• Author / Uploaded
• Andres Manosalva

Citation preview

Tarea 1 - Fundamentos, Relaciones Y Funciones MATEMÁTICAS DISCRETAS

Responsable:

Código:

Código Curso:

Revisa:

Universidad Nacional Abierta Y A Distancia UNAD Programa Licenciatura En Matemáticas CEAD Florencia 2021

INTRODUCCIÓN Por medio de este taller y de los siguientes ejercicios queremos abordar diferentes temas relacionados con los conceptos fundamentales de las relaciones y funciones, así como sus diferentes propiedades que nos permitirán desenvolvernos y apropiarnos en las diferentes actividades del curso como de los diferentes por medio de los cuales ayudan al desarrollo mental y lógico.

OBJETIVOS ✓ Afianzar los conocimientos relacionados a la temática de los conjuntos visto desde las matemáticas discretas. ✓ Distinguir con facilidad la relación entre conjuntos así mismo sus propiedades y características. ✓ Realizar la correcta ejecución y abordar con facilidad problemáticas de conjuntos. ✓ Diferenciar cuando una relación es equivalente y cuando no.

Ejercicios Tarea 1 - Fundamentos, Relaciones Y Funciones: Instrucciones. Cada ejercicio debe ser justificado realizando el paso a paso y/o representaciones gráficas, no se aceptan respuestas directas 1. Con los conjuntos de la tabla dados a continuación: Ejercicio A 𝐀 = {1,2,3,4} y 𝐁 = {m, n, r, s} Ejercicio B 𝐂 = {1,4,5,8} y 𝐃 = {r, s, t, u} Ejercicio C 𝐄 = {𝟐, 𝟒, 𝟓, 𝟕} 𝐲 𝐅 = {𝐭, 𝐮, 𝐯, 𝐱} Ejercicio D 𝐆 = {3,5,7,9} y 𝐇 = {v, w, x, y} Ejercicio E 𝐋 = {1,3,5,7} y 𝐌 = {w, x, y, z} a. Escriba el cardinal de cada conjunto. 𝐂𝐚𝐫𝐝𝐢𝐧𝐚𝐥 |𝐄| = 4,

𝐂𝐚𝐫𝐝𝐢𝐧𝐚𝐥 |𝐅| = 3

b. Realice los productos cartesianos (por ejemplo, si realiza UxV, el otro producto es VxU). (2, t) (4, t) 𝐄×𝐅=[ (5, t) (7, t)

(2, u) (4, u) (5, u) (7, u)

(2, v) (4, v) (5, v) (7, v)

(2, x) (4, x) ], (5, x) (7, x)

(t, 2) (t, 4) (u, 2) (u, 4) 𝐅×𝐄 =[ (v, 2) (v, 4) (x, 2) (x, 4)

(t, 5) (t, 7) (u, 5) (u, 7) ] (v, 5) (v, 7) (x, 5) (x, 7)

c. Compruebe si el producto cartesiano es conmutativo. E × F no es igual a F × E, ya que (E, F) no es igual a (F, E), por lo que el producto cartesiano en general no cumple la propiedad conmutativa. d. ¿Cuál es el cardinal de cada producto cartesiano? Cardinal de (𝐄 × 𝐅) = 𝟒 × 𝟒 = 𝟏𝟔 𝐄𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨𝐬 Cardinal de (𝐅 × 𝐄) = 𝟒 × 𝟒 = 𝟏𝟔 𝐄𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨𝐬 2. Con los conjuntos de la tabla dados a continuación: Ejercicio A A = {1,2,3,4}, B = {m, n, r, s}, R = {(1, m), (1, n), (2, m), (3, n), (3, r), (4, r)} Ejercicio B C = {1,3,5,7}, D = {r, s, t, u}, R = {(1, r), (1, s), (3, r), (3, s), (5, t)} Ejercicio C 𝐄 = {𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕}, 𝐅 = {𝐭, 𝐮, 𝐯, 𝐰}, 𝐑 = {(𝟒, 𝐭), (𝟓, 𝐮), (𝟓, 𝐯), (𝟔, 𝐭), (𝟔, 𝐮), (𝟕, 𝐭)} Ejercicio D G = {3,5,7,9}, H = {v, w, x, z}, R = {(3, v), (3, w), (5, v), (7, w), (9, x)} Ejercicio E L = {2,4,6,8}, M = {v, x, y, z}, R = {(2, x), (4, x), (4, y), (6, y), (8, z)} a. Escriba el dominio de la relación. Dominio De R = {(𝟒, t), (𝟓, u), (𝟓, v), (𝟔, t), (𝟔, u), (𝟕, t)} 𝐑𝐓𝐀: Dominio De R = (4,5,6,7).

