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• Carlitos Andrés Maigua Lopez

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EJERCICIOS CONTRASTE DE HIPÓTESIS PRUEBAS PARAMÉTRICAS Y NO PARAMÉTRICAS 1. Yuri Proaño es el Gerente General de Primax Ecuador. A Yuri le gustaría estimar la cantidad de galones de gasolina que vendió en una de sus estaciones. Suponga que la cantidad de galones vendidos tiende a seguir una distribución normal, con una desviación estándar de 2.30 galones. De acuerdo con sus registros, selecciona una muestra aleatoria de 60 ventas y descubre que la cantidad media de galones vendidos es de 8.60. a) ¿Cuál es el estimador puntual de la media poblacional? b) Establezca un intervalo de confianza de 99% de la media poblacional. c) Interprete el significado del inciso b). 2. El propietario de una de las sucursales de la empresa de Telecomunicaciones Claro Ecuador desea determinar la proporción de clientes que utilizan tarjeta de crédito o débito para pagar sus consumos. Entrevistó a 100 clientes y descubre que 80 pagaron con ella. a) Calcule el valor de la proporción de la población.

b) Construya el intervalo de confianza de 95% de la proporción poblacional. c) Interprete sus conclusiones. 3. Un procesador de zanahorias corta las hojas, lava las zanahorias y las inserta en un paquete. En una caja se guardan veinte paquetes para enviarse. Para controlar el peso de las cajas, se revisaron unas cuantas. El peso medio fue de 20.4 libras, y la desviación estándar, de 0.5 libras. ¿Cuántas cajas debe tener la muestra para conseguir una confianza de 95% de que la media de la muestra no difiere de la media de la población por más de 0.2 libras? 4. Un estudio reciente llevado a cabo por Automotores y Anexos Nissan S. A. reveló que la cantidad media de utilidades por automóvil vendido en una muestra de 20 concesionarias fue de $290, con una desviación estándar de $125. Construya el intervalo de confianza de 95% de la media poblacional. 5. Maggi, un fabricante de salsa de tomate, utiliza una máquina para vaciar 500 gramos de su salsa en botellas. A partir de su experiencia de varios años con la máquina despachadora, la empresa sabe que la cantidad del producto en cada botella tiene una distribución normal con una media de 500 gramos y una desviación estándar de 4 gramos. Una muestra de 50 botellas llenadas durante la hora pasada reveló que la cantidad media por botella era de 501 gramos. ¿Sugiere la evidencia que la cantidad media despachada es diferente de 500 gramos? Utilice un nivel de significancia de 0.05. a) Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. b) ¿Cuál es la probabilidad de cometer un error tipo I? c) Proporcione la fórmula del estadístico de la prueba. d) Enuncie la regla de decisión. e) Determine el valor del estadístico de la prueba. f) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? g) Interprete, en un enunciado, el resultado de la prueba estadística. 6. Consulte el ejercicio anterior. a) Suponga que se modifica el penúltimo enunciado para que diga: ¿La evidencia sugiere que la cantidad media despachada es mayor a 500 gramos? Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa en estas condiciones.

b) ¿Cuál es la regla de decisión en las nuevas condiciones definidas en el inciso a)? c) Una segunda muestra de 50 contenedores llenos reveló que la media es de 502 gramos. ¿Cuál es el valor del estadístico de la prueba en esta muestra? d) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? e) Interprete, en un solo enunciado, el resultado de la prueba estadística. f) ¿Cuál es el valor p? ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula con base en el valor p? ¿Es la misma conclusión a la que se llegó en el inciso d)? 7. La cadena de restaurantes McDonald’s Ecuador afirma que el tiempo de espera de los clientes es de 8 minutos con una desviación estándar poblacional de 1 minuto. El departamento de control de calidad halló en una muestra de 50 clientes en una de sus sucursales que el tiempo medio de espera era de 2.75 minutos. Con el nivel de significancia de 0.05, ¿puede concluir que el tiempo medio de espera sea menor a 3 minutos? 8. La administración de General Motors analiza una nueva técnica para armar un motor; la técnica actual requiere 42.3 minutos de trabajo en promedio. El tiempo medio de montaje de una muestra aleatoria de 24 motores, con la nueva técnica, fue de 40.6 minutos, y la desviación estándar, de 2.7 minutos. Con un nivel de significancia de 0.10, ¿puede concluir que el tiempo de montaje con la nueva técnica es más breve? 9. Se programa una máquina para llenar un frasco pequeño con 9.0 gramos de medicamento. Una muestra de ocho frascos arrojó las siguientes cantidades (en gramos) por botella. 9.2 8.7 8.9 8.6 8.8 8.5 8.7 9.0 ¿Puede concluir que el peso medio es inferior a 9 gramos si el nivel de significancia es de 0,01? a) Formule la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. b) ¿Cuántos grados de libertad existen? c) Establezca la regla de decisión. d) Calcule el valor de t. ¿Qué decide respecto de la hipótesis nula? e) Estime el valor p. 10. Un informe reciente de la industria de seguros indicó que 40% de las personas implicadas en accidentes de tránsito menores había tenido por lo menos un accidente los pasados cinco años. Un grupo de asesoría decidió investigar dicha afirmación, pues creía que la cantidad era muy grande. Una muestra de 200 accidentes de tránsito de este año mostró que 74 personas también estuvieron involucradas en otro accidente los pasados cinco años. Utilice el nivel de significancia 0.01. a) ¿Se puede emplear z como estadístico de la prueba? Indique la razón. b) Formule la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. c) Muestre gráficamente la regla de decisión. d) Calcule el valor z y plantee su decisión respecto de la hipótesis nula. e) Determine e interprete el valor p. 11. El propietario Almacenes De Prati observó una diferencia en el total en dólares de las ventas entre los hombres y las mujeres que emplea como agentes de ventas. Una muestra de 40 días reveló que los hombres venden una media de $1 400 por concepto de venta de aparatos por día. En una muestra de 50 días, las mujeres vendieron una media de $1 500 por concepto de venta de aparatos por día. Suponga que la desviación estándar de los

