• Author / Uploaded
• toramorgan

Citation preview

 

      BIBLIOTECA  DEL  PROFESSORAT  

Matemàtiques  3  ESO   SÈRIE  RESOL  

SOLUCIONARI   El  Solucionari  de  Matemàtiques  per  a  tercer  d’ESO  és  una  obra  col·∙lectiva  concebuda,   dissenyada  i  creada  al  departament  d’Edicions  Educatives  de  Grup  Promotor  /  Santillana,   dirigit  per  Teresa  Grence  Ruiz  i  Pere  Macià  Arqué.     TEXT   Rosa  Comabella,  Ana  de  la  Cruz,  Ana  M.  Gaztelu,  Augusto  González,  Sílvia  Martín,  Virgilio  Nieto  i  Laura   Sánchez   EDICIÓ   Rosa  Comabella.   CORRECCIÓ   Josep  Llongueres                   ©  2015  by  Grup  Promotor  /  Santillana  Educación,  SL   Frederic  Mompou,  11     08005  Barcelona   Printed  in  Spain         CP: 568215     Qualsevol  forma  de  reproducció,  distribució,  comunicació  pública  o  transformació     d’aquesta  obra  només  es  pot  fer  amb  l’autorització  dels  seus  titulars,  llevat  d’excepció     prevista  per  la  llei.  Si  en  necessiteu  fotocopiar  o  escanejar  algun  fragment,     adreceu-­‐vos  a  CEDRO  (Centro  Español  de  Derechos  Reprográficos,  www.cedro.org).      

   

Índex    

Unitat  1.  Nombres  racionals   Unitat  2.  Potències  i  arrels   Unitat  3.  Polinomis   Unitat  4.  Equacions  de  primer  i  segon  grau   Unitat  5.  Sistemes  d’equacions   Unitat  6.  Proporcionalitat  numèrica   Unitat  7.  Successions  numèriques   Unitat  8.  Llocs  geomètrics.  Àrees  i  perímetres   Unitat  9.  Transformacions  geomètriques  i  semblança   Unitat  10.  Cossos  geomètrics   Unitat  11.  Funcions   Unitat  12.  Funcions  lineals  i  de  proporcionalitat  inversa   Unitat  13.  Estadística   Unitat  14.  Probabilitat      

Nombres racionals

1

CLAUS PER COMENÇAR

a) 210  2 · 3 · 5 · 7 b) 270  2 · 3 · 5 3

c) 66  2 · 3 · 11 d) 92  2 · 23 2

a) 18  2 · 3 i 20  2 · 5 → m. c. d. (18, 20)  2 i m. c. m. (18, 20)  180 2

2

b) 28  2 · 7 i 42  2 · 3 · 7→ m. c. d. (28, 42)  14 i m. c. m. (28, 42)  84 2

c) 18  2 · 3 i 4  2 → m. c. d. (18,4)  2 i m. c. m. (18,4)  36 2

2

d) 18  2 · 3 i 32  2 → m. c. d. (18,32)  2 i m. c. m. (18,32)  288 2

5

e) 48  2 · 3 i 32  2 → m. c. d. (48,32)  16 i m. c. m. (48,32)  96 4

5

f) 21  3 · 7 i 28  2 · 7 → m. c. d. (21,28)  7 i m. c. m. (21,28)  84 2

INTERPRETA LA IMATGE

Quantitat d’aigua necessària:

3  15  6,43 m3 7

Quantitat d’energia necessària:

3  9.600  5.760 kWh. 5

5

1

Nombres racionals

T'HI ATREVEIXES?

Quadriculant el dibuix en 16 quadrats iguals i comptant quants quadrats estan pintats, 7 s’obté la fracció de la part pintada . 16

19 19 1 → → 95 95 5

26 26 2 → → 65 5 65

16 1 16 → → 4 64 64

S’ha de treure la xifra que es repeteix en el numerador i en el denominador.

1 4x x  x  24 →  24 → x  18 3 3

Si han passat 12 hores, en quedarien 4. Un dia té 24 hores, així doncs, han passat més hores. Si han passat 18 hores, en queden 6. I 48  6  24 hores. Són les 6 de la tarda.

x

x 1  1 → x  3 2 2

3 melons.

ACTIVITATS

a)

6

3  3 1

b)

5 2

1

Nombres racionals

a)

8 17  136 8 4 i → → No són equivalents 7 17 7  4  28

b)

6 18 6 15  90 i → → Són equivalents 5 15 5  (18)  90

1 4 i 3 12

2 6 i 5 15

3 6 24 , i 5 10 40

5 3 i 15 9

a)

4 8 12 80 24     3 6 9 60 18

c)

4 20 120 400 48     3 15 90 300 36

b)

4 8 12 80 24     3 6 9 60 18

d)

4 60 1.200 28 32     3 45 900 21 24

a) x 

11 72  44 18

d) x 

89 1 72

b) x 

60  7  28 15

e) x 

32  2 4 16

c) x 

5 12 4 15

f) x 

9  25 5 45

7

1

Nombres racionals

a)

8 24  16 48

c)

8 2  16 4

b)

8 32  16 64

d)

8 2  16 4

a) 2  b) 6 

10 5

42 7

c) 7 

70 10

d) 8 

48 6

e) 11 

165 15

f) 15 

225 15

Resposta oberta. Per exemple: Equivalents a 3:

3

6 90 12 15 45     2 30 4 5 15

Equivalents a 4:

4 

8

8 160 12 20 60     2 40 3 5 15

1

Nombres racionals

5  24   x  6  20 a)   y  5  30  25  6

21  4   x  28  3 c)   y  28  6  8  21

96   x  27  2 b)   y  27 10  45  6

3  40   x  8  15 d)   y  3  32  12  8

a)

5 15 40 30 20     3 9 24 18 12

b)

2 22 18 30 14     11 121 99 165 77

c)

8 16 4 40 60     6 12 3 30 45

d)

120 84 12 6 36     260 182 26 13 78

a)

2 8  5 20

9 45  4 20

b)

2 18  5 45

9 18  4 8

9

1

Nombres racionals

Resposta oberta. Per exemple: a) Amplificació:

42 48 210   54 104 270

Simplificació:

b) Amplificació:

3 45 24   7 105 56

Simplificació: No és possible

c) Amplificació:

18 54 108   6 18 36

Simplificació:

18 9  3 6 3

d) Amplificació:

100 200 300   40 80 120

Simplificació:

100 50 5   40 20 2

a)

34 és irreductible perquè 34  2 · 17 y 933 · 31 no tenen divisors comuns. 93

b)

132 2 4 és reductible perquè 132 2 · 3 · 11 y 48 2 · 3 tenen divisors comuns. 48

c)

165 és reductible perquè 165 3 · 5 · 11 y 87  3 · 29 tenen divisors comuns. 87

d)

15 és irreductible perquè 15  3 · 5 y 83 no tenen divisors comuns. 83

N’hi ha unes quantes per a cada cas. Per exemple:

10

42 21 7   54 27 9

a)

300 60 30 10 2     750 150 75 25 5

b)

242 121 11 1    726 363 33 3

c)

32 16 8 4 2     80 40 20 10 5

1

Nombres racionals

No, perquè si l’altre terme és múltiple del nombre primer, es podria simplificar dividint entre el nombre primer. Per exemple: Si el numerador és primer:

7 1  14 2

Si el denominador és primer:

165  15 11

a)

50 50 :10 5   60 60 :10 6

d)

28 28 : 4 7   16 16 : 4 4

b)

92 92 : 2 46   18 18 : 2 9

e)

26  2 13

c)

50 50 : 2 25   36 36 : 2 18

f)

14 14 :14 1   98 98 :14 7

a)

40 20  6 3

d)

7 és irreductible 2

b)

28 és irreductible 15

e)

25 és irreductible 16

c)

9 1  18 2

f)

50 és irreductible 3

11

1

Nombres racionals

105 5  126 6

De

120 8  165 11

90 45  136 68

28 7  160 40

130 182 i de 85 119

Resposta oberta. Per exemple:

12

a)

2 4 8 40    9 18 36 180

d)

9 90 18 45    4 40 8 20

b)

3 9 12 15    8 24 32 40

e)

8 16 80 56    5 10 50 35

c)

7 14 28 70    6 12 24 60

f)

2 8 30 200    3 12 45 300

1

Nombres racionals

a)

50 10 i 75 15

b) 

12 18 i 18 27

15 36 30 45 90 , , , i 10 24 20 30 60

56 28 21 , i 40 20 15

45 20 15 10 , , i 36 16 12 8

42 21 i  24 12

a)

3 2 5   8 5 4

d)

3 4 6   16 15 8

b)

2 1 6   9 2 4

e)

1 4 5   27 9 6

c)

1 2 3   6 7 5

f)

1 3 12   7 14 21

21 10 5 1 7 4      6 4 3 3 9 5

a) a 7

b) a 1

13

1

Nombres racionals

a)

35 9

c)

19 10

b)

33 5

d)

11 6

a)

193 90

b)

27 25

a)

c)

25 8

7 3  1 4 4

d)

10 1  3 3 3

b)

16 29 1   9 18 6

e)

25 4  3 7 7

c)

14 4  2 5 5

f)

25 1  3 8 8

a) 4 

14

1 25  6 6

b) 4 

3 19 38   4 4 8

d)

131 36

1

Nombres racionals

a)

80  2 40

e)

160 20  456 57

b)

126 63  80 40

f)

162 27  102 16

c)

576  4 144

g)

184 23  640 80

d)

60 5 12

h)

231 1  924 4

a)

1 33

c)

65 19

b)

490 9

d)

1 1.170

a)

3 10  1 10 3

b)

3 3 : 1 10 10

15

1

Nombres racionals

16

a)

5 6

e)

91 6

b)

7 12

f) 6

c)

11 3

g)

d)

37 12

h) 8

a)

468 155

c)

401 210

b)

247 210

d)

61 30

13 14

61 14

i)

687 280

m)

j)

109 56

n)

45 196

k)

132 35

o)

11 6

l)

256 105

p)

28 15

1

Nombres racionals

a)

2 3

b)

31 35

c)

5 108

d)

27 65

a) Decimal periòdic pur

f) Decimal no exacte ni periòdic

b) Decimal exacte

g) Decimal periòdic mixt

c) Decimal periòdic pur

h) Decimal exacte

d) Decimal exacte

i) Decimal no exacte ni periòdic

e) Decimal periòdic mixt

j) Decimal periòdic mixt

a) 23,2342342342342342... b) 6,7227272727272727... c) –0,343333333333333... d) 9,0900900900900900...

Resposta oberta. Per exemple, el nombre 3,58558855588855558888…. és decimal no exacte i no periòdic.

17

1

Nombres racionals

5 5    2 → Periòdic. 9 3

35 7 → Exacte.  10 2

14 7 7 → Exacte.   20 10 2  5

7 1 1 → Periòdic   210 30 3  5  2

18 3 3   2 → Exacte. 300 50 5  2

9 9  3 → Exacte. 40 2  5

a)

3  0,3 → Una xifra decimal. 10

e)

1  0, 05 → Dues xifres decimals. 20

b)

56  0,56 → Dues xifres decimals. 100

f)

2  0, 05 → Dues xifres decimals. 40

g)

16  0, 29090... → Infinites xifres decimals. 55

h)

8  0, 090909... → Infinites xifres decimals. 88

9 c)   3 → Cap xifra decimal. 3

18

d)

73  9,125 → Tres xifres decimals. 8

a)

1  0,333...  0,3 → Període d’una xifra. 3

b)

1  0, 0222...  0, 02 → Període i anteperíode d’una xifra cadascú. 45

c)

13  2,16666...  2,16 → Període i anteperíode d’una xifra cadascú. 6

d)

1  0, 001666...  0, 0016 → Període d’una xifra i anteperíode de tres xifres. 600

1

Nombres racionals

e)

25  0,555...  0,5 → Període d’una xifra. 45

f)

1  0, 0111...  0, 01 → Període i anteperíode d’una xifra cadascú. 90

g)

37  3, 08333...  3, 083 → Període d’una xifra i anteperíode de dues xifres. 12

h)

49  2, 7222...  2, 72 → Període i anteperíode d’una xifra cadascú. 18

a)

27  1,5 → Decimal exacte. 18

f)

b)

2.100  0, 7 → Decimal exacte. 3.000

g) 

c)

14  0, 4 → Decimal exacte. 35

h)

d)

196  1, 4 → Decimal exacte. 140

i)

e)

2.600  1, 4 → Decimal periòdic pur. 1.800

a) 0, 6 

3 5

b) 2, 08 

f) 5,94 

52 25

48  0, 4 → Decimal exacte. 120

240  0, 05 → Decimal exacte. 4.800 15  0, 015 → Decimal exacte. 1.000

297 50

g) 652,5 

1.305 2

37 250

c) 12,5 

25 2

h) 0,148 

d) 42, 06 

2.103 50

i)  100, 48 

14.271 500

j) 0, 0008 

e) 28,542 

1.050  0, 70 → Decimal periòdic pur. 1.485

2.512 25

1 1.250

19

1

Nombres racionals

1 2 0, 6  3 3 La unitat es divideix en 3 parts (el denominador és 3) i el numerador és el nombre que, multiplicat per 3, ens dóna el nombre de la part decimal.

a) 0,3 

b) 0,1 

1 9

0, 2 

2 9

0,3 

3 9

0, 4 

4 9

0,5 

5 9

0, 6 

6 9

0, 7 

7 9

0,8 

8 9

La unitat es divideix en 9 parts (el denominador és 9) i cada nombre decimal indica les parts que es poden prendre, és a dir, el nombre decimal coincideix amb el numerador. c) 0, 01 

1 90

0, 02 

2 90

0, 03 

3 90

0, 04 

4 90

0, 05 

5 ... 90

La unitat es divideix en 90 parts (el denominador és 90) i cada nombre decimal indica les parts que es poden prendre, és a dir, el nombre decimal coincideix amb el numerador. d) 0, 01 

1 99

0, 02 

2 99

0, 03 

3 99

0, 04 

4 99

0, 05 

5 ... 99

La unitat es divideix en 99 parts (el denominador és 99) i cada nombre decimal indica les parts que es poden prendre, és a dir, el nombre decimal coincideix amb el numerador.

a) 3, 45 

311 90

b) 0, 08  c) 24, 7 

20

8 99

223 9

f) 1,356 

1.343 990

g) 0,1258 

623 4.950

h) 4, 453 

1.483 333

d) 0, 007 

7 900

i) 5, 6005 

55.949 9.990

e) 0, 008 

1 125

j) 0, 6672 

1.201 1.800

1

Nombres racionals

Resposta oberta. Per exemple: a) 4,85 

97 20

b) 4,5 

41 9

a) 4,562 és racional decimal exacte. b)

4  0, 4 és racional decimal periòdic pur. 9

c) 4,852 

2402 495

e) 5,875 és racional decimal periòdic pur f) 2 és racional enter positiu

c) 24,0923 és racional decimal periòdic mixt.

g) 76,433333… és racional decimal periòdic mixt

d) 1,23223222322223… és irracional.

h) 4,9 és racional decimal periòdic pur.

Resposta oberta. Per exemple: a) 0, 4 , 0,05 i 0,57 b) 1,9 , 1, 05 i 1,923 c) 0,39 , 0,905 i 0,0625

Resposta oberta. Per exemple, 0,01011011101111…; 0,252255222555… i 0,101112131415…

21

1

Nombres racionals

ACTIVITATS FINALS

a)

b)

3 10

c)

19 30

d)

3 5

e)

a)

f)

b)

g)

c)

h)

d)

i)

e)

22

8 15

2 7

f)

2 9

1

Nombres racionals

A

3 5

B

6 5

C

12 5

D

19 5

a) Són equivalents: 3 · 70 210 10 · 21

e) No són equivalents: 7 · 15 ≠ 10 · 21

b) No són equivalents: 3 · 70 ≠ 7 · 21

f) No són equivalents: 7 · 40 ≠ 28 · 5

c) Són equivalents: 3 · 64 192 8 · 24

g) No són equivalents: 4 · 10 ≠ 20 · 5

d) Són equivalents: 6 · 5 30 10 · 3

h) No són equivalents: 2 · 15 ≠ 5 · 8

a) x 

12  6 8 9

b) x 

94 6 6

10 15  50 3

e) x 

4 16  2 32

120  5  300 2

f) x 

98  14 7

c) x  d) x 

g) x  h) x 

14  9 3 42

11 90  165 6

23

1

Nombres racionals

a)

2 6 16 10 40     5 15 40 25 100

b)

5 75 35 25 50     6 90 42 30 60

Resposta oberta. Per exemple: a)

5 20 60 400    3 12 36 240

d)

1 6 36 360    8 48 288 2.880

b)

6 12 24 120    5 10 20 100

e)

3 6 36 144    7 14 84 336

c)

2 6 18 90    9 27 81 405

Resposta oberta. Per exemple: a)

16 8 4 2    1.000 500 250 125

d)

270 27 9 3    900 90 30 10

b)

540 270 135 15    72 36 18 2

e)

1.400 700 140 20    3.430 1.715 343 49

c)

750 75 15 1    4.500 450 90 6

f)

168 84 42 1    1.008 504 252 6

Resposta oberta. Per exemple:

24

a)

7 175 210 259    8 200 240 296

d)

5 210 275 290    9 378 495 522

b)

2 40 50 54    11 220 275 286

e)

7 14 84 56    3 6 36 24

c)

9 378 495 522    5 210 275 290

1

Nombres racionals

a)

20 5  8 2

d)

54 27  92 46

b)

4 1  48 12

e)

27 3  36 4

c)

32 8  12 3

a)

36 22  32 3   60 22  3  5 5

c)

225 32  52 9   125 5 53

b)

108 22  33 9  4  48 2 3 4

d)

252 7  22  32 4  2 2  441 7 7 3

a) Mal feta, perquè no es poden simplificar sumands del numerador i del denominador. b) Ben feta. c) Mal feta, perquè no es poden simplificar sumands del numerador i del denominador. d) Ben feta, encara que es podria simplificar més.

1 7  6 42

4 24  7 42

7 63  3 27

9 63  5 35

25

1

Nombres racionals

a)

5 2 4 10 16     3 3 3 3 3

c)

8 6 7 9 12     5 5 5 5 5

b)

9 3 1 5 7     4 4 4 4 4

d)

5 1 1 5 7     6 6 6 6 6

a)

5 5 5 5 5     9 8 7 4 3

c)

2 2 2 2 2     3 7 9 11 15

b)

7 7 7 7 7     9 6 5 3 2

d)

3 3 3 3 3     5 10 16 7 4

Resposta oberta. Per exemple: a)

26

1 5 3   2 8 4

b)

3 3 3   7 5 4

c)

5 6 7   6 7 8

1

Nombres racionals

a)

17 8

b)

17 5

c)

1 9

d)

35 12

a)

46 21

b)

191 60

c)

171 56

d)

437 45

a)

64 45

b)

633 50

c)

52 15

a)

1 12

b)

10 21

c)

5 2

d)

d)

157 48

1 4

27

1

Nombres racionals

a) 5

28

d)

85 12

b)

47 14

e)

221 150

c)

17 20

f)

1 6

a)

5 12

b)

a)

5 4

b) 9

233 12

c)

27 160

d)

11 26

c)

13 22

d)

8 15

1

Nombres racionals

32 75

a)

5 4

a)

1 4

d)

1 4

b)

1 25

e)

2 3

c)

3 11

f)

1 5

a)

31 132

b)

b)

1 44

c)

13 36

d)

113 175

c)

28 15

d)

103 60

29

1

Nombres racionals

a)

7 10

b)

61 72

c)

43 24

d)

47 24

a) Part entera: 1

Part decimal: 25

b) Part entera: 24

Part decimal: 777…

Període: 7

c) Part entera: 0

Part decimal: 08999…

Període: 9

d) Part entera: 19

Part decimal: 353535…

Període: 35

e) Part entera: 5

Part decimal: 678678678

f) Part entera: 4

Part decimal: 8456767…

g) Part entera: 1

Part decimal: 010011000111…

h) Part entera: 752

Part decimal: 5

a)

Període: 67

Anteperíode: 08

Anteperíode: 845

27 3   Decimal exacte, perquè la descomposició en factors primers del denominador 36 4

de la seva fracció irreductible només té 2 com a factor. b) Enter, perquè el numerador és múltiple del denominador. c)

4 1   Decimal periòdic, perquè la descomposició en factors primers del denominador té factors 24 6

diferents de 2 i 5.

30

Nombres racionals

1

d) Decimal exacte, perquè la descomposició en factors primers del denominador de la seva fracció

irreductible només té 2 i 5 com a factors. 34 17   Decimal periòdic, perquè la descomposició en factors primers del denominador 30 15

e)

té factors diferents de 2 i 5. 15 5   Decimal periòdic, perquè la descomposició en factors primers del denominador té factors 21 7

f)

diferents de 2 i 5. g) Enter, perquè el numerador és múltiple del denominador. h)

21 1   Decimal exacte, perquè la descomposició en factors primers del denominador de la seva 420 20

fracció irreductible només té 2 i 5 com a factors. i) Decimal periòdic, perquè la descomposició en factors primers del denominador té factors diferents

de 2 i 5.

a) Racional, perquè és decimal periòdic pur. b) Irracional, perquè és decimal no exacte i no periòdic. c)

5  0,5 , és a dir, és racional perquè és decimal periòdic pur. 9

d) Irracional, perquè és decimal no exacte i no periòdic. e) Racional, perquè és decimal exacte. f)

6  1, 2 , és a dir, és racional perquè és decimal exacte. 5

g)

53  0,58 , és a dir, és racional perquè és decimal periòdic mixt. 90

h)

13  0,13 , és a dir, és racional perquè és decimal periòdic pur. 99

31

1

Nombres racionals

a)

1  0, 03 30

d)

7  0,583 12

g)

377  3, 77 100

b)

2  0, 2 9

e)

3  0,375 8

h)

1  0, 001 990

c)

4  0,8 5

a) 8, 4 

a)

b) 76,53 

7.653 100

1 5 4  0,54  0,554   2 9 7

a) 2, 7 

32

42 5

f)

25 9

b) 5, 678 

b)

937 165

25  0, 25 99

i)

c) 9, 235 

9  0, 05 50

1.847 200

d) 13, 0062 

5 6 13   1, 234  1, 24  6 5 9

c) 95, 25 

9.430 99

d) 0, 0764 

86 1.125

65.031 5.000

1

Nombres racionals

Resposta oberta. Per exemple: a) 5 

10 2

d) 5,84 

79 9

e) 0, 456 

b) 8, 7 

c) 5, 634 

2.789 495

a) 5,9  8,3 

146 25 137 300

f) 0, 752 

94 125

59 75 427   10 9 30

g) 74 

h) 2, 6825  i) 0, 0125 

125 9.999

862 375 2.399   90 100 180

441 254 7.391   90 99 990

21 508 529   9 9 9

e) 4,89  2,56 

c) 34, 6  7,8 

312 71 241   9 9 9

f) 3,18  0, 06 



26.557 9.900

d) 9,57  3, 75 

b) 2,3  56, 4 

a) 4, 7  2,83 1,5 

148 2

315 6 107   99 99 33

43 281 15 103    9 99 10 198



 5.667 18  54  7.647  54 2.549  :   b) 5,724  1,9 : 0,54   : 9  99  990  99 180  990 c) 12,64  4, 2 : 0,6 



1.138 38 6 2.657  :  90 9 10 135



d) 15,75  1,86  0, 2  3,8 

1.575  168 2  38 1.575 5.624 8.551       100  90 9  10 100 900 900

33

1

Nombres racionals

a) Fals, perquè els decimals no exactes i no periòdics no es poden expressar com a fracció. b) Cert, la fracció tindrà de numerador el nombre, i de denominador, la unitat. c) Cert en el cas dels decimals periòdics purs; en els periòdics mixtos hi ha infinites xifres decimals, però algunes no es repeteixen. d) Cert, ja que aquesta part periòdica es pot eliminar, de manera que quedaria un decimal exacte (si era periòdic pur amb el 0, passarà a ser enter; si hi havia anteperíode, passarà a ser decimal exacte).

Entre tots han menjat

28 14 de pastís.  10 5

Cada activitat ocupa un temps de

3 1 d’hora  60 20

7 7 5 5 del total milloren → 1   del total no milloren → de 540  225 pacients no milloren. 12 12 12 12

4 140  112 aparells són blancs. 5

1 140  14 aparells són negres. 10

34

1

Nombres racionals

1r dia 

1 105  35 km 3

2n dia 

4 105  28 km 15

3r dia  105  (28  35)  42 km

Si anomenem x la superfície de l’hort: 7 982,5  8 2 2  1.122,86 m és la superfície que té l’hort.  x  982,5 m → x  8 7

Si anomenem x la capacitat de la piscina: 3 720 13  3.120 litres.  x  720 litres→ x  13 3

Si anomenem x la longitud de la roba tenim: 3 5, 4  7  x  5, 4 m → x   12, 6 m. 7 3

35

1

Nombres racionals

N’han extret set desenes parts, és a dir: 7 12.000  8.400 litres. 10

Si anomenem x el nombre d’alumnes de l’institut:

7 322 12 x  322 → x   552 alumnes en total. 12 7 Així,

5  552  230 alumnes són fills únics. 12

Sigui x el nombre total d’alumnes de la classe d’en Marc:

16  9 4  36 alumnes en total. x  16 → x  4 9 5  36  20 alumnes que no porten ulleres. 9

Es necessiten 600 :

3  800 ampolles de tres quarts de litre. 4

En 7 litres hi ha 7 :

1  21 ampolles d’un terç de litre. 3

Amb 12 litres d’aigua podem omplir 12 :

El seu fill té

36

1 1   42  3 anys. 2 7

1  60 ampolles d’un cinquè de litre. 5

Nombres racionals

1

2 1 5 210       210  100 km 7 3 7

5 1 1 7 15 12  36 €. x →   és la fracció del total que va gastar. → 15 €  12 3 4 12 5 Va sortir de casa amb 36 €.

Hi ha

1 4   5.000  2.000 libres de literatura infantil. 2 5

 5 2 3 1 1       és la fracció del total que ocupen les conserves. 8 3 8 8

Si anomenem x la capacitat en litres de la garrafa: 1 1 3 5  2    litres s’utilitzen per abocar a la garrafa. 4 6 4 8 5 5 6 3  x → x   de litre és la capacitat de la garrafa. 8 6 8 4

37

1

Nombres racionals

HAS DE SABER FER

a) x 

4  60  16 15

c) x 

3 120  36 10

b) x 

12  8 4 24

d) x 

6  (5)  15 2

a)

52 13  72 18

c)

105 5  126 6

b)

165 11  90 6

d)

132 33  68 17

8 1 3 5 13 13      3 5 8 9 5 4

1, 6 

38

72 5 16  1, 65  1, 665   45 3 9

a)

1  2   1 1  1  2   5  1 1 7              2  5   3 8  2  5   24  2 12 12

b)

9  7  3  10  9  7 2  121        7  2  5  9  7  2 3  42

1

Nombres racionals

29 6 6 3 2 Falten: 1      1     2.275  390 m 35 35 35 7 5

COMPETÈNCIA MATEMÀTICA. En la vida quotidiana

a) A0 → 841  1 189

A4 → 210,25  297,25

A8 → 52,56  74,31

A1 → 594,5  841

A5 → 148,63  210,25

A9 → 37,16  52,56

A2 → 420,5  594,5

A6 → 105,13  148,63

A10 → 26,28  37,16

A3 → 297,25  420,5

A7 → 74,31  105,13

39

1

Nombres racionals

b) M1 → 420,5 ×

1 · 594,5  420,5  297,25 2

M2 → 420,5 ×

1 · 594,5 cm  420,5  198,17 cm. 3

M3 → 420,5 ×

1 · 594,5 cm  420,5  99,084 cm. 6

FORMES DE PENSAR. RAONAMENT MATEMÀTIC

Cada pas de la Sara és

40

7 3 21 7 70 7 de metre.   d’un de la Cèlia, per tant un pas de la Sara és   6 5 30 10 60 6

1

Nombres racionals

La barreja resultant tindrà 5 parts d’aigua i 2 parts de vinagre. La proporció d’aigua és

4.245 €  980 €  El total 

5 2 i la de vinagre és . 7 7

5 del total 6

980  6  1.176 € 5

PROVES PISA

41

Nombres racionals

a) Medalla d'or: corredor del carrer 3 Medalla de plata: corredor del carrer 2 Medalla de bronze: corredor del carrer 6 b) 10,04  0,216 = 9,824 s és la durada de la carrera. 9,99  9,824 = 0,166 s.  Sí, tindria una oportunitat de guanyar la medalla de plata si el seu temps de reacció hagués estat entre 0,110 i 0,166 segons.

42

1

Potències i arrels

2

CLAUS PER COMENÇAR

a) 125

c) 625

e) 1

b) 125

d) 625

f) 1

Són quadrats perfectes: 16 i 36.

16  4 i

36  6.

INTERPRETA LA IMATGE

3,2 · 107 m  3,2 · 104 mm  1 · 104 mm → El científic sí que pot diferenciar les dues cèl·lules amb el microscopi.

T'HI ATREVEIXES?

Resposta oberta. Per exemple: 11  121 2

22  484 2

Les dues solucions que hi ha són 5 i 5.

Sí, per exemple, 1,01001000100001...

5

2

Potències i arrels

ACTIVITATS

3

a) 2  512 9

8  2 c)      125  5

b) (4)  1.024 5

7

a) 54  5 · 5 · 5 · 5

1  1 c)        5  5

b) (5)3  (5) · (5) · (5)

d) 52   5 · 5

 5  125 a)     8  2

7

3

a) 81 b)

1 81

c) 81

2 1 1  0

6

b) (2)8  44  256

d) 1

g) 1

j) 625

e) 3

h) 0,2

k) 

f) 125

i)

27 8

l)

16 9

8 7

2

Potències i arrels

3

a) 72

 2 b)     3

a) (3)9

1 c)    24 2

b) 5

3 d)   4

4

a)  2   2

c)  3

5

7 e)   2

7

2

2 d)   5

4

g) 54 0

f) 2

4

5

6 h)    1 5

4

 2   2  16 c)         3   3  81

1 4

1

 1 d)     4  4

b) (1)4  1

3

1 1 1 a) Certa, perquè     2 8 4 4 1 4 b) Falsa, perquè  2   1   2   24  16  2

a) 2  256

c) 3  1.594.323

e) (4)  64

b) 2  4

d) (4)  1.073.741.824

f) 28  1

8

2

13

15

3

0

7

2

Potències i arrels

4

a) 14

c) (15)

b) 43

d) (4)

10

a) 11 b) 5

e) 28

2

f) 81

5

h) 8

15

i) 213

6

5 2

 1   1  e)       9  9 2

f)  5  58

b)  2 

d)

a) 510

d) 219

g) 36  223

b) 220

e) 211  313

h) 219  33

c) 213  38

f) 312  77

i) 314  22

15

8

5

g) 7

c)  7   76

6

f) 24

5

5

11

c) 11

a) 3

d) 5

e) 122

6

8

2

2

Potències i arrels

a) 0,1 b) 10 –5 c) 10 –13 d) 10

-8

a) Està mal escrit. Ha de ser: 1,23 · 10 8 b) Està mal escrit. Ha de ser: 1,23 · 10 c) Està ben escrit.

