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• Juan Comesatti

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Surfeando dentro del Hiperespacio Entendiendo Universos Superiores en Seis Fáciles Lecciones

Clifford A. Pickover

1999

Versión en español: Sargont (2019)

SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO

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reconocimientos y declaraciones

¿Te consideras sólo una forma insignificante cuando dentro de ti el universo está doblado? ―Baha’u’llah citando al Imán Ali, el primer Imán chiíta

Tengo una deuda especial de gratitud con el matemático Dr. Rudy Rucker por sus maravillosos libros y documentos de los que he extraído muchos datos sobre la cuarta dimensión. Recomiendo de todo corazón su libro La cuarta dimensión para obtener más información sobre las dimensiones superiores de la ciencia y la espiritualidad. También agradezco al Dr. Thomas Banchoff, autor de Más allá de la Tercera Dimensión, por su trabajo pionero en la visualización de la cuarta dimensión. Entre sus muchos talentos, el Dr. Banchoff es también un experto en el clásico Flatland del siglo XIX, que sigue siendo una excelente introducción a la interrelación entre mundos de diferentes dimensiones. Las diversas obras de Martin Gardner, enumeradas en la sección Lecturas Adicionales, también han sido influyentes en mi formulación de una visión ecléctica de la cuarta dimensión. Agradezco a Kirk Jensen, mi editor en Oxford University Press, por su continuo apoyo y aliento, y a Brian Mansfield, Lorraine Miro, Carl Speare, Arlin Anderson, Clay Fried, Gary Adamson, Ben Brown, Sean Henry, Michelle Sullivan, Greg Weiss y Dan Platt por sus útiles consejos y comentarios. Brian Mansfield preparó muchas de las ilustraciones y April Pedersen dibujó las maravillosas caricaturas pequeñas que se usaron en algunas aperturas de capítulos. Algunos de los dibujos de animales terrestres, como las conchas marinas y los trilobites, provienen del Archivo Pictórico de Dover; una fuente excelente son Formas de Arte en la Naturaleza de Ernst Haeckel. Muchos de los libros de ciencia ficción listados en el Apéndice B fueron sugeridos por el Dr. Sten Odenwald. La botella retorcida en la Figura 5.10 es cortesía del artista/escritor Paul Ryan del Earth Environmental Group y fue dibujada por Gary Allen. Los gráficos 3.3, 3.8b, y 5.2 y son cortesía del Proyecto Humano Visible de la Biblioteca Nacional de Medicina. Don Webb es el autor del poema, “Reflexiones sobre una rosa de Teseracto”. La caligrafía

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO china en la Introducción fue aportada por el Dr. Siu-Leung Lee, quien ha estado practicando el arte de la caligrafía durante más de cuarenta años. Capaz de escribir en muchos estilos, el Dr. Lee ha creado su propia forma que evoluciona de las dinastías Han y Jin. En una traducción aproximada, su caligrafía es: “Surfeamos en dimensiones superiores.” La caligrafía utiliza letras que combinan una estructura arcaica y movimientos fluidos para simbolizar la naturaleza dinámica del universo. Este libro no fue preparado, aprobado o avalado por ninguna entidad asociada con el Federal Bureau of Investigation, ni tampoco fue preparado, aprobado, licenciado o avalado por ninguna entidad involucrada en la creación o producción del programa de televisión Los Expedientes-X.

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Un horror inexplicable se apoderó de mí. Todo se volvió oscuro; luego siguió una vertiginosa y desagradable sensación de visión pero que no era como ver; vi una línea que no era una Línea; un espacio que no era Espacio; era yo y no lo era. Cuando recobré el habla, lancé un chillido de agonía: “Esto es la locura o el Infierno”. “No es la una ni el otro” replicó con calma la voz de la Esfera, “es el Conocimiento; son las Tres Dimensiones; abra el ojo de nuevo y trate de mirar atentamente”. ―Edwin Abbott Abbott, Flatland

Hasta al matemático le gustaría mordisquear el fruto prohibido, para vislumbrar cómo sería si pudiera deslizarse por un momento en una cuarta dimensión. ― Edward Kasner y James Newman, Matemáticas e Imaginación

Permítanme felicitarles por su gran avance interdimensional. Estoy seguro de que, en los miserables anales de la Tierra, estarás debidamente inscrito. ―Lord John Whorfin en Las aventuras de Buckaroo Banzai a través de la 8ª dimensión

Un hombre que dedicó su vida a ello podría tal vez tener éxito en describirse a sí mismo una cuarta dimensión. ―Henri Poincare, “L’Espace et la geometrie”.

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contenido

Prefacio Introducción 1. Grados de libertad 2. La Divinidad de las Dimensiones Superiores 3. Satanás y los mundos perpendiculares 4. Hiperesferas y Teseractos 5. Mundos Espejo 6. Los dioses del hiperespacio Observaciones finales Apéndice A Alucinantes Rompecabezas de cuatro dimensiones Apéndice B Dimensiones superiores en la ciencia ficción Apéndice C Botella Banchoff-Klein Apéndice D Cuaterniones Apéndice E Laberintos cuatridimensionales Apéndice F Buffet para los adictos a las computadoras Apéndice G Evolución de los Seres cuatridimensionales

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Apéndice H Preguntas desafiantes para una reflexión más profunda Apéndice I Títulos hiperespaciales Lecturas adicionales Sobre el autor Addendum

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prefacio

Considerar que después de la muerte del cuerpo el espíritu perece es como imaginar que un pájaro en una jaula será destruido si la jaula se rompe, aunque el pájaro no tiene nada que temer de la destrucción de la jaula. Nuestro cuerpo es como la jaula, y el espíritu como el pájaro. Vemos que sin la jaula este pájaro vuela en el mundo del sueño; por lo tanto, si la jaula se rompe, el pájaro continuará y existirá. Sus sentimientos serán aún más poderosos, sus percepciones mayores, y su felicidad aumentada. ―Abdu’l-Baha, Algunas preguntas respondidas El pájaro lucha para salir del huevo. El huevo es el mundo. Quien nazca debe primero destruir un mundo. El pájaro vuela hacia Dios. El nombre de ese Dios es Abraxas. ―Hermann Hesse, Demian

Recorriendo los Mundos Superiores No conozco ninguna asignatura en matemáticas que haya intrigado tanto a niños como a adultos tanto como la idea de una cuarta dimensión, una dirección espacial diferente de todas las direcciones de nuestro espacio tridimensional normal. Filósofos y parapsicólogos han meditado sobre esta dimensión que nadie puede señalar pero que puede estar a nuestro alrededor. Los teólogos han especulado que la vida después de la muerte, el cielo, el infierno, los ángeles y nuestras almas podrían residir en una cuarta dimensión: que Dios y Satanás podrían ser literalmente trozos de hipermateria en un espacio de cuatro dimensiones a centímetros de distancia de nuestro mundo tridimensional común y corriente. A lo largo del tiempo, varios místicos y profetas han comparado nuestro mundo con una “jaula tridimensional”1 y han especulado sobre 1

Los místicos islámicos han considerado históricamente nuestro mundo como una jaula cúbica, una prisión de seis caras. Los seres humanos luchan en vano para escapar de la esclavitud de los sentidos y del mundo físico. Los poetas persas se refieren a este tipo de encarcelamiento como “seis puertas”, o shishdara, la posición desesperada de un jugador que juega una forma de backgammon. En este juego, los jugadores usan un dado

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO la magnitud de nuestras percepciones si pudiéramos salir de los confines de nuestro mundo y llegar a dimensiones superiores. Sin embargo, a pesar de todas las implicaciones filosóficas y espirituales de la cuarta dimensión, esta dimensión adicional también tiene un lado muy práctico. Los matemáticos y físicos usan la cuarta dimensión todos los días en sus cálculos. Es parte de teorías importantes que describen la estructura misma de nuestro universo. Me entusiasmó por primera vez la posibilidad de una cuarta dimensión cuando era niño y veía una retransmisión televisiva de la película de ciencia ficción The 4D Man de 1959. Este inteligente thriller describe las aventuras de un científico que desarrolla un método de transposición de la materia que le permite atravesar paredes, ventanas, agua y mujeres. He aquí un fragmento de los diálogos de la película: Scott Nelson: Eso es lo que has hecho con tu campo de fuerza. Has comprimido la energía de los años en un momento. Linda Davis: Pero... pero... es como... la cuarta dimensión. Capitán Rogers: No puedo creerlo. Soy un policía. Trabajo con hechos. Ahora tengo que empezar a buscar algo que le quite la vida a un hombre como el jugo sacado de una naranja. Tony Nelson: Nada puede detenerlo. No podemos encarcelarlo o rodearlo con hombres, armas o tanques. No hay paredes lo suficientemente gruesas ni armas lo suficientemente fuertes. Un hombre en la cuarta dimensión es indestructible. La película tiene un grupo de estrellas de Hollywood, Patty Duke y Lee Meriwether, por mencionar sólo dos. La trama implicaba que un científico descubriera una dimensión en la que podía caminar a través de la materia sólida. Espero no estar arruinando la película contándote el extraño final donde se materializa de la cuarta dimensión a nuestro mundo tridimensional mientras pasa a través de una pared de ladrillos. ¡Ouch!

de seis caras para mover las piezas. Si un jugador contrario ha bloqueado (ocupado) las seis ubicaciones a las que su pieza de juego podría haberse movido potencialmente, entonces usted está “shishdar”, o seis-fuera, ya que su pieza no puede moverse.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO No te puedes imaginar lo profundamente afectado que me afectó el desdibujamiento de la realidad y la ficción. Para un niño pequeño, la extraña variedad de ideas físicas y matemáticas hizo que lo increíble pareciera una posibilidad terriblemente real. Sabía que si existía una cuarta dimensión accesible, en realidad sería posible escapar de una prisión entrando temporalmente en la cuarta dimensión, como un pájaro que abandona su nido por primera vez, volando hacia arriba y gozosamente deleitándose en su recién encontrada tercera dimensión. Mi fascinación por la cuarta dimensión fue estimulada más tarde por la película Poltergeist, de Steven Spielberg, de 1982, en la que una familia que vive en los suburbios se enfrenta a fenómenos amenazantes: un niño que desaparece, muebles que se mueven por sí mismos y extraños poderes que rondan por la casa y asustan a todos. ¿Alguno de ustedes recuerda la escena de Poltergeist en la que las bolas son lanzadas a un armario y luego parecen reaparecer mágicamente desde el techo en otro lugar de la casa? Esto podría explicarse fácilmente si la bola tomara una ruta a través de la cuarta dimensión, como aprenderá más adelante en este libro. Incluso el programa de televisión de principios de la década de 1960 The Outer Limits tocó dimensiones más elevadas. En un episodio particularmente conmovedor, una criatura de la galaxia de Andrómeda vivía en una dimensión superior a la nuestra y fue atraída hacia nuestro universo como resultado de experimentos terrestres con una nueva forma de televisión tridimensional. Aunque la criatura es a la vez sabia y amistosa, su visita a nuestro mundo causa un gran alboroto. Durante décadas ha habido muchos libros de divulgación científica y novelas de ciencia ficción sobre el tema de la cuarta dimensión. Mi libro de ciencia favorito sobre el tema es The Fourth Dimension de Rudy Rucker, que cubre una serie de temas sobre el espacio y el tiempo. Mi historia favorita de ciencia ficción es la de Robert Heinlein, “Y construyó una casa torcida” (And He Built a Crooked House), publicada por primera vez en 1940. Cuenta la historia de un arquitecto californiano que construye una casa de cuatro dimensiones. Explica que una casa de cuatro dimensiones tendría ciertas ventajas: Estoy pensando en una cuarta dimensión espacial, como la longitud, la anchura y el grosor. Por la economía de los materiales y la conveniencia de la disposición, no hay nada mejor. Por no hablar del espacio en el suelo: se podría poner

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO una casa de ocho habitaciones en el terreno que ahora está ocupado por una casa de una sola habitación.

Desafortunadamente, una vez que el constructor lleva a los nuevos propietarios a visitar la casa, no pueden encontrar la salida. Las ventanas y puertas que normalmente dan al exterior ahora dan al interior. No hace falta decir que a las personas aterrorizadas y atrapadas en la casa les suceden cosas muy extrañas. Muchos libros excelentes sobre la cuarta dimensión, están listados en las Lecturas Adicionales al final de este libro. Entonces, ¿por qué otro libro sobre mundos de dimensiones superiores? He descubierto que muchos libros anteriores sobre este tema carecían de un elemento importante. No se centran de lleno en la apariencia física de los seres de cuatro dimensiones, en la maldad y el bien que podrían hacer en nuestro mundo, y en las implicaciones religiosas de su penetración en nuestro mundo. Más importante aún, muchos libros anteriores también son totalmente descriptivos, sin fórmulas con las que los lectores puedan experimentar, ni siquiera fórmulas simples, o están tan llenos de ecuaciones de aspecto complicado que los estudiantes, los aficionados a las computadoras y el público en general se sienten totalmente abrumados. La cuarta dimensión no tiene por qué quedar confinada a Hollywood y al reino de la ciencia ficción, más allá de la gama de excitantes experimentos y de la reflexión cuidadosa. Muchas de las ideas, ejercicios de pensamiento y experimentos numéricos de este libro son accesibles tanto para estudiantes como para científicos experimentados. Se incluyen algunas piezas de fórmulas computacionales para que los aficionados a la informática puedan explorar mundos de mayor dimensión. Pero aquellos de ustedes que no tienen interés en la computación pueden fácilmente saltarse estas secciones e investigar los reinos mentales, sin ayuda de la computación. En este libro, discutiré conceptos tales como “grados de libertad” y luego gradualmente iré avanzando hacia conceptos más sofisticados tales como la posibilidad de meter enormes ballenas en diminutas esferas de cuatro dimensiones. Los Apéndices discuten una serie de problemas estimulantes, desde una versión en cuatro dimensiones del cubo de Rubik y la evolución de las biologías en cuatro dimensiones, hasta cuaterniones fractales en cuatro dimensiones con estructuras infinitamente complejas. Sin embargo, el énfasis estará en los poderes y las apariencias de

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO los seres de cuatro dimensiones. Quiero saber si los Dioses de la humanidad podrían existir en la cuarta dimensión.2 Si existiera una cuarta dimensión, Dios podría estar tan cerca que podríamos escuchar su respiración, a sólo unos centímetros, pero imposible de ver porque nuestra percepción está aparentemente confinada a tres dimensiones. ¿Y si pudieras visitar un mundo de cuatro dimensiones lleno de formas de vida inteligentes? ¿Tendrían los alienígenas cabeza, brazos y piernas, o incluso serían vagamente humanoides? ¿Qué capacidades tendrían si visitaran nuestro mundo? La difícil tarea de imaginar seres de otras dimensiones es útil para cualquier especie que sueña con comprender su lugar en un vasto universo con infinitas posibilidades. ¿Existe realmente una cuarta dimensión que podamos explorar y comprender? Esta pregunta es una vieja pregunta planteada por filósofos y científicos y tiene profundas implicaciones para nuestra visión del mundo. No parece haber ninguna razón por la que no pueda existir un mundo de cuatro dimensiones

“Quiero saber si los dioses de la humanidad podrían existir en la cuarta dimensión.” Aunque un ser 4-D tendría poderes semejantes a los de Dios, esto no quiere decir que un ser 4-D tendría todas las propiedades que tradicionalmente atribuimos a Dios. ¿Podría un ser 4-D no omnipresente, no omnisciente, no omnisciente, actuar de tal manera que pareciera ser un Dios? ¿Qué milagros judeo-cristianos no podría hacer un ser 4-D? Un ser 4-D probablemente no sería capaz de hacer nada de lo siguiente, que muchas religiones atribuyen a Dios: crear el mundo o el universo, entender nuestros pensamientos y oraciones interiores, ver todos los eventos temporales a la vez, sanar enfermedades bioquímicas complejas y profetizar el futuro. Sin embargo, un ser 4-D podría parecer omnipresente y en varios lugares a la vez si es una criatura muy grande. Probablemente podría engañar a los antiguos para que lo aceptaran como un Dios. Sería difícil para una criatura 4-D disfrazarse de criatura 3-D; a medida que se mueve el 4-D, su forma de intersección en nuestro mundo cambiaría. (Imaginen lo difícil que sería para nosotros disfrazarnos de criaturas en 2-D para los habitantes de las tierras planas que viven en un mundo en 2-D.) El filósofo Greg Weiss me escribió: “Tal vez por eso ‘Dios’ no quiere mostrarse en el Antiguo Testamento”. Greg Weiss sugiere que es divertido proponer que todos los seres espirituales, ángeles, demonios y Dios son de cuatro dimensiones, pero sólo Dios tiene poderes superiores o acceso a dimensiones aún más elevadas. El cielo podría ser esencialmente un lugar 4-D en el cual Dios, el diablo y los ángeles pueden moverse a voluntad. Pero, por supuesto, esto es mera especulación, más en el ámbito de la religión que en el de la ciencia. 2

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO de objetos materiales de cuatro dimensiones. Los sencillos métodos matemáticos de este libro revelan las propiedades de las formas en estos espacios superiores y, con una formación especial, nuestras mentes empobrecidas dimensionalmente pueden ser capaces de captar el “aspecto y la sensación” de estas formas. A medida que especulamos, tocamos el reino de la mística y la religión, porque en la cuarta dimensión la línea entre la ciencia y el misticismo se hace más delgada. Los hiperseres que viven en un espacio de cuatro dimensiones pueden demostrar los tipos de fenómenos que ocurren en el hiperespacio. Por ejemplo, un hiperser puede eliminar sin esfuerzo cosas ante nuestros ojos, dándonos la impresión de que los objetos simplemente desaparecieron. Esto es análogo a la capacidad de una criatura tridimensional de eliminar un trozo de suciedad dentro de un círculo dibujado en una página sin cortar el círculo. Simplemente elevamos la suciedad a la tercera dimensión. Para los seres bidimensionales confinados al papel, esta acción parecería milagrosa, ya que la suciedad desaparece ante sus ojos. El hiperser también puede ver dentro de cualquier objeto o forma de vida tridimensional y, si es necesario, eliminar cualquier cosa del interior. Como veremos más adelante, el ser puede mirar dentro de nuestros intestinos, examinar nuestro sistema nervioso o extirpar un tumor de nuestro cerebro sin cortar nunca la piel. Un par de guantes puede transformarse fácilmente en dos guantes izquierdos o dos derechos, y los nudos tridimensionales se deshacen en las manos de un hiperser que puede levantar un trozo del nudo hasta la cuarta dimensión. En su correspondencia y versos, el eminente físico James Clerk Maxwell se refirió a la cuarta dimensión como el lugar donde los nudos pueden ser desatados: Mi alma es un nudo enredado Sobre un vórtice líquido forjado El secreto de su desatamiento En el espacio cuatridimensional yace. Yo llamo a estos seres de cuatro dimensiones “dioses”. Si alguna vez nos encontramos con seres que pueden moverse en una cuarta dimensión espacial, nos enteraremos de que pueden realizar levitación, cirugía sin sangre, desaparecer frente a nuestros ojos, atravesar paredes, sería muy difícil esconderse de ellos sin importar a dónde fuéramos. Los objetos guardados en cajas fuertes

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO serían fáciles de recuperar. Si tal ser fuera observado en tiempos bíblicos, sería considerado un Dios con muchas características de omnisciencia, omnipresencia y omnipotencia.

Nota sobre terminología La mayoría de las culturas terrenales tienen un vocabulario con palabras como arriba, abajo, derecha, izquierda, norte, sur, y así sucesivamente. Aunque los términos “arriba” y “abajo” tienen significado para nosotros en nuestro universo tridimensional, son menos útiles cuando hablamos de movimientos del universo tridimensional a la cuarta dimensión. Para facilitar nuestras discusiones, uso las palabras “épsilon” y “delta”, denotadas por las letras griegas ϒ y Δ. Estas palabras se pueden usar más o menos como las palabras arriba y abajo, como verán cuando sean introducidos por primera vez en los términos del capítulo 3. El término “hiperespacio” se utiliza popularmente cuando se refiere a dimensiones superiores, y el término “hiper” es el prefijo científico correcto para las geometrías de dimensiones superiores. Como otros autores, me he adherido a la costumbre de usar el hiperespacio cuando me refiero a dimensiones superiores. La palabra “hiperespacio” fue acuñada por John W. Campbell en su cuento “La máquina más poderosa” (1934), y el término ha sido utilizado tanto por escritores de ciencia ficción como por físicos desde entonces. Además, los físicos a veces usan el hiperespacio en discusiones sobre la estructura de nuestro universo. Por ejemplo, si no podemos movernos más rápido que la luz en este universo, quizás podamos tomar un atajo. Los astrofísicos a veces especulan que puede haber una manera de salir del espacio ordinario y regresar a nuestro propio universo en algún otro lugar a través de una arruga del espacio. Este plegamiento severo tiene lugar en el hiperespacio de modo que dos puntos aparentemente lejanos se acercan. Algunos físicos también ven el hiperespacio como una dimensión superior en la que todo nuestro universo puede ser curvado, de la misma manera que un trozo de papel plano puede ser doblado o enrollado para que se curve en la tercera dimensión.

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Un ser en la cuarta dimensión podría ver todos nuestros nervios a la vez o mirar dentro de nuestros intestinos y extirpar tumores sin siquiera cortar nuestra piel. Los poderes de estos “hiperseres” son un tema central de este libro.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO El hiperespacio no sólo puede jugar un papel en la escala de tamaño galáctico y universal, sino que también puede ayudar a caracterizar a los ultrapequeños. El físico John A. Wheeler ha sugerido que el espacio vacío puede estar lleno de innumerables agujeros de gusano diminutos que conectan diferentes partes del espacio, como pequeños tubos que corren fuera del espacio y vuelven a entrar en algún punto distante. Wheeler describe estos agujeros de gusano como corriendo a través del “superespacio”, que parece similar a lo que la ciencia ficción ha llamado el hiperespacio durante más de medio siglo.

El buffet cuatridimensional del FBI Este libro le permitirá viajar a través de las dimensiones y no necesita ser un experto en física, matemáticas o teología. Alguna información se repite para que cada capítulo contenga suficientes datos de fondo, pero le sugiero que lea los capítulos en orden a medida que vaya adquiriendo conocimientos. Comienzo la mayoría de los capítulos con un diálogo entre dos extravagantes agentes del FBI que experimentan con la cuarta dimensión desde los límites (normalmente) seguros de su oficina del FBI en Washington, D.C. Usted es el Investigador Jefe de los fenómenos de cuatro dimensiones. Su estudiante capaz es una agente novata del FBI asignada inicialmente para trabajar con usted y desacreditar sus extravagantes teorías. Pero poco a poco comienza a dudar de su propio escepticismo. Esta simple ciencia ficción no sólo es divertida, sino que también sirve para un propósito serio: expandir su imaginación. Puede que todavía no seamos capaces de viajar fácilmente a la cuarta dimensión como los personajes de la historia, pero al menos la cuarta dimensión no está prohibida por las leyes actuales de la física. También utilizo la ciencia ficción para explicar la ciencia porque, durante el último siglo, la ciencia ficción ha hecho más por comunicar la aventura de la ciencia que cualquier libro de física. Al leer la historia, piense en la forma en que los seres humanos podrían responder a los futuros desarrollos de la ciencia que conducirían a viajar en una cuarta dimensión. Al escribir este libro, no me propuse crear un estudio sistemático y exhaustivo de la cuarta dimensión. En cambio, he elegido temas que me interesan

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO personalmente y que creo que iluminarán a una amplia gama de lectores. Aunque el concepto de la cuarta dimensión tiene más de un siglo de antigüedad, sus extrañas consecuencias aún no son ampliamente conocidas. La gente a menudo aprende de ellos con un sentido de asombro, misterio y desconcierto. Incluso armados con las teorías matemáticas de este libro, sólo tendrán una vaga comprensión de la cuarta dimensión, y varios problemas, paradojas y preguntas les acosarán. ¿Cuáles son las posibilidades de que podamos aprender a comunicarnos con un extraterrestre de cuatro dimensiones? ¿Tendrían órganos internos como los nuestros? Nos encontraremos con todas estas y otras preguntas a medida que abramos las puertas. He intentado hacer de Surfeando dentro del hiperespacio un viaje extraño que abra las puertas de su imaginación con misterios, rompecabezas y problemas que invitan a la reflexión sobre temas que van desde las hiperesferas hasta la religión. Un recurso para los aficionados a la ciencia ficción, un patio de recreo para los filósofos, una aventura y educación para los estudiantes de matemáticas, cada capítulo es un mundo de paradojas y misterios. Espero que mi ejército de ilustradores también estimule su imaginación en formas que las meras palabras no pueden. Las imágenes están en el corazón de gran parte del trabajo descrito en este libro. Para comprender y contemplar mejor la cuarta dimensión, necesitamos nuestros ojos. Para ayudar a visualizar estructuras geométricas de mayor dimensión como los hipercubos, utilizo gráficos por ordenador. Para ayudar a visualizar seres de mayor dimensión, recluto artistas de diferentes orígenes para producir representaciones visuales desde una miríada de perspectivas. Para muchos de ustedes, ver a seres hipotéticos de cuatro dimensiones, y sus intersecciones con nuestro mundo ordinario de tres dimensiones, clarificará los conceptos. A menudo utilizo la técnica de explicar los fenómenos en las dimensiones inferiores para ayudar a entender las dimensiones superiores. ¿Por qué contemplar la aparición de seres de cuatro dimensiones y sus poderes? Los matemáticos y artistas sienten la emoción del proceso creativo cuando abandonan los límites de lo conocido para aventurarse en un territorio inexplorado más allá de la prisión de lo obvio. Cuando imaginamos los poderes de los hiperseres, estamos al mismo tiempo sosteniendo un espejo para nosotros mismos, revelando nuestros propios prejuicios y nociones preconcebidas. La cuarta dimensión atrae a las mentes jóvenes, y no conozco mejor

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO manera de estimular a los estudiantes que reflexionar sobre los mundos de dimensiones superiores. Las mentes creativas aman vagar libremente a través de las implicaciones espirituales de las matemáticas simples. ¿Podrían estar escondiéndose criaturas en la cuarta dimensión en este mismo momento observándonos? Si tuvieras la oportunidad de entrar en la cuarta dimensión, aunque sea por unos minutos, y mirar hacia abajo a nuestro mundo, ¿lo harías? (Antes de contestar, recuerde que estarías mirando las tripas humeantes de sus mejores amigos. Más adelante aprenderá más sobre este efecto inevitable de la visión de rayos X.) Ninguna de estas preguntas puede ser respondida a la satisfacción de los científicos, teólogos o psicólogos. Sin embargo, el mero hecho de preguntar nos estira la mente, y la búsqueda continua de respuestas nos proporciona información útil a lo largo del camino. Como en todos mis libros anteriores, se le anima a elegir entre una variedad de temas. Muchos capítulos son breves para darle sólo el sabor delicioso de un tema. Aquellos de ustedes que estén interesados en temas específicos pueden encontrar información adicional en las publicaciones de referencia. Para fomentar su participación, el libro está repleto de numerosas preguntas ‘y si...’ para que las piense más a fondo. Difunda el espíritu de este libro haciendo estas preguntas a sus estudiantes; a su sacerdote, rabino, mulá o congregación; a sus amigos en la bolera y en el centro comercial local; a su familia la próxima vez que se siente en el sofá para ver Los Expedientes-X, o cuando parezca que no puede encontrar las llaves y se pregunte si se le han escapado al retirarse temporalmente a la cuarta dimensión. Independientemente de lo que crea sobre la posibilidad de una cuarta dimensión, las analogías dimensionales en este libro plantean preguntas sobre la manera en que usted ve el mundo y, por lo tanto, dará forma a la manera en que piensa sobre el universo. Por ejemplo, será más consciente de lo que significa visualizar un objeto abstracto en su mente. Para cuando haya terminado este libro, usted podrá -

entender conceptos arcanos como “grados de libertad”, “hiperesferas” y “teseractos”. impresionar a tus amigos con términos como: “enantiomorfo”, “geometría extrínseca”, “cuaterniones”, “superficies no orientables”, “teoría de Kaluza-Klein” y “teseractos”.

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escribir mejores historias de ciencia ficción para programas como Star Trek, Los Expedientes-X o The Outer Limits. realizar experimentos informáticos que traten varios aspectos de la cuarta dimensión. entender la visión bastante limitada de la humanidad del hiperespacio, y cómo los dioses omniscientes podrían residir en la cuarta dimensión, mientras que nosotros sólo somos tenuemente conscientes de su existencia. meter una ballena en una esfera de diez dimensiones del tamaño de una canica.

Puede que incluso quieras salir a comprar un CD con la música del programa de televisión Los Expedientes-X. Permítanme recordarles ―como hago en muchos de mis libros― que los humanos son un momento del tiempo astronómico, un huésped transitorio de la Tierra. Nuestras mentes no han evolucionado lo suficiente para comprender todos los misterios de las dimensiones superiores. Nuestro cerebro, que evolucionó para hacernos huir de los depredadores de las praderas africanas, puede que no nos permita entender a los seres de cuatro dimensiones o sus procesos de pensamiento. Dada esta limitación potencial, esperamos y buscamos el conocimiento y la comprensión. Cualquier conocimiento que obtengamos a medida que investigamos estructuras en dimensiones superiores será cada vez más útil para futuros científicos, teólogos, filósofos y artistas. Contemplar la cuarta dimensión es tan sorprendente y gratificante como ver la Tierra desde el espacio por primera vez. C. A. P. Enero 1999 Yorktown Heights, Nueva York

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El problema con los números enteros es que hemos examinado sólo los pequeños. Tal vez todas las cosas emocionantes suceden en los números realmente grandes, en los que no podemos poner nuestra mano o incluso empezar a pensar de una manera muy definida. Así que tal vez toda la acción es realmente inaccesible y sólo estamos jugando. Nuestros cerebros han evolucionado para sacarnos de la lluvia, encontrar dónde están las bayas y evitar que nos maten. Nuestros cerebros no evolucionaron para ayudarnos a captar números realmente grandes o para ver las cosas en cien mil dimensiones. ―Ronald Graham, citado en “El hombre que sólo ama los números” de Paul Hoffman.

Cualquiera que sienta el tacto de mi mano será como yo soy, y las cosas ocultas le serán reveladas... Yo soy el Todo, y el Todo salió de mí. Si cortas un trozo de madera, me encontrarás; si levantas una piedra, allí estaré. ―El Evangelio según Tomás

Prepararse para el hiperespacio. Es tan desagradable como estar borracho. ―Ford Prefect en The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy.

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introducción

Una Antigua Gruta; Cherbourg, Francia; 4:00 P.M. Estamos en el año 2012 y usted es el principal investigador del FBI de casos sin resolver que involucran fenómenos paranormales o inexplicables. Su formación en matemáticas lo hace especialmente interesado en aquellos casos que pueden ser explicados por el estudio de la cuarta dimensión. Hoy está junto a un santuario en Cherbourg, Francia, a una milla de distancia de una de las poblaciones chinas más grandes de Francia. El aire es húmedo y mohoso mientras nubes perpetuas flotan por encima en un patrón fractal de azul y gris. Ocasionalmente se escucha el llanto de un mirlo. Con usted está su compañera científicamente entrenada, la Dra. Sally Skinner. Sally, una patóloga forense del FBI, fue asignada inicialmente para trabajar con usted para desacreditar sus extravagantes teorías. Pero a medida que su sociedad progresaba, incluso Sally tuvo dificultades para explicar algunos de los extraños sucesos que encontró en sus investigaciones. Sally empuja hacia atrás un mechón de cabello color canela que la suave brisa ha sacado de su lugar. Su mirada es intensa. “¿Por qué me has traído hasta aquí?” Usted golpea sus nudillos en una lápida cercana con caligrafía china antigua. “Se han reportado algunos avistamientos inusuales aquí.” Se pone las manos en las caderas. “¿Me arrastraste hasta Francia para investigar fantasmas y extraterrestres?” Se ríe. Sally, originalmente entrenada como médica, sabe mucho sobre medicina, pero muy poco sobre la cuarta dimensión. Ella no se ha mantenido al día en las últimas investigaciones de alto secreto sobre los Omegamorfos, seres misteriosos de dimensiones superiores que a veces parecen penetrar el universo tridimensional. Claro, ella ha escuchado los rumores, los chismes de la prensa amarilla, pero no ha aceptado completamente las consecuencias filosóficas y de seguridad nacional de la penetración de un mundo superior. “¿Qué es eso?” Sally se detiene en seco, con la mirada fija en los arbustos cercanos.

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Hay sonidos crujientes, como el viento en las hojas secas. Un olor a amoníaco impregna el aire frío. De repente, varios glóbulos se materializan. Sally cierra los puños. “¡Dios mío! ¿Qué son?” Los objetos pulsantes se asemejan a globos de color carne que cambian constantemente de tamaño. Te recuerdan a manchas flotantes a la luz de la lava. Sonríes. “Tengo la llave de todos los enigmas del universo: Dios, fantasmas y todo tipo de paranormal.” Sally mira fijamente a los glóbulos que se balancean. Algunos contienen dientes, garras y cabello. Por un instante se convierten en gusanos, con intrincados sistemas vasculares bajo sus cubiertas translúcidas. “No quiero oír más sobre tu filosofía. Salgamos de aquí.” Te sientas en una lápida fría y señalas las extrañas formas que flotan en el aire. “Es un solo ser de cuatro dimensiones.” Sally saca su pistola calibre .22 y se esconde detrás de un viejo roble. “¿Cómo lo sabes?”, susurra. Con su mano libre toma unas cuantas fotografías del ser con una cámara en miniatura escondida en la chaqueta de su primer y adecuado traje. “¡Cómo puedes permanecer tan tranquilo!” Delante de ti hay

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO una bola carnosa, del tamaño de una calabaza grande. Rebota hacia arriba y hacia abajo desde el suelo hasta una altura de unos cuatro pies y tiene el mismo aspecto que la piel humana: en su mayor parte lisa, carnosa, con arrugas y venas ocasionales. Retrocede un poco deprisa. “Piénsalo de esta manera. Considera un mundo bidimensional que se asemeja a una hoja de papel, o la superficie de un estanque, con criaturas bidimensionales confinadas al mundo y mirando sólo a lo largo de la superficie. ¿Cómo te verías ante los habitantes de un mundo así si intentaras interactuar con ellos?” “¿Sólo verían un pequeño trozo de mí?” “Sí. Sólo verían secciones transversales de ti mientras tú intersectas su universo. Por ejemplo, tu dedo se vería como un disco plano que creció en tamaño a medida que lo empujabas a través de su mundo. Tus cinco dedos pueden parecer cinco círculos separados. Sólo verían formas irregulares con límites de piel al entrar en su mundo. Del mismo modo, un hiperser que viviera en la cuarta dimensión tendría una sección transversal en nuestro espacio que parecía un globo flotante hecho de piel”. “Algunos de ellos no parecen glóbulos de piel.” “Correcto. Imagine lo complicada que sería su sección transversal bidimensional a nivel de su oído o boca abierta, especialmente si partes de su piel fueran translúcidas como una medusa”. Los globos y las formas de gusanos se acercan más a Sally y ella levanta su arma. “No te preocupes, Sally. El ser probablemente quiera recogerte. Un ser cuatridimensional sería un Dios para nosotros. Lo vería todo en nuestro mundo. Podría incluso mirar dentro de tu estómago y quitarte el desayuno sin cortarte la piel, de la misma manera que podrías quitar una partícula dentro de una criatura bidimensional recogiendo la partícula en la tercera dimensión, perpendicular a la criatura, sin romper la piel de la criatura”. Sally se aleja del ser de cuatro dimensiones. “Idiota. No quiero oír más...” Con esas palabras, Sally Skinner desaparece en la cuarta dimensión. Todo lo que puedes oír es el viento soplando, como el canto de los monjes. Y de pronto, el viento se detiene. No hay sonidos de pájaros. Las hojas de roble no revolotean. Los mirlos de arriba parecen no gritar nunca, ni moverse. Flotan, con las alas oscuras extendidas e inmóviles, como suspendidas, congeladas para siempre en el espacio.

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Un ser 4-D aparece ante ti y Sally en Cherbourg, Francia. Aunque el ser parece estar formado por piezas separadas, los diversos componentes están conectados en la cuarta dimensión y constituyen una sola criatura.

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Una mano de la cuarta dimensión podría aparecer como cinco bolas de carne separadas (a) para ti y para Sally, así como una mano que cruza un plano aparece como cinco círculos separados (b). (Dibujo de Sean Henry.)

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uno

Para una rana con su sencillo ojo, el mundo es un diminuto conjunto de grises y negros. ¿Somos como ranas en nuestro limitado mundo sensorial, aprehendiendo sólo una parte del universo que habitamos? ¿Estamos despertando como especie a la realidad de los mundos multidimensionales en los que la materia sufre reorganizaciones sutiles en algún tipo de hiperespacio? ―Michael Murphy, El futuro del cuerpo

Un lugar no es nada: ni siquiera el espacio, a menos que en su corazón se encuentre una figura. ―Paul Dirac, Principios de Mecánica Cuántica

Viajar por el hiperespacio no es como desempolvar sembrados. ―Han Solo en Star Wars

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grados de libertad

Sede del FBI, Washington, D.C., 10:00 A.M. Has regresado de Cherbourg y estás descansando en tu oficina de la Oficina de Campo Metropolitana de Washington de la Oficina Federal de Investigación, ubicada en 1900 Half Street, Washington, D.C. Muy pocas personas saben que tu oficina existe porque la puerta de la misma está hábilmente disfrazada como un ascensor que lleva un perpetuo letrero “fuera de servicio”. Dentro, en la parte de atrás de su puerta, está el colorido sello del FBI y el lema “Fidelidad, Valentía, Integridad”. El borde biselado que circunscribe el sello simboliza los severos desafíos a los que se enfrenta el FBI y la dureza de la organización. Debajo del lema hay un letrero hecho a mano que dice

CREO QUE LA CUARTA DIMENSIÓN ES REAL. Sally te sigue hasta tu oficina de techos altos, repleta de libros y equipo eléctrico. Entre el sofá y las sillas hay tres osciloscopios, una alta planta de caucho india y un cubo de Rubik. Una pequeña pizarra cuelga de la pared. Las ventanas a prueba de balas, de piso a techo, dan la apariencia de una habitación más espaciosa de lo que realmente es. Sally mira el hardware eléctrico. “¿Qué es todo esto?” Ella casi derriba un decantador antiguo de una mesa sobre su campera dorada favorita colgada cómodamente sobre una silla de cuero. 
 No le respondes inmediatamente, sino que pones un CD en un reproductor. Comienza “Satin Doll” de Duke Ellington. Sally chasquea los dedos para llamar tu atención. Te vuelves hacia ella. “Sobre Francia...” “¿Sí?” “Me gustaría disculparme por no haberte rescatado antes. En menos de un minuto, te encontré tirada junto a una lápida. No te hicieron daño”. Ella asiente con la cabeza. “Todavía no entiendo qué me pasó.”

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO “Por eso estamos aquí. Te voy a enseñar sobre la cuarta dimensión y te mostraré cosas con las que nunca has soñado”. Pone los ojos en blanco. “Suenas como mi ex-marido. Todo palabras.” Levantas la mano en una postura de no-dispares. “No te preocupes, te gustará esto. Toma asiento.” Respiras hondo antes de empezar la clase. “La cuarta dimensión corresponde a una dirección diferente de todas las direcciones de nuestro mundo.” “¿No es el tiempo la cuarta dimensión?” “El tiempo es un ejemplo de una cuarta dimensión, pero hay otras. Los universos paralelos pueden incluso existir además de los nuestros de alguna manera fantasmal, y estos podrían llamarse otras dimensiones. Pero me interesa una cuarta dimensión espacial, una que existe en una dirección diferente de arriba y abajo, atrás y adelante, derecha e izquierda”. Sally se inclina uniformemente hacia una silla. “Eso suena imposible.” “Sólo escucha. Nuestro espacio ordinario es tridimensional porque todos los movimientos pueden ser descritos en términos de tres direcciones perpendiculares”. Permaneces de pie mirando a Sally. “Por ejemplo, consideremos la posición relativa de nuestros corazones. ¿Tienes corazón, Sally?” “Muy gracioso.” Del cajón de tu escritorio, sacas una cinta métrica y le das un extremo. “Puedo decir que tu corazón está a unos cuatro pies al sur del mío, un pie al este del mío y dos pies debajo del mío. De hecho, puedo especificar cualquier lugar con tres tipos de movimiento”. Ella asiente con la cabeza, aparentemente cada vez más interesada en tu charla. Afuera hay un relámpago. Miras hacia el cielo y luego hacia Sally. Las nubes y brumas que se reflejan en sus ojos hacen que parezcan bocanadas grises de humo. Una mosca entra en tu oficina, de modo que cierras un pequeño conducto de ventilación junto a la ventana antes de que otros insectos puedan refugiarse. “Otra forma de decir esto es que el movimiento en nuestro mundo tiene tres grados de libertad.” Escribes tres palabras en letras grandes en la pizarra:

GRADOS DE LIBERTAD

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Figura 1.1 Una mosca en una caja está esencialmente confinada a un punto. Tiene cero grados de libertad y vive su vida (deprimente) en un mundo O-D. (Dibujo de Brian Mansfield.)

“Sí, lo entiendo.” La mano de Sally sale corriendo hacia la mosca y la captura. No sabías que podía moverse tan rápido. “Esta mosca tiene tres direcciones diferentes en las que puede viajar en la habitación. Ahora que está en mi mano, tiene cero grados de libertad. Estoy sosteniendo mi mano muy quieta. La mosca no puede moverse. Está atascada en un punto en el espacio. Sería lo mismo si lo colocara en una cajita. Ahora, si meto la mosca en un tubo en el que sólo puede moverse hacia adelante y hacia atrás en una dirección, entonces la mosca tiene un grado de libertad” (Fig. 1.1 y 1.2). “¡Correcto! Y si le arrancaras las alas...” “Sádico”. “...y dejar que se arrastre en un plano, tendría dos grados de libertad. Incluso si la superficie es curva, sigue viviendo en un mundo 2-D con dos grados de libertad porque su movimiento puede describirse como una combinación de dos direcciones de movimiento: hacia adelante/atrás e izquierda/derecha. Como no puede volar, no puede salir de la superficie del papel” (Fig. 1.3). “La superficie es un objeto curvo en 3-D, pero el movimiento de la mosca, confinado a la superficie, es esencialmente un movimiento en 2-D.”

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Figura 1.2 Una mosca en un tubo tiene un grado de libertad y vive en un mundo 1-D. (Dibujo de Brian Mansfield.)

“Sally, lo tienes. Del mismo modo, una mosca en un tubo sigue viviendo en un mundo 1-D, incluso si se curva el tubo en un nudo. Todavía tiene sólo un grado de libertad: su movimiento hacia adelante y hacia atrás. Incluso una mosca inteligente podría no darse cuenta de que el tubo estaba curvado”. Tropiezas con un cubo de Rubik que dejaste en el suelo y te golpeas contra la silla de Sally. Ella te rechaza. “Me hiciste aplastar la mosca”. La tira a la basura. Mueves la mano. “No importa”. Haces una pausa y vuelves a la discusión. “Como te mostraré más adelante, el espacio en el que vivimos también puede ser curvo, como un tubo retorcido o un trozo de papel curvado. Sin embargo, en términos de nuestros grados de libertad, estamos viviendo en un mundo 3D.” Sally sostiene su puño frente a ti, como si estuviera a punto de golpearte. “Déjame ver si lo entiendo. Mi puño puede ser descrito por tres números: longitud, latitud y altura sobre el nivel del mar. Vivimos en un mundo tridimensional. Si viviéramos en un espacio 4-D, tendría que especificar la ubicación de mi puño con un cuarto número. En un mundo 4-D, para encontrar mi puño,

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO puedes ir a la longitud, latitud y altura correcta sobre el nivel del mar, y luego moverte en una cuarta dirección, perpendicular al resto.”

Figura 1.3 Una mosca que camina sobre un papel, incluso un trozo de papel curvado, tiene dos grados de libertad y vive en un mundo 2-D. (Dibujo de Brian Mansfield.)

Asiente con la cabeza. “Excelente. En cada lugar de mi oficina se pueden especificar diferentes distancias en una cuarta dirección espacial que actualmente no podemos ver. Es muy difícil imaginar tal dimensión, al igual que sería difícil para las criaturas confinadas a un plano, y que sólo pueden mirar a lo largo del plano, imaginar un mundo tridimensional. Mañana quiero hacer un poco más de razonamiento por analogía, porque la mejor manera para que las criaturas 3-D entiendan la cuarta dimensión es imaginar cómo las criaturas 2-D entenderían nuestro mundo”. Sally golpea su mano en tu escritorio. “Pero, ¿cómo explica esto mi encuentro en Cherbourg?” “Ya llegaremos a eso. Para cuando terminen sus lecciones, vamos a ver algunas cosas horribles...” Alcanzas un frasco aparentemente vacío en el estante y lo sostienes frente a los ojos brillantes de Sally. Ella examina la tapa del frasco, que ha sido sellada de manera segura al frasco usando epoxi. “No hay nada aquí.”

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Tu sonrisa se ensancha. “Todavía no”. Ella sacude la cabeza. “A veces me asustas.”

La ciencia detrás de la ciencia ficción Los futuros historiadores de la ciencia bien pueden registrar que una de las mayores revoluciones conceptuales de la ciencia del siglo XX fue la comprensión de que el hiperespacio puede ser la clave para desvelar los secretos más profundos de la naturaleza y de la propia Creación. ―Michio Kaku, Hiperespacio Si queremos entender la naturaleza del Universo tenemos una ventaja interior oculta: somos nosotros mismos pequeñas porciones del universo y por lo tanto llevamos la respuesta dentro de nosotros. ―Jacques Boivin, The Single Heart Field Theory

Primeros Sueños y Temores de una Cuarta Dimensión Mira el techo de tu habitación. Desde la esquina de la sala irradian tres líneas, cada una de las cuales es el lugar de encuentro de un par de paredes. Cada línea es perpendicular a las otras dos líneas. ¿Puedes imaginarte una cuarta línea que sea perpendicular a las tres líneas? Si eres como la mayoría de la gente, la respuesta es un rotundo “no”. Pero esto es lo que las matemáticas y la física requieren para establecer una construcción mental que involucre el espacio 4-D. ¿Qué significa para los objetos existir en una cuarta dimensión? El concepto científico de una cuarta dimensión es esencialmente una idea moderna, que se remonta al siglo XIX. Sin embargo, el filósofo Immanuel Kant (17241804) consideró algunos de los aspectos espirituales de una cuarta dimensión: Una ciencia de todos estos posibles tipos de espacio sería sin duda la empresa más elevada que una comprensión finita podría emprender en el campo de la geometría Si es posible que pudiera haber regiones con otras dimensiones, es muy probable que un Dios las hubiera traído a la existencia en alguna parte. Estos espacios más elevados no pertenecerían a nuestro mundo, sino que formarían mundos separados.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO

Euclides (c. 300 a.C.), un prominente matemático de la antigüedad grecorromana, entendió que un punto no tiene ninguna dimensión. Una línea tiene una dimensión: la longitud. Un plano tiene dos dimensiones. Un sólido tiene tres dimensiones. Pero allí se detuvo… creía que nada podía tener cuatro dimensiones. El filósofo griego Aristóteles (384-322 a.C.) hizo eco de estas creencias en On Heaven: La línea tiene magnitud en una dirección, el plano en dos direcciones, y el sólido en tres direcciones, y más allá de éstas no hay otra magnitud porque las tres son todas.

Aristóteles utilizó el argumento de las perpendiculares para probar la imposibilidad de una cuarta dimensión. Primero dibujó tres líneas perpendiculares entre sí, como se puede ver en la esquina de un cubo. A continuación, planteó a sus colegas el reto de trazar una cuarta línea perpendicular a las tres primeras. Como no había manera de hacer cuatro líneas mutuamente perpendiculares, razonó que la cuarta dimensión es imposible. Parece que la idea de una cuarta dimensión a veces pone un poco nerviosos a filósofos y matemáticos. John Wallis (1616-1703) ―el matemático inglés más famoso antes de Isaac Newton y más conocido por sus contribuciones al origen del cálculo― llamó a la cuarta dimensión un “monstruo en la naturaleza, menos posible que una quimera o un centauro”. Escribió: “Longitud, Anchura y Espesor, ocupan todo el Espacio. Ni un fantasioso puede imaginar cómo debería ser la cuarta dimensión local más allá de estas tres”.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Del mismo modo, a lo largo de la historia, los matemáticos han llamado “patológicas” o “monstruosas” a las ideas geométricas novedosas. El físico Freeman Dyson reconoció esto para los fractales, estructuras intrincadas que hoy han revolucionado las matemáticas y la física, pero que en el pasado fueron tratadas con desconfianza: Una gran revolución separa las matemáticas clásicas del siglo XIX de las matemáticas modernas del siglo XX. Las matemáticas clásicas tenían sus raíces en las estructuras geométricas regulares de Euclides y Newton. Las matemáticas modernas comenzaron con la teoría de conjuntos de Cantor y la curva de llenado de espacio de Peano. Históricamente, la revolución fue forzada por el descubrimiento de estructuras matemáticas que no se ajustaban a los patrones de Euclides y Newton. Estas nuevas estructuras eran consideradas como “patológicas”, como una “galería de monstruos”, afines a la pintura cubista y a la música atonal, que al mismo tiempo estaban alterando los estándares de gusto establecidos en las artes. Los matemáticos que crearon los monstruos los consideran importantes para demostrar que el mundo de las matemáticas puras contiene una riqueza de posibilidades que va mucho más allá de las estructuras simétricas que vieron en la naturaleza. Las matemáticas del siglo XX florecieron en la creencia de que habían trascendido completamente la limitación impuesta por sus orígenes naturales. Pero la naturaleza ha hecho una broma a los matemáticos. Los matemáticos del siglo XIX pueden haber carecido de imaginación, pero la naturaleza no. Las mismas estructuras patológicas que los matemáticos inventaron para desprenderse del naturalismo del siglo XIX resultaron ser inherentes a los objetos familiares que nos rodeaban. (Science, 1978)

Karl Heim, filósofo, teólogo y autor del libro Christian Faith and Natural Science de 1952, cree que la cuarta dimensión permanecerá para siempre fuera de nuestro alcance: El progreso de las matemáticas y la física nos impulsa a volar sobre las alas de la imaginación poética más allá de las fronteras del espacio euclidiano, y a intentar concebir un espacio en el que más de tres coordenadas puedan estar perpendiculares entre sí. Pero todos estos esfuerzos por volar más allá de nuestras fronteras siempre terminan con nuestro retroceso con alas chamuscadas en el suelo de nuestro espacio tridimensional euclidiano. Si intentamos contemplar la cuarta dimensión nos encontramos con un obstáculo insuperable, una valla de alambre de púas cargada eléctricamente. Ciertamente podemos hacer cálcu-

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO los con [espacios de mayores dimensiones]. Pero no podemos concebirlos. Estamos confinados dentro del espacio en el que nos encontramos cuando entramos en nuestra existencia, como si estuviéramos en una prisión. Los seres bidimensionales pueden creer en una tercera dimensión. Pero no pueden verla.

