: Este capítulo ha sido principalmente adaptado de Versteeg, H.K. y Malalasekera, W., "An Introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method", Ed. Pearson Education Ltd, 2007; Chapter 9: "Implementation of Boundary Conditions".

8.1 Introducción

8.1

Introducción

Para que una simulación CFD quede bien definida es necesario fijar cuáles son las condiciones iniciales y de contorno que acotan al problema. Es importante, además, que éstas se traduzcan correctamente en el algoritmo numérico, de manera que se preserve su sentido físico y su influencia matemática en las ecuaciones de gobierno. En problemas transitorios, las condiciones iniciales son un requisito inevitable. Suponen la situación de partida del fenómeno no estacionario que se va a estudiar y su implementación es inmediata con la inicialización de todas las variables en todos los puntos del dominio en el instante inicial. No requieren, por tanto, de mayor consideración de aquí en adelante. Por el contrario, las condiciones de contorno, por cuanto son condiciones espaciales, sí merecen un estudio más detallado. En particular, se abordará cómo deben implementarse en las ecuaciones discretizadas por el método de volúmenes finitos y cuáles son sus combinaciones óptimas para garantizar la convergencia. En el presente capítulo se describe cómo se manipulan las condiciones de contorno más habituales en toda aplicación de CFD: c

Entradas.

c

Salidas.

c

Paredes y contornos sólidos (térmicos y/o de arrastre).

c

Distribuciones prescritas de presión.

c

Simetrías (también axisimetrías).

c

Periodicidad (o condiciones cíclicas).

Topología de las condiciones de contorno en mallados decalados Para introducir las condiciones de contorno en un mallado decalado es necesario añadir una serie de nodos adicionales alrededor de la frontera física del dominio (puntos grises en la figura 8.1). Aunque los cálculos se van a realizar únicamente en los nodos internos (de I = 2 y J = 2 en adelante), estos nodos extra van a permitir almacenar la condición de contorno correspondiente (de entrada, en el caso de la figura 8.1). Una importante consecuencia de esta extensión en la malla es que las fronteras reales coinciden con las caras de los volúmenes de control para los escalares. Como se verá a continuación, esta característica es muy importante (a la hora de resolver las ecuaciones de momento) porque va a permitir introducir las condiciones de contorno con unas modificaciones mínimas (y muy sencillas) en las ecuaciones discretizadas.

199

200 Capítulo 8 Condiciones de contorno y términos fuente En particular, la ecuación de transporte que habrá que resolver para la componente horizontal de la velocidad u en las caras de la frontera se reduce al valor de la condición de contorno introduciendo un término fuente totalmente dominante en la ecuación. Con este artificio, se elimina el peso de las celdas vecinas en el cálculo para la celda fronteriza, fijando así el valor de la variable al propio valor de la condición de contorno. Lógicamente, esta reformulación de las condiciones de contorno en forma de términos fuente necesita de una linealización, ya sea para condiciones de contorno de valor o de flujo, que se detalla a continuación.

J=6

J=5

uN J=4

uW = u dato u P

uE

J=3 Entrada

uS J=2

J=1 I=1

I=2

I=3

I=4

Figura 8.1 Ampliación de los nodos de la malla decalada en las celdas fronterizas (adaptado de Versteeg y Malalasekera, 2007).

8.2

Linealización

En el apartado 5.8.2 ya se discutió que, gracias al desarrollo en series de Taylor, es posible linealizar cualquier término fuente sin que esto suponga ningún tipo de restricción adicional en la discretización. De esta forma, todo término fuente queda

8.2 Linealización

expresado como suma de un valor constante y un valor proporcional al valor de la variable en el centroide de la celda según: S = SC + SP φP

[8.1]

donde SP < 0 para poder garantizar que se cumple el criterio de Scarborough. Las condiciones de contorno pueden a su vez introducirse en las ecuaciones discretizadas eliminando su enlace con las fronteras mediante modificaciones en los términos fuente. Así, en los apartados 5.3.1 y 5.3.2 se mostró cuáles eran los cambios a introducir en los términos fuente de la ecuación general para traducir condiciones de valor y condiciones de flujo respectivamente, cuando la condición de contorno estaba en la cara de la celda. A continuación se detalla cómo particularizar los términos fuente vistos en 5.17 y 5.18 para el caso de mallas decaladas, en las que por norma general se debe introducir el término fuente en una celda cuyo centroide descansa en la misma frontera física del dominio.

8.2.1. Especificación de valores Al evaluar la condición de contorno en una celda que tiene su centroide sobre la propia frontera del dominio es necesario reducir a cero el valor del coeficiente aP en la ecuación del momento. Además, el flujo lateral debe reescribirse como un término fuente con coeficientes linealizados SC y SP. Esto se puede conseguir en la ecuación general mediante un sencillo artificio. Si se introducen estos términos fuente afectados por unos coeficientes extremadamente grandes, su peso en la ecuación algebraica general se hace tan exagerado que el resto de los términos se hace despreciable. Así, considérese el volumen de control sombreado para la velocidad uW, justo en la condición de contorno de la figura 8.1. En este caso, la variable general φ que se está resolviendo es u. Si se quiere fijar el valor de dicha velocidad en el centroide al valor conocido φdato = uentrada, se puede hacer la siguiente modificación en el término fuente de la ecuación discretizada: SC = 1010 φdato y SP = −1010

[8.2]

Al introducir estos términos en la ecuación general para ese volumen de control (su centroide pasaría a ser el punto P) resulta:

(aP + 1010 ) φP = ∑ ac.v. φc.v. + 1010 φdato c .v .

[8.3]

201

202 Capítulo 8 Condiciones de contorno y términos fuente El valor 1010 es arbitrariamente grande y tiene el objetivo de hacer que el término fuente de la condición de contorno sea enorme en comparación con el resto. De esta forma, los términos en aP y en los valores vecinos, ac.v.φc.v., son despreciables; así, la ecuación 8.3 se convierte en φP = φdato , fijando el valor de φ en P. En el ejemplo de la figura 8.1 sería igual a u = udato. Nótese que la formulación 8.2 equivale a haber fijado un valor acc = 1010 en la ecuación 5.17. Además, esta estrategia también es útil para introducir en la resolución aquellos obstáculos sólidos que pueda haber en el interior del dominio. En ese caso bastaría con fijar que φdato = 0. De esta forma es posible resolver el sistema discretizado sin necesidad de tratar los obstáculos por separado.

8.2.2. Especificación de flujos En el caso de que lo se conozca sea el flujo de la variable en la condición de contorno, es posible redefinir el artificio anterior para introducir la condición como término fuente. Bastaría con introducir: SC = J dato ∆y y SP = 0

[8.4]

Al emplear estos términos en la ecuación general resulta: aP φP = ∑ ac.v . φc.v . + J dato ∆y

[8.5]

c .v .

En este caso, el término SP se debe anular para dejar toda la contribución del flujo en manos del término constante de la linealización. Nótese la analogía entre esta elección y la formulación de la ecuación 5.18.

8.3

Condiciones de contorno típicas

A continuación se analizan las condiciones de contorno más habituales en simulaciones CFD y cuál es la forma más sencilla de implementarlas en el proceso de resolución.

8.3.1. Condición de flujo entrante En las condiciones de entrada es necesario especificar la distribución de todas las variables en la frontera. Como se ha visto en la figura 8.1, la malla se extiende más allá del dominio físico, almacenando en esos nuevos nodos (grises) los valores de entrada.

8.3 Condiciones de contorno típicas

uN

J=4

J=4 vN

uW =u Dato

uP

uE

J=3 Entrada

J=3 Entrada

J=2

J=2

I=1

I=2

vE

vW = vdato

uS

J=1

vP

I=3

I=4

J=1

vS = 0

I=1

I=2

I=3

I=4

VC para velocidad u en la celda adyacente a la condición de contorno de entrada

VC para velocidad v en la celda adyacente a la condición de contorno de entrada

J=4

J=4

pN

N

J=3 Entrada

J=3 Entrada W=

dato

P

pW

E

J=2

S

J=1

0

pP

pE

J=2

I=1

=0

I=2

pS

I=3

I=4

VC para escalar en la celda adyacente a la condición de contorno de entrada

J=1

I=1

I=2

I=3

I=4

VC para presión corregida p en la celda adyacente a la condición de contorno de entrada

Figura 8.2 Volúmenes de control (VC) escalares y vectoriales para flujo entrante (adaptado de Versteeg y Malalasekera, 2007).

Sólo a partir de esa fila y columna de nodos adicionales se comienza a resolver las ecuaciones discretrizadas de transporte para las primeras celdas internas, tal y como se ve en los diferentes volúmenes de control sombreados en la figura 8.2. En esa figura también se muestran los nodos vecinos que están activos para los volúmenes de control analizados. Además, la figura también indica que la ligazón con la condición de contorno se anula para la ecuación discretizada de la corrección de pre-

203

204 Capítulo 8 Condiciones de contorno y términos fuente sión en el SIMPLE. Puesto que la velocidad es conocida a la entrada, no es necesario hacer ninguna corrección a la velocidad, por lo que directamente se plantea que ∗ uW = uW .

Aunque se analizará más en detalle en el capítulo 10, en el caso de simulaciones con flujo turbulento es también necesario fijar los valores de las variables turbulentas a la entrada. Muchas veces no se dispone de información exacta sobre estos niveles, por lo que se estima de acuerdo con un valor característico de la intensidad de la turbulencia (normalmente entre 1 y 10%) y de longitud de escala integral (una fracción de la longitud característica del problema).

8.3.2. Condición de flujo saliente Las condiciones de flujo saliente se pueden utilizar conjuntamente con las de flujo entrante. Para que estén bien definidas, es necesario que se sitúen en zonas alejadas de perturbaciones geométricas y, en particular, que reproduzcan comportamientos estables del flujo donde éste ya se encuentre completamente desarrollado. Con estas restricciones, se precisa que las condiciones de contorno se coloquen de forma perpendicular a la dirección del flujo, imponiendo que los gradientes de la variable en esa dirección sean nulos. La figura 8.3 muestra la extensión del mallado en la zona de frontera. Se han sombreado los volúmenes de control interiores que se adoptan para las variables escalares y vectoriales. En este caso, se ha fijado en Nx el número total de nodos en la dirección horizontal. Con la condición de gradientes nulos en la dirección de la salida, es fácil determinar que los valores en la frontera son iguales, por extrapolación, a los valores en la celda inmediatamente anterior. Por lo tanto, la condición de flujo saliente será vE = vP y φE = φP para la componente perpendicular a la salida y para las variables escalares, puesto que no hay variación en la dirección del movimiento. Para la componente en la dirección de la salida, en este caso la componente u, se podría aplicar una condición similar, de manera que uE = uP. Sin embargo, esta condición puede resultar bastante rígida al principio del cálculo iterativo, por cuanto no obliga a que se satisfaga la continuidad global en el dominio. En su lugar, se suele introducir una condición alternativa que asegura que el flujo másico a la salida sea igual al flujo másico de entrada. Es decir: u E = uP

mentrante msaliente

[8.6]

que lógicamente tiende a la condición rígida cuando se garantiza la continuidad global.

8.3 Condiciones de contorno típicas

Nuevamente, la velocidad en la condición de contorno saliente no es necesaria corregirla con la corrección de presión. Por tanto, se plantea que u ∗E = u E .

uN

J=4

J=4 vN

J=3

uW

uP

uE J=3 vW

J=2

vP

Salida

uS

vE Salida

J=2 vS

J=1 I = Nx –3

I = Nx –2

I = Nx –1

I = Nx

J=1 I = Nx –3 I = Nx –2 I = Nx –1

I = Nx

VC para velocidad u en la celda adyacente a la condición de contorno de salida

VC para velocidad v en la celda adyacente a la condición de contorno de salida

J=4

J=4

N

J=3

pN

J=3 Salida

J=2

W

P

S J=1 I = Nx –3 I = Nx –2 I = Nx –1

E

I = Nx

VC para escalar en la celda adyacente a la condición de contorno de salida

Salida J=2

pW

pP

pS J=1 I = Nx –3 I = Nx –2 I = Nx –1

pE 0

I = Nx

VC para presión corregida p en la celda adyacente a la condición de contorno de salida

Figura 8.3 Volúmenes de control (VC) escalares y vectoriales para flujo saliente (adaptado de Versteeg y Malalasekera, 2007).

205

206 Capítulo 8 Condiciones de contorno y términos fuente 8.3.3. Contornos sólidos La condición de pared es el contorno más habitual para simulaciones de flujo confinado. En este caso, se va a plantear una pared horizontal, aunque consideraciones similares se podrían hacer en el caso de paredes verticales. Como siempre, la figura 8.4 muestra la malla extendida que se adopta en la proximidad de la condición de contorno. En ella se ha representado el volumen de control para la componente del flujo paralela a la pared. La componente normal a la pared (figura 8.5) se anula directamente en la pared, por lo que la ecuación de momento se evalúa en la siguiente celda interior sin ninguna modificación adicional. Además, ya que la velocidad es conocida en la condición de contorno, no es necesario hacer ninguna corrección de presión en el algoritmo de resolución, resultando: v S∗ = v S . Sin embargo, para la componente de velocidad paralela a la pared, la implementación no es tan fácil. Es necesario introducir términos fuente que tengan en cuenta la distancia del centroide P a la pared (figura 8.4, derecha). Además, habrá que tener en cuenta si el flujo es laminar o turbulento en la proximidad de la pared y si ésta no se mueve o, por el contrario, está en movimiento, o incluso si es isoterma con respecto al fluido o introduce una determinada transferencia de calor por diferencia de temperaturas. Así, en función de las características de la pared se deben definir distintos términos fuentes específicos para la componente u de velocidad.

J=4

Perfil de velocidad uN

J=3

J=2

P uP

uW

uE

uP

yP yP

pared

Pared

Pared

J=1 I=1

I=2

I=3

I=4

Figura 8.4 Volúmen de control (VC) para la componente de velocidad paralela a la pared (adaptado de Versteeg y Malalasekera, 2007).

8.3 Condiciones de contorno típicas

J=4

J=4 vN φN

J=3

J=3 vW

vP

vE φW

J=2

φE

J=2

Pared

Pared

vS = 0 J=1

φP

I=1

I=2

I=3

J=1

I=4

. qpared

I=1

I=2

I=3

I=4

VC para escalar φ en la celda adyacente a la condición de contorno de pared

VC para velocidad v en la celda adyacente a la condición de contorno de pared

Volúmenes de control (VC) para un escalar y para la componente normal a la pared en Figura 8.5 contornos sólidos (adaptado de Versteeg y Malalasekera, 2007).

Estructura de la capa límite

En el flujo cercano a una pared, los efectos de la viscosidad son dominantes en una pequeña zona, muy próxima al contorno, denominada capa límite. En condiciones de flujo turbulento completamente desarrollado, esta capa límite se divide a su vez en tres regiones diferenciadas: la subcapa viscosa (viscous sublayer), la subcapa logarítmica (log-law region) y la región exterior (outer layer). Las dos primeras subcapas constituyen la región interior (inner layer) de la capa límite. Para diferenciar cada una de las subcapas se utiliza el parámetro adimensionalizado y+, que se define como: y+ =

ρuτ y μ

[8.7]

donde uτ es la denominada velocidad de fricción. Esta velocidad se determina como: uτ =

τ pared ρ

[8.8]

siendo τpared la tensión cortante en la pared. La velocidad de fricción se usa también para adimensionalizar la velocidad, fijándose así el parámetro adimensional u+ definido como: u [8.9] u+ = uτ

207

208 Capítulo 8 Condiciones de contorno y términos fuente c

La subcapa viscosa es extremadamente fina, quedando delimitada por la condición y+ < 5. En esta subcapa se supone que la tensión cortante es constante e igual al valor que corresponde justo con el de la pared (v. figura 8.6). En esta zona, los efectos viscosos predominan sobre los inerciales, por lo que en ella subyace un comportamiento laminar. De este modo, se cumple que τ( y ) = μ

∂u ∂y

τ pared

puesto que las tensiones viscosas dominan a las de Reynolds. Integrando y haciendo uso de las definiciones 8.7 a 8.9, es inmediato llegar a que en esa zona se cumple que: u+ = y+

[8.10]

En condiciones de flujo laminar no se produce transición a la turbulencia, por lo que únicamente se contempla esta capa. La subcapa logarítmica se desarrolla en el intervalo comprendido aproximadamente entre 30 < y+ < 300. En el límite inferior hay una transición difusa entre la subcapa viscosa y ésta logarítmica, que se denomina buffer layer, en la que las tensiones viscosas y de Reynolds son similares. Es habitual utilizar el valor intermedio y+ = 11,225 (en algunos textos se utiliza 11,63) para establecer un límite de separación estricto entre ambas zonas (v. figura 8.6). Además, este límite coincide con el corte entre la ley lineal u+ = y+ de la subcapa viscosa y la nueva ley logarítmica que se ajusta a esta zona según la expresión: u+ =

y

y y = (x)

[8.11]

v(x) región interior

v(x, y)

turb lam pared(x)

Distribución de tensión cortante

subcapa buffer viscosa layer

Región intermedia Región interior viscosa

Distribución de velocidad

Estructura de la capa límite.

u+ =

u+ = y+

1

ln (E y +)

región exterior región totalmente turbulenta (subcapa logarítmica)

y += 30 0

Región exterior turbulenta

(x, y)

Figura 8.6

1 ln ( Ey + ) κ

y += y += 11 5 ,22 5 y += 30

c

(límite depende del núm. de Reynolds)

ln y +

8.3 Condiciones de contorno típicas

donde κ = 0,41 y E = 9,793 son las constantes de Von Kárman válidas para todo flujo turbulento sobre superficie lisa a altos números de Reynolds. En esta subcapa dominan las tensiones de Reynolds sobre las tensiones viscosas. c

La capa externa se desarrolla a partir de y+ > 300 ó 500, que normalmente se corresponde con la zona comprendida entre el 20% y el final de la capa límite. Se dice que la capa límite termina cuando el valor de la velocidad alcanza el 99% del valor en la zona no viscosa. En esta región exterior dominan los efectos de inercia de la zona central del flujo (alejada de la pared), quedando libre de los efectos viscosos de la pared.

Flujo laminar frente a flujo turbulento

En función de que el flujo sea laminar o turbulento, los términos fuente que reemplazan la condición de contorno en las celdas contiguas a la pared cambian. Además, en el caso de flujo turbulento, es necesario saber si el primer nodo próximo a la pared está dentro de la subcapa viscosa (y+ < 11,225; comportamiento laminar) o si por el contrario se encuentra en la zona logarítmica o incluso en la zona exterior (y+ > 11,225; comportamiento puramente turbulento). En el capítulo 10, donde se aborda la modelización de la turbulencia, se detallarán los criterios empleados para fijar la distancia del primer nodo a la pared. También se mostrarán las diferentes opciones para el tratamiento del efecto de la pared en función de dicha distancia. Como se verá, en el caso de que y+ > 11,225, y en función del tipo de modelo de turbulencia empleado, se tendrán que utilizar diferentes expresiones de los términos fuente. Así, por brevedad y claridad expositiva, se incluyen de aquí en adelante los términos fuente a introducir únicamente en los casos de flujo laminar o bien de flujo turbulento cuando y+ < 11,225 (esto normalmente exige nodos muy cerca de los contornos, lo que resulta en un número total de celdas muy elevado). El caso y+ > 11,225 se analiza en el capítulo 10. Pared fija

El valor de tensión cortante en la pared se obtiene lógicamente con la expresión: τ pared

μ

u ∂u ≈μ P ∂y ∆y P

[8.12]

donde uP es el valor de la velocidad en el primer nodo adyacente a la pared. El esquema de la derecha en la figura 8.4 ilustra que esta fórmula se basa en que la velo-

209

210 Capítulo 8 Condiciones de contorno y términos fuente cidad varía linealmente en el caso laminar. Inmediatamente, se puede establecer la fuerza de cortadura en el contorno como: Ftg = −τ pared Apared = −μ

Apared ∆y P

uP

[8.13]

SP

donde Apared es el área de la celda sobre la pared. Por lo tanto, el término fuente apropiado a introducir sería: SC = 0 y SP = −μ

Apared

[8.14]

∆y P

Pared móvil

Si la pared no es estacionaria, el movimiento de ésta en la dirección x se percibe en el fluido como un cambio en la tensión de cortadura en la pared. Su valor se ajusta simplemente reemplazando el valor de la velocidad en el centroide P por el valor relativo (uP – upared). Introduciendo esto en 8.12, es inmediato llegar a que el término fuente necesario en esta ocasión es: SC = μ

upared Apared ∆y P

y SP = −μ

Apared ∆y P

[8.15]

Pared con temperatura

Si la pared está a diferente temperatura, Tpared, que el fluido se establecerá además una transferencia de calor entre dicho contorno y el nodo adyacente. La transferencia de calor viene fijada por la ley de Fourier según qpared =−k ∇T . Sustituyendo la conductividad térmica por el número de Prandtl (que establece Pr = C p μ k ), introduciendo el gradiente en la dirección normal a la pared y multiplicando por el área de pared de la celda para obtener el flujo de calor neto hacia la celda P se tiene: Qpared = −

C p μ Apared Pr

∆y P

(TP − Tpared )

[8.16]

Fácilmente se comprueba que los términos fuente que se deben introducir en este caso para la ecuación de la energía son: SC =

μ C p Apared Tpared Pr ∆y P

y SP = −

μ C p Apared Pr ∆y P

[8.17]

8.3 Condiciones de contorno típicas

Si en lugar de diferencia de temperaturas, la transferencia de calor viniera impuesta directamente por un flujo de calor conocido, bastaría con linealizarlo de la forma habitual Qpared = SC + SPTP para identificar los términos fuente.

8.3.4. Condición de perfil de presión constante Este tipo de condición de presión se utiliza en aquellas situaciones en las que no se dispone de datos fiables del campo de velocidades pero sí se conocen los valores de presión (constantes) en las fronteras. Típicamente, esto ocurre en el caso de flujos externos como el flujo alrededor de cuerpos sumergidos, flujos con superficie libre o flujos con convección natural, e incluso en el caso de flujos internos con múltiples salidas. Para imponer esta condición, se fija al valor de presión conocida el valor de presión en los centroides de las celdas frontera (v. figura 8.7). Además, puesto que la presión queda fijada, no es necesario resolver la ecuación de corrección de presión en esas celdas contiguas a la frontera. Para imponer un valor constante de presión, basta con introducir en el término fuente de presión en la ecuación de momento los siguientes parámetros: SC = 1010 pdato y SP = −1010

[8.18]

siguiendo la misma estrategia que la utilizada para la ecuación 8.2.

J=4

J=4

vN

vN J=3 Entrada

uE

uW

J=3

P vS

P vS

J=2

Salida

J=2

J=1

I=1

I=2

I=3

I=4

Condición de presión constante a la entrada Figura 8.7

uE

uW

J=1 I = N x –3 I = N x–2

I = N x –1 I = N x

Condición de presión constante a la salida

Condición de contorno de presión constante (adaptado de Versteeg y Malalasekera, 2007).

211

212 Capítulo 8 Condiciones de contorno y términos fuente Esta sencilla condición presenta la dificultad de que no se hace nada en relación con las velocidades en la frontera. Así, la dirección del flujo quedaría desconocida y dependiendo de las propias características en el interior del dominio. Para evitar esta indefinición, es necesario hacer cumplir la ecuación de continuidad en dichas celdas (esta consideración sustituye a la resolución de la ecuación de corrección de presión). Por ejemplo, en la condición a la entrada de la figura 8.7 se tendría: uw =

1 ⎡ ( ρvA)n − ( ρvA)s + ( ρuA)e ⎤ ⎦ ( ρA)w ⎣

[8.19]

donde las velocidades del norte y del sur así como la del este son conocidas del interior del dominio. Existen códigos comerciales que plantean alternativas a este esquema, sobre todo a la entrada. Así, es habitual que a la entrada, en lugar de aplicar un valor fijo de presión estática en los nodos interiores, se utilice un valor de presión total en la propia frontera del dominio, aunque la filosofía de implementación es la misma.

8.3.5. Condición de simetría La condición de simetría se satisface en un contorno cuando: c

No se tiene flujo a través del contorno.

c

Tampoco se permite el transporte de ningún escalar a través de la superficie.

Para implementar esta condición en el código se fija que las velocidades normales a la superficie de simetría sean cero y, respecto a los escalares, se obliga a que los valores que están justo en la fila adicional fuera de la frontera sean iguales a los valores en los nodos contiguos del interior del dominio.

8.3.6. Condiciones periódicas y cíclicas Las condiciones periódicas o cíclicas son aquellas condiciones de contorno que delimitan problemas que se repiten en el espacio, ya sea circunferencial o longitudinalmente. Si el fenómeno se repite longitudinalmente, se suelen denominar simplemente periódicas, mientras que si el fenómeno se repite circunferencialmente, lo habitual es llamarlas cíclicas. Un ejemplo de condición periódica es el flujo que se establece en el interior de un túnel de carretera cuando éste está provisto de varios ventiladores de chorro situados de manera equidistante entre entrada y salida (figura 8.8, abajo). Si los ventiladores proporcionan el mismo caudal de funcionamiento, el patrón de flujo que se

213

8.3 Condiciones de contorno típicas

Fronteras periódicas Interfaz de salida

Condición de contorno de salida

Sentido del flujo

Interfaz de entrada

Condición de contorno de entrada

Álabe

Canal en rotación Huelgo de punta

Condiciones periódicas circunferenciales (flujo en el canal entre álabes de un ventilador axial)

Condiciones periódicas

Velocidad longitudinal u u jet

P=

a 20 P

P=

a 24 P

P=

a 30 P

Zventilador = 9,1 m % 110

82

54

26

–2

–30

Condiciones periódicas longitudinales (flujo en un túnel entre ventiladores) Figura 8.8

Ejemplo de condiciones periódicas y cíclicas.

establece entre cada pareja de ventiladores es periódico, pudiendo simularse únicamente un segmento del túnel e imponiendo igualdad de condiciones en los extremos del dominio considerado. De forma análoga, un ejemplo de condición cíclica es el flujo a través de un ventilador axial de varios álabes (figura 8.8, arriba). En condiciones de flujo uniforme a la entrada, entre álabe y álabe se establece el mismo patrón de flujo, pudiendo simular únicamente un canal de paso si se imponen condiciones cíclicas (periódicas circunferencialmente) en los extremos del dominio. Por tanto, para aplicar esta tipología de condición, basta con fijar que el flujo saliente de todas las variables por la condición periódica de salida es igual al flujo entrante por la condición periódica de entrada. Esto se consigue, lógicamente, igualando los valores en los nodos situados justo aguas arriba y aguas abajo del plano de entrada con los valores en los nodos situados aguas arriba y aguas abajo del plano de salida. Para una periodicidad lineal con Nx nodos en la dirección x, esto equivale a: φ1, j = φN x −1, j y φN x , j = φ2, j .

214 Capítulo 8 Condiciones de contorno y términos fuente

8.4

Otras fuentes

Se ha visto que cualquier fuente de una variable φ se puede introducir en la ecuación de transporte correspondiente mediante su linealización SC + SP φP (ecuación 8.1). También es factible introducir directamente el valor de la fuente (sin linealización previa) haciendo un sencillo artificio, como SC = fuente y SP = −10–10, si bien es recomendable linealizar para favorecer la convergencia del método de resolución. Para ilustrar esta idea, considérese el ejemplo de un sumidero de cantidad de movimiento en medio poroso, cuya expresión vendría dada por S = −Kv2. La linealización de esta expresión en el entorno de su valor anterior sería S = −Kv(n–1)v(n). De esta forma, SC = 0 y SP = −Kv(n–1), que es conocido de la iteración anterior. Con esta sencilla operación se elimina la no linealidad y se garantiza que en la solución convergida v(n–1) = v(n). En el caso de tener fuentes constantes, es evidente que ya no aplica la necesidad de linealizar estos términos. Los tipos más habituales de fuentes constantes son el efecto gravitatorio en la ecuación de momento y las fuentes de masa en la ecuación de continuidad. En dichos casos basta fijar: c

c

Fuente gravitatoria: SC =−ρg

[8.20]

SC = m

[8.21]

Fuente de masa:

8.5

Reflexiones finales y conclusiones

Los flujos que se resuelven en cualquier simulación CFD están extremadamente influenciados por las condiciones de contorno. De hecho, el proceso de resolución de todo campo fluidodinámico no es más que la extrapolación de una serie de datos fijados en las condiciones de contorno hacia el dominio interior siguiendo unas leyes que responden a la ecuación general de transporte. Por lo tanto, es evidente la importancia de definir condiciones de contorno realistas, bien establecidas y acotadas. En caso contrario, aparecerán dificultades muy serias para obtener una solución adecuada al problema numérico, y que en la mayoría de las ocasiones terminan en la irremediable divergencia del caso ejecutado.

8.5 Reflexiones finales y conclusiones

Es muy importante saber que no todas las condiciones de contorno son compatibles entre sí. A pesar de que cada una por separado puede estar bien definida e implementada (de acuerdo con las indicaciones dadas en los apartados anteriores), su acoplamiento puede llevar a la simulación a divergir. El caso ilustrativo más sencillo es el del flujo en un dominio cerrado, rodeado de paredes y con una única condición de entrada. Es obvio que la conservación de masa para flujo estacionario no se puede satisfacer con tales condiciones, por lo que los cálculos CFD no tienen otra opción que reventar. Un ejemplo tan trivial como el anterior ya sugiere que ciertas condiciones de contorno deben ir acompañadas por otras muy particulares para poder garantizar la convergencia de la resolución. En concreto, para flujo incompresible, se pueden enumerar las siguientes combinaciones como aptas en la definición de cualquier simulación CFD: c

Paredes exclusivamente.

c

Paredes con una entrada de flujo y al menos una salida de flujo.

c

Paredes con una entrada de flujo y al menos una salida con presión constante.

c

Paredes con condiciones de presión constante.

La figura 8.9 muestra estas configuraciones para un flujo en conductos. Además, hay que tener especial cuidado con la condición de contorno de flujo a la salida. Ésta sólo se puede utilizar si todos los flujos que entran al dominio son conocidos y en particular se recomienda que se utilice solamente si se tiene una única salida. Tampoco se puede combinar una salida de flujo con una o más condiciones de presión constante porque en ese caso el problema no queda cerrado (la condición de gradiente cero en la salida de flujo no fija ni el flujo másico ni el valor de presión en la salida). Además de la compatibilidad entre condiciones, es muy importante elegir una localización adecuada de las mismas, de forma que los valores (normalmente rígidos) impuestos en ellas no condicionen de forma artificial la resolución del flujo en el interior del dominio. Ya en el apartado 6.6 se incidió en la necesidad de colocarlas

Paredes

Presión constante

Entrada de flujo

Presión constante Figura 8.9

Entrada de flujo

Salida de flujo

Presión constante

Condiciones de contorno compatibles (adaptado de Versteeg y Malalasekera, 2007).

215

216 Capítulo 8 Condiciones de contorno y términos fuente en lugares donde se pueda asegurar que el flujo ya está bien desarrollado y que no se producen más variaciones (gradientes) de las variables en el sentido del flujo. Por lo tanto, para garantizar la precisión en los cálculos es imprescindible demostrar que la solución interior no está afectada por la posición elegida para las condiciones de salida. Otra consideración muy importante es la elección de la densidad de malla en las regiones próximas a los contornos sólidos. En general, la idea de que cuantos más nodos se coloquen en la proximidad de las paredes, mejores serán los resultados que se obtengan, es cierta si se respeta el tipo adecuado de modelización de la pared que debe usarse en función del valor del y+ de nuestra simulación. Normalmente, la práctica totalidad de las simulaciones industriales (I-CFD) analizan situaciones en régimen turbulento. En estos casos, si se utiliza un mallado moderado, de forma que el valor de y+ sea mayor que 11,225 (y preferiblemente entre 30 y 300), se puede introducir una aproximación de pared en la totalidad de los modelos de turbulencia que evita directamente el cálculo de la subcapa viscosa. Puede ocurrir que el flujo esté afectado por importantes gradientes adversos, o sufra de importantes efectos de rotación, lo cual produzca puntos de separación y recirculaciones. En estos casos, la aproximación de la capa límite interna por una ley logarítmica universal en condiciones completamente desarrolladas puede no ser una buena opción, así que una simulación completa de la capa límite puede ser más interesante. Para simular correctamente la capa límite completa es necesario aumentar mucho la densidad de la malla cerca de la pared, apilando un gran número de nodos en la subcapa viscosa. En particular, se recomienda utilizar un valor de y+ próximo a la unidad para garantizar buenos resultados, lo cual conduce a simulaciones costosas en tiempo de cálculo y almacenamiento. Por lo tanto, es muy importante que las mallas que se empleen al simular flujos turbulentos no estén en tierra de nadie. O se hacen más espaciadas, para introducir leyes logarítmicas de pared, o se hacen muy finas, para simular la capa límite completa. Desafortunadamente, el valor del y+ en los contornos sólidos es un valor que depende de la velocidad (del campo de velocidades ya resuelto), por lo que únicamente se puede conocer con exactitud a posteriori. Aun así, algunas correlaciones sencillas, y sobre todo la experiencia, permiten estimar a priori cual será el valor del y+ en la simulación. En el capítulo 10, dedicado en detalle a la modelización de la turbulencia, se mostrarán algunas de estas estrategias para la estimación del valor de y+. Finalmente, una pequeña observación acerca de la condición de simetría. Esta condición es extremadamente útil y golosa porque nos permite reducir a la mitad (simetría simple, unidimensional), a la cuarta parte (simetría doble, bidimensional) o incluso a la octava parte (simetría triple, tridimensional) el dominio de cálculo, con la consiguiente reducción en el número de celdas. Introduciendo condiciones de simetría eficientemente ahorramos en el número total de celdas, pudiendo apro-

8.5 Reflexiones finales y conclusiones

vechar esa reducción para incrementar la discretización en otras zonas de interés (con grandes gradientes). Ahora bien, para poder utilizarla, no sólo nuestro dominio debe presentar algún tipo de simetría geométrica, sino que el flujo también ha de respetar esa misma simetría. Si no es así, la condición de simetría proporcionará resultados completamente erróneos. Por ejemplo, obsérvese la malla con condición de simetría longitudinal sobre un avión comercial en la figura 1.4 (derecha). Si el aire incide alineado con el fuselaje del avión, la condición de simetría estaría bien aplicada. Por el contrario, si el aire viniese racheado con algo de desalineamiento, no sería posible utilizar la condición de simetría.

217

9 MÉTODOS ITERATIVOS DE RESOLUCIÓN En los capítulos anteriores se han presentado las herramientas necesarias para discretizar las ecuaciones de gobierno del movimiento de los fluidos y de la transferencia de calor por el método de volúmenes finitos. El resultado final es el establecimiento de un sistema lineal algebraico de ecuaciones que es preciso resolver. Existen métodos directos y métodos indirectos, o iterativos, para resolver estos sistemas de ecuaciones. Debido a sus características, los métodos directos no son apropiados para resolver sistemas con un gran número de incógnitas, precisamente la situación habitual en cualquier simulación CFD, por lo que se recurre normalmente al uso de los métodos iterativos. En este capítulo se mostrarán las principales características de estos tipos de métodos de resolución. Se analizará cómo aprovecharse de las propiedades de la matriz de coeficientes del sistema para plantear estrategias de resolución que aceleren lo más posible el método iterativo.

220 Capítulo 9 Métodos iterativos de resolución

Contenidos 9.1. Introducción 9.1.1. Métodos iterativos frente a métodos directos 9.1.2. Almacenamiento de variables 9.2. Algoritmo para matrices tridiagonales (TDMA) 9.2.1. Método punto-a-punto (TDMA 1-D) 9.2.2. Método línea-a-línea (TDMA 2-D) 9.2.3. Método plano-a-plano (TDMA 3-D) 9.3. Métodos iterativos Jacobi y Gauss-Seidel 9.3.1. Métodos iterativos generales 9.3.2. Convergencia de los métodos iterativos 9.3.3. Análisis de los métodos iterativos 9.4. Métodos multigrid 9.4.1. Corrección mediante malla basta 9.4.2. Multigrid geométrico (GMG) 9.4.3. Multigrid algebraico (AMG) 9.4.4. Estrategias cíclicas 9.5. Reflexiones finales y conclusiones

Bibliografía de referencia: Este capítulo ha sido principalmente adaptado de Mathur, S.R. y Murthy J.Y., "The Finite Volume Method", Class notes for ME608, Numerical Methods in Heat, Mass and Momentum Transfer, Purdue University (EE.UU.), 2001-2011; Chapter 8: "Linear Solvers".