10.000.000.000.000 = 10

13

a) 6,5 108

d) 1, 2675 1013

b) 9 1010

e) 3,93 1011

c) 4, 44 107

f) 1012

a) 2,5 103

c) 5, 4 105

e) 7,52 107

b) 8 107

d) 1,13 109

f) 4 109

a) 12.000 km  12.000.000 m  1,2 · 10 m 7

b) 3.820,06 dam 38.200,6 m  3,82006 · 10 m 4

c) 0,0051 mm  0,0000051 m = 5,1 · 106

9

2

Potències i arrels

d) 28.000.000.000 dm  2.800.000.000 m  2,8 · 10 m 9

e) 0,0000000079 hm  0,00000079 m  7,9 · 107 m f) 31.008.462,5 cm  310.084,625 m  3,10084625 · 10 cm 5

a) 375.000  3,75 · 105

d) 0,00375  3,75 103

b) 375.000.000  3,75 · 108

e) 0,00000375  3,75 · 106

c) 3.750.000  3,75 · 106

a) 24  23  53  1,6 104

d) 81:105  8,1106

b) 64 :108  6, 4 107

e) 22  28  58  4 108

c) 343 106  3, 43 104

f) 1.458 · 104  1,458 · 107

a) 10,5 milions d’euros  1,05 · 10 cèntims d’euro 9

b) 45.700 tones de tomàquets  4,57 · 10 quilos de tomàquets 7

c) 600.000 ous  5 · 10 dotzenes d’ous 4

10

2

Potències i arrels

a) 1, 0624 103

e) 4,84042 1010

i) 2,60325 104

b) 6,16 105

f) 1,373 103

j) 3, 6 102

c) 1,66 102

g) 1,008 105

k) 2,5

d) 9,5269 107

h) 1,3716 1011

l) 2 105

a) 6 · 10  8,4 · 10  9 · 10 3

4

4

b) 3,4 · 10  2,64 · 10  7,6 · 10 6

6

5

c) 6,42 · 104  8,614 · 103  9,256 · 103

7,8 · 10  5 · 10  1,28 · 10 99

99

100

A la calculadora dóna error, perquè no és capaç d’expressar exponents més grans que 99.

a) 3 2

c) 4 20  8 5

b)

d) 2 7

7

a) 2 3  5 3  7 3

b) 6

3 6 5 6  3 4 6

11

2

Potències i arrels

a)

82 2

b) 18  3 2

12

g) 10

864  12 6

m)

h)

216  6 6 350  5 14

c)

24  2 6

i)

d)

48  4 3

j) 22

e)

54  3 6

k)

f)

72  6 2

l)

a)

52  5

e)

22  34  2  32

b)

34  32

f)

56  74  53  72

c)

56  53

g) 1110  32  115  3

d)

78  74

h)

n) 1.800  30 2 o) 48 p)

2.450  35 2

504  6 14

q)

4.375  25 7

540  6 15

r)

9.065  7 185

22  78 132  2  74 13

2

Potències i arrels

a)

23  2 2

e)

55  32  52  3 5

b)

35  32 3

f)

34  72 11  32  7 11

c)

57  53 5

g)

2  52 13  5 2 13

d)

72  53  7  5 5

a)

54  52

e)

75  7 2 7

b)

214  27

f)

39  34 3

c)

212  26

g)

57  53 5

d)

68  64

h) 185  310  25  35  22 2

a) 2 2  4 2  8 2  2 2 b) 6 3  18 3  27 3  15 3 c) 5 6  4 3  3 2 16 6  11 6  4 3  3 2 d) 5 5  9 5  12 5  4 5  6 5

a) Irracional

e) Racional

i) Racional

b) Racional

f) Racional

j) Irracional

c) Racional

g) Irracional

k) Racional

d) Racional

h) Irracional

l) Racional

13

2

Potències i arrels

a) 1,123123312333...

c) 3,12121212...

b) 2,31

d) 2,311111...

Tots són nombres reals.

No. Per definició, els nombres irracionals tenen una quantitat il·limitada de xifres decimals no periòdiques.

Dècimes Truncament Arrodoniment 1 7

0,1

0,1

0,142

0,143

b) 0,62

0,6

0,6

0,626

0,626

c)

1,7

1,7

1,732

1,732

d) 0, 06 e) 4,90238 f) 0,012345... g) 75,3 h) 31,07921 5 i) 3

0,0 4,9 0,0 75,3 31,0

0,1 4,9 0,0 75,3 31,1

0,066 4,902 0,012 75,333 31,079

0,067 4,902 0,012 75,333 31,079

1,6

1,7

1,666

1,667

j) 8 k) 1,999

2,8 1,9 2,4

2,8 2,0 2,4

2,828 1,999 2,449

2,828 1,999 2,449

a)

l)

3

6

Ea  3,8976 3,89  0,0076 Er  0,0076 : 3,8976  0,00195

a) Er  (520 513,89) : 513,89  0,0119 b) Er  (2,61 2,57) : 2,61  0,0153 L’error relatiu més gran és el de l’apartat b).

14

Mil·lèsimes Truncament Arrodoniment

2

Potències i arrels

Resposta oberta. Per exemple: a) Racionals: 3 i

5 2

Irracionals:

6i 

b) Racionals: 2 

3 2

Irracionals:  5 i  2

c) Racionals: 0 

3 2

Irracionals:

5 i 2

d) Racionals: 4 i

3 2

Irracionals: 15 i 2  7

Resposta oberta. Per exemple: a) 0,5; 0,123; 0,876 b) 2,43; 0; 2 c) 1,02; 0,3333...; 0,49999... d) 1; 1,01; 1,1

a) [3, 3]

b) (2, 6)

Resposta oberta. Per exemple: a)

Punts: 0; 0,2; 1

b)

Punts: 0,1; 0,2222...; 0,9

15

2

Potències i arrels

c)

Punts: 0,11; 0,113333...; 0,12

En tots els intervals hi ha infinits punts.

a) 38  6.561

1  1   1  d)       81  3   3

b)  2   8

e)  2,6   45,6976

4

3

4

4

c)  0,7   0,16807 5

a)  5   5   5  125

 3   3   3  27 f)           4   4   4  64

 4   4  16 b)       3 3 9

g) 3  3  3  3  3  3  729

16  2  2  2  2 c)              9   9   9   9  6.561

h)  0,5   0,5   0,5   0,5  0,0625

1 1 1 1 1 d)              2   2   2   2  16

i) 0,16  0,16  0,0256

e) 2  2  2  2  2  2  2  128

16

2

Potències i arrels

a) 9

5

e) 6

3 2

b) No és possible.

f) 12

c) No és possible.

g) No és possible.

d) No és possible.

h) No és possible.

9 3   16  4 

2

1

3

1 1 g) 0,25     4 4

d)

27  3    64  4 

b) 64  26

e)

4 2   9 3

c) 81  34

f)

1 1   125  5 

a) 32   2 

d)

1  1    128  2 

b) 64   2 

e)

125  5    8  2 

a)

5

6

c) 27   3

3

2

h) 100.000  105 3

i) 0,001  103

7

g) 0, 49   0,7 

h)

25  5    16  4 

i)

27  3    64  4 

3

f) 10.000  (10)4

2

2

3

17

2

Potències i arrels

a) 16

d) 16

g)

1 4

b) 8

e) 1

h)

1 8

c) 4

f)

i)

1 16

a) a  6

c) a  5

e) a  2

b) a  2

d) a  4

f) a  2

a) 2

d) 9

1 4

g) 1 2

b)

5 2

400  20  e)    9  3 

h) 1

c)

27 8

f) 1.000

i) 1

a)  22   2  2  4   2    2   4 b) 33 

18

1 1 3    3  27 3 27 3

2

Potències i arrels

c)  5   5   5   5  125   5   5   5   15 3

1

 1   1  1 d)    4       4   4  4

e)   2    2   2   2    2   16  24  16 4

 3   3   3  9 4 f)            2   2   2  4 9 2

2

1 1 a)    4 2

d) 1  2  1

1

1 e)    2 2

1

27 3 c)    2 8  

3

1 7 f) 1   8 8

1  1  a)    4 16  

d)

2 3 b)    2 3  

2

1 5 2  3 3

1

1 b)    4 4

e) 9 

c) 2  4  6

f) 9  4  5

1 19  2 2

a) Negatiu

c) Negatiu

e) Negatiu

b) Positiu

d) Negatiu

f) Positiu

19

2

Potències i arrels

3

3 1 a)  0, 2      53 → Certa. 5

 

b) 0, 6 c) 7 2 

2

2

2

25  5  6       → Falsa. 81  9  9

7 3  7 → Falsa. 10

3 1  1  1   64  → Certa. d)  4      4 64   3

a) 2

9

11

c) (3)

e) 37

3 g)   5

9

16

b) 5

20

5

1 d)   2

f) 2

8

h) 7  1 0

2

Potències i arrels

a) (2)17

b) 3

60

c) (5)3

1 d)   3

a) (20)3

7 c)   3

b) 47

d) 54

6

 2 e)     5

9

1

1 1 f)    4 4

2

e) (30)5

g) 46

f) 124

h) 32

21

2

Potències i arrels

c) (7)1

e) 5

3

d) 210

f) 2

16

c) 223

e) (3)5

10

d) 5 1 0

f) 3

4

e) 29

11

f) (3)

a) 3 b) 2

a) 2

b) 3

a)

1 5  25

c) 3

3

b) 223

d) 7

2

12

h) 2

1

9

b) Falsa: (2)4  24 c) Certa: ()6 ()6 · 36 d) Falsa: (3)3  (3)2 · (3)1 ≠(3)2 · 31 4

f) Falsa: (25)1  2

5

22

3

3

g) 4  4

a) Falsa: un nombre és positiu i l’altre és negatiu.

e) Falsa: (4)1 · (4)  (4) ≠43

g) (4)9

h) 5

2

2

Potències i arrels

a) S’han de fer les potències i, després, la suma, no al revés: 2

2

25 16 41 5 4    0, 41  0,92  0,81      10 10 100 100 100     b) S’ha de fer l’operació del parèntesi i, després, la potència, no al revés:

1  2

2

 1  1 4

c) S’han de fer les potències i, després, les sumes, no al revés:

9  4  1  14  3  2  1  3  2  1  36 d) S’han de fer les potències i, després, la suma, no al revés: 1

1 3 1   32  2 2 9

3

a) 122 : 62   26 1

b) 32 :18  2 2

c) 54  302   512  24  34

1

3 g)  204 :  50    25  52   4 3 h)  2  3  7  :  2  7    

i)  452 :154 

3

2

 22  7 2  38

 56

23

2

Potències i arrels

4

4

5

3 4 3 12 4 d) 6 : 3   2 : 3  2  3 5 e)  23 :  2  5   

3

3 15 j) 1:10   10 3

k) 63 : 246   245  39

 26  515

4

5

f) 143  72   212  720

a) 33  38 : 33  314

c) 56 : 55  53  58

b) 212

d) 58

3

a) 52  54   518 4

24

l)  46 : 41   270

6

d) 63  64   342  242

b) 34 : 312   332

e) 336  330  366

c) 236  215  251

f) 28 : 218   28  242

5

2

Potències i arrels

a)

2 32  5

a) b)

112  52 3

c)

32 52  2

22  32  52 3  5  2 3  5  23

c)

22  3  32  5  2 33  4 23  5  24 2

32  5  33 1  34  3  5  2 2

d)

22  33  52  3 5  2 4 5 5 2 3 2 3

b)

12

a) 3,5 · 10

2 3

b) 2 · 101

c) 1 · 105

d)

11

d) 1,000005 · 10

a) 4.540.000

c) 9.600.000.000

e) 0,0000000211

b) 0,000017682

d) 0,0003005

f) 59.750.000

25

2

Potències i arrels

a) 7,952 108

c) 3,68 104

e) 2,65899 107

g) 2, 4 1015

b) 5, 4 107

d) 9,135 102

f) 3,5 10

h) 3 104

a) 9 104  6 103  8, 4 104 b) 3, 4 106  7,6 105  2,64 106 c) 9, 256 103  6, 42 104  8,614 103 d) 5,55 106 :1,85 102  3 104 e) 8,7 105 : 2,9 102  3 103

a)

1 8 11  95  2 3 6

1 b) 1, 44   9  3  4,31 4

26

8 1 197 c) 2   0, 4   3 9 45 d)

4 1 1,5  0,01:  2,03 3 3

2

Potències i arrels

a) 4 3

b) 0

a) 2 3

d) 3 5

b) 2 10

e) 5 3

c) 5 2

f) 7 2

a) 147

c)

15 5  9 3

e)

756

b) 125

d)

96

f)

18 25

a)

1 10 3

c) 10 15

b)

7 2 9

c)

1 3 2 2

d) 4 2

d)

2 5

a) 6 2  6 2  0

d) 49 2  4 2  45 2

b) 6 3  25 3  31 3

e) 45 5  3 5  48 5

c) 4 2  32 2  28 2

f) 24 3  72 3  48 3

27

2

Potències i arrels

a) 2 3 

15 3 37 3  3 2 2

b) 12 3  18  10 3  56  38  2 3 c)

5

18 2 5

d) 6 2  5 3 16 2 15 3  10 3 10 2 e)

2 5 15  20 2  8 2  15  12 2  15 3 3

f)

5 3 4 197 2 2 2 6 2  2   2 3 4 5 60

a) 5,67 → Real racional decimal exacte negatiu. b) 7,999... → Real racional decimal periòdic pur positiu. c) d)

5 → Real irracional positiu.

3  0,375 → Real racional decimal exacte positiu. 8

e)  6 → Real irracional negatiu. f) 3,148 → Real racional decimal periòdic mixt positiu. g) 1,232233222333... → Real irracional positiu. h)

28

18  6 → Real racional enter negatiu. 3

2

Potències i arrels

a) Irracional

c) Irracional

e) Irracional

b) Racional

d) Racional

f) Racional

Resposta oberta. Per exemple: Irracionals amb arrel: 5 , 3  2 , 3  1 i 7  2 Irracionals sense arrel: 1,010011000111...; 0,12345678...; 4,25255255525555... i 28,303132333435...

a) Irracional

b) Irracional

c) Racional

5  2  3  3 3 2  2 3 3 2

a) 3, 06 →

Truncament: 3,0

Arrodoniment: 3,1

b) 6,935 →

Truncament: 6,9

Arrodoniment: 6,9

c) 1,009 →

Truncament: 1,0

Arrodoniment: 1,0

d) 0,6785 →

Truncament: 0,6

Arrodoniment: 0,7

Truncament: 1,4

Arrodoniment: 1,4

Truncament: 2,2

Arrodoniment: 2,3

e)

6  1  1,449... →

f) 4  3  2,267... → g)

2  3  4,414... →

Truncament: 4,4

Arrodoniment: 4,4

h)

5  2,9  5,136... → Truncament: 5,1

Arrodoniment: 5,1

29

2

Potències i arrels

a) Ea 

1 300

Er  0,02

d) Ea  1,59 · 103

Er  5,07 · 104

b) Ea 

1 200

Er  0,04

e) Ea  7,11 · 103

Er  5,05 · 105

c) Ea 

1 45.000

Er  8 · 106

Resposta oberta. Per exemple: a) 1,23

b) 5,8685

c) 11,563

d) 0,675

a) 2  x  4 →  2, 4

c) 6  x  0 →  6, 0

b) 3  x  5 →  3,5 

d) 0  x  2 → 0, 2 

Resposta oberta. Per exemple: a)  2,5 i 3; 4,5

30

b)  4,9  i  2,10

c)  5, 2  i  6,3

2

Potències i arrels

Resposta oberta. Per exemple: 5 3

Irracionals:

2 i 10

7 1 i  4 10

Irracionals:

3 i

7

1 i1 2

Irracionals:

2 i

2

a) Racionals: 2 i b) Racionals:

c) Racionals: 

d) Racionals: 5 i

20 6

Irracionals:  i 2 5

b)  1, 0 

a)  2, 0 

1 2

c)  2, 2

a) 3  x  1 →  3, 1

c) 3  x  1 →  3, 1

b) 3  x  1 →  3, 1

d) 3  x  1 →  3, 1

2

Avis: 2

Besavis: 2

3

Rebesavis: 2

4

31

2

Potències i arrels

a) 3 729 favors 6

b) 59.049 favors  3 , per tant és la desena baula. 10

Hi ha 7  16.807 llapis. 5

El mes de setembre té 30 · 24 · 60 · 60  2 · 3 · 5 segons. 8

4

3

345 km  3,45 · 10 mm 8

Si apliquem el teorema de Pitàgores i anomenem h la hipotenusa, tenim que: h  2  3 → h  13  3,60555... 2

2

2

L’aproximació que ens demanen és 3,60 cm.

2

En el primer pis, l’arrodoniment i el truncament coincideixen; són 117 m . Les dues aproximacions són igual de precises. 2 2 En el segon pis, l’arrodoniment és 74 m , i el truncament, 73 m . És més precisa l’aproximació per arrodoniment.

32

2

Potències i arrels

Càlcul de la Joana: Àrea  c → c  2

27

Ea 

27  5, 2  0,00385

Er 

Ea 27

 7,407 · 104

Càlcul d’en Ricard: Àrea  c → c  2

Er 

Ea 34

34

Ea  34  5,83  0,00095

 1,632 · 104 La Joana ha comès un error més gran.

1,398 · 27 = 37,746 → Haig de pagar 37,75 €.

L  2 r  12 37,6992  12 →   3,1416 → Ha considerat l’aproximació a les deumil·lèsimes.

HAS DE SABER FER

33

2

Potències i arrels

a) 2, 42 103

b) 9,9 103

c) 5, 4 105

18 3  3  18 3  3

34

a) Arrodoniment: 3,7

Truncament: 3,7

b) Arrodoniment: 3,74

Truncament: 3,74

c) Arrodoniment: 3,742

Truncament: 3,741

d) 2,5 103

2

Potències i arrels

COMPETÈNCIA MATEMÀTICA. En la vida quotidiana

a) 6 · 104 → Òptic 4,56 · 1010 → Electrònic b)

1,2 · 104 → Òptic

0,5 · 107 → Electrònic

7,1 · 103 → Òptic

1  142.857 glòbuls vermells 7  10 6

35

2

Potències i arrels

FORMES DE PENSAR. RAONAMENT MATEMÀTIC

a), b) i c)

2

2 2  2 1 1 1 a)         → Dibuixem la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets . 2  2   2   2  2

2

 2  3 2 2 b)  → Dibuixem la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets i 1.  2   1   2  2     2

2

 2   1 2  3  2 1 c)  → Dibuixem la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets i .  2    2    2  2 2     2

2 2  5 1 1 1 1 d)        i .  → Dibuixem la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets  2 4 2 4  4 

36

2

Potències i arrels

a) 16  4  20 . Per tant, P representa el nombre 20 . b) 16  9  5 . Per tant, P representa el nombre 5.

No, és més gran que la base si aquesta base és més gran que 1.

És més gran que la base si aquesta base és més petita que 1. És més petita si la base és més gran que 1.

Perquè

a  a ha de passar que a  a , i això es compleix per a a  1.

Perquè

a  a ha de passar que a  a , i això es compleix per a 0  a  1.

2 2

PROVES PISA

37

2

Potències i arrels

Per a l’or: 1 unça troy  31,10348 g Preu d’1 g d’or 

1.550  49,83 € 31,10348

9 · 104 d’error representa 9 · 104 · 49,83  0,04 € de pèrdua → Sí que val la pena fer servir aquesta balança. Per als diamants:

1 1 quirat  0,2 g 5 Preu d’1 g de diamant 

25.000  125.000 € 0,2

9 · 104 d’error representa 9 · 104 · 125.000  112,5 € de pèrdua → No val la pena utilitzar aquesta balança.

a) x  nombre de DVD llogats. 52,50 zeds  10  2,5x → x  17 DVD va llogar el Toni sent soci. Si no hagués estat soci, hauria gastat 17 · 3,20  54,4 zeds. b) 10  2,5x  3,2x → 10  0,70x → x  14,28 Per tant, llogant 15 DVD o més es cobreixen els costos de la quota de soci.

38

3

Polinomis CLAUS PER COMENÇAR

x 4

a) 2x

b)

a) iii

b) ii

c)

x 2

d) x2  3

c) i

a) 7 · (42)281442

c) 9x · (x4)9x236x

b) 3 · (x5)3x15

d) (2x) · (3x24x7)6x38x214x

INTERPRETA LA IMATGE

Llargada de pàgina > x

Amplada de pàgina > 2x

Àrea de pàgina  2x · x  2x

2

Perímetre de pàgina  2 · 2x  2 · x  4x  2x  6x

73

3

Polinomis

T'HI ATREVEIXES?

Dos monomis oposats.

ab  bc  b  a  c   6

1 1 ca    1  a  c  ac a c ac

Així: b  a  c   b  a  c  6  a  b  c  6  ac

Si fem x = 83.683.470, aleshores: x  1  83.683.469 x  1  83.683.471

ACTIVITATS

Monomi:

3 3 x , oposat  x 2 2

Monomi: 5yz2, oposat 5yz2 Monomi: 4x2y3, oposat 4x2y3

Semblants: 2a2b,

5 2 a b i 3a2b. 3

Només hi ha un oposat: a 2 b .

No, perquè no tindrien el mateix grau.

74

3

Polinomis

a) –x

3

c) 40x y

2

4

b) 10y

a) 6x 4x 10x 3

2 3

d) 12x y

e) 5z

f) 8xy

3

b) 2xy 4x y

2

2

3 2

No es pot operar perquè no hi ha termes semblants.

a) Termes: 2x , 2x, 6. Grau: 2. 2

b) Termes: 2y , 3y, 3. Grau: 3. 3

c) Termes: 5x y, 3y , 8x , 2x, 4. Grau: 4. 3

2

2

P(x, y) x yx1

3

3

P(x, y)x yx1

Resposta oberta. Per exemple: P(x, y)2x y 5x 4x yy7 4 2

5

2

P(5)2 · (5) (5) 8 · (5)31.2501254031.332 4

3

P(1)2 · (1) (1) 8 · (1)321838 4

3

P(0)3

75

3

Polinomis

a) P(2, 1)2 · 17 · 2 · 12 · 1 4 · 2 1 41421617 2

2

2

3

P(0, 2)0000 (2) 8 3

P(1, 3)(1) · 37 · (1) · 3(1) · 3 4 · (1) 3 32194278 2

2

2

3

P(1, 4)(1) · (4)7 · (1) · (4)(1) · (4) 4 · (1) (4) 4281646420 2

2

2

3

b) P(2, 1)2 · 2 1 2 · 14 · 211612818 3

2

P(0, 2)0(2) 0015 2

P(1, 3) 2 · (1) 3 (1) · 34 · (1)12934111 3

2

P(1, 4) 2 · (1) (4) (1) · (4) 4 · (1)121644111 3

2

a) P(2)2 224. No és arrel. 2

b) Q(2)2 220. És arrel. 2

c) R(2)2 5 · 260. És arrel. 2

d) S(2)2 3 · 242. No és arrel. 2

P(2)0  P(2)2 a · 220 2a20  a1 2

a) P(x)Q(x)4x xx 5x 2x8x x x8 2

3

2

3

2

P(x)Q(x)4x x(x 5x 2x8) 4x xx 5x 2x8x 9x 3x8 2

3

2

2

3

2

3

2

P(x) · Q(x)(4x x) · (x 5x 2x8)4x 21x 13x 30x 8x 2

3

2

5

4

3

2

b) P(x)Q(x)5x 9x3(x 6x)6x 15x3 2

2

2

P(x)Q(x)5x 9x3(x 6x)4x 3x3 2

2

2

P(x) · Q(x)(5x 9x3) · (x 6x)5x 39x 57x 18x 2

2

4

3

2

P(x)Q(x) 3 · Q(x)(2x 3x1)x4 3 · (x4) 2x 3x 1x4 3x 122x x9 2

76

2

2

3

Polinomis

(3x4) · (xa)3x22x8

3ax  4 x  2 x  3a  4  2  a  2 3x2(3a4)x4a3x22x8   4a  8  a  2 

a) x3x28x1 b) x26x5 c) 4x2x2 d) 3x24x2 e) 4x33x25x2 f) x610x47x24

a)

x 1

x3  x 2 x  x 3

2

x2  2x  2

 2x2 2x2  2x 2x 2 x  2 2

77

3

Polinomis

x2

7 x 4  2 x3

b)

7 x  14 x

3

16 x

3

4

7 x 3  16 x 2  32 x  64

16 x3  32 x 2 32 x 2 32 x 2  64 x 64 x 64 x  128 128

c)

6 x3  2 x 2 6 x  9 x 3

8

2

 11x

8

2

2x  3 3x 2 

11 33 x 2 4

33 x 2 33 x 8 2 33 99  x 2 4 131  4

11x 2 

d)

 x3  3x 2  8 x  11 x  3x 3

x 3

2

 x2  8  8 x  11 8 x  24  35

e)

9 x 4  15 x3

 x7

9 x 4  6 x 3  9x

3x3  3x 2  2 x  1  x7

3

9x  6x 3

2

 6x2  x  7 6x2  4x  3x  7 3x  2 9

78

3x  2

3

Polinomis

f)  8x4

10 x 6 10 x  40 x 6

 6 x2

x4

5

10 x5  40 x 4  168 x3  672 x 2  2.682 x  10.728

40 x  8 x 5

 6x

4

2

40 x5  160 x 4  6 x2

168 x 4 168 x 4  672 x3

 672 x3  6 x 2 672 x3  2.688 x 2 2.682 x 2 2.682 x 2  10.728 x  10.728 x 10.728 x  42.912 42.912

x 4  3x3  4 x 2  x  1 a)  x

x

4

2

x2  1 x 2  3x  3

3x  3x  x  1 3

2

3x3

 3x 3x  4 x  1 2

3x 2

3

 4x  4 b)

x5  7 x 4  2 x3  x 2 x

 3x

5

7 x  5x  x 4

 7x

3

4

3

3

21x

3

2

x 3  7 x 2  5 x  20

2

5 x  20 x 2

3

3

5 x 3

x2  3

 15 x 20 x 2  15 x  3

20 x 2

 60 15 x  63

79

3

Polinomis

c)

x 4  x3  8 x 2  x x

x

4

x2 1

2

x2  x  9

x3  9 x 2  x  x3

x 9x

2

9 x 2

9 9

D(x)d(x) · Q(x)R(x) a) D(x)(x3) · (x22)(7)x32x3x267x33x22x13 b) D(x)(2x1) · (3x2x2)16x32x24x3x2x216x3x23x3 c) D(x)(x2) · (2x24)(1)2x34x4x2812x34x24x9 d) D(x)(x2x) · (4x2)2x14x32x24x22x2x14x32x21

R(x)D(x)d(x) · Q(x) R(x)x5x3x25x3(x3x1) · x2 x5x3x25x3x5x3x25x3

1

a) 1

1

4

1

1

1

1

5

6

5

5

6

5

4

Quocient: x35x26x5 Residu: 4

80

3

Polinomis

b)

1 1 1

1

3

8

11

1

0

3

5

0

3

5

16

Quocient: x33x5 Residu: 16

c)

1 2 1

1

2

1

3

1

2

6

16

30

66

3

8

15

33

67

Quocient: x43x38x215x33 Residu: 67 d)

1 2 1

1

1

1

5

2

2

6

14

1

3

7

19

Quocient: x3x23x7 Residu: 19 e)

1 3 1

2

3

6

2

3

15

54

144

5

18

48

146

Quocient: x35x218x48 Residu: 146 f)

1 2 1

1

5

1

3

4

2

2

6

14

22

1

3

7

11

18

Quocient: x4x33x27x11 Residu: 18

81

3

Polinomis

a)

1 1 1

0

1

0

1

0

1

0

2

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

2

Quocient: x7 x6x3 x2 Residu: 2 b)

1 2 1

0

9

6

7

2

4

10

32

2

5

16

25

Quocient: x32x2 5x 16 Residu: 25

1 3 1

3

3

5

2

1

3

0

9

52

162

0

3

14

54

163

Dividend: x5 3x43x35x22x1 Divisor: x 3 Quocient: x43x214x54 Residu: 163

1 2 1

2

1

3

10

2

0

2

10

0

1

5

0

Dividend: x42x3x23x10 Divisor: x2 Quocient: x3x5 Residu: 0

82

Polinomis

3

a) x3 · (x1) b) x2 · (x25) c) 2x · (x23) d) 3x2 · (14x2) e) x3 · (6x31) f) x2 · (2x23x1) g) 2x2 · (5x22x4) h) 7x · (x32x23x7) i) 7 · (x42x33x27x5) j) 7 · (x42x33x27)

a) x62x3x3 · (x32) b) 9x43x36x3x · (3x3x22) c) 25x3y210x2y5xy5xy · (5x2y2x1)

a3, b2, c1 x4y5z3x3y2z1 x3y2z1 · (xy3z21)

a) (3x2)29x212x4 b) (2x3y)24x212xy9y2 c) (x4y) · (x4y)x2 16y2

83

3

Polinomis

(3x24)2(x2)29x41624x2x244x9x425x24x20

a) (x2y)2x24y24xy b) (x2y2)2x4y42x2y2

a) 9x230xy25y2(3x5y)2 b) No és possible. c) 49x228xy4y2(7x2y)2 d) 1624x9x2(43x)2 e) No és possible. f) x4y22x2y(x2y)2

a) (3x5y) · (3x5y) b) (4y3x2) · (4y3x2) c) (7x2y) · (7x2y) d) (43x) · (43x) e) (x2y) · (x2y) f) (8x29y3) · (8x29y3)

1

a) 2

1

6

11

6

2

8

6

4

3

0

Residu: 0. És divisor.

