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TALLERES DE MATEMATICAS

GRADO OCTAVO TALLER 1. FACTORIZACION SABERES: Aplica los diferentes casos de factorización para reducir expresiones algebraicas

Número

Suma o Resta de una expresión algebraica

Polinomio

# DE POLINOMIO FACTORIZADO

FACTORES PRIMOS

2 3

P(x, y, z) = (x + y)(x - y)z x 2 3 5

P(x, y, z) = x y w 2

2

P(x, y) = (x + y)(x – xy + y )x

4

P(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 4)x 3 4

P(x, y) = x y (x - 2)(x - y) 2

P(x, y, z) = (xyz) 3

4

P(x) = x (x + 1) P(x, y, z) = (x + y)(x + y)(y + z)xyz P(x, y) = (x + a)(y + b)(x + b)(y + a)

METODOS DE FACTORIZACION

FACTORIZACIÓN POLINOMIO

POLINOMIO COMÚN

(a - 2)x2 – (a – 2)

y2(x + y - z) + m2(x + y - z)

x4(2ª – 5b) + x(2a – 5b) – 5(2a - 5b)

a(p + q) + b(p + q) + c(p + q)

a(a + b - c) + c(a + b - c) + b(a + b - c)

POLINOMIO

m2y2 – 7xy2 + m2z2 – 7xz2 5a – 3b – 3bc5 + 5ac5 6x3 – 1 – x2 + 6x 7mnx2 – 5y2 – 5x2 + 7mny2 d2m – 13c2n2 – d2n2 + 13c2m

FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN

PRACTICA DE POLINOMIOS EJERCICIOS DE APLICACION 1. Indique el número de factores primos: F(a, b) = 5a9b3 + 15a6b7 a) 3 d) 1

b) 9 e) 18

6. Factorizar: P(a, b, c) = a(b2 + c2) + b(c2 + a2) Dar como respuesta la suma de coeficientes de un factor primo:

c) 10

a) 1 d) 4

2. Factorizar: T(a, b) = a3 + a2b + ab2 + b3 a) (ab + 1) (a + 1) (b + 1) + b) b) (a2 + 1) (b2 + 1) + b2) c) (a2 + b2) (a + b)

2

d) (a + b) (a

2

e) (a2 + b) (a

a) (x - 1)(x + 3)2 + 1) b) (x + 1)2 (x - 1) c) (x + 1) (x - 1)

d) (x - 1)2 (x e) x(x + 1)2

4. Señale un factor primo de segundo grado: G(a, b) = a(1 – b2) + b(1 – a2) 2

a) 1 + a 1 d) a2 + b2

b) 1 + ab

c) ab -

e) 1 - ab

5. Indique el factor primo que mas se repite en: E(x) = (x - 3)(x - 2)(x - 1) + (x + 2)(x - 1) + 1-x a) x – 3 1 d) x + 2

b) x – 2 e) x + 4

c) 3

7. ¿Cuántos factores primos presenta la siguiente expresión? P(x, y, z, w) = wy + wz – wyz – xy – xz + xyz a) 1 d) 4

3. Factorizar: P(x) = x5 + x2 – x - 1

b) 2 e) 5

b) 2 e) 5

c) 3

8. Luego de factorizar: F(a) = a2 + 2a + ab + b + 1; indique el término independiente de un factor primo. a) b + 1 b d) a + b + 1

b) a + 1

c) a +

e) a – b + 1

9. Un factor de: a2x2 – 8acx + 16c2 – 25b2 es: a) ax + 4c + 5b b) ax – 4c + 5b c) ax – c + 4b

d) x + ac e) ax – c - 4b

10. Factorizar: P(x, y) = (x + 1)2 – (y - 2)2 Hallar un factor primo:

c) x a) x + y – 1 d) x – y – 4

b) x – y – 2 e) x – y - 7

c) x – y - 3

APRENDIZAJES 1. Factorizar: P(a) = a3 + 2a2 – a – 2; e indicar el factor primo con mayor término independiente. a) a + 1 d) a – 1

b) 3a + 1 e) 2a + 5

c) a + 2

2. Factorizar: P(x) = x7 + c3x4 – c4x3 – c7; indicar cuántos factores primos se obtienen: a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

3. Indicar un factor de: P(x, y) = a2 – b2 + x2 – y2 + 2(ax - by) a) a + b + x – y b) a + b – x – y c) a – b + x - y

d) a – b – x + y e) a – b – x - y

d) 9x2 + 6xy + 2y2 e) N.A.

