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• Vaquero Mendoza

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UG

C.S. Curso “PICS” 2016  Enero – Mayo  2016

Materia: Física

TAREA 7

TEMARIO: 1) Gasto y ecuación de continuidad 2) Ecuación de Bernoulli 3) Teorema de Torricelli 4) Ecuación de Poiseuille 5) Número de Reynolds

Referencias bibliográficas: 1) Beiser Arthur. Física Aplicada. (Schaum). Capítulo: 17 2) Blatt Franck. Fundamentos de Física. Capítulo: 11 3) Bueche Frederick J./Hetch Eugene Física General (Schaum). Capítulo: 14 4) Giancoli Douglas C. Física. Principios con aplicaciones. Capítulo: 10 5) Serway Raymond A./Vuille Chris/Faughn Jerry S. Fundamentos de Física. Volumen 1. Capítulo: 9 6) Tippens Paul E. Física Conceptos y Aplicaciones. Capítulo: 15 7) Wilson Jerry D./Buffa Anthony J. Física. Capítulo: 9 8) Young Hugh D./Freedman Roger A. (Sears y Zemansky).Física Universitaria. Volumen 1. Capítulo: 12

Revisión de conceptos: 1. Justificar, matemáticamente, la igualdad V/t = Av 2. ¿Cómo se explica el hecho de que se logre mayor distancia en el chorro de salida de una manguera cuando se obstruye parte de la boquilla? 3. ¿Cómo se expresa la ecuación de Bernoulli si el conducto está nivelado? 4. ¿Cómo se escribe la ecuación de Bernoulli si el conducto tiene el mismo calibre en toda su extensión? 5. A partir de la ecuación de Bernoulli, explicar cómo se sustenta un avión en el aire 6. Deducir el teorema de Torricelli a partir del teorema de Bernoulli

7. Si un recipiente que contiene un líquido tiene varias perforaciones a diferentes alturas. ¿Cómo se presentan las respectivas velocidades de salida? y, si varias las perforaciones se localizan, alrededor del recipiente, a la misma altura, ¿cómo se comportan las velocidades de salida? 8. ¿Cómo se define la viscosidad? 9. ¿Quiénes presentan viscosidad, sólidos, líquidos o gases? ¿Por qué? Explicar 10. ¿Cómo se comporta un flujo en los vasos sanguíneos del cuerpo humano, laminar o turbulento? ¿de qué depende?

La hidrodinámica se refiere a los fluidos en movimiento, para abordar este tema se toman en cuenta tres condiciones, ellas son: la incompresibilidad, el flujo laminar y el rozamiento nulo 1) Gasto y ecuación de continuidad El gasto, también llamado caudal, descarga, consumo, flujo o rendimiento es la cantidad de fluido circulante en una unidad de tiempo: Q = V/t, para simbolizarlo se emplean diferentes literales como: G, Q o R, otra expresión del mismo concepto es: G = Av, las unidades de medida son: unidad de volumen entre unidad de tiempo NOTA: “V” → volumen (mayúscula), “v” → velocidad (minúscula) Una aplicación del gasto está en la ecuación de continuidad que justifica el hecho de que el gasto debe mantenerse constante en todo el trayecto de un canal, tubo, río o manguera, como ecuación: A1v1 = A2v2 o V/t = Av Ejemplo: ¿Qué sección debe tener un ducto de calefacción, si el aire que se mueve en su interior a 3 m/s debe sustituir el aire de una habitación de 300 m 3 cada 15 minutos? Solución: Ecuación de continuidad: Av = V/t A = V/vt A = 300 m3(2)/[(3 m/s)(900 s)] 15 min = 900 s A = 0.11 m2 Ejemplo: Experimentalmente se encuentra que de un tubo de diámetro interno 7 mm salen 250 cm3 en un tiempo de 41 s. ¿Cuál es la velocidad promedio del fluido en el tubo? Solución: Ecuación de continuidad: Av = V/t