84

3

Polinomis

1

b) 2

1

3

0

4

2

2

4

1

2

0

Residu: 0. És divisor.

2 1 2

1

3

a

2

1

4

1

4

4a

4a0  a4

Els divisors són: x, x1, x5, x · (x1), x · (x5), (x1) · (x5), x · (x1) · (x5)

a) A(x)x23x2(x1) · (x2) b) B(x)x2x2(x2) · (x1) c) C(x)x2x2(x2) · (x1) d) D(x)x23x2(x2) · (x1) e) E(x)x2 + 2x1(x1)2 f) F(x)x28x16(x4)2 g) G(x)x2 6x9(x3)2 h) H(x)x24xx · (x4)

85

3

Polinomis

a) K(x)x 8x 21x18(x2) · (x3) 3

2

2

b) L(x)x 3x 9x27(x3) · (x3) 3

2

2

c) M(x)x 5x 4(x1) · (x1) · (x2) · (x2) 4

2

d) N(x)x xx · (x1) · (x x1) 4

2

e) O(x)x 25x x · (x5) · (x5) 5

3

3

f) P(x)x 6x 9x x · (x3) 4

3

2

2

2

g) Q(x)(5x 4x) x · (5x 4) 3

3

3

2

3

ACTIVITATS FINALS

a) 3

b) 2 3

c)

d)

4 4

xy

xy z

yz

x

Coeficient

5

8

3

4 3

Variables

x, y

x, y, z

y, z

x

4

6

8

2

Grau

2

a) Resposta oberta. Per exemple: 8x yz

2

4

b) 3xy

c) Resposta oberta. Per exemple: 6x d) Resposta oberta. Per exemple:

86

2

Part literal

3

3 3 x y 5

3

Polinomis

No, perquè és de grau 6. No, perquè les parts literals han de coincidir.

a) 10xyz11xy b) –x26xy2xy3 c) xz4x2z9xz2 d) 5y2z37z2y28yz3 e) 11xz2xyz22xy2z f) xz4x3y2xz2

a) 30x3y

a) 4x3y4 b)

16 3 2 xy 3

b) 18x4y8

c) 28x6yz3

d) 336x5y3z6

c) 9yz

e) 5x2z3

g) 3y2z2

d) 9yz

f) 5xy4z2

h) 7y

e) 45x6y5z7

f) 189x5y4z4

87

3

Polinomis

a) 7x24x24xy5y211x24xy5y2 b) 2x2y5x2yxy28xy27x2y9xy2 c) 6xy3xy3x2y4x2y3xyx2y d) 6x210xy7x28xyx22xy e) 6x2y3xy5xyx2y5x2y2xy

a) 5x25xy25xz3xy3y23yz2x2xy6x25xy25xz4xy3y23yz2 b) 2xyz2y2z2yz3x2yxy2xyzx2z33xyz2y2z2yz3x2yxy2 x2z3

a) Certa: x · x · x  x111 x3 b) Falsa, perquè no podem restar potències amb la mateixa base i exponent diferent. c) Certa: x3 · x4  x34 x7 d) Falsa, perquè una potència consisteix a multiplicar la base un nombre determinat de vegades, i no a sumar-la. e) Certa: (x2)2  x2·2  x4 f) Falsa: x2 

88

1 x2

3

Polinomis

a)

b)

c)

d)

e)

Grau

3

2

5

7

4

Variables

x

x

x, y

x, y

x, y, z

2

6

132

9

0

Terme independent

2 2 a) Resposta oberta. Per exemple: P( x, y)  5x  3 y  2x y

Q( x, y)  2 xy  y3  1

2 3 b) Resposta oberta. Per exemple: P( x, y, z)  6 xy  8xz  2 x yz 1

Q( x, y, z)  2 xy 4  y3 z  1

4 c) Resposta oberta. Per exemple: P( x)  3x  4

Q( x)  4 x4  3x2

a) Falsa. Per exemple: x3  3x2  7 x .

5 1 b) Falsa. Per exemple: P( x)  x3  x 2  x  2 . 4 2 c) Certa. d) Certa. Amb tres termes, el grau és almenys 2. 7 2 e) Falsa. Per exemple: P( x)  x  x  x .

89

3

Polinomis

Un polinomi P(x) no pot tenir diferents valors numèrics per a un mateix valor de la variable x, però sí que pot tenir el mateix valor numèric per a diferents valors de la variable x. Per exemple:

P( x)  x2  x  1

P(0)  1

P(1)  1  1  1  1

a) P(1)  1  4  3  8    P(1)  Q(3)   5  0 Q(3)  1  9  8  b) P(0)  3 

4 4 32  4  P(0)   12  3 3 3

a) k  1  3 1  6  k  1

d) k  k  k  k  6  k  3

b) k  k  4  6  k  1

e) k  6

c) 9  k  k  k  6  k  3

4  P(1,0)  0  4  0  Es compleix per a qualsevol valor de a.

90

Polinomis

3

a) P  1  1  5  4  0  És arrel. b) Q  1  1  2  3  0  No és arrel. c) R  1  1  7  14  8  0  És arrel. d) S  1  1  10  9  0  És arrel. e) T  1  1  3  4  3  5  0  És arrel. f) U  1  2  9  12  5  0  És arrel.

a) P  2  0  8  4m  2m  10  18  6m  m  3 b) P  2  0  8  4m  4m  8  8  8  Es compleix per a qualsevol valor de m. c) P  2  0  8  4m  22  m  30  5m  m  6 d) P  2  0  16  4m  4  m  12  3m  m  4

91

Polinomis

92

3

Polinomis

3

93

3

Polinomis

1

a) 2

1

3

1

3

5

2

10

22

38

5

11

19

33

Quocient: x3  5x2  11x  19 Residu: 33 1

b) 1

1

0

8

12

1

1

7

1

7

19

Quocient: x2  x  7 Residu: 19

c)

1 2 1

1

4

0

3

2

2

12

24

1

6

12

21

Quocient: x3  x2  6 x  12 Residu: 21

94

3

Polinomis

d)

2 1 2

1

3

5

2

3

0

3

0

5

Quocient: 2 x2  3x Residu: 5 e)

1 1 1

4

5

1

5

1

3

2

3

3

2

3

2

Quocient: x3  3x2  2 x  3 Residu: 2 f)

1 1 1

1

0

7

1

0

0

0

0

7

Quocient: x 2 Residu: 

a)

1 3 1

m

3

3

3m9

m3

0

3m  9  3  0  m  4

b)

1 1 1

4

m

6

1

5

m5

5

m5

0

m56  0  m 1

95

3

Polinomis

c)

1 2 1

2

m

2m

2

8

2m16

4

m8

0

4m  16  0  m  4 d)

1 2 1

0

m

0

m1

2

4

2m8

4m16

2

m4

2m8

0

m 1  4m  16  0  m  5

a) ax3  a2 x2  2x  2a  3x3  9x2  2x  6  a  3  3a  1  4  a  1  4  b) 3ax 2  x 2  3a 2 x  ax  12a  4  4 x 2  4 x  3  3a 2  a  4  a  1 o a  3  1  12a  4  3  a    12

Per tant, no hi ha cap valor de a per al qual es compleix la igualtat. a 2 1 a  2 2  a a a  5 4 3 2  x 5  x 4  x 3  x 2  2 x  2  a  2 c) x  x  x  x  ax  2 2 2  2  a  2  a  2 o a  2  2

Per tant, el valor de a que fa que es compleixi la igualtat és a 2.

a) 3z   x 2 y  2 x  3 y  b) 3xy   5  6 y 2 z  3

96

3

Polinomis

c) 2 x   x  4 y 2  6 y  d) 2 yz   2 y 2  10  13z  e) 2 x3 y   xy 2 z  z  3x 2  f) 2 x 2 yz 2   4 z 2  8z  9 xy 

a) 3xy 2   5xy3 z 3  3  4 x2  7 x3 y  b) 2a 2b2  16b  9a 2  14ab  5c  c) 10 x2 z 2   3x2 z  2 yz  4 x2  5xy 2  d) 11y 2 z    y3 z 2  3x  6 z 2  4 x4 yz 3 

a) 36 x2  60 x  25 b) 9 x2  12x  4 c) 4 x2  28x  49 d) 4 x2  12x  9 e) x2  6 x  9 f) 4 x2  20 x  25

a) 4 x  9 2

b) 16 x  25 2

c) x  x 4

2

d) 4 x  81 2

97

3

Polinomis

a)  2 x  3  (2 x)2  2  2 x  3  32  4 x 2  12 x  9 2

b)  5  3x   52  2  5  3x  (3x) 2  25  30 x  9 x 2 2

c)  x 2  x   x 4  2 x3  x 2 2

a)  3x 2 y  2 y3   9 x 4 y 2  12 x2 y 4  4 y 6 2



b) 2 x  3 y



2

 4 x  9 y  12 xy

c)  x 2  x   x 4  2 x3  x 2 2

2 2 2 a) 4 y  20 y  25  9  6 y  y  5 y  14 y  34

b) 9 x2  12 x  4  16  8x  x2   8x2  20 x  12 4 3 2 2 4 3 2 c) y  10 y  25 y  1  6 y  9 y  y  10 y  34 y  6 y  1

d) x2  8x3  16 x4   49 x 4  28x 2  4   33x 4  8x3  27 x 2  4

a)  x  2 y 

b)  3x  x 2 

98

c)  x  xy 

2

2

2

d)  x3  y 

2

3

Polinomis

1

a) 2

1

0

10

0

9

2

4

12

24

2

6

12

15

x 2 no és divisor de P(x). b) 2x1 no és divisor de P(x) perquè el residu de la divisió és c)

1 1 1

0

10

0

9

1

1

9

9

1

9

9

0

105 . 16

x 1 és divisor de P(x). d) x – 2 no és divisor de P(x) perquè 2 no és divisor de 9. e)

1 3 1

0

10

0

9

3

9

3

9

3

1

3

0

x – 3 és divisor de P(x). f)

1 3 1

0

10

0

9

3

9

3

9

3

1

3

0

x 3 és divisor de P(x).

a)

1 3 1

3

5

15

3

0

15

0

5

0

És divisor. El quocient és x 2  5 .

99

3

Polinomis

b)

1 3 1

3

2

6

3

18

60

6

20

66

4

3

18

3

3

18

1

6

0

No és divisor. c)

1 3 1

És divisor. El quocient és x2  x  6 . 1

d) 3

1

0

7

6

3

9

6

3

2

0

És divisor. El quocient és x2  3x  2 .

Els polinomis als quals es pot extreure factor comú x2 tenen de divisors x i x2. En els polinomis en què només es pot extreure factor comú x tenen com a divisor tan sols x. Tenen com a divisor x i x2 els polinomis dels apartats b), c), d) i f). La resta de polinomis només tenen com a divisor x.

100

a) x   x  3

c) x  1  x 

e) x2   x  2   x  2 

g) x   x  1

b) x3   x  5

d) x  1  x    x  1

f) x   x  25

h) x   x  3

2

2

3

Polinomis

a)  x  1   x  2   x  4  Divisors: x  1, x  2 i x  4 b)  x  1   x  2   x  3  Divisors: x  1, x  2 i x  3 c)  x  1   x  2   x  4  Divisors: x  1, x  2 i x  4 d)  x  1   x  2   x  3  Divisors: x  1, x  2 i x  3 e)  x  1   x  2   x  4  Divisors: x  1, x  2 i x  4 f)  x  1  Divisors: x  1,  x  1 i  x  1 3

2

3

a)  x  2   x  2   x  3   x  3 b)  x  2   x  2   x  4   x  4 c)  x  3   x  2   x  4   x  4 d)  x  1   x  1   x  4   x  4







e) x  2  x  2   x  3   x  3 f)  x  2   x  2   x  5   x  5

a) x  1  x    x  5   x  5 b) x2   x  1   x  1 2

c)  x  2   x  2   x  8   x  8 d) 2 x   x  2   2 x  1 2

e)  x  1   x  2  2

2

f) 9 x2   x  2  1  3x 

101

3

Polinomis

a)  x  2   x  2   3  2 x  b)  x  1   3  4 x    5  2 x  c) 2   x  2   3x  1   4 x  1 d)  x  1   2 x  5 2

e) x   2 x  3   3x  2  f) x   3x  1   3x  2 

HAS DE SABER FER

a) 5x 2  Grau 2

c) 11xz  Grau 2

b) 19xy  Grau 4

d) 144a7b9  Grau 16

3

a) P  0   4

 1  167 b) P    16  2 

a) 4  9 x2  16  25x2   16 x2  12 b) x4  2x2  1  1  36x4  35x4  2x2  2

102

e) 3xy  Grau 2

c) P  2   104

d) P  3  307

3

Polinomis

a)

1 1 1

1

8

0

4

1

2

6

6

2

6

6

2

El quocient és x3  2 x2  6 x  6 i el residu és 2. b)

1 1 1

5

3

6

15

1

6

9

15

6

9

15

0

El quocient és x3  6 x2  9 x  15 i el residu és 0.

a) P  x    x  1   x  1

2

b) Q  x    x  1   x  1 2

2

c) R  x   4   x  2   x  1   x  1

COMPETÈNCIA MATEMÀTICA. En la vida quotidiana

103

3

Polinomis

Ample: x

Llarg:

Marges superior i inferior: Marge dret: 2 cm

3 x 5

1 3 3  x 10 5 50 x

Marge esquerre: 4 cm

3 3 a) Àreabase x altura x  x  x 2 5 5

3  12 12 72 3 b) Àreabase x altura ( x  2  4)   x  2  x    x  6   x  x 2  x 50  25 25 25 5

FORMES DE PENSAR. RAONAMENT MATEMÀTIC

Anomenem S  x, y  el polinomi solució. a) Hi ha diversos polinomis que compleixen el que ens demanen:

S  x, y    x  y    2 x  5 y  4

S  x, y    x  y    2 x  5 y 

4

S  x, y    x  y    2 x  5 y  3

2

S  x, y    x  y    2 x  5 y  2

3

b) S  x, y   x  xy  2   2  7 x2 



c) S  x, y    3 y  x   x3  5 2

d) S  x, y   x 2  x 2 y

104



3

Polinomis

x2  ( x  1)2  x 2 ( x  1)2   x( x  1)  1

2

Per demostrar aquesta fórmula, partim del segon membre:

 x( x  1)  1

2

  x( x  1)  2 x( x  1)  1  2

 x2 ( x  1)2  2 x( x  1)  1   x2 ( x  1)2  2 x2  2 x  1   x2 ( x  1)2  x2  x2  2 x  1   x2  ( x  1)2  x2 ( x  1)2

a) P   x   x2  x  x   x  1  Arrels: 0 i  1 b) P   x2     x 2  9   3  x    3  x   Arrels: 3 i  3 2

2

2

c) P  x 2   P  x3    x 2    x3   x 4  x6  x 4 1  x   1  x   Arrels: 0, 1 i  1 2

2

d) P  x  x 2   4  x  x 2   3  4 x 2  4 x  3   2 x  1   2 x  3  Arrels:

1 3 i 2 2

105

3

Polinomis

a)

D(x)  3x3  4x2  1

d(x)  x  1

Q(x)  3x2  x  1

R(x)  0

b)

D(x)  4x  3x  2x  1

d(x)  x  1

Q(x)  4x – x + 3

R(x)  2

c)

D(x)  x3  x  2

d(x)  x  2

Q(x)  x2  2x  3

R(x)  8

d)

D(x)  8x  3

d(x)  x  1

Q(x)  8x  8

R(x)  5

3

2

3

2

2

PROVES PISA

a) d  7,0  16  12  14 mm b) d  35 mm  7,0  t  12  t  37

106

És a dir, han passat 37 anys.

Polinomis

3

La regla 4 S3 CD5 H dóna com a guanyador el cotxe Ca.

107

4

Equacions de primer i segon grau CLAUS PER COMENÇAR

a) x  3x

Valor numèric: 8

b) 2x  x2

Valor numèric: 0

c)

Valor numèric: 3

Resposta oberta. Per exemple: Es compleixen per a tots els valors:

3x  x  2 · (x  1)  2

2x 7 4x 3 2x 4

Es compleixen per a un únic valor:

3x 1 2x 3

x2 2 4x 2

INTERPRETA LA IMATGE

 9,23 h  9 hores, 13 minuts i 51 segons

T'HI ATREVEIXES?

x  pes en kg del maó x

x

→ x  1,5 kg

108

4

Equacions de primer i segon grau

x bicicletes → 7  x tricicles 19  2x  3(7  x) → x  2 → Hi ha 2 bicicletes i 5 tricicles.

El valor és 0, ja que un dels factors del producte és x  x.

ACTIVITATS

Les expressions dels apartats a), d) i e) són equacions. a) Membres: 3x 2, 6x 5

Termes: 3x, 2, 6x, 5

Incògnites: x

Grau: 1

d) Membres: x, 3x 2

Termes: x, 3x, 2

Incògnites: x

Grau: 1

e) Membres: x2 3, y 7x

Termes: x2, 3, y, 7x

Incògnites: x, y

Grau: 2

a) 8 4 ≠ 3 2 No es compleix. És equació. b) 1 3 1 2 1 Sí que es compleix. No és equació.

a) 2 · (x 4) 4x (6x 8) b) Resposta oberta. Per exemple: 2 · (x 4) 4x (x 1)

Tenen com a solució x 2 els apartats a), c) i d).

109

4

Equacions de primer i segon grau

a) 4x 5 9x

b) 9 x x 3

c) x 7x 2 5x 2

a) 2x  1 3

5x  x 2  2 · (x 3)

7  3x x 1

b) 6  3x 2x  1

5x 7 x 3

4x 5 3(x 2)

a) 4x x 4 2 → 3x 6 → x 2

d) 4x x 4 6 → 5x 10 → x 2

b) x x 5 7 → 2x 2 → x 1

e) 5x 2x 2 8 → 3x 6 → x 2

c) 3x 2x 5 1 → x 4 → x  4

f) 9x x 9 1 → 8x 8 → x 1

→

→

→

Es pot eliminar restant aquest terme als dos membres de l’equació.

110

4

Equacions de primer i segon grau



a)  

b)

 



c) 

 

 

d)



e)















 



  



 

      

















 









 

 









     



 





 









d)             









 













  

















 





  

  

   

c)      





  



      

a)    b)  





a) b) c)

  

d)    



   

 

        

 







  









111

4

Equacions de primer i segon grau

a) b) c) d) e)

a)



b)



c)



d)



e)



f)





 

   

 



   



 

  



 



   



 

  

 



   













































 









  



  



  



  







 

  









 

  

 

112

4

Equacions de primer i segon grau

a)

b) 

c) 



  











   





 

 

 









  



 





    



   









 











 

  

           

 



 

 

→ No hi ha solucions reals. → Hi ha una solució real quan

a)

b)

c)

o dues solucions quan

.

→ Dues solucions:

→ No hi ha solucions reals:

→ Dues solucions:

d)

→ Dues solucions:

e)

→ Dues solucions:

f)

→ Dues solucions:

113

4

Equacions de primer i segon grau

g)

→ Dues solucions:

h)

→ Una solució:

a) (1)2  (1)  c  0 → c 2 b) (3)2  (3)  c  0 → c  12

a)

→ L’equació podria ser x2 3x 2 0

b)

→ L’equació podria ser x2 4x 2 0 → L’equació és x2 4x 4 0

c)

→ Les dues possibles equacions són x2 6x 9 0

d) e)

→ L’equació podria ser x2 3x 5 0

f)

→ L’equació podria ser x2 x 1 0

→ No tenen cap solució real.

Dues solucions: x2 4x 1 0 Una solució doble: x2 2x 1 0 Sense solució: x2 x 2 0

114

4

Equacions de primer i segon grau

a)

e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

a)

b)

Resposta oberta. Per exemple: 4x2 0

a)

e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

115

4

Equacions de primer i segon grau

a)

e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

116

4

Equacions de primer i segon grau

x  preu del llibre en €. Aleshores: a)

b)

Resposta oberta. Per exemple: «Si del triple dels diners que tinc en trec 6 €, em queden 92 €.»











x  paga setmanal d’en Francesc. Aleshores: Entrada del cinema: Material escolar: Així doncs:

→ Despesa en crispetes:

.

→ Li queden 5 €. .

→ Hi ha dues solucions.

117

4

Equacions de primer i segon grau

ACTIVITATS FINALS

a) 5x  1  25  Termes: 5x, 1, 25 b) 2x  x  9  x  3x – 5x  Termes: 2x, x, 9, x, 3x, 5x c) 4x    76  12x  3 – 2x  Termes: 4x, 6, 76, 12x, 3, x d) 9(x  7)  3(x2  2)  4  9x  63  3x2  6  4  Termes: 9x, 63, 3x2, 6, 4

a) Grau 4

b) Grau 2

c) Grau 2

d) Grau 6

a) x  2 → 2 · 4 ≠ 4  2 → No és solució.

d) x  3 → 3 · (1) ≠ 9  3 → No és solució.

b) x  1 → 1 · 1 ≠ 1  1 → No és solució.

e) x  1 → 1 · 3 ≠ 1  1 → No és solució.

c) x  2 → 2 · 0 ≠ 4  2 → No és solució.

f) x  0 → 0 · 2  0  0 → És solució.

118

4

Equacions de primer i segon grau

→ És solució.

a) → És solució.

b)

→ És solució.

c)

→ És solució.

d)

→ No és solució.

e)

→ No és solució.

f)

→ És solució.

g)

→ És solució.

h)

→ És equivalent.

a)

→ No és equivalent.

b) c)

→ És equivalent.

a)

c)

e)

b)

d)

f)

g)

119

4

Equacions de primer i segon grau

a)

f)

b)

g)

c)

h)

d)

i)

e)

j)

120

Equacions de primer i segon grau

4

a) b) c) d) e) f)

a) b) c) d)

a) b) c) d)

121

Equacions de primer i segon grau

4

e) f)

a) b) c) d) e) f)

122

Equacions de primer i segon grau

4

123

Equacions de primer i segon grau

4

a) L’error és restar 7 en els dos membres; s’ha de dividir entre 7 en els dos membres:

b) L’error és efectuar 7  2 en el primer membre en lloc de multiplicar 7 per 2:

124

4

Equacions de primer i segon grau

Resposta oberta. Per exemple: a)

c)

b)

d)

a)

e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

Resposta oberta. Per exemple: a)

c)

b)

d)

a)

c)

b)

d)

La primera té la solució x 2, i la segona, x 2 → No són equivalents.

125

Equacions de primer i segon grau

4

a)

b)

→ No té solució.

c)

(doble)

d)

e)

(doble)

f)

→ No té solució.

g)

h)

a)   25  24  1  0 → 2 solucions b)   36  64  100  0 → 2 solucions c)   64  64  0 → 1 solució d)   1  4  5  0 → 2 solucions e)   64  64  0 → 1 solució f)   16  104  88  0 → Sense solució h)   (3)2  4 · 2 · 2  7  0 → Sense solució

126

Equacions de primer i segon grau

4

127

4

Equacions de primer i segon grau



128

4

Equacions de primer i segon grau

a) b) c) d) e)

f)

g)

h)

i)

(doble)

129

4

Equacions de primer i segon grau

a)

b)

    

     

        





h)

 

 



 



i)

        





j)

        





k)

e)

f)

g)

                





 







 







 



l)





















       

 





 





 





 



 

   

        

      



  



m)



      











 

                    











        

      

   





d)

    

 







 

 

c)





  









 

      

 







 









 







      

 









 



 





 

      

 

   

 

130

4

Equacions de primer i segon grau

a) Resposta oberta. Per exemple: b) c) d)

→ x1  1, x2  4

a) b) c) d)

→ x1 

, x2 

→ No té solució real. → x1 

, x2 

e) f)

131

4

Equacions de primer i segon grau

a) b) c) d) e) f)

g)

→ Per tant, els dos nombres són 27 i 28.

→ Així doncs, els tres nombres són 35, 36 i 37.

→ Així doncs, els nombres són 35 i 36.

→ 41x  1.230 → x  30. El nombre és 30.

a) ARectangle     





→ x1  5, x2  6

→

Si descartem la solució negativa, els costats del rectangle són 3 cm i 8 cm. b) Apliquem el teorema de Pitàgores:







 











  





→ x1  3, x2 

Si descartem la solució negativa, els costats del triangle són 6 cm, 8 cm i 10 cm.

132

4

Equacions de primer i segon grau

x  xifra de les desenes → 2x xifra de les unitats x  2x  12 → x 4 → El nombre és 48.

x longitud de la roba en metres → La longitud de la roba és de 18 m.

x longitud del trajecte en metres → La longitud del trajecte és de 2.520 m.

133

4

Equacions de primer i segon grau

x diners estalviats en € → x  40 € tenia estalviats. € es gasta en el regal.

€ es gasta en el llibre.

Les dimensions són 37 m de llargada i 47 m d’amplada. L’altra solució no és vàlida perquè és negativa.

x longitud de la corda → x  150 m

x dones →

 nens →

 homes. → x  144

Hi ha 144 dones,





nens i

Ampolles: x. Exporten al gener: 

    

  







homes.

i en els dos mesos següents: 



   

  



 x = 120.000 ampolles

134

4

Equacions de primer i segon grau

→

→ x  40 veïns hi ha en total.

Costat de la rajola: x

La rajola fa 40 cm de costat.

Actualitat D’aquí a 10 anys

Clàudia x x 10

Mare de la Clàudia x 26 x 36

La Clàudia té 3 anys i la seva mare té 29 anys.

135

4

Equacions de primer i segon grau

a) Actualitat Fa 4 anys

Miquel x 2 x 2

Antoni x x 4

D’aquí a 6 anys en Miquel tindrà 18 anys i l’Antoni tindrà 16 anys. b) Actualitat D’aquí a y anys

Miquel 12 12  y

Antoni 10 10  y

12  y  3(10  y) → 2y  18 → y  9 → Fa 9 anys l’edat d’en Miquel triplicava la de l’Antoni. És a dir, en Miquel tenia 3 anys i l’Antoni tenia 1 any.

Edat de la Mercè x → Edat dels bessons 

Així doncs, la Mercè té 32 anys i els seus fills tenen 4 anys.

Actualitat Fa x anys D’aquí a y anys

Pare 35 35 x 35 y

Fill 8 8 x 8 y

→ Fa 5 anys el pare tenia 10 vegades l’edat del fill. → D’aquí a 19 anys l’edat del pare serà el doble que la del fill.

Anomenem x el temps que triguen a trobar-se i considerem que són a una distància de 640 km: 75x  60x  640 → 135x  640 → x  4,74 hores  4 h 44 min. Es trobaran a les 11 h 44 min i seran a 4,74 · 60  284,4 km de Lleida i a 640  284,4  355,6 km de Marsella.

136

4

Equacions de primer i segon grau

El temps que triguen a trobar-se és x. 90x  110  70x  20x  110  x  5,5 hores Després es troben a les 13 h 30 min. La distància que recorre l’Ester és: 5,5 · 90  495 km i la d’en Joaquim és: 495  110  385 km.

x  temps transcorregut des que surt el cotxe fins que es troben

Distància que recorre el camió Distància que recorre el cotxe

Avantatge 2 · 80

Moment que es troben 2 · 80  80x 120x

2 · 80  80x  120x → x  4 → 4 · 120  480 És a dir, es troben 4 hores després que ha sortit el cotxe, a 480 km de l’origen.

x  nombre de pastissos quan han obert A les 12 h:

A les 14 h:

A la tarda: pastissos

HAS DE SABER FER

Resposta oberta. Per exemple: a)

b)

137

4

Equacions de primer i segon grau

a) b)

a)

c)

b)

d) x 0 doble

x distància total del trajecte km

Longitud de l’amplada en cm  x → Longitud de la llargada  x 4

Descartem la solució negativa; tenim que l’amplada és de 8 cm i la llargada és de 12 cm.

138

Equacions de primer i segon grau

4

COMPETÈNCIA MATEMÀTICA. En la vida quotidiana

t  temps en hores a partir de les 9.30 800  115(t  0,5)  100t → t  3,45 → Es troben al cap de 3,45 hores des que ha sortit la Marta. (3,45  0,5) · 115  454,25 km des de Girona. 3,45 · 100  345 km des de Toledo.

FORMES DE PENSAR. RAONAMENT MATEMÀTIC

139

4

Equacions de primer i segon grau

a) Resposta oberta. Per exemple: → x1  5, x2 

→ x1  2, x2 

Si x1 i x2 són les solucions de ax2  bx  c  0, aleshores

i

seran les solucions de cx2  bx  a  0.

b)

Considerem x  longitud del catet gran; així, la longitud de l’altre catet  tenim que:

  

   



La solució és





    



. Com que l’àrea és 54 cm2,

 

, perquè no existeixen mesures negatives.

Per tant, les mides dels catets són:



i







D’aquesta manera, calculem la hipotenusa amb el teorema de Pitàgores:



 









cm

Considerem x  longitud del costat del quadrat original, per tant la seva àrea és x2; el costat del quadrat augmentat de dues unitats és x  2 i la seva àrea  (x  2)2. Tenim que: 

 











 







140

4

Equacions de primer i segon grau

a) Resposta oberta. Per exemple: → x1  5, x2 

→ x1  5, x2 

Si x1 i x2 són les solucions de ax2  bx  c  0, aleshores les solucions de ax2  bx  c  0 seran les oposades. b)

141

Equacions de primer i segon grau

4

PROVES PISA

400.000a  3.200.000  0 → a  8 El nombre mínim d’anys de funcionament requerits per cobrir els costos de construcció de la planta és 8.

142

5

Sistemes d'equacions CLAUS PER COMENÇAR

a)

a)

x y

2 4

1 3

0 2

1 1

b)

2 0

Y

1

b)

x y

2 5

1 3

0 1

1 1

Y

c)

X

1

X

2 4

x y

1 3

0 2

1 1

2 0

Y

1

1

1

c)

2 3

1 X

INTERPRETA LA IMATGE

t  temps que triguen a trobar-se 200  90t  70t → t  1,25 hores Trigaran a trobar-se 1 hora i 15 minuts des que han sortit.

T'HI ATREVEIXES? Té infinites solucions.

143

5

Sistemes d’equacions

x  pes de l’ampolla en quilos

y  pes del tap en quilos

→ 1  2y 1,10 → y  0,05 → x  1,05 L’ampolla pesa 1 kg i 5 g, i el tap, 5 g.

x  xifra de les desenes 6(x  y)  10x  y → y 

y  xifra de les unitats → Com que x només pot adoptar valors entre 0 i 9, l’única solució vàlida és x  5.

Així doncs, el nombre que busquem és 54.