Aunque los filósofos han sugerido la inverosimilitud de una cuarta dimensión, verán en las siguientes secciones que las dimensiones superiores probablemente proveen la base para la existencia de todo en nuestro universo. Hiperespacio y geometría intrínseca El hecho de que nuestro universo, como la superficie de una manzana, esté curvado en una dimensión invisible más allá de nuestra comprensión espacial ha sido verificado experimentalmente. Estos experimentos, realizados en el camino de los rayos de luz, muestran que la luz de las estrellas se dobla a medida que se mueve a través del universo. ―Michio Kaku, Hiperespacio

Imagínate criaturas alienígenas, con forma de panqueques peludos, vagando por la superficie de una gran pelota de playa. Los habitantes están incrustados en la superficie, como microbios flotando en la delgada superficie de una pompa de jabón. Los alienígenas llaman a su universo “Zarf”. Para ellos, Zarf parece ser plano y bidimensional, en parte porque Zarf es grande en comparación con sus cuerpos. Sin embargo, Leonardo, uno de sus brillantes científicos, llega a creer que Zarf es realmente finito y curvado en algo que él llama la tercera dimensión. Incluso inventa dos nuevas palabras, “arriba” y “abajo”, para describir el movimiento en la tercera dimensión invisible. A pesar del escepticismo de sus amigos, Leonardo viaja en lo que parece una línea recta alrededor de su universo y regresa a su punto de partida, demostrando así que su universo está curvado en una dimensión superior. Durante el largo viaje de Leonardo, no se siente como si estuviera curvando, aunque está curvando en una tercera dimensión perpendicular a sus dos dimensiones espaciales. Leonardo incluso descubre que hay una ruta más corta de un lugar a otro. Hace un túnel a través de Zarf desde el punto A hasta el punto B, creando así lo que los físicos llaman un “agujero de gusano”. (Viajar de A a B a lo largo de la superficie de Zarf requiere más tiempo que un viaje que penetra en Zarf como un alfiler a través de una pelota.) Más tarde Leonardo descubre que Zarf es uno

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO de los muchos mundos curvos que flotan en espacio-3. Él conjetura que algún día será posible viajar a estos otros mundos. Ahora supongamos que la superficie de Zarf estuviera arrugada como una hoja de papel. ¿Qué pensarían Leonardo y sus compañeros extraterrestres en forma de tortitas sobre su mundo? A pesar del arrugamiento, los zarfianos llegaron a la conclusión de que su mundo era perfectamente plano porque vivían sus vidas confinadas al espacio arrugado. Sus cuerpos se arrugarían sin que ellos lo supieran. Este escenario con espacio curvo no es tan loco como parece. Georg Bernhard Riemann (1826-1866), el gran geómetra del siglo XIX, reflexionó constantemente sobre estos temas y afectó profundamente el desarrollo de la física teórica moderna, sentando las bases para los conceptos y métodos que más tarde se utilizaron en la teoría de la relatividad. Riemann reemplazó el mundo 2-D de Zarf con nuestro mundo 3-D arrugado en la cuarta dimensión. No sería obvio para nosotros que nuestro universo estaba deformado, excepto que podríamos sentir sus efectos. Riemann creía que la electricidad, el magnetismo y la gravedad son causadas por el arrugamiento de nuestro universo tridimensional en una cuarta dimensión invisible. Si nuestro espacio fuera lo suficientemente curvo como la superficie de una esfera, podríamos ser capaces de determinar que las líneas paralelas pueden encontrarse (como lo hacen las líneas de longitud en un globo terráqueo), y que la suma de los ángulos de un triángulo puede exceder los 180 grados (como lo muestran los triángulos dibujados en un globo terráqueo). Alrededor del año 300 a.C. Euclides nos dijo que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo dibujado en una hoja de papel es de 180 grados. Sin embargo, esto es cierto sólo en un pedazo de papel plano. En la superficie esférica, ¡puedes dibujar un triángulo en el que cada uno de los ángulos es de 90 grados! (Para verificar esto, mire un globo terráqueo y trace suavemente una línea a lo largo del ecuador, luego baje por una línea de longitud hasta el Polo Sur, y luego haga un giro de 90 grados y vuelva a subir por otra línea de longitud hasta el ecuador. Has formado un triángulo en el que cada ángulo es de 90 grados.) Volvamos a nuestros alienígenas 2-D en Zarf. Si midieran la suma de los ángulos en un triángulo pequeño, esa suma podría ser bastante cercana a 180

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO grados incluso en un universo curvo, pero para los triángulos grandes los resultados podrían ser muy diferentes porque la curvatura de su mundo sería más aparente. La geometría descubierta por los zarfianos sería la geometría intrínseca de la superficie. Esta geometría depende únicamente de las medidas que se realicen a lo largo de la superficie. A mediados del siglo XIX, en nuestro propio mundo, había un interés considerable por las geometrías no euclidianas, es decir, por las geometrías en las que se pueden cruzar líneas paralelas. Cuando el físico Hermann von Helmholtz (1821-1894) escribió sobre este tema, hizo que los lectores se imaginaran la dificultad de una criatura en 2-D moviéndose a lo largo de una superficie mientras intentaba entender la geometría intrínseca de su mundo sin el beneficio de una perspectiva en 3-D que revelara las propiedades de la curvatura del mundo de una sola vez. Bernhard Riemann también introdujo medidas intrínsecas en espacios abstractos y no requería referencia a un espacio de contención de mayor dimensión en el que los objetos materiales eran “curvados”. La geometría extrínseca de Zarf depende de la forma en que la superficie se asienta en un espacio de alta dimensión. Por difícil que parezca, es posible que los zarfianos comprendan su geometría extrínseca simplemente haciendo mediciones a lo largo de la superficie de su universo. En otras palabras, un zarfiano podría estudiar la curvatura de su universo sin abandonar el universo, del mismo modo que nosotros podemos aprender sobre la curvatura de nuestro universo, aunque estemos confinados en él. Para demostrar que nuestro espacio es curvo, tal vez todo lo que tenemos que hacer es medir las sumas de ángulos de triángulos grandes y buscar sumas que no sean de 180 grados. El físico matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ―uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos― en realidad intentó este experimento iluminando las cimas de las montañas para formar un gran triángulo. Desafortunadamente, sus experimentos no fueron concluyentes porque las sumas de ángulos eran de 180 grados hasta la precisión de los instrumentos de medición. Todavía no sabemos con seguridad si las líneas paralelas se cruzan en nuestro universo, pero sí sabemos que los rayos de luz no deberían usarse para probar ideas sobre la curvatura general del espacio porque los rayos de luz se desvían cuando pasan cerca de objetos masivos. Esto significa que la luz se dobla al pasar por una estrella, alterando así las sumas de ángulos para triángulos grandes. Sin embargo, esta desviación de la luz de las estrellas también sugiere que

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO los sectores de nuestro espacio están curvados en una dimensión invisible más allá de nuestra comprensión espacial. La curvatura espacial también es sugerida por la órbita elíptica del planeta Mercurio alrededor del sol que cambia de orientación, o precesiones, en una cantidad muy pequeña cada año debido a la pequeña curvatura del espacio alrededor del sol. Albert Einstein argumentó que la fuerza de gravedad entre objetos masivos es una consecuencia del espacio curvo cercano a la masa, y que los objetos que viajan simplemente siguen líneas rectas en este espacio curvo como líneas de longitud en un globo”.3 En las décadas de 1980 y 1990 varios astrofísicos han tratado de determinar experimentalmente si todo nuestro universo es curvo. Por ejemplo, algunos se han preguntado si nuestro universo 3-D podría ser curvado hacia atrás sobre sí mismo de la misma manera que una superficie 2-D sobre una esfera se curva

3

Le pregunté al profesor Michio Kaku, autor de Hyperspace, si la curvatura gravitacional del espacio implica la existencia de una cuarta dimensión. Él respondió: No necesitamos una cuarta dimensión espacial para describir la curvatura del espacio. Desde un punto de vista, la cuarta dimensión espacial es ficticia. Esto se debe a que podemos utilizar coordenadas tridimensionales “intrínsecas” en las que las únicas coordenadas son tres dimensiones espaciales dobladas y una dimensión temporal. Así, una hormiga en un globo ordinario sólo puede ver dos dimensiones, y dice que la tercera dimensión es innecesaria, porque la hormiga no puede viajar en la tercera dimensión, lo cual es ficticio desde su punto de vista. Sin embargo, también podemos usar coordenadas “extrínsecas” en las que visualizar la curvatura del espacio, incrustando el espacio-tiempo dentro de una dimensión superior. Todas las representaciones gráficas de fantasía -de agujeros negros como agujeros y embudos en el espacio, globos inflables que representan el Big Bang, y el 99,99% de todas las imágenes que se encuentran en los libros de relatividad general- se hacen en coordenadas extrínsecas. Vemos el globo 3-D desde el punto de vista de una ficticia cuarta dimensión, que no tiene realidad física. (Después de todo, si el globo es el universo entero, entonces ¿dónde estás parado cuando miras el globo? Estás parado en una ficticia cuarta dimensión.) Dicho esto, permítanme decir que el pensamiento actual de la física teórica postula la existencia no sólo de cuatro dimensiones espaciales (una de ellas ficticia), sino de diez dimensiones físicas del espacio y el tiempo. Es confuso que la gente use la palabra hiperespacio para referirse a ambas: la cuarta dimensión espacial ficticia usada en coordenadas extrínsecas (esencialmente un truco para “ver” globos y agujeros en el espacio) que se encuentran en la relatividad general ordinaria, y también a las dimensiones físicas superiores en las que viven las supercuerdas.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO hacia atrás sobre sí misma. Podemos reafirmar esto en el lenguaje de la cuarta dimensión. De la misma manera que la superficie 2-D de la Tierra es finita pero ilimitada (porque está doblada en tres dimensiones en una esfera), muchos han imaginado que el espacio 3-D de nuestro universo está doblado (en algún espacio 4-D) en una esfera 4-D llamada hiperesfera. Desafortunadamente, los resultados experimentales de los astrofísicos contienen incertidumbres que hacen imposible sacar conclusiones definitivas. El esfuerzo continúa. Un telar con cuerdas diminutas En la teoría de cuerdas heterotica... los bosones derechos (partículas portadoras) van en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del bucle, sus vibraciones penetran en 22 dimensiones compactadas. Los bosones viven en un espacio de 26 dimensiones (incluyendo el tiempo), de las cuales 6 son las dimensiones “reales” compactadas, 4 son las dimensiones del espacio-tiempo ordinario y las otras 16 son consideradas “espacios interiores” - artefactos matemáticos para que todo funcione correctamente. ―Martin Gardner, El Universo Ambidiestro

La teoría de cuerdas puede ser más apropiada para los departamentos de matemáticas o incluso para las escuelas de divinidad. ¿Cuántos ángeles pueden bailar sobre la cabeza de un alfiler? ¿Cuántas dimensiones hay en un conjunto compacto de treinta potencias de diez menor que una cabeza de alfiler? ¿Todos los jóvenes doctores, después de perder años en la teoría de cuerdas, podrán ser empleados cuando la cuerda se rompa? ―Sheldon Glashow, Science

La teoría de cuerdas es la física del siglo XXI que cayó accidentalmente en el siglo XX. ―Edward Witten, Science

Varias teorías modernas del hiperespacio sugieren que dimensiones existen más allá de las dimensiones comúnmente aceptadas del espacio y el tiempo. Como se mencionó anteriormente, el universo entero puede existir en un espacio de dimensiones superiores. Esta idea no es ciencia ficción: de hecho, se han celebrado cientos de conferencias internacionales de física para

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO explorar las consecuencias de las dimensiones superiores. Desde una perspectiva astrofísica, algunas de las teorías de las dimensiones superiores tienen nombres tan impresionantes como la teoría de Kaluza-Klein y la supergravedad. En la teoría de Kaluza-Klein, la luz se explica como vibraciones en una dimensión espacial superior.4 Entre las formulaciones más recientes de estos conceptos se encuentra la teoría de las supercuerdas que predice un universo de diez dimensiones: tres dimensiones del espacio, una dimensión del tiempo y seis dimensiones espaciales más. En muchas teorías del hiperespacio, las leyes de la naturaleza se vuelven más simples y elegantes cuando se expresan con estas varias dimensiones espaciales adicionales. La idea básica de la teoría de cuerdas es que algunas de las partículas más básicas, como los quarks y los fermiones (que incluyen electrones, protones y neutrones), pueden ser modeladas por segmentos de línea o cuerdas inconcebiblemente pequeños y unidimensionales. Inicialmente, los físicos asumieron que las cuerdas podían estar abiertas o cerradas en bucles, como las bandas elásticas. Ahora parece que el enfoque más prometedor es considerarlos como permanentemente cerrados. Aunque las cuerdas puedan parecer abstracciones matemáticas, recuerde que los átomos alguna vez fueron considerados como abstracciones matemáticas “irreales” que eventualmente se volvieron observables. Actualmente, las cuerdas son tan pequeñas que no hay forma de “observarlas”. Tal vez nunca podremos observarlos.5

4

La teoría de Kaluza-Klein (que lleva el nombre de dos científicos europeos) sugiere la existencia de dimensiones adicionales que se enrollan o “compactifican” de tal manera que son indetectables a niveles macroscópicos. 5

Por otro lado, Joe Lykken del Laboratorio Nacional de Aceleradores Fermi en Batavia, Illinois, cree que los físicos pueden encontrar evidencia experimental para la teoría de cuerdas. Aunque las dimensiones adicionales de las cuerdas son compactas, es decir, enroscadas en escalas de sólo 10–33 cm, que estarían fuera del alcance de cualquier experimento concebible, Lykken y varios otros grupos están considerando la posibilidad de que algunas de esas dimensiones se desenreden ligeramente, abriéndose a escalas en las que las mediciones de precisión en aceleradores o incluso en una mesa de trabajo podrían realmente sondear. Para más información sobre las pruebas prácticas de la teoría de cuerdas, véase Kestenbaum, D. (1998) Practical tests for an ‘untestable’ theory of everything? Science. 281(5378): 758-59.]

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO En algunas teorías de cuerdas, los bucles de las cuerdas se mueven en tres espacios ordinarios, pero también vibran en dimensiones espaciales más altas perpendiculares a nuestro mundo. Como una simple metáfora, piense en una cuerda de guitarra vibrante cuyas “notas” corresponden a diferentes partículas “típicas” como los quarks y los electrones, junto con otras partículas misteriosas que sólo existen en las diez dimensiones, como el hipotético gravitón, que transmite la fuerza de la gravedad. Piensa en el universo como la música de una orquesta hiperdimensional. Y puede que nunca sepamos si hay un hiperBeethoven guiando las armonías cósmicas. Cada vez que leo sobre la teoría de cuerdas, no puedo evitar pensar en la Cábala en el misticismo judío. La Cábala se hizo popular en el siglo XII y siguientes. Los cabalistas creen que gran parte del Antiguo Testamento está en código, y es por esto que las Escrituras pueden parecer confusas. El primer texto judío conocido sobre magia y matemáticas, Sefer Yetzira (Libro de la Creación), apareció alrededor del siglo IV d.C. Explicaba la creación como un proceso que involucra diez números divinos o sephirotes. La Kabala se basa en un complicado misticismo numérico por el cual el primordial se divide en diez sephirotes que están misteriosamente conectados entre sí y trabajan juntos. Veintidós letras del alfabeto hebreo son puentes entre ellas (Fig. 1.4). Los sephirotes son diez atributos o emanaciones hipostatizados que permiten que lo infinito se encuentre con lo finito. (“Hipostatizar” significa convertir o tratar como una sustancia, es decir, convertir una cosa abstracta en algo material.) Según los cabalistas, estudiando los diez sephirotes y sus interconexiones, se puede desarrollar toda la estructura cósmica divina. De manera similar, la realidad física puede ser la hipostatización de estas construcciones matemáticas llamadas “cuerdas”. Como mencioné, las cuerdas, los bloques básicos de construcción de la naturaleza, no son partículas diminutas, sino bucles y fragmentos inimaginablemente pequeños que se asemejan vagamente a las cuerdas, excepto que las cuerdas existen en un extraño universo 10-D. La versión actual de la teoría tomó forma a finales de la década de 1960. Utilizando la teoría del hiperespacio, la “materia” es vista como vibraciones que ondulan a través del espacio y el tiempo. De ahí la idea de que todo lo que vemos, desde las personas hasta los planetas, no son más que vibraciones en el hiperespacio.

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Figura 1.4a El Árbol de Sephirotes, o Árbol de la Vida, de un antiguo manuscrito del Zóhar.

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Figura 1.4b Otra representación del sefiroth, la figura central de la Kabala.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO En los últimos años, los físicos teóricos han estado usando cuerdas para explicar todas las fuerzas de la naturaleza, desde la atómica hasta la gravitacional. Aunque la teoría de cuerdas describe las partículas elementales como modos vibratorios de cuerdas infinitesimales que existen en diez dimensiones, muchos de ustedes se preguntarán cómo existen tales cosas en nuestro universo tridimensional con una dimensión adicional de tiempo. Los teóricos de las cuerdas afirman que seis de las diez dimensiones están “compactificadas”, es decir, enroscadas firmemente (en estructuras conocidas como espacios Calabi-Yau), de modo que las dimensiones adicionales son esencialmente invisibles.6 Tan técnicamente avanzada como suena la teoría de las supercuerdas, podría haberse desarrollado hace mucho tiempo, según el gurú de la teoría de las cuerdas Edward Witten,7 un físico teórico del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Por ejemplo, indica que es muy probable que otras civilizaciones del universo descubrieran la teoría de las supercuerdas y luego derivaran formulaciones similares a las de Einstein (que en nuestro mundo son anteriores a la teoría de cuerdas en más de medio siglo). Desafortunadamente para los experimentalistas, las supercuerdas son tan pequeñas que es poco probable que los humanos las detecten. Si se considera la relación entre el tamaño de un

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Desafortunadamente, hay tantas maneras diferentes de crear universos compactificando las seis dimensiones que la teoría de cuerdas es difícil de relacionar con el universo real. En 1995, los investigadores sugirieron que si la teoría de cuerdas tiene en cuenta los efectos cuánticos de los mini agujeros negros cargados, las miles de soluciones en 4-D podrían colapsar en una sola. Pequeños agujeros negros, con no más masa que una partícula elemental, y las cuerdas pueden ser dos descripciones del mismo objeto. Gracias a la teoría de los mini agujeros negros, los físicos esperan ahora seguir matemáticamente la evolución del universo y seleccionar una compactificación particular de Calabi-Yau como primer paso hacia una “teoría del todo” comprobable. Algunas trivialidades: Gabriele Veneziano, a finales de los años 60, trabajó en teorías de cuerdas. Sin embargo, el interés en su versión particular de la teoría se desvaneció cuando otros físicos demostraron que sólo trabajarían en veintiséis dimensiones. Además, algunos investigadores creen que todas las partículas elementales conocidas tienen gemelos simétricos invisibles llamados spartículas. 7

Lo que hemos aprendido en el siglo XX es que las grandes ideas de la física tienen fundamentos geométricos. ―Edward Witten, Scientific American.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO protón y el tamaño del sistema solar, esta es la misma relación que describe el tamaño relativo de una supercuerda y un protón. John Horgan, editor de Scientific American, publicó recientemente un artículo que describe lo que otros investigadores han dicho sobre Witten y las supercuerdas en diez dimensiones. Un investigador entrevistado exclamó que en puro poder mental matemático, Edward Witten supera a Einstein y no tiene rival desde Newton. La teoría de cuerdas es tan compleja que cuando se le pidió a un físico ganador del Premio Nobel que comentara la importancia del trabajo de Witten, dijo que no podía entender los documentos recientes de Witten; por lo tanto, ¡no podía determinar cuán brillante es Witten!8

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Al igual que los primeros años de la teoría de la relatividad de Einstein, la teoría de cuerdas es simplemente un conjunto de ecuaciones inteligentes que esperan la verificación experimental. Desafortunadamente, se necesitaría un triturador de átomos miles de veces más potente que cualquiera en la Tierra para probar directamente la versión actual de la teoría de cuerdas. Se espera que los humanos perfeccionen la teoría hasta el punto de que pueda ser probada en experimentos del mundo real. Con Edward Witten dirigiendo su atención a la teoría de cuerdas, el mundo espera que él y sus colegas puedan descifrar el misterio filosófico que ha esquivado a la ciencia desde los antiguos griegos: ¿Cuál es la naturaleza última del universo? ¿Cuál es el telar en el que Dios teje? Sea lo que sea ese telar, ha creado un universo estructuralmente rico. La mayoría de los astrónomos de hoy en día creen que el universo tiene entre ocho y veinticinco mil millones de años de antigüedad, y desde entonces se ha estado expandiendo hacia el exterior. El universo parece tener una naturaleza fractal con galaxias colgando juntas en cúmulos. Estos clústers forman clúster más grandes (clúster de clúster). Los “Superclústers” son grupos de estos grupos de grupos. En los últimos años, ha habido otras teorías y descubrimientos desconcertantes. Aquí hay sólo unos pocos: - En nuestro universo existe una Gran Muralla que consiste en una enorme concentración de galaxias que se extienden a través de 500 millones de años-luz de espacio. - En nuestro universo existe un Gran Atractor, una masa misteriosa que atrae gran parte del universo local hacia las constelaciones Hydra y Centauro. - Hay Grandes Vacíos en nuestro universo. Estas son regiones del espacio donde pocas galaxias pueden ser encontradas. - La teoría de la inflación sigue siendo importante para describir la evolución de nuestro universo. La teoría de la inflación sugiere que el universo se expandió como un globo inflado por un ebrio mientras el universo estaba en su primer segundo de vida.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Recientemente, el intento de la humanidad de formular una “teoría del todo” incluye no sólo la teoría de cuerdas, sino también la teoría de membrana, también conocida como teoría M.9 En palabras de Edward Witten (a quien la - La existencia de materia oscura también sigue siendo una hipótesis. La materia oscura puede consistir en partículas subatómicas que pueden representar la mayor parte de la masa del universo. No sabemos de qué está compuesta la materia oscura, pero las teorías incluyen: neutrinos (partículas subatómicas), WIMPs ([weakly interacting massive particles] partículas masivas que interactúan débilmente), MACHOs ([massive compact halo objects] objetos de halo compacto masivos), agujeros negros, y vastas redes filamentosas de gases ionizados calientes que son difíciles de detectar con los satélites actuales. - Las cuerdas y texturas cósmicas son entidades hipotéticas que distorsionan el tejido espacio-temporal. (Tal vez algunas de las grandes estructuras extragalácticas son resultados de observaciones y análisis inexactos. Se requiere investigación adicional para estar seguros.) ¿Cuáles son las preguntas más importantes para los científicos de hoy? Tal vez, “¿Existen dimensiones espaciales superiores” o “Qué leyes de la física son fundamentales y cuáles son accidentes de la evolución de este universo en particular” o “¿Existe vida inteligente y tecnológicamente avanzada fuera de nuestro Sistema Solar” y “Cuál es la naturaleza de la conciencia”? ¿Cuántas de estas preguntas responderemos alguna vez? 9

La teoría M, al igual que la teoría de cuerdas, se basa en gran medida en la idea de la supersimetría, en la que cada partícula conocida que tiene un espín entero tiene una contraparte con la misma masa pero un espín medio entero. La supersimetría predice la “supergravedad” en la que un gravitón (con espín 2) transmite interacciones gravitacionales y tiene un compañero gravitino con espín 3/2. La gravedad convencional no limita las posibles dimensiones del espacio-tiempo, pero con la supergravedad hay un límite superior de once dimensiones de espacio-tiempo. En 1984, las teorías de la supergravedad 11-D fueron disueltas en favor de la teoría de las supercuerdas en diez dimensiones. La teoría M en once dimensiones da lugar a las cinco teorías de cuerdas que compiten en diez dimensiones (dos teorías heterográficas, Tipo I, Tipo IIA y Tipo JIB). Cuando la dimensión extra se curva en un círculo, la teoría M produce la supercuerda del Tipo IIA. Por otro lado, si la dimensión extra se reduce a un segmento de línea, la teoría M produce una de las cadenas heterotizadas. Las nuevas teorías tratan de conceptos arcanos difíciles de comprender para los simples mortales. Por ejemplo, la fuerza con la que interactúan los objetos (sus cargas) está relacionada con el tamaño de las dimensiones invisibles; lo que es carga en un universo puede ser tamaño en otro; y ciertas membranas pueden ser interpretadas como agujeros negros (o “branas negras”) de los que nada, ni siquiera la luz, puede escapar. La masa de una brana negra puede desaparecer a medida que el agujero que envuelve se encoge, permitiendo que un espacio-tiempo con un cierto número de agujeros internos (que se

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO revista Life apodó el sexto baby boomer americano más influyente), “M significa Magia, Misterio o Membrana, según el gusto”. En esta nueva teoría, la vida, el universo y todo lo demás puede surgir de la interacción de membranas, cuerdas y burbujas en dimensiones superiores del espacio-tiempo. Las membranas pueden tomar la forma de burbujas, ser estiradas en dos direcciones como una hoja de caucho, o envueltas tan apretadamente que se asemejan a una cuerda. El punto principal a recordar sobre estas teorías avanzadas es que los físicos modernos continúan produciendo modelos de la materia y del universo que requieren dimensiones espaciales adicionales. Hipertiempo En este libro, me interesa principalmente una cuarta dimensión espacial, aunque varios científicos han considerado otras dimensiones, como el tiempo, como una cuarta dimensión. En esta sección, divago y hablo por un momento sobre el tiempo y lo que sería vivir fuera del flujo del tiempo. Se anima a los lectores a consultar mi libro Time: A Traveler’s Guide para obtener un extenso tratado sobre el tema. (Una Guía del Viajero)

asemejan a un trozo de queso) cambie a otro con un número diferente de agujeros, violando así las leyes de la topología clásica. Edward Witten y Petr Horava han mostrado recientemente cómo reducir la dimensión extra de la teoría M en un segmento de una línea. La estructura resultante tiene dos universos 10-D (cada uno al final de la línea) conectados por un espacio-tiempo de once dimensiones. Las partículas (y las cuerdas) existen sólo en los universos paralelos en los extremos, que pueden comunicarse entre sí sólo a través de la gravedad. Para obtener más información sobre estos conceptos de entumecimiento de la mente, véase el documento de Michael Duff citado en Lecturas Adicionales. Nótese que la teoría de cuerdas dice poco sobre el espacio en el que se mueven y vibran las cuerdas. Un modelo matemático relativamente nuevo conocido como la gravedad cuántica de bucles representa un enfoque alternativo en el que las reglas de la mecánica cuántica se aplican directamente a la descripción de Einstein del espacio y el tiempo. En este modelo, el espacio mismo viene empaquetado en pequeñas unidades discretas. Para cuantificar el espacio, los físicos postulan estados discretos análogos a los niveles de energía u orbitales de los átomos. Para más información sobre el espacio cuantizado y otras teorías, incluyendo la espuma de centrifugado 4-D, véase el artículo de 1998 de Ivars Peterson Science News.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO La teoría de la relatividad general de Einstein describe el espacio y el tiempo como un continuo unificado en 4-D llamado “espacio-tiempo”. El continuo 4-D de la relatividad de Einstein en el que tres dimensiones espaciales se combinan con una dimensión de tiempo no es lo mismo que el hiperespacio que consiste en cuatro coordenadas espaciales. Para entender mejor esto, considérese que tiene tres dimensiones espaciales: altura, anchura y profundidad. También tienes la dimensión de la duración: cuánto tiempo duras. La física moderna ve el tiempo como una dimensión extra; por lo tanto, vivimos en un universo que tiene (al menos) tres dimensiones espaciales y una dimensión adicional de tiempo. Deténgase y considere algunas implicaciones místicas del espacio-tiempo. ¿Puede existir algo fuera del espacio-tiempo? ¿Cómo sería existir fuera del espacio-tiempo? Por ejemplo, Tomás de Aquino creía que Dios estaba fuera del espacio-tiempo y por lo tanto era capaz de ver todos los objetos del universo, pasados y futuros, en un instante cegador. Un observador que existe fuera del tiempo, en una región llamada “hipertiempo”, puede ver el pasado y el futuro de una sola vez. Hay muchos otros ejemplos de seres en la literatura y el mito que viven fuera del espacio-tiempo. Muchas personas que vivían en la Edad Media creían que los ángeles eran inteligencias no materiales que vivían en un tiempo diferente al de los humanos, y que Dios estaba completamente fuera del tiempo. Lord Byron describe acertadamente estas ideas en el primer acto de su obra Caín, un misterio, donde el ángel caído Lucifer dice: Con nosotros los actos están exentos de tiempo, y podemos amontonar la eternidad en una hora, o estirar una hora en la eternidad. No respiramos a medida de los mortales… pero eso es un misterio. Una analogía directa implica una ilustración de un “eternigrama” que representa dos discos que ruedan uno hacia el otro, chocan y rebotan. La figura 1.5 muestra dos dimensiones espaciales junto con la dimensión adicional del tiempo. Puedes pensar en instantes sucesivos en el tiempo como pilas de fotogramas de películas que forman una imagen tridimensional del hipertiempo en el eternigrama. La figura 1.5 es una imagen “intemporal” de discos que chocan en la eternidad, una eternidad en la que todos los instantes del tiempo están

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO congelados como notas musicales en una partitura. Los eternigramas son atemporales. Los hiperseres que miran los discos en este pedazo de espacio-tiempo verían el pasado, el presente y el futuro de una sola vez. ¿Qué tipo de relación con los humanos podría tener una criatura (o Dios) que vive completamente fuera del tiempo? ¿Cómo podrían relacionarse con nosotros en nuestro mundo cambiante? Uno de mis ejemplos modernos favoritos de la vida de Dios fuera del tiempo se describe en la novela de Anne Rice Memnoch el Diablo. En un momento dado, Lestat, la protagonista de Anne Rice, dice: “Vi como Dios ve, y vi como si fuera para siempre y en todas las direcciones”. Lestat mira sobre una balaustrada en el Cielo para ver toda la historia de nuestro mundo: …el mundo como nunca lo había visto en todas sus épocas, con todos sus secretos del pasado revelados. Sólo tenía que correr a la barandilla y podía ver el tiempo del Edén o de la antigua Mesopotamia, o un momento en que las legiones romanas habían marchado a través de los bosques de mi hogar terrenal. Puedo ver la gran erupción del Vesubio derramar sus horribles cenizas mortales sobre la antigua ciudad viviente de Pompeya. Todo allí para ser conocido y finalmente comprendido, todas las preguntas se resolvieron, el olor de otro tiempo, el sabor de él.

Figura 1.5 Un eternigrama para dos discos que colisionan.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Si todos nuestros movimientos a través del tiempo estuvieran de alguna manera fijos como túneles en el hielo del espacio-tiempo (como en el eternigrama de la Fig. 1.5), y todo lo que se “movía” era nuestra percepción moviéndose a través del hielo a medida que el tiempo “pasaba”, seguiríamos viendo una compleja danza de movimientos a pesar de que nada se movía en realidad. Tal vez un alienígena vería esto de otra manera. En cierto sentido, todos nuestros movimientos pueden considerarse fijos en la geometría del espacio-tiempo, siendo todo movimiento y cambio una ilusión resultante de nuestra cambiante percepción psicológica del momento “ahora”. Algunos místicos han sugerido que el espacio-tiempo es como una novela que está siendo “leída” por el alma (el “alma” es una especie de ojo u observador que está fuera del espacio-tiempo, mirando lentamente a lo largo del eje temporal). La Nota 10 describe la metamorfosis del tiempo en una dimensión espacial durante la evolución temprana de nuestro universo. En el momento en que el tiempo pierde su carácter temporal, el universo está en el reino de lo que los físicos llaman tiempo imaginario.10 Mulder: ¿Nunca quisiste ser astronauta cuando eras pequeño? Scully: Debo haberme perdido esa fase. ―“Espacio”, Los Expedientes-X

10

Según una teoría ideada por James Hartle y Stephen Hawking, el tiempo puede perder su carácter ordinario y temporal cerca del origen del universo. En su teoría, el tiempo se asemeja a una dimensión espacial en tiempos muy tempranos. Así pues, el universo no tiene un comienzo real por la simple razón de que, si uno se remonta lo suficiente, ya no hay tres dimensiones del espacio y una del tiempo, sino sólo cuatro dimensiones espaciales. En otras palabras, el tiempo no “sigue adelante”, sino que se convierte en algo distinto del tiempo cuando se explora el pasado lejano. Aquí, el tiempo coopera con las tres dimensiones espaciales para crear una esfera 4-D. En este punto, el tiempo se vuelve “imaginario”. Del mismo modo, el tiempo puede no tener fin. Si el universo finalmente se contrae sobre sí mismo, puede que nunca llegue a la singularidad final porque el tiempo se volverá imaginario de nuevo. Si el universo no tiene principio ni fin, no podemos preguntarnos por qué fue creado en un momento dado, porque el tiempo deja de existir. (Para más detalles, ver el libro de Richard Morris Cosmic Questions en Lecturas Adicionales).

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dos

Lo que he visto no se puede describir... Puerta tras puerta se abrió sobre mi corazón, y mi alma se familiarizó con pensamientos que no eran de este mundo. Parecía como si cien mil mares, vastos y soleados, ondearan sobre ese rostro bendito. Lo que pasó entonces, no lo sé. Mi última palabra para ustedes es esta: nunca pidan algo así y estén contentos con lo que se les ha dado. ―Aqa Siyyid Ismail-i-Zavarii (Dhabih), como se cita en baha’u’llah: El Rey de la Gloria de H. M. Balyuzi

Imagine que una hormiga encuentra su camino repentinamente bloqueado por una copa de espuma de poliestireno desechada. Incluso si la hormiga es inteligente, ¿puede esperar entender para qué sirve la copa y de dónde vino? ―Charles Platt, Cuando puedas vivir el doble de tiempo, ¿qué harás?

¿Qué hace un buen chico judío como tú en la sexta dimensión? ―Anciano Yiddish en Zona Prohibida

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la divinidad de las dimensiones superiores

Sede del FBI, Washington, D.C., 3:00 P.M. A veces sientes que no eres parte de este mundo. La gente a menudo te mira fijamente en la calle y cuando deambulas por los pasillos del FBI tarde en la noche. Incluso el personal de limpieza parece seguirte como si fueras algo extraño o alienígena. Consideras la situación con una diversión y distanciamiento que enfurece a los más cercanos a ti, particularmente a Sally. “¿Qué es eso?” pregunta Sally. Miras tu mano. “Esta es mi mano.” Sally pone los ojos en blanco. “Eso no. Me refiero al libro que tienes en la mano”. “Flatland”. Quitas el polvo de un libro viejo y le das vuelta a sus páginas. “Fue publicado en 1884 por un maestro de escuela victoriano llamado Edwin Abbott Abbott. Se trata de la vida de un cuadrado en un mundo 2-D llamado Flatland. Cuando le habla a su gente de la tercera dimensión, lo meten en la cárcel”. Los ojos de Sally se mueven alrededor de tu desordenada oficina y se concentran en una gran foto del ex jefe del FBI J. Edgar Hoover. Un delgado rastro de sahumerio de fresa surge de un palo ardiente en su escritorio, y hay un sonido musical que proviene de unos altavoces cercanos. Ahora está tocando un CD de Bismilla Kahn y Ravi Shankar. Los ojos de Sally se centran en ti. “¿Dijiste que el cuadrado está en la cárcel? ¿Estás insinuando que nos vamos a meter en problemas explorando la cuarta dimensión?” “Ya me siguen hombres secretos que fuman cigarrillos con sombreros negros.” “Eso es absurdo.” “Sally, escucha. Quiero hablar de Flatland porque al entender la dificultad del cuadrado para visualizar la tercera dimensión, estaremos mejor capacitados para tratar tu problema con la cuarta dimensión”.

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Figura 2.1 Ocho habitantes de Flatland: mujer, soldado, obrero, comerciante, profesional, caballero, noble, sumo sacerdote.

Sally pone sus manos en sus caderas. “¿Mi problema?” “Además, si podemos entender las experiencias del cuadrado, tendremos una metáfora perfecta de la iluminación espiritual, de Dios y de todo tipo de experiencias místicas.” Sally sacude la cabeza. “Eso es algo que vas a tener que probarme.” “Flatland es un plano habitado por criaturas que se deslizan por su superficie. Su sociedad se basa en un sistema de castas en el que el estatus de un hombre depende del número de lados de su cuerpo. Las mujeres son meros segmentos de línea, los soldados y los trabajadores son triángulos isósceles, los comerciantes son triángulos equiláteros, los profesionales son cuadrados, los caballeros son pentágonos regulares y los nobles son polígonos regulares con seis o más lados. Sus sumos sacerdotes tienen tantos lados que son indistinguibles de los círculos” (Fig. 2.1). Sally camina alrededor de su oficina mientras mira a varios modelos geométricos que cuelgan del techo. “¿Por qué las mujeres están representadas por humildes líneas?” Te encoges de hombros. “Estaba satirizando la sociedad rígida e insensible de los victorianos. En el libro, los irregulares (lisiados) son sacrificados, y las mujeres no tienen derechos. Son meras líneas, infinitamente menos respetadas que los círculos sacerdotales con un número infinito de bordes”.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Sally mira fijamente como la figura de Flatland que muestra las varias castas de individuos. Abre Flatland, buscando una página en particular. “Recuerda, en el siglo XIX se consideraba que las mujeres eran mucho menos capaces que los hombres. Creo que Abbott estaba tratando de mostrar algunos de los prejuicios de la sociedad, porque más adelante en el libro una esfera visita Flatland y dice: ‘No me corresponde a mí clasificar las facultades humanas según el mérito. Sin embargo, muchos de los mejores y más sabios de Spaceland piensan más en sus despreciadas Líneas Rectas que en sus queridos Círculos’.” Sally asiente con la cabeza. “Permíteme leerte un pasaje en el que el cuadrado dice...” Llamo a nuestro mundo Flatland, no porque nosotros lo llamemos así, sino para aclarar su naturaleza ante ustedes, mis felices lectores, que tienen el privilegio de vivir en el Espacio. Imaginen una vasta hoja de papel en la cual líneas rectas, triángulos, cuadrados, pentágonos, Hexágonos, y otras figuras, en lugar de permanecer fijos en su sitio se movieran libremente, sobre la superficie o en ella, pero sin poder elevarse ni hundirse debajo de ella, algo así como sombras —aunque duras y con bordes luminosos— y tendrán entonces una noción bastante acertada de mi tierra y sus habitantes. ¡Ay!, hace pocos años habría dicho “mi universo”: pero ahora mi mente se ha abierto hacia puntos de vista más elevados referentes a las cosas.

Fuera de la ventana de la oficina, nubes oscuras corren contra el cielo de la ciudad. Habrá una tormenta esta noche. Tú y Sally miran hacia arriba como los sonidos de los gansos canadienses que montan los vientos hacia su refugio invernal a lo largo de Tangier Sound. Durante la noche, cientos de águilas pescadoras y otras aves se encontraban en Washington, D.C., e incluso en el techo del edificio del FBI. No te importa que el pato te despierte de vez en cuando por la noche. De hecho, te encantan los pinzones y los pichones que revolotean en tus comederos. Los buitres, sin embargo, te dan escalofríos. A veces se posan en el árbol muerto de tu patio trasero. Por la noche, te recuerdan a los vampiros oscuros. Sally te mira. “Si todas las criaturas de Flatland se mueven en un plano, y sólo ven cosas en el plano, ¿cómo pueden diferenciarse entre sí? ¿No se verían sólo los lados del otro?”

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO “Excelente pregunta. Su atmósfera es nebulosa y atenúa la luz. Las partes de los lados de la criatura que están más alejadas del ojo del espectador se oscurecen. Las partes cercanas son más brillantes y claras. No olvide que nuestra propia retina es una superficie 2-D, pero podemos distinguir todo tipo de objetos; por ejemplo, podemos diferenciar entre una esfera y un disco simplemente por su sombreado”. Sally asiente con la cabeza. “Se me ocurre otra forma en que los Flatlanders pueden distinguir los objetos. Pueden saber cuando un objeto está frente a otro, y esto también proporciona una señal de profundidad visual”. Sally coloca una de sus manos frente a la otra. “Lo mismo es cierto en nuestro mundo. Veo una mano delante de la otra. No creo que una mano esté pasando mágicamente a través de la otra mano. Reconozco que hay una tercera dimensión del espacio, y que una mano está más cerca que la otra en esta dimensión”. “Correcto. Así como construimos una imagen mental de nuestro mundo en 3-D, los Flatlanders tienen muchas maneras de entender y sobrevivir en su mundo en 2-D”. Haz una pausa. “Pero el libro de Abbott no sólo habla de mundos en 2D. También analiza las visiones de la plaza de un mundo en 1-D llamado Lineland. El cuadrado dice”: Vi delante mío una gran multitud de Líneas Rectas (a las que naturalmente tomé por Mujeres) entremezcladas con otros seres aún más pequeños y con el aspecto de puntos brillantes, todos ellos moviéndose para uno y otro lado en una misma Línea Recta, y, por lo que podía apreciar, con la misma velocidad. Un ruido confuso formado por innumerables gorjeos o chirridos provenía de ellos a intervalos, mientras estaban en movimiento; pero a veces se detenían y entonces todo quedaba en silencio. Me aproximé a una de las más grandes de las que creía eran Mujeres, la abordé, pero no recibí respuesta alguna. Un segundo y un tercer intentos resultaron igualmente vanos. Perdiendo la paciencia ante lo que me parecía una intolerable grosería, coloqué la boca en una posición bien frontal ante la boca de ella para impedir así su desplazamiento, y en voz alta repetí la pregunta: —Mujer, ¿qué significa esta concurrencia, y este chirrido extraño y confuso, y este monótono movimiento de un lado para otro en una misma línea recta? —Yo no soy Mujer —replicó la pequeña línea—. Soy el Monarca del mundo.”

Le das el dibujo de Abbott de Lineland a Sally. El dibujo muestra a las mujeres como meros puntos y al resto de los habitantes como líneas (Fig. 2.2).

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Figura 2.2 La concepción de Edwin Abbott Abbott de Lineland con las mujeres como puntos y el Rey como línea en el centro. El Rey sólo puede ver los puntos.

Sally estudia el diagrama. “Me parece que las únicas partes que los Linelanders pueden verse entre sí son puntos únicos.” “Correcto”. “¿Cómo saben los Linelanders dónde están ubicados los otros habitantes de su mundo?” “Según Abbott, pueden hacerlo escuchando. También pueden determinar la longitud del cuerpo de un hombre porque los hombres tienen dos voces, una voz grave producida en un extremo y una voz aguda en el otro. Al escuchar las diferencias en las horas de llegada de los sonidos, se dan cuenta del largo del cuerpo”. Mientras estudias a Sally, te maravillas de cómo siempre tiene un aspecto refinado y sofisticado. Su cabello largo de los hombros la hace parecer una versión más joven de la Princesa Diana, años antes de que la Princesa muriera. Sally, sin embargo, no era una viajera del mundo como Diana. A excepción de la universidad, Sally nunca se aventuró lejos de Washington. En vez de eso, Sally prefirió recorrer las calles locales, practicando sus métodos de aplicación de la ley mientras caminaba, poniendo a prueba sus habilidades en todo tipo de chusma que la acosaba. Rara vez tenía que enseñar su placa o sacar su arma. Estás en marcado contraste con Sally. Vienes de una familia de buena gente con caras enrojecidas y manos callosas que cosecharon las aguas de Chesapeake desde que tienen memoria. Aunque te distinguiste en la universidad, especialmente en física e historia militar, volviste a tus raíces, prefiriendo una vida lejos de los académicos y de las interminables luchas de poder. Por otro lado, el FBI te dio la oportunidad de probar tus locas teorías en el mundo real.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Para ganar un poco de dinero extra, sus fotografías del río Potomac y sus animales son a menudo bienvenidas en el Smithsonian Magazine. Sally se acerca. “Cuando el cuadrado está a un lado de Lineland, el Rey no puede verlo. “¡Apuesto a que el Rey está frustrado!” “Sí, es un tipo irritable. El cuadrado trata de contarle al Rey sobre esta misteriosa segunda dimensión. Para ayudar al Rey a visualizar la segunda dimensión, el cuadrado se mueve gradualmente perpendicular a la línea”. Dibujas en la pizarra de la oficina (Fig. 2.3). “A medida que el cuadrado se mueve a través del espacio de Lineland, se hace aparente al Rey como un segmento que aparece de la nada, se queda por un minuto, y luego desaparece en un abrir y cerrar de ojos. Más tarde te contaré cómo el mismo tipo de apariencia y desaparición ocurriría cuando un 4-D es movido a través de nuestro espacio”.

Figura 2.3 Un cuadrado se mueve a través de Lineland mientras el Rey observa.

Sally asiente con la cabeza. “Déjame ver si puedo visualizar un viaje a 2D Flatland. Si me sumergiera en su universo, sería como vadear un lago sin fin. El plano del lago es su mundo. Sólo pueden moverse en la superficie del lago. Si el plano de Flatland me corta en la cintura, los Flatlanders sólo verían dos pequeñas manchas (mis brazos) y una burbuja central (mi cuerpo). ¡Piensa en lo extraño que les parecería!” “Bastante aterrador”. “Sería como un milagro cuando yo apareciera de repente en medio de ellos. A medida que me mueva, un segundo milagro sería la sorprendente transformación de mi forma. Si pudiera nadar horizontalmente a través de su

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO mundo, verían una silueta humana, pero si me parara horizontalmente, sería totalmente incomprensible para ellos” (Fig. 2.4).

Figura 2.4 Cómo verían a Sally los Flatlanders. (Dibujo de Brian Mansfield.)

“Cierto, y si los Flatlanders trataban de rodearte para mantenerte en un lugar, podías escapar moviéndote perpendicularmente hacia la tercera dimensión. A sus ojos, serías un Dios”. Debajo de un gran montón de libros en su escritorio, sacas uno con la historia “Carta a mis compañeros de prisión en la fortaleza de Schlusselburg”. Fue escrito por N. A. Morosoff en 1891 y describe los poderes de los seres tridimensionales observados por criaturas bidimensionales. Lees en voz alta del libro: Si, deseoso de mantenerte en un solo lugar, te rodean por todos lados, puedes pasar por encima de ellos y encontrarte libre de ellos de una manera inconcebible para ellos. A sus ojos, tú serías un ser todopoderoso, un habitante de un mundo superior, similar a esos seres sobrenaturales de los que nos hablan los teólogos y los metafísicos.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO

Figura 2.5 A Cuadrado y su esposa en Flatland, tratando de tener algo de privacidad en una habitación cerrada, cuando de repente, aparentemente de la nada, una esfera penetra en su espacio.

Sally mira por la ventana. “Los seres bidimensionales no tendrían ni un gramo de privacidad si estuvieran cerca.” Asiente con la cabeza. “En una sección posterior de Flatland, el cuadrado y su esposa están cómodamente en su habitación con la puerta cerrada, compartiendo un momento íntimo. De repente oyen una voz de una esfera que flota a centímetros por encima de su espacio bidimensional. A medida que la esfera desciende hacia Flatland, aparece un círculo en la habitación del cuadrado. El círculo es la sección transversal de la esfera. Observe que la esfera entra en la habitación del cuadrado sin tener que abrir ninguna puerta” (Fig. 2.5). Sally sonríe. “Eso fue grosero de la esfera.” “Tal vez no. La esfera ha venido a enseñar al cuadrado sobre la tercera dimensión”. Alcanzas la mano de Sally. “Tampoco habría privacidad para nosotros. Si un ser 4-D lo quisiera, podría entrar en nuestra habitación durante un interludio romántico” (Fig. 2.6). Sally aleja tu mano. “Señor, nuestra relación es estrictamente profesional.” Asientes con la cabeza mientras tu mirada se dirige a la pared donde tienes una foto del ex presidente Bill Clinton saludando orgullosamente a la bandera estadounidense. Suspiras y regresas a tu lectura. “Un hombre en 4-D podría meterse en cualquier habitación o contenedor sellado. Este ser nunca tendría que tocar las paredes del contenedor, de la misma manera que se puede llegar

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO dentro de una bóveda hueca y cuadrada en terreno llano y sacar un objeto. El ser 4-D podría robar dinero de una caja fuerte sin tratar de abrir la puerta; de hecho, la caja fuerte podría parecer una caja sin tapa ni fondo. Un cirujano en 4-D podría llegar al interior de su cuerpo sin romper su piel, robar su cerebro sin romper su cráneo (Fig. 2.7). Así como podíamos ver cada lado de un cuadrado y el interior simultáneamente, un ser 4-D podía ver todos nuestros lados al mismo tiempo; ver el interior y el exterior de sus pulmones y pasar sus dedos persistentemente a lo largo de los pliegues y las circunvoluciones de tu cerebro. El ser podía beber vino de una botella de Château Lafite de 1787, el vino más caro del mundo, sin destapar el corcho”. Recuperas el aliento, esperando que Sally haya encontrado tu lectura impresionante y elocuente. “Piensa en lo fácil que sería localizar una obstrucción en un laberinto de tuberías. O...” Haces una pausa dramática. “O imagina un vampiro en 4-D que podría chuparte la sangre o embarazarte sin que lo veas.”

Figura 2.6 Un hombre y su esposa, en nuestro mundo tridimensional, tratando de tener algo de privacidad en una habitación cerrada, cuando de repente, aparentemente de la nada, una hiperesfera sonriente penetra en su espacio.

Sally levanta la mano. “¡Basta! Ya entendí”. Se detiene mientras ambos caminan hacia la ventana y observan cómo el sol se derrumba en una muesca entre las columnas del edificio del Capitolio. ¡Hermoso! El sol invernal envuelve las columnas en un marrón dorado, y nubes amarillentas cuelgan sobre los reflejos del alabastro. Pronto oscurecerá, y deberías irte a casa.

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Figura 2.7 Un cirujano con poderes 4-D podría realizar una “cirugía a corazón cerrado” en una persona 3-D, es decir, el corazón podría ser extirpado sin siquiera pinchar la piel. (Dibujo de Brian Mansfield.)

