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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS F AC UL T AD D E I N G E NI E R I A SYLLABUS FACULTA DE INGENIERIA NOMBRE DEL DOCENTE: ESPACIO ACADÉMICO : VARIABLE COMPLEJA Obligatorio ( X ) : Básico ( X ) Complementario ( ) Electivo (

) : Intrínsecas ( ) Extrínsecas (

)

NUMERO DE ESTUDIANTES:

CÓDIGO: 24 GRUPOS: 1 y 3

NÚMERO DE CREDITOS: 2 TIPO DE CURSO: Alternativas metodológicas:

TEÓRICO X

PRACTICO

TEO-PRAC:

Clase Magistral (X ), Seminario ( ), Seminario – Taller ( ), Taller (X ), Prácticas ( X), Proyectos _ tutoriados ( X ), Otro:

HORARIO: DIA

HORAS

SALON

I. JUSTIFICACIÓN DEL ESPACIO ACADÉMICO El estudió del análisis complejo es muy importante en la ingeniería ya que no sólo da herramientas o algoritmos para resolver problemas, sino que a la vez es un lenguaje útil para representar modelos teóricos de algunos fenómenos físicos propios de la ingeniería que por lo general involucran temáticas concernientes con el campo de la variable compleja. El curso plantea abordar herramientas importantes del análisis complejo para el ingeniero, ya que en este se desarrollan: el concepto básico de función analítica, series, teoría del residuo y transformada Z. En la asignatura el estudiante aprenderá los temas anteriores para el estudio en señales e imágenes, sistemas de control, circuitos eléctricos, aplicaciones de sistemas dinámicos y otros temas relacionados con aplicaciones de la matemática en el área 1

de la ingeniería.

PROGRAMACION DEL CONTENIDO II. OBJETIVO GENERAL Plantear con argumentos validos, analizando y proponiendo alternativas de solución a problemas en el campo de la ingeniería desde el punto de vista matemático, aplicando no solo sus conocimientos sino haciendo uso de su creatividad, ingenio y recursos disponibles. Utilizar las analogías del cálculo elemental y del algebra lineal en el estudio de conceptos del análisis complejo que permitan al estudiante de ingeniería analizar, plantear

y resolver

modelos que requieren el manejo de la variable compleja, a partir de la comprensión de los conceptos básicos: de derivada e integrales de funciones analíticas, series, residuos y polos y transformada Z en diferentes situaciones que se presentan en ingeniería. Con el estudio de la variable compleja se pretende: 1. Fomentar en el estudiante el hábito de complementar sus conocimientos con una correcta utilización y

un uso óptimo de las fuentes de información como estrategia

para su formación 2. Propiciar en el estudiante acciones concretas para que pueda expresar sus ideas matemáticas mediante el uso de un lenguaje simbólico adecuado.

III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Desarrollar la habilidad para aplicar las ideas fundamentales de la variable compleja tales como el teorema de Cauchy y el teorema del residuo a problemas matemáticos aplicados a la Ingeniería. 2. Fundamentar en los estudiantes el concepto de función analítica, resaltando sus propiedades como mapeo o transformación y los criterios (ecuaciones de CauchyRiemann, series de Laurent). para la identificación de este tipo de funciones. 3. Calcular las series de Taylor y su expansión a series de Laurent de funciones complejas. 4. Definir y estudiar la transformada Z y su aplicación a ecuaciones en diferencias finitas, análisis de las señales y sistemas lineales de tiempo discreto. 5. Comprender la importancia de los modelos matemáticos con la computación. 2

IV. COMPETENCIAS DE FORMACION General: Se espera que a través del curso el estudiante domine e interprete el lenguaje matemático, desarrolle

competencias genéricas instrumentales que le permitan diseñar,

resolver y expresar situaciones que se presentan en su vida cotidiana y en el entorno profesional. Específicas: Al finalizar el curso el estudiante: 1. Desarrolla habilidades y destrezas de la aritmética y algebra del campo de los complejos. 2. Argumenta y justifica las funciones analíticas mediante problemas prácticos y teóricos específicos de las diferentes áreas de actividad de su profesión, usando lenguaje y simbología apropiada para las representaciones que requiera. 3. Reconoce y aplica modelos matemáticos con la computación a problemas que describen variaciones y cambios. 4. Relaciona el concepto de integración compleja con los teoremas importantes de la teoría de residuos y realiza el cálculo de residuos. V. PROGRAMA SINTETICO Unidades Temáticas I. Campo de los números complejos 1. Definición, representación geométrica, sumas y productos de números complejos. 2. Vectores, módulo, complejo conjugado y propiedades. 3. Forma exponencial, productos y potencias. 4. Argumentos de productos y cocientes. 5. Raíces de los números complejos. 6. Regiones en el plano complejo. II. Funciones Analíticas 1. Funciones de variable compleja. 2. Mapeos. 3. Límites, continuidad, y derivadas. 4. Ecuaciones de Cauchy - Riemann. 5. Funciones analíticas. 6. Ecuaciones de Cauchy-Riemann en Coordenadas polares. 7. Funciones Armónicas