hombres es de $200 y la de las mujeres de $250. Con un nivel de significancia de 0.05, ¿puede el propietario concluir que la cantidad media que venden por día las mujeres es mayor? a) Formule las hipótesis nula y alternativa. b) ¿Cuál es la regla de decisión? c) ¿Cuál es el valor del estadístico de prueba? d) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? e) ¿Cuál es el valor p? f) Interprete el resultado. 12. La compañía Nestle Gerber desea comparar el aumento de peso de bebés que consumen su producto en comparación con el producto de su competidor. Una muestra de 40 bebés que consumen los productos Gerber reveló un aumento de peso medio de 7.6 libras en sus primeros tres meses de vida, con una desviación estándar de la población de la muestra de 2.3 libras. Una muestra de 55 bebés que consumen la marca del competidor reveló un aumento medio de 8.1 libras, con una desviación estándar de la población de 2.9 libras. Con un nivel de significancia de 0.05, ¿es posible concluir que los bebés que consumieron la marca Gerber ganaron menos peso? Calcule el valor p e interprételo. 13. De 150 adultos que probaron un nuevo pastel sabor durazno, 87 lo calificaron como excelente. De 200 niños muestreados, 123 lo calificaron como excelente. Con un nivel de significancia de 0.10, ¿puede concluir que existe una diferencia significativa entre la proporción de adultos y la de niños que calificaron al nuevo sabor como excelente? a) Formule las hipótesis nula y alternativa. b) ¿Cuál es la probabilidad de un error tipo I? c) ¿Se trata de una prueba de una o dos colas? d) ¿Cuál es la regla de decisión? e) ¿Cuál es el valor del estadístico de prueba? f) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? g) ¿Cuál es el valor p? Explique qué significa en términos de este problema. 14. El gerente de producción de equipos médicos, fabricante de sillas de ruedas, desea comparar el número de sillas de ruedas defectuosas producidas en el turno matutino con el del turno vespertino. Una muestra de la producción de 6 turnos matutinos y 8 vespertinos reveló el número de defectos siguiente. Matutino 5 8 7 6 9 7 Vespertino 8 10 7 11 9 12 14 9 Con un nivel de significancia de 0.05, ¿hay alguna diferencia entre el número medio de defectos por turno? a) Formule las hipótesis nula y alternativa. b) ¿Cuál es la regla de decisión? c) ¿Cuál es el valor del estadístico de prueba? d) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? e) ¿Cuál es el valor p? f) Interprete el resultado. g) ¿Cuáles son las suposiciones necesarias de esta prueba? 15. Con frecuencia para las compañías es útil saber quiénes son sus clientes y cómo se convirtieron en lo que son. Una compañía de tarjetas de crédito tiene interés en saber si el tarjetahabiente la solicitó por interés propio o si fue contactado por teléfono por un

agente. La compañía obtuvo la información muestral siguiente respecto de los saldos al final del mes de los dos grupos. Fuente Solicitantes Contactados

