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FACULTAD DE INGENIERÍA Y TECNOLOGIA

SISTEMAS DE NUMERACION

ALUMNO KEINER JOSÉ URBINA CÁRDENAS

DOCENTE ILIANA MARÍA RUMBO BARROS

PROGRAMA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA VALLEDUPAR - CESAR GRUPO: 01 2020-2

MARCO TEORICO

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos. Un sistema de numeración puede obtenerse como: N = (S,R), donde :   

N es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, hexadecimal, etc.) S es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}. R son las reglas que nos indican qué números y qué operaciones son válidos en el sistema, y cuáles no. En un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, que la numeración romana requiere reglas algo más elaboradas.

Se conoce como un sistema de numeración un conjunto finito de símbolos que se emplea con algún método para asignar numerales, o símbolos numéricos, a los números. Hay diversos sistemas que han sido, o son actualmente empleados. Lo que interesa son los principios y conceptos implicados que las particularidades sistémicas. El número de símbolos es finito, varía desde dos hasta treinta o más en otros. 1

SISTEMA BINARIO Es un sistema de numeración que utiliza internamente hardware de las computadoras actuales. Se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 1 y 0, por tanto su base es dos (número de dígitos de sistemas). Cada digito de un número representado en este sistema se representa en BIT (contracción de binary digit). Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido '1', apagado '0').  SISTEMA OCTAL Es un sistema de numeración cuya base es 8, es decir, utiliza 8 símbolos para la representación de cantidades. Estos sistemas es de los llamados posiciónales y la posición de sus cifras se mide con la relación a la coma decimal que en caso de no aparecer se supone implícitamente a la derecha del número. Estos símbolos son: 01234567 Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal. Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 001 010. De modo que el número decimal 74 en octal es 112. En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar de decimal, por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares. Esto explicaría por qué en latín nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus). Podría tener el significado de número nuevo. SISTEMA DECIMAL Es uno de los sistema denominado posiciónales, utilizando un conjunto de símbolos cuyo significado depende fundamentalmente de su posición relativa al símbolo, denominado coma (,) decimal que en caso de ausencia se supone colocada a la derecha. Utiliza como base el 10, que

corresponde al número del símbolo que comprende para la representación de cantidades; estos símbolos son: 0123456789 Este conjunto de símbolos se denomina números árabes. Es el sistema de numeración usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo contextos, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración de propósito más específico como el binario o el hexadecimal. El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número.  SISTEMA HEXADECIMAL  Es un sistema posicional de numeración en el que su base es 16, por tanto, utilizara 16 símbolos para la representación de cantidades. Estos símbolos son: 0123456789ABCDEF   Su uso actual está muy vinculado a la informática. Esto se debe a que un dígito hexadecimal representa cuatro dígitos binarios (4 bits = 1 nibble); por tanto, dos dígitos hexadecimales representan ocho dígitos binarios (8 bits = 1 byte, (que como es sabido es la unidad básica de almacenamiento de información). Dado que nuestro sistema usual de numeración es de base decimal, y por ello sólo disponemos de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16.

PROCEDIMIENTO 1. Convertir los siguientes números binario puros a su equivalente en base 10 a) 100110;

b) 10110011;

c) 0101, 11;

d) 1001, 10;

e) 101010110,001

Solución Para hacer la conversión de binarios a su equivalente en base 10, se tiene en cuenta los siguientes pasos. a) se trabaja el número binario de derecha a izquierda, asignando una base (2 n) de manera creciente empezando desde el cero, donde n es la posición de cada digito del número binario (20, 21, 22,…,2n) b) Se multiplica cada digito del número binario por la base asignada. c) Se suma el resultado de cada multiplicación Ejercicios (a,b)

Numero Binario Base Multiplicación Resultado Suma Eqve, Base 10 Numero Binario Base Multiplicación Resultado Suma Eqve, Base 10

1 27 1 x 27 128

1 25 1 x 25 32

0 28 0 x 26 0

0 0 1 1 24 23 22 21 0 x 24 0 x 23 1 x 22 1 x 21 0 0 4 2 32 + 0 + 0 + 4 + 2+ 0 (38)10 1 25 1 x 25 32

