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TANQUES TERMICOS CON RECICLADO A diferencia del sistema térmico de los tanques en serie del sistema no interactivo, en este sistema se desviará un caudal de reciclado al primer tanque, creando así una recirculación. Lo relevante de este sistema es que tiene por objetivo conocer o establecer relaciones que respondan a los cambios de variables de entrada tales como caudal, temperatura, etc.

De esta forma planteamos el siguiente sistema:

Reciclado 𝑓𝑅 ,

𝑚3 𝑠

𝑇4 (𝑡), 𝐾

Caudal A

Caudal B

𝑇2 (𝑡), 𝐾

𝑇1 (𝑡), 𝐾 𝜌,

𝑘𝑔 𝑚3

𝑇3 (𝑡), 𝐾

𝑘𝑗 𝑚 𝑘𝑔. 𝑘 𝑓𝐴 , 𝑠

3

𝑐𝑝 ,

𝜌,

𝑘𝑔

𝑚3

𝑐𝑝 ,

𝑘𝑗 𝑚3 𝑓 , 𝑘𝑔. 𝑘 𝐵 𝑠

Se supone que este caudal de reciclado es una constante de 20 % del flujo total que sal del proceso. Se requiere saber cómo la temperatura 𝑇4 (𝑡) responde a cambios en la temperatura de los caudales A y B , se desarrollara el modelamiento matemático, asi como la función de transferencia que relaciona 𝑇4 (𝑡) con 𝑇1 (𝑡) 𝑦 𝑇3 (𝑡). Balance de energía primer tanque:

𝑓𝐴 𝜌𝐶𝑝 𝑇1 (𝑡) + 0.2 (𝑓𝐴 + 𝑓𝐵 )𝜌𝐶𝑝 𝑻𝟒 (𝒕) − [𝑓𝐴 + 0.2(𝑓𝐴 + 𝑓𝐵 )]𝜌𝐶𝑝 𝑻𝟐 (𝒕) =𝑉1 𝜌𝐶𝑃

𝑑𝑇2 (𝑡) 𝑑𝑡

… (1)

Balance de energía de estado no estacionario del contenido del segundo tanque:

[𝑓𝐴 + 0.2(𝑓𝐴 + 𝑓𝐵 )]𝜌𝐶𝑝 𝑻𝟐 (𝒕)+ 𝑓𝐵 𝜌𝐶𝑝 𝑇3 (𝑡) − 1.2(𝑓𝐴 + 𝑓𝐵 )𝜌𝐶𝑝 𝑻𝟒 (𝒕)

=𝑉2 𝜌𝐶𝑃

𝑑𝑇4 (𝑡) 𝑑𝑡

… (2)

De las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:

𝛤2 (𝑠) =

𝛤4 (𝑠) =

𝐾1 𝜏1 𝑠+1

𝐾3 𝜏2 𝑠+1

𝛤1 (𝑠) +

𝛤2 (𝑠) +

𝐾2

(3 )

𝐾4

(4 )

𝛤 (𝑠) ⋯ 𝜏2 𝑠+1 4

𝛤 (𝑠) ⋯ 𝜏2 𝑠+1 3

Donde:

𝐾1 = 𝐾2 = 𝐾3 = 𝐾3 = 𝜏1 = 𝜏2 =

𝑓𝐴 𝑓𝐴 +0.2(𝑓𝐴 +𝑓𝐵 ) 0.2(𝑓𝐴 +𝑓𝐵 ) 𝑓𝐴 +0.2(𝑓𝐴 +𝑓𝐵 ) 𝑓𝐴 +0.2(𝑓𝐴 +𝑓𝐵 ) 1.2(𝑓𝐴 +𝑓𝐵 ) 𝑓𝐵 1.2(𝑓𝐴 +𝑓𝐵 )

𝑓𝐴 +0.2(𝑓𝐴 +𝑓𝐵 ) 1.2(𝑓𝐴 +𝑓𝐵 )

, adimensional; , adimensional;

, adimensional;

𝑉1 𝑉2

, adimensional;

, adimensional;

, adimensional;

Sustituyendo la ecuación (3) en (4) 𝛤4 (𝑠) =

𝐾3 𝐾1 𝐾4 (𝜏1 𝑠 + 1) 𝛤1 (𝑠) + 𝛤 (𝑠) (𝜏1 𝑠 + 1)(𝜏2 𝑠 + 1) − 𝐾2 𝐾3 (𝜏1 𝑠 + 1)(𝜏2 𝑠 + 1) − 𝐾2 𝐾3 3

De donde se obtiene su función de transferencia:

𝛤4 (𝑠) 𝐾3 𝐾1 = ⋯ (6) 𝛤1 (𝑠) (𝜏1 𝑠 + 1)(𝜏2 𝑠 + 1) − 𝐾2 𝐾3 𝛤4 (𝑠) 𝐾4 (𝜏1 𝑠 + 1) = ⋯ (7) 𝛤3 (𝑠) (𝜏1 𝑠 + 1)(𝜏2 𝑠 + 1) − 𝐾2 𝐾3

Estas dos funciones de transferencia son de segundo orden, observamos también que la respuesta dinámica entre 𝑇4 (𝑡) y 𝑇1 (𝑡) es diferente debido al termino (𝜏1 𝑠 + 1) del numerador , el cual se traduce en una respuesta más rápida, por lo tanto 𝑇4 (𝑡) responde con mayor velocidad a un cambio en 𝑇3 (𝑡) que en 𝑇1 (𝑡) . Además se observa que un cambio en 𝑇1 (𝑡) afecta primero la temperatura en el primer tanque a 𝑇2 (𝑡)

En cambio una variación en 𝑇3 (𝑡) afecta directamente a 𝑇4 (𝑡)

Reactor químico no isotérmico El reactor es un tanque de agitación donde ocurre una reacción exotérmica 𝐴 → 𝐵, para mover el calor de la reacción el reactor se cubre con una camisa por la que circula un líquido de enfriamiento. Supóngase que las perdidas de calor en el ambiente son despreciables, y que las propiedades termodinámicas, la densidad y la capacidad calorífica de los reactivos y el producto son iguales y constantes. El calor de reacción es constante y está dado por la ∆𝐻(𝐵𝑡𝑢/𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙) de A reaccionado. Supóngase así mismo que el nivel del líquido en el tanque reactor es constante. La tasa de reacción está dada por: 𝑟𝐴 (𝑡) = 𝑘0 𝑒 −𝐸/𝑅𝑇(𝑡) 𝐶𝐴2 (𝑡),

𝑙𝑏 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐴 𝑓𝑡 3 −𝑚𝑖𝑛

Donde el factor de frecuencia k0, y la energía de activación E son constantes

𝑓𝐶 (𝑡),

𝑙𝑡 3 𝑚𝑖𝑛

𝑐𝐴 (𝑡),

𝑐𝑝𝑐 ,

𝐵𝑇𝑈 𝑙𝑏. °𝑅

𝑓 (𝑡),

𝜌,

𝑇𝑐 (𝑡), °𝑅

𝑙𝑡 3 𝑚𝑖𝑛

𝑙𝑏 𝑓𝑡 3 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙 𝑓𝑡 3

𝑐𝐴𝑖 (𝑡),

𝑐𝑝 ,

𝐵𝑇𝑈 𝑙𝑏. °𝑅

Información del proceso: V=13.26 𝑓𝑡 3

𝑘0 = 8.36 ×

E=27.820𝐵𝑡𝑢/𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙 𝑙𝑏𝑚 𝑓𝑡3

108 𝑓𝑡 3 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙−𝑚𝑖𝑛 𝐵𝑡𝑢

R=1.987 𝑙𝑏𝑚−°𝑅 𝐶𝑝 = 0.88

𝐵𝑡𝑢 𝑙𝑏𝑚−°𝐹 𝐵𝑡𝑢

∆𝐻 = −12,000 𝐵𝑡𝑢/𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙 𝑈 = 75 ℎ−𝑓𝑡 2 −°𝐹 A=36 𝑓𝑡 2 ,