9.1 Introducción

9.1

Introducción

En capítulos anteriores se ha visto cómo el proceso de discretización desemboca en el establecimiento de un sistema lineal de ecuaciones algebraicas de la forma: [ A][ φ] = [b]

[9.1]

donde [A] es la matriz de coeficientes del sistema, de dimensiones N × N (siendo N el número total de incógnitas o número de celdas del mallado), [φ] es el vector con las incógnitas y [b] el vector de términos independientes (fuentes, condiciones de contorno, etc.). La complejidad y tamaño del sistema de ecuaciones 9.1 depende de las dimensiones del problema (1-D, 2-D o 3-D), del número de nodos de la malla y de los esquemas de discretización empleados. Este tipo de sistemas lineales aparecen en otros muchos campos científicos y de la ingeniería, por lo que se han desarrollado diferentes métodos para su resolución. Sin embargo, las particularidades que presenta la matriz de coeficientes [A] obligan a que se utilice una familia de métodos muy determinada. Una de las principales características de la matriz de coeficientes es que es un matriz dispersa; esto es, está prácticamente llena de ceros. Ello se debe a que en cada celda se tienen únicamente coeficientes no nulos para las celdas vecinas. Así, por ejemplo, si se considera un mallado bidimensional cartesiano de N celdas, del total de N2 entradas en la matriz, el número de coeficientes no nulos es solamente del orden de 5N. Esto quiere decir que para un modelo con 1000 celdas, del millón de coeficientes que se obtienen en la matriz [A], únicamente 5000 (un 0,5%) no son cero. Lógicamente, al haber un orden de magnitud de diferencia, parece evidente que es buena estrategia aprovecharse de esta condición de las matrices a la hora de plantear el método de resolución. Otra importante consideración es que en función de la estructura de la malla y de la forma en que se defina la conectividad de las celdas, los valores no nulos presentan distintos patrones de posición en el interior de la matriz. Considérese el dominio unidimensional de la figura 9.1. En el sistema de ecuaciones resultante únicamente se tienen valores en la diagonal principal y en las dos diagonales adyacentes por encima y por debajo. Así, para ese dominio con 5 nodos, se tendría una matriz de coeficientes: ⎡ a1 −a2 0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ 0 0 ⎥ ⎢−a1 a2 −a3 0 ⎥ A =⎢ 0 −a2 a3 −a4 ⎢ ⎥ 0 −a3 a4 −a5 ⎥ ⎢ 0 ⎢ 0 0 −a4 a5 ⎥ ⎣ 0 ⎦

[9.2]

221

222 Capítulo 9 Métodos iterativos de resolución

φ1

φ2

φ3

φ4

φ5

Figura 9.1 Dominio unidimensional con 5 nodos.

En este tipo de casos unidimensionales se obtiene una matriz tridiagonal porque sólo hay tres coeficientes no nulos por ecuación (expresión 9.2). Si se analizase un caso bidimensional o tridimensional, también con mallas cartesianas, se obtendrían matrices similares con varias bandas diagonales en las que se concentran todos los valores no nulos. La estructura concreta de estas bandas dependería de cómo se ordenasen y numerasen las celdas de la malla. Nuevamente, parece apropiado utilizar este tipo de estructura diagonal para almacenar eficientemente la información, así como para definir técnicas de resolución óptimas. Finalmente, es necesario recordar que el sistema de ecuaciones lineal que se trata de resolver es, en cierto modo, aproximado. En realidad, dada la naturaleza de las discretizaciones espaciales y temporales empleadas, tanto la definición de los coeficientes de la matriz (los ai) como del vector de términos fuente [b] están sujetos a variación tras la obtención de la solución del sistema. Nótese que para evitar efectos no lineales y para calcular el transporte convectivo se han utilizado como suposición valores tentativos de las velocidades por las celdas para definir los coeficientes. Una vez resuelto el sistema, esos coeficientes deberán recalcularse para definir una nueva matriz de coeficientes a resolver, estableciendo un proceso iterativo que llegará a su fin cuando se garantice la convergencia. Por lo tanto, no tiene sentido esforzarse en obtener una solución exacta de un sistema de ecuaciones aproximado: bastará con ir obteniendo soluciones parciales aproximadas.

9.1.1. Métodos iterativos frente a métodos directos Los métodos de resolución de sistemas lineales se clasifican en dos categorías: directos e iterativos. Los métodos directos, como el método de inversión de Cramer o la eliminación gaussiana, no aprovechan la presencia de ceros en la matriz de coeficientes o la estructura preferentemente diagonal para ahorrar esfuerzo de cálculo. Estos métodos, por el contrario, implican un número fijo de operaciones, que suele ser del orden de N3 (siendo N el número de celdas), y por tanto requieren unas capacidades de cálculo inabordables. Además, no hacen uso de las aproximaciones iniciales de la solución, por lo que no es de extrañar que apenas se utilicen en el contexto de las técnicas CFD.

9.1 Introducción

Por otro lado, los métodos iterativos se basan en la aplicación repetitiva de un algoritmo relativamente simple hasta que se asegura la convergencia. Normalmente esta técnica requiere un número elevado de repeticiones, al ir acercándose a la solución por sucesivas aproximaciones. El número total de operaciones es del orden de N en cada ciclo iterativo, que supone unos esfuerzos computacionales asequibles, pero a costa de alargar el tiempo de resolución (muchas iteraciones; y más cuanto mayor es el número de celdas). Estos métodos, como se verá a continuación, pueden ser fácilmente reformulados para adecuarse a las características de la matriz de coeficientes –dispersión con muchos ceros y patrones en bandas diagonales– almacenando además tan sólo los coeficientes no nulos de las ecuaciones. Los métodos iterativos por excelencia son los de Jacobi y Gauss-Seidel, muy fáciles de implementar, pero que convergen lentamente cuando el número de ecuaciones a resolver es muy grande. Thomas (1949) desarrolló una técnica alternativa, basada en la naturaleza tridiagonal de la matriz de coeficientes, para acelerar la resolución iterativa de este tipo de matrices y que se denomina algoritmo para matrices tridiagonales (TDMA). Este método, directo para el caso unidimensional (expresión 9.2), puede ser fácilmente extrapolable a situaciones bidimensionales y tridimensionales usando una técnica línea-a-línea o plano-a-plano. Su aplicación se discute en detalle en el apartado 9.2.

9.1.2. Almacenamiento de variables Debido a que la mayor parte de las entradas en la matriz de coeficientes son nulas, resulta extremadamente ineficiente utilizar una estructura bidimensional para almacenar dicha matriz en memoria. En este subapartado se muestran algunas estrategias para almacenar únicamente las entradas no nulas, y de manera que luego sea posible ejecutar todas las operaciones que el método de resolución iterativo requiera. La forma exacta de llevar a cabo estas estrategias dependerá inevitablemente de la naturaleza del mallado. Para el caso de un dominio unidimensional como el de la figura 9.1, con un número N total de celdas, es posible almacenar únicamente la diagonal principal, así como las dos diagonales paralelas por arriba y por abajo, utilizando tres vectores de longitud N. Utilizando la notación de los capítulos precedentes, según P, E y W, los valores distintos de cero en la matriz de coeficientes se recuperan según:

A (i, i − 1) = −AW (i ) A (i, i ) = AP (i ) A (i, i + 1) = −AE (i )

[9.3]

223

224 Capítulo 9 Métodos iterativos de resolución Para el caso de una malla cartesiana bidimensional con Nx × Ny nodos, como la de la figura 9.2 con 5 × 5 celdas, es conveniente utilizar una notación con doble índice y utilizar cinco matrices bidimensionales de dimensiones (Nx , Ny) para almacenar los coeficientes aP, aW, aE, aN y aS. En la figura 9.3 se muestra la matriz original de coeficientes, [A]. Para simplificar, se ha supuesto que los valores en los nodos de las fronteras (filas 1 y 5 y columnas 1 y 5) son valores conocidos (condiciones de contorno). Nótese la similitud de planteamiento con el caso de una placa plana con transferencia de calor desde los bordes a un temperatura fija. Con la numeración definida en la figura 9.2, los coeficientes activos aparecen en la zona tridiagonal central, así como en otras dos bandas más que representan la contribución bidimensional de los nodos norte y sur en cada celda. Así, empleando la notación de doble índice, se podrían reescribir los coeficientes de la matriz [A] en forma de matrices adjuntas. Por ejemplo, para los coeficientes central, norte y este se tendría:

⎡ a11 ⎢ ⎢ a21 AP =⎢ a31 ⎢ ⎢ a41 ⎢ ⎣ a51

a12 a22 a32 a42 a52

a13 a23 a33 a43 a53

a14 a24 a34 a44 a54

⎡ 0 −a12 −a13 −a14 a15 ⎤ ⎥ ⎢ a25 ⎥ ⎢ 0 −a22 −a23 −a24 ⎥ a35 AN =⎢ 0 −a32 −a33 −a34 ⎥ ⎢ a45 ⎥ 0 0 0 ⎢0 ⎥ ⎢ a55 ⎦ 0 0 0 ⎣0

0⎤ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎦ [9.4]

⎡0 ⎢ ⎢0 AE =⎢ 0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0 0 0 0 ⎤ ⎥ 0 −a23 −a24 −a25 ⎥ 0 −a33 −a34 −a35 ⎥ ⎥ 0 −a43 −a44 −a45 ⎥ 0 0 0 0 ⎥ ⎦ φ11

φ12

φ13

φ14

φ15

φ21

φ22

φ23

φ24

φ25

φ31

φ32

φ33

φ34

φ35

φ41

φ42

φ43

φ44

φ45

φ51

φ52

φ53

φ54

φ55

Dominio bidimensioFigura 9.2 nal con 5 × 5 celdas.

9.1 Introducción

AP AE AW AN

AS 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

φ11 φ12 φ13 φ14 φ15

b 11 b 12 b 13 b 14 b 15

0 0 0 0 0 0 -a 33 0 0 0 -a 34 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

φ21 φ22 φ23 φ24 φ25

b 21 b 22 b 23 b 24 b 25

0 0 0 0 0 0 -a 43 0 0 0 -a 44 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

φ31 φ32 φ33 φ34 φ35

b 31 b 32 b 33 b 34 b 35

0 0 0 -a 52 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 -a 53 0 0 0 -a 54 0 0 0 0

φ41 φ42 φ43 φ44 φ45

b 41 b 42 b 43 b 44 b 45

a 51 0 0 0 0

0 0 a 53 0 0

φ51 φ52 φ53 φ54 φ55

b 51 b 52 b 53 b 54 b 55

[φ]

[ b]

a 11 0 0 0 0 0 a 12 0 0 0 0 0 a 13 0 0 0 0 0 a 14 0 0 0 0 0 a 15 0 0 0 0 0 0 -a 12 0 0 0 0 0 -a 13 0 0 0 0 0 -a 14 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

a 21 0 0 0 0 -a 21 a 22 - a 23 0 0 0 -a 22 a 23 - a 24 0 0 0 -a 23 a 24 - a 25 0 0 0 0 a 25

0 0 0 -a 32 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 -a 22 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 -a 23 0 0 0 -a 24 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

a 31 0 0 0 0 -a 31 a 32 - a 33 0 0 0 -a 32 a 33 - a 34 0 0 0 -a 33 a 34 - a 35 0 0 0 0 a 35 0 0 0 0 0 0 -a 32 0 0 0 0 0 -a 33 0 0 0 0 0 -a 34 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 -a 42 0 0 0 0 0 0

a 41 0 0 0 0 -a 41 a 42 - a 43 0 0 0 -a 42 a 43 - a 44 0 0 0 -a 43 a 44 - a 45 0 0 0 0 a 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 a 52 0 0 0

0 0 0 a 54 0

0 0 0 0 a 55

[A] Figura 9.3

Matriz de coeficientes pentadiagonal para el dominio de la figura 9.2.

También pueden escribirse matrices semejantes para los coeficientes oeste y sur. Alternativamente, dada la estructura de la matriz en la figura 9.3, se pueden denotar las celdas utilizando una notación sencilla (por ejemplo, de 1 a 25) y almacenar los coeficientes en vectores independientes: ⎡a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45 a51 a52 a53 a54 a55 ⎦ ⎤ AP =⎣ AN =⎡ ⎣0 −a12 −a13 −a14 0 0 −a22 −a23 −a24 0 0 −a32 −a33 −a34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎤ ⎦

⎡0 0 0 0 0 0 0 −a23 −a24 −a25 0 0 −a33 −a34 −a35 0 0 −a43 −a44 −a45 0 0 0 0 0⎦ ⎤ AE =⎣ [9.5]

En cualquier caso, debido a la topología ordenada de las mallas estructuradas, los índices de las celdas vecinas y, por tanto, la posición de los coeficientes en la matriz [A] son siempre conocidos de forma implícita. En el caso de mallas no estructuradas, la conectividad de las celdas debe ser almacenada de forma explícita. Es decir, se necesita definir una matriz que declare para cada celda cuáles son sus vecinas y, por tanto, qué coeficientes hay que aplicar en la ecuación algebraica correspondiente a cada nodo. Además, en mallados triangulares no estructurados (no así en mallados cuadriláteros, aunque no sean estructurados)

225

226 Capítulo 9 Métodos iterativos de resolución el número de celdas vecinas no es fijo, por lo que se necesitan estrategias específicas de almacenado de las variables. Considérese un mallado triangular no estructurado de N celdas, en el que se denota como ni el número de celdas vecinas para cada celda i-ésima. El número total de coeficientes vecinos que será necesario almacenar vendrá dado entonces por: N

B = ∑ni

[9.6]

i=1

De esta forma, es necesario definir dos vectores de longitud B: uno para almacenar enteros, denominado VECINDEX y donde se guardarán los índices de las celdas vecinas para cada celda, y otro para almacenar valores, denominado COEF en el que se almacenarán los valores de los coeficientes. Además, se debe definir otro vector, de longitud N + 1, denominado CINDEX, en el que se indican la posición y a partir de ella cuantas entradas hay que leer en el vector VECINDEX para recuperar los índices de las celdas vecinas. Expresado matemáticamente: CINDEX (i) = CINDEX (i − 1) + ni−1 donde CINDEX (1) = 1

[9.7]

La idea es que los índices de las celdas vecinas a la celda i-ésima se almacenan en el array CINDEX en una serie de posiciones (j) comprendidas entre CINDEX(i) y CINDEX(i + 1). Es decir: CINDEX (i) ≤ j < CINDEX (i + 1). Lógicamente, los valores de los coeficientes se guardan en las mismas posiciones en el vector COEF. Finalmente, hay que definir un último vector AP de longitud N en el que se guarden los valores del coeficiente central para cada celda i-ésima. Este procedimiento se ilustra en la figura 9.4, donde se muestra el contenido de los vectores CINDEX y VECINDEX para un mallado bidimensional no estructurado. Para una mayor claridad, se han resaltado los coeficientes que corresponderían a la celda número cuatro. Nótese cómo todo es función de la numeración inicial de las celdas.

5

1 3

2

4

CINDEX 1 2 3 6 7

6

9 11 13 15

VECINDEX 3 3 1 2 4 3 5 6 4 7 4 7 5 6

Figura 9.4 Sistema de almacenamiento para mallas no estructuradas (adaptado de Mathur y Murthy, 2001-2011).

9.2 Algoritmo para matrices tridiagonales (TDMA)

9.2

Algoritmo para matrices tridiagonales (TDMA)

Aunque la mayor parte de este capítulo se centra en la aplicación de técnicas de resolución iterativas, merece la pena centrarse un momento en un método directo desarrollado para el caso de matrices tridiagonales (ecuación 9.2). Como se ha visto, la matriz tridiagonal aparece en el caso de problemas unidimensionales (de primer orden) en los que la simplicidad de la malla (lineal) impone una ordenación creciente de las celdas presentes. Por tanto, en el caso unidimensional se dispone de una sencilla herramienta (basada en la tridiagonalidad de la matriz de coeficientes) para obtener la resolución directa del sistema de ecuaciones. En los casos bi y tridimensionales que presenten una malla estructurada también es posible aplicar este algoritmo, aunque debe extenderse bien línea-a-línea o plano-a-plano obligando a que su utilización sea de manera iterativa. A pesar de que se pierde la posibilidad de resolución directa, se sigue manteniendo un eficiente tratamiento de la matriz de coeficientes.

9.2.1. Método punto-a-punto (TDMA 1-D) La idea que subyace en el algoritmo TDMA es más o menos la misma que se utiliza en una eliminación gaussiana habitual. Sin embargo, la naturaleza tridiagonal de la matriz permite reducir el número de operaciones necesarias para obtener la solución en tan sólo N operaciones (o del orden de N operaciones). Esto se consigue en dos fases: c

Eliminación hacia delante (forward elimination): las entradas por debajo de la diagonal se eliminan sucesivamente comenzando por la segunda fila (triangularización superior). De esta forma, la última ecuación queda expresada con una única incógnita y puede resolverse.

c

Sustitución hacia atrás (back-substitution): la solución para el resto de las ecuaciones se obtiene volviendo hacia atrás (de la última a la primera), sustituyendo en cada ecuación el valor de la incógnita despejado en la ecuación previa.

En un sistema tridiagonal se puede expresar cada ecuación de forma general como: −Li φi−1 + Di φi − U i φi+1 = bi

[9.8]

donde L, D y U corresponden a los valores de la fila por debajo de la diagonal (lower), de la fila diagonal y de la fila por encima (upper). La expresión 9.8 se puede reescribir como: φi = αi φi+1 + βi φi−1 + γi

[9.9]

227

228 Capítulo 9 Métodos iterativos de resolución siendo αi = Ui Di , βi = Li Di y γi = bi Di . La eliminación hacia delante se inicia con la primera ecuación, φ1 = α1φ2 + γ1 , que al introducirla en la segunda ecuación, proporciona: φ2 =

α2 γ + β2 γ1 φ3 + 2 = α′2 φ3 + γ′2 1 − α1 β2 1 − α1 β2

[9.10]

donde aparecen nuevas constantes primadas, pero se ha reducido la dependencia de dos incógnitas (anterior y posterior) a sólo una (posterior). Esto es, se consigue triangularizar superiormente la matriz de coeficientes. A continuación, la expresión 9.10 se emplea sobre la ecuación 9.9 con i = 3 para acabar obteniendo φ3 = α′3 φ4 + γ′3 , y así sucesivamente hasta que se llega al nodo N − 1: φN −1 = α′N −1 φN + γ′N −1

[9.11]

Finalmente, puesto que la última ecuación no tiene valor posterior, φN = βN φN−1 + γN , la sustitución de 9.11 en dicha ecuación proporciona directamente el valor de φN. Esto es: φN = β N ( α′N −1 φN + γ′N −1 ) + γ N

⇒ φN =

β N γ′N −1 + γ N 1 − α′N −1 β N

[9.12]

Obtenido el valor de la última incógnita en 9.12, basta con ir hacia atrás para ir resolviendo para el resto de las incógnitas: introduciendo 9.12 en la ecuación 9.11 se obtiene φN–1, y así sucesivamente hasta conseguir φ2 en 9.10 y por último φ1.

9.2.2. Método línea-a-línea (TDMA 2-D) Los sistemas lineales resultantes de mallas bidimensionales estructuradas también presentan un patrón regular (véase, por ejemplo, la figura 9.3). Sin embargo, no existen métodos sencillos, similares al algoritmo TDMA que acabamos de ver, para obtener una solución directa del sistema. De todas formas, el algoritmo TDMA se puede aplicar de forma iterativa para resolver sistemas de ecuaciones en problemas bidimensionales. Considérese la malla de la figura 9.5, así como una ecuación algebraica discretizada de la forma general: aP φP = aW φW + aE φE + aN φN + aS φS + b

[9.13]

Utilizando la estrategia de almacenamiento de coeficientes mostrada en 9.1.2 (matrices en 9.4 y similares), la ecuación 9.13 se reescribe para el nodo (i, j) como: AP (i, j) φi , j = AW (i, j) φi−1, j + AE (i, j) φi+1, j + AN (i, j) φi , j+1 + AS (i, j) φi , j−1 + bi , j [9.14]

9.2 Algoritmo para matrices tridiagonales (TDMA)

Ny

N*

Oeste

barrido

W P

Este

E

J

S*

...

3 2 j=1 i=1 2

3

...

I

Nx

Figura 9.5 Mallado estructurado bidimensional con algoritmo TDMA línea-a-línea (adaptado de Versteeg y Malalasekera, 2007).

Para resolver el sistema, se aplica el algoritmo TDMA a lo largo de las líneas oeste-este suponiendo que los valores al norte y al sur en cada nodo de la línea son conocidos (superíndice *). Por tanto, reescribiendo la ecuación 9.14 como: A E (i , j ) φ i +1, j + A P (i , j ) φ i , j + AW (i , j ) φ i −1, j = A N (i , j ) φ i*, j +1 + A S (i , j ) φ i*, j−1 + bi , j [9.15]

se recupera la formulación 9.8 correspondiente al TDMA unidimensional. Así, recorriendo todos los puntos de la línea oeste-este mostrada en la figura 9.5 se obtiene el sistema tridiagonal que ya sabemos cómo resolver. Evidentemente, con este procedimiento se obtienen los valores de φ para todas las celdas i-ésimas dentro de la fila j-ésima. Sin embargo, al contrario que en el caso unidimensional, esos valores no suponen la solución exacta del problema, sino una aproximación, puesto que es necesario suponer los valores del norte y del sur al construir el sistema tridiagonal. Una vez resuelta esa fila, se repetiría el proceso para la siguiente, aprovechando los valores recién calculados cuando sea posible. Una vez barrido todo el dominio de abajo a arriba, se habrá actualizado el valor de cada φi,j, con valores aproximados, aunque mejores que las suposiciones iniciales. Como en cualquier método iterativo, se trata de ir mejorando la solución a base de repetir el procedimiento. Por lo tanto, se aplicaría el algoritmo de nuevo, si bien esta vez pasando por todas las filas en orden inverso (de arriba a abajo) para intentar redistribuir la transmisión de información en el proceso de la manera más uniforme

229

230 Capítulo 9 Métodos iterativos de resolución posible. Téngase en cuenta que en función de la dirección más crítica para la transmisión de la información, hacer los barridos según una dirección o unos sentidos determinados podrán ser óptimos o no. Por ejemplo, no parece muy apropiado barrer en la dirección opuesta al sentido de flujo, oponiendo el sentido del algoritmo matemático al sentido del fenómeno físico. La secuencia de operaciones en el que todas las variables φi,j son actualizadas se denomina barrido, siendo la dirección de barrido la del movimiento durante la resolución iterativa de los sucesivos TDMA. Asimismo, la dirección de barrido puede variarse con objeto de no establecer direcciones preferentes en la transmisión de información. De esta forma, en el caso mostrado en la figura 9.5, se podría barrer primero de oeste a este, regresando luego de este a oeste, y después barrer de sur a norte para regresar finalmente de norte a sur. Normalmente, la secuencia de barridos que se va a repetir indefinidamente (hasta llegar a la convergencia) se denomina iteración. Así, por ejemplo, en el caso bidimensional de la figura 9.5, cada iteración estaría compuesta por cuatro barridos, los dos horizontales y los dos verticales, para proporcionar una estimación de las variables lo más equilibrada posible.

9.2.3. Método plano-a-plano (TDMA 3-D) En el caso de problemas tridimensionales, el método TDMA se aplica línea-a-línea dentro de un determinado plano, para luego avanzar hacia el siguiente plano, barriendo finalmente todo el dominio tridimensional plano-a-plano. Como en el caso anterior, se reescribe la ecuación en cada celda i-ésima perteneciendo a una línea j-ésima dentro del plano k-ésimo del dominio. Es decir: AE (i, j, k ) φi+1, j ,k + AP (i, j, k) φi , j ,k + AW (i, j, k ) φi−1, j ,k =

[9.16]

= AN (i, j, k ) φi*, j+1,k + AS (i, j, k ) φi*, j−1,k + AT (i, j, k ) φi*, j ,k+1 + AB (i, j, k ) φi*, j ,k−1 + bi , j ,k

donde se debe seguir un almacenamiento con matrices tridimensionales similar al mostrado en el apartado 9.1.2. En la ecuación 9.16, los valores del norte y del sur (dentro del plano), así como los valores arriba y abajo (fuera del plano), en el segundo miembro de la ecuación se suponen conocidos. Los barridos en mallas tridimensionales también se deben alternar, especialmente porque en el caso de flujos complejos, con zonas de recirculación o rotaciones importantes, la dirección preferente del flujo es desconocida a priori. Así, una iteración tridimensional estaría compuesta por un barrido de ida y vuelta según la dirección i, otro barrido de ida y vuelta según la dirección j y otro final según la

9.3 Métodos iterativos Jacobi y Gauss-Seidel

dirección k. Es buena estrategia ir rotando el orden de los sentidos así como el orden de las direcciones de iteración en iteración para optimizar los flujos de información.

Arrib

Sur

te

b

ar

ri

d

o

s Oe

a

W

P

S*

i=1 z

y x

2 3 ...

Ny

N* E

J

...

I No

rte

Nx

j=1

2

3

Abaj

o

te

Es

Figura 9.6 Aplicación iterativa del algoritmo TDMA plano a plano (adaptado de Versteeg y Malalasekera, 2007).

9.3

Métodos iterativos Jacobi y Gauss-Seidel

Las matrices de coeficientes para mallados no estructurados no permiten, evidentemente, la utilización de procedimientos línea-a-línea. Por lo tanto, no cabe otra alternativa que utilizar métodos de actualización de las variables mucho más generales. Los métodos más simples de actualización son los de Jacobi y Gauss-Seidel. En ambos casos las celdas se visitan secuencialmente actualizando el valor de la celda i-ésima según: A (i, i ) φi = bi −

∑ A (i, j ) φc.v.

[9.17]

j=c .v .

donde el sumatorio comprende todas las celdas vecinas a la i-ésima. Nótese que al no poder ordenar las celdas según ninguna dirección preferente, éstas se deben enume-

231

232 Capítulo 9 Métodos iterativos de resolución rar de forma correlativa, según un índice sencillo que va desde uno hasta el número total de celdas N (esto es, la matriz de coeficientes tiene dimensiones N × N). Supuestos conocidos los valores de la variable en las celdas vecinas, tras despejar la ecuación 9.17, se obtiene directamente el valor buscado φi. Los dos métodos se diferencian en los valores de las celdas vecinas que se utilizan para despejar φi. Así, en el método de Jacobi, todos los valores previos de φi se utilizan para el sumatorio de las contribuciones vecinas, mientras que en el método de Gauss-Seidel, los valores de φi ya actualizados se aprovechan en la iteración en curso, utilizando valores previos sólo cuando los nuevos no están disponibles. En general, el método de Gauss-Seidel presenta una mejor convergencia por lo que suele ser el más utilizado en caso de mallas no estructuradas (aunque el de Jacobi se emplea para el caso de cálculo en paralelo). Al igual que en el caso del algoritmo TDMA línea-a-línea, el orden en que se visitan las celdas se invierte en el siguiente barrido con el objetivo de evitar condicionamientos direccionales en la transmisión de información.

9.3.1. Métodos iterativos generales El principio general de todo método iterativo se basa en que, dada una solución aproximada [φ]k, se busca encontrar una mejor aproximación [φ]k+1, mediante un proceso que, repetido sucesivamente, permita alcanzar la solución exacta φ. Complementariamente, se define el error en la iteración k-ésima como: [e]k = [ φ] − [ φ]k

[9.18]

Por supuesto, como la solución exacta no es conocida, no es posible determinar el error en cada iteración. Sin embargo, es posible comprobar cuánto se aleja la solución actual de cumplir estrictamente el sistema de ecuaciones a resolver utilizando un residuo, definido como: [r ]k = [b] − [ A][ φ]k

[9.19]

Según el residuo vaya tendiendo a cero, esto querrá decir que la solución aproximada tiende hacia la solución exacta. Ahora, sustituyendo [b] en la ecuación 9.19 según la definición 9.1, se puede expresar que [r ]k = [ A]([ φ] − [ φ]k )

[9.20]

A partir de la definición 9.18 se obtiene al final: [ A][e]k = [r ]k

[9.21]

9.3 Métodos iterativos Jacobi y Gauss-Seidel

por lo que el error también satisface el mismo sistema de ecuaciones que la solución, aunque con el vector de residuos [r] como término independiente en lugar del vector fuente [b]. Esta es una importante propiedad que se empleará más adelante para definir esquemas de resolución multigrid. Supóngase ahora que la matriz de coeficientes [A] se expresa como resta de dos matrices según [ A] = [ M ] − [N ]. Sustituyendo esto en 9.1, se obtiene que ([ M] −[N ])[ φ] = [b], o lo que es igual [ M ][ φ] = [N ][ φ] + [b]. Con este sencillo artificio se consigue formular la ecuación 9.1 de forma iterativa general: basta con asociar el término en [φ] del primer miembro de la ecuación con el valor en la iteración k+1 y el término del segundo miembro con el valor anterior k. De esta forma se establece que [ M ][ φ]k +1 = ([ M ] − [ A])[ φ]k + [b], donde se ha sustituido nuevamente que [N ] = [ M] − [ A]. Finalmente, multiplicando por la inversa de [M] se llega a: [ φ]k +1 = ([ I ] − [ M − 1 ][ A])[ φ]k + [ M − 1 ][b]

[9.22]

donde [ I ] − [ M − 1 ][ A ], denominada como matriz de iteración, se la denota como [G]. Además, introduciendo en la ecuación 9.22 que, según 9.19, [b] = [r ]k + [ A ][ φ]k , se acaba estableciendo que: [ φ]k +1 = [ φ]k + [ M − 1 ][r ]k

[9.23]

La ecuación 9.23 determina la relación entre la solución aproximada en una iteración y la siguiente. También es posible obtener una relación para los errores cometidos entre dos iteraciones consecutivas. Para ello, basta con restar el valor de la solución en los dos miembros de la ecuación 9.23, resultando: [ φ] − [ φ]k+1 = [ φ] − [ φ]k − [ M−1 ][r ]k k +1

[e ]

[9.24]

k

[e ]

Ahora, introduciendo 9.21 en esta última expresión, y sacando el error [e]k como factor común, se llega a: [e]k+1 = ([I ] − [ M−1 ][ A])[e]k = [G][e]k

[9.25]

De la expresión 9.25 se obtiene inmediatamente que el error en cualquier iteración n está relacionado con el error inicial por: [e]n = [Gn ][e]0

[9.26]

Es evidente que conforme n → ∞, [e]n debe tender a cero para que el proceso iterativo converja. La ecuación 9.26 establece implícitamente una condición necesaria

233

234 Capítulo 9 Métodos iterativos de resolución para que se satisfaga la convergencia. Tomando normas, y aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, la anterior ecuación se transforma en: n

[e]n = [Gn ][e]0 ≤ [G] ⋅ [e]0

[9.27]

de lo que se deduce que, para [e]n → 0 cuando n → ∞, [G] < 1. La separación genérica de la matriz de coeficientes [A] en dos matrices [M] y [N] permite cualquier combinación. Sin embargo, existe una descomposición natural, o más bien inspirada en el algoritmo tridiagonal, que divide la matriz [A] en su parte diagonal, [D], así como en sus partes triangulares estrictamente superior e inferior, [L] y [D] respectivamente, de forma que se cumple: [ A] = [D] − [L] − [U ]

[9.28]

A partir de 9.28, se diferencia: c

c

En el método de Jacobi, se establece que [ M ] = [D] y que [N ] = ([L] − [U ]) , pudiendo demostrarse que la matriz de iteración es [G] = [D−1 ]([L] + [U ]) . En el método de Gauss-Seidel, se establece que [ M ] = ([D] − [L]) y que [N ] = [U ], −1 pudiendo demostrarse que la matriz de iteración es [G] = ([D] − [L]) [U ].

9.3.2. Convergencia de los métodos iterativos Aunque los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel son muy sencillos de implementar y válidos para cualquier tipo de matriz, su utilización en la práctica se ve seriamente comprometida por su lentitud de convergencia. Típicamente, los residuos se reducen rápidamente en las primeras iteraciones, para luego frenarse y estancarse sin que se consiga reducir significativamente el error a partir de entonces, algo especialmente crítico en el caso de grandes matrices. Para ilustrar este comportamiento, se va a considerar la ecuación difusiva pura unidimensional sin términos fuente. Esta ecuación, adoptando un valor Γ = 1, se corresponde con la ecuación de Laplace, es decir: ∂2 φ ∂x 2

=0

Dicha ecuación se va a resolver para el dominio [0, L] en el que además se proporcionan las siguientes condiciones de contorno: φ(0) = 0 y φ(L) = 0. Con tales restricciones, es evidente que la solución analítica de la ecuación de Laplace es cero en todo el dominio, esto es: φ(x) = 0.

9.3 Métodos iterativos Jacobi y Gauss-Seidel

La discretización de esta ecuación ya se abordó en el capítulo 5 (v. apartado 5.1.1). Adoptando un mallado equiespaciado formado por N nodos, de forma que la distancia entre celdas es ∆x = L/N, y reescribiendo las ecuaciones 5.7 y 5.8 con la notación en subíndices numéricos, se obtiene para los nodos interiores: −

1 2 1 φi−1 + φi − φ =0 ∆x ∆x ∆x i+1

[9.29]

En los nodos de la frontera, la ecuación 9.29 se modifica según 5.17 (en su correspondiente expresión unidimensional) para introducir el valor de las condiciones de contorno de Dirichlet. Puesto que la distancia del primero (1) y el último nodo (N) a las fronteras es ∆x/2, es inmediato establecer que para esos extremos: 2 φ(0) 2 φ(L) 3 1 1 3 y − φ1 − φ2 = φN −1 + φN = ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x

[9.30]

De esta forma, el sistema lineal a resolver de forma matricial es:

⎡ 3 −1 0 ⎢ ⎢−1 2 −1 ⎢ 0 −1 2 ⎢ ⎢ ... ... ... ⎢0 0 0 ⎢ 0 0 ⎢0 ⎢0 0 0 ⎣

0 ⎤⎡ φ1 ⎤ ⎡ 2 φ(0) ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥⎢ φ2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 ⎥⎢ φ3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ... ⎥⎢ ... ⎥=⎢ ... ⎥ ... 2 −1 0 ⎥⎢ φN −2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ... −1 2 −1⎥⎢ φN −1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ... 0 −1 3 ⎥ ⎦⎣ φN ⎦ ⎣ 2 φ(L) ⎦

... ... ... ...

0 0 0 ...

0 0 0 ...

[9.31]

El comportamiento de los esquemas iterativos se estudia suponiendo una serie de valores iniciales arbitrarios y viendo luego cómo evoluciona el error en las sucesivas iteraciones. Nótese que al haber tomado como solución exacta el valor cero en todo el dominio, el valor del error en cada iteración es directamente el propio valor de φ. Como soluciones iniciales se proponen distribuciones de Fourier del tipo φi = sen (mπxi L) , donde m representa el número de onda o modo de Fourier. En la figura 9.7 se representan varios modos de Fourier sobre el dominio unidimensional (para N = 64). Nótese que para valores bajos de m, se obtienen oscilaciones suaves, mientras que para valores altos (altas frecuencias) los perfiles son muy oscilatorios. Utilizando como solución inicial los modos de Fourier de la figura 9.7, correspondientes a m = 1, 2 y 8, se aplica el algoritmo de Gauss-Seidel durante 50 iteraciones sobre el sistema de ecuaciones 9.31 con N = 64. Para observar la velocidad de

235

236 Capítulo 9 Métodos iterativos de resolución 1

m=8

m=2 0,5

m=1 φ

0

–0,5

–1 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

x/L Figura 9.7 Modos de Fourier (m = 1, 2, 8) sobre malla unidimensional de 64 nodos (adaptado de Mathur y Murthy, 2001-2011).

convergencia, esto es, la rapidez con la que al iterar los modos de Fourier de partida se van aproximando a cero, se muestra para cada iteración el valor máximo de φi, que coincide también con el máximo error. Los resultados se muestran en la figura 9.8(a). Además, como es lógico que la suposición inicial pueda contener más de un modo de Fourier, también se analiza un caso en el que se superpongan varios modos. En este caso, se muestran los resultados para la combinación lineal de los ⎤ modos 2, 8 y 16 según: φi =⎡ ⎣ sen (2 πxi L ) + sen (8 πxi L ) + sen (16 πxi L )⎦ 3. A la vista de los resultados, es evidente que las altas oscilaciones (modos superiores de Fourier) son rápidamente amortiguadas al presentar una rápida convergencia, mientras que las frecuencias bajas son muy persistentes, casi insensibles al proceso iterativo, por lo que los residuos se estancan pronto. En el caso de modos combinados, se muestra una reducción rápida, asociada a los modos altos, que progresivamente se ralentiza debido a la deceleración impuesta por los modos bajos. Una forma alternativa de observar este comportamiento se obtiene dibujando cómo son las soluciones en cada caso después de un número determinado de iteraciones. Esto se ha representado en la figura 9.9, que compara la evolución desde la solución inicial hasta la solución tras diez iteraciones para los casos con m = 2, m = 8 y con modos combinados. Efectivamente, la amplitud en los casos con bajo número de onda apenas se ve reducido tras diez iteraciones (gráfico a), mientras que para frecuencias altas sí que se elimina el error casi en su totalidad (gráfico b). Para el caso combinado, es interesante observar cómo las frecuencias altas son prácticamente eliminadas, conservándose el error para números de onda bajos.

9.3 Métodos iterativos Jacobi y Gauss-Seidel

1 m=1

0,8 0,6

m=2

0,4

0

0,6

0,2 m=8

0

10

20

30

N = 64

0,4

m = 2, 8 y 16

0,2

N = 128

0,8

Error máximo

Error máximo

1

40

0

50

N = 32 0

10

N.º de iteraciones (a)

20

30

40

50

N.º de iteraciones (b)

Figura 9.8 Convergencia del método Gauss-Seidel (adaptado de Mathur y Murthy, 2001-2011). (a) En función del modo de Fourier. (b) En función de la densidad de malla.

En la figura 9.8(b) también se incluye la influencia del tamaño de malla en la eliminación de los errores para las frecuencias bajas (los modos más desfavorables), por ejemplo m = 2. En este caso se han comparado, tras 50 iteraciones, las evoluciones del error cuando se resuelve el problema con N = 32, 64 o 128 nodos. Los resultados indican que la rapidez de la convergencia se deteriora al refinar el mallado. Es evidente que al usar mallas más finas se pueden resolver más modos superiores (al menos la longitud de onda mínima debe ser del doble del tamaño entre nodos), pero los modos más pequeños correspondientes a frecuencias bajas están aún más suavizados (más puntos por ciclo de oscilación) y por esa razón su convergencia se deteriora aún más. Esto es, cuanto más abrupta es la oscilación mejor será la convergencia, mientras que para modos muy suavizados (algo que además se incrementa en el caso de mallas muy finas) la convergencia se resiente seriamente.