1 0 0 24 23 22 1 x 24 0 x 23 0 x 22 16 0 0 128 + 32 + 16 + 2 + 1 (179)10

0 20 0 x 20 0

1 21 1 x 21 2

1 20 1 x 20 1

Para trabajar binarios con punto decimal (100.01) se tiene en cuenta lo siguiente: a) La parte entera del binario 100.01 se trabaja igual que los ejercicios anteriores. b) La parte decimal o fraccionaria del binario 100.01 se trabaja de izquierda a derecha, multiplicando la base (2n) pero de manera decreciente (2-1, 2-2, 2-3,…,2-n) con cada digito de la parte decimal del binario, sumando el resultado obtenemos el numero en base 10. Ejercicio (c) Numero Binario Base Multiplicación Resultado Suma Eqve, Base 10

Numero Binario Base Multiplicación Resultado Suma Eqve, Base 10

0 23 0 x 23 0

1 23 1 x 23 8

1 0 1 22 21 20 1 x 22 0 x 21 1 x 20 4 0 1 0+4+0+1 (5,75)10

0 0 1 22 21 20 0 x 22 0 x 21 1 x 20 0 0 1 8+0+0+1 (9,5)10

,

,

,

,

1 1 2-1 2-2 1 x 2-1 1 x 2-2 0.5 0.25 0.5 + 0.25

1 0 2-1 2-2 1 x 2-1 0 x 2-2 0.5 0 0.5 + 0

Numero Binario Base Multiplicación Resultado Suma Eqve, Base 10

1 28 1 x 28

0 27 0 x 27

256

0

1 26 1 x 26

0 25 0 x 25

1 24 1 x 24

0 23 0 x 23

1 22 1 x 22

64 0 16 0 4 256 + 0 + 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 (342,125)10

1 21 1 x 21

0 20 0 x 20

,

0 2-1 1 x 2-1

2

0

, ,

0

0 2-2 0 x 2-2

0 0.125 0 + 0 + 0.125

2. Convertir los siguientes números decimales a sus equivalentes en binario a) 131; b) 0,75; c) 1,625; d) 37; e) 19,3125

Dividimos el número por la base que se va a convertir en este caso 2, tomando el cociente para seguir dividiendo. a) 131 131÷ 2= 65 R=1, 65÷ 2= 32 R=1, 32÷ 2=16 R=0, 16÷ 2=8 R=0, 8÷ 2=4 R=0, 4÷ 2=2 R=0, 2÷ 2=1 R=0, 1÷ 2=0 R=1, Tomando de derecha a izquierda los residuos de la división obtenemos el número binario (10000011)2 = (131)10 Para el caso un número con punto de decimal dividimos el número en dos partes, entera y decimal, y lo dividimos por su base a convertir b) 0,75 P.ENTERA 0÷ 2= 0 R=0 P.DECIMAL Multiplicamos la parte decimal, tomando del resultado la parte entera como nuestro residuo, así dejando la parte decimal para seguir dividiendo hasta que sea igual a cero. 0.75¿2= 1.5 R=1, 0.5¿2= 1.0 R=1, 0.0¿2= 0 R=0, Formamos nuestro número binario tomando de la parte entera el residuo de la división, y la parte decimal de derecha a izquierda el residuo (0.110)2 = (0.75)10 c) 1,625 P.ENTERA 1÷ 2= 0 R=1 P.DECIMAL 0.625¿2= 1.25 R=1, 0.25¿2= 0.5 R=0, 0.5¿2= 1.0 R=0, (1.101)2 = (1.625)10

1 2-1 1 x 2-1

d) 37 37÷ 2= 018 R=1, 18÷ 2= 9 R=0, 9÷ 2= 4 R=1, 4÷ 2=2 R=0, 2÷ 2=1 R=0, (101001)2 = (37)10 e) 19,3125 P.ENTERA 19÷ 2= 9 R=1, 9÷ 2= 4 R=1, 4÷ 2= 2 R=2, 2÷ 2= 1 R=0, 1÷ 2= 0 R=1, P.DECIMAL 0.3125¿2= 0.625 R=0, 0.625¿2= 1.25 R=1, 0.25¿2= 0.5 R=0, 0.5¿2= 1.0 R=1, (1001.101.2 = (19.3125)10 3. Convertir los siguientes números enteros hexadecimales a decimal a) 13; b) 3F0; c) 65; d) D0CE Para hacer la conversión de hexadecimal a cualquier base hay que tener en cuenta lo siguiente A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Separamos el número enumerándolos de manera creciente a partir del cero, lo multiplicamos por su base (16) elevada por la posición de cada digito. a) (13)16 1, 3 Posición 1 0 1¿161= 16, 3¿160= 3 Sumamos el resultado para obtener el número decimal 16+3= (19)10 = (13)16 b) (3F0)16 3, F, 0 Posición 2 1 0 3¿162= 768, F∗¿161= 240 0∗¿160= 0 Sumamos el resultado para obtener el número decimal 768+240+0= (1008)10 = (3F0)16

