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Universidad Autónoma del Carmen. Facultad de Ingeniería y Tecnología. DES-DAIT.

Cálculo Integral. Tarea 1: Investigación – Superficies de segundo grado.

Ecuaciones, trazas, simetría y esquemas de superficies de segundo grado. Ejemplos de la vida real. Profesora: Olena Benavides. Alumno: Juan José Rodríguez Díaz. Ciudad del Carmen, Campeche; a 20 de Abril del 2015.

Superficies de segundo grado: Investigar 7 superficies de segundo grado: Sus ecuaciones, trazas, simetría y esquemas. 1. Hiperboloide hiperbólico (o de una hoja): a) Ecuación canónica: 𝑥2 𝑦2 𝑧2 + − =1 𝑎2 𝑏 2 𝑐 2

b) Trazas:  En plano 𝑥𝑦, si 𝑧 = 0, se obtiene una elipse: 𝑥2 𝑦2 + =1 𝑎2 𝑏 2 



En plano 𝑥𝑧, si 𝑦 = 0, se obtiene una hipérbola: 𝑥2 𝑧2 − =1 𝑎2 𝑐 2

En el plano 𝑦𝑧, si 𝑥 = 0, se obtiene una hipérbola: 𝑦2 𝑧2 − =1 𝑏2 𝑐 2 c) Simetría: (𝑥 − 𝑥1 )2 (𝑦 − 𝑦1 )2 (𝑧 − 𝑧1 )2 + − =1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 d) Esquema:

2. Hiperboloide elíptico (o de dos hojas): a) Ecuación canónica: 𝑥2 𝑦2 𝑧2 + − = −1 𝑎2 𝑏 2 𝑐 2

b) Trazas:  En plano 𝑥𝑦, si 𝑧 = 𝑘, se obtienen elipses (o un punto o nada si 𝑧 = 0): 𝑥2 𝑦2 𝑘2 + = −1 𝑎2 𝑏 2 𝑐 2 



En el plano 𝑥𝑧, si 𝑦 = 0, se obtiene una hipérbola: 𝑥2 𝑧2 − = −1 𝑎2 𝑐 2

En el plano 𝑦𝑧, si 𝑥 = 0, se obtiene una hipérbola: 𝑦2 𝑧2 − = −1 𝑏2 𝑐 2 c) Simetría: (𝑥 − 𝑥1 )2 (𝑦 − 𝑦1 )2 (𝑧 − 𝑧1 )2 + − = −1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 d) Esquema:

3. Elipsoide: a) Ecuación canónica: 𝑥2 𝑦2 𝑧2 + + =1 𝑎2 𝑏 2 𝑐 2

b) Trazas:  En el plano 𝑥𝑦, si 𝑧 = 0, obtenemos una elipse: 𝑥2 𝑦2 + =1 𝑎2 𝑏 2 

En plano 𝑥𝑧, si 𝑦 = 0, obtenemos una elipse: 𝑥2 𝑧2 + =1 𝑎2 𝑐 2



En el plano 𝑦𝑧, si 𝑥 = 0, obtenemos una elipse: 𝑦2 𝑧2 + =1 𝑏2 𝑐 2 c) Simetría: (𝑥 − 𝑥1 )2 (𝑦 − 𝑦1 )2 (𝑧 − 𝑧1 )2 + + =1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 d) Esquema:

𝑥

4. Cono: a) Ecuación canónica: 𝑥2 𝑦2 𝑧2 + − =0 𝑎2 𝑏 2 𝑐 2 b) Trazas:  En el plano 𝑥𝑦, si 𝑧 = 𝑘, se obtienen elipses (salvo en el caso 𝑧 = 0 donde obtenemos un único punto): 𝑥2 𝑦2 𝑘2 + = 𝑎2 𝑏2 𝑐 2 

En el plano 𝑥𝑧, si 𝑦 = 𝑘, se obtiene una hipérbola: 𝑥2 𝑧2 𝑘2 − = − 𝑎2 𝑐 2 𝑏2



En el plano 𝑦𝑧, si 𝑥 = 𝑘, se obtiene una hipérbola: 𝑦2 𝑧2 𝑘2 − =− 2 𝑏2 𝑐 2 𝑎



Si 𝑘 = 0, para el plano 𝑥𝑧 y 𝑦𝑧, pueden obtenerse: una pareja de rectas que se cortan o un único punto. c) Simetría: (𝑥 − 𝑥1 )2 (𝑦 − 𝑦1 )2 (𝑧 − 𝑧1 )2 + − =0 𝑎2 𝑏2 𝑐2 d) Esquema:

5. Esfera: a) Ecuación canónica:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 b) Trazas:  En el plano 𝑥𝑦, si 𝑧 = 0, obtenemos una circunferencia:

𝑥2 + 𝑦2 = 1 

En plano 𝑥𝑧, si 𝑦 = 0, obtenemos una circunferencia:

𝑥2 + 𝑧2 = 1  En el plano 𝑦𝑧, si 𝑥 = 0, obtenemos una circunferencia: 𝑦2 + 𝑧2 = 1 c) Simetría:

(𝑥 − 𝑥1 )2 + (𝑦 − 𝑦1 )2 + (𝑧 − 𝑧1 )2 = 1 d) Esquema:

6. Paraboloide elíptico: a) Ecuación canónica: 𝑥2 𝑦2 𝑧 + = 𝑎2 𝑏 2 𝑐

b) Trazas:  En el plano 𝑥𝑦, si 𝑧 = 𝑘, obtenemos una elipse (si 𝑎 = 𝑏 se obtiene un círculo): 𝑥2 𝑦2 𝑘 + = 𝑎2 𝑏 2 𝑐 

En el plano 𝑥𝑧, si 𝑦 = 0, obtenemos una parábola: 𝑎2 𝑧 𝑥2 = 𝑐



En el plano 𝑦𝑧, si 𝑥 = 0, obtenemos una parábola: 𝑏2𝑧 𝑦2 = 𝑐 c) Simetría:

d) Esquema:

7. Paraboloide hiperbólico: a) Ecuación canónica: 𝑦2 𝑥2 𝑧 − = 𝑏 2 𝑎2 𝑐 b) Trazas:  En el plano 𝑥𝑦, si 𝑧 = 𝑘, se obtiene una hipérbola: 𝑦2 𝑥2 𝑘 − = 𝑏 2 𝑎2 𝑐 

Si 𝑧 = 0 en el plano 𝑥𝑦, se obtienen dos rectas.



En el plano 𝑥𝑧, si 𝑦 = 0, se obtienen parábolas: 𝑥2 𝑧 = − 𝑎2 𝑐



En el plano 𝑦𝑧, si 𝑥 = 0, se obtienen parábolas: 𝑦2 𝑧 = 𝑏2 𝑐

c) Simetría:

d) Esquema:

Ejemplos de superficies de segundo grado en la vida real: 1. Hiperboloide hiperbólico (o de una hoja): a) Torres de refrigeración de plantas de energía o centrales nucleares:

b) Torre de Port Kobe, Japón (1963):

2. Elipsoide: a) Dirigible:

b) Balón de rugby:

3. Paraboloide elíptico: a) Antenas parabólicas o satelitales:

b) Copas para vino:

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