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FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO OPERACIONES Y SISTEMAS ÁREA DE INGENIERÌA DE OPERACIONES EMPRESARIALES INVESTIGACIÒN DE OPERACIONES I

FORMULACIÓN Y CONSTRUCCIÓN DE MODELOS

Santiago de Cali, Agosto 2015

FORMULACIÓN Y CONSTRUCCION DE MODELOS1

Propuesta formal para cada ejercicio que los estudiantes deberían seguir para cada problema:  Definir claramente el problema para cada situación.  Elaborar una tabla o esquema que facilite la comprensión del problema.  Identificar con precisión las variables de decisión.  Formular la función objetivo como una expresión matemática.  Construir el modelo correspondiente, considerando el balance de las unidades utilizadas. 1. Un candidato a la alcandía de Yumbo, asignó $4.000.000 para publicidad de último minuto en los días previos a la elección. Se utilizaron dos tipos de anuncios: radio y televisión. Cada anuncio de radio cuesta $30.000 y llega a una audiencia estimada de 30.000 personas. Cada anuncio de televisión, cuesta $50.000 y afectará a unas 70.000 personas. Al planificar la campaña, la directora de ésta desea llegar a tantas personas como sea posible, y estipuló que se deben utilizar, por lo menos, 10 anuncios de cada tipo. Adem ás, el número de anuncios de radio debe ser como máximo igual al número de anuncios de televisión. 2. Adonis ha estado saliendo con dos chicas: Roxana y Frida. A Roxana la “Complicada” le gusta ir a sitios glamurosos, de tal manera que una salida (3 horas) con esta chica le cuesta a Adonis $200.000, mientras que a Frida le gustan los sitios más populares, por tanto, una salida (3horas) solo le representa $100.000. Adonis considera los siguientes requerimientos energéticos: una salida con Frida le implica un gasto de 9.000 calorías, mientras que Roxana le absorbe 7.000 calorías por salida. Formule un modelo de programación lineal que le permita planear a Adonis su vida social, si dispone de $600.000 para “festines”, 25.000 calorías de energía y 14 horas libres a la semana para dedicar a éste tipo de actividades. Considere además que una salida con Frida “la sagaz” le reporta 7 unidades de placer y una salida con Roxana le reporta 4 unidades de placer.

1 Ejercicios adaptados de: MATHUR, Kamlesh y D. Solow , Investigación de Operaciones: el Arte en la Toma de Decisiones. HILLIER, Frederick S. y Gerald J. Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones. TAHA, Hamdy A., Investigación de Operaciones: Una Introducción. DAVIS, K. Roscoe. Mckeown Patric k, G, Modelos cuantitativos para la Administración. Recopilados por los docentes Jorge Eduardo Calpa, Alejandro Silva, Luz Stella Muñoz y el monitor del curso Daniel Zamorano .

3. Una compañía de seguros está en proceso de introducir 2 nuevas líneas de productos: Seguro de riesgo especial e hipotecas; La ganancia esperada es de $5 por el seguro de riesgo especial y de $2 por unidad de hipoteca. La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas. Los requerimientos de trabajo son los siguientes:

Departamento Suscripciones Administración Reclamaciones

Hora - Hombre por unidad Hora-hombre disponibles. Riesgo especial Hipoteca 3 2 2400 0 1 800 2 0 1200

Formule un modelo de programación lineal. 4. Un herrero con 80 Kg de acero y 120 Kg de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña para vender respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1Kg de acero y 3Kg de aluminio y para la de montaña 2Kg de ambos metales. 5. Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a los siguientes precios: A = $700; B = $3.500; C = $7.000. Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo. Producir una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, más 2 unidades de A. Producir una unidad de C necesita 3 horas de trabajo, más 1 unidad de B. Cualquier unidad de A utilizada para producir B, no puede ser vendida. Similarmente cualquier unidad de B utilizada para producir C, no puede ser vendida. Para este período de planificación están disponibles 40 horas de trabajo. 6. Un autobús Cali-Buga ofrece asientos para fumadores al precio de 10.000 pesos y a no fumadores al precio de 6.000 pesos. Al no fumador se le deja llevar 50 Kg. de peso y al fumador 20 Kg. El autobús tiene 90 asientos y admite un equipaje de hasta 3.000 Kg. 7. La gerente de cocina de un internado intenta decidir qué dar de comer a los internos. Quisiera ofrecerles alguna combinación de leche, fríjoles y naranjas. El costo y contenido nutricional de cada alimento, así como los requerimientos nutricionales mínimos, se dan en la tabla de abajo. ¿Qué dieta será la mejor para cada interno? Formule el modelo de programación lineal. Indique las variables de decisión, la función objetivo y cada una de las restricciones.

Leche (Galones)

Fríjoles (Tazas)

Naranjas (Unidad)

Requerimiento mínimo diario (mg)

Niacina (mg)

3,20

4,90

0,80

13,00

Tiamina (mg) Vitamina C (mg)

1,12

1,30

0,19

1,50

32,00

0,00

93,00

45,00

2,00

0,20

0,25

Costo ($)

8. Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencia, al menos 500 galones de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de arándano. Si los datos del inventario son los que se muestran en la tabla siguiente:

Bebida A Bebida B Bebida C Bebida D Bebida E

Jugo de Naranja

Jugo de Toronja

40 5 100 0 0

40 10 0 100 0

Jugo de Arándano

Existencia (gal)

0 20 0 0 0

200 400 100 50 800

Costo ($/gal)

1,5 0,75 2 1,75 0,25

Nota: Las tres primeras columnas indican el porcentaje de un tipo de jugo dentro de una determinada bebida. Siendo usted el jefe de producción, ¿Qué haría? 9. Un granjero de la sabana de Bogotá cultiva trigo y maíz en su granja de 45 hectáreas. Puede vender a lo más 140 bultos de trigo y a lo más 120 bultos de maíz. Cada hectárea cultivada produce 5 bultos de trigo o 4 bultos de maíz. El trigo se vende a $30.000 el bulto y el maíz a $50.000 el bulto. Se necesitan 6 horas de mano de obra para cosechar una hectárea de trigo y 10 horas de mano de obra para cosechar una hectárea de maíz. Se pueden adquirir 350 horas de mano de obra a $10.000 la hora. Formule un modelo de programación lineal para este caso. 10.