1 0,5 φ

1

0,5

Final

φ

0

–0,5 –1 0

Inicial

1

Inicial

0,5

φ

Final

0

–0,5

0,2

0,4 0,6 x/L (a)

0,8

1

–1 0

Inicial

0

Final

–0,5

0, 2

0, 4

0, 6

x/L (b)

0, 8

1

–1 0

0,2

0,4

0,6

x/L (c)

0,8

1

Figura 9.9 Comparativa de soluciones inicial y final tras diez iteraciones con el método de GaussSeidel (adaptado de Mathur y Murthy, 2001-2011). (a) Caso m = 2. (b) Caso m = 8. (c) Caso de modos combinados.

237

238 Capítulo 9 Métodos iterativos de resolución 9.3.3. Análisis de los métodos iterativos Para el caso de sistemas lineales sencillos, como el planteado en 9.31, así como para esquemas iterativos básicos, como el método de Jacobi, es posible analizar el comportamiento de la convergencia analíticamente. Aunque no se describirán todos los detalles formales, sí que se pretende mostrar las principales características que condicionan la eficiencia del proceso iterativo. A partir de la ecuación 9.27, se ha demostrado que para que el error disminuya con las iteraciones es necesario que la norma de la matriz iteración [G] sea menor que 1. Matemáticamente, se puede demostrar que esto es equivalente a formular que el valor absoluto del mayor autovalor de dicha matriz sea menor que la unidad. Parece lógico que la velocidad de convergencia dependa de lo pequeño que sea este valor, de modo que si el autovalor de referencia es próximo a cero la convergencia será rápida mientras que si el autovalor es cercano a uno entonces el proceso iterativo convergerá muy lentamente. En el método de Jacobi la matriz de iteración [G] adopta la expresión [D–1]([L]+[U]). Identificando en la matriz 9.31 las diferentes componentes diagonales, [D], [L] y [U], es posible calcular la matriz [G] para la ecuación de Laplace unidimensional que hemos estado analizando. Con un poco de álgebra, se obtiene: ⎡ 0 13 0 ⎢ ⎢1 2 0 1 2 ⎢ 0 12 0 ⎢ G =⎢ ... ... ... ⎢ 0 0 0 ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎢ 0 0 0 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ... 0 1 2 0 ⎥ ⎥ ... 1 2 0 1 2 ⎥ ... 0 1 3 0 ⎥ ⎦ ... ... ... ...

0 0 0 ...

0 0 0 ...

0 0 0 ...

[9.32]

Por simplicidad, se supone que todos los términos en [G] valen 1/2, puesto que se puede demostrar que ambas matrices tienen similares características para la convergencia. Los autovalores en 9.32 se obtienen planteando que G − λI = 0, de forma que su resolución proporciona la expresión analítica: ⎛ mπ ⎞ λm = 1 − sen2⎜ ⎟ ; m = 1,2,..., N ⎝ 2N ⎠

[9.33]

Los autovectores de la matriz de iteración, wm, resultan ser iguales a los modos de Fourier que se emplearon en el apartado anterior. La componente i-ésima del autovector asociado con el autovalor λm viene dada por: ⎛ imπ ⎞ wm,i = sen⎜ ⎟ ; i = 1,2,..., N ⎝ N ⎠

[9.34]

9.4 Métodos multigrid

Ahora, si el error inicial se descompone como suma de modos de Fourier, es posible reescribirlo en función de estos autovectores como: N

[e]0 = ∑ αmwm

[9.35]

m=1

expresión que, sustituida en 9.26, termina por establecer: N

[e]n = ∑ αm λnmwm

[9.36]

m=1

La ecuación 9.36 concluye, por tanto, que el modo m-ésimo del error inicial se reduce en el proceso iterativo por el factor λnm . Además, observamos en la ecuación 9.33 que el mayor autovalor se tiene para el caso m = 1, confirmando que efectivamente los modos más bajos con menores frecuencias son los más lentos en converger. Además, la magnitud del mayor autovalor también aumenta si el número de total de nodos N se incrementa, confirmando el hecho de que la convergencia en mallados más bastos es más rápida. Aunque se ha analizado únicamente un caso unidimensional cartesiano muy sencillo, las conclusiones generales que se han obtenido son válidas para cualquier otra situación multidimensional, incluso con mallas no estructuradas.

9.4

Métodos multigrid

Como se ha visto anteriormente, la razón de la convergencia lenta en el método de Gauss-Seidel se debe a que el método sólo es eficaz eliminando frecuencias altas. Para los modos de Fourier más pequeños se observó que éstos son más oscilatorios cuanto más basto es el mallado, por lo que la eliminación de errores a baja frecuencia mejora cuanto menor es el número de celdas. Estas consideraciones parecen indicar que la convergencia podría acelerarse si de alguna forma se pudiera hacer uso de mallas menos refinadas en el proceso iterativo. La estrategia más sencilla para incorporar mallas bastas en el proceso iterativo parece bastante obvia. Se trataría de resolver las ecuaciones de transporte inicialmente sobre una malla con pocas celdas para luego, una vez obtenida dicha solución, interpolarla al mallado fino. Evidentemente, la solución interpolada no va a satisfacer las ecuaciones discretizadas sobre la malla fina, pero sí supondría una buena solución inicial,

239

240 Capítulo 9 Métodos iterativos de resolución mucho mejor que cualquier otra inicialización arbitraria que pudiera hacerse. Además, este procedimiento podría repetirse recursivamente sobre mallas intermedias cada vez más finas (varios niveles de densidad de malla) hasta llegar al mallado final. El problema de esta estrategia, conocida como iteración anidada, es que obliga a resolver el sistema de ecuaciones en todos los mallados utilizados, cuando en realidad sólo interesa la solución del mallado final. De todas formas, la solución en las mallas más bastas puede ser muy inapropiada, resultando ser una mala solución de partida para mallas más finas, e incluso podrían aparecer errores de baja frecuencia en las mallas finas ralentizando todo el proceso.

9.4.1. Corrección mediante malla basta Afortunadamente, se puede plantear una estrategia mucho más eficiente, conocida como de corrección por malla basta (coarse grid correction), que se basa en el sistema de ecuaciones a resolver para el error, expresión 9.21, y que permite ir trasladando el error de mallas bastas a mallas más finas reduciéndolo progresivamente. La idea de fondo es la siguiente: supóngase que tras un número de iteraciones en la malla fina de partida se obtiene una solución φ para el sistema original [A][φ] = [b]. Dicha solución permite conocer el valor del residuo en ese momento: [r] = [b]−[A][φ]. Aunque se desconoce cuál es el error con respecto a la solución exacta (ecuación 9.18), sí se tiene certeza de que el error ya se encuentra muy suavizado y que, por tanto, su reducción quedará estancada. Ahora bien, es de esperar que si dicho error se resolviese, según [A][e] = [r], en un mallado más basto, éste tendría un comportamiento más oscilatorio (menos nodos representan el error) y por tanto la convergencia se aceleraría. Finalmente, obtenida una buena estimación del error en la malla gruesa, ésta se trasladaría al mallado fino para corregir la solución (v. figura 9.10). Evidentemente, en el mallado más grueso también se tienen componentes del error a bajas frecuencias que comprometen la velocidad de convergencia. Ahora bien, puesto que en dicho mallado se trata de resolver el sistema lineal [A][e] = [r], no hay impedimento para aplicar de nuevo la misma estrategia que se utilizó en el mallado fino. Es decir, ver este paso como la resolución de un nuevo problema lineal, para el que vamos a resolver su error en una malla aún más basta. Evidentemente, este proceso se puede ir aplicando de forma recursiva sobre mallas cada vez más bastas, hasta llegar a una malla final con apenas unas pocas celdas, en la que se puede resolver el sistema utilizando un método analítico directo. Para completar la definición de este método falta por definir (i) cómo se resuelve el sistema de ecuaciones para el error, [A][e] = [r], en un mallado más grueso y (ii) cómo se traslada luego esa estimación más adecuada a la malla fina para corregir la solución. A continuación se muestran varias posibilidades utilizadas en la mayoría de los programas comerciales.

9.4 Métodos multigrid

(l) (l) (l) Relajar [A] [φ] = [b]

(para k iteraciones)

Corregir [φ](l) = [ φ](l) + [e](l)

Nivel l (fino)

Calcular [r](l),k = [b](l) – [A](l) [φ](l),k

Prolongar [e](l) = [I](l(l)+ 1)[φ](l+ 1)

Restringir [b](l+ 1) = [I](l)(l+ 1) [r](l)

Resolver [A]

(l + 1)

[φ]

(l + 1)

= [b]

l +( 1)

Nivel l+1 (basto)

Algoritmo de corrección por mallado basto.

Figura 9.10

9.4.2. Multigrid geométrico (GMG) La opción geométrica utiliza la propia topología de la malla para ir agrupando las celdas en mallas cada vez más bastas. La figura 9.11 muestra dos posibilidades para la agrupación de las mallas: una reducción en forma anidada, que presenta el inconveniente de generar celdas incoherentes para los mallados más bastos (véase nivel l = 2), o una reducción independiente, que complica la transmisión de información entre mallados al no presentar caras comunes entre las celdas de dos mallados consecutivos. Reducción de malla en forma anidada

l=0

l=1

l=2

Reducción de malla de forma independiente

l=0

l=1

l=2

Figura 9.11 Reducción de malla según un multigrid geométrico (adaptado de Mathur y Murthy, 2001-2011).

241

242 Capítulo 9 Métodos iterativos de resolución La utilización de este método en el caso de mallas no estructuradas, tanto bidimensionales como tridimensionales, es compleja debido a que se necesitan interpolaciones multidimensionales para transferir la información entre los mallados. Por el contrario, para el caso de mallas cartesianas, su formulación es más sencilla, merced a la simplicidad topológica de partida. De esta forma, se va a detallar a continuación su uso para el caso unidimensional de la figura 9.12. Para distinguir los vectores y las matrices que se usan en cada uno de los mallados (fino y grueso), se introduce el superíndice (l), empezando con l = 0 para el mallado fino. Para los mallados más bastos se va aumentando el superíndice progresivamente. Así, en el ejemplo de la figura 9.12, se han definido dos mallados: el fino con l = 0 y otro grueso con l = 1 que se ha obtenido uniendo las celdas originales por parejas. El mallado resultante, con N/2 celdas, es similar al inicial pero con un ancho de celda igual a 2∆x. De forma general, el problema a resolver para la malla en el nivel l viene determinado por: [ A]( l )[ φ]( l ) = [b]( l )

[9.37]

con lo que el residuo tras un número k de iteraciones se calcularía como: ( l ),k

[r ]

= [b]( l ) − [ A](l )[ φ]( l ),k

[9.38]

Ya sabemos cómo se discretiza y se itera para el nivel de mallado más fino de N celdas (l = 0) y cómo se determina el residuo [r](0) tras k iteraciones. Para mallas más groseras (l > 0), el vector de incógnitas [φ](l) representa la estimación del error en el nivel (l − 1) y el vector fuente [b](l) debe basarse de alguna forma en los residuos del nivel precedente, [r](l – 1). Retomando entonces el ejemplo de la figura 9.12,

Δx 1

Prolongación

2

1/4

1

3

4

5

6

7

8

Restricción

3/4

2

3

4

2 Δx Figura 9.12

Mallado fino (nivel l = 0)

Corrección de malla gruesa para un dominio unidimensional.

Mallado grueso (nivel l = 1)

9.4 Métodos multigrid

donde los centroides de las celdas bastas están alineados con las caras de las celdas finas, se puede extrapolar el término fuente para el nivel superior como: bi(l+1) =

1 (l ) r2i−1 + r2(il ) ) ( 2

[9.39]

Esta operación de trasladar el valor residual desde un mallado fino a uno grueso se denomina restricción. De forma general, se define el operador de la transformación, [Ι]((ll +) 1) , como: 1) (l ) [b](l+1) = [Ι]((ll+ ) [r ]

[9.40]

Para el ejemplo equiespaciado de la figura 9.12 se utiliza como operador un sencillo promedio aritmético (el valor en el nodo grueso 3 se obtiene como promedio de los valores en los nodos finos 5 y 6). En mallas más complejas será necesario utilizar algún tipo de operador de interpolación más general. Una vez situados en el nivel basto, se debe proceder a resolver un nuevo sistema lineal genérico (ecuación 9.37). Dado que se pretende resolver el error heredado de la malla fina en la malla gruesa, parece lógico utilizar como solución inicial que dicho error sea cero (vimos antes que resolver errores en mallas cada vez más bastas lo hacía tender a cero). A partir de aquí, se resuelve en el nivel basto para obtener la estimación del error para el nivel fino. Finalmente, se debe transferir de nuevo la corrección desde el mallado basto al fino mediante un nuevo operador, denominado prolongación y denotado como [Ι](( ll )+1) . La corrección de la solución en el nivel fino vendrá dada por: (l +1) ) [ φ](l ) = [ φ](l ) + [Ι]((ll+ 1)[ φ]

[9.41]

En el ejemplo de la figura 9.12, se definiría de forma sencilla la prolongación como la interpolación lineal entre los nodos adyacentes del mallado basto, es decir: 1 (1) ⎞ (0) ⎛ 3 (1) φ(0) 2 = φ2 +⎜ φ1 + φ2 ⎟ ⎝4 ⎠ 4

[9.42]

La técnica de multigrid geométrico es relativamente fácil de implementar en mallados cartesianos. Sin embargo, en mallas no estructuradas y tridimensionales, los operadores restricción y prolongación se vuelven extremadamente complejos por la necesidad de aplicar interpolaciones multidimensionales. Por esta razón, se han desarrollado métodos alternativos para generar mallas bastas que no dependan ni de la geometría ni de la malla empleada como, por ejemplo, el multigrid algebraico.

243

244 Capítulo 9 Métodos iterativos de resolución 9.4.3. Multigrid algebraico (AMG) Los fundamentos del método algebraico son los mismos que los descritos para el multigrid geométrico. Por el contrario, la gran diferencia es que, en este otro método, el nivel basto se obtiene directamente del sistema de ecuaciones del nivel fino, sin referencia alguna a la malla que lo sostiene. Así, en lugar de pensar en la reducción de la malla como una aglomeración de celdas contiguas en el mallado fino, se debe entender como una aglomeración de las propias ecuaciones en las celdas finas para establecer una ecuación resultante al nivel basto. Para avanzar en esta nueva idea, vamos a plantear la metodología algebraica en el ejemplo unidimensional anterior. Se denotan como i e i+1 a los índices de las ecuaciones del nivel cero que se quieren aglomerar para obtener la ecuación del nivel uno de subíndice l (por ejemplo, las ecuaciones de las celdas 1 y 2 del nivel 0 que se combinan para dar la ecuación de la celda 1 en el nivel 1). De forma general, la ecuación 9.21 aplicada en i e i+1 proporciona: (0) (0) (0) (0) (0) (0) Ai(0) ,i−1ei−1 + Ai ,i ei + Ai ,i +1ei +1 = ri

[9.43]

(0) (0) (0) (0) (0) (0) Ai(0) +1,i ei + Ai +1,i +1ei +1 + Ai +1,i +2 ei +2 = ri +1

Como siempre, la base de toda formulación multigrid es que los errores en el nivel l se estiman mediante las incógnitas planteadas para el nivel l+1. Así, aceptando que el error en la celdas precursoras i e i+1 es el mismo (obtenido de φ(1) ), se I (1) (0) (1) establece que ei(0) . Sustituyendo esto en la suma de las dos = φ y e = φ −1 I −1 i +2 I +1 ecuaciones en 9.43, se obtiene: (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) ⎡ (0) ⎤ (1) + ri(0) Ai(0) ,i−1 φI −1 +⎣ Ai ,i + Ai ,i +1 + Ai +1,i + Ai +1,i +1 ⎦φ I + Ai +1,i +2 φ I +1 = ri +1 aI−1

aI

aI +1

bI

[9.44]

Por lo tanto, los coeficientes de la matriz en el mallado basto se obtienen directamente como suma de los coeficientes de la malla fina, sin necesidad de hacer referencia a la malla o a la discretización. Del mismo modo, los términos fuente del mallado basto son la suma de los residuos de las celdas implicadas en la malla fina. Nótese cómo esta formulación es equivalente a haber usado una especie de sumatorio como operador restricción. Así mismo, con este esquema, el operador inverso prolongación se definiría directamente como una asignación (interpolación de orden cero). Estrategias genéricas de aglomeración

En el caso unidimensional la aglomeración algebraica se reduce a una sencilla combinación de las celdas i e i+1 para deducir las ecuaciones en el nivel basto. Nótese que estrategias similares son también de aplicación para mallas estructuradas bidimen-

9.4 Métodos multigrid

sionales y tridimensionales. Sin embargo, para mallas no estructuradas es necesario definir un criterio de aglomeración mucho más general. Una posibilidad muy eficiente es la de combinar celdas con celdas vecinas que compartan, en las ecuaciones algebraicas constitutivas, un coeficiente muy alto. De esta forma, se crean mallas bastas capaces de transferir información óptima, aprovechando las propias características físicas (que no topológicas) de la discretización, y que permiten acelerar la convergencia. Para implementar este procedimiento, hay que definir un coeficiente de refinado para cada celda del mallado de partida e inicializarlo a cero. También es preciso inicializar un contador de celdas bastas. A continuación se comienza a visitar las celdas (ecuaciones) del mallado inicial (fino) por orden y, en caso de que la celda visitada no haya sido ya agrupada (es decir, su coeficiente de refinado asociado es aún cero), se la agrupa junto con las n celdas vecinas que compartan el mayor coeficiente Ai,j. Acto seguido, se actualiza su coeficiente de refinado a uno y también se incrementa en una unidad el contador de celdas bastas. Con esta sencilla secuencia se van obteniendo los coeficientes de la matriz en el nivel basto. De forma genérica, sería: 1) AI(l,+ = J

∑ ∑ Ai(,lj)

[9.45]

i ∈GI j ∈GJ

donde GI hace referencia al conjunto de celdas del nivel fino que se aglomeran para formar la celda I-ésima del mallado basto. También, como se ha visto antes, el término fuente para las ecuaciones del mallado grueso se obtiene sumando los residuos de las celdas correspondientes del mallado fino. Esto es: bI(l+1) =

∑ ri(l )

[9.46]

i ∈G I

Las matrices en el nivel basto se almacenan utilizando los mismos tipos de estrategia que se mostraron en el subapartado 9.1.2. Conviene indicar que el comportamiento óptimo del multigrid algebraico se consigue normalmente para n = 2, esto es, cuando la malla basta tiene aproximadamente la mitad de celdas que el mallado fino. Se demuestra fácilmente que, reduciendo la malla de forma recursiva hasta que el último nivel presenta únicamente 2 o 3 celdas, la memoria total que se necesita para almacenar todos los niveles superiores es aproximadamente igual a la requerida por el mallado fino. Si se denota con N al número total de celdas de la malla original, la suma de las celdas de los subsiguientes mallados será N/2 + N/4 + N/8 + … + N/2L, siendo L el número total de multigrids recursivos utilizados. Es inmediato comprobar que:

(N

L

2 + N 4 + N 8 + ... + N 2L ) = N ∑ i=1

1 2i

⎛ L 1⎞ ⇒ lim⎜ N∑ i⎟ ⎟= N L →∞⎜ ⎝ i=1 2 ⎠

[9.47]

245

246 Capítulo 9 Métodos iterativos de resolución Los sistemas lineales resultantes en la mayoría de las aplicaciones CFD suelen ser muy rígidos. Esta rigidez es consecuencia de múltiples factores: mallas muy deformadas, excesivas relaciones de aspecto, disparidad en los coeficientes de transporte, etc. La utilización del multigrid algebraico alivia estas rigideces al utilizar una estrategia de aglomeración fundamentada en los propios fenómenos físicos que rigen el flujo. En la figura 9.13 se muestra un ejemplo para la conducción difusiva pura en una placa con una zona interior de alta conductividad y otra zona exterior muy adiabática. Nótese cómo la apropiada elección del multigrid recupera esta restricción para el nivel final (nivel 8).

Nivel 0

Nivel 2

Nivel 4

Nivel 6

Nivel 8

Figura 9.13 Multigrid algebraico en un dominio bidimensional para conducción de calor (adaptado de Mathur y Murthy, 2001-2011).

9.4.4. Estrategias cíclicas La gran ventaja de los métodos multigrid es que aceleran significativamente la convergencia mediante unos sencillos barridos con relajación sobre una secuencia recursiva de mallados bastos. Dado un mallado original (fino) con N celdas, el número total de niveles a definir en el multigrid para que el último mallado tenga únicamente dos o tres celdas (suponiendo que el factor óptimo de aglomeración es 2) se puede estimar con la siguiente expresión: L≈

log N −1 log 2

[9.48]

Así, para un mallado típico en las aplicaciones I-CFD actuales, con un millón de celdas, se obtendría que son necesarios del orden de 19 mallados recursivos para optimizar el multigrid. Evidentemente, con tal número de niveles, es preciso definir la forma en que se va pasando por toda la secuencia. De hecho, se emplean diferentes ciclos que, dada la naturaleza recursiva del método (figura 9.10), son muy fáciles de implementar. Los ciclos o estrategias cíclicas utilizadas en el multigrid se pueden clasificar en dos grandes grupos:

9.4 Métodos multigrid

c

Ciclos fijos, que repiten la misma secuencia de paso por todos los niveles.

c

Ciclos flexibles, que modifican la secuencia según sea conveniente.

Ciclos fijos

El ciclo fijo más sencillo es el conocido como ciclo en V (V-cycle), compuesto por una secuencia de ida y otra de vuelta (figura 9.14). En la ida, se comienza con la malla más fina, resolviendo con relajación para unas pocas iteraciones, y pasando a continuación al nivel inmediatamente superior. Se procede recursivamente hasta alcanzar el nivel más basto. Completada la resolución del mallado basto, se inicia la secuencia de subida usando la solución del nivel actual para corregir la solución del siguiente mallado refinado. Se resuelve nuevamente para unas pocas iteraciones y se vuelve a avanzar recursivamente hasta llegar al mallado de partida. El parámetro más importante a definir en un ciclo en V es el número de iteraciones (o barridos) que se deben completar en cada nivel. En particular, se definen como V1 y V2 a ese número de barridos en los tramos de ida (del nivel fino al más basto) y vuelta (del basto al fino), respectivamente. Ambos no tienen por qué ser iguales; de hecho, en la mayoría de las aplicaciones se adopta que V1 = 0, mientras que para V2 siempre se fija un valor no nulo con objeto de asegurarse que la solución (y no el error, como pasa con V1) satisface las ecuaciones de constitución en el nivel actual. El ciclo se ilustra en el esquema de la figura 9.15, donde cada círculo representa los barridos con relajación, y los itinerarios con flechas indican operadores de prolongación o restricción. En el caso de sistemas lineales excesivamente rígidos, es posible que el ciclo en V no sea suficiente y se requerieran más iteraciones para poder resolverlos. En este tipo de situaciones se utiliza un método alternativo, conocido como ciclo en μ, que básicamente es un bucle recursivo que se emplea μ veces en cada nivel sucesivo. Habitualmente se utiliza la opción en la que μ = 2, resultando de esta forma el ciclo en W (W-cycle en la figura 9.15).

Niveles

l=0 l=1 l=2 l=3 Ciclo en V Figura 9.14

Ciclo en W

Diferentes ciclos para las secuencias de barrido.

Ciclo en F

247

248 Capítulo 9 Métodos iterativos de resolución Una pequeña variación al ciclo en W es el ciclo en F (F-cycle), que puede definirse como un ciclo fijo donde debe aplicarse la recursividad para un ciclo fijo y otro en V. Ciclos flexibles

Para sistemas lineales que no sean demasiado rígidos, no suele ser económico utilizar todos los niveles del multigrid según un patrón preestablecido. Para esas situaciones, se emplean ciclos flexibles en los que se introduce un indicador que permite decidir si se debe seguir barriendo en el nivel actual o se debe llevar la resolución al nivel superior. Normalmente, el indicador que se utiliza es el ratio entre los residuos de dos iteraciones consecutivas: si ese cociente es mayor que un determinado valor umbral, se entiende que la convergencia comienza a estancarse, y se transfiere el problema al siguiente nivel; por el contrario, si el cociente es menor que el valor de referencia, se continua barriendo hasta que se cumpla el criterio terminal. En cualquier caso, se utilicen ciclos fijos o ciclos flexibles, es imprescindible introducir un criterio final de corte para dar por finalizados los ciclos cuando se alcance (para la solución en el mallado fino) el nivel de convergencia requerido para el problema.

9.5

Reflexiones finales y conclusiones

En este capítulo se han presentado las diferentes aproximaciones que se utilizan para resolver los sistemas lineales de ecuaciones algebraicas que resultan de la discretización de las ecuaciones de gobierno. En concreto, se ha discutido que los únicos métodos viables para resolver problemas fluidodinámicos con CFD son los métodos iterativos. Entre los métodos iterativos, el algoritmo TDMA extendido para problemas bidimensionales y tridimensionales se puede utilizar eficientemente en el caso de mallas estructuradas. Para mallados no estructurados se deben emplear los métodos generales punto-a-punto de Jacobi o Gauss-Seidel, que presentan velocidades de convergencia muy bajas. Esto último es debido a que son capaces de reducir los errores de alta frecuencia rápidamente, pero se estancan a la hora de eliminar errores suavizados. Como consecuencia directa, también resultan ser inadecuados sobre mallas muy finas.

9.5 Reflexiones finales y conclusiones

Para acelerar estos métodos iterativos se utilizan preferiblemente esquemas multigrid algebraicos, que se basan en la utilización de soluciones del error en mallas más bastas para corregir la solución en la malla fina. Estos esquemas han demostrado sobradamente su capacidad para acelerar sustancialmente la convergencia de los sistemas lineales de ecuaciones, mostrando además excelentes prestaciones para gestionar mallados no estructurados.

249

10 MODELIZACIÓN DE LA TURBULENCIA La turbulencia es un fenómeno físico extremadamente complejo, caótico, cuyo análisis sólo tiene sentido desde un punto de vista estadístico. Su estudio riguroso se constituye casi en una disciplina científica propia, demasiado extensa para ser abordada en un breve capítulo. Sin embargo, como está presente en casi todos los fenómenos de la naturaleza, y por tanto en la mayoría de las aplicaciones de interés tecnológico, es imprescindible presentar aquí sus aspectos más relevantes. En este capítulo se describen brevemente sus características fundamentales y la inherente complejidad de su tratamiento experimental, analítico o numérico para, a continuación, detallar las diversas aproximaciones numéricas que permiten introducir su efecto en las ecuaciones de transporte. El objetivo final es dotar al lector de las herramientas necesarias para que decida sobre el modelo a utilizar en cada caso y sepa cuáles son las consecuencias (numéricas) asociadas a dicha elección. En particular, se analizan las distintas posibilidades que existen para tener en cuenta su efecto en la discretización numérica de las ecuaciones. Además, debido a que la turbulencia se manifiesta a escalas muy diversas, se verán cuáles son las restricciones espaciales y temporales asociadas a su modelización, en términos tanto de coste computacional (muy grande) como de precisión (muy necesaria).

252 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia

Contenidos 10.1. ¿Qué es la turbulencia? 10.1.1. La naturaleza de la turbulencia 10.1.2. La ubicuidad de la turbulencia 10.1.3. El origen de la turbulencia: inestabilidades 10.2. Escalas de la turbulencia: la cascada de energía 10.3. El problema del cierre de la turbulencia 10.4. Aproximaciones numéricas para el tratamiento de la turbulencia 10.4.1. Simulaciones directas (DNS) 10.4.2. Promediados de las ecuaciones (técnicas LES y modelos RANS) 10.5. “Large Eddy Simulation” (LES) 10.5.1. Filtrado espacial. Tipos de filtro 10.5.2. Tratamiento de las sub-escalas de malla 10.5.3. El problema de la pared: técnicas híbridas 10.5.4. Condiciones iniciales y de contorno 10.6. Modelos de turbulencia para las ecuaciones RANS 10.6.1. Filtrado temporal. Propiedades 10.6.2. Hipótesis de Boussinesq 10.6.3. Modelo de longitud de mezcla de 0 ecuaciones 10.6.4. Modelos de viscosidad artificial (“Eddy Viscosity Models”, EVM) 10.6.4.1. Modelo Spalart-Allmaras (S-A) 10.6.4.2. Modelo k-épsilon (k-ε) 10.6.4.3. Modelo k-omega (k-ω) 10.6.4.4. Otros modelos no lineales 10.6.5. Modelos de transporte de las tensiones de Reynolds (RSM) 10.6.6. El problema de la pared: tratamiento de la capa límite 10.7. Estrategias y buenas prácticas para la utilización de los modelos de turbulencia

Bibliografía de referencia: Los apartados 10.1, 10.4 y 10.5 han sido adaptados de Piomelli, U., "Large Eddy Simulations and Related Techniques", VKI Lecture Series, 2006. El apartado 10.6 relativo a modelos de turbulencia RANS se ha inspirado en FLUENT v6.3. "User´s guide", 2006.

10.1 ¿Qué es la turbulencia?

10.1 ¿Qué es la turbulencia? La turbulencia es un estado caótico e irregular del movimiento de un fluido que se establece a partir de la aparición de irregularidades en las condiciones iniciales o de contorno de la corriente fluida. Estas inestabilidades se amplifican y se retroalimentan de forma cíclica, creando vórtices (eddies) turbulentos que se crean y se destruyen. En sentido físico estricto, la turbulencia se manifiesta con la aparición de regiones coherentes de vorticidad, aunque en realidad su descripción es mucho más intuitiva a partir de sus características fundamentales. Así, aunque no es fácil definir exactamente qué es la turbulencia, todo el mundo tiene una noción intuitiva de lo que es: un movimiento fluctuante y desordenado. De hecho, el término turbulento forma parte del lenguaje cotidiano haciendo referencia al desorden y a la falta de uniformidad. Por lo tanto, parece acertado afirmar que la turbulencia es un estado caótico y aleatorio del flujo, en el que la velocidad y la presión oscilan instantáneamente a lo largo del tiempo. La turbulencia es una característica de los flujos, no de los fluidos como tales. Su aparición exige de la existencia de un fluido en movimiento, en el que los fenómenos de convección (inerciales) asociados a la velocidad sean varios órdenes de magnitud superiores a los efectos difusivos (disipativos) relacionados con la viscosidad del fluido. Esta relación es el conocido número de Reynolds que establece la frontera (aproximada) entre las condiciones de flujo laminar y flujo turbulento.

10.1.1. La naturaleza de la turbulencia Como decíamos, la dificultad para definir la turbulencia conduce a que sea más útil describir en detalle las características de su naturaleza. Las propiedades más destacables de los movimientos turbulentos son: c

Aleatoriedad. Es la característica más destacada de los flujos turbulentos. También definida como irregularidad, se manifiesta por la aparición de fluctuaciones de las variables fluidodinámicas (velocidad, presión, temperatura, concentración) con tamaños y tiempos muy dispares (diferentes escalas). Estas fluctuaciones instantáneas no estacionarias se desarrollan incluso en flujos estacionarios (promediados temporalmente), lo cual da idea de que las propiedades estadísticas de los flujos sí son invariantes. Por esta razón se utilizan métodos estadísticos para su estudio y predicción. Además, la existencia de escalas muy dispares hace que, aunque los flujos turbulentos parezcan caóticos e impredecibles, también se puedan encontrar estructuras coherentes (movimientos organizados) dentro de ese mar de irregularidades aleatorias. En este caso, su aleatoriedad se refiere a la localización exacta y a cuando se desarrollan.

253

254 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia c

Vorticidad. Es imprescindible que exista vorticidad para que un flujo pueda ser turbulento. De hecho, todo flujo turbulento es rotacional (∇ × v ≠ 0), con importantes niveles de vorticidad que fluctúan en el tiempo y en el espacio de forma coherente (estructuras o vórtices coherentes), y en los que la deformación de los vórtices supone la esencia de la dinámica de la turbulencia.

c

Difusividad (mixing). Los fenómenos turbulentos intensifican el transporte de masa, momento y energía, debido a las fluctuaciones en las diversas escalas turbulentas. En particular, las fluctuaciones a escalas macroscópicas producen efectos de mezcla similares a los de carácter molecular (puramente difusivos), si bien con longitudes de mezcla similares a las de los fenómenos convectivos.

Existen también otras particularidades para el flujo turbulento que conviene destacar, aunque no sean tan fundamentales como las anteriores. Por ejemplo: c

Tridimensionalidad. Las escalas más pequeñas de la turbulencia tienen un carácter muy isotrópico, lo cual implica la necesidad de tener flujo tridimensional. Las escalas más grandes, asociadas a las longitudes características del flujo analizado, pueden presentar un comportamiento bidimensional o plano, pero éste se va generalizando a tridimensional según se avanza en la cascada de energía (v. apartado 10.2).

c

Disipación. Los flujos turbulentos son siempre disipativos. Necesariamente han de disipar energía en las escalas más pequeñas, energía que se obtiene del flujo principal y que se va redistribuyendo en forma de cascada mediante procesos de deformación. Una vez desarrollado el flujo turbulento, la turbulencia tiende a mantenerse (se retroalimenta) mediante un aporte continuo de energía. Si no existe ese suministro de energía, la turbulencia decae rápidamente.

c

Altos números de Reynolds. La turbulencia se origina por inestabilidades en el flujo laminar. A partir de ciertos números de Reynolds, dependientes del tipo de aplicación, las irregularidades en las capas de cortadura se vuelven inestables, amplificándose y activando los mecanismos turbulentos. El flujo se desordena y deja de ser laminar.

Por tanto, la turbulencia es un fenómeno muy complejo y vortical, con escalas muy dispares que van desde el tamaño característico del flujo (un diámetro, una longitud típica del problema) hasta escalas disipativas muy pequeñas. Aun siendo pequeñas, estas escalas disipativas están lejos de las escalas de longitud molecular por lo que aún se pueden emplear las ecuaciones de la Mecánica de Fluidos para medio continuo. La dinámica de la turbulencia es función del flujo y, dada su naturaleza, requiere de varios niveles de aproximación para describirla. Por esta razón, no existe una “teoría de la turbulencia” de aplicación general, sino múltiples modelos creados específicamente para diferentes problemas, que se discuten a partir del apartado 10.4.

10.1 ¿Qué es la turbulencia?

Finalmente, para ilustrar todas estas ideas, en la figura 10.1 se muestra la evolución característica de la velocidad en un punto P por el que transcurre un flujo turbulento. El lector puede imaginar que dicha velocidad (gráfico de la izquierda) corresponde a la medida hecha detrás de un objeto en la región de la estela turbulenta, cuando el flujo ya está perfectamente establecido. Las líneas negra y gris corresponden a dos medidas de idéntica duración, en el mismo sitio y con mismo flujo incidente totalmente desarrollado. Efectivamente, a la vista de los resultados de la figura, podemos concluir que la traza de la velocidad reproduce las características ya descritas: c

La velocidad fluctúa aleatoriamente en el tiempo, con oscilaciones de diferente amplitud que responden a las diversas escalas de la turbulencia.

c

Por tanto, el campo instantáneo (variable u), es impredecible, puesto que cualquier mínima perturbación produce cambios en la velocidad en el instante inmediato.

Además, cada una de las dos medidas (líneas negra y gris) son diferentes, pero su valor medio es el mismo. Esto demuestra que las propiedades estadísticas del flujo turbulento son unívocas y de ahí el interés en resolver el problema de la turbulencia desde un punto de vista estadístico. Lo mismo ocurre con la fluctuación (gráfico 10.1b), elevada al cuadrado para poder calcular su media (la media de la fluctuación es por definición cero, al estar centrada en la propia media de la velocidad). La fluctuación cuadrática es distinta en ambas medidas, pero si se promedia el tiempo suficiente, el valor medio también es único, y converge hacia lo que se llama nivel de turbulencia, que mide la intensidad de las fluctuaciones.

33

u

30

27

24 0

Figura 10.1

2

4

Tiempo, [ms]

6

8

2 2 2 Fluctuación u´ , [m /s ]

Velocidad u, [m/s]

36

P

u‘ 2 u [%]

30

18

25

15

20

12

15

9

10

6

5

3

0 0

0

u’ 2

2

4

Tiempo, [ms]

6

8

(a) Traza de velocidad en flujo turbulento. (b). Nivel de turbulencia instantánea.

Nivel de turbulencia, [%]

u

255

256 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia 10.1.2. La ubicuidad de la turbulencia[1] El movimiento turbulento es el estado natural de la mayoría de los fluidos: el aire que respiramos al pasar por nuestra laringe, la convección natural del aire que nos rodea en una sala de cine, la hojarasca que se arremolina bajo un árbol del parque en una tarde otoñal o el humo que asciende por la chimenea cuando nos acurrucamos junto al fuego de la hoguera. También en el ámbito tecnológico prácticamente la totalidad de los flujos son turbulentos. Por ejemplo, el flujo que se establece en el interior de conductos, el flujo interno que intercambia energía con las turbomáquinas, la transmisión de calor en calderas y en cámaras de combustión o la aerodinámica externa en vehículos y aviones que los ingenieros necesitan conocer para realizar sus diseños. La turbulencia modifica significativamente parámetros como la resistencia a la fricción, la transmisión de calor o la capacidad de mezcla, por lo que su comprensión y caracterización es imprescindible. La turbulencia también se manifiesta a gran escala, en el patrón de corrientes de los océanos o en las condiciones atmosféricas de nuestro cielo. En la geofísica está involucrada en las corrientes convectivas que se establecen en el núcleo terrestre, responsables del mantenimiento del campo magnético de la tierra, y en la astrofísica permite entender los ciclos de las erupciones solares o cómo se arremolinan las galaxias en el corazón del universo. Es la naturaleza ubicua de la turbulencia, que la hace tan intrigante como imprescindible en nuestra concepción de la naturaleza y de la ciencia.