ACTIVITATS

Equació a) b) c)

2x 3y 1 7x 8y 0 6x 2y 5

Coeficient de x 2 7 6

Coeficient de y 3 8 2

Terme independent 1 0 5

a) 4 · 1 2 · (2)  1 → No és solució.

c) 4 · 1 2 · (2) 8 → És solució.

b) 4 · 1 2 · (2)  0 → No és solució.

d) 4 · 1 2 · (2) 0 → És solució.

Té infinites solucions, de les quals quatre són aquestes, per exemple: x  2, y  0

x  3, y  1

x 8, y  2

x 7, y  1

144

5

Sistemes d’equacions

x

3

2

1

0

1

2

3

4

5

y

11

8

5

2

1

4

7

10

13 Y

2

2 X

Obtenim una línia recta.

x  2, y  4

x  0, y  3

x  2, y  2 Y

1 X

1

a)

Y

b)

Y

1 1

X

1 1

X

145

5

Sistemes d’equacions

Y

c)

Y

d)

1

1 X

1

a) 2x  y  0

X

1

b)

x y

1 2

1 2

0 0

2 4

c), d) i e) El parell de valors x  6, y  12 verifica l’equació, perquè 2 · 6  12  0. El punt (4, 8) no és solució. Y

2 X

2

a)

c)

Y

e)

Y

Y

2

2 X

1 2

X

1 1

X

146

5

Sistemes d’equacions

b)

Y

Y

d)

f)

1

1 1

1 1

X

1

X

X

a)

→ No és solució.

c)

b)

→ És solució.

d)

Compatible determinat:

Y

→ És solució. → No és solució.

Compatible indeterminat:

147

5

Sistemes d’equacions

Y

a)

Y

c)

1

1

2 1

X

X

2

Una solució b)

Una solució Y

f)

X

X

1

X

Y

1 2

1

Una solució

Y

d)

2

Sense solució

Y

e)

1 X

1

Infinites solucions

Una solució

Y

Amb les equacions b) i d) es forma un sistema compatible indeterminat.

1 1

X

148

Sistemes d’equacions

5

Té infinites solucions perquè les dues equacions representen la mateixa recta. a) b) No és possible. Per aconseguir-ho, hauríem de canviar almenys un terme independent i mantenir els coeficients.

a) b) c) d)

e)

f)

149

Sistemes d’equacions

5

a)

b)

c)

d)

a) b)

150

5

Sistemes d’equacions

c)

a) b) c)

d)

→ Sistema incompatible. No hi ha solució.

e)

151

5

Sistemes d’equacions

a) b) c)

Resposta oberta. Per exemple: Sistema apropiat per resoldre’l per substitució: Sistema apropiat per resoldre’l per reducció:

a) x y 50, en què x i y són els dos nombres. b) x y 5, en què x i y són les edats dels dos germans. c) x 2y, en què x és l’edat del pare i y és l’edat del fill. d) x y 10, en què x és el nombre que supera y de 10 unitats.

x edat del fill

y  edat del pare

152

5

Sistemes d’equacions

x  nombre de persones

y  nombre de pastissets

x  nombre d’habitacions individuals

y  nombre d’habitacions dobles

x  edat del pare

y  edat de la filla

x  longitud del cotxe

y  longitud de l’autobús

x  preu d’uns pantalons

y  preu d’una samarreta

ACTIVITATS FINALS

a)

→ No és solució.

b)

→ És solució.

c)

→ És solució.

d)

→ No és solució.

153

5

Sistemes d’equacions

a)

→ (4, 6)

d) 2x – 3y  0 → (3, 2)

b)

→ (0, 2)

e)

c)

→ (2, 1)

→ (2, 1)

f) –4x  y  1 → (–1, –3)

Resposta oberta. Per exemple: a)

c)

e)

b)

d)

f)

a)

c)

b)

d)

x 5y 1

2x 3y 5

Les rectes són secants: Y

1 1

X

154

5

Sistemes d’equacions

a)

c) x y

2 0

1 1

0 2

1 3

2 4

2 5

1 2

0 1

Y

Y

1

1

1 4

X

1

2 7

X

1

b)

d) x y

2 5

1 4

0 3

1 2

x y

2 1

2 15/4

1 13/4

0 11/4

Y

Y

1

1 X

1

a)

x y

2 7/4

X

1

c)

Y

1 9/4

Y

(2, 7) 2

(1, 2) 2 (0, 3)

2 X

(0, 0)

2

(3, 1)

(6, 2)

X

(9, 3)

(1, 6)

No estan alineats.

Estan alineats.

155

5

Sistemes d’equacions

Y

b)

Y

d) (0, 3)

(3, 3)

(1, 2) (7, 3) (2, 1)

1 1

(5, 1)

2 X

2 (3, 1)

X

(8, 3)

No estan alineats.

Estan alineats.

a)

→

Coeficient de x: 2

Coeficient de y: 5

Terme independent: 8

b)

→

Coeficient de x: 5

Coeficient de y: 1

Terme independent: 3

c)

→ Coeficient de x: 2

Coeficient de y: 5

Terme independent: 6

d)

→ Coeficient de x: 2

Coeficient de y: 3

Terme independent: 11

Coeficient de y: 8

Terme independent: 20

e)

a)

→

Coeficient de x: 1

b) y  0

c) x  0

a)

→ No és solució.

c)

→ No és solució.

b)

→ És solució.

d)

→ No és solució.

156

5

Sistemes d’equacions

a)

→ És solució.

→ No és solució.

c)

b)

→ No és solució.

→ És solució.

a)

c)

e)

b)

d)

f)

d)

(4, 2) és solució de les equacions x y 6 i 1 x y 3, és a dir, s’hi forma un sistema que té de solució (4, 2).

Resposta oberta. Per exemple: a)

c)

b)

d)

157

Sistemes d’equacions

5

a) Sistema compatible determinat: una solució. b) Sistema incompatible: sense solució. c) Sistema compatible indeterminat: infinites solucions. d) Sistema incompatible: sense solució.

La solució del sistema és x  1, y  1. El sistema és compatible determinat.

Les dues rectes coincideixen. El sistema és compatible indeterminat: té infinites solucions.

158

5

Sistemes d’equacions

Les dues rectes es tallen en el punt (2, 1). El sistema és compatible determinat.

Les dues rectes són paral·leles, no es tallen. El sistema és incompatible.

Solucions de x  y  1:

Solucions de 2x  y  4:

La solució del sistema és x  3, y  2. Solucions de x  y  2:

Solucions de 2x  3y  9:

La solució del sistema és x  3, y  1. Solucions de x  2y  1:

Solucions de 2x  y  7:

La solució del sistema és x  3, y  1. Solucions de 2x  y  7:

Solucions de x  3y  0:

La solució del sistema és x  3, y  1. Solucions de 2x  y  13:

Solucions de x  y  2:

La solució del sistema és x  5, y  3.

159

5

Sistemes d’equacions

Solucions de x  2y  2:

Solucions de 3x  4y  2:

La solució del sistema és x  2, y  2. Solucions de 5x  3y  1:

Solucions de 4x  y  11:

La solució del sistema és x  2, y  3. Solucions de 5x  3y  16:

Solucions de 3x  3y  0:

La solució del sistema és x  2, y  2.

a)

b)

Sí. Per exemple: Y

Y

(2, 2)

(2, 2) 1

1 1

X

1

X

160

5

Sistemes d’equacions

Solució: (2, 0)

Solució: (2, 0)

Podem afirmar que tenen la mateixa solució: x  2, y  0 Són sistemes equivalents.

Y

Y

(1, 2)

(1, 2)

1

1 1

X

1

3x  y  5 x  y  1

X

6x  2y  10 2x  2y  2

a) Sí, tenen la solució comuna (1, 2), perquè les equacions dels dos sistemes són equivalents. b) Sí, per exemple:

161

5

Sistemes d’equacions

Y

Y

1

1 1

X

1

X

1

X

a) No tenen cap solució. Són incompatibles. b) Sí, per exemple:

Y

Y

1

1 1

X

a) Tenen infinites solucions. Són compatibles indeterminats. b) Sí, per exemple:

162

5

Sistemes d’equacions

Resposta oberta. Per exemple:

a)

→ a  b  3

c)

b)

→a  4, b  5

d)

→ a  4, b  2 → a  2, b  3

a)

b)

c) d)

163

5

Sistemes d’equacions

La resolució té diversos errors: → y està mal aïllada; ha de ser y 5x 1 → El signe de 20x està malament, ha de ser positiu → x està mal aïllada; ha de ser → y està mal aïllada; ha de ser y 5 1 4 La resolució correcta és la següent:

a)

b)

c)

d)

164

5

Sistemes d’equacions

La resolució té diversos errors: → x està mal aïllada en les dues equacions; ha de ser:

→ Les operacions estan mal resoltes; ha de ser: → y està mal aïllada; ha de ser: → S’ha substituït y en lloc de x; ha de ser: La resolució correcta és la següent:

a) b)

→ Sistema incompatible

c) d) Les dues equacions del sistema són equivalents, per tant el sistema és compatible indeterminat.

165

5

Sistemes d’equacions

La resolució té diversos errors: → La multiplicació 0 per 2 no dóna 2, sinó 0. → No es resten, se sumen: → y està mal aïllada; ha de ser: y 4 La resolució correcta és la següent:

a) Si multipliquem la 2a equació per 7: b) Si multipliquem la 1a equació per 3 i la 2a per –2: c) Si multipliquem la 1a equació per 17 i la 2a per 4:

a) b) c)

166

Sistemes d’equacions

5

Restem la 1a equació de la 2a: 4y  8  y  2 I substituïm a la 2a equació: 3 · 2  2x  0  6  2x  x  3

Sumem les dues equacions: y    y  2 I substituïm a la 2a equació: x  3 · 2    x  4  6  2

Restem les dues equacions: I substituïm a la 2a equació:

sumem

I aïllem a la 2a equació:

a) Les dues equacions són equivalents, per tant el sistema té infinites solucions. Aquestes solucions són tots els punts de la recta x  y  2. b) No té solucions, el sistema és incompatible. c) Les dues equacions són equivalents, per tant el sistema té infinites solucions. Aquestes solucions són tots els punts de la recta 4x 3y 5. d) Les dues equacions del sistema són la mateixa, per tant el sistema té infinites solucions. Aquestes solucions són tots els punts de la recta x  y 1. e) Les dues equacions són equivalents, per tant el sistema té infinites solucions. Aquestes solucions són tots els punts de la recta x  5y  2. f) No té solucions, el sistema és incompatible.

167

5

Sistemes d’equacions

a) Una solució: b) Cap solució, són dues rectes paral·leles: c) Cap solució, són dues rectes paral·leles: d) Una solució:

Aïllem x a la 1a equació i substituïm a la 2a per calcular el valor de y:

Substituïm a la 2a equació: 3y  20    3y  21  y  7

restem

Substituïm a la 1a equació:

168

5

Sistemes d’equacions

Multipliquem la 1a equació per 2 i la 2a per 21:

Multipliquem la 1a equació per 10 i la 2a per 6:

a) Traiem denominadors: Aïllem y a la 1a equació:

, i a la 2a:

i igualem:

. I substituïm: y  6

b) Traiem denominadors:

,

. Aïllem y a la 1a equació:

y  x  3, i a la 2a: y  4x, i igualem: c) Traiem denominadors: Aïllem x a la 1a equació: x  10  5y, i a la 2a: . I substituïm: x  5

i igualem:

a) Traiem denominadors:

,

 

   Les sumem: 4x  32  

 x  8, i substituïm a la 2a equació: 8  2y  4  y  6 b) Traiem denominadors:

         

 

    

Les restem: 3x  3  x  1, i substituïm a la 1a equació: 1 – y  3  y  4

169

5

Sistemes d’equacions

c) Traiem denominadors:









Multipliquem la 1a equació per 2:

   









  

Les sumem: 13y  13  y  1, i substituïm a la 1a equació: x  5  10  x  5

a) Com a coeficient de x val qualsevol valor diferent de 3, i com a terme independent, qualsevol. Si el coeficient de x és 3, el terme independent de la 1a equació ha de ser 6. Per exemple:  

b)

 

   o  

 

    

   El terme independent de la 2a equació pot ser  

qualsevol nombre diferent de 6 en el primer sistema i diferent de 3 en el segon.

a) x  y  35 b) 4x 2y 26 c) 3(10x y) 2x 102, en què x és la xifra de les desenes i y és la xifra de les unitats. d) x 15y 12, en què x és el dividend i y és el quocient.

a) x y 12 b) 4x 2y 56, en què x és el nombre de cotxes i y és el nombre de motos. c) 1,35 0,20x 0,05y, en què x és el nombre de monedes de 0,20 € i y és el nombre de monedes de 0,05 €. d) 3x 2y 11, en què x és el preu del quilo de pomes i y és el preu del quilo de taronges.

170

5

Sistemes d’equacions

e) x 10,20 2y, en què x són els diners que tinc i y és el preu d’un joc. f) 2x 2y 48, en què x és la llargada i y és l’amplada del rectangle. g) 5x 8y, en què x és el preu de l’entrepà de pernil i y és el preu de l’entrepà de llonganissa. h) 4x  2y  x  y  300, en què x és el nombre de conills i y és el nombre de coloms.

a) A B

b) A B

x  preu de l’ampolla d’aigua

c)

d)

e)

f) 2B

y  preu de l’ampolla de vi

171

5

Sistemes d’equacions

x  nombre de monedes de 2 €

y  nombre de monedes de 0,5 €

x  nombre de porcs

y  nombre de gallines

x  nombre de cotxes

y  nombre de motos

x  nombre de bicicletes

y  nombre de tricicles

x  edat d’en Jaume

y  edat d’en Gaspar

172

5

Sistemes d’equacions

x  preu d’un viatge en autos de xoc

y  preu d’un entrepà → x  1,5; y  3

x  nombre de galetes en una capsa

y  nombre de galetes en una bossa

x  nombre de llibres de l’Anna

y  nombre de llibres de l’Alícia

Segells de 0,26 €: x 







Segells de 0,84 €: y   Aïllem x de la 1a equació: 

I substituïm a la 2a: Hem comprat 4 segells de 0,84 € i 7 segells de 0,26 €.

173

5

Sistemes d’equacions

x  edat d’en Cèsar

y  edat d’en David

x  longitud de la llargada

y  longitud de l’amplada

x  longitud de la llargada

y  longitud de l’amplada

Cotxes de quatre places: x Cotxes de cinc places: y  



  

 









  





Substituïm a la 2a equació: 

I aïllem:



 

 









   



 

Han llogat 6 cotxes de quatre places i 4 cotxes de cinc places.

174

5

Sistemes d’equacions

x  valor d’una de les monedes d’en Damià

y  valor d’una de les monedes d’en Raimon → x  0,2; y  0,5

x  nombre d’alumnes de 3r d’ESO

y  nombre d’alumnes de 4t d’ESO → x  65, y  74

Preu de la camisa: c

Aïllem a la 1a equació:

Preu dels pantalons: p

i substituïm a la 2a:

€ I aïllem:

x  nombre total de caramels

€

y  nombre de néts

175

5

Sistemes d’equacions

HAS DE SABER FER

a) x  6y  3 → Coeficient de x: 1

Coeficient de y: 6

Terme independent: 3

b) x  2y  0 → Coeficient de x: 1

Coeficient de y: 2

Terme independent: 0

a)

c)

(3, 2)

Compatible determinat: una única solució b)

Incompatible: sense solució d)

(0, 0)

Compatible indeterminat: infinites solucions

a)

Reducció

b)

Substitució

Compatible determinat: una única solució

x  3, y  2

176

5

Sistemes d’equacions

c)

x  edat de la Carme

Igualació

y  edat del seu pare

COMPETÈNCIA MATEMÀTICA. En la vida quotidiana

177

5

Sistemes d’equacions

x  nombre de contenidors de 40 tones

y  nombre de contenidors de 60 tones

a) És a dir, els calen 8 contenidors de 40 tones i 4 contenidors de 60 tones. b) No és possible transportar exactament 590 tones.

FORMES DE PENSAR. RAONAMENT MATEMÀTIC

Litres

Preu

Oli A

x

5,2x

Oli B

y

6,2y

Barreja

100

5,2x  6,2y

Equacions

x  y  100

Necessiten 20 ℓ d’oli del tipus A i 80 ℓ d’oli del tipus B.

Pintura de 12 €/ : x Pintura de 15 €/ : y Aïllem x de la 1a equació: I substituïm a la segona:

Pintura de 12 €/ :

litres. Pintura de 15 €/ :

litres.

178

5

Sistemes d’equacions

Suc de 0,50 €/ℓ: x

Suc de 0,80 €/ℓ: y

Substituïm a la 2a equació: 0,50x  0,80(120 − x)  85,50 → 0,50x  96 − 0,80x  85,50 → −0,30x  −10,50 → x  35 I aïllem: y  120 − x  120 − 35  85. Han de mesclar 35 ℓ de suc de 0,50 €/ℓ i 85 ℓ de suc de 0,80 €/ℓ.

El lingot pesarà 7.500  1.312,5  8.812,5 g

b) La solució és la mateixa, ja que, si multipliquem tots els termes d’una equació per una mateixa quantitat, l’equació que en resulta és equivalent, és a dir, té les mateixes solucions.

Si les xifres x i y són: Sumem les equacions: Substituïm a la 1a equació: y  0 Els nombres que compleixen aquesta condició són les desenes i les unitats.

179

5

Sistemes d’equacions

PROVES PISA

x  nombre d’habitacions dobles

y  nombre d’habitacions senzilles

Així doncs, no es pot celebrar la convenció en aquest hotel.

180

5

Sistemes d’equacions

a) La puntuació més alta que pot obtenir és contestant totes les preguntes correctament: 3 · 50  150 punts. I la més baixa, si les contesta totes de manera incorrecta: 1 · 50  50 punts. b) Si té 18 respostes correctes i la resta són incorrectes, la puntuació és de 3 · 18  32  54  32  22 punts. c) Com a mínim ha de contestar correctament 25 preguntes. d) 50  12  38 preguntes que ha contestat x  nombre de respostes correctes

y  nombre de respostes incorrectes

181

Proporcionalitat numèrica

6

CLAUS PER COMENÇAR

a) b)

a) x 

24

c) x 

b) x 

 12

d) x2  16 → x 4, considerem només la solució positiva





 70

a)

 8,4

c)

 34

e)

 0,09

b)

 8,4

d)

 2,1

f)

 0,2025

INTERPRETA LA IMATGE

Comissió mínima  4,5 % de 450  Comissió màxima  5 % de 450 

 20,25 €  22,50 €

182

6

Proporcionalitat numèrica

T'HI ATREVEIXES? 3 · 30  90 enciams En 30 dies, 2 conills es menjaran 90 enciams.

Es va endur l’aigua que li corresponia per a 8 dies (des del dia cinquè fins al dia dotzè, tots dos inclosos), és a dir, 8 ℓ d’aigua.

croissant 

de la magdalena → magdalena 

del croissant → La magdalena costa un 33,33 % més

que el croissant.

ACTIVITATS

a) No són proporcionals, perquè b) Són proporcionals, perquè

8,32 4,5

6

10

Resposta oberta. Per exemple: Cireres comprades (kg)

1

2

3

4

Preu (€)

3,50

7,00

10,50

14,00

183

6

Proporcionalitat numèrica

a)

→x

 15 panades

a)

→x

 45 persones

b)

→x

 1,2 kg

a)

→x

 18 cm

b)

→ x 

a)

→ x 

b)

→ x 

c)



b)

→x

 24 kg

 170 km

 

 13,23 ℓ

13,23 · 1,44  19,05 € es gasta en combustible.

 1.037,04 km

→ x  1.550,93 km

184

6

Proporcionalitat numèrica

a)

→x

 49 menús del dia

b)

→x

 6 menús de degustació

a) Són inversament proporcionals, perquè 2 · 6  6 · 2  3 · 4 b) No són inversament proporcionals, perquè 5 · 15 ≠ 6 · 14

2 12

4 4

3

Resposta oberta. Per exemple, suposem que s’ha de recórrer una distància fixa:

a)

Velocitat (km/h)

45

60

15

90

Temps (h)

2

1,5

6

1

→ x 



 37,3 → 38 obrers

b)

→x

 84 dies

185

6

Proporcionalitat numèrica

a)

→ x 

b)

→ x 

a)

→ x 

b)

→ x 

a)

→x

b)

→x

 



 9 dies

 5 senderistes

 2,25 hores  2 hores i 15 minuts



 1,5 ℓ per minut



 9 dies



 18 pintors

c) La proporcionalitat és directa:

a) b)

→x



 11,25 dies

→ P1  36,36 €; P2  63,64 € → P1  63,64 €; P2  36,36 €

186

6

Proporcionalitat numèrica

a) Resposta oberta. Per exemple: Repartir una certa quantitat de diners com a remuneració per una feina que han dut a terme entre unes quantes persones de manera directament proporcional al temps que han emprat. b) Resposta oberta. Per exemple: Repartir els guanys del premi d’una loteria entre els que hi jugaven, considerant que cada jugador havia aportat una quantitat de diners diferent.

Les quantitats inicials també han de ser iguals.

a)

→ P1  50; P2  100

b)

→ P1  70; P2  80

c)

→ P1  25; P2  50; P3  75

d)

→ P1  40; P2  50; P3  60

e)

→ P1 42; P2  48; P3  60

f)

→ P1  40; P2  50; P3  60

a)

→ P1  40; P2  30

b)

→ P1  50; P2  20

c)

d)

e)

f)

→ P1  50; P2  20

→ P1  50; P2  20

→ P1  43,75; P2  17,5; P3  8,75

→ P1  43,75; P2  17,5; P3  8,75

187

6

Proporcionalitat numèrica

a) b) c)

→ P1  30; P2  40 → P1  30; P2  40 → P1  30; P2  40

El resultat és igual en els tres casos, perquè repartir una quantitat Q de manera directament proporcional a x i y és igual que repartir-la entre 2x i 2y, o entre 3x i 3y, o entre 4x i 4y, etc.

→

→ P1  80 m2; P2  100 m2; P3  160 m2; P4  260 m2

→ P1  6.000 €; P2  1.500 €; P3  600 €

→ x  52,5 ha

Anomenem x la quantitat d’hectàrees:

No. Si fem el repartiment de manera inversament proporcional, tenim quantitats diferents: → P1 

; P2 

188

6

Proporcionalitat numèrica

a) Temps en setmanes i nombre de camions → Proporcionalitat inversa. Temps en setmanes i tones de patates → Proporcionalitat directa. b) Nombre de persones i quilos de menjar → Proporcionalitat directa. Nombre de persones i nombre de dies → Proporcionalitat inversa. c) Temps en dies i nombre de persones → Proporcionalitat inversa. Temps en dies i quantitat de diners → Proporcionalitat directa.

Diners i nombre de cotxes → Proporcionalitat directa. Diners i nombre de dies → Proporcionalitat directa.

Les dues relacions (kWh consumits al dia i kWh consumits al dia amb hores de funcionament) són de proporcionalitat directa; així doncs, si en multipliquem una per dos i dividim l’altra entre dos, el consum no varia.

Nombre de màquines i litres de suc → Proporcionalitat directa. Temps en minuts i litres de suc → Proporcionalitat directa. Nombre de màquines i temps en minuts → Proporcionalitat inversa. Nombre de màquines

Litres de suc

Temps en minuts

6

x

20

3

5

y

z

3

35

a) b) c)

189

6

Proporcionalitat numèrica

Nombre d’operaris i hores de feina al dia → Proporcionalitat inversa. Temps en dies i hores de feina al dia → Proporcionalitat inversa. Nombre de metres de cable i hores de feina al dia → Proporcionalitat directa. Nombre d’operaris

Hores de feina al dia

Temps en dies

Metres de cable

18

6

6

300

24

x

14

700

hores al dia

Diners i temps en mesos → Proporcionalitat directa. Nombre d’alumnes i temps en mesos → Proporcionalitat inversa. Pressupost (€)

Temps en mesos

Nombre d’alumnes

34.000

1

262

35.200

x

284

Nombre d’ordinadors i despesa en euros → Proporcionalitat directa. Temps en hores al dia i despesa en euros → Proporcionalitat directa. Nombre d’ordinadors

Despesa en euros

Temps en hores al dia

9

2.340

10

15

x

9

190

6

Proporcionalitat numèrica

a)

juguen a bàsquet

b)

toquen un instrument musical

c)

participen en el club de lectura

→ Hi guanya 5.600 €.

a)

€

b)

€

c)

€

€

Anomenem x el preu inicial:

€.

ACTIVITATS FINALS

Són directament proporcionals: a) i c)

191

6

Proporcionalitat numèrica

a) P  4c Costat

1

2

3

4

Perímetre

4

8

12

16

Són directament proporcionals, perquè b) L  2r Radi

1

2

3

4

Longitud Són directament proporcionals, perquè c) A  5h Altura

1

2

3

4

Àrea

5

10

15

20

Són directament proporcionals, perquè d) P  6h Altura

1

2

3

4

Perímetre

6

12

18

24

Són directament proporcionals, perquè

320 10

1.600 125

2,5 0,2

0,25

La constant de proporcionalitat és k  40

La constant de proporcionalitat és k  2,5

40

192

6

Proporcionalitat numèrica

Resposta lliure. Per exemple: a)

k3

d)

A B b)

12 4

18 6

21 7

k5 5 1

10 2

15 3

3,7 2

A B f)

10 4

20 8

30 12

40 16

8 2

12 3

16 4

20 5

k4

20 4

k  1,85 A B

A B e)

A B b)

15 5

k  2,5

k  3,2

9,25 18,5 22,2 5 10 12

A B

a)

c)

b)

d)

6,4 2

12,8 25,6 51,2 4 8 16

a) b) c)

d)

193

6

Proporcionalitat numèrica

a) b) c)

 0,3393 m

a) b) c) d)

Són inversament proporcionals les magnituds de l’apartat a).

194

6

Proporcionalitat numèrica

a)

b)

c)

Resposta oberta. Per exemple: a) k  32 b) k  18 c) k  48 d) k  64

e) k  54

Magnitud A Magnitud B

2 16

4 8

8 4

16 2

Magnitud A Magnitud B

2 9

3 6

6 3

9 2

Magnitud A Magnitud B

2 24

3 16

4 12

6 8

Magnitud A Magnitud B

2 32

4 16

8 8

16 4

Magnitud A Magnitud B

3 18

6 9

9 6

27 2

195

6

Proporcionalitat numèrica

a)

→ Per tant, trigarien 4 setmanes i 2 dies.

b)

a) b)

→ 38 dies, 9 hores i 36 minuts

c) d)

196

6

Proporcionalitat numèrica

a) La constant de proporcionalitat és b) Si anomenem P1 la part que correspon a x, tenim que c) Si anomenem P1 la part que correspon a x quan la quantitat a repartir és 2Q, tenim que d) Si anomenem P1 la part que correspon a 2x, tenim que

20.000  5 · k  4.000 (12  5 3) · 4.000  quantia del premi  80.000 € A en Cesc li van correspondre 12 · 4.000  48.000 €, i a en Màrius, 3 · 4.000  12.000 €.

36  12 · k → k  3 (2  3  8  12) · 3  caramels totals  75

Si anomenem x la quantitat que va posar el tercer, 5x és el que va posar el primer i 10x és el que va posar el segon. D’aquesta manera, tenim que 16x  20 €, d’on x  1,25 €. Així doncs, el primer va posar 6,25 €; el segon, 12,5 €, i el tercer, 1,25 €.

197

6

Proporcionalitat numèrica

és la quantitat que hem repartit El que correspon a 2 i a 5 és: P1  12.500 : 2  6.250 P2  12.500 : 5  2.500

k  3 · 50  150. A 10 corresponen: 150 : 10  15, i a 7 corresponen: 150 : 7  21,43

Més gran: x

Més gran:

Intermedi:

Més baix:

€

Intermedi: Més baix:

€ €

Nombre de fotocopiadores i nombre de còpies → Proporcionalitat directa. Nombre de còpies i hores diàries → Proporcionalitat directa.

Nombre de membres de la família i temps en dies → Proporcionalitat inversa. Temps en dies i quilos de pa → Proporcionalitat directa. → El pa els duraria 5 dies i 15 hores.

198

6

Proporcionalitat numèrica

Nombre de persones i quantitat de la ració en grams → Proporcionalitat inversa. Temps en dies i quantitat de la ració → Proporcionalitat inversa.

Es tracta de comprovar amb quina proposta es tenen encesos els fanals durant menys hores, ja que així la despesa és més baixa. Això passa amb la segona proposta: L’hora de consum costa: 22.500 : (50 · 15 · 100)  0,30 € Primera proposta: 40 · 13 · 95  49.400 hores → Despesa: 49.400 · 0,3  14.820 € Segona proposta: 45 · 12 · 90  48.600 hores → Despesa: 48.600 · 0,3  14.580 €

Nombre de tones i quantitat de camions → Proporcionalitat directa. Temps en dies i quantitat de camions → Proporcionalitat inversa.

a) 220 · 0,15  33

c) 78 · 0,005  0,39

e) 349 · 0,17  59,33

b) 1.245 · 0,386  480,57

d) 48 · 0,095  4,56

f) 980 · 0,72  705,6

199

6

Proporcionalitat numèrica

a) 300 · 0,20 · 0,06  3,6

c) 2.600 · 0,46 · 0,17  203,32

b) 180 · 0,082 · 0,028  0,41328

d) 400 · 0,35 · 0,25  35

a) 200 · 0,25  50  100 · 0,50 → Cert b) 48 · 0,40  19,2 ≠ 24 · 0,20  4,8 → Fals c) 50 · 0,20  10  20 · 0,50 → Cert d) 48 · 0,40  19,2 ≠ 24 · 0,20  4,8 → Fals d) 7 · 0,20  7 · 0,30  7 · (0,20  0,30)  7 · 0,50  14 · 0,50 → Fals

a)

d)

b)

e)

c)

f)

a)

d)

b)

e)

c)

f)

200

6

Proporcionalitat numèrica

a) 50x  55 → x  1,1 → Augment del 10 %

e) 15x  20 → x  1,3333 → Augment del 33,33 %

b) 35x  40 → x  1,1428 → Augment del 14,28 %

f) 400x  450 → x  1,125 → Augment del 12,5 %

c) 55x  50 → x  0,91 → Disminució del 9 %

g) 20x  15 → x  0,75 → Disminució del 25 %

d) 40x  35 → x  0,875 → Disminució del 12,5 %

h) 450x  400 → x  0,8888 → Disminució de l’11,11 %

a) 180 · 1,023  184,14

c) 180 · 1,04  187,2

b) 180 · 0,85  153

d) 180 · 0,745  134,1

a) b) c) d)

670 · 1,21 · 0,75  608,03 € és el preu que pagarà per l’ordinador  9,25 % és el descompte total

201

6

Proporcionalitat numèrica

€

 500 €

600  (356  95)  149

%

Abans costaven 1 € i 1,10 €. → No és proporcional.

