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• Esmeralda

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TALLER DE ESTADISTICA 1. En un campeonato de fútbol participan cuatro universidades: Uninorte, Uniatl´antico, Uniautonoma y la Cuc. En la primera vuelta, Uninorte jugar´a contra Uniatl´antico y Uniautonoma contra la Cuc. Los dos ganadores jugarán por el campeonato y subcampeonato y los perdedores, por el tercer y cuarto puesto. Un posible resultado definitivo puede representarse por la tupla (Uninorte, Uniautonoma, Uniatl´antico, Cuc), en donde se indica que Uninorte fue el campeón, Uniautonoma el subcampeón, Uniatl´antico quedó de tercero y la Cuc, de cuarto. (a) Enumere todos los posibles resultados de omega. (b) Sea A el evento en que Uninorte gana el torneo. Haga una lista de los elementos de A. (c) Sea B el evento en que Uniatl´antico llega a la final. Haga una lista de los elementos de B. (d) ¿Cuáles son los resultados en A ∪ B y en A ∩ B? ¿Cuáles son los resultados en Ac? SOLUCION A.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1ER PUESTO

2DO PUESTO

3ER PUESTO

4TO PUESTO

UN UN UN UN UN UN UAC UAC UAC UAC UAC UAC UA UA UA UA UA UA CUC

CUC UA UAC CUC UA UAC UN UA CUC CUC UN UN UN CUC UN CUC UAC UAC UN

UA CUC UA UAC UAC CUC CUC CUC UA UN UA CUC UAC UN CUC UAC UN CUC UA

UAC UAC CUC UA UAC UA UAC UN UN UA CUC UA CUC UAC UAC UN CUC UN UAC

20 21 22 23 24

CUC CUC CUC CUC CUC

UA UAC UN UAC UA

UAC UN UAC UA UN

UN UA UA UN UAC

Punto B. A= [1,2,3,4,5,6]

A 1 2 3 4 5 6

1ER PUESTO

2DO PUESTO

3ER PUESTO

4TO PUESTO

UN UN UN UN UN UN

CUC UA UAC CUC UA UAC

UA CUC UA UAC UAC CUC

UAC UAC CUC UA UAC UA

Punto C. B= [2,5,8,20,24,13,14,15,16,17,18]

B 2 5 8 20 24 13 14 15 16 17 18

1ER PUESTO

2DO PUESTO

3ER PUESTO

4TO PUESTO

UN UN UAC CUC CUC UA UA UA UA UA UA

UA UA UA UA UA UN CUC UN CUC UAC UAC

CUC UAC CUC UAC UN UAC UN CUC UAC UN CUC

UAC UAC UN UN UAC CUC UAC UAC UN CUC UN

Punto D. AUB= [1,2,3,4,5,6] U [2,5,8,20,24,13,14,15,16,17,18] AUB= [1,2,3,4,5,6,8,20,24,13,14,15,16,17,18]

1ER PUESTO 1 2 3 4 5 6 8 20 24 13 14 15 16 17 18

UN UN UN UN UN UN UAC CUC CUC UA UA UA UA UA UA

2DO PUESTO CUC UA UAC CUC UA UAC UA UA UA UN CUC UN CUC UAC UAC

3ER PUESTO UA CUC UA UAC UAC CUC CUC UAC UN UAC UN CUC UAC UN CUC

4TO PUESTO UAC UAC CUC UA UAC UA UN UN UAC CUC UAC UAC UN CUC UN

Punto D. A∩B= [ 1,2,3,4,5,6] ∩ [ 2,5,8,20,24,13,14,15,16,17,18] A∩B= [ 2,5]

1ER PUESTO 2 5

UN UN

2DO PUESTO UA UA

3ER PUESTO CUC UAC

4TO PUESTO UAC UAC

TECNICAS DE CONTEO Las Técnicas de conteo son utilizadas en Probabilidad y Estadística para determinar el número total de resultados. En este artículo analizamos: Principio de multiplicación,

