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• Orlando Martínez

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´ Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın. Algebra Lineal.

´ Algebra Lineal – Taller No 8 Instrucciones. Recuerde que los ejercicios marcados con * indican un mayor nivel de dificultad que el resto y es importante que el estudiante ataque una razonable cantidad de ellos por s´ı mismo.

Espacios Vectoriales 1.

Establezca si los siguientes son espacios vectoriales   x (i) El conjunto de todos los vectores de R2 con x, y ≥ 0. y   x (ii) El conjunto de todos los vectores de R2 con x y ≥ 0. Esta es la uni´on del primer y tercer cuadrante. y   x (iii) El conjunto de todos los vectores de R2 con x ≥ y. y (iv) El conjunto de todos los n´ umeros racionales con la suma y multiplicaci´on usuales. (v) El conjunto de todas las matrices triangulares superiores.  a (vi) El conjunto de todas las matrices de 2 × 2 de la forma c

b d

 , tales que ad = 0.

(vii) El conjunto de todas las matrices antisim´etricas de n × n. 2.

Determine si W es un subespacio de V .      a (a) V = R3 , W =  0  : a ∈ R   a    a   (c) V = R3 , W =  b  : a, b ∈ R   a+b    a b 2×2 (f ) V = R , W = : a, b ∈ R b 2a

(b) V

(d) V

(e) V

(g) V = Rn×n , W = matrices diagonales de n × n

(h) V

   a   = R3 , W =  −a  : a ∈ R   2a      a = R3 , W =  b  : a, b ∈ R   |a|    a b 2×2 = R ,W = : ad ≥ bc c d  = Rn×n , W = A ∈ Rn×n : A2 = A

3.

Sea B una matriz fija de n × n y considere el conjunto W = {A ∈ Rn×n : AB = BA}. ¿Es W un subespacio de Rn×n ?

4.

Determine si W es subespacio de V .

5.

(a) V = P2 , W = {bx + cx2 : b, c ∈ R}

(b) V = P2 , W = {a + bx + cx2 : a + b + c = 0}

(c) V = P2 , W = {a + bx + cx2 : abc = 0}

(d) V = P3 , W = P2

(e) V = P, W = P3

(f ) V = Pn+k , W = Pk

(g) V = F, W = {f ∈ F : f (−x) = f (x)}

(h) V = F, W = {f ∈ F : f (−x) = −f (x)}}

(i) V = F, W = {f ∈ F : f (0) = 1}

(j) V = F, W = {f ∈ F : f (0) = 0}

Sea V un espacio vectorial con subespacios U y W (i) Demuestre que U ∩ W es un subespacio. (ii) Provea un contraejemplo con V = R2 para ilustrar que no necesariamente se cumple que U ∪W es un subespacio. (iii) ¿Bajo qu´e condiciones sobre U y W se tiene que U ∪ W es un subespacio?

6.* Sea V un espacio vectorial con subespacios U y W , defina la suma de U y W como el conjunto U + W = {u + w : u ∈ U, w ∈ W } (i) Suponga que V = R3 , que U es el eje x y que W es el eje Y . ¿Qu´e es U + W ? (ii) Si U y W son subespacios de V demuestre que U + W es un subespacio de V .

´ Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın. Algebra Lineal.

7.

¿Es R2×2 generado por el siguiente conjunto?     1 1 0 1 0 1 1 0

8.

¿Es P2 generado por 1 + x, x + x2 y 1 + x2 ?

9.

Sean f (x) = sin2 (x) y g(x) = cos2 (x)



1 1

0 1





0 1

−1 0



(i) Demuestre que las funciones constantes pertenecen a gen(f, g). (ii) Demuestre que la funci´ on cos(2x) pertenece a gen(f, g). Indicaci´ on. Mantenga presentes las identidades trigonom´etricas. —————————————————————————–

Espacios Vectoriales (Independencia lineal, bases y dimensi´ on) 10.

Determine si cada uno de los siguientes conjuntos de matrices en M22 es linealmente independiente. En caso de ser linealmente dependiente, exprese una matriz como combinaci´on lineal de las otras.               1 1 1 −1 1 0 −1 1 3 0 0 2 −1 0 . (i) , , . (iii) , , , −2 2 1 1 −3 1 −1 7 0 −1 1 0 3 2               2 −3 1 −1 −1 3 1 1 1 0 0 1 1 1 (ii) , , . (iv) , , , . 4 2 3 3 1 5 0 1 1 1 1 1 1 0

11.

