• Author / Uploaded
• Diego Plasencia

Citation preview

y

1. Si x sen px

Problemas

x2

0

f t dt , donde f es una función continua, encuentre f (4).

2. Encuentre el valor mínimo del área bajo la curva y m x  1Yx desde x m a hasta x m a  1.5

para toda a  0. 3. Si x04 e

x 2

4

dx

k, encuentre el valor de x04 xe

x 2

4

dx.

 4. a) Trace la gráfica de varios miembros de la familia de funciones f (x) m (2cx  x 2)Yc 3 para

c  0 y vea las regiones limitadas por estas curvas y el eje x. Haga una conjetura en cuanto a cómo se relacionan las áreas de estas regiones.

b) Pruebe su conjetura del inciso a). c) Vea de nuevo las gráficas del inciso a) y úselas para trazar la curva descrita por los vértices (los puntos más altos) de la familia de funciones. ¿Puede conjeturar qué tipo de curva es ésta? d) Halle una ecuación para la curva que trazó en el inciso c). 1

t x

5. Si f x

y

6. Si f x

x0x x 2 sen

0

s1

t3

y

dt, donde t x

cos x

0

1

sen t 2 dt, encuentre f ()Y2).

t 2 dt, halle f (x).

1 x y 1 tan 2t 1 t dt. x 0 8. En la figura pueden verse dos regiones en el primer cuadrante: A(t) es el área bajo la curva y m sen (x2) desde 0 hasta t, y B(t) es el área del triángulo con vértices O, P y (t, 0). Calcule lím A t B t . 7. Evalúe el lím

xl0




VHQ    

tl0

VHQ 

9. Encuentre el intervalo Fa, bG para el cual el valor de la integral xab 2

máximo.

  



x 2 dx es un

10 000

10. Utilice una integral para estimar la suma



x

si .

i 1

11. a) Evalúe x0n x dx, donde n es un entero positivo.



b) Evalúe xab x dx, donde a y b son números reales con 0 v a b.


VHQ    

sen t d2 x y y s1 u 4 du dt . dx 2 0 1 13. Suponga que los coeficientes de la polinomial cúbica P(x) m a  bx  cx 2  dx 3 satisfacen la ecuación b c d 0 a 2 3 4

12. Encuentre   





FIGURA PARA EL PROBLEMA 8

Demuestre que la ecuación P(x) m 0 tiene una raíz entre 0 y 1. ¿Puede generalizar este resultado para un polinomio de grado n-ésimo? 14. En un evaporador se usa un disco circular y se hace girar en un plano vertical. Si debe estar

parcialmente sumergido en el líquido de modo que se maximice el área humedecida expuesta p 2 arriba de la del disco, demuestre que el centro de éste debe hallarse a una altura r s1 superficie del líquido.

2

15. Demuestre que si f es continua, entonces

y

x

0

f u x

u du

y y x

0

u

0

f t dt du.

16. En la figura se muestra una región que consta de todos los puntos dentro de un cuadrado que 2

están más cerca del centro que de los lados del cuadrado. Encuentre el área de la región.

2

17. Evalúe lím

nl`

1 sn sn

1

1 sn sn

2

1 sn sn

n

.

18. Para cualquier número c, sea fc(x) el más pequeño de los dos números (x  c)2 y (x  c  2)2.

Entonces, definimos t c 2 v c v 2.

2

FIGURA PARA EL PROBLEMA 16

420



x01 fc

x dx. Encuentre los valores máximo y mínimo de J(c) si

Se requiere calculadora graficadora o computadora

 1. Tres estudiantes de matemáticas han ordenado una pizza de 14 pulgadas. En lugar de cortar en

Problemas

la forma tradicional, deciden hacer cortes paralelos, como se ve en la figura. Debido a sus conocimientos de matemáticas, pueden determinar dónde cortar de modo que cada uno obtenga la misma cantidad de pizza. ¿Dónde se hacen los cortes? 2. Evalúe

y

1 x7

x

dx

Un camino directo sería empezar con fracciones parciales, pero eso sería demasiado complejo. Ensaye una sustitución.