regla

factorial,

permutaciones,

permutación

circular

y

permutaciones con repeticiones. Por ejemplo, si para ganar una lotería se requiere elegir 5 números enteros diferentes entre 1 y 39, la probabilidad de ganar esa lotería es de 1 sobre el número de distintas formas de seleccionar 5 números de 39. Las Técnicas de conteo nos permiten obtener esa cantidad. Técnicas de conteo Principio de multiplicación Si un evento E puede ocurrir de m formas, e independiente de este evento un evento F puede ocurrir de n formas, entonces los eventos juntos pueden ocurrir un total de m x n formas. Ejemplo: Menú en restaurant Supongamos que un restaurant ofrece 4 entradas, 5 platos principales y 2 postres. ¿De cuántas formas un cliente puede ordenar una comida? Respuesta: Se aplica el principio de multiplicación, por lo tanto hay 4 x 5 x 2 formas diferentes de ordenar una comida: 40 formas. Regla factorial ¡Una colección de n elementos distintos se pueden acomodar de n! formas diferentes. Es decir, el primer elemento se puede seleccionar de n maneras distintas, el segundo de n-1 maneras, y así sucesivamente. Ejemplo: Mesa de honor

Se requiere acomodar a 8 personas en una mesa de honor y se le solicita que haga un listado de las diferentes formas de ordenar a las personas. Antes de aceptar la tarea decide investigar cuántas formas diferentes existen. Respuesta: Se aplica la regla factorial. Para el primer puesto hay 8 opciones, para el segundo, 7, para el tercero 6, y así sucesivamente. ¡Entonces hay 8! Formas de acomodar a las personas: 40320. (No sería sencillo tratar de hacer la lista completa). Ejemplo: Niños y niñas Una familia tiene 3 niños y 2 niñas. ¿De cuántas formas pueden sentarse en una fila? ¿Cuántas formas hay si los niños desean sentarse separados de las niñas? Respuesta: ¡Hay 5! formas de sentarse: 120. Si desean sentarse separados, hay 2 formas de distribuirlos: HHHMM y MMHHH y en cada caso los niños pueden sentarse de 3! formas diferentes y las niñas de 2! Por lo que hay 3! x 2! x 2! formas: 24 formas. Ejemplo: Mesa circular. Encuentre el número de formas en las que 7 personas pueden organizarse alrededor de una mesa circular. Respuesta: Una persona puede sentarse en cualquier lugar de una mesa circular. Las otras 6 personas pueden organizarse en 6! formas. Este es un ejemplo de permutación circular. N objetos pueden ordenarse en un circulo en (n-1)! formas. Permutaciones Se le llama permutación a cualquier ordenamiento de un conjunto de n objetos en un orden dato. Un ordenamiento de r de éstos objetos se denomina permutación r o permutación de n objetos tomados r a la vez.

La siguiente fórmula aplica… 

Si existen n elementos diferentes disponibles. (No aplica si algunos elementos son iguales)



Se selecciona r de los n elementos



Los reordenamientos de los mismos elementos se consideran secuencias diferentes _{n}P_{r} = \frac {n!} {(n-r)!}nPr=(n−r)!n! Ejemplo: 4 sitios disponibles ¿De cuántas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles? Respuesta _{10}P_{4} = \frac {10!}{(10-4)!}10P4=(10−4)!10! = 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 maneras. Ejemplo: 3 premios En una clase de 10 alumnos se van a distribuir 3 premios. ¿De cuántas formas puede hacerse si los premios son diferentes? Repuesta: \frac{10!}{(10-3)!}(10−3)!10! = 10 x 9 x 8 = 720 formas Permutaciones con repeticiones Cuando se desea conocer el número de permutaciones de un conjunto de objetos, algunos de los cuales son iguales. La siguiente fórmula aplica cuando…



Existen n elementos disponibles, y algunos de ellos son idénticos a otros



Seleccionamos todos los n elementos (sin reemplazo)



Consideramos que los reordenamientos son secuencias diferentes. =\frac{n!}{n1! n2! ... nk!}=n1!n2!...nk!n! Ejemplo: Señales con banderas En un barco se pueden izar 3 banderas rojas, 2 azules y 4 verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las 9 banderas? Respuesta: \frac {9!} {3! 2! 4!}3!2!4!9! = 1260 señales diferentes. Ejemplo: Sociological Utilizando las letras de la palabra SOCIOLOGICAL, ¿cuántas permutaciones distintas pueden formarse? Respuesta: Hay 12 letras en la palabra, y 3 de ellas son O, 2 son C, 2 son I, y 2 son L. Por lo que hay \frac {12!} {3! 2! 2!}3!2!2!12! formas.