Sally se vuelve hacia ti. “Creo que entiendo lo que dices. Si tuviera los músculos para elevar mi brazo a la cuarta dimensión, podría llegar `a través de’ una pared sólida y tomar perlas invaluables o un valioso jarrón Ming de un estuche sellado en un museo. Mi brazo estaría completamente sólido todo el tiempo, pero el robo se lograría moviendo mi brazo hacia arriba a través de la cuarta dimensión. Levantaría el jarrón fuera de la caja moviéndolo hacia arriba en la cuarta dimensión para conseguir “rodear” la pared” (Fig. 2.8). Asiente con la cabeza. “Volvamos a la historia de Flatland. ¿Quieres saber qué le pasa al cuadrado cuando la esfera empieza a hablarle en el dormitorio?” “Claro”. “Bueno, naturalmente el cuadrado no cree que la esfera sea algo más que un círculo que puede cambiar de tamaño. El cuadrado cree que la esfera es una criatura 2-D ordinaria como él. Sin embargo, la esfera se opone a esta simple caracterización”:

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO “Yo no soy una figura plana sino un sólido. Usted me llama Círculo, pero en realidad no soy un Círculo, sino un infinito número de círculos, de tamaños que varían desde un punto hasta un círculo de trece pulgadas de diámetro, uno colocado encima del otro. Cuando interseco su plano como lo estoy haciendo ahora, determino en él una sección a la que usted bien llama Círculo. Pues incluso una Esfera —que tal es el nombre propio que tengo en mi tierra — si de alguna manera se manifiesta a un habitante de Flatland, debe hacerlo bajo la forma de un Círculo.” “¿Usted no recuerda — pues yo, que veo todas las cosas, percibí anoche la visión fantasmal de Lineland escrita en su mente— no recuerda, decía, cómo, cuando entró al reino de Lineland, se vio obligado a mostrarse al Rey, no como un Cuadrado, sino como una Línea, porque ese Reino Lineal no tenía suficientes dimensiones como para representarlo completamente, sino sólo a una rebanada o a una sección suya? Precisamente de la misma manera, su país de dos dimensiones no es lo suficientemente espacioso como para representarme, a mí, que soy un ser de tres dimensiones, sino que sólo puede mostrar una rebanada o sección mía, que es lo que usted llama un Círculo.”

Figura 2.8 Robar es fácil en otra dimensión. (Dibujo de Brian Mansfield.)

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Te acercas a una tina de agua en la esquina de tu oficina. Solías tener unas pirañas en ella, pero hace años todos los peces murieron. Era demasiado difícil conseguir suficiente comida para ellos. Les permitiste canibalizarse entre sí hasta que sólo quedaba un pez, y, por desgracia, finalmente sucumbió canibalizando su propio cuerpo, a pesar de la ocasional chatarra de Burger King que arrojaste al tanque y la infrecuente rata muerta que el personal de limpieza dejó fuera de tu puerta para alimentarla. Ahora mantienes el tanque en tu habitación para ayudar a visualizar las intersecciones de objetos tridimensionales con mundos bidimensionales. Mete la mano en el agua y saca una pelota. “Así es como se ve una esfera para un habitante de Flatland. La superficie del agua es una metáfora de Flatland”. Empujas la pelota hacia abajo para que toque el agua en un punto. Empujas más lejos y la punta se convierte en un círculo. El círculo se agranda hasta alcanzar un tamaño máximo y luego se encoge hasta un punto a medida que se empuja la esfera bajo el agua. El punto desaparece. Te vuelves hacia Sally. “Imagina lo difícil que sería para un habitante de Flatland pensar que todos estos círculos diferentes forman un objeto tridimensional” (Fig. 2.9).

Figura 2.9 Una pelota que se introduce a través de la superficie del agua es una metáfora de una esfera que se mueve a través de la llanura.

Sally se acerca a la bañera de agua. “Es como si el cuadrado tuviera anteojeras que no le permitieran mirar hacia arriba o hacia abajo, justo delante. Si una hormiga flotara en la superficie del agua y sólo pudiera ver a lo largo de la superficie, vería la esfera como un círculo que crece y se encoge en tamaño”.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Ella hace una pausa. “Señor, ¿podemos ponerle anteojeras? ¿Podría nuestro cerebro cegarnos de mirar ‘arriba’ y ‘abajo’ en la cuarta dimensión donde Dios, demonios, ángeles y toda clase de seres podrían estar escuchando cada palabra, observando cada acción, a sólo unos centímetros de nosotros en otra dirección?”. (Fig. 2.10).

Figura 2.10 Dios, ángeles y demonios que habitan en la cuarta dimensión, sólo un ligero desplazamiento de nuestro mundo tridimensional en una dirección que apenas podemos percibir pero en la que no podemos movernos.

“Sally, creí que tú eras la escéptica.” Comienzas a tararear el inquietante y repetitivo tema de la Dimensión Desconocida. “Sally, empiezas a gustarme.” Ella sonríe. “Sólo estoy especulando en voz alta.” Golpeas tus puños y ella jadea. “Sally, ¿qué verías ahora mismo si una hiperesfera 4-D pasara por el espacio justo delante de tus ojos?” Mueves los dedos delante de su cara y ella retrocede.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO “Baja la mano”, dice ella. “Razonando a partir de la analogía con una esfera que penetra en la Tierra Plana, primero veríamos un punto, luego una pequeña esfera y luego una gran esfera. Eventualmente la esfera se encogería y desaparecería de nuestro mundo. Sería como inflar y desinflar un globo”. “Correcto, todos los globos son seres de la cuarta dimensión.” “¡Qué!” “Sólo bromeaba, pero entiendes. Una esfera es una pila tridimensional de círculos con radios diferentes. Un cilindro es una pila tridimensional de círculos del mismo radio. Una hiperesfera es una pila 4-D de esferas con radios diferentes. Un hipercilindro es una pila 4-D de esferas de los mismos radios.” “No puedo visualizar cómo apilar objetos en una cuarta dimensión.” “Sally, es muy difícil. Algunos científicos usan gráficos computarizados para ayudar a visualizar secciones en 3-D de objetos 4-D giratorios”. Haz una pausa. “¿Recuerdas que te dije lo fácil que sería para un ser 4-D embarazar a una mujer sin ser visto?” “Eso era demasiado raro para considerarlo.” “Bueno, considera esto. ¿Cómo crees que se vería el esperma en 4-D?”

Figura 2.11 Espermatozoides de forma idéntica de un ser 4-D. A medida que las cabezas hiperelipsoidales se intersectan con nuestro mundo tridimensional, primero aparecen como puntos, luego como elipsoides que cambian de tamaño, y luego como puntos de nuevo cuando dejan nuestro espacio. Dependiendo de su intersección con nuestro mundo, a veces se asemejaban a esferas. Puede que sólo veamos sus cabezas o colas.

Sally respira profundamente. “En lugar de tener cabezas elipsoidales, los espermatozoides en 4-D podrían tener cabezas hiperelipsoidales. A medida

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO que las cabezas se cruzan con nuestro mundo en 3-D, primero aparecen como puntos, luego como elipsoides que cambian de tamaño. Justo antes de que desapareciera, un pequeño glóbulo se mantendría durante algún tiempo a medida que la cola pasaba a través de ella. Un hombre 4-D podría, en principio, inseminar a una mujer 3-D sin que ella lo viera” 11 (Fig. 2.11). Afuera está empezando a nevar. Unos cuantos copos grandes se cruzan en el plano de su ventana y desaparecen. Te quedas callado mientras miras los faros de los coches, el bullicio de los peatones y a un hombre vestido con un traje de Papá Noel que pasa corriendo. Vuelves con Sally. “Imagínate a un Dios en 4-D metiendo su mano en nuestro mundo. Veríamos Su sección transversal. Algunas personas ciertamente tendrían miedo. Alguien demasiado audaz podría apuñalar la mano de Dios con un cuchillo” (Fig. 2.12).

Figura 2.12 Un “Dios” 4-D empuja Su mano en el espacio-3. ¿Hay alguna forma de bloquear a un ser 4-D en nuestro espacio atravesando con un cuchillo la mano? (Dibujo de Brian Mansfield.)

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Sin embargo, ¿le interesaría a un hombre en 4-D una mujer que le pareciera delgada como papel?

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Sally mira por la ventana. “¿Podríamos dañar a un ser 4-D cuya mano vino a nuestro mundo?” “Pensemos en esto en dimensiones inferiores que son más fáciles de visualizar. Si los Flatlanders son realmente bidimensionales, eso significa que no tienen espesor. Si esto es así, serán tan inmateriales como sombras. Si te apuñalaran la mano tridimensional con la punta afilada de un triángulo, no te harías daño, ni tendrías ningún problema para sacar la mano de su espacio. No estoy seguro de que los Flatlanders puedan cortarte la piel. Sin embargo, otro modelo es pensar en Flatland como una lámina de goma en la que los habitantes tienen un grosor muy ligero. En la segunda edición de Flatland, Edwin Abbott Abbott sugiere que todos los habitantes tienen una pequeña estatura, pero como todos tienen la misma estatura, ninguno de ellos se da cuenta de que existe esta tercera dimensión. No tienen el poder de moverse en esta dimensión”. “Si los Flatlanders tuvieran un poco de grosor, podrían cortarte la mano como un cuchillo. Si los habitantes tuvieran kilómetros de largo, podrían tener suficiente peso para atrapar tu mano”. Sally mira hacia otro lado, desde la ventana. “Correcto. Del mismo modo, alguien podría ser capaz de apuñalar a un Dios 4-D y atraparlo para siempre en nuestro mundo 3-D”. Un escalofrío recorre tu columna vertebral porque por un instante ves una visión de Jesús clavada en la cruz. ¿Podrían ser algunos de los supuestos milagros del pasado el resultado de seres de una dimensión superior? Moisés, Jesús, Mahoma, Buda y Bahá’u’llah, ¿tenían acceso al hiperespacio? ¿Podrían levantar sus ojos, quitar sus anteojeras y mirar hacia otros mundos? ¿Recuerdas la cita del psicólogo William James?: Nuestra conciencia despierta normal no es más que un tipo especial de conciencia, mientras que todo a su alrededor, separado de ella por la más plana de las pantallas, yacen formas potenciales de conciencia completamente diferentes. Ningún relato del universo en su totalidad puede ser definitivo, lo que deja a estas otras formas de conciencia muy desatendidas. Pueden determinar actitudes aunque no puedan proporcionar fórmulas, y abrir una región aunque no den un mapa.

Y luego recuerdan las leyendas de Bahá’u’llah, el gran profeta religioso persa, que permite a un ser humano contemplar la vida después de la muerte y

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO las dimensiones más allá de nuestra comprensión, y como resultado de ello, el ser humano enloquece extáticamente. Del mismo modo, en Flatland, una esfera agarra el cuadrado y lo eleva al espacio, produciéndole una sinfonía sensorial que es a la vez bella y horripilante. La plaza recuerda: Un horror inexplicable se apoderó de mí. Todo se volvió oscuro; luego siguió una vertiginosa y desagradable sensación de visión pero que no era como ver; vi una línea que no era una Línea;2 un espacio que no era Espacio; era yo y no lo era. Cuando recobré el habla, lancé un chillido de agonía, “Esto es la locura o el Infierno.” “No es la una ni el otro” replicó con calma la voz de la Esfera; “es el Conocimiento; son las Tres Dimensiones; abra el ojo de nuevo y trate de mirar atentamente.”

Sally te toca el hombro. “Estás callado. ¿Un penique por tus pensamientos?” “Estoy pensando en cómo se sentiría ser elevado a una dimensión superior.” Sally hace un dibujo de un humano en 2-D en un plano.

Figura 2.13 Sally eleva a un humano en 2-D a la tercera dimensión. Si fuera verdaderamente bidimensional, sin grosor, Sally podría levantar sólo su piel, dejando algunas de sus tripas. (Rudy Rucker en La Cuarta Dimensión discute este escenario entre muchos otros relacionados con criaturas que interactúan entre dimensiones. Dibujo de Brian Mansfield.)

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO “Bonita foto. ¿Cómo se llama?” Se encoge de hombros. “Lo llamo Hdd. Significa humano 2-D. ¿Y si yo levantara al Sr. Hdd de su universo 2-D. ¿Lo mataría? Sobreviviría si tuviera unas delgadas membranas que le sellaran la cara superior e inferior contra la tercera dimensión, de lo contrario, cuando lo jalara, ¡podría obtener sólo su piel! (Fig. 2.13).

Figura 2.14 ¿Puede un humano en 2-D tener un sistema digestivo tubular sin desmoronarse en dos partes? (Dibujo de Clay Fried.)

Asiente con la cabeza. “Sin embargo, si pensamos que su hombre en 2-D reside en un plano con algún grosor, podríamos levantarlo sin mucho daño.” Sally dibuja un sistema digestivo, con un tubo que se extiende desde la boca del hombre hasta su ano (Fig. 2.14). “Me parece que los humanos en 2D no pueden tener un sistema digestivo completo que vaya de un orificio a otro porque esto separaría al ser en dos partes que se desmoronan. Tal vez sólo las criaturas primitivas evolucionarían en Flatland, como las lombrices planarias o la hidra que sólo tienen una abertura para el sistema digestivo. Comen alimentos y expulsan los desechos por la misma abertura” (Fig. 2.15). “Sally, estás olvidando algo. Una manera de evitar que el pobre Sr. Hdd se desmorone sería que la selección natural desarrollara un “instinto que se agarra a sí mismo”. Cada lado del tubo tendría proyecciones entrelazadas, casi como una cremallera. La estructura con cremallera o velcro está abierta al final de la boca cuando come. A medida que la comida pasa a través del cuerpo, la

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO cremallera se cierra detrás de la comida y se abre delante de ella, manteniendo así su cuerpo intacto12 (Fig. 2.16).

Figura 2.15 Tal vez en un mundo 2-D, sólo las criaturas con sistemas digestivos primitivos evolucionarían, como las lombrices planarias terrestres o hidra que sólo tienen una abertura en el sistema digestivo. Comen alimentos y expulsan desechos 2-D por la misma abertura.

Los copos de nieve están cayendo más rápido ahora Si la nieve estuviera cayendo de la cuarta dimensión, sería difícil de decir porque los copos son meros puntos que desaparecen de la existencia y vuelan tan rápido. Disfrutas viendo las banderas americanas fuera de tu ventana, ondeando en el viento como las capas de los matadores. Arriba, unos cuantos pájaros vuelan. Por un momento sus gritos recuerdan los gritos felices de los niños. Sigues los ojos de Sally que han vagado por el alféizar de la ventana en el que se alza un busto de bronce del astronauta Neil Armstrong. En la pared adyacente hay una foto de Robert Kennedy, Herbert Hoover y Nikita Khrushchev abordando un platillo volador. 12

Si un hombre en 2-D tiene un intestino que se agarra a sí mismo, ¿cómo podría su cerebro en un lado del cuerpo controlar el otro lado? ¿Qué productos químicos 2-D usaría como energía?

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Los ojos de Sally se abren de par en par a medida que se acerca a las fotos. “¿Estoy loco, o la decoración de tu oficina parece un poco fuera de lugar?”

Figura 2.16 Un sistema digestivo autocerrante con perillas o ganchos de enclavamiento. (Dibujo de Brian Mansfield.)

“Eso no importa. Enciende el televisor. Pidamos un informe del clima”. Sally enciende un pequeño televisor enterrado bajo un montón de textos matemáticos. Larry King, presentador de un programa de entrevistas de CNN, está gritando algunas noticias de última hora en su gran micrófono. Es algo sobre manchas de carne flotantes que aparecen en la Casa Blanca. Hay un rumor de que es un nuevo dispositivo de espionaje ruso.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Un escalofrío sube por tu columna vertebral. “¡Espera! Sube el volumen. Tenemos que investigar”.

Figura 2.17 Conejillo de Indias 4-D.

“¿Podría ser algo de la cuarta dimensión?” Agarras tu abrigo negro. Deben ser los Omegamorfos, las criaturas 4-D que se han introducido recientemente en el mundo. “Tenemos que salir de aquí e ir a la Casa Blanca”. De repente, el frasco de tu estantería se vuelve vivo con criaturas peludas y pulsantes. Sally salta hacia atrás. “¡Santa caballa! ¿Qué son esos?” “Son conejillos de indias de la cuarta dimensión” (Fig. 2.17). Le guiñas el ojo a Sally. Luego ellos le guiñan el ojo a Sally. Sally está callada.

La ciencia detrás de la ciencia ficción ¿Puedes imaginarte estar de pie en el centro de una esfera y ver todos los órganos abdominales a tu alrededor a la vez? Sobre mi cabeza estaban las espirales del intestino delgado. A la derecha el ciego con los anteojos a un lado, a mi izquierda el sigmoide y los músculos unidos al ilion, y bajo mis pies el

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO peritoneo de la pared abdominal anterior. Pero por alguna razón me mareé terriblemente; no pude soportarlo por mucho tiempo, tanto como me hubiera gustado permanecer dentro de él por un tiempo”. ―Miles J. Breuer, “El apéndice y los anteojos”

Quita los velos, Saca los medios, Respira el aliento del amor. Esto es lo que digo, y lo que digo, me quemo. ―Aga Siyyid Ismail-i-Zavarii (Dhabih), citado en Baha’u’llah : El Rey de la Gloria de H. M. Balyuzi

Quitar las yemas de los huevos Si existieran las criaturas 4-D, tendrían los poderes asombrosos discutidos en este capítulo. Los seres de cuatro dimensiones no tendrían que abrir puertas para entrar en nuestras casas. Simplemente podían entrar “a través” de los muros.13 Si estaban viajando en un periplo largo sobre el Himalaya, podían hacer el viaje más fácil desviándose alrededor de los picos irregulares y atravesándolos. (Imagine una analogía en 2-D con líneas dentadas impresas en papel. 13

En realidad, darían un paso alrededor de las paredes moviendo una distancia muy corta hacia la cuarta dimensión.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Podrías evitarlos entrando en la tercera dimensión mientras que tu amigo 2-D tiene que navegar con cuidado como un laberinto.) Si tuvieran hambre, los hiperparásitos (o carnívoros) 4-D podrían llegar a tu estómago o refrigerador por algo de comida, sin abrir ninguno de los dos. Si de repente tuvieras poderes 4-D, nunca tendrías que preocuparte de estar encerrado fuera de tu coche. Se puede pasar por “sobre” la puerta y volver a entrar en el coche. Piensa en las bromas que podrías hacer. Podrías quitar la yema de un huevo sin romperlo, o el interior de un plátano sin quitar la cáscara. Podrías ser el cirujano definitivo, extirpando tumores sin cortar la piel, reduciendo así el riesgo de infecciones bacterianas.14

Figura 2.18 Una criatura en 4-D (Omegamorfo) puede aparecer en varios lugares diferentes en 3-D a la vez. (Observe los pies de esta criatura que se cruza con nuestro mundo tridimensional representado como un plano. Dibujo de Sean Henry.)

Me estremezco al imaginar lo que pasaría si estos poderes llegaran a las manos equivocadas. Imagínate escenarios más horripilantes de lo que se puede imaginar en las peores pesadillas de Stephen King o Anne Rice: ladrones de

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Sin embargo, usted todavía podría introducir bacterias que se encuentran en sus aparatos 4-D. Otras ventajas serían el daño mínimo, el tiempo de curación, la pérdida de sangre y las cicatrices.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO cerebros, chupasangres y asaltos a medianoche por parte de merodeadores fantasmas que se materializan desde el aire.15 Un ser 4-D aparecería como múltiples objetos 3-D en un espacio 3-D. De este modo, se pueden tener varios objetos 3D desconectados que forman parte de un mismo ser compartiendo las mismas sensaciones. A nuestros ojos, podrían parecer fusionarse y divergir aparentemente al azar (Fig. 2.18). Flatland Hace más de un siglo, Edwin Abbott Abbott ―clérigo y director de una escuela en la Inglaterra victoriana― escribió un libro maravilloso que describe las interacciones entre criaturas de diferentes dimensiones. Uno de los propósitos de Abbott era animar a los lectores a abrir sus mentes a nuevas formas de percibir. Flatland describió una raza entera de criaturas en 2-D, viviendo en un plano liso, totalmente inconscientes de la existencia de una dimensión superior a su alrededor. Si pudiéramos mirar hacia abajo en un universo 2-D, podríamos ver dentro de cada estructura a la vez de la misma manera que un pájaro podría mirar el laberinto en la Figura 2.19 y ver todo lo que hay dentro, mientras que alguien que deambula por los pisos 2-D no tendría conocimiento de la estructura del laberinto. Podemos usar otra analogía para entender nuestra falta de privacidad cuando somos observados por seres 4-D. Considere una granja de hormigas ordinaria en la que las hormigas vagan por un mundo en 2D (en su mayoría) entre cristales de vidrio. Al igual que las Flatlanders, las hormigas tendrían grandes dificultades para esconderse de nosotros, excepto quizás presionando contra las paredes y esperando que no las viéramos. Si realmente hubiera un universo de Flatland a lo largo de una pared de tu casa, los Flatlanders podrían pasar toda su vida sin darse cuenta de que estabas a centímetros por encima de su mundo planar grabando todos los eventos de sus vidas. La Figura 2.20 enfatiza este punto al ilustrar algunas casas planas de fantasía diseñadas a partir de las letras del alfabeto. Observe que podemos ver todas las partes de las casas simultáneamente, así como todo lo que hay 15

¿Qué motivo tendría un Don Juan 4-D? Las mujeres insustanciales con genes y óvulos incompatibles no parecen ser objetivos deseables.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO dentro de sus habitaciones y armarios. Sin embargo, para un Flatlander, estas lujosas casas proporcionan una privacidad perfecta de sus vecinos. Una vez que un habitante de Flatland cierra la puerta, él o ella estará a salvo dentro, aunque no haya techo sobre la casa. Subir por encima de las líneas significaría salir del plano a una tercera dimensión, y ningún habitante de un mundo en 2D tendría un mejor entendimiento de cómo hacer esto que el que tenemos de cómo escapar de una habitación saltando a una cuarta dimensión.

Figura 2.19 Aprovechando los tres espacios, un ave puede mirar hacia abajo a un laberinto y ver toda su estructura, mientras que las personas que deambulan por el piso 2-D no son conscientes de la estructura del laberinto.

Debido a tu aparente omnisciencia, los habitantes de Flatland pensarían que eres un Dios. Tus poderes los asombrarían. Por ejemplo, si quieres encarcelar a un criminal, puedes simplemente dibujar un círculo alrededor de él. Sin embargo, podría ser posible que levantes al criminal y lo deposites en otro lugar de Flatland. Este acto le parecería milagroso a un Flatlander que ni siquiera tiene la palabra “arriba” en su vocabulario. ¿Podría haber dioses de dimensiones más elevadas con mayores grados de omnisciencia? ¿Podría haber universos de cinco, seis o siete dimensiones, cada uno capaz de mirar hacia abajo a su predecesor dimensionalmente reducido,

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO cuyos habitantes no podrían esconderse de las miradas entrometidas de los seres superiores siguientes?

Figura 2.20 Podemos ver todas las partes de una casa Flatland simultáneamente y ver el interior de cualquier habitación. (Esto no es un “diseño” sino una casa real en Flatland.) Del mismo modo, un ser 4-D podría mirar todas las partes de nuestras casas simultáneamente. ¿Cómo podrías esconderte?

Me gusta imaginar un universo donde los desfavorecidos dimensionalmente llevan señales de piquete con palabras como

ACCIÓN AFIRMATIVA PARA LOS DESAFÍOS DIMENSIONALES ¿Quién llevaría esos carteles? ¿Criaturas tridimensionales desfilando ante los ojos que todo lo ven de sus hermanos de 4-D? ¿Gente 4-D delante de gente 5-D? El gobierno actual exige rampas de acceso para que las personas disca-

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO pacitadas puedan entrar en los edificios públicos. Del mismo modo, ¿los gobiernos de nuestros futuros mandatos tendrán en cuenta las conveniencias dimensionales y los portales? Tal vez más extraño que estas dimensiones superiores es el mundo 0-D que podríamos llamar “Pointland”. No posee ni longitud, ni anchura, ni altura. Este punto es autónomo. Karl Heim describe enigmáticamente Pointland en Christian Faith and Natural Science: “No hay nada que no esté dentro de él.”16 Las mujeres de Flatland En Flatland de Abbott, la sociedad está rígidamente estratificada. Los soldados son triángulos isósceles con bases muy cortas y puntas afiladas para atacar a los enemigos. La clase media está compuesta por triángulos equiláteros. Los hombres profesionales son cuadrados y pentágonos. Las clases altas comienzan como hexágonos; el número de sus lados aumenta con su estatus social hasta que las figuras son indistinguibles de los círculos. Los círculos son los sacerdotes y administradores de Flatland. En el nivel más bajo están las mujeres: líneas rectas con un ojo en un extremo, como una aguja. Hay un brillo visible en el ojo de una mujer, pero no en su otro extremo, por lo que puede hacerse invisible simplemente dando la espalda. Su trasero afilado puede ser peligroso. Para evitar accidentes, las mujeres están obligadas por ley a mantenerse siempre visibles bamboleando perpetuamente sus traseros. Abbott escribe: Si los muy puntiagudos Triángulos que forman nuestra clase de los Soldados son formidables, muy rápidamente puede inferirse que mucho más formidables son nuestras Mujeres. Pues si un Soldado es una cuña, una Mujer es una aguja; siendo, por así decir, toda punta, al menos en sus dos extremidades. Agreguen a eso el poder que ellas tienen de hacerse prácticamente invisibles a voluntad y comprenderán que en Flatland, un ser del sexo femenino es una criatura con la de que ninguna manera se puede jugar.

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También considere que en Pointland, no hay nada más en el universo que un habitante pueda imaginar necesitar o desear.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Pero aquí, quizá, algunos de mis más jóvenes lectores pueden preguntar cómo una Mujer de Flatland puede hacerse invisible. Pienso que esto debería ser evidente sin ninguna explicación. Sin embargo, unas pocas palabras lo aclararán a los más irreflexivos. Coloquen una aguja sobre una mesa. Entonces, con la vista al ras de la mesa, mírenla de costado y la verán en toda su longitud; pero mírenla de punta y no verán más que un punto; se ha vuelto prácticamente invisible. Así ocurre con nuestras Mujeres. Si una de ellas tiene su costado hacia nosotros, la vemos como una línea recta; cuando el extremo que tiene su ojo o lo que es lo mismo su boca, porque entre nosotros esos dos órganos son uno solo, es la parte que se enfrenta a nuestra vista, entonces sólo vemos un punto muy luminoso; pero cuando la parte de atrás se presenta a nuestros ojos, como ésta es mucho menos brillante, casi tan apagada como un objeto inanimado, le sirve como una especie de Gorra Invisible. Los peligros derivados de nuestras Mujeres, a los que estamos expuestos deben resultar ahora evidentes aun para los menos capaces de Spaceland. Si ni el ángulo de un respetable Triángulo de la clase media está exento de riesgos; si chocar contra un Trabajador trae como consecuencia una herida profunda; si la colisión con un Oficial de la Clase Militar implica necesariamente una herida grave; si el simple contacto con el vértice de un Saldado Privado entraña peligro de muerte; ¿qué otra cosa que no sea la absoluta e inmediata destrucción puede ser el resultado del choque contra una Mujer? Y cuando una Mujer es invisible, o visible sólo como un punto muy apagado. ¡qué difícil debe ser siempre, aun para los más cuidadosos evitar una colisión!

¿Cómo sería un cerebro de Flatland? ¿Podría funcionar de verdad? Nuestros cerebros 3-D están altamente enrevesados con neuronas microscópicas haciendo interconexiones complicadas. Sin esta compleja red de tres espacios de filamentos nerviosos, algo imposible de lograr en un plano sin la autointersección, nuestros cerebros no serían posibles. Sin embargo, como Martin Gardner señala en The Unexpected Hanging, uno puede imaginar redes autointersectoras a lo largo de las cuales los impulsos eléctricos viajan a través de las intersecciones sin girar en las esquinas.17

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¿Qué tamaño tendrían que tener los cerebros 2-D para contener el mismo número de sinapsis que en nuestros cerebros? ¿Cómo podrían los nervios interconectarse sin interferencias o utilizando mucha más área para el cableado?

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Como señala Thomas Banchoff en Beyond the Third Dimension, la primera edición de Flatland apareció en noviembre de 1884 con sólo mil ejemplares, pero desde entonces el interés y las ventas han aumentado drásticamente. Edwin Abbott Abbott no fue la primera persona en considerar un universo 2-D habitado por criaturas planas, pero fue el primero en explorar lo que significaría para las criaturas 2-D interactuar con un mundo de dimensiones superiores. Hoy en día, las proyecciones gráficas por ordenador de objetos en 4-D nos acercan un paso más a los fenómenos de mayor dimensión, pero incluso los matemáticos más brillantes son a menudo incapaces de captar la cuarta dimensión, de la misma manera que el cuadrado protagonista de Flatland tenía problemas para comprender la tercera dimensión. Antes del trabajo de Abbott, varios individuos consideraban analogías entre los mundos 2-D y 3-D. Por ejemplo, el psicólogo y fisiólogo Gustave Fechner escribió Space Has Four Dimensions (El espacio tiene cuatro dimensiones), en el que una criatura bidimensional es un hombre sombra proyectado a una pantalla vertical por un proyector opaco. La criatura podía interactuar con otras sombras, pero, basándose en su limitada experiencia, no podía concebir una dirección perpendicular a su pantalla. La idea de las criaturas 2-D se remonta a la Alegoría de la Cueva de Platón, en el séptimo libro de La República, donde las sombras son representaciones de objetos vistos por observadores 3-D obligados a observar las vistas de dimensiones inferiores. A diferencia de Fechner, Platón no sugiere que las sombras tengan la capacidad de interactuar entre sí. Cómo esconderse de una criatura de cuatro dimensiones Virtualmente todos los libros sobre la cuarta dimensión sugieren que es imposible para nosotros escondernos de los seres 4-D que pueden ver dentro de nuestras casas incluso con las puertas cerradas. Sin embargo, un ser de dimensiones inferiores podría aprender a esconderse de los seres de dimensiones superiores aprovechándose de los objetos del mundo de dimensiones superiores. Empecemos con una analogía de Flatland. Considere un trozo de queso suizo en tres dimensiones. Si se dejara caer esto en Flatland para que intersectara el universo 2-D, un Flatlander podría esconderse dentro de la sección

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO transversal 2-D de un agujero en el queso. El afortunado Flatlander en este agujero no puede ser visto por un ser 3-D. Por supuesto, puede ser difícil para el Flatlander distinguir este hoyo de un círculo 2-D ordinario; sin embargo, si hubiera alguna forma de que los Flatlanders detectaran y se arrastraran dentro de estos hoyos, la selección natural podría desarrollar a los Flatlanders con tales habilidades. Por analogía, podríamos escondernos de las miradas indiscretas de un ser 4-D escondiéndonos en los hiperagujeros de un queso suizo 4D o de cualquier objeto 4-D que se superponga a nuestro mundo. Aunque no podíamos conocer directamente la ubicación de los espacios de escondite en 4-D, podríamos inferir sus posiciones notando que había lugares donde las visitas en 4-D nunca tuvieron lugar. Un día en la playa Demos un breve paseo por una playa 4-D llena de bañistas. Nuestro guía es un amigo 4-D al que llamaré Sr. Plex. Para tomar este tour, usted necesita ser sacado de nuestro universo 3-D y colocado en la cuarta dimensión. Mira a tu alrededor. Mucho de lo que ves es confuso. Los glóbulos aparecen de la nada, cambiando constantemente de tamaño, color y textura. A veces desaparecen y no se puede decir cuales son parte del Sr. Plex y cuáles son pedazos de cuerpos de otros bañistas. Muchas de los glóbulos están cubiertos de carne, así que dejas volar tu imaginación, asumiendo que los trajes de baño son bastante escasos y que estás viendo una versión en 4D de Baywatch. El Sr. Plex le presenta a su esposa, Pamela Sue. Ves una bola carnosa y otra bola cubierta de pelo rubio. “Encantado de conocerte”, dices. Aparte de la bola peluda ocasional, la única manera de diferenciar al Sr. Plex de su esposa es observando cómo cambian de forma los glóbulos. Cuando el Sr. Plex te lleva a la cafetería, no hay manera de que puedas distinguir a todas las criaturas. Hay demasiados glóbulos y colores cambiantes. El arte del Sr. Plex es extraño y extrañamente desarticulado tanto en el espacio como en las combinaciones de colores. Tú entiendes por qué. Cuando se mira una pintura en 2-D en una pared, se retrocede en la tercera dimensión y se puede ver el límite de la pintura (generalmente de forma rectangular), así como todos los puntos de la pintura. Esto significa que se puede ver todo el cuadro desde un solo punto de vista. Si desea ver una obra de arte en 3-D desde

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO un punto de vista, necesita retroceder en la cuarta dimensión. Asumiendo que tus ojos pudieran captar tal cosa, teóricamente verías cada punto de la obra de arte 3-D, y dentro de la obra de arte 3-D, sin mover tu punto de vista. Este tipo de visión “omnisciente” y de rayos X era conocido por pintores cubistas como Duchamp y Picasso. Por esta razón, los cubistas a veces mostraban múltiples vistas de un objeto en la misma pintura. Los escultores actuales, como Arthur Silverman, suelen colocar seis copias del mismo objeto tridimensional, en bases separadas, en seis orientaciones. La gente que ve las seis esculturas desarticuladas a menudo no se da cuenta de que todas son el mismo objeto. El profesor de matemáticas Nat Friedman (State University of New York at Albany) se refiere a esta visión teórica del hiperespacio como “hipervisión” y señala en sus escritos que en el hiperespacio se puede hiperver un objeto tridimensional completamente desde un solo punto de vista. Llama “hiperescultura” a un conjunto de esculturas relacionadas con múltiples orientaciones. Friedman escribe: “La experiencia de ver una hiperescultura permite ver múltiples puntos de vista desde un mismo punto de vista, lo que ayuda a desarrollar un tipo de hipervisión en nuestro mundo tridimensional”. Vea las Lecturas Adicionales para una descripción más completa de la hiperescultura dada por Friedman. Clavando a Dios En este capítulo, discutimos la posibilidad de atrapar a un ser de dimensiones superiores en nuestro mundo atravesando la sección transversal tridimensional de la criatura con un cuchillo. Curiosamente, esta idea del confinamiento de dimensiones inferiores fue la base de “El monstruo de la nada”, un fascinante relato corto de Nelson Bond (ver Lecturas adicionales). Burch Patterson, el héroe de la aventura, viaja a la selva peruana en busca de animales interesantes. De repente, él y sus hombres se encuentran con una bestia en 4D que se les aparece como glóbulos negros flotando en el aire, desapareciendo y reapareciendo. La mayoría de sus hombres son atacados y asesinados. Otras son levantadas del suelo por los glóbulos y desaparecen en el aire. Patterson más tarde determina que los glóbulos pulsantes han arrastrado a los hombres a un universo de mayor dimensión. Patterson anhela capturar a la bestia 4-D, pero se pregunta cómo puede atraparla. Si coloca una red alrededor de la bestia, simplemente puede salir de

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO nuestro universo y la red caerá al suelo vacía. La estrategia de Patterson es empalar el glóbulo con un pico para que no pueda salir de nuestro universo. Esto sería como si un Flatlander nos apuñalara y nos atrapara en el plano de su universo. Después de muchas semanas de estudiar a la criatura, Patterson identifica lo que él piensa que es el pie de la bestia y clava un gran pico de acero a través de él. Le lleva dos años enviar la masa retorciéndose y luchando de vuelta a Nueva Jersey. Cuando la criatura es exhibida a los reporteros, lucha tan duro que se desgarra su propia carne para escapar y luego procede a matar gente y secuestrar a Patterson en la cuarta dimensión. Después de la matanza, uno de los sobrevivientes decide quemar toda la evidencia de la bestia para que no se haga ningún intento futuro de capturar a tal criatura. Simplemente sería demasiado peligroso. Mulder: Hola, Scully. ¿Crees en la otra vida? Scully: Me conformaría con una vida en ésta. ―”Sombras”, Los Expedientes-X

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tres

Seguramente me oyó gritar, pues en ese momento, como dos estrellas blancas que explotan, las manos se abrieron y la figura cayó de nuevo en la tierra, de vuelta al reino, más antiguo que el nuestro, que llama a la oscuridad su hogar. —T. E. D. Kline, “Los Niños del Reino”.

Como representante debidamente designado de la Ciudad, Condado y Estado de Nueva York, le ordeno que cese todas y cada una de las actividades sobrenaturales y que regrese de inmediato a su lugar de origen o a la dimensión paralela más cercana que le resulte conveniente. ―Ray Stantz en Cazafantasmas

A medida que uno lo atraviesa, uno ve que la puerta que uno atravesó era la misma que había atravesado. —R. D. Laing, La política de la experiencia

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satanás y mundos perpendiculares

Washington Avenue, Washington, D.C., 6:00 P.M. Con Sally viajan en tu auto hacia la Casa Blanca. La nieve sigue cayendo y las carreteras asfaltadas empiezan a despejarse. Pronto la arena comienza a cubrir grandes tramos de carretera. Te vuelves hacia Sally. “Perdón por el susto con los conejillos de indias. Creo que los Omegamorfos los mantienen como mascotas. A los cerdos 4-D parece gustarles el sabor de los cereales de desayuno que pongo en los tarros de vez en cuando”. Sally te mira fijamente. “Quieres decir que se materializan en tus frascos de golosinas. Eso es una locura.” Sacude la cabeza. “¿Nunca te has preguntado por qué los cereales de desayuno vienen en cajas tan grandes y cuando abres cajas nuevas parece que se han quitado algunos de ellos? Claro, los fabricantes de cereales te dicen que los paquetes se venden por peso, no por volumen, y que el cereal se asienta con el tiempo. Pero los fabricantes se limitan a ocultar el hecho de que los conejillos de indias 4-D han entrado en las cajas de cereales sin romper el cartón “ “¡Cuidado al conducir!” Sally grita cuando empiezas a patinar. Desearías tener neumáticos para nieve. Cambias a tercera velocidad, luego a segunda, a medida que viajas con más cautela. “Sally, ¿puedes encender la radio?” Presiona el botón de encendido y la antena trasera se extiende automáticamente. A medida que busca emisoras, todo lo que oye son muchos sonidos susurrantes, casi como si hubiera sonidos dentro de los sonidos. Ocasionalmente, hay algunos chillidos rápidos, pero nada que puedas entender. “Sally, imagina que estás a punto de ser elevada a la cuarta dimensión. ¿Cómo sería nuestro mundo para ti desde tu perspectiva superior?” “Cuando estuvimos en Cherbourg, aparentemente me elevaron al hiperespacio. Detesto aceptar una explicación tan escandalosa, pero después de ver

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO cosas tan extrañas en su oficina, estoy empezando a pensar que es posible. Desafortunadamente, me desmayé, así que no puedo reportar nada”. “Está bien. Podemos explorar la cuarta dimensión en la seguridad relativa de mi auto”. Le das a Sally una gran tarjeta blanca que has sacado de la guantera. En él hay palabras que suenan impresionantes escritas en mayúsculas:

UN ESPACIO N-DIMENSIONAL CORTA UN ESPACIO (N+1)DIMENSIONAL EN DOS ESPACIOS SEPARADOS Sally voltea la tarjeta. “Eso es muy erudito de tu parte, pero...” “¿Sí?” Ella mira fijamente la tarjeta, arrugada durante años de uso. “Creí que impresionarías a más mujeres con tu tarjeta del FBI”. “Sally, ¿sabes lo que significan las palabras de la tarjeta? Déjame decirte algo.” Retrasas deliberadamente tu respuesta mientras le das a Sally la oportunidad de admirar tus asientos hechos de gamuza, un cuero lujoso, suave y poroso que podría mojarse y secarse repetidamente sin dañarse. Aunque tu Porsche Carrera XI rojo y deportivo no tiene nada que ver con la vida espartana de un agente del FBI, aprecias las líneas elegantes y la aceleración arrolladora de este coche. Nunca habrías gastado tanto dinero en un coche, pero has sido capaz de obtenerlo prácticamente por nada. Hace unos meses, mientras buscabas víctimas de asesinato en el río Potomac, enganchaste algo grande bajo el agua. Un día después te zambulliste, viste el auto e hiciste que un amigo lo remolcara hasta la orilla. El Sr. Duchovny, tu jefe en el FBI, dijo que debido a que los números de identificación del vehículo habían sido desarchivados, no había manera de rastrear el auto. No había señales de juego sucio, ni manchas de sangre ni evidencia de ningún tipo, excepto por un rollo húmedo de billetes de cien dólares que luego encontraste escondido debajo de la llanta de repuesto. Debido a que la policía pensó que el auto no valía nada después de estar bajo el río por unos meses, te permitieron quedarte con él. ¿Cómo anticiparon tu ingenio para repararlo?

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Figura 3.1 (a) Un punto 0-D corta una línea 1-D en dos partes. b) Una línea 1-D corta un plano 2-D en dos partes. c) Un plano 2-D corta un espacio 3-D en dos partes. Por analogía, nuestro espacio 3-D cortaría un hiperespacio 4-D en dos partes.

Miras a Sally y presionas el acelerador del auto, esperando escuchar a Sally ronronear como un gato mientras la fuerza del motor la empuja despiadadamente hacia atrás en el asiento de cuero. Desafortunadamente, no se obtiene el efecto deseado. Te pega en el brazo. “Idiota. “¡Mantén los ojos en la carretera y conduce con cuidado!” Asientes con la cabeza. “Bueno, déjame explicarte lo que escribí en la tarjeta. Comencemos en dimensiones bajas y trabajemos. Piensa en un punto sentado en una línea 1-D. Observe cómo el punto corta la línea en dos” (Fig. 3.1). “Recuerda, llamamos al punto cero-dimensional porque hay cero grados de libertad. Si vivieras en un mundo así, no podrías moverte. Del mismo modo, una línea 1-D corta un plano 2-D en dos partes”. Sally se ajusta el cinturón de seguridad mientras tú bajas por la Avenida Pennsylvania. “Puedo ver hacia dónde se dirige esto. Un plano 2-D corta un espacio 3-D en dos partes.” En la tarjeta, dibuja un espacio superior y un espacio inferior dividido por un plano. “Correcto. Y un espacio 3-D corta un hiperespacio 4-D en dos piezas. En general, un espacio n-dimensional corta un espacio (n + 1)-dimensional por la mitad. Para nuestra discusión, me referiré a las dos regiones del hiperespacio, separadas por el espacio 3-D, como localizadas en las direcciones épsilon y delta. Las palabras ‘épsilon’ y ‘delta’ pueden usarse más o menos como las palabras arriba y abajo. Para cimentar los términos en su mente, piensa que el Cielo yace a una milla en la dirección épsilon, y que el Infierno reside a una

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO milla en la dirección delta. Por supuesto, no puedes ver a ambos viviendo en nuestro mundo tridimensional”. Subes tu auto hasta la puerta noreste de la Casa Blanca donde notas las luces parpadeantes de los autos de la policía. A pesar de su curiosidad, continúas tu conferencia para asegurarte de que Sally tenga una comprensión más firme de la cuarta dimensión. “Algunas religiones sugieren que Satanás es el diablo, el príncipe caído de los ángeles, el adversario de Dios. Se dice que Satanás fue creado por Dios y puesto a la cabeza de las huestes angélicas, donde atrajo a algunos de los ángeles a rebelarse contra Dios. En castigo por su rebelión, Satanás fue arrojado del Cielo junto con su séquito amotinado, que se transformaron en demonios. Hoy, si Satanás cayera de épsilon a delta a través de nuestro espacio tridimensional, ¿qué veríamos?”. Sally mira por la ventana hacia la Casa Blanca y luego hacia ti. “Sería similar a lo que vería un Flatlander si un hombre fuera arrojado desde arriba hasta abajo del plano de Flatland. Podríamos ver un movimiento chocante de secciones transversales horribles e incomprensibles de Satanás, moviéndose, fusionándose y extendiéndose. Si un Satán 3-D tuviera cuernos y una cola y cayera a través de las Flatland, estas partes del cuerpo podrían ser percibidas como círculos carnosos u óseos que cambian de tamaño”. “Correcto. La caída de Satanás nos parecería como glóbulos carnosos incomprensibles que de repente se materializan, cambian de tamaño y finalmente desaparecen” (Fig. 3.2). Sally ajusta el pequeño crucifijo dorado que lleva en una delgada cadena alrededor de su cuello. “Cuando fui a la escuela católica, las monjas me enseñaron que Satanás es el gobernante sobre los ángeles caídos, siempre luchando contra el Reino de Dios seduciendo a los humanos al pecado. Satanás interrumpe el plan de Dios para la salvación y calumnia a los santos para reducir el número de los elegidos para el Reino de Dios. ¿Cómo podría Satanás hacer esto desde delta debajo de nuestro mundo 3-D? Si pudiera aparecer de vez en cuando en nuestro mundo, causaría estragos”. “Por supuesto, sólo estamos hablando de metáforas. Pero esto explicaría nuestro encuentro en Cherburgo. Vimos bolsas de piel pulsantes cuando una criatura 4-D llegó a nuestro mundo”. Sally se inclina hacia adelante. “¿Era Satanás el que estaba en Cherbourg?”

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Figura 3.2 Lucifer cayendo del Cielo (una milla en la dirección épsilon) hacia el Infierno (una milla en la dirección delta). (Dibujo de Brian Mansfield.)

“Eso es lo que hemos venido a averiguar. Creo que era un Omegamorfo. En estos días están ocurriendo muchas cosas misteriosas en Cherburgo y en los alrededores de Washington, D.C. Nada es seguro. Ya mencioné que si caíamos a través de Flatland, los Flatlanders verían manchas de piel pulsantes, parecidas a panqueques, mientras cruzábamos su mundo. Cuando nuestras bocas se entrecruzaban entre sí, los habitantes de las tierras planas podían vislumbrar el borde de nuestras lenguas, que para ellos serían como formas rosadas con baches. Cuando pasara la cabeza, veían los bordes de una tortita peluda” (Fig. 3.3). “¿Cómo sería ser elevado a la cuarta dimensión?” “Sally, piensa en una criatura en 3-D tirando de un cuadrado en 2-D. Si el cuadrado se despegara lentamente del mundo 2-D, parte del cuadrado permanecería en el plano por un tiempo. Del mismo modo, si una criatura 4-D te saca del mundo 3-D, tu cabeza podría desaparecer mientras tu cuerpo permanece. Y entonces serías completamente levantado del mundo.” “Una cosa me está molestando.”

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Figura 3.3 Un Flatlander vería el borde de tu cabeza cuando se cruza con su universo. (En esta sección de un cadáver fresco, podemos ver el cerebelo, la corteza cerebral, el tronco encefálico y los conductos nasales, aunque un Flatlander sólo vería el borde exterior de la sección transversal.

“¿Sólo una?” “Entiendo que un ser en 4-D debería ser capaz de vislumbrar nuestras tripas, ver las válvulas de nuestro corazón, y así sucesivamente, pero ¿cómo serían sus ojos? ¿Cómo funcionarían sus ojos?” “Sally, nuestra propia retina es esencialmente un disco 2-D de bastones y conos ―los dos tipos de células nerviosas para la visión―. Por analogía, una criatura 4-D tendría una retina que era una esfera de terminaciones nerviosas.” “¿Cómo vería un Omegamorfo con una retina esférica?”

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Figura 3.4 La retina del ojo de un ser 4-D.

“Cuando miras un círculo que se mueve en Flatland, tu capa de retina 2-D tiene un patrón circular que afecta a las células nerviosas. Cada punto del círculo corresponde a un rayo de luz del círculo a un solo punto de la retina. Si miras desde arriba, cada rayo llega hasta tu ojo. Si un ser 4-D estaba mirando una pelota, la imagen resultante es producida por la excitación de un patrón de terminaciones nerviosas en forma de bola en la retina esférica. Cada punto de la bola tridimensional envía un rayo de luz hacia épsilon a una región en forma de bola en la retina esférica” (Fig. 3.4). Sally mira por la ventana y luego te mira a ti. “Aquí es donde mis conocimientos médicos son útiles. Para ayudarnos a ver nuestro mundo, tenemos un ejército de células en nuestro sistema visual para mejorar el contraste, detectar el movimiento y los bordes, y distinguir entre pequeñas gradaciones en intensidad y color. De hecho, hay muchos millones de células que nos ayudan a comprender mejor nuestro mundo: 125 millones de bastones y conos, varios millones de células que intervienen en la retina y un millón de neuronas en el núcleo geniculado lateral, la primera estación de procesamiento importante para la entrada visual. Si tenemos 125 millones de bastones y conos en nuestra

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO retina 2-D, esperaría aproximadamente 1,3 mil billones de células en la retina 3-D del ojo de un ser 4-D.” “Vaya, ¿cómo se te ocurrió eso?” “Primero hay que tomar la raíz cuadrada de 125 millones para estimar el número de celdas en una sola dimensión, y luego elevarlo al cubo. Como las retinas son una dimensión menos que la de la criatura, podríamos estimar el número de células en todas las retinas de mayor dimensión”. Miras por la ventana y sientes que algo se mueve cerca. Levantas la cabeza pero no ves nada inusual. Bajas la ventanilla, pero eso no ayuda. ¿Deberías salir del coche para mirar? Y entonces aparece. Un viejo con traje de Papá Noel. Parece sobresalir entre la multitud, pero extrañamente ninguno de los policías lo encuentra peculiar. Sin embargo, el hombre está claramente fuera de lugar. Por alguna razón, te sientes avergonzado de que el hombre esté buscando atención. Desearías que el hombre se fuera. Él no pertenece. Es una sensación que tienes con frecuencia. Subes la ventanilla. “Sally, creo que puedo ayudarte a entender cómo una retina tridimensional puede visualizar a un humano, por dentro y por fuera, al mismo tiempo. Primero considera una transfusión de sangre para criaturas 2D a través de un tubo que sube a la tercera dimensión y vuelve a bajar de nuevo al plano de la criatura. En lo que respecta a la criatura, no estás rompiendo la piel, que podría estar representada como una línea en un dibujo. ¿Puedes visualizar cómo las criaturas 4-D pueden hacernos transfusiones?” (Fig. 3.5). “Sí, podrían hacer una transfusión a una criatura tridimensional usando un tubo que va épsilon y delta en la cuarta dimensión sin romper la piel. El mismo concepto se aplica al robo de objetos en cajas fuertes sin romper nunca la pared de la caja fuerte. Tu mano se materializaría en la caja fuerte y luego se desmaterializaría al retirarla. Pero, ¿adónde va realmente el tubo de transfusión?” (Fig. 3.6). “¡Va épsilon donde el quirófano ni siquiera existe! Del mismo modo, la retina tridimensional de una criatura en 4-D puede ver todas sus entrañas sin romper su piel. Esto asume que los rayos de luz se reflejan en la cuarta dimensión -tendremos que investigar más a fondo. He memorizado la linda descripción de Abbott de una criatura en 2-D sacada de Flatland y mirando hacia su mundo en 2-D desde un mundo en 3-D”:

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Figura 3.5 Una transfusión de sangre “hiperespacial” en un mundo bidimensional. El tubo de transfusión sube y baja hasta la tercera dimensión. La piel de la criatura nunca se rompe.