5. Factorizar: P(a, b, c) = 4a(a + b) + b(b - c) – 2ac; y señalar la suma de coeficientes de un factor primo y obtenido. a) 1 d) -1

b) 3 e) 0

a) 5 d) 4

c) 4

b) 2 e) 7

c) -5

7. Indicar un factor de: P(a, b) = a(b2 + b + 1) + b(a2 + a + 1) + a2 + b2 a) a + b + 1 +1 d) a + 1

b) a2 + 1

c) b2

e) a2 + b2

8. Factorizar: A(x) = x4 + 2x2 + 9; luego indique algún término de un factor primo. a) x d) x2

4. Factorizar: H(x, y) = 4x4 + 81y4 a) 2x2 – 6xy + 9y2 b) 9x2 – 6xy + 2y2 c) 2x2 – 6xy – 9y2

6. Factorizar: N(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 2)(x - 1) + 3; indicar el término independiente de un factor obtenido.

b) 8x e) 9

c) 7x

9. Indicar la suma de factores primos: F(a, b) = a3 – b3 + a2b – ab2 a) 2a d) 1

b) 2b e) 0

c) a + b

10. Factorizar: M(x, y) = x4 + 14x2 + 49 + y4; indique la suma de coeficientes de un factor primo. a) 9 b) 6 c) 11 d) 4 e) 8

TALLER 2. FACTORIZACION DE BINOMIOS SABERES: Utilizar casos de factorización de Binomios en una expresión algebraica

PRACTICA DE FACTORIZACION SUMA

Y DIFERENCIA DE CUBOS

Ejemplos de diferencias de cubos

1. Factorizar: 5x + 5y a) 5(x + y) d) 5(x - y)

b) 5x e) x(5 + y)

c) 5y

2. Factorizar: 7m + 14n a) 7(m + n) d) m(7 + 2n)

b) 7(n + 2m) e) 7(m + 2n)

c) 2(m + 7n)

3. Factorizar: 5x8 + 5x6 a) 5x6(x2 + 1) b) x6(5x2 + 1) c) 5x2(x6 + 1) d) 5x(x7 + 1) e) 5 x8 (1 + x)

4. Factorizar: 8x3 - 27 a) (2x - 3)(4x2 + 6x + 9) c) (2x + 3)(4x2 + 6x + 9) e) (2x - 3)(4x2 - 6x - 9)

Ejemplos de suma de cubos

b) (2x - 3)(4x2 - 6x + 9) d) (2x - 3)(4x2 + 6x + 9)

5. Factorizar: x3 + 8 a) (x + 2)(x2 - 4) c) (x - 2)(x2 + 2x + 4) e) (x + 2)(x2 - 2x + 4)

b) (x - 2)(x2 - 2x + 4) d) (x + 2)(x2 + 2x + 4)

6. Factorizar: am2 - 9a a) m(a + 3)(a - 3) c) a(m + 9)(m - 1) e) m(a2 - 9)

b) a(m + 3)(m - 3) d) a(m + 9)(m - 9)

APRENDIZAJES Resolver

los

siguientes

ejercicios

de

factorización de suma y diferencia de cubos

12)

216 𝑥 12 − 729 𝑦 21 𝑎)

13)

343 𝑥 3 𝑎 − 512𝑦 6 𝑏

14)

(𝑥 + 4)3 − 8

15)

(3𝑎 + 2𝑏)3 − (2𝑎 + 2𝑏)3

16)

125 − (3𝑎2 + 1)3 4

17)

27 (𝑥 − 𝑦)3 − 8(𝑥 + 𝑦)3

18)

0,027𝑥 3 − 0,008𝑦 6

𝑥 3 + 1000

2)

27 𝑎3 + 125 𝑏 3

3)

64 𝑥 3 𝑦 6 + 216 𝑧 9

4)

512 𝑥 6 + 729 𝑦 3 𝑏

5)

1

6)

8

+ 125𝑥 3

1

7)

9)

125 𝑥 9 𝑦 18 − 512 𝑧 27

1 + 𝑥3

1)

8)

11)

27

𝑎6 343

+

+

𝑥6 216

125

6

𝑥 −

1000 𝑧 9 64𝑦 12

1000

1000 − 𝑚

10)

19)

8 𝑏12

8

3

8 𝑎3 − 64 𝑏 3

20)