10.1.3. El origen de la turbulencia: inestabilidades Se dice que un fenómeno físico es estable cuando, ante pequeñas perturbaciones, éste permanece invariante, imperturbable en el tiempo. Una modificación razonablemente pequeña de las condiciones iniciales no altera significativamente la situación de equilibrio. Un flujo laminar es estable ante pequeñas perturbaciones cuando se satisfacen ciertas condiciones. Cuando esto no sucede, perturbaciones infinitesimales crecen espontáneamente y se amplifican modificando completamente el estado inicial. Estas perturbaciones generan nuevas perturbaciones, que a su vez producen nuevas perturbaciones en un proceso degenerativo que destruye la estructura original del flujo hasta establecer un flujo turbulento con multitud de escalas diferentes. Esta dinámica de la inestabilidad es el origen de la turbulencia y ocurre cuando el número de Reynolds es suficientemente grande. Una visión clásica: el experimento de Reynolds

La diferencia entre flujo laminar y turbulento fue establecida en 1883 por el científico y matemático británico Osborne Reynolds mediante un sencillo dispositivo 1. Adaptado de Davidson, P.A., Turbulence: An Introduction for Scientists and Engineers, 2004, Oxford University Press.

10.1 ¿Qué es la turbulencia?

que le permitió visualizar los dos tipos de flujo. En su experimento, inyectó un colorante en el seno de un líquido que circulaba por un largo tubo de sección circular constante. Reynolds observó que, para caudales "suficientemente pequeños", la estela del colorante permanecía como una línea bien definida a medida que éste fluía. Para caudales "intermedios", la estela del colorante fluctuaba en el tiempo, e incluso se observaban destellos intermitentes de comportamiento irregular. Por último, la estela del colorante se volvía borrosa casi de inmediato para caudales "suficientemente grandes" y se dispersaba por la tubería de forma aleatoria. Estas tres características son las que se denominan flujo laminar, flujo de transición y flujo turbulento. A partir de esta observación, Reynolds constató que la existencia de uno u otro tipo de flujo dependía del valor que tomase la agrupación adimensional de variables vD ν , función del diámetro del conducto, de la velocidad media del flujo y de la viscosidad cinemática del fluido. Este parámetro fue bautizado en su honor como número de Reynolds y en él se establece el balance entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas que actúan en el flujo. En todos los flujos existe un valor de este parámetro para el cual se produce la transición de flujo laminar a turbulento, denominado habitualmente como Reynolds crítico. Transición a la turbulencia

La transición a la turbulencia puede seguir diferentes mecanismos. En todos ellos, sin embargo, comienza en un punto de inestabilidad que inicia el proceso de amplificación de inestabilidades que desemboca en la estructura caótica final. Además, dicha inestabilidad suele estar relacionada con la presencia de un punto de inflexión en el perfil de velocidades que desencadena el proceso de formación de vórtices. En general, la transición queda asociada a la existencia de inestabilidades en la capa de cortadura del flujo (shear flow). Una capa de cortadura es una región de flujo en la que existen altos gradientes de velocidad. Las velocidades a ambos lados de la superficie de separación son muy diferentes, lo que da lugar a una interfaz muy fina donde la velocidad varía bruscamente. Estas capas aparecen tanto en flujos externos como internos; claros ejemplos son el flujo en una estela, un chorro o las capas límites sobre superficies (v. figura 10.2). La forma de la transición y el momento en que acontece dependen, por tanto, del tipo de flujo. En la tabla 10.1 se muestra el valor típico para el cual se inicia la transición en diversas situaciones. En el caso de estelas y chorros, se generan inestabilidades que producen enrollamiento de vórtices (v. figura 10.2) y estructuras vorticales muy tridimensionales. En el caso de capas límites sobre superficies o en el interior de tuberías, la transición se asocia a brotes de turbulencia que rápidamente se expanden y cubren todo el dominio.

257

258 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia Tabla 10.1 Valores típicos para inicio de transición turbulentaa. Flujo externo (a lo largo de una superficie)

Re x =

ρUx μ

≥ 5 ⋅ 10

Flujo externo (alrededor de un obstáculo)

5

Re D =

ρUD μ

≥ 2 ⋅ 10

4

Convección natural

Flujo interno

Re D = h

ρUDh μ

≥ 2300

9

Ra ≥ 10 Pr

a. El número de Rayleigh (Ra) es el número adimensional asociado con la transferencia de calor en el interior del fluido y que permite discriminar cuándo la transferencia de calor se produce principalmente por conducción o cuándo se produce principalmente por convección. Así mismo, el número de Prandtl (Pr) es el numero adimensional que compara la transferencia de calor producida por los efectos de arrastre del flujo (viscosidad) frente a los que se producen por la propia conductividad del fluido y que permite discernir cuál de ellos es dominante.

Flujos de cortadura: estelas, chorros, capas de mezcla y capas límite

Existen dos grandes grupos de flujos de cortadura: los libres, que ocurren lejos de la influencia de contornos sólidos y los de pared, desarrollados por efecto de paredes colindantes. Los tres ejemplos típicos de flujos de cortadura libres son las estelas, los chorros y las capas de mezcla (mixing layers). Las estelas se producen aguas abajo de un obstáculo inmerso en la corriente fluida, de forma que coexisten una región de fluido lenta rodeada de una región de fluido rápida (v. ejemplo en figura 10.1). En el caso de los chorros, típicamente se tiene un flujo a alta velocidad rodeado por un flujo prácticamente estacionario. De esta forma, es habitual que, por conveEnrollamiento (roll-up) de vórtices

capa de cortadura Ref. absoluta

Ref. relativa

Escalas pequeñas

Escalas grandes

Punto de inflexión

Figura 10.2 Transición en un chorro turbulento. (a) Inestabilidades en la capa de cortadura. (b) Visualización de un chorro turbulento (imagen cortesía de Fukushima y Westerweel): identificación de escalas.

10.2 Escalas de la turbulencia: la cascada de energía

niencia, en la bibliografía se analice las estelas como chorros negativos. La figura 10.2 muestra la estructura de un flujo turbulento de forma esquemática, comparada con una visualización experimental, en la que además se describen los mecanismos de inestabilidad que ponen en marcha la transición. Se observa claramente cómo el flujo turbulento contiene un gran espectro de escalas vorticales: escalas grandes, comparables con el diámetro característico del chorro, coexisten junto con vórtices pequeños. Es importante observar las irregularidades de la zona de cortadura que, al enrollarse, arrastran fluido de los alrededores y permiten al chorro expandirse en la dirección del movimiento. Las capas de mezcla, en un mecanismo análogo al de los chorros, forman una interfaz con dos regiones, una rápida y una lenta, que progresivamente se enrolla y se degenera según la inestabilidad de Kevin-Helmholtz, formando vórtices en la dirección del movimiento que aumentan cada vez más el espesor de la capa. Finalmente, los flujos cercanos a la pared están caracterizados por la capa límite. Los casos más simples son los de un flujo sobre una placa plana, el flujo en un conducto circular o el flujo en canal entre placas planas. Todos ellos presentan características similares en la estructura de la capa límite. Los detalles de la misma se han discutido con detalle en el capítulo 8, apartado 8.3.3.

Capa límite turbulenta Figura 10.3

Chorro turbulento

Estela turbulenta

Flujos de cortadura.

10.2 Escalas de la turbulencia: la cascada de energía Ya sabemos que la turbulencia contiene un amplio espectro de escalas espaciales y temporales. Típicamente, los vórtices de mayor tamaño interaccionan con el flujo principal, extrayendo energía de él. Físicamente, esto es posible gracias a que el propio flujo convectivo deforma esos vórtices más grandes, confiriéndoles energía en el proceso. También se ha visto que existen escalas más pequeñas de la turbulencia, claramente disipativas, y que constituyen el punto final del fenómeno de disipación de energía. Ahora bien, ¿cómo se produce la transferencia de energía desde esas escalas grandes a las pequeñas?

259

260 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia Richardson (1922) fue el primero en introducir el concepto de cascada de energía para describir el proceso por el cual estos vórtices más grandes se dividen en estructuras más pequeñas a las cuales pasan energía, así sucesivamente hasta llegar a las escalas puramente disipativas. Este proceso de ruptura se produce en cascada, por lo que en un movimiento turbulento coexisten una gran variedad de escalas, correspondientes a los distintos tamaños de vórtices, los cuales son arrastrados y estirados por la acción de los gradientes del flujo promedio dominante y por su interacción con los demás vórtices. Este proceso de división continúa hasta que la escala de los vórtices es tan pequeña que su número de Reynolds no es lo suficientemente grande como para que la inestabilidad persista. En esos vórtices pequeños, la energía cinética contenida en los vórtices se transforma en calor por disipación viscosa (v. figura 10.4a). En cierto modo, hablar de vórtices para describir las escalas de la turbulencia no deja de ser una convención, inspirada en la observación de la realidad (tal y como constató Leonardo da Vinci en sus diferentes escalas de movimiento, figura 10.4b). En realidad, la estructura de la turbulencia es mucho más compleja y puede adoptar formas diversas como láminas, toroides, filamentos alargados, tubos alabeados, etc. Así mismo, es lógico hablar de la cascada de energía en términos de vórtices que se rompen o subdividen en otros más pequeños, aunque realmente lo que ocurre es que la energía se redistribuye como consecuencia de la distorsión en la forma de esas estructuras vorticales.

Escalas de turbulencia (Richardson, 1922)

Generación de energía turbulenta

Escalas grandes RANS LES DNS

Disipación de energía turbulenta

Cascada de energía 艎

L

l

Torbellinos en el agua (Leonardo, 1500 aprox.)

Escalas pequeñas

LES

Escalas modelizadas Escalas resueltas

(a)

(b)

Figura 10.4 Escalas de la turbulencia y proceso de cascada de energía. (a) Esquema conceptual de Richadson (adaptado de Fluent v6.3 - User's guide, 2006). (b) Idea intuitiva de Leonardo.

Para números de Reynolds altos, la viscosidad no influye en la cascada de energía; únicamente tiene importancia en las escalas más pequeñas. Por esta razón, es una buena idea dividir toda la cascada de energía en tres subdominios:

10.2 Escalas de la turbulencia: la cascada de energía

c

Macroescala. Asociada a los vórtices más grandes; con velocidades, longitudes y tiempos característicos U, L y T, donde normalmente a L se le denomina longitud de escala integral. Si se define el número de Reynolds del flujo como es una longitud característica y u0 es la velocidad proRe = u0 ν , donde medio del flujo, el número de Reynolds correspondiente a estas escalas resulta ser del orden al del flujo principal: Re ∼ ReL = UL ν . Estos grandes torbellinos dependen de las condiciones de contorno y son claramente anisotrópicos (dependientes de la dirección).

Los vórtices de la macroescala interaccionan con un tiempo característico que se puede expresar lógicamente como L U , de modo que la tasa por unidad de tiempo a la que transfieren energía (cinética: U2) será del orden de: ΠL ∼ U3 L

[10.1]

Es interesante comprobar que la energía específica disipada en estas escalas se puede estimar como ⎛ ∂U ⎞2 U2 i⎟ Φ L ≈ ν⎜ ≈ ν ⎜ ∂x ⎟ L2 ⎝ j⎠

resultando ser despreciable cuando se compara con la energía transferida a escalas inferiores, ya que: Π L Φ L = ReL 1. c

Subrango inercial. Es la zona de escalas intermedias en las que se produce básicamente una progresiva transferencia de energía hacia las escalas disipativas. De forma genérica se definen unas escalas típicas de longitud, l, velocidad, ul, y tiempo, t, comprendidas entre las macroescalas y las microescalas. Este rango intermedio es más ancho cuanto mayor es el número de Reynolds, correspondiendo con la observación de que las escalas disipativas son más pequeñas a mayores números de Reynolds.

Para discutir la importancia del subrango inercial es necesario introducir la idea de espectro de energía turbulento. Este tipo de representación se obtiene cuando se pasa al dominio de la frecuencia una traza de velocidad instantánea como la de la figura 10.1(a). De esta forma, es posible representar la distribución de la energía turbulenta en función del rango de longitud de onda (o tamaño de oscilación) de las fluctuaciones, donde el número de onda, κ, se puede relacionar con el tamaño característico de vórtice según κ ∼ 2 πU l , o en el caso de un espectro temporal (que es lo habitual), κ ∼ 2 π l . Puesto que el espectro de energía turbulenta, E(κ), es más o menos la representación matemática de la cascada de energía, parece evidente que su distribución frente a κ pueda dividirse en las tres mismas zonas en que estamos separando la cascada (v. figura 10.5). Además, la

261

262 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia zona intermedia, denominada de subrango inercial, queda caracterizada por una evolución lineal (de pendiente –5/3) en escala logarítmica, según la ley universal conocida como ley de Kolmogorov (1941): 2 3 −5 3

E( κ) = αε κ

[10.2]

donde α es una constante, normalmente sobre 1,5, y ε es la tasa de disipación viscosa que se estima en la microescala (v. ecuación 10.5). Téngase en cuenta que en el subrango inercial toda la energía que contienen las escalas intermedias ha sido transferida de las escalas grandes, por lo que se cumple, aproximadamente, que: Π l ≈ Π L ⇒ U 3 L−1 = ul3 l−1 . Con esta expresión, se obtiene una relación entre los números de Reynolds de ambas escalas como: Rel ReL = (l L )

43

[10.3]

Como el cociente de longitudes todavía no es muy pequeño, el número de Reynolds asociado a la escala es grande y la disipación de energía todavía es despreciable. c

Microescala. Es la escala más pequeña, en la que el número de Reynolds local es aproximadamente la unidad. Las escalas características se denotan como η para la longitud, uη para la velocidad y τ para el tiempo. Aplicando razonamientos

Cascada de energía

E( )

E( ) =

2/3 –5/3

–5 3

Generación de energía

Subrango inercial

L

/L

Vórtices según L y u

f(Re)

Disipación de energía /

Vórtices según

Figura 10.5 Espectro de energía turbulenta (escala logarítmica, adaptado de Davidson, 2004).

10.2 Escalas de la turbulencia: la cascada de energía

similares a los anteriores, se concluye que la energía transferida a la microescala es Π η ≈ Π l ≈ Π L ⇒ U 3 L−1 = u 3η η−1 , expresión matemática que resume la idea de la cascada de energía. Además, puesto que la energía transportada es del mismo orden que la disipada (Re η ≈ 1), la expresión análoga a la ecuación 10.3 43 para esta escala resulta ser Re η = ReL ( η L ) ≈ 1. O lo que es igual:

( η L ) ≈ Re−L 3 4

[10.4]

expresión que relaciona las longitudes características de la macroescala y la microescala. Nótese que la tasa de disipación viscosa, ε, en la microescala es del orden de ε ≈ νu 2η η−2 (se deduce análogamente a cómo se hizo en la macroescala) y que puede relacionarse con la ecuación 10.1 gracias a la cascada de energía: Π L ∼ U 3 L ∼ ε ∼ ν u 2η η2

[10.5]

Combinando 10.5 con el número de Reynolds (uη η ν ≈ 1), se obtienen expresiones muy útiles de todas las escalas disipativas (longitud, velocidad y tiempo) en función, precisamente, de la disipación de energía: 14

η = ( ν3 ε)

14

u η = ( νε)

12

τ = ( ν ε)

[10.6]

Estas escalas se conocen como escalas de Kolmogorov. Finalmente, haciendo uso de la relación 10.5, ε ∼ U 3 L , es inmediato deducir la relación entre las escalas de Kolmogorov y las escalas integrales o macroescalas: −3 4

η L = Re

−1 4

u η U = Re

−1 2

τ T = Re

[10.7]

La importancia de estas expresiones se analizará en el apartado 10.4. En particular, ya se adivina que para números de Reynolds altos (los flujos industriales se sitúan normalmente entre 105 y 108), las escalas de Kolmogorov son extremadamente pequeñas, resultando computacionalmente prohibitivo resolverlas directamente y haciendo imprescindible la utilización de modelos de turbulencia en las simulaciones.

263

264 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia

10.3 El problema del cierre de la turbulencia

[2]

En la figura 10.1 se ha ilustrado una idea fundamental sobre la turbulencia: a pesar de la naturaleza completamente aleatoria de la velocidad instantánea u, las propiedades estadísticas del campo de velocidades, como su media u o la media de la fluctuación cuadrática u′2 , sí son reproducibles y esperables. Por lo tanto, esto sugiere que cualquier teoría que se quiera formular sobre la turbulencia debe basarse en cantidades estadísticas. Sin embargo, el problema surge cuando se trata de obtener las ecuaciones de gobierno para las variables estadísticas a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes. Para obtener las ecuaciones de gobierno de las variables estadísticas se debe aplicar el operador estadístico que corresponda (promedio temporal, filtro espacial, etc.) sobre las ecuaciones generales de gobierno. Al ejecutar esta operación matemática, siempre ocurre que el sistema de ecuaciones resultante no está cerrado, puesto que aparecen más incógnitas estadísticas que relaciones disponibles. Este hecho es el que se conoce como problema de cierre en la turbulencia, y que aparece como consecuencia del término no lineal difusivo en la ecuación de gobierno. Para ilustrar brevemente esta idea, se procede ahora a considerar la sencilla ecuación unidimensional d u d t = −u 2 , como en ocasiones precedentes. En el instante inicial t = 0, se fija que el valor de la velocidad adopte un valor aleatorio comprendido entre 1 y 2, de modo que u presentará posteriormente una traza cambiante en cada realización del experimento, y se repite la experiencia 1000 veces para esa misma condición inicial cambiante. Como decíamos, lo que realmente interesa es el valor esperable de la variable, algo que está asociado al valor estadístico de la misma, no a su valor instantáneo. Por tanto, se introduce un operador estadístico genérico en la ecuación, , que nos permita encontrar la solución para u . Suponiendo un operador lineal (como, por ejemplo, el promedio de esas 1000 repeticiones), este nuevo operador y el operador derivada son intercambiables, 2 resultando: d u d t = − u . Desafortunadamente, nos encontramos con que aparece una nueva variable desconocida: u2 . Por supuesto, podemos encontrar una ecuación para resolver esta nueva incógnita si multiplicamos por u la ecuación original y luego aplicamos el operador estadístico, llegando a: d u 2 dt = −2 u 3 , pero a costa de que en esta ecuación aparezca ahora la incógnita u 3 . Está claro entonces que si se trata de establecer una jerarquía para las ecuaciones que describen la evolución de las sucesivas variables un , siempre se termina por tener más incógnitas que ecuaciones. Esta idea fundamental es lo que subyace en el problema de cierre para la turbulencia en las ecuaciones de Navier-Stokes. 2. Adaptado de Davidson, P.A., Turbulence: An Introduction for Scientists and Engineers, 2004, Oxford

10.4 Aproximaciones numéricas para el tratamiento de la turbulencia

Es realmente sorprendente observar cómo por un lado se tienen las variables fundamentales del flujo, como la velocidad u que se comporta aleatoriamente, y por otro lado se tienen las ecuaciones de gobierno, cuya definición es completamente determinista para u. Inversamente, las propiedades estadísticas de u se comportan de forma esperable, reproducible, pero lamentablemente no es posible disponer de un sistema cerrado de ecuaciones que describa su evolución. Así, el problema del cierre de la turbulencia implica que no pueden existir teorías estadísticas rigurosas para el análisis de la turbulencia, siendo necesaria la introducción de modelos basados en hipótesis simplificativas, razón por la cual la turbulencia permanece como el último problema sin resolver por la física clásica.

10.4 Aproximaciones numéricas para el tratamiento de la turbulencia

La solución numérica para flujos turbulentos puede abordarse desde distintos niveles de aproximación, proporcionando así descripciones del flujo con mayor o menor detalle. Esto se consigue en función del número de escalas de la turbulencia que se quieran resolver en la simulación, o lo que es igual, en función de la cantidad de energía cinética turbulenta que se vaya a transportar en las ecuaciones constitutivas. En general, se distinguen tres aproximaciones diferentes: la simulación numérica directa (DNS), en la que usa una malla extremadamente fina para poder resolver todas las escalas de la turbulencia (desde las integrales hasta las disipativas); la simulación de vórtices grandes (LES), con mallas menos densas que permiten resolver sólo los torbellinos grandes que transportan entre el 50 y el 80% de toda la energía cinética turbulenta; y finalmente la simulación RANS (ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds) en la que todas las escalas se modelizan mediante el uso de modelos de turbulencia. Aunque algunos flujos sencillos se han resuelto utilizando simulación directa (DNS), no es posible emplearla de forma sistemática para resolver problemas industriales de interés práctico (I-CFD) debido a su coste computacional prohibitivo. Por esta razón, se emplean habitualmente los métodos RANS y en ciertas ocasiones las técnicas LES, que se analizan más en detalle en apartados posteriores. Pero antes, veamos las serias limitaciones de las simulaciones directas que se derivan de la misma cascada de energía.

10.4.1. Simulaciones directas (DNS) En las simulaciones directas todas las escalas turbulentas, incluidas las escalas disipativas de Kolmogorov, η, deben ser resueltas. Evidentemente, de la ecuación 10.4 se deduce que

265

266 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia para un fenómeno con una dimensión característica , y por tanto con un tamaño de escala integral del mismo orden L, cuanto mayor es el número de Reynolds más pequeño es el tamaño de las escalas de Kolmogorov. Con esta idea en mente, y sabiendo que la mayoría de los flujos de interés industrial se encuentran en el rango de números de Reynolds entre 105 y 108, podemos hacer una estimación del número de nodos que se necesitarían en una simulación tridimensional para resolver las microescalas del flujo. La distancia entre nodos, ∆x, no puede ser mayor que el tamaño de las escalas más pequeñas, sino que ha de ser del mismo orden. Por tanto: ∆ x ∼ η ∼ Re−3 4 L . Si ahora llamamos Lsim a la dimensión característica del dominio computacional a resolver (algo así como el tamaño de dominio que comprenda al flujo de estudio), podemos estimar el número de nodos que necesitaremos para obtener una resolución espacial del orden de las escalas de Kolmogorov en esa dirección como: Nx

Lsim L 34 ∼ sim Re ∆x L

[10.8]

Dada la tridimensionalidad e isotropía de las escalas disipativas, y supuesto un dominio cúbico de simulación, se necesitará una densidad de mallado similar a la estimada en la ecuación 10.8 en el resto de las direcciones espaciales. De esta forma, es inmediato concluir que el número total de puntos de la discretización espacial ha de ser: NΩ

NxN yNz

⎛ Lsim ⎞3 9 4 ⎜ ⎟ Re ⎝ L ⎠

[10.9]

Por tanto, el número de celdas necesarias para ejecutar una DNS tridimensional es del orden del número de Reynolds elevado a 9/4. Nótese que simplemente para un Reynolds igual a 10 000 ya se requerirían alrededor de 1000 millones de nodos (!). Ahora bien, no sólo debe tenerse en cuenta la resolución espacial, sino que también la resolución temporal es esencial para poder resolver la evolución de las escalas más pequeñas. La turbulencia es un fenómeno inestable, no estacionario en sí mismo, que requiere la integración de las ecuaciones durante un período de tiempo del orden del tiempo característico de la escala integral, T, y con un paso temporal mínimo para poder describir el movimiento de las escalas más pequeñas. Teniendo en cuenta que por razones de estabilidad y precisión, dicho paso temporal no debe permitir que las partículas avancen más de una celda en cada ∆t (suponiendo que se utiliza un esquema explícito, el menos costoso computacionalmente), éste debe ser del orden de ∆t ∼ ∆x U ∼ η U . Por tanto, si denotamos a Tsim como el tiempo de simulación, el número de pasos temporales que serán necesarios para describir numéricamente los mecanismos de las escalas de Kolmogorov en una simulación serán: Nt

Tsim ∆t

Tsim T T 34 34 ∼ sim Re = sim Re ηU LU T

[10.10]

10.4 Aproximaciones numéricas para el tratamiento de la turbulencia

donde se ha introducido la relación de longitudes 10.3. El número de operaciones de computador necesarias para una simulación será por tanto proporcional al producto de NΩ y Nt, de forma que el tiempo total de simulación se escalará según: ⎛ Tsim ⎞⎛ Lsim ⎞3 3 Tcálculo ∝ N Ω N t ∼ ⎜ ⎟⎜ ⎟ Re ⎝ T ⎠⎝ L ⎠

[10.11]

Por supuesto, la constante de proporcionalidad depende de la velocidad de cálculo del computador empleado. De todas formas, el hecho de que el tiempo de cálculo sea proporcional al número de Reynolds al cubo implica unos recursos computacionales extraordinarios. Por esta razón, se han utilizado técnicas DNS únicamente con geometrías sencillas (placas, flujos homogéneos) para números de Reynolds bajos (hasta 103 típicamente) y en superordenadores de grandes capacidades. Para los números de Reynolds típicos de la mayoría de las aplicaciones industriales, las capacidades computacionales necesarias por ejecutar una simulación DNS exceden ampliamente las posibilidades de los computadores más potentes existentes hoy día. Así, por ejemplo, para el caso de flujo con número de Reynolds del orden de 104, en un dominio 8 veces mayor que las longitudes integrales y resolviendo para 4 ciclos de fluctuación de la escala integral, si se resolviese con una máquina con una capacidad del orden del gigaflops[3] (109 operaciones en coma flotante por segundo), y suponiendo que se necesitasen del orden de 1000 operaciones por paso temporal (Pope, 2000) para asegurar la convergencia, aplicando 10.11 se obtendría un tiempo de cálculo aproximado de unos 65 años (!), es decir, toda una vida esperando por los resultados. Para números de Reynolds mayores, por ejemplo 108 para el vuelo de un avión comercial, incluso si se utilizase el superordenador más potente del mundo (v. capítulo 1), con una potencia de cálculo del orden de 1 petaflop (1015 operaciones/segundo), los tiempos de cálculo que se obtendrían según 10.11 (y para dominios muy localizados, nada de modelar el fuselaje completo) son sencillamente absurdos: del orden de 600 000… ¡siglos! A pesar de todo, las simulaciones directas son una herramienta extremadamente útil para la investigación fundamental de la turbulencia (a números de Reynolds bajos). Con la DNS es posible realizar “experimentos numéricos” de los que se extrae información que de otra manera sería imposible obtener en el laboratorio, permitiendo una mejor comprensión de la física de la turbulencia.

3. En el momento en que se escribió este libro, los ordenadores personales más potentes del mercado (como los procesadores Intel Core2 de 4 núcleos a 2,5 GHz) alcanzaban velocidades máximas de 70 Gflops.

267

268 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia 10.4.2. Promediados de las ecuaciones (técnicas LES y modelos RANS) Habiendo constatado las serias limitaciones asociadas a las simulaciones DNS, es imprescindible acudir a otras aproximaciones cuando se analizan flujos en contextos industriales a altos números de Reynolds. Éstas son, básicamente, los modelos RANS y las técnicas LES. Modelos Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS)

De entre todas las aproximaciones posibles, el método más utilizado para introducir la simulación de la turbulencia en la metodología numérica es el del promediado de Reynolds de las ecuaciones constitutivas (RANS, o Reynolds-Averaged NavierStokes). Este método utiliza la idea de promediado: f =

1 t +T ∫ f (t )dt T t

[10.12]

de modo que el operador que se emplea para buscar el comportamiento estadístico de las variables del flujo es un promedio temporal sobre las ecuaciones de transporte. Aquí, T corresponde con un intervalo de tiempo mucho mayor que las escalas integrales del flujo turbulento. El promedio definido en 10.12 permite descomponer cualquier variable en su valor medio y su parte fluctuante como: f ′ = f − f . Cuando el operador estadístico 10.12 se aplica sobre las ecuaciones de flujo, se obtienen las ecuaciones RANS que describen la evolución de las variables promediadas. El efecto de las fluctuaciones turbulentas aparece en un término adicional, denominado de las tensiones de Reynolds, y que debe ser modelado para cerrar el sistema de ecuaciones (tal y como se discutió en el ejemplo simplificado del aparatado 10.3). En las últimas décadas se han desarrollado toda una serie de modelos de turbulencia para sustituir esas tensiones de Reynolds desconocidas por otro tipo de relaciones matemáticas que eviten aportar nuevas incógnitas al problema. El objetivo de la modelización es eliminar el problema del cierre aportando algún tipo de hipótesis que trate de emular el comportamiento físico de la turbulencia. Entre los modelos disponibles, de diversa complejidad, se pueden citar los modelos algebraicos simples, como el modelo de longitud de mezcla; los modelos que introducen una viscosidad artificial, como los de tipo k-épsilon, o incluso los modelos de cierre completo en los que se define una ecuación de transporte para cada una de las componentes de las tensiones de Reynolds. La solución de las ecuaciones RANS es actualmente el estándar en las aplicaciones ingenieriles ya que, a pesar de sus simplificaciones, permite explicar satisfactoria-

10.4 Aproximaciones numéricas para el tratamiento de la turbulencia

mente la mayor parte de los flujos turbulentos, incluso en situaciones considerablemente complejas. Por el contrario, el mayor inconveniente en los modelos RANS es la necesidad de tener que modelar todas las escalas de la turbulencia. Puesto que las escalas de Kolmogorov, disipativas y extremadamente pequeñas, son escalas más universales, mientras que las integrales están significativamente influenciadas por las condiciones de contorno o por las dimensiones características del flujo, parece evidente que la física que rige ambos niveles es distinta. Por tanto, encontrar un modelo que describa correctamente los fenómenos de la macro y la microescala no es tarea fácil. Por esta razón, aun cuando nacen con vocación genérica, los diversos modelos tienen un campo de aplicación limitado, y responden mejor en unos tipos de flujo que en otros, siempre en función de la aplicación para la que fueron ideados (en el apartado 10.7 se hacen otras consideraciones sobre esta idea). Técnicas LES

La técnica LES (Large-Eddy Simulation) es una técnica intermedia entre DNS y RANS, en la que las contribuciones de las escalas grandes, portadoras de energía, y responsables de las estructuras de transferencia energética y de momento, se resuelven en el sistema de ecuaciones, mientras que el efecto de las escalas más pequeñas sobre la turbulencia es modelizado (v. figura 10.4a). Puesto que las escalas más pequeñas tienden a ser más isotrópicas, homogéneas e universales, y menos afectadas por condiciones de contorno que las macroescalas, es de esperar que los modelos introducidos para esos pequeños torbellinos sean más generales y apenas requieran reajustes al cambiar de flujo. La aproximación LES es similar a la DNS por cuanto proporciona siempre una solución tridimensional y dependiente del tiempo de las ecuaciones de NavierStokes. Por lo tanto, requieren también de la utilización de mallados muy finos, aunque sin llegar a las necesidades prácticamente inviables del DNS. Por lo tanto, se pueden emplear para resolver flujos industriales a altos números de Reynolds, ya que su coste de computación es independiente del número de Reynolds (de forma ideal, siempre y cuando las escalas intermedias obedezcan la dinámica del subrango inercial). Las prestaciones numéricas de las técnicas LES se sitúan en algún lugar intermedio entre las aproximaciones RANS y la simulación directa DNS (figura 10.4a). Su aplicación se divide en dos etapas: filtrado espacial de las ecuaciones (de acuerdo a un filtro típico, relacionado con la densidad de malla, y denotado habitualmente en la bibliografía como ∆) y modelización de las subescalas turbulentas (SGS o SubGrid Scale modelling). El filtrado se realiza mediante convolución de las variables, haciendo las veces de operador estadístico, mientras que la modelización de la tur-

269

270 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia bulencia por debajo de la malla se basa generalmente en algún modelo de viscosidad artificial (isotrópico). Nótese que todos los modelos de turbulencia RANS son susceptibles de ser usados para la modelización de la subescala, aunque especialmente los más sencillos, con características isotrópicas deberían bastar para describir los mecanismos de las escalas más pequeñas.

Astrofísica Flujos medioambientales y geofísica Aerodinámica externa Flujos internos Flujos biológicos Física (de la turbulencia) LES (sin pared)

RANS DES, RANS/LES (híbridos)

LES (con pared) DNS

WMLES / VLES Re

0

10 Bajos

10

3

10

5

Moderados

10

8

10

12

Altos

Figura 10.6 Tipos de aproximaciones recomendadas en función del número de Reynolds (adaptado de Piomelli, 2006).

10.5 Large Eddy Simulation (LES) En las simulaciones LES sólo se resuelven las escalas grandes del movimiento. El hecho de que las escalas intermedias transfieran su energía a las escalas más pequeñas (cascada de energía), así como que la disipación viscosa venga fijada por las escalas grandes (ecuación 10.5), son las características físicas utilizadas en esta técnica, así como en la definición de los modelos de submalla (modelos SGS). Desde el punto de vista matemático, las técnicas LES emplean un promediado espacial de las ecuaciones de transporte mediante un filtro de tamaño ∆ que sirve de frontera entre las macroescalas a resolver y las microescalas a modelar. La gran ventaja de este tratamiento es que se ajusta perfectamente a las características fenomenológicas de ambas escalas:

10.5 Large Eddy Simulation (LES)

c

Los torbellinos grandes son difíciles de modelizar, puesto que presentan una clara anisotropía, pueden estar sujetos a efectos de memoria en el flujo y, sobre todo, dependen claramente de la geometría y del tipo de flujo principal (dependen de cada caso). Por tanto, plantéese una técnica que deba resolverlos y no modelarlos.

c

La resolución de las escalas pequeñas exige unas discretizaciones extremadamente finas y costosas, inviables para números de Reynolds grandes. Sin embargo, está claro que estas escalas son típicamente isotrópicas y de carácter más universal, porque en el proceso de cascada los torbellinos han “olvidado” cuál es su procedencia. Por tanto, siendo sencillas de modelizar, su no resolución evita necesitar de medios computacionales imposibles.

10.5.1. Filtrado espacial. Tipos de filtro Para poder definir un campo de velocidades que contenga únicamente las componentes (fluctuaciones) de macroescala de la velocidad instantánea, las variables de las ecuaciones de Navier-Stokes se filtran con un operador convolución que proporciona una media local del flujo turbulento. La variable filtrada se define entonces como: f (x ) =

∫ f ( x′) G ( x , x′, ∆ ) dx′

[10.13]

Ω

donde G( x , x′, ∆) es la función de filtrado, o núcleo (kernel) del operador, que depende del tamaño de filtro de corte (cutoff width) y que es grande únicamente cuando x y x′ son próximos entre sí. Además, debe cumplir la propiedad de que

∫ G ( x , x′, ∆ ) dx′ = 1 Ω

Con esta restricción es posible encontrar diferentes tipos de núcleo. Los más comunes son: c

Filtro de caja (box o top-hat): ⎧ ⎪1 ∆ 3 si x − x′ ≤ ∆ 2 G( x , x′, ∆)= ⎨ ⎪ ⎩ 0 si x − x′ > ∆ 2

c

[10.14]

Filtro gaussiano:

G( x , x′, ∆)=

6 π∆

2

e

(−6 x 2

∆2

)

[10.15]

271

272 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia c

Filtro espectral (sharp spectral):

⎡ ( x − x′i ) ⎤ sen⎢ i ⎥ ⎣ ⎦ ∆ G( x , x′, ∆)= ∏ (xi − x′i ) i=1 3

[10.16]

Normalmente, el filtro en caja es el utilizado en la implementación del LES en la metodología de volúmenes finitos. El resto se emplea en la literatura especializada. Los filtros así definidos son operadores lineales que, de la misma manera que los filtros empleados en tratamiento de señales, separan la variable a filtrar (señal de entrada) en una parte a conservar y en otra que se deshecha. La figura 10.7 muestra la forma y ancho de esos filtros, que será lo que defina qué parte de la señal a filtrar se conserva y qué parte se elimina en el proceso. Otro tipo de filtro importante es el denominado filtro de Fourier, que se define en el dominio espectral (las variables de flujo se descomponen en modos de Fourier). En este caso, el filtro espectral proporciona un valor de corte en el espectro de energía para una longitud de onda de tamaño ∆/π. Este filtro es muy útil desde el punto de vista de la separación entre escalas pequeñas y grandes, pero carece de implementación práctica para la mayoría de los códigos CFD. El tamaño del filtro (cutoff width) trata de ser un indicador de la separación entre los tamaños de vórtice que se van a retener en los cálculos y los torbellinos que se van a desechar (para ser modelizados). En principio, se puede elegir cualquier tamaño de filtro, pero en simulaciones CFD por volúmenes finitos, es absurdo elegir un tamaño de filtro más pequeño que la propia discretización espacial del modelo (sólo se almacenan variables a ese nivel). Por tanto, parece evidente elegir un tamaño de filtro que sea del orden del tamaño de la malla. Así, en el caso genérico de mallado tridimensional con diferentes longitudes ∆x, ∆y, ∆z en las tres

G

G

x–x Filtro en caja Figura 10.7

G

x–x Filtro gaussiano

Tipos de filtro (representación unidimensional).

x–x Filtro espectral

10.5 Large Eddy Simulation (LES)

direcciones, el tamaño de filtro se toma como la raíz cúbica del volumen de cada celda, es decir: 13

∆ = ( ∆x ∆y ∆z )

[10.17]

La figura 10.8(a) muestra los vórtices que se preservan cuando se filtra la velocidad instantánea mostrada en la figura 10.1 con diferentes tamaños de filtro. Conforme el filtro que se escoja sea de un orden superior a las fluctuaciones más pequeñas, éstas se irán eliminando en el proceso. De esta forma, al ser un filtrado espacial, si se quiere mantener una determinada cantidad de energía turbulenta para ser resuelta en el transporte de las ecuaciones, será necesario fijar tamaños de malla relativamente finos. La figura 10.8(b) ilustra la misma idea sobre el espectro de la energía. Conforme la malla sea más gruesa, el filtro va eliminando vórtices cada vez mayores, dejando pasar únicamente aquellos que se aproximan progresivamente al tamaño de longitud integral. De esta forma, el tamaño de filtro ∆ establece la frontera entre la cantidad de energía que se va a modelizar y la que se va a resolver. En función del porcentaje de la energía total que se vaya a resolver, la simulación LES que se resuelva finalmente tendrá mejor (o peor) resolución y por tanto una mejor (o más pobre) descripción de la física de la turbulencia.

