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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES FAC CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES Manizales, julio 12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 18:9 13:9 11:5 11 10:1 10:6 11:4 12 12:4 12:8

(GRUPO 1)

2. Un fabricante de láminas metálicas recibe un pedido para producir 2000 láminas de tamaño 2x4 y 1000 láminas de tamaño 4x7 : Se dispone de dos láminas estándar de tamaños 10x3000 y 11x2000 . El personal del departamento de ingeniería decide que los siguientes cuatro patrones de corte son adecuados para satisfacer el pedido. Formular el problema para satisfacer el pedido y minimizar el desperdicio como un problema de programación lineal resolverlo por el método simplex.

P AT RON 1 2x4 4x70 2x4

P AT RON 2 4x2 1

4x70

P AT RON 4 2x4 2x4 4x2 4x2 4x7 4x2 2x4 2x4 3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases P AT RON 3

M ax : tal que

z = 2x1 x2 + x3 2x1 + x2 2x3 8 4x1 x2 + x3 2 2x1 + 3x2 x3 4 x1 ; x2 ; x3 0

TOMADO DE: Jimenez L., Guillermo-Quesada I.,Victor M. CIEN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Bazaraa, Mokhtar S.-Jarvis, Jhon PROGRAMACIÓN LINEAL Y FLUJO EN REDES

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Manizales, julio 12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 9 17 24 18 15 14 13:5 13 12:5 12:5

(GRUPO 2)

2. Un municipio dispone del dinero necesario para construír cinco estaciones de bomberos. Existen seis zonas que se encuentran sin este servicio. Se quieren construír las nuevas estaciones asegurando que un incendio en cualquiera de las zonas desprotegidas pueda ser socorrida en menos de treinta minutos. Se conoce el costo para construír la estación en cada zona y el tiempo estimado de viaje entre una zona y otra, En la tabla siguiente se muestra el tiempo en minutos de viaje.

3

Zona 1 Zona 2 Zona 3 Zona 4 Zona 5 Zona 6 Costo

Zona 1 0 20 41 55 58 41 36

Zona 2 21 0 48 72 39 22 42

Zona 3 40 48 0 30 61 40 45

Zona 4 59 65 28 0 30 50 48

Zona 5 61 41 58 27 0 25 54

Zona 6 42 20 39 48 28 0 60

Formule un modelo para determinar dode deben construírse las estaciones con el …n de minimizar costos 3. Considere el siguiente problema de programación lineal M ax : tal que

z = x1 + 2x2 x1 + x2 1 x1 + x2 3 x2 5 x1 ; x2 0

a. Resolver el problema grá…camente b. Resolver el problema por el método de las dos fases TOMADO DE: Jimenez L., Guillermo-Quesada I.,Victor M. CIEN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Bazaraa, Mokhtar S.-Jarvis, Jhon PROGRAMACIÓN LINEAL Y FLUJO EN REDES

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Manizales, julio 12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 19 15 10:8 11 10:8 12 13:1 14 14:7 15:6

(GRUPO 3)

2. Una empresa minera dispone de tres canteras: X1 ; X2 y X3 ; pudiendo explotar 200 m3 en X1 ; 300 m3 en X2 y 150 m3 en X3: Por otra parte el material debe transportarse a los lugares : X4 ; X5 ; X6 ,X7 y X8 ; en donde se requieren respectivamentee:100 m3 ; 100 m3 ; 150 m3 ; 250 m3 y 50 m3 :Debido a las restricciones de la ‡otilla de camiones, en el equipo de explotación de las canteras y en los caminos de acceso, las capacidades de trasnporte de cada una de las canteras a los lugares de descarga resultan como se muestra en la siguienter tabla:

5

Destinos Origen X1 X2 X3

X4 60 60 0

X5 40 60 40

X6 80 60 30

X7 60 80 70

X8 0 60 30

¿Cómo se pueden satisfacer las demandas al máximo?

3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M in : tal que

z = x1 + 3x2 x3 2x1 + x2 + x3 3 x1 + x2 2 x1 + 5x2 + x3 4 x1 ; x2 ; x3 0

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Manizales, julio 12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 4:3 7:6 3:5 1:6 1:6 1:6 1:5 15 14 14:3

(GRUPO 4)

2. Una fábrica de papel produce bobinas con una medida estándar de 100 metros de longitud y un metro de ancho. Recibe semanalmente pedidos de diferentes centros de suministro. Para la semana entrante este pedido es de 320 bobinas de 20 cm de ancho, 365 de 30 cm, 480 de 40 cm y 176 de 70 cm (todas con la misma longitud de 100 m) El fabricante debe cortar a lo ancho las bobinas de un metro para satisfacer la demanda. Desea fabricar el mínimo número posible de bobinas de un metro (se supone que los sobrantes se reciclan, por lo que tienen un costo despreciable).