𝑇(𝑡), °𝑅

𝑙𝑏 𝑓𝑡 3

𝑇𝑖 (𝑡), °𝑅

𝜌 = 55

𝑓𝑡 3

,

𝑇𝑐𝑖 (𝑡), °𝑅 𝜌𝑐 ,

𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙

𝐵𝑡𝑢 𝜌𝑐 = 62.4 𝑓𝑡3 𝐶𝑝𝑐 = 1.0 𝑙𝑏𝑚−°𝐹 𝑙𝑏𝑚

𝑉𝑐 = 1.56 𝑓𝑡 3

Valores de estado estacionarios 𝐶𝐴𝑖 (𝑡) = 0.5975

𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙 𝑓𝑡3

𝑓𝑡3

𝑇𝑐 = 602.7°𝑅 𝐶𝐴 (𝑡) = 0.2068 𝑇𝑐𝑖 = 540°𝑅

𝑇𝑖 (𝑡) = 635°𝑅

𝑓 = 1.3364 𝑚𝑖𝑛 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙 𝑓𝑡3

𝑇(𝑡) = 678.9°𝑅

𝑓𝑐 (𝑡) = 0.8771

𝑓𝑡3 𝑚𝑖𝑛

Se desea conocer la forma en que la concentración de salida de A, 𝐶𝐴 (𝑡), y la temperatura de salida 𝑇(𝑡), responden a los cambios en la concentración de entrada de A, 𝐶𝐴𝑖 (𝑡); a la temperatura de entrada del reactivo, 𝑇𝑖 (𝑡); a la temperatura de entrada del líquido de enfriamiento, salida 𝑇𝑐𝑖 , y a los flujos 𝑓 (𝑡) y 𝑓𝑐 (𝑡). El objetivo, por tanto, es desarrollar el modelo matemático, determinar las funciones de transferencia que relacionan 𝐶𝐴 (𝑡) y 𝑇(𝑡) con 𝐶𝐴𝑖 (𝑡), 𝑇𝑖 (𝑡), 𝑇𝑐𝑖 (𝑡), 𝑓 (𝑡) y 𝑓𝑐 (𝑡). Es importante conocer esta relación por motivos de seguridad, tasa de producción, el rendimiento y otros objetivos de operación. Debido a que esta temperatura es fácil para medir es común usarla para poder controlar el desempeño del reactor. Balance molar de estado no estacionario del componte A: 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟

𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 ( − + )= 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 (

)

O bien,

𝑓 (𝑡)𝐶𝐴𝑖 − 𝑓(𝑡)𝐶𝐴 (t) − 𝑉𝑟𝐴 (t) = 𝑉

𝑑𝐶𝐴 (𝑡) 𝑑𝑡

… (1)

Donde V= Volumen del líquido en el reactor; 𝑓𝑡 3 La expresión para la tasa de reacción proporciona la siguiente ecuación:

𝑟𝐴 (𝑡) = 𝑘0 𝑒 −𝐸/𝑅𝑇(𝑡) 𝐶𝐴2 (𝑡)…(2) Balance de energía de estado no estacionario del contenido del reactor: 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 ( 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − − 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛 ) = ( ) 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟

𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 𝑇𝑖 (𝑡) + 𝑈𝐴𝜌𝐶𝑝 (𝑇(𝑡) − 𝑇𝑐 (𝑡)) − 𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 T(t) − 𝑉𝑟𝐴 (∆𝐻𝑟 )=𝑉1 𝜌𝐶𝑣

𝑑𝑇(𝑡) 𝑑𝑡

… (3)

Donde: U= coeficiente global de transferencia de calor, supuesto constante

𝐵𝑡𝑢 𝑓𝑡 2 −°𝑅−𝑚𝑖𝑛

A= área de transferencia de calor 𝑓𝑡 2 𝐵𝑡𝑢

∆𝐻𝑟 = calor de reacción𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙 de A reaccionado 𝐵𝑡𝑢

𝐶𝑣 = capacidad calorífica a volumen constante 𝑙𝑏−°𝑅 Balance de energía no estacionario del contenido de la camisa de enfriamiento – como un nuevo volumen de control- se obtiene la siguiente ecuación. 𝑓𝑐 (𝑡)𝜌𝑐 𝐶𝑝𝑐 𝑇𝑐𝑖 (𝑡) + 𝑈𝐴𝜌𝐶𝑝 (𝑇(𝑡) − 𝑇𝑐 (𝑡)) − 𝑓𝑐 (𝑡)𝜌𝑐 𝐶𝑝𝑐 Tc (t) =𝑉𝑐 𝜌𝑐 𝐶𝑣𝑐

𝑑𝑇𝑐 (𝑡) 𝑑𝑡

… (4)

Donde: 𝑉𝑐 = volumen de la camisa de enfriamiento , 𝑚3 𝐶𝑣𝑐 = capacidad calorífica a volumen constante del líquido de enfriamiento, supuesto 𝐵𝑡𝑢 constante 𝑙𝑏−°𝑅 Este sistema de ecuaciones es no lineal, entonces se procede a linealizar los términos y las siguientes variables de desviación:

De la ecuación (1) se obtiene:

… (5) Donde:

De la ecuación (3) tenemos:

...(6)

Donde:

Finalmente, de la ecuación (4) tenemos:

…(7) Donde:

Sustituyendo la ecuación (7) en (6)

…(9)

Sustituyendo (9) en (5)

De esta función se obtiene las siguientes funciones de transferencia:

De la ecuacion (5), (6) y (7) tambien se obtiene:

𝛤(𝑠) 0.5(2.07𝑠 + 1) = 3 𝛤𝑐𝑖 26.27𝑠 + 36.31𝑠 2 + 10.41𝑠 + 1

Todas las funciones de transferencia halladas son de 3er orden, debido a las diferencias en los términos del numerador una d las conclusiones que podemos advertir que el comportamiento dinámico de 𝐶𝐴 (𝑡) a los cambios de 𝐹𝑐 (𝑡) 𝑦 𝛤𝑐𝑖 (𝑡) es el mismo pero es diferente al comportamiento debido a los cambios en 𝐶𝐴𝑖 (𝑡), 𝐹(𝑡) 𝑦 𝛤𝑖 (𝑡)