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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS y PROBLEMAS TAREA 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD

TAREA 2 - LÍMITES Y CONTINUIDAD

CRISANTO GIOVANNY RODRIGUEZ CONTRERAS GRUPO: 49

CURSO: CALCULO DIFERENCIAL INGENIERÍA ELECTRÓNICA UNAD 2020

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS y PROBLEMAS TAREA 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD

INTRODUCCIÓN

En el siguiente trabajo encontraremos ejercicios de límites y continuidad, en primera instancia tendremos los límites de una gráfica, la cual interpretaremos su limites que tiende tanto a la izquierda como a la derecha, siguiente tendremos los limites de funciones cuando su limite es infinito o indeterminado y tendremos una función con limites trigonométricos, encontrara su sustentación con el programa GeoGebra. También tenemos una función a trozos 3x3 la cual se hallará los valores de las constantes para determinar su continuidad como se demostrar con ayudad de software GeoGebra. Y a si continuaremos demostrando los limites en diferentes casos como también la continuidad de las funciones teniendo un caso de real donde se hallar la cantidad de población a determinado tiempo.

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Estudiante

Ejercicios

Crisanto Giovanny Rodríguez Contreras

Estudiante 4

Ejercicio 1

a) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = −∞

Estudiante 4

𝒙→−∞

b) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = ∞ 𝒙→∞

c) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) = 𝟎 𝒙→−𝟏

d) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) = −𝟏 𝒙→−𝟏

e) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) = −𝟏 𝒙→𝟎

f) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝒙→𝟎

Ejercicio 2

Temática

Estudiante 4

Evaluar el siguiente límite

5 𝑙𝑖𝑚 (𝑥 2 + 3)3 − 𝑥 𝑥→2 2

Calcular el siguiente límite indeterminado de 0 la forma 0 𝑥 2 − 5𝑥 + 4 x→4 𝑥 2 − 2𝑥 + 8 lim

Calcular el siguiente límite al infinito

Evaluar el siguiente límite trigonométrico

1 − Sec 2𝜃 2𝑥 2 + 1 lim 2 𝜃→0 Sin 2𝜃 x→∞ 6 + 𝑥 − 3𝑥 lim

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𝟓 𝒍𝒊𝒎 (𝒙𝟐 + 𝟑)𝟑 − 𝒙 𝒙→𝟐 𝟐 𝟓 (𝟐𝟐 + 𝟑)𝟑 − 𝟐 𝟐 𝟕𝟑 −

𝟏𝟎 𝟑

𝟑𝟑𝟗. 𝟔𝟕 𝒍𝒊𝒎 = 𝟑𝟑𝟗. 𝟔𝟕 𝒙→𝟐

𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 𝐱→𝟒 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟖

𝐥𝐢𝐦

42 − 5(4) + 4 42 − 2(4) + 8 16 − 20 + 4 16 − 8 + 8 𝟎 𝟏𝟔

lim = 0 Tendríamos una x→4

indeterminación Simplificamos la ecuación (𝒙−𝟏)(𝒙−𝟒) (𝒙−𝟐)(𝒙−𝟒)

;

𝟒−𝟏 𝟑

R/ lim = 𝟏. 𝟓 x→4

; = 𝟏. 𝟓

𝟒−𝟐 𝟐

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𝟐𝒙𝟐 + 𝟏 𝐱→∞ 𝟔 + 𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 𝐥𝐢𝐦

2𝑋 2 1 + 2 2 𝑋 𝑋 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 6 𝑋 3𝑋 2 + − 2 𝑋2 𝑋2 𝑋 1 𝑥2 6 1 + −3 𝑥2 𝑥 2+

1 ∞2 6 1 +∞−3 2 ∞ 2+

2+0 2 ; = −0.67 0+0−3 3 R/ 𝐥𝐢𝐦 = −𝟎. 𝟔𝟕 𝐱→∞

𝟏 − 𝐒𝐞𝐜 𝟐𝜽 𝜽→𝟎 𝐒𝐢𝐧 𝟐𝜽

𝐥𝐢𝐦

𝒔𝒆𝒄 =

𝟏 𝐜𝐨 𝐬(𝒙)

1 cos 2𝜃 sin 2𝜃

1−

cos 2𝜃 − 1 cos 2𝜃 sin 2𝜃 1 cos 2𝜃 − 1 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 cos 2𝜃 ∗ sin 2𝜃 −1 = −1 sin 2𝜃

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Ejercicio 3.