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3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M ax : z = x1 2x2 tal que 3x1 + 4x2 20 2x1 x2 20 x1 ; x2 0 TOMADO DE: Jimenez L., Guillermo-Quesada I.,Victor M. CIEN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Bazaraa, Mokhtar S.-Jarvis, Jhon PROGRAMACIÓN LINEAL Y FLUJO EN REDES

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES FAC CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES Manizales, julio 12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 32 10 31 13 11:4 13:2 14:8 16 17 18:3

(GRUPO 5)

2. A un gabinete de ingenieros agrónomos le encargan la plani…cación del cultivo de tres …ncas de labranza de rendimiento similar. La super…cie cultivable de cada …nca medida en hectáreas y el personal disponible en cada una de ellas se tiene en la tabla Finca 1 2 3

Super…cie de cultivo 300 640 445

Número de trabajadores 20 40 30

Los empleados trabajan un promedio de 7 horas diarias, 22 días al mes. El gabinete se propone dedicar la super…cie cultivable a maíz, que puede ser de tres 9

variedades diferentes denominadas largo (L), mocho (M) y grande (G). La tabla que sigue proporciona las super…cies máximas que pueden cultivarse con cada variedad (por limitaciones en la disponibilidad de la semilla), las necesidades de mano de obra por mes y el bene…cio esperado en millones de pesos, por hectárea en ambos casos. L M G

Super…cie máxima 350 510 480

Mano de obra horas/mes 5 4 6

Bene…cio en millones de pesos 1600 1500 1470

La siembra tiene asociada unos costos por hectárea que di…eren según la …nca y el tipo de maíz utilizado y que indicamos en millones de pesos 1 2 3

L 120 102 106

M 96 102 100

G 104 100 122

Para respetar los deseos del propietario, el gabinete debe desarrollar una plani…cación en la que la proporción de la tierra dedicada al cultivo sea la misma en las tres …ncas, aunque la proporción de las variedades de maíz plantado no tenga que respetar tal condición. Formular un modelo de programación lineal para conocer la super…cie de cultivo y el tipo de maíz utilizado en cada …nca para que el bene…cio esperado sea máximo 3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M ax : tal que

z = 5x1 2x2 + x3 x1 + 4x2 + x3 6 2x1 + x2 + 3x3 2 x1 ; x2 0 x3 ; no restringuida

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES FAC CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES Manizales, julio 12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 13:7 18:1 28:9 18 10:2 6:2 4:2 3 2 0:9

(GRUPO 6)

2. Una empresa de productos alimenticios para animales fábrica un pienso para cuya elaboración se pueden mezclar tres ingredientes denominados A,B y C, en las cantidades que se estimen convenientes. Los ingredientes poseen ciertas unidades de calcio, fósforo, magnesio y hierro por kg. tal como se indica en la tabla Elementos Calcio Fósforo Magnesio Hierro

A 12 14 23 20 11

B 18 27 25 32

C 30 19 15 10

Teniendo en cuenta que la llegada de ingredientes es mensual, la plani…cacion de la producción debe hacerse para este periódo de tiempo. En el próximo pedido, se pueden solicitar hasta 6 t del ingrediente A, 4 del B y 5 del C. El pienso, cuya demanda para el próximo mes es de 9 t, debe contener por kg al menos 18 unidades de calcio, 20 de fósforo y 22 de magnesio. Para el hierro se permite un número de unidades por kg comprendido entre 10 y 36. El costo por kg de ingrediente A es 140 pesos, de B 168 pesos y de C 152 pesos. Construír un modelo de programación lineal que indique con que cantidades deben contribuír los ingredientes al pienso animal para que el costo total sea mínimo 3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M ax : tal que

z = 4x1 + 5x2 3x3 x1 + x2 + x3 = 10 x1 x2 1 2x1 + 3x2 + x3 20 x1 ; x2 ; x3 0

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Manizales, julio 12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 25 47 39 19 16:1 10:3 6:6 4 1:3 2:2

(GRUPO 7)

2. Una editorial dispone para impresión de 4500 horas y para encuadernación de 4000 horas. La tabla que sigue da tiempos, en horas, empleados en ambas tareas para cuatro libros Li ; i 2 f1; 2; 3; 4g asi como sus bene…cios, en miles de pesos Libro Impresión Encuadernación Bene…cio/u

L1 0.1 0.2 1

L2 0.3 0.1 1

L3 0.8 0.1 4

L4 0.4 0.3 3

a. Formular un modelo de programación lineal que proporcione el máximo bene…cio y resolverlo 13

b. Supongamos que en el departamento comercial de la editorial no encuentran la solución razonable y creen que, a lo sumo, se podrán vender 5000 copias del libro L4 a ese precio. Para vender 10000, su precio deberá bajar en 2000 pesos por copia. ¿que consecuencias tiene esta hipótesis?. Obtener la mejor solución c. Al director de la editorial le gustaría imprimir el libro L2 :Desearía saber las consecuencias sobre el bene…cio, asi como la producción de los libros L1 y L4 si se producen 2000 copias de L2 3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M in : z = 2x1 + 2x2 + x3 + x4 tal que x1 + 2x2 + x3 + x4 2 x1 x2 + x3 + 5x4 4 2x1 x2 + x3 2 x1 ; x2 ; x3 ; x4 0 TOMADO DE: Jimenez L., Guillermo-Quesada I.,Victor M. CIEN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Bazaraa, Mokhtar S.-Jarvis, Jhon PROGRAMACIÓN LINEAL Y FLUJO EN REDES

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Manizales, julio 12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 22:8 43:4 36:1 19 17:3 11:8 7:8 5 3:3 2:7

(GRUPO 8)

2. Un fabricante de tejidos posee una máquina que utiliza para la fabricación de diversos artículos. Para dos de ellos, denominados A y B la máquina está disponible durante 170 horas al mes. La cadencia de fabricación del artículo A es de 50 por hora, y la de B de 80 por hora. Cada unidad de A proporciona un bene…cio por venta de 3000 pesos y cada unidad de B 2000 pesos. Además la capacidad de absorción del mercado es limitada: a lo sumo debemos fabricar 7000 artículos de A y 10000 de B. El fabricante muestra el deseo de maximizar el bene…cio Resolver como un programa lineal que de respuesta a los deseos del fabricante