Como gerente de una asociación de empresas para el reciclaje en la región, ha sido asignado para tomar la decisión de a quién debe venderse unos desperdicios de metal que fueron recolectados. Dos empresas: Metales Ltda. y Hierros Unidos, están interesados en la compra de los desperdicios. La primera empresa, que paga la tonelada de metal a: $500 no está interesada en comprar más de 500 toneladas, en cambio la segunda, que está dispuesta a pagar $400 por tonelada de metal, ofrece comprar un límite máximo de 600 toneladas. Sin embargo la financiación local ha limitado las compras formulando la siguiente condición: La cantidad de desperdicio vendida a la empresa Metales Ltda. NO puede superar el doble de la cantidad vendida a Hierros Unidos.

Conociendo que la asociación de empresas dispone de 1.000 toneladas de desperdicios metálicos, formule un modelo de programación lineal que permita alcanzar la mejor decisión para el gerente. 11.

La empresa VIDRIUS COLOMBIA. Produce artículos de vidrio de alta calidad, incluyendo ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1, los marcos de madera se fabrican en la planta 2 y en la tres se produce el vidrio y se ensamblan los productos. Debido a que las ganancias se han reducido. La alta administración ha decidido reorganizar la línea de producción de la compañía, descontinuando varios productos no rentables y dejando libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de dos productos nuevos que tienen ventas potenciales grandes. El producto 1 requiere una hora en la planta 1, no utiliza la planta 2 y requiere de tres horas en la planta tres para la producción de una unidad. El producto 2 no utiliza la planta 1 y necesita de dos horas en las plantas 2 y 3 para su producción. La división de comercialización ha concluido que la compañía puede vender todos los productos que se puedan fabricar en las plantas. El departamento de contabilidad calcula que la ganancia por unidad del Producto 1 y 2 es de $3000 y $5000 respectivamente. El personal de la división de manufactura proporciona el análisis de los procesos en cada una de las plantas y determina que el tiempo disponible en las plantas 1, 2 y 3 es de 4, 12 y 18 horas a la semana respectivamente. Cómo los productos competirán por la misma capacidad de producción en la planta 3, no está claro que mezcla de productos sería la mejor. Por lo tanto, se le pide a usted que formule un modelo de Programación Lineal para alcanzar el objetivo de la empresa y darle solución al problema.

12.

Un granjero posee 200 cerdos que consumen 90 lb. de comida especial todos los días. El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las siguientes composiciones: Porcentaje por libra de alimento. Alimento Maíz Harina de soya

Calcio 0.001 0.002

Proteína 0.09 0.60

Fibra 0.02 0.06

Los requisitos diarios de alimento de los cerdos son:  Cuando menos 1% de calcio  Por lo menos 30% de proteína  Máximo 5% de fibra

Costo ($/lb.) 3.000 6.000

¿Cómo sería la mejor forma de alimentar a los cerdos dada esta información?

13.

Usted como propietario de una empresa de transportes tiene posibilidad de contratar dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m 3 y un espacio no refrigerado de 40 m 3 . Los del tipo B, con igual m 3 total, con 50% de espacio refrigerado y 50% de espacio no refrigerado. Lo contratan para el transporte de 3.000 m 3 de producto que necesita refrigeración y 4.000 m 3 de otro que no la necesita, a una ciudad de que dista 310 Km del sitio en que estamos. El costo por kilómetro de un camión del tipo A es de $30/Km y el B es de $40/Km. La carga debe ser transportada en un plazo máximo de 5 días por lo que cada camión alcanza a realizar un viaje por día. Formule un modelo de P.L para qu e usted tome la mejor decisión. Capacidad de carga por camión por viaje (m3/Camión) Camión A 20 40

Tipo de carga Refrigerada No refrigerada

14.

Camión B

Carga a transportar (m3) 3000 4000

Gudiela Gutiérrez está preocupada por su sobrepeso y el costo de la comida diaria. Ella sabe, que para bajar de peso, debe consumir máximo, 1350 Kilocalorías, pero requiere de cómo mínimo de 500 mg de vitamina A, 350 mg de Calcio, 200 mg de proteínas y 150 mg de minerales. De acuerdo con esto, ella ha elegido 6 alimentos, que según su criterio son ricos en nutrientes y de bajo costo: Vitamina A (mg)

Calcio (mg)

Alimento

Porción

Leche Huevo

1 Taza 2 Piezas

105 75

75 80

Espinacas

1 Ración 2 Piezas 1Tilapia 2 Reb.

100 25 150 30

10 50 5

Chuletas Pescado Pastel

Proteínas (mg)

Minerales (mg)

Costo ($)

Kiloca lorías

50 50

35 15

5 7

60 50

125 55 100 8

78 50 -

2 45 60 50

0 175 150 200

Gudiela se ha dado cuenta que es muy posible que comiendo cinco tilapias diarias, tendría satisfechas sus necesidades de nutrientes y de Kilocalorías; pero no está dispuesta a tal sacrificio, por tanto, ella ha decidido que lo máximo que puede comerse en porciones de leche son tres, de huevo dos, de espinacas uno, de chuletas una, dos de pescado y de pastel una y media porciones.