E( )

–5/3

Filtro mayor (malla gruesa)

4 3

1

Filtro mayor

2 1 2

Escalas resueltas

Escalas filtradas o residuales (subescalas)

3

u(x,t) 4

Resuelve

x/L Figura 10.8 2006).

u (x,t) Modeliza LES

Efecto del tamaño de filtro sobre el orden de las escalas a resolver (adaptado de Piomelli,

Ecuaciones de Navier-Stokes filtradas espacialmente

Por simplicidad, se van a tratar únicamente las ecuaciones para flujo incompresible (ecuación 3.12). Si se aplica un filtro que sea independiente de la posición x , es

273

274 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia decir, que sea uniforme en todo el dominio, y además se hace uso de la linealidad del operador (operador filtrado es intercambiable con los operadores derivada temporal y espacial), las ecuaciones filtradas que se obtienen son: ∂ ( ρvi ) ∂t

(

+

∇ ρvi v j

)

"Pseudoconvectivo"

Temporal

= − ∇ p + ∇ ( μ∇vi ) Fuente (presión)

[10.18]

Difusivo

donde el subíndice i representa cada una de las componentes espaciales. El término denominado “pseudoconvectivo” incluye el filtrado del producto (no de las velocidades promediadas independientemente), de manera que para obtener una ecuación de transporte para los promedios de las velocidades, se suma y se resta directamente el término ∇ ( ρvi v j ) en la ecuación, resultando:

∂ ( ρvi ) ∂t Temporal

(

)

(

)

(

+ ∇ ρvi v j = − ∇ p + ∇ ( μ∇vi ) − ∇ ρvi v j + ∇ ρvi v j Fuente (presión)

Convectivo

Difusivo

)

[10.19]

Término adicional

El término adicional se conoce como tensiones turbulentas de la subescala, o tensiones SGS, que normalmente se escriben como:

⎤ τ ij = ρ⎡ ⎣ vi v j − vi v j ⎦

[10.20]

y que habrá que modelar para cerrar el sistema de ecuaciones (v. 10.5.2 para conocer algunas de las posibilidades típicas). Con todo esto, la ecuación final de transporte para las técnicas LES se formula como:

∂ ( ρvi ) ∂t

(

)

+ ∇ ρvi v j = −∇ p + ∇ ( μ∇vi ) − ∇τ ij

[10.21]

Se puede demostrar que el tensor SGS es en realidad suma de tres términos: el tensor de tensiones de Leonard, Lij = vi v j − vi v j , el tensor de tensiones cruzadas, Cij = v′i v j + vi v′j , y el tensor de las tensiones de Reynolds de la subescala, R ij= v′i v′j , de acuerdo con τij = Lij + Cij + Rij . Aquí, el tensor de Leonard representa la interacción entre las escalas que se resuelven y las que transfieren energía hacia las escala pequeñas; el tensor cruzado representa la interacción entre las escalas resueltas y las modelizadas; y las tensiones de Reynolds en la subescala representan la interacción entre las escalas más pequeñas.

10.5 Large Eddy Simulation (LES)

Tamaño de malla y paso temporal requerido en LES

Aunque con unos requerimientos computacionales significativamente menores que DNS, las técnicas LES también necesitan de mallados extraordinariamente finos y de pasos temporales suficientemente pequeños para poder capturar las fluctuaciones de las escalas que se van a resolver. Sin embargo, la gran ventaja del LES es que en zonas libres de contornos sólidos la resolución espacial y temporal no depende del número de Reynolds (al contrario que DNS, según 10.11). No ocurre lo mismo cuando LES debe resolver el flujo de cortadura en los contornos sólidos: en ese caso, las necesidades computacionales se disparan de nuevo en función de una potencia del número de Reynolds. Por todo ello, los problemas asociados al coste de resolver el flujo en la zonas adyacentes a la pared para números de Reynolds altos son importantes en LES y a ellos se les dedica a continuación un apartado para discutir su alcance e implementación. Pero antes, conviene plantear una serie de consideraciones acerca de la resolución en zonas internas, alejadas de contornos sólidos. Decíamos a raíz del tamaño del filtro que, en principio, la resolución de la malla fija implícitamente cuál será el tamaño efectivo del filtro. Esto es equivalente a afirmar que el mallado es capaz únicamente de resolver una determinada cantidad de energía cinética turbulenta: aquella que puede ser transportada a través de las escalas (vórtices) capturadas por la malla (figura 10.9). Por lo tanto, el criterio que se adopta para clasificar el tipo de simulación LES a ejecutar es el de establecer qué porcentaje de la energía turbulenta total es capaz de resolver la simulación con su mallado. Como norma general, se utilizan dos valores típicos para distinguir el tipo de simulación LES que se está resolviendo: el 50% y el 80% de la energía cinética turbulenta total. Es importante darse cuenta de que la mayoría de la energía se encuentra en las escalas más grandes (integrales) y que conforme descendemos por la cascada

Escalas integrales (anisotrópicas), L

Escalas pequeñas (isotrópicas), l

Tamaño de malla (filtro) para resolver L

Escalas de Kolmogorov (escalas submalla), η

Tamaño de malla (filtro) para resolver l

Figura 10.9 Resolución de la malla (filtro) para resolver distintos tamaños de escala (adaptado de Piomelli, 2006, sobre imagen original de Brown y Roshko, 1974).

275

276 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia de energía, los torbellinos más pequeños cada vez poseen una energía más residual. Esto se ilustra perfectamente en la distribución del espectro de energía (figura 10.5), que va tendiendo a cero conforme nos desplazamos por las abscisas hacia las escalas disipativas. De esta forma, aun siendo la malla bastante basta, siempre seremos capaces de resolver una buena parte de la energía cinética turbulenta (cerca del 50%) si nos aseguramos que la malla es del orden de la escala de longitud integral. En la bibliografía se suele distinguir entre simulación LES, cuando se garantiza que aproximadamente el 80% de la energía turbulenta se resuelve, y simulación VLES (Very Large Eddy Simulation), cuando se resuelve menos de ese 80%, típicamente al menos un 50%. En consecuencia, en VLES la malla y, por tanto, el filtro, son demasiado grandes para resolver las escalas turbulentas que contienen la energía, así que la mayor parte de la energía se encontrará en los movimientos residuales. Aunque se pueden realizar simulaciones VLES sobre mallas relativamente bastas, y por tanto más económicas computacionalmente hablando, la simulación pasa a ser muy dependiente del modelado de las escalas residuales. Puesto que en estas técnicas LES se suponía que la modelización de esas escalas era isotrópica, asignar a ese modelo más energía de la cuenta repercute seriamente en la bondad de la solución. Con esta clasificación en mente, la pregunta es inmediata: ¿cómo se estima el tamaño de filtro (y por tanto, la densidad de la malla) para asegurarnos de que vamos a ser capaces de resolver el 80% de la energía cinética turbulenta? Aunque no existe una regla exacta, sí es posible hacer una estimación del mismo a partir del gráfico de energía turbulenta acumulada. Para ello, considerando la ley de Kolmogorov de la ecuación 10.2 como representativa de la evolución del espectro de energía (figura 10.8b) en todo el rango de longitudes de escala, e integrando dicha ecuación desde la posición del filtro de corte, κc (supuesto un filtro espectral), hasta las escalas disipativas (κ → ∞), es posible obtener una estimación de la energía residual (el área bajo el espectro es la energía contenida por las distintas escalas turbulentas) según: ∞

∞

κc

κc

kr = ∫ E( κ)dκ = ∫ αε κ

2 3 −5 3

2 3 −2 3

dκ = 23 C ε κc

[10.22]

donde kr representa la energía residual acumulada desde la escala de corte en adelante. Ahora, haciendo uso de la ecuación 10.5, en la que se tiene en cuenta además que la energía turbulenta se puede estimar en función de la energía de las esca12 las integrales como U ∼ k , se puede sustituir la tasa de disipación en 10.22 por 32 ε∼k L resultando:

kr k

−2 3

= 23 C ( κc L )

[10.23]

10.5 Large Eddy Simulation (LES)

Si se quiere resolver el 80% de la energía turbulenta, entonces la parte residual debe ser el 20%. Igualando la ecuación 10.23 a 0,2 e introduciendo el valor clásico para la constante de Kolmogorov, C = 1,5, se obtiene que κc L ≈ 38. Finalmente, el valor del tamaño de filtro será: ∆ LES ∼ π κc ≈ πL 38 ∼ L 12

[10.24]

La condición para el 80%, κc L ≈ 38, se puede reescribir en función del tamaño de las escalas que se van a resolver. Así, introduciendo que κc ∼ 2 π lc , se llega inmediatamente a lc L ≈ 0,16, lo cual implica que con el tamaño de filtro dado por 10.24 estamos resolviendo escalas que suponen un 80% de la energía total y que tienen una tamaño aproximado de un orden de magnitud inferior al de las escalas integrales. Evidentemente, igualando las ecuaciones 10.17 y 10.24 se obtiene que para una malla cartesiana el tamaño de la discretización debe ser (al menos) de un orden de magnitud inferior (un doceavo) al de la escala integral. Aun así, algunas investigaciones recientes al respecto (Celik, 2005) han demostrado que es necesario reducir aún un poco más ese valor: “una malla óptima ajustada al tamaño del filtro debería resolver las escalas mayores en al menos 8 celdas”, por lo que reduciendo por ese factor el tamaño característico de filtro resulta: ∆xLES ∼ ∆LES 8 = L 96 ≈ 0,01 L

[10.25]

Por lo tanto, como norma general, una buena simulación LES (fuera de las paredes) debe adoptar una densidad de malla entre uno y dos órdenes de magnitud inferior a la escala de longitud integral. Está claro que mantener esta condición en las tres direcciones espaciales supone un notable coste computacional. Ha quedado claro que para poder definir la malla adecuada de la simulación LES, es fundamental disponer de un valor fiable de la escala de longitud integral del problema. Existen diversas posibilidades para ello, desde simples estimaciones groseras a cálculos más elaborados. Una primera estimación de la longitud integral, muy aproximada, es considerar directamente su valor como una fracción (un orden de magnitud inferior) de la dimensión característica del problema . Otra posibilidad es utilizar correlaciones empíricas (disponibles en la bibliografía) que a partir del nivel de turbulencia y del tipo de flujo estudiado proporcionan valores de referencia. Si se dispone de datos experimentales, como por ejemplo trazas instantáneas de velocidad similares a las de la figura 10.1, se puede calcular de una manera bastante afinada el valor de la escala a partir de de la función de autocorrelación: ∞

L = u ∫ ACF ( τ )d τ donde 0

ACF ( τ ) =

u′(t ) u′(t + τ ) u′2

[10.26]

277

278 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia Otra posibilidad muy práctica es realizar una simulación preliminar RANS con un modelo de dos ecuaciones k-épsilon (v. apartado 10.6.4.2), que resuelve las ecuaciones de transporte para la energía cinética turbulenta k y la tasa de disipación viscosa ε. De esta forma, al disponer de los campos de ambas variables en todo el dominio, se puede obtener una estimación de la distribución espacial de la escala integral según: L=k

32

ε

[10.27]

con la ventaja añadida de poder hacer un mallado adaptativo por zonas, ajustado según 10.25 a los valores locales de la escala integral. Respecto al paso temporal a utilizar en LES, es necesario garantizar que sea lo suficientemente pequeño para capturar los tiempos característicos de las escalas que se van a resolver. Para tener una buena descripción temporal, el paso temporal debería ser entre 15 y 20 veces inferior a la escala temporal de la fluctuación de esos vórtices. De esta manera, el tiempo característico de esas escalas se define como el ratio entre las escalas espaciales y el nivel de turbulencia de la velocidad, es decir: ∆t LES ∼

1 1 lc t vórtice ≈ 15 15 ulc

[10.28]

Haciendo uso de la restricción espacial, lc L ≈ 0,16, y de la condición de cascada de energía en el subrango inercial, ul3c lc−1 ≈ U 3 L−1 , tras un poco de álgebra se obtiene que 23

∆t LES ≈

0,16 15

L U

Por último, introduciendo el número de Reynolds de las escalas integrales, ReL = UL ν , y teniendo en cuenta que ReL ∼ Re , es posible determinar el paso temporal únicamente en función del número de Reynolds del flujo y de la escala de longitud integral: 23

∆t LES ∼

0,16 L2 15 ν Re

[10.29]

La ecuación 10.29 evidencia que cuanto mayor sea el número de Reynolds, más pequeño ha de ser el paso temporal a utilizar, aunque al menos el número de Reynolds no está elevado a ninguna potencia. Por el contrario, cuanto mayor sea la escala integral, el paso temporal se puede hacer notablemente mayor (varía cuadráticamente).

10.5 Large Eddy Simulation (LES)

Combinando 10.25 y 10.29 se puede obtener la relación existente entre la discretización espacial y la temporal. De forma aproximada sería (para el 80% de la energía): ⎛ ∆x ⎞ 13 ⎜ ⎟ ∼ 0,16 U ⎝ ∆t ⎠LES

[10.30]

con lo que se cumple el criterio de Courant para las escalas resueltas, ya que 13

0,16

< 1.

10.5.2. Tratamiento de las subescalas de malla En la ecuación 10.21 quedaba pendiente la modelización de las tensiones del tensor de la subescala, o tensiones SGS. Puesto que este tensor comprende el efecto de las escalas pequeñas sobre las ecuaciones de transporte, escalas que son en principio isotrópicas, la modelización es relativamente sencilla. La mayoría de los modelos se basan en el empleo de una viscosidad artificial (eddy viscosity models) que tiene como hipótesis fundamental que las fluctuaciones son isotrópicas y determinadas de alguna manera por los gradientes de las fluctuaciones filtradas, mediante una viscosidad artificial, μt. Esos gradientes vienen definidos por el denominado tensor promedio de deformaciones (mean strain rate tensor) como: ∂vi ∂v j ⎞ 1⎛ ⎜ ⎟ + Sij = ⎜ 2⎝ ∂x j ∂xi ⎟ ⎠

[10.31]

Existen otros modelos complementarios a los basados en el empleo de una viscosidad artificial, tales como los modelos de mezcla o los modelos dinámicos, que presentan una complejidad superior para tener en cuenta efectos de transición y mejorar la descripción de la disipación. A continuación se presenta la formulación de los modelos más empleados en la bibliografía. Modelo de Smagorinsky-Lilly

Es un modelo algebraico simple (de cero ecuaciones) que no requiere la resolución de ninguna ecuación de transporte adicional. Este modelo, desarrollado por Smagorinsky (1963) y Lilly (1966), calcula directamente las tensiones SGS a partir de las variables filtradas (calculadas) mediante 10.31, con la siguiente formulación: 1 τ ij − τ kk δij = μsgs Sij 3

[10.32]

279

280 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia donde τkk representa la suma de la diagonal principal (τ kk = τ xx + τ yy + τ zz ), δij es la delta de Kronecker, que vale 1 cuando i = j y 0 en el resto de las situaciones y μsgs es la viscosidad artificial que se calcula como: 2

μsgs = −2 (Cs ∆ ) S

[10.33]

donde S = (2 Sij Sij ) , el filtro ∆ se calcula según 10.17, y la constante Cs es un valor predeterminado que varía entre 0,1 y 0,2. Dicho valor se puede calcular suponiendo que se tiene un rango inercial en el espectro de la energía según la ley –5/3 de Kolmogorov, resultando Cs = 0,18. 12

Este modelo se basa en que existe equilibrio local en la subescala (es decir, sólo hay producción-disipación local en la subescala, no se permite el transporte de energía cinética turbulenta en la submalla). Además, no existe un valor de Cs universal, depende del tipo de flujo, y puede presentar problemas con los flujos de transición y los efectos de pared. Otros modelos disponibles en la literatura c

Modelo WALE (Wall-Adapting Local Eddy-Viscosity model), que es una modificación del modelo de Smagorinsky para tener en cuenta la estructura del flujo cerca de las paredes. Mejora el comportamiento de la viscosidad artificial en las paredes, pero sigue sin poder resolver problemas de no equilibrio ni transporte de turbulencia en la subescala.

c

Modelo dinámico de subescala (DSGS). Este modelo, introducido por Germano (1991), es una modificación del modelo de Smagorinsky-Lilly que proporciona un cálculo dinámico de la constante Cs, permitiendo superar los problemas del modelo de Smagorinsky (flujos de transición y efectos de pared). La constante se calcula localmente a lo largo del tiempo mediante un procedimiento que usa dos fases de filtro en modo predictor-corrector.

c

Modelo de transporte de energía cinética. Es un modelo de una ecuación que resuelve el transporte de la energía cinética turbulenta de la submalla, definida 2 2 − vkk . Desarrollado por Kim (1997), esta formulación como ksgs = 0,5 vkk permite resolver el transporte de los vórtices más pequeños por el flujo promedio, pero a costa de introducir una nueva ecuación de transporte que debe resolverse. Introduce constantes que, como en el modelo dinámico, se ajustan dinámicamente usando el campo de velocidades resuelto.

(

)

10.5.3. El problema de la pared: técnicas híbridas Cerca de los contornos, los requisitos de la técnica LES para poder resolver el 80% de la energía cinética turbulenta se vuelven mucho más restrictivos debido a la

10.5 Large Eddy Simulation (LES)

estructura vortical del flujo en la capa límite (recuérdese el apartado 8.3.3). En realidad, la complejidad surge de la región interior (inner layer) de la capa límite, en la que es necesario mantener una extrema densidad de malla para poder describir las dinámicas de los torbellinos importantes, que son del orden del y+. Se distingue, por tanto, entre las necesidades de mallado para la región externa y para la región interna de la capa límite. En la zona exterior, la longitud de escala integral es lógicamente el espesor de la capa límite, δ, cuyo valor además es prácticamente independiente del número de Reynolds. Es posible deducir que el número de puntos necesarios para describir esa capa es del orden de N Ω ∼ Re 0,4 . Asimismo, sumando la discretización temporal, que en este caso es únicamente del orden de N t ∼ Re 0,2 , se obtiene una estimación total del tiempo de cálculo para la capa externa que escala con N externa ∼ Re 0,6 . Por el contrario, en la zona interna las escalas importantes vienen prefijadas por la velocidad de fricción, con un orden de magnitud característico

(

uτ = τ pared ρ

)

12

∼ Re 0,9

Puesto que la distribución de la malla debe permanecer constante para poder capturar las estructuras tridimensionales del flujo en la pared, cuyo tamaño es del orden del valor del y+ (según la ecuación 8.7, y + = yu τ ν ∼ 1), el orden de magnitud de la resolución espacial resulta ser N Ω ∼ Re1,8 (en la dirección normal, que tiende a la estructura externa, se relaja esta restricción). Agregando la restricción temporal, que en este caso se estima en N t ∼ Re 0,6 (en función de los ciclos de la turbulencia interna), el coste computacional de dicha capa escala con N interna ∼ Re 2,4 . Nótese que la combinación del coste computacional de ambas capas resulta ser nuevamente del orden de una simulación DNS. Únicamente para números de Reynolds bajos o moderados (hasta 104-105), mediante supercomputadores y con pocos contornos sólidos, es posible abordar un simulación LES que tenga en cuenta el efecto de pared directamente. A este tipo de simulaciones se les denomina habitualmente WRLES o LES-NWR (Wall-Resolved o Near-Wall Resolved). Para poder aplicar esta aproximación es preciso asegurar que y+ < 1. Además, para resolver la mayor parte de la energía (el 80%) se requiere no sólo un mallado muy fino perpendicular a la pared, sino también en el resto de las direcciones. Como norma aceptada, se utilizan unos valores de referencia de x+ 50 − 150 (en la dirección de la corriente) y z + 15 − 40 (por unidad de ancho). En caso de que no se pudiera llegar a mallados tan refinados, únicamente se podría capturar el 50% de la energía turbulenta en la capa límite, por lo que se estaría resolviendo lógicamente un VLES-NWR. Sin embargo, para la mayoría de las aplicaciones prácticas es mucho más recomendable, en términos de coste y precisión de resultados, introducir un modelado de la pared en la simulación LES. Existen varias posibilidades para ello:

281

282 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia c

Modelo WMLES (Wall-modelled LES). En este caso se trata sencillamente de implementar un modelo de pared (función logarítmica de pared). Esta metodología está basada en el mismo tratamiento de pared que se hace en los modelos RANS (v. subapartado 10.6.6), en la que se sustituye el cálculo de la capa límite por una ley de pared preestablecida. En este caso, se pueden adoptar valores de y+ > 11,225, con el consiguiente ahorro computacional. Habitualmente, se utilizan valores de y+ 20 − 150.

c

Modelo de dos capas. Otra posibilidad, con el objeto de no prefijar la capa límite por completo, es la de resolver las ecuaciones de la capa límite en la zona próxima a la pared (sólo la región interna) utilizando un modelo de turbulencia tipo RANS. Fuera de esa zona se resuelven las ecuaciones filtradas con el modelo LES (con un coste computacional únicamente de N externa ∼ Re 0,6 ).

c

Técnicas DES (Detached Eddy Simulation). El siguiente paso es resolver la totalidad de la capa límite (región interna y externa) mediante un modelo de turbulencia RANS, permitiendo el acople de ese modelo con las ecuaciones filtradas LES que resuelven únicamente las zonas interiores del dominio. La zona de cambio viene fijada por la propia malla, que es la que determina en qué punto se pasa de un tipo de aproximación a otra. Normalmente, como modelo RANS se utiliza un modelo de una ecuación (Spalart-Allmaras). Este tipo de técnicas, conocidas también como híbridas, presentan la importante ventaja de que aúnan las mejores características de ambas aproximaciones: aprovechan las contrastadas habilidades de los modelos tipo RANS para resolver capas límites finas, no desprendidas y cambian a una aproximación LES para resolver regiones de flujo separado, muy vortical y turbulento. Así, en la zona RANS se resuelve un modelo de turbulencia convencional que pasa a ser SGS en la zona LES mediante un sencillo artificio matemático: d = min⎡ ⎣ d , CDES ∆ ⎤ ⎦

[10.34]

donde d es la distancia a la pared y CDES∆ establece el valor de referencia en 10.33 para aplicar el Smagorinsky-Lilly en el modelado SGS. De esta forma, ∆) se tiene que d = d (RANS) y, lejos de la pared próximos a la pared (d (CDES ∆ < d) se tiene que d = CDES ∆ (LES). El principal problema de las técnicas híbridas es que la separación entre RANS y LES viene determinada por el tamaño de la malla. Puesto que la malla se define apriorísticamente, es muy importante (y muy difícil) definir una malla de partida que consiga hacer el cambio de RANS a LES donde realmente interese (en la frontera de la capa límite). Para tratar de superar este problema, se han desarrollado recientemente las técnicas DDES (Delayed DES) que permiten utilizar mallas ambiguas en las que se protege la capa límite modificando el valor de la longitud d.

10.5 Large Eddy Simulation (LES)

10.5.4. Condiciones iniciales y de contorno

Puesto que la simulación LES resuelve los torbellinos no estacionarios y tridimensionales de la escala integral, parece obvio que la contribución de estas escalas en las condiciones de contorno debería tenerse en cuenta. Sin embargo, este tipo de información no está disponible normalmente, puesto que lo habitual es conocer únicamente los valores medios en dichas condiciones, y con suerte, el nivel total de la fluctuación (p.ej., intensidad de la turbulencia). Esto es particularmente crítico en la condición de contorno a la entrada, por ejemplo en el caso de un perfil de velocidad entrante al dominio. Para poder resolver correctamente el decaimiento o la interacción de la turbulencia arrastrada por el flujo de entrada con las estructuras del flujo aguas abajo, es importante especificar unas escalas turbulentas realistas en la entrada. Existen un par de métodos aproximados que logran superponer al perfil promedio diferentes fluctuaciones (en distribución espacial y variación temporal) generando un campo aleatorio vortical. Son los métodos conocidos como sintetizador espectral y método de vórtices, que básicamente incorporan modos de oscilación adicionales al valor medio (modo cero). En el caso de condiciones de salida y condiciones periódicas, la definición de las variables en las mismas ya no es crítica. Así, respecto a la condición de periodicidad, únicamente se ha de cumplir que la distancia entre ellas sea mayor que la longitud de onda de la estructura vortical más grande del flujo. Esto se cumple habitualmente, pues la periodicidad la fijan directamente las dimensiones características del flujo, que salvo en caso de fenómenos de amplificación, son del orden de la escala integral o mayor que ella. Para las condiciones de salida, es especialmente crítico asegurar que no se colocan en posiciones donde haya flujos de recirculación, de modo que se reprodujese el problema de la condición de entrada. Asegurando que se sitúan en zonas de flujo desarrollado, basta con imponer condiciones convectivas típicas para implementarlas correctamente. Finalmente, en relación con las condiciones iniciales, simplemente hay que recordar que no son importantes cuando lo que se busca en la simulación es la solución estadística del problema en condiciones de flujo estacionario (el caso habitual). Ahora bien, utilizar unas condiciones iniciales realistas (con escalas turbulentas ya integradas y no sólo valores medios) puede ayudar a reducir sustancialmente el tiempo de simulación hasta llegar a ese estado estacionario. Por lo tanto, es recomendable inicializar el dominio de cálculo mediante, por ejemplo, un método espectral para acelerar el transitorio del proceso iterativo.

283

284 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia

10.6 Modelos de turbulencia para las ecuaciones RANS La turbulencia se caracteriza por las fluctuaciones aleatorias que se superponen al valor promedio (estadístico). En la aproximación RANS se introduce un promediado temporal a las variables con el objeto de separar el valor medio de la parte fluctuante. Para que esta operación tenga sentido estadístico (y físico), el tiempo de promedio tiene que ser mucho más grande que el período característico de las fluctuaciones turbulentas de la escala integral. Esta aproximación encaja muy bien con la filosofía del I-CFD, puesto que en las aplicaciones ingenieriles lo habitual es estar interesado en los efectos del flujo medio, más que en los detalles de las fluctuaciones. Es importante notar que al hablar de flujo medio (mejor sería hablar de “promedio”), hacemos referencia a la parte de la variable sin fluctuaciones turbulentas, cuyo valor no tiene por qué ser necesariamente estacionario. De hecho, las ecuaciones de gobierno promediadas mantienen la derivada temporal, por lo que de forma genérica, el valor promedio puede ser perfectamente no estacionario (en este caso se denominan aproximaciones URANS, es decir, Unsteady-RANS). Con esta aproximación, los flujos turbulentos se resuelven a partir de las ecuaciones promediadas en el tiempo. Al aplicar este promedio sobre las ecuaciones de flujo, ecuación 3.12 en caso incompresible, se obtiene un nuevo conjunto de ecuaciones que pasan a describir las variables promediadas, pero que además contienen promedios de los productos de las componentes fluctuantes de la velocidad. Estos productos, las ya mencionadas tensiones de Reynolds, tienen que modelarse para poder cerrar el sistema de ecuaciones. Existen varias maneras de llevar a cabo los promedios: promedios temporales, promedios muestrales (ensemble), promedios espaciales o promedios másicos. En este caso, nos centraremos en los promedios temporales (continuos) y en los muestrales (discretos).

10.6.1. Filtrado temporal. Propiedades El promedio temporal descompone cada variable instantánea en la suma de un valor promedio y de una fluctuación, según la formulación ya avanzada en 10.12. Este promedio, planteado sobre una variable continua como la velocidad, resulta: 1 t +T u ( x , t ) = ∫ u ( x , t ) dt T t

[10.35]

10.6 Modelos de turbulencia para las ecuaciones RANS

En el caso de tener N medidas de una variable (por ejemplo, en el caso de la figura 10.1 se tendrían dos medidas de la traza de velocidad), tras haber realizado N experimentos idénticos, es muy útil calcular el promedio muestral como: N

1 ∑un ( x , t ) N →∞ N n=1

u ( x , t ) = lim

[10.36]

donde al tener un número discreto de medidas (N) la integral se sustituye por un sumatorio, y al ser muestras idénticas de un mismo fenómeno se cumple que u ( x , t ) = un ( x , t ) . Como no siempre se dispone de un número infinito de medidas, siempre hay que determinar el número mínimo representativo con el que u ( x , t ) ya es casi estadísticamente invariable (v. figura 10.10). Ambos tipos de promedios (o filtrados) ofrecen una serie de propiedades interesantes. Así, para dos variables (ya sean continuas o discretas), promediadas según u = u + u′ y v = v + v′, al ser el filtrado temporal un operador lineal, se cumplen las siguientes relaciones aritméticas:

u′ = v′ = 0;

u +v = u +v; u′v = 0;

uv = uv ; ∂u ∂u = ; ∂s ∂s

u = u;

∫ u ds = ∫ u ds;

uv = u v + u′v′ v =v

[10.37]

∇⋅ ( ∇u ) = ∇⋅ ( ∇u )

Si la variable fuese vectorial, v = v + v′, entonces también se cumpliría que:

∇⋅ (uv ) = ∇⋅ (uv ) = ∇⋅ (uv ) + ∇⋅ (u′v′)

∇⋅ v = ∇⋅ v ;

Trazas instantáneas de N experimentos u

[10.38]

n=1 n=2

...

...

n=3 ... n=N

+

t u Promedio muestral

Figura 10.10 Promediado muestra-a-muestra (ensemble) de varias trazas de velocidad.

285

286 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia Ecuaciones de Navier-Stokes promediadas temporalmente: ecuaciones RANS

La aplicación del operador promedio sobre la ecuación vectorial 3.12 conduce a la siguiente expresión:

∂vi 1 + ∇ vi v j + ∇ v′i v′j = − ∇ p + ∇ ( ν∇vi ) ∂t ρ

( )

( )

[10.39]

donde el subíndice i representa cada una de las componentes espaciales y el producto vi v j es la notación para indicar que la componente i está multiplicada por el resto de las componentes. Nótese que se han utilizado las diversas propiedades de los promedios definidas en 10.37 y 10.38. Como siempre, reordenando la ecuación se recupera la ecuación de transporte general, pero expresada para la variable promediada. El peaje que debe pagarse por introducir este operador es la aparición del término en fluctuaciones de velocidad:

∂vi ∂t Temporal

( )

+ ∇ vi v j = − Convectivo

1 1 ∇ p + ∇ ( ν∇vi ) − ∇ ρv′i v′j ρ ρ

Fuente (presión)

(

Difusivo

)

[10.40]

Tensiones de Reynolds

El término adicional, conocido como tensiones de Reynolds, proporciona seis incógnitas nuevas al problema:

τ xx = −ρu′2 ;

τ yy = −ρv′2 ;

τ xy = −ρu′v′;

τ xz = −ρu′w′;

τ xx = −ρw′2

[10.41]

τ yz = −ρv′w′;

donde (u, v, w) representan las tres componentes de la velocidad. Nótese que el tensor de tensiones tiene simetría diagonal por lo que τxy = τyx, τxz = τzx y τyz = τzy. La ecuación anterior se expresa de forma compacta como:

τij = −ρv′i v′j

[10.42]

El cierre del problema exige la modelización de esas incógnitas; esto es, habrá que relacionarlas (de una forma u otra, más simple o más compleja) con las incógnitas ya existentes; es decir, con la parte promediada de las variables (v. 10.6.2 a 10.6.5 para conocer las posibilidades típicas). Finalmente, conviene también recordar que cualquier otra variable escalar turbulenta (temperatura, presión, concentración,

10.6 Modelos de turbulencia para las ecuaciones RANS

etc.), incorpora un término adicional con producto de fluctuaciones en la ecuación de transporte:

∂ρφ + ∇ ρφ v j = ∇ Γ φ ∇φ − ∇ ρφ′v′j + Sφ ∂t

(

)

(

(

)

)

[10.43]

tensiones adicionales

donde

(

)

∇ φ′v′j =

∂ ( ρu′φ′) ∂x

+

∂ ( ρv′φ′) ∂y

+

∂ ( ρw′φ′) ∂z

10.6.2. Hipótesis de Boussinesq

En el caso de fluidos newtonianos, la Mecánica de Fluidos clásica establece que existe una relación lineal entre el tensor de tensiones viscosas y el tensor de deformaciones en el seno del fluido. Esta evidencia, encontrada por Navier y Poisson para casi todos los líquidos y gases, permite generalizar la ley de Newton que relaciona los esfuerzos cortantes con los gradientes de velocidad (deformación) mediante la viscosidad molecular del fluido: ⎛ ∂v ∂v j ⎞ i [10.44] ⎟ τ ijvisc = 2 μeij = μ⎜ + ⎜ ∂x ⎟ ⎝ j ∂xi ⎠ Basándose en esta idea, Boussinessq propuso en 1877 que debía existir alguna analogía entre la interacción de las tensiones viscosas y de las tensiones de Reynolds con el flujo promedio. Constatando que las tensiones turbulentas aumentan cuando se incrementan las componentes del tensor promedio de deformaciones, ideó que las tensiones de Reynolds debían estar ligadas con el tensor Sij (ecuación 10.31) por medio de un coeficiente de viscosidad artificial o turbulenta (eddy viscosity):

⎛ ∂v ∂v ⎞ ⎜ i + j ⎟= 2 μt Sij τ ij = −ρv′i v′j ≈ μt ⎜ ⎟ ⎝ ∂x j ∂x i ⎠

[10.45]

siendo μt un factor de proporcionalidad que puede ser un valor constante o una función (o modelo) que cambie a lo largo del dominio. Lógicamente, también se puede expresar como una viscosidad cinemática turbulenta según νt = μt ρ. Por analogía, el transporte turbulento de calor, masa u otra variable escalar se define de manera similar, suponiendo que el transporte turbulento del escalar es proporcional a los gradientes del valor medio de la variable transportada a través de una difusividad turbulenta, Γt , es decir:

−ρv′i φ′ ≈ Γt

∂φ ∂xi

[10.46]

287

288 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia Habitualmente, el valor de la difusividad turbulenta se da en función de su cociente respecto de la viscosidad turbulenta como σ t = μt Γt . Puesto que este mecanismo de mezcla es similar al de momento, se suelen adoptar valores de σt próximos a la unidad. La implicación física de esta hipótesis es que el efecto de las tensiones adicionales de Reynolds se sustituye por la contribución de una viscosidad turbulenta adicional, μt, que se suma a la viscosidad molecular, μ. De esta forma, es como si el fluido, al estar en régimen turbulento, tuviera de forma efectiva una mayor viscosidad. Este artificio se corresponde con la idea perfectamente contrastada de que la turbulencia favorece la mezcla y la difusión del flujo. En su concepción original, Boussinesq adoptó para μt un valor constante, elección que sólo proporciona buenos resultados en casos muy concretos, relacionados con flujos libres (sin efectos de pared) como chorros axisimétricos y chorros 2-D o capas de mezcla. Años más tarde, Prandtl (1925) introduciría el concepto de longitud de mezcla, tratando de adaptar la idea de la viscosidad artificial a esos efectos de la capa límite en los contornos sólidos. Este modelo de longitud de mezcla (y otros derivados de él) describen las tensiones por medio de una sencilla relación algebraica para μt en función de la posición, razón por la cual se denominan modelos de cero ecuaciones (v. subapartado 10.6.3). En los modelos algebraicos, el siguiente paso natural es introducir algún tipo de ecuación diferencial adicional, por ejemplo para el transporte de la energía cinética turbulenta. Es el caso del modelo de Spalart-Allmaras, principal exponente de los modelos de una ecuación, en el que se resuelve una viscosidad turbulenta modificada. Sin embargo, la opción más habitual es la de utilizar modelos de dos ecuaciones, como el clásico modelo k-épsilon, un modelo más sofisticado que permite la descripción de las propiedades turbulentas básicas: la energía cinética turbulenta, k, y la tasa de disipación viscosa, ε. Se introducen dos ecuaciones de transporte para cada una de estas variables, que se encuentran relacionadas con la viscosidad turbulenta por medio de su cociente adimensional. Este modelo y sus variantes (k-omega) siguen siendo hoy día los modelos de partida básicos y los más empleados en simulaciones de tipo industrial. Todos los modelos anteriores se basan en la hipótesis de Boussinesq, la cual supone implícitamente que la viscosidad turbulenta μt es isotrópica (la relación entre la tensiones de Reynolds y el tensor promedio de deformación es la misma en todas las direcciones). Por esta razón, se engloban todos ellos bajo la denominación de modelos lineales de viscosidad turbulenta (Eddy Viscosity Models, EVM). Aunque válida en un buen número de situaciones, esta hipótesis pierde validez en situaciones de flujos tridimensionales, con mucha separación y gradientes de presión extremadamente adversos. Cuando la hipótesis de Boussinesq no sea válida, será preciso definir ecuaciones de transporte para cada una de las seis tensiones de Reynolds en 10.41. La cantidad

10.6 Modelos de turbulencia para las ecuaciones RANS

de momento fluctuante (turbulento) de las partículas de fluido también es transportado por el flujo promedio, por lo que es perfectamente razonable plantear en este caso una ecuación de transporte para cada una de ellas. Lógicamente, al necesitar una ecuación de transporte para cada tensión, el coste computacional de estos modelos de tensiones de Reynolds (RSM), o modelos de segundo orden, es notablemente superior a los EVM. Esto implica que su utilización frente a los anteriores debe estar bien justificada en términos de precisión y tiempo de cálculo. Los términos de difusión, disipación y deformación por la presión que aparecen en las ecuaciones de transporte son desconocidos a priori, por lo que será necesario hacer algún tipo de suposición sobre su comportamiento en el sistema. Todos estos extremos se detallan más adelante en el subapartado 10.6.5. A continuación se presentan brevemente cada uno de los modelos, en su versión para flujo incompresible. Más detalles sobre su implementación o su formulación para flujo compresible se pueden encontrar en la bibliografía referenciada.