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3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M ax : z = x1 x2 + x3 tal que x1 + x2 + 2x3 4 x1 2x2 + x3 2 x1 ; x2 ; x3 0 TOMADO DE: Jimenez L., Guillermo-Quesada I.,Victor M. CIEN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Bazaraa, Mokhtar S.-Jarvis, Jhon PROGRAMACIÓN LINEAL Y FLUJO EN REDES

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yi 20 37:3 26:3 18 13:8 7:6 3:5 1 0:5 1:6

(GRUPO 9)

2. Una empresa dedicada al a distribución de aceite de oliva debe enviar 30 t a Madrid, 40 a Barcelona, 20 a Valencia y 10 a Bilbao. Esta empresa se suministra en Badajoz, Cáceres y Jaen, cuyas disponibilidades son de 35,25 y 20 t, respectivamente. Los costos ( en millones de pesos) de envio de una t de los lugares de producción a los destinos son Badajoz Cáceres Jaen

Madrid 10 6 15

Barcelona 15 7 20

Valencia 20 10 25

Bilbao 9 15 30

Por cada t no recibida en los puntos de destino, la empresa tiene unas perdidas de 5000, 8000, 6000 y 4000 millones de pesos, respectivamente. La empresa desea minimizar el costo total de la distribución de la mercancia 17

Resolverlo como un problema de programación lineal 3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M in : tal que

z = 2x1 + 4x2 x4 x1 + 2x2 x3 + x4 2 2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 4 x1 x3 + x4 3 x1 ; x2 ; x4 0 x3 ; no restringida

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xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 17 32 20 17 12 7 4 2 0:8 0:1

(GRUPO 10)

2. La empresa EL HOGAR produce una línea de artículos metálicos, la cual consta de cuatro productos. El sistema de manufactura se divide en cinco etapas: cortado, troquelado, esmaltado, acabado y empacado. A continuación se presenta información relevante, tanto del sistema productivo como del artículo.

Dpto Cortado T roquelado Esmaltado Acabado Empacado

P roducto1 unid=hora 25 14 17 20 50

P roducto2 unid=hora 6 8 9 4 13 19

P roducto3 unid=hora 20 20 33 50

P roducto4 unid=hora 10 10 8 8 20

Departamento Cortado T roquelado Esmaltado Acabado Empacado

P roducto 1 2 3 4

P recio de venta u:m:=unidad 100 300 160 250

Capacidad(horas=mes) 400 380 490 450 400

Costo de venta u:m:=unidad 50 200 100 150

M {nima

M axima

500 750 650 0

5000 6000 8000 3500

Además se sabe que en el siguiente mes solo se dispondrán de 1200 m2 de la lámina que producen los productos 1 y 2. El producto 1 requiere 0:5m2 por unidad y el producto 2 necesita 0:8m2 por unidad Para el manejo de los costos, se está considerando la posibilidad de subcontratar las operaciones de cortado y troquelado con una empresa externa. Se estima un incremento del 40% en el costo variable de todos los productos que se manden a maquilar fuera de la empresa. Los directivos piensan que al aumentar la producción de artículos cortados y troquelados, como resultado de la subcontratación, el departamento de esmaltado podría convertirse en un cuello de botella del proceso productivo. Por tanto, se pudieran pactar 120 horas por mes de tiempo extra en dicho departamento con un incremento en el costo del valor unitario de 5 u:m., 12 u:m:, 15 u:m y 10 u:m, respectivamente Resolver como el problema como un modelo de programación lineal 3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M ax : z = 2x1 + 4x2 + 4x3 3x4 tal que x1 + x2 + x3 = 4 x1 + 4x2 + 4x4 = 8 x1 ; x2 ; x3 ; x4 0 TOMADO DE: Jimenez L., Guillermo-Quesada I.,Victor M. CIEN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Bazaraa, Mokhtar S.-Jarvis, Jhon PROGRAMACIÓN LINEAL Y FLUJO EN REDES

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yi 14 26 8:4 22 17:2 11:7 8:2 6 4:5 3:3

(GRUPO 11)

2. Suponga que una gallina pone 12 huevos en dos semanas para venderlos, o se toma el mismo tiempo para empollar cuatro huevos. ¿Cuál es el mejor prgrama de poner huevos y empollar si al …nal del cuarto periódo todas las gallinas y pollos se venden a 12000 unidades monetarias cada uno, los huevos a 200 unidades monetarias cada uno?. Asuma A. Un inventario inicial de cien huevos y cien gallinas B. Cien gallinas y cero huevos C. Cien gallinas y cero huevos y también un inventario …nal de cien gallinas y cero huevos

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3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M in : tal que

z = 3x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4 x1 + 2x2 + 5x3 + 6x4 8 2x1 + 5x2 + 3x3 5x4 3 x1 ; x2 ; x3 ; x4 0

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xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 13 23 7:9 20 16 11:4 8:6 7 5:9 5:1

(GRUPO 12)

2. Un fabricante desea planear la producción de dos artículos A y B para los meses de marzo, abril, mayo y junio. Las demandas que se deben satisfacer son las siguientes:

ART ICU LO A ART ICU LO B

M ARZO 400 600

ABRIL 500 600

M AY O 600 700

JU N IO 400 600

Suponer que el inventario de A y B al …nalizar el mes de febrero es de 100 y 150, respectivamente. Suponga además, que al …nal del mes de junio se debe 23

disponer de, al menos, 150 unidades del articulo B. Los costos de almacenaje de las unidades no vendidas de los artículos A y B, durante cualquier mes, son de $1000 y $800 multiplicados por el inventario del artículo respectivo al …nal del mes. Por otra parte, debido a limitaciones de espacio, la suma de los artículos A y B en almacén no pueden exceder de 250 durante cualquier mes. Finalmente, el número máximo de artículos A y B que se pueden producir durante un mes dado es de 550 y 650, respectivamente. El objetivo consiste en minimizar el costo total de inventario (el costo de producción se supone constante)

3. Considere el siguiente problema de programación lineal M ax : tal que

z = x1 + 2x2 x1 + x2 1 x1 + x2 3 x2 5 x1 ; x2 0

a. Resolver el problema grá…camente b. Resolver el problema por el método de las dos fases TOMADO DE: Jimenez L., Guillermo-Quesada I.,Victor M. CIEN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Bazaraa, Mokhtar S.-Jarvis, Jhon PROGRAMACIÓN LINEAL Y FLUJO EN REDES

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Manizales, julio 12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 10 17 3:1 21 16 11:7 9:3 8 7:1 6:4

(GRUPO 13)

2. Un inversionista tiene la intención de hacer varias inversiones, las cuales se extenderán por un periódo de cinco años, al …nal del cual necesitará todo el capital. Las inversiones se hacen el primero de enero de cada año. Son:

Inversión A: disponible el primero de enero de cada año y produce 15% de interés al …nal de cada año Inversión B: disponible en dos años a partir de ahora (comienza el tercer año) y produce un retorno del 25% al …nal del tercer año y lo máximo que el inversionista considerará son $40:000:000

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Inversión C: disponible en un año a partir de ahora (comienza an el segundo año) y produce 40% al …nal del cuarto año. Esta inversión será de $30:000:000 como máximo. El inversionista tene $100:000:000 disponible para las inversiones. ¿Cuál debe ser el portafolio de inversión que permita obtener la máximo utilidad en el periódo dado?

3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M ax : z = x1 2x2 tal que 3x1 + 4x2 20 2x1 x2 20 x1 ; x2 0 TOMADO DE: Jimenez L., Guillermo-Quesada I.,Victor M. CIEN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Bazaraa, Mokhtar S.-Jarvis, Jhon PROGRAMACIÓN LINEAL Y FLUJO EN REDES

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Manizales, julio 12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 51 52 24 23 15 12 10 9 8:3 7:6

(GRUPO 14)

2. Un fabricante de láminas metálicas recibe un pedido para producir 2000 láminas de tamaño 2x4 y 1000 láminas de tamaño 4x7 : Se dispone de dos láminas estándar de tamaños 10x3000 y 11x2000 . El personal del departamento de ingeniería decide que los siguientes cuatro patrones de corte son adecuados para satisfacer el pedido. Formular el problema para satisfacer el pedido y minimizar el desperdicio como un problema de programación lineal resolverlo por el método simplex.

P AT RON 1 2x4 4x70 2x4

P AT RON 2 4x2

27

4x70

P AT RON 4 2x4 2x4 4x2 2x4 2x4

P AT RON 3 4x2

4x2

4x7

3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M ax : tal que

z = 4x1 + 5x2 3x3 x1 + x2 + x3 = 10 x1 x2 1 2x1 + 3x2 + x3 20 x1 ; x2 ; x3 0

TOMADO DE: Jimenez L., Guillermo-Quesada I.,Victor M. CIEN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Bazaraa, Mokhtar S.-Jarvis, Jhon PROGRAMACIÓN LINEAL Y FLUJO EN REDES

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Manizales, julio 12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 98 79 42 24 15:7 12:2 10 10 9:5 8:9

(GRUPO 15)

2. Una empresa minera dispone de tres canteras: X1 ; X2 y X3 ; pudiendo explotar 200 m3 en X1 ; 300 m3 en X2 y 150 m3 en X3: Por otra parte el material debe transportarse a los lugares : X4 ; X5 ; X6 ,X7 y X8 ; en donde se requieren respectivamentee:100 m3 ; 100 m3 ; 150 m3 ; 250 m3 y 50 m3 :Debido a las restricciones de la ‡otilla de camiones, en el equipo de explotación de las canteras y en los caminos de acceso, las capacidades de trasnporte de cada una de las canteras a los lugares de descarga resultan como se muestra en la siguienter tabla:

Destinos 29

Origen X1 X2 X3

X4 60 60 0

X5 40 60 40

X6 80 60 30

X7 60 80 70

X8 0 60 30

¿Cómo se pueden satisfacer las demandas al máximo?

3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M ax : z = x1 x2 + x3 tal que x1 + x2 + 2x3 4 x1 2x2 + x3 2 x1 ; x2 ; x3 0 TOMADO DE: Jimenez L., Guillermo-Quesada I.,Victor M. CIEN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Bazaraa, Mokhtar S.-Jarvis, Jhon PROGRAMACIÓN LINEAL Y FLUJO EN REDES

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Manizales, julio 12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 13 19:3 31:6 22 15:3 12:5 11:3 11 10:7 10

(GRUPO 16)

2. Un municipio dispone del dinero necesario para construír cinco estaciones de bomberos. Existen seis zonas que se encuentran sin este servicio. Se quieren construír las nuevas estaciones asegurando que un incendio en cualquiera de las zonas desprotegidas pueda ser socorrida en menos de treinta minutos. Se conoce el costo para construír la estación en cada zona y el tiempo estimado de viaje entre una zona y otra, En la tabla siguiente se muestra el tiempo en minutos de viaje.