c) (65)16 Posición 1 0

6, 5

6∗¿161= 96, 5¿160= 5 Sumamos el resultado para obtener el número decimal 96+5= (101)10 = (65)16 d) (D0CE)16 donde, D=13, C=12, E=14

D 0 C E Posición 3 2 1 0

13∗¿163= 53248, 0¿162= 0, 12∗¿161= 192, 14∗¿160= 14, Sumamos el resultado para obtener el número decimal 53248+0+194+140 = (53454)10 = (D0CE)16 4. Convertir los siguientes números reales hexadecimales a decimal a) 0,2; b) F1, A; c) 12,9; d) C8, D Para hacer la conversión de hexadecimal a cualquier base hay que tener en cuenta lo siguiente A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Separamos el número enumerándolos de manera creciente a partir del cero, lo multiplicamos por su base (16) elevada por la posición de cada digito en la parte entera del numero. La parte decimal Separamos el número enumerándolos de manera decreciente a partir del uno, lo multiplicamos por su base (16) elevada por la posición de cada digito. a) (0.2)16 0. 2 Posición 0. -1 Parte entera 0¿161= 0, Parte decimal 1¿16-1= (0.125)10 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (0.125)10 = (0.2)16 b) (F1.A)16 donde A=10 F 1. A Posición 1 0. -1 7 Parte entera ¿161= 240, 1¿160= 1, 240+1= (241)10 Parte decimal 0.10¿16-1= (0.625)10 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (241,625)10 = (F1,A)16 c) (12.9)16 1 2. 9

Posición 1 0. -1 Parte entera

1∗¿161= 16, 2¿160= 2 16+2= (18)10 Parte decimal 0.9¿16-1= (0.5625)10 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (18.5625)10 = (12.9)16 d) (C8.D)16 donde C=12 D=13 C 8. D Posición 1 0. -1 Parte entera

12∗¿161= 192, 8¿160= 8 192+8= (200)10 Parte decimal 0.13¿16-1= (0.8125)10 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (200.8125)10 = (C8.D)16

5. Convertir el número hexadecimal 13,416 a decimal y a binario: a) 13,416 Para hacer la conversión de hexadecimal a cualquier base hay que tener en cuenta lo siguiente A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Separamos el número enumerándolos de manera creciente a partir del cero, lo multiplicamos por su base (16) elevada por la posición de cada digito en la parte entera del número. (13.4)16 A BASE 10 1 3. 4 Posición 1 0. -1 Parte entera

1∗¿161= 16, 3¿160= 3 3+16= (19)10 Parte decimal 0.4¿16-1= (0.25)10 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (19.25)10 = (C8.D)16

(13.4)16 A BASE 2 Separamos el número y buscamos el equivalente número binario de cada digito. Parte entera (1)16= (0001)2 (3)16= (0011)2 Parte decimal 4= (0100)2 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (00010011.0100)2 = (13.4)16 6. Convertir los siguientes números a binario, octal y decimal: a) 3, A216 

b) 1B1, 916

3, A216 a base 2 donde A=10

Separamos el número y buscamos el equivalente número binario de cada digito. Parte entera (3)16= (0011)2 Parte decimal 10= (1010)2 2= (0010)2 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (0011.10100010)2 = (13.4)16  3, A216 a base 8 donde A=10 Separamos el número y buscamos el equivalente número binario de cada digito para luego separarlo en grupo de 3 y buscar el número octal, agregando ceros a la izquierda para completar los grupos Parte entera (3)16= (0011)2 000 011 = (03)8 Parte decimal 10= (1010)2 2= (0010)2 010 100 010 = (232)8 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (3.232)8 = (3.A2)16 b) (1B1, 9)16 a base 2 donde B=11 Separamos el número y buscamos el equivalente número binario de cada digito. Parte entera