SXOJ

3 1 3. Evalúe y (s

1

FIGURA PARA EL PROBLEMA 1

0

x7

7 1 s

x 3 ) dx.

4. Los centros de dos discos con radio 1 están apartados una unidad. Encuentre el área de la

unión de ellos. y

5. Una elipse es cortada por un círculo de radio a. El eje mayor de la elipse coincide con un

muelle

diámetro del círculo, y el eje menor tiene longitud 2b. Demuestre que el área de la parte restante del círculo es la misma que el área de una elipse con semiejes a y a  b. L

6. Un hombre parado inicialmente en el punto O camina a lo largo de un muelle jalando un bote (x, y)

mediante una cuerda de longitud L. El hombre mantiene la cuerda recta y tensa. La trayectoria que sigue el bote es una curva llamada tractrix y tiene la propiedad de que la cuerda es siempre tangente a la curva (véase la figura).

(L, 0) O

x

a) Demuestre que si la trayectoria seguida por el bote es la gráfica de la función y m f (x), entonces

FIGURA PARA EL PROBLEMA 6

dy dx

f x

sL 2 x

x2

b) Determine la función y m f (x). 7. Una función f está definida por

y

f x

p

0

cos t cos x

t dt

0

x

2p

Encuentre el valor mínimo de f. 8. Si n es un entero positivo, demuestre que

y

1

0

ln x n dx

1 n n!

9. Demuestre que

y

1

0

x2

1

n

dx

2 2n n! 2 2n 1 !

Sugerencia: empiece por demostrar que si In denota la integral, entonces

Ik

 534

1

2k 2k

Se requiere calculadora graficadora o computadora

2 Ik 3

 10. Suponga que f es una función positiva tal que f  es continua. a) ¿Cómo se relaciona la gráfica de y m f (x) sen nx con la gráfica de y m f (x)? ¿Qué sucede cuando n l @? b) Haga una conjetura en cuanto al valor del límite lím

nl


y

1

0

f x sen nx dx

basándose en las gráficas del integrando. c) Por la integración por partes, confirme la conjetura que hizo en el inciso b). [Utilice el hecho de que, puesto que es f (x) continua, hay una constante M tal que Uf (x) Uv x v 1 para 0 v x v 1.] 11. Si 0 a b, encuentre lím tl0

y

1

0

1 t

bx

a1

x

t

dx

.

 12. Grafique f (x) m sen(ex) y utilice la gráfica para estimar el valor de t tal que

t 1 t

f x dx es un

máximo. Después encuentre el valor exacto de t que maximiza esta integral.

13. Evalúe y

1

2

x4




1

x6

dx.

14. Evalúe y stan x dx.

y

15. El círculo con radio 1 que se muestra en la figura, toca la curvay m U2x Udos veces. Encuentre

el área de la región que está entre las dos curvas. 16. Un cohete se dispara verticalmente en línea recta quemando combustible a una razón

constante de b kilogramos por segundo. Sea v m v(t) la velocidad del cohete en el instante t, y suponga que la velocidad u del gas de salida es constante. Sea M m M(t) la masa del cohete en el instante t, y note que M disminuye cuando se quema el combustible. Si se desprecia la resistencia del aire, se deduce de la segunda ley de Newton que

y=| 2x | 0

x

F FIGURA PARA EL PROBLEMA 15

M

dv dt

ub

donde la fuerza F m MJ. Así 1

M

dv dt

ub

Mt

Sea M1 la masa del cohete sin combustible, M2 la masa inicial del combustible y M0 m M1  M2. Entonces, hasta que se agota el combustible en el tiempo t m M2Yb, la masa es M m M0  bt. a) Sustituya M m M0  bt en la ecuación 1 y resuelva la ecuación resultante para v. Utilice la condición inicial v(0) m 0 para evaluar la constante. b) Determine la velocidad del cohete en el tiempo t m M2Yb. Ésta se llama velocidad de combustible agotado. c) Determine la altura del cohete y m y(t) y el tiempo en que se quema todo el combustible. d) Halle la altura del cohete en cualquier tiempo t.

535