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Zona 1 Zona 2 Zona 3 Zona 4 Zona 5 Zona 6 Costo

Zona 1 0 20 41 55 58 41 36

Zona 2 21 0 48 72 39 22 42

Zona 3 40 48 0 30 61 40 45

Zona 4 59 65 28 0 30 50 48

Zona 5 61 41 58 27 0 25 54

Zona 6 42 20 39 48 28 0 60

Resolver como un modelo para determinar dode deben construírse las estaciones con el …n de minimizar costos 3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M in : tal que

z = x1 + 3x2 x3 2x1 + x2 + x3 3 x1 + x2 2 x1 + 5x2 + x3 4 x1 ; x2 ; x3 0

TOMADO DE: Jimenez L., Guillermo-Quesada I.,Victor M. CIEN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Bazaraa, Mokhtar S.-Jarvis, Jhon PROGRAMACIÓN LINEAL Y FLUJO EN REDES

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Manizales, julio 12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 18 13:9 11:5 11 10:1 10:6 11:4 12 12:4 12:8

(GRUPO 17)

2. Una fábrica de papel produce bobinas con una medida estándar de 100 metros de longitud y un metro de ancho. Recibe semanalmente pedidos de diferentes centros de suministro. Para la semana entrante este pedido es de 320 bobinas de 20 cm de ancho, 365 de 30 cm, 480 de 40 cm y 176 de 70 cm (todas con la misma longitud de 100 m) El fabricante debe cortar a lo ancho las bobinas de un metro para satisfacer la demanda. Desea fabricar el mínimo número posible de bobinas de un metro (se supone que los sobrantes se reciclan, por lo que tienen un costo despreciable).

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3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M ax : tal que

z = 2x1 x2 + x3 2x1 + x2 2x3 8 4x1 x2 + x3 2 2x1 + 3x2 x3 4 x1 ; x2 ; x3 0

TOMADO DE: Jimenez L., Guillermo-Quesada I.,Victor M. CIEN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Bazaraa, Mokhtar S.-Jarvis, Jhon PROGRAMACIÓN LINEAL Y FLUJO EN REDES

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES FAC CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES Manizales, julio 12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 9 17 24 18 15 14 13:5 13 12:5 12

(GRUPO 18)

2. Una empresa de productos alimenticios para animales fábrica un pienso para cuya elaboración se pueden mezclar tres ingredientes denominados A,B y C, en las cantidades que se estimen convenientes. Los ingredientes poseen ciertas unidades de calcio, fósforo, magnesio y hierro por kg. tal como se indica en la tabla Elementos Calcio Fósforo Magnesio Hierro

A 12 14 23 20 35

B 18 27 25 32

C 30 19 15 10

Teniendo en cuenta que la llegada de ingredientes es mensual, la plani…cacion de la producción debe hacerse para este periódo de tiempo. En el próximo pedido, se pueden solicitar hasta 6 t del ingrediente A, 4 del B y 5 del C. El pienso, cuya demanda para el próximo mes es de 9 t, debe contener por kg al menos 18 unidades de calcio, 20 de fósforo y 22 de magnesio. Para el hierro se permite un número de unidades por kg comprendido entre 10 y 36. El costo por kg de ingrediente A es 140 pesos, de B 168 pesos y de C 152 pesos. Resolver el probelma como un modelo de programación lineal que indique con que cantidades deben contribuír los ingredientes al pienso animal para que el costo total sea mínimo 3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M ax : tal que

z = 5x1 2x2 + x3 x1 + 4x2 + x3 6 2x1 + x2 + 3x3 2 x1 ; x2 0 x3 ; no restringuida

TOMADO DE: Jimenez L., Guillermo-Quesada I.,Victor M. CIEN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Bazaraa, Mokhtar S.-Jarvis, Jhon PROGRAMACIÓN LINEAL Y FLUJO EN REDES

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Manizales, julio12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 19 15 10:8 11 10:8 12 13:1 14 14:7 15:6

(GRUPO 19)

2. Un fabricante de tejidos posee una máquina que utiliza para la fabricación de diversos artículos. Para dos de ellos, denominados A y B la máquina está disponible durante 170 horas al mes. La cadencia de fabricación del artículo A es de 50 por hora, y la de B de 80 por hora. Cada unidad de A proporciona un bene…cio por venta de 3000 pesos y cada unidad de B 2000 pesos. Además la capacidad de absorción del mercado es limitada: a lo sumo debemos fabricar 7000 artículos de A y 10000 de B. El fabricante muestra el deseo de maximizar el bene…cio Resolver como un programa lineal que de respuesta a los deseos del fabricante

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3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M in : z = 2x1 + 2x2 + x3 + x4 tal que x1 + 2x2 + x3 + x4 2 x1 x2 + x3 + 5x4 4 2x1 x2 + x3 2 x1 ; x2 ; x3 ; x4 0 TOMADO DE: Jimenez L., Guillermo-Quesada I.,Victor M. CIEN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Bazaraa, Mokhtar S.-Jarvis, Jhon PROGRAMACIÓN LINEAL Y FLUJO EN REDES

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES FAC CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES Manizales, julio12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 4 7:6 3:5 16 16:7 16:3 15:7 15 14:3 14:3

(GRUPO 20)

2. La empresa EL HOGAR produce una línea de artículos metálicos, la cual consta de cuatro productos. El sistema de manufactura se divide en cinco etapas: cortado, troquelado, esmaltado, acabado y empacado. A continuación se presenta información relevante, tanto del sistema productivo como del artículo.