10.6.3. Modelo de longitud de mezcla de 0 ecuaciones Históricamente se puede considerar como el primer modelo de turbulencia, propuesto por Prandtl en 1925. Su idea se basa en considerar la distancia media, perpendicular a la capa de cortadura (figuras 10.2 y 10.3), a lo largo de la cual una partícula pierde su cantidad de movimiento turbulento y adquiere la velocidad media de su nueva posición. Aplicando el análisis dimensional, es inmediato establecer la relación existente entre la viscosidad turbulenta y las escalas características de longitud y velocidad de flujo según:

νt

cϑ

[10.47]

donde c es una constante de proporcionalidad. Además, se acepta que la mayor parte de la energía cinética turbulenta está contenida en las escalas integrales, del orden de la longitud característica del flujo , y transportadas según la diferencia de velocidades entre las capas, por lo que la relación entre velocidad característica y longitud de escala debe ser proporcional al gradiente de velocidad ( ∆u entre capas) en la dirección normal. O lo que es igual:

ϑ

c′

∂u ∂y

[10.48]

siendo c´ una constante y habiendo tomado el valor absoluto del gradiente para asegurar que la escala de longitud característica es siempre positiva. Combinando 10.47

289

290 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia y 10.48 y expresando para la viscosidad dinámica, en lugar de la cinemática, se obtiene:

μt = ρ

2 m

∂u ∂y

[10.49]

Este tipo de modelo funciona correctamente en casos sencillos bidimensionales donde únicamente la tensión de Reynolds τ xy =−ρu′v′ es significativa gracias al único gradiente medio de consideración: ∂u ∂y . Bajo ese supuesto, el tensor de tensiones se reduce únicamente a considerar:

τ xy = ρ

2 m

∂u ∂u ∂y ∂y

[10.50]

Asimismo, en la ecuación 10.49, la longitud de mezcla viene dada por la sencilla relación de distancia a la pared, m = κy, donde κ = 0,41 es la constante de Von Kàrman. En la tabla 10.2 se resumen los valores de las longitudes de mezcla para los flujos de cortadura bidimensionales más habituales (figura 10.3). Este modelo es fácil de implementar y proporciona buenas predicciones para flujos de cortadura libres. Sin embargo, resulta bastante inexacto para flujos en la capa límite. Para esas situaciones, se ha generalizado el modelo dividiéndolo, introduciendo expresiones distintas de la viscosidad cinemática turbulenta para

Tabla 10.2 Longitudes de mezcla para flujos turbulentos bidimensionales (tomado de Versteeg y Malalasekera, 2007). Tipo de flujo

Longitud de mezcla A m

Longitud característica (integral), L

Capa de mezcla (mixing layer)

0,07 L

Ancho de la capa

Chorro

0,09 L

Semiancho del chorro

Estela

0,16 L

Semiancho de estela

Chorro axisimétrico

0,075 L

Semiancho del chorro

Tuberías y canales (flujo desarrollado)

L[0,14 – 0,08(1 – y/L)2 – 0,06(1 – y/L)4]

Radio de tubería o semiancho del canal

Capa límite sin gradiente de presión

κy[1 – exp(–y+/26)] (capa interna) 0,09 L (capa externa)

Espesor de la capa límite, δ*

10.6 Modelos de turbulencia para las ecuaciones RANS

las regiones internas y externas de la capa límite. Es el denominado modelo de Cebeci-Smith (1974):

νtinterna = ρ νtexterna

2 m∇ × v

si y < yc ∗

= 0,0168 ρ ue δ F si

y > yc

[10.51]

donde m en la capa interna se toma el de la tabla 10.2 (corrección de Van Driest, 1956), ue es la velocidad externa a la capa límite y F es un−1factor de intermitencia del límite de la capa límite de la forma: F = (1 + 5,5( y δ)6 ) . Debido a la incertidumbre del cálculo de la velocidad externa ue , Baldwin y Lomax (1978) propusieron un valor alternativo para la capa límite externa:

νtexterna = 0,0168 β F ymax Γ max −1

siendo ahora β = 1,6, F = (1 + 5,5( αy y max )6 )

[10.52]

con α = 0,3 y

+ Γ max = y⎡ ⎣1 − exp(− y 26 ⎤ ⎦∇ × v

10.6.4. Modelos de viscosidad artificial (Eddy Viscosity Models, EVM) Con el propósito de corregir los defectos de los modelos anteriores, se han desarrollado toda una serie de modelos (de una o dos ecuaciones) que asignan a μt una expresión que depende de algún tipo de ecuación de transporte adicional. La idea de fondo es generalizar la ecuación 10.45, introduciendo un sumando ⎛2 ⎞ adicional ⎜ ρk δij ⎟ en dicha relación lineal constitutiva, para preservar el álgebra ⎝3 ⎠ tensorial en la ecuación de transporte de k. De esta forma, se fija ahora que:

⎛ ∂v ∂v ⎞ ⎜ i + j ⎟− 2 ρk δij τ ij = −ρv′i v′j ≈ μt ⎜ ⎟ ⎝ ∂x j ∂x i ⎠ 3

[10.53]

donde k es la energía cinética turbulenta, expresada como la semisuma de la diagonal principal del tensor de Reynolds: k=

(

1 1 ρv′k v′k = ρu′2 + ρv′2 + ρw′2 2 2

)

[10.54]

291

292 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia Nótese la importancia del término adicional en la definición de las tensiones de Reynolds cuando se hace la suma de 10.53 a lo largo de la diagonal principal:

⎛ ∂u ∂ v ∂w ⎞ ⎛ 2 ⎞ τ xx + τ yy + τ zz = −ρu′2 − ρv′2 − ρw′2 = 2 μt ⎜ + + ⎟ − 3⎜ ρk ⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ 3 ⎠ −2 ρk ∇⋅v

Si no se hubiese introducido esa corrección, la energía cinética sería nula (!). Además, ese sumando garantiza que se cumpla estrictamente la analogía de las tensiones de Reynolds con las tensiones viscosas en la diagonal principal: basta comprobar por ejemplo que para la tensión τxx se cumple exactamente:

τ xx =−ρu′2 ≈ μt

∂u ∂x

Como la hipótesis de Boussinesq considera que la turbulencia es totalmente isotrópica, las fluctuaciones en todas las direcciones del espacio serán iguales: u′2 = v′2 = w′2 . Por esta razón se puede estimar un valor de fluctuación turbulenta característico:

k=

3 ρu′2 ⇒ u′ ∼ 2

2k 3ρ

[10.55]

Los principales modelos que se han construido a partir de esta formulación lineal e isotrópica utilizan distintas definiciones de la viscosidad turbulenta μt para la ecuación 10.53. En particular, los más importantes y extendidos son: c

Modelo Spalart-Allmaras: Resuelve una única ecuación de transporte para una turbulencia viscosa modificada ν que se relaciona con μt según una función:

μt = f ( ν) c

Modelo k-épsilon: Resuelve ecuaciones de transporte para la energía cinética turbulenta k y para la tasa de disipación viscosa ε que se relacionan con μt según una función: ⎛ ρk 2 ⎞ μt = f ⎜ ⎜ ε ⎟ ⎟ ⎝ ⎠

c

[10.56]

[10.57]

Modelo k-omega: Resuelve ecuaciones de transporte para la energía cinética turbulenta k y para la tasa específica de disipación viscosa ω = ε/k que se relacionan con μt según una función:

⎛ ρk ⎞ μt = f ⎜ ⎟ ⎝ω⎠

[10.58]

10.6 Modelos de turbulencia para las ecuaciones RANS

Estos modelos se analizan a continuación, con especial detalle en el modelo k-épsilon dada su importancia y lo extendida de su utilización. Además, se aborda su aplicación sobre condiciones de contorno, para generalizar al caso turbulento la aplicación de la condición de pared que había quedado pendiente en el apartado 8.3.3. 10.6.4.1. Modelo Spalart-Allmaras (S-A)

Este modelo, desarrollado en 1992, es una opción muy atractiva para resolver la turbulencia con un modelo EVM lineal a un bajo coste computacional. La única ecuación a resolver se plantea como:

⎡ ⎛ ∂ν ⎞2 ⎤ 1⎢ ∂ ⎡ ∂ν ∂ν ∂ν ⎤ ⎟ ⎥− Yν + Sν ⎢( μ + ρν) ⎥+ Cb2 ρ⎜ + vj = Gν + ⎜ ⎟⎥ ∂t ∂x j σ ν ⎢ ∂x j ⎣ ∂ ∂ x x ⎥ j⎦ ⎝ j⎠⎦ ⎣ ⎢

[10.59]

siendo Gv un término de producción de viscosidad turbulenta e Yv un término de destrucción en las zonas próximas a los contornos sólidos debido al bloqueo de las paredes y a la disipación viscosa. Además, σ ν y Cb2 son constantes y ν es la viscosidad cinemática molecular. En este caso, como la energía cinética turbulenta no se calcula, el término adicional que se introdujo en 10.53 se ignora para calcular las tensiones de Reynolds. La viscosidad turbulenta se calcula en esta ocasión como: 3

μt = ρ ν f ν1 con

( ν ν) f ν1 ≡ 3 ( ν ν) + Cν31

[10.60]

Más detalles sobre la implementación del modelo y la definición de los términos de producción y disipación se pueden consultar en la bibliografía especializada. Aquí, su tratamiento está fuera de los objetivos de este capítulo. El origen de este modelo estaba orientado hacia problemas de aerodinámica y de flujo en el interior de turbomáquinas con el objeto de estudiar la estructura del flujo sobre perfiles aerodinámicos con pequeña separación y capas límites controladas. 10.6.4.2. Modelo k-épsilon (k-ε)

El método simple más completo para simular la turbulencia es el que se basa en un modelo de dos ecuaciones, ya que permite la solución de las velocidades turbulentas y de las escalas de longitud de forma independiente. De entre toda la familia de modelos de dos ecuaciones, el modelo k-épsilon (Launder y Spalding, 1972) es el

293

294 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia que más aceptación y utilización ha tenido dentro del ámbito de la I-CFD. Su robustez, economía y razonable precisión para resolver un gran número de flujos turbulentos explican su popularidad para simular flujos industriales y aplicaciones en transferencia de calor. Debido a su masiva utilización durante las últimas décadas, han ido surgido diferentes variantes de la formulación original (denominada estándar) que trataban de mejorar algunos aspectos concretos de su comportamiento. En particular, destacan los modelos RNG k-ε (Yakhot y Orszag, 1986) y Realizable k-ε (Shih et al., 1995). El modelo k-ε estándar es un modelo semiempírico que se basa en la modelización de dos ecuaciones de transporte para la energía cinética turbulenta, k, y para su tasa de disipación, ε. La ecuación de transporte para k se obtiene de su ecuación exacta, mientras que la de ε se deduce a partir de razonamientos físicos y analogías diversas con la de k. De esta forma, la tasa de disipación turbulenta es la variable que determina la escala de la turbulencia, siendo k la variable que fija la energía de la turbulencia. Los modelos k-épsilon han demostrado su gran utilidad en flujos de cortadura libres, en casos de gradientes de presión relativamente pequeños. Del mismo modo, para flujos confinados e internos, el modelo proporciona buenos resultados cuando los gradientes de presión medios son moderados. Además, en la obtención de este modelo se supone que el flujo turbulento está completamente desarrollado y que los efectos de la viscosidad molecular son despreciables. La ecuación de transporte para k se obtiene sumando cada una de las ecuaciones de Navier-Stokes (3.12), previamente multiplicadas por la componente turbulenta correspondiente de la velocidad. Aplicando luego la misma secuencia sobre cada una de las ecuaciones de Reynolds 10.40 y restando estas expresiones de las anteriores, es posible, tras mucha álgebra, obtener:

⎡⎛ ∂ ( ρk ) μ ⎞ ⎤ ∂ ( ρkvi ) = ∂ ⎢⎜ μ + t ⎟ ∂k ⎥+ 2 μt Sij Sij − ρε + ∂t ∂x i ∂x j ⎣ σ k ⎠∂x j ⎦ ⎢⎝ ⎥

[10.61]

donde se ha definido la tasa de disipación viscosa, función del tensor fluctuante de deformaciones 1⎛ ∂v′i ∂v′j ⎞ ⎟ s′ij = ⎜ + ⎟ ∂ ∂ x x 2⎜ i⎠ ⎝ j como:

ε = 2 ν s′ij s′ij

[10.62]

10.6 Modelos de turbulencia para las ecuaciones RANS

Además, el término del segundo miembro de la ecuación 10.61 que incluye el tensor promedio de deformaciones es el término de producción de k: Gk = 2 μt Sij Sij . Respecto a la ecuación para ε, ésta se establece análogamente como: 2 ⎡⎛ ∂ ( ρε) μ ⎞ ⎤ ∂ ( ρεvi ) = ∂ ⎢⎜ μ + t ⎟ ∂ε ⎥+ Cε1 ε Gk − ρCε2 ε + k k ∂t ∂x i ∂x j ⎣ σ ε ⎠∂x j ⎦ ⎢⎝ ⎥

[10.63]

Finalmente, el modelo se completa definiendo una determinada relación para 10.57, de la forma:

μt = ρC μ

k2 ε

[10.64]

Así, asignando una serie de valores predeterminados para las distintas constantes, que se han obtenido en experimentos con fluidos elementales (aire y agua) en condiciones de flujo turbulento con diversos tipos de capa de cortadura y turbulencia isótropa que decaen libremente, se obtiene la formulación completa del modelo:

C μ = 0,09

Cε1 = 1, 44

Cε2 = 1,92

σ k = 1,0

σ ε = 1,3

[10.65]

Además, con estas constantes, el modelo ha demostrado que predice correctamente los fenómenos turbulentos en una amplia variedad de problemas, tanto en capas de cortadura libres como en capas límites de contornos sólidos. Condiciones de contorno en el modelo k-épsilon

La resolución de dos nuevas ecuaciones de transporte para k y ε exige también los valores frontera de estas variables en las condiciones de contorno. Aquí se analizan brevemente las condiciones más habituales (presentadas en el capítulo 8) y se completa la formulación de los términos fuente en las regiones próximas a contornos sólidos cuando y+ > 11,225. c

Entradas: Se deben fijar los valores de k y ε, que raramente están disponibles, y que por tanto es necesario estimar de alguna manera. Lo habitual es utilizar otras variables más intuitivas como la intensidad de turbulencia (Tu) y la longitud integral característica (L), que se pueden estimar más fácilmente (a partir de la experiencia o de valores típicos conocidos de formas indirectas) y que se relacionan con las variables fundamentales según: k=

2 3 TuU ) ( 2

34

ε = Cμ

k

32

[10.66]

L

295

296 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia donde U representa la velocidad media del flujo. Habitualmente, se fijan valores de la intensidad de turbulencia entre el 5 y el 10% como valores normales, dejándose para valores cercanos a 1−1,5% y 20% cuando se tienen condiciones muy uniformes o extremadamente turbulentas. Respecto al valor de la escala integral, se puede adoptar tranquilamente que sea una fracción del valor característico del fluido, es decir: L ∼ 0,1 . c

Salidas: En estas condiciones, así como en las de simetría, basta imponer que los gradientes de las variables en la dirección normal al contorno se anulan. Esto es:

∂k =0 ∂n c

∂ε =0 ∂n

[10.67]

Paredes: En función de que la pared sea fija, móvil o tenga una determinada temperatura, será necesario introducir diferentes términos fuente (tanto en las ecuaciones de transporte para k y ε como en la de momento para las velocidades) en las celdas adyacentes a los contornos sólidos, tal y como se avanzó en el subapartado 8.3.3.

En las tablas 10.3 y 10.4 se resumen los distintos términos SC y SP que deben introducirse en los coeficientes aP y en los términos fuente b de las distintas ecuaciones de transporte a resolver en función de las condiciones de pared:

Tabla 10.3 Valores de SC en función del tipo de pared (tomado de Versteeg y Malalasekera, 2007). Tipo de ecuación

Ec. de momento (para velocidad u con pared horizontal) (ec. 3.12) Ecuación para k (ec. 10.61)

Ecuación para ε (ec. 10.63)

Ecuación para T (ec. 3.13)

Pared fija

Pared con temperatura

Pared móvil

1 4 1 2

ρC μ k u pared

0

u τ pared u P ∆y p

+

0

Apared

3 4 3 2 +

∆V

−

τ pared u pared + ρC μ k P u ∆y P

0

∆V

34 32

C μ kP

κ ∆y p

⋅1010

0

0

1 4 1 2

0

0

ρC μ kP C pTpared T

+

Apared

10.6 Modelos de turbulencia para las ecuaciones RANS

Tabla 10.4 Valores de SP en función del tipo de pared (tomado de Versteeg y Malalasekera, 2007). Tipo de ecuación

Pared fija

Ec. de momento (para velocidad u con pared horizontal) (ec. 3.12 )

14 12

1 4 1 2

−

ρC μ k u

Apared

+

3 4 ∗1 2 +

Ecuación para k (ec. 10.61)

−

ρC μ k P u ∆y p

∆V

−

ρC μ k +

u

τ pared ∆y P

Ecuación para ε (ec. 10.63)

−10

0

Ecuación para T (ec. 3.13)

0

0

siendo T

+

=−

10

Pared con temperatura

Pared móvil

0

Apared

0

∆V

0

1 4 1 2

−

ρC μ kP C p T

(T − T ) C pared

q pared

P

ρ uτ

+

Apared

, κ = 0,41 es la constante de Von Kàrman y u+ definido según 8.9.

10.6.4.3. Modelo k-omega (k-ω)

El modelo k-omega, desarrollado por Wilcox (1998), incorpora pequeñas modificaciones en los fundamentos de los modelos k-épsilon para hacerlo más apropiado en el análisis de flujos turbulentos a números de Reynolds bajos. La ecuación de transporte para k se mantiene con una formulación parecida (se modifican los términos de producción y disipación) y se incorpora una ecuación de transporte para la tasa específica de disipación, ω, definida como el cociente entre ε y k (con dimensiones de T–1). Se ha demostrado que responde muy bien en condiciones de flujo de transición, incluso en presencia de gradientes de presión importantes. Además, presenta diferentes submodelos para incluir efectos de compresibilidad y correcciones a las tensiones de cortadura. Existe un modelo complementario, introducido por Menter (1994) y denominado SST k-ω para hacer la formulación más robusta en la zona de transición entre la capa límite (donde k-ω presenta buenas prestaciones) y la zona de flujo libre (zona sin turbulencia, bien calculada ya por k-ε).

297

298 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia Las ecuaciones que definen este modelo son:

⎡⎛ ∂ ( ρk ) μ ⎞ ⎤ ∂ ( ρkvi ) = ∂ ⎢⎜ μ + t ⎟ ∂k ⎥+ 2 μt Sij Sij − ρ β∗ f β∗ k ω + ∂t ∂x i ∂x j ⎣ σ k ⎠∂x j ⎦ ⎢⎝ ⎥

[10.68]

⎡⎛ ∂ ( ρω) μ ⎞ ⎤ ∂ ( ρωvi ) = ∂ ⎢⎜ μ + t ⎟∂ω ⎥+ α ω Gk − ρ β f β ω2 + ∂t ∂xi ∂x j ⎣ σ ω ⎠∂x j ⎥ k ⎢⎝ ⎦

[10.69]

donde el término de producción de k es Gk = 2 μt Sij Sij , al igual que en el modelo k-épsilon anterior. En estas ecuaciones aparecen una serie de constantes α, β y β∗, así como unas funciones relacionadas con estas constantes, f β y f β∗ , con expresiones matemáticas complejas, pero que pueden ser evaluadas sin problemas. Como es característico de los modelos EVM, la formulación se completa definiendo una relación para 10.57, en este caso de la forma:

μt = α∗ ρ

k ω

[10.70]

donde el coeficiente α∗ es una función matemática de corrección, función del número de Reynolds, y que es responsable de suprimir la viscosidad turbulenta en condiciones de bajo número de Reynolds. 10.6.4.4. Otros modelos no lineales

Existen otros muchos modelos que siguen la filosofía de turbulencia isotrópica y que, basándose en la hipótesis de Boussinesq, desarrollan algún tipo de formulación con una viscosidad turbulenta artificial. Hasta ahora, las diferentes posibilidades que se han analizado aquí, desde relaciones algebraicas simples hasta modelos complejos de una o dos ecuaciones, presentaban con mayor o menor complejidad un relación lineal entre las fluctuaciones turbulentas y los gradientes de las variables promediadas (ecuaciones 10.45 y 10.53). Sin embargo, algunos autores han propuesto relaciones no lineales del tipo:

(

τ ij = −ρv′i v′j ≈ 2 μt F Sij , Ωij ,...

)

[10.71]

siendo F una función no lineal en la que intervienen los tensores promedio de deformación y vorticidad,

⎛ ∂v ∂v ⎞ 1⎛ ∂vi ∂v j ⎞ ⎟− 2 ρk δij y Ωij = 1⎜ i − j ⎟ . Sij = ⎜ + ⎟ ⎟ 2⎜ 2⎜ ⎝ ∂x j ∂x i ⎠ 3 ⎝ ∂ x j ∂x i ⎠

10.6 Modelos de turbulencia para las ecuaciones RANS

Basándose en esta idea, se han desarrollado toda una familia de modelos complejos que únicamente se citan a continuación: c

c

Relaciones de constitución explícitamente no lineales, como el modelo k-épsilon cúbico o el modelo explícito algebraico de tensiones de Reynolds (EARSM). Modelo v 2 − f (Durbin, 1995), similar al modelo k-épsilon, pero en el que en lugar de resolver una ecuación de transporte para k, se resuelve para una escala de fluctuaciones de velocidad v2 . Además, introduce efectos anisotrópicos en la proximidad de las paredes mediante una función de relajación elíptica, definida como f.

10.6.5. Modelos de transporte para las tensiones de Reynolds (RSM) La última gran familia de modelos de turbulencia que se van a estudiar es el que corresponde a las ecuaciones de transporte para las tensiones de Reynolds. En la ecuación 10.41 ya se observó cómo, tras promediar temporalmente, aparecían seis correlaciones para las tensiones de Reynolds. Los modelos de transporte RSM proponen definir directamente una ecuación de transporte para cada una de ellas, a pesar del importante coste computacional asociado a tal procedimiento. Con esta aproximación es posible reproducir directamente los efectos direccionales del campo de tensiones de Reynolds. Este modelo, introducido por Launder en 1975, es un intento de encontrar un esquema que se ajuste lo mejor posible a la dinámica de la turbulencia en situaciones de deformaciones complejas. En esos casos, las tensiones de Reynolds ya no se pueden predecir razonablemente según 10.53, y es necesario buscar una alternativa más genérica. El modelo de transporte de las tensiones de Reynolds (RSM) es el modelo clásico más complejo, por lo que es habitual denominarlo también como modelo de cierre de segundo orden. Se caracteriza por considerar un comportamiento anisotrópico de la turbulencia, resolviendo para ello las ecuaciones de transporte de las tensiones turbulentas y una ecuación adicional para la tasa de disipación. Esto implica resolver cinco ecuaciones adicionales en problemas bidimensionales y siete en casos tridimensionales. La ecuación general a resolver para cada tensión se obtiene a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas tras multiplicarlas por unas velocidades fluctuantes. Así, denominando MA(ρ) a la ecuación de conservación de la masa y MO(vi) a la de momento para cada componente de la velocidad, se pueden deducir las ecuaciones de transporte para las tensiones de Reynolds como:

v′i ⋅ MO(v j ) + v′j ⋅ MO(vi ) + v′i v′j ⋅ MA( ρ) = 0

[10.72]

299

300 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia Tras mucha álgebra, se llega a la ecuación general de transporte para cada tensión de Reynolds:

(

∂ ρv′i v′j ∂t

)

+

∂ ρvk v′i v′j = Pij + Dij − ρεij + Πij + Ωij ∂x k

(

)

[10.73]

donde

∂ ρvk v′i v′j ∂xk

(

)

es el término convectivo, Cij. Además, cada uno de los términos en el segundo miembro de la ecuación representa: c

Producción de tensiones de Reynolds (Pij). Contiene tensiones turbulentas generadas a costa de la energía media del flujo y como consecuencia de su deformación media. Este término no necesita posterior modelización ya que viene dado por:

Pij = −ρv′j v′k c

∂v j ∂vi − ρv′i v′k ∂x k ∂x k

[10.74]

Difusión de las tensiones de Reynolds (Dij). Este término consta de dos partes. Un primer término es la difusión turbulenta (fenómeno de transporte por fluctuaciones de velocidad), dado por:

DT ,ij = −

∂ ⎡ ⎤ ⎣ ρv′i v′j v′k + p δkj v′i + δik v′j ⎥ ⎦ ∂x k ⎢

(

)

[10.75]

y que necesita modelado posterior. Existe un segundo término, de difusión molecular que no necesita ser modelado:

DL ,ij = c

⎤ ∂ ⎡ ∂ v′i v′j ⎥ ⎢μ ∂x k ⎣ ∂x k ⎦

( )

[10.76]

Términos de esfuerzos de presión (Πij). Las fluctuaciones de la presión redistribuyen la tensión turbulenta para generar un campo de turbulencia más isotrópico. Su expresión matemática viene dada por:

⎛ ∂v′ ∂v′j ⎞ i ⎟ Πij = p⎜ ⎜ ∂x + ∂x ⎟ i⎠ ⎝ j

[10.77]

10.6 Modelos de turbulencia para las ecuaciones RANS

Si se expresa según la terminología de una ecuación exacta de Poisson, la ecuación 10.77 se reescribe en función de tres términos constitutivos: Πij = Πij,s + Πij,r + Πij,w . El primero es el llamado término lento (slow term), que representa la tendencia de la turbulencia no isótropa a convertirse en isótropa; el segundo es el denominado término rápido (rapid term), que representa la “isotropización” del proceso de producción de tensiones; y, finalmente, un término de reflexión de la presión en pared. Estos tres términos necesitan de ecuaciones de cierre. c

Disipación de la tensión (εij). Este término representa la disipación de la tensión que ocurre básicamente a las escalas más pequeñas. Su expresión es:

εij = 2 ν c

∂v′i ∂v′j ∂xk ∂xk

[10.78]

Rotación de las tensiones (Ωij). Este término describe el transporte por rotación y se define como:

(

Ωij = −2 ρΩk v′j v′m εikm + v′i v′m ε jkm

)

[10.79]

donde Ωk es el vector de rotación y el símbolo εijk es un operador de signos que vale 1 cuando i, j y k son distintos y en orden cíclico, –1 cuando i, j y k son distintos pero en orden anticíclico, y 0 si algún subíndice se repite. Para que el modelo RMS quede definido por completo es imprescindible modelar los términos que han quedado pendientes: DT,ij, Πij y εij. A continuación se presentan las formulaciones implementadas a tal efecto. Término de difusión, DT,ij

El término que necesita cierre, denominado transporte difusivo de la turbulencia, se modeliza mediante la generalización de la difusión del gradiente (modelo de Daly y Harlow, 1970) como:

DT ,ij = CS

∂ ⎡ ku′k u′m ∂v′i v′j ⎤ ⎢ρ ⎥ con CS = 0,22 ∂x k ⎣ ε ∂x m ⎦ ⎢ ⎥

[10.80]

Puesto que la ecuación 10.80 puede derivar en inestabilidades numéricas, es muy habitual utilizar una relación alternativa mediante una difusión de la turbulencia escalar, definida como:

DT ,ij =

k2 ∂ ⎡ μt ∂v′i v′j ⎤ ⎢ ⎥ con μt = ρ C μ ∂x k ⎢ ε ⎣ σ k ∂xm ⎥ ⎦

y σ k = 0,82; C μ = 0,09

[10.81]

301

302 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia Término de esfuerzo de presión, Πij

Se ha visto que el sumando Πij de la ecuación 10.73 se subdivide a su vez en otros tres términos de la forma: Πij = Πij,s + Πij,r + Πij,w . La modelización de cada uno de esos bloques implica la necesidad de diferentes expresiones de cierre, gracias a las cuales es posible completar el término total. Así, utilizando una formulación lineal (también existen formulaciones cuadráticas más complejas para este tensor), se tiene:

⎤ ε⎡ 2 Πij , s = −C1 ρ ⎢ v′i v′j − δij k ⎥ con C1 = 1,8 ⎦ k⎣ 3

[10.82]

De forma análoga, los otros subtensores se definen como:

⎡ ⎤ 2 Πij ,r = −C2 ⎢ Pij + Bij + Cij + Ωij − δij ( P + B − C ) ⎥ con C2 = 0,6 [10.83] ⎣ ⎦ 3

(

)

32

Πij ,w

⎤C k ε⎡ 3 = C1′ ⎢ v′k v′mnk nm δij − v′i v′k n jnk − v′j v′k ni nk ⎥ + ⎦ εd 2 k⎣ 32

[10.84]

⎤C k + C′2⎡ ⎣ Π km,r nk nm δij − Πik ,r n jnk − Π jk ,r ni nk ⎦ εd

donde Cij, Pij y Ωij se definen como ya vimos en 10.73, 10.74 y 10.79; y además P = 12 Pkk , C = 12 Ckk y Bij y B son términos que se modelizan en derivadas parciales de temperatura para tener en cuenta efectos de flotabilidad (buoyancy). Las constantes son iguales a C1′ = 0,5, C′2 = 0,3, C = C 3μ 4 κ con κ = 0,41, constante de Von Kàrman, y habiendo definido a nk como la componente k-ésima del vector normal a la pared y a d como la distancia normal a la pared. Término de disipación, εij

El modelo propuesto para el tensor de disipación es: 2 εij = δij ( ρε + YM ) 3

[10.85]

donde YM = 2 ρ ε Mat2 es un término adicional de “disipación por dilatación”. Se ha definido un número de Mach turbulento como Mat = k a 2 , siendo a la velocidad del sonido, y cuyo efecto se aprecia para gases ideales compresibles. Finalmente,

10.6 Modelos de turbulencia para las ecuaciones RANS

el índice de disipación, como un escalar, se calcula mediante una ecuación de transporte similar a la 10.63: 2 ⎡⎛ ∂ ( ρε) ⎡ ⎤ μ ⎞ ⎤ ∂ ( ρεvi ) = ∂ ⎢⎜ μ + t ⎟ ∂ε ⎥+ Cε1⎢ ε Gk + Cε3 Bk ⎥− ρCε2 ε [10.86] + ⎣k ⎦ k ∂t ∂xi ∂x j ⎢⎝ σ ε ⎠∂x j ⎥ ⎣ ⎦

de constantes σ ε = 1,0, Cε1 = 1, 44, Cε2 = 1,92 y Cε3 que se evalúa en función de la dirección local del flujo en relación con la dirección de la gravedad. Llegados a este punto, el modelo RSM está completado. Sin embargo, es habitual utilizar como opción adicional la de resolver también la ecuación de transporte para la energía cinética turbulenta, obtenida como semisuma de la diagonal principal del tensor de tensiones de Reynolds. De esta forma es posible conseguir valores de las tensiones de Reynolds para las distintas condiciones de contorno del modelo:

⎡⎛ ∂ ( ρk ) μ ⎞ ⎤ ∂ ( ρkvi ) = ∂ ⎢⎜ μ + t ⎟ ∂k ⎥+ Gk + Bk − ρε (1 + 2 Mat2 ) + ∂t ∂x i ∂x j ⎢ σ k ⎠∂x j ⎥ ⎣⎝ ⎦

[10.87]

El modelo RSM es claramente un modelo muy complejo, desarrollado para superar las deficiencias inherentes a las suposiciones de los modelos EVM. Evidentemente, parecen ser los modelos que mejor puedan capturar la física de los mecanismos turbulentos, en virtud de su anisotropía, su consideración de efectos de memoria o el transporte directo de las tensiones de Reynolds. Como contrapartida, esto exige importantes esfuerzos de modelado para un gran número de términos, incrementando significativamente las necesidades computacionales y dificultando la convergencia debido al fuerte acoplamiento entre todas las ecuaciones que intervienen en la resolución. Su utilización está justificada para flujos tridimensionales complejos, con fuertes deflexiones y cambios de curvatura en la dirección de la corriente así como cuando la rotación es un parámetro importante (implícitamente incluida en la definición 10.73). Sin embargo, elegir siempre este modelo por defecto frente a modelos de dos o una ecuación, no tiene necesariamente por qué dar mejores resultados. Queda en la decisión del usuario, basada en sus conocimientos o en la experiencia, si es imprescindible realizar la simulación con este tipo de modelo de cierre de segundo orden. Modelo algebraico de tensiones (ASM)

El modelo ASM es un modelo que permite preservar la anisotropía de las tensiones de Reynolds pero de una forma mucho más económica, sin necesidad de tener que resolver todos los términos de las ecuaciones. En particular, lo que se plantea aquí es evitar el elevado coste computacional asociado a los gradientes de las tensiones que aparecen tanto en los términos convectivos como difusivos de las ecuaciones (10.73 a 10.76).

303

304 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia Rodi (1982) propuso la sencilla idea de que eliminando esos gradientes, las ecuaciones diferenciales de transporte se transforman en sencillas ecuaciones algebraicas. A pesar de que esta aproximación proporciona buenos resultados en ciertas condiciones, suprimir completamente esos términos resulta una simplificación demasiado rígida. Por el contrario, parece más conservador considerar que la suma de los términos convectivo y difusivo de las tensiones de Reynolds son simplemente proporcionales a la suma de los correspondientes términos convectivo y difusivo de la energía cinética turbulenta. Esto viene a ser equivalente a afirmar que el ratio entre las tensiones y la energía turbulenta, v′i v′j k , varía de forma suave a lo largo del flujo en estudio. Introduciendo esta aproximación en 10.73 y haciendo alguna reordenación de términos, se obtiene el modelo de tensiones algebraico:

⎛ CD 2 Rij = v′i v′j ≈ k δij +⎜ ⎜ 3 ⎝ C1 − 1 + P

⎞⎛ ⎞k 2 ⎟ ⎜ Pij − P δij ⎟ ⎟ ⎠ε ε ⎠⎝ 3

[10.88]

donde las tensiones de Reynolds aparecen en los dos lados de la ecuación 10.88 (en el lado de la derecha están incluidas en el término Pij), por lo que esta ecuación constituye un sistema de seis ecuaciones algebraicas simultáneas para las seis tensiones incógnitas. El sistema se puede resolver mediante técnicas iterativas si los valores de k y ε son conocidos, por lo que es necesario resolver este modelo en conjunto con las ecuaciones k-épsilon estándar (10.61 a 10.64). Las constantes toman los valores de referencia: CD = 0,55 y C1 = 2,2. Este modelo, que gozó de cierta popularidad a principios de la década de los noventa por el ahorro computacional que proporcionaba, ha ido cayendo en desuso gracias a la mejora de los medios computacionales actuales. De hecho, actualmente el modelo RSM puede ser fácilmente ejecutado para cualquier tipo de simulación industrial (incluso disponiendo de potencias de cálculo bastante modestas), por lo que no hace falta introducir ningún tipo de simplificación adicional en la modelización. Es más, la progresiva generalización de los modelos de viscosidad turbulenta (EVM) para incluir efectos de anisotropía en sus ecuaciones constitutivas han ayudado también a que los modelos algebraicos ASM hayan sido aparcados en la trastienda. Tal es así, que algunos fabricantes de software comercial hace tiempo que han dejado de introducir este modelo de turbulencia en sus librerías.