Figura 3.6 Una transfusión de sangre del hiperespacio en un mundo tridimensional. (a) El tubo de transfusión va épsilon y delta en la cuarta dimensión. (b) Interpretación artística de una transfusión hiperespacial. (Dibujo de Clay Fried.) Una vez más me encontré elevándome por el Espacio. Resultó ser como la Esfera había dicho. Cuanto más nos alejábamos del objeto que estábamos mirando, tanto más amplio se volvía el campo de la visión. Mi ciudad natal, con

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO los interiores de las casas y todos sus aposentos, se ofrecía a mi vista, en miniatura. Subimos más alto, y allí estaban; los secretos de la tierra, las profundidades de las minas, las más recónditas cavernas de los cerros, descubríanse ante mi vista.

Sally asiente con la cabeza. “Hemos hablado de cómo se verían los seres en 4-D para nosotros, pero ¿cómo nos veríamos realmente ellos? “Para responder a esa pregunta, hablemos de la aparición de criaturas que viven en mundos perpendiculares entre sí.” “¿Mundos perpendiculares?” “Sí, de nuevo empezaré con una analogía en 2-D. Considera dos planos en los que viven miles de insectos inteligentes. Sus dos mundos se cruzan en una línea. A lo largo de la línea de intersección hay muchos segmentos de líneas móviles que cambian de tamaño, desaparecen y reaparecen” (Fig. 3.7).

Figura 3.7 Mundos de insectos perpendiculares.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Sube la calefacción del Porsche. Quizás ambos deberían salir del auto y averiguar qué está pasando en la Casa Blanca. “Sally, en cuatro dimensiones, es posible tener dos espacios tridimensionales perpendiculares entre sí. Tendrían un plano en común.” “Si hubiera un espacio tridimensional perpendicular al nuestro, un espacio con extraterrestres moviéndose en él, ¿cómo se nos aparecerían? ¿Podríamos siquiera verlos?” “Estoy en contacto con este otro mundo y ahora te mostraré la respuesta.” Bajas el parasol por encima de tu asiento, revelando una foto de la actriz Gillian Anderson. “¿Qué hace ella aquí?” “No te preocupes. La foto simplemente esconde un botón que te permitirá vislumbrar una intersección plana con un mundo tridimensional perpendicular al nuestro”. Pulsas sobre la foto y de repente un plano rectangular se eleva desde el salpicadero del coche. “Esta es la intersección de un espacio 3-D de alienígenas con nuestro espacio 3-D.” A la deriva alrededor del plano hay varias formas de burbujas delgadas. Sally extiende la mano para tocar uno. “¡Esto es increíble! Se sienten sólidos” (Fig. 3.8). “Tienes razón.” Algunas manchas carnosas más grandes aparecen repentinamente y van a la deriva en el plano. “¿Qué son esos?” “Tal vez una gran criatura acaba de pasar.” “Vale, pero aún me pregunto qué veríamos si fuéramos levantados al hiperespacio y pudiéramos contemplar nuestro mundo. Quiero saber lo que se siente ser un Dios”. “Sally, consideremos una analogía 2-D con un hombre que vive en Flatland. Si lo arrancáramos de su plano de existencia y lo lleváramos a nuestro espacio en 3-D, no creo que realmente pudiera ver todos los objetos en 2D de su mundo como lo hacemos nosotros -suponiendo que su retina permanezca igual y sea sólo un arco en 1-D, un segmento de línea en la parte posterior de su ojo. Su retina está diseñada y evolucionada para recibir imágenes en el plano de Flatland. Si mirara hacia abajo en el plano de Flatland, sería como si estuviera escudriñando el plano a través de una fina hendidura, por lo que

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO realmente no sería capaz de ver su mundo de una sola vez. A medida que movía la cabeza hacia adelante y hacia atrás, como un escáner de código de barras de supermercado, diferentes regiones de su mundo salían a la luz. Tal vez podría incluso juntar todas las imágenes en 1-D para visualizar su mundo planosi su cerebro fuera lo suficientemente versátil. La situación es similar a la de los insectos en los dos planos perpendiculares. Mientras miran a lo largo de su plano de visión, verán segmentos de línea en movimiento. Si un plano se moviera en relación con el otro, estarían escaneando diferentes regiones de un plano. De la misma manera, cuando fuiste arrancado épsilon al hiperespacio, y miraste hacia delta a nuestro mundo, podrías haber visto (¡si no te hubieras desmayado!) muchas secciones transversales planas de nuestro mundo. Verías los interiores y los exteriores de las cosas. Si te esfuerzas lo suficiente, podrías combinar todas estas secciones en una imagen tridimensional compuesta de todo”. “Si Dios existiera en la cuarta dimensión y contemplara hacia delta en nuestro mundo, ¿sólo estaría viendo secciones transversales planas? Eso suena limitante.” “No, recuerda que nuestra retina es bidimensional. Su retina podría ser tridimensional, permitiéndole ver todo a la vez”. Sally desliza sus dedos persistentemente sobre el suave cuero de su asiento. “Tal vez podríamos aprender a ‘ver’ objetos tridimensionales si estuviéramos contemplando hacia delta nuestro mundo. Pero, ¿cómo podemos visualizar objetos en 4-D?” “El profesor Rudy Rucker de la Universidad Estatal de San José escribe filosóficamente sobre este tema preciso”: Los dibujos usan arreglos de líneas en 2-D para representar objetos en 3-D. ¿Por qué no deberíamos ser capaces de construir arreglos 3-D de neuronas que representen objetos 4-D? Más extravagantemente, quizás nuestras mentes no son sólo patrones tridimensionales: ¡tal vez nuestros cerebros tienen un ligero hiperespesor en 4-D; o tal vez nuestras mentes se extienden fuera de nuestros cerebros y hacia el hiperespacio!

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Figura 3.8 Mundo alienígena 3D, perpendicular al nuestro e intersectando nuestro mundo en un plano. (arriba) Visualización de nuestro mundo y el de ellos. (abajo) Un humano en su mundo aparece como una sección transversal cuando se lo ve desde nuestro mundo.

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Figura 3.9 El cerebro de los mamíferos busca expandir su dimensión para cumplir con su propósito biológico. Por ejemplo, la enorme superficie 2-D del cerebro está intrincadamente doblada para llenar un volumen 3-D de modo que su área de superficie aumente. Si pusieras todas tus células cerebrales de punta a punta, se extenderían alrededor del mundo veinticinco veces.

Metes la mano en la guantera y sacas un objeto gris y arrugado que está guardado en un frasco lleno de formalina para evitar que se pudra. Le das un golpecito al frasco que dice “Einstein”. Su cerebro se sacude como un mango nervioso. “Sally, el cerebro de los mamíferos busca expandir su dimensión para cumplir su propósito biológico. Por ejemplo, la enorme superficie 2-D del cerebro está intrincadamente doblada para llenar un volumen 3-D con el fin de aumentar su superficie. ¿No sería una gran historia de ciencia ficción que describe a un humano cuyo cerebro tridimensional se dobla en la cuarta dimensión para aumentar su capacidad?” (Fig. 3.9). Vuelves a colocar el cerebro en la guantera y sacas un trozo de queso suizo lleno de túneles que interconectan varias regiones del queso. Sally se pellizca la nariz. “No, gracias”.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO “Sally, tal vez podríamos usar otras dimensiones espaciales para viajar por el agujero de gusano.” “¿Agujeros de gusano?” Asientes con la cabeza. “Algún día, los agujeros de gusano podrían ser usados para viajes maravillosos. Algunos físicos creen que en el corazón de todo el espacio, a escalas de tamaño submicroscópico, existe espuma cuántica. Si ampliáramos lo suficiente el espacio, se convertiría en una espuma hirviente y probabilística, una especie de queso cosmológico”. Sally se pasa los dedos por el pelo. “Ahora, esto suena muy interesante. ¿Qué sabemos de la espuma cuántica?” El latido de tu corazón aumenta en frecuencia y amplitud a medida que miras su falda, del color de la menta fresca. “En la espuma, el espacio no tiene una estructura definida. Tiene varias probabilidades para diferentes formas y curvas. Podría tener un 60 por ciento de posibilidades de estar en una forma, un 20 por ciento de estar en otra, y un 20 por ciento de estar en una tercera forma. Debido a que cualquier estructura es posible dentro de la espuma, podemos llamarla una espuma probabilística, o espuma cuántica. La espuma contiene agujeros hacia otras regiones en el espacio y el tiempo”. Sally toca el salpicadero. “¿Podrían estos agujeros de gusano estar conectando diferentes áreas de nuestro mismo universo?” “Sí. En la espuma, las regiones adyacentes del espacio están continuamente robando y devolviendo energía de unos a otros. Estos causan fluctuaciones en la curvatura del espacio, creando agujeros de gusano microscópicos. Quién sabe, algún día las civilizaciones podrán usar esos agujeros para viajar por el universo.” El golpeteo de los dedos de Sally se vuelve más incesante. “Pero esos agujeros de gusano son demasiado pequeños para que la gente los use.” “Ese es el problema, y por eso nunca podremos usar un agujero de gusano. Necesitaríamos un dispositivo que vierta algo llamado materia exótica. La materia exótica tiene propiedades especiales que agrandan y mantienen abierto un agujero de gusano. Tal vez alguna civilización extraterrestre avanzada tenga un dispositivo así, pero no lo sabemos”. Te diriges hacia los coches de policía con luces intermitentes. “Averigüemos qué está pasando aquí.” Sales del coche y caminas por los terrenos cuidados hacia la entrada de la Casa Blanca.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Un hombre grande con un auricular de radio estilo Servicio Secreto y vestido con un traje negro con un corte de pelo de cien dólares está parado en el centro de la entrada con su dedo apuntando hacia ti. El hombre mide por lo menos seis pies y medio, 250 libras, con un cuello dos veces más grueso que el tuyo, y una nariz que se ha roto más veces de lo que te imaginas. Parece una parte jugador de fútbol y otra parte levantador de pesas. “Nadie entra en la Casa Blanca”, dice. Muestras tu placa del FBI. El hombre sacude la cabeza. “Nadie entra en la Casa Blanca”. Suspiras. Esta conversación no iba a ser productiva. “¿De quién es esta casa?”, se preguntarán. El hombre parece confundido por eso. Te señalas a ti mismo. “Mi buen hombre, la respuesta a esa pregunta es simple: la casa es mía. Soy un contribuyente. También soy del FBI. Más aún, estoy aquí para proteger al Presidente de los Omegamorfos.” Finges izquierda, doblas a la derecha y entras en la Casa Blanca con Sally detrás. El hombre pone su enorme mano de jamón en tu hombro. Esta no es una elección sabia, incluso para alguien mucho más grande que usted. Tienes la extraña pero convincente idea de que tu placa del FBI te da derecho a investigar crímenes. Contrabalanceas la mano del hombre. La palma de tu mano derecha levanta el brazo del hombre por la articulación de su codo, causando que el brazo se extienda en exceso, y luego formas un pico con tu mano derecha mientras le tuerces el brazo al hombre. De repente hay un grito dentro de la Casa Blanca. Corres a través de la Sala Este y luego a través de la Sala Roja. Pasas por encima de las pinturas de Abraham Lincoln, Zachary Taylor y John F. Kennedy. Finalmente, al llegar al Comedor Estatal, se encuentra el Presidente. Está rodeado de glóbulos, obviamente una o más criaturas de la cuarta dimensión. El Servicio Secreto del presidente lo rodea, apuntándole con sus armas a las manchas carnosas, pero es difícil conseguir un disparo limpio a las formas que cambian constantemente de tamaño y desaparecen y reaparecen. Uno de los agentes del Servicio Secreto te mira. “¿Quién demonios eres?” Buscas en el bolsillo y sacas tu placa. “FBI”. El presidente grita mientras su mano desaparece.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO “Consigue una cuerda”, le gritas a los agentes del Servicio Secreto. “Tenemos que anclarlo en nuestro mundo. Ahora mismo un Omegamorfo está tratando de arrastrarlo a la cuarta dimensión”. El agente del Servicio Secreto más cercano te mira. “¿Eres algún tipo de chiflado?” Sally retira su placa del FBI y apunta con su revólver de servicio a las ondulantes bolsas de carne. “Escúchenlo. Sabe de lo que habla”. Uno de los agentes se mete en un armario de almacenamiento y saca una cuerda gruesa. “¿Esto es lo suficientemente bueno?” Agarras la cuerda, corres hacia el presidente, y rápidamente la enredas en su tobillo. “Sally, rápido, ata el otro extremo al busto.” 
 Ella asiente con la cabeza y rápidamente sujeta el otro extremo de la cuerda a un enorme busto de bronce de Abraham Lincoln. El brazo del presidente desaparece. “¿Qué quieren de mí?” Intentas retener al presidente. “Señor, estamos en una región del espacio donde es fácil despegar a la gente del espacio 3-D local.” El presidente grita mientras su cabeza desaparece, luego su pecho y sus piernas. La única parte del cuerpo que se ve es su pie, atado a la cuerda y flotando a varios centímetros del suelo. Su pie baila sin cuerpo y finalmente se escapa del nudo. “¡No!” Sally grita. Lentamente sacude la cabeza mientras se forma una lágrima en el ojo. El presidente de los Estados Unidos ha sido secuestrado en el hiperespacio.

La ciencia detrás de la ciencia ficción El alma está atrapada en la jaula del cuerpo. El alma despierta puede progresar por un camino que conduce a la aniquilación en Dios. ―Afkham Darbandi y Dick Davis, Introducción a La Conferencia de las Aves

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Hay algunas cualidades… algunas incorporan cosas, Que tienen una doble vida, que así se hace Un tipo de entidad gemela que surge De la materia y la luz, evocada en sólido y sombra. ―Edgar Allan Poe, “Silencio”

Figura 3.10 Representación artística de un ser 4-D que aparece en nuestro mundo como un conjunto de bolas de carne peludas. (Dibujo de Michelle Sullivan.)

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Figura 3.11 Representación de seres en 4-D por la artista Michelle Sullivan. Michelle a menudo diseña sus criaturas con partes desarticuladas para simbolizar la intersección de una criatura 4-D en nuestro mundo 3-D.

Si los análogos en 4-D de los humanos desnudos intersectan nuestro mundo, podrían aparecer como glóbulos carnosos o peludos (Fig. 3.10), como se describe en este capítulo. Si estuviéramos vestidos, veríamos bolsas de carne cubiertas de tela. (La artista Michelle Sullivan ha dibujado varias ilustraciones de fantasía de seres en 4-D en la Fig. 3.11.) Por analogía, si metieras tu pie en Flatland, un Flatlander vería un disco de cuero (una sección transversal de tu zapato). Sin el zapato, el Flatlander vería un disco carnoso (tu piel). Mientras metes el pie más profundamente en Flatland, el Flatlander verá un disco de tela que representa tus pantalones. Si metieras ambas piernas en Flatland, aparecerías como dos discos de tela. A medida que desciendes, estos dos discos se fusionan en un solo disco en la cintura y luego cambian de color y se separan en tres discos (los dos brazos y la camisa). A medida que descendía, el Flatlander finalmente veía un disco peludo (el pelo de su cabeza) que

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO desaparece repentinamente a medida que recorre todo el camino por Flatland. Para los habitantes de Flatland, serías algo salido de sus peores pesadillas: una confusa colección de discos de cuero, tela, carne, labios, dientes (cuando tienes la boca abierta) y cabello que cambian constantemente. De manera similar, si un ser 4-D llegara a nuestro mundo, podríamos ver una colección enloquecedora de bolas constantemente cambiantes hechas de cuero, tela, carne, cabello y esmalte dental. Imagínate despertar un día y encontrar una bola de esmalte blanco en tu habitación. Es la intersección de un diente de Omegamorfo en el mundo tridimensional. Este ser en 4-D piensa que eres un dentista y quiere que perfores y llenes su cavidad. ¿Podrías perforar con éxito la cavidad desde tu ubicación en el universo tridimensional? Universos paralelos Aunque me ocupo de la cuarta dimensión espacial en este libro, muchos autores de ciencia y ciencia ficción han utilizado la palabra “dimensión” al referirse a universos paralelos: universos que se asemejan al nuestro y que quizás incluso ocupan el mismo espacio que el nuestro. Pequeñas diferencias en la evolución de tales mundos pueden llevar a universos extrañamente diferentes a medida que los universos evolucionan. Por ejemplo, imagínese una pequeña variante de nuestro mundo en la que Cleopatra tenía una desagradable protuberancia en la punta de la nariz. Toda la cascada de acontecimientos históricos sería diferente. Una mutación de una sola célula de la piel causada por la exposición aleatoria a la luz solar cambiaría el universo. Toda esta línea de pensamiento me recuerda a una cita de la escritora Jane Roberts: Eres tan parte del mundo que tu más mínima acción contribuye a su realidad. Tu respiración cambia la atmósfera. Tus encuentros con los demás alteran los tejidos de sus vidas, y las vidas de aquellos que entran en contacto con ellos.

En su novela Memnoch the Devil, Anne Rice tiene una visión similar cuando describe el cielo: La tribu se extendió para mezclarse entre innumerables familias, y las familias se unieron para formar naciones, ¡y toda la congregación era de hecho una configuración palpable y visible e interconectada! Todo el mundo afectaba a todo

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO el mundo. Cada uno se apoyaba, en su separación, en la separación de los demás.

En algunos escenarios de ciencia ficción en los que puedes viajar libremente entre universos paralelos, es fácil crear duplicados de ti mismo. Por ejemplo, considera varios universos que son idénticos hasta que viajes de un universo a otro. Dejarás el Universo 1, viajarás al Universo 2 y vivirás durante un año en el Universo 2 con tu réplica en el Universo 2. Suponga que hay un Universo 3 virtualmente idéntico al Universo 2 que tiene dos copias de usted. Dejan el Universo 2 y viajan al Universo 3, y así sucesivamente. (Uno de mis cuentos favoritos de réplica es The Man Who Folded Himself, de David Gerrold). El universo se complica, pero no hay contradicciones lógicas. Aunque este concepto de universo múltiple pueda parecer inverosímil, los físicos serios han considerado tal posibilidad. De hecho, la tesis doctoral de Hugh Everett III “Relative State Formulation of Quantum Mechanics” (reimpresa en Reviews of Modern Physics) esboza una teoría controvertida en la que el universo en cada instante se ramifica en incontables mundos paralelos. Sin embargo, la conciencia humana trabaja de tal manera que sólo es consciente de un universo a la vez. A esto se le llama la interpretación de la mecánica cuántica de “muchos mundos”. Una versión de la teoría sostiene que siempre que el universo (“mundo”) se enfrenta a una elección de caminos a nivel cuántico, en realidad sigue ambas posibilidades, dividiéndose en dos universos. Estos universos se describen a menudo como “mundos paralelos”, aunque matemáticamente hablando, son ortogonales o perpendiculares entre sí. En la teoría de los muchos mundos, puede haber un número infinito de universos y, si es cierto, entonces existen toda clase de mundos extraños. De hecho, algunos creen que la noción controvertida de que en algún lugar virtualmente todo debe ser verdad. ¿Podría haber un universo donde los cuentos de hadas sean ciertos, una Dorothy real vive en Kansas soñando con el Mago de Oz, un Adán y Eva real residen en un Jardín del Edén, y las abducciones alienígenas realmente ocurren todo el tiempo? La teoría podría implicar la existencia de universos infinitos tan extraños que no podríamos describirlos. Mis cuentos favoritos de mundos paralelos son los de Robert Heinlein. Por ejemplo, en su novela de ciencia ficción El número de la bestia hay un mundo paralelo casi idéntico al nuestro en todos los aspectos, excepto que la letra “J” no aparece en el idioma inglés. Por suerte,

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO los protagonistas del libro han construido un dispositivo que les permite realizar exploraciones controladas de mundos paralelos desde la seguridad de su vehículo de alta tecnología. En contraste, el protagonista de la novela de Heinlein, Job, se desplaza a través de mundos paralelos sin control. Desafortunadamente, al igual que gana algo de dinero en una América, se traslada a una América ligeramente diferente donde su dinero ya no es una moneda válida, lo que tiende a hacer su vida miserable. La teoría de muchos mundos sugiere que un ser que existe fuera del espacio-tiempo podría ver todas las bifurcaciones concebibles, todos los espaciotiempos y universos posibles, como si hubieran existido siempre. ¿Cómo podría un ser lidiar con ese conocimiento y no volverse loco? Un Dios vería todas las Tierras: aquellas donde ningún habitante cree en Dios, aquellas donde todos los habitantes creen en Dios, y todo lo demás. Según la teoría de muchos mundos, podría haber universos en los que Jesús fuera el hijo de Dios, universos en los que Jesús fuera el hijo del diablo y universos en los que Jesús no existiera. (Véase el addendum.) Gran parte de la interpretación de Everett de muchos mundos se refiere a eventos a nivel submicroscópico. Por ejemplo, la teoría predice que cada vez que un electrón se mueve o no se mueve a un nuevo nivel de energía, se crea un nuevo universo. Actualmente, no está claro hasta qué punto las teorías cuánticas (submicroscópicas) impactan en la realidad a nivel macroscópico, humano. La teoría cuántica incluso choca con la teoría de la relatividad, que prohíbe la transferencia de información más rápida que la luz (MRL). Por ejemplo, la teoría cuántica introduce un elemento de incertidumbre en nuestra comprensión del universo y establece que dos partículas cualesquiera que hayan estado en contacto continúan influenciándose mutuamente, sin importar cuán lejos se muevan, hasta que una de ellas interactúe o sea observada. De una manera extraña, esto sugiere que todo el universo se multiplica conectado por señales MRL. Los físicos llaman a este tipo de interacción “pegamento cósmico”. El santo grial de la física es la reconciliación de la física cuántica y relativista. ¿Qué es exactamente la teoría cuántica? Primero, es una ciencia moderna de lo muy pequeño. Describe con precisión el comportamiento de partículas elementales, átomos, moléculas, agujeros negros del tamaño de átomos, y probablemente el nacimiento del universo cuando el universo era más pequeño

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO que un protón. Durante más de medio siglo, los físicos han utilizado la teoría cuántica como herramienta matemática para describir el comportamiento de la materia (electrones, protones, neutrones...) y varios campos (gravedad, fuerzas nucleares débiles y fuertes, y electromagnetismo). Es una teoría práctica utilizada para entender el comportamiento de dispositivos que van desde láseres hasta chips de ordenador. La teoría cuántica describe el mundo como un conjunto de posibilidades hasta que una medición hace que una de ellas sea real. Las partículas cuánticas parecen ser capaces de influirse unas a otras a través de conexiones cuánticas: los enlaces superlumínicos que persisten entre dos partículas cualesquiera una vez que han interactuado. Cuando estas conexiones ultrarrápidas fueron propuestas por primera vez, los físicos las descartaron como meros artilugios teóricos, existiendo sólo en los formalismos matemáticos, no en el mundo real. Albert Einstein consideraba que la idea era tan loca que necesitaba demostrar que faltaba algo en la teoría cuántica. A finales de la década de 1960, sin embargo, el físico irlandés John Stewart Bell demostró que una conexión cuántica era más que una teoría matemática interesante. En particular, mostró que los vínculos superlumínicos reales entre las partículas cuánticas explican ciertos resultados experimentales. El teorema de Bell sugiere que después de que dos partículas interactúan y se separan fuera del rango de interacción, las partículas continúan influenciándose entre sí instantáneamente a través de una conexión real que las une con una fuerza no disminuida sin importar cuán lejos viajen las partículas. Alain Aspect y sus colegas confirmaron que la propiedad es de hecho una propiedad del mundo real. Sin embargo, la naturaleza precisa de esta conexión cuántica más rápida que la luz sigue siendo ampliamente discutida. Agujeros de gusano Gran parte de la investigación reciente sobre los agujeros de gusano ha sido realizada por Kip Thorne, un cosmólogo, y Michael Morris, su estudiante de posgrado. En un artículo científico publicado en el American Journal of Physics (ver Lecturas Adicionales), desarrollaron un esquema teórico para el viaje inter e intrauniversal a través de los agujeros de gusano que atraviesan el

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO universo. Estas puertas cósmicas podrían ser creadas entre regiones del universo a trillones de millas de distancia y permitirían la comunicación casi instantánea entre estas regiones. El Apéndice B enumera numerosos usos de la cuarta dimensión, el hiperespacio y los agujeros de gusano en la ciencia ficción. Por ejemplo, Carl Sagan en su novela Contact también utiliza los agujeros de gusano Kip Thorne para atravesar el universo. Los programas de televisión Star Trek: The Next Generation, Star Trek: Voyager y Star Trek: Deep Space Nine han utilizado agujeros de gusano para viajar entre regiones lejanas del espacio. En Star Trek: Deep Space Nine, una estación vigila un extremo de un agujero de gusano estable. Los agujeros de gusano cósmicos creados a partir de espuma cuántica subatómica también fueron discutidos por Kip Thorne y sus colegas en 1988. Estos investigadores no sólo afirmaron que el viaje en el tiempo es posible en su prestigioso artículo de las Cartas de Revisión Física, sino que el viaje en el tiempo es probable bajo ciertas condiciones. En su artículo, describen un agujero de gusano que conecta dos regiones que existen en diferentes períodos de tiempo. Así, el agujero de gusano puede conectar el pasado con el presente. Porque el recorrido a través del agujero de gusano es casi instantáneo, uno podría utilizar el agujero de gusano para viajar hacia atrás en el tiempo. A diferencia de la máquina del tiempo de La máquina del tiempo de H. G. Wells, la máquina de Thorne requiere grandes cantidades de energía-energía que nuestra civilización no puede producir durante muchos años. Sin embargo, Thorne escribe con optimismo en su artículo: “De un solo agujero de gusano una civilización arbitrariamente avanzada puede construir una máquina para viajar en el tiempo.” Nótese que el término “agujero de gusano” se utiliza en dos sentidos diferentes en la literatura de la física. El primer tipo de agujero de gusano está hecho de espuma cuántica. Debido a la estructura espumosa del espacio, innumerables agujeros de gusano pueden conectar diferentes partes del espacio, como pequeños tubos. ¡De hecho, la teoría del “superespacio” sugiere que los diminutos agujeros de gusano cuántico deben conectar cada parte del espacio con cada otra parte! El otro uso de la palabra “agujero de gusano” se refiere a una posible zona de transición en el centro de un agujero negro giratorio.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Para realizar completamente un agujero de gusano, Morris y Thorne calcularon varias propiedades de la materia necesarias para formar la garganta del agujero de gusano. Una propiedad de interés para ellos era la tensión (es decir, la fuerza de rotura) de la materia necesaria para mantener abierto el agujero de gusano. Lo que encontraron fue que la tensión requerida sería muy grande. Como Paul Halpern en su libro Cosmic Wormholes señala, para una garganta de cuatro millas de diámetro, la cantidad de fuerza necesaria es de 1033 libras por pulgada cuadrada. Esto sería más que la presión de un billón de cajas, de un billón de toneladas cada una, colocadas en la palma de la mano. Los agujeros de gusano más grandes con gargantas más anchas tendrían valores más razonables para la tensión de garganta. Además, Morris y Thorne encontraron otra situación difícil de superar cuando consideraron el asunto necesario para formar la puerta de entrada. La tensión requerida para mantener el agujero de gusano abierto debe ser 10 17 veces mayor que la densidad de la sustancia utilizada para construir el agujero de gusano. Según la ciencia actual, no hay materia en el universo que tenga tensiones de ruptura mucho mayores que sus densidades. De hecho, si la tensión de una pieza de materia se elevara por encima de 10 17 veces su propia densidad, los físicos sienten que el material comenzaría a poseer atributos extraños, como la masa negativa. Debido a estas características inusuales, el tipo de materia necesaria para mantener abiertos los agujeros de gusano se ha llamado materia exótica. Este tipo de materia puede existir en las fluctuaciones del vacío en el espacio libre. Para facilitar la construcción del agujero de gusano, puede ser posible construir el agujero de gusano entero a partir de materia normal y utilizar materia exótica sólo en una banda limitada en la garganta.18 18

Alrededor de un año después de que Morris y Thorne profundizaron en los agujeros de gusano, Matt Visser, de la Universidad de Washington, desarrolló un modelo de agujero de gusano que “parecía” más un carrete rectangular de hilo que la forma de reloj de arena de Morris y Thorne. Un agujero rectangular en el centro del carrete correspondía al agujero de gusano, la puerta de entrada entre dos regiones del espacio. En este modelo, descrito en Revisión Física, los límites del agujero de gusano son rectos y se pueden hacer tan distantes entre sí como se desee. La materia exótica podría por lo tanto ser colocada lejos de los viajeros del agujero de gusano para minimizar los riesgos. Este modelo de carrete rectangular puede ser más estable que el modelo Morris-Thorne, y las fuerzas de marea gravitacionales sobre los pasajeros serían menos preocupantes. ¿Cómo

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Caballos de ajedrez hiperdimensionales y Monopolio Vamos a divertirnos mucho en estas últimas secciones. No sólo es interesante especular sobre la cuarta dimensión en matemáticas y física, sino que la cuarta dimensión también proporciona un terreno fértil para extender los rompecabezas y los juegos. Como ejemplo, consideremos el ajedrez. El ajedrez es esencialmente un juego en 2-D en el que las piezas se deslizan a lo largo de la superficie del tablero de ajedrez. Por lo general, las piezas de juego no pueden saltar a la tercera dimensión para moverse entre sí. El Caballo, sin embargo, es un ser hiperdimensional porque puede dejar que el plano del tablero de juego saltando sobre otras piezas en su camino. (El Caballo es “hiperdimensional” en el sentido de que puede aprovechar la tercera dimensión, mientras que las otras piezas están limitadas a un mundo 2-D.) ¿Hay otras piezas de ajedrez hiperdimensionales? Una vez inventé un verdadero juego en 2-D en el que los Caballos no podían abandonar el plano para superar otras piezas. Inténtalo. ¿Cómo afecta esto a tu estrategia? ¿Podría un maestro de ajedrez mundial obligado a usar Caballos 2-D derrotar a un excelente jugador usando Caballos hiperdimensionales estándar? ¿Cuál habría sido el resultado de la partida entre el maestro de ajedrez Gary Kasparov y el

se vería el final de un agujero de gusano de Visser cuando flotaba en el espacio? Parecería una caja oscura y rectangular. Puedes acercarte a este prisma negro y entrar cerca del centro. Casi inmediatamente, usted saldría de una prisión oscura similar que constituye el otro lado del agujero de gusano. Estos dos prismas serían conectados vía la cuarta dimensión a lo largo del eje del carrete que compacta la garganta del agujero de gusano. El exterior del agujero de gusano de Visser actúa como un espejo gigante. La luz que brilla sobre él rebotaría como si golpeara un material reflectante. Visser también propuso otro modelo matemático para un agujero de gusano que se asemeja a dos manzanas sin núcleo. Las paredes internas de la fruta están conectadas a lo largo de la cuarta dimensión. Puede leer más acerca de esta estructura en el libro Cosmic Wormhole de Halpern o en el artículo científico original de Visser. Los agujeros de gusano Morris-Thorne pueden ser usados para viajes espaciales y en el tiempo como se describe en el documento de Morris, Thorne y Yurtsever (ver Lecturas Adicionales). Varios debates continúan sobre la posibilidad teórica de la máquina del tiempo del agujero de gusano. Para los lectores interesados en otras discusiones, ver los documentos de Visser. En mi libro Black Holes: A Traveler’s Guide, también incluyo gráficos en color de versiones en 3-D de espuma cuántica y agujeros de gusano.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO ordenador Deep Blue de IBM si Kasparov tuviera una torre hiperdimensional que pudiera saltar por encima de otras piezas?

Figura 3.12 Extensión de las partidas de ajedrez a dimensiones superiores. (Dibujo de Brian Mansfield.)

También es posible extender el ajedrez a dimensiones más altas sustituyendo el tablero cuadrado estándar de 8×8 por tableros de dimensiones más altas. Por ejemplo, el ajedrez puede ser generalizado a tres dimensiones jugando en una cuadrícula de 8×8×8 de posiciones en un cubo 3-D. (Puedes construir un modelo físico19 de una matriz de cubos en 3-D, con cada posición posible para una pieza de ajedrez, o usar gráficos por computadora para crear un tablero de juego virtual.) ¿Puedes diseñar un tablero así y modificar algunos de los movimientos de ajedrez para que se extiendan a la tercera dimensión? (Fig. 3.12)? Por ejemplo, la Reina también puede moverse en diagonal en la tercera dimensión. ¿Es difícil dar jaque mate a un Rey que podría alejarse a veintiséis posiciones? ¿Qué descubrimientos puede hacer sobre las estrategias de juego y el poder relativo de las piezas de ajedrez? Generaliza tus resultados a la cuarta dimensión. Considera también el ajedrez de Moebius jugado en una banda de Moebius (Fig. 3.13).

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Puede intentar usar láminas de plexiglás, suspendidas en las esquinas y en el centro con cuerdas anudadas.

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Figura 3.13 El ajedrez jugado en una banda de Moebius. (a) Posible configuración de arranque. (b) En el ajedrez de Moebius, cualquier Caballo puede atacar al peón. (c) En esta configuración, el peón no necesariamente protege al Caballo, porque la torre puede viajar en la dirección opuesta y terminar debajo del Caballo. (Dibujo de Brian Mansfield.)

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Como aprenderás en el Capítulo 5, una tira Moebius se crea girando una tira de papel 180 grados y luego pegando los extremos. El objeto resultante tiene sólo un lado. Ahora que el maestro de ajedrez Gary Kasparov ha sido derrotado por una computadora de IBM, tal vez variantes de ajedrez como éstas proporcionarían una reserva infinita para nuevas partidas y teorías. 20 Cuando era joven, jugaba a juegos de Monopolio hiperdimensionales alineando dos o más tableros, uno al lado del otro (Fig. 3.14). La plaza de estacionamiento libre actuaba como un “agujero de gusano” entre universos paralelos. En otras palabras, si una pieza del juego aterriza en un Estacionamiento Libre, tiene la opción de moverse a un tablero adyacente. Pruebe esta variante alucinante. Me interesaría saber de lectores que han experimentado con el Monopolio hiperdimensional.

Figura 3.14 Extensión de los juegos de Monopolio a dimensiones superiores. Los cuadrados de estacionamiento libre actúan como un agujero de gusano entre universos paralelos. (Dibujo de Brian Mansfield.)

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El go es un juego más difícil que el ajedrez, pero la extensión a dimensiones superiores es, en cierto modo, conceptualmente simple.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Teseracto de Rubik Muchos de ustedes estarán familiarizados con el ingenioso rompecabezas cúbico de Erno Rubik y sus variaciones que incluyen un cubo de 4×4×4 y rompecabezas con forma de tetraedros. Una variación natural que nunca apareció en los estantes de las jugueterías es la versión 4-D del cubo de Rubik, el teseracto de Rubik. Dan Velleman (Amherst College) discute el teseracto de Rubik 3×3×3×3 en la edición de febrero de 1992 de Mathematics Magazine. Muchos de sus hallazgos fueron descubiertos con la ayuda de una colorida simulación en una computadora Macintosh. Velleman comenta: “Por supuesto, el teseracto es algo más difícil de trabajar que el cubo, ya que no podemos construir un modelo físico y experimentar con él”. Aquellos de ustedes que estén interesados en conocer los detalles de este teseracto que rompe la mente, deben consultar su artículo. Vea el Apéndice A para más información sobre el teseracto de Rubik. Scully: Olvidé lo que era pasar un día en la corte. Mulder: Es uno de los lujos de cazar extraterrestres y mutantes genéticos. Rara vez puedes presentar cargos. ―“Fantasma en la máquina”, Los Expedientes-X

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cuatro

La esfera de mi visión comenzó a ampliarse. Luego pude percibir claramente las paredes de la casa. Al principio parecían muy oscuras y opacas, pero pronto se volvieron más brillantes, y luego transparentes; y en ese momento pude ver las paredes de la vivienda contigua. Estas también se convirtieron inmediatamente en luz, y se desvanecieron, derritiéndose como nubes ante mi visión en progreso. Ahora podía ver los objetos, los muebles y las personas en la casa contigua con la misma facilidad que en la habitación en la que estaba, pero mi percepción seguía fluyendo. La amplia superficie de la tierra, durante muchos cientos de kilómetros, ante el barrido de mi visión ―describiendo casi un semicírculo― se hizo transparente como el agua más pura; y vi los cerebros, las vísceras y la anatomía completa de los animales que en ese momento estaban durmiendo o merodeando por los bosques del Hemisferio Oriental, a cientos e incluso miles de kilómetros de la habitación en la que yo estaba haciendo estas observaciones. -Andrew Jackson Davis, The Magic Staff

Considere la situación real. Piense en miríadas de burbujas diminutas, muy escasamente dispersas, que se elevan a través de un vasto mar negro. Nosotros gobernamos algunas de las burbujas. De las aguas no sabemos nada. -Larry Niven y Jerry Pournelle, La Paja en el Ojo de Dios

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Hiperesferas y teseractos

Sede del FBI, Washington, D.C., 8:00 P.M. “¡Tenemos que salvar al Presidente!” “Sally, lo intentaremos. Pero primero tenemos que continuar con nuestras lecciones. Necesitamos más información antes de ir tras él”. “No tenemos tiempo para eso.” “Sally, debemos hacer tiempo. Cristóbal Colón no empezó a explorar sin entender los principios básicos de la navegación” Vuelves a tu oficina del FBI. “Quiero hablar más sobre las hiperesferas y teseractos, las contrapartes 4-D de las esferas y cubos.” Dibujas un círculo en el tablero con un punto en el centro. “Un círculo es el conjunto de puntos (en un plano) todos a la misma distancia r de un punto. Una esfera es el conjunto de puntos (en el espacio) todos a la misma distancia r de un punto. De manera similar, una hiperesfera es la colección de puntos (en el hiperespacio) todos a la misma distancia r de un punto.” Sally se acerca a la tabla. “Si una hiperesfera con un radio de 17 pies llegara a nuestro mundo, ¿qué puntos habría en ella?” Señala con el dedo en el aire. “Supongamos que su centro está situado en la punta de mi dedo.” Durante varios segundos, miras fijamente las uñas elegantemente cuidadas de Sally antes de tomar una cuerda de tu cajón y medir diecisiete pies. “Sally, ¿me prestas uno de tus pendientes?” Se quita un pequeño pendiente de oro de su oreja izquierda y te lo entrega. Le haces un nudo alrededor. Atas el otro extremo de la cuerda a su dedo y te alejas hasta que la cuerda esté tensa. “Todos los puntos que están a 17 pies de la punta de tu dedo estarían en la hiperesfera. Ahora mismo, tu pendiente tocaría el borde de la hiperesfera. Mientras la cuerda esté tensa, el anillo permanece en la hiperesfera mientras muevo el anillo a través de nuestro espacio. Pero supongamos que pudiéramos mover el cordel hacia la cuarta dimensión. Podría mover el pendiente a ocho pies de distancia de tu dedo en nuestro espacio, luego girar en ángulos rectos, y luego moverme quince pies épsilon en el hiperespacio. Tu anillo aún estaría en la hiperesfera”.

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Figura 4.1 Una sección transversal de una hiperesfera centrada en C. El radio de la hiperesfera es de diecisiete pies.

“¿Cómo determinó que ocho y quince eran los números correctos?” “¿Recuerdas el teorema de Pitágoras, o la fórmula de la distancia? Si se mueve sólo en dos direcciones, la distancia d se medirá con x2 + y2 = d2. Así que para nuestro ejemplo, 82 + 152 = 172” (Fig. 4.1). Sally asiente con la cabeza. “Usando su fórmula, esto significa que no importa en qué dirección se aleje ocho pies de mi dedo, el movimiento adicional de quince pies hacia arriba de la silueta da un punto exactamente a diecisiete pies de distancia de la punta de mi dedo.” “Sí. Eso también significa que, si tomamos todos los puntos de una esfera de 8 pies alrededor de la punta de tu dedo, y ellos se mueven hacia épsilon 15 pies, tendremos una esfera de puntos desplazada que pertenecen a la hiperesfera de 17 pies alrededor de la punta de tu dedo.” Sally piensa por unos segundos. “Ahora puedo entender por qué una hiperesfera consiste en una serie de esferas ―esferas que se hacen más pequeñas a medida que uno se aleja de la punta de mi dedo hacia épsilon o delta al centro de la esfera―. Además, cuanto menos me alejo del centro de la hiperesfera en nuestro espacio, más puedo moverme hacia épsilon o delta para estar en la superficie de la hiperesfera”. “Así es. Todas las esferas forman una hipersuperficie tridimensional que es análoga a una superficie bidimensional de una esfera. La hipersuperficie de una hiperesfera es simplemente un espacio 3-D curvado en un espacio 4-D. Como te dije una vez, algunos científicos piensan que nuestro universo es la hipersuperficie de una hiperesfera muy grande. Sin embargo, incluso si esto es cierto, las personas parecen estar confinadas a tres grados de libertad porque

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO están confinadas a la superficie tridimensional. De manera similar, una hormiga que camina sobre la superficie de una esfera está confinada a la superficie 2-D y tiene dos grados de libertad. Te acercas a un hermoso armario de nogal en un rincón oscuro de tu oficina. La puerta del gabinete está cerrada, así que buscas una llave en tu bolsillo. En las cercanías, un puesto de venta contiene partituras y una guitarra. En tu mesa de café hay una extraña variedad de revistas, desde Wired hasta Sushi News, Chess Life y Scientific American. Alrededor de la mesa hay tres sillas Chippendale antiguas, cubiertas de tapicería. Sally se sienta y mira fijamente las pinturas de la pared -varias obras postimpresionistas francesas con colores exuberantes, especialmente las de Paul Gauguin. Su favorita es Spirit of the Dead Watching que representa a una mujer acostada en una cama con un búho volando sobre ella y un hombre, vestido de negro, sentado cerca. El cuadro es una reproducción excelente -el original vale millones de dólares, difícilmente asequible con el escaso salario que paga el FBI. Desbloqueas el gabinete y retiras un hueso grande. “Sally, toma este hueso.” “¿De dónde sacaste esta cosa?” “Es el hueso humano más largo registrado, un hueso del muslo de 29,9 pulgadas del gigante alemán Constantino, que murió en Mons, Bélgica, en 1902, a la edad de 30 años.” Sally te mira sospechosamente. “Suponga que pongo un alfiler en un extremo de este hueso y lo giro sobre una mesa. ¿Qué forma tendría su extremo libre?” “Un círculo”. “Ahora empieza a balancear el hueso por todos lados, pero mantén la mano en un punto tanto como sea posible.” Sally empieza a balancear el hueso en todas las direcciones. “¿Adónde quieres llegar? Mi brazo se está cansando.” “Ahora el fin libre es trazar una esfera. Supongamos ahora que el espacio tiene una cuarta coordenada en ángulo recto con las otras tres y que se puede mover el hueso en cuatro espacios. El extremo libre generaría una hiperesfera.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO “La superficie de una n-esfera tiene una dimensionalidad de n–1. Por ejemplo, la ‘superficie’ de un círculo es una línea de una dimensión. La superficie de una esfera es bidimensional. La superficie de una hiperesfera es tridimensional. Muchos físicos de finales de 1800 pensaron que fuerzas como la gravedad y el electromagnetismo podían ser transmitidas por las vibraciones de una hiperesfera”. Sally te arroja el hueso. “Ya me dijiste que Einstein propuso la superficie de una hiperesfera como modelo de nuestro universo. Sería finito pero sin límites, como la superficie de una pelota. Es una teoría interesante”. Coges el hueso con un hábil movimiento de la muñeca y lo tiras a una silla. Metes la mano en un armario y sacas dos pelotas de tenis. Sally las mira. “¿Por qué es tan difícil imaginar nuestro espacio como hiperesférico?” Le tiras una de las bolas a Sally. “La curvatura de nuestro universo 3-D estaría en la dirección de la cuarta dimensión. Nuestras ‘líneas rectas’ serían en realidad curvas, pero en una dirección desconocida para nosotros. Esto sería similar a una criatura que vive en la superficie de dos espacios de una esfera. Las líneas que le parecían rectas en realidad eran curvas. Las líneas paralelas podrían realmente intersecarse, al igual que las líneas de longitud (que parecen paralelas en el ecuador) se intersectan en los polos. Esta curvatura podría ser difícil de detectar si su universo, o el nuestro, era grande comparado con la curvatura local. En otras palabras, sólo si el radio de la hiperesfera (cuya hipersuperficie forma nuestro espacio tridimensional) fuera muy pequeño, podríamos notarlo”. Sally juega con la bola, estudiando su superficie lisa. “¿Qué pasaría si viviéramos en una hipersuperficie de una hiperesfera cuyo radio era del tamaño de un estadio de fútbol?” “En un universo tan pequeño, si corres en línea recta, regresarías a tu punto de partida muy rápidamente. En cualquier dirección que miraras, te verías a ti mismo” (Fig. 4.2a). Se hace una pausa dramática antes de lanzarse a una línea de pensamiento más intrigante. “La idea de que nuestro espacio tridimensional es la superficie de la hiperesfera es seriamente considerada por muchos científicos responsables. Esta idea sugiere otra posibilidad aún más descabellada”. “¿Sí?”

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO

Figura 4.2 Universos extraños. (a) Tocarse la espalda en un universo pequeño y cerrado. (Dibujo de Clay Fried.) (b) Como burbujas flotando en el aire, muchos mundos n-dimensionales separados podrían existir si el universo fuera n+1-dimensional. ¿Podría ser nuestro universo uno de muchos separados en el espacio 4-D? Si estos espacios se tocaran en algún momento, ¿seríamos capaces de comunicarnos con un mundo adyacente? (c) Tu amigo “de adentro hacia afuera” en un universo pequeño e hiperesférico. (Dibujo de Clay Fried.)

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO “Sally, considera que Flatland existe como la superficie de una esfera. Imagina que la superficie de la pelota de tenis en tu mano es llana. Las tres dimensiones permiten la posibilidad de que muchas Flatlands esféricas separadas floten en un espacio tridimensional. Piensa en muchas burbujas flotantes en las que la superficie de cada burbuja es un universo entero para los Flatlanders. Del mismo modo, podría haber muchos universos hiperesféricos flotando en el espacio 4-D” (Fig. 4.2b). Sally asiente con la cabeza. “Si hay muchos universos hiperesféricos, ¿por qué no podemos escapar de nuestra hiperesfera y explorar estos otros universos?” “Esa es una buena pregunta.21 No tengo respuesta, pero ahora parece que los Omegamorfos están cambiando todo eso.” 21

Universos auto-reproductores: La teoría del físico Andrei Linde sobre los universos auto-reproductores implica que los nuevos universos están siendo creados todo el tiempo a través de un proceso en ciernes. En esta teoría, pequeñas bolas de espacio-tiempo llamadas “universos bebé” son creadas en universos como el nuestro y evolucionan hacia universos que se parecen a los nuestros. Esta teoría no significa que podamos encontrar este otro universo viajando en un cohete. Estos universos que se alejan de los nuestros podrían separarse de nuestro espacio-tiempo y luego desaparecer. (Por un momento muy breve, una delgada hebra de espacio-tiempo llamada agujero de gusano podría conectar los universos bebé y padre. Los agujeros de gusano tendrían diámetros 10 20 más pequeños que la dimensión de un núcleo atómico, y el agujero de gusano podría permanecer en existencia por sólo 10–43 segundos.) Los universos bebés también tendrían descendencia, y todos los innumerables universos podrían ser muy diferentes. Algunos podrían colapsar en la nada rápidamente después de su creación. Stephen Hawking ha sugerido que las partículas subatómicas viajan constantemente a través de los agujeros de gusano de un universo a otro. El universo es su propia madre: Los físicos Li-Xin Li y J. Richard Gott III de la Universidad de Princeton sugieren la posibilidad de “curvas temporales cerradas” -donde no hay nada en las leyes de la física que impida que el universo se cree a sí mismo? En un artículo de Science News de 1998, Gott sugiere: “El universo no estaba hecho de la nada. Surgió de algo, y ese algo era en sí mismo. Para hacer eso, el truco es viajar en el tiempo”. Li y Gott sugieren que un universo que experimenta la rápida expansión inicial conocida como inflación podría dar lugar a universos bebés, uno de los cuales (por medio de una curva cerrada en forma de tiempo) resultaría ser el universo original. “Las leyes de la física pueden permitir que el universo sea su propia madre.” El multiverso: En 1998, Max Tegmark, un físico del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva Jersey, utilizó un argumento matemático para reforzar su propia teoría de la existencia de universos múltiples que “bailan al son de conjuntos de ecuaciones de

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Sally te arroja la pelota de tenis. “Si viviéramos en un universo hiperesférico y viajaras a un punto del universo que estuviera más lejos de mí, aún podría verte con un telescopio sin importar en qué dirección mirara.” “Eso es cierto si la esfera no fuera demasiado grande.” “Si pudiera verte sin importar dónde mire, ¿me parecerías infinitamente grande?” Colocas las pelotas de tenis de nuevo en el armario. “Sí. Aún más extraño, yo estaría al revés. En otras palabras, en vez de que mi piel y mi cabello formen una superficie alrededor de mis tripas, parecería que mis tripas están en el exterior, ¡y mi cabello y mi piel te estarían rodeando! Por supuesto, no notaría nada extraño. No estaría a punto de morir. Para mí, te verías infinitamente grande y del revés” (Fig. 4.2c). Le tiras una pelota de baloncesto a Sally. “Siguiente lección. Si cortas esta esfera con un plano, producirías un círculo. Si cortas una hiperesfera con un hiperplano en 3D, la sección transversal es una esfera”. Sally mira el balón de baloncesto. “¿Qué pasa si intentas cortar una hiperesfera con un plano 2D normal?” “Sally, no puedes cortar una hiperesfera en dos partes con un avión en 2D. Un hiperbásquetbol, cortado por la mitad por un avión, permanece en una sola física completamente diferentes”. La idea de que existe un vasto “conjunto” de universos (un multiverso) no es nueva -la idea se da en la interpretación de muchos mundos de la mecánica cuántica y la rama de la teoría de la inflación que sugiere que nuestro universo es sólo una pequeña burbuja en un universo tremendamente más grande. En “Anything Goes” de Marcus Chown, en la edición de junio de 1998 de New Scientist, Tegmark sugiere que en realidad existe una mayor simplicidad (por ejemplo, menos información) en la noción de un multiverso que en un universo individual. Para ilustrar este argumento, Tegmark da el ejemplo de los números entre 0 y 1. Una definición útil de la complejidad de algo es la longitud de un programa de ordenador necesaria para generarlo. Considere lo difícil que puede ser generar un número escogido arbitrariamente entre 0 y 1 especificado por un número infinito de dígitos. Expresar el número requeriría un programa de computadora infinitamente largo. Por otro lado, si le dijeran que escribiera un programa que produjera todos los números entre 0 y 1, las instrucciones serían fáciles. Comenzar en 0, pasar por 0,1; 0; 0,3 y así sucesivamente, luego 0,01; 0,11; 0,21; 0,31 Este programa sería fácil de escribir, lo que significa que crear todas las posibilidades es mucho más fácil que crear una muy específica. Tegmark extrapola esta idea para sugerir que la existencia de infinitamente muchos universos es más simple, menos derrochadora y más probable que un solo universo.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO pieza, al igual que una esfera perforada con una línea no se desmorona en dos piezas separadas. Esto significa que una guillotina para un hiperser sería un objeto tridimensional como un cubo, no un plano”. Tomas el balón de las manos de Sally y lo desinfla con un alfiler. “Si te pidiera que le des la vuelta a esta pelota de baloncesto, ¿podrías?” Sally lo estudia por un momento. “No lo creo, no sin cortarlo. Asiente con la cabeza. “Correcto. Sin embargo, una esfera flexible de cualquier dimensión puede ser girada del revés a través de la siguiente dimensión más alta. Por ejemplo, nosotros los seres tridimensionales podemos girar un anillo de goma del revés para que su superficie exterior se convierta en la interior y la interior en la exterior. Pruébalo con una goma elástica. Del mismo modo, un hiperser podría agarrar esta pelota de baloncesto y voltearla del revés a través de su espacio”. “¿Significa esto que un hiperser podría poner a un humano del revés?” “Desde un punto de vista práctico, no somos tan flexibles como una pelota de goma. Tampoco somos esferas. Somos más como una esfera con un tubo digestivo en el medio. Pero tienes razón, topológicamente hablando, un hiperser podría hacernos cosas raras”. Fuera de tu ventana, ves al hombre con el traje de Papá Noel. “¿Quién es ese?” Sally se asoma. “Nadie especial, estoy seguro.” Intentas desesperadamente vislumbrar su rostro, pero no hay suficiente luz. Todo lo que puedes ver es una figura vestida con un traje rojo. Aunque no puedas observar la cara del hombre, reconoces algo familiar. En su mano izquierda hay un tatuaje en forma de teseracto proyectado en dos dimensiones. ¿Podría ser un agente de los Omegamorfos? Peor aún, sientes que el hombre te está buscando. Estás paralizado; estás seguro de que el hombre de Santa Claus sabe que estás allí. Tu cuerpo se tensa, esperando, ¿pero para qué? Afuera en la calle, los sonidos se mezclan en un silbido cacofónico. Escuchas voces, pero nunca puedes identificar frases. Hay algo de risa. Parpadeas y el hombre se va. Así como muchas personas están caminando por la acera, pero los sonidos son más suaves, menos tensos. Sally te golpea en la espalda. “No es nadie. Es la época del año”.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Asientes con la cabeza y retiras un cubo de madera de su armario. “Sígueme a la pizarra. Quiero hablar de teseractos, los análogos en 4-D de un cubo. Puedes hacerte una idea de cómo son empezando por las dimensiones más bajas. Por ejemplo, si mueves un punto de izquierda a derecha, trazas un segmento de línea 1-D”. Colocas la punta de tu tiza sobre el pizarrón negro y mueves la punta hacia la derecha para que forme una línea. “Si tomas este segmento de línea y lo mueves hacia arriba (perpendicularmente) a lo largo de la pizarra, produces una casilla 2D. Si se mueve la casilla fuera de la pizarra, se produce un cubo 3-D” (Fig. 4.3).