Proporcionar a Gudelia el modelo de Programación Lineal que determine la mejor dieta. 15.

Metales del Norte S.A desea fabricar una nueva aleación con 40% de aluminio, 35% de zinc y 25% de plomo a partir de varias aleaciones disponibles en el mercado, las cuales, tienen las siguientes propiedades: Aleación

Propiedad % Aluminio % Zinc % Plomo Costo ($/gr)

1 60 10 30 22

2 25 15 60 20

3 45 45 10 25

Formule un modelo de programación expectativas de Metales del Norte S.A.

4 20 50 30 24

5 50 40 10 27

lineal

acorde

con

las

16.

“Fragancias S.A.” produce varios accesorios para baño, entre ellos soportes decorativos para toallas y cortinas de baño. Cada uno de estos accesorios comprende un tubo de acero inoxidable. Sin embargo usan muchos tamaños distintos: 12, 18, 24 y 60 pulgadas. Fragancias compra tubos de 60 pulgadas a un proveedor externo y luego los corta según lo requiera para sus productos. C ada tubo de 60 pulgadas puede utilizarse para hacer varios tubos más pequeños. Para el siguiente período de producción, Fra gancias necesita 25 tubos de 12”, 52 de 18”, 45 de 24”, y 12 de 60”. La empresa como política no permite que su desperdicio en el corte sea mayor a 6 pulgadas.

17.

Un comerciante compra azúcar a granel y vende al detal. Para venderla tiene dos alternativas: envases de 1 kg y envases de 5 kg. El precio de venta es $1.500 y $6.500 por kg respectivamente, y en el mercado se pueden vender 20.000 kg en envases de 1 kg y 22.000 en envases de 5 kg. Debido a un contrato anterior se deben entregar 5.000 kg en envases de 5 kg a un determinado cliente. El comerciante se puede abastecer con dos proveedores. El primero le puede vender hasta 15.000 kg a un precio de $900 por kg, y el segundo le ofrece la cantidad de azúcar que el comerciante desee, pero a un precio de $1.100 por kg y debido a requerimientos de sus distribuidores, el comerciante debe vender menos de un tercio del azúcar en envases de 1 kg.

Además, suponga que el precio de los envases y el proceso de envasado son nulos, y que el comerciante no tiene azúcar almacenada y vende toda la que compra. 18. La fábrica de zapatos “El Andariego” produce tres tipos de zapatos exclusivos para caballeros: ejecutivos, botas y pantuflas. El gerente de planta debe decidir el mejor programa de producción para el próximo mes. Los datos de la tabla describen la operación de manufactura y se recopilaron en meses anteriores. Existe una oferta limitada de cuero. Se dispone en la planta de un máximo de 1.200 horas de producción para el mes siguiente. El tiempo de producción cuesta $10/hora y cada pulgada cuadrada de cuero tiene un costo de $4. La empresa hace sus ventas a mayoristas que le pagan en efectivo y por lo tanto la compañía no tiene cuentas por cobrar. Los precios de venta para cada par de zapatos a los mayoristas son: $60, $64 y $50, respectivamente. Los costos fijos de operación para el siguiente mes son: $3.000 y el saldo actual de efectivo de la empresa es de $16.560, producto de las ventas del mes anterior, que se utilizarán para adquirir el cuero y pagar la mano de obra. El gerente de planta tiene comprometidos los siguientes pedidos (en pares): 300 ejecutivos, 55 botas y 32 pantuflas. Pueden venderse todos los pares que se fabriquen durante el mes que excedan esos pedidos ya comprometidos a excepción de las pantuflas las cuales el Depto. de Mercadeo estima que no se venderán más de 70 pares en el mes. Todos los zapatos que se fabriquen en un mes se distribuyen en ese mismo mes y por ello no existen inventarios.

Producto Ejecutivos Botas Pantuflas Disponibilidad

19.

Horas por par de zapatos 3,5 2,5 2 1200

Pulgadas Precio de de cuero por venta par de zapatos 3,3 60 4,5 64 2 50 2000

Costo 48,2 43 28

Utilidad 22,8 21 22

Una empresa de procesamiento de alimentos que fabrica salchichas y pan para hot dogs. Muelen su propia harina para el pan a una tasa máxima de 90 Kg por semana. Cada pan requiere 45 gr. Por parte de un proveedor reciben la entrega semanal de 360 kg de productos de puerco cada lunes. Cada salchicha requiere 113 g de producto de puerco. Se cuenta con suficiente cantidad del resto de los ingredientes de ambos productos. Por último, la mano de obra consiste en 5 empleados de tiempo completo (Trabajando 40 horas por semana). Cada salchicha requiere 3 minutos de trabajo y cada pan 2 minutos de ese insumo. Cada salchicha proporciona una ganancia de $420 pesos y cada pan $200.

20.

La compañía Especias de Colombia S.A., tiene un stock limitado de dos hierbas que se utilizan en la producción de aderezos. La empresa usa dos ingredientes, HB1 y HB2, para producir ya sea salsa curry o salsa ajillo. El departamento d e mercadotecnia informa que aunque la empresa puede vender toda la salsa ajillo que pueda producir, solo puede vender hasta 1500 botellas de curry. Las hierbas no utilizadas se pueden vender a $3.500 la onza de HB1 y a $1.700 la onza de HB2. Como política de la gerencia, las ventas de los ingredientes no deben superar el 40% de las ventas de salsas. Aderezo Salsa Curry Salsa Ajillo Disponib. (onzas)

21.