10.6.6. El problema de la pared: tratamiento de la capa límite La compleja estructura del flujo en la capa límite próxima a la pared implica un serio desafío para cualquier tipo de modelo de turbulencia. Ya se ha visto, a raíz de las serias limitaciones de las técnicas DNS, que la raíz del problema es la necesidad de tener un número extraordinario de puntos en la subcapa viscosa. De otra forma, es

10.6 Modelos de turbulencia para las ecuaciones RANS

imposible capturar la dinámica de las escalas turbulentas que allí se desarrollan. Por esta razón, las técnicas LES, fundamentadas en la resolución de los torbellinos de escala característica (en este caso la subcapa), también sufrían de extraordinarias restricciones, y necesitaban modelos adicionales de pared o modelos híbridos para aplicar aproximaciones RANS en la zona de la pared. La idea fundamental, por tanto, es que las escalas turbulentas en los contornos sólidos son tan pequeñas que el número de celdas necesario se dispara, por lo que la estrategia más acertada es modelizar la capa límite por completo, en función de valores promedios (aproximación RANS). Además, en el ámbito de la ingeniería, las simulaciones rara vez están interesadas en la estructura de la turbulencia, sino en una buena predicción de los valores integrados (globales) sobre los contornos sólidos, como son las fuerzas de arrastre, las caídas de presión o las pérdidas viscosas. Haciendo uso de la formulación experimental que rige sobre la estructura de la capa límite (apartado 8.3.3), se han desarrollado diversos modelos matemáticos para proporcionar condiciones de contorno para las celdas en las paredes de flujos turbulentos. De esta forma, se introducen condiciones para todas las ecuaciones de transporte a resolver. Genéricamente, se distinguen dos tipos de aproximación (v. figura 10.11): c

Funciones de pared (Wall Functions, WF). Se basan en la ley logarítmica que se produce en la zona turbulenta de la región interna en la capa límite (figura 8.6) y que tiene validez en el rango y+ ∼ 30 a 300. A su vez se definen como de tipo estándar (SWF) o como de no equilibrio (NWF), que presentan correcciones a la ley logarítmica original cuando la capa no está completamente desarrollada. En este caso el mallado a emplear debe ser relativamente basto, puesto que su aplicación es correcta a partir de y+ > 11,225.

c

Tratamiento mejorado de pared (Enhanced Wall Treatment, EWT). Combina el uso de la ley logarítmica (con un ajuste blando a la condiciones en la subcapa

ue

Zona de flujo externo

FUNCIÓN DE PARED (SWF & NWF) y+ 3

Frontera de capa límite

zona capa turbulenta externa

capa externa capa totalmente capa turbulenta (capa logarítmica) interna subcapa + capa buffer

Pared

TRATAMIENTO MEJORADO DE PARED (EWT) y+ 1

P

capa interna

subcapa + capa buffer

Pared

P

Pared Posición del primer punto

Figura 10.11 Tratamiento de la pared en función de la densidad de malla (adaptado de Fluent v6.3 - User's guide, 2006).

305

306 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia viscosa laminar) con el uso de un modelo de dos zonas para resolver la distribución de la velocidad en toda la capa interna (inner layer). Para aplicar esta opción es imprescindible tener un mallado muy fino, del orden de y+ ∼ 1, lo cual exige al menos entre 10 o 15 celdas en la subcapa viscosa. Puesto que el valor de y+, indicador que discierne cuál de las dos aproximaciones es la óptima, sólo se puede conocer una vez obtenida la solución, no es mala idea utilizar algún tipo de correlación sencilla que permita anticipar una estimación del valor de y+ en función del tipo de flujo que se tenga. Esta consideración permite conocer cuál debe ser la distancia aproximada del primer centroide a la pared para asegurar un determinado valor de y+. Posteriormente, en función de ese valor, del tamaño de dominio a cubrir y del tipo de progresividad que se pueda aplicar a la malla, es inmediato deducir cuál será el número total de celdas del dominio con el objeto de juzgar si se tienen los medios computacionales necesarios para abordar su resolución. Para estimar la posición del primer centroide basta con fijar el valor de y+ que se quiera (ya sea en torno a 1 o en torno a 30) y despejar el valor real yP de la ecuación 8.7, teniendo en cuenta que la velocidad de fricción uτ definida en 8.8 se iguala en este caso a

uτ = ue C f 2 donde el coeficiente de fricción medio se estima por aproximación a correlaciones empíricas: Placa plana (flujo externo):

Conducto (flujo interno):

Cf 2

Cf 2

0,2 ≈ 0,037 Re− L

[10.89]

0,25 ≈ 0,039 Re− D

[10.90]

En la tabla 10.5 se muestran, para un álabe de 100 mm de cuerda, los valores aproximados de resolución espacial necesarios en las proximidades de la pared, así como el número total de celdas resultantes para modelar la capa límite (en la dirección perpendicular), en función del número de Reynolds del flujo incidente, en un dominio bidimensional cartesiano. Se ha utilizado la correlación 10.89, así como la clásica ecuación −1 7 (v. White, 1979) para estimar el tamaño de la capa límite turbulenta. δ x = 0,16 Re x A la vista de los resultados de la tabla 10.5, se pueden establecer las siguientes conclusiones y recomendaciones: c

Es recomendable utilizar el modelo de pared (estándar o de no equilibrio) cuando el número de Reynolds sea suficientemente grande; habitualmente

10.7 Estrategias y buenas prácticas para la utilización de los modelos de turbulencia

Tabla 10.5 Requerimientos de mallado en la subcapa viscosa en función del modelo de pared y del número de Reynolds en condiciones de flujo externo (álabe inmerso en una corriente libre). Número de Reynolds (Re)

y+ ∼ 1 yP (mm)

104

0,13

106

0,002

108

3,3 × 10–5

y+ ∼ 30 Núm. celdas

65 2148 70 210

yP (mm)

Núm. celdas

3,91

3

0,062

72

9,8 × 10–4

2340

Re > 106, ya que el número de celdas requerido para resolver la subcapa viscosa tiende a ser excesivo. Además, apenas se obtiene una mejora por resolver dicha capa, ya que el parámetro crítico en estas condiciones es una buena elección del modelo de turbulencia. Se recomiendan las leyes de no equilibrio si se tiene flujo separado, reattachment o flujo incidente (impinging flows). c

Se puede considerar la utilización del tratamiento mejorado (EWT) si el número de Reynolds es bajo (o es imprescindible resolver las características del flujo en la pared, a pesar del elevado coste computacional que podría estar asociado).

c

Finalmente, siempre es una buena práctica tratar de usar un mallado que sea, o bien lo suficientemente fino para aplicar EWT, o bien lo suficientemente basto para aplicar leyes de pared, con la idea de evitar colocar el primer centroide en la capa buffer (y+ ∼ 5 a 30), zona intermedia que es terreno de nadie (ni aplica bien la aproximación EWT ni la WF).

10.7 Estrategias y buenas prácticas para la utilización de los modelos de turbulencia

No es fácil decidir a priori qué modelo de turbulencia es el más apropiado para una determinada aplicación industrial. Cada aproximación y cada modelo tienen asociados una serie de ventajas e inconvenientes que debemos evaluar cuidadosamente antes de decantarnos por una elección definitiva. Desechada la simulación directa por imposibilidad técnica, la primera decisión debe recaer en el tipo de aproximación numérica que más convenga: LES, RANS o

307

308 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia híbrida (v. figura 10.12). Para ello se deben analizar una serie de aspectos de forma razonada y desde un punto de vista ingenieril, tales como: c

La física del fluido y la dinámica de la turbulencia.

c

Capacidades computacionales disponibles.

c

Las especificaciones del proyecto, tanto a nivel de detalle y precisión de las soluciones requeridas como en el plazo de tiempo disponible para las simulaciones.

c

Tratamiento requerido en las paredes.

En función de la importancia relativa de cada uno de estos elementos se establece una idea aproximada del modelo que más interesa. Lógicamente, también la experiencia es un grado muy importante, así como no olvidar hacer un breve acercamiento a los últimos avances sobre el problema para conocer los métodos que emplean habitualmente otros investigadores. El número de Reynolds del problema es el indicador fundamental para elegir el método más conveniente en cuanto a la calidad de la solución en relación con el

MODELOS ALGEBRAICOS

MODELOS DE TURBULENCIA

- Modelo de longitud de mezcla (Prandtl) - Modelo Cebeci-Smith - Modelo Baldwin-Lomax MODELOS DE 1 ECUACIÓN

MODELOS DE 2 ECUACIONES

MODELOS RANS

- Modelo k-épsilon: Standard / RNG / Realizable - Modelo k-omega: Standard / SST - Modelo v2-f

Modelos de tensiones

RANS/LES HÍBRIDOS

Tratamiento de paredes

TÉCNICAS LES

Modelado SGS

Figura 10.12 Clasificación de modelos de turbulencia.

- Modelo algebraico de tensiones (ASM) - Modelo de transporte de tensiones (RSM)

- WMLES (Wall-modelled LES) - Modelos de dos capas - DES (Detached Eddy Simulation) - DDES (Delayed Detached Eddy Simulation)

- Modelo de Smagorinsky-Lilly - Modelo WALE - Modelo dinámico de subescala - Modelo de transporte de energía cinética

Mayores recursos computacionales

Eddy Viscosity Models (EVM)

- Modelo Spalart-Allmaras - Modelo Baldwin-Barth

10.7 Estrategias y buenas prácticas para la utilización de los modelos de turbulencia

coste computacional (figura 10.6). Así, en general, para números de Reynolds altos, el estándar es decantarse por simulaciones RANS, dejando la aplicación de las técnicas LES para casos muy excepcionales en los que interese capturar la física del fenómeno. Conforme los recursos computacionales vayan incrementándose en las próximas décadas, cada vez será posible poner la frontera entre RANS y LES a mayores números de Reynolds. Téngase en cuenta que LES proporciona siempre soluciones no estacionarias y fluctuantes, mientras que RANS resuelve valores promediados estadísticos. Desde el punto de vista industrial, únicamente suelen ser de interés los valores medios y, en consecuencia, aunque LES ofrezca soluciones muy ricas desde el punto de vista de la física, siempre habrá que reducirlas a sus valores medios y estadísticos de las fluctuaciones para que sean de aplicación práctica en la ingeniería. El tratamiento de los contornos sólidos (rara vez no están presentes) es otro indicador fundamental que, en función del valor de y+ que los medios computacionales disponibles permitan alcanzar, fijará la posición del primer punto de la malla y determinará la densidad global del mallado. Evidentemente, el tamaño de malla llevará asociados unos tiempos de cálculo determinados que habrá que prever para no superar los plazos de los que se disponga para tener unos primeros resultados. Cuando se utiliza una técnica LES (o híbrida tipo DES) es muy importante definir de forma óptima la malla y el paso temporal (recuérdese que se intentan capturar vórtices turbulentos). Es recomendable el uso de mallas estructuradas, que ahorran en el número total de celdas y permiten refinos locales optimizados. También es muy interesante la aplicación de mallas híbridas. Respecto al modelo de submalla SGS, téngase en cuenta que su elección no es tan crítica como contar con una buena resolución de pared y una densidad de malla adecuada. Para obtener una solución válida con LES, es preciso proceder de la siguiente forma: c

Iniciar el cálculo del flujo promediado con una simulación RANS estacionaria.

c

Superponer un campo aleatorio de fluctuaciones (esto es, inicializar la simulación LES).

c

Comprobar que el paso temporal que se ha elegido permita cumplir el criterio del número de Courant en las celdas.

c

Comenzar a resolver iterativamente el transitorio y proceder hasta que se alcanza el estado estacionario (estadísticamente); esto se observa monitorizando variables del flujo mientras se resuelve.

c

Llegados a este punto, comenzar la fase final de simulación, en la que se va a muestrear (para poder obtener valores medios y RMS) durante un período característico suficiente (varias veces el tiempo de paso de flujo en el dominio u ).

c

Finalmente, postprocesar estos últimos resultados (medias, RMS, espectros, etc.).

309

310 Capítulo 10 Modelización de la turbulencia En el caso de optar por un modelo RANS, tras ajustar el modelo de pared adecuado al valor del y+ que se disponga (subapartado 10.6.6), es una buena estrategia plantearse: c

Comenzar la simulación con k-épsilon estándar para caracterizar el problema y obtener una solución preliminar.

c

Migrar hacia un modelo isotrópico más refinado (si es necesario), como k-épsilon RNG, k-omega (estándar o SST) o v 2 − f.

c

Migrar hacia RSM si es precisa una descripción anisotrópica de las tensiones de Reynolds: flujos tridimensionales, con rotaciones e importantes curvaturas (geometrías complejas).

Lo que realmente complica el tratamiento matemático de la turbulencia es el amplio espectro de escalas temporales y espaciales presentes en el flujo. La interacción entre los torbellinos de las diferentes escalas y el flujo promedio tiene un importante impacto en los valores medios de las principales variables del flujo. Una correcta simulación de la turbulencia debe garantizar que el efecto de los torbellinos queda perfectamente reflejado en las ecuaciones de transporte del flujo, ya sea con un mayor grado de aproximación (técnicas LES) o por medio de una mayor modelización (modelos RANS). En cualquier caso, aunque los diferentes modelos que se han analizado son realmente sofisticados, nunca debe olvidarse que todos ellos contienen constantes que se han determinado a partir de ajustes con datos experimentales. Existirá siempre, por tanto, un determinado grado de incertidumbre sobre los resultados numéricos obtenidos con estos modelos, siendo más pequeño cuanto menores sean las hipótesis de modelización. Es labor del ingeniero poder obtener resultados útiles con estas restricciones, analizando pros y contras, y teniendo siempre claro el nivel de calidad que se obtiene con el modelo finalmente elegido, así como el coste marginal asociado a resolver el problema con una aproximación de orden superior.

11 APLICACIÓN DEL CFD A FLUJOS INDUSTRIALES

(I-CFD)

Este último capítulo del libro presenta otros modelos necesarios en la simulación de flujos industriales. La aplicación del CFD en el ámbito de la industria (recientemente bautizada como I-CFD) necesita no sólo de la descripción del campo fluido o de la transferencia de calor asociada, sino también de otros modelos que describan fenómenos de combustión, cambio de fase, coexistencias multifásicas o reacciones químicas. Evidentemente no es realista tratar de abordar todas las posibles aplicaciones aquí; ni siquiera enumerar los diferentes modelos existentes en la literatura. Lo que se pretende simplemente es mostrar cómo se incorporan modelos adicionales a la metodología de volúmenes finitos. En particular, se analizarán los casos más habituales, entre los que destaca el transporte de especies (con o sin reacción química), la interacción de flujos multifásicos (con superficie libre o sin ella), la transferencia de calor con fenómenos de radiación o convección natural, así como el flujo en máquinas de fluidos. El objetivo final es presentar el alcance de estas técnicas para poder estudiar el flujo en el interior de instalaciones industriales típicas como son los hornos, calderas, lechos fluidizados, instalaciones para el transporte de mezclas, reactores químicos, intercambiadores de calor, turbomáquinas y motores o moldes y procesos de colada continua. Para algunas de estas aplicaciones se muestran incluso ejemplos de simulaciones reales.

312 Capítulo 11 Aplicación del CFD a flujos industriales (I-CFD)

Contenidos 11.1. Introducción 11.2. Transferencia de calor 11.2.1. Introducción 11.2.2. Convección natural. Fenómenos de flotabilidad 11.2.3. Radiación 11.3. Flujos multiespecie 11.3.1. Transporte sin reacción química 11.3.2. Transporte con reacción química 11.3.3. Combustión 11.4. Flujos multifásicos 11.4.1. Elección del modelo multifase apropiado 11.4.2. Modelo de fase discreta (DPM) 11.4.3. Modelo Euleriano 11.4.4. Modelo de mezcla 11.4.5. Modelo de volumen de fluido (VOF) 11.5. Modelos de solidificación 11.6. Transporte de escalares como trazadores 11.7. Modelización del flujo en máquinas de fluidos 11.7.1. Flujo no estacionario en máquinas de fluidos: mallas dinámicas. 11.7.2. Flujo en máquinas volumétricas: mallados deformables. 11.7.3. Flujo en turbomáquinas: mallados deslizantes. 11.7.4. Ejemplos de análisis del flujo en turbomáquinas. 11.8. Reflexiones finales y conclusiones

Bibliografía de referencia: Los modelos numéricos presentados en este capítulo han sido recopilados de FLUENT v6.3. "User´s guide", 2006.

11.1 Introducción

11.1 Introducción Para poder describir correctamente la gran variedad de procesos que concurren en los flujos industriales es imprescindible incorporar al código CFD todos los modelos físicos que le sean de aplicación al problema a resolver. Hasta el momento se ha analizado la complejidad de las ecuaciones de transporte para un fluido. Sin embargo, en el ámbito de la ingeniería, la realidad es que pocas veces se puede considerar que se tiene solamente un fluido (o una especie). La mayoría de las veces, en los flujos participan varios componentes (ya sean en mezcla, por concentración o por reacción química) o incluso se tienen varias fases inmiscibles que interaccionan por flotabilidad. Parece evidente que debe introducirse alguna estrategia para poder tratar cada fase o especie por separado, así como sus interacciones. Los subapartados 11.3 a 11.5 tratan principalmente la problemática de flujos multiespecie y multifásicos, con las distintas posibilidades que se abren además en cada caso. Allí se introducen los principales enfoques que existen para abordar su resolución. Sin embargo, antes de considerar flujos compuestos, a continuación se analizarán fenómenos de transferencia de calor complementarios a los ya vistos en los capítulos precedentes, convección (por flujo) y conducción (difusión molecular). En particular se analizará cómo introducir en las ecuaciones la convección natural (fenómenos de flotabilidad por diferencia de densidad asociadas a cambios en la temperatura) y la radiación.

11.2 Transferencia de calor La transferencia de calor está presente de forma decisiva en la mayoría de los procesos industriales. Los tres mecanismos básicos de transferencia de calor son la conducción, la convección y la radiación, siendo los dos primeros los fenómenos más habituales. La radiación únicamente es relevante cuando existen temperaturas muy altas en el proceso, normalmente en el caso de industrias metalúrgicas con presencia de metales líquidos a altas temperaturas. A continuación se retoma la ecuación de la energía en su forma más general, ecuación 1.3, para analizar los diferentes términos que la constituyen y evaluar la importancia relativa de cada uno de ellos. Este apartado concluye con el estudio de dos situaciones típicas: la convección natural y la radiación.

313

314 Capítulo 11 Aplicación del CFD a flujos industriales (I-CFD) 11.2.1. Introducción Cuando se modeliza la transferencia de calor es necesario activar todos los modelos físicos relevantes, proporcionándoles tanto condiciones de contorno como propiedades térmicas de los fluidos, así como la transferencia de calor en los contornos sólidos que configuran el problema. La ecuación de transporte que gobierna estos procesos es:

∂ ( ρE ) + ∇⋅ (v ( ρE + p)) = ∇⋅ ( k ∇T − ∑ h j J j + σ ⋅ v ) + Sh ∂t disipación conducción j difusión de especies

[11.1]

viscosa

donde E = h − p ρ + v 2 2 = h0 − p ρ es la energía total, en la que aparece la entalpía definida como suma de energía interna y esfuerzos de presión, h = u + p ρ , o bien la entalpía total suma de la entalpía y la energía cinética. En el segundo miembro de la ecuación 11.1 aparecen una serie de términos adicionales como son: c

Disipación viscosa: ∇⋅ ( σ ⋅ v ) . Es el término que tiene en cuenta el calentamiento por disipación viscosa (en las escalas de Kolmogorov). Normalmente es despreciable, salvo en casos particulares donde los esfuerzos cortantes sean extraordinarios (lubricación). Se puede evaluar su importancia relativa a partir del número de Brinkman (importante si Br es cercano a la unidad o mayor): Br =

c

μv 2 k ∆T

[11.2]

Difusión de especies: ⎛ ⎞ ∇ ⋅⎜ ∑ h j J j ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ j ⎠

Es un término energético que tiene en cuenta la difusión de la entalpía (transporte difusivo de entalpía) asociada a la difusión de especies, siendo

⎛ μ ⎞ J j = −⎜ ρD j + t ⎟∇m j Sct ⎠ ⎝ y mj la fracción másica de la especie j-ésima. c

Conducción: ∇⋅ ( k ∇T ) , que es el término que responde al transporte de calor debido a la conductividad térmica del fluido (o especies).

11.2 Transferencia de calor

c

Fuente: Sh , en el que se incluyen normalmente las fuentes de energía debido a reacciones químicas. Aquí se debe introducir la entalpía de formación de las especies presentes en el problema o bien la tasa volumétrica de su creación. También es típico introducir aquí los términos fuente debido a radiación.

La ecuación de la energía para regiones sólidas se reduce a la expresión 3.13, puesto que la entalpía de estancamiento se iguala a la entalpía estática (no hay efectos convectivos asociados al flujo). En este caso, el campo de velocidad hace referencia al movimiento del sólido rígido. En resumen, la ecuación de la energía establece el transporte de los flujos térmicos como un balance de los mecanismos básicos: convección (primer miembro de la ecuación), conducción (a nivel molecular, gobernada por la conductividad –o difusividad– térmica, y en la que se incluyen efectos de disipación y mezcla de especies), y la radiación (a modelizar en el término fuente y que se estudiará en el subapartado 11.2.3). Finalmente, aunque lo habitual es que la convección sea consecuencia directa del transporte de calor por los patrones macroscópicos del flujo, existe una convección natural, debido a diferencias de densidad, que se manifiesta entre zonas del flujo con diferentes temperaturas y que se trata a continuación.

11.2.2. Convección natural. Fenómenos de flotabilidad Cuando la transferencia de calor en un fluido hace que la densidad de éste varíe significativamente con la temperatura, se establece un flujo inducido por efecto de la gravedad como consecuencia de la diferencia de densidades. El fluido más frío (más denso) tiende a descender, mientras que el fluido más caliente (más ligero) asciende debido al desequilibrio térmico. Este tipo de fenómenos de flotabilidad son muy comunes en la industria, donde hay mezcla de masas a diferentes temperaturas (reactores, ventilación, hornos) que producen el establecimiento de flujos aún cuando no exista ninguna transferencia de cantidad de movimiento en el dominio. Típicamente se denominan fenómenos de convección natural. La importancia de la convección natural, en comparación con la existencia de otros flujos (por ejemplo, en un reactor, cuando se compara con el caudal de operación), viene fijada por el cociente entre los números de Grashof y Reynolds según: Gr Re

2

=

g β ∆T L v2

[11.3]

315

316 Capítulo 11 Aplicación del CFD a flujos industriales (I-CFD) donde L y v son las longitudes y velocidades características del flujo, ∆T es la diferencia de temperaturas entre masas calientes y frías y β es el coeficiente de dilatación térmica definido como 1 ⎛ ∂ρ ⎞ β =− ⎜ ⎟ ρ⎝ ∂T ⎠p

Evidentemente, cuando el cociente Gr/Re2 es cercano a uno o incluso cuando excede la unidad, los efectos de flotabilidad en el flujo son relevantes, dando lugar a lo que se conoce como convección mixta. En el caso de que no haya transferencia de cantidad de movimiento por acción de fuerzas externas al flujo, únicamente se produce movimiento debido a efectos de flotabilidad, de forma que el número adimensional que caracteriza la convección natural pura es exclusivamente el número de Rayleigh: Ra =

ρ g β ∆T L3 μα

[11.4]

siendo α la difusividad térmica, definida como α = k ρC p . Para números de Rayleigh por debajo de 108, el flujo inducido por la convección natural es laminar, mientras que entre 108 y 1010 se produce la transición a turbulento. La hipótesis de Boussinesq

La densidad de todo fluido varía con la temperatura. Por lo tanto, en la ecuación general de transporte, el campo de densidades va a estar íntimamente ligado al de temperaturas. Este procedimiento implica por tanto, un fuerte acoplamiento entre la ecuación de la energía y los coeficientes de las ecuaciones de momento (participados todos ellos por la densidad). Sin embargo, es posible evitar esta complejidad adicional introduciendo el modelo de Boussinesq, que garantiza una mayor convergencia que el planteamiento inicial y una reducción de la no linealidad de las ecuaciones. Este modelo, válido cuando las diferencias de temperatura que se generan en la convección natural no son muy grandes, supone que la densidad es constante en todas las ecuaciones pero a cambio introduce un término fuente adicional de flotabilidad en las ecuaciones de momento. De esta forma sólo hay que tener en cuenta el efecto de la diferencia de densidades en un único término y no en todas las ecuaciones, que se resuelven para una densidad de referencia, ρ0. El término de flotabilidad (bouyancy) se define como: B = ( ρ − ρ0 ) g ≈ −ρ0 β (T − T0 ) g

[11.5]

11.2 Transferencia de calor

donde T0 es la temperatura de referencia. En la ecuación 11.5 ya se incorpora la aproximación que permite eliminar la densidad actual, ρ, del término de flotabilidad, según la evolución lineal: ρ = ρ0 (1 − β ∆T )

[11.6]

siendo ∆T la diferencia entre la temperatura local y la de referencia. Esta formulación es válida mientras los cambios en la densidad sean pequeños. En particular, mientras se satisfaga que β (T − T0 ) 1. Nótese que esta hipótesis no se puede aplicar al caso de flujos multiespecie ni cuando se produzcan fenómenos de combustión o reacciones químicas. En el caso de flujos no estacionarios, la elección del paso temporal necesario para resolver correctamente flujos convectivos viene dado, como siempre, como una fracción del tiempo característico del fenómeno. En este caso se puede estimar el tiempo de las inestabilidades térmicas según la siguiente relación adimensional:

τ=

−1 2 L L2 ∼ ( Pr Ra ) = U α

L

[11.7]

g β ∆T L

La flotabilidad en el modelo de turbulencia

Los modelos de turbulencia también requieren de un término adicional para el transporte por flotabilidad. Por ejemplo, en el modelo k-épsilon, la ecuación para la energía cinética turbulenta 10.61 añade el término extra de generación Bk por flotabilidad:

⎡⎛ ∂ ( ρk ) μ ⎞ ⎤ ∂ ( ρkvi ) = ∂ ⎢⎜ μ + t ⎟ ∂k ⎥+ 2 μt Sij Sij + βg i μ ∂T − ρε [11.8] + ∂t ∂x i ∂x j ⎣ σ k ⎠∂x j ⎦ σ t ∂xi ⎢⎝ ⎥ Bk

donde gi es la componente del campo gravitatorio en la dirección xi. Análogamente, la ecuación para la tasa de disipación viscosa (10. 63), se convierte en: 2 ⎡⎛ ∂ ( ρε) μ ⎞ ⎤ ∂ ( ρεvi ) = ∂ ⎢⎜ μ + t ⎟ ∂ε ⎥+ Cε1 ε (Gk + Cε3 Bk ) − ρCε2 ε [11.9] + ∂t ∂x i ∂x j ⎣ σ ε ⎠∂x j ⎥ k k ⎢⎝ ⎦

en la que Cε3 es una constante que determina el grado en que la variable turbulenta ε está afectada por el fenómeno de flotabilidad. Habitualmente esta constante se determina como Cε3 = tanh v u , donde v es la componente del flujo paralela al

317

318 Capítulo 11 Aplicación del CFD a flujos industriales (I-CFD) campo gravitatorio y u es la componente perpendicular. De esta forma, Cε3 vale 1 para capas de cortadura por flotabilidad en las que el flujo principal está alineado con la gravedad y 0 para capas de cortadura perpendiculares a la gravedad. Simulación numérica del enfriamiento de fueloil confinado en un tanque

En el siguiente ejemplo se ilustra la aplicación de técnicas CFD para resolver un problema de convección natural. La especificación del problema y las condiciones de contorno se resumen brevemente. Se simula el comportamiento fluidodinámico de un fueloil de muy baja conductividad térmica confinado en los tanques de almacenamiento de un superpetrolero hundido. La temperatura inicial del fueloil es de 50 ºC (se transportan calientes para mantener su fluidez), mientras que la temperatura exterior del agua que rodea al pecio es tan sólo de 2,6 ºC. Este escenario reproduce las condiciones de los tanques de fueloil del buque petrolero “Prestige” (hundido cerca de las costas de Galicia en noviembre de 2002), con el objeto de determinar la fluidez del fueloil a largo plazo (Fernández Oro et al., 2006). En la figura 11.1 se muestran la geometría y las mallas empleadas en el estudio (izquierda), así como alguno de los resultados característicos obtenidos (derecha). Se consideró una geometría bidimensional, debido a la prevalencia del flujo de calor en el sentido transversal, con una malla de [124 × 64] celdas estructuradas. Se resolvieron las ecuaciones de flujo en modo laminar, debido a que el número de Rayleigh característico no sobrepasa el valor de 107, en un esquema no estacionario con pasos temporales de entre 1 y 2 segundos (al principio de la simulación) hasta 120, 600 y 900 segundos (al final, cuando el flujo ya se ha estratificado). También se empleó la hipótesis de Boussinesq para introducir los efectos de flotabilidad en las ecuaciones de gobierno. La modelización mostró el establecimiento de grandes células de recirculación (convección natural) al principio de la simulación, así como la aparición de vórtices inestables en la tapa superior (estratificación inestable), tal y como se observa en la figura 11.1 (arriba a la derecha). Para esa geometría de tanque, las escalas temporales de los vórtices de Rayleigh-Bénard resultaron ser del orden de 10 s, mientras que los vórtices grandes (impulsados por el enfriamiento de la pared lateral) se establecían y se mezclaban en intervalos típicos de unos 100 s. Los instantes finales de la simulación mostraban estructuras convectivas más complejas (a los 15 días), que acababan desembocando en zonas de estratificación estables en el fondo de los tanques (a los 3 meses). La principal conclusión del estudio fue demostrar que la temperatura media en los tanques lateral y central descendía hasta los 10 ºC (límite de fluidez del fuel) cuando habían transcurrido 3 y 5 meses, respectivamente, desde el comienzo del enfriamiento.

11.2 Transferencia de calor

Geometría de los tanques y mallado computacional

Tanque lateral (Fueloil) Ti = 50 ºC

Tanque central (Fueloil) Ti = 50 ºC Simetría

Pared vertical

19 m

Te = 2,6 ºC

Vórtices inestables bajo la superficie de enfriamiento superior (Rayleigh-Bénard)

10 m

Figura 11.1

7,5 m

15 días

3 meses

Evolución de las corrientes convectivas producidas por el enfriamiento del fueloil a lo largo del tiempo

Simulación numérica del enfriamiento de fueloil confinado en un tanque.

11.2.3. Radiación La radiación es un fenómeno de transferencia de calor que tiene importancia en determinadas circunstancias, tales como el estudio de la estabilidad y turbulencia en llamas, calentamiento y enfriamiento de superficies radiantes, problemas de radiación solar en ventanas, fachadas ventiladas y, por supuesto, procesos de conformado de vidrio, coladas continuas de acero o sinterizado de cerámicas. Como norma general, la radiación debe modelizarse si su potencia calorífica es del mismo orden (o mayor) que las transferencias de calor asociadas a la convección y a la conducción. Dicha potencia viene expresada en función de la cuarta potencia de las temperaturas: 4 4 Qrad = σ ε (Tmax − Tmin )

[11.10]

donde σ representa la constante de Stefan-Boltzmann, de valor 5,67 × 10–8 W/m2K4 y ε es la emisividad que varía entre 0 y 1 para cuerpos grises (se denominan cuerpos negros a los que absorben toda la radiación, ε = 1). Para tener en cuenta la radiación en los modelos, es necesario resolver una ecuación de transporte para la intensidad de radiación, I, que se incorpora además como término fuente a la ecuación de la energía. La conexión entre esta ecuación de trans-

319

320 Capítulo 11 Aplicación del CFD a flujos industriales (I-CFD) porte y la ecuación de la energía se establece en la absorción local de radiación por el fluido y en los contornos. La intensidad de radiación depende direccional y espacialmente de las fuentes y receptores. De esta forma, se establece que está influenciada por la absorción y la emisión local (fuente-sumidero de radiación), así como por la dispersión direccional (dispersión y concentración locales). La ecuación general viene expresada como:

σ 4π dI (r , s′) σT 4 + (a + σ s ) I (r , s′) = an2 + s ∫ I (r , s′) Φ( s ⋅ s′)dΩ′ ds π 4π 0 absorción

emisión

[11.11]

dispersión

en la que r es el vector de posición, s es el vector de dirección, s′ es la dirección de dispersión (scatter), a es el coeficiente de absorción, n es un índice de refracción, σs es el coeficiente de dispersión, σ representa de nuevo la constante de Stefan-Boltzmann, T es la temperatura local, Φ es una función desfase y Ω′ es un ángulo sólido. Existen cinco principales modelos para introducir la radiación en las ecuaciones: c

Modelo de las ordenadas discretas (DO).

c

Modelo de transferencia de radiación discreto (DTR).

c

Modelo de radiación P-1.

c

Modelo de Rosseland.

c

Modelo cara-a-cara (surface-to-surface, S2S).

La formulación e integración del término de absorción en el término fuente de la ecuación de momento son complejas y totalmente alejadas de los objetivos de este capítulo. Se recomienda al lector que acuda a la bibliografía especializada para consultar los desarrollos matemáticos. Simulación numérica del flujo en fachadas ventiladas por radiación

Las fachadas ventiladas son una solución constructiva bioclimática que permite reducir las necesidades de aire acondicionado en los edificios en las épocas de mucho calor. Su principio de operación es el de crear cavidades entre la pared de carga convencional y una falsa fachada acristalada por las que puedan circular corrientes de aire; corrientes generadas a partir de los efectos de flotabilidad inducidos por la propia radiación solar (v. figura 11.2). En este ejemplo, el estudio numérico de los mecanismos de transferencia de calor (convección natural y radiación) sobre una fachada ventilada típica se resolvió con un modelo tridimensional de 2,4 × 1,06 m2 de superficie frontal y 60 cm

11.2 Transferencia de calor

Absorción y dispersión I (a + s ) ds

I + (dI/ds) ds

Radiación incidente I Emisión (a T 4/ ) ds

Radiación saliente

Dispersión

ds

Figura 11.2 Transferencia de calor por radiación (adaptado de Fluent v6.3 - User's guide, 2006).

de profundidad (incluidas las cavidades de 5 cm de ancho) discretizado mediante un mallado de aproximdamente 1 millón de nodos (González et al. 2008). Se utilizó un modelo k-épsilon estándar para el cierre turbulento de las ecuaciones, así como un modelo de radiación de ordenadas discretas (DO), que resuelve la ecuación 11.11 para un número finito de ángulos sólidos, con el aire como medio no participante. La radiación solar se introdujo como una carga térmica de manera distribuida. Nuevamente, para reducir la carga computacional, se adoptó la hipótesis de Boussinesq debido a la pequeña diferencia de temperaturas entre zonas de aire caliente y aire frío. La simulación se ejecutó en modo estacionario, buscando caracterizar las estructuras finales del flujo, una vez completado el transitorio. Asimismo se plantearon escenarios de invierno y de verano, con temperaturas externas de 8 ºC y 30 ºC, así como diversas cargas de radiación solar, desde 0 hasta 600 W/m2. Las temperaturas interiores se fijaron en 24,5 ºC para verano y 22 ºC para invierno. En la figura 11.3 se muestran resultados de la distribución de temperaturas y del establecimiento de corrientes de aire en verano para 400 W/m2. Básicamente, los resultados muestran que cuando la radiación solar es elevada, los efectos de flotabilidad son muy significativos e inducen importantes corrientes de aire (véanse las líneas de corriente en la figura) que ayudan a enfriar la superficie externa del edificio. La solución numérica concuerda en general con estudios previos que apoyan la idea de la fachada ventilada como un elemento bioclimático que permite mejorar la eficiencia energética de los edificios convencionales.

321

322 Capítulo 11 Aplicación del CFD a flujos industriales (I-CFD)

Distribución de temperatura en las cavidades entre acristalamientos

Esquema de transferencia de calor en fachadas ventiladas (radiación solar y convección natural)

Pare

d de

la ca

vida

d Fa cha

da v

Qrad. S-W

n

enti

lada

Qcond. W

[ ]

GSOLAR w m2

Qconv. S

Qconv. W

TEXTERIOR

TINTERIOR

Qreflejado Qdisipado Bloques

Cavidad

Pared interior (estancia)

T – TEXTERIOR[ºC]

Líneas de corriente en el interior de cavidades en fachadas ventiladas

Figura 11.3 Mecanismos de transferencia de calor en fachadas ventiladas: radiación solar y convección natural.

11.3 Flujos multiespecie Es posible modelar la mezcla y el transporte de especies químicas distintas mediante la resolución de ecuaciones de conservación que describan la convección, difusión y las reacciones químicas para cada componente. Además, se pueden considerar múltiples tipos de reacciones, tanto de carácter volumétrico como superficial o en zonas porosas. Las posibilidades para simular el transporte de especies, con o sin reacción química, así como las condiciones de cierre necesarias se analizan en el presente apartado. Respecto al tipo de reacciones químicas a emplear se verá la existencia de diferentes aproximaciones en función de la cinética química considerada (instantánea, local, de tiempo finito, etc.). También es posible modelar flujos multifásicos que incorporen un balance químico, tal y como se muestra en el apartado 11.4. Previamente, como punto de partida, se retoma la ecuación de transporte de especies, dejando de lado las reacciones químicas.