3

III. Funciones Elementales. 1. Función Exponencial. 2. Función Logarítmica. 3. Ramas y derivadas de los logaritmos. 4. Exponentes complejos. 5. Funciones trigonométricas. 6. Funciones Hiperbólicas. IV. Integrales 1. Integrales de contorno. 2. Integrales con corte de rama. 3. Cotas superiores para el módulo de integrales de contorno. 4. Teorema de Cauchy- Goursat. 5. Dominios múltiplemente conectados. 6. Formula integral de Cauchy. 7. Teorema de Liouville y teorema fundamental del algebra. V. Series 1. Convergencia de sucesiones y series. 2. Series de Taylor. 3. Series de Laurent. VI. Residuos y Polos. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Puntos singulares aislados. Residuos. Teorema de del residuo de Cauchy. Residuos y polos. Ceros de funciones analíticas Evaluación de integrales impropias

VII. Transformada Z 1. Definición y propiedades de la transformada Z 2. Transformada inversa. 3. Ecuaciones en diferencias. 4. Aplicaciones al procesamiento de señales. VI. METODOLOGÍA PEDAGÓGICA Y DIDÁCTICA La metodología del curso requiere que el estudiante realice la lectura previa de cada tema de clase. El docente inicialmente evaluará la lectura previa por medio de quices al iniciar la 4

semana de clases, estos tendrán preguntas referentes a los temas a tratar para después ser desarrollados y aclarados por el docente, utilizando como ayuda didáctica el tablero, el texto y las guías de clase. Cada tema estará acompañado de una exposición teórica y ejemplos de aplicación suficientes de manera que aclaren el por qué de los conceptos teóricos dados. Se buscará una alta participación de los estudiantes a través de talleres individuales y grupales realizados en la clase y fuera de ella, los cuales tendrán relación directa con los temas teóricos tratados en el curso, haciendo uso de la lectura previa y de la tecnología. De igual forma se propone la realización de discusiones grupales en torno a problemas específicos, realizando evaluaciones periódicas con el fin de llevar el seguimiento constante sobre los progresos y dificultades en el proceso formativo del estudiante. Los estudiantes podrán disponer de espacios para asesoría por parte del profesor en los casos que así lo requieran. Hora s

Horas profesor/sem

Horas Estudiante/sem

Total Horas Estudiante/sem

Tipo de Curso

TD

TC

TA

(TD + TC)

(TD + TC +TA)

X 16 semanas

Asignatura

5

1

3

6

9

144

Créditos

3

Trabajo Presencial Directo (TD): Se desarrollará por parte del docente en clase presencial los contenidos mínimos del curso. Trabajo Mediado Cooperativo (TC): Se desarrollarán semanalmente 2 horas de clase alrededor de las temáticas trabajadas en la semana. Se sugiere desarrollar 2 o 3 proyectos a lo largo del semestre. En este espacio se espera que el docente oriente a los estudiantes en el desarrollo de su proyecto, resolviendo dudas, planteando inquietudes entorno a la temática del proyecto. Trabajo Autónomo (TA): El docente asignará temas específicos que complementarán el trabajo desarrollado en clase, el estudiante es responsable de esta actividad. VII. RECURSOS Medios y Ayudas: El curso requiere de espacio físico (aula de clase); Recurso docente, recursos informáticos (página de referencia del libro, CD de ayuda del mismo, Recursos bibliográficos (revistas especializadas), retroproyector, videobeam, televisor, computadores (salas). Practicas especificas: Laboratorios sobre límites y derivadas a través de alguna herramienta informática.

VIII. BIBLIOGRAFÍA - TEXTOS GUÍAS 5

AUTOR (ES)

TITULO

Editorial

Tipo*

James Ward Brown/ and

Complex

and McGraw- Hill

8ª edición

TG

Ruel V. Churchill

applications

Saff, Edward B., and

Fundamentals of complex Prentice hall Analysis with applications to

3ª edición

TC

con Addison– W esley 2ª edición

TC

Arthur David Snider.

Variables

Edición y/o año

engineering,

science,

and

Mathematics. A. David W unsch Arthur A. Hauser, Jr.

Variable

Compleja

Aplicaciones.

Iberoamericana

Variable Compleja

Fondo Educativo Única

,

TA

Interamericano.

Spiegel, Murray R.

Variable Compleja

Peter V. O’ Neil

Matemáticas

McGraw- Hill Avanzadas Limusa.

Única 5ª edición

TC TC

para Ingeniería

   

TG: TC: TR: TA:

Texto Guía. Texto Consulta. Texto Referencia. Texto Adicional.