Dpto Cortado T roquelado Esmaltado Acabado Empacado

P roducto1 unid=hora 25 14 17 20 50

P roducto2 unid=hora 6 8 9 4 13 39

P roducto3 unid=hora 20 20 33 50

P roducto4 unid=hora 10 10 8 8 20

Departamento Cortado T roquelado Esmaltado Acabado Empacado

P roducto 1 2 3 4

P recio de venta u:m:=unidad 100 300 160 250

Capacidad(horas=mes) 400 380 490 450 400

Costo de venta u:m:=unidad 50 200 100 150

M {nima

M axima

500 750 650 0

5000 6000 8000 3500

Además se sabe que en el siguiente mes solo se dispondrán de 1200 m2 de la lámina que producen los productos 1 y 2. El producto 1 requiere 0:5m2 por unidad y el producto 2 necesita 0:8m2 por unidad Para el manejo de los costos, se está considerando la posibilidad de subcontratar las operaciones de cortado y troquelado con una empresa externa. Se estima un incremento del 40% en el costo variable de todos los productos que se manden a maquilar fuera de la empresa. Los directivos piensan que al aumentar la producción de artículos cortados y troquelados, como resultado de la subcontratación, el departamento de esmaltado podría convertirse en un cuello de botella del proceso productivo. Por tanto, se pudieran pactar 120 horas por mes de tiempo extra en dicho departamento con un incremento en el costo del valor unitario de 5 u:m., 12 u:m:, 15 u:m y 10 u:m, respectivamente Resolver el problema como un modelo de programación lineal

3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M in : tal que

z = 3x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4 x1 + 2x2 + 5x3 + 6x4 8 2x1 + 5x2 + 3x3 5x4 3 x1 ; x2 ; x3 ; x4 0

TOMADO DE: Jimenez L., Guillermo-Quesada I.,Victor M. CIEN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Bazaraa, Mokhtar S.-Jarvis, Jhon PROGRAMACIÓN LINEAL Y FLUJO EN REDES 40

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Manizales, julio12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 32 10 31:5 13 11 13 14 16 17 18:3

(GRUPO 21)

2. Un fabricante desea planear la producción de dos artículos A y B para los meses de marzo, abril, mayo y junio. Las demandas que se deben satisfacer son las siguientes:

ART ICU LO A ART ICU LO B

M ARZO 400 600

ABRIL 500 600

M AY O 600 700

JU N IO 400 600

Suponer que el inventario de A y B al …nalizar el mes de febrero es de 100 y 150, respectivamente. Suponga además, que al …nal del mes de junio se debe disponer de, al menos, 150 unidades del articulo B. Los costos de almacenaje de

41

las unidades no vendidas de los artículos A y B, durante cualquier mes, son de $1000 y $800 multiplicados por el inventario del artículo respectivo al …nal del mes. Por otra parte, debido a limitaciones de espacio, la suma de los artículos A y B en almacén no pueden exceder de 250 durante cualquier mes. Finalmente, el número máximo de artículos A y B que se pueden producir durante un mes dado es de 550 y 650, respectivamente. El objetivo consiste en minimizar el costo total de inventario (el costo de producción se supone constante) 3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M in : tal que

z = 2x1 + 4x2 x4 x1 + 2x2 x3 + x4 2 2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 4 x1 x3 + x4 3 x1 ; x2 ; x4 0 x3 ; no restringida

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Manizales, julio12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 10 17 3:1 21 16 11:7 9:3 8 7:1 6:4

(GRUPO 22)

2. Un inversionista tiene la intención de hacer varias inversiones, las cuales se extenderán por un periódo de cinco años, al …nal del cual necesitará todo el capital. Las inversiones se hacen el primero de enero de cada año. Son:

Inversión A: disponible el primero de enero de cada año y produce 15% de interés al …nal de cada año Inversión B: disponible en dos años a partir de ahora (comienza el tercer año) y produce un retorno del 25% al …nal del tercer año y lo máximo que el inversionista considerará son $40:000:000

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Inversión C: disponible en un año a partir de ahora (comienza an el segundo año) y produce 40% al …nal del cuarto año. Esta inversión será de $30:000:000 como máximo. El inversionista tene $100:000:000 disponible para las inversiones. ¿Cuál debe ser el portafolio de inversión que permita obtener la máximo utilidad en el periódo dado?

3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M ax : z = x1 2x2 tal que 3x1 + 4x2 20 2x1 x2 20 x1 ; x2 0 TOMADO DE: Jimenez L., Guillermo-Quesada I.,Victor M. CIEN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Bazaraa, Mokhtar S.-Jarvis, Jhon PROGRAMACIÓN LINEAL Y FLUJO EN REDES

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Manizales, julio12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 51 52 24 23 15 12 10 9 8:3 7:6

(GRUPO 23)

2. Un fabricante de láminas metálicas recibe un pedido para producir 2000 láminas de tamaño 2x4 y 1000 láminas de tamaño 4x7 : Se dispone de dos láminas estándar de tamaños 10x3000 y 11x2000 . El personal del departamento de ingeniería decide que los siguientes cuatro patrones de corte son adecuados para satisfacer el pedido. Formular el problema para satisfacer el pedido y minimizar el desperdicio como un problema de programación lineal resolverlo por el método simplex.