Ingredientes (onzas/botella) HB1 HB2

Demanda (Botellas)

Precio de Venta ($/botella)

5

3

1500

7.750

2

3

Ilimitada

6.300

10.000

8500

Una distribuidora de productos lácteos tiene 3 centros de distribución ubicados en Pasto, Ibagué y Bucaramanga y abastece a sus clientes en 4 diferentes ciudades las cuales son: Bogotá, Medellín, Cali y Popayán. La siguiente tabla de fletes ilustra el costo unitario de transporte de una caja de leche a cada destino desde cada centro de distribución: A continuación se ven los costos por unidad distribuida , las ofertas y las demandas:

Costo por unidad distribuida ($/Caja de leche) Destino Bogotá

Medellín

Cali

Popayán

Producción

Pasto

3.200

2.800

1.600

700

500.000

Ibagué

800

1.600

1.800

2.600

350.000

Bucaramanga

1.200

1.400

2.800

3.900

280.000

Demanda

400.000

320.000

280.000

130.000

22.

Un fabricante debe cumplir un contrato a cuatro meses durante los cuales varían los costos de producción. El costo de almacenamiento de unidades producidas en un mes determinado y no vendidas en ese mes es de 10 pesos por unidad y por mes. Se dispone de la siguiente información: Contrato de ventas en unidades

Mes 1 2 3 4 23.

Costo unitario de producción en pesos 140 160 150 170

Capacidad de producción en unidades

20 30 50 40

40 50 30 50

El hospital Matasanos ha decidido ampliar su servicio de urgencias (abierto las 24 horas) con la consiguiente necesidad de nuevo personal de enfermería. La gerencia del hospital ha estimado las necesidades mínimas de personal por tramos horarios para poder cubrir las urgencias que se presenten. Se definieron 6 tramos de 4 horas. La necesidad mínima de personal en cada tramo se indica en el Cuadro. Por otro lado, el departamento de recursos humanos ha informado a gerencia que los contratos laborales han de ser de ocho horas seguidas, según el convenio firmado con los sindicatos, independientemente de los horarios de entrada y salida del personal. Necesidades de personal por tramos horarios

J

1 0:004:00

P

9

TRAMOS HORARIOS 2 3 4 4:008:0012:008:00 12:00 16:00 5

3

7

Siendo J la jornada y P el personal requerido.

5 16:0020:00

6 20:0024:00

5

6

24. Debido a las fuertes lluvias pronosticadas para los próximos meses, la empres “Stop Lluvia” dedicada a la producción de los paraguas, evidencia un aumento en la demanda de sus productos. Los paraguas se arman en dos plantas, según la siguiente tabla:

Planta A B

Capacidad de producción (Paraguas) 2600 1800

Costo de producción (US$/Paragua) 2300 2500

Cuatro cadenas de multitiendas están interesadas en adquirir los paraguas con las siguientes características:

Cadena 1 2 3 4

Máxima demanda (Paraguas) 1800 2100 550 1750

Precio dispuesto a pagar (US$/Paragua) 3900 3700 4000 3600

El costo de traslado a cada tienda (Fijo) se muestra en la siguiente tabla: Costo Fijo (US$) A B 25.

1 600 1200

2 800 400

3 1100 800

4 900 500

Al Director Financiero de la Corporación Financiera Nacional le han dado $50.000.000 para que invierta en un período de tres años. El Director ha determinado que existen tres oportunidades de inversión disponibles en el momento y que son las siguientes: la inversión A rinde el 18% anual; la inversión B rinde el 12% el primer año y el 21% los años siguientes y la inversión C rinde el 55% al final del tercer año y no se puede volver a invertir. También ha encontrado que al comienzo del segundo año existe otra oportunidad de inversión, la opción D que produce 25% al final del tercer año y por una sola vez. Que debería hacer el director financiero?

26.

Una industria productora de papel recibe un siguiente forma: 600 rollos de 35 pulg. de ancho 300 rollos de 30 pulg. de ancho 200 rollos de 40 pulg. de ancho 100 rollos de 50 pulg. de ancho

pedido de la

La industria tiene en sus bodegas rollos semejantes, pero de 114 pulgadas de ancho, y en cantidad suficiente y decide utilizarlos para el pedido, cortándolos en los diferentes anchos solicitados.

27.

La corporación Pepperoni producirá 3 productos cárnicos nuevos. En este momento, 5 de sus plantas tiene exceso de capacidad de producción. El costo unitario respectivo de fabricación del primer producto será de $310, $290, $320, $280 y $290, en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5. El costo unitario respectivo de fabricación del segundo producto será de $450, $410, $460, $420, y $430, en las plantas respectivas 1, 2, 3, 4 y 5; y para el tercer producto será de $380, $350, y $400 en las plantas respectivas 1, 2 y 3, pero las plantas 4 y 5 no podrán fabricar este producto. Los pronósticos de ventas indican que la producción diaria debe ser de 600, 1000 y 800 unidades de los productos 1, 2 y 3, respectivamente. Las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 tienen capacidades para producir 400, 600 y 1.000 unidades diarias; sin importar el producto o combinación de productos. Suponga que cualquier planta que tiene capacidad y posibilidad de fabricarlos, podrá producir cualquier combinación de productos en cualquier cantidad.

Destino Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4 Planta 5 Pr Diaria

1 $310 $290 $320 $280 $290 600

Tabla de Costos Origen Tipo de Producto 2 3 $450 $380 $410 $350 $460 $400 $420 $430 1000 800

Capacidad 400 600 400 600 1000

Tabla de costos para este problema, siendo costos unitarios.

28.