Cada unitat del paquet de 6 val

 12 €, per tant té un descompte de 0,80 €.

 6,25 % → Representa un descompte del 6,25 %.

L’àrea del quadrat de costat 6 cm és de 36 cm2. L’àrea del quadrat de costat 7 cm és de 49 cm2. Té un augment de 13 unitats →

 36,1 %

Si el costat és x, l’àrea és x2. Si el costat és 1,4x, l’àrea és 1,96x2 → Augmenta el 96 %.

202

6

Proporcionalitat numèrica

560 · 1,15 · 0,88  566,72 El resultat seria el mateix perquè el producte és commutatiu.

Anomenem Q la quantitat sobre la qual apliquem els augments. Q · 1,18 · 1,18  Q · 1,3924 ≠ 2Q · 1,18  2,36 · Q → No és el mateix.

Aplicar consecutivament dos augments del 10 % és multiplicar por 1,12  1,21. Aplicar un augment del 20 % és multiplicar per 1,2. No és el mateix.

Aplicar consecutivament dues rebaixes del 5 % és multiplicar per 0,952  0,9025. Rebaixar el 10 % és multiplicar per 0,9. No és el mateix.

Anomenem x el sou: Primer any:

Segon any:

Tercer any:

203

6

Proporcionalitat numèrica

a)

c)

b)

d)

a)

c)

b)

d)

624 € 1,5 € 1.000 € 3,2 €

a)

d)

b)

e)

c)

f)

 4 anys

204

6

Proporcionalitat numèrica

Rut: Manel: El rèdit ha estat més alt en la inversió de la Rut.

La segona inversió dóna més beneficis.

a) b)

Nombre de persones i nombre d’arbres → Proporcionalitat directa. Temps en hores i nombre d’arbres → Proporcionalitat directa. Nombre de persones

Nombre d’arbres

Temps en hores

7

35

2

12

x

3

205

6

Proporcionalitat numèrica

a) b)

a) b) 600 : 6  100 g cada persona

No hi han aplicat el mateix percentatge: → Rebaixa del 22,2 %

→ Rebaixa del 26,09 %

206

Proporcionalitat numèrica

6

La de l’apartat c), perquè 0,7 · 0,6  0,42 → Descompte del 58 %.

(0,71 · 4  1,15 · 3) : 7  0,90 €/ℓ

Considerem x la quantitat de carn del tipus A, i y, la quantitat de carn del tipus B.

Per cada quilo de carn del tipus A hi ha d’haver 3 kg de carn del tipus B.

(3,45 · 18  2,70 · 16) : 34  3,0971 €/kg Per guanyar-hi el 16 % n’augmentem el preu: 3,0971 · 1,16  3,59 €/kg S’ha de vendre el quilo de mescla a 3,59 €.

207

6

Proporcionalitat numèrica

El metall total és:

La llei de la mescla és:

El total de plata pura és: La llei del nou lingot és del 84 %.

«3  2» → La unitat costa

.

«2a unitat al 70 %» → La unitat costa «30 % de descompte» → La unitat costa

. .

«5 € de descompte per compres de més de 40 €» → No és comparable. «20 % més de producte gratis» → La unitat costa

.

Si la compra és més gran de 40 €: 1a: «2a unitat al 70 %» 2a: «3  2» 3a: «30 % de descompte» 4a: «5 € de descompte per compres de més de 40 €»

HAS DE SABER FER

A la primera taula, les magnituds són directament proporcionals, i k  . A la segona taula, les magnituds són inversament proporcionals, i k  36.

208

6

Proporcionalitat numèrica

a) b)

Nombre d’amics i diners → Proporcionalitat directa. Nombre de dies i diners → Proporcionalitat directa. Nombre d’amics

Diners

Nombre de dies

8

3.500

10

5

x

6

a) b)

Al nét que té 22 anys li corresponen: i al nét de 23 anys:

209

Proporcionalitat numèrica

6

El percentatge total que hi han aplicat és 0,85 · 1,3  1,105; és a dir, un augment del 10,5 %.

COMPETÈNCIA MATEMÀTICA. En la vida quotidiana

210

6

Proporcionalitat numèrica

400 € · 2 dies  800 €

50 € · 9 dies  450 €

290 € · 13 dies  3.770 €

410 € · 5 dies  2.050 €

En total, 7.070 € (7.070 : 30) · 1,5 %  3,53 €

FORMES DE PENSAR. RAONAMENT MATEMÀTIC

A i B són directament proporcionals B i C són inversament proporcionals Si multipliquem els dos termes de la igualtat per k1:

Així doncs, A i C són inversament proporcionals.

El repartiment proporcional corresponent a m és:

i el de n és:

El repartiment és inversament proporcional i la constant és:

Per tant, el repartiment és:

211

6

Proporcionalitat numèrica

• El repartiment, en cada cas, és el contrari; el que correspon a m en el repartiment directament proporcional és el que correspon a n en el repartiment inversament proporcional, i viceversa. • Sí, la demostració és la que hem fet anteriorment.

de la quantitat que hem disminuït

a)

c)

e)

g)

b)

d)

f)

h)

Són necessàries, com a mínim, 4 làmines.

PROVES PISA

212

6

Proporcionalitat numèrica

a) 10.000  5.000  15.000

0,8 · 15.000  12.000

b) La suposició correcta és la b) P  10.000  (1,5  0,8)7. Any 1: 10.000 · 1,5 · 0,8 Any 2: 10.000 · (1,5 · 0,8)2 Any 3: 10.000 · (1,5 · 0,8)3 ... Any 7: 10.000 · (1,5 · 0,8)7

213

7

Successions numèriques CLAUS PER COMENÇAR

a) 4n

b)

n 1 3

c)

2n  1 5

n d)   2

a) 65 : 63  62

d) (2)6  64

b) (2)5  32

2 e)   5

3

3 3 3 c)         4 4 4

9

3

2 2 :    5 5

2

e) 3n – 3

6

4

f) ((2)3)2  (2)6  64

INTERPRETA LA IMATGE

Si comptem els espais, «Demà aniré a la festa.» té 22 caràcters. A més, hem de comptar un espai final per a la resposta. Cada resposta «Jo també» conté 8 caràcters. També hem de comptar un espai final més per a la resposta següent. 22  1  (8  1)n  160 9n  137 → n  15,2 Com a molt s’hi afegiran 15 persones.

214

7

Successions numèriques

T'HI ATREVEIXES?

1  4  9  16  25  36  49  140 → En Dídac pot fer una torre de 7 pisos.

No es pot.

Si tenim 2 amebes, en el primer minut hi haurà 2 · 21  4 amebes; en el segon minut hi haurà 2 · 22  8 amebes, i en el minut 120 hi haurà 2 · 2120  2121 amebes. Si al principi hi ha 1 ameba, en el primer minut hi haurà 21 amebes; en el segon minut, 22, i en el minut 120 hi haurà 2120. Per arribar a 2121 amebes, han de passar 2 hores i 1 minut; així doncs, en el minut 121 hi haurà 2121 amebes.

Gasta dia 1: 25 €

Queden: 25 €

Gasta dia 2: 12,50 €

Queden: 12,50 €

Gasta dia 3: 6,25 €

Queden: 6,25 €

Gasta dia 4: 3,125  3,13 €

Queden: 3,12 €

Gasta dia 5: 1,56 €

Queden: 1,56 €

Gasta dia 6: 0,78 €

Queden: 0,78 €

Gasta dia 7: 0,39 €

Queden: 0,39 €

Gasta dia 8: 0,195  0,20 €

Queden: 0,19 €

Gasta dia 9: 0,095  0,10 €

Queden: 0,09 €

Gasta dia 10: 0,045  0,05 €

Queden: 0,04 €

Gasta dia 11: 0,02 €

Queden: 0,02 €

Gasta dia 12: 0,01 €

Queden: 0,01 €

Gasta dia 13: 0,005  0,01 €

Queden: 0 €

Gasta la seva última moneda el dia 13.

215

7

Successions numèriques

20 

5 3 r  1 r 4

ACTIVITATS

a) a1  6, a3  8, a6  11 b) a1  0, a3  4, a6  10 c) a1  1, a3  0,01, a6  0,00001

Resposta oberta. Per exemple: Successions finites: Nombres divisors de 25 i nombres parells de dues xifres. Successions infinites: Nombres senars i nombres múltiples de 3.

a) Cada terme és el doble que l’anterior: a5  48, a6  96, a7  192, a8  384, a9  768, a10  1.536. b) Cada terme és igual a l’anterior més 4: a5  19, a6  23, a7  27, a8  31, a9  35, a10  39. c) Cada terme és igual a l’anterior menys 4: a5  13, a6  17, a7  21, a8  25, a9  29, a10  33. d) El primer terme és 3, el segon és 4 i la resta són la suma dels dos termes anteriors: a5  47, a6  76, a7  123, a8  199, a9  322, a10  521.

2, 3, 4, 9, 16, 29, 54, 99...

a) 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

c)

b) 8, 5, 0, 7, 16, 27, 40, 55

d) 2,

, 1, ,

, 2, ,

, 3,

,4

,

,

,

,

216

7

Successions numèriques

a) a3  3, a5  3, a10  3 b) a3  11, a5  59, a10  3.842

an  an  1  an  2  1

a) No és una progressió aritmètica.

c) És una progressió aritmètica amb d 

b) És una progressió aritmètica amb d  4.

d) No és una progressió aritmètica.

.

a) La successió és 6, 1, 4..., per tant d  5 i a1  6. b) La successió és 7, 4, 1..., per tant d  3 i a1  7.

an  a1  (n  1)d

an 

2 1 n 2  1  (n  1)      an   3  2 2 3

a) d  2

b) d  5

c) d 

a) d  4

b) d 

c) d  6

d) d 

217

7

Successions numèriques

a) 21  12  3d → d  3

c) 60  60  6d → d  20

b) 34  8  7d → d  6

d) 83  3  16d → d  5

an  5  (n  1) · (2)  2n  7

a3  a1  (3  1) · d → 9  a1  2 · 7 → a1  5 an  5  (n  1) · 7  7n  12

a) an  7  (n  1) · 5  5n  12

d) an 

b) an 

e) an  50  (n  1) · (10)  10n  60

 (n  1) ·  n  3

c) an  5  (n  1) · 7  7n  2

 (n  1) ·



n

f) an   (n  1) ·  n

a) 1  36  5d → d  7;

a1  43;

an  43  (n  1) · (7)  7n  50

b) 53  26  3d → d  9;

a1  100;

an  100  (n  1) · 9  9n  109

c) 50  25  5d → d  5;

a1  5;

an  5  (n  1) · 5  5n

d) 28  3,5  7d → d  3,5;

a1  7;

an  7  (n  1) · 3,5  3,5n  10,5

218

7

Successions numèriques

a) a1  2; d  4; a25  98 → S

b) a1

1 1 ;d ; a25 10 10

a1

d) a1

a) S100  b) S100 

a

1

 a100   100

a1

5 ; → S 25 2

a

1

→ S 

 a100   100

→ S 

a1  a8  a4  a5  28 →

S8

a1

2

c) a1  312; a20  122 → S20 

a25

a25

→ S 25

25

a8

 1.250

5 2

25

→

→ S

1 10

25

25

2

65 2

50 190 25

S 25

 1.750

2

5

53

3

3

725

2

3

25

 9.400  6.900

8

a4

2

b) a20  44  19 · ()  6 → S20 

25

98 25 2

2

 3  135   100

a) a20  24  19 · (3)  33 → S20 

2

S 25

2

2

a1

a25

a1

S 25

 5  193  100

100

2

→

2

53 ; → S 25 3

100

2

25

2

c) a1  50; d  10; a25  190; →

5 ; d  2 ; a25 3 3

a25

25

a5

8

 28 · 4  112

2

 24  33  20  90 2

 44  6   20  500 2

 312  122   20 2

 4.340

 1  17   20   17 2   d) a1  1; a20  → S20   75 2

2

219

7

Successions numèriques

a

a) S18 

1

 a18   18

1  103  18

→ S18 

2

 936

2

 5  49   18    a1  a18   18 2 6  b) S18  → S18   96 2

a

c) S18 

1

2

 a18   18

 12  39   18

→ S18 

2

 243

2

 1  18   18    a1  a18   18 3 3  d) S18  → S18   57 2

S25 

 3  71   18   333 4   4 → S18  

a

 a18   18 1

e) S18  f) S18 

2

2

a

b) S45  c) S45 

d) S45 

 a18   18

1

2

a

a) S45 

2

1

 a25   25 2

a

1

→ S18 

→ S25 

 a45   45 2

 a1  a45   45 2

a

1

 a45   45 2

a

 a45   45 1 2

2

145  110   18

 5  115  25

→ S45 

 315

2

 1.375

2

1  177   45

 4.005

2

 1  41   45   3   → S45   285 2

→ S45 

 2  130   45

 2.880

2

 7  37   45   5 5  → S45   135 2

220

7

Successions numèriques

S15  240 

 5  a   15 15

2

→ a15  37

a15  37  5  14d → d  3; a30  5  29 · 3  82

S30 

a

1

 a30   30



 5  82   30

2

S20  160 

 1.155

2

a

1

 27   20 2

→ a1  11

a20  27  11  19d → d  2; a50  11  49 · (2)  87 S50 

a

1

 a50   50



11  87   50

2

 1.900

2

a1  3; d  3; a7  3  6 · 3  21

S7 

a

1

 a7   7



2

 3  21  7 2

 84

Són progressions geomètriques les successions dels apartats b), c) i e).

a) a1  (2) · 31  6

a3  (2) · 33  54

b) a1  5 · 21  1  5

a3  5 · 23  1  20

221

7

Successions numèriques

11

c) a1 

1 1 · 5  2 



1 20

1 1 · 5  2 

a3 

d) a1  3 · (1)1  2  3

31



1 80

a3  3 · (1)3  2  3

an  a1 · rn – 1

1  2

n 1

an  3  

a) an  5 · 3n  1 b) an  3 

1 2

a6  5 · 36  1  1.215

 3

 2r2 → r 

n 1





 3

n 1

a6 

 3

7

 27 3

1 2

1 1 Si r  , → a1  4; an  4 ·   2 2

n1

1 1 i a5  4 ·    2 4 4

De la mateixa manera, obtindríem la solució prenent l’arrel negativa.

9

3

a) r 

4



16 4

1



64

4

c) r  2  1

16

3 2 3



6 3 2



6 2 6



2

d) r 

12 4

2  2 3 3 9 2

2

b) r 

27



2

36 108 12

36

 3

222

7

Successions numèriques

2

2 1 1 c) a1  6 ·     ; r  3 3 3

a) a1  4 · (2)0  4; r  2 b) a1 

1 1 5 ·5  ;r5 7 7

d) a1  3 · 21 

a) 50  2 · r2 → r   5

3 ;r2 2

c) 1  64 · r3 → r 

1 4

b)

9 4



4

·r4 → r 

9



3

d)

2

16 81

 48 · r5 → r 

1 3

a) an  a1 · rn  1  2 · 5n  1

5

b) an  a1 · rn  1  c) an  a1 · rn  1 

1

 5   5 n 1

n

 (2)n  1  (2)n  4

8

d) an  a1 · rn  1 

3

· 2n  1  3 · 2n  3

4

223

7

Successions numèriques

a) 1  32 · r5 → r  

 1 ; a1  64; an  64 ·    2  2

n1

1

 (2)7  n

b) 48  3 · r2 → r   4; Si r  4 → a1  

3

3

; an  

· 4n  1  3 · 4n  4

64

64

De la mateixa manera, obtindríem la solució prenent l’arrel negativa.

a) S10 



  3   4 

10

a1  r  1

b) S10 

10

r 1



4  1



a1  r  1

c) S10 

d) S10 

10

r 1

a1   r 10  1 r 1 a1   r 10  1

a) an  35 ·

r 1

 5

  629.145

1

n1

5





10

5

  3.124

1

5 1

5

5 1



 781 5  3.905



1 10   2   1 341  8  2  1 8 1 10   3  1  14.762 2 3 1

; S9 

a1   r 9  1 r 1







35 



  5.460

59  1 5 1



5  27.335



4 9    3  1 a1  r 9  1 19.682 4 n1 b) an   · (3) ; S9   3   3 3 3  1 r 1

224

7

Successions numèriques

La successió és an  3 · 2n  1; Per determinar la sisena bifurcació calculem a7. S7 

a1   r n  1 r 1

3   27  1



2 1

 381

381  3  378 → Les bifurcacions tenen 378 km, sense comptar el tram inicial.

 1   1      1  2   7

a) S 7 





a1  r  1 7

r 1

1

127



64

1

2 b) 0,4  0,1 · r → r  2

Si r  2, S7 



2

  0,1   2

a1  r  1 7

r 1

7



1

2 1

 12,7

De la mateixa manera, obtindríem la solució prenent l’arrel negativa. c)

1

1

3

3

  3 · r2 → r  

 1   9      1   3   7

Si r 

1 3

, a1  9 → S 7 





a1  r  1 7

r 1

1

1



1.093 4

3

3

De la mateixa manera, obtindríem la solució prenent l’arrel negativa.

225

7

Successions numèriques

a) S6 



  1 3

6

a1  r  1 6

r 1

  364

1

3 1

1 b) 8  a1 ·   → a1  32 2 2

S6 





a1  r  1 6

r 1

  1 6   1   2      63

32   

1

1

2

1

c) 2  a1 · (2) → a1   2

 3

d) 9  a1 ·

 5

an  2 5 ·

S10 

4



n

S6 

a1  2 5

2

r 1

2

→ a1  1

a1  r  1 n

S6 

5



   2    2  1

a1  r  1 6

r 1





r

r 1

1

  21

1

2  1

a1  r  1 6

6

 3  1

2

6

3 1

 13 3  13

5

 5  1  6.248 10

5 1

5

5 1

 1.562 5  7.810

a6  a1  r 5 → 256  8 · r5 → r  2 Sn 

S7 

a1   r n  1

→

r 1



r 1

2 1

  3  3

a1  r  1 7

8   2n  1

7

 1

3 1

 504 → n  6

 3.279 persones

226

7

Successions numèriques

a) r 

25 1 100 400  S   1 100 4 3 1 4

b) r 

1 10 100 S   1 10 9 1 10

c) r 

4 1 20  S   25 1 20 5 1 5

r

1 4 S  5 1 5 1 5

2  1  1 a) an          5  2  2

b) a1  6, r 

n1

1 1 , a1   , r   → S  2 5

1 5  2 1 15 1 2 

6 2  18 → S 2 3 1 3

8 2 8 1 , a1   , r  → S  25  1 25 5 5 1 5 1 1 1 2 d) a1  , r  → S  10  2 10 5 6 1 5

1 c) an  8    5

2

1   5

n1

La suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica amb raó entre –1 i 1 és

a1 . Aquesta suma és finita. 1 r

227

7

Successions numèriques

5

 

a) C f  1.200  1 

2    1.324,90 € 100  4

3   b) C f  1.200   1    1.350,61 €  100  8

 

c) C f  1.200   1 

4, 2    1.667,72 € 100 

Si expressem el temps en anys, t  6  0,417  0,0329  6,4499 anys  3, 4  1.245  C  1    100 

6,4499

→ C  1.003,49 €

5

6   C f  C  1    C 1,338  100 

10

3   C f  C  1    C 1,343  100 

El dipòsit de 10 anys al 3 % genera més beneficis.

ACTIVITATS FINALS

a) 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22... b) 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384... c) 3, 4, 6, 9, 13, 18, 24, 31... d) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35... e) 3, 33, 333, 3.333, 33.333, 333.333, 3.333.333... f) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...

228

7

Successions numèriques

a) an  2n  1 → a11  21 i a17  33 b) 2n  1  11 → n  6;

2n  1  17 → n  9

c) 2n  1  23 → n  12;

2n  1  35 → n  18

Hi ha 5 termes: a13, a14, a15, a16 i a17, que adopten els valors 25, 27, 29, 31 i 33, respectivament.

a) La successió és recurrent i el terme general és: an  an  1  an  2 31  12  19  a6 b) La successió és aritmètica i el terme general és: an  3n  1 31  3n  1 → n  10 → a10  31

a) El terme general és n3.

El terme que falta és 64.

b) El terme general és an  1  4n.

El terme que falta és 17.

c) El terme general és an  3n  1.

El terme que falta és 8.

d) El terme general és an  7n.

El terme que falta és 14.

e) El terme general és an  3n  1.

El terme que falta és 27.

a) 4, 1, 6, 11... b) 7, 4, 1, 2... c) 100; 10; 1; 0,1... d) 3, 9, 81, 6.561...

229

7

Successions numèriques

a) 5, 10, 20, 40... b) 5, 14, 23, 32... c) 5, 30, 930, 865.830...

a) 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

e) 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43

b) 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25

f) 0, 4, 10, 18, 28, 40, 54

c) 4, 1, 2, 5, 8, 11, 14

g) 4, 1, 0, 1, 4, 9, 16

d) 1,

3 2

, 2,

5

, 3,

2

a) 2, 4, 8, 16 b) 1,

1 1 1 , , 2 4 8

c) 4, 8, 16, 32

7

1

5

7

11

3

3

3

3

h)  , 1,  ,  , 3, 

,4

2

,

13 3

d) 4, 9, 16, 25 e)

3 9 27 81 , , , 2 4 8 16

f) 4, 0, 4, 16

a) 4n  3  27 → 4n  24 → n  6 → a6  27 b) 2n  1  27 → 2n  28 → n  14 → a14  27 c) 5n  7  27 → 5n  20 → n  4 → a4  27 d) n2  n  3  27 → n  6 → a6  27 e) 3 · (n  2)2  27 → n  5 → a5  27 f) n2  2n  8  27 → n  5 → a5  27

230

7

Successions numèriques

a) a3  (1)4 · 9  9 b) a2 

1

2

4

a4  (1)5 · 12  12

7

a3 

4

1

3 

9

26 9

c) a4  43 · (1)4  64

a5  53 · (1)5  125

d) a6  12  36  3  21

a8  16  64  3  45

a)   3,1415926 → a4  5 i a5  9 → No se’n pot descriure el terme general. b) 3

1, 732050808... → a4

1, 7321 i a5

1, 73205 → No se’n pot descriure el terme general.

2, 2 2, 3 2, 4 2, ... → a4  4

c) La successió és:

, a5  5

, an  n

a) 3, 2, 5, 4, 23... b) 4, 6,

1 2

c) 2, 8, 7,

,

11

,

12

17

...

6

15 35 , ... 2 4

231

7

Successions numèriques

a) an  n

e) an  2n  4

b) an  2n

f) an  2n

c) an  2n  1

g) an  2n

d) an  2n  3

h) an  3n · (1)n  1

a) an  b) an 

1 n 1 n 1

d) an  e) an 

1 2 1 n

n3 n

2 1 n

c) an 

1 2

n

a) an  6n  1

f) an 

2

b) an  2n 

n

8 3

a) És el doble de la successió → an  2n2 b) Comença en el segon terme → an  (n  1)2 c) Suma 2 a cada terme → an  n2  2 d) Comença en el quart terme i divideix la successió entre 3 →

an 

 n  3

2

3

232

7

Successions numèriques

a) És progressió aritmètica: an  3n i d  3 b) No és progressió aritmètica. c) No és progressió aritmètica. d) És progressió aritmètica: an  6  3n i d  3

a) an  5  2n

d) an  4n  5

b) an  7  4n

e) an  11  3n

c) an  3  2n

f) an  3n  12

a) d  a2  a1  4

a5  a1  4d  3  16  19

b) a7  a3  4d → 8  4  4d → d  3

a5  a3  2d  4  6  2

c) a6  a3  3d → 23  8  3d → d  5

a5  a3  2d  8  10  18

d) a10  a5  5d → 5  5d → d  1

a5  0

a) a12  a4  8d → 22  6  8d → d  2 a6  a4  2d  10

a8  a4  4d  14

b) a7  a2  5d → 42  12  5d → d  6 a6  a7  d  36

a8  a7  d  48

c) a4  a1  3d → 34  7  3d → d  9 a6  a4  2d  52

a8  a4  4d  70

d) a7  a3  4d → 3  7  4d → d  1 a 6  a7  d  4

a8  a7  d  2

233

7

Successions numèriques

a) an  a5  (n  5) · d → an  2n  7 b) an  a10  (n  10) · d → an  220  15n c) an  a2  (n  2) · d → an  12n  36 d) a6  a3  3d → 3  24  3d → d  9 an  a3  (n  3) · d → an  51  9n e) a12  a8  4d → 18  6  4d → d  6 an  a8  (n  8) · d → an  6n  54 f) a6  a4  2d → 28  8  2d → d  10 an  a4  (n  4) · d → an  10n  32

a) 2, 5, 8, 11, 14... → d  3

c) 0, 5, 10, 15, 20... → d  5

b) 1, 5, 9, 13, 17... → d  4

d) 4, 8, 12, 16, 20... → d  4

a) 24  3n  6 → n  6 → a6  24 b) 24  2n  10 → n  17 → a17  24 c) 24  8  n → n  16 → No pertany a la successió. d) 24  4n  12 → n  3 → a3  24

a) a4  13  a1  3d a11  41  a2  41  a1  d  a1  10d → 41  2a1  11d Si resolem conjuntament: a1  4 i d  3 → an  4  (n  1) · 3  3n  1 b) a7  4  a5  4  a1  4d  a1  6d → 4  2d → d  2 a3  1  a1  2d → a1  3 Per tant, el terme general és: an  3  (n  1) · (2)  5  2n

234

7

Successions numèriques

c) a3  6  a1  2d a8  21  a1  a1  7d → 21  2a1  7d Si resolem conjuntament: a1  0 i d  3 → an  (n  1) · 3  3n  3 d) a6  25  a1  a1  5d → 25  5d → d  5 a2  2  a1  d → a1  3 Per tant, el terme general és: an  3  (n  1) · 5  5n  8

… … …

…

a) a5  a1  4d  8 → d  2

La successió és: 1, 3, 5, 7, 9...

b) a6  a1  5d  15 → d  3 La successió és: 3, 6, 9, 12, 15, 18... c) a7  a1  6d  24 → d  4 La successió és: 4, 0, 4, 8, 12, 16, 20... d) a8  a1  7d  56 → d  8 La successió és: 2, 10, 18, 26, 34, 42, 50, 58...

a1  4  3  1

a12  4 · 12  3  45 a25  4 · 25  3  97 S12  S25 

a

1

 a12   12 2

a

1

 a25   25 2

 (1  45) · 6  276



 1  97   25 2

 1.225

235

7

Successions numèriques

a) a6  a4  2d  20 → d  10 a1  a4  3d → a1  8  30  22 a30  a1  29d → a30  22  290  268  3.690 b) a1  a10  9d → a1  70  135  205 a30  a1  29d → a30  205  435  230  375 1

c) a4  a3  d 

3

a1  a3  2d → a1 

1 2

2 3

1 6

a30  a1  29d → a30 

1 6

29 3

57 6

d) a9  4a4 → a1  8 · (3)  4 · (a1  3 · (3)) → a1  4 a30  a1  29d → a30  4  29 · (3)  83  1.185

a

a) S16  528 

1

 a16   16 2

→ 66  a1  3 → a1  63

a16  a1  15d → 3  63  15d → d  4 an  a1  (n  1) · d → an  67  4n b) a1  a3  2d  11  2d;

S35  1.960  a1  5

a

1

 a35   35 2

a35  a1  34d  a3  2d  34d  a3  32d  11  32d 

 22  30d   35 2

→ 1.960  (11  15d) · 35 → d  3 1.960

an  a1  (n  1) · d → an  3n  2

236

7

Successions numèriques

c) S52  6.682 

a

1

 a52   52 2

→ 6.682  (1  1  51d) · 26 → d  5 6.682

an  a1  (n  1) · d → an  5n  4 d) a1  a8  7d y a13  a8  5d → S13  0 

a

1

 a13   13 2

→ 0  8  7d  8  5d → d  8

a1  8  56  48 i an  8n  56

a) an  n → S50  b) an  2n

S50 

a

 a50   50

1

2

 (1  50) · 25  1.275

2n  100 → n  50

a

1

 a50   50 2

 (2  100) · 25  2.550

c) an  99  3n; a1  102, a33  198; S

 a1  a33   33

d) an  2n  1

S

 4.950

2

2n  1  79 → n  40

 a1  a40   40 2

 (1  79) · 20  1.600

e) 11.130 : 2  5.565. Tan sols hauríem de sumar dos parells consecutius: 5.564  5.566  11.130. Si els sumem començant des del 2:

Sn 

a

1

 an   n



 2  2n   n

2

2

 11.130 → n2  n  11.130  0 → n  105

Hem de sumar els 105 primers nombres parells. f) Sn 

a

1

 an   n



1  2n  1  n

2

2

 2.916 → n2  2.916 → n  54

(a1  a5)  (a2  a4)  2a3

S5  80 

a

1

 a5   5 2



5  2a3 → 32  2a3 → a3  16 2

a1  8, a2  12, a3  16, a4  20, a5  24

237

7

Successions numèriques

an  2n  3; Sn  780 

5  a   n n

2

; 780 · 2  (5  3  2n) · n → n2  4n  780  0 → n  26

a) 2, 6, 18, 54, 162...

c) 3, 12, 48, 192, 768...

b) 1, 3, 9, 27, 81...

d) 2, 4, 8, 16, 32...

a) Geomètrica de raó 3.

d) Geomètrica de raó 1.

b) Aritmètica de diferència 2.

e) Geomètrica de raó

c) Geomètrica de raó

1 . 2

1 . 4

f) Geomètrica de raó 5.