v = V/(At)* Conversiones: 7 mm(1 m/1X103 mm) = 7X10-3 m 250 cm3(1 m3/1X106 cm3) = 250X10-6 m3 = 2.5X10-4 m3 Cálculo del área: A = d2/4 A = (3.14)(7X10-3 m)2/4 A = (3.14)(4.9X10-5 m2)/4 A = 3.8465X10-5 m2 *v = V/(At) v = 2.5X10-4 m3/[(3.8465X10-5 m2)(41 s)] v = 2.5X10-4 m3/(1.577X10-3 m2 s) v = 0.158 m/s Ejemplo: Una tubería de 14 cm de diámetro, surte agua a través de tubos intermedios, hasta llegar a una llave de 1 cm de diámetro, si la velocidad de salida en la llave es de 3 cm/s, ¿cuál es la velocidad del líquido en la tubería? Solución: Ecuación de continuidad: A1v1 = A2v2 Diámetro (1) = 14 cm, diámetro (2) = 1 cm y velocidad (2) = 3 cm/s v1 = A2v2/A1 v1 = v2[A2/A1] [A2/A1]  [(d2)2/(d1)2] (1 cm)2/(14 cm)2 1 cm2/196 cm2 = 5.1X10-3 v1 = v2[A2/A1] v1 = (3 cm/s)[5.1X10-3] v1 = 0.0153 cm/s Nota: la razón entre áreas es A2/A1 = (d22/4)/(d12/4), al dividir  y 4; (d22/)/(d12/) = (d22)/(d12), entonces, A2/A1 equivale a d22/d12

2) Teorema de Bernoulli Esta ecuación describe el comportamiento de un fluido que circula por un conducto. La descripción se caracteriza por tres variables: a) la presión b) la velocidad y c) la altura. La ecuación o teorema de Bernoulli, se expresa, en general, de la siguiente manera: P1 + ½v12 + gh1 = P2 + ½v22 + gh2 Ejemplo: Por el sistema de calefacción de una casa circula agua caliente que es bombeada, desde el sótano, a una velocidad de 0.5 m/s, por un tubo de 4 cm de diámetro y con una presión de 3 atmósferas. Determine la velocidad y la presión en N/m2, en un tubo de 2 cm de diámetro colocado en el primer piso a 5 m por encima del sótano

Solución: Datos: P = 3 atm = 303 900 N/m2;  = 1 000 kg/m3; v1 = 0.5 m/s, d1 = 4 cm, h1 = 0 m (sótano), d2 = 2 cm, h2 = 5 m (primer piso). Por encontrar: v’ y P’ Cálculo de áreas: A1 = (4 cm)2/4; A2 = (2 cm)2/4 Ecuación de continuidad: A1v1 = A2v2; A1v1/A2 = v2 [(4 cm)2/4](0.5 m/s)/[(2 cm)2/4] = v2 [(4 cm)2](0.5 m/s)/[(2 cm)2] = v2 [16 cm2](0.5 m/s)/[4 cm2] = v2 2 m/s = v2 Ecuación de Bernoulli: P1 + ½v12 + gh1 = P2 + ½v22 + gh2 P1 + ½v12 + gh1 – ½v22 – gh2 = P2 303 900 N/m2 + ½(1 000 kg/m3)(0.5 m/s)2 + (1 000 kg/m3)(9.8 m/s2)(0 m) – → → ½(1 000 kg/m3)(2 m/s)2 – (1 000 kg/m3)(9.8 m/s2)(5 m) = P2

303 900 N/m2 + 125 N/m2 + 0 N/m2 – 2 000 N/m2 – 49 000 N/m2 = P2 253 025 N/m2 = P2 Ejemplo: El agua de suministro tiene una presión de 354.55 kPa, en el troncal de distribución y pasa a un edificio de oficinas a una velocidad de 0.6 m/s, por una tubería de 5 cm de diámetro. Los tubos se estrechan, conforme se encuentran más elevados, hasta llegar a un diámetro de 2.6 cm, en ese punto la presión es de 107.288 kPa, encontrar la velocidad y la altura correspondientes Solución: Cálculo de las áreas: A1 = (5 cm)2/4; A2 = (2.6 cm)2/4 Ecuación de continuidad: A1v1 = A2v2; A1v1/A2 = v2 [(5 cm)2/4](0.6 m/s)/[(2.6 cm)2/4] = v2 [(5 cm)2](0.6 m/s)/[(2.6 cm)2] = v2 [25 cm2](0.6 m/s)/[(6.76 cm2] = v2 2.21 m/s = v2 Datos: h1 = 0 m, v1 = 0.6 m/s, P1 = 354.55 kPa, v2 = 2.21 m/s, P2 = 107.288 kPa  = 1 000 kg/m3, g = 9.8 m/s2. Incógnita: h2 Ecuación de Bernoulli: P1 + ½v12 + gh1 = P2 + ½v22 + gh2 [P1 + ½v12 + gh1 – P2 – ½v22]/g = h2, [354.55 kPa + ½(1 000 kg/m3)(0.6 m/s)2 + (1 000 kg/m3)9.8 m/s20 m→ → → → – 107.288 kPa – ½(1 000 kg/m3)2.21 m/s2]/[ (1000kg/m3)(9.8m/s2)] = h2