(1)16= (0001)2 (11)16= (1011)2 (1)16= (0001)2 (000110110001)2 Parte decimal 9= (1001)2 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (000110110001.1001)2 = (1B1.9)16 (1B1, 9)16 a base 8, donde B=11 Separamos el número y buscamos el equivalente número binario de cada digito para luego separarlo en grupo de 3 y buscar el número octal, agregando ceros a la izquierda para completar los grupos Parte entera (1)16= (0001)2 (11)16= (1011)2 (1)16= (0001)2 (000 110 110 001)2 = (0551)8

Parte decimal 9= (1001)2 (001 001)2= (11)8 010 100 010 = (232)8 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (551.11)8 = (1B1.9)16 (1B1, 9)16 a base 10 donde B=11 Para hacer la conversión de hexadecimal a base 10 hay que tener en cuenta lo siguiente A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Separamos el número enumerándolos de manera creciente a partir del cero, lo multiplicamos por su base (16) elevada por la posición de cada digito en la parte entera del número. 1 B 1. 9 Posición 2 1 0. -1 Parte entera

1∗¿162= (256)10 11∗¿161= (176)10 3∗¿160= (3)10 256+176+3= (433)10 Parte decimal 0.9¿16-1= (0.056)10 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal

(433.056)10 = (3.A2)16 7. Convertir los siguientes números a binario (8 dígitos fraccionarios máx), octal y hexadecimal (2 dígitos fraccionarios) a) (8,910)10

b) (81,110)10

Para el caso un número con punto de decimal dividimos el número en dos partes, entera y decimal, y lo dividimos por su base a convertir a) (8.910)10 a base 2 P.ENTERA 8÷ 2= 4 R=0 4÷ 2= 2 R=0 2÷ 2= 1 R=0 1÷ 2= 0 R=1 (1000)2= (8)10 P.DECIMAL Multiplicamos la parte decimal, tomando del resultado la parte entera como nuestro residuo, así dejando la parte decimal para seguir dividiendo hasta que sea igual a cero. 0.910¿2= 1.82 R=1, 0.82¿2= 1.64 R=1 0.64¿2= 1.28 R=1 0.28¿2= 0.56 R=0 1.12 R=1 0.12¿2= 0.24 R=0 0.24¿2= 0.48 R=0 0.48¿2= 0.96 R=0 (1110100)2 = (0.910)10

0.56¿2=

Formamos nuestro número binario tomando de la parte entera el residuo de la división, y de la parte decimal de derecha a izquierda, el residuo. (1000.11101000)2 = (8.910)10 

(8.910)10 a base 8

P.ENTERA 8÷ 8= 1 R=0 1÷ 8= 0 R=0 (10)8 P.DECIMAL Multiplicamos la parte decimal, tomando del resultado la parte entera como nuestro residuo, así dejando la parte decimal para seguir dividiendo hasta que sea igual a cero.} 0.910¿8= 7.28 R=7, 0.28¿ 8= 2.24 R=2 (72)8 Ordenamos los resultados para obtener el número octal (10.72)8 = (8.910)10 

(8.910)10 a base 16

P.ENTERA 8÷ 16= 0 R=8 (8)16 P.DECIMAL Multiplicamos la parte decimal, tomando del resultado la parte entera como nuestro residuo, así dejando la parte decimal para seguir dividiendo hasta que sea igual a cero.}

0.910¿16= 14.56 R=14=D, (D8)16

0.56¿ 16= 8.96 R=8

Ordenamos los resultados para obtener el número hexadecimal (8.D8)16 = (8.910)10 b) (81,110)10 a base 2 P.ENTERA 81 ÷2= 40 R=1 40÷ 2= 20 R=0 2= 0 R=1

20÷ 2= 10 R=0

10÷ 2= 5 R=0

5÷ 2= 2 R=1

2÷ 2= 1 R=0

1÷

(1010001)2= (81)10 P.DECIMAL Multiplicamos la parte decimal, tomando del resultado la parte entera como nuestro residuo, así dejando la parte decimal para seguir dividiendo hasta que sea igual a cero.} 0.110¿2= 0.22 R=0, 0.22¿2= 0.44 R=0 0.44¿2= 0.88 R=0 0.88¿2= 1.766 R=1 2= 1.52 R=1 0.52¿2= 1.04 R=1 0.4¿2= 0.8 R=0 0.8¿2= 0.16 R=0 (00011100)2 = (0.110)10