b. Escriba el codominio y rango de la relación. Codominio De R = (t, u, v, w). Rango De R = {(4, 𝐭), (5, 𝐮), (5, 𝐯), (6, 𝐭), (6, 𝐮), (7, 𝐭)} 𝐑𝐓𝐀: Rango De R = (t, u, v). c. Efectúe la representación de la relación mediante una tabla. R = {(4, t), (5, u), (5, v), (6, t), (6, u), (7, t)} x y

4 t

5 u

5 v

6 t

6 u

7 t

d. Realice la representación gráfica mediante un diagrama de Venn.

e. Realice la representación de la relación por medio de una matriz. E F t u v w 4 1 0 0 0 5 0 1 1 0 6 1 1 0 0 7 1 0 0 0 3. Con el conjunto y la relación en la tabla a continuación: Ejercicio A A = {1,2,3,4} R = {(a, b)/a ≤ b} Ejercicio B C = {1,3,5,7} R = {(a, b)/a ≤ b} Ejercicio C 𝐄 = {𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕} 𝐑 = {(𝐚, 𝐛)/𝐚 ≥ 𝐛} Ejercicio D G = {3,5,7,9} R = {(a, b)/a > b} Ejercicio E L = {2,5,7,9} R = {(a, b)/a ≤ b} a. Escriba la relación binaria. E = {4,5,6,7} R = {(a, b)/a ≥ b} R = {(7,7), (7,6), (7,5), (7,4), (6,6), (6,5), (6,4), (5,5), (5,4), (4,4)} b. Represente la relación mediante un dígrafo.

c. Represente la relación mediante un diagrama cartesiano.

4. Las relaciones a continuación se utilizan para responder lo que se solicita en la tabla: 𝐑 𝟏 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} 𝐑 𝟐 = {(1,1), (1,2), (2,1)} 𝐑 𝟑 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} 𝐑 𝟒 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} 𝐑 𝟓 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)} 𝐑 𝟔 = {(2,3)} Ejercicio A Ejercicio B Ejercicio C

Para las relaciones R1 , R 2 , R 3 , R 4 , R 5 𝑦 R 6 , determine qué relaciones son simétricas y transitivas, justificando debidamente cada respuesta Para las relaciones R1 , R 2 , R 3 , R 4 , R 5 𝑦 R 6 , determine qué relaciones son reflexivas y antisimétricas justificando debidamente cada respuesta. Para las relaciones 𝐑 𝟏 , 𝐑 𝟐 , 𝐑 𝟑 , 𝐑 𝟒 , 𝐑 𝟓 𝒚 𝐑 𝟔 , determine qué relaciones son irreflexivas y asimétricas justificando debidamente cada respuesta.

Para las relaciones R1 , R 2 , R 3 , R 4 , R 5 𝑦 R 6 , determine qué relaciones son asimétricas y antisimétricas justificando debidamente cada respuesta. Para las relaciones R1 , R 2 , R 3 , R 4 , R 5 𝑦 R 6 , determine qué relaciones son simétricas y asimétricas justificando debidamente cada respuesta.