Resultados parciales: [354.55 kPa+(500kg/m3)(0.36m2/s2)+0 Pa – 107.288 kPa – (500kg/m3)4.88m2/s2] = h2 (9800 N/m3)

[354.55 kPa + 0.18 kPa + 0 Pa – 107.288 kPa – 2.44 kPa] = h2 9800 N/m3 245.002 kPa/9 800 N/m3 = h2 1 kPa = 1 000 N/m2

245 002 N/m2/9 800 N/m3 = h2 25 m = h2 Ejemplo: Un tubo completamente horizontal, conduce gasolina ( = 680 kg/m3), en una primera sección, donde el diámetro interno es de 6 cm el líquido circula a 2 m/s y la presión manométrica es de 180 kPa. En otro segmento, el diámetro interno del tubo es de sólo 2 cm. Calcular la velocidad y la presión en el segundo tramo de tubo Solución: Tubo horizontal: h1 = h2, en consecuencia, gh1 = gh2 P1 + ½v12 + gh1 = P2 + ½v22’ + gh2 P1 + ½v12 = P2 + ½v22 Cálculo de áreas: A1 = (6 cm)2/4; A1 = (36 cm2)/4; A1 = (9 cm2) A2 = (2 cm)2/4; A2 = (4 cm2)/4; A2 = (1 cm2) Ecuación de continuidad: A1v1 = A2v2; A1v1/A2 = v2 [(9 cm2)][2 m/s]/(1 cm2) = v2 18 m/s = v2 Cálculo de la presión dos: P1 + ½v12 = P2 + ½v22; P1 + ½v12 – ½v22 = P2 P1 + ½[v12 – v22] = P2 180 kPa + ½(680 kg/m3)[(2 m/s)2 – (18 m/s)2] = P2 180 kPa + ½(680 kg/m3)[4 m2/s2 – 324 m2/s2] = P2 180 kPa + ½(680 kg/m3)[ – 320 m2/s2] = P2 180 kPa – 108 800 Pa = P2 180 kPa – 108.8 kPa = P2 71.2 kPa = P2 71 200 N/m2 = P2

3) Teorema de Torricelli El teorema de Torricelli es un caso especial de la ecuación de Bernoulli y mide la velocidad de escape de un fluido confinado en un recipiente que sufre una perforación, en una cara lateral o tiene una compuerta de salida (grifo), el mencionado teorema tiene como ecuación: v = (2gh) Ejemplo: ¿Cuál es el flujo de agua en un grifo de 2 cm de diámetro interno, si la altura del depósito de almacenamiento es de 10 m? Solución: Cálculo del área: A = d2/4 2 cm = 2X10-2 m A = (3.14)(2X10-2 m)2/4 A = (3.14)(4X10-4 m2)/4