0.76¿

Formamos nuestro número binario tomando de la parte entera el residuo de la división, y de la parte decimal de derecha a izquierda, el residuo. (101001.00011100)2 = (81.110)10 

(81..110)10 a base 8

P.ENTERA 81 ÷8= 10 R=1 10÷ 8= 1 R=2 0 1÷ 8= 0 R=1 (121)8 P.DECIMAL Multiplicamos la parte decimal, tomando del resultado la parte entera como nuestro residuo, así dejando la parte decimal para seguir dividiendo hasta que sea igual a cero.} 0.110¿8= 0.88 R=0, 0.88¿ 8= 7.04 R=7 (07)8 Ordenamos los resultados para obtener el número octal (121.07)8 = (8.910)10 

(81.110)10 a base 16

P.ENTERA 81 ÷16= 5 R=1 5÷ 16= 0 R=5 (51)16 P.DECIMAL Multiplicamos la parte decimal, tomando del resultado la parte entera como nuestro residuo, así dejando la parte decimal para seguir dividiendo hasta que sea igual a cero.}

0.110¿16= 1.76 R=1 (1B)16

0.76¿ 16= 12.416 R=11=B

Ordenamos los resultados para obtener el número hexadecimal (121.1B)16 = (81.110)10

8. Convertir el siguiente número a binario, octal y decimal (éste con 5 cifras fraccionarias):  (6416213A, 17B)16 a base 2 donde B= 11 Separamos el número y buscamos el equivalente número binario de cada digito. Parte entera (6)16= (0110)2 (4) 16= (0100)2 (1) 16= (0001)2 (1)16= (0001)2 (3)16= (0011)2 (10)16= (1010)2 (01100100000101100010000100111010)2

(6) 16= (0110)2

(2)16= (0010)2

Parte decimal (1)16= (0001)2 (7)16= (0010)2 (11)16= (1011)2 (000100101011)2 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (01100100000101100010000100111010.000100101011) 2 = (6416213A, 17B)16 

(6416213A, 17B)16 a base 8 donde B= 11

Separamos el número y buscamos el equivalente número binario de cada digito para luego separarlo en grupo de 3 y buscar el número octal, agregando ceros a la izquierda para completar los grupos Parte entera (6)16= (0110)2 (1)16= (0001)2

(4) 16= (0100)2 (3)16= (0011)2

(1) 16= (0001)2 (10)16= (1010)2

(6) 16= (0110)2

(001 100 100 000 101 100 010 000 100 111 010)2 = (14405420472)8 Parte decimal (1)16= (0001)2 (7)16= (0010)2 (11)16= (1011)2 (000 100 101 011)2 = (0453)8 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (14405420472.0453)8 = (6416213A, 17B)16 9. Convertir a base octal

(2)16= (0010)2

a) 1101110;

c) 1011001100,11;

b) 1001,011;

Para hacer la conversión separamos el número binario en grupo de tres, agregando el cero a la izquierda para completar el grupo  (001 101 110)2 = (156)8  (001 011 001 100.011)2 = (1314.3)8  (001 001,011)2 = (11.3)8

10. Convertir el siguiente número a hexadecimal: (204231,1345)10 P.ENTERA 204231÷ 16= 12764 R=7 12764÷ 16= 797 R=12 797÷ 16= 49 R=13 49÷ 16=3 R=1 3÷ 16=0 R=31 (31DC7)16 P.DECIMAL Multiplicamos la parte decimal, tomando del resultado la parte entera como nuestro residuo, así dejando la parte decimal para seguir dividiendo hasta que sea igual a cero.} 0.1345¿16= 2.156 R=2 ¿16= 6.4 R=6

0.15 ¿ 16= 12.4 R=2

0.4¿16= 6.4 R=6

0.4¿16= 6.4 R=6

0.4

(226)16 Ordenamos los resultados para obtener el número hexadecimal (31DC7.226)16 = (81.110)10 11. Convertir los siguientes números binarios a base hexadecimal y octal a) 1100111010100100; b) 1111001000111101; c) 1000100101111000 Separamos el número binario en grupo de cuatro para convertirlo a base 16   

(1100 1110 1010 0100)2 = (9EA4)16 (1111 0010 0011 1101)2 = (F23D)16 (1000 1001 0111 1000)2 = (8978)16

Separamos el número binario en grupo de tres para convertirlo a base 8, agregando a la izquierda del número el cero para completar el grupo.   