Determine si cada uno de los siguientes conjuntos de polinomios en P3 es linealmente independiente. En caso de ser linealmente dependiente, exprese una matriz como combinaci´on lineal de las otras. (i) {1 + x, 1 + x2 , 1 − x + x2 }.

(iii) {2x, x − x2 , 1 + x3 , 2 − x2 + x3 }.

(ii) {x, 2x − x2 , 3x + 2x2 }. 12.

Determine si cada uno de los siguientes conjuntos de funciones en F es linealmente independiente. En caso de ser linealmente dependiente, exprese una matriz como combinaci´on lineal de las otras. (i) {1, ex , e2x }.

(iii) {1, ln x, ln(2x)} en (0, ∞).

(ii) {1, sen x, sen(2x))}. 13.

(iv) {1, sen2 x, sen(2x)}.

(v) {1, sen2 x, cos(2x)}. (vi) {1, x, ex , xex }.

Encuentre una base para los siguientes subespacios del espacio vectorial dado. (i) (ii) (iii) (iv) (v)

14.

(iv) {1 − 2x, 3x + x2 − x3 , 1 + x2 + 2x3 , 3 + 2x + 3x3 }.

V1 V2 V3 V4 V5

= {A ∈ M33 | A = {A ∈ M33 | A = {A ∈ M44 | A = {A ∈ M33 | A = P2 .

es es es es

diagonal}. sim´etrica}. anti-sim´etrica}. triangular superior}.

(vi) V6 = {p(x) ∈ P3 : p(0) = 0}. (vii) V7 = {A ∈ R2×2 : tr(A) = 0}.  (viii) V8 =

p(x) ∈ P3 :

p000 (0) + 2p0 (0) + p(0) = 0 2p000 (0) + p00 (0) + p0 (0) + 2p(0) = 0

Determine el vector de coordenadas del vector v con respecto a la base B en cada uno de los casos.   1 2 (i) v = 1 + 2x + 3x2 y B = {1 + x, 1 − x, x2 }. (iii) v = y 3 4       1 0 1 1 1 1 1 , , , B= (ii) v = 2 − x + 3x2 y B = {1, 1 + x, −1 + x2 }. 0 0 0 0 1 0 1

1 1

 .

15.* Sea B un conjunto de vectores en un espacio vectorial V con la propiedad de que cada vector en V se puede escribir en forma u ´nica como una combinaci´ on lineal de vectores en B. Pruebe que B es una base para V . 16.

Para cada uno de los siguientes espacios vectoriales V determine su dimensi´on y encuentre una base.

 .

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(i) V = {p(x) ∈ P2 | p(0) = 0}

(iv) V = {A ∈ M22 | A es triangular superior}. Repita para el mismo subespacio de M33 .

(ii) V = {p(x) ∈ P2 | p(1) = 0} (iii) V = {p(x) ∈ P2 | xp0 (x) = p(x)} 17.

Para cada uno de los siguientes subconjuntos del espacio vectorial indicado, exti´endalo a una base para el espacio. (i) Extienda {1 + x, 1 + x + x2 } en P2 .     0 1 1 1 (ii) Extienda , en M22 . 0 1 0 1       1 0 0 1 0 −1 (iii) Extienda , , en 0 1 1 0 1 0

18.

(v) V = {A ∈ M22 | A es antisim´etrica}. Repita para el mismo subespacio de M33 .

M22 . 

  0 1 1 , 1 0 0 trices sim´etricas 2 × 2.

(iv) Extienda

0 1

 en el espacio ma-

Sea {v1 , v2 , . . . , vn } una base para un espacio vectorial V . Pruebe que {v1 , v1 + v2 , v1 + v2 + v3 , . . . , v1 + v2 + · · · + vn } tambi´en es una base para V .

19.* Sean U y W subespacios de un espacio vectorial V de dimensi´on finita. Pruebe que dim(U + W ) = dim(U ) + dim(W ) − dim(U ∩ W ) Sugerencia: Sea B = {u1 , u2 , . . . , uk } una base para U ∩ W . Extienda B a una base C = {u1 , . . . , uk , v1 , . . . , vr } de U y a una base D{u1 , . . . , uk , w1 , . . . , ws } de W y pruebe que C ∪ D es una base para U + W .

Matlab Haga los ejercicios 1-2 del Taller resuelto Matlab 3 en la p´agina del curso (https://ciencias.medellin.unal.edu.co/cursos/algebralineal/matlab.html).