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• Mario Alejandro Juanias Granados

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FUNDACION UNIVERSITARIA DEL ÁREA ANDINA FACULTAAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS BÁSICAS

CALCULO DIFERENCIAL

TALLER EJE 3

MARIO ALEJANDRO JUANIAS GRANADOS [email protected]

DANILO DE JESÚS ARIZA AGÁMEZ

BOGOTÁ 22 DE JUNIO DE 2020

INTRODUCCIÓN A través del cálculo diferencial abriremos las puertas para los principales para brindar soluciones e investigaciones de diferentes procesos cuantitativos del cambio recíproco entre magnitudes. Desde su origen tendremos una nueva vista tanto teorías e hipótesis a la navegación y tecnologías, realizando un proceso de trampolín para la ciencia hacia procesos de investigación para resolver inquietudes del universo. Las derivadas desde su definición teniendo en cuenta los límites y sus propiedades mas utilizadas, eremos algunas reglas básicas de derivación y la aplicación por supuesto dentro de las diferentes disciplinas, en las que destacamos la razón de cambio y maximación de funciones, tendremos como meta del eje y apoyándonos del referente de pensamiento los elementos de las derivaciones, aplicación en los problemas cotidianos.

OBJETIVO DE APRENDIZAJE Y EJE PRINCIPAL ¿CÓMO DEDUCIR EL CONCEPTO DE DERIVADA A PARTIR DE LA DEFINICIÓN DE LÍMITE, Y UTILIZAR LAS DERIVADAS PARA RESOLVER GRÁFICA Y ALGEBRAICAMENTE PROBLEMAS EN CONTEXTOS VARIADOS DE INGENIERÍA, FÍSICA, ECONOMÍA Y SOCIEDAD?

Situación sociodemográfica La población de un estado viene dada, en millones de habitantes, por la función:

P(t)=

10 (t−1) +20 2+(t−1)2

donde t es el tiempo en años. ● Exprese claramente el significado de las variables P y t.

● Encuentre el dominio y el rango de la función P(t) .

● Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. Resalte puntos clave del gráfico.

● Determine la derivada, P ´ (t). P ( t )=10 [ 2+ ( T −1 )2 ]− [ 2 ( T −1 ) .10 ( 10−1 ) ] P ( t )=10 ( t−1 ) + 20 2 2+ ( t−1 )2 [ 2+( T −1 )2 ] P ( t )=20+10 ( t−1 )2−20 ( t−1 )2

[ 2+ (t−1 )2 ]

2

P (t)=20−10 ( t−1 )2

[ 2+ ( t−1 )2 ] P ( t ) =0 20−10 ( t−1 )2

[ 2+ ( t−1 )2 ]

2

2

=0

2

20−10 (t−1 ) =0 ( t−1 )2=2 ( t−1 )=± √ 2 t 1=√ 2+ 1≃2,41421 t 2=−√ 2+1≃−0,41421 ● Calcule, analítica y gráficamente, la población máxima de manera aproximada. 10 [ ( 2,41421 )−1 ] P(t 1)= + 20 P( t 1 )=23,5355 COMO VALOR MÁXIMO 2 2+ [ 2,41421−1 ] 10 [ (−0,41421 )−1 ] P(t 2)= +20 P(t 2)=16,4644 COMO VALOR MÍNIMO 2 2+ [−0,41421−1 ]

● Encuentre el límite cuando t tiende a infinito. ¿qué significa el resultado encontrado?

20− 10 t−10+40+ 20 ( t 2−2 t+ 1 ) 10 ( t−1 ) 20 t 2−30 t +50 limit e t → ∞= +20 limit e t → ∞= ¿ limit e t → ∞= limit e t → ∞= 2+ ( t−1 )2 2+t 2 −2t +1 ¿ t 2−2t +3 1− SIGNIFICA QUE LA POBLACIÓN LLEGARÁ A 20 EN UN TIEMPO MUY LARGO , ES DECIR QUE ESE VALOR SERÁ ESTABLE.

Situación casera Luis y María tienen una piscina en su jardín y al llegar el verano necesitan cambiar el agua de la piscina. Abren el desagüe y la piscina se comienza a vaciar según la función:

v(t)= √

t+ 4−2 t−2

v expresa el volumen de agua medido en metros cúbicos, y t expresa el tiempo de vaciado medido en horas. Investiga, de manera detallada, hacia qué valor se aproxima el volumen de la piscina cuando el tiempo que ha transcurrido se aproxima a 2 horas. Presenta un gráfico y una tabla que faciliten el cálculo.