Figura 4.3 Cuando se mueven, las figuras de dimensiones más bajas, trazan figuras de dimensiones más altas.

Sally se acerca. “¿Cómo podemos sacar la casilla de la pizarra?” “No podemos hacer eso, pero podemos representar gráficamente el movimiento perpendicular moviendo el cuadrado ―en la pizarra― en una dirección diagonal a los dos primeros movimientos. De hecho, si usamos la otra dirección diagonal para representar la cuarta dimensión, podemos mover la imagen del cubo en esta cuarta dimensión para dibujar un hipercubo 4-D, también conocido como teseracto. O podemos rotar el cubo y moverlo directamente hacia arriba en el dibujo” (Fig. 4.4). “Hermoso. El teseracto es producido por el recorrido de un cubo que se mueve hacia la cuarta dimensión”.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO

Figura 4.4 Un hipercubo (derecha) generado al mover (izquierda) un cubo a lo largo de la cuarta dimensión.

“Así es, Sally. Nuestros poderes visuales tienen dificultades para mover la imagen de un cubo, pero podemos asumir que el cubo se desplaza una distancia en una dirección perpendicular a sus tres ejes. Incluso podemos anotar el número de esquinas, bordes, caras y sólidos para objetos de mayor dimensión”. Escribes en la pizarra:

Punto Segmento de línea Cuadrado Cubo Hipercubo Hiperhipercubo

Esquinas

Bordes

Caras

Sólidos

Hipervolúmenes

1

0

0

0

0

2

1

0

0

0

4 8 16 32

4 12 32 80

1 6 24 80

0 1 8 40

0 0 1 10

Miras fijamente a los ojos de Sally con las pupilas ligeramente dilatadas en la tenue luz de la habitación. “Mira el dibujo del hipercubo. ¿Puedes ver las dieciséis esquinas? El número de esquinas (o vértices) se duplica cada vez que aumentamos la dimensión del objeto. El hipercubo tiene treinta y dos bordes. Para obtener los volúmenes de cada objeto, todo lo que tienes que hacer es multiplicar la longitud de los lados. Por ejemplo, el volumen de un cubo es l3 donde l es la longitud de un lado. El hipervolumen de un hipercubo es l4. El hipervolumen de un cubo 5-D es l5, y así sucesivamente.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO “¿Cómo podemos entender que un hipercubo tiene treinta y dos bordes?” “El hipercubo puede ser creado desplazando un cubo en la dirección épsilon o delta y viendo el trayecto que sigue. Sumemos los bordes. El cubo colocado inicialmente y el cubo colocado finalmente tienen cada uno doce bordes. Cada una de las ocho esquinas del cubo traza un borde durante el movimiento. Esto da un total de treinta y dos bordes. El dibujo es sin perspectiva, porque las diferentes caras no se hacen más pequeñas a medida que se alejan del ojo” (Fig. 4.4). Le das a Sally un cubo de azúcar y un alfiler. “¿Puedes tocar algún punto dentro de cualquiera de las caras cuadradas sin que los alfileres pasen por otro punto de la cara?” “Por supuesto.” “Sally, pensemos en lo que eso significaría para un hiperhombre que toca las ‘caras’ cúbicas de un teseracto. Por un lado, un hiperhombre puede tocar cualquier punto dentro de cualquier cara cúbica sin que el alfiler pase por ningún punto del cubo. Los puntos están ‘dentro’ de un cubo sólo para ti y para mí. Para un hiperhombre, cada punto de cada cara cúbica de un teseracto está expuesto directamente a su visión mientras gira el teseracto en sus manos.” Vas a la pizarra y empiezas a dibujar. “Hay otra forma de dibujar un hipercubo. Nota que, si miras un modelo de marco de alambre de un cubo con su cara directamente frente a ti, verás un cuadrado dentro de un cuadrado. El cuadrado más pequeño está más lejos de tu ojo y se dibuja más pequeño porque el dibujo está en perspectiva. Si miraras un hipercubo de la misma manera, verías un cubo dentro de otro cubo. La parte más cercana del hipercubo aparece como un cubo grande, y la parte más lejana aparece como un cubo más pequeño dentro del más grande. Esto se denomina ‘proyección central’ del hipercubo. Más exactamente, se trata de una proyección plana de un modelo tridimensional que es a su vez una proyección de un hipercubo (Fig. 4.5). Esta es una sombra que se puede ver si un hipercubo se ilumina desde un punto épsilon por encima del espacio ordinario en la cuarta dimensión”. Sally estudia la figura. “Un cubo está delimitado por caras cuadradas y un hipercubo por caras cúbicas?” “Correcto”.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO

Figura 4.5 Un modelo de alambre de un cubo visto de frente y un teseracto.

“¿Un hipercubo contiene ocho cubos en su hipersuperficie?” “Correcto”. “Pero no los veo en su dibujo de proyección central” (Fig. 4.5). “Sally, seis de los ocho cubos están distorsionados por la proyección de la misma manera que cuatro de las caras cuadradas del cubo están distorsionadas cuando se dibujan en un plano. Para un teseracto, los ocho cubos son: el cubo grande, el pequeño cubo interior y seis hexaedros (cubos distorsionados) que rodean al pequeño cubo interior”. Sonríes mientras miras la cara de Sally y estudias la palidez de su piel, la suavidad de sus labios, la suave humedad de sus ojos. Tiene los ojos de un cervatillo. Por un instante te imaginas a ti y a Sally frente a una chimenea rugiente con copas delgadas de champán. Ah, pero esa fantasía es ridícula. Somos profesionales. “Sally, ¿te has preguntado cómo sería una hiperesfera proyectada en nuestro universo?” Ella sonríe. “Claro, todos los días, cada hora de vigilia.” Sacas un globo de cristal con todos los continentes marcados. Lo iluminas con una luz y miras la proyección en la pared. “Primero, consideremos la proyección de una esfera ordinaria en un plano.” Apuntas a un punto proyectado en la pared. “Nota que los dos hemisferios se superpondrán, y que la distancia entre nuestra sede del FBI y China parece muy corta. Por supuesto, eso es sólo porque estamos viendo una proyección. De hecho, cada punto de la proyección representa dos puntos opuestos en el globo terráqueo original. China y América no se superponen porque están en lados opuestos del globo”.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Sally estudia la proyección en la pared. “Lo que estamos viendo parece como dos discos planos juntos y unidos a lo largo de sus circunferencias externas.” “Correcto. Mira cómo giro el globo terráqueo. La proyección hace que parezca que la Tierra está girando tanto a la derecha como a la izquierda simultáneamente. ¿Se volvería loco un ser 2-D tratando de imaginar un objeto girando en tres dimensiones?” “¡Imagina nuestra dificultad para visualizar un planeta giratorio en 4-D!” Asiente con la cabeza. “Se puede imaginar una proyección espacial de una hiperesfera en nuestro mundo como dos cuerpos esféricos que se atraviesan entre sí y se unen a lo largo de sus superficies exteriores. Sería como si dos manzanas crecieran juntas en las mismas regiones del espacio y se unieran en sus pieles”.

Figura 4.6 Una manera de desplegar un cubo. Las flechas muestran una forma de doblar las caras para reformar el cubo (por ejemplo, la cara inferior se conecta a la cara superior.)

Colocas el globo terráqueo sobre una vieja alfombra oriental que cubre el suelo de madera dura de tu oficina. “Volvamos a prestar atención a los hipercubos. Otra forma de representar un hipercubo es mostrar cómo sería si estu-

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO viera desplegado”. Saca un cubo de papel que ha sido pegado con cinta adhesiva y quita algunos pedazos de la cinta. “Por analogía, se pueden desplegar las caras de un cubo de papel y hacerlo plano” (Fig. 4.6). Luego se saca un modelo de papel de un hipercubo desplegado. “Sally, podemos cortar un hipercubo y ‘aplanarlo’ a la tercera dimensión de la misma manera que aplanamos un cubo desplegándolo en la segunda dimensión. En el caso del hipercubo, las ‘caras’ son realmente cubos” (Fig. 4.7).

Figura 4.7 Una forma de desplegar un hipercubo. Al igual que con el cubo de la Figura 4.6, la “cara” cúbica inferior debe unirse con la “cara” superior al plegar los cubos para reformar el hipercubo. Este plegado debe realizarse en la cuarta dimensión. (La cara cúbica más adelantada está sombreada para ayudar a clarificar el dibujo.)

Apuntas a un cartel en la pared. “El hipercubo ha sido usado a menudo en el arte. Mi favorito es el hipercubo desplegado del cuadro de Salvador Dalí de 1954, Corpus Hypercubus (Fig. 4.8). Al hacer de la cruz un teseracto desplegado, Dalí representa la creencia cristiana ortodoxa de que la muerte de Cristo fue un acontecimiento metahistórico que tuvo lugar en una región fuera de nuestro espacio y tiempo. Nosotros, los humanos ordinarios, sólo podíamos ver el evento con una visión limitada en un teseracto desplegado”.

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Figura 4.8 La crucifixión (Corpus Hypercubus), de Salvador Dalí (1954). Óleo sobre lata, Museo Metropolitano de Arte, Colección Chester Dale. ©1999 Artists Rights Society, Nueva York.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Sally sostiene el hipercubo desplegado en sus delgadas manos. “Hemos hablado de cómo una prisión cúbica no podría atrapar a un ser 4-D. Pero, ¿podría una prisión de teseracto contener a una criatura así? Quizá podamos atrapar a la criatura que se llevó al presidente en un hipercubo”. Asiente con la cabeza. “Eso es correcto.” “¿Cómo sería una prisión hipercúbica en nuestro mundo?” “Sally, otra vez razonemos por analogía y consideremos cómo sería una prisión cúbica para un Flatlander. Finjamos que la prisión es un cubo hueco hecho de acero. Cuando la prisión fue empujada hacia abajo a través de Flatlander, el Flatlander primero vería una cara cuadrada sólida. Este es el piso de la prisión. Luego, las paredes serían empujadas hacia abajo, formando un cuadrado hueco en Flatland. Finalmente, el Flatlander vería una sólida cara cuadrada que se correlacionaba con el techo de la cárcel. Si el presidente estuviera en esta cárcel cúbica mientras fue empujado a Flatland, primero veríamos secciones transversales de sus pies, luego cuerpo, luego cabeza, hasta que desapareció”. “Si empujamos la prisión cúbica en ángulos extraños, podríamos ver otras intersecciones con Flatland.” Mueves a Sally a la bañera de agua de tu oficina, que usas para entender las intersecciones de objetos tridimensionales con Flatland. “Sally, tienes razón como siempre. En mi ejemplo, empujé la prisión en ángulos rectos para que tuviera una sección transversal cuadrada. Pero si inclinamos la prisión de manera que una de sus esquinas quede hacia abajo, primero veremos un punto, luego un triángulo, luego una figura de seis lados (un hexágono), luego un triángulo y finalmente un punto”. Empujas lentamente un cubo de vidrio en el agua, primero en la esquina, para mostrarle a Sally las diferentes secciones transversales (Fig. 4.9). “Ahora consideremos una prisión hipercúbica que contiene al presidente y también al Omegamorfo que lo secuestró. Si el hipercubo fuera empujado delta a nuestro espacio, podríamos ver primero su ‘suelo cúbico’. Este piso sería un cubo de acero macizo correspondiente a la cara de acero de la prisión tridimensional. Luego encontramos cubos de acero huecos, y finalmente el cubo de acero macizo ‘techo’. Si el cubo estuviera hecho de vidrio para que pudiéramos ver dentro, el presidente podría materializarse de una sola vez de

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO la misma manera que un Flatlander alineado paralelamente a Flatlander podría materializarse de una sola vez al cruzar Flatland”. “El Omegamorfo 4-D parecería pelo o manchas de piel cuando la prisión 4-D fue bajada a nuestro mundo, y el teseracto que cruza nuestro mundo podría parecer un cubo hueco ordinario.”

Figura 4.9 A medida que la prisión cúbica se mueve hacia abajo, primero en las esquinas, a través de Flatland, sus habitantes ven primero un punto, luego una serie de triángulos en crecimiento, luego hexágonos, luego triángulos y luego un punto. (After Banchoff.)

Asientes con la cabeza. “Sally, si Satanás fuera un ser 4-D, sería posible confinarle en una prisión de teseracto. Si fuera un cubo ordinario, Satanás podría huir a la cuarta dimensión. Sin embargo, si el cubo en nuestro mundo fuera realmente parte de un hipercubo, estaría atrapado. Cuando salte a la cuarta dimensión, se golpearía la cabeza contra un techo cúbico. De la misma manera, un Flatlander con la habilidad de saltar a la tercera dimensión se golpearía a sí mismo en una prisión cúbica que abarcaba todo su mundo”. Tú y Sally están callados mientras miran las luces de la calle. Arrojan sombras que brotan a tu alrededor como si fueran criaturas vivientes.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO De repente, la mayoría de las luces se apagan. Otros parpadean como luciérnagas. Te vuelves hacia Sally. “Debe ser un problema eléctrico.” Ella se acerca a ti. “Espeluznante”. Quiero volar, piensas mientras miras en el oscuro cuarto. Volar a la cuarta dimensión, como un pájaro. Volar, sentir la oleada de tu cuerpo mientras se eleva hacia el universo superior. Sin aliento. Te imaginas una fuerza que te mueve suave pero decididamente hacia arriba. Las voces flotan a tu alrededor como el rompimiento de las olas del océano sobre las rocas. Miras por la ventana y de vez en cuando ves pájaros fantásticamente brillantes que se posan en los capós de los coches. ¿Podrían ser aves de la cuarta dimensión? Tal vez “pájaro” no sea la palabra correcta. Sus tenues alas tiemblan en cuerpos que se asemejan a bolas de lana. Algunos de los animales tienen cuerpos más delgados. Las manchas en su piel brillan como luces de neón. Luego las motas se desvanecen con la llovizna de la noche. La única iluminación proviene de las luces verdes y rojas emitidas por las bacterias bioluminiscentes que cubren los árboles. Te recuerda a la Navidad.

La ciencia detrás de la ciencia ficción La brecha entre la creencia y la ciencia natural sólo se puede salvar hoy en día si es posible transponer el concepto de espacio, que ha adquirido una posición de importancia primordial en la física moderna, en una connotación superior a la imagen mundial de la creencia. ―Karl Heim, Fe Cristiana y Ciencias Naturales

La física teórica se parece cada vez más a la ciencia ficción. ―Steven Weinberg, Los primeros tres minutos

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO

Cubos de Hinton Uno de los mayores desafíos para entender la cuarta dimensión es la visualización de objetos en 4-D. El físico alemán del siglo XIX Hermann von Helmholtz creía que el cerebro humano podía visualizar la cuarta dimensión si tenía los datos de entrada correctos. La investigación detallada de Helmholtz sobre la visión le llevó a refutar la teoría de Immanuel Kant de que el espacio es una cosa absoluta fija con una realidad propia, independiente de los objetos materiales (véase el documento de Kant de 1768 “On the First Ground of the Distinction of Regions in Space”). Helmholtz trató de mostrar exactamente cómo el sentido de la visión creó la idea del espacio. En otras palabras, Helmholtz creía que el espacio era un concepto aprendido, no inherente. Además, Helmholtz también atacó la insistencia de Kant de que el espacio tenía que ser tridimensional porque así era como la mente tenía que concebirlo. Por ejemplo, Helmholtz utilizó sus considerables talentos matemáticos para investigar las propiedades del espacio no euclidiano y demostró que podía concebirse y trabajarse con casi la misma facilidad que la geometría de las tres dimensiones. El primer artículo publicado de Kant, “Thoughts on the True Estimation of Living Forces” (1747), sugiere que sentía curiosidad por la cuarta dimen-

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO sión. En su artículo, Kant pregunta: “¿Por qué nuestro espacio es tridimensional?” Utiliza la física para recordarnos que fuerzas como la gravedad parecen moverse a través del espacio como esferas en expansión; es decir, su fuerza varía inversamente con el cuadrado de la distancia. Kant razonó que si Dios hubiera escogido hacer un mundo donde las fuerzas variaran inversamente con el cubo de la distancia, Dios habría requerido un espacio de cuatro dimensiones. A finales del siglo XIX, el matemático inglés Charles Howard Hinton pasó años creando nuevos métodos por los cuales la gente común podía “ver” objetos 4-D.22 Eventualmente, inventó cubos especiales que se decía ayudaban a visualizar hipercubos. Estos modelos llegarían a ser conocidos como cubos de Hinton y se anunciaban en revistas e incluso se utilizaban en sesiones de espiritismo. Al meditar en los cubos de Hinton, se rumoreaba que la gente no sólo podía vislumbrar la cuarta dimensión, sino también los fantasmas de los miembros muertos de la familia. Charles Hinton estudió matemáticas en Oxford, se casó con Mary Boole (una de las hijas del famoso lógico George Boole), y luego se mudó a los Estados Unidos tras ser condenado por bigamia. Enseñó matemáticas en la Universidad de Princeton y en la Universidad de Minnesota. En 1907, Hinton publicó An Episode of Flatland (un trabajo más científico que Flatland de Abbott) en el que criaturas 2-D residían en la superficie de un mundo circular llamado Astria. La gravedad se comporta como en nuestro mundo, excepto que en el plano su fuerza varía inversamente con la distancia en lugar de con el cuadrado de la distancia. En el libro de Hinton, los astrianos sólo tienen un ojo, igual que las criaturas de Flatland de Abbott. (En principio, ambos autores podrían haber dado a sus criaturas dos ojos, cada uno con retinas 1-D, para proporcionarles visión binocular.) Para superarse mientras viajan por la superficie de Astria, los ha-

Hinton acuñó la palabra “teseracto” para el hipercubo desplegado en la Figura 4.7. Otros lo han usado para referirse a la proyección central en la Figura 4.5, mientras que otros lo usan indistintamente con la palabra “hipercubo”. Uno de los primeros dibujos de hipercubo publicados (como en la Fig. 4.5) fue dibujado por el arquitecto Claude Bragdon en 1913, quien incorporó el diseño en su arquitectura. 22

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO bitantes deben pasar por encima o por debajo de los demás, como los acróbatas. Todas las astrianas nacen mirando hacia el oeste; todos los machos nacen mirando hacia el este. Los astrianos mantienen su orientación hasta que mueren porque no hay manera de “voltearse” sin ser rotados en la tercera dimensión. Para besar a su hijo, un padre astriano debe sostenerlo boca abajo. (Es una pena que los astrianos no tuvieran cuellos largos que les permitieran inclinar la cabeza hacia atrás y hacia abajo para ver detrás de ellos.) ¿Cómo sería vivir en Astria, un mundo 2-D completamente desarrollado con la gravedad y todas las leyes de la física? Por un lado, sería difícil construir casas con varias ventanas abiertas al mismo tiempo. Por ejemplo, cuando la ventana delantera está abierta, la ventana trasera debe mantenerse cerrada para evitar que la casa se derrumbe. Los tubos perfectamente huecos serían difíciles de construir. ¿Cómo mantendría ambos lados de las tuberías juntos sin sellar el tubo? Podría ser posible tener tubos con una serie de válvulas de enclavamiento, como la tripa de agarre automático discutida en el Capítulo 2. Podrías hacer un túnel con una serie de puertas que se cerraban detrás de ti mientras caminabas. Pero nunca podrías tener todas las puertas abiertas a la vez o el túnel podría colapsar. Las cuerdas no pueden ser anudadas ya que los segmentos de línea no anudan en dos espacios. Los ganchos y las palancas funcionarían bien. Los pájaros todavía podían volar agitando sus alas. En el libro de Hinton, uno de los astrianos se da cuenta de que hay una tercera dimensión y que todos los objetos astrianos tienen un ligero grosor tridimensional. Cree que los Astrianos se deslizan sobre la superficie lisa de lo que él llama un “ser a lo largo”. En un conmovedor discurso a sus compañeros astrianos, proclama: La existencia misma se extiende ilimitada, profunda, a ambos lados de eso junto con el ser... Date cuenta de esto... y nunca más volverás a mirar al arco azul del cielo sin añadir un sentido de misterio. No importa cuán lejos en esas profundidades interminables arrojen su visión, ésta no hace sino deslizarse junto a una existencia que se extiende profundamente en una dirección de la que no saben nada. Y sabiendo esto, algo del viejo sentido de la maravilla de los cielos viene a nosotros, porque ya no llenan todo el espacio con una repetición interminable de lo mismo, sino que existe la posibilidad de una repentina y maravillosa aprehensión de los seres, tales como los de los viejos tiempos soñados, podríamos tan solo... saber lo que yace a cada lado de todo lo visible”.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO La próxima vez que haya un arco azul brillante en el cielo, míralo y recuerda las palabras de Charles Hinton. Volvamos por un momento a los cubos de Hinton. Los métodos de Hinton para visualizar estructuras del espacio-4 en secciones transversales de espacio3 requerían cientos de cubos pequeños, coloreados y etiquetados. Hinton dijo que fue capaz de pensar en cuatro dimensiones como resultado del estudio de sus cubos durante años. También señaló que enseñó el método a su cuñada cuando ella tenía dieciocho años. Aunque la joven no tenía ningún entrenamiento formal en matemáticas, pronto desarrolló una notable comprensión de la geometría en 4-D y más tarde hizo importantes descubrimientos en el campo. Los discípulos de Hinton pasaron días mediando en los cubos hasta que algunos pensaron que podrían volver a ensamblar mentalmente estos cubos en la cuarta dimensión, logrando así el nirvana. La figura 4.7 muestra un hipercubo desenvuelto. Aunque los cubos de este teseracto parecen estáticos, una persona de 4-D puede doblar los cubos en un hipercubo al levantar cada cubo individual de nuestro universo hacia la cuarta dimensión. Note que Hinton usó las palabras “ana” y “kata” de la misma manera que yo uso los términos “épsilon” y “delta” para describir los movimientos en el mundo 4-D como contrapartes de términos como “arriba” y “abajo”. (Encuentro que épsilon y delta son más fáciles de recordar que ana y kata debido al “arriba” en épsilon y “a” en delta.)23 Desenvolviendo Respira hondo y deja volar tu imaginación. Observe ahora cómo una persona en 4-D dobla un teseracto en un hipercubo. ¿Qué es lo que ves? ¡No mucho! Todo lo que observas son los varios cubos en la Figura 4.7 desapareciendo, dejando sólo el cubo central en nuestro universo. El hipercubo plegado se parece a un cubo ordinario de la misma manera que un cubo puede aparecer como un cuadrado ordinario para un Flatlander.

23

En el original: (I find that upsilon and delta are easier to remember than ana and kata because of the “up” in upsilon and “d” [down] in delta.)

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO ¿Cómo sería ser visitado por un hipercubo? Si entrara en nuestro universo “cubo-primero” (como un cubo entrando en un universo planar “cara a cara”), sólo veríamos un cubo que desaparece cuando finalmente atraviesa nuestro mundo 3-D. Aunque no es probable que podamos “ver” un hipercubo de una sola vez de la misma manera que podemos ver un cubo, podemos estar seguros de que un objeto así tendría dieciséis vértices. Incluso podría parecer un cuadrado cuando sólo tocó nuestro mundo. Sin embargo, si el objeto rotara, el cuadrado de aspecto ordinario podría revelar un estallido de líneas (como en la Fig. 4.4) correspondientes a un objeto que realmente tiene veinticuatro caras cuadradas, treinta y dos bordes y dieciséis vértices. Si un cubo 5-D pasara por un universo 4-D, aparecería por un momento como un hipercubo con treinta y dos vértices antes de desaparecer completamente del mundo.24

Figura 4.10 Cortes de un hipercubo a medida que se desplaza por nuestro mundo si comienza con una esquina.

En este capítulo hemos discutido cómo un cubo parecería a los Flatlanders cuando penetra en su mundo. A medida que un cubo se desplaza a través de Flatland, tocando primero con una esquina, los Flatlanders ven primero un punto, luego una serie de triángulos en crecimiento, luego hexágonos, luego triángulos, y finalmente un punto (Fig. 4.9). De manera similar, una variedad 24

¿Podrías realmente ver los treinta y dos vértices a la vez o verías hasta dieciséis a la vez mientras el cubo 5-D rotaba?

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO de formas se produciría cuando un hipercubo penetrara nuestro mundo (Fig. 4.10). En cuatro dimensiones, el corte con un cuchillo tridimensional produce una serie de formas extrañas que van desde cubos distorsionados, varios prismas y poliedros, a menudo en arreglos inesperados.

Figura 4.11 Proyecciones centrales de un hipercubo giratorio en cuatro espacios. Comenzando desde la izquierda y en el sentido de las agujas del reloj, el cubo en sombra se abre hacia abajo; si la rotación continúa, el cubo pequeño se aplanará y regresará para convertirse en el cubo exterior grande. (After Banchoff.)

¿Cómo se vería el hipercubo mientras lo rotamos? Una manera de visualizar esto es comenzar con la “proyección central” en la Figura 4.5 y observar el cambio del marco de alambre mientras el hipercubo gira (Fig. 4.11). Comenzando desde la izquierda y en el sentido de las agujas del reloj, el gran cubo exterior se abre hacia arriba, se aplana y se abre hacia adentro para formar una pirámide incompleta. Mientras tanto, el cubo interior sombreado más pequeño se abre hacia la parte inferior para formar otra pirámide incompleta. Si continuamos girando el hipercubo, el cubo exterior sin sombrear se convertirá en el cubo pequeño, y el cubo pequeño se aplanará y volverá a convertirse en el cubo grande. Como señala Thomas Banchoff, cada una de las ocho caras

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO cúbicas toma su giro sosteniendo todas las varias posiciones en esta proyección. A medida que cada uno de los cubos se aplana y se abre de nuevo durante la rotación, cambia de orientación. Si un cubo contenía un objeto diestro antes del aplanamiento, el objeto se volvería zurdo después. Tras la pista del Teseracto En este capítulo, también hemos utilizado analogías de dimensiones inferiores para ayudar a contemplar las matemáticas de los espacios superiores. A lo largo de la historia, los matemáticos han utilizado analogías interdimensionales. Por ejemplo, si los matemáticos entendían un teorema en geometría plana, a menudo eran capaces de encontrar teoremas análogos en geometría sólida. (Los teoremas sobre los círculos proporcionan una visión de los teoremas sobre las esferas y los cilindros.) De manera similar, los teoremas de geometría sólida han sugerido nuevas relaciones entre figuras planas. Si la historia muestra que el conocimiento puede ser adquirido yendo a dimensiones superiores, imagínese lo que podríamos aprender contemplando geometrías en 4D. La analogía más utilizada para contemplar formas en dimensiones más altas implica mover objetos perpendiculares a sí mismos. Si movemos un punto 0-D sin grados de libertad, generamos una línea, un objeto 1-D con dos puntos finales (Fig. 4.3). Una línea movida perpendicularmente a sí misma a lo largo de un plano genera un cuadrado con cuatro esquinas. Un cuadrado movido perpendicularmente forma un cubo con ocho esquinas. Aunque no podemos visualizar fácilmente el siguiente paso del proceso, podemos predecir que si pudiéramos mover un cubo perpendicular a todos sus bordes, generaríamos un objeto 4-D: un hipercubo. Tendría dieciséis esquinas. La tendencia en el número de esquinas es una progresión geométrica (2, 4, 8, 16, ...), y por lo tanto podemos calcular el número de esquinas en cualquier dimensión usando la fórmula 2n donde n es el número de dimensiones. También podemos considerar el número de bordes para objetos en diferentes dimensiones. Un segmento de línea tiene dos puntos extremos. Un cuadrado está delimitado por cuatro segmentos de línea. Un cubo está delimitado por seis cuadrados. Siguiendo esta tendencia, es de esperar que un hipercubo

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO esté delimitado por ocho cubos. Esta secuencia sigue una progresión aritmética (2, 4, 6, 8, …). El área de un cuadrado con longitud de borde a es a2. El volumen de un cubo de longitud de borde a es a3. El hipervolumen de un n-cubo es an. Los libros anteriores típicamente proporcionan diagramas de alambre para teselas producidas por el “rastro” de un cubo cuando se mueve en una dirección perpendicular, similar a la de la Figura 4.4. Por supuesto, no podemos movernos en una dirección perpendicular, pero podemos mover el cubo diagonalmente, de la misma manera que una casilla se mueve diagonalmente para representar un cubo. Ahora prepárate para algunos senderos extravagantes de objetos de mayor dimensión que rara vez, o nunca, se ven en los libros populares. Para darte una idea de la belleza y complejidad de los objetos de mayor dimensión, produje las Figuras 4.12 a 4.17 usando un programa de computadora. Las computadoras gráficas modernas son herramientas ideales para visualizar estructuras en dimensiones más altas.

Figura 4.12 Un cubo 5-D producido al mover un hipercubo a lo largo de la quinta dimensión.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO

Figura 4.13 Cubo embrionario 5-D en la Figura 4.12 antes de arrastrar el cubo 4-D.

Figura 4.14 Un cubo 6-D producido moviendo un cubo 5-D a lo largo de la sexta dimensión.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO

Figura 4.15 Cubo embrionario 6-D en la Figura 4.14.

Figura 4.16 Un cubo de 7-D producido moviendo un 6-D a lo largo de la sexta dimensión.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO

Figura 4.17 Un cubo 8-D.

Podemos pensar en estas representaciones como "sombras" de hipercubos en pedazos de papel en 2-D. Por suerte, no tenemos que construir el objeto para calcular cómo sería su sombra. (El código informático que utilicé para crear estas formas figura en el Apéndice I.) Las proyecciones de mundos de dimensiones superiores han estimulado a muchos artistas tradicionales a producir representaciones geométricas con simetrías y complejidades sorprendentes (Figs. 4.18 a 4.20).

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO

Figura 4.18 Ciudad simétrica, deformada hiperbólicamente, por Peter Raedschelders.

Aunque los dispositivos gráficos por ordenador producen proyecciones de dimensiones más elevadas en meras pantallas bidimensionales, el ordenador puede almacenar la ubicación de los puntos en dimensiones más elevadas para manipulaciones tales como la rotación y la ampliación. La computadora puede entonces mostrar proyecciones de estas formas de dimensiones superiores desde varios puntos de vista. De hecho, el ordenador se utiliza con frecuencia para representar dimensiones superiores en todo tipo de problemas científicos prácticos en los que la temperatura o la carga eléctrica son las “dimensiones” adicionales representadas como colores en objetos tridimensionales.

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Figura 4.19 Peces de dimensiones superiores, por Peter Raedschelders.

Podemos prepararnos para cualquier invasión de criaturas 4-D que entren en nuestro mundo. Aunque puede ser difícil para nosotros ver plenamente las dimensiones superiores, podemos usar las computadoras para desarrollar formas de responder a las intersecciones de los fenómenos de mayor dimensión en nuestro mundo. La computadora también nos hace contemplar con asombro la belleza y la complejidad de las dimensiones superiores. Sobre este tema, el profesor Thomas Banchoff de la Universidad de Brown escribe

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO El desafío de la infografía moderna encaja perfectamente con uno de los principales objetivos de Edwin Abbott Abbott en la introducción de su libro atemporal, a saber, fomentar en la humanidad esa estimable y rara virtud de la humildad. Continuaremos apreciando Flatland cada vez más en los próximos años.

Figura 4.20 Mariposas en el hiperespacio, por Peter Raedschelders.

Distancia Muchos lectores estarán familiarizados con la forma de calcular la distanciad entre dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) en un plano: 𝑑 = √(𝑥1 − 𝑥2 )2 + (𝑦1 − 𝑦2 )2

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO (Puedes derivar esta ecuación dibujando diagramas y usando el teorema de Pitágoras, que establece que la longitud de la hipotenusa de un triángulo recto es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los otros dos lados). Simplemente añadiendo otro término, esta fórmula puede ser extendida para que podamos calcular la distancia entre dos puntos en tres dimensiones: 𝑑 = √(𝑥1 − 𝑥2 )2 + (𝑦1 − 𝑦2 )2 + (𝑧1 − 𝑧2 )2 De manera similar, podemos extender esta fórmula a las dimensiones 4, 5, 6, .... o k! Variados estudiosos han debatido si los humanos pueden comprender realmente el significado de una línea 4-D o de una distancia 4-D. Edward Kasner y James Neuman lo comentaron en 1940 (el mismo año en que Heinlein publicó su cuento de ciencia ficción sobre la casa 4-D): La distancia en cuatro dimensiones no significa nada para el lego. Incluso el espacio cuatridimensional está totalmente fuera de la imaginación ordinaria. Pero el matemático no está llamado a luchar con los límites de la imaginación, sino sólo con las limitaciones de sus facultades lógicas.

Hiperesferas Navegamos dentro de una vasta esfera, siempre a la deriva en la incertidumbre, conducidos de un extremo a otro. ―Blaise Pascal, Pensees Me gustaría ahondar más en la cuarta dimensión discutiendo más detalladamente las hiperesferas. Comencemos por considerar algunos experimentos fascinantes que se pueden llevar a cabo utilizando un lápiz y papel o una calculadora. Mi objeto 4-D favorito no es el hipercubo sino su primo cercano, la hiperesfera. Así como un círculo de radio r puede ser definido por la ecuación x2 + y2 = r2, y una esfera puede ser definida por x2 + y2 + z2 = r2, una hiperesfera en cuatro dimensiones puede ser definida simplemente añadiendo un cuarto término: x2 + y2 + z2 + w2 = r2, donde w es la cuarta dimensión. Quiero facilitarte el experimentar con las propiedades exóticas de las hiperesferas dándote la ecuación de su volumen. (Las derivaciones para las siguientes fórmulas están en la referencia de Apostol en Lecturas Adicionales.) Las fórmulas le permiten calcular el volumen de una esfera de cualquier dimensión, y encontrará

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO que es relativamente fácil implementar estas fórmulas usando una computadora o una calculadora de mano. El volumen de una esfera de k-dimensión es 𝑉=

𝜋 𝑘/2 𝑟 𝑘 𝑘 ( )! 2

para las dimensiones pares k. El signo de exclamación es el símbolo matemático de factorial. (Factorial es el producto de todos los números enteros positivos de uno a un número dado. Por ejemplo, 5! = 1×2×3×4×5 = 120.) El volumen de una esfera 6-D de radio 1 es π3/3!, que es aproximadamente igual a 5,1. Para dimensiones impares, la fórmula es un poco más intrincada: 𝑉=

𝜋 (𝑘−1)/2 𝑚! 2𝑘+1 𝑟 𝑘 (𝑘 + 1)!

donde m = (k + 1)/2. Las fórmulas no son realmente muy difíciles de usar. De hecho, con estas útiles fórmulas, puede calcular el volumen para una esfera 6-D con la misma facilidad que para una esfera 4-D. El “Código 2” en el Apéndice F enumera algunos de los pasos del programa de computadora utilizados para evaluar esta fórmula. La figura 4.21 representa el volumen de una esfera de radio 2 en función de la dimensión. Para el radio 2 y la dimensión 2, las ecuaciones anteriores arrojan el valor 12,56, que es el área de un círculo. Una esfera de radio 2 tiene un volumen de 33,51. Una hiperesfera 4-D de radio 2 tiene un volumen de 78,95. Intuitivamente, uno podría pensar que el volumen debería continuar aumentando a medida que aumenta el número de dimensiones. El volumen ―quizás deberíamos usar el término “hipervolumen”― se hace cada vez más grande hasta que alcanza su máximo ―en cuyo punto la esfera del radio 2 se encuentra en la vigésimo cuarta dimensión―. A dimensiones superiores a 24, el volumen de esta esfera comienza a disminuir gradualmente a cero a medida que aumenta el valor de la dimensión. Una esfera 80-D tiene un volumen de sólo 0,0001. Este punto de giro aparente se produce a diferentes dimensiones dependiendo del radio de la esfera, r.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO

Figura 4.21 Volumen de una esfera de radio 2 en función de la dimensión.

Figura 4.22 Volumen de las esferas en K-dimensión para radios 1; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5 y 1,6.

La Figura 4.22 ilustra esta complicada característica mostrando gráficas de volumen de una esfera en dimensión k para los radios 1; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5 y 1,6 en función de la dimensión. Para todos los radios de esfera probados, la esfera inicialmente crece en volumen y luego comienza a declinar. (¿Es esto

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO cierto para todos los radios?) Por ejemplo, para r = 1, el hipervolumen máximo ocurre en la quinta dimensión. Para r = 1,1, el hipervolumen pico ocurre en la séptima dimensión. Para r = 1,2, se produce en la octava dimensión. (Por cierto, la hipersuperficie de una hiperesfera unitaria alcanza un máximo en la séptima dimensión, y luego disminuye hacia cero a medida que la dimensión aumenta.) He aquí un gran ejemplo de cómo los gráficos simples, como la ilustración de la Figura 4.22, ¡nos ayudan a comprender los resultados no intuitivos de un problema hipergeométrico! Si examinamos las ecuaciones de volumen más de cerca, notamos que este comportamiento curioso no debería sorprendernos demasiado. El denominador contiene un término factorial que crece mucho más rápido que cualquier poder, por lo que obtenemos el curioso resultado de que una esfera dimensional infinita no tiene volumen. Usando las ecuaciones para el volumen dadas aquí, encontrará que una esfera de radio de 11-D de 2 pies es de 333.763 pies. Considerando que el volumen de un brontosaurio (hoy en día llamado apatosaurio) es de alrededor de 100.000 pies cúbicos, ¿significa esto que el brontosaurio podría estar atiborrado en esta pequeña esfera de 11-D? Este divertido pensamiento es sólo el preludio de las preguntas que siguen. Algunas preguntas sobre la hiperesfera Ella reapareció, mirándolo desde su gorda y plana cara sospechosa, y Kevin entendió la razón por la que había desaparecido por un momento. Fue porque el concepto de “una visión lateral” no existía en un mundo donde todo era perfectamente plano. Esto es Polaroidsville, pensó con un alivio que estaba extrañamente mezclado con el horror. ―Stephen King, Cuatro Pasadas la Medianoche

Ahora ha llegado el momento de considerar algunas preguntas realmente difíciles. Si usted es profesor, por qué no se las da a sus alumnos para que las contesten. 1. Examine el gráfico de la Figura 4.21. ¿Podría una esfera 24-D de 2 pulgadas de radio contener el volumen de una ballena azul (Fig. 4.23)? 2. ¿Podría una esfera de 1000-D de radio 2 pulgadas contener el volumen de una ballena, considerando que el hipervolumen de la esfera está muy, muy cerca de 0 (Fig. 4.21)?

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO

Figura 4.23 Una ballena esperando ser embutida en una esfera 24-D.

3. ¿Podría un entrenador de animales de Sea World encajar a una ballena en una esfera 8-D (de un radio de 1 pulgada) cuando su abertura se cruza con nuestro mundo 3-D? 4. El número de átomos en la respiración de un humano es de aproximadamente 1021. Si cada átomo en la respiración se agrandara al tamaño de una canica, ¿qué porcentaje de la respiración de un ser humano podría caber en una hiperesfera 16-D de 1,1 pulgadas de radio? 5. Estimar el valor del hipervolumen 24-D de una ballena. Para calcular esto, asuma que la longitud de una ballena azul es de unos 100 pies. 6. ¿Qué es el hipervolumen un-millón-dimensión de la tierra? Supongamos que la tierra tiene un diámetro de 4,18×107 pies. Además, ¿puede usted aproximarse al hipervolumen 4-D del cerebro de Albert Einstein? (El cerebro de un hombre adulto promedio pesa 3 lbs. 2,2 oz.25 decreciendo a 3lbs. 1,1 oz

25

1,42 Kg.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO con la edad avanzada.) Otro problema: En 1853, el Latting Observatory de 350 pies de altura en la ciudad de Nueva York era la estructura artificial más alta de Norteamérica (Fig. 4.24). Estima su hipervolumen 4-D.

Figura 4.24 El Observatorio Latting de 350 pies de altura. En 1853, esta era la estructura hecha por el hombre más alta de Norteamérica.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Cómo rellenar una ballena en una esfera de cinco dimensiones Las respuestas a las seis preguntas anteriores son: sí, sí, sí, no, 100 por ciento, cero y cero (para todas las partes de la pregunta 6). Para ayudar a entender estas respuestas, considere el acto de rellenar regiones circulares rígidas de un plano en una esfera. Si los discos circulares son realmente bidimensionales, no tienen espesor ni volumen. Por lo tanto, en teoría, se puede encajar un número infinito de estos círculos en una esfera, siempre y cuando el radio de la esfera sea ligeramente mayor que el radio del círculo. Si el radio de la esfera fuera más pequeño, ni siquiera un círculo podría caber dentro del volumen adjunto, ya que saldría del volumen. Por lo tanto, en respuesta a la pregunta 1, el volumen de una ballena podría residir cómodamente en una esfera 24-D con un radio de 2 pulgadas. De hecho, un número infinito de volúmenes de ballenas podrían caber en una esfera 24-D. Asimismo, en respuesta a la pregunta 2, una esfera 1.000-D con un radio de 2 pulgadas podría contener un volumen equivalente al de una ballena. Sin embargo, no se puede rellenar físicamente una ballena en ninguna de estas esferas porque la ballena tiene una longitud mínima que no le permite caber. (Considere el ejemplo que di de rellenar un círculo grande en una esfera pequeña.) El volumen equivalente de una ballena podría estar contenido dentro de la esfera, pero para hacerlo se requiere que la ballena pase primero por un triturador de carne que produce piezas no mayores que el diámetro de la esfera. (Ayudaría si la ballena pudiera ser doblada o arrugada en dimensiones más altas como un pedazo de papel.) Por lo tanto, esto responde a la pregunta 3. De manera similar, para la pregunta 4, usted podría encajar un número infinito de canicas 3-D en la esfera 16-D mencionada. Finalmente, así como una placa circular en dos dimensiones tiene un grosor de cero ―y por lo tanto ningún volumen― la ballena, la tierra, el Observatorio Latting, y el cerebro de Einstein no tienen “hipervolumen” en dimensiones más elevadas. (Por favor, perdónenme por dar tantos ejemplos similares. Podría haber hecho mi punto de vista usando dos o tres preguntas en lugar de seis, pero espero que la repetición haya reforzado el

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO concepto.) Para algunos ejercicios interesantes para los estudiantes, vea la nota 26. 26 Empaquetado de hiperesferas Ahora que hemos discutido las hiperesferas en profundidad, consideremos cómo las hiperesferas pueden empaquetar juntas, como bolas de billar en un bastidor o naranjas en una caja. En un plano, no se pueden colocar más de cuatro círculos para que cada círculo toque a todos los demás, y cada pareja toque un punto diferente. La figura 4.25 muestra dos ejemplos de cuatro círculos que se cruzan. En general, para el espacio n, el número máximo de esferas que se tocan entre sí es n + 2.

26

Ahora que tu mente ha sido estirada hasta el límite, te doy algunos ejercicios gráficos interesantes. - Un buen ejercicio para el estudiante es dibujar una gráfica de y = an/n! para una a fija. Verás el mismo tipo de aumento en y seguido de una disminución como lo haces para las hiperesferas. - Dibujar un gráfico en 3-D que muestre la relación entre el hipervolumen de la esfera, la dimensión y el radio. - Graficar la relación entre el volumen de una hiperesfera k-dimensional y el volumen del cubo k-dimensional que contiene la hiperesfera. Trazar esto como una función de k. (Note que una caja con un borde de dos pulgadas de largo contendrá una bola de radio de una pulgada. Por lo tanto, para este caso, el hipervolumen de la caja es simplemente 2k.) He aquí una pista: Resulta que una bola n-dimensional encaja mejor en un cubo n-dimensional que un n-cubo encaja en una n-bola, si y sólo si n es de ocho o menos. En nueve espacios (o más alto) la relación de volumen de una n-bola a un n-cubo es menor que la relación de un n-cubo a una n-bola. - Traza la relación entre los volúmenes de la esfera dimensional (k + 1) y la esfera k-dimensional para un radio dado r. - Para lectores más técnicos, calcule el hipervolumen de una hiperesfera fractal de la dimensión 4.5. Para calcular factoriales para no enteros, tendrás que usar una función matemática llamada “función gamma”. Las fórmulas pares e impares dadas en este capítulo dan los mismos resultados interpretando k! = Γ(k + 1). ¿Se puede derivar una fórmula para la superficie de una esfera de la dimensión k? ¿Cómo cambia el área de la superficie a medida que aumenta la dimensión?

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO

Figura 4.25 Empacado en círculo. (izquierda) En dos dimensiones, no se pueden colocar más de cuatro círculos para que cada círculo toque a todos los demás, y cada par toque un punto diferente. ¿Qué sucede en las dimensiones superiores? (derecha) Un atractivo estudio computarizado y gráfico del empaque en círculo.

Figura 4.26 En dos dimensiones, un círculo puede hacer contacto con otros seis círculos del mismo tamaño. ¿Qué sucede en las dimensiones superiores?

¿Cuál es el mayor número de esferas que pueden tocar una sola esfera (suponga que cada esfera tiene el mismo radio)? Para los círculos, sabemos

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO que la respuesta es seis (Fig. 4.26). Para las esferas, el mayor número es doce, pero este hecho no se demostró hasta 1874. En otras palabras, el mayor número de esferas unitarias que pueden tocar otra esfera unitaria es doce. Para las hiperesferas, todavía no se sabe si el número es veinticuatro, veinticinco o veintiséis, ni tampoco se conoce una solución para las dimensiones superiores, por lo que yo sé. Los matemáticos saben que es posible que al menos 306 esferas iguales toquen otra esfera igual en nueve dimensiones, y 500 pueden tocar otra en diez dimensiones. ¡Pero los matemáticos no están seguros de que se pueda empaquetar más! Datos ciertos Para aquellos de ustedes a los que les gustan los números, cierro esta sección con un popurrí de hechos fascinantes. - Un cubo tiene diagonales de dos longitudes diferentes: el más corto que se encuentra en las caras cuadradas y el más largo que pasa por el centro del cubo. La longitud de la diagonal más larga de un n-cubo de longitud lateral m es m√n. Esto significa que si te diera un hueso del muslo de tres pies de largo y te pidiera que lo metieras en un hipercubo 9-D con bordes de un pie de largo, el hueso encajaría justo, porque √9 = 3. Un hueso de dinosaurio de diez pies de largo podría caber diagonalmente en un cubo de 100-D con bordes de sólo un pie de largo. Un palillo de dientes de una milla de largo podría caber dentro de un ncubo con bordes de la misma longitud que los de un cubo de azúcar ordinario, ¡si n es grande! Por otro lado, una hiperesfera se comporta de manera diferente. Una n-esfera nunca puede contener un palillo de dientes más del doble de su radio, no importa cuán grande sea la n. Como hemos discutido, otras cosas extrañas les suceden a las esferas a medida que la dimensión aumenta. - El número de bordes de un cubo de la dimensión n es n×2n–1. Por ejemplo, el número de esquinas de un cubo 7-D es 27 = 128, y el número de bordes es 7×26 = 7×64 = 448. Otro hecho: dos planos perpendiculares en cuatro espacios pueden encontrarse en un punto. - Un análogo 4-D de una pirámide tiene un hipervolumen de un cuarto del volumen de su base 3-D multiplicado por su altura en la cuarta

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO dirección. Un análogo n-dimensional de una pirámide tiene un hipervolumen 1/n veces el volumen de su base (n–1)-dimensional multiplicado por su altura en la dirección n.

Scully: Sólo porque no pueda explicar lo que vi, no significa que vaya a creer que eran OVNIS. Mulder: Objetos voladores no identificados. Creo que encaja bastante bien en la descripción. Dime que estoy loco. Scully: Estás loco. ―“Garganta Profunda”, Los Expedientes-X.