Un fabricante de electrodomésticos produce cuatro modelos de lavadoras L1, L2, L3 y L4. Estos aparatos constan fundamentalmente de un tambor metálico recubierto con una carcasa, el cual gira por efecto de un motor eléctrico controlado por un microprocesador electrónico. Los modelos L1 y L3 son lavadoras con menor capacidad de carga (4 kg), necesitando 5 mt2 de material metálico, mientras que los modelos L2 y L4 que cargan 10 kg, requieren 8,5 mt2 de material metálico. La cantidad de material metálico disponible es de 10000 mt2. Los modelos L1 y L2 llevan un motor denominado M1 y un microprocesador P1; los modelos L3 y L4 tienen un motor M2 y un microprocesador P2. El motor M1 es menos potente que el M2 y el microprocesador P1 tiene menos programas que el microprocesador P2; el material necesario para fabricar los motores puede obtenerse prácticamente sin limitación. Los motores se ensamblan en una nave de montaje con una capacidad de trabajo de 3000 horas, siendo requeridas una hora para montar un motor M1 y 1,5 horas para ensamblar un motor M2. En cuanto a los microprocesadores se pueden fabricar en la propia empresa en una sección de la planta de montaje o se pueden encargar a un fabricante de material electrónico. En el primer caso, compiten con la fabricación de los motores M1 y M2 necesitando 0,3 horas la fabricación de P1 a un costo de $ 10000 0 y 0,75 horas la fabricación de P2 con un costo de $ 180000. En el segundo caso, el vendedor puede suministrar cualquier cantidad de P1 y P2 a un precio de $ 180000 y $ 360000 respectivamente. Finalmente, las lavadoras se montan en otra nave de acabado c on capacidad de 5000 horas, siendo preciso un tiempo de 1,5 horas para el modelo L1, 2,3 horas para el modelo L2, 3 horas para el modelo L3 y 4,2 horas para el modelo L4. Para satisfacer a todos los segmentos, el fabricante decide que la producción mínima de cada modelo sea de 300 unidades. Como dato adicional se conoce, según informe del departamento de mercadeo, que la demanda de modelos de mayor capacidad es siempre superior a la demanda de los modelos de menor capacidad, por lo que la producción combina da de los modelos L2 y L4 debe ser superior a la producción combinada de los modelos L1 y L3. La utilidad proporcionada es de $160000 para el modelo L1, $170000 para el modelo L2, $180000 para el modelo L3 y $200000 para el modelo L4.

29.

Un inversionista puede elegir entre las actividades A o B disponibles al comienzo de cada uno de los próximos 5 años. Cualquier cantidad invertida y recuperada en el futuro puede ser reinvertida en cualquier alternativa disponible. Cada peso que invierte en A al comienzo de cada año produce $1.4 dos años más tarde. Cada peso invertido en B al comienzo de un año le produce $1.7 tres años después. Además las actividades C y D están disponibles una sola vez en el futuro, C al comienzo del año 2 y D al comienzo del quinto año. Cada peso invertido en C genera $1.6 en dos años. Cada peso invertido en D produce $1.3 un año después. El inversionista dispone hoy de $100.000. formule un modelo de programación lineal que le permita determinar la mejor forma de inversión a lo largo de los cinco años para maximizar el capital disponible al final del quinto año (comienzos del sexto).

30.

Formule un modelo de programación lineal que genere un gran flujo de unidades cualquiera en los nodos 7 y 8 teniendo en cuenta que existen restricciones de flujo máximo y mínimo respecto a cada uno de ellos.

CAPACIDADES MÁXIMAS NODO CAPACIDAD 1 40 2 30 3 20 4 40 5 50 6 10 7 8 31.

Two alloys, A and B, are made with four different metals, I, II, III and IV, according to the following specifications: Alloy A

B

Specifications At most 80% of I At most 30% of II At least 50% of IV Between 40% and 60% of II At least 30% of III At most 70% of IV

The four metals are being extracted from three different metallic minerals: Mineral

1 2 3

Maximum Quantity (ton) 1000 2000 3000

Constituted by (%) I

II

III

IV

Others

20 10 5

10 20 5

30 30 70

30 30 20

10 10 0

Price ($/ton) 30 40 50

Assume that market prices of alloys A and B are $200, $300 per ton.

32. Una empresa de transporte de la ciudad tiene $3.200 millones para adquirir una flota nueva de camiones, piensa en comprar camiones de tres tipos. El camión A tiene una capacidad de 10 toneladas y se espera de él un promedio de 35 kilómetros hora, su precio es de $120 millones. El camión tipo B tiene una capacidad de 20 toneladas, alcanza un promedio de 30 kilómetros por hora y vale $150 millones. El camión tipo C, que es una versión modificada del B, tiene un compartimento para que duerma un chofer y esto reduce su capacidad a 18 toneladas y aumenta su costo a $180 millones. El camión A requiere un solo chofer y si se utilizan 3 turnos, pueden trabajar durante 18 horas diarias. Los camiones B y C requieren dos choferes cada uno y si se utilizan 3 turnos pueden funcionar durante 18 y 21 horas, respectivamente. La empresa tiene 150 choferes disponibles por día. Las instalaciones donde se realiza el mantenimiento son tales que el número total de camiones no debe ser mayor que 30. Formule un modelo matemático de P.L. que le permita optimizar la decisión a la empresa.

33.

El departamento de policía de la ciudad de Cali estima los siguientes requerimientos mínimos diarios de policías: HORAS DEL DÍA

2-6 6-10 10-14 14-18 18-22 22-2

PERÍODO

1 2 3 4 5 6

# MINIMO DE POLICIAS REQUERIDOS 20 50 80 100 40 30

Note usted que el periodo 1 sigue inmediatamente al periodo 6. Cada policía trabaja 8 horas consecutivas. El departamento de policía busca un programa de trabajo diario que emplee el menor número de policías en el departamento, teniendo presente cada uno de los requerimientos anotados. 34. Gracias a una adecuada estrategia de marketing y a la calidad del producto, cierta pequeña fábrica de canastos de mimbre ha recibido pedidos que superan su actual capacidad de producción. Durante las próximas cuatro semanas debe entregar 52, 65, 70 y 85 canastos, respectivamente. Actualmente cuenta con seis artesanos.

