• Author / Uploaded
• ByronXGuillinM

Citation preview

NOMBRES: Guillin Byron, Maguana Darwin MATERIA: Procesos Estocásticos. Nivel: 6. TALLER 2 – REVISIÓN DE CONCEPTOS CLAVES DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

1.

¿Que establece el teorema de la probabilidad total? Sobre esa base establezca el teorema de Bayes en todas sus interpretaciones. PROBABILIDAD TOTAL: Existen situaciones en las cuales varios eventos intervienen en la realización de algún otro evento del mismo espacio muestral. Sean 𝑩𝟏 , 𝑩𝟐 , … , 𝑩𝒌 eventos mutuamente excluyentes en S y que constituyen una partición de S, es decir, cumplen las siguientes propiedades: 𝒂) ∀𝒊, 𝒋(𝑩𝒊 ∩ 𝑩𝒋 = ∅, 𝒊 ≠ 𝒋) (𝐿𝑜𝑠 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑚𝑢𝑡𝑢𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠) 𝒃) 𝑩𝟏 ∪ 𝑩𝟐 ∪ … ∪ 𝑩𝒌 = 𝑺 (𝐿𝑎 𝑢𝑛𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑺) Sea A un evento cualquiera de S La realización de A depende de los eventos 𝑩𝟏 , 𝑩𝟐 , … , 𝑩𝒌 El siguiente gráfico permite visualizar esta relación entre los eventos descritos:

La siguiente fórmula permite calcular la probabilidad del evento A conocidos los valores de probabilidad de los eventos 𝑩𝟏 , 𝑩𝟐 , … , 𝑩𝒌 Definición: Fórmula de la probabilidad Total 𝒌

𝑷(𝑨) = 𝑷(𝑩𝟏 )𝑷(𝑨|𝑩𝟏 ) + 𝑷(𝑩𝟐 )𝑷(𝑨|𝑩𝟐 ) + ⋯ + 𝑷(𝑩𝒌 )𝑷(𝑨|𝑩𝒌 ) = ∑ 𝑷(𝑩𝒊 )𝑷(𝑨|𝑩𝒊 ) 𝒊=𝟏

Demostración: 𝑨 = (𝑨 ∩ 𝑩𝟏 ) ∪ (𝑨 ∩ 𝑩𝟐 ) ∪ … ∪ (𝑨 ∩ 𝑩𝒌 ) 𝑨 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑷(𝑨) = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩𝟏 ) + 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩𝟐 ) + ⋯ + 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩𝒌 ) 𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝐴𝑥𝑖𝑜𝑚𝑎 3 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 Entonces, con la definición de Probabilidad Condicional 𝑷(𝑨) = 𝑷(𝑩𝟏 )𝑷(𝑨|𝑩𝟏 ) + 𝑷(𝑩𝟐 )𝑷(𝑨|𝑩𝟐 ) + ⋯ + 𝑷(𝑩𝒌 )𝑷(𝑨|𝑩𝒌 ) TEOREMA DE BAYES: Sean 𝑩𝟏 , 𝑩𝟐 , … , 𝑩𝒌 eventos nulos mutuamente excluyentes de S y que constituyen una partición de S, y sea A un evento no nulo cualquiera de S. La siguiente fórmula se denomina Fórmula de Bayes y permite calcular la probabilidad correspondiente a cada uno de los eventos que contribuyen a la realización de otro evento, dado que se conoce la probabilidad de este evento. Definición: Formula de Bayes 𝑷(𝑩𝒊 )𝑷(𝑨|𝑩𝒊 ) 𝑷(𝑩𝒊 )𝑷(𝑨|𝑩𝒊 ) 𝑷(𝑩𝒊 |𝑨) = = 𝒌 , 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒌 𝑷(𝑨) ∑𝒊=𝟏 𝑷(𝑩𝒊 )𝑷(𝑨|𝑩𝒊 ) Demostración. Se obtiene directamente de la defición de Probabilidad Condicional y la fórmula de Probabilidad Total. 𝑷(𝑩𝒊 ∩ 𝑨) 𝑷(𝑩𝒊 )𝑷(𝑩𝒊 |𝑨) 𝑷(𝑩𝒊 |𝑨) = = 𝑷(𝑨) 𝑷(𝑨)

2.