Estudiante 4

Graficar función a trozos encontrando el punto de (a) y (b) que hace que la función sea continua. (Geogebra). Demostrar matemáticamente y realizar el respectivo análisis. 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −2 2 a) 𝑓(𝑥) = {𝑎𝑥 − 3𝑏 + 3 𝑠𝑖 − 2 < 𝑥 < 2 3𝑥 + 𝑎 + 𝑏 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2 b) 𝑓(𝑥) = {

3𝑎 + 5𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1 𝑥 2 − 4𝑎 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −1

𝒂𝒙 + 𝒃 𝒔𝒊 𝒙 ≤ −𝟐 𝒂) 𝒇(𝒙) = {𝒂𝒙 − 𝟑𝒃 + 𝟑 𝒔𝒊 − 𝟐 < 𝒙 < 𝟐 𝟑𝒙 + 𝒂 + 𝒃 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟐 𝟐

lim = 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎𝑥 2 − 3𝑏 + 3

lim = 𝑎𝑥 2 − 3𝑏 + 3 = 3𝑥 + 𝑎 + 𝑏

−6𝑎 + 4𝑏 = 3 3𝑎 − 4𝑏 = 3 −𝟑𝒂 𝟔

𝑥→−2

𝑥→2

𝑎(−2) + 𝑏 = 𝑎(−2)2 − 3𝑏 + 3

𝑎(2)2 − 3𝑏 + 3 = 3(2) + 𝑎 + 𝑏

−2𝑎 + 𝑏 = 4𝑎 − 3𝑏 + 3

4𝑎 − 3𝑏 + 3 = 6 + 𝑎 + 𝑏

−2𝑎 − 4𝑎 + 3𝑏 + 𝑏 = 3

4𝑎 − 𝑎 − 3𝑏 − 𝑏 = 6 − 3

𝑎=

−𝟔𝒂 + 𝟒𝒃 = 𝟑

𝟑𝒂 − 𝟒𝒃 = 𝟑

3𝑎 − 4𝑏 = 3

−3𝑎 = 6 6 ; 𝒂 = −𝟐 −3

3(−2) − 4𝑏 = 3 −6 − 4𝑏 = 3 −4𝑏 = 3 + 6 𝑏=

R/ 𝟗

𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒇(𝒙) 𝒔𝒆𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝒂 = −𝟐 𝒚 𝒃 = − 𝟒

9 −4

; 𝑏=−

9 4

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𝟑𝒂 + 𝟓𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ≤ −𝟏 𝒃) 𝒇(𝒙) = { 𝟐 𝒙 − 𝟒𝒂 𝒔𝒊 𝒙 ≥ −𝟏

lim 3𝑎 + 5𝑥 = lim 𝑥 2 − 4𝑎

𝑥→−1

𝑥→−1

3𝑎 + 5𝑥 = 𝑥 2 − 4𝑎 3𝑎 + 5(−1) = (−1)2 − 4𝑎 3𝑎 + (−5) = 1 − 4𝑎 3𝑎 + 4𝑎 = 1 + 5 7𝑎 = 6 𝑎=

6 7 6

R/ 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑎 = 7

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Ejercicio 4. 2.a. Límites. Se ha observado que la población de zorros alrededor de una granja se rige por la siguiente función: 6𝑡 2 + 3 z(𝑡) = 100 ( ) 2 + 𝑡2

Estudiante 4

Donde Z es el numero de zorros y t en el tiempo en meses. a) Hallar la cantidad de zorros existentes cuando transcurren 6 meses. b) Estimar la población de zorros cuando el tiempo se prolonga indefinidamente. 2.b. Continuidad La siguiente función t(x) representa el tiempo en minutos que tarda un atleta en realizar una prueba de atletismo, habiendo entrenado una cantidad x de días 𝑎 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 30 𝑥 + 30 𝑡(𝑥) = { 1125 +2 𝑠𝑖 𝑥 > 30 2 𝑥 − 20𝑥 + 75 a) Hallar el valor a para que la función sea continua b) ¿En qué valores de x la función es discontinua? c) Cuanto tiempo tarda en realizar la prueba a los 40 días

