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• Cristian Cabrera Valencia

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TALLER Problema propuesto situación 1 Una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad, partiendo del reposo, siendo despreciable la resistencia del aire. Usted debe realizar las siguientes etapas del problema: 1. Explicar las condiciones asociadas que describen el movimiento. 2. Formular la ecuación diferencial referente al problema. 3. Resolver la ecuación diferencial En cualquier problema de física que involucre cantidades vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración, las cuales necesariamente requieren un conocimiento de dirección, es conveniente establecer un sistema de coordenadas, junto con la asignación de direcciones positivas y negativas. En este ejemplo observamos que la variación se realiza respecto del eje x. Teniendo en cuenta las condiciones iniciales, usted debe mostrar el procedimiento para llegar a la ecuación diferencial de segundo orden.

Sus soluciones son:

𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2

=𝑔

𝑣 = 𝑔𝑡

1

𝑥 = 2 𝑔𝑡 2

Por la segunda ley de Newton 𝑚𝑎 = −𝑚𝑔 𝑎 = −𝑚𝑔 Las condiciones iniciales son: v(0) 𝑥1 =(0), además x(0)=h la cual es la altura inicial. Asi 𝑎 = 𝑥11 (𝑡), 𝑥11 = −𝑔. Integrando ∫ 𝑥11 𝑑𝑡 = 𝑥1 =-∫ 𝑔𝑑𝑡 = −𝑔𝑡 + 𝑐1 , como 𝑥1 (0) = 0, 0 = 𝑐1 con lo cual 𝑥1 = −𝑔𝑡 de lo que se deduce 𝑥(𝑡) = − ∫ 𝑔𝑑𝑡 = 𝑐2 − 𝑔𝑡 2 2

, ahora x(0)=h ℎ = 𝑐2 −

𝑔(0)2 2

. Así x(t)=h-

𝑔𝑡 2 2

Problema propuesto situación 2 Considere un circuito eléctrico consistente en una fuente de voltaje 𝐸 (batería o generador), una resistencia 𝑅, y un inductor 𝐿, conectados en serie como se muestra en la figura. Adoptamos una convención: la corriente fluye del lado positivo de la batería o generador a través del circuito hacia el lado negativo. Por la ley de Kirchhoff, la fuerza electromotriz, 𝐸, es igual a la caída de voltaje a través del inductor, 𝐿𝑑𝐼 , más la caída de voltaje a través de la resistencia, 𝑅𝐼, tenemos como la ecuación diferencial requerida para el circuito: 𝐸=𝐿

𝑑𝐼 + 𝑅𝐼 𝑑𝑡

Usted debe realizar las siguientes etapas del problema: 1. Explicar las condiciones asociadas que describen el circuito. 2. Formular la ecuación diferencial referente al problema. 3. Resolver la ecuación diferencial.

Explicación Sabemos que E, L y R son constantes para este caso Al inicio no hay corriente, I(0)=0, así la ecuación diferencial a resolver con sus valores 𝑑𝐼 𝑅 𝐸 iniciales es: 𝑑𝑡 + 𝐿 𝐼 = 𝐿 𝑅

𝑅

𝑅

El factor integrante 𝑈 = 𝐸 ∫ 𝐿 𝑑𝑡 = 𝑒 𝐿 𝑑𝑡 𝑅

𝑑

(𝑒 𝐿 𝑡 𝐼) = 𝑑𝑡

𝑒

𝑅 𝑡 𝐿

𝐼=

𝐸

𝐸 𝐿 𝐿 𝑅

𝐸

𝑅

𝑅

𝑒 𝐿𝑡 𝐿

𝑒

𝑅 𝑡 𝐿

𝑡 ∫ 𝑑 ( 𝑒 𝐿 𝐼) = ∫

𝑅

+ 𝐶, 𝐼 =

𝐸

𝑡 𝐸𝑒𝐿

𝑅

0 = 𝑅 + 𝑐, 𝐶 = − 𝑅, 𝐼(𝑡) =

𝑒

𝐸 𝑅

𝑅 𝑡 𝐿

𝑒 𝐿 𝑑𝑡

𝑑𝐼 𝑑𝑡

𝑅

𝑅

+ 𝐿 𝑒 𝐿𝑡 𝐼 =

𝐸

𝑅

𝐸

𝑒 𝐿 𝑑𝑡 𝐿

𝑅

𝐸

𝑅

+ 𝐶𝑒 − 𝐿 𝑡 = 𝑅 + 𝐶𝑒 − 𝐿 𝑡 , como I(0)=0,

𝑅

(1 − 𝑒 − 𝐿 𝑡 )

𝑅

𝑒 𝐿𝑡 𝐿