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cinco

Él la observó durante mucho tiempo y ella sabía que él la estaba observando y él sabía que ella sabía que él la estaba observando, y él sabía que ella sabía que él lo sabía; en una especie de regresión de imágenes que se obtiene cuando dos espejos se miran el uno al otro y las imágenes siguen y siguen y siguen en una especie de infinito. ―Robert Pirsig, Lila

Es como si se encontrara un gran diamante dentro de cada persona. Imagínate un día de luna de miel de un pie de largo. El diamante tiene mil facetas, pero las facetas están cubiertas de suciedad y alquitrán. Es el trabajo del alma limpiar cada faceta hasta que la superficie sea brillante y pueda reflejar un arco iris de colores. ―Brian Weiss, M.D., Muchas Vidas, Muchos Maestros

Hay dos maneras de esparcir la luz: ser la vela o el espejo que la refleja. ―Edith Wharton, Vesalius en Zante

Fotocopié un espejo. Ahora tengo una fotocopiadora extra. ― Anónimo en Internet

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO

mundos espejo

Sede del FBI, Washington, D.C., 9:00 P.M. Miras por la ventana. La lluvia ha cesado. “Continuemos nuestra discusión al aire libre”, le dices a Sally. “Estoy de humor para ver el río.” Llevas una bolsa con accesorios que te serán útiles más adelante en tus lecciones. La calle Tercera serpentea cuesta abajo, pasando por Leo’s Pizza y Pasta, hologramas de tamaño natural de Clinton, Reagan y Carter, siguiendo las curvas del río Potomac. Los edificios están alejados de las calles y no es hasta que te acercas al agua que ves un número considerable de personas. Cientos. Las avenidas cercanas son en sí mismas muy concurridas con interminables corrientes de ruidosos taxis. Unos cuantos corredores pasan… no importa cuán rápido corran, están limitados al asfalto y al concreto y probablemente siempre lo estarán. ¿Querrán experimentar, como ustedes, un trote hacia la cuarta dimensión? Miras a una tienda de ropa y miras un gran espejo. “Sally, me encantan los espejos. “¿Lo sabes?” Sally te mira en el espejo. “No puedo decir que lo haya pensado mucho. “¿Sabías que los espejos actuales se hacen rociando una fina capa de aluminio fundido o plata sobre el vidrio en el vacío?” “Eso es muy interesante, estoy seguro.” Te agachas en un callejón y sacas un objeto pequeño de tu bolso. “¡Mira a esta Sally! Tengo una máquina de rotación.” Sally da vueltas y vueltas, como un top. “Cualquiera puede rotar”. “¡No, este dispositivo nos permitirá rotar en la cuarta dimensión para que nos transformemos en nuestra imagen en el espejo!” Sally sonríe. “¡Tienes que estar bromeando!” “En absoluto. Imagínate a un hombre en 2-D viviendo en Flatland. Imagina que su ojo derecho es marrón y su ojo izquierdo es azul. Un día se despierta y su mujer grita, porque sus ojos han cambiado de sitio. Lo que realmente sucedió es que un ser 3-D lo rotó alrededor del centro de su cuerpo hacia la tercera dimensión” (Fig. 5.1).

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Figura 5.1 Rotación de una persona en 2-D sobre un eje central.

Le das a Sally una carta con las palabras:

EN UN ESPACIO DE N DIMENSIONES EL ESPEJO ES UNA SUPERFICIE DE N–1 DIMENSIONES “Sally, en una dimensión, los objetos son reflejados por un punto. En dos dimensiones, las figuras se reflejan en una línea. En nuestro mundo, los espejos son planos. “¡En cuatro dimensiones, los espejos son sólidos!” Haces una pausa. “Si un Flatlander pudiera ser girado alrededor de una línea en su plano, se convertiría en su imagen especular. En general, si un objeto pudiera girar alrededor de un espejo moviéndose a la dimensión superior, el objeto se convertiría en su imagen en el espejo”. “¿Qué tienes en la mano?” Levantas la mano izquierda. “Nada”. “Tonto, tu otra mano.” “He diseñado una máquina que me llevará a la cuarta dimensión. No he encontrado la manera de saltar completamente a la cuarta dimensión, pero aunque tenga que mantener una parte de mí aquí todo el tiempo, puedo hacer algunos trucos maravillosos. Pero no te preocupes, la máquina es perfectamente segura”.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Colocas el dispositivo en la acera de cemento y te paras sobre él. “Esto me volteará en la cuarta dimensión de modo que seré rotado en una imagen espejo de mí mismo. La máquina me hace girar alrededor de un plano que atraviesa mi cuerpo desde la cabeza hasta la ingle. Mira.” Sally se mete el puño en la boca y jadea. “Tengo el control total. Mira como mi mitad derecha mueve hacia delta y mi mitad izquierda hacia épsilon. Cuando un Flatlander gira, todo lo que ves es un segmento de línea hasta que todo su cuerpo llena el plano de nuevo. Del mismo modo, ahora están viendo una sección transversal plana de mi cuerpo con todos mis órganos internos”.

Figura 5.2 Rotación de una persona en 3-D alrededor de un plano central. Mientras la persona está en el proceso de rotación, todo lo que queda en nuestro espacio es una sección transversal que se asemeja a la carne microfotografiada.

“¡Basta!” Sally dice mientras mira manchas carmesí que se retuercen flotando en el aire. Ocasionalmente, aparece el blanco del hueso. Es como si un torturador de la Inquisición te hubiera cortado con una navaja enorme y afilada

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO de la cabeza a los pies y hubiera blandido con orgullo la delgada rebanada frente a Sally (Fig. 5.2). “Sally, al girar, todo lo que queda es mi sección transversal. Parece carne cortada. Un Omegamorfo podría convertirnos en nuestras propias imágenes en espejo girándonos, en la cuarta dimensión, alrededor de planos que cortan nuestros cuerpos. Es como si el Flatlander rotara alrededor de una línea en la tercera dimensión y luego volviera a la segunda dimensión”. Sally retrocede. “Esto no puede ser seguro. Vuelve a la normalidad en este instante”. “Sally, si quisieras, podrías acercarte y hacerme cosquillas en los riñones.” “Estás enfermo.” Después de un minuto, giras de vuelta al universo tridimensional. Has vuelto a la normalidad, excepto que eres tu imagen reflejada. “?oczul omóC¿” “¿Qué has dicho?” Te quedas mirando fijamente a Sally. Los ojos de Sally brillan como diamantes. Por un instante te sientes como la luz atrapada en una esfera brillante. Miras sus córneas, tu imagen muchas veces reflejada como si estuvieras parado en la periferia de algún cristal gigante, solo en un campo de oscuridad. Uno de sus pendientes se ha caído en un charco. El charco tiembla. Estás hipnotizado por el encantador juego de luces en la clara superficie ondulada. No necesitas moverte. Hay suficiente movimiento de las luces. Sientes que puedes vivir para siempre, suspendido en el espacio. La luz se refleja según las leyes matemáticas. Ángulos, polarizaciones, intensidades, refracciones, difracciones, interferencias, óptica geométrica, aberraciones esféricas. Cuánta belleza en las matemáticas puras. Sally te saca de tu ensueño. “Dios mío, cuando rotaste, parecías una tomografía o una resonancia de un hospital. La cuarta dimensión sería la última herramienta de diagnóstico médico”. Ella hace una pausa. “Pero ahora te ves un poco diferente.” “Sí, mis lados izquierdo y derecho están al revés. No podría hacer esto sin rotar en la cuarta dimensión”. “¿Podemos probarlo?” “Escucha a mi corazón. No hay forma de que mi corazón esté a mi derecha sin una rotación en la cuarta dimensión”.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Sally pone su cabeza en el lado derecho de tu pecho. “Oigo un latido fuerte. Santo cielo, tienes que estar en lo cierto. Pero, ¿no vas a volver a cambiar?” “No, quiero ver lo que es pasar un día como mi imagen en el espejo. Imagina las posibilidades románticas. Tal vez altere las percepciones de uno. Ahora estás muy guapa”. Sally chasquea los dedos y te hace señas para que la sigas. “Pareces borracho, si no te importa que te lo diga. Cambiemos de tema” La cara de Sally comienza a desvanecerse con la luz brillante. Incluso en sus salidas informales, usa un traje de cuello duro y corbata sobria. Una de las cosas más difíciles de aceptar de ella es la forma en que sus delgados dedos bailan cuando están nerviosos. “Sally, lo siento. Debe ser la presión de trabajar muchas horas”. Haz una pausa. “¿Sabes mucho sobre lo oculto?” “Nada, excepto que estás obsesionado con ello.” Asiente con la cabeza. “Muchos de los llamados fenómenos ocultos podrían ser explicados por la cuarta dimensión. A lo largo de la historia, algunas personas han creído que los espíritus de los muertos están cerca y pueden ponerse en contacto con nosotros. Por supuesto, no puedo creerlo sin pruebas, pero mucha gente cree que los espíritus pueden hacer ruidos, mover objetos, enviar mensajes, y ha habido científicos que han usado la teoría 4-D en un intento de probar la existencia de espíritus y fantasmas. La idea de los seres en 4-D a pocos metros de nosotros tenía gran popularidad en el siglo XIX. En el siglo XVII, el platonista de Cambridge Henry More sugirió que el alma de una persona es físicamente inobservable porque corresponde a algún hiperespesor en una dirección 4D. Una persona muerta pierde este hiperespesor. Henry More no usó el término ‘cuarta dimensión’, pero quiso decir eso”. “Dijiste siglo XIX. ¿Qué pasó entonces?” “Johann Carl Friederich Zollner promovió la idea de los fantasmas de la cuarta dimensión. Fue profesor de astronomía en la Universidad de Leipzig y trabajó con el medium estadounidense Henry Slade. Zollner le dio a Slade una cuerda unida como un lazo. Los dos cabos sueltos se sujetaron con un poco de lacre. Sorprendentemente, Slade parecía ser capaz de hacer nudos en la cuerda. Por supuesto, Slade probablemente engañó y deshizo la cera, pero si pudiera atar nudos en la cuerda sellada, sugeriría la existencia de una cuarta dimensión”.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO “¿Qué te hace decir eso?” Le das a Sally un cordel con un trozo de cera que sella los dos extremos (Fig. 5.3). “Un ser 4-D podría mover un trozo de la soga épsilon fuera de nuestro espacio. Esto sería como cortar la cuerda en el sentido de que la cuerda se puede mover a través de sí misma para formar un nudo. Una vez que la cuerda esté en la orientación correcta puedes moverla de nuevo delta en nuestro espacio, y un nudo sería atado sin mover los extremos de la cuerda”.

Figura 5.3 Un ser 4-D sería el último Houdini y podría anudar o desanudar una cuerda levantándola temporalmente a la cuarta dimensión. A la izquierda hay una cuerda antes de que se haya anudado. (Miner intentó que la cuerda izquierda se transformara a la derecha sin romper el círculo de cera en la parte superior.)

Sally traza un garabato sobre un poco de suciedad usando la punta del zapato (Fig. 5.4). “No creo que una cuerda pueda ser anudada en un espacio 2-D”. “Tienes razón. En Flatland, no hay forma de que una línea pueda cruzarse sola. De hecho, una cuerda o una línea sólo se puede anudar en un espacio tridimensional. Y cualquier nudo que se ate en un espacio en 3-D no permanecerá atado en un espacio en 4-D porque el grado adicional de libertad causará que un nudo se deslice a través de sí mismo”. Haz una pausa. “Por analogía, en el espacio 4-D, una criatura puede anudar un plano (superficie), pero este plano no permanecerá anudado en el espacio 5-D. Y el plano anudado no puede formarse en el espacio tridimensional”. Sally te tira de la mano para que empieces a caminar. “¿Cómo puedes anudar un plano?”

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Figura 5.4 Una cuerda no puede ser anudada en un espacio 2D.

“Toma una línea anudada y luego muévela hacia arriba en la cuarta dimensión. El rastro que traza será un plano anudado. Nunca se cruza a sí mismo. Por supuesto, si simplemente dejamos un trazado en tres espacios a medida que movemos un nudo, éste se intersectará a sí mismo, pero como épsilon es perpendicular a todas las direcciones de nuestro espacio, el plano anudado en 4-D no se intersectará a sí mismo”. Empiezas a caminar de nuevo. La sección de compras de moda de la ciudad ha dado paso a una serie de tiendas más pequeñas. Muchas de ellas parecen un poco sórdidas. Caminas despacio, pasando por ventanas de tiendas de ropa de segunda mano tratando de hacerse pasar por boutiques informales. Algunos de los letreros de la tienda decían

SALVEN PUESTOS DE TRABAJO: COMPREN PRODUCTOS HECHOS EN LA TERCERA DIMENSIÓN. Una de las tiendas se llama Earthlings Unite y vende una sorprendente variedad de artículos: esposas, delgados camisones y relojes dorados exhibidos en terciopelo negro. Una mujer en la tienda, tal vez la gerente, tiene un llamativo peinado punk ―mitad morado, mitad naranja― y parece que podría pesar alrededor de ochenta libras. Te mira fijamente a ti y a Sally y sonríe,

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO mostrando dos grandes dientes caninos blancos. Te recuerdan los dientes de un animal pequeño pero peligroso, una hiena, tal vez. Vuelve con Sally. “Zollner ideó tres pruebas para Slade para ver si Slade podía usar la cuarta dimensión para hacer milagros. Uno: Le dio a Slade dos anillos de roble que debían entrelazarse sin romperlos. Dos: Le dio a Slade una concha de caracol y observó si una espiral derecha podía convertirse en una espiral izquierda, y viceversa. Tres: Le dio a Slade una banda elástica y le pidió que colocara un nudo en una hebra de la banda. En realidad, era una banda hecha de tripa seca, pero se entiende la idea”. “¿Podría Slade hacer alguna de esas cosas? “No. Sin embargo, la cuarta dimensión continuó siendo un interés divertido para laicos y científicos. A. T. Schofield, en su libro de 1888 Another World, sugirió que Un mundo superior no sólo es posible, sino probable; tal mundo puede ser considerado como un mundo de cuatro dimensiones. Nada impide que el mundo espiritual y sus seres, y el cielo y el infierno, estén a nuestro lado.

Sally se sienta en un banco y comienza a quitarse los zapatos. “Mis pies me están matando.” Te sientas a su lado, y te acercas más, y ella se queda donde está. Sus pestañas revolotean, largas y oscuras contra unas mejillas blancas y suaves. Aquí todo está tranquilo, casi todo desierto. Te sientes extrañamente solo, como si tú y Sally pudieran mirar hacia abajo al mundo sin ser parte del mundo. Te vuelves hacia Sally. “Es bueno estar a solas contigo.” Sientes que tiembla un poco. “Ojalá no hablaras así”. “¿Por qué?”, preguntas. “Sólo prefiero que no lo hagas”. Sientes como si hubieras pinchado algunas capas de su psique que ella desea guardar para sí misma. Y sin embargo, no puedes detenerte. “Sabes, a veces siento que no estás conmigo.” “Casi siempre estoy contigo.” Y de nuevo sientes que está a la defensiva.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO “¿Te quedarás conmigo si sigo hablando? A veces no me siento real. Cuando vi a ese Santa Claus, tuve la misma sensación que cuando estoy contigo, una especie de fantasía”. “Háblame de él”. “No puedo decir mucho. Su tatuaje de teseracto es extraño. Sé que es una locura pensar que me está siguiendo, pero supongo que todo es posible en Washington”. “Cierto. Es difícil separar ilusión y realidad. A veces ni siquiera lo intento”. “¿Me estaba imaginando al hombre de Santa Claus? ¿Te estoy imaginando?” “Si me estás imaginando, ¿qué pasa? ¿Lo disfrutas?” “Sí.” “Entonces es suficiente.” “Ojalá lo fuera, pero soy el tipo de persona que quiere respuestas a todo”. “Yo también”. Ella pone su mano sobre la tuya. “Pero a veces eres demasiado intenso. Eso me asusta. Necesitas descansar más. Es tarde. Es tarde. Terminemos nuestra discusión sobre la cuarta dimensión”. Asientes con la cabeza. “Sally, un solo Dios 4-D podría parecer tantos Dioses o ángeles como Él intersecta el mundo 3-D. Podríamos ser parte de una entidad 4-D.” “No me lo trago. ¿Cómo podríamos ser parte de una criatura 4-D?” “Sally, ¿recuerdas la figura 2.18 en la que las huellas de una criatura 4-D aparecen como dos humanos separados?” “¿De qué estás hablando? Figura 2.18? No estamos en una especie de libro.” Asientes con la cabeza. “Esto es lo que P. D. Ouspensky dijo al respecto en su ensayo de 1908 `La cuarta dimensión’: Podemos tener muy buenas razones para decir que somos seres de cuatro dimensiones y que estamos orientados hacia la tercera dimensión con sólo uno de nuestros lados, es decir, con sólo una pequeña parte de nuestro ser. Sólo esta parte de nosotros vive en tres dimensiones, y sólo somos conscientes de esta parte como nuestro cuerpo. La mayor parte de nuestro ser vive en la cuarta dimensión, pero somos inconscientes de esta mayor parte de nosotros mismos.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO O sería aún más cierto decir que vivimos en un mundo cuatridimensional, pero sólo somos conscientes de nosotros mismos en un mundo tridimensional.

Media hora después, acompañas a Sally a su auto en el estacionamiento de la sede del FBI. Los tacones duros de sus zapatos negros resuenan en la gran estructura de cemento. “Sally, mañana intentaremos salvar al Presidente.” “Iré a tu oficina a las ocho.” Una vez de vuelta en su oficina, sostienes un pañuelo contra tu boca y nariz. El olor del lugar es mucho peor de lo que recuerdas. Hay un olor fuerte, un olor a putrefacción. Probablemente el olor de algunas de tus sobras o los restos de alguna hamburguesa de McDonald’s en la basura. Quitas un saco de dormir de debajo de tu escritorio. Por un momento, dejas abierta la puerta de tu oficina, para escuchar cualquier sonido en el pasillo. Un agente del FBI suele estar solo. Tal vez debiste casarte cuando tuviste la oportunidad, hace años. Pero el momento no era el adecuado. ¿Sería así por el resto de tu vida? ¿Vas a vivir siempre la mayor parte del tiempo en tu oficina, sonreír educadamente a los conserjes, hacer tu trabajo y comer sándwiches de Leo’s tú solo? Apagas las luces y miras por la ventana. Afuera llovizna, y las lámparas lanzan rotos destellos amarillos en los charcos. Tienes hambre, y encuentra dos manzanas para masticar. Está tan oscuro que te recuerdan a las hiperesferas. De alguna manera las manzanas no saben bien cuando apenas se pueden ver. Te sientas en la oficina oscura con sólo las luces de las calles reflejadas en la brillante superficie de tu escritorio. Te sientes como si estuvieras en un sueño, sentado en el limbo. ¿Tiene razón Sally? ¿Tu sueño de elevarte a la cuarta dimensión es poco realista? ¿Importa eso? ¿Qué probaría si lo hicieras? Sabes que puedes seguir durante meses, quizás años, tratando de desentrañar la cuarta dimensión sin entenderla del todo. Al principio piensas que sería una buena idea probar un vuelo experimental para probar tus teorías. Una huida a la cuarta dimensión es un gran riesgo. ¿Te atreverías? Sin embargo, alguna compulsión interior te impulsa. No necesitas “experimentar”. Tú decides dar el paso. Mañana sería el día.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Pulsas un botón y la música de Beethoven entra en la habitación como si fuera agua, agua que has mirado, agua que has sostenido.

La ciencia detrás de la ciencia ficción La curiosa inversión de los lados derecho e izquierdo de Plattner es prueba de que ha salido de nuestro espacio hacia lo que se llama la Cuarta Dimensión, y que ha vuelto de nuevo a nuestro mundo. —H. G. Wells, “La historia de Plattner”.

Por eso Mick se había visto raro; se había dado la vuelta en el hiperespacio y había regresado como su imagen en el espejo. ―Rudy Rucker, Donas del espacio-tiempo “¿Podría sólo girar mi brazo fuera de los límites establecidos?”, le había dicho uno de los utópicos: “Podría empujarlo a mil dimensiones.” —H. G. Wells, Hombres como dioses

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Experimentos Zollner El temprano y generalizado interés en la cuarta dimensión no tuvo lugar en las comunidades científicas y matemáticas, sino entre los espiritualistas. El médium y mago americano Henry Slade, se hizo famoso cuando fue expulsado de Inglaterra por fraude relacionado con la escritura de espíritus en las pizarras. El astrónomo J. C. E. Zollner fue desacreditado casi completamente por su asociación con el espiritualismo. Sin embargo, tenía razón al sugerir que cualquier persona con acceso a dimensiones más elevadas podría realizar hazañas imposibles para criaturas sometidas a un mundo tridimensional. Sugirió varios experimentos que demostrarían su hipótesis, por ejemplo, unir anillos sólidos sin cortarlos primero, o sacar objetos de cajas aseguradas. Si Slade pudiera interconectar dos anillos de madera ininterrumpidos, Miner creía que “representaría un milagro, es decir, un fenómeno que nuestras concepciones hasta ahora de los procesos físicos y orgánicos serían absolutamente incompetentes para explicar”. Experimentos similares se intentaron para invertir las conchas de los caracoles y atar nudos en un lazo cerrado de cuerda hecho de tripas de animales. Tal vez la prueba más difícil de pasar involucró la inversión de la estructura molecular del ácido dextrotartárico para que pudiera rotar un plano de luz polarizada a la izquierda en lugar de a la derecha. Aunque Slade nunca llevó a cabo las tareas mencionadas, siempre se las arregló para encontrar evidencia lo suficientemente similar como para convencer a Miner y estas experiencias se convirtieron en la base principal de la Física Trascendental de Zollner. Este trabajo, y las afirmaciones de otros espiritistas, tenían en realidad algún valor científico, ya que desencadenaron un animado debate dentro de la comunidad científica británica. Hiperespesor ¿Es posible que nuestro espacio tenga un ligero hiperespesor 4-D? Si cada objeto en nuestro espacio tiene un milímetro de espesor en la dirección de la cuarta dimensión, ¿notaríamos este componente 4-D de nuestros cuerpos? Si en realidad somos criaturas 4-D, y nuestros cuerpos son sólo secciones transversales 3-D de nuestros cuerpos completos, ¿cómo lo sabríamos? Como he mencionado repetidamente, la posibilidad de una cuarta dimensión llevó al debate religioso a lo largo de los siglos. Los espiritualistas incluso

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO se han preguntado si las almas de nuestros muertos han ido a otra dimensión. Por ejemplo, el filósofo británico Henry More argumentó en Enchiridion Metaphysicum (1671) que un reino inferior más allá de nuestros sentidos tangibles era un hogar para fantasmas y espíritus. Sus descripciones no estaban muy lejos de cómo los matemáticos modernos describen una cuarta dimensión. Los teólogos del siglo XIX, siempre buscando la ubicación del Cielo y el Infierno, se preguntaban si podrían ser encontrados en una dimensión superior. Algunos teólogos representaban el universo como tres espacios paralelos: la Tierra, el Cielo y el Infierno. El teólogo Arthur Willink creía que Dios estaba fuera de estos tres espacios y vivía en un espacio infinitamente dimensional. La teología de Karl Heim, descrita en su libro Christian Faith and Natural Science, enfatiza el papel de las dimensiones superiores. Varios filósofos han sugerido que nuestros cuerpos son simplemente secciones transversales en 3D de nuestros yoes superiores en 4-D. Extraterrestres con Orejas Enantiomorfas Aunque la vaga noción de una cuarta dimensión se les había ocurrido a los matemáticos desde los tiempos de Kant, la mayoría de los matemáticos abandonaron la idea como una especulación imaginativa sin valor posible. No habían discutido el hecho de que un objeto sólido asimétrico podía, en teoría, ser revertido girándolo a través de un espacio superior. No fue hasta 1827 que August Ferdinand Moebius, un astrónomo alemán, mostró cómo se podía hacer esto, ochenta años después de los documentos de Kant sobre las dimensiones. Si te encuentras con un Flatlander, podrías, en principio, sacar al Flatlander de su plano y darle la vuelta. Como resultado, sus órganos internos estarían invertidos. Por ejemplo, un corazón a la izquierda estaría ahora a la derecha. Del mismo modo, un ser 4-D podría darnos la vuelta y revertir nuestros órganos. Aunque tales poderes son, en principio, posibles dentro de los parámetros de la física del hiperespacio, debo recordar a los lectores que la tecnología para manipular el espacio de esta manera no es posible; tal vez dentro de unos pocos siglos exploraremos el hiperespacio en formas que hoy sólo se sueñan en la ciencia ficción.

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Figura 5.5 Cangrejos de herradura y varias especies de sus ancestros extintos (trilobites), todos exhibiendo simetría bilateral.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Muchas criaturas en nuestro mundo, incluso nosotros mismos, son bilateralmente simétricas; es decir, sus lados izquierdo y derecho son similares (Fig. 5.5). Por ejemplo, a cada lado de nuestro cuerpo bilateralmente simétrico hay un ojo, una oreja, una fosa nasal, un pezón, una pierna y un brazo. Debajo de la piel, nuestras tripas no muestran esta notable simetría. El corazón ocupa el lado izquierdo del pecho; el hígado reside en el derecho. El pulmón derecho tiene más lóbulos que el izquierdo. Los biólogos que intentan explicar los orígenes de las asimetrías de izquierda a derecha han descubierto recientemente varios genes que prefieren actuar en un solo lado de un embrión en desarrollo. Sin estos genes, los órganos internos y los vasos sanguíneos se desbaratan en formas generalmente fatales. Las mutaciones en estos genes ayudan a explicar las ocurrencias de los niños que nacen con sus órganos internos invertidos a lo largo del eje izquierda-derecha, un defecto congénito que genera muy pocos problemas médicos. Es imaginativo considerar esto como una “enfermedad” de la cuarta dimensión. Si tuviéramos poderes 4-D, podríamos revertir algunas de estas extrañas asimetrías.

Figura 5.6 Los dos triángulos sólo pueden superponerse si uno de ellos se gira primero fuera de la página a una dimensión superior.

Una manera de visualizar el volteo de objetos en el espacio superior es considerar los dos triángulos de la Figura 5.6. Éstos se denominan triángulos “escalenos” porque tienen tres longitudes laterales diferentes. Hacen una “pareja enantiomorfa” porque son congruentes pero no superponibles sin levantar uno del plano. De manera similar, en nuestro mundo 3-D, hay muchos ejemplos de pares enantiomórficos ―estos consisten en figuras sólidas asimétricas

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO como sus manos derecha e izquierda. (Si los colocas juntos, de palma a palma, verás que cada uno es un reflejo especular del otro.)― Los triángulos escalenos, como sus dos manos, no pueden superponerse, no importa cómo los gire y los deslice. Sin embargo, rotando los triángulos alrededor de una línea en el espacio, podemos superponer un triángulo en su imagen reflejada. De manera similar, tu propio cuerpo podría ser cambiado a su imagen en el espejo girándolo alrededor de un plano en espacio-4. (Ver Apéndice B para información sobre la “Historia del Planificador” de Wells y las aventuras de un profesor de química cuyo cuerpo se rota en la cuarta dimensión.) En cuatro dimensiones, las figuras se reflejan en sólidos. Los espejos son siempre una dimensión menos que el espacio en el que operan. Si hubiera una hiperpersona en cuatro-espacio mirando nuestras manos derecha e izquierda, para él serían superponibles porque podría concebir de rotarlas en la cuarta dimensión. Lo mismo se aplicaría a los caracoles con espirales en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario, como en la figura 5.7. ¿Puedes pensar en otros ejemplos de pares enantiomorfos en nuestro universo? Por ejemplo, tus orejas son enantiomorfas. (Me gusta imaginar una raza de extraterrestres cuyos oídos derecho e izquierdo son idénticos, no enantiomórficos. ¿Puedes imaginarte cómo podrían ser?) Mundos de Moebius Si todo nuestro universo se transformara repentinamente en su imagen especular, ¿percibiríamos una diferencia? Para responder a esta pregunta, considere un Lineland en el que residen sólo tres extraterrestres babosos: “Cosa 1”, “Cosa 2” y “Cosa 3”, todos mirando hacia el este, es decir, todos están mirando hacia la derecha.

Si invertimos la Cosa 2, el cambio será evidente para la Cosa 1 y la Cosa 2. Pero si invertimos toda la línea de Lineland, los alienígenas 1-D no percibirían un cambio. Nosotros, los seres de dimensiones superiores, notaríamos que

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Figura 5.7 Los caracoles marinos tienen una “disposición”. Sus espirales en una dirección pueden transformarse en espirales en la otra dirección girando las conchas a través de la cuarta dimensión. (El crecimiento de la cáscara generalmente no se limita a un plano sino que también se extiende en una tercera dirección, como el remolino de un cono de helado.)

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Lineland se ha invertido, pero eso es porque podemos ver a Lineland en relación a un mundo fuera de él. Sólo cuando una porción de su mundo se ha invertido pueden darse cuenta de un cambio. Lo mismo se aplicaría a nuestro mundo. En cierto modo, no tendría sentido decir que todo nuestro universo fue invertido porque no habría manera de que pudiéramos detectar tal cambio. ¿Por qué nuestro mundo es una manera particular? El filósofo y matemático Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) creía que preguntar por qué Dios hizo el universo de esta manera y no de otra es hacer “una pregunta bastante inadmisible”. Para entender mejor el comentario de Leibniz, considere un plano en 2-D. Para revertir todo el universo de Flatland, todo lo que tenemos que hacer es dar la vuelta al plano y verlo desde el otro lado. De hecho, no tenemos que dar la vuelta al mundo. Considere que Flatland es como una granja de hormigas vertical en la que las hormigas están esencialmente confinadas a un mundo en 2-D. El mundo es un mundo de zurdos cuando se mira desde un lado del cristal y un mundo de diestros cuando se mira desde el otro. En otras palabras, Flatland no tiene que cambiar de ninguna manera cuando se ve de un lado o del otro. El único cambio es en la relación espacial entre Flatland y un observador en espacio-3. De la misma manera, un hiperser podría cambiar su posición de épsilon a delta y ver una concha marina con una espiral hacia la derecha convertirse en una espiral hacia la izquierda. Si pudiera recoger la cáscara y darle la vuelta, sería un milagro para nosotros. Lo que veríamos es la cáscara desaparecer y luego reaparecer como su imagen en el espejo. Esto significa que las estructuras enantiomorfas son vistas como idénticas y superponibles por los seres de la siguiente dimensión superior. Tal vez sólo un Dios que exista en dimensiones infinitas podría ver todos los pares de objetos enantiomorfos como idénticos y superponibles en todos los espacios. Hay otras maneras de convertirte en tu imagen en el espejo, sin que salgas nunca del espacio en el que vives. Considera una tira de Moebius, inventada a mediados del siglo XIX por August Moebius. Una tira de Moebius se crea girando una tira de papel 180 grados y luego pegando los extremos con cinta adhesiva. (Una tira de Moebius sólo tiene un lado. Si eso es difícil de creer, construye uno y trata de colorear un lado rojo y el “otro” verde.) A modo de analogía, si un Flatlander viviera en un mundo de Moebius, podría ser volteado fácilmente moviéndolo a lo largo de su universo sin sacarlo nunca del plano

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO de su existencia. Si un Flatlander viaja por toda la banda de Moebius y llega al punto de origen, encontrará que todos sus órganos están invertidos (Fig. 5.8). Un segundo viaje alrededor del cosmos de Moebius lo enderezaría de nuevo.

Figura 5.8 Un humano 2-D en un universo de cintas de Moebius. Si el humano viaja alrededor de la tira, sus órganos internos se invertirán.

Una banda de Moebius es un ejemplo de “espacio no orientable”. Esto significa que, en teoría, no es posible distinguir un objeto en la superficie de su imagen reflejada. La superficie se considera no orientable si tiene una trayectoria que invierte la orientación de las criaturas que viven en la superficie, como se describe en el párrafo anterior. Por otro lado, si un espacio conserva la disposición de una estructura asimétrica, independientemente de cómo se mueva la estructura, el espacio se denomina “orientable”. Al igual que en la cinta de Moebius, cosas extrañas sucederían si viviéramos en la superficie de una pequeña hiperesfera. Por analogía, considere un Flatlander que vive en un universo que es la superficie de una pequeña esfera. Si el Flatlander viaja a lo largo de la esfera, regresa a su punto de partida. Si mira hacia adelante, ve su propia espalda. Si usted vivía en un universo hiperesférico, usted también podría volver a su punto de partida después de mucho tiempo. Si la hiperesfera fuera pequeña, verías tu propia espalda mientras miras hacia adelante. Como se mencionó en la sección sobre geometría extrínseca (Capítulo 1), algunos cosmólogos han sugerido que nuestro universo es en realidad una gran hiperesfera. El universo puede ser finito pero sin límites, así como la superficie de una esfera es finita, pero no tiene bordes. En otras palabras, nuestro universo puede ser una esfera 4-D con una superficie 3-D

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO con una circunferencia del orden de 1000 mil millones de años-luz. (Un año luz es la distancia recorrida por la luz en un año ―alrededor de 5,9 ×1015 millas.) Según este modelo, lo que percibimos como líneas rectas y paralelas pueden ser grandes círculos que se intersectan a dos puntos a cincuenta mil millones de años-luz de distancia en cada dirección en la hiperesfera (de la misma manera que las líneas de longitud en un globo se encuentran en los polos). Si nuestro universo es curvo, nuestro espacio puede ser finito y no tener límites. Simplemente se curva sobre sí misma. Esto significa que si volamos lejos a través del espacio, nunca podremos encontrar una pared que indique que el espacio no va más allá. No puede haber ninguna señal que diga:

REGRESE. EL ESPACIO TERMINA AQUÍ. La idea de que nuestro universo podría ser la superficie de una hiperesfera fue sugerida por Einstein y tiene implicaciones sorprendentes”.27 Como una

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Los astrónomos buscan activamente evidencia de la forma del universo mirando mapas detallados de las fluctuaciones de temperatura a través del espacio. Estos estudios cuentan con la ayuda de la nave espacial Microwave Anisotropy Probe de órbita solar y el satélite Planck de la Agencia Espacial Europea. En un universo cerrado, “hiperbólico”, lo que los astrónomos podrían pensar que es una galaxia distante podría ser nuestra propia Vía Láctea vista a una edad mucho más temprana porque la luz ha tardado miles de millones de años en viajar alrededor del universo. Neil Cornish de la Universidad de Cambridge y otros astrónomos sugieren que “si tenemos la suerte de vivir en un universo hiperbólico compacto, podemos observar y ver nuestros propios comienzos”. Según la teoría de la relatividad general de Einstein, la densidad general de nuestro universo determina tanto su destino como su geometría. Si nuestro universo tiene suficiente masa, la gravedad eventualmente colapsaría el universo de nuevo en una gran contracción. En efecto, tal universo se curvaría sobre sí mismo para formar un espacio cerrado de volumen finito. Se dice que el espacio tiene “curvatura positiva” y se asemeja a la superficie de una esfera. Un cohete que viajara en línea recta regresaría a su punto de origen. Si nuestro universo tuviera menos masa, el universo se expandiría para siempre mientras su tasa de expansión se acerca cada vez más a cero. La geometría de este universo es “plana” o “euclidiana”. Si el universo tuviera aún menos masa, el universo se expande para siempre a un ritmo constante. Este tipo de espacio se llama “hiperbólico”. Tiene una curvatura negativa y una forma que se asemeja al asiento de una silla de montar. Actualmente, los datos observacionales sugieren que el universo no tiene suficiente masa para hacerlo cerrado o plano (aunque la evidencia reciente de que los neutrinos

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO analogía, considere de nuevo un Flatland 2-D en la superficie de una esfera. Si un habitante comenzaba a pintar la superficie de Flatland hacia afuera en círculos cada vez más amplios, llegaba al punto medio en el que los círculos comenzaban a achicarse con el Flatlander en su interior; eventualmente se pintaba a sí mismo en un pequeño lugar del universo, momento en el que ya no podía pintar más. Si la pintura fuera tóxica, un Flatlander loco usando este enfoque podría asegurar que todas las formas de vida fueran destruidas. De

poseen una ligera masa podría afectar esto porque sus efectos gravitacionales pueden moldear la forma de las galaxias o incluso posiblemente revertir la expansión del universo). Muchos astrónomos esperan un cosmos plano porque está estrechamente ligado a la “teoría de la inflación”, una conjetura popular de que el universo experimentó un período temprano de rápida expansión que amplificó las fluctuaciones subatómicas aleatorias para formar las estructuras actuales de nuestro universo. De la misma manera que la expansión hace que una pequeña región de un globo parezca plana, la inflación estiraría el universo, suavizando cualquier curvatura que pudiera haber tenido inicialmente. Es asombroso que vivamos en una época en la que todas estas conjeturas pronto serán comprobadas con la radiación de fondo de microondas del universo. Por ejemplo, en un universo hiperbólico, fuertes variaciones de temperatura en el fondo de microondas deberían ocurrir a través de zonas más pequeñas del cielo que en un universo plano. (Ver los artículos de 1998 de Science News de Ron Cowen e Ivars Peterson en Lecturas Adicionales.) Simulaciones recientes por computadora sugieren la existencia de vastas redes filamentosas de gas ionizado, o plasma, una telaraña cósmica que ahora une galaxias y cúmulos de galaxias. Estas telarañas calientes pueden ser difíciles de detectar con los satélites actuales. Para más información, véase Glanz, J. (1998) Cosmic web captures lost matter. Science. 26 de junio, 280 (5372): 2049-50.] Miles de billones de neutrinos están volando a través de tu cuerpo mientras lees esto. Creados por el Big Bang, las estrellas y la colisión de los rayos cósmicos con la atmósfera terrestre, los neutrinos superan en número a los electrones y protones en 600 millones a 1. [Para más información, ver. Gibbs, W. (1998) A massive discovery. Scientific American. Agosto, 279 (2): 18-19.] Es posible que el universo tenga una topología extraña para que las diferentes partes se interconecten como hebras de roscas. Si este es el caso, el universo simplemente da la ilusión de la inmensidad y los múltiples caminos permiten que la materia de diferentes partes del cosmos se mezcle. El Scientific American de julio de 1998 especula que, en el universo de las rosquillas, la luz de un objeto dado tiene varias maneras diferentes de llegar a nosotros, así que deberíamos ver varias copias del objeto. En teoría, podríamos mirar hacia el cielo y ver la Tierra. Para más información, véase Musser, G. (1998) Inflation is dead: long live inflation. Scientific American. 279(1): 19-20.]

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO manera similar, en el modelo de Einstein del universo, si un humano comenzara a trazar un mapa del universo en esferas en constante expansión, eventualmente se convertiría en un pequeño espacio globular en el lado opuesto de la hiperesfera. Nuestro universo podría tener otras topologías igualmente extrañas como las tiras de hyperMoebius y las hyperdonas, con características adicionales interesantes que están más allá del alcance de este libro.28 Por ejemplo, en el espacio 4-D, se pueden construir varias superficies que contienen bandas de Mobius que no tienen límites, igual que la superficie de una esfera no tiene límites. El borde de un disco puede unirse al borde de una banda de Moebius para formar un “plano proyectivo real”. Dos bandas de Moebius se pueden unir a lo largo de su límite común para formar una superficie no orientable llamada botella Klein, llamada así por su descubridor Felix Klein (Fig. 5.9). La banda de Moebius tiene límites: los bordes de la banda que no se unen con cinta adhesiva. Por otro lado, una botella Klein es una superficie unilateral sin bordes. A diferencia de una botella normal, el “cuello” se dobla alrededor, pasando a través de la superficie de la botella y uniéndose a la botella principal desde el interior. Una forma de construir un modelo físico de una botella de Klein en nuestro universo tridimensional es hacer que se encuentre en una pequeña curva circular.

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Para algunas hermosas interpretaciones y explicaciones de este tipo de superficies, ver Beyond the Third Dimension, de Thomas Banchoff. Para los espectaculares modelos de vidrio de Alan Bennett de botellas y variantes de Klein, véase el artículo de Ian Stewart de marzo de 1998 en Scientific American 278(3): 100-101. Bennett, un soplador de vidrio de Bedford, Inglaterra, revela secciones transversales inusuales cortando las botellas con una sierra de diamante. La cinta también crea sorprendentes botellas Klein con tres cuellos, juegos de botellas anidadas una dentro de la otra, botellas en espiral, y botellas llamadas “recipientes Ouslam” con cuellos que giran alrededor dos veces, formando tres autointersecciones. (La vasija Ousalm lleva el nombre del mítico pájaro que da vueltas en círculos cada vez más pequeños hasta que desaparece por su propio extremo.) Si el recipiente Ouslam se corta verticalmente, se deshace en dos bandas de Moebius de tres vueltas. Normalmente, una botella de Klein se desmorona en dos bandas de Moebius de un solo giro cuando se corta, pero Bennet y Stewart demuestran que también se puede cortar una botella de Klein a lo largo de una curva diferente para obtener sólo una banda de Moebius. El soplador de vidrio Alan Bennett puede ser contactado en Hi-Q Glass, 2 Mill Lane, Greenfield, Bedford, Reino Unido MK45 5DF.

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Figura 5.9 Representación gráfica por ordenador de una botella de Klein. (Renderizado en ordenador por el autor; véase el apéndice F para el código de programa).

Imagine su frustración (o tal vez su deleite) si tratara de pintar sólo el exterior de una botella de Klein. Comienzas en el “exterior” bulboso y vas bajando por el cuello delgado. El verdadero objeto 4-D no se autointerseca, lo que le permite continuar siguiendo el cuello que ahora está “dentro” de la botella. A medida que el cuello se abre para volver a unirse a la superficie bulbosa, te das cuenta de que ahora estás pintando dentro del bulbo. Si un Flatlander asimétrico viviera en la superficie de una botella de Klein, podría hacer un viaje alrededor de su universo y regresar en una forma invertida de su entorno. Tenga en cuenta que todas las superficies de un solo lado no son orientables. La figura 5.10 es una botella de vidrio Klein creada por el soplador de vidrio Alan Bennett (ver nota 2 para más información). La figura 5.11 es un objeto más intrincado parecido a una botella de Klein.

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Figura 5.10 Botella de vidrio Klein diseñada y fabricada por el soplador de vidrio Alan Bennett.

Muchos tipos de distorsiones espaciales se discuten en detalle en mi libro Black Holes: A Traveler's Guide. Todavía necesitamos aprender más sobre la estructura a gran escala de nuestro universo antes de que podamos determinar si existen caminos de inversión de orientación. Imaginen las posibilidades si estos caminos existen. Cuando viajabas en un cohete y volvías como tu imagen en el espejo, todos tus tornillos, tijeras, fuentes, órganos corporales y relojes habrían cambiado su orientación en relación con tus amigos que nunca se arriesgaron a hacer el viaje. Si su cónyuge o ser querido regresara a ti al revés, ¿cambiarían tus sentimientos hacia ellos? ¿Notarías la diferencia? ¿Podrían seguir conduciendo su auto, escribir de una manera legible para ti, usar el teclado de una computadora, digerir los mismos alimentos o leer sus libros? ¿Las moléculas enantiomorfas de sus cuerpos también se revertirían? ¿Sería venta-

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO joso que el espejo fuera al revés? ¿Las sociedades futuras, en busca de uniformidad, enviarían a personas zurdas en naves espaciales para que a su regreso fueran diestras? ¿Mandarían los gobiernos deliberadamente a la gente a ser reflejada de manera inversa, creando así nuevos segmentos de la población que no podrían aparearse con la gente “normal” o contraer patógenos mortales que evolucionaron para alimentarse de biomoléculas con características enantiomórficas particulares?

Figura 5.11 Un modelo más complejo de un objeto de dimensiones superiores. [Para más detalles sobre esta forma, ver Ryan, P (1991) El sistema de notación terrenal para instrumentar el acuerdo perceptivo sobre el mundo natural. Leonardo. 24(4): 457-65. El dibujo fue hecho por Gary Allen. El objeto de la botella se llama circuito relacional.]

Scully: Oh Dios, Mulder, huele como... Creo que es bilis. Mulder: ¿Cómo puedo quitármelo de los dedos sin traicionar mi frío exterior? ―“Squeeze”, Los Expedientes-X.

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seis

El nuevo Círculo Principal anima a las masas a adorar a los Seres Espaciales Superiores como Ángeles y Dioses. El Espacio Superior es el camino real hacia aquello que está más allá de toda imaginación. El que tenga oídos, que oiga. ―Rudy Rucker, La cuarta dimensión

Para Catalina, el tiempo había perdido su ritmo circadiano; había caído en un teseracto del tiempo, y el día y la noche se mezclaban en uno solo. ―Sidney Sheldon, El otro lado de la medianoche

El Antiguo Testamento dice que no podemos ver a Dios y vivir. De ello se deduce que debe haber algún segundo espacio, tan presente como el espacio tridimensional pero completamente inobservable. ―Karl Heim, Fe Cristiana y Ciencias Naturales

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los dioses del hiperespacio

La Casa Blanca, Washington, D.C., 9:00 A.M. Estás de vuelta en la Casa Blanca en el lugar exacto en el que el presidente fue visto vivo por última vez. Una gran alfombra persa decora el suelo; a lo largo de la pared hay plantas en maceta y algunas sillas. Nada ha cambiado, excepto una gran réplica en bronce de una Campana de la Libertad que alguien ha trasladado a un rincón de la habitación para reformarla. Quizás la vicepresidenta Chelsea Clinton está preparando la campana como regalo para Sadaam Hussein, quien recientemente renovó su compromiso con la paz mundial. Hay sonidos de todas partes de la habitación, como el zumbido de las escobas sobre el cemento mojado. Un olor a amoníaco llena el aire. “Supongo que tienes un plan para rescatar al presidente”. dice Sally mientras sus ojos se mueven por toda la habitación. Antes de que puedas responder, hay un destello de luz; delante de ti hay una forma en movimiento. Flota a derecha e izquierda a una altura de cinco pies. Luego se detiene y dispara hacia abajo. Tiene el tamaño aproximado de una almohada y está cubierta de piel. Sally saca su arma. Saltas hacia ella. “No dispares”. Caminas lentamente hacia la masa y la tocas con el dedo índice. Lo extraño se reduce al tamaño de un melón, pero conserva su textura similar a la de la piel. “Se siente cálido y suave, como la carne humana.” Ahora la masa aumenta de tamaño de nuevo mientras tú y Sally miran con la boca abierta. Cuando deja de crecer, tiene el tamaño de un pavo grande. Es en su mayoría de carne, pero a lo largo de un lado es una estructura en forma de cresta y una tira de material negro, como de terciopelo. La criatura empieza a rebotar en el suelo, haciendo ruidosas palmadas como el aleteo de un pez fuera del agua. Luego se queda quieto, como una rareza biológica en algún museo de patología. Recuerdas haber visto algo parecido en el Museo Smithsonian de Patología, donde los conservadores habían

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO descubierto cosas extrañas a flote en frascos, órganos del cuerpo delicadamente desprendidos, arterias blandas infundidas de cera, carne todavía fresca como si los objetos estuvieran vivos. Hay pasos detrás de ti. “¿Qué está pasando aquí?” Un hombre se te acerca con la mano en la pistola. Mide 1,80 m de alto, con un pecho de barril y un vientre duro como una roca a juego. Sus mejillas parecen como si hubieran sido limpiadas con chorro de arena. Los brazos de su traje de camuflaje están arrancados, revelando brazos musculosos decorados con tatuajes verdes descoloridos que van desde sus muñecas hasta sus bíceps. Sus enormes manos están marcadas y empapadas de sudor. Con movimientos lentos y deliberados, el hombre se saca una banda negra de la cabeza del bolsillo y se la ata alrededor de la frente. “FBI”, dices y le enseñas tu placa. “¿Quién eres tú?” “Capitán Richard Narcinko, ex-Navy SEAL. Mi trabajo es asegurar la habitación. Es un asunto de seguridad nacional”. “Ooh”, dice Sally cuando un pequeño punto de carne se eleva de la masa. Se dirige hacia ella, moviéndose como una pluma flotando en la brisa. La mano de Sally se dirige a su cara mientras sus ojos se abren de par en par con asombro. El punto flota a la altura de su cabeza, destellando varios tonos de rojo y lavanda. En los bordes de la bola carnosa hay pequeños destellos, como si el punto estuviera encendiendo pequeñas partículas de polvo en el aire mientras se mueve a través de ellas. Sally levanta el arma de nuevo. “¡Oh, Dios mío!”, dice mientras señala a otra bola de carne que se eleva de la otra. Parece que sigue a la primera. Pero luego baja el arma y sonríe mientras las bolas gemelas de carne bailan frente a sus ojos. No parece asustada en absoluto. “Ten cuidado”, le dices a Sally. “Retrocede”. “No siento que sean dañinos.” “¿Sentido? Sally, ¿de qué estás hablando? Retrocede”. Afuera hay un llanto ocasional de un pájaro. Estos gritos suenan distantes, difusos, como si fueran parte de una realidad aislada de lo que está sucediendo en la Casa Blanca. Uno de los puntos sigue bailando ante los ojos de Sally. El otro se desliza entre sus piernas, se eleva a lo largo de su espalda y se funde con el primer punto. La sonrisa de Sally se ensancha y todo su cuerpo tiembla como la de

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO una niña excitada. Algunos mechones de su cabello se paran en ángulo recto con respecto a su cuerpo; tal vez haya electricidad estática en el aire. Levanta las manos como si dirigiera una orquesta invisible, pero se ve más como si estuviera lanzando un hechizo o agitando una poción de bruja. Sally gira la cabeza hacia arriba. “Siento una corriente corriendo por mi cuerpo. Pero no duele”. Más de sus cabellos sobresalen de su cuerpo, ya que extiende sus piernas y tiembla ligeramente. Comienza a tomar grandes bocanadas de aire. 
 Narcinko se agacha y trata de rastrear el punto con su Heckler & Koch semiautomático de 9 mm. “¡No dispares!” le gritas a Narcinko. El aliento de Sally ahora viene en rachas cortas. Está temblando. Narcinko da un paso adelante. Tal vez va a tratar de apartar los puntos de carne de Sally, pero, a medida que se acerca, los puntos se separan y dejan de bailar. Parecen encantadores, pero te preocupas. Si los pequeños puntos están calientes y penetran el cuerpo de Sally, se quemaría. Los puntos parecen alterar sus percepciones, y eso también podría significar peligro, un peligro no para su cuerpo sino para su mente. “Espera”, sientes como un olor florido llena el aire. Los puntos vibran, haciendo sonidos de oboe y gemidos. ¿Podría ser así como suena el habla en 4-D cuando se cruza con su mundo? “No te detengas”, susurra Sally. Los puntos siguen vibrando. Sally respira en respiraciones cortas y superficiales, sin tener en cuenta quién escucharía o a quién le importaría. Luego comienza a mecerse de un lado a otro a medida que sus pupilas se dilatan. No puedes soportarlo más. Los sonidos de los puntos de la carne también te están afectando a ti, emborrachándote de placer. Te apoyas en Sally. Su cabello tiene el olor dulce pero rancio de un jardín a principios de otoño después de una larga y deliciosa lluvia. “Alto”, grita Narcinko a las luces mientras aplaude con un fuerte golpe. Narcinko salta hacia Sally. “Basta de esto”, dice mientras mueve sus enormes manos hacia los puntos. Pero son demasiado rápidos para él. Los puntos atraviesan la ventana cerrada a prueba de balas y se dirigen hacia la Avenida Pennsylvania. Sally es la primera de la Casa Blanca en seguirlos. Tú y Narcinko están cerca.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Tratas de captar la dirección porque entremezclados con los puntos giratorios de la carne están las bengalas que vienen de otras masas de carne, parpadeando tan rápidamente que no puedes estar seguro de dónde vienen. Las masas brillantes revelan formas momentáneamente espeluznantes, cosas que parecen ojos nadando y girando para mirarte fijamente con un resplandor incandescente, como los ojos de búhos o ciervos cuando un rayo del faro delantero de un coche los atrapa por sorpresa. El aire parece seco y caliente, como si los puntos emitieran calor. Un olor, no del todo perfumado pero más animal, impregna el aire y se fija a ti. La mayoría de los puntos de carne desaparecen mientras que los dos puntos originales flotan como pequeñas burbujas brillantes hacia los coches y las farolas. Oscilan todos los colores del arco iris, flotan, y luego comienzan a moverse rápidamente. Sally se ríe nerviosamente mientras observa cómo los puntos rebotan de un coche a otro como bolas luminosas en un juego de pingpong. Van cada vez más rápido y luego en espiral sin hacer ruido hasta llegar a una tapa de alcantarilla en la carretera. Saltas cuando un rebaño de cuervos en llamas se cierne sobre tu cabeza, sus llamadas “scree-scree-scree” te escandalizan casi tanto como las bolas de carne viva. Giras el cuello para seguir el vuelo de los pájaros y te das cuenta de que no están realmente en llamas. Es sólo la luz del sol anaranjado en sus brillantes espaldas. Te vuelves consciente de un viento frío en tus brazos, un frío que te hace temblar. Vuelves a mirar hacia la Avenida Pennsylvania, colocando la mano sobre la frente, buscando cualquier signo de la carne flotante. “¡Regresa!” Narcinko te llama desde los escalones de la Casa Blanca. “Por el amor de Dios, mira esto.” Tú y Sally regresan corriendo y escuchan un sonido silbante mientras los extraños olores florales se convierten en algo más ominoso. El olor a vómito en el heno mojado. “Por aquí”, ruge Narcinko con una profunda voz de barítono. En el interior hay una gran masa en reposo con labios rosados. Narcinko saca un gran cuchillo de caza de su bolsillo. Sally sacude la cabeza. “¿Qué vas a hacer con eso?” “Sólo un experimento”. La piel es gruesa y tiene que cortar dos veces para extraer la sangre.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO De repente, la mancha se vuelve salvaje. Disminuye de tamaño hasta que se parece a varios testículos flotantes. Cuatro trozos de carne están a la izquierda de Sally. Otros tres o cuatro están a tu derecha. Ellos corren hacia ti, mientras te agachas, y luego rodean rápidamente a Sally. Se protege la cara con los brazos. Entonces ella desaparece con un sonido de estallido. Sus gritos se detienen repentinamente al escuchar sus ecos reverberando en la Casa Blanca. Narcinko se acerca. “¿Qué le has hecho?” Corres hacia el lugar donde estuvo Sally por última vez, pero no hay rastro de ella. Mueves las manos hacia adelante y hacia atrás por el aire, pero no sientes nada. “¡Tú se lo hiciste!” Te vuelves hacia Narcinko. “¿Por qué cortaste a la criatura?” “¿Qué es eso?” dice Narcinko. A unos cinco pies de distancia se encuentra un bulto de carne parecido a una berenjena que no habías notado. Se sienta en la colorida alfombra persa y no se mueve. Narcinko mira fijamente el bulto carnoso y un escalofrío le recorre el cuerpo. “¿Qué demonios es esto? ¿Qué está pasando aquí?” “Estábamos aquí para ayudar a rescatar al presidente. Fue secuestrado por criaturas 4-D.” “¿Cómo sabes esto? Eso es clasificado”. “Narcinko, ¿puedes encontrarme una bolsa fuerte y mucha cuerda?” Te mira con sospecha. “Oímos rumores sobre las criaturas 4-D. No le estamos diciendo mucho al público o de lo contrario podrían entrar en pánico. La Casa Blanca está oficialmente cerrada hoy.” “Creo que puedo salvar a Sally y al Presidente. Consígueme una bolsa y una cuerda.” Narcinko sale corriendo y regresa con una gran bolsa de arpillera y unos dos metros de cuerda. “Conseguí esto del armario del jardinero.” Coges la bolsa. “Excelente”. Lentamente te diriges hacia la mancha carnosa de la alfombra persa. Al agacharte, colocas la bolsa al lado de la gota y la empujas muy suavemente dentro de la bolsa. Narcinko te trae la cuerda y tú atas la bolsa bien cerrada. Cuando miras la cara de Narcinko, ves su boca abierta y cerrada de forma espasmódica. ¿Por qué? ¿Qué podría estar mal?