11.3 Flujos multiespecie

11.3.1. Transporte sin reacción química La ecuación de transporte para las especies se obtiene promediando la ecuación 3.15 para el caso de flujo turbulento. De esa forma se llega a la expresión:

∂ ( ρmk ) ∂t

+

⎡⎛ μ ⎞∂m ⎤ ∂ ( ρvi mk ) = ∂ ⎢⎜ ρDk + t ⎟ k ⎥+ Rk ∂x i ∂x j ⎣ Sct ⎠ ∂x j ⎦ ⎢⎝ ⎥

[11.12]

para la especie k-ésima. Nótese que las fracciones másicas y el término fuente son valores promediados (no se ha representado el superíndice barra por comodidad). Lógicamente, si no hay reacción química, se debe fijar en la ecuación 11.12 que Rk = 0. Por otro lado, en el caso de flujo laminar, el sumando μt Sct se anula. Precisamente, ese término tiene en cuenta la difusión turbulenta, en el que aparece el número de Schmidt, definido como Sct = μt ρDt , siendo μt la viscosidad turbulenta y Dt la difusividad turbulenta. El método de resolución para el transporte de especies utiliza el concepto de mezcla de fluido. De esta forma, se utiliza primero ese medio de mezcla como constitutivo para resolver las ecuaciones de momento, continuidad y energía (con la densidad y viscosidad de la mezcla) y después se resuelven de manera acoplada las ecuaciones para cada especie a partir de los campos globales obtenidos. Así se consigue resolver un único campo fluido para toda la mezcla, evitando resolver más ecuaciones de las necesarias y reduciendo la complejidad matemática del modelo. El fluido de mezcla se puede interpretar como un conjunto de especies que cumplen unas determinadas leyes que gobiernan su interacción. Dicho fluido de mezcla debe quedar definido al menos por: c

La lista de las especies constituyentes, conocida como materiales fluidos.

c

Una serie de leyes de mezcla que determinen cómo son las propiedades del fluido de mezcla (densidad, viscosidad, calor específico, etc.) a partir de las propiedades individuales de cada una de las especies involucradas.

c

Los valores de los coeficientes de difusión de cada especie en la mezcla.

Evidentemente, el punto 2 nos sirve para utilizar esas propiedades en la resolución del campo de flujo, mientras que el punto 3 lo utilizamos para resolver el trasporte de cada especie por separado en el interior del fluido de mezcla. Las propiedades de estos fluidos de mezcla vienen habitualmente dadas en la mayoría de los programas de CFD comerciales. Por ejemplo, en el caso de combustión, es muy habitual utilizar mezclas del tipo metano-aire o propano-aire. Esto es especialmente útil en el caso de incorporar reacciones químicas (reacciones de

323

324 Capítulo 11 Aplicación del CFD a flujos industriales (I-CFD) varios pasos, ya ajustadas estequiométricamente, suelen venir predefinidas) tal y como se verá en el siguiente apartado. Además, también es posible introducir pequeñas modificaciones a partir de una mezcla incorporada en la biblioteca, por lo que se pueden definir mezclas adaptadas a las necesidades del usuario.

Simulación de incendios en túneles de carretera

Una aplicación interesante del transporte de especies sin reacción química es la resolución de flujo de humos en espacios cerrados (túneles, bocas de metros, edificios, etc.). No se simula la combustión propiamente dicha, sino el transporte y la evolución del humo desde la zona del fuego en función de parámetros clásicos como el gradiente de presión o la pendiente. El caudal de humos y su temperatura se fija a partir de la potencia de fuego a simular, que se ve incrementada además en un determinado porcentaje para no tener que introducir efectos de radiación en el modelo. En la figura 11.4 se ilustra una simulación sobre las condiciones de operación de un sistema de ventilación longitudinal en un túnel de 850 metros (con ventiladores de chorro anclados al techo) ante una situación de incendio. El dominio tridimensional consta de varios cilindros que simulan el efecto de los ventiladores de chorro (introducen una corriente de aire positiva e incluyen también las condiciones de succión aguas arriba del ventilador), así como de una “caja de incendios” que incorpora la salida de humos (con las especies de CO2 y CO características de la combustión). La discretización total en esta aplicación (Galdo-Vega et al., 2008) rondaba las 150 000 celdas no estructuradas y el modelo fue resuelto de modo no estacionario para completar 10 minutos de simulación del incendio con pasos temporales de 1 segundo. Para la modelización de la turbulencia se empleó un modelo k-épsilon estándar. Se simularon diversos tests, de los cuales se disponían resultados experimentales (Memorial Tunnel Fire Ventilation Test Program, MTFVTP) denominados Test 606A, 612B y 611. Cada uno de ellos iniciaba una secuencia diferente de funcionamiento de los ventiladores, para varias condiciones de fuego (10 y 50 MW), y con tiempos de respuesta del sistema distintos (2 y 5 minutos típicamente). En la figura 11.4 (arriba a la derecha) se muestra el gran acuerdo obtenido entre las simulaciones y los datos experimentales en los contornos de temperatura (en grados Fahrenheit). La línea negra de trazo grueso muestra la temperatura para 140 ºF (aprox. 60 ºC), que está considerada como límite para la tolerancia humana al calor. La figura también muestra la distribución de CO, en partes por millón, en las condiciones iniciales antes de que se arranquen los ventiladores. Se representan a partir de 500 ppm, que es el límite establecido de tolerancia humana a los humos.

11.3 Flujos multiespecie

Salidas del túnel

Vistas del dominio computacional y de la malla empleada en la zona de los ventiladores

Contornos de temperatura (ºF)

Comparativa numérica-experimental de los resultados de temperatura en el interior del túnel tras la propagación del incendio

Definición de los flujos multiespecie en la zona de fuego

Resultados numéricos con la concentración de CO (umbral de 500 ppm) en el interior del túnel para varios escenarios de respuesta de ventilación

Figura 11.4

Simulación del transporte de humos en incendios de túneles de carretera.

11.3.2. Transporte con reacción química Las reacciones químicas que aparecen en el término fuente de la ecuación 11.12 se pueden evaluar a partir de tres modelos fundamentales: c

Modelo laminar de tasa finita (finite-rate): se basa en expresiones de Arrhenius de la cinética química (se supone que los efectos de la turbulencia sobre las reacciones son despreciables). Es costoso computacionalmente hablando (tiempos de simulación próximos a las escalas de la cinética química).

c

Modelo de disipación de vórtices (eddy-dissipation): que utiliza los patrones turbulentos como los desencadenantes de las reacciones. Evita el coste del método anterior pero pierde en realismo.

c

Concepto de disipación de vórtices, EDC (eddy-dissipation-concept): es una alternativa al anterior en el que se incorporan las relaciones de Arrhenius.

325

326 Capítulo 11 Aplicación del CFD a flujos industriales (I-CFD) Por cuestiones de brevedad, nos centraremos únicamente en el primer tipo de modelo de tasa finita. En éstos, se define el término fuente para la reacción química, Rk, de la siguiente forma: NR

Rk = M k ∑ Rˆ k(r )

[11.13]

r =1

siendo NR el número total de reacciones presentes en el modelo, Mk el peso molecular de la especie k y Rˆk(r ) la tasa molar de Arrhenius de formación/destrucción de la especie k-ésima en la reacción r. Asimismo, cada una de las reacciones participantes (que pueden producirse en la interfaz entre dos elementos inmiscibles, interpenetradas entre dos o más especies de una mezcla o sobre una superficie reactiva) se definen como: N

∑ k=1

Kf ( r ) ⎯⎯⎯⎯ → c′k(r ) Sk ←⎯⎯⎯ ⎯ Kb( r )

N

∑c′k′(r ) Sk

[11.14]

k=1

donde intervienen: c′k(r ) , que se corresponde con el coeficiente estequiométrico del reactante k en la reacción r-ésima; c′k′(r ) , que se corresponde con el coeficiente estequiométrico del producto k en la reacción r-ésima; Sk, que es el símbolo que identifica a la especie k en la reacción r-ésima; y Kf(r) y Kb(r) que representan las constantes de formación de la reacción hacia adelante (f, forward) y hacia atrás (b, backward) si es reacción reversible. La forma de definir las reacciones químicas según 11.14, con sus coeficientes estequiométricos, nos sirve para obtener la tasa molar de Arrhenius que aparece en el término fuente 11.13. Así, habitualmente para una reacción irreversible (Kb(r) = 0), se tiene: N ⎡ (r ) (r ) (r ) ⎢ (r ) ˆ Rk = ϒ (c′k′ − c′k ) Kf ∏ x (jr ) ⎢ ⎣ j=1

( η′j(r ) +η′′j(r ) ) ⎤⎥

( )

⎥ ⎦

[11.15]

donde x (jr ) es la fracción molar de la especie j en la reacción k; η′j(r ) y η′′j (r ) son los exponentes de las especies reactantes y productos j-ésimas en la reacción r; y ϒ es el efecto de reacciones indirectas (habitualmente se desprecian, ϒ = 1). Normalmente los productos no suelen afectar a la reacción de formación, por lo que η′′j ( r ) ≈ 0. Además, la constante Kf(r) se calcula a partir de la expresión de Arrhenius: (r )

−E( r ) RT

Kf (r ) = A(r )T β e

[11.16]

siendo A(r) un factor preexponencial, β(r) es el exponente para la temperatura, E(r) es la energía de activación y R es la constante universal de los gases ideales

11.3 Flujos multiespecie

(8314 J/kg mol K). A partir de estas definiciones se pueden obtener las entalpías de formación y entropías de las reacciones como: N s0,k ∆S0(r ) = ∑(c′k′(r ) − c′k(r ) ) RT RT k=1

N h0,k ∆H 0(r ) = ∑ (c′k′(r ) − c′k(r ) ) RT RT k=1

[11.17]

Todas las constantes y coeficientes del modelo están normalmente definidas en las bibliotecas de las reacciones químicas en los softwares comerciales. A continuación se ilustra el ejemplo sencillo de la reacción simple para la combustión del metano (una única reacción), donde las constantes para cada especie se listan en la tabla 11.1. CH 4 +2O2 ⎯⎯→ CO2 +2H2O

[11.18]

Tabla 11.1 Definición de constantes y parámetros para la combustión de metano (11.18) (tomado de Fluent v6.3 - User´s guide, 2006). Indice k-ésimo

Especie k, Sk

Peso molecular Mk (g/mol)

Const. estequiom.

Const. estequiom.

Tasa de formación (exp.)

1

CH4

16

c′1 = 1

c″1 = 0

η′1 = 0,2

2

O2

32

c′2 = 2

c″2 = 0

η′2 = 1,3

3

CO2

44

c′3 = 0

c″3 = 1

η′3 = 0

4

H2O

18

c′4 = 0

c″4 = 2

η′4 = 0

Con los valores de la tabla 11.1, y sabiendo como datos adicionales para esta reacción que A = 2,119 × 1011, β = 0 y E = 2,027 × 108 J/kgmol, ya es posible definir el término fuente de la reacción química a introducir en 11.12 para cada una de las cuatro especies. En concreto, para la componente k se tiene:

⎡

⎤

4

∏ x ηj ′ ⎥⎥ ⎢

Rk = M k (c′k′ − c′k ) AT β e

−E RT ⎢

⎣ j=1

k

[11.19]

⎦

En este caso particular, por ejemplo para el metano, la ecuación 11.19 quedaría como:

R1 = M1 (c1′′ − c1′ ) AT β e

−E RT ⎡

16

(1−0)

0,2

⎣ x1 x2 x3 x 4 ⎤ ⎦

[11.20]

327

328 Capítulo 11 Aplicación del CFD a flujos industriales (I-CFD) Este método de tasa o velocidad finita también puede incorporar correcciones de presión, cuando el valor de ésta modifica las constantes y las velocidades de las reacciones. Ahora bien, está fundamentalmente orientada a procesos laminares en los que no se considere mezcla turbulenta. Téngase en cuenta que toda esta formulación de velocidad finita se ajusta a la cinética química de las reacciones, cuyos tiempos característicos son sensiblemente inferiores (de orden molecular) a los tiempos característicos del flujo, incluso a las escalas más pequeñas de la turbulencia. Sin embargo, esta formulación también es aplicable a flujos turbulentos. Si se aplicase la ecuación de transporte 11.12 a un flujo turbulento, tras el promediado dicha ecuación establece un balance de cantidades promediadas (tanto para la fracción másica mi como para el término fuente Ri), por lo que es necesario promediar la expresión de Arrhenius 11.19. Como no escapará al lector, esa ecuación no es lineal y por tanto, al cumplirse que Rk (T ) ≠ Rk (T ) , los efectos de las fluctuaciones turbulentas sobre las reacciones químicas no pueden obviarse. Se necesita resolver con pasos temporales muy pequeños, del orden de los de la cinética química. Por esta razón, es bastante impracticable resolver las ecuaciones de transporte para las especies y las reacciones químicas con la formulación de Arrhenius directamente. La simplificación más común es la de suponer que las velocidades de las reacciones químicas son infinitas y, por tanto, éstas se completan instantáneamente. De esta forma, la velocidad de formación de los productos vendrá fijada por las características turbulentas del flujo. En estas ideas se basan los modelos de química instantánea, de disipación de vórtices, citados anteriormente. Simplemente como apunte, se recogen a continuación las formulaciones de esos modelos desarrollados principalmente para flujo turbulento. Modelo de disipación de vórtices

Rk(r )

⎡ ⎤ ⎢ ∑ mprod ⎥ ⎢ m ⎥ ε prod = Ac′k(r ) M k ρ min⎢ (r ) reac , B N ⎥ k ⎢ c′reac Mreac (r ) ∑ c′j′ M j ⎥⎥ ⎢ ⎣ ⎦ j=1

[11.21]

donde aparecen las fracciones másicas de los reactivos y los productos, así como unas constantes determinadas empíricamente y de valores típicos: A = 4 y B = 0,5. Este modelo sólo proporciona buenos resultados cuando la reacción global se puede resumir en dos pasos (r ≤ 2). Además, en el caso de utilizar una técnica LES para el cierre turbulento, el cociente ε/k típico de los modelos EVM de dos ecuaciones en la definición 11.21 se reemplaza por la tasa de mezcla de la subescala: 2Sij Sij .

11.3 Flujos multiespecie

Concepto de disipación de vórtices (EDC) 2

Rk =

ρ ( ξ∗ ) ∗⎡

τ ⎢1 − ( ξ ⎣

(mk∗ − mk )

[11.22]

∗ 3⎤

)

⎥ ⎦

Este modelo supone que las reacciones químicas se producen en las escalas turbulentas más pequeñas, siendo precisamente ξ∗ la escala de longitud a la cual se producen estos mecanismos. Dicha escala se puede calcular como

⎛ νε ⎞1 4 ξ = C ξ⎜ 2 ⎟ ⎝k ⎠ ∗

Además, se define mk∗ como la parte de fracción másica mk que reacciona en esas lon−1 2 gitudes de escala durante el período de tiempo τ∗ = Cτ ( ν ε) . El modelo se completa con dos constantes (determinadas experimentalmente) de valores Cξ = 2,1377 y Cτ = 0,4082. Simulación de una fuga de gas (metano) en un inmueble

La figura 11.5 muestra un ejemplo de simulación de transporte de gas metano en el interior de un inmueble. En este caso se trataba de determinar las concentraciones de metano que se obtenían después de producirse una fuga de gas en el piso in ferior del edificio. El modelo utilizado para esta simulación era tridimensional, para tener en cuenta la compleja geometría del edificio, con un número aproximado de 1,3 millones de celdas,

Modelo numérico 3D

Concentraciones Modelo Tridimensional

Concentración CH4

0.8

Rejillas superiores Caja del ascensor

0.7

Mod. 3D-calle Mod. 3D-techo

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

0

5

10

15

20

25

Tiempo (min)

Concentración de metano (CH4) en los recintos del inmueble tras el escape (antes de la deflagración) Zona de fuga de gas

Figura 11.5

0

5

10

15

20 (%)

Simulación de una fuga de gas metano en un inmueble.

30

329

330 Capítulo 11 Aplicación del CFD a flujos industriales (I-CFD) no estacionario y multiespecie para observar la evolución de la concentración y temperatura de la mezcla aire-gas a lo largo del tiempo. Se utilizó una mezcla aire-metano como la definida en la ecuación 11.18, con unas temperaturas características para el aire (15 ºC en el interior y 8 ºC en el exterior) y la fuga de gas (8 ºC para el metano). Además, se utilizó un modelo k-épsilon estándar para tener en cuenta los efectos turbulentos. El interés de la simulación estaba en la determinación de las condiciones que podían permitir la deflagración del gas en las zonas superiores del inmueble. A partir de esta solución, un modelo multiespecie con reacción química, o de combustión, permitiría estudiar el frente de avance y las zonas más afectadas en una posible explosión. Los modelos de combustión que podrían emplearse a tal efecto se detallan a continuación.

11.3.3. Combustión Debido a las serias dificultades asociadas a la experimentación en los fenómenos de combustión, pronto se trató de utilizar las técnicas computacionales para estudiar numéricamente las condiciones de formación de una llama. Con la ventaja, además, de poder simular llamas en flujo libre (sin presencia de contornos sólidos o en el interior de complejas geometrías), se desarrollaron ya en las primeras épocas del CFD diversas aproximaciones numéricas a este problema, no con poco éxito. Durante la combustión, un combustible (normalmente mezcla de varios hidrocarburos) reacciona con un comburente u oxidante (normalmente un flujo de aire) para formar unos productos de combustión. Estos productos no se forman en una reacción única, sino que suelen establecerse en una serie de reacciones en cadena. Así, en la combustión del metano (relación 11.18), el más simple de los hidrocarburos, en realidad aparecen involucradas hasta 40 reacciones elementales. Al igual que en el apartado anterior, se debe resolver la ecuación de conservación de las especies con los términos fuente aportando las reacciones de combustión. Además, la energía liberada en la combustión debe resolverse para la ecuación de la entalpía, introduciéndola en el término fuente de la ecuación 3.14. La temperatura se puede determinar en este caso a partir de la entalpía mediante:

T=

h − mcomb H comb CP

[11.23]

siendo Hcomb el poder calorífico del combustible, mcomb su fracción másica y CP el calor específico medio del combustible, calculado como

CP =

T 1 C dT (T − Tref ) T∫ P ref

11.3 Flujos multiespecie

donde el calor específico de la mezcla se calcula como la media ponderada del de cada especie: N

CP = ∑ m j C j j=1

La densidad local de la mezcla depende de las concentraciones de reactivos y productos así como de la temperatura de mezcla. De forma aproximada, se puede calcular como la media en función de los pesos moleculares de cada especie:

ρ=

p N

RT ∑ j=1

mj

[11.24]

Mj

Se han desarrollado un buen número de modelos diferentes para incorporar las reacciones de combustión al método de volúmenes finitos. Todos ellos tratan de aprovechar de alguna forma la característica básica del tipo de combustión que se analice: el frente de llama, combustión con premezcla, combustión sin premezcla, etc. Evidentemente, también se pueden emplear las formulaciones generales presentadas en el apartado anterior. Sin embargo, parece apropiado aprovecharse de la naturaleza de la combustión para implementar modelos algo más sencillos. La tabla 11.2 muestra los diferentes modelos disponibles en la literatura atendiendo a la configuración del flujo (forma en que se mezcla el combustible con el oxidante), así como a la aproximación elegida para la cinética química (con velocidad finita o de forma instantánea). Cada uno de ellos trata de adaptarse a las particularidades del tipo de combustión analizada, en función de lo cual proporcionarán mejores o peores resultados. En relación con la forma en que se mezclan los reactivos debe tenerse en cuenta que: c

Combustión sin premezcla. El combustible y el oxidante entran de forma independiente a la reacción desde flujos separados, por lo que el problema se asemeja directamente a un problema de mezcla. Esta aproximación se emplea para el estudio de hornos de carbón pulverizado o de motores diesel de combustión interna.

c

Combustión con premezcla. El combustible y el oxidante ya están mezclados a nivel molecular antes de la ignición, que se caracteriza por un frente de llama muy fino que avanza hacia las zonas “frías”. La velocidad de la llama (laminar flame) depende de la estructura del flujo (turbulencia, etc.), lo que dificulta el modelado. Este modelo se emplea para las cámaras de combustión de turbinas de avión.

c

Combustión con premezcla parcial. Coexisten flujos separados con premezcla y sin premezcla. Se utiliza en cámaras de combustión que incorporan enfriamiento por aire.

331

332 Capítulo 11 Aplicación del CFD a flujos industriales (I-CFD)

Tabla 11.2 Clasificación de modelos de combustión (adaptado de Fluent v6.3 - User's guide, 2006). Tipología de flujo Tipo de cinética química

Instantánea (infinitamente rápida)

Combustión con premezcla

Combustión sin premezcla

Combustión con premezcla parcial

Modelo variable de progreso de reacción (reaction progress variable)

Modelo de equilibrio de fracción de mezcla (mixture fraction, v. 11.3.3)

Modelo de premezcla parcial (reaction progress variable + mixture fraction)

Modelo de disipación de vórtices (v. 11.3.2) Modelo de llama laminar sin premezcla (laminar flamelet, v. 11.3.3) Velocidad finita (tasa finita)

Modelo laminar de tasa finita (finite-rate, v. 11.3.2) Concepto de disipación de vórtices (EDC, v. 11.3.2) Modelo de transporte para la PDF de la composición

En este capítulo sólo se tratarán los modelos de combustión sin premezcla, ya que un repaso de todos los modelos presentes en la tabla 11.2 sería demasiado extenso. Además, un recorrido detallado por todas las aproximaciones se escapa de los objetivos de este capítulo. En todo caso, para quien esté interesado, en la bibliografía especializada es relativamente sencillo encontrar el resto de los modelos incluidos en la tabla. A continuación se va a introducir brevemente el modelo sin premezcla denominado fracción de mezcla, debido a su simplicidad y buen comportamiento, como ejemplo de modelo de cinética instantánea. Posteriormente, se comenta brevemente el modelo sin premezcla de llama laminar, como ejemplo de modelo de cinética finita. Modelo de fracción de mezcla (sin premezcla)

Este modelo introduce un parámetro, denominado fracción de mezcla f, que va a controlar el proceso de combustión. Además, incorpora un tratamiento estadístico en forma de función de densidad de probabilidad (PDF) para relacionar los valores instantáneos con datos promediados, de forma que las reacciones químicas turbulentas se predicen a partir de propiedades promediadas temporalmente. Es un modelo de química infinitamente rápida en el que se adopta la simplificación de equilibrio químico instantáneo cuando el combustible y el oxidante se mez-

11.3 Flujos multiespecie

clan. Ambos elementos deben haber entrado al dominio de simulación como flujos separados. Con ese parámetro f se demuestra que las ecuaciones de transporte para las especies y la entalpía se funden en una única ecuación de conservación para la fracción de mezcla, siempre y cuando se cumplan las siguientes hipótesis: c

Los coeficientes de difusión de las especies (Dk) son iguales.

c

El número de Lewis es unitario (relación entre la conductividad térmica y la difusión de especies: Le = k ρCP Dk ≈ 1).

c

Números de Mach bajos (o moderados).

Para analizar cómo se reduce el problema a una única ecuación, vamos a retomar la reacción de combustión 11.18. Definimos las ecuaciones de transporte para cada una de las especies: el combustible (metano) y el oxidante (oxígeno) de forma:

∂ ( ρmcomb ) ∂t

+ ∇⋅ ( ρmcombv ) = ∇⋅⎡ ⎣ Γ comb ∇mcomb ⎤ ⎦+ Rcomb

∂ ( ρmox ) ∂t

⎡ Γ ox ∇mox ⎦ ⎤+ Rox + ∇⋅ ( ρmox v ) = ∇⋅⎣

[11.25]

[11.26]

Definiendo ahora una variable genérica de transporte escalar como φ = smcomb − mox , donde s es la relación estequiométrica para la masa entre el combustible y el oxidante en la reacción (en este caso, sería de 4: 2 × 32 para el oxígeno por cada 1 × 16 para el metano), y suponiendo que Γcomb = Γox = Γφ, las ecuaciones 11.25 y 11.26 se pueden fundir para expresar:

∂ ( ρφ) + ∇⋅ ( ρφv ) = ∇⋅⎡ ⎣ Γ φ ∇φ ⎤ ⎦+ ( s Rcomb − Rox ) ∂t

[11.27]

donde se comprueba fácilmente con la reacción de combustión que los términos fuente se cancelan. Se define a continuación una variable f denominada fracción de mezcla según la expresión: f =

φ − φ0 φ1 − φ0

[11.28]

donde 0 y 1 representan respectivamente los flujos de oxidante y combustible. Sustituyendo en 11.28 la definición de la variable φ, y teniendo en cuenta que al no haber

333

334 Capítulo 11 Aplicación del CFD a flujos industriales (I-CFD) premezcla se ha de cumplir que mox,0 = 1, mox,1 = 0, mcomb,0 = 0 y mcomb,1 = 1, la expresión para f queda finalmente:

f =

s mcomb − mox + 1 s +1

[11.29]

Puesto que f y el escalar φ están relacionados linealmente por 11.28, es posible reformular la ecuación 11.27 en términos de f . Así:

∂ ( ρf ) ⎡ Γ ∇f ⎦ ⎤ + ∇⋅ ( ρf v ) = ∇⋅⎣ f ∂t

[11.30]

Por otro lado, nótese que la ecuación 11.29, en caso de mezcla perfectamente estequiométrica, se reduce a fst = 1 ( s + 1) , puesto que mox = smcomb . Mientras que cuando hay exceso o defecto de oxidante se tiene: c

Si hay un exceso de oxidante, entonces no puede haber fracción másica de combustible en el producto. Este caso ocurre cuando f < fst y conlleva que mox > 0 y mcomb = 0.

c

Si hay defecto de oxidante, entonces no puede quedar fracción másica de oxígeno tras la combustión. Esto ocurre si f > fst e implica que mcomb > 0 y mox = 0.

Por lo tanto, el procedimiento de resolución con este modelo parte de la solución de la ecuación de conservación para f , ecuación 11.30. Conocida la distribución de f en todo el dominio, así como fst dado directamente por la reacción química, es posible determinar mcomb y mox en cada posición mediante 11.29, teniendo en cuenta las restricciones existentes cuando hay exceso o defecto de oxidante. Finalmente, la fracción másica de los productos de combustión se puede calcular a partir de:

mpro = 1 − (mcomb + mox )

[11.31]

Los reactivos pueden ir acompañados por otras especies inertes (por ejemplo N2 en la reacción 11.18) que no participan en la reacción de oxidación. La fracción másica de estas especies inertes tras la reacción se puede conocer directamente a partir del valor calculado de f como: min = min.0 (1 − f ) + min,1 f

[11.32]

En este caso, la ecuación 11.31 se modifica por: mpro = 1 − (mcomb + mox + min ) .

11.3 Flujos multiespecie

Toda esta formulación proporciona las relaciones instantáneas entre la fracción de mezcla y las fracciones de masa de las especies bajo la hipótesis de equilibrio químico. Sin embargo, ya sabemos que para flujo turbulento se necesitan las relaciones para los valores promediados. La forma en que se plantea esa transición depende del modelo de interacción fijado entre las reacciones químicas y la turbulencia. Habitualmente, la fluctuación de la fracción de mezcla f debido a los efectos turbulentos se modeliza a partir de un esquema basado en la función de densidad de probabilidad de f. Así, denotando como p(f) a dicha densidad, que varía entre 0 y 1, se puede obtener el valor de cualquier variable del flujo que dependa de f (fracciones másicas, temperatura, densidad…) como: 1

φ = ∫ p ( f ) φ ( f ) df

[11.33]

0

donde se ha observado que los mejores resultados se obtienen utilizando funciones de densidad gaussianas o funciones de tipo beta.

Modelo de llama laminar (sin premezcla)

El modelo anterior no es aplicable cuando el número de Damköhler (que relaciona el tiempo característico del flujo con el tiempo característico de la cinética química) es cercano a la unidad. En ese caso, la hipótesis de velocidad de reacción instantánea no es válida, ya que hay un fuerte acoplamiento entre la evolución de la reacción química y el patrón de flujo. Este modelo de llama permite la inclusión de relaciones más complejas entre las fracciones másicas de las diferentes especies involucradas en la combustión. Se sigue empleando el concepto de fracción de mezcla, pero se debe relacionar con la estructura del flujo, en concreto con el tensor de deformación del flujo. De todas formas, en lugar de utilizar dicho tensor para cuantificar la desviación respecto del equilibrio químico, es equivalente emplear una disipación escalar, denotada como χ y definida según: χ = 2D ∇f

2

[11.34]

siendo D un coeficiente de difusión representativo. De esta forma se consigue reducir toda la química del problema a la descripción de las dos variables f y χ, permitiendo que los cálculos de la llama sean preprocesados e incorporados a los modelos de forma tabulada. Esta forma de resolver la química apriorísticamente consigue reducir los costes computacionales de manera muy importante, especialmente de agradecer cuando se está considerando la velocidad finita de las reacciones.

335

336 Capítulo 11 Aplicación del CFD a flujos industriales (I-CFD) Este modelo, nuevamente de tipo laminar, utiliza una extensión a flujo turbulento similar a la vista en el modelo de fracción de mezcla. En este caso, al depender de dos variables, es necesario introducir la función de densidad de probabilidad para f y χ.

11.4 Flujos multifásicos En el apartado anterior se analizaron los flujos multiespecie, basados en el concepto de mezcla de fluido y caracterizados por las diversas interacciones existentes entre las especies químicas que configuraban dicho medio fluido. Desde el punto de vista molecular coexisten varias fracciones másicas de diversas especies, pero macroscópicamente el fluido se comporta como una única fase constituyente. Sin embargo, en la naturaleza y en la industria hay un gran número de flujos que están compuestos macroscópicamente por una compleja mezcla de fases. Aunque el concepto de fase podría asimilarse al estado particular de la materia que se está analizando (esto es, sólido, líquido o gaseoso), lo cierto es que habitualmente el concepto de fase tiene un sentido más amplio. Así, cuando se habla de flujos multifásicos, se define a cada fase como aquel tipo de material identificable, con una frontera bien definida (macroscópicamente) y que presenta una determinada respuesta o interacción con el flujo o dominio en el que esté confinado. De esta forma, las fases también hacen referencia a materiales que, estando en el mismo estado de la materia, presentan distintas propiedades fisicoquímicas, como por ejemplo una mezcla de agua y aceite, ambos líquidos pero con características muy diferentes. En este tipo de flujos, la fase primaria debe ser continua (fluida) y corresponderse normalmente con la fase principal del flujo. El resto de las fases, ya estén de forma dispersa, interpenetradas en la primaria, o de forma continua, definiendo una clara interfaz de separación, se denominan fases secundarias. Debido a la definición tan general de las fase que se ha establecido, está claro que dentro de este tipo de problemas es posible incluir muchos regímenes de flujo diferentes. La figura 11.6 muestra un esquema con algunos de los flujos más característicos que se ajustan a la condición de multifásicos. Se puede hacer una primera clasificación de flujos multifásicos, atendiendo al estado de las materias que participan en el flujo, como: c

Interacción gas-líquido y líquido-líquido (también gas-gas), que incluye: c

Flujo con burbujas: inclusión de pequeñas burbujas en forma de fase discreta en un medio fluido (normalmente líquido) continuo, como ocurre en evaporadores, absorbedores, etc.

11.4 Flujos multifásicos

Flujo con superficie libre (estratificado)

Flujo con burbujas

Flujo con arrastre de partículas slurry flow) Figura 11.6

c

c

c

c

Flujo con gotas

Flujo con sedimentación y partículas en suspensión

Lecho fluidizado

Tipos de flujos multifásicos.

Flujos con gotas: inclusión de pequeñas gotas de líquido en un medio gaseoso continuo, como es el caso de atomizadores, sprays o inyectores. Flujos con bolsas de aire (slug flow): grandes burbujas de gas en un medio líquido continuo. Flujos estratificados o con superficie libre: es el caso de fluidos inmiscibles, separados por una interfaz claramente definida, como la interfaz entre aceite y agua en un recipiente o la superficie libre del agua en un canal hidrodinámico.

Interacción gas-sólido, en la que cabe destacar: c

c

c

Flujo con bolsas de aire (slug flow)

Flujo con partículas en suspensión: pequeñas partículas sólidas (discretas) en un flujo continuo de gas, como se observa en ciclones o precipitadores. Lechos fluidizados: suspensión de partículas sólidas en fase muy densa a partir de una corriente fluida, de forma que se comporten de forma similar a un fluido.

Interacción líquido-sólido, destacando: c

Flujo con arrastre de partículas (slurry flow): comprende suspensión de sólidos, sedimentación, transporte y arrastre de partículas en una corriente fluida.

Una importante diferencia entre los flujos multifásicos y los multiespecie es que, en general, los multiespecie presentan un campo fluidodinámico único (velocidad, temperatura…), compartido por todas las especies, mientras que los multifásicos

337

338 Capítulo 11 Aplicación del CFD a flujos industriales (I-CFD) pueden describirse con patrones de flujo propios para cada fase. Además, es posible considerar que una de las fases de un problema multifásico está compuesta por varias especies aplicando de nuevo el concepto de mezcla de fluido visto en 11.3.1. De esta forma es posible realizar simulaciones multiespecie-multifásicas de forma conjunta, si bien a costa de una gran complejidad en los modelos a aplicar. Es más, se pueden incluso introducir reacciones heterogéneas que se produzcan entre reactivos y productos que pertenezcan a distintas fases, obligando a la modelización de la transferencia de masa por las interfases.

11.4.1. Elección del modelo multifase apropiado No existe ningún modelo multifásico capaz de predecir correctamente todas las situaciones mostradas en la figura 11.6, debido a la gran diversidad de fluidos y regímenes existentes. En su lugar, se han ido desarrollado diferentes modelos que son, cada uno de ellos, apropiados para una situación muy concreta. La selección del modelo correcto debe tener en cuenta a priori alguna de las características fundamentales del flujo multifásico, como son el régimen, la cantidad y dispersión de las fases secundarias o el número de Stokes de las partículas transportadas (si hubiese). En función del régimen, distinguimos dos tipos de comportamientos multifase. Por un lado, aquellos en los que la fase (o fases) secundaria se encuentra totalmente dispersa en el fluido primario. La fase discreta puede presentarse en forma de gotas, burbujas o partículas sólidas, en mayor o menor concentración, pero siempre está diluida, interpenetrada (aunque distinguible macroscópicamente) en la corriente fluida principal. La segunda posibilidad es que la fase secundaria sea inmiscible con la primera, estableciendo al menos una interfase entre los fluidos. Este comportamiento es típico de mezclas de líquidos o de un líquido con superficie libre. Respecto a la cantidad de fase secundaria presente en el flujo multifásico, se utiliza la fracción de volumen de dicha fase en el dominio como indicador de su importancia. Este parámetro tiene relevancia especialmente para fases diluidas en la corriente principal. Además, este valor se utiliza como referencia para establecer si las partículas de la fase dispersa interaccionan entre sí, o si este efecto puede despreciarse. Típicamente, se fija un valor del 10% como frontera: si la fase dispersa está tan diluida que su fracción de volumen en la fase primaria es menor que un 10%, esas interacciones entre partículas se obvian (aproximadamente, la distancia entre partículas es de unas dos veces el tamaño característico de las partículas). Finalmente, atendiendo al número de Stokes, éste nos permite decidir qué modelo es el más apropiado en función de la densidad de partículas arrastradas en la corriente primaria. El número de Stokes, que tiene sentido cuando el problema mul-

11.4 Flujos multifásicos

tifásico analiza fases dispersas, establece un ratio entre el tiempo de partícula y la escala temporal del flujo, es decir: 2 U ρ pd p Stk = ≈ τc L 18 μ

τp

[11.35]

donde el subíndice p hace referencia a la partícula y el subíndice c se refiere al característico del flujo primario. Así, cuando Stk 1 ocurre que las partículas siguen las líneas de corriente de la fase fluida primaria, mientras que cuando Stk > 1 las partículas son capaces de moverse de forma independiente respecto del flujo primario. Conviene asimismo incidir en la importancia que tiene la elección de un cierre adecuado para la turbulencia según las características del flujo multifase. Típicamente, la fase primaria se resuelve con un modelo de turbulencia estándar, tipo k-épsilon o RSM, añadiendo términos fuente adicionales si fuese necesario introducir el efecto de las fases secundarias en el desarrollo de la turbulencia. Según esto, si las fases son inmiscibles (con ratios de densidad unitarios) o la fracción de volumen de la fase secundaria dispersa es menor que un 10%, se puede utilizar un modelo de turbulencia global para todas las fases. En caso contrario, o bien se emplea un modelo para cada fase, o bien se introduce el efecto de la presencia de partículas vía término fuente en el modelado de la fase primaria. Existen cuatro modelos fundamentales para el estudio numérico de flujos multifásicos. A saber: c

Modelo de fase discreta (DPM).

c

Modelo euleriano (Eulerian).

c

Modelo de mezcla (Mixture).

c

Modelo de volumen de fluido (VOF).

Cada uno de ellos es apropiado para distintas situaciones. La tabla 11.3 establece sus rangos de utilización en función de las características básicas relatadas anteriormente. En resumen, es necesario elegir el modelo multifásico apropiado en función de las características del flujo a simular. A la vista de la tabla 11.3, esto significa que: c

Para flujos estratificados o con superficie libre, se utiliza el modelo VOF.

c

Para flujos con una alta presencia de partículas, se emplea el modelo euleriano.

c

Cuando el número de partículas sea bajo a moderado, se ha de atender al número de Stokes de forma que: c

Si Stk > 1, el modelo de mezcla no es válido: se utiliza DPM o modelo euleriano.

339

340 Capítulo 11 Aplicación del CFD a flujos industriales (I-CFD)

Tabla 11.3 Clasificación y características de modelos multifase (adaptado de Fluent v6.3 - User's guide, 2006). Características generales

Fases interpenetradas

Fases inmiscibles

DPM

Euleriano

De mezcla

VOF

Régimen del flujo

Flujos con burbujas, con gotas o partículas en suspensión

Flujos con burbujas, con gotas, partículas en suspensión, lechos fluidizados y flujo con arrastre de partículas

Flujos con burbujas, con gotas y flujo con arrastre de partículas

Flujos estratificados, con superficie libre y flujos con bolsas de aire

Densidad de partículas

Baja a moderada

Baja a alta

Baja a moderada

Alta a Baja

Fracción de volumen

Diluida (