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• Paul Burlando

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´ UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS E INFORMATICA Facultad de Ciencias e Ingenier´ıa Carrera Profesional de Ingenier´ıa de Sistemas e Inform´ atica Programa ESPEL Taller 1 de Matem´ atica II. Prof. Pascual F. Onofre Mayta.  1. Sean A = 

3  C= 4 2  2 E= 0 3

1 2

−1 1 1 −4 1 2

2 1

3 4



Jes´ us Mar´ıa, febrero de 2012



 1 0 , B =  2 1 , 3 2



   3 0 4 −2 1 5. Sean A = , B= , −1 5 0 2 3     1 2 0 −3   C= 3 4 , D= , −2 1 5 6

   3 3 −2  5 , D= , 2 4 3    5 −4 5  4 , F = . 2 3 1

En los incisos siguientes, calcule las matrices indicadas, si es posible. (a) A + 2D (d) B − 2C T

De ser posible, calcule las siguientes operaciones que se indica en cada caso. (a) C + E (c) A + B (e) D − 2F (b) A + B T (d) 3AT − B (f) F + 2D

(b) 3D − 2A (e) AD + BC

6. Sean las matrices   2 3 A =  −1 4  0 3

2. Considerando las matrices del ejercicio 2, de ser posible, calcule
T (a) (2A)T (c) 3B T − 2A (e) (C + E + F )T
T T (b) (A − B) (d) 2AT + B (f) 3AT + 5B T 3. Una corporaci´on tiene tres f´ abricas, cada una de las cuales produce guitarras ac´ usticas y guitarras el´ectricas. El n´ umero de guitarras del tipo i producidas en la f´abrica j en un d´ıa se representa por aij en la matriz   70 50 25 A= 35 100 70

(c) (2B)T − 2C (f) CB − AT B

 y

B=

3 −1 3 1 2 4



Calcule las siguientes entradas de AB : (a) La entrada (1,2) (c) La entrada (3,1)

7. Sean las matrices   1 −1 2  3 2 4   A=  4 −2 3  2 1 5

(b) La entrada (2,3) (d) La entrada (3,3)



y

 1 0 −1 2 B =  3 3 −3 4  4 2 5 1

Calcular las siguientes columnas de AB: (a) La primera columna (c) La segunda columna

Determine los niveles de producci´ on de cada f´abrica, si la producci´on se incrementa 20%.

(b) La tercera columna (d) La cuarta columna

8. Sean las matrices A = [aij ]2×3 y B = [bij ]2×3 tales que   1 , si i = j 0 , si i = j aij = , bij = 2 , si i 6= j 1 , si i 6= j

4. Una corporaci´on tiene cuatro f´ abricas. Cada una de las cuales produce veh´ıculos deportivos utilitarios y camionetas pickup. El n´ umero de veh´ıculos tipo i producidas en la f´ abrica j en un d´ıa se representa por aij en la matriz   100 90 70 30 A= 40 20 60 60

Calcular (2A) B T . 9. Sean las matrices A = [aij ]2×3 y B = [bij ]2×3 tales que   0 , si i = j 1 , si i = j aij = , bij = 1 , si i 6= j 2 , si i 6= j
Calcular A −B T + 2I2 .

Determine los niveles de producci´ on de cada f´abrica, si el nivel de producci´ on se incrementa 10%. 1

(a) ¿Cu´antos gramos de prote´ınas ingieren diariamente todos los hombres (ni˜ nos y adultos) del proyecto?

10. Un agricultor tiene dos cosechas de fruta, manzanas y peras. Cada una de estas cosechas es enviada a tres diferentes mercados. El n´ umero de unidades de la cosecha i que es enviada al mercado j se representa por aij en la matriz  A=

125 100 75 100 175 125

(b) ¿Cu´antos gramos de grasas consumen a diario todas las mujeres (ni˜ nas y adultas)?

 13. Mar´ıa y Ariel planean ir a comprar fruta para la semana pr´oxima. Cada uno de ellos desea comprar algunas manzanas, naranjas y toronjas, pero en diferentes cantidades. La tabla 1 enumera lo que piensa adquirir. Existen dos mercados de fruta en las cercan´ıas (el de Don Jos´e y el Don To˜ no) y sus precios se proporcionan en la tabla 2. ¿Cu´ anto costar´a a Mar´ıa y a Ariel hacer sus compras en cada uno de los dos mercados?