Les progressions b), c) i d) no són geomètriques. a) Geomètrica de raó 2.

e) Geomètrica de raó

a) an  (1) · 2n  1

d) an  (2)n

b) an  3 · (4)n  1

e) an  4n  1

 1 c) an  8 ·     3

2 f) an  (9) ·   3

n1

7 . 2

n1

238

7

Successions numèriques

3 a) an  270    2

n4

n 1



53 2

n 5

b) an  5 · (5)n  3

2  3

n2

c) an  12  



2n 3n3

d) an  10n  5

a) 3, 9, 27, 81, 243... → r  3

c)

r

b) 12, 24, 48, 96, 192... → r  2

d) 2.401, 343, 49, 7, … r 

a) r  6 : 3  2; a4  3 · 23  24

1 b) r  4 : (16)   ; a4  a3 · r → a4  4 · 4 c) r2  2.048 : 32  64 → r 

  1   1    4

8

Si r  8 → a4  a3 · r → a4  32 · 8  256 De la mateixa manera, obtindríem la solució prenent l’arrel negativa. d) r2  2.187 : 243  9 → r 

3

Si r  3 → a4  a5 : r → a4  243 : 3  81 De la mateixa manera, obtindríem la solució prenent l’arrel negativa.

a) r2  27 : 243 

1 1 →r  9 3

a3  a5 : r2  243 :

1  2 187; 9

Considerem r 

1 3

a6  a5 · r  243 ·

1  81 3

De la mateixa manera, obtindríem la solució prenent l’arrel negativa.

239

7

Successions numèriques

b) r 

8 16 5 :  5 25 2

 5  125 a6  a3 · r  4 ·    2 2 3

8 5 a3  a2 · r    4; 5 2

3

c) r2  432 : 12  36 → r 

Considerem r  6

6

a3  a2 · r  12 · 6  72;

a6  a4 · r2  432 · 36  15.552

De la mateixa manera, obtindríem la solució prenent l’arrel negativa. d) r  1 : (1)  1; a3  a4 : r  1 : (1)  1;

a) r2  3 : 12  Si r 

a6  a4 · r2  1 · 1  1

1 1 →r  4 2

Considerem r 

1 2

1 1 , a4  a1 · r3 → a1  12 :  96 2 8

De la mateixa manera, obtindríem la solució prenent l’arrel negativa. b) r  6 : (6)  1; a2  a1 · r → a1  (6) : (1)  6 c) r  512 : 128  4; a6  a1 · r5 → a1  128 : (1.024)   d) r2  0,001 : 0,1  0,01 → r 

0,1

1 8

Considerem r  0,1

Si r  0,1 → a3  a1 · r2 → a1  0,1 : 0,01  10 De la mateixa manera, obtindríem la solució prenent l’arrel negativa.

… … … …

240

7

Successions numèriques

1 a) an  a3 · rn  3 → 12  12 · 10n  3 →  10n  3 → n  1 100 500 5 b) an  a3 · rn  3 → 240.000  12 · 10n  3 → 100.000  10n  3 → n  8 5

r

4 27  4  ; an  3    3 16  3 

n 1

→n3

Així doncs, a3  3 i a4  4

an  a6 · rn  6 → 3.720.087  1.701 · 3n  6 → 2.187  3n  6 → n  13. És el terme a13.

S5 

S10 

S15 



 S

a1  r  1 5

r 1





5

S

a1  r  1 10

r 1





10

a) S7 

b) S7 



 S

a1  r  1 r 1



7

 S

r 1

7

  3.255.208

10

5  1 2



 5  1 15

5  1





18  3  1 7

3 1 1

a1  r  1 7





15

7

 1.042

2   5   1



 S

r 1

5

5  1

a1  r  1 15



2   5   1

 3





 3 1 7

3 1



 10.172.526.042

 19.674

1093 3

241

7

Successions numèriques



b) a1 

7

r 1

d) S7 

a) S6 

 S

a1  r  1

c) S7 



7

 S

a1  r  1 7

r 1



 S

a1  r  1 6

r 1 4 9

:3  2

4

6



7

1

 2  1  43 7

2  1



81



7  4 1 6

4 1

S10 

;

7

2 1





  3.048

24  2  1





 9.555

→S

a1  r  1 10

r 1

10

4  81





 3 1 10

3 1



118.096 81

  1 8  10      1  5   195.312 a1   r 8  1   c) S8  → S8  1 r 1 15.625 1 5

a) S 

a1 10 25 S   1 1 r 2 1 5

b) S 

a1 16 S   64 3 1 r 1 4

1 a1 4 1 a) S    3 r  1 r 9 1 r 4 La successió és

b) S 

1 1 1 1 1 , , , , ... 3 12 48 192 768

a1 a 15   1  a1  3 1 r 4 1 1 5

3 3 3 3 , , ... 5 25 125 625

La successió és 3, ,

242

7

Successions numèriques

S9 

r3  8 → r  2 → a1  10

a1   r 9  1 r 1

 S9 

10   29  1 2 1

 5.110

  1 5  a1      1  5 a1   r  1 781  5   →a 5 a) S5  →  1 r 1

1

500

4

1

5

Així doncs, la successió és

5 1 1 1 1 , , , , ... 4 4 20 100 500

5 a1 25 b) S  S  4  1 16 1 r 1 5 Les dues sumes són pràcticament iguals:

781 25  1,562 i  1,5625 500 16

És una progressió geomètrica amb r  1,2 i a1  0,75. a10  0,75 · 1,29  3,87 m farà al cap de 10 anys, per tant haurà crescut: 3,87  0,75  3,12 m

És una progressió geomètrica amb r  0,5 i a1  1. El cinquè bot és el terme sisè de la progressió: a6  1 · 0,55  0,03125 m

243

7

Successions numèriques

És una progressió geomètrica amb r 

2 i a1  1. 3

 2  7  1     1  3   La suma dels 7 primers termes és: S7    2,82 m 2 1 3

a) La successió dels perímetres és 4, 8, 12, 16... És una progressió aritmètica amb d  4. b) La successió de les diagonals és 2, 2 2, 3 2, 4 2, ... És una progressió aritmètica amb d  2 . c) La successió de les àrees és 1, 4, 9, 16... No és ni progressió aritmètica ni geomètrica. El terme general és an  n2.

a) La successió de les mides dels costats dels quadrats és 1, 2, 4, 8... És una progressió geomètrica amb r  2. b) La successió de les mides de les àrees dels quadrats és 1, 4, 16, 64... És una progressió geomètrica amb r  4.

La successió és

5, 10, 17,

26, ... i an

1

n

1

2

→ a12

170

244

7

Successions numèriques

S7 

a

1

 a7   7 2

→ 77 

2  a  7 7

2

 a7  20

a7  a1  6d → 20  2  6d → d  3 Per tant, les longituds dels costats són: 2, 5, 8, 11, 14, 17 i 20.

S3 





a1  r  1 3

r 1

→ 26 



 a

a1  3  1 3

3 1

1

 2 → I les edats dels germans són 2, 6 i 18 anys.

Els valors que adopta el pes del nadó cada mes es troben en progressió geomètrica. Per determinar el pes que tenia el nadó al final del quart mes hem de calcular a5. a1  2.900, r  1,2; a5  2.900 · 1,24  6.013,44 g

h  altura d’un dels 99 esglaons iguals 1.505  20  99 · h  h 

1.485  15 cm 99

Es podria considerar que els 99 esglaons formen una progressió aritmètica de diferència d  0.

La successió 625, 500, 400, 320... és una progressió geomètrica de raó r 

4

.

5

 4     1  5    2.600, 712 m 8

Sumem els 8 primers termes: S8 





a1  r  1 8

r 1

625   4

1

5

245

7

Successions numèriques

Els salts formen una successió geomètrica i la distància que recorre la granota és la suma d’aquests salts. a) L’equació que resulta de la suma de n termes de la progressió formada pels salts és:   1 n   1   2     , que no té solució. D’aquesta manera no arriba al centre de la tolla.

3 9

1

1

2

 1    2 

b) De la mateixa manera,

9

1



n

4

 1

 tampoc té solució. Així tampoc arriba al centre de la tolla.

1

2

c) En aquest cas hi arribaria fent infinits salts, ja que S 

3 1

2

9.

3

 3    4 

n

2

d) De la mateixa manera,

9

3



 1

 no té solució i tampoc arriba al centre de la tolla.

1

4

Les quantitats que recorre cada dia formen una successió geomètrica, amb r 

4 . 3

Calculem la suma dels 30 primers termes:

S30 





a1  r  1 30

r 1

 4    3 

1.500    

4

30



 1

  25 .193, 99549 km

1

3

Per tant, sí que aconseguirà l’objectiu.

246

7

Successions numèriques

Progressió aritmètica amb d5 i a1  20. 5n2  35n  2.700  0 → n  20

a)

 230.250 €

b)

c)

€

Les persones que transporta cada any s’ajusten a una progressió geomètrica amb a1  500.000 i r  1,04. La quantitat que ens demanen és la suma dels 6 primers termes d’aquesta progressió. S6 





500.000  1, 04  1 1, 04  1

6

 3.316.487 persones

Ens demanen el terme a11 d’una progressió geomètrica amb r  1,02 i a1  20.000. a11  20.000 · 1,0210  24.380 habitants

a21  a1 · r20 → 144  100 · r20 → r  1,018 La taxa de creixement anual és 1,8 %.

247

7

Successions numèriques

C  5.000 €, r  4 %

 

a) C f  C  1 

t

3

t

5

r  4     5000  1    5.624,32 € 100   100 

r  4    b) C f  C  1    5000  1    6.083,26 €  100   100 

 

c) C f  C  1 

t

6

r  4     5000  1    6.326,60 € 100   100 

t

r   4 C f  C  1   → 59.626  C · 1,045 → C  50.000 €  100 

t

2

r  r    C f  C  1    10.527  10.000  1    r  2,6%  100   100 

t

r  3    C f  C  1    2.100  C  1    100   100 

t

48

→ C  508,20 €

3

r  10    C f  C  1    133,10  C  1   → C  100 €  100   100 

2

r  6 r r 6  6.000  5.000  1  1   1   5 100 100 5  100  

r  0,095  L’interès és del 9,5 %. 100

248

7

Successions numèriques

HAS DE SABER FER

a) 5, 7, 9, 11, 13...

b) 2; 1; 0,5; 0,25; 0,125...

a) 1, 3, 2, 5, 7...

b) 2; 4; 2; 0,5; 0,25...

a) d  5  13  8; an  13  (n  1) · (8)  21  8n; a8  21  64  43 b) d  6  4,5  1,5; bn  4,5  (n  1) · 1,5  3  1,5n; b10  3  15  18

an  133  8  (n  1) · 5  3  5n → n  26

a) r2 

a4  64 → r  a2

8

Si r  8 → a1  60 : 8 

Considerem la solució r  8

15 15 → an  · 8n  1  15 · 23n  4 2 2

De la mateixa manera, obtindríem la solució prenent l’arrel negativa. b) Si r  8 → S8 

7,5  88  1 8 1

 17.975.587,5

De la mateixa manera, obtindríem la solució prenent l’arrel negativa. Per determinar el producte multipliquem tots els termes. a1 

15 15 15 15 15 15 15 15 , a2  · 8, a3  · 8 2 , a4  · 8 3 , a5  · 84, a6  · 8 5 , a7  · 8 6 , a8  · 87 2 2 2 2 2 2 2 2 8

8

 15   15  a1 · a2 · a3 · a4 · a5 · a6 · a7 · a8    · 81  2  3  4  5  6  7    · 828  2  2

249

7

Successions numèriques

Es tracta d’una progressió geomètrica de raó 2 i dels 8 primers termes. S8 

0, 25   28  1 2 1

. La quantitat que ens demanen és la suma

 63,75 €

1.500  C  1,054 → C  1.234,05 €

COMPETÈNCIA MATEMÀTICA. En la vida quotidiana

Els infectats seran la suma dels 10 primers termes de la progressió geomètrica amb r  5 i a1  1. S10 

a1   r10  1 r 1



1  510  1 5 1

 2.441.406 mòbils infectats

250

7

Successions numèriques

FORMES DE PENSAR. RAONAMENT MATEMÀTIC

Si el primer terme d’una progressió geomètrica és 0, tots els termes seran 0, ja que els altres termes es calculen multiplicant el primer per la raó elevada a una certa potència. D’altra banda, no hi ha cap inconvenient perquè el primer terme d’una progressió aritmètica sigui 0.

És possible si tots els termes de la successió són el mateix. Seria una progressió aritmètica amb d 0 i, alhora, una progressió geomètrica amb r1. Per exemple: a) 3, 3, 3, 3...

2 2 2 2 , , , , ... 5 5 5 5

b)

c) 1, 1, 1, 1...

Perquè sigui aritmètica, an  1  an hauria de ser constant, i no ho és perquè depèn de n. Per a p  2 → an  1  an  (n  1)2  n2  2n  1 Per a p  3 → an  1  an  (n  1)3  n3  3n2  3n  1 Perquè sigui geomètrica,

I així sucessivament.

an 1 hauria de ser constant, i no ho és perquè també depèn de n. an

Per a p  2 →

an 1  n  1 n 2  2n  1 2 1    1  2 2 an n n n n2

Per a p  3 →

an 1  n  1 n3  3n2  3n  1 3 3 1    1  2  3 3 3 an n n n n n

2

3

I així sucessivament.

La diferència és d  2. I la suma és: Sn  

(a1  an )  n [a1  a1  (n  1)  d ]  n   2 2 [2a1  2  (n  1)]  n  (a1  n  1)  n  153 2

El valor de n ha de ser enter i, per tant, serà divisor de 153. Div (153)  {1, 3, 9, 17, 51, 153}

251

7

Successions numèriques

Calculem quins valors serveixen com a solució.  n  3  a1  3 – 1  51  a1  49; a2  51; a3  53 i la suma fins a a3 és 153.  n  9  a1  9 – 1  17  a1  9; a2  11; a3  13... i la suma fins a a9 és 153.  n  17  a1  17 – 1  9  a1  –7; a2  –5; a3  –3... i la suma fins a a17 és 153.  n  51  a1  51 – 1  3  a1  –47; a2  –45; a3  –43... i la suma fins a a51 és 153.  n  153  a1  153 – 1  1  a1  –151; a2  –149; a3  –147... i la suma fins a a153 és 153.

 0,3  0,03  0,003  ... Es pot expressar com la suma dels termes d’una progressió geomètrica amb r  0,1 i a1  0,3. 0,3  S 

a1 0,3 1   1  r 1  0,1 3

a) an  0; an  1

an  an – 1  a n – 2

b) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597, 2.584, 4.181, 6.765...

252

7

Successions numèriques

n AC i, per semblança de triangles, 8 el costat paral·lel a BC que passa per aquesta divisió serà:

La distància de A a cada divisió n de AC és

n  AC  AC  10n 5n  8  x 8 4 x  10  

per tant, formen una progressió aritmètica de diferència: d  I el primer terme: a1 

5 4

5 4

5    10  10 225 4 5    Així doncs, la suma és: S10     10   5  2 4 4  

PROVES PISA

Per passar de nivell afegeix la mateixa quantitat de quadrats que el nivell al qual accedeix. Haurà de fer servir 10 quadrats: 1  2  3  4  10

253

7

Successions numèriques

Tenim la progressió geomètrica següent: 1, 2, 4, 8, 16... Els grans que demanava són la suma dels 64 primers termes d’aquesta progressió: S64 

a1   r 64  1 r 1



1  264  1 2 1

 1,84 1019

254

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres CLAUS PER COMENÇAR

A r

B

r

r a

Triangle equilàter

a

Quadrat

INTERPRETA LA IMATGE

Del centre del rectangle al punt mitjà dels costats hi ha 2 m al llarg i 1,5 m a l’ample, per tant un radi de 3,5 m la il·luminarà sense problemes. Els punts més allunyats són les cantonades de l’habitació; hem de comprovar quina distància hi ha des del centre fins a cadascuna de les cantonades. Es forma un triangle rectangle de catets 2 m i 1,5 m; la distància és la hipotenusa: d2  22  1,52  d  2,5

3,5 m

La distància és més petita que el radi, de manera que sí que estarà il·luminada la cantonada i, per tant, tota l’habitació.

255

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

8

T'HI ATREVEIXES?

S’han creuat 11 vegades.

És cert, perquè la mitjana sempre talla l’angle oposat a la meitat per definició. I en un triangle rectangle, el costat oposat a l’angle recte és la hipotenusa.

Fa 5 quadrats i mig.

La successió que segueix una aranya seria: 1, 2, 4, 8, ..., 230  1  229 Dues aranyes seguirien la successió següent: 2 · 1  21, 2 · 2  22, 2 · 4  23, ..., 229. Trigarien un dia menys.

ACTIVITATS

256

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

a) Circumferència de radi 2 i centre (2, 3) Y

(2, 3) 1

X 1

b) Cercle de radi 4 i centre (2, 3)

c) Corona circular de centre (2, 3) i radis 1,5 i 3

Y

Y

(2, 3) 1

(2, 3) 1

X 1

X 1

Són dues circumferències tangents en el punt mitjà del segment.

A

B

a) Lloc geomètric dels punts que es troben a la mateixa distància de dues rectes paral·leles. b) Lloc geomètric dels punts que es troben a la mateixa distància de la recta r que el punt P.

257

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

És la mediatriu del segment.

A

B

Y

A 1

C

X

1

B

Y

(1, 2) 1

X 1

258

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

Y xy4

1

X 1

Tracem la bisectriu de l’angle que formen les dues rectes.

P

Marquem el punt Q de la bisectriu, que es troba a 5 cm de P.

Q

P

Tracem la perpendicular a una de les rectes des del punt Q.

Q

P

Tracem la circumferència de centre Q i que passa pel punt d’intersecció de la recta i la seva perpendicular.

Q

P

259

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

En tots els casos seguim el mateix procediment:  Dibuixem el triangle que formen els tres punts.  Tracem les mediatrius dels costats.  Tracem la circumferència amb centre en el punt de tall de les mediatrius i radi la distància a un dels punts. a)

c)

e)

Y

Y

Y

1 1

1

X 1

1

X 1

b)

d)

f) Y

Y

Y

1

X

1

1

1

X 1

a)

X

b)

X 1

c)

260

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

Lloc geomètric dels punts que equidisten dels vèrtexs d’un triangle.

En tots els casos seguim el mateix procediment:  Dibuixem el triangle que formen els tres punts.  Tracem les mediatrius dels costats.  Tracem la circumferència amb centre en el punt de tall de les mediatrius i radi la distància a un dels punts. En aquest cas el centre se situa sempre en el punt mitjà de la hipotenusa. a)

c)

e)

b)

d)

f)

261

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

a)



 



 



 

b)



 



 



 

c)



 



 



 

d)



 









 









 

   

Es tracta d’un enneàgon.

a) b) c) d) e) f)

a)

b)

No es corresponen amb les mides d’un triangle rectangle.

No es corresponen amb les mides d’un triangle rectangle.

262

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

8

Dos: el que té els catets de 21 cm i 28 cm (i, en conseqüència, la hipotenusa és de 35 cm), i el que té un catet de 21 cm i la hipotenusa de 28 cm (i, per tant, l’altre catet és de 18,52 cm).

a)



















b)

Primer calculem la hipotenusa del triangle rectangle:

Els triangles laterals són iguals i la seva àrea és: El triangle central té d’àrea:

a) b)

Primer calculem l’altra dimensió:

263

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

a) Anomenem x la base del rectangle; tenim que: Anomenem y la diagonal del rectangle; tenim que: b)

Anomenem d la diagonal del quadrat, i c, el costat; tenim que: d2  c2  c2  2c2  c  a)

b)

c)

a) Calculem d: A

 11,704 cm2

b) Calculem D: A c) A 

 4,746cm2







 17,6 cm2

d) Calculem h: 1,72  h2  0,92  h  1,44 cm A







 2,664 cm2

264

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

8

a)

b)

Octàgon:

Per tant, el costat de l’octàgon és: Hexàgon:

Per tant, el costat de l’hexàgon és:

L’altura del triangle equilàter, h, i el costat, c, del triangle tenen aquesta relació:

Ara ja podem calcular l’altura i el perímetre:

265

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

8

a) En el triangle rectangle que formen l’apotema, el radi i la meitat del costat, tenim que:

Per tant, l’àrea de l’octàgon és: b) En el triangle rectangle que formen l’apotema, el radi i la meitat del costat, tenim que:

Per tant, l’àrea de l’heptàgon és: c) L’àrea de l’octàgon és: d) L’àrea del pentàgon és:

Primer calculem l’apotema:

L’àrea és:

a) El costat és igual al radi, per tant tenim que: b)

266

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

Calculem el costat: Calculem l’àrea:

a)

b) A  π(R2 – r2)  π(7,52 – 52)  7,85 cm2 P  2π(R  r)  2π(7,5  5)  78,54 cm









 







    







a) La figura és un rectangle menys un quadrat: A  7 · 5  3 · 3  26 cm2 b) De la figura base sumem i restem la mateixa superfície, per tant l’àrea és la de la superfície base: A  10 · 4  40 cm2 c) La figura és un quadrat més un triangle equilàter menys un cercle. h

 4,33  A  5 · 5  (5 · 4,33)/2  4  23,27 cm2

d) De la figura base sumem i restem la mateixa superfície, per tant l’àrea és la de la superfície base: A  2,5 · 2,5  6,25 cm2

267

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

a) És un semicercle al qual sumem i restem la mateixa superfície, per tant serà l’equivalent a l’àrea del semicercle: b) És un semicercle més un quart de cercle, és a dir, tres quarts de cercle, més un triangle equilàter: A  0,75 · 4  2 · 1,73 : 2  11,15 cm2

1a figura: L’àrea de la figura és la suma de les àrees d’un triangle i la de sis semicercles:

Primer calculem l’altura del triangle: Així doncs, l’àrea de la figura és:



 





 











2a figura: Amb l’ajuda de les línies discontínues verticals obtenim quatre figures, un rectangle i tres triangles. L’àrea és:

3a figura: Si continuem la línia discontínua cap a l’esquerra, obtenim tres figures, dos triangles i un rectangle. L’àrea és:

ACTIVITATS FINALS

268

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

8

a) Mediatriu del segment

B

A

b) Bisectriu de l’angle de 80o

c) Diagonal que passa pels altres dos vèrtexs B

A

a)

b)

c)

269

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

a) Recta que equidista de les dues rectes paral·leles Tracem una perpendicular a les dues rectes. Trobem el punt mitjà del segment que determinen les dues rectes a la perpendicular. Tracem les paral·leles a les rectes que passen per aquest punt mitjà. d/2 d

r

d/2

b) Centre de la circumferència Prenem tres punts de la circumferència i tracem les mediatrius dels segments que determinen els punts. El punt d’intersecció de les mediatrius és el centre de la circumferència.

c) Circumferència concèntrica i de radi la mitjana aritmètica dels dos radis Tracem un radi de la circumferència gran. Trobem el punt mitjà del segment que determinen les dues circumferències al radi. Tracem la circumferència d’igual centre que les dues anteriors que passa pel punt mitjà del segment.

270

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

Prenem de radi la distància entre el punt P i el punt de l’eix on ha de ser tangent. Prenem com a centre el punt P i tracem la circumferència. a)

b) Y

Y

P 1

X 1

P

(0, 2)

1

X 1

(3, 0)

El lloc geomètric és el circumcentre. a)

b) A

C b

a

D B

c

A

c

b B

a

C

D

El centre de la circumferència se situarà a la meitat de la hipotenusa, i el radi és 5 cm.

1.620o  1800 · (n – 2)  n  11  Es tracta d’un polígon d'11 costats.

a)

b)

c)

271

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres



 



 





      

a)

b) 50 136

80

44 80

44

136

80

55° 55° 25°

25°







272

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

a)

b)

c)

d)

e)

f)









  



 

 



 











    Es corresponen amb les mides d’un triangle rectangle.  



    Es corresponen amb les mides d’un triangle rectangle.  

 







    Es corresponen amb les mides d’un triangle rectangle.  









 







 







    No es corresponen amb les mides d’un triangle rectangle.  

 













  



    Es corresponen amb les mides d’un triangle rectangle.  

    No es corresponen amb les mides d’un triangle rectangle.  

5 5 4 2,83 8,6 7,07

.

La diagonal d d’un quadrat de costat c fa: La diagonal d’un quadrat de costat 2 cm fa

.

Si anomenem D la diagonal del quadrat modificat i C el costat, tenim que: a) Per tant, el costat fa la meitat de l’original: 1 cm. b) Per tant, el costat fa el doble de l’original: 4 cm.

273

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

c) Per tant, el costat fa el triple de l’original: 6 cm. d) Per tant, el costat fa la tercera part de l’original:

cm.

El costat del triangle fa 36 : 3 12 cm.

274

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

a) b) c)











 



d) e) f)

275

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

8

a) b)

El perímetre d’un quadrat de costat c és 4c i l’àrea és c2. Calculem el costat en funció de la diagonal:

a) b)

276

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

8

Primer calculem el costat del triangle equilàter:

Si anomenem h l’altura del rectangle, tenim que:

Calculem el perímetre i l’àrea del rectangle:

a)

b)

c) L’àrea d’un rectangle en què les dimensions són el doble, és a dir, 8 cm i 18 cm, és 18 · 8 144 cm2; així doncs, l’enunciat és fals.

Com que es tracta d’un triangle equilàter, el perímetre és 3c3 · 14 42 cm. Calculem l’altura mitjançant el teorema de Pitàgores:

Coneguda l’altura, calculem l’àrea:

277

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

8

El perímetre d’un quadrat és 4c i l’àrea és c2, per tant necessitem la mida del costat. Calculem el costat aplicant el teorema de Pitàgores:

El perímetre és: L’àrea és:

Calculem el costat del rombe mitjançant el teorema de Pitàgores:

El perímetre és: 4c4 · 12,5 50 dm

278

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

En el triangle rectangle de 8 cm de catet i 10 cm d’hipotenusa, calculem la base petita, b, del trapezi mitjançant el teorema de Pitàgores. En el triangle rectangle de 8 cm de catet i 17 cm d’hipotenusa, calculem la base gran, B, del trapezi mitjançant el teorema de Pitàgores.

En el triangle rectangle de catets 8 cm i 15 6 9 cm, calculem el costat oblic del trapezi mitjançant el teorema de Pitàgores. Costat oblic: Ja tenim tots els costats del trapezi, ara calculem el perímetre i l’àrea:   























En el triangle rectangle de 12 cm de catet i 15 cm d’hipotenusa, calculem l’altura del trapezi aplicant el teorema de Pitàgores.

En el triangle rectangle de 9 cm de catet i 13 cm d’hipotenusa, calculem la diferència, d, entre les bases del trapezi aplicant el teorema de Pitàgores.

Així, la base gran del trapezi fa 12 9,38 21,38 cm. Ara calculem l’àrea: 

















Primer calculem la diagonal del quadrat:

279

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

8

Comprovem que la suma de les àrees de totes les peces és igual a l’àrea total del quadrat, 52  25 cm2:

En l’hexàgon regular, el costat és igual al radi, per tant l’apotema és:

I l’àrea és:

Si el perímetre de l’hexàgon regular és 72 cm, el costat és 72 : 6 12 cm. Calculem l’apotema i, després, l’àrea:

280

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

8

L’apotema és el catet del triangle rectangle que té d’hipotenusa el costat de l’hexàgon, i l’altre catet és la meitat del costat. Calculem el costat:

L’àrea és:

a) b)

a) b) L’àrea de la figura pintada és el doble de l’àrea de l’hexàgon ABCDEF, és a dir, c) L’àrea de l’hexàgon GHIJKL és el triple de l’àrea de l’hexàgon ABCDEF, és a dir, d)

281

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

a) b) El costat de l’hexàgon és igual que el radi, per tant:

.

c) (igual que l’apartat b) d) (igual que l’apartat b)

El costat fa 6 cm.

a) Quadrat gran ‒ Quadrat petit ‒ 2 · Triangles

b) Si tracem els triangles equilàters que formen l’hexàgon, la zona pintada és la meitat de cada triangle, per tant serà la meitat de l’àrea de l’hexàgon. Com que l’hexàgon té una apotema de 3,46 cm, la seva àrea és de 41,57 cm2 i l’àrea pintada és igual a 20,78 cm2. c) Si tracem els triangles equilàters que formen l’hexàgon, la zona pintada és un triangle enter i la meitat de dos més, per tant equival a dos triangles, és a dir, la tercera part de l’hexàgon. Com que l’hexàgon té una apotema de 2,6 cm, la seva àrea és de 23,4 cm2 i l’àrea pintada és igual a 7,8 cm2.

282

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

L’àrea total és l’àrea dels triangles:

A  Triangle gran  Triangle petit 

Diàmetre  Perímetre d’un rombe amb d  1 cm i D  2 cm  4c Calculem el costat del rombe mitjançant el teorema de Pitàgores; després, el perímetre; en tercer lloc, el radi, i, finalment, l’àrea:

La hipotenusa del triangle rectangle i isòsceles és el diàmetre de la circumferència en el qual està inscrit. Amb això calculem el radi i, després, l’àrea del cercle:

El radi gran de la corona és el costat de l’hexàgon, és a dir, R costat de l’hexàgon 5 cm; el radi petit de la corona és l’apotema de l’hexàgon: L’àrea de la corona és:

 



  





283

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

La mida de la diagonal del rectangle és la mida del diàmetre de la circumferència. Calculem el radi:

    





    

 





El radi de la circumferència és de 7 cm. Calculem l’apotema aplicant el teorema de Pitàgores:

El radi de la circumferència que circumscriu l’hexàgon és el costat de l’hexàgon:

El radi de la circumferència inscrita és l’apotema de l’hexàgon:

L’àrea d’una part blava és: 

L’àrea d’una part groga és: L’àrea total és:

 







  









284

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

a) L’àrea total de la figura la calculem sumant les àrees de tres figures: un triangle rectangle de catets 12 cm i 8,6 cm, un semicercle de radi 4,3 cm i un altre semicercle de radi la meitat de la diagonal del mateix triangle. Primer calculem h, la hipotenusa del triangle rectangle, i, després, el radi del semicercle gran, R:

b) La figura està formada per un rombe de diagonals 16 cm i 12 cm, un cercle de radi la meitat del costat del rombe i dos trapezis. Primer calculem el costat del rombe, B, que a més és la base gran dels trapezis; després calculem el radi dels dos semicercles, r.

Determinem l’altura dels trapezis, h: 



 

 









El perímetre és: c) La figura està formada per un rectangle de dimensions 27 m i 7 m, un cercle de radi 4 m i un semicercle de radi 3,5 m.

El perímetre és: d) La figura està formada per un triangle i un trapezi. La base gran del trapezi, un dels costats del triangle. Calculem la mida dels costats oblics del trapezi, c:

, coincideix amb

Amb la meitat de la base gran i l’altura del triangle calculem la mida dels dos costats iguals del triangle:















El perímetre és:

285

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

8

a) b) L’àrea de l’hexàgon de 5 cm de costat és: i l’àrea inclosa fa: c) És la meitat del cercle:

a) b) El radi gran, R, és el radi de la circumferència circumscrita, R6 cm. El radi petit, r, és el radi de la circumferència inscrita i és R : 2  3 cm, ja que l’altura del triangle equilàter és Rr i es compleix que R2r. 

