Media $1 568 $1 967

Desviación estándar $356 $857

Tamaño de la muestra 10 8

¿Es razonable concluir que el saldo medio de los tarjetahabientes que fueron contactados por teléfono es mayor que el de quienes solicitaron la tarjeta por cuenta propia? Suponga que las desviaciones estándares de las poblaciones no son iguales. Utilice el nivel de significancia 0.05. a) Formule las hipótesis nula y alternativa. b) ¿Cuántos grados de libertad hay? c) ¿Cuál es la regla de decisión? d) ¿Cuál es el valor del estadístico de prueba? e) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? f) Interprete el resultado. 16. La gerencia de Colineal, cadena de muebles, diseñó un plan de incentivos para sus agentes de ventas. Para evaluar este plan innovador, se seleccionaron a 12 vendedores al azar, y se registraron sus ingresos anteriores y posteriores al plan. Vendedor Antes Después 1 $320 $340 2 290 285 3 421 475 4 510 510 5 210 210 6 402 500 7 625 631 8 560 560 9 360 365 10 431 431 11 506 525 12 505 619 ¿Hubo algún aumento significativo en el ingreso semanal de un vendedor debido al innovador plan de incentivos? Utilice el nivel de significancia 0.05. Calcule el valor p e interprételo. 17. El área de ensamblado de Sansung Ecuador se rediseñó hace poco. La instalación de un nuevo sistema de iluminación y la compra de nuevas mesas de trabajo son dos características de las modificaciones. El supervisor de producción quiere saber si los cambios generaron un aumento de la productividad de los empleados. Con el fin de investigar esta cuestión, seleccionó una muestra de 11 empleados para determinar las tasas de producción antes y después de los cambios. La información de la muestra es la siguiente: Operador Producción Producción Antes Después 1 17 18

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

21 25 15 10 16 10 20 17 24 23

23 22 25 28 16 22 19 20 30 26

a) ¿Cuántos pares útiles hay? Es decir, ¿cuál es el valor de n? b) Utilice la prueba de rangos con signo de Wilcoxon para determinar si en realidad los nuevos procedimientos incrementaron la producción. Utilice un nivel de significancia de 0.05 y una prueba de una cola. c) ¿Qué suposición debe hacer acerca de la distribución de las diferencias entre las producciones antes y después del rediseño? 18. En fechas recientes, debido a los bajos niveles de las tasas hipotecarias, las instituciones financieras han comenzado a ofrecer mayores beneficios a los clientes. Una innovación del BIESS es la presentación de solicitudes por internet. En la siguiente tabla aparece el tiempo, en minutos, necesario para completar el proceso de solicitud de clientes que piden un préstamo hipotecario de tasa fija a 15 años y 30 años. Tasa fija a 15 años 41, 36, 42, 39, 36, 48, 49, 38 Tasa fija a 30 años 21, 27, 36, 20, 19, 21, 39, 24, 22 A un nivel de significancia de 0.05, ¿es posible concluir que el proceso que deben cubrir los clientes que solicitan un préstamo hipotecario a tasa fija a 30 años tarda menos? No suponga que la distribución del tiempo sigue una distribución normal para algún grupo. 19. El gerente del Banco Pichincha tiene interés en el índice de movimientos de dinero de las cuentas de cheques personales en cuatro sucursales. (El índice de movimientos es la velocidad a la que el dinero en una cuenta se deposita y se retira; una cuenta extremadamente activa puede tener un índice de 300; si sólo se emiten uno o dos cheques, el índice puede ser de 30, aproximadamente). Los índices de rotación de las muestras seleccionadas de las cuatro sucursales bancarias aparecen en la siguiente tabla. SUCURSAL NORTE 208 307 199 142 91 296

SUCURSAL CENTRO 91 62 86 91 80

SUCURSAL SUR 302 103 319 340 180

SUCURSAL VALLE 99 116 189 103 100 131

Con un nivel de significancia de 0.01 y la prueba de Kruskal-Wallis, determine si hay una diferencia entre los índices de rotación de las cuentas de cheques personales de las cuatro sucursales.

20. La Toyota Motor Company estudia el efecto de la gasolina normal en comparación con la de alto octanaje sobre el ahorro de combustible de su nuevo motor V6 de alto desempeño de 3.5 litros. Se selecciona a diez ejecutivos y se les pide que registren el número de millas que recorren por galón. Los resultados son:

EJECUTIVO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

MILLAS POR GALÓN REGULAR ALTO OCTANAJE 25 28 33 31 31 35 45 44 42 47 38 40 29 29 42 37 41 44 30 44

A un nivel de significancia de 0.05, ¿hay alguna diferencia entre las millas que recorren por galón con gasolina normal y con la de alto octanaje?