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Te giras, y ves que el trozo de carne ya está fuera de la bolsa. Debe haber escapado rápidamente sin hacer ruido. Tus ojos habían estado fuera de la bolsa por sólo un segundo o dos. La cuerda todavía está atada firmemente alrededor de la abertura. Narcinko mira más de cerca. “Es diferente.” Asiente con la cabeza. Ahora hay tres trozos, como perritos calientes rosas. Narcinko desata la cuerda anudada alrededor de la bolsa. Lentamente coloca su mano dentro como si estuviera a punto de sumergirse en agua helada. “Aquí no hay nada”. “Debí haber esperado esto. Creo que la criatura está atrapada en nuestro mundo y quiere irse. Esto es sólo una sección transversal de él, una sección transversal sólida que está atascada en nuestro mundo”. Explica algunas de las mismas cosas que le has estado diciendo a Sally. “Si meto el pie en la superficie de un estanque, los habitantes en 2-D de la superficie del estanque verían sólo un círculo o una elipse, dependiendo del ángulo en que yo intersecte su mundo. Si una criatura en 2-D tratara de atraparme en su mundo atando una cuerda a mi alrededor, podría retirar mi pie, a menos que la cuerda esté muy apretada o que haya una parte más grande de mi cuerpo a cada lado de la superficie del estanque”. “¿Pero qué hay de la chica y el presidente? ¿Dónde están?” Apuntas a las varias formas que se fusionan rápidamente en una sola gota. “Los forcejeos de esta criatura los llevaron al hiperespacio.” Paseas de un lado a otro. ¿Cómo es posible que sólo una parte de un Omegamorfo se quede atascada en tu mundo? De alguna manera debes salvar a Sally y al Presidente. También te preocupa que la criatura se escape. Lo quieres aquí para estudiar. Tal vez puedas conseguir que te ayude a rescatar a Sally y al presidente a cambio de ayudarlo a regresar a su propio mundo. Es tu único vínculo con Sally. ¿Cómo puedes asegurarte de que se quede en la Casa Blanca? Es una sección tridimensional de la verdadera criatura. Si atas la bolsa de yute extremadamente apretada alrededor de la mancha, o de las manchas, tal vez puedas mantenerla en este mundo. De nuevo, colocas suavemente la bolita dentro de la bolsa, y esta vez la atas firmemente alrededor de la criatura con todas tus fuerzas. A continuación,

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO ate el otro extremo de la cuerda a la gran réplica de bronce de la Campana de la Libertad. Te vuelves hacia Narcinko. “Voy al hiperespacio a buscarlos. Pero quiero algo más fuerte que una cuerda. ¿Puedes encontrarme unas cadenas? También necesito dos bengalas y una foto del presidente”. “¿Para qué necesitas todo esto?” “Sólo hazlo”. Narcinko parece que está a punto de golpearte, pero luego se aleja por un pasillo poco iluminado. Quince minutos más tarde, Narcinko regresa con unas cadenas hechas de una aleación ligera y fuerte. Te da dos bengalas que te metes en el bolsillo junto con una foto del presidente. Narcinko te ayuda a atar la cadena en una configuración de arnés alrededor de tus hombros y cintura. La cadena floja está enrollada en el piso, trescientos pies de ella, y el otro extremo atado a la Campana de la Libertad. Narcinko retrocede de repente cuando la cosa en la bolsa empieza a retorcerse como un gusano. “Voy a saltar hacia el hiperespacio. Te avisaré si hay problemas tirando de la cadena una vez y después dos tirones largos. Tira de mí si sienten eso”. Narcinko te mira y a la bolsa pulsante y otra vez a ti. “Esto es una locura.” “Tenemos que intentarlo. Si puedo encontrar el lugar adecuado en esta habitación donde parece ser fácil abandonar el tres-espacio, debería poder saltar”. Primero colocas la mano en el aire y observa como un trozo de la palma parece desaparecer (Fig. 6.1). Luego, saltas dos pies en el aire y eres arrastrado hacia abajo por la cadena. Tal vez es un poco pesado. Saltas de nuevo y sientes una sensación de náuseas en la boca del estómago, como si alguien hubiera colocado un gancho allí y estuviera tratando de subir tu estómago a través del esófago. Saltas de nuevo, de repente oyes un silbido y por un instante te sientes ingrávido. Miras hacia abajo y piensas que ves grandes apartamentos en forma de panal con luz. En un apartamento, se ve a través de las paredes y se observa a una mujer, casi desnuda, mirando la televisión. A lo lejos hay bocinas y las voces de miles de personas.

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Figura 6.1 Una parte de su mano desaparece en otra dimensión. (Dibujo de April Pedersen.)

A medida que vuelas, sientes que hay luz y música que viene de Washington, D.C. Es como si miles de washingtonianos estuvieran celebrando, aplaudiendo con las manos, animando tu vuelo ascendente. Los faros de los coches diminutos están envueltos en niebla, lo que te hace sentir como si te estuvieras elevando a través de una cascada de estrellas. De repente, los sonidos y las luces desaparecen. Miras hacia abajo y estás parado sobre algo que parece asfalto. No puedes ver el otro extremo de la cadena. ¡Estás en algún lugar de la cuarta dimensión! Te imaginas que, para Narcinko, la cadena simplemente termina en el espacio, desapareciendo abruptamente en el aire. Todavía hay tensión en la cadena, y a medida que se tira de ella se puede decir que más de la cadena está viniendo hacia ti. Una vasta extensión de espacio se abre ante ti. ¡Éxtasis! Seguramente si te cortaras la cadena de la pierna, podrías volar aún más lejos. Las leyes y reglas físicas no parecían ser limitaciones, sólo puntos de partida para algo más grande, más profundo.

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Figura 6.2 La sección transversal de las plantas 4-D?

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO A varios metros de distancia hay algunas calabazas ondulantes. Bueno, no exactamente calabazas, pero lo suficientemente cerca. A medida que caminas, ves estructuras de vidrio, metal y concreto, todas en extrañas formas poliédricas, como grandes y centelleantes estrellas. Algunos objetos de color verdoso y con volantes flotan en el aire (Fig. 6.2). ¿Plantas? Estás borracho de placer, pero te das cuenta de que aunque estás en un mundo 4-D, tu percepción 3-D está capturando sólo una parte de su verdadera forma. Éstas deben ser las secciones transversales espaciales de edificios, bordillos, farolas, arbustos, etc. Algunos de los seres se parecen a manchas de carne. Algunos están cubiertos de tela; otros están totalmente desnudos. Razonáis que debes estar en un mundo paralelo al nuestro, elevado hacia arriba en la cuarta dimensión. ¿Qué vería un Flatlander flotando en su mundo? Si sólo podía percibir en dos dimensiones, sólo podía ver una línea a la vez. Imagine su confusión, ya que sólo veía secciones transversales de objetos: escritorios, luces, sofás, mesas, plantas, etc. Podría volverse loco. Pero no estás loco. Respiras más fácilmente ahora; tu corazón late más despacio que unos segundos antes. Una brisa fresca y suave seca la transpiración de la frente. Cuando miras en una dirección, ves una estructura de ciudad con ventanas iridiscentes que hacen que la niebla irradie y pulsa con vida propia. De repente, tres trozos de carne se unen frente a ti. El cuero comienza a rodear a uno de ellos. ¿Cuero? Visiones locas de vacas en 4-D flotan en tu cerebro. Entonces los glóbulos desaparecen. Tal vez son ciudadanos del hiperespacio que no se habían fijado en ti, o que te habían visto pero no les importaba. ¿Estarían acostumbrados a la penetración de los mundos tridimensionales en los suyos? Para demostrar que tienes algún control sobre tu destino, a pesar de la cadena alrededor de tu pierna, te alejas del camino que has tomado y sigues una pequeña luz verde que se sitúa encima de una estructura metálica. Pasas por diminutos cráteres y extraños glóbulos marrones que no parecen ni vivos ni muertos, pero como si estuvieran hibernando. Ah, si tan sólo tuvieras tiempo para viajar más despacio en este mundo. Pero tienes responsabilidades.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO ¿Cómo puedes encontrar a Sally en un mundo tan extraño? Podría estar a centímetros de ti y no podrías verla si no estuviera en tu “plano” de visión. No puedes ver más allá de tus tres dimensiones. “Sally”, grita. No hay respuesta, excepto quizás una risa apenas audible. Pisas campos de extraña vegetación rodeados de niebla. Parece que estás flotando de un “plano” espacial a otro. Entonces la cadena se tensa. No puedes ir más lejos. Sacas tu bengala, la enciendes y la mueves. Gritas y gritas. Eventualmente una pequeña bola de carne se acerca y tú agitas la bengala aún más rápido. La bola salta arriba y abajo y se hace más grande. Cuando la sección transversal aumenta al tamaño de una calabaza grande, la frotas suavemente y vibra en respuesta. Es un sonido de ronroneo. Tiras de la criatura hacia delta. Una docena de manchas elipsoidales recubiertas de una superficie dura similar al esmalte (¿dientes?) y finalmente ves una bola perfectamente blanca con un rastro de vasos sanguíneos. Esperas que esta bola blanca sea la córnea del ojo hiperesférico de la criatura. Después de unos segundos, se transforma en una esfera marrón con musculatura como el iris de un ojo, una bola perfecta. Esta bola es tan brillante que destella luz. Por fin ves lo que has estado esperando: dos, orbes negros y húmedos, del tamaño de bolas de béisbol, flotando frente a ti. Estas deben ser las pupilas de la criatura. Sientes un extraño escalofrío que sube por tu columna vertebral mientras miras a los brillantes ojos del Omegamorfo. Sientes un escalofrío, una ambigüedad, una desesperación progresiva. El Omegamorfo está quieto. Ninguno de los dos se mueve. Sus ojos son brillantes. Si pudieras verlo sonreír, imaginas que sería implacable y practico. El tiempo parece detenerse. Por un momento, tu mente se llena de una cascada de símbolos matemáticos. Pero cuando sacudes la cabeza, las fórmulas desaparecen. Sólo un fragmento de una alucinación. Pero el inescrutable Omegamorfo permanece. “Gracias por prestarme atención”, dices. Traes una foto del presidente y una de Sally que ha tenido en su billetera durante años. “Por favor, trae a mis amigos de vuelta y empújalos a mi mundo. Como retribución, te guiaré a la criatura que tenemos en la bolsa. Y luego liberaremos a la criatura”. ¿Puede la criatura entenderte? Las dos esferas negras simplemente te miran a ti y a las fotos y luego, de repente, cientos de bolas de carne húmedas del tamaño de una bola de base se acercan a ti y sientes como si te estuvieran

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO empujando hacia abajo. Hay un sonido rugiente profundo. ¿Es esto lo que sintió Lucifer cuando fue expulsado del Cielo? (Fig. 6.3).

Figura 6.3 Si Lucifer fuera un ser 4-D en el Cielo, a un metro y medio de nuestro “plano” 3-D, y luego hubiera expulsado hacia delta de nuestro mundo, ¿podría, por un tiempo, haberse quedado atascado en nuestro universo? Esta divertida fantasía lleva a una buena pregunta: Si había una cuarta dimensión, ¿cómo es que parece que tenemos tantas dificultades para acceder a ella? (Dibujo de Brian Mansfield.)

Caes al piso de la Casa Blanca junto con Sally y el presidente. Hay un estruendo bajo, y una pintura de George Washington, colgada en la pared, en un abrir y cerrar de ojos desaparece. Tal vez se han llevado un recuerdo. Sally corre hacia el pasillo. “¡Me voy de aquí!” “¡Sally, vuelve! He hecho un trato con ellos. Estamos a salvo.” Allí, entre unos altos árboles de maceta, Sally deja de correr. Se queda perfectamente quieta, perfectamente recta. Una mano sujeta una retorcida corteza de ficus, como garras de águila escarbando en la materia gris del cerebro de un gato. El pelo de Sally se agita con la ligera brisa, y ella grita y grita y grita y grita… “Está bien”, dices y la tomas en tus brazos.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO El presidente mira a su alrededor como un loco. De repente se da cuenta de que está de vuelta en la Casa Blanca y una expresión de alegría se apodera de él. Tanto Sally como el presidente parecen cansados; su ropa está rota en algunos lugares y cubierta de barro. Narcinko saluda al presidente. “Me alegra tenerlo de vuelta, señor.” El presidente devuelve el saludo. Escuchas algunos sonidos de arrastre y vas hacia la bolsa de yute. Le das un apretón y sientes varias formas, como una bolsa de naranjas. Levantas la bolsa, quitas la cuerda, encuentras el lugar exacto de donde desapareciste y con todas tus fuerzas la tiras al aire. Cuando la bolsa finalmente baja, corres a por ella y la aprietas. No hay nada dentro. Los sonidos de arrastrar los pies desaparecen. Mira la bolsa. “Creo que atrapamos un pedazo de uno de sus bebés en la bolsa. Tal vez fue en una región del espacio que tenía propiedades adhesivas. Tal vez el bebé estaba perdido y no sabía cómo escapar. Pero ahora está libre”. Sally te mira. “¿Cómo supiste qué hacer?” “Por lo que vi épsilon en el espacio, supuse que los Omegamorfos tienen una sociedad tecnológica y son inteligentes. Noté que tenían edificios, metal y cuero. Cultivaban plantas. Aunque mi visión se limitaba a ver secciones transversales de los Omegamorfos, ellos podían ver y entender las fotos de ti y del presidente que traje conmigo. También podían ver mis bengalas, al igual que un Flatlander 2D agitando una antorcha llamaría nuestra atención visualmente. Incité a un Omegamorfo hasta que su ojo estaba en el mismo ‘plano’ que yo. Quizás no era necesario, pero quería confirmar que alguna criatura me estaba prestando atención”. El presidente se acerca a ti. “La cuarta dimensión es un buen lugar para visitar, pero no me gustaría vivir allí. Nuestra retina 2-D no ve lo suficiente. Pero los seres 4-D me dieron un mensaje.” Sally está a tu lado. “¿Qué mensaje, señor?” “Me dieron especificaciones para construir una retina tridimensional a la que podamos conectarnos. Nos permitirá ver cosas con las que ni siquiera podemos soñar. Ustedes dos deben supervisar este trabajo inmediatamente.”

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Tomas aliento. “Pero señor, incluso si pudiéramos construir una retina esférica en funcionamiento, nuestras mentes serían incapaces de interpretar la información. Sería como dar la vista a un hombre ciego de nacimiento”. “Tienes razón. Pero si criamos a nuestros hijos desde el nacimiento con estas retinas, sus mentes se adaptarán. Con la ayuda de los Omegamorfos, los niños experimentarán la cuarta dimensión”. Narcinko simplemente escucha, dobla los brazos, inescrutable, excepto por el ligero temblor de sus cejas. Sally sacude la cabeza. “Señor, ¿no estará sugiriendo que le saquemos los ojos a los niños y los reemplacemos con estos?” “Posiblemente, aunque seamos capaces de fijar los nuevos ojos a los nervios ópticos dejando sus ojos originales en su sitio. Posiblemente podríamos colocar retinas tridimensionales dentro de sus ojos actuales, pero eso puede limitar a los niños. Si mantuvieran tanto los ojos viejos como los nuevos, los niños podrían accionar los interruptores para determinar qué ojos quieren, pero dudo que elijan sus órganos más limitados. Podrían querer quitarse los ojos originales para siempre”. “Eso es enfermizo”, dice Sally. “Sería moralmente indefendible. Hay paralelismos en los casos de niños sordos que pueden ser equipados con órganos de audición artificiales, pero muchos en la comunidad sorda se oponen a estas cosas”. “Los seres atraerán a los niños hacia su mundo y eventualmente les enseñarán cómo pueden usar mejor sus nuevos ojos. Sería poco ético no darles a los niños las nuevas retinas”. El presidente hace una pausa. “Si un niño naciera con ojos que no ven los colores, ¿no sería cruel negarle un tratamiento que le permitiera ver los colores?” Sally pone sus manos en sus caderas. “Eso no es lo mismo.” El presidente mueve la cabeza. “No tenemos derecho a negar a nuestra especie el acceso a universos superiores. Este es el siguiente paso en la evolución de la humanidad. Piensa en las nuevas filosofías e ideas que podríamos desarrollar. Esto sería una bendición para la humanidad. El procedimiento de implantar retinas tridimensionales no causará dolor a los niños. Los hijos seguirán siendo humanos: seguirán queriendo a sus padres. Jugarán con amigos. Sólo verán más de la realidad.” Narcinko sonríe. “Podríamos usarlos como superespías que todo lo ven”.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Sally sacude la cabeza y mira al presidente. “Espero que no estés pensando en esto desde el punto de vista de la seguridad nacional y usando a estos niños como superespías.” El presidente respira hondo. “Puede que haya tentación, pero me aseguraré de que se aprueben leyes que respeten la privacidad de los niños, que se aseguren de ellos respeten la nuestra y que los niños crezcan en un ambiente de amor y apoyo”. Chasquea los dedos. “¿Por qué los Omegamorfos querrían ayudarnos a entrar en su mundo?” “Aparentemente bajó por una cadena de mando.” “¿Cadena de mando?” El presidente asiente con la cabeza. “Un trato que hicieron. Si nos ayudan a subir una dimensión, entonces los seres 5-D proveerán a los Omegamorfos con retinas hiperesféricas que les permitirán vislumbrar la quinta dimensión. Tal vez los Omegamorfos eventualmente serán llevados a la quinta dimensión. Y así sucesivamente a lo largo de la cadena de dimensiones”. “¡Dios mío!” Sally dice. “Sí.” El presidente se sienta en una silla Luis XIV junto a la pared. “Esta es la forma en que el dimensionalmente empobrecido avanza cada varios milenios. Será magnífico.” Te vuelves hacia Sally y suspiras. “Bueno, parece que podemos terminar nuestras investigaciones. Entendemos cómo la cuarta dimensión puede generar fenómenos extraños. El Presidente está a salvo. La humanidad se acercará un paso más a Dios”. “Espera,” dice Sally, “Se me acaba de ocurrir algo. Estos niños en 4-D podrán espiar cada uno de nuestros movimientos. Nada sería seguro. Olvida lo que dije sobre usarlos como espías. Podrían espiar en las habitaciones, espiar nuestras tripas, tal vez incluso aprender a robar objetos de valor inestimable de las cajas fuertes si aprenden más sobre la cuarta dimensión”. El presidente asiente con la cabeza. “Así es. Por eso no disolverá sus investigaciones del FBI. Tendremos que estar atentos a las travesuras y bromistas que aprenden a usar sus retinas tridimensionales. Idealmente, la conciencia de los niños será tan elevada que tendrán preocupaciones más importantes o interesantes que espiarte durante un interludio romántico o robar dinero de

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO cajas fuertes. Pero debemos estar siempre atentos. Hablando de interludios románticos, Sally, ¿tienes una cita esta noche?” Sally echa la cabeza hacia atrás y pasa la mano por su cabello. “Sr. Presidente, nunca consideraría tal cosa. Es mi superior y yo soy un profesional”. Narcinko sonríe. El presidente suspira y se vuelve hacia ti. “¿Haciendo algo esta noche?” “Conozco un buen lugar de sushi en Washington Ave.” “Vamos”. Te vuelves hacia Sally. “Hasta luego. Continuaremos con algunas de nuestras investigaciones mañana. Tal vez Narcinko podría llevarte al pub Moe’s. ¿Qué te parece Narcinko? ¿Alguna vez has salido con un agente del FBI?” Le sonríes a Sally. Ella coge un pequeño busto de mármol de Abraham Lincoln y te lo tira.

Han pasado varios años desde que ayudaste al presidente a regresar de la cuarta dimensión a la Casa Blanca. Un Omegamorfo que vive en el Hotel L’Enfant Plaza, habitación 4D, se sintió atraído por Sally. Sin embargo, Sally rechazó el Omegamorfo, explicando que no le interesaba las citas entre especies y que ciertamente no era una opción fácil. El Omegamorfo respondió dándole a Sally una rosa en 4-D y el siguiente poema.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Reflexiones sobre una Rosa Teseracto Tu mente y tu corazón son de dimensiones ilimitadas y no puedo darte nada excepto lo que tú me das, tu creencia en la pequeñez del mundo es infundada, pero tu imaginación puede liberarte. A mi adorable Sally le doy una rosa teseracto, cultivada en un jardín que aún no puedes ver, apareciendo y desapareciendo te besa la nariz a veces sola o nada o tres. Deja entonces que tu imaginación se desvíe a la tierra donde cultivé esta flor y tu corazón anhela por nuevos lugares, y me verás y me amarás en mis muchos rostros, y conocerás maravillas que tu especie llama poder mágico, y conocerás acertijos que ni siquiera tu Esfinge podría analizar. Aunque conmovida por la demostración de emoción del ser, Sally declinó sus avances románticos y finalmente se casó con Narcinko. Un año después, descubriste que el hombre del traje de Papá Noel trabajaba para los Omegamorfos, ayudando a la gente a despegar hacia la cuarta dimensión y proveyendo implantes neurales para que los exploradores pudieran ver más claramente mientras realizaban viajes transuniversales. Hace un día te pusiste los implantes y decidiste hacer un viaje. Tanya, una mujer que ya había hecho varios viajes a la cuarta dimensión, está a tu lado, funcionando como guía turística. Después de varios meses de entrenamiento intensivo con Tanya, estudiando formas ordinarias en tu propio mundo, sientes que estás listo para el viaje definitivo. Ocasionalmente Tanya desaparece, envuelta en la niebla. A menudo parece que estás yendo en direcciones diferentes. Mientras vuelas, recuerdas la advertencia de Sally de no preocuparse por el fantasma de Santa Claus. En ese momento, parecía que no había necesidad de encontrarlo. Pero quizás Sally siempre había estado tratando de decirte que no te sintieras culpable por tus sueños de volar. Ella sabía que siempre era importante tender la mano, romper las barreras, dejar atrás a los demonios personales… para escapar de sus celdas.

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Figura 6.4 Secciones transversales de criaturas de dimensiones superiores.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Tanya parece perder altitud por un segundo, pero probablemente es sólo tu imaginación. Por un minuto de vértigo te sientes como si estuvieras a punto de caer. ¡Oh no! Abajo te zambulles. Un vendaval te invade los oídos. Abajo, crees que ves el monumento a Washington, ominoso, poderoso, que se asoma como un hueso blanqueado. Pero no. Es sólo tu dificultad para adaptarte a la nueva forma de percibir. El espacio se precipita. Tal vez estrellas y galaxias. Y luego están los destellos de pequeñas criaturas, muchas de ellas con pequeñas baldosas simétricas en sus superficies (Fig. 6.4). Los sonidos se calman, excepto... de vez en cuando crees que oyes un leve suspiro, apenas audible. Al principio piensas que es Tanya, pero escuchas el sonido repetidamente y finalmente te das cuenta de que viene de algún lugar por delante de ti, a veces de un lado y a veces del otro. De repente hay un profundo silbido cerca y se ve un cuerpo oscuro que se arquea a través del espacio. “¿Era un Omegamorfo?”, dices. La imagen fugaz permanece en tu mente, como la visión de una sirena. “No”, responde Tanya, “el cuerpo era de color gris azulado. Los Omegamorfos tienen tonos más carnosos”. Ninguna criatura se acerca de nuevo, aunque grandes y fugaces imágenes parpadean, y los suspiros continúan junto con débiles chirridos y chirridos. “Algo grande adelante”, dice Tanya. “¿Dónde?” Mientras habla, ve que algo se propulsa hacia abajo, fuera de la vista, mientras hace un sonido de suspiros. “Allí”, dice Tanya y señala con su delgado dedo a dos masas amenazantes, enormes, mucho más grandes que los elefantes. Parecen naves espaciales. Disminuye su velocidad mientras dos naves nadan hacia usted. Pero no son realmente recipientes. ¡Oh, Dios mío! Son manatíes enormes. Sabes todo sobre los manatíes, pero nunca has visto uno de cerca. En la Tierra, los manatíes son grandes mamíferos acuáticos, llamados popularmente vacas marinas. Sus cuerpos oscuros se reducen a colas aplastadas. Sus extremidades anteriores son aletas colocadas cerca de la cabeza; no existen

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO extremidades posteriores externas. Sus cabezas son pequeñas, con hocicos rectos y labios superiores hendidos con pelos erizados. Estos manatíes espaciales son similares a sus contrapartes terrenales. “Son de la quinta dimensión”, dice Tanya con una sonrisa. “Sólo estamos viendo su intersección con este espacio.” Al mirar sus vientres desde abajo, los manatíes parecen centinelas, vigilando el camino que tienen por delante. Entonces un manatí “nada” bajo para que puedas ver su ojo mirándote. Tanya agarra tu mano con fuerza. “No nos harán daño”, se dice a sí misma. El manatí de la derecha parece particularmente audaz. Su cuerpo tiene la piel arrugada alrededor de los lados. La criatura nada hacia adelante, duda por un segundo y luego te toca a ti y a Tanya con su aleta. La aleta parece penetrar ligeramente en el pecho, pero sin ningún efecto negativo. Es como una mano fantasma flotando a través de una pared. Quizás el manatí quiere asegurarse de que tu cuerpo es real. No hay nada en las acciones del manatí que sea alarmante. De hecho, hay algo en el comportamiento del manatí que inspira confianza. Tiene una gentileza grácil, una cierta facilidad milenaria. El manatí cerca de Tanya produce notas de xilófono mientras toca suavemente su largo cabello. Estos son los sonidos audibles para los humanos. Suponen que el manatí también está emitiendo sonidos inaudibles. “¡Están cantando!” dice Tanya mientras sus ojos van y vienen de manatí a manatí. Las canciones de los manatíes del espacio se vuelven más sonoras. Te imaginas los sonidos viajando cientos de kilómetros, resonando con las canciones de grandes seres invisibles nadando a dimensiones distantes en la oscuridad. Saludas a los manatíes y te vuelves hacia Tanya. “¿Qué es lo que quieren?” Los sonidos mueren repentinamente, reemplazados por dos voces profundas que hablan al unísono. “Saludos, viajeros. Bienvenidos a nuestro mundo”. Bolas de luz y pequeños arcos de arco iris salen de sus ojos. “¡Oh Dios!” Tanya llora. “Son tan hermosos.” Los manatíes te miran fijamente durante varios segundos, como si te estuvieran evaluando. Una vez más, no puedes evitar pensar que los manatíes del espacio parecen antiguos, llenos de sabiduría, poseedores de mentes poderosas que nunca podrás penetrar completamente. Los manatíes también parecen amables. Sus ojos hiperesféricos son omniscientes.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Los manatíes vuelven a hablar. “Síguenos para que podamos llevarte a dimensiones más altas con seguridad.” A medida que los manatíes giran lentamente, una gran cola se desliza sobre tu cuerpo. “Vamos”, dice Tanya. “Sigámoslos”. Los manatíes dejan un torrente de luces en su estela que te resultará fácil de seguir. Ocasionalmente se observan vórtices que se alejan de ti, como tornados en miniatura. Te mantienes alejado de ellos, por si acaso son lo suficientemente fuertes como para afectar tu movimiento. Señalas a otros manatíes que emergen de grandes cúpulas poliédricas que flotan en el espacio. “¡Míralos!” Parece que los nuevos manatíes están saliendo de las cúpulas para ver las hermosas luces emitidas por los manatíes frente a ti. Los colores brillantes forman un despliegue deslumbrante mientras las luces se deslizan sobre las cúpulas como estrellas fugaces, elevándose hacia el espacio y luego bajando en picado para formar cadenas de senderos de luz entrelazados. Adelante hay una ciudad 5-D. Los manatíes nunca se detienen al pasar, pero giras la cabeza para ver el edificio más cercano repleto de estatuas de manatíes de cristal translúcido. El edificio tiene una gran entrada y es de dimensiones colosales. Aquí y allá otros manatíes están emergiendo de grandes portales abiertos que asoman sombríos y misteriosos. Miras hacia arriba. El mundo que se eleva sobre ti es una maraña de extrañas arquitecturas decoradas con trenzas de flores en 5-D, o eso crees. Hay un número de espirales altas de piedra que miden por lo menos 100 yardas de diámetro en sus bases. Hay plantas de color ámbar, como pagodas, maravillosamente teñidas de rojo en sus hojas. Las plantas parecen ser parte de las vastas estructuras arquitectónicas antiguas. “¿Dónde están los manatíes?” Tanya dice. “Ahí”. En la distancia, los manatíes se separan unos treinta grados y desaparecen por debajo de algún tipo de horizonte en 4-D. Un trio de orbes rojos cruza el cielo y luego se desliza por acantilados volcánicos. “Adiós”, dicen los manatíes con sus voces de oboe, y despegan. Aunque el espacio está lleno de nubes turbulentas dejadas por la repentina desaparición de los manatíes, hay claros quiebres a través de los cuales puedes ver nuevas regiones del espacio y vastas ciudades cristalinas que se extienden

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO hasta donde tus ojos pueden ver. Las hiperesferas flotan como hojas en una brisa otoñal. Tomas la mano de Tanya y señalas la ciudad. “¡Vamos!” Tanya te aprieta la mano. Ya no estás solo. La ciudad de cristal está inmersa en un suave teseracto de estrellas brillantes. …una esfera formada de otras miles de esferas, sólidas cual cristal, aunque en toda su masa fluyen, como en espacio vacío, luz y música. Diez mil orbes que engloban y que son englobados, azules, blancos, verdes, dorados y purpúreos, uno dentro de otro; y en los huecos que dejan habitan unas formas inconcebibles, como las que en sueños de espectros pueblan la oscura sima; pero se transparenta cada uno entre sí, y giran unos sobre los otros agitándose de mil formas, rotando sobre ejes invisibles, con autodestructiva fuerza de rapidez, rodando intensamente, solemnes y pausados, despertando, con mezcla de sonidos y tonos, palabras que se entienden y música frenética. Con un gran torbellino esa esfera tritura el arroyo y de él forma una niebla de azur compuesta de elementos sutiles, como luz…29 ―Percy Bysshe Shelley, Prometheus Unbound, Acto IV, Escena I, voz de Panthea (una de las Oceánidas)

29

Traducción de Alejandro Valero.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO

Estamos en la posición de un niño pequeño que entra a una enorme biblioteca cuyas paredes están cubiertas hasta el techo con libros en muchas lenguas diferentes El niño no entiende los idiomas en los que están escritos. Observa un plan definido en la disposición de los libros, un orden misterioso que no comprende, sino que sólo sospecha vagamente. ―Albert Einstein

Entender las cosas que están a nuestra puerta es la mejor preparación para entender las cosas que están más allá. ―Hypatia

Y cuando abrió el séptimo sello, hubo silencio en el cielo por espacio de media hora. ―Apocalipsis (8:1)

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO

observaciones finales

Esto completa nuestro estudio de la cuarta dimensión. Pero al hacerlo, me pregunto por qué me veo personalmente obligado a contemplar dimensiones más elevadas. Me parece que es nuestra naturaleza soñar, buscar y preguntarnos sobre nuestro lugar en un cosmos aparentemente solitario. Tal vez por esta razón los filósofos e incluso los teólogos han especulado sobre la existencia de una cuarta dimensión y cómo podrían ser sus habitantes. Estoy de acuerdo con Eric Fromm que escribió en El arte de amar “La necesidad más profunda del hombre es superar su individualidad, salir de la prisión de su soledad”. La pregunta más importante que se plantea en este libro es: “¿Pueden los humanos acceder a una cuarta dimensión?” O somos más bien como peces en un estanque, cerca de la superficie, a centímetros de un nuevo mundo, pero confinados para siempre, aislados por un límite aparentemente impenetrable: la superficie 2-D del estanque. Si existen dimensiones espaciales más elevadas, es posible que la humanidad tenga que esperar unos pocos cientos de años

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO antes de desarrollar la capacidad de explorarlas, pero tal capacidad puede evolucionar para nuestra supervivencia, de la misma manera que los peces aprendieron a salir de los confines de sus estanques a través de la evolución. Es posible que algún día los humanos tengan pruebas de dimensiones espaciales más elevadas, como las que sugieren las teorías de Kaluza-Klein. Como se discutió en el Capítulo 4, se han ideado muchos modelos cosmológicos en los cuales nuestro universo se curva a través de cuatro espacios de una manera que podría, en teoría, ser probada. Por ejemplo, Einstein sugirió un modelo universal en el que una nave espacial podía partir en cualquier dirección y regresar al punto de partida. En este modelo, nuestro universo tridimensional es tratado como la hipersuperficie de una gran hiperesfera. Darle la vuelta sería comparable a una hormiga caminando alrededor de la superficie de una esfera. En otros modelos universales, nuestro universo es una hipersuperficie que gira a través de cuatro espacios como una botella de Klein. Se trata de superficies cerradas, unilaterales y sin bordes que se retuercen sobre sí mismas como una tira de Moebius. Utilizando varios satélites, los astrónomos ahora buscan activamente la evidencia de la forma del universo estudiando las fluctuaciones de temperatura en el espacio profundo”.30 ¿Podemos aprender a ver la cuarta dimensión? Nuestra incapacidad para visualizar claramente las hiperesferas e hipercubos puede resultar únicamente de nuestra falta de entrenamiento desde el nacimiento. Nuestros recuerdos son de mundos tridimensionales, pero ¿quién sabe lo que podría lograrse con un entrenamiento temprano adecuado? Esta cuestión ha sido discutida seriamente por varios matemáticos. Además, decir que la cuarta dimensión está más allá de la imaginación puede ser una exageración si consideramos hasta qué punto los humanos han estirado su imaginación desde la prehistoria. Desde los electrones hasta los agujeros negros, la historia de la ciencia es la historia de la aceptación de conceptos más allá de nuestra imaginación. Como Edward Kasner y James Newman señalan en Matemáticas e Imaginación, “Para que el hombre primitivo pueda imaginar la rueda, o un panel de vidrio, debe haber requerido poderes aún mayores que para que podamos concebir una cuarta dimensión”. Cualesquiera que sean nuestras limitaciones, aún hoy en día la

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Véase la nota 27 (capítulo 5.)

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO geometría de las cuatro dimensiones es una parte indispensable de las matemáticas y la física. Visión del mundo El descubrimiento definitivo de los seres 4-D alteraría drásticamente nuestra visión del mundo y cambiaría nuestra sociedad tan profundamente como las revoluciones copernicana, darwiniana y einsteiniana. Impactaría a las religiones y estimularía el interés por la ciencia como nunca antes. Si los seres inteligentes en 4-D evolucionaran y pudiéramos comunicarnos con ellos, nuestra correspondencia nos traería un tesoro de información más rico que la Europa medieval heredada de los antiguos griegos como Platón y Aristóteles. Imagínense las recompensas de aprender el lenguaje, la música, el arte, la mitología, la filosofía, la biología e incluso la política de un ser 4-D. ¿Quiénes serían sus héroes míticos? ¿Son sus dioses más como el estruendoso Zeus y Yahvé, o como el más gentil Jesús y Bahá’u’llah? ¿No sería un mundo salvaje en el que vivir si los dispositivos 4-D fueran tan comunes como la computadora y el teléfono? En un mundo así, podría ser posible manipular el espacio y el tiempo para facilitar los viajes a otros mundos. Los matemáticos que se remontan a Georg Bernhard Riemann han estudiado las propiedades de los espacios múltiples conectados en los que se unen diferentes regiones del espacio y del tiempo. Los físicos, que antes lo consideraban un ejercicio intelectual para especulaciones de sillón, ahora están estudiando seriamente ramas avanzadas de las matemáticas para crear modelos prácticos de nuestro universo y comprender mejor las posibilidades de los mundos paralelos y viajar usando agujeros de gusano y manipulando el tiempo. Los budistas Zen han desarrollado preguntas y declaraciones llamadas koanes que funcionan como una disciplina meditativa. Los koanes preparan la mente para que pueda tener nuevas intuiciones, percepciones e ideas. Los koanes no pueden ser contestados de manera ordinaria porque son paradójicos; funcionan como herramientas para la iluminación porque sacuden la mente. De manera similar, la contemplación de la vida en 4-D está repleta de koanes; es por eso que estos párrafos finales plantean más preguntas que respuestas. Estas preguntas son koanes para las mentes científicas.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Supervivencia en el hiperespacio A medida que nuestra tecnología avanza, tal vez algún día la cuarta dimensión ―y las conexiones hiperespaciales con otras regiones del espacio― proporcionen un refugio para los seres humanos a medida que su Sol muere. La Tierra es como un preso esperando en el corredor de la muerte. Incluso si no morimos por el impacto de un cometa o asteroide, sabemos que los días de la Tierra están contados. La rotación de la Tierra se está desacelerando. En un futuro lejano, la duración de los días equivaldrá a cincuenta de nuestros días actuales. La Luna colgará en el mismo lugar en el cielo y las mareas lunares se detendrán. En cinco mil millones de años, el combustible en nuestro Sol se agotará, y el Sol comenzará a morir y a expandirse, convirtiéndose en una gigante roja. En algún momento, nuestros océanos hervirán. Nadie en la Tierra estará vivo para ver un resplandor rojo llenando la mayor parte del cielo. Como Freeman Dyson dijo una vez: “No importa cuán profundo excavemos en la Tierra... sólo podemos posponer por unos pocos millones de años nuestro miserable final”. ¿Dónde estarán los humanos, dentro de cinco mil millones de años, en el fin del mundo? Incluso si pudiéramos soportar el increíble calor del sol, no sobreviviríamos. En unos siete mil millones de años, la “atmósfera” exterior del Sol envolverá la Tierra. Debido a la fricción atmosférica, la Tierra caerá en espiral hacia el sol y se incinerará. En un billón de años, las estrellas dejarán de formarse y todas las estrellas grandes se habrán convertido en estrellas de neutrones o agujeros negros. En 100 billones de años, incluso las estrellas más longevas habrán consumido todo su combustible. Si este final parece demasiado sombrío, quizás deberíamos preguntarnos si hay esperanza para la humanidad cuando el Sol se expanda para envolver la Tierra en siete mil millones de años. Para dar una respuesta, consideremos primero que hace unos cuatro mil millones de años, los seres vivos no eran más que máquinas bioquímicas capaces de auto-reproducirse. En una mera fracción de este tiempo, los humanos evolucionaron a partir de criaturas como los Australopitecos. Hoy en día los humanos han vagado por la Luna y han estudiado ideas que van desde la relatividad general hasta la cosmología cuántica. Una vez que el viaje espacial comience en serio, nuestros descendientes abandonarán el confinamiento de la Tierra. Debido a que el destino final del

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO universo implica mucho frío o mucho calor, es probable que el Homo sapiens se extinga. Sin embargo, nuestra civilización y nuestros valores pueden no estar condenados. ¿Quién sabe en qué seres evolucionaremos? ¿Quién sabe qué máquinas inteligentes crearemos que serán nuestros herederos últimos? Estas criaturas podrían sobrevivir virtualmente para siempre. Pueden ser capaces de contemplar fácilmente las dimensiones superiores, y nuestras ideas, esperanzas y sueños se las llevarán consigo. Hay una peculiaridad en el telar de nuestro universo que puede abarcar los viajes en el tiempo, las dimensiones superiores, el superespacio cuántico y los universos paralelos, mundos que se asemejan a los nuestros y que quizás incluso ocupan el mismo espacio que los nuestros de alguna manera fantasmal. Algunos físicos han sugerido que la cuarta dimensión puede proporcionar el único refugio para la vida inteligente. Michio Kaku, autor de Hyperspace, sugiere que “en los últimos segundos de la muerte de nuestro universo, la vida inteligente puede escapar del colapso huyendo al hiperespacio”. Nuestros herederos, sean quienes sean, explorarán estas nuevas posibilidades. Explorarán el espacio y el tiempo. Ellos buscarán su salvación en los universos superiores. Los sentimientos optimistas del físico teórico Freeman J. Dyson expresan mejor mis creencias: Gödel demostró que el mundo de las matemáticas puras es inagotable; ningún conjunto finito de axiomas y reglas de inferencia puede jamás abarcar la totalidad de las matemáticas; dado cualquier conjunto finito de axiomas, podemos encontrar preguntas matemáticas significativas que los axiomas dejan sin respuesta. Espero que exista una situación análoga en el mundo físico. Si mi visión del futuro es correcta, significa que el mundo de la física y la astronomía también es inagotable; no importa cuán lejos lleguemos en el futuro, siempre habrá cosas nuevas que sucederán, nueva información que llegará, nuevos mundos que explorar, un dominio de la vida, la conciencia y la memoria en constante expansión.

Terminemos este libro en un punto desde donde empezamos. A lo largo del libro, me he referido al mundo 2-D del clérigo Edwin Abbott llamado Flatland. El libro que lo describe es tanto científico como místico. Me pregunto si Abbott realmente pensó que la cuarta dimensión era la clave para entender a Dios. Lo dudo mucho. En su libro The Spirit on the Waters, escrito casi diez años después de Flatland, Abbott narra la escena climática de

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Flatland en la que el héroe 2-D se enfrenta a las formas cambiantes de un ser 3-D al pasar por Flatland. El Flatlander no adora a este ser debido a sus poderes divinos. Más bien, Abbott sugiere que los poderes milagrosos no significan necesariamente ninguna de las cualidades morales y espirituales requeridas para la adoración y el culto. Abbott concluye: Esta ilustración de cuatro dimensiones, que sugiere otras ilustraciones derivadas de las matemáticas, puede tener un doble propósito en nuestra investigación actual. Por un lado, puede llevarnos a una visión más amplia de las posibles circunstancias y de la existencia; por otro, puede enseñarnos que la concepción de tales posibilidades no puede, por ningún camino directo, acercarnos a Dios. Las matemáticas pueden ayudarnos a medir y pesar los planetas, a descubrir los materiales que los componen, a extraer luz y calor del movimiento del agua y a dominar el universo material; pero incluso si por estos medios pudiéramos montarnos en Marte o conversar con los habitantes de Júpiter o Saturno, no estaríamos más cerca del trono divino, excepto en la medida en que estas nuevas experiencias se desarrollen en nuestra modestia, en el respeto de los hechos, en una reverencia más profunda por el orden y la armonía y en una mente más abierta a nuevas observaciones y a nuevas inferencias a partir de viejas verdades.

Abbott creía que el estudio de la cuarta dimensión es importante para expandir nuestra imaginación, aumentar nuestra reverencia por el Universo, y aumentar nuestra humildad-quizás los primeros pasos en cualquier intento de entender la mente de Dios. Mulder: He visto demasiadas cosas para no creer. Scully: Yo también he visto cosas. Pero hay respuestas que hay que encontrar ahora. Tenemos la esperanza de que hay un punto de partida. Eso es lo que creo. Mulder: Pusiste tanta fe en tu ciencia, Scully, pero .... por las cosas que he visto la ciencia no proporciona un lugar por donde empezar. Scully: Nada sucede en contradicción con la naturaleza, sólo en contradicción con lo que sabemos de ella, y ese es un lugar para empezar. Ahí es donde está la esperanza. -”Herrenvolk”, Los Expedientes-X

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO

apéndice a alucinantes rompecabezas de cuatro dimensiones

Nuestro cosmos ―el mundo que vemos, oímos, sentimos― es la “superficie” tridimensional de un vasto mar de cuatro dimensiones. ¿Qué hay detrás de la superficie del mar? ¡El otro mundo de Dios! La teología ya no se avergüenza de la contradicción entre la inminencia de Dios y la trascendencia. El hiperespacio toca cada punto de tres espacios. Dios está más cerca de nosotros que nuestra respiración. Él puede ver cada porción de nuestro mundo, tocar cada partícula sin mover un dedo a través de nuestro espacio. Sin embargo, el Reino de Dios está completamente “fuera” de tres espacios, en una dirección en la que ni siquiera podemos apuntar. ―Martin Gardner, “La Iglesia de la Cuarta Dimensión”

La muerte es un concepto primitivo; prefiero pensar en ellos como luchando contra el mal… ¡en otra dimensión! ―Grig ...en “El último guerrero de las estrellas”.

No pude evitar incluir unos cuantos rompecabezas de estiramiento mental en este libro, aunque la mayoría serían considerados demasiado difíciles de resolver incluso por los doctores en matemáticas. Sin embargo, la lectura de las preguntas y soluciones debe ser lo suficientemente amplia para justificar su inclusión. Tipos similares de rompecabezas han sido discutidos en mis libros anteriores, tales como The Alien IQ Test y Mazes for the Mind.