DIRECCIONES DE INTERNET 1. http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/#undergrad 2. http://www.math.utah.edu/~cherk/teach/3160.html 3. http://www.cambridge.org/us/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521534291 ORGANIZACIÓN / TIEMPOS Espacios, Tiempos, Agrupamientos: El espacio académico contempla horas de trabajo directo, trabajo colaborativo y trabajo autónomo; las temáticas se desarrollarán por unidades programadas por semana; el trabajo directo se realizará a partir de

exposiciones del docente, que

permitan el planteamiento de problemas y su posible solución práctica. La práctica en laboratorio (trabajo colaborativo), será abordada grupalmente y desarrollará temáticas y/o el tratamiento de problemas

previamente establecidos, con el

acompañamiento del docente. El estudiante desarrollará el trabajo autónomo de acuerdo con criterios previamente establecidos en términos de contenidos temáticos y problemas planteados. IX. EVALUACIÓN

6

ASPECTOS A EVALUAR DEL CURSO 1. Evaluación del desempeño docente. 2. Evaluación de los aprendizajes de los estudiantes en sus dimensiones: individual/grupo, teórica/práctica, oral/escrita. Examen Final Conjunto con la Facultad que corresponde al 30% de la nota definitiva. 3. Autoevaluación y Coevaluación del curso: de forma oral entre estudiantes y docente.

TIPO DE EVALUACIÓN

EXAM. FINAL

Semana

1

2

3

4

Examen final conjunto: Se evalúa el conocimiento sobre las competencias finales adquiridas por el estudiante.

PORCENTAJE

30%

X. PROGRAMA COMPLETO (PARCELACIÓN SUGERIDA) Temas a tratar Secciones Ejercicios  Sumas, producto y módulo.  Conjugado, forma exponencial, productos y potencias de forma exponencial.  Argumentos de productos y cocientes  Raíces, regiones en el plano.

8.

Pag 5: 2,10,11 Pag 7: 1, 7 y 8. Pag 12: 3, 5 ,6. Pag 15: 1, 2,13,14,15. Pag 23: 1,6,9,10. Pag 30: 2,3,4,6,8.

9,10,11.

Pag 33: 1,2,5

 Funciones de variable compleja.

 Mapeos.  Limites, continuidad, derivadas

12. 13, 14. 15,16,17,18.

      

21. 23. 24. 26 29 30 31,32

Pag 37: 1,2,3,4. Pag 44: 1,2,3,5,7,8. Pag 55: 1,3,5,10 Pag 62: 1,2,3,7,8,9. Pag 72: 4,6,7,8,10. Pag 77: 4,5,6,7. Pag 82:1,2,3,7,8,9,11.

  

5y6

FECHA

  

Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Coordenadas polares. Funciones analíticas. Funciones armónicas. Función exponencial Función logaritmo. Ramas y derivadas de logaritmos, Identidades. Exponentes complejos. Funciones trigonométricas. Funciones hiperbólicas, inversa de funciones trigonométricas e hiperbólicas. Derivadas de funciones w(t), Integrales definidas. Contornos, integrales de contorno. Ejemplos con corte de ramas. Antiderivadas. Teorema de Cauchy-Goursat.

1,2,3, y 4. 5,6, y 7.

33,34 35,36.

37,38 39,40

Pag 92: 1,8,10,12. Pag 97:2,3,6,9,11. Pag 100:1,2,3. Pag 103: 2,5,8. Pag 108: 3,4,8,915,16 Pag 111: Pag 114: Pag 121: Pag 125: Pag 135: Pag 149:

11, 13,15,16 1,2,3,6. 2,3,5. 1,2,5,6. 1,3,4,6,10. 1,2,3,5

41,42 44,46

7



6y7

   

7y8

9 y 10

   

12 y 13

48,49 50 53,54

Pag 161: 1,2,4,5,6 Pag 170: 1,2,7 Pag 179: 1,3 9.

56,57 59 60

Pag 188: 1,2,3,4 Pag 195: 1,2,3,6,7,11 Pag 205: 1,2,3,5,7,9 Pag 219:1,2,3,4.

65 68,69



Punto singular aislado, residuos. Teorema del residuo de Cauchy, residuo de f en el infinito. Tres tipos de singularidades aisladas Residuos y polos. Ejemplos

 

Ceros de funciones analíticas Polos y ceros.

75 76

Pag 255: 1,2,3,4,5,6, 7,8



Calculo de integrales impropias. Ejemplos Integrales impropias del análisis de Fourier. Transformada inversa de Laplace. Ejemplos.

78,79

Pag 267: 1,3,5,7,8 Pag 275: 1,3,5,7 Pag 306: 1,2,3,4,5.



11

Dominios simple y múltiplemente conexos. Formula integral de Cauchy. Teorema de Liouville y teorema fundamental del algebra. Principio del módulo máximo Convergencia de series, Series de Taylor. Ejemplos Series de Laurent. Ejemplos Integración y derivación de series de potencias

 

70,71

Pag 239:1,2,3 Pag 243: 1,2,3,4,5 Pag 248: 1,2,3,5,6.

72 73,74

80 88,89

TRANSFORMADA Z  

14

  

15 y 16

 

Texto: Complex Analysis for Mathematics and Engineering. Authors: John H. Mathews and Russell W. Howell Transformada Z, definición, propiedades Inversa de la Transformada Z Tabla de transformada Z. Ecuaciones en diferencia finitas primer y segundo orden Filtros de señales digitales.

9.1

Pag 365: 1,3,5,7,9, 10,13,

9.2

Pag 371: 1,2,3,5,7,9 Pag391: 1,2,3,4,5,6,7.

9.3

 Los tres parciales se programan en las semanas 5, 10 y 15. .

8