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Marín Del Pilar Mónica Elvira

Tarea: 01

Problema 1. Dada la densidad de energía monocromática de la radiación de un cuerpo negro: Uv=

8𝜋ℎ𝑣 3

1

𝑐2

𝑒 (ℎ𝑣/𝑘𝑇) −1

Obtenga la densidad de energía monocromática en función de la LDO 𝜆−5

Uλ=8𝜋ℎ𝑐 𝑒 (ℎ𝑐/𝜆𝑘𝑇)−1 Uλ dλ=-U(λ)dv Uλ =-U (v) dv/dλ Se sabe que dv/dλ= -c/λ^2 Uλ =U (v)∙c/λ^2 v=c/λ Sustituyendo en Uv Uλ = ((8πh〖c/λ^3 〗^3)/c^3) (1/(e^ ((hc/λkt) )-1))(c/λ^2 ) Simplificando Uλ = (8πhc/λ^5) (1/(e^((hc/λkt) )-1)) Problema 2. a) Obtenga la densidad total de energía (U) de la REM emitida por un cuerpo negro en función de la temperatura Integre la expresión del problema dada en el problema. 8𝜋 5 𝑘4 𝑇 4

U= 15ℎ3 𝑐 3

b) Compare este resultado con la ley de Stefan-Boltzmann. 2𝜋 5 𝑘 4

1/3

c) Si U=4/c σT4, Demuestre que h=(15𝜎𝑐 2 ) a) Se integra la función Uv=((8πhv^3)/c^3 )(1/(e^((hv/kt) )-1))

La integral queda: 8π/c^3 ∫_0^∞▒〖(hv^3)/(e^((hv/kt) )-1) dv〗 Cambio de variable

x= hv/kt de aquí v= xkt/h dx= h/kt dv de aquí dv=kt/h dx Sustituyendo: 8π/c^3 ∫_0^∞▒〖 (h〖 (xkt/h) 〗^3)/ (e^ ((x) )-1)∙kt/h dx〗 Solución: (8πk^4 t^4)/( c ^3 h^3) ∫_0^∞▒〖x^3/(e^ ((x))-1) dx〗 ∫_0^∞▒〖x^3/(e^ ((x))-1) dx〗= π^4/15 Por lo que U queda de la siguiente manera: U= (8π^5 k^4 t^4)/ (15c^3 h^3 ) b)Ley de Stefan - Boltzmann es la siguiente: U= σT^4 At, donde A es el área y t él tiempo El resultado del inciso anterior es: U=(8π^5 k^4T^4)/(15h^3 c^3 ) Si igualamos nos queda lo siguiente: σ= (8π^5 k^4)/(15h^3 c^3 At) Por lo tanto podemos decir que el resultado anterior comparado con la ley de Stefan – Boltzmann es lo mismo. c)Sustituyendo U=4/c σT^4 en: U=(8π^5 k^4 T^4)/(15h^3 c^3 ) Obtenemos lo siguiente: 4/c σT^4=(8π^5 k^4 T^4)/(15h^3 c^3 ) Despejando h: h=(〖(8π^5 k^4 T^4 c)/(4σT^4 15c^3 ))〗^(1⁄3) Simplificación: h=(〖(2π^5 k^4)/(15σc^2 ))〗^(1⁄3)

Problema 3. Escribir la forma asintótica de la ley de radiación de Planck (ec. del problema 1) para: a) Frecuencias muy altas v→∞ (obtendrá la semi-empírica de Wien) Uv=

8𝜋ℎ𝑣 3 𝑐3

ℎ𝑣

𝑒 𝑘𝑇

b) Frecuencias muy bajas v→0 (obtendrá la ley de Rayleigh –Jeans) Uv=

8𝜋𝑣 2 𝑐3

(𝐾𝑇)