La gerencia general de la fábrica ha decidido contratar personal nuevo para poder cumplir sus compromisos comerciales. Dada la escasez de artesanos, se deberá contratar personal sin experiencia. Un novato puede ser entrenado para llegar a ser aprendiz durante una semana. La segunda semana trabaja como aprendiz para ganar experiencia. Comenzando la tercera semana (después de dos semanas de trabajo) se transforma en artesano. La producción estimada y sueldos de los empleados es la siguiente: PRODUCCIÓN Canastos/Semana

SALARIOS $/Semana

Artesano dedicado solo a producción

10

30.000

Artesano dedicado a producción y entrenamiento

5

40.000

Aprendiz Novato

5 1

15.000 5.000

Cada artesano puede entrenar hasta dos novatos por semana (el entrenamiento de un novato sólo dura una semana). Todo excedente de producción semanal puede ser guardado para cumplir los siguientes compromisos comerciales. Los analistas de la empresa estiman que la demanda semanal de canastos difícilmente superará los noventa canastos, por lo que han decidido terminar el período sin novatos y aprendices, pero con al menos nueve artesanos. Los reglamentos sindicales de la empresa prohíben los despidos por reducción de personal. Formule un modelo de programación lineal que permita definir las contrataciones a realizar, de modo de cumplir los compromisos comerciales. 35. La Siderúrgica del Valle está explotando dos minas para obtener mineral de hierro. Este se embarca a cualquiera de sus dos bodegas. Cuando se necesita, de ahí se envía al alto horno de la compañía. En el diagrama siguiente se muestra la red de distribución, donde M1 y M2 son las dos minas, S1 y S2 son las dos bodegas y P es el alto horno (donde se funde el mineral de hierro). En el diagrama también se muestran las cantidades mensuales producidas en las minas y las requeridas en el alto horno, así como el costo de embarque y la cantidad máxima que puede enviarse cada mes por cada ruta de embarque. La administración quiere determinar un plan para enviar el mineral de hierro de las minas al alto horno por la red de distribución a la exigencia monetaria más adecuada. Formule el modelo de programación lineal.

36. La XYZ es una empresa que fabrica bolsas de empanadas de 25 unidades. La demanda que posee de este producto aumenta y disminuye debido a sus características de aleatoriedad. Por ejemplo, la demanda que se ha pronosticado para los próximos 4 meses es de 1800, 2200, 3400 y 2800, respectivamente. Debido a las variaciones en dicha demanda, Julián rodríguez (ingeniero industrial encargado de la planta) ha encontrado que en algunos meses existe producción en exceso, lo cual ocasiona grandes costos de manejo y almacenamiento; en tanto que en otros meses la compañía no está en condiciones de satisfacer la demanda. La compañía puede fabricar 2400 bolsas de empanadas por mes en sus turnos normales. Utilizando tiempo extra, es posible fabricar 800 bolsas mensuales adicionales. Debido a los mayores costos de mano de obra en el tiempo extra, se produce un aumento de $70 por cualquier bolsa que no se fabrique durante el turno normal. Los administradores han estimado que se incurre en un costo de bodegaje de $30 por cualquier bolsa de empanadas que se fabrique en un mes determinado y que no se venda durante el mismo. La empresa desea encontrar una solución para la situación anterior. 37. Una empresa de cítricos, usa una sola máquina durante 150 horas para destilar jugo de naranja y de toronja para ser vendidos como concentrado congelado. Durante el tiempo que la máquina esté procesando naranja, NO podrá procesar toronja y viceversa. El jugo obtenido en cada caso, se almacena en 2 tanques separados de 1000 galones cada uno y luego se realiza el proceso de concentrado. La máquina puede procesar 25 galones de jugo de naranja por hora, pero solo 20 galones de jugo de toronja por hora. Cada galón de jugo de naranja que se obtenga cuesta $3000 y al concentrarlo pierde 30% de contenido de agua. El concentrado de jugo de naranja se vende en $12000 por galón. Cada galón de jugo de toronja que se obtenga que se obtenga cuesta $4000 y al concentrarlo pierde 25% de contenido de agua. El concentrado de jugo de toronja se vende en $16000 por galón. Formule un modelo de optimización adecuado para determinar un plan de producción para la empresa.

38.

Ramón y Hnos. S.A. fabrica seis productos diferentes en su planta de Santo Domingo. El proceso productivo requiere que se usen cuatro departamentos. Los datos pertinentes aparecen a continuación, (en horas /unidad):

Producto

Dpto. 1

Dpto. 2

Dpto. 3

Dpto. 4

1 2 1 3 1 200 $5

1 2 2 1 3 180 $8

1 8 3 2 1 300 $7

4 3 2 3 4 240 $6

A B C D E F Disponible Costo / hora ocio

39.

Beneficio / unidad

$15 $20 $16 $18 $10 $14

Un granjero tiene tres fincas en cierta región. La producción de cada finca está limitada por el número de hectáreas y por la cantidad de agua disponible. Los datos para la próxima siembra son: Finca 1 2 3

Hectáreas Disponibles 400 600 300

Agua Disponible (mts 3 ) 1500 miles 2000 miles 900 miles

El granjero está considerando la siembra de tres cosechas, las cuales difieren en sus ganancias esperadas por hectárea y en sus requisitos por agua. Además, el número total de hectáreas que él puede sembrar de cada cosecha está limitado por el equipo que tiene.