P AT RON 1 2x4 4x70 2x4

P AT RON 2 4x2

45

4x70

P AT RON 4 2x4 2x4 4x2 2x4 2x4

P AT RON 3 4x2

4x2

4x7

3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M ax : tal que

z = 4x1 + 5x2 3x3 x1 + x2 + x3 = 10 x1 x2 1 2x1 + 3x2 + x3 20 x1 ; x2 ; x3 0

TOMADO DE: Jimenez L., Guillermo-Quesada I.,Victor M. CIEN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Bazaraa, Mokhtar S.-Jarvis, Jhon PROGRAMACIÓN LINEAL Y FLUJO EN REDES

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Manizales, julio12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 98 79 42 24 15:7 12:2 10 10 9:5 8:9

(GRUPO 24)

2. Una empresa minera dispone de tres canteras: X1 ; X2 y X3 ; pudiendo explotar 200 m3 en X1 ; 300 m3 en X2 y 150 m3 en X3: Por otra parte el material debe transportarse a los lugares : X4 ; X5 ; X6 ,X7 y X8 ; en donde se requieren respectivamentee:100 m3 ; 100 m3 ; 150 m3 ; 250 m3 y 50 m3 :Debido a las restricciones de la ‡otilla de camiones, en el equipo de explotación de las canteras y en los caminos de acceso, las capacidades de trasnporte de cada una de las canteras a los lugares de descarga resultan como se muestra en la siguienter tabla:

Destinos 47

Origen X1 X2 X3

X4 60 60 0

X5 40 60 40

X6 80 60 30

X7 60 80 70

X8 0 60 30

¿Cómo se pueden satisfacer las demandas al máximo?

3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M ax : z = x1 x2 + x3 tal que x1 + x2 + 2x3 4 x1 2x2 + x3 2 x1 ; x2 ; x3 0 TOMADO DE: Jimenez L., Guillermo-Quesada I.,Victor M. CIEN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Bazaraa, Mokhtar S.-Jarvis, Jhon PROGRAMACIÓN LINEAL Y FLUJO EN REDES

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Manizales, julio12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 13 19:3 31:6 22 15:3 12:5 11:3 11 10:7 10

(GRUPO 25)

2. Un municipio dispone del dinero necesario para construír cinco estaciones de bomberos. Existen seis zonas que se encuentran sin este servicio. Se quieren construír las nuevas estaciones asegurando que un incendio en cualquiera de las zonas desprotegidas pueda ser socorrida en menos de treinta minutos. Se conoce el costo para construír la estación en cada zona y el tiempo estimado de viaje entre una zona y otra, En la tabla siguiente se muestra el tiempo en minutos de viaje.

49

Zona 1 Zona 2 Zona 3 Zona 4 Zona 5 Zona 6 Costo

Zona 1 0 20 41 55 58 41 36

Zona 2 21 0 48 72 39 22 42

Zona 3 40 48 0 30 61 40 45

Zona 4 59 65 28 0 30 50 48

Zona 5 61 41 58 27 0 25 54

Zona 6 42 20 39 48 28 0 60

Resolver como un modelo para determinar dode deben construírse las estaciones con el …n de minimizar costos 3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M in : tal que

z = x1 + 3x2 x3 2x1 + x2 + x3 3 x1 + x2 2 x1 + 5x2 + x3 4 x1 ; x2 ; x3 0

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Manizales, julio12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 18 13:9 11:5 11 10:1 10:6 11:4 12 12:4 12:8

(GRUPO 26)

2. Una fábrica de papel produce bobinas con una medida estándar de 100 metros de longitud y un metro de ancho. Recibe semanalmente pedidos de diferentes centros de suministro. Para la semana entrante este pedido es de 320 bobinas de 20 cm de ancho, 365 de 30 cm, 480 de 40 cm y 176 de 70 cm (todas con la misma longitud de 100 m) El fabricante debe cortar a lo ancho las bobinas de un metro para satisfacer la demanda. Desea fabricar el mínimo número posible de bobinas de un metro (se supone que los sobrantes se reciclan, por lo que tienen un costo despreciable).

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3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M ax : tal que

z = 2x1 x2 + x3 2x1 + x2 2x3 8 4x1 x2 + x3 2 2x1 + 3x2 x3 4 x1 ; x2 ; x3 0

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES FAC CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES Manizales, julio12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 9 17 24 18 15 14 13:5 13 12:5 12

(GRUPO 27)

2. Una empresa de productos alimenticios para animales fábrica un pienso para cuya elaboración se pueden mezclar tres ingredientes denominados A,B y C, en las cantidades que se estimen convenientes. Los ingredientes poseen ciertas unidades de calcio, fósforo, magnesio y hierro por kg. tal como se indica en la tabla Elementos Calcio Fósforo Magnesio Hierro

A 12 14 23 20 53

B 18 27 25 32

C 30 19 15 10

Teniendo en cuenta que la llegada de ingredientes es mensual, la plani…cacion de la producción debe hacerse para este periódo de tiempo. En el próximo pedido, se pueden solicitar hasta 6 t del ingrediente A, 4 del B y 5 del C. El pienso, cuya demanda para el próximo mes es de 9 t, debe contener por kg al menos 18 unidades de calcio, 20 de fósforo y 22 de magnesio. Para el hierro se permite un número de unidades por kg comprendido entre 10 y 36. El costo por kg de ingrediente A es 140 pesos, de B 168 pesos y de C 152 pesos. Resolver el probelma como un modelo de programación lineal que indique con que cantidades deben contribuír los ingredientes al pienso animal para que el costo total sea mínimo 3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M ax : tal que

z = 5x1 2x2 + x3 x1 + 4x2 + x3 6 2x1 + x2 + 3x3 2 x1 ; x2 0 x3 ; no restringuida

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Manizales, julio12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 19 15 10:8 11 10:8 12 13:1 14 14:7 15:6