¿Para qué sirve el teorema de Bayes? Ponga un ejemplo de cómo utilizarlo en su carrera. El teorema de Bayes sirve para calcular las posibilidades de un suceso que está dado o no por otro suceso anterior, lo cual consiente evaluar de qué manera se transforman las probabilidades subjetivas, mientras más información nueva se posee de un hecho. Además de ser aplicable a modelos basados en el conocimiento subjetivo y la evidencia empírica. Se aplica también a modelos que se utilizan, por ejemplo, en la fusión de datos de un sistema. Así mismo, es considerado como un excelente modelo o método para evaluar nueva información y revisar estimaciones anteriores sustentadas en datos limitados, para conocer entonces si se encuentran en un estado u otro, si es aplicado de manera idónea entonces se hace eficaz la reunión de datos para tomar mejores decisiones. Ejemplo: Una fábrica tiene tres máquinas 𝑴𝟏 , 𝑴𝟐 , 𝑴𝟑 , para la producción de sus artículos. El siguiente cuadro describe el porcentaje de producción diaria de cada una y la frecuencia de artículos defectuosos que producen cada una. Máquinas Producción Artículos defectuosos 𝑴𝟏 𝟓𝟎% 𝟒% 𝑴𝟐

𝟑𝟎%

𝟑%

𝑴𝟑

𝟐𝟎%

𝟐%

a) Calcule la Probabilidad Total b) Calcule la Probabilidad aplicando el Teorema de Bayes 𝑷(𝑩) 𝑷(𝑨|𝑩) Eventos 𝑩𝟏

𝟓𝟎%

𝟒%

𝑩𝟐

𝟑𝟎%

𝟑%

𝑩𝟑

𝟐𝟎%

𝟐%

Resolución: 𝑷(𝑩𝒊 ) 𝑷(𝑨|𝑩𝒊 ) 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍: 𝑷(𝑨) = 𝑷(𝑩𝟏 )𝑷(𝑨|𝑩𝟏 ) + 𝑷(𝑩𝟐 )𝑷(𝑨|𝑩𝟐 ) + ⋯ + 𝑷(𝑩𝒌 )𝑷(𝑨|𝑩𝒌 ) 𝑭ó𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔: 𝑷(𝑩𝒊 |𝑨) Resuelto en Matlab: Editor clc pb=[.5 .3 .2]; pab=[.04 .03 .02]; pa=sum(pb.*pab); pba=pb.*pab/pa; fprintf('Probabilidad Total:\n pa ='); disp(pa) fprintf('Fórmula de Bayes:\n pba ='); disp(pba) Command Window Probabilidad Total: pa = 0.0330 Fórmula de Bayes:

pba = 0.6061 0.2727 0.1212 Suponga un examen médico. EL 1% de la población está enferma y el 99% está sana. Si el examen se aplica a una persona sana, la probabilidad de fallar en el diagnóstico es de 0.01 y de acertar es el 0.99. Si el examen se aplica a una persona enferma la probabilidad de fallar es 0.01 y de acertar es 0.99. Suponga que en un paciente el resultado del examen es positivo (tiene la enfermedad) ¿Cuál es la probabilidad de que este enfermo? Suponga que en un paciente el resultado es negativo (no tiene enfermedad) ¿Cuál es la probabilidad de que este sano?

3.

Población Enferma 1% Sana Enferma

Sana 99%

Población Sanas

𝟗𝟗%

Enfermas

𝟏%

probabilidad sano 0.99 enfermo 0.01 sano 0.01 enfermo 0.99

Suponga que en un paciente el resultado del examen es positivo (tiene la enfermedad) ¿Cuál es la probabilidad de que este enfermo? 𝑷(𝑬) =

𝟎. 𝟎𝟏 ∗ 𝟎. 𝟗𝟗 = 𝟎. 𝟓 𝟎. 𝟎𝟏 ∗ 𝟎. 𝟗𝟗 + 𝟎. 𝟗𝟗 ∗ 𝟎. 𝟎𝟏

Suponga que en un paciente el resultado es negativo (no tiene enfermedad) ¿Cuál es la probabilidad de que este sano? 𝑷(𝑺) =

4.

𝟎. 𝟗𝟗 ∗ 𝟎. 𝟗𝟗 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟖 𝟎. 𝟗𝟗 ∗ 𝟎. 𝟗𝟗 + 𝟎. 𝟎𝟏 ∗ 𝟎. 𝟎𝟏

Dado un registro LOG de una Planta Telefónica (datos_LOG_PlantaTelefonica.xlsx), determinar lo siguiente: a. La media, moda, mediana y desviación estándar del registro LOG de llamadas telefónicas de la planta, además, presentar su histograma.

b. Dado el evento duración de llamadas, cual es la duración mínima y máxima de una llamada. c. Determinar la probabilidad de que una llamada dure más de 120 seg, e 1={x∈S, x 120}, Pr{e1}, que dure más de 240 seg., la probabilidad de que sea el uno o el otro evento, la probabilidad que se den los dos eventos simultáneamente.

d. El número de llamadas que se hicieron en un intervalo de tiempo de cualquier día de la semana. ¿Por ejemplo, cual es la probabilidad del número de llamadas que se hicieron entre las 8am y las 12pm este es el evento dos? e. Realice un ajuste de curva de distribución de probabilidad, según el modelo obtenido, recalcule las probabilidades de los puntos c y d, cual es el error que se presenta.