(001 100 111 010 100 100)2 = (147244)8 (001 111 001 000 111 101)2 = (171075)8 (001 000 100 101 111 000)2 = (104570)8

12. Convertir los siguientes números binarios a sus equivalentes decimales a. 001100;

b. 111000;

c. 11110001111;

d. 11100,011;

e.110011,10011

Separamos el número enumerándolos de manera creciente a partir del cero, lo multiplicamos por su base (2) elevada por la posición de cada digito en la parte entera del número. La parte decimal separamos el número enumerándolos de manera decreciente a partir del uno, lo multiplicamos por su base (2) elevada por la posición de cada digito.  (0 0 1 1 0 0)2 Posición 5 4 3 2 1 0 Parte entera

0∗¿25= (0)10 0∗¿24= (0)10 1∗¿23= (8)10 1∗¿22= (4)10 0∗¿21= (0)10 0∗¿20= (0)10 0+0+8+4+0+0= (12)10  (1 1 1 0 0 0)2 Posición 5 4 3 2 1 0 Parte entera

1∗¿25= (32)10 1∗¿24= (16)10 1∗¿23= (8)10 0∗¿22= (0)10 0∗¿21= (0)10 0∗¿20= (0)10 32+16+18+0+0+0= (56)10  (1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1) 2 Posición 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Parte entera

1∗¿210= (1024)10 1∗¿29*= (512)10 1∗¿28= (256)10 1∗¿27= (128)10 0∗¿26= (0)10 0∗¿25= (0)10 (32)10 1∗¿23= (8)10 1∗¿22= (4)10 1∗¿21= (2)10 1∗¿20= (1)10 1024+512+256+128+0+0+0+8+4+2+1 = (1935)10  (1 1 1 0 0 . 0 1 1)2 Posición 4 3 2 1 0 . -1 -2 -3 Parte entera

1∗¿24= (16)10 1∗¿23= (8)10 1∗¿22= (2)10 0∗¿21= (0)10 0∗¿20= (0)10 16+8+4+0+0 = (28)10 Parte decimal 0∗¿2-1= (0)10 1∗¿2-2= (0.25)10 1∗¿2-3= (0.125)10 0.25+0.125 = (0.375)10 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (28.375)10 = (11100.011)2 

(1 1 0 0 1 1 . 1 0 0 1 1) 2

0∗¿24=

Posición 5 4 3 2 1 0 . -1 -2 -3 -4 -5 Parte entera

1∗¿25= (32)10 1∗¿24= (16)10 0∗¿23= (0)10 0∗¿22= (0)10 1∗¿21= (2)10

1∗¿20= (1)10

32+16+0+0+2+1 = (51)10 Parte decimal

1∗¿2-1= (0.5)10 0∗¿2-2= (0)10 1∗¿2-3= (0.125)10

1∗¿2-4= (0.0625)10

1∗¿2-5= (0.3125)10

0.5 + 0 + 0 + 0.0625 + 0.03125 = (0.59375)10 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (51.59375)10 = (110011,10011)2 13. Convertir los siguientes números decimales a sus equivalentes binarios a. 500;

b. 100;

c. 111

d. 27,1875;

e. 23,1

Dividimos el número por la base que se va a convertir en este caso 2, tomando el cociente para seguir dividiendo. 

(500)10

500÷ 2= 250 R=0 250÷ 2= 125 R=0 125÷ 2= 62 R=1 7 R=1 7÷ 2= 3 R=1 3÷ 2= 1 R=1 1÷ 2= 0 R=1

62÷ 2= 31 R=0

31÷ 2= 15 R=1

15÷ 2=

(11110100)2  (100)10 100÷ 2= 50 R=0 ÷ 2= 0 R=1

50÷ 2= 25 R=0

25÷ 2= 12 R=1

12÷ 2= 6 R=0

6÷ 2= 3 R=0

3÷ 2= 1 R=1

1

55÷ 2= 27 R=1

27÷ 2= 13 R=1

13÷ 2= 6 R=1

6÷ 2= 3 R=0

3÷ 2= 1 R=1

1

(1100100)2 

(111)10

111÷ 2= 55 R=1 ÷ 2= 0 R=1 (1101111)2 

(27,1875)10

Parte entera 27÷ 2= 13 R=1 (11011)2 P.DECIMAL

13÷ 2= 6 R=1

6÷ 2= 3 R=0

3÷ 2= 1 R=1

1÷ 2= 0 R=1

R=1

Multiplicamos la parte decimal, tomando del resultado la parte entera como nuestro residuo, así dejando la parte decimal para seguir dividiendo hasta que sea igual a cero. 0.1875¿2= 0.375 R=0,