Perdido en el Hiperespacio Los extraterrestres te secuestran y colocan, frente a tus ojos paralizados, un tubo retorcido dentro del cual se arrastra una hormiga robótica. La hormiga comienza en un punto marcado por un punto rojo brillante. Los extraterrestres

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO se vuelven hacia ti y te dicen: “Esta hormiga está realizando una caminata al azar infinita; es decir, camina para siempre moviéndose al azar un paso adelante o un paso atrás en el tubo. Supongamos que el tubo es infinitamente largo. ¿Cuál es la probabilidad de que el paseo aleatorio lleve a la hormiga de vuelta a su punto de partida?”. Tienes una semana para responder correctamente o los alienígenas examinarán tus órganos internos con una sonda neumática. Usted tiene toda la información que necesita para resolver este problema. La hormiga vive esencialmente en un universo 1-D. ¿Cómo cambiaría tu respuesta para las dimensiones superiores? Para una solución, véase la nota 30. 31

Un Teseracto en la sede del FBI Los extraterrestres han descendido a la Tierra y han colocado un teseracto de Rubik de 3×3×3×3 pies en la sede del FBI en Washington, D.C. (Un teseracto es un cubo de 4 D de la misma manera que un cubo es una versión en 3 31

Solución a la pregunta de la caminata al azar. Los teóricos matemáticos nos dicen que la respuesta es una probabilidad infinita de retorno para una caminata aleatoria 1-D. Si la hormiga fuera colocada en el origen de un universo de dos espacios (un plano), y luego ejecutara una caminata aleatoria infinita tomando un paso aleatorio hacia el norte, el sur, el este o el oeste, la probabilidad de que la caminata aleatoria eventualmente lleve a la hormiga de regreso al origen es también una probabilidad infinita. Nuestro mundo 3-D es especial: el espacio 3-D es el primer espacio euclidiano en el que es posible que la hormiga se pierda sin remedio. La hormiga, ejecutando una caminata infinita al azar en un universo de tres espacios, eventualmente regresará al origen con una probabilidad de 0,34 o 34 por ciento. En dimensiones más altas, las posibilidades de retorno son aún menores, alrededor de 1/(2n) para grandes dimensiones n. La probabilidad 1/(2n) es la misma que la probabilidad de que la hormiga regrese a su punto de partida en su segundo paso. Si la hormiga no llega a casa en los primeros intentos, probablemente se pierda en el espacio para siempre. Algunos de ustedes pueden disfrutar escribiendo programas de computadora que simulan caminatas de hormigas en hipervolúmenes confinados y haciendo comparaciones de la probabilidad de retorno. Por “confinado” quiero decir que las “paredes” del espacio se reflejan de tal manera que cuando la hormiga los encuentra, la hormiga, por ejemplo, se refleja hacia atrás. Otros tipos de confinamiento son posibles. Puedes leer más sobre las caminatas de las dimensiones superiores en Asimov, D. (1995) There’s no space like home. The Sciences. Septiembre/Octubre 35 (5): 20-25.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO D de un cuadrado). Los colores de este cubo de Rubik en 4-D se mueven cada segundo durante varios minutos mientras los espectadores miran y gritan. (Al principio el FBI cree que es un dispositivo de espionaje ruso.) Finalmente, el teseracto todavía nos permite revolverlo retorciendo cualquiera de sus ocho “caras” cúbicas, como se describe más adelante. Se te envía a investigar. Pronto te darás cuenta de que se trata de una prueba alienígena, y los humanos tienen un año para descifrar la cifra, o Washington, D.C., será aniquilado. Tu pregunta: ¿Cuál es el número total de posiciones del teseracto? ¿El número es mayor o menor que mil millones? Para una solución, véase la nota 31. 32 Fondo de un Cubo de Rubik cuatridimensional Muchos de ustedes estarán familiarizados con el ingenioso y colorido rompecabezas cúbico 3×3×3 de Ernö Rubik (Fig. A.1). Cada cara es un arreglo de 3×3 cubos pequeños llamados “cubitos”. Si cortaras este cubo en tres capas, cada capa se vería como un cuadrado de 3×3 con los mismos cuatro colores apareciendo a lo largo de sus lados. Dos colores adicionales se encuentran en los interiores de todos los cuadrados de la primera y tercera capa. (Estos son los colores en la parte inferior de todos los cuadrados de la primera capa y en la parte superior de todos los cuadrados de la tercera capa.) Los alienígenas han extendido este rompecabezas a la cuarta dimensión donde el hipercubo 3×3×3×3 de Rubik, o teseracto, está compuesto de cubos 3×3×3 apilados en la cuarta dimensión. Todos los cubos tienen los mismos seis colores asignados a sus caras; además, se asignan dos colores más a los interiores de todos los cubos pequeños (cubitos) en el primer y tercer cubo. (Me refiero a los ochenta y un cubos pequeños en esta representación como cubos, al igual que otros investigadores como Dan Velleman, aunque cada uno 32

Solución a la pregunta sobre el teseracto de Rubik. El número total de posiciones del teseracto de Rubik es de 1,76×10120, ¡mucho mayor que mil millones! El número total de posiciones del cubo de Rubik es 4,33×1019. Si el cubo o el teseracto cambiaran de posición cada segundo desde el principio del universo, todavía estarían girando hoy y no habrían exhibido todas las configuraciones posibles. Las matemáticas del teseracto de Rubik se discuten en Velleman, D. (1992) Rubik’s tesseract, Mathematics Magazine. February 65 (1): 27-36.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO es realmente uno de los ochenta y un pequeños teseractos que componen el teseracto alienígena de Rubik).

Figura A.1 Un cubo de Rubik 3×3×3 diseccionado en tres capas de 3×3.

Los rompecabezas 3-D y 4-D difieren de las siguientes maneras. El cubo original de Rubik tiene seis caras cuadradas. El teseracto de Rubik tiene ocho “caras” cúbicas. En el cubo estándar de Rubik, hay tres tipos de cubos: cubos de borde con dos colores, cubos de esquina con tres colores, y cubos centrales con un color (ignoro el cubo en el centro del cubo que no tiene color y no juega ningún papel en el rompecabezas). El teseracto de Rubik tiene cuatro tipos de piezas que también se distinguen por el número de sus colores. Aquellos de ustedes que tengan computadoras pueden disfrutar de “MagicCube4D”, un análogo en 4-D totalmente funcional del cubo de Rubik desarrollado por Daniel Green y Don Hatch. La implementación actual es para Windows95 y Windows NT. El modelo gráfico es una extensión exacta en 4D del rompecabezas tridimensional original, pero con algunas características útiles como un botón de “reset”. Utilizando las mismas técnicas matemáticas

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO que se utilizan para proyectar objetos tridimensionales en pantallas bidimensionales, el software MagicCube “proyecta” el cubo 4-D en tres dimensiones. Los objetos tridimensionales resultantes se pueden representar en la pantalla con un software gráfico convencional. Es muy difícil resolver el cubo de Rubik en 4-D partiendo de una estructura inicial revuelta. Si alguna vez tienes éxito, serás parte de un grupo de gente muy selecto. Es casi seguro que tendrás que haber dominado previamente el cubo de Rubik original antes de que puedas esperar resolverlo. Afortunadamente, todas las habilidades aprendidas para el rompecabezas original te ayudarán con este. Además, no es necesario que resuelvas el rompecabezas completo para poder disfrutarlo. Un juego divertido es empezar con una configuración ligeramente codificada, a sólo un paso o dos del estado resuelto, y trabajar para retroceder esos pocos giros aleatorios. Si te cansas de intentar resolver el rompecabezas por ti mismo, es impresionante ver cómo lo hace el ordenador. Para más información, visite: http://www.superliminal.com/cube.htm.

Sz’kwa hiperdimensional Un alienígena te desafía a un juego competitivo y de aspecto sencillo. Tienes veinticinco cristales blancos en la mano; el alienígena tiene veinticinco cristales negros. Al comienzo del juego, el tablero circular no tiene cristales (Fig. A.2). Tú y el alienígena se turnan para colocar un cristal en el tablero en las posiciones con puntos negros. Las reglas son las siguientes. Si el cristal de un jugador está completamente rodeado por los cristales del oponente, es capturado. La figura A.3 muestra la captura de una pieza negra (izquierda) y la captura de dos piezas blancas (derecha). Cuando a un jugador no le quedan cristales para colocar en el tablero circular, o no hay sitios vacíos en los que colocar un cristal sin que sea capturado, el juego termina. El ganador es el jugador que tenga el mayor número de cristales.

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Figura A.2 Tabla Sz’kwa inicial vacía.

Figura A.3 La captura de una pieza negra (izquierda) y la captura de dos piezas blancas (derecha).

¿Cuántos arreglos diferentes de cristales existen en el tablero de juego? ¿Es mejor ser el primer jugador? ¿Puedes escribir un programa que aprenda estrategias jugando cientos de juegos y observando sus errores? Desarrollar un juego multidimensional de Sz’kwa donde el sitio central en el tablero Sz’kwa conecta sitios centrales en tableros adyacentes o donde todos los sitios se conectan a las posiciones correspondientes en tableros adyacentes. Primero prueba un juego usando sólo dos tableros conectados y luego tres. Generalizar

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO sus descubrimientos a N tableros. Estas versiones representan Sz’kwa hiperdimensionales (Fig. A.4).

Figura A.4 Sz’kwa hiperdimensional.

Números Hipertetraédricos Los números tetraédricos forman la secuencia: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, .... con una fórmula generadora (1/6) n (n + 1) (n + 2). Esto se puede visualizar mejor usando balas de cañón en una pila en forma de pirámide con una base triangular. A partir de la parte superior de la pila, el número de bolas en cada capa es 1, 3, 6, 10, 15, .... que forma una secuencia de números triangulares porque cada nivel tiene forma de triángulo. Los números tetraédricos pueden ser considerados como sumas de los números triangulares. Podemos extender esta idea a dimensiones superiores y al hiperespacio. En el espacio 4-D, los montones de números tetraédricos pueden ser apilados en números 4-D, hipertetraédricos: 1, 5, 15, 35, 70, … Podemos formar estos números a partir de la fórmula general: (1/24) n (n + 1) (n + 2) (n + 3). ¿Puedes impresionar a tus amigos generando números hiper-hypertetraédricos?

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apéndice b dimensiones superiores en la ciencia ficción

Si finalmente seremos capaces de crear mobiliario a partir de un espacio curvo, participar de una realidad multidimensional, o ver directamente todas las historias alternativas de la humanidad, se convierte en un problema menor que el de ser capaces de alimentar la imaginación con estas posibilidades sin fin. ―Sten Odenwald, en Internet

Los niños estaban desapareciendo. Fueron en fragmentos, como humo espeso en un viento, o como movimiento en un espejo que distorsiona. De la mano, se fueron, en una dirección que Paradine no podía entender… ―Lewis Padgett, “Mimsy Were the Borogoves”.

En este apéndice, enumero fascinantes historias de ciencia ficción y novelas que tratan de la cuarta dimensión. En la medida de lo posible, he intentado proporcionar el editor de cada libro. (Desafortunadamente, en algunos casos, no pude encontrar editores para libros agotados.) Varios de los libros de ciencia ficción fueron sugeridos por el Dr. Sten Odenwald, autor de The Astronomy Cafe. El Dr. Odenwald obtuvo su doctorado en astronomía en la Universidad de Harvard y mantiene varias páginas web interesantes como “Ask the Astronomer” en http://www2.ari.net/home/odenwald/qadir/qanda.html. Note que Fantasia Mathematica, citado en muchas referencias, ha sido recientemente reeditado por Springer-Verlag bajo el sello de Copernicus. Muchos libros en el género de ciencia ficción discuten el viaje espacial a través del hiperespacio, pero son demasiado numerosos para enumerarlos. Muchos se ocupan de las formas en que las naves espaciales toman atajos para llegar rápidamente de un punto del universo a otro. El hiperespacio se describe

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO a menudo como un espacio de dimensiones superiores a través del cual nuestro espacio tridimensional puede ser plegado para que dos puntos aparentemente distantes se acerquen. Libros famosos que tratan sobre el hiperespacio incluyen: La serie Fundación Isaac Asimov, The Borderland of Sol de Larry Niven (1974), He Fell into a Dark Hole de Jerry Pournelle (1974), A Mote in God’s Eye de Larry Niven y Jerry Pournelle, The First Shall be Last de Arthur J. Burk, Curso por correspondencia de Raymond F. Jones (1945) y Contact de Carl Sagan (1997), que describe una máquina para crear un “hoyo en el espacio-tiempo” y a la que los ingenieros alienígenas conectan un puente de “agujero de gusano”. También hay muchos libros que hablan de universos alternativos o paralelos. A menudo un mundo paralelo es otro universo situado junto al nuestro, desplazado a lo largo de una cuarta dimensión espacial. Los mundos paralelos son a menudo referidos en la ciencia ficción como “otras dimensiones”. El uso moderno del término “universos paralelos” emplea a menudo un número infinito de mundos paralelos que contienen todas las historias terrenales posibles. La noción de que el universo es un solo aspecto de tal “multiverso” ha ganado cierta aceptación por la “interpretación de muchos mundos” de la mecánica cuántica. Como ejemplo, la novela de ciencia ficción de Robert Heinlein El número de la bestia habla de un mundo paralelo que parece idéntico al nuestro en todos los aspectos, excepto que la letra “J” no aparece en el idioma inglés. De manera similar, en Estación de Reclutamiento de A. E. van Vogt (1942), los humanos futuros reclutan a personas del siglo XX para luchar en una guerra. La corriente de tiempo terrestre es manipulada para crear dieciocho sistemas solares alternativos en los que se libran batallas por el control político. 1. Abernathy, R. (1950) “The Ultimate Peril.” Psicofísicos venusianos atacando la Tierra con armas hiperespaciales. 2. Archette, G. (1948) “Secreto del Cristal Amarillo”. Antiguos marcianos reordenar la estructura molecular de los cristales, sin tecnología mecánica, para aprovechar las “energías extra-dimensionales o subespaciales”. Usan el hiperespacio para dejar Marte en vez de enfrentarse a la extinción. (Guy Archette es un seudónimo de Chester Geier.) 3. Asimov, I. (1947) “Pequeño robot perdido”. Describe el uso de “Impulso Hiperatómico” se acorta a “Hiperimpulso”. “Jugar con el hiperespacio no

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO es divertido. Corremos el riesgo de hacer un agujero en el tejido espaciotemporal normal y salir del universo”. 4. Asimov, I. (1992) Las estrellas como polvo. Nueva York: Espectros. (Publicado originalmente en 1950.) Describe los viajes en el hiperespacio. 5. Asimov, I. (1990) El fin de la eternidad. Nueva York: Libros Bantam. Los futuros seres humanos viven fuera del espacio-tiempo normal y arreglan el pasado para facilitar el progreso humano. Esta historia abarca millones de siglos. Las computadoras ayudan a los técnicos a hacer ajustes sutiles. Una barrera en el espacio-tiempo es descubierta millones de años en el futuro -causada por humanos aún más avanzados que se protegen de la manipulación de las líneas del mundo que está ocurriendo durante estas edades más tempranas. 6. Bear, G. (1995) Eon. Nueva York: Tor. ¡Los humanos descubren un asteroide de cien kilómetros de largo que se extiende interiormente miles de millones de millas! Construido por humanos dentro de trece siglos en nuestro futuro, el asteroide está formado por un espacio-tiempo artificialmente retorcido y funciona como un túnel hacia el hiperespacio. A medida que uno viaja por el eje del asteroide, el tiempo se desplaza. Los universos alternos se apilan dentro de cada milímetro del túnel. 7. Bester, A. (1942) “El empuje de un dedo”. The Astounding-Analog Reader, Volume One, Harry Harrison y Brian W. Aldiss, eds. Nueva York: Doubleday. Los científicos crean una “membrana espacial osmótica” para aprovechar la energía del hiperespacio. Desafortunadamente, esta energía comienza a drenar hacia nuestro universo, causando que llegue a un final prematuro. Afortunadamente, esto es detenido por un viajero del tiempo del futuro que interviene en el momento justo. 8. Bond, N. (1974) “The Monster from Nowhere”, en As Tomorrow Becomes Today, Charles W. Sullivan, ed. (El monstruo de la nada). Nueva York: Prentice-Hall. (Originalmente publicado en Fantastic Adventures, julio de 1939.) Los humanos atrapan a una criatura en 4-D en nuestro mundo. Véase también el cuento de Nelson Bond de 1943 “That Worlds May Live”, que describe los sistemas de propulsión hiperespacial. Bond describe un “impulso cuadridimensional”, la primera deformación del espacio

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO artificial en la cuarta dimensión, creada por científicos jovianos. “Los Jovianos crean una urdimbre espacial de cuatro dimensiones entre puntos en un espacio tridimensional. Un campo de flujo magnetizado deforma el espacio tridimensional en la dirección de la marcha. Es tan fácil como eso”. 9. Bond, N. (1950) “The Scientific Pioneer Returns,” en Lancelot Biggs: Spaceman por Nelson S. Bond. Nueva York: Doubleday. (Historia originalmente publicada en 1940.) Una nave se acelera en un “espacio imaginario” que resulta ser un universo paralelo. “Einstein y Planck juguetearon con la mecánica hiperespacial y descubrieron que la masa se altera cuando viaja a alta velocidad. El aparato funcionó mejor de lo que esperabas”. 10. Brueuer, M. (1958) “The Captured Cross-Section,” en Fantasia Mathematica, C. Fadiman, eds. Nueva York: Simon y Schuster. Un joven matemático persigue a su prometida a la cuarta dimensión. Una excelente descripción física de las criaturas 4-D atrapadas en nuestro propio mundo. 11. Brunner, J. (1985) Age of Miracles. Nueva York: Nueva Biblioteca Americana. La Tierra está invadida por una docena de “ciudades de luz”. Sus interiores están retorcidos en dimensiones más altas y resultan en perturbadores cambios sensoriales para cualquier humano sin protección que entre. Los humanos son capaces de usar estos portales sin ser notados por los alienígenas. 12. Campbell, J. (1934) “La máquina más poderosa.” John Campbell acuña la palabra “hiperespacio” en esta historia. 13. Clarke, A. C. (1956) “Error técnico”. Un técnico es rotado a través de la cuarta dimensión y se invierte, una condición en la que ya no puede metabolizar la comida a menos que se le proporcione en estado de “mano izquierda”. 14. Cramer, J. (1989) Twistor. Nueva York: William Morrow. Cramer es profesor de física en la Universidad de Washington. Los protagonistas del libro, un postdoctorado masculino y una estudiante graduada que trabaja en el departamento de física de la Universidad de Washington, están llevando a cabo experimentos que utilizan una peculiar configuración de campos electromagnéticos que hacen girar la materia normal en materia

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO oscura (predicha por la teoría de cuerdas) y viceversa, rotando un escenario en el que un conjunto es reemplazado por otro. La primera vez que esto sucede, desaparece un volumen esférico que contiene equipos caros. Posteriormente, el postdoctorando y dos niños pequeños son “rotados” a una Tierra de materia oscura y atrapados dentro de un enorme árbol; una enorme esfera los reemplaza en medio de su laboratorio de Seattle. 15. Deutsch, A. (1958) “A Subway Named Moebius,” en Fantasia Mathematica, C. Fadiman, ed. (inglés) Nueva York: Simon y Schuster. A un profesor de matemáticas de Harvard se le pide que resuelva un misterioso desastre en el sistema de transporte subterráneo de Boston. 16. Egan, G, (1995) Cuarentena. Nueva York: HarperCollins. La mente humana crea el universo que percibe destruyendo mecánicamente cuánticamente todos los demás universos posibles. Los personajes del libro (y los lectores) se ven obligados a preguntarse qué es real. 17. Gamow, G. (1962) “The Heart on the Other Side,” en The Expert Dreamers, F. Pohl, ed. (El corazón del otro lado). Nueva York: Doubleday. 18. Gardner, M. (1958) “No-Sided Professor,” en Fantasia Mathematica, C. Fadiman, eds. Nueva York: Simon y Schuster. Describe lo que sucede cuando un profesor de topología conoce a Dolores, una artista del striptease. 19. Geier, C. (1954) “Environment”, en Strange Adventures in Science Fiction, Groff Conklin, ed. (1954). Nueva York: Grayson. (Publicado originalmente en 1944.) Usa el término “impulso hiperespacial”. “Entras aquí, y sales allí...” 20. Geier, S. (1948) “El vuelo del Starling.” Una nave espacial circunnavega el sistema solar en tres horas usando generadores atómicos de curvatura. Estos generadores “crean una deformación en el espacio alrededor de la nave... una ondulación en movimiento en el tejido del espacio”. El barco navega en esta onda como un surfista en una ola de mar. Entre el espacio normal y el espacio negativo hay una zona llamada hiperespacio. En el espacio negativo, el viaje en el tiempo es posible.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO 21. Hamling, W. (1947) “Orphan of Atlans.” Un cataclismo natural desencadena y “se hace una brecha en el mismo éter... Se forma una gran curvatura espacial alrededor de Atlantis”. Esto catapulta a los últimos sobrevivientes de la Atlántida fuera de su espacio-tiempo normal y hacia el siglo XX. 22. Heinlein, R. (1991) Starman Jones. Nueva York: Ballantine. Las naves espaciales viajan a través del hiperespacio 4-D. 23. Heinlein, R. (1987) Citizen of the Galaxy. Nueva York: Ballantine. (Publicado originalmente en 1957.) Viajar en el hiperespacio. 24. Heinlein, R. (1958) “ And he built a toroked house,” en Fantasia Mathematics, C. Fadiman, ed. (1958). Nueva York: Simon y Schuster. (Historia original publicada en 1940.) Las desventuras de un arquitecto californiano que construyó su casa para asemejarse a la proyección en espacio tridimensional de un hipercubo 4D. Cuando la casa de hipercubos se pliega, parece un cubo ordinario desde el exterior porque descansa en nuestro espacio en su cara cúbica, igual que un cubo de papel doblado, colocado en un plano, parecería un cuadrado a los habitantes de Flatlanders. Eventualmente la casa hipercubo se cae del espacio por completo. 25. Heinlein, R. (1991) Starman Jones. Nueva York: Ballantine. (Publicado originalmente en 1953.) La transición al “espacio N” requiere cálculos cuidadosos porque en algunos puntos del espacio interestelar, el espacio se pliega sobre sí mismo en “Anomalías de Horst”. 26. Laumer, K. (1986) World of the Imperium. Nueva York: TOR. Describe mundos alternativos en los que un hombre se enfrenta a su yo alternativo. El protagonista es atrapado y secuestrado por los habitantes de un universo paralelo. Aprende que debe asesinar una versión de sí mismo que es un dictador malvado en el mundo paralelo. 27. Leiber, F. (1945) Destiny Times Three. Nueva York: Novelas Galaxy. Varios humanos utilizan un “motor de probabilidad” para dividir el tiempo y crear historias alternativas, permitiendo que sobrevivan sólo las más adecuadas para la Tierra.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO 28. Lenz, F. (1997) Snowboarding to Nirvana. Nueva York: St. Martin’s Press. Frederick Lenz es introducido al “skyboarding” en una dimensión superior. Procede a hacer skyboard a través de las dimensiones de colores hasta llegar a una violeta. “El aire en esta dimensión estaba texturizado con algún tipo de escritura jeroglífica indescifrable. Seres como los enormes indios americanos empezaron a pasar volando por delante de nosotros.” 29. Lesser, M. (1950) All Heroes Are Hated. En el año 2900 d.C., los viajes interestelares son comunes y rápidos utilizando el hiperespacio. Desafortunadamente, doce mil millones de habitantes de seis mundos son aniquilados cuando una nave espacial sale del hiperespacio con su unidad encendida. 30. Martin, G. R. R. (1978) “FTA,” en 100 Grandes Cuentos de Ciencia Ficción. I. Asimov, M. Greenberg y J. Olander, eds. Nueva York: Doubleday. El hiperespacio resulta no ser un atajo para los viajes espaciales. 31. Moorcock, M. (1974) The Blood Red Game. Nueva York: Libros Mayflower. (Originalmente publicado en Science Fiction Adventures como The Sundered Worlds, 1962.) Los humanos navegan a través del hiperespacio y otras “dimensiones alienígenas”. El héroe de la historia, Renark, se encuentra con extraños seres humanoides que le dicen que el universo volverá a caer en un año. Para salvar a la humanidad, Renark debe encontrar la manera de que los humanos abandonen nuestro espacio-tiempo 4-D (tres dimensiones del espacio, una dimensión del tiempo). Viaja a un sistema solar cuya órbita está en ángulo recto con el resto del espacio tiempo y pasa a través de nuestro universo cada pocos cientos de años. Nuestro universo 4-D (espacio-tiempo) coexiste con un número infinito de otros universos. En esta teoría del multiverso, nuestro universo es como una página en un libro; cada página tiene sus propias leyes físicas y seres. En este extraño sistema solar, Renark se encuentra con los Creadores, seres multidimensionales que desarrollaron y mantuvieron el multiverso para crear un vivero de una forma de vida que los reemplace y evite que la realidad se desmorone.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO 32. Nourse, A. (1963) “Tiger by the Tail”, en Fifty Short Science Fiction Tales, Isaac Asimov y Groff Conklin, eds. Nueva York: Macmillan (Historia originalmente publicada en 1951.) Las criaturas en la cuarta dimensión coaccionan a un ladrón de tiendas humano para que les envíe aluminio a través de una puerta interdimensional que se asemeja a un libro de bolsillo. El ladrón es detenido por la policía, que se da cuenta del propósito de la cartera. Bajando un gancho en el bolsillo, la policía consigue “tirar de una parte de su universo que no es libre a través del bolso, poniendo una gran tensión en todo su patrón geométrico”. Todo su universo será retorcido.” Ahora la humanidad tiene un rehén contra la invasión. 33. Padgett, L. (1981) “Mimsy Were the Borogroves,” en The Great SF Stories 5, I. Asimov y M. Greenberg. Nueva York: DAW. (Historia originalmente publicada en 1943.) Paradine, un profesor de filosofía, no puede entender hacia dónde se dirigen los niños. Anteriormente, los niños encuentran un modelo de alambre de un teseracto (cubo 4-D), con cuentas de colores que se deslizan a lo largo de los alambres de maneras extrañas. Resulta que el modelo es un ábaco de juguete que había sido arrojado a nuestro mundo por un científico de cuatro espacios que está construyendo una máquina del tiempo. Este ábaco enseña a los niños a pensar en cuatro dimensiones, y finalmente entran en la cuarta dimensión y desaparecen. 34. Phillips. R. (1948) “The Cube Root of Conquest.” Coexistimos junto con otros universos en el espacio, pero estamos separados en el tiempo. 35. Pohl, E (1955) “The Mapmakers.” Describe el hiperespacio como un universo de bolsillo. 36. Pohl, F. (1987) The Coming of Quantum Cats. Nueva York: Bantam. Una historia de mundos paralelos. 37. Pohl, F. y Williamson, J. (1987) The Singers of Times. Nueva York: Ballantine. Una historia de mundos paralelos. 38. Schachner, N. (1938) “ Simultaneous Worlds.” Toda la materia tridimensional se extiende a una dimensión superior. Una máquina imagina estos mundos superiores que se asemejan a la Tierra.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO 39. Shaw, R. (1967) Night Walk. Nueva York: Banner Books. Un universo hiperespacial tiene una forma diabólicamente complicada. 40. Shaw, B. (1986) The Two-Timers. Un hombre que perdió a su esposa inadvertidamente crea un mundo paralelo en el que ella todavía existe. 41. Shaw, B. (1987) A Wreath of Stars. Nueva York: Baen Books. Dos mundos hechos de diferentes tipos de materia coexisten hasta que el acercamiento de una estrella cambia la órbita de uno de ellos. 42. Silverberg, R. (1972) Trips. Los turistas transuniversales vagan sin rumbo a través de mundos con diferentes similitudes. 43. Simak, C. (1992) Ring Around the Sun. Nueva York: Carroll y Graf. (Publicado originalmente en 1953.) Describe una serie de Tierras, vacías de humanidad y disponibles para la colonización y la explotación. 44. Simak, C. (1943) Shadow of Life. Los marcianos aprenden a reducirse a un tamaño subatómico extendiéndose a la cuarta dimensión, haciendo que pierdan masa y tamaño en las otras tres dimensiones. 45. Smith, E. E. (1939) Grey Lensman. Una tripulación se siente como si “estuviera comprimida, no como un todo, sino átomo por átomo... átomo por átomo... retorcido... extruido... en una dirección desconocida e inexistente... El hiperespacio es divertido de esa manera” Un arma conocida como “tubo hiperespacial” es usada... Se describe como un vórtice “extradimensional”. El extremo del tubo no puede establecerse demasiado cerca de una estrella debido a la aparente sensibilidad del tubo a los campos gravitacionales. 46. Smith, M. (1949) The Mystery of Element 117. Describe cómo nuestro universo se extiende a corta distancia hacia una cuarta dimensión espacial. Debido a esto, es posible rotar la materia completamente fuera del espacio3 mediante la construcción de un traductor 4-D. El elemento 117 abre un portal a esta nueva dimensión habitada por seres humanos que han muerto. Viven en un mundo vecino al nuestro, ligeramente desplazado del nuestro a lo largo de la cuarta dimensión. “Nuestro 3-espacio no es más que un hiperplano del hiperespacio.” Las capas sucesivas se enlazan como páginas de un libro.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO 47. Tenneshaw, S. (1950) “Who’s That Knocking at My Door?”. El hipermotor de una pareja en luna de miel se rompe cerca de una estrella enana blanca. 48. Upson, W. (1958) “A. Botts and the Moebius Strip”, en Fantasia Mathematics, C. Fadiman, ed. (en inglés). Nueva York: Simon y Schuster. Una simple demostración en topología salva la vida de varios soldados australianos. 49. van Vogt, A. E. (1971) “M33 in Andromeda,” en M33 in Andromeda, A. E. van Vogt. Nueva York: Biblioteca de bolsillo. (Publicado originalmente en 1943.) Los humanos reciben mensajes mentales de una civilización avanzada de la galaxia de Andrómeda. Los terrestres utilizan el “hiperespacio” en la transmisión de materia de planeta a planeta. Enfocar un transmisor hiperespacial en una nave espacial que se mueve más rápido que la luz requiere especificar coordenadas en un espacio de 900.000 dimensiones. 50. Wandrei, D. (1954) “The Blinding Shadows,” (Las Sombras Cegadoras). en Beachheads in Space, August Derleth, ed. Nueva York: Weidenfeld Nicolson. (Historia originalmente publicada en 1934.) Un inventor llamado Dowdson construye una máquina que aspira energía a la cuarta dimensión. En un discurso a sus colegas, Dowdson comenta: Caballeros, hace mucho tiempo se consideraba que los objetos tenían dos dimensiones, a saber, la longitud y la anchura. Después de Euclides, se descubrió que la longitud, la anchura y el grosor comprendían tres dimensiones. Durante miles de años, el hombre pudo visualizar sólo dos dimensiones, en ángulo recto entre sí. Estaba equivocado. Ahora, durante varios miles de años, el hombre ha sido capaz de visualizar sólo tres dimensiones, en ángulo recto entre sí. ¿No puede haber una cuarta dimensión, tal vez en ángulo recto, de alguna manera que todavía no podamos imaginar, o tal vez más allá de nuestro campo de visión? Los objetos que emiten rayos infrarrojos, y que yacen en un mundo de cuatro dimensiones, podrían fácilmente estar más allá de nuestra capacidad de ver y nuestra capacidad de entender, mientras que existen a nuestro lado, no, en esta misma sala.

El público presta mucha atención a Dowdson cuando llega al punto principal de su trabajo:

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO Un objeto tridimensional proyecta una sombra bidimensional. Si existiera tal cosa como un objeto bidimensional, sin duda arrojaría una sombra unidimensional. Y si un sólido cuatridimensional existiera, su sombra sería tridimensional. En otras palabras, caballeros, es totalmente concebible que en medio de nosotros se encuentre un mundo de cuatro dimensiones cuya sombra se caracterizaría por tres dimensiones, aunque nunca tengamos ojos para ver o mentes para entender la naturaleza del origen de esa sombra de cuatro dimensiones.

Más adelante en su artículo, Dowdson afirma: Se preguntarán por qué, si mis teorías son correctas, nunca se ha visto tal sombra. La respuesta, creo, es bastante simple. Sujeto a leyes ajenas a las que conocemos, e imperceptibles a nuestro campo de visión, es muy probable que el objeto proyecte tal sombra, pero de tal color que sea también invisible. La teoría alternativa es que algún intermediario, como un espejo basado en principios radicales, reflejaría la sombra.

Dowdson inventa una máquina cuyas lentes no sólo giran en tres dimensiones sino también en la cuarta dimensión. Quiere capturar imágenes de objetos de la cuarta dimensión en el espacio tridimensional. Desafortunadamente, las sombras negras de los seres extraterrestres pronto aparecen y comienzan a consumir a los habitantes de la ciudad de Nueva York: El área involucrada comprende aproximadamente lo que antes se conocía como Gran Nueva York, e incluye un círculo cuyo radio es de unas diez millas, llegando incluso hasta el puerto y el Atlántico. Esta zona, ahora protegida en tierra por grandes fortificaciones de cemento, acero y alambre de púas erigidas por el gobierno, es terreno muerto, que decenas de miles de espectadores visitan semanalmente para ver la ciudad “perdida” y sus extraños conquistadores, las Sombras Cegadoras. El por qué permanecen y lo que buscan son acertijos sin resolver, ni tampoco existe la seguridad de que en algún lugar, en algún momento, no puedan arder fuera de las barreras y seguir adelante, ni de que algún otro científico no suelte involuntariamente sobre el resto del mundo una horda de Sombras misteriosas, voraces y cegadoras, contra las cuales la humanidad es impotente y de cuya fuente no se sabe nada. Durante diez años, las Sombras Cegadoras han poseído la ciudad de los sueños; y es probable que diez mil veces más años caigan en el olvido sin una sola huella humana en calles donde ni siquiera los cuervos se ciernen y donde las Sombras infernales vagan sin fin.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO 51. Wells, H. G. (1952) “The Plattner Story”, en 28 historias de ciencia ficción. Nueva York. Dover. Un misterioso polvo verde empuja a un joven profesor de química llamado Plattner a la cuarta dimensión. Naturalmente, los estudiantes en el aula se sorprenden al descubrir que, cuando el humo se desprende de la explosión, Plattner se ha ido. No hay señales de él en ninguna parte. El director de la escuela no tiene ninguna explicación. Durante los nueve días en cuatro espacios, Plattner ve un gran sol verde y habitantes sobrenaturales. Cuando Plattner regresa a nuestro mundo, su cuerpo se invierte. Su corazón está ahora a la derecha y escribe un guión en espejo con la mano izquierda. Resulta que las tranquilas creaciones a la deriva de Wells; los cuatro espacios son las almas de aquellos que alguna vez vivieron en la Tierra.

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apéndice c botella banchoff klein

Es verdad que todos estamos en todo momento situados simultáneamente en todos los espacios que juntos constituyen el universo de los espacios; porque siempre que se nos revela la existencia de un espacio que antes nos había sido ocultado, sabemos desde el primer momento que este espacio no acaba de nacer, sino que siempre nos ha rodeado sin que nos demos cuenta de ello. Sin embargo, no somos capaces de forzar la apertura de la puerta que conduce a un espacio que hasta ahora nos ha sido cerrado. ―Karl Heim, Fe Cristiana y Ciencias Naturales En la última década, incluso los matemáticos serios han comenzado a disfrutar y a presentar extraños patrones matemáticos de nuevas maneras, a veces dictadas tanto por un sentido de la estética como por las necesidades de la lógica. Además, los gráficos por ordenador permiten a los no matemáticos apreciar mejor el comportamiento gráfico complicado e interesante de las fórmulas simples. Este apéndice proporciona una receta para crear una hermosa galería de gráficos de superficies matemáticas. Para producir estas curvas, coloco esferas en lugares determinados por fórmulas que se implementan como algoritmos informáticos. Muchos de ustedes pueden encontrar dificultades para dibujar esferas sombreadas; sin embargo, se pueden dibujar figuras bastante atractivas e informativas simplemente colocando puntos de colores en estos mismos lugares. Alternativamente, solo ponga puntos negros sobre un fondo blanco. Al implementar las siguientes descripciones, modifica ligeramente las fórmulas para ver los resultados gráficos y artísticos. No dejes que las fórmulas de aspecto complicado te asusten. Son muy fáciles de implementar en el lenguaje de computadora de tu elección siguiendo las fórmulas de la computadora y las sugerencias computacionales dadas en los lineamientos del programa. A diferencia de las curvas que puede haber visto en los libros de geometría (como los paraboloides en forma de bala y las superficies de las sillas) que son

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO funciones simples de x e y, ciertas superficies que ocupan tres dimensiones pueden expresarse mediante ecuaciones paramétricas de la forma: x = f(u,v), y = g(u,v), z = h(u,v). Esto significa que la posición de un punto en la tercera dimensión está determinada por tres fórmulas separadas. Debido a que f, g y h pueden ser cualquier cosa que quieras, la notable panoplia de formas de arte que son posibles gracias al trazado de estas superficies es bastante grande. Para simplificar, puede trazar proyecciones de estas superficies en el plano x-y simplemente trazando (x,y) a medida que itera u y v en un programa de computadora. Alternativamente, he aquí una fórmula práctica para ver las curvas desde cualquier ángulo: xp = x cos θ + y sen θ yp = –x sin θ sen ϕ + cos θ sen ϕ + z cos ϕ donde (x,y,z) son las coordenadas del punto de la curva anterior a la proyección y (0,4) son los ángulos de visión en coordenadas esféricas. La botella Banchoff Klein 33 (Fig. C.1 y C.2) se basa en la banda de Moebius, una superficie con un solo borde. La banda Moebius es un ejemplo de un espacio no orientable, lo que significa que no es posible distinguir un objeto en la superficie de su imagen reflejada en un espejo. Este frasco de Klein contiene bandas de Moebius y puede ser construido en un espacio de 4D. Las potentes computadoras gráficas nos permiten diseñar objetos inusuales como estos y luego investigarlos proyectándolos en una imagen en 2-D. Algunos físicos y astrónomos han postulado que la estructura a gran escala de nuestro universo puede parecerse a un enorme espacio no orientable con propiedades de botella de Klein, permitiendo que los objetos diestros se transformen en objetos zurdos. Si usted es un profesor, haga que sus estudiantes diseñen y programen sus propios patrones modificando los parámetros de estas ecuaciones. Haga un mural grande de todos los diseños de los estudiantes etiquetados con las fórmulas generadoras relevantes. 33

Para más información sobre la botella de Banchoff Klein, véase el exquisito libro de Thomas Banchoff Beyond the Third Dimension. Más exactamente, la botella está construida a partir de un cilindro en forma de ocho que pasa a través de sí mismo a lo largo de un segmento. Para producir la botella de Banchoff Klein, se retuercen los cilindros en forma de ocho mientras se acercan los dos extremos hacia afuera.

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Figura C.1 Banchoff Klein botella. (Renderizado en ordenador por el autor.)

Figura C.2 Sección transversal de la botella Banchoff Klein, revelando superficies “internas”. (Renderizado en ordenador por el autor.)

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO ALGORITMO: Cómo crear una botella Banchoff Klein for(u= 0 ; u < 6.2 8 ; u = u + .2) { for(v= 0; v < 6.28; v = v + .05 { x = cos(u)*(sqrt(2)+cos(u/2)*cos(v)+sin(u/2)*sin(v)*cos(v)); y = sin(u)*(sqrt(2)+cos(u/2)*cos(v)+sin(u/2)*sin(v)*cos(v)); z = -sin(u/2)*cos(v)+cos(u/2)*sin(v)*cos(v); DrawSphereCenteredAt(x,y,x) } } (El código de programa aquí está en el estilo del lenguaje C.)

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apéndice d quaterniones

La invención de los cuaterniones debe ser considerada como una hazaña muy notable del ingenio humano. ―Oliver Heaviside

Es tan injusto llamar a un vector cuaternión como a un hombre cuadrúpedo. ―Oliver Heaviside Algunos de ustedes pueden estar familiarizados con el concepto de “números complejos” que tienen una parte real e imaginaria de la forma a + bi, donde i = √–1. (Si nunca has oído hablar de números complejos, no dudes en saltarte esta sección y simplemente disfrutar de la bonita imagen fractal.) Cuando se inventaron estos números 2-D, muchas personas no estaban seguras de su validez. ¿Qué significado en el mundo real podrían tener estos números imaginarios? Sin embargo, los científicos no tardaron mucho en descubrir muchas aplicaciones para estos números, desde la hidrodinámica hasta la electricidad. Los cuaterniones son similares a los números complejos pero de la forma a + bi + cj + dk con una parte real y tres imaginarias.34 La suma de estos 34

Los cuaterniones definen un espacio en 4-D que contiene el plano complejo. Como dijimos anteriormente, los cuaterniones pueden ser representados en cuatro dimensiones por Q = a0 + a1i + a2j + a3k donde i, j y k son (como el número imaginario i) vectores unitarios en tres direcciones ortogonales; también son perpendiculares al eje real. Tenga en cuenta que para sumar o multiplicar dos cuaterniones, los tratamos como polinomios en i, j, y k, pero usamos las siguientes reglas para tratar con productos: i2 = j2 = k2 = –1, ij = –ji = k, jk = –kj = i, ki = –ik = –ik = j. Para producir el patrón en esta sección, se utilizaron “bucles de retroalimentación matemática”. Aquí uno simplemente itera F(Q,q): Q → Q2 + q donde Q es un cuaternión 4-

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO números 4-D es bastante fácil, pero la multiplicación es más complicada. ¿Cómo podrían estas cifras tener una aplicación práctica? Resulta que los cuaterniones pueden ser usados para describir las órbitas de pares de péndulos y para especificar rotaciones en gráficos por ordenador. Los cuaterniones son una extensión del plano complejo y fueron descubiertos en 1843 por William Hamilton mientras intentaba definir las multiplicaciones tridimensionales. Hamilton era un brillante matemático irlandés cuyo D y q es una constante de cuaternión. El siguiente algoritmo de computadora para cuadrar un cuadrante implica llevar un registro de los cuatro componentes de la fórmula. ALGORITMO - Calcular cuaternión, cálculo principal Variables: a0,a1,a2,a3,rmu are the real, i, j, and k coefficients Notas: Este es un ‘bucle interno’ utilizado con el mismo espíritu que en los cálculos tradicionales de Julia. No se requieren números complejos para el cálculo. Mantiene constantes tres de los coeficientes y examina el plano determinado por los dos restantes. Este código se ejecuta de manera similar a otros códigos generadores de fractales en los que el color indica la tasa de divergencia. rmu es una constante de cuaternio. DO i = 1 to NumberOflterations savea0 = a0*a0 - a1*a1 - a2*a2 - a3*a3 + rmu0; savea1 = a0*a1 + a1*a0 + a2*a3 - a3*a2 + rmu1; savea2 = a0*a2 - a1*a3 + a2*a0 + a3*a1 + rmu2; savea3 = a0*a3 + a1*a2 - a2*a1 + a3*a0 + rmu3; a0=savea0,- a1=savea1; a2=savea2 ; a3=savea3 ; if (a1**2+a2**2+a3**2+a0**2) > CutoffSquared then 1eave 1oop; end; /*i*/ PlotDot(Color(i))

Los tonos de gris indican la tasa de explosión del mapeo. Como es estándar en los sets de Julia, la “divergencia” se comprueba comprobando si Q supera un cierto umbral, τ, después de muchas iteraciones. Para la Figura D.1, el mapeo se itera 100 veces y el conteo de iteración, n, se almacena cuando |Q| ⁓ τ. El logaritmo del contador de iteraciones, n, se mapea entonces a la intensidad en la imagen. (Vea mi libro Computadoras, Patrón, Caos y Belleza para más información.) La Figura D.1 representa una porción en 2-D de un conjunto de cuatro dimensiones de Julia. El corte está en el plano (a0, a2) a nivel (a1, a3) = (0,05 , 0,05). La constante q = (–0,745 , 0,113 , 0,01 , 0,01) y τ = 2. El valor inicial de Q es (a0, a2, 0.05, 0,05), donde a0 y a2 corresponden a la posición del píxel en una figura.

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO genio para los idiomas fue evidente a una edad temprana. Podía leer a los tresa los cuatro años, había comenzado a estudiar griego, latín y hebreo, y a los diez ya se había familiarizado con el sánscrito. A la edad de diecisiete años, su destreza matemática se hizo evidente. En 1843, durante un destello de inspiración mientras caminaba con su esposa, Hamilton se dio cuenta de que se necesitaban cuatro (no tres) números para lograr una transformación tridimensional de un vector en otro. En ese instante, Hamilton vio que se necesitaba un número para ajustar la longitud, otro para especificar la cantidad de rotación, y dos más para especificar el plano en el que tiene lugar la rotación. Este conocimiento físico llevó a Hamilton a estudiar números hipercomplejos (o cuaterniones) con cuatro componentes, a veces escritos con el formulario: Q = a0 + a1i + a2j + a3k donde las a son números reales ordinarios, e i, j y k son cada uno un vector unitario imaginario apuntando en tres direcciones mutuamente perpendiculares del espacio, en una simple extensión de los números complejos ordinarios del espacio 2-D. Aunque era difícil visualizar los cuaterniones, Hamilton encontró la manera de utilizarlos en la teoría de los circuitos eléctricos. Oliver Heaviside, un gran genio de la era victoriana, comentó: “Es imposible pensar en cuaterniones, sólo puedes fingir que lo haces.” Hoy en día, las cuaterniones están en todas partes en la ciencia. Se utilizan para describir la dinámica del movimiento en tres espacios. El software de vuelo del transbordador espacial utiliza cuaterniones en sus cálculos para la guía, navegación y control de vuelo por razones de compacidad, velocidad y evitación de singularidades. Los cuaterniones son utilizados por los químicos de proteínas para manipular espacialmente modelos de estructura proteica. Ted Kaczynski, el Unabomber, habló con cariño de las cuaterniones a lo largo de sus artículos de revistas matemáticas altamente teóricas. Las representaciones de cuaterniones son tan complicadas que es útil desarrollar metodologías que ayuden en su despliegue. Tales métodos revelan un universo visual exótico de formas. En particular, me gusta el procesamiento de imágenes de las hermosas e intrincadas estructuras resultantes de la iteración (aplicación repetida) de las ecuaciones de cuaterniones. La figura D.1 es en realidad una rebanada de 2-D de un objeto 4-D resultante llamado un conjunto de cuaterniones de Julia. Esta rebanada tiene una dimensión fraccionaria. Para más detalles sobre estas formas fractales en 4-D, véase la nota 1 del Apéndice D.

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Figura D.1 Una rebanada en 2-D de un conjunto de Julia de cuatro dimensiones. (Renderizado en ordenador por el autor.)

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apéndice e laberintos cuatridimensionales

Mientras no nos hayamos dado cuenta de que la presencia de Dios es un espacio, que abarca toda la realidad como lo hace el espacio tridimensional, mientras concebimos el mundo de Dios sólo como la historia superior del espacio cósmico, la actividad de Dios también será siempre una fuerza que afecta a los acontecimientos terrenales sólo desde arriba. ―Karl Heim, Fe Cristiana y Ciencias Naturales

Los laberintos son difíciles de resolver en dos y tres dimensiones, pero ¿puedes imaginarte lo difícil que sería resolver un laberinto en 4-D? Chris Okasaki, de la Facultad de Informática de la Universidad Carnegie Mellon, es uno de los principales expertos mundiales en laberintos en 4-D. Cuando le pedí que describiera sus laberintos en 4-D, me contestó: Mis laberintos 4-D son cuadrículas bidimensionales de cuadrículas bidimensionales. Cada una de las subredes parece un conjunto de habitaciones en las que faltan algunas de las paredes, lo que permite que el solucionador de laberintos se desplace directamente entre ciertas habitaciones. Además, cada habitación puede tener un conjunto de flechas en ella, apuntando al Norte, Sur, Este y Oeste. Las flechas significan que puede viajar directamente entre esta habitación y la habitación correspondiente en la siguiente subred en esa dirección. Por ejemplo, en un laberinto 2×2×2×2, si usted está en la esquina superior izquierda de la subred superior izquierda, una flecha apuntando hacia el sur significa que puede viajar a la esquina superior izquierda de la subred inferior izquierda. Matemáticamente, los laberintos que genero se basan en “árboles que se extienden al azar” de algún gráfico que representa todas las conexiones posibles entre las habitaciones. Sin embargo, contrariamente a lo que podría esperarse, los árboles que se extienden al azar no forman laberintos muy buenos. El problema es que tienen demasiados callejones sin salida obvios, que no atraen a la persona que resuelve el laberinto para que los explore. Por lo tanto, posproceso

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO cada árbol que se extiende al azar para convertir un árbol con muchos callejones sin salida cortos en uno con menos callejones sin salida largos. Una cuadrícula 4-D no es más difícil de modelar como gráfico que una cuadrícula 2-D, por lo que mi software puede generar laberintos 4-D con sólo empezar con el gráfico apropiado. La única diferencia está en cómo se visualiza el árbol de expansión resultante. También he pensado en cómo hacer esto para laberintos 6-D (o incluso superiores). Mi representación visual de un laberinto 6-D es una cuadrícula 2-D de cuadrículas 2-D de cuadrículas 2-D. Utilizo flechas como en el laberinto 4-D, excepto que ahora las flechas pueden ser cortas o largas. Una flecha corta indica conexiones dentro de una subred 4-D. Una flecha larga indica conexiones entre subredes 4-D adyacentes. Puedes encontrar una galería de laberintos, incluyendo un laberinto 4-D al azar, en http://www.cs.columbia.edu/-cdo/maze/maze.html. Nótese, sin embargo, que este laberinto 4-D en particular no incluye el post-procesamiento que mencioné anteriormente.

Aquellos de ustedes que deseen aprender más sobre la geometría en 4-D estarán interesados en HyperSpace, una revista fascinante sobre todos los temas relacionados con geometrías de dimensiones superiores, laberintos complejos, geometría y arte, y patrones inusuales. La revista tiene artículos en inglés y japonés. Contacto: Japan Institute of Hyperspace Science, c/o K. Miyazaki, Graduate School of Human and Environmental Studies, Kyoto University, Sakyo-ky, Kyoto 606 Japón.

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apéndice f buffet para los adictos a la informática

La intersección de un objeto en 4-D con un espacio-3 no necesita estar conectada, así como una formación continua de coral puede aparecer como múltiples islas desarticuladas donde sobresalen de la superficie del océano. Una colección de criaturas como una colmena de abejas puede ser diferentes partes de un solo animal 4-D. Del mismo modo, todas las personas pueden formar parte de una sola entidad 4-D. El proceso de envejecimiento puede ser representado como el movimiento lento de un hiperplano que se cruza a través de una entidad 4-D. ―Daniel Green, Software Superliminal

La presencia de Dios no es un piso superior del único espacio cósmico, sino un espacio separado que lo abarca todo, de modo que el mundo polar y el mundo suprapolar no se encuentran uno con respecto al otro en la misma relación que dos pisos de la misma casa, sino en la relación de dos espacios. ―Karl Heim, Fe Cristiana y Ciencias Naturales

Código 1. Programa Hiper-hipercubo El siguiente es el código de computadora C que escribí para calcular los modelos atractivos de los cubos de mayor dimensión para las Figuras 4.12 a 4.17. Los cubos de la dimensión N pueden generalizarse a dimensiones superiores N+1 mediante la translación del N-cubo y la interconexión de los vértices correspondientes, del mismo modo que se puede generar una representación gráfica de un cubo dibujando dos cuadrados e interconectando los vértices. En dimensiones más altas, los cubos se vuelven tan complejos que pueden ser difíciles de representar gráficamente. En el programa, n = 4 genera un hi-

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SURFEANDO DENTRO DEL HIPERESPACIO percubo; n = 5 genera un hipercubo, y así sucesivamente. La idea de este enfoque proviene de un programa BASIC escrito por Jonathan Bowen basado en un programa Fortran de C. S. Kuta. Véase, por ejemplo, “Hypercubes” en Practical Computing, 5(4): 97-99, abril de 1982. Para más detalles, véase “On the Trail of the Tesseract”, una sección del capítulo 4. /* C Program Used to Draw Cubes in Higher Dimensions */ #include #include main() { float xstart, ystart, xl[10], yl[10], iflagl[10], iflag2[10]; int i, j, k, n; float x, y, f, p, c; /* n is the dimension of the cube */ n = 4; p=3.14159/(float)n; i= -1; for (j=l; j