A = 3.14X10-4 m2 Teorema de Torricelli: v = (2gh) v = (2[9.8 m/s2][10 m]) v = (196 m2/s2) v = 14 m/s Flujo, gasto, rendimiento o descarga: Q = Av Q = (3.14X10-4 m2)(14 m/s) Q = 4.396X10-3 m3/s 1 litro = 1X10-3 m3 Q = 4.396 litro/s Ejemplo: ¿Qué volumen de alcohol ( = 790 kg/m3) se escapa en un minuto de la boca de un tubo en forma de “L” que tiene 2.2 cm de diámetro interior y la altura del líquido dentro de él alcanza 45 cm? Solución: Diámetro = 2.2 cm, radio = 1.1 cm = 0.011 m, altura = 45 cm = 0.45 m, 1 minuto = 60 s Cálculo de la velocidad: v = (2gh) v = (2[9.8 m/s2][0.45 m]) v = (8.82 m2/s2) v = 2.97 m/s Cálculo del área: A = r2 A = (3.14)(0.011 m)2; A = (3.14)(1.21X10-4 m2); A = 3.799X10-4 m2 Ecuación de continuidad: Av = V/t; Avt = V (3.799X10-4 m2)(2.97 m/s)(60 s) = V 0.067698 m3 = V 67.698 litro = V Ejemplo: Un tanque abierto en su parte superior contiene un líquido no viscoso, el cual escapa por una abertura de 0.5 cm2 con un gasto de 0.35 litro/s. Encuentre la altura del nivel del líquido por encima de la abertura Solución: Conversiones: G = 0.35 litro/s(1 m3/1 000 litro) = 3.5X10-4 m3/s A = 0.5 cm2(1 m2/10 000 cm2) = 5X10-5 m2 Cálculo de la velocidad: G = Av; G/A = v 3.5X10-4 m3/s/5X10-5 m2 = v 7 m/s = v Teorema de Torricelli: v = (2gh) [v]2 = [(2gh)]2 v2 = 2gh v2/2g = h

(7 m/s)2/2(9.8 m/s2) = h 49 m2/s2/19.6 m/s2 = h 2.5 m = h

La viscosidad de un fluido se cuantifica a través de un coeficiente, llamado precisamente coeficiente de viscosidad y se simboliza con . El mencionado coeficiente proviene de dividir el esfuerzo de corte, E = F/A, entre la razón de corte. La razón de corte es una consecuencia del flujo laminar y se calcula como: la rapidez entre “láminas” (superior e inferior), entre la distancia que las separa, matemáticamente, razón de corte = v/L; por tanto el coeficiente de viscosidad (), queda establecido como:  = (F/A)/(v/L) = FL/Av Las unidades de medida para dicho coeficiente son: Pascal por segundo (Pa∙s), aunque existen unidades derivadas específicas como son: el Poiseuille (Pl); el poise (P) y el centipoise (cP), donde, 1 Pa∙s = 1 Pl = 10 P = 1X103 cP

4) Ley de Poiseuille Esta ley nos permite calcular el rendimiento, caudal, gasto o flujo, a partir de la viscosidad del fluido, la diferencia de presiones, así como el radio y la longitud del tubo conductor: Q = {r4(P1 – P2)}/8L Ejemplo: ¿Cuánta agua fluirá en 30 s a través de un tubo capilar de 200 mm y 1.5 mm de diámetro interior, si la diferencia de presión a lo largo del tubo es de 5 cm de mercurio? La viscosidad del agua es de 0.801cP y la densidad del mercurio es de 13 600 kg/m3 Solución: Longitud = 200 mm = 0.2 m Diámetro = 1.5 mm = 1.5X10-3 m; Radio = 0.75X10-3 m = 7.5X10-4 m Coeficiente de viscosidad: () = 0.801 cP = 8.01X10-4 Pas Altura = 5 cm = 0.05 m Cálculo de la presión (cambio en la presión): P = gh P = (13 600 kg/m3)(9.8 m/s2)(0.05 m) P = 6 664 N/m2. Ecuación de Poiseuille: Q = {r4(P1 – P2)}/8L Q = [7.5X10-4 m4(6 664 N/m2)]/[8(8.01X10-4 Pas)(0.2 m)] Q = [(3.14)3.1640625X10-13 m4)(6 664 N/m2)]/[8(8.01X10-4 Ns/m2)(0.2 m)] Q = [6.620788125X10-9 Nm2]/[1.2816X10-3 Ns/m] Q = 5.166X10-6 m3/s Flujo Q = V/t Qt = V