286

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

8

a) L’altura del triangle és el radi de la circumferència menys l’altura de la part groga: 2,92 0,62 2,3 cm

b)

Calculem l’apotema de l’hexàgon: L’àrea que ens demanen és la sisena part de la diferència entre l’àrea del cercle i l’àrea de l’hexàgon: 







  



 

  

L’ascensor, a 2 km/h, recorre 25 m en 45 segons; per tant, per calcular la distància que ens demanen hem d’aplicar el teorema de Pitàgores al triangle de catets 25 m i 30 m.

Els costats més curts fan 12 m, ja que hi ha 4 arbres a cadascun dels costats amb una separació de 4 m entre cada arbre. Els costats més llargs fan

, per tant l’àrea és 20 · 12 240 m2.

287

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

a) 296 pàgines són 148 fulls:





b)

 , així doncs, podríem tapar el terra amb 5 llibres

i 21 fulls, ja que cada full cobreix una àrea de 631,4 cm2:

La figura que es pot dibuixar és un cercle de 13 cm de radi i d’àrea igual a:

Calculem el radi de la safata: L’àrea que ens demanen és la d’una corona circular de radi gran 17 cm i radi petit 14 cm:  



  



  



L’apotema és:

L’àrea d’un pis és: La moqueta d’un pis costa: I la moqueta de tot l’edifici ha costat:

288

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

Cada triangle vermell té 1/8 m de costat i és equilàter; per tant, la seva altura és:

Com que hi ha 27 triangles vermells, l’àrea total és:

a) b) c)

 



  













d) e) Primer calculem les mides de la base gran i la petita, i després el cost:

























f)

289

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

8

L’àrea que ens demanen és la de la corona circular: El segment fa 15 cm; apliquem el teorema de Pitàgores:

Si substituïm, tenim que:

Figura 1: La figura que forma la tanca es repeteix 4 vegades, i la seva àrea coincideix amb la del semicercle de 2 m de radi, que és: Com que són 4 figures, l’àrea fa 25,12 m2, i el preu serà: Figura 2: Són 8 pètals que podem inscriure en un quadrat de 5 m de costat, i són simètrics per la diagonal del quadrat. L’àrea de cada meitat és la d’un sector circular de 90⁰ i 5 m de radi, a la qual es resta l’àrea d’un triangle de 5 m de base i d’altura: L’àrea del pètal és 14,25 m2 i la unió dels 8 pètals fa 114 m2, amb un cost de 114 · 32  3.648 €.

HAS DE SABER FER

290

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

a)

c)

b)





 









 

291

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

8

El radi de la circumferència inscrita és r 9 : 2 4,5 cm. El radi de la circumferència circumscrita és:

 





COMPETÈNCIA MATEMÀTICA. En la vida quotidiana

292

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

8

En el primer cas, al carrer i amb el fanal que és més a prop del punt A: Si anomenem h la distància del terra al punt on es troba la bombeta dins del fanal, tenim que: . Així doncs, els luxs arribaran al punt A sempre que l’altura de la bombeta sigui més petita o igual que 9,21 m. Des del fanal més llunyà a A és impossible que arribin els luxs perquè hi ha una distància molt superior a 11 m. En el segon cas, al parc, anomenem D la distància des del punt més alt del fanal més allunyat de A fins a B, i tenim que: . És a dir, sí que arribaran els luxs al punt B. Si anomenem d la distància des del punt més alt del fanal més proper a A fins a A, tenim que: . Per tant, també arribaran els luxs al punt A.

FORMES DE PENSAR. RAONAMENT MATEMÀTIC

El lloc geomètric és el dels punts de l’arc de circumferència que passa per A i C amb centre en B i radi d.

Considerem h l’altura i c el costat.

Per tant, la resposta correcta és l’opció c).

293

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

Considerem c el costat del triangle equilàter i C el costat del quadrat.  Si igualem els perímetres: Escrivim l’expressió de l’altura del triangle:

Calculem l’àrea del triangle i obtenim la relació amb l’àrea del quadrat:

 Si igualem les àrees:

Calculem el perímetre del triangle i obtenim la relació amb el perímetre del quadrat:

Les bases dels triangles A i B tenen la mateixa mida (per la definició de mitjana) i, com que la seva altura és igual, les àrees coincideixen. És a dir: Considerem el triangle total i, pel mateix raonament: Com que Per tant,

Com que

, i si repetim el raonament amb qualsevol mitjana obtenim que són iguals a SC i SD:

deduïm que:

294

8

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

Prenem el triangle , l’àrea pintada és un dels 6 triangles que es formen quan es tallen les mitjanes. Com ja havíem vist a l’activitat 129, són iguals, és una sisena part de la meitat del quadrat, i la seva fracció és

.

Es formen 4 triangles iguals, 4 trapezis iguals i 1 quadrat. Per semblança de triangles, el catet gran dels triangles coincideix amb la base gran dels trapezis. Per tant, si unim un trapezi amb un triangle formem un quadrat idèntic que el que està pintat; així doncs, el quadrat total equival a 5 quadrats com el pintat, i la fracció és

.

Segons el raonament exposat al paràgraf anterior, el triangle és la tercera part del trapezi i la quarta part del quadrat, per tant la seva fracció és

.

Com a la primera solució, l’àrea c i l’àrea a són triangles formats per la unió de les mitjanes, per tant la seva àrea és fracció és

del total; la superfície blava és el doble que l’àrea a, i la seva

.

Com a la segona solució, tenim l’equivalent a 2 quadrats centrals, i la fracció és

.

Si A1 i A2 fossin les àrees dels semicercles complets corresponents a L1 i L2, les àrees dels tres semicercles serien:

Pel teorema de Pitàgores:

Com que l’àrea que falta al triangle perquè sigui igual que el semicercle gran és la que falta a L1 i L2, les àrees de L1 i L2 seran iguals que la del triangle.

295

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

8

Si r és el radi del quart cercle gran, r/2 és el radi dels dos semicercles petits, i les seves àrees són:

Com que l’àrea del quart de cercle és la mateixa que la suma de les àrees dels semicercles, la seva intersecció, que és la zona ratllada, és igual que la zona blanca, que és exterior als semicercles.

PROVES PISA

296

Llocs geomètrics. Àrees i perímetres

8

a) Si anomenem d la longitud de la part exterior obliqua de la barra, tenim que:

b) Àrea total  Àrea a la dreta de la barra de 4,5 m  5 m  Àrea per sobre de la barra de 2,5 m  3 m   Àrea del triangle rectangle de catets 2 m i 1,5 m situat per sobre del costat oblic de la barra:

c) A l’esquerra de la zona per seure no hi ha paret, per tant la condició «a 0,5 m de les parets» s’aplica a la paret de la dreta, a la de dalt i a la de baix en el dibuix; amb això queda una zona de 4 m  3,5 m. Com que el cercle de cada conjunt té un diàmetre d’1,5 m i entre els cercles hi ha d’haver un mínim de 0,5 m, pot col·locar dos conjunts a dalt i dos més a baix (amplada alçada 1,5 · 2 0,5 3,5 m).

297

Transformacions geomètriques i semblança

9

CLAUS PER COMENÇAR

Y y  3x yx2 1

X 1 y2

a) 12 · 4  6x  x  8

b) 24 · 2,5  3x  x  20

c) 12 · 3  x2  x  6

INTERPRETA LA IMATGE

T'HI ATREVEIXES?

En realitat, el que volem fer és una translació d’aquest vector de longitud cap a un dels costats. Amb girs de 90⁰ el que farem serà anar-lo girant, de manera que, si acaba en una posició alineada, mirarà cap a l’altre sentit.

298

9

Transformacions geomètriques i semblança

Sí, perquè els angles són iguals i els costats mantenen la proporció, ja que el marc és el mateix que la zona pintada augmentat per un nombre concret.

Si reduïm a la meitat l’altura de la torre, en minvem també a la meitat l’amplada i la fondària, de manera que el pes estaria afectat com a mínim per aquestes tres variables i quedaria en 7.000/6  1.166,66.

ACTIVITATS

Y B C 1

X 1

A

      

















 

 











 





    

  







 

 





  

 

  







 

 





  



  



Considerem B(b1, b2) →



 



  









    

Tots els vectors amb l’extrem que pertany a la circumferència de centre A i radi el mòdul del vector

299

9

Transformacions geomètriques i semblança

Les figures 1, 2 i 3, perquè tenen la mida i la forma iguals.

Y

d) a) A

b)

1 O

c)

B

X

1

Resposta lliure, depèn de la figura que esculli l’alumne i de les transformacions que hi apliqui.

a)

 



b)

 



 

    

 

 



 

  







c)

 





d)

 







   

     



  

 



  

 

  

300

9

Transformacions geomètriques i semblança

No, el resultat és diferent.

a)

c)

b)

d)

a)

c) Y

Y A’

A

B’ o

A’

B’

A

B

60

1

o

60 1

X 1

X 1

B

b)

d) Y

Y B’

A

B

A’

B

1 o

60 B’

X 1

1

1

X o

60

A’

A

301

9

Transformacions geomètriques i semblança

Y

D

C O

A 1

B X

1

Y

B

A 1

X 1

302

9

Transformacions geomètriques i semblança

Y

C

1

A 1

B X

A’(1, 3) B(0, 3) C’(2, 1)

303

9

Transformacions geomètriques i semblança

Un punt P(x, y) es transforma en P’(x, y) quan s’hi aplica un simetria amb l’origen com a centre.

a)

c)

Y

1

C

1

D X

1 A

Y

C

D X

1 A

B

B

304

9

Transformacions geomètriques i semblança

b)

d)

Y

1

C

1

D X

1

Y

A

C

D X

1 A

B

B

Resposta lliure, depèn de la figura i del punt que esculli l’alumne.

La figura bàsica és la següent:

Els moviments són girs de 120⁰ i translacions.

305

9

Transformacions geomètriques i semblança

a) Y

B

C 1 1

X

A

b) Y

C

B

1 1

A

X

c) Y

C

B

1 1

A

X

La raó de l’homotècia és 1,5.

306

9

Transformacions geomètriques i semblança

L’únic punt doble d’una homotècia és el centre de l’homotècia, O. Les rectes dobles que es transformen en elles mateixes, és a dir, les rectes que passen pel centre de l’homotècia.

La hipotenusa d’un triangle rectangle de catets 6 cm i 8 cm fa del triangle semblant a aquest, que té la hipotenusa de 9 cm, tenim que: 

A











cm. Si anomenem c1 i c2 els catets



B

307

9

Transformacions geomètriques i semblança

A

D

B

C

Y

B

1 X

1

A

Y

8 cm

5 cm

2 2 cm

A

2

B

X

308

9

Transformacions geomètriques i semblança

Els tres apartats es fan d’una manera semblant. Des d’un extrem del segment AB, A, tracem una línia i hi situem, l’un a continuació de l’altre, els segments x, y, z. Des de l’extrem de z tracem una línia que uneixi aquest extrem amb B i, després, paral·leles per cadascun dels extrems dels segments x i y. z y x A

B

a) La distància entre A i B a la fotografia és de 3 cm.

La distància real serà:  

  









b) La distància entre els dos punts en un mapa serà:  

 

  







309

9

Transformacions geomètriques i semblança

 



 



  

  













Per tant, no el podrà dibuixar perquè les mides de l’hort a aquesta escala són més grans que les mides del paper DIN A4, que són 29,7 cm  21 cm.

a) Serà més gran l’esbós. 

b) 

  







Mesurem el terreny, que té 6,3 cm d’amplada i 2,8 cm d’alçada. A la realitat aquestes mides són: 



  





  



  









L’àrea d’aquesta zona és 22,05 · 9,8  216,09 m2. Si deixen 150 m2 de pati, la planta de la casa podrà tenir com a màxim 66,06 m2.

a) El costat del quadrat dibuixat mesura 2 cm. La mida del costat del quadrat a una escala 1 : 5 és:

 

  







310

9

Transformacions geomètriques i semblança

b) La mida del costat del quadrat a una escala 5 : 12 és:

 

  









I l’àrea és: 4,82  23,04 cm2.

a) Prenem les mides de l’habitació: 6 cm de llargada i 3 cm d’amplada. A la realitat, l’habitació tindria aquestes mides:

Prenem les mides del llit: 2,8 cm de llargada i 1,4 cm d’amplada. A la realitat, el llit tindria aquestes mides:

L’armari no hi cap, perquè és gairebé tan llarg com l’habitació i, com que hi ha el llit, no hi hauria espai per als dos mobles. Si no hi fos el llit, sí que hi cabria. b) L’àrea de l’habitació és 4,8 · 2,4 11,52 m2, i l’àrea que ocupa el llit és 1,5 · 2 3 m2. Així doncs, l’àrea que queda és 8,52 m2. c) No hi caben amb les mides que tenen.

Per tant, l’escala és 1:20.

311

9

Transformacions geomètriques i semblança

Si anomenem AD l’àrea del dibuix i AR l’àrea real, tenim que: 



    





 







 









Àrea real  202 · Àrea del dibuix

ACTIVITATS FINALS

 



 



   

    

         

 

   

 

    

  





a) Considerem B(b1, b2)    

b)

 



 



Per tant,



c)

 

a)



b)

 













          



 



 



















 



 

  





 

 

  









 



 

 













 



 



312

9

Transformacions geomètriques i semblança

Si la primera coordenada és 0, el vector té direcció vertical i sentit cap amunt si la segona coordenada és positiva, i sentit cap avall si la segona coordenada és negativa. Si la segona coordenada és 0, el vector té direcció horitzontal i sentit cap a la dreta si la primera coordenada és positiva i sentit cap a l’esquerra si la primera coordenada és negativa.

Les figures 1 i 2 conserven la forma i la mida, això vol dir que s’han aconseguit mitjançant un moviment. Les figures 3 i 4 no; la figura 3 no conserva ni la forma ni la mida, i la figura 4 té la mateixa forma però no pas la mida.

313

9

Transformacions geomètriques i semblança

a)  

  



c)         Y

Y

1

P’

X

1 1

P’

P

b)

1





P

X

  





d)  

   



Y 1

Y 1

P

X P P’

1 P’

a)

 



1

b)

 

X



314

9

Transformacions geomètriques i semblança

Els punts de F es convertiran en:

Els punts de F’ es convertiran en:

a)

c) Y

Y

C

A

B

2

1

B 2 A

X

1 A’

E B’

C’ X

D E’ A’ D’

B’

b)

d) Y

C B

1

Y X

1

C’ B’ A

C

1 1

A’

X

C’

315

Transformacions geomètriques i semblança

9

Prenem el vèrtex superior esquerre de les tres figures: AF A F’ A F’ Ho comprovem transformant el vèrtex dret de la figura F:

que corresponen a les coordenades dels pics de F’ i F’’.

316

9

Transformacions geomètriques i semblança

Considerem el vector de translació que transforma P en P’; considerem el vector de translació que transforma P’ en P’’, i considerem el vector de translació que transforma P en P’’. a)



b)

 

a)



 









  





  



      

 

 

 

b)



 



c)

          



 

 

 



            



Y A’ B

B’ D

1 1

A

X

C’

C

D’

317

9

Transformacions geomètriques i semblança

a)

c) Y

Y

A

B’

B A’

1

B X

1 C

1

B’

1

A A’

b)

X

C

d) Y B

Y

2

A

X

2

C

1

A 1

A’

X

B’ C  B  B’ A’

a)

b) Y

A Y

C B

O

1 1

C

1 X

X

1 O

O’

318

9

Transformacions geomètriques i semblança

Y O A

B 1

D

C

1

X

a) Gir de centre C(0, 0) i angle 80o b) Gir de centre C(0,0) i angle 180o c) Gir de centre C(0,0) i angle 90o

El centre O és el de la figura. L’angle del gir és de 120o, aproximadament.

319

9

Transformacions geomètriques i semblança

Quan apliquem un gir de 90⁰ als vèrtexs de F, es compleix que:

Punt

Simètric respecte de l’eix X

Simètric respecte de l’eix Y

A(2, 0)

(2, 0)

(2, 0)

B(6, 2)

(6, 2)

(6, 2)

C(0, 8)

(0, 8)

(0, 8)

D(1, 4)

(1, 4)

(1, 4)

E(5, 0)

(5, 0)

(5, 0)

F(3, 4)

(3, 4)

(3, 4)

G(0, 9)

(0, 9)

(0, 9)

H(2, 6)

(2, 6)

(2, 6)

a) A’(1, 6)

B’(2, 1)

C’(5, 3)

b) A’(9, 2)

B’(10, 3)

C’(13, 1)

c) A’(1, 6)

B’(2, 1)

C’(5, 3)

320

9

Transformacions geomètriques i semblança

a)

b)

Y C’

D’

B’

A’

Y D’

A’ E’ C’

B’

L C 2

L

B 2

A

E X

A

D

B 1

D

C

X

1

a)

b)

Y

Y

A

C

B

1

1 1

X

D 1

X

A

C B

321

9

Transformacions geomètriques i semblança

La simetria respecte de l’eix e transforma F en F’, i la simetria respecte de e’ transforma F’ en F’’. La simetria respecte del punt P transforma F en F’’.

a)

c) O r

b)

d)

s O’

322

9

Transformacions geomètriques i semblança

a)

c)

e)

b)

d)

f)

a)

b)

323

Transformacions geomètriques i semblança

9

c)

324

9

Transformacions geomètriques i semblança

Els moviments que hi intervenen són dos girs de 120o cada un i una translació.

a) 6 cm, 12 cm i 16 cm

c) k 4

b) 1,5 cm, 3 cm i 4 cm

a)

b) Y

Y

1

1 1

X

1

X

a) Fals, els angles aguts poden ser diferents. b) Cert. c) Cert. d) Fals, la raó entre els perímetres és m, no pas 4m.

325

9

Transformacions geomètriques i semblança

La figura gris fosc està construïda amb raó a)

, i la gris clar, amb raó 3. b)

a)

c) Y C’’

A’’ Y C

C’ A’

A 1

B 1

C’

B’ C’’

C A’

B’’ A’’

X B’’

A B’

1

B 1

X

326

9

Transformacions geomètriques i semblança

b)

d)

Y

Y B’’

B’’ C’’

A’ C’

A’’ B’ C’

A’  A’’

C C’’

A 1

B 1

C 2 A

X

B’ B

2

X

a) Perímetre del rectangle de costats 4 cm i 7 cm: (4 7) · 2 22 cm Perímetre del rectangle semblant: 132  22k, d’on k 6. Per tant, les dimensions del rectangle semblant són: 4k4 · 6 24 cm i 7k7 · 6 42 cm. b) k6

a)

b)

327

9

Transformacions geomètriques i semblança

Són semblants a i d:

No són semblants b i c:

No són semblants a i b:

No són semblants b i d:

No són semblants a i c:

No són semblants c i d:

La hipotenusa del triangle rectangle de catets 5 cm i 2 cm fa és 5 2 5,39 12,39 cm.

, per tant el perímetre

La raó de semblança entre els dos triangles és Així doncs, els catets fan 5 · 3 15 cm i 2 · 3 6 cm; i la hipotenusa és de 5,39 · 3 16,17 cm.

a)

b)

16 cm

A

B

c)

A

B

13 cm

a)

A

B

20 cm

c) 2

5 3

1 1 B

A

A

2 B

b) 4 3 2 A

B

328

9

Transformacions geomètriques i semblança

a) 

  





a)





  



b) 



  



b) 







  













 

 

  



 

c) Àrea  16 m2  costat  4 m 



  







El costat de la terrassa quadrada fa 2 cm en el plànol.

a) 





b) 





c) 











     





  



  





L’escala és 1:6.000.000

329

9

Transformacions geomètriques i semblança

a) 1:8.000 b) 8 · 8.000  64.000 cm  640 m

a)

b) 0

2,5

5

7,5

0

10 m

80

160

240

320 m

16 14 12 10 8 60 

































 



Les dimensions de la rèplica de l’armari són 15  9,17  5 cm.

Les dimensions de la rèplica de la calaixera són 10  6,67  3,75 cm.

330

Transformacions geomètriques i semblança

a)

c)

b)

d)

9

Són semblants al paper de mida DIN A4 els papers que es descriuen als apartats a) i c). No són semblants al paper de mida DIN A4 els papers que es descriuen als apartats b) i d).



a)



  







b) 20 · 0,8 16 cm c) 20 · 1,2 24 cm d) A la fotocòpia reduïda:  

  









és a dir, l’escala és 1:312.500

A la fotocòpia ampliada:  

  

és a dir, l’escala és 1:208.333,33

3,5 micròmetres 3,5 · 104 cm 0,00035 cm 

331

Transformacions geomètriques i semblança



a)





b)

















a)



b)



9



 

 

La desviació s’ha de fer en el punt en el qual es formen dos triangles semblants. 



 36  3x  6x  9x  36  x  4 km

332

Transformacions geomètriques i semblança

9

Ha de volar cap al punt en el qual els dos triangles que es formen amb la seva trajectòria, el riu i les altures dels punts siguin semblants. És el punt en què l’ocell veu reflectit el punt B a l’aigua.

HAS DE SABER FER

   





 

  

 

   













 





                              





 

 







 

 

          



333

9

Transformacions geomètriques i semblança

a)

b) Y

Y

I’

H’

D’ F’ 1

E’

O’

O’ 1

E’

1

X

F’

D’

1

X

H’ I’

a)













b)









c)











334

9

Transformacions geomètriques i semblança

 



  





 



  







COMPETÈNCIA MATEMÀTICA. En la vida quotidiana

335

9

Transformacions geomètriques i semblança

  Moviments en blanc: 

                

 

  Moviments en verd:   

                

FORMES DE PENSAR. RAONAMENT MATEMÀTIC

Amb un gir de centre O i angle .

Un gir de centre el mateix centre i amplitud la suma de les amplituds.

Y C D A’ A

1 1

B X

Sí, aquesta equivalència passa sempre.

336

9

Transformacions geomètriques i semblança

Determinem si els triangles de la figura són semblants: ABC i A’B’C’ són semblants perquè són triangles rectangles i perquè tenen un angle agut igual (angle oposat pel vèrtex). Plantegem la relació de semblança, que té com a incògnita a, i resolem l’equació: 



 a  15 m



El desplaçament de cada punt es fa perpendicularment als dos eixos (pel fet que són paral·lels). Si la distància d’un punt A a l’eix e1 és d1 i a l’eix e2 és d2 i la distància de A a A’ és 2d1, la distància de A’ a e2 serà d2 2d1, per tant la distància de A’ a A’’ és 2(d2 2d1), i la distància de A a A’’ és 2(d2 2d1)  2d1 2(d2 d1). Així doncs, la translació que experimenten tots els punts té la mateixa direcció i la mateixa longitud, per això tots els punts de la figura experimenten la mateixa translació de mòdul 2(d2 d1).

Els costats i l’altura de cada triangle petit són un terç dels del triangle gran: h

p

a









Si apliquem dues simetries: Y C D B

C1 1

C2

A C’’

1 D’’

B’’

X

A’’

337

Transformacions geomètriques i semblança

9

Si apliquem la translació: Y C D B

C1 1

C2

A C’’

1 D’’

B’’

X

A’’

PROVES PISA

La taca de vessament, irregular i corba, té uns 5 cm d’amplada i 6 cm d’alçada. Així, aproximadament, la superfície de vessament de petroli en el plànol és 5 · 6 30 cm2. Per tant, a la realitat representarà una superfície estimada de 50 · 60 3.000 km2.

338

Cossos geomètrics

10

CLAUS PER COMENÇAR

a) Fals, té tants costats com vèrtexs, ja que els vèrtexs són els punts on s’uneixen els costats. Pensem en un polígon qualsevol, que té n costats i els vèrtexs estarien determinats per: vèrtex 1  unió costat 1 i costat 2, vèrtex 2  unió costat 2 i costat 3, vèrtex 3  unió costat 3 i costat 4..., vèrtex n  1  unió costat n  1 i costat n, vèrtex n  unió costat n i costat 1 (per tancar el polígon). b) Fals, a cada angle hi correspon un vèrtex, de manera que hi ha la mateixa quantitat de vèrtexs que d’angles. c) Cert, per exemple:

Hi ha 6 vèrtexs i 9 diagonals. d) Fals, té tants costats com angles, ja que els angles estan determinats pels vèrtexs i hi ha la mateixa quantitat de vèrtexs que d’angles. e) Cert, per exemple el triangle, que té 3 costats i cap diagonal.

El dibuix blau és l’àrea d’un quadrat de 3 cm menys l’àrea d’un cercle de 3 cm de diàmetre. A  32   · 1,52  9  7,0686  1,9314 cm2 El dibuix verd és l’àrea d’un rectangle de costats 10 cm i 2 cm menys l’àrea d’un triangle de 10 cm de base i de 2 cm d’altura. A  10 · 2 

 20  10  10 cm2

339

Cossos geomètrics

10

INTERPRETA LA IMATGE

Calculant l'àrea de la base del cilindre i multiplicant-la per l'altura.

T'HI ATREVEIXES? Formaria un cub.

Hem de calcular el radi de la nova circumferència. Longitud de l’equador: 2 · 6.371  40.030,173 km Longitud de la cinta: 40.030,173  0,001  40.030,174 km Radi de la circumferència que es forma amb la cinta: 2r  40.030,174  r  6.371,00006 km No podria passar una llebre pel forat, ja que les dues circumferències que el formen són gairebé iguals.

Inicialment la bóta pesa: pes del líquid  pes de la bóta  35 kg Després tenim que:

pes del líquid  pes de la bóta  19 kg

Resolem el sistema per reducció, multiplicant la segona equació per 2: pes de la bóta  3  pes de la bóta  3 kg

Cada costat del cub equival a 10 boles, és a dir, que hi podríem posar 103 boles.

ACTIVITATS Són iguals, perquè les cares estan formades pel mateix polígon regular, que té tots els costats iguals.

340

10

Cossos geomètrics

És cert. D’una banda, podem confirmar que existeix un poliedre de 4 cares, que és una piràmide de base triangular. D’altra banda, suposem que existeix un poliedre de 3 cares; si els polígons que formen les cares tenen més de 3 costats, per poder-lo tancar necessitem tantes cares com costats, de manera que seran més de 3. Si les cares són triangles i tan sols en tenim 3, els podem unir i formar una piràmide, però no hi hauria base, i, així, no seria un poliedre. Per tant, no podem construir un poliedre de 3 cares.

No és regular, perquè les cares no són polígons regulars iguals. Hauria de verificar la fórmula d’Euler, ja que és un poliedre convex. Comprovem-ho: el poliedre té 10 cares, 7 vèrtexs i 15 arestes, de manera que 10  7  15  2. En efecte, verifica la fórmula d’Euler.

Un prisma pentagonal té 7 cares, 10 vèrtexs i 15 arestes.

Hem de calcular l’àrea de la base i multiplicar-la per 2, i l’àrea d’un rectangle de base 5 · 6  30 cm i altura 9 cm.

5 cm 2,5 cm

Fem servir el teorema de Pitàgores per calcular l’altura del triangle equilàter que es forma a l’hexàgon: 52  2,52  h2  h2  25  6,25  18,75  h  4,33 cm L’àrea de l’hexàgon és 6 vegades l’àrea del triangle equilàter que hem dibuixat, ja que podem descompondre l’hexàgon en 6 triangles com aquest, de manera que: Ahexàgon  6 ·



 64,95 cm2

Així doncs, l’àrea del poliedre és: 2 · 64,95  30 · 9  399,9 cm2

Si a l’àrea total restem l’àrea de les bases, tindrem l’àrea del rectangle lateral que té de base el perímetre de la figura base del poliedre, i d’altura, la del poliedre, que és el que busquem. Calculem ara l’àrea de les bases: 8 ·



 19,28 cm2; com que hi ha dues bases, l’àrea corresponent

és de 38,56 cm2.

341

10

Cossos geomètrics

Restem l’àrea total menys l’àrea de les bases: 83,28  38,56  44,72 cm2 és l’àrea lateral. L’àrea lateral està determinada pel perímetre de la base, 2 · 8  16 cm, i per l’altura del poliedre, és a dir, 44,72  16 · h  h  2,795 cm.

Una piràmide pentagonal té 6 cares, 6 vèrtexs i 10 arestes.

La piràmide està formada per una base que és un hexàgon de 6 cm de costat, i per 6 triangles de 6 cm de base i 12 cm d’altura; la suma de totes les àrees d’aquests polígons ens dóna l’àrea total del poliedre. Calculem l’àrea de la base:

6 cm 3 cm

Fem servir el teorema de Pitàgores per calcular l’altura del triangle equilàter que es forma a l’hexàgon: 62  32  h2  h2  36  9  27  h  5,20 cm L’àrea de la base és: 6 · L’àrea lateral és: 6 ·





 93,6 cm2  216 cm2

L’àrea total de la piràmide és: 93,6  216  309,6 cm2

Una piràmide és recta quan les cares laterals són totes triangles isòsceles. El que hem de comprovar és si és possible trobar un quadrilàter amb el qual, sigui quin sigui el punt que escollim com a vèrtex de la piràmide, aquesta piràmide no sigui recta.

342

10

Cossos geomètrics

Però això no és possible, sempre hi ha un punt en el qual és recta. En qualsevol quadrilàter, si n’escollim el centre –que estarà marcat pel punt de tall de les diagonals– i en aquesta vertical posem el vèrtex de la piràmide, tindrem una piràmide recta.