La ganancia por unidad es representada por la matriz B = [$3.50 $6.00]. Determine el producto BA y explique qu´e representa cada elemento de este producto. 11. Un fabricante de muebles produce sillas y mesas que deben pasar por un proceso de armado y uno de acabado. Los tiempos necesarios para estos procesos est´an dados (en horas) por la matriz Proceso de armado



Mar´ıa Ariel

Proceso de acabado

2 3

A =

Tabla 1



2 4

Silla Mesa

Tabla 2

Manzanas Toronjas Naranjas

El fabricante tiene una planta en Chorrillos y otra en Ate. Las tarifas por hora de cada proceso est´a dadas (en d´olares) por matriz Chorrillos

Ate

 B =

9 10

10 12



A =

120 200



15. Una empresa de fotograf´ıa tiene una tienda en cada una de las siguientes ciudades: Lima, Trujillo y Arequipa. Cierta marca de c´amara est´a disponible en los modelos autom´atico, semiautom´atico y manual. Adem´as, cada una tiene una unidad de flash correspondiente, la cual se vende por lo general junto con la c´amara. Los precios de venta de las c´ amaras y de las unidades de flash est´an dados (en d´ olares) por la matriz

Hombres Mujeres

El n´ umero de gramos de prote´ınas, grasa y carbohidratos que consume cada ni˜ no y adulto est´a dada por la matriz Prote´ınas Grasas

 B =

20 10

20 20

Carbohidratos

20 30



Don To˜ no S/0.15 S/0.30 S/0.20

(b) Emplear la multiplicaci´on de matrices para encontrar las cantidades que gastaron Mike y Dany.

Ni˜ nos

80 100

Don Jos´e S/0.10 S/0.40 S/0.10

Naranjas 10 5

(a) Represente la informaci´on dada en matrices.

12. Un proyecto de investigaci´ on nutricional tiene como base de estudio a adultos y ni˜ nos de ambos sexos. La composici´on de los participantes est´ a dada por la matriz



Toronjas 3 8

14. Mike fue a una tienda de departamentos y compr´ o6 pantalones, 8 camisas y 2 chaquetas. Dany compr´ o 2 pantalones, 5 camisas y 3 chaquetas. Si los panProceso de armado talones cuestan 5 d´ olares cada uno, las camisas 3 Proceso de acabado d´ olares cada una y las chaquetas 9 d´olares cada una.

¿Qu´e interpretaci´ on puede dar el fabricante a las entradas del producto de matrices AB?

Adultos

Manzanas 6 4

Autom´atico Adultos Ni˜ nos

 A = 2

200 50

SemiManual autom´atico  150 120 C´amara 40 25 Unidad de flash

ganancia por autom´ovil (en d´olares) se tabula por modelo en la matriz siguiente

El n´ umero de equipos (c´ amara y unidad de flash) disponibles en cada tienda est´ a dado por la matriz Lima

Trujillo

 B=

220  300 120

Enero  Modelo K 1000 Modelo R  2000 Modelo W 1500

Arequipa

180 250 320

 100 Autom´ atico  120 Semiautom´ atico 250 Manual

20 10

18. El n´ umero de calor´ıas quemadas por diferentes individuos con distintos pesos realizando diferentes tipos de ejercicios aer´obicos durante per´ıodos de 20 minutos se muestran en la matriz

Part´ıculas suspendidas

20 20

20 30



Producto P Producto Q



Andar en bicicleta  Trotar Caminar

Los reglamentos estatales y federales exigen la eliminaci´on de estos contaminantes. El costo diario por deshacerse de cada kilogramo de contaminante est´a dado (en d´olares) por la matriz Planta X



8 B = 7 15

10 4 9

136 159 79

 =A

(c) Explique el significado de BA y c´omo se aplica esta situaci´on.

17. Un fabricante de autom´ oviles de lujo tiene plantas en Lima, Arequipa y Trujillo. Produce tres modelos, y la producci´ on diaria se presenta en la matriz siguiente.

Lima 12 Arequipa  4 Trujillo 8

109 127 64

(b) Encuentre el producto AB.

(b) ¿Qu´e interpretaci´ on puede dar el fabricante a las entradas de AB?

Modelo R

Persona 150 lbs

(a) En una matriz B, organice las cantidades de tiempo gastadas en ejercitarse.

(a) Calcular AB.



Persona 120 lbs

Una persona de 120 lbs y otra de 150 lbs andan en bicicleta por 40 minutos, trotan por 10 minutos y caminan por 60 minutos.

Planta Y  Bi´ oxido de azufre 12 ´ n´ıtrico 9  Oxido Particulas suspendidas 10

Modelo K

=B

i. ¿cu´al fue la ganancia diaria en enero en la planta de Arequipa? ii. ¿Cu´al fue la ganancia diaria por las tres plantas en febrero?

16. Un fabricante elabora los productos P y Q en dos plantas, X y Y. Durante la fabricaci´ on emiten los contaminantes bi´ oxido de azufre, ´ oxido n´ıtrico y part´ıculas suspendidas. Las cantidades de cada contaminaci´on est´ an dadas (en kilogramos) por la matriz

 A=



(b) Si suponemos que los veh´ıculos producidos se vendieron,

(b) ¿Cu´al es el valor total de las unidades de flash en Arequipa?

´ Oxido n´ıtrico

500 1200 1000

(a) Calcule AB.

(a) ¿Cu´al es el valor total de las c´ amaras en Lima?

Bi´ oxido de azufre

Febrero

Modelo W

 0 20  = A 12

Debido a los incrementos de los salarios, las ganancias de febrero fueron menores que las de enero. La 3