Ejercicio D Ejercicio E

Relación Irreflexivas: También llamada: antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto está relacionado consigo mismo: ∀aϵ: (a, a)  R Para todo a que pertenezca a A, (a, a) no pertenece R. No existe ningún elemento a en el conjunto A que cumpla que: (a, a) pertenezca a R. ∎ 𝐑𝟏 𝐑𝟐 𝐑𝟑 𝐑𝟒 𝐑𝟓 𝐑𝟔

𝐍𝐨 𝐄𝐬 𝐈𝐫𝐫𝐞𝐟𝐥𝐞𝐱𝐢𝐯𝐚𝐬 𝐒𝐨𝐧 𝐈𝐫𝐫𝐞𝐟𝐥𝐞𝐱𝐢𝐯𝐚𝐬 (1,1), (2,2), (4,4) (1,2), (2,1), (3,4), (4,1) (1,1) (1,2), (2,1) (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) (1,2), (1,4), (2,1), (4,1) × (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3) (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) × (2,3)

Relación Asimétricas: Una relación R sobre un conjunto A es asimétrica si para todo x ∈ A, y ∈ A, Si(x, y) ∈ R entonces (y, x) ∉ R. Dicho de otra forma: ∀(x, y) ∈ A se cumple que si (x, y) ∈ R entonces (y, x) ∉ R. ∎ 𝐑𝟏 𝐑𝟐 𝐑𝟑 𝐑𝟒 𝐑𝟓 𝐑𝟔

𝐍𝐨 𝐄𝐬 𝐀𝐬𝐢𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬 𝐒𝐨𝐧 𝐀𝐬𝐢𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬 (1,1), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4) (1,2), (3,4), (4,1) (1,1), (2,1) (1,2) (1,1), (2,1), (2,2), (3,3), (4,4) (1,2), (1,4), (4,1) × (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3) (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) × (2,3)

5. Determine si R es o no relación de equivalencia para el conjunto dado. Ejercicio A

A = {1,2,3},

Ejercicio B

B = {1,3},

Ejercicio C

Ejercicio D Ejercicio E

R = {(1,1), (1,3), (3,1), (3,3)} R = {(1,1), (1,3), (3,1), (3,3)} 𝐂 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒}

𝐑 = {(𝟏, 𝟏), (𝟏, 𝟐), (𝟏, 𝟑), (𝟏, 𝟒), (𝟐, 𝟐), (𝟐, 𝟑), (𝟐, 𝟒), (𝟑, 𝟑), (𝟑, 𝟒), (𝟒, 𝟒)} D = {1,2,3,4,5,6} R = {(1,1), (1,5), (2,2), (2,3), (2,6), (3,2), (3,3), (3,6), (4,4), (5,1), (5,5), (6,2), (6,3), (6,6)} E = {2,3,4,5,6}

R = {(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)} Para definir si es o no relación de equivalencia deben cumplirse 3 condiciones. 1. Reflexibilidad: Se cumple ya que existe reflexibilidad en los 4 elementos se relación entre ellos mismos (1,1), (2,2), (3,3), (4,4). 2. Simetría: No se cumple ya que no todos los pares de la relación presentan simetría, por ejemplo (1,2) y no existe la relación (2,1) o la relación (2,3) y no existe la relación (3,2). 3. Transitividad: Si se cumple en su totalidad, ya que por ejemplo la relación (1,3) se relaciona con (3,4) y a su vez 1 presente la relación (1,4).

CONCLUSIÓN Una vez finalizada la actividad se puede concluir que, en el análisis de conjuntos y sus relaciones, en donde gracias al análisis gráfico y analítico se puede dar respuestas a problemáticas en las matemáticas discretas, en donde si se quisiera los conjuntos podrían representar situaciones de la vida real y como el interpolar e interconectar estas nos darán respuestas y nos ayudaran a dar decisiones sobre estas.

BIBLIOGRAFÍA •

Ferrando J. & Gregori V. (2012). Métodos combinatorios, recursividad y grafos. Matemática discreta (2a. ed.). (Pp. 1 - 8). Barcelona, ES: Editorial Reverté. Recuperado de https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/46722