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• Cristian D. Reyes Villarreal

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CRISTIAN DAVID REYES VILLARREAL – COD: 2011217081 CALOR Y ONDAS – GRUPO 5

1. Una onda transversal en una cuerda se describe mediante la función de onda 𝜋 𝑦 = (0.120 𝑚)𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 + 4𝜋𝑡) 8 a) Determine la rapidez y aceleracion transversales de la cuerda en t = 0.200 s para el punto en la cuerda ubicado en x = 1.60 m. b) ¿Cuales son la longitud de onda, periodo y rapidez de propagación de esta onda? Solución: a) Hallemos la rapidez y aceleraciones transversales derivando una y dos veces parcialmente con respecto al tiempo la ecuación de la ordenada (y) en función del tiempo 𝜕𝑦 𝜋 𝑣𝑦 = = 0.480𝜋 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑥 + 4𝜋𝑡) 𝜕𝑡 8 𝜕2𝑦 𝜋 𝑎𝑦 = 2 = −1.92𝜋 2 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 + 4𝜋𝑡) 𝜕𝑡 8 Si t = 0.200 s y x =1.60 m 𝑣𝑦 = −

12 𝜋 𝑚/𝑠 25

𝑎𝑦 = 0. b) Al comparar la ecuación dada con la ecuación de onda 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 + 𝜔𝑡) obtenemos 𝜋 𝑘 = 8 𝑚−1 y 𝜔 = 4𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠. Así 𝑘 =

2𝜋 𝜆

→ 𝜆 = 16 𝑚.

𝑇=

2𝜋 𝜔

→ 𝑇 = 0.5 𝑠.

𝑣=

𝜆 𝑇

=

16 𝑚 0.5 𝑠

= 32 𝑚/𝑠.

1. El limite elástico de una pieza de alambre de acero es 2.70 x 108 Pa. ¿Cuál es la máxima rapidez a la que pulsos de onda transversales pueden propagarse a lo largo de este alambre sin exceder este esfuerzo? (La densidad del acero es 7.86 x 103 Kg/m3). Solución: El límite elástico es la máxima tensión que puede soportar el alambre sin sufrir deformaciones permanentes. 𝑇

La velocidad de la onda en una cuerda es 𝑣 = √𝜇, si multiplicamos y dividimos por A (sección transversal del alambre) obtenemos: 𝑣=√

𝑇. 𝐴 𝑇 1 1 = √ . = √2.70 × 108 𝑃𝑎 = 185,34 𝑚/𝑠 𝜇. 𝐴 𝐴 𝜌 7860 𝑘𝑔/𝑚3

2. Una onda sinusoidal, con 2.00 m de longitud de onda y 0.100 m de amplitud, viaja en una cuerda con una rapidez de 1.00 m/s hacia la derecha. Al inicio, el extremo izquierdo de la cuerda está en el origen. Encuentre a) la frecuencia y frecuencia angular, b) el número de onda angular y c) la función de onda. Determine la ecuación de movimiento para d) el extremo izquierdo de la cuerda y e) el punto en la cuerda en x = 1.50 m a la derecha del extremo izquierdo. f) ¿Cuál es la máxima rapidez de cualquier punto en la cuerda? Solución: 𝑣

a) 𝑣 = 𝜆𝑓 → 𝑓 = 𝜆 = b) 𝑘 =

2𝜋 𝜆

2𝜋

1 𝑚/𝑠 2𝑚 −1

= 2𝑚 = 𝜋 𝑚

= 0.5 𝐻𝑧. 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋. 0.5 = 𝜋

𝑟𝑎𝑑 . 𝑠

.

c) La figura de abajo ilustra las condiciones iniciales, en t = 0, x = 0, y = 0. En la figura hemos supuesto que el extremo izquierdo va inicialmente hacia abajo, desde la posición de equilibrio (el libro de donde fue extraído el problema da esto por evidente. En un examen esto debe ser especificado en el enunciado). En t = 0, 𝑣𝑦 = −𝜔𝐴.

Las condiciones iniciales nos ayudan a determinar 𝜑: 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑). En t = 0, x = 0, y = 0, entonces 0 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑘. 0 + 𝜔. 0 + 𝜑) 0 = 𝑠𝑒𝑛 𝜑. (1)

→

𝑣𝑦 = −𝜔𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑). En t = 0, 𝑣𝑦 = −𝜔𝐴, −𝜔𝐴 = −𝜔𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝑘. 0 − 𝜔. 0 + 𝜑) → 1 = cos 𝜑. (2) Uno de los ángulos que satisface las condiciones (1) y (2) es 𝜑 = 0. A = 0.100 m. 𝑣=

𝜔 𝑚 𝑟𝑎𝑑 → 𝜔 = 𝑣𝑘 = 1 . 𝜋𝑚−1 = 𝜋 . 𝑘 𝑠 𝑠

La ecuación de la onda es entonces: 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑) → 𝑦 = 0.100 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥 − 𝜋𝑡) Donde y está en metros y t en segundos. REALIZA TÚ LOS INCISOS RESTANTES, ANIMOOOOOOOOOOO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

3. En clase comentamos que una función que describe una onda viajera unidimensional es de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡). Con frecuencia encontramos funciones que describen ondas viajeras, sin embargo a simple vista es imposible identificarlas. ¿Existe una manera de saber si una función representa una onda viajera unidimensional? Determina si la función 𝑦(𝑥, 𝑡) = 2 (𝑥−3.0𝑡)2 +1

es una función de onda.

Solución: Todas las funciones de ondas deben satisfacer la ecuación de onda lineal 𝜕2𝑦 1 𝜕2𝑦 = 𝜕𝑥 2 𝑣 2 𝜕𝑡 2 Demuestra que la función dada satisface esta ecuación. Emplea tu conocimiento básico de ecuaciones diferenciales. ¡Animo tu puedes! 4. Las ondas transportan energía y esta es entregada por la fuente que la produce por unidad de tiempo. Para una onda senoidal la potencia asociada es: 1 𝑃 = 𝜇𝜔2 𝐴2 𝑣 2 Donde: 𝜇 = Densidad de masa lineal. 𝐴 = Amplitud de la onda. 𝑣 = Rapidez de propagación. 𝜔 = Frecuencia angular. Una cuerda tensa de masa 50.0 g y longitud 1.00 m se somete a una tensión de 80.0 N. ¿Cuánta potencia se debe suministrar a la cuerda para generar ondas sinusoidales a una frecuencia de 60.0 Hz y una amplitud de 6 cm? Solución: Identifica cada variable y reemplázala en la expresión que te permite calcular la potencia de una onda.

5. ¿Cuál de los siguientes, tomado por sí mismo, sería más efectivo para aumentar la rapidez a la que se transfiere la energía mediante una onda que viaja a lo largo de una cuerda? a) reducir a la mitad la densidad de masa lineal de la cuerda, b) duplicar la longitud de onda de la onda, c) duplicar la tensión en la cuerda, d) duplicar la amplitud de la onda 6. Una onda transversal sobre una cuerda se describe mediante la función de onda 𝑦(𝑥, 𝑡) = (0,350 m) sen [(1.25 rad/m)x+(99.6 rad/s)t] Considere el elemento de la cuerda en x = 0. a) ¿Cuál es el intervalo de tiempo entre los primeros dos instantes cuando este elemento tiene una posición de y = 1.75 m? b) ¿Qué distancia recorre la onda durante este intervalo de tiempo?