Piràmide quadrangular irregular recta

a) A  (11 · 2  9 · 2) · 6  2 · 11 · 9  438 cm2 b) A  (13 · 2  6 · 2) · 4  2 · 13 · 6  308 cm2 c) A  (12 · 2  8 · 2) · 5  2 · 12 · 8  392 cm2

a) Calculem el valor de l’altura de les cares triangulars per mitjà del teorema de Pitàgores: a2  122  82  208  a  14,42 cm A  82  b) A  62 













 294,72 cm2  108 cm2

c) Per calcular l’apotema de la base i, així, poder trobar l’altura de les cares laterals, fem servir el teorema de Pitàgores amb el triangle equilàter que es forma a l’hexàgon de la base: 52  2,52  ap2  ap2  18,75  ap  4,33 cm Novament mitjançant el teorema de Pitàgores calculem l’altura dels triangles laterals: a2  62  4,332  54,75  a  7,40 cm A6·











 175,95 cm2

343

10

Cossos geomètrics

a) Calculem l’altura del triangle de la base: 72  3,52  h2  h2  36,75  h  6,06 cm A2·



 (7 · 3) · 8  210,42 cm2

b) Calculem l’altura del triangle de la base: 92  2,52  h2  h2  74,75  h  8,65 cm A 2 ·



 (9  9  5) · 8  227,25 cm2

Necessitem saber el costat de la base per poder calcular l’àrea lateral. És un hexàgon regular i la seva àrea, que és 250 cm2, està determinada per

 

 25,5c  250  c  9,80 cm

De manera que l’àrea lateral del prisma és: Alateral  6 · (9,8 · 14)  823,2 cm2

a) Si l’àrea del quadrat és 27,04 cm2, el costat és

 5,2 cm

Calculem l’altura dels triangles laterals mitjançant el teorema de Pitàgores: a2  162  2,62  262,76  a  16,21 cm A  27,04 







 195,62 cm2

b) Si el perímetre és 52 cm, el costat és 52/4  13 cm Calculem l’altura dels triangles laterals mitjançant el teorema de Pitàgores: a2  162  3,52  268,25  a  16,38 cm A  132 







 594,88 cm2

Si l’aresta lateral és de 6 cm vol dir que els triangles laterals són triangles isòsceles de costats iguals de 6 cm i el costat desigual de 4 cm. Calculem l’altura per mitjà del teorema de Pitàgores: 62  a2  22  a2  36  4  32  a  5,66 cm L’àrea lateral és igual a:







 33,96 cm2

344

10

Cossos geomètrics

a) A  2 · 8 ·



 (8 · 2) · 4  102,56 cm2

b) Calculem l’apotema de la base amb el teorema de Pitàgores, ja que és un hexàgon regular, i el radi és igual al costat: 32  ap2  1,52  ap2  6,75 cm2  ap  2,60 cm A6·











 68,4 cm2

a) És un triangle isòsceles, no es poden dibuixar tres plans de simetria perquè tan sols en té dos:

b) Tres plans i tres eixos de simetria per al cub:

Té 13 eixos de simetria: – 3 que uneixen dos vèrtexs oposats – 4 que uneixen els punts mitjans de cares oposades – 6 que uneixen els punts mitjans d’arestes oposades

345

10

Cossos geomètrics

Considerant aquests eixos de simetria, els plans de simetria d’un octaedre es tracen de la mateixa manera que en el cub, i n’hi haurà 9 també com en el cub.

Si el pla de simetria divideix el poliedre en dues parts iguals, vol dir que si girem aquest poliedre 180⁰ d’alguna manera tindrem el poliedre, per tant sí que podem traçar un eix de simetria en el pla de simetria.

a) A  2 · 3 · 4  2 · 32  131,95 cm2

b) A   · 15 (21  15)  1.696,46 cm2

Quan girem aquest triangle al voltant del catet petit obtenim un con amb el radi de la base igual a 32 cm i l’altura de 24 cm; podem calcular la generatriu utilitzant el teorema de Pitàgores: g2  242  322  1.600  g  40 cm A   · 32 (40  32)  7.238,23 cm2

Acilindre  2r (h  r)  2 (r (g  r))  2

Acon  h  g

La generatriu és la hipotenusa en un triangle rectangle que es forma amb l’altura del con i el radi de la base, de manera que la generatriu és més gran que l’altura del con; això és cert per a qualsevol con. En aquest cas tenim que l’altura del cilindre és igual a la generatriu del con, que és més gran que l’altura del con; així doncs, el cilindre té més altura.

a) A  4 · 82  804,25 cm2

b) A  2 · 8 · 5  251,33 cm2

c) A  2 · 8 · 5  251,33 cm2

346

Cossos geomètrics

10

A  4 · 62  452,39 cm2

Calculem l’altura fins al casquet mitjançant el teorema de Pitàgores: 132  h2  52  h  12 cm; de manera que l’altura del casquet és: 13  12  1 cm A  2 · 13 · 1  81,68 cm2 Si l’altura del casquet és igual al radi, tenim una semiesfera. Si l’altura fins al casquet fos igual al radi, no hi hauria casquet.

a) A  2 · 3,5(7  3,5)  230,91 cm2 b) Calculem el radi de la base per mitjà del teorema de Pitàgores: 82  42  r2  r  6,93 cm A   · 6,93(8  6,93)  325,04 cm2 c) Calculem la generatriu per mitjà del teorema de Pitàgores: g2  52  32  g  5,83 cm A   · 3(5,83  3)  83,22 cm2 d) A  4 · 3,52  153,86 cm2 e) A   · 4(6  4)  125,66 cm2 f) A  (4 · 52)/2  157,08 cm2

A  2 · r(10  r)  747,7  r2  10r  119  r2  10r  119  0 Resolem l’equació de segon grau; descartem la solució negativa perquè en aquest problema no té sentit: r  7 cm.

347

Cossos geomètrics

10

Si coneixem l’àrea de la base, podem calcular el radi: 19,63  r2  r  2,50 cm Per calcular la generatriu, fem servir el teorema de Pitàgores: g2  122  2,52  g  12,26 cm

Si coneixem l’àrea de la base, podem calcular el radi: 18,1  r2  r  2,40 cm Si coneixem l’àrea lateral i el radi, podem calcular la generatriu: 45,24   · 2,4 · g  g  6 cm Amb el radi i la generatriu, calculem l’altura mitjançant el teorema de Pitàgores: 62  h2  2,42  h  5,5 cm

a) Si el girem al voltant de la seva amplada, tenim un cilindre amb una base de 12 cm de radi i una altura de 4 cm. A  2 · 12(4  12)  1.206,37 cm2 b) Si el girem al voltant de la seva llargada, tenim un cilindre amb una base de 4 cm de radi i una altura de 12 cm. A  2 · 4(12  4)  402,12 cm2

a) A   · 2(6  2)  50,27 cm2 b) A   · 8(11  8)  477,52 cm2 c) Per calcular el radi de la base fem servir el teorema de Pitàgores: 162  142  r2  r  7,75 cm A   · 7,75(16  7,75)  578,25 cm2

a) A  4 · 82  804,25 cm2 b) A  4 · (

)2  87,96 cm2

c) Si el semicercle té una àrea de 5,09 cm2, podem calcular el radi així: 5,09  (r2)/2  r  1,8 cm A  4 · 1,82  40,72 cm2

348

10

Cossos geomètrics

a) V  13 · 7 · 9  819 cm3 b) V  5 ·



· 20  3.440 cm3

c) V   · 9,4252 · 9  2.511,02 cm3

El costat del quadrat base del prisma és igual que el diàmetre del cilindre, i l’altura del prisma és igual que l’altura del cilindre. V   · 1,252 · 8  39,27 cm3

V  2 · 2 · 2 23  8 cm3 Sense fer servir la fórmula, podem calcular el cub de l'aresta i obtindrem així el volum del cub. V  63  216 cm3

a)

92 · 14  378 cm3

b)

 · 62 · 13  490,09 cm3

c)

 · 82 · 15  1.005,31 cm3

349

10

Cossos geomètrics

Volum del cub: 103  1.000 cm3 Volum del con:

 · 52 · 10  261,80 cm3

El volum inclòs entre els dos cossos és: 1.000  261,80  738,20 cm3

Comprovem què passa si allarguem el radi: V

 · (r  1)2 · h 

 · (r2  2r  1) · h 

Si allarguem 1 cm el radi, el volum augmenta d’

 · r2 · h 

 · (2r  1) · h

 · (2r  1) · h cm3

Comprovem què passa si incrementem l’altura: V

 · r2 · (h  1) 

 · r2 · h 

 · r2

Si incrementem 1 cm l’altura, el volum augmenta d’

a) V 

 · 5,23  588,98 cm3

b) V 

 · 3,753  220,89 cm3

c) V 

 · 4,13  144,35 cm3

V

 · r2 cm3

 · r3  73,62 cm3  r  2,6 cm

Comprovem què passa amb el cub. Si l’àrea del cub és 216 cm2 vol dir que l’àrea de cada cara és 216/6  36 cm2, per tant un costat fa 6 cm. El volum del cub seria: 63  216 cm3

350

10

Cossos geomètrics

Comprovem què passa amb l’esfera. Si l’àrea de l’esfera és 216 cm2  4 · r2  r  4,15 cm De manera que el volum seria: V 

 · 4,153  299,39 cm3

Té més volum l’esfera.

L’àrea de la base és: 5 ·

 139,5 cm2

Així doncs, el volum del prisma és: V  17 · 139,5  2.371,5 cm3

A la primera figura, sumem el volum del con amb el volum de la semiesfera: V

( · 32 · 7) 

 · 33  122,53 cm3

El volum de la segona figura és la suma del volum d’un prisma de base rectangular més el volum de mig cilindre: V  10 · 5 · 4 

·  · 52 · 5  396,35 cm3

Si l’àrea lateral és 433,54 cm2, vol dir que 2r · h  433,54; com que l’altura és 15 cm, podem calcular el radi: r  433,54 : (2 · 15)  4,60 cm De manera que el volum és: V   · 4,62 · 15  997,14 cm3

Com que la base és un hexàgon regular, podem calcular l’apotema amb el teorema de Pitàgores, ja que el radi és igual al costat. 102  ap2  52  ap  8,66 cm V  (6 ·



) · 17  4.416,6 cm3

351

10

Cossos geomètrics

Primer calculem el radi de la base: 2r  37,7 cm  r  6 cm L’altura serà V

de 6 cm, és a dir, 4 cm.

( · 62 · 4)  150,80 cm3

D

1 dm

1 dm

Calculem el diàmetre de l’esfera mitjançant el teorema de Pitàgores: D2  12  12  D  1,41 dm  R  0,705 dm V

 · 0,7053  1,47 dm3

VFigura  VCilindre  VTronc de con VCilindre   · 1,52 · 2  14,14 m3

1m 0,5 m

1,5 m

H  altura del con gran

h  altura del con petit

Si apliquem el teorema de Tales: → h  0,5  1,5h → h  1 → H  1,5 VTronc de con  VCon gran  VCon petit 

 2,49 m3

VFigura  14,14  2,49  16,63 m3 Així doncs, el cost de la sorra és: 18 · 16,6  298,80 €

352

10

Cossos geomètrics

a) 26° 8′ 42″ S, 28° 3′ 1″ E

d) 40° 40′ 12″ N, 73° 56′ 24″ O

b) 35° 41′ 2″ N, 139° 46′ 28″ E

e) 34° 35′ 59″ S, 58° 22′ 55″ O

c) 51° 30′ 26″ N, 0° 7′ 39″ O

f) 0° 13′ 7″ S, 78° 30′ 35″ O

Diferència entre A i B: longitud 84° i latitud 71° Diferència entre A i C: longitud 133° i latitud 77° Diferència entre B i C: longitud 217° i latitud 26°

Cada franja horària són 15°, és a dir, si la diferència de longitud és de 90° es recorren 90 : 15  6 franges horàries, de manera que la diferència és de 6 hores.

a) x  5,8 : 15  0,39 h  23 min 12 s

d) x  55,752 : 15  3,72 h  3 h 43 min 12 s

b) x  12,4 : 15  0,83 h  49 min 48 s

e) x  123,2 : 15  8,21  8 h 12 min 36 s

c) x  38,52 : 15  2,568 h  2 h 34 min 4,8 s

f) x  164 : 15  10,93  10 h 55 min 48 s

La diferència de longitud entre les dues ciutats és de 100°, de manera que la diferència horària és de: 100 : 15  6,67 h  6 h 40 min 12 s

La diferència de longitud és 7° 38’  7,63°, de manera que la diferència horària és de: 7,63 : 15  0,51 h  30 min 36 s

353

10

Cossos geomètrics

La diferència de longitud és 7° 6’  7,1°, així és que la diferència horària és de: 7,1 : 15  0,47 h  28 min 24 s

a) Com hem vist a l’activitat anterior, la longitud de Liverpool és 2° 59’ O, de manera que la diferència de longitud amb Barcelona és 5° 9’  5,15. Per tant, la diferència horària és de: 5,15 : 15  0,34 h  20 min 36 s b) En aquest cas, la diferència de longitud és 5° 32’  5,53°, així és que la diferència horària és de: 1,25 : 15  0,378 h  22 min 8 s c) Barcelona no té diferència horària amb ciutats que es trobin a la mateixa longitud, és a dir, 2° 10’ E, i que tinguin qualsevol latitud en aquest meridià.

S Q

P o

36

T

25o 3’ 48o 45’

R

a) Si la diferència horària és d’1 h 40 min  1,67 h, vol dir que la diferència de longitud és: 1,67 · 15  25,05°  25° 3’ b) Si la diferència horària és de 3 h 15 min  3,25 h, significa que la diferència de longitud és: 3,25 · 15  48,75°  48° 45’ c) Ha de tenir la mateixa longitud que P. d) La latitud pot ser la que vulguem, però com que hi ha una diferència horària de 5 hores, haurà de tenir una longitud diferent de la de P de 5 · 15  75°.

354

Cossos geomètrics

10

ACTIVITATS FINALS

a) Un pentaedre té 5 cares, i si és convex verifica la fórmula d’Euler; de manera que tindrà: 5  6  2  A   A  9 arestes b) Un pentaedre té 5 cares, i si és convex verifica la fórmula d’Euler; de manera que tindrà: 5  V  2  8   V  5 vèrtexs c) Un heptaedre té 7 cares, i si és convex verifica la fórmula d’Euler; així és que tindrà: 7  7  2  A   A  12 arestes d) Un heptaedre té 7 cares, i si és convex verifica la fórmula d’Euler; així és que tindrà: 7  V  2  15   V  10 vèrtexs

12 10 20 10

Cap dels tres poliedres és regular, perquè en un poliedre regular les cares són polígons regulars iguals i, en aquests casos, tot i que les cares són polígons regulars, a les tres figures hi ha més d’un polígon regular.

355

10

Cossos geomètrics

La fórmula d’Euler diu: nombre de cares  nombre de vèrtexs  2  nombre d’arestes a) 10  7  2  15. Es compleix.

e) 8  8  2 14. Es compleix.

b) 9  9  2  16. Es compleix.

f) 4  4  2  6. Es compleix.

c) 12 10  2  20. Es compleix.

g) 9  9  2  16. Es compleix.

d) 9  9  2  16. Es compleix.

h) 11  16  2  24. No es compleix.

a) 9 cares  2 de les cares són les bases; queden 7 cares, que són les laterals. És un prisma heptagonal. b) 18 arestes  hi ha tantes arestes en cadascuna de les bases com laterals, 18 : 3  6. És un prisma hexagonal. c) 20 vèrtexs  els vèrtexs que hi ha en un prisma són els de les bases, de manera que com que hi ha 2 bases, 20 : 2  10. És un prisma decagonal. d) És un prisma pentagonal. e) És un prisma heptagonal. f) És un prisma de base un polígon de 16 costats.

a) La piràmide té tants vèrtexs com la base més un, que és la punta de la piràmide, així és que en aquest cas 7  1  6. És una piràmide de base hexagonal. b) La piràmide té les arestes de la base i, després, una per cadascun dels vèrtexs de la base (que són tants com arestes de la base), així és que hi ha el doble d’arestes que costats del polígon de la base, és a dir 20 : 2  10. És una piràmide de base un decàgon. c) La piràmide té una cara que és la base i les altres són tantes com costats del polígon de la base, de manera que 8  1  7. És una piràmide de base heptagonal. d) És una piràmide de base un octàgon. e) És una piràmide de base un enneàgon. f) És una piràmide de base un enneàgon.

L’apotema de la piràmide forma un triangle rectangle amb l’altura del prisma i un segment que va des del centre de la base fins al costat; en aquest cas, com que la base és quadrada, és la meitat del costat, és a dir, 4,5 cm. ap2  72  4,52  ap  8,32 cm

356

10

Cossos geomètrics

a) Com que la base és un hexàgon, podem calcular l’apotema de la base, que ens fa falta per determinar l’altura: ap2  52  102  ap  8,66 cm Ara calculem l’altura, que forma un triangle rectangle amb l’apotema de la piràmide i la de la base; per mitjà del teorema de Pitàgores: 102  h2  8,662  h  5 cm b) L’altura forma un triangle rectangle amb les dues apotemes; per mitjà del teorema de Pitàgores: 92  4,132  h2  h  8 cm

Es forma un triangle rectangle amb la diagonal de l’ortoedre, la diagonal de la base i una de les arestes que tenen la mateixa mida que l’altura. a) Calculem la diagonal de la base: d2  82  52  d  9,43 cm Calculem la diagonal de l’ortoedre: D2  9,432  42  D  10,24 cm b) Calculem la diagonal de la base: d2  102  72  d  12,21 cm Calculem la diagonal de l’ortoedre: D2  12,212  32  D  12,57 cm

La relació entre l’aresta i la diagonal d’una de les cares, com que és un cub, és que l’aresta és c i la diagonal és c. Si la diagonal del cub és

, pel teorema de Pitàgores: 27  c2  2c2  c  3 cm

Calculem la diagonal de la base: d2  92  92  d  12,73 cm La diagonal del prisma és: D2  122  12,732  D  17,49 cm

357

10

Cossos geomètrics

a) Els triangles laterals són equilàters, de manera que el costat del quadrat farà 6 cm. Podem calcular la meitat de l’altura marcada amb el triangle rectangle que es forma amb l’altura, amb un dels costats del triangle i amb la meitat de la diagonal del quadrat, o bé amb el triangle rectangle que es forma amb l’altura del triangle, amb l’apotema del quadrat (igual a la meitat del costat) i amb la meitat de l’altura. Sigui com sigui, hem d’aplicar el teorema de Pitàgores. En aquest cas calculem la diagonal del quadrat: d2  62  62  d  8,49 cm. La meitat és 4,245 cm. La meitat de l’altura del poliedre està determinada per 62  h2  4,2452  h  4,24 cm. Així és que la línia vermella fa 8,48 cm. b) La línia vermella és la generatriu del tronc de con. Si des de la circumferència més petita tracem una paral·lela a l’altura, es formen dues figures: un rectangle de 3 cm de base i 8 cm d’altura, i un triangle rectangle de catets 8 cm i 2 cm, i com a hipotenusa la generatriu del tronc de con. g2  82  22  g  8,25 cm c) Primer calculem la línia que és diagonal d’una de les cares: d2  92  42  d  9,85 cm Després calculem la que seria diagonal de la base, encara que no estigui marcada, ja que ens cal per determinar la diagonal de l’ortoedre marcada: d’2  52  42  d’  6,40 cm D2  6,42  92  D  11,04 cm d) La línia vermella que va al centre de la base és: d2  102  62  d  11,66 cm La línia vermella que travessa el cilindre és: D2  102  122  D  15,62 cm e) ap2  42  32  ap  5 cm f) g2  102  42  g  10,77 cm

a) És l’àrea de 4 triangles equilàters de 12 cm de costat. Calculem l’altura: 122  h2  62  h  10,39 cm

A4·



A8·



 346,4 cm2

A  20 ·



 554,4 cm2

 249,36 cm2

b) És l’àrea de 8 triangles equilàters de 10 cm de costat. Calculem l’altura: 102  h2  52  h  8,66 cm c) És l’àrea de 20 triangles equilàters de 8 cm de costat. Calculem l’altura: 82  h2  42  h  6,93 cm d) És l’àrea de 6 quadrats de 7 cm de costat.

A  6 · 72  294 cm2

e) És l’àrea de 12 pentàgons de 6 cm de costat i 4,13 cm d’apotema.

A  12 · 5 ·



 743,4 cm2

358

10

Cossos geomètrics

Calculem l’altura de la base: 22  h2  12  h  1,73 cm A2·



 (3 · 2) · 4  27,46 cm2

a) Calculem l’altura del trapezi: 10  6  4, 4 : 2  2. Així és que: 32  h2  22  h  2,24 cm



A2·





 (10  6  2 · 3) · 12  299,84 cm2

b) Podem calcular la base menor amb la diagonal menor i l’altura: 152  92  b2  b  12 cm Ara calculem el costat oblic, que ens cal per saber el perímetre: c2  92  (21,39  12)2  c  13 cm A 







 (21,38  9  12  13) · 12  300,42 cm2

a) Tenim dues bases de 3 × 4. A  2 · (3 · 4)  (2 · 3  2 · 4) · 5  94 cm2 b) Calculem l’apotema de la base: 52  2,52  ap2  ap  4,33 cm A2·6·



 (6 · 5) · 8  369,9 cm2

a) És l’àrea de 4 triangles equilàters. Calculem l’altura: c2  h2     h   

c cm

A4·

c cm

A  20 ·



 16

 c2  16  c  4 cm



 5c2  1  c  0,45 cm

És un tetraedre amb una aresta de 4 cm. b) És l’àrea de 20 triangles equilàters. Calculem l’altura: c2  h2     h   



És un icosaedre amb una aresta de 0,45 cm.

359

10

Cossos geomètrics

c) És l’àrea de 8 triangles equilàters. Calculem l’altura: c2  h2     h 

c cm

 

A8·



 18

 2c2  18  c  3 cm

És un octaedre amb una aresta de 3 cm.

És l’àrea de 6 quadrats de costat c, de manera que 6c2  486  c  9 cm. És un cub amb una aresta de 9 cm.

És l’àrea de 4 triangles equilàters. Calculem l’altura: c2  h2     h   

A4·



c cm

 80,09  c  6,80 cm

És un tetraedre amb una aresta de 6,80 cm.

 Fila 1: Calculem l’apotema de la piràmide tenint en compte el triangle rectangle que forma amb l’aresta lateral i la meitat de l’aresta de la base: 172  ap2  102  ap2  189  ap  13,75 cm A5·



 Fila 2: A  5 ·

 515,75 cm2 

 1.606,95 cm2

 Fila 3: Calculem l’apotema de la base: 32  a2  1,52  a  2,60 cm Calculem l’apotema de la piràmide: 4,242  ap2  1,52  ap  3,97 cm A6·



 59,13 cm2

 Fila 4: Calculem l’apotema de la base: 52  a2  2,52  a  2,60 cm A6·



 129 cm2

360

10

Cossos geomètrics

 Fila 5: Calculem l’altura del triangle: 42  h2  22  h  3,46 cm Calculem l’apotema: 62  ap2  22  ap  5,66 cm A



 40,88 cm2

 Fila 6: Calculem l’altura del triangle: 52  h2  2,52  h  2,60 cm A



 55,55 cm2

Si el perímetre de la base és 32, el costat és: 32 : 4  8 cm A  82 

 80  a  1 cm

a) A  2 · 8 · (14  8)  1.105,84 cm2 b) Si la longitud de la circumferència és 37,7 cm, vol dir que: 2r  37,7  r  6,00 cm A  2 · 6 · (9  6)  565,49 cm2 c) Necessitem saber el radi per poder calcular l’àrea lateral; l’obtenim amb l’àrea de la base: r2  78,54  r  5,00 cm A  2 · 5 · (12  5)  537,07 cm2

a) A   · 4 · (5  4)  113,10 cm b) Calculem la generatriu: g2  122  92  g  15 cm

A   · 9 · (15  9)  678,58 cm

c) Calculem el radi: 44  2r  r  7,00 cm

A   · 7 · (10  7)  373,85 cm

361

10

Cossos geomètrics

Calculem l’àrea del cilindre: A  2 · 4(20  4)  603,18 cm2 a) A   · 4 · (g  4)  603,18 cm  g  44 cm L’altura del con serà: 442  h2  42  h  43,82 cm b) A   · 8 · (g  4)  603,18 cm  g  20 cm L’altura del con serà: 202  h2  42  h  19,60 cm c) L’àrea de la base és  · 42  50,27 cm2, el doble és 100,54 cm2, això vol dir que el radi de la base és: r2  100,54 :   r  5,66 cm A   · 5,66 · (g  5,66)  603,18 cm  g  28,26 cm L’altura del con serà: 28,262  h2  5,662  h  27,69 cm

a) És la suma de l’àrea lateral de dos cons: A   · 3 · 5   · 3 · 7  113,10 cm2 b) És la suma de l’àrea lateral de dos cons: A   · 2 · (4  2)   · 1 · (3  1)  50,27 cm2 c) És la suma de l’àrea lateral d’un con i l’àrea lateral d’un cilindre més l’àrea d’una de les bases: A   · 1,5 · 2  2 · 1,5 · 6   · 1,52  73,04 cm2

a) A  4 · 7,52  706,86 cm2

b) A  4 · 7,82  764,54 cm2

Apliquem el teorema de Pitàgores al triangle rectangle que es forma amb la generatriu del tronc de con: 72  h2  (6  4)2  h  6,71 cm

362

10

Cossos geomètrics

Apliquem el teorema de Pitàgores al triangle rectangle que es forma amb l’apotema: 82  h2  (4,13  2,75)2  h  7,88 cm

En el cas del tronc de piràmide, apliquem el teorema de Pitàgores al triangle rectangle que es forma amb l’apotema: 2,92  h2  (5  3)2  h  2,1 cm En el cas del tronc de con, apliquem el teorema de Pitàgores al triangle rectangle que es forma amb la generatriu: 2,92  h2  (5  3)2  h  2,1 cm

La figura lila és un tronc de piràmide pentagonal. De les cares laterals coneixem la mida de les bases i la mida del costat oblic, i necessitem calcular quant fa l’altura. Apliquem el teorema de Pitàgores: 16 cm 10 cm

22 cm

102  h2  ((22  16) : 2)2  h  9,54 cm

Ara calculem l’àrea lateral: AL  5 ·

 906,3 cm2

363

10

Cossos geomètrics

Calculem l’àrea de les bases: ABase major 







 832,7 cm2

ABase menor 







 440,4 cm2

De manera que l’àrea total del tronc de piràmide pentagonal lila és: 906,3  832,7  440,4  2.179,4 cm2 La figura groga és un tronc de piràmide quadrangular. De les cares laterals coneixem la mida de les bases i la mida del costat oblic, i necessitem calcular quant fa l’altura. Apliquem el teorema de Pitàgores, tenint en compte el dibuix que hem vist per a la figura blava: 82  h2  ((9  6) : 2)2  h  7,86 cm Ara calculem l’àrea lateral: AL  4 ·







 235,8 cm2

Calculem l’àrea de les bases: ABase major  92  81 cm2

ABase menor  62  36 cm2

Així doncs, l’àrea total del tronc de piràmide quadrangular groc és: 235,8  81 36  352,8 cm2

L’àrea lateral d’un tronc de con està determinada per la fórmula: AL   · (R  r) · g (és l’àrea de la secció d’una corona circular). Per al tronc verd clar: AT   · (6  3) · 8   · 62   · 32  367,57 cm2 Per al tronc blau clar: Hem de calcular la generatriu per mitjà del teorema de Pitàgores: g2  142  (12  10)2  g  14,14 cm AT   · (12  10) · 14,14   · 122   · 102  1.743,84 cm2

a) El cercle màxim ens dóna el radi de la circumferència: r2  201,06  r  8 cm b) A  4 · 82  804,25 cm2 c) Afus 

 

 11,17 cm2

d) Acasquet  2 · 8 · 3  150,80 cm2

364

10

Cossos geomètrics

a) A la figura tenim 6 creus formades per 5 quadrats de 3 cm de costat i en cadascun dels 8 forats hi ha 3 quadrats de 3 cm de costat. Així és que l’àrea total serà de (5 · 6)  (8 · 3)  30  24  54 quadrats. És a dir: A  54 · 32  486 cm2 b) Tenim l’àrea de 5 quadrats de 6 cm de costat més 4 triangles de 6 cm de base, dels quals necessitem calcular l’altura (que seria l’apotema de la piràmide invertida que entra al cub). Per calcular l’altura dels triangles fem servir el teorema de Pitàgores: h2  32  22  h  3,60 cm De manera que l’àrea total és A  5 · 62  4 ·

 223,2 cm2

c) És l’àrea d’un cilindre de 7 cm d’altura i 6 cm de radi, amb només una base, més l’àrea d’una semiesfera de 6 cm de radi. A  2 · 6 · 7   · 62  2 · 62  603,19 cm2 d) És l’àrea de mig cilindre de 5 cm d’altura i 1,5 cm de radi, més l’àrea de mig con de 5 cm d’altura i 1,5 cm de radi, més l’àrea de dos triangles rectangles d’1,5 cm de base i 5 cm d’altura. Primer calculem la generatriu del con per poder determinar l’àrea: g2  52  1,55  g  5,22 cm A   · 1,5 · (1,5  5) 

 · 1,5 · (1,5  5,22)  2 ·

 30,63  15,83  7,5  53,96 cm2

e) És l’àrea de 6 quadrats de 8 cm de costat; en 3 d’aquests quadrats hem de restar l’àrea d’un triangle rectangle de 4 cm de base i 4 cm d’altura. A l’àrea total de la figura hem d’afegir l’àrea d’un triangle equilàter de 5,66 cm de costat. Primer calculem l’altura del triangle equilàter: 5,662  h2  2,832  h  4,90 cm A  6 · 82  3 ·



 384  24  9,8  369,8 cm2

f) És l’àrea de dos sectors circulars de 2 cm de radi i un angle de 330⁰, més l’àrea de dos rectangles de 2 cm de base i 7 cm d’altura, més l’àrea d’un rectangle de 7 cm d’altura i com a base la longitud d’un arc de 2 cm de radi i un angle de 330⁰. A  2 ·  · 22 ·

 2 · 2 · 7  2 · 2 ·

· 7  23,04  28  80,64  131,68 cm2

Calculem l’altura del triangle de la base per mitjà del teorema de Pitàgores: 32  h2  1,52  h  2,60 cm V

· 7  27,3 cm3

365

10

Cossos geomètrics

V  4 · 6 · 12  288 cm3

Calculem l’apotema de la base: 42  ap2  22  ap  3,46 cm V







· 8  332,16 cm3

a) Calculem l’altura de la base: 72  h2  3,52  h  6,06 cm Calculem l’apotema de la piràmide: 82  ap2  3,52  ap  7,19 cm Calculem l’altura de la piràmide: 7,192  3,52  h2  h  6,28 cm V



·

· 6,28  44,40 cm3

b) Calculem l’altura de la base: 52  h2  2,52  h  4,33 cm Calculem l’altura de la piràmide: 6,542  2,52  h2  h  6,04 cm V

·



· 6,04  21,79 cm3

Això vol dir que l’àrea de cada cara és de 10 m2, que seria l’àrea de la base. Ara necessitem calcular l’altura de la piràmide per trobar el volum; per fer-ho, calculem l’altura dels triangles, que és l’apotema de la piràmide