(5.166X10-6 m3/s)(30 s) = V 1.5498X10-4 m3 = 154.98 cm3 = V Ejemplo: Bajo la misma diferencia de presión, comparar el flujo de agua a través de un tubo con relación al flujo de aceite SAE No. 10, circulando por el mismo tubo,  para el agua 0.801 es cP;  para el aceite es 200 cP Solución: Ecuación de Poiseuille: Q = {r4(P1 – P2)}/8L, Sustancias por comparar: agua (w), aceite (o) Qw = {rw4(P1 – P2)w}/8wLw Qo = {ro4(P1 – P2)o}/8oLo Si (P1 – P2)w = (P1 – P2)o; rw4 = ro4; Lw = Lo Qw/Qo = [{rw4(P1 – P2)w}/8wLw]/[ {ro4(P1 – P2)o}/8oLo] Qw/Qo = [1/w]/[1/o] Qw/Qo = o/w Qw/Qo = 200 cP/0.801 cP Qw/Qo = 249.68 Ejemplo: La sangre ( = 1 040 kg/m3) de un animal se pone en una botella a 1.5 m, sobre una aguja de 3.8 cm de longitud y 0.4 mm de diámetro interior, si la sangre fluye a 4.1 cm3/min. ¿Cuál es la viscosidad de ese líquido hemático? Solución: Datos: Q = 4.1 cm3/min = 6.83X10-8 m3/s; d = 0.4 mm; r = 0.2 mm = 2X10-4 m; L = 3.8 cm = 3.8X10-2 m;  = 1 040 kg/m3; h = 1.5 m y g = 9.8 m/s2 Cálculo de la diferencia de presión: P1 – P2 = gh P1 – P2 = (1 040 kg/m3)(9.8 m/s2)(1.5 m) P1 – P2 = 15 288 N/m2 Ecuación de Poiseuille: Q = {r4(P1 – P2)}/8L;  = {r4(P1 – P2)}/8QL  = {(3.14)(2X10-4 m)4(15 288 N/m2)}/{8(6.83X10-8 m3/s)( 3.8X10-2 m)}  = {7.6806912X10-11 Nm2}/{2.07632X10-8 m4/s}  = 3.699X10-3 Ns/m2;  = 3.699X10-3 Pas

5) Número de Reynolds La importancia de este número es, que permite identificar el comportamiento del flujo, se tiene un flujo laminar si el número es menor o igual a 2 000 (Re ≤ 2 000), el flujo es turbulento si el número es mayor o igual a 3 000 (Re ≥ 3 000). Este valor también es aplicable para una esfera de diámetro “D” que se desplaza dentro de un fluido, en este caso el valor crítico del número de Reynolds es 10. El cálculo del número de Reynolds se realiza mediante la expresión: Re = 2vr/oRe = dv/

Ejemplo: Una tubería de 4 cm de diámetro se utiliza para conducir un combustible derivado del petróleo (= 820 kg/m3,  = 1.35 Pas). ¿Qué velocidad debe llevar para mantenerse en el límite del flujo laminar? Solución: El límite del flujo laminar corresponde a Re = 2 000 Ecuación del número de Reynolds: Re = 2vr/; Re/2r = v [(2 000)(1.35 Pas)]/[2(820 kg/m3)(2X10-2 m)] = v; [2 700 kgms/m2s2]/[32.8 kgm/m3] = v 82.317 m/s = v Ejemplo: Durante un ejercicio violento, la velocidad de flujo de la sangre aumenta quizá en un factor de 2, considerando que la velocidad normal es de 30 cm/s en la aorta con r = 1 cm, siendo la densidad de la sangre 1 050 kg/m 3 y su coeficiente de viscosidad 4X10-3 Ns/m2. Calcule el número de Reynolds y determine el tipo de flujo que se presenta Solución: v = 2(30 cm/s) = 60 cm/s = 0.6 m/s; r = 1 cm = 0.01 m; = 1 050 kg/m3 y  = 4X10-3 Ns/m2 Número de Reynolds: Re = 2vr/ Re = [2(0.6 m/s)(0.01 m)(1 050 kg/m3)]/4X10-3 Ns/m2 Re = 12.6 kg/ms/4X10-3 kgms/s2m2, Re = 3 150, por el valor de este número se deduce que el flujo es turbulento Ejemplo: A través de un tubo cuyo diámetro interior es de 3 mm, fluye agua a 20 0C, con una rapidez de 1.5 m/s. La viscosidad del agua a la mencionada temperatura es de 1X10-3 Pl. a) Determinar la naturaleza del flujo en el tubo, b) Calcular la velocidad máxima para el caso de un flujo laminar en el tubo Solución: d.i. = 3 mm = 3X10-3 m; = 1X10-3 Pl = 1X10-3 Pas a) Re = dv/ Re = [(3X10-3 m)(1.5 m/s)(1 000 kg/m3)]/1X10-3 Pas Re = 4 500, el flujo es turbulento b) Re = dv/ Re = 2 000 (límite para flujo laminar) v = Re/d v = [(2 000)(1X10-3 Pas)]/[(3X10-3 m)(1 000 kg/m3)] v = [2 Ns/m2]/3 kgm/m3] v = 2/3 m/s