0.375¿2= 0.75 R=0

0.75¿2= 1.5 R=1

0.5¿2= 1.0 R=1

(0011)2 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (11011.0011.)2 = (27,1875)10 

(23,1)10

Parte entera 23÷ 2= 12 R=1

12÷ 2= 6 R=0

6÷ 2= 3 R=0

3÷ 2= 1 R=1

1÷ 2= 0 R=1

(11001)2 P.DECIMAL Multiplicamos la parte decimal, tomando del resultado la parte entera como nuestro residuo, así dejando la parte decimal para seguir dividiendo hasta que sea igual a cero. 0.1¿2= 0.2 R=0,

0.2¿2= 0.4 R=0

0.4¿2= 0.8 R=0

0.8¿2= 1.6 R=1

(00011)2 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (11001.00011.)2 = (27,1875)10 14. Convertir los siguientes números enteros hexadecimales en sus equivalentes decimales a. C0;

b. 67E; c. 9F;

d. ABCD;

e. D52

Para hacer la conversión de hexadecimal a cualquier base hay que tener en cuenta lo siguiente A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Separamos el número enumerándolos de manera creciente a partir del cero, lo multiplicamos por su base (16) elevada por la posición de cada digito en la parte entera del número. 

(C0)16 a base 10, donde C = 12g (C 0)16 Posición 1 0 Parte entera 12¿161= (192)10

0¿160= (0)10

(192)10  (67E)16 a base 10, donde E = 14 (6 7 E)16 Posición 2 1 0

Parte entera 6¿162= (1536)10

7¿161= (112)10

14¿160= (14)10

(1662)10 

(9F)16 a base 10, donde F = 15 (9 F)16 Posición 1 0 Parte entera 9¿161= (144)10 15¿160= (15)10 (159)10  (ABCD)16 a base 10, donde A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 (A B C D) 16 Posición 3 2 1 0 Parte entera 10¿163= (40960)10 11¿162= (2816)10 12¿161= (192)10 13¿160= (13)10 (43981)10 

(D52)16 a base 10, donde D = 13 (D 5 2)16 Posición 2 1 0 Parte entera 13¿162= (3328)10 5¿161= (80)10 2¿160= (2)10 (3410)10 15. Convertir los siguientes números hexadecimales a sus equivalentes decimales a) F, 4; b) 888,8;

c) D3, E;

d) EBA, C;

e) 111,1

Para hacer la conversión de hexadecimal a cualquier base hay que tener en cuenta lo siguiente A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Separamos el número enumerándolos de manera creciente a partir del cero, lo multiplicamos por su base (16) elevada por la posición de cada digito en la parte entera del numero. La parte decimal Separamos el número enumerándolos de manera decreciente a partir del uno, lo multiplicamos por su base (16) elevada por la posición de cada digito. 

(F.4)16 a base 10, donde F = 134

Posición

(F . 4) 0 . -1

Parte entera 15¿160= 15 Parte decimal 4¿16-1= (0.25)10 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (15.25)10 = (F.4)16 

(D3.E)16 a base 10, donde D = 13, E = 14

Posición

(D 3 . E) 1 0 . -1

Parte entera 13¿161= (208)10 3¿160= (3)10 (211)10 Parte decimal 14¿16-1= (0.875)10 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (211.875)10 = (D3.E)16 

(EBA, C)16 a base 10, donde A = 10, E = 14 B = 11, C = 12,

Posición

(E B A . C) 2 1 0 . -1

Parte entera 14¿162= (3584)10 11¿161= (1763)10 10¿160= (10)10 (3770)10 Parte decimal 12¿16-1= (0.75)10 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (3775.75)10 = (EBA.C)16 

