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• Jhon Stiven Torres

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Taller Unidad 1. Anti derivada Solución 1. El punto (3,2) está en una curva y en cualquier punto (x,y) de la curva, la recta tangente tiene una pendiente igual a 2x – 3. Determine una ecuación de la curva. La curva buscada pasa por el punto (3,2) Se sabe que: 𝑚(𝑥) = 2𝑥 − 3 Entonces se debe derivar para poder hallar la ecuación: 𝑌 = ∫ 2𝑥 − 3 𝑑𝑥 𝑌 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 𝑐 Tomamos nuestro punto (3,2) y lo reemplazamos: 2 = (3)2 − 3(3) + 𝑐 2=9−9+𝑐 2=𝑐 Entonces nuestra ecuación quedaría como:

𝑌 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2

Conclusión: La ecuación de la curva que pasa por el punto tres en x y dos en y, es una función cuadrática, la pendiente funciono como derivada para hallar el valor de esta.

2. Una función de costo marginal está definida por c'(x) = 3x2 + 8x + 4 y el costo fijo es de $6. Determine la función costo total correspondiente. El enunciado nos da los siguientes datos: La función definida es: c′(x) = 3x 2 + 8x + 4 Y el costo fijo equivale a 6$, Lo que debemos hacer primero es integral la función definida, de ese modo: c(x) = ∫ 3x 2 + 8x + 4 𝑑𝑥 c(x) = 𝑥 3 + 4x 2 + 4x + c

Evaluaremos la ecuación con la mínima cantidad, en este caso x=0, nos quedaría de la siguiente manera: c(0) = 03 + 4(0)2 + 4(0) + c Pero sabemos que el costo fijo es de 6$, en este caso c(0)=6, entonces la ecuación quedaría como: 6 = 03 + 4(0)2 + 4(0) + c 6= c La función del costo total nos quería como: c(x) = 𝑥 3 + 4x 2 + 4x + 6 Conclusión: En este punto fue importante tomar la función definida, integrarla para hallar la función costo, solo nos queda una incógnita que es la constante de integración que pasaría a ser el costo fijo en la función costo total.

3. El volumen de agua de un tanque es V centímetros cúbicos cuando la profundidad del agua es de h metros. Si la tasa de variación de V con respecto a h es  (4h2 + 12 h + 9)determine el volumen de agua en el tanque cuando la profundidad es de 3 metros. Del enunciado podemos extraer los siguientes datos: La tasa de variación de v con respecto a h es: 𝑑𝑣 =  (4h2 + 12 h + 9) 𝑑ℎ Nos preguntan el volumen cuando la profundidad es de 3 metros, lo primero que debemos hacer es integración nuestra tasa de variación: ∫ 𝑑𝑣 = ∫  (4h2 + 12 h + 9)dh 𝑣 =  ∫(4h2 + 12 h + 9)dh 4 𝑣 =  ( h3 + 6ℎ2 + 9h + c) 3 Sabemos que cuando la profundidad del agua es cero, no hay volumen, eso quiere decir que cuando h=0, v=0 4 0 =  ( (0)3 + 6(0)2 + 9(0) + c) 3 0 = (c) 0 = (c)

Sabiendo el valor de la constante de integración, lo que haremos es reemplazar en nuestra ecuación: 4 𝑣 =  ( h3 + 6ℎ2 + 9h) 3

Si la profundidad equivale a 3 metros (h=3): 4 𝑣 =  ( (3)3 + 6(3)2 + 9(3)) 3 𝑣 = (36 + 54 + 27) 𝑣 = (117)m3 Nos piden que la respuesta deben ser en centímetros cúbicos, 1 metro cubico equivale a 1’000.000 centímetros cúbicos, entonces nuestra respuesta seria: 𝑣 = 117 x 106 𝑐m3 Conclusión: Lo importante era saber que a la función de tasa de variación debíamos integrarla para hallar la función de volumen, que cuando no hay profundidad del agua no hay volumen, con eso hallamos la constante de integración, después el enunciado nos dio la profundidad y con ello conseguimos la solución del problema.