EJERCICIOS: 7-1. Un deportista tiene en su corazón la capacidad para bombear sangre con una potencia de 8.02 W, con una presión promedio de 140 mmHg. Indagar el flujo sanguíneo para el corazón 7-2. La sangre sale bombeada del corazón por un tubo de paredes gruesa (2 mm) llamado aorta, cuyo diámetro interior aproximado es de 18 mm, con una rapidez promedio, en un adulto en reposo, igual a 0.33 m/s. a) Calcule la tasa de descarga. La aorta se ramifica en unas 32 arterias principales, cada una aproximadamente del mismo calibre, de 4 mm de diámetro interior. b) Determine la rapidez de la sangre en el interior de esas arterias. Las ramas más delgadas del sistema son los capilares, de unos 8X10 -6 m de diámetro interior. c) Como el área transversal neta de los capilares es 2.5X105 mm2, ¿cuál es la rapidez del flujo en un capilar? 7-3. Por una manguera de 2.5 cm de diámetro, fluye gasolina con velocidad de 1.52 m/s. ¿Cuál es el gasto en m3/s? ¿Cuántos minutos son necesarios para llenar un tanque de 75.7 litro? 7-4. Un ducto, para descarga de una azotea, tiene un diámetro de 6.35 cm y se encuentra a una altura de 4.6 m, en posición horizontal. Si el flujo presente es de 28.3 litro/min. ¿Cuál es la velocidad de salida? ¿Cuál es el alcance del chorro de agua? 7-5. Una tubería de gas tiene una descarga de 1.176 m 3/s, en un segmento donde el radio es de 17.5 cm. ¿Qué velocidad tendrá en otro segemento donde el radio es el 40 % del anterior? 7-6. Una persona sufre de una dilatación en la aorta (aneurisma), ello hace que la velocidad del flujo sanguíneo disminuya en un 42 %, respecto a la velocidad en condiciones normales (0.38 m/s). Si el aumento del calibre es del 150 %, ¿cuál es la variación de la presión, si la persona se mantiene en posición horizontal? Densidad de la sangre 1 050 kg/m3 7-7. Un avión con masa de 40 000 kg y alas con área total de 120 m 2 vuela horizontalmente. ¿Cuál es la diferencia de presión entre las superficies superior e inferior de sus alas? 7-8. Debido a un aneurisma, la sección transversal de la aorta aumenta su valor en un 170 % La rapidez de la sangre ( = 1 060 kg/m3) a lo largo de una porción normal de la aorta es 0.4 m/s. Si se supone que la persona está acostada, determine por cuanto es mayor la presión en la región dilatada, respecto a la presión en la región normal 7-9. Por un orificio en el fondo de un depósito lleno de agua, con una altura de 4 m, sale un caudal de 50 litro/min. Calcular el caudal si sobre la superficie libre del agua se aplica una sobre presión de 4.9X104 N/m2