(111,1)16 a base 10

Posición

(1 1 1 , 1) 2 1 0 . -1

Parte entera 1¿162= (256)10 11¿161= (16)10 10¿160= (1)10 (273)10

Parte decimal 1¿16-1= (0.0625)10 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (273.0625)10 = (EBA.C)16 16. Convertir los siguientes números a base 10 y base 2: a)(AF31516)16

b) (73268)16



(AF31516)16 a base 10, donde A = 10 F = 15 (A F 3 1 5 1 6) 16 Posición 6 5 4 3 2 1 0 Parte entera 10¿166= (167772160)10 15¿165= (15728640)10 3¿164= (196608)10 1¿163= (4096)10 5¿162= (1280)10 1¿161= (16)10 6¿160= (6)10 (183702806)10  (AF31516)16 a base 2, donde A = 10 F = 15 (A F 3 1 5 1 6) 16 Posición 6 5 4 3 2 1 0 Parte entera (10)16 = (1010)2 (15)16 = (1111)2 (3)16 = (0011)2 (1)16 = (0001)2 (5)16 = (0101)2 (1)16 = (0001)2 (6)16 = (0110)2 (1010111100110001010100010110)2



(73268)16 a base 10 (7 3 2 6 8)16 Posición 4 3 2 1 0 Parte entera 7¿164= (458752)10 3¿163= (401228896)10 2¿162= (1512280)10 6¿161= (96)10 8¿160= (6810 (471606)10  (73268)16 a base 2 (7 3 2 6 8)16 (7)16 = (0111)2 (3)16 = (0011)2 (2)16 = (0010)2 (6)16 = (0110)2 (8)16 = (1000)2 (0111001100100110100)2 17. Convertir los números (245,625)10 y (1797,223)10 a binario, octal y hexadecimal 

(245.625)10 a base 2

245÷ 2= 122 R=1 122÷ 2= 61 R=0 R=1 3÷ 2= 1 R=1 1÷ 2= 0 R=1

61÷ 2= 30 R=1

30÷ 2= 156 R=0

(11110101)2 Parte decimal 0.625¿2= (1.25)2 0.25¿2= (0.5)2 0.5¿2= (1.0)2 (101)2 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (11110101.101)2 = (6416213A, 17B)16 

(245.625)10 a base 8

Parte entera 245÷ 8= 30 R=5 (365.)8 Parte decimal 0.625¿8= (5.0)8

30÷ 8= 3 R=6

3÷ 8= 0 R=3

15÷ 2= 7 R=1

7÷ 2= 3

(5)8 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (365.5)2 = (245.625)10 

(245.625)10 a base 16

Parte entera 245÷ 16= 15 R=5 (F5)16

15÷ 16= 0 R=15

Parte decimal 0.625¿16= (10.0)16 (10.0)16 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (F5.10)16 = (245.625)10 

(1797,223)10 a base 2

1797÷ 2= 898 R=1 898÷ 2= 449 R=0 449÷ 2= 224 R=1 224÷ 2= 122 R=0 122÷ 2= 56 R=0 56÷ 2= 28 R=0 28÷ 2= 14 R=0 14÷ 2= 7 R=0 v 7÷ 2= 3 R=1 3÷ 2= 1 R=1 1÷ 2= 0 R=1 (11100000101)2 Parte decimal 0.223¿2= (0.446)2 0.223¿2= (0.9325)2 0.932¿2= (1.864)2 0.964¿2= (1.728)2 0.728¿2= (1.456)2 (0011)2 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (11100000101.0011)2 = (6416213A, 17B)16 

(1797,223)10 a base 8

Parte entera 1797÷ 8= 224 R=5 (3405)8 Parte decimal 0.223¿8= (1.78)8 0.78¿8= (6.24)8 0.24¿8= (1.92)8 0.92¿8= (7.36)8 0.36¿8= (2.88)8 0.88¿8= (7.04)8 0.04¿8= (0.32)8

224÷ 8= 28 R=0

28÷ 8= 3 R=4 3÷ 8= 0 R=3

(161727)8 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (3405.161727)8 = (245.625)10 

(1797,223)10 a base 16

Parte entera 1797÷ 16= 122 R=5 (705)16

12÷ 16= 70 R=0

7÷ 16= 0 R=7

Parte decimal 0.223¿16= (3.568)16 0.568¿16= (9.0)16 (10.0)16 Ordenamos los resultados para obtener el número decimal (705.93)16 = (1797,223)10