(GRUPO 28)

2. Un fabricante de tejidos posee una máquina que utiliza para la fabricación de diversos artículos. Para dos de ellos, denominados A y B la máquina está disponible durante 170 horas al mes. La cadencia de fabricación del artículo A es de 50 por hora, y la de B de 80 por hora. Cada unidad de A proporciona un bene…cio por venta de 3000 pesos y cada unidad de B 2000 pesos. Además la capacidad de absorción del mercado es limitada: a lo sumo debemos fabricar 7000 artículos de A y 10000 de B. El fabricante muestra el deseo de maximizar el bene…cio Resolver como un programa lineal que de respuesta a los deseos del fabricante

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3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M in : z = 2x1 + 2x2 + x3 + x4 tal que x1 + 2x2 + x3 + x4 2 x1 x2 + x3 + 5x4 4 2x1 x2 + x3 2 x1 ; x2 ; x3 ; x4 0 TOMADO DE: Jimenez L., Guillermo-Quesada I.,Victor M. CIEN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Bazaraa, Mokhtar S.-Jarvis, Jhon PROGRAMACIÓN LINEAL Y FLUJO EN REDES

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES FAC CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES Manizales, julio12 de 2019 INT A LA OPTIMIZACIÒN-MATEMÀTICAS-ING Profesor: DIEGO CHÁVEZ CH TALLER NO PRESENCIAL 1. Ajustar los siguientes datos a las siguientes funciones: f (x) = a0 + a1 e0:5x + a2 x + a3 ln x g (x) = b0 + b1 x + b2 xp2 + b3 x3 h (x) = c0 + c1 e0:5x + c2 x + c3 ln x Obtener cada una de las funciones y calcular en cada caso el valor optimo. Después de hacer comparaciones decidir que función se ajusta mejor a los datos dados

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 4 7:6 3:5 16 16:7 16:3 15:7 15 14:3 14:3

(GRUPO 29)

2. La empresa EL HOGAR produce una línea de artículos metálicos, la cual consta de cuatro productos. El sistema de manufactura se divide en cinco etapas: cortado, troquelado, esmaltado, acabado y empacado. A continuación se presenta información relevante, tanto del sistema productivo como del artículo.

Dpto Cortado T roquelado Esmaltado Acabado Empacado

P roducto1 unid=hora 25 14 17 20 50

P roducto2 unid=hora 6 8 9 4 13 57

P roducto3 unid=hora 20 20 33 50

P roducto4 unid=hora 10 10 8 8 20

Departamento Cortado T roquelado Esmaltado Acabado Empacado

P roducto 1 2 3 4

P recio de venta u:m:=unidad 100 300 160 250

Capacidad(horas=mes) 400 380 490 450 400

Costo de venta u:m:=unidad 50 200 100 150

M {nima

M axima

500 750 650 0

5000 6000 8000 3500

Además se sabe que en el siguiente mes solo se dispondrán de 1200 m2 de la lámina que producen los productos 1 y 2. El producto 1 requiere 0:5m2 por unidad y el producto 2 necesita 0:8m2 por unidad Para el manejo de los costos, se está considerando la posibilidad de subcontratar las operaciones de cortado y troquelado con una empresa externa. Se estima un incremento del 40% en el costo variable de todos los productos que se manden a maquilar fuera de la empresa. Los directivos piensan que al aumentar la producción de artículos cortados y troquelados, como resultado de la subcontratación, el departamento de esmaltado podría convertirse en un cuello de botella del proceso productivo. Por tanto, se pudieran pactar 120 horas por mes de tiempo extra en dicho departamento con un incremento en el costo del valor unitario de 5 u:m., 12 u:m:, 15 u:m y 10 u:m, respectivamente Resolver el problema como un modelo de programación lineal

3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M in : tal que

z = 3x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4 x1 + 2x2 + 5x3 + 6x4 8 2x1 + 5x2 + 3x3 5x4 3 x1 ; x2 ; x3 ; x4 0

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yi 32 10 31:5 13 11 13 14 16 17 18:3

(GRUPO 30)

2. Un fabricante desea planear la producción de dos artículos A y B para los meses de marzo, abril, mayo y junio. Las demandas que se deben satisfacer son las siguientes:

ART ICU LO A ART ICU LO B

M ARZO 400 600

ABRIL 500 600

M AY O 600 700

JU N IO 400 600

Suponer que el inventario de A y B al …nalizar el mes de febrero es de 100 y 150, respectivamente. Suponga además, que al …nal del mes de junio se debe disponer de, al menos, 150 unidades del articulo B. Los costos de almacenaje de

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las unidades no vendidas de los artículos A y B, durante cualquier mes, son de $1000 y $800 multiplicados por el inventario del artículo respectivo al …nal del mes. Por otra parte, debido a limitaciones de espacio, la suma de los artículos A y B en almacén no pueden exceder de 250 durante cualquier mes. Finalmente, el número máximo de artículos A y B que se pueden producir durante un mes dado es de 550 y 650, respectivamente. El objetivo consiste en minimizar el costo total de inventario (el costo de producción se supone constante) 3. Resolver el siguiente problema por el método de las dos fases M in : tal que

z = 2x1 + 4x2 x4 x1 + 2x2 x3 + x4 2 2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 4 x1 x3 + x4 3 x1 ; x2 ; x4 0 x3 ; no restringida

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