64 (𝑎 − 𝑏)3 + 27 (𝑎 + 𝑏)3

TALLER 3. FACTORIZACION DE SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIA DE

IGUAL EXPONENTE SABERES: Identificar casos de factorización de binomios de la forma 𝑥 𝑛

+ −

𝑎𝑛

Son las expresiones de la forma 𝐚𝐧 + 𝐛𝐧 o 𝒂𝒏 − 𝒃𝒏 , donde “n” es un numero impar, y su descomposición factorial se presenta de las formas siguientes: 𝒂𝒏 + 𝒃𝒏 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂𝒏−𝟏 − 𝒂𝒏−𝟐 𝒃 + 𝒂𝒏−𝟑 𝒃𝟐 − 𝒂𝒃𝒏−𝟐 + 𝒃𝒏−𝟏 ) 𝒂𝒏 − 𝒃𝒏 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 𝒃 + 𝒂𝒏−𝟑 𝒃𝟐 + 𝒂𝒃𝒏−𝟐 + 𝒃𝒏−𝟏 )

La cantidad de términos del segundo factor será igual al número del exponente de las potencias. Cuando es suma de potencias el primer factor es la suma de sus raíces y en el segundo factor, el signo entre los términos se va alternando. El primer término será positivo,

Procedimiento 1) Extraer las raíces de las potencias del binomio

2) Sustituir los valores de las raíces en la formula respectiva.

el segundo negativo, el tercero positivo, así sucesivamente hasta el último término. Cuando es diferencia de potencias el primer factor es la diferencia de sus raíces y en el segundo factor el signo entre los términos será positivo para todos. Veamos unos ejemplos para comprender la construcción de la fórmula y su desarrollo.

3) Desarrollar y simplificar las operaciones para llegar a la solución.

Recordar que: toda potencia elevada al exponente 1 𝑥 1 es igual a la base "𝑥"; y que toda potencia elevada al exponente 0 (𝑥 0 ) es igual a la unidad (1).

2)

y

Solución.

3) y

Solución.

PRACTICA DE SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE

1)

Factorizar

las

siguientes

h.

a7 – b7

i.

x10 + 32y5

j.

1 – 128 a7

expresiones

a. b.

81 a4 – b8 = (3 a – b2) (3a)3 + (3a)2(b2) + (3a)(b2)2 + (b2)3)

c.

a5 + b5

k.

a5 +1

d.

a5 – b5

l.

a5 – 1

m.

x5 + 3125

e.

m7 – n7

f.

243 – 32b5

g.

1 – x5

APRENDIZAJES

Resuelve los siguientes ejercicios del taller 3.

a) a5 + 1

i) x7 + 128

b) a 5 - 1

j) 243 – 32b5

c) 1 – x 5

k) a5 + b5c5

d) a 7 + b7

e) m7 – n

l) m7 – a7x 7 7

f) a 5 + 243

g) 32 – m5

h) 1 + 243x5

m) a 7 – 2187

n) x 10 + 32y5

o) 1 + 128x4

TALLER 4. PRODUCTOS NOTABLESSABERES: Identificar y clasificar los trinomios de una expresión algebraica

TEOREMA:

PRACTICA DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

APRENDIZAJES Factorizar los siguientes ejercicios de TCP (Trinomio cuadrado perfecto)

TALLER 4. -PRODUCTOS NOTABLES TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACION Procedimiento

EJEMPLOS

PRACTICA DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACION

Factorizar o descomponer en dos factores

APRENDIZAJES

Factorar o descomponer en dos factores.

TALLER 4. -PRODUCTOS NOTABLES

TRINOMIO DE LA FORMA X2 + BX + C Para reconocer este tipo de trinomio

Para operar este trinomio

debemos

escribimos dos pares de paréntesis

observar

que

luego

de

irán

ordenarlo, el prin1er término no tiene

donde

coeficiente numérico y que está elevado

extraemos la raíz cuadrada del prin1er

al cuadrado (por lo tanto, siempre será

término y será el primer término de

positivo), luego el segundo término

cada

puede ser positivo o negativo y tiene la

buscamos dos números que sumados

raíz cuadrada del literal del primer

(incluyendo sus signos) nos dé como

térm ino, y el tercer término es un valor

resultado el coeficiente del segundo

constante independiente.

término y que multiplicados (incluyendo

uno

de

los

primero

los

binomios,

binomios,

luego

luego

sus signos) nos dé como resultado el

EJEMPLO 1.

tercer término.