Cosecha A B C

Requisitos de agua(miles de mts 3 /hectárea 5 4 3

Hectáreas disponibles 700 800 300

Ganancias esperada por hectárea ($) 400 300 100

Para mantener un nivel de trabajo uniforme en las fincas, el granjero tiene como política que, el porcentaje de hectáreas sembradas en cada finca, tiene que ser el mismo en cada una de ellas. Sin embargo, cualquier combinación de cosechas puede sembrarse en cada finca. El granjero desea optimizar la produ cción de las cosechas utilizando como herramienta la programación lineal, formule un modelo de programación lineal que ayude al gra njero a alcanzar éste objetivo. 40.

Hay en existencia 4 proyectos de actualización tecnológica sobre 4 líneas de flujo de datos en una compañía que ofrece servicio en la nube, las líneas deben ser atendidas lo más rápido posible ya que el sistema que se maneja actualmente no satisface el incremento en la demanda, lo que ocasiona múltiples problemas de “atascamiento” y por tanto, quejas por parte de los clientes ya que la información no llega a tiempo. Los proyectos de actualización tardan un tiempo específico en hacer inspecciones y reparaciones a las líneas involucradas, la gerencia desea asignar los diferentes proyectos de actualización a cada una de las líneas respecto a su rendimiento relativo siendo el tiempo total de actualización mínimo, la asignación necesariamente será una por vez porque deben estar hechos los trabajos en un corto periodo. A continuación se presenta los tiempos en horas que tarda cada proyecto en atender cada tipo de línea de flujo de datos:

Proyecto de Actualización

A B C D

P32 3 5 6 1

Línea de flujo de datos P22 AB43 4 2 2 3 4 1 2 4

AF99 5 4 3 3

41.

La refinería “EL FOGONAZO” mezcla cinco crudos comunes para producir dos grados de combustible de motor A y B. El número de barriles por día de cada crudo común disponible, el octanaje y el costo por barril son dados en la siguiente tabla (costo en miles de $): Crudo 1 2 3 4 5

Octanaje 70 80 85 90 99

Barriles/día 2.000 4.000 4.000 5.000 3.000

Costo $/barril 180 200 220 270 460

El octanaje del combustible de motor A debe ser al menos 95 y del combustible B al menos 85. Asuma que en un contrato requiere al menos 8000 barriles / día de combustible B. La refinería vende el combustible A a $900.000 el barril y el B a $500.000 el barr il. Los crudos comunes no mezclados con un octanaje de 90 o más se venden para uso en gasolina de aviación a $650.000 el barril y de octanaje 85 o menos a $300.000 el barril para uso en aceites 42.

Una empresa se dedica al transporte aéreo de cargas y cuenta para ello con un avión que tiene tres compartimientos: frontal, central y trasero. Las capacidades en peso y espacio para cada compartimiento son:

Compartimiento Frontal Central Trasero

Peso (Ton) 5 15 8

Volumen (m3) 1000 9000 6000

Por motivos técnicos, debe tenerse igual proporción de peso ocupado a capacidad en peso en cada compartimiento. La empresa recibió el encargo de transportar la carga de cuatro clientes pudiendo aceptar cualquier fracción de ellos. La información de peso, volumen y utilidades de las cargas es:

Carga 1 2 3 4

Peso (Ton) 10 12 8 14

Densidad (m3/Ton) 1000 3000 2400 7000

Utilidad ($/Ton) 250.000 400.000 300.000 500.000

43.

Una empresa elabora tres mezclas de nueces para su venta a almacenes de cadena, localizadas en el sur-occidente colombiano. Las tres mezclas, conocidas como Regular, Fantasía y Fiesta, se elaboran mezclando distintos porcentajes de cinco tipos de nueces. En preparación para la temporada invernal, la empresa acaba de recibir los siguientes embarques de nueces (en libras) a los siguientes precios: Tipo de Nuez Almendras Brasil Avellana Pecan Castilla

Monto del Embarque (libras) 6.000 7.500 7.500 6.000 7.500

Costo por embarque (en miles de $) $7.500 $7.125 $6.750 $7.200 $7.875

La mezcla Regular está formada de l5% de almendras, 25% de Nuez de Brasil, 25% de avellana, 10% de pecan y 25% de Nuez de Castilla. Fantasía está elaborado con 20% de cada nuez y la mezcla Fiesta está formada por 25% de almendras, 15% de Nuez del Brasil, l5% de avellanas, 25% de pecan y 20% de Nuez de Castilla. El contador de la empresa ha estimado el costo de los materiales de empaque, el precio de venta por libra y otros factores, y ha determinado que los ingresos por ventas para la mezcla Regular por libra es de $10.500, de $9.500 para Fantasía y de $8.700 par a la mezcla Fiesta. Estas cifras NO incluyen el valor de las nueces específicas de las distintas mezclas, pero dicho costo puede variar de manera importante en los mercados de productos. Los pedidos de clientes (en libras) ya recibidos se resumen así:  MEZCLA REGULAR: 10.000 pedidos  MEZCLA FANTASÍA: 3.000 pedidos  MEZCLA FIESTA: 5.000 pedidos Debido a que la demanda se mantiene elevada, la empresa espera recibir muchos más pedidos que los que pueda satisfacer. La empresa está obligada a utilizar durante el invierno las nueces disponibles, a fin de maximizar la contribución a la utilidad total; las nueces que no se utilicen se regalan a una entidad de beneficio social. Aunque no resulte rentable hacerlo, el gerente de la empresa ha indicado que deberán cumplirse con los pedidos ya recibidos. Formule la situación como un modelo de Programación Lineal.

44.