𝟔𝒕𝟐 + 𝟑 𝐳(𝒕) = 𝟏𝟎𝟎 ( ) 𝟐 + 𝒕𝟐 Hallar la cantidad de zorros existentes cuando transcurren 6 meses. 𝑡=6 6(6)2 + 3 𝑧(𝑡) = 100 ( ) 2 + (6)2 219 𝑧(𝑡) = 100 ( ) 38

𝑧(𝑡) = 576.32 En 6 meses habrán 576.32 zorros

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Estimar la población de zorros cuando el tiempo se prolonga indefinidamente. 𝟔𝒕𝟐 + 𝟑 𝐳(𝒕) = 𝟏𝟎𝟎 ( ) 𝟐 + 𝒕𝟐

lim 100 (

𝑡→∞

6(𝑡)2 + 3 ) 2 + 𝑡2

Se divide todo por 𝑡 2 6𝑡 2 3 2 + 𝑡2 100 lim 𝑡 𝑡→∞ 2 𝑡2 + 2 2 𝑡 𝑡 6+ 100 lim

2 𝑡2

𝑡→∞

; 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠

3 𝑡 2 ; 𝑅𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑡

3 ∞2 2 ∞2

6+ 100 lim

𝑡→∞

Aplicamos propiedad de los limites lim

𝑘

𝑥→∞ 𝑥 𝑛

100 lim 6 𝑡→∞

lim 100 ∗ 6

𝑡→∞

lim = 600

𝑡→∞

=0

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𝑎 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 30 𝑥 + 30 𝑡(𝑥) = { 1125 +2 𝑠𝑖 𝑥 > 30 𝑥 2 − 20𝑥 + 75 Hallar el valor a para que la función sea continua 𝑎 1125 = 2 +2 𝑥 + 30 𝑥 − 20𝑥 + 75 𝑎 1125 = 2 +2 30 + 30 30 − 20𝑥 + 75 𝑎 1125 = +2 60 375 𝑎 =5 60 𝑎 = 5 ∗ 60 𝑎 = 300 para que sea continua ¿En qué valores de x la función es discontinua? 𝑓(𝑥) =

𝑎 𝑥 + 30

𝑓(0) =

300 0 + 30

𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 30

𝑓(0) = 10 Cuanto tiempo tarda en realizar la prueba a los 40 días 𝑓(𝑥) =

𝑎 1125 = +2 𝑥 + 30 𝑥 2 − 20𝑥 + 75

𝑓(40) =

𝑎 1125 = 2 +2 40 + 30 40 − 20(40) + 75

𝑓(40) =

𝑎 1125 = 2 +2 40 + 30 40 − 20(40) + 75

𝑓(40) =

𝑎 1125 = 2 +2 40 + 30 40 − 20(40) + 75

𝑎 1125 = +2 70 875 𝑎 𝑓(40) = = 3.28 70 𝑓(40) =

𝑓(40) = 𝑎 = 3.28 ∗ 70

𝑎 = 230 230 tiempo que tarda para realizar la prueba a los 40 días

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ENLACE DE VIDEO DE SUSTENTACIÓN https://youtu.be/tWwCkG7-88o

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BIBLIOGRAFÍA

Alex, M. P. (21 de Julio de 2018). YouTube. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=YijB5BhcFw8&t=286s Cabrera, O. (2018). Problemas de Aplicación Límites y Continuidad. Bogota: http://hdl.handle.net/10596/19077. Garcia, G. y. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Bogota: Instituto Politécnico Nacional. iecamapplied. (2 de Noviembre de 2009). YouTube. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=81lK5WVdUV0&t=76s JulioProfenet. (26 de Febrero de 2012). YouTube. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=Y2uk8uyQZ-0 Torres, G. G. (2014). Cálculo Diferencial: Serie Universitaria Patria. Bogota: Grupo Editorial Patria.

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CONCLUSIONES

En conclusión, en hecho de haber podido definir correctamente lo que es el límite, establecer sus variaciones y definirlas correctamente permitió crear las bases de un concepto maestro en el cálculo diferencial, un artefacto intelectual imprescindible para poder definir los conceptos fundamentales para límites y continuidad, El concepto limite es la base fundamental con la que se construye el cálculo diferencial, informalmente hablando se dice que l limite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un determinado número o al infinito.