4. Una herida está sanando de una manera que t días a partir del lunes el área de la herida ha disminuido a una tasa de −3 (𝑡 + 2 )(−2) 𝑐𝑚2 por día. Si el martes el área de la herida fue de 2cm2 . ¿Cuál era el área de la herida el lunes? ¿Cuál será el área prevista de la herida el viernes si continúa sanando a esa tasa? Los datos que nos ofrece el problema son los siguientes: El área de la herida ha disminuido a una tasa de: 𝑇 = −3 (𝑡 + 2 )(−2) 𝑐𝑚2

t : días a partir del lunes y para el martes el área es: 5. Si q coulombs es la carga de electricidad recibida por un condensador desde un circuito eléctrico de I ampers a los t segundos, entonces I(t) = dq / dt. Si I(t) = sen(60t) y q = 0 cuando t = π/2. Calcule la carga mayor sobre el condensador. Comenzaremos sabiendo la ecuación sen(60t) = dq / dt. 𝑞 = ∫ sen(60t) dt Usamos sustitución trigonométrica: 𝑢 = 60𝑡

𝑑𝑢 = 60𝑑𝑡 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 60

La ecuación nos quedaría como: 𝑞=

1 ∫ sen(u) dt 60

Integramos y nos queda como: 𝑞=

− cos(𝑢) + 𝑐 60

Volvemos a nuestra variable original: 𝑞=

− cos(60𝑡) + 𝑐 60

Y hallando la constante con el dato de q = 0 cuando t = π/2. 0=

π − cos (60(2)) + 𝑐

0=

π − cos (60(2)) + 𝑐

60

60

0 = −1/60 ∗ cos 30 π + c C = +1/60 ∗ (cos 30 π) C = +1/60 ∗ (1) C = +1/60 Sabiendo la constante, nuestra ecuación queda como: 𝑞(𝑡) = −(1/60)𝑐𝑜𝑠 60𝑡 + (1/60)

Como piden la carga máxima, se deriva para hallar el valor máximo:

𝑞 ‘ (𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 60 𝑡 = 0 => t = 0, pi

Si derivamos por 2ª vez:

𝑞’’(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 60 𝑡/60 𝑞’’(𝑝𝑖) = −1/60 < 0 => 𝑝𝑖 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞.

Sabiendo esto hallamos la máxima carga para el condensador: 𝑞(𝑝𝑖) = 1/60 + 1/60 = 1/30 Conclusión: Con la función que nos ofrece el enunciado podemos hallar la función de la carga, era esencial saber en qué momento la función tomaba su punto máximo, por ello derivamos por segunda vez y hallamos la carga máxima.

6. Para los primeros 10 días de diciembre, una célula vegetal creció de forma que t días después del 1 de diciembre, el volumen de la célula estuvo creciendo a razón de (12 – 𝑡)−2 𝑚𝑖𝑐𝑟𝑎𝑠 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑎𝑠 por día. Si el 3 de diciembre el volumen de la célula fue de 3 μ m3, ¿Cuál fue el volumen el 8 de diciembre? Los datos que nos da el enunciado son que el día 3 la célula crece a 3 μ m3, es decir 2 días después del primero de diciembre, eso es el día t, luego para el ocho de diciembre se tendrá que han pasado siete días o t días después del primero de diciembre:

7

= ∫ (12 − 𝑡)−2 𝑑𝑡 2

Conclusión: el volumen para el día 8 de diciembre para la célula vegetal es de 3.1 μ m3, en este ejemplo podíamos hacerlo de una manera más fácil simplemente simplificando y no cambiando los límites de integración pero quería observar que aun así cambiando los límites de integración la solución no cambia.

7. ¿La tasa de crecimiento dP/dt de una población de bacterias es proporcional a la raíz cuadrada de t, donde P es el tamaño de la población y t es el tiempo en días (0