La Empresa DULCERIAS, fabrica diversas golosinas. Se utilizan camiones de la compañía para entregar en forma directa los pedidos a los pequeños comerciantes. Cuando el negocio era pequeño, los conductores de los camiones tenían libertad para escoger las rutas al realizar sus rondas de entrega a los comerciantes. Sin embargo al progresar y extenderse el negocio, los costos de transporte y entrega se han vuelto considerables. En un esfuerzo por mejorar la eficiencia de la operación de las entregas, a los administradores de la empresa les gustaría determinar una ruta interesante para la entrega entre los expendios. En la red que se presenta a continuación, se muestran los caminos que se pueden tomar desde la planta de producción y un expendio cualquiera. Formule un modelo de programación lineal para la situación de la empresa DULCERIAS. Los arcos representan los costos en miles de pesos por paquete de golosinas.

45.

Una distribuidora de productos lácteos tiene 3 centros de distribución ubicados en Pasto, Ibagué y Bucaramanga y abastece a sus clientes en 4 diferentes ciudades las cuales son: Bogotá, Medellín, Cali y Popayán. La siguiente tabla de fletes ilustra el costo unitario de transporte de una caja de leche a cada destino desde cada centro de distribución: A continuación se ven los costos por unidad distribuida: Costo por unidad distribuida ($/Caja de leche) Destino Bogotá

Medellín

Cali

Popayán

Producción

Pasto

3.200

2.800

1.600

700

500.000

Ibagué

800

1.600

1.800

2.600

350.000

Bucaramanga

1.200

1.400

2.800

3.900

280.000

Demanda

400.000

320.000

280.000

130.000

46.

Una cadena Nacional de supermercados ha de solventar un pedido especial por parte de un cliente que debe ser suplido con celeridad, dada las condiciones excepcionales del contrato, la cadena debió construir una red de suministros de emergencia contactando empresas distribuidoras de mercancías que dispusieran de la capacidad necesaria para el trabajo; Se llegó a seleccionar 4 candidatos (3,4,5 y 6) que cumplen los requisitos pero no se sabe qué nivel de participación debería tener cada uno respecto al plan de distribución, se recopiló toda la información decantándose en la siguiente tabla de costes:

Costos de transporte entre los puntos por unidad transportada Destinos Origen 3 4 5 6 7 8 1 $200 $220 $190 $185 2 $120 $110 $340 $280 3 $120 $220 4 $300 $205 5 $100 $110 6 $180 $400

Ha de tenerse en cuenta que el número de establecimientos a suplir por parte de las empresas distribuidoras son 2 (7 y 8) y que las plazas de suministro principales que se refieren a la ofer ta por parte de la cadena son 2 (Que es el origen 1 y 2), el costo de referencia es unitario respecto a una combinación estándar de producto pactada con el cliente. Hay que tener en cuenta también lo siguiente: Oferta Máxima (Unidades) 1 500.000 2 800.000

Demanda (Unidades) 7 500.000 8 600.000

Lo que significa que el pedido en unidades totales será de 1`100.000 pero que deberá ser repartido en 2 diferentes establecimientos (7 y 8) La red de suministro se vislumbraría así:

47.

Un entrenador de fútbol enfrenta el partido más importante para su equipo en la liga nacional de su país ya que si pierden descenderían a la serie B, eso significaría su despido inmediato y prácticamente acabaría con su carrera, por esta razón, ha decidido contactar un grupo de expertos en investigación de operaciones para que determine de la mejor manera la asignación de los cupos vacantes en el once inicial que permitan la mayor probabilidad de éxito, el entrenador ha seleccionado la formación 4 -4-2, determinando por su cuenta de forma definitiva los titulares defensivos y el portero pero todavía se encuentra indeciso respecto a los delanteros, volantes de contención y los volantes ofensivos; Ha creado una ficha técnica de la calidad relativa respecto a lo s puestos que puede ocupar cada jugador en el campo como un medio de ayuda para los expertos, esto se muestra a continuación:

Jugador André Morata Antimo Herrera Andrés Terlizzi Gül Manzura Pedro Paz Isaias Cansino Roberto Slinger Abu-Kalil

VI 6 4 6 3 0 0 3 5

VOI 6 2 6 2 0 0 3 6

Calificación relativa. DI VD VOD 3 2 1 3 5 4 4 3 2 2 7 6 2 6 6 3 6 7 4 6 7 4 4 2

Siendo 0 lo más bajo y 9 lo más alto. VI: Volante de contención izquierdo. VOI: Volante ofensivo izquierdo.

DD 3 8 1 3 7 7 5 8

DI: Delantero izquierdo. VD: Volante de contención derecho. VOD: Volante ofensivo derecho. DD: Delantero Derecho. ¿Qué jugadores deben disputar el partido y en qué posición? Desarrolle un modelo de programación lineal para este caso.

48.

Un viajero desea llegar a la ciudad 6 respecto a la 1 lo más cómodamente posible evitando los mayores cobros de peaje, se puede ver los recorridos y los precios de peaje a continuación:

¿Qué es más conveniente para el viajero?, modele este problema con programación lineal. 49.

Se debe transportar un producto desde 2 centros de distribución hasta 3 destinos, a continuación se representa el gráfico que ilustra las posibles opciones:

Siendo los números entre los nodos los costos unitarios de distribución por producto.

Aquí también se muestran las ofertas, demandas asignadas y requeridas. 50. Una empresa nacional de petróleo cuenta con un sistema de oleoductos que utiliza para transportar crudo desde su refinería (Nodo 1) hasta diversos centros de almacenamiento. La red de oleoductos es la siguiente:

Como se aprecia, las capacidades de flujo varían como resultado de los diámetros diversos de los ductos, los números se refieren a miles de galones por hora. La empresa desea abastecer al almacén 7 de la mejor forma. 51.

La gerencia de una empresa desea determinar el camino crítico de un proyecto de emprendimiento que quieren implementar para aumentar las utilidades en su línea de productos estrella; Desarrolle un modelo de programación lineal que permita informar a la gerencia la duración total del proyecto.

Los números que relacionan los nodos son las semanas que tarda cada una de las actividades