Para tal fin, usted debe realizar las siguientes actividades: ● Encuentre el dominio y el rango de la función v(t ). t+ 4−2 V (t)= √ √ t +4 ⩾ 0 t−2 t+ 4 ≥ 0 t ≥−4 t−2 no es igual a cero 0 t no es igual a 2 DV ( t )=[ −4,2 ] ∪ [ 2 , ∞ ]



Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. Resalte puntos clave del gráfico.

● Determine la derivada, v ´ (t). t+ 4−2 t−2 1 . ( t−2 )−√ t+ 4+ 2 2 √ t +4 V (t)= ¿¿ ( t−2−2 t +4 ) +4 √t + 4 V (t)= 2 √ t+ 4 . ¿ ¿ −t−10+ 4 √ t+ 4 V (t)= 2 √ t+ 4 ( t −2 )2 V (t)= √

● Encuentre el límite cuando t tiende a 2. ¿Qué significa el resultado encontrado? t+ 4−2 √ t +4 +2 lim ¿ √ . t−2 t →2 √ t +4 +2 lim ¿V ( t )=INDETERMINADA t →2

SIGNIFICA QUE EN t=2 El volumen es muy grande .

Situación laboral

Un comerciante vende camisetas a un grupo de estudiantes que están organizando un viaje de estudios. Para ello llama al proveedor para hacer el pedido de las camisetas y éste se las suministra según la función:

g( w)=

3.25 w+6.75 w

w representa el número de camisetas vendidas y g(w) representa el precio en dólares por camiseta. ● Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. Resalte puntos clave del gráfico.

● Sabiendo que el comerciante a su vez se las vende a los estudiantes por 8 dólares la unidad. ¿Cuál es el beneficio por camiseta según las camisetas vendidas? 3.25 w+6.75 g ( w )= w BENEFICIO=$ VENTA TOTAL−$ PROVEEDOR TOTAL $ VENTA=8 W

( 3.25 Ww+6.75 ) . w

$ PROVEEDOR=

$ PROVEEDOR=3.25W + 6.75 BENEFICIO TOTAL=8 W −3.25−6.75 BENEFICIO TOTAL=4,75 W −6.75 4,75−6,75 BENEFICIO POR CAMISETA= W ● Determine la derivada, g ´ ( w). 3.25 w+6.75 g ( w )= w 3,25 W −3,75 W −6,75 g ( w )= W2 −6,75 g ( w )= W2

● ¿Cuánto cobra el proveedor si el comerciante pide 5.000 unidades? g ( 5000 )=

3.25 (5000 )+ 6.75 g ( 5000 )=3,25135 VALOR POR CAMISETA 5000

PROVEEDOR COBRA (5000)(3,25135)=16256,7 ● ¿Cuántas camisetas ha de vender para obtener la máxima utilidad? BENEFICIO TOTAL=4,75 W −6,75 4,75 W −6,75>0 4,75 W > 6,75 W >1,42=W >2 SIGNIFICA QUE W DEBE SER MÁS QUE DOS 2 CAMISETASPARA OBTENER GANANCIA O UTILIDAD . SE PUEDE VENDER ILIMITADAMENTE, YA QUE, EL BENEFICIO ES MAYOR ENTRE MÁS VENDE. Situación científica La presión atmosférica a nivel del mar es de1,033 kg /c m2. A ese valor se le llama una atmósfera. Experimentalmente se ha comprobado que por cada kilómetro de altura respecto el nivel del mar, la presión es de 0,9 veces la presión del kilómetro anterior. ● Escribe una función que dé la presión (P ¿ en función de la altura (h). kg P ( o ) =1,033 c m2 P=F h=Ph

kg c m2 P1=( 1,033 ) ( 0,9 ) P2=( 1,033 ) ( 0,9 ) ( 0,9 ) Ph=(1,033)¿ P0=1,033

● Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. Resalte puntos clave del gráfico.

● Determine la derivada P ´ (h). Ph= (1,033 ) . ¿ Ph= (1,033 ) . lim ⁡(0,9).¿ Ph=−0,1088 ¿

● Si subimos indefinidamente, ¿hacia qué valor tiende la presión? lim ¿ ( 1,033 ) . ¿

h→∞

lim ¿ ( 1,033 ) . ¿

h→∞

lim ¿ ( 1,033 ) ¿

h→∞

● Queremos ahora descender a una cima que está a 2.000 m de profundidad bajo el nivel del mar, ¿a qué tiende la presión que iremos soportando al bajar? P(−2000 )=(1,033). ¿ P(−2)=(1,033) . ¿ Kg P(−2)=1,275 EXACTAMENTE A 2000 M ETROS c m2