PRACTICA DE TRINOMIO DE LA FORMA X2 + BX + C

Factorizar los siguientes ejercicios según los trinomios tipo X2 + BX + C.

APRENDIZAJE

Factorice las siguientes expresiones algebraicas de Trinomio de la forma X2 + Bx + C

TALLER 4. PRODUCTOS NOTABLES

TRINOMIO DE LA FORMA AX2 + BX + C Para reconocer este tipo de trinomio debemos

observar

que

luego

de

ordenarlo, el primer término tiene

Para operarlo primero escribimos dos pares de paréntesis donde irán los

va

binomios, luego extraemos la raíz

acompañado de un literal que está

cuadrada del primer término y será el

elevado al cuadrado (por lo tanto

primer término de cada uno de los

coeficiente

numérico

y

que

siempre será positivo), luego el segundo término puede ser positivo o negativo y tiene la raíz cuadrada del literal del

binomios, luego buscamos dos números que sumados (incluyendo sus signos)

primer término, y el tercer término es

nos dé como resultado el coeficiente

un valor constante independiente con

del

cualquier signo.

multiplicados (incluyendo sus signos) no

Este trinomio puede ser factorado si

de como resultado el tercer término.

primero multiplicamos el numerador y

Luego

denominador por el coeficiente del

denominador, necesitamos destruir el

primer término y luego tendremos en el

denominador y para ello debemos

numerador un Trinomio de la forma

factorar el numerador con factor

X2+Bx+C que será factorado de la

común los que se convertirán en

forma ya conocida.

coeficientes de los binomios y estos se

segundo

de

término

haber

y

operado

simplificarán con el denominador

que

el

PRACTICA DE TRINOMIO DE LA FORMA AX2 + BX + C

Factorice las siguientes expresiones algebraicas de Trinomio de la forma Ax2 + Bx + C.

1) 20x2 +7x -6

6) 5x2 + 4x -12

2) 2x2 +3x -2

7) 12 – 7x – 6x2

3) 3x2 -5x -2

8) 5 + 7x – 6x2

4) 6x2 +7x +2

9) 18a2 + 17a – 15

5) 5x2 +13x -6

10)

4x2 + 7mnx – 15m2n2

APRENDIZAJE

Factorizar las siguientes expresiones:

TALLER 5. FACTORIZACION DE UN CUBO PERFECTO SABERES: Utilizar casos de factorización de un cubo perfecto De los productos notables tenemos:

En este caso la factorización es realizar la operación inversa a esta:

•

•

Para reconocerlo se deben tomar en cuenta los siguientes puntos: Debe tener cuatro términos, y estar ordenado con respecto a una letra. Dos de sus términos, el 1º (a ) y el 4º (b ), deben poseer raíz cúbica exacta. El segundo término debe ser igual al triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)2(b)].

•

El tercer término debe ser igual al triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)(b) ]. El segundo y el cuarto termino deben tener el mismo signo y puede ser positivo o negativo, el primer y tercer término siempre son positivos (si el primer y tercer término son negativos realizar factor común con el factor -1). Si todos los términos son positivos el resultado es el cubo de la suma de dos cantidades (a + b) , si hay términos negativos el resultado es el cubo de la diferencia de dos cantidades (a – b) .

EJEMPLO EXPLICATIVO

Ejemplo 1:

Ejemplo 7: Ejemplos de la forma:

Ejemplo 2:

Ejemplo 1:

Ejemplo 3:

Ejemplo 2:

Ejemplo 4:

Ejemplo 3: Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:

Luego:

Ejemplo 5:

PRACTICA DE FACTORIZACION DE UN CUBO PERFECTO

FACTORIZAR LOS SIGUIENTES CUBOS PERFECTOS

APRENDIZAJES Factorizar las siguientes expresiones

Factorice las siguientes expresiones

de cubos perfectos

algebraicas

de cubo

perfecto

binomios (cuatrinomio) 1) a3 +3a2 +3a +1 I) 8a3b3 + 36a2b2C + 54 abc2 + 27 C3 2)27 -27x +9x2 -x3

3) m3 +3m2n +3mn2 +n3 II) 125 a6b3 – 225 a4bc2 + 135 a2bc2 – 27 c3

4) 1 -3a +3a2 - a3

III) Factorizar x3 + 1

5) 8x6 +54x2y6 -27y9 -36x4y3

de