7-10. Hallar la velocidad teórica de salida de un líquido a través de un orificio situado 8 m por debajo de la superficie libre del mismo. Suponiendo que la sección del orifico vale 6 cm2, ¿qué volumen del fluido sale durante un minuto? 7-11. Calcular la velocidad teórica de salida de la vena de agua que fluye a través de un orificio, a 8 m por debajo de la superficie libre del líquido en un depósito de gran capacidad, sabiendo que en la citada superficie se ejerce una presión de 14.7 N/cm2 7-12. Un vaso capilar tiene 1 mm de longitud y 2 mm de radio. Si la diferencia de presión en sus extremos es de 20 torr, ¿cuál es la velocidad de flujo a través de un capilar? A temperatura ambiente la viscosidad de la sangre es 2X10 -3 Pl 7-13. Dentro de las arterias y venas se forman sedimentos internos que reducen el radio disponible. Si en un segmento de vaso sanguíneo se aprecia una disminución del 5 %. ¿En cuánto se tiene que aumentar la diferencia de presiones en la zona disminuida, para mantener la velocidad de flujo constante? 7-14. Una aguja hipodérmica se sustituye por otra que tiene la mitad de longitud y un tercio de diámetro. ¿En qué factor debe cambiar la diferencia de presión en la aguja para que su rapidez permanezca inalterada? 7-15. La aorta tiene un radio aproximado de 1.1 cm y la sangre que circula por ella presenta un flujo laminar (Re = 1 450), sabiendo que la densidad de la sangre a temperatura corporal normal es 1.05X103 kg/m3 y su coeficiente de viscosidad en las misma condición es 4X10-3 Ns/m2. Investigar la velocidad dentro de ese conducto sanguíneo 7-16. La sangre pasa a través de una arteria con diámetro de 1.5 cm. ¿Cuál deberá ser la rapidez mínima para que el flujo sea turbulento?  = 1 050 kg/m3;  = 1.7X10-3 Pl 7-17. La velocidad media de la sangre en la aorta (r = 1 cm.) durante la parte estacionaria del latido del corazón es de unos 30 cm./s. ¿Es laminar o turbulento el flujo? ( = 1.05X103 kg./m3; = 4X10-3 Ns/m2) SOLUCIONES TAREA 5 5-4. La ingestión diaria de alimentos de un hombre adulto equivale aproximadamente a 1.3X107 J. Si se supone el 100 % de eficiencia en su utilización, más o menos ¿a qué altura de una montaña podría subir un hombre de 80 kg con esa energía? Solución: La energía de los alimentos se transforma en energía potencial gravitacional EALIM = Epg = mgh; EALIM/mg = h

1.3X107 J/(80 kg)(9.8 m/s2) = h 1.3X107 J/784 N = h 16 581.632 m = h

5-7. Una esquiadora de 60 kg arranca del reposo en la parte alta (60 m) de una pendiente. Si desciende sin usar los bastones: a) ¿Cuál es su energía potencial gravitacional? b) Suponiendo fricción cero, ¿qué rapidez presenta al final del descenso? c) Si la rapidez en la parte baja es de 25 m/s, ¿cuál es la energía transferida al rozamiento? Solución: a) ¿Cuál es su energía potencial gravitacional? Epg = mgh Epg = (60 kg)(9.8 m/s2)(60 m) Epg = 35 280 J, al momento del arranque b) Suponiendo fricción cero, ¿qué rapidez presenta al final del descenso? NO hay (supuestamente) transferencia de energía al rozamiento, entonces, toda la energía potencial gravitacional (36 280 J), se transforma en energía cinética Epg = Ec = ½ mv2 [2Epg/m] = v [2(35 280 J/60 kg] = v [70 560 J/60 kg] = v [1 176 m2/s2] = v 34.29 m/s = v, si toda la energía potencial gravitacional se traduce en energía cinética c) Si la rapidez en la parte baja es de 25 m/s, ¿cuál es la energía transferida al rozamiento? Si la velocidad real es de 25 m/s, quiere decir que parte de la energía potencial gravitacional se aplicó en el movimiento y otra parte se transformó en trabajo para vencer el rozamiento Epg = Ec + W; Epg – Ec = W 35 280 J – ½ (60 kg)(25 m/s)2 = W 35 280 J – ½ (60 kg)(625 m2/s2) = W 35 280 J – 18 750 J = W 16 530 J = W, parte de la energía total invertida en rozamiento

5-9. Una pelota de béisbol de 145 g se lanza con velocidad de 25 m/s ¿Cuál es su energía cinética? ¿Cuánto trabajo se efectuó para alcanzar esa velocidad a partir del reposo? Solución: Ec = ½ mv2 Ec = ½ (0.145 kg)(25 m/s)2 Ec = (0.0725 kg)(625 m2/s2) Ec = 45.3125 J

Dado que Ec = W, el trabajo realizado es 45.3125 J 5-10. Una fuerza constante de 30 N se aplica, formando un ángulo de 25 0 con la horizontal, a un objeto de 25 kg, ¿Cuál es la velocidad del objeto después de un recorrido de 1.5 m? Solución: 30 N 250 25 kg

Fy Fx

La fuerza que produce el desplazamiento es Fx Fx = Fcos  Fx = (30 N)cos 250 = 27.189 N

1.5 m W = (27.189 N)(1.5 m) W = 40.7835 J El trabajo se transforma en energía cinética; W = Ec W = ½ mv2; [2W/m] = v [2(40.7835 J/25 kg] = v [81.567 J/25 kg] = v [3.26268 m2/s2] = v 1.806 m/s = v Opción: A partir del producto escalar de vectores W = F·s = Ec (F)(s)cos  = ½ mv2; [2{(F)(s)cos }/m] = v [2{(30 N)(1.5 m)cos 250}/25 kg] = v [{(90 J)(0.9063)}/25 kg] = v [81.5677 J/25 kg] = v [3.2627 m2/s2] = v 1.806 m/s = v

5-17. R. H. Goddard lanzó en 1935, uno de sus primeros cohetes con un motor de 889.6 N de empuje, ¿cuánta potencia transfirió el motor al cohete al viajar a 1 130 km/h? Solución: Conversión: 1 130 km/h(1 000 m/1 km)(1 h/3 600 s) = 313.88 m/s P = W/t; W = Fs; P = Fs/t; P = F(s/t); s/t = v; P = Fv P = (889.6 N)(313.88 m/s) P = 279 227.648 W = 374.299 hp

5-21. Una varilla metálica de 12 m está sometida a una deformación de compresión de – 0.0004. ¿Cuál es la nueva longitud de la varilla? Solución:

Deformación de compresión (longitud)  = L/L0; L0 = L (– 0.0004)(12 m) = L – 0.0048 m = L Lf = L0 + L Lf = 12 m + (– 0.0048 m) Lf = 11.9952 m

5-22. El hueso de la pierna humana, el fémur, en su parte más angosta, se parece a un cilindro hueco con radio exterior aproximado de 1.1 cm y radio interior equivalente a la mitad del anterior. Suponiendo que la resistencia del hueso a la compresión es 170 MPa, ¿cuánta fuerza se requiere para romperlo? Solución: Radio exterior 1.1 cm = 1.1X10-2 m; radio interior (la mitad del exterior) 0.55 cm = 5.5X10-3 m; resistencia a la compresión 170 MPa = 170X106 N/m2 Cálculo del área (corona circular) A = (re2 – ri2) A = 3.14[(1.1X10-2 m)2 – (5.5X10-3 m)2] A = 3.14[1.21X10-4 m2 – 3.025X10-5 m2] A = 3.14[9.075X10-5 m2] A = 2.84955X10-4 m2 Resistencia a la compresión = F/A; A(Resistencia a la compresión) = F (2.84955X10-4 m2)(170X106 N/m2) = F 48 442.35 N = F

5-23. El colágeno tiene resistencia última a la tensión igual a 60 MPa. ¿Qué carga máxima puede sostener una fibra cuya área transversal es de 1X10 -6 m2? Solución: Resistencia última (resistencia límite) R.L. = F/A; R.L.(A) = F R.L. = 60 MPa = 60X106 N/m2 (60X106 N/m2)(1X10-6 m2) = F 60 N = F

5-25. La resistencia a la compresión, y la deformación unitaria máxima de la corona de un diente humano son 150 MPa y 2.3 %, respectivamente, si se supone que la corona se comporta elásticamente, determine su módulo de elasticidad Solución: Resistencia a la compresión = Esfuerzo:  = F/A = 150 MPa = 150X106 N/m2 Deformación unitaria:  = L/L0 = 2.3 % = 0.023 Módulo elástico: E = /; E = 150X106 N/m2/0.023 E = 6 521 739 130 N/m2 = 6.52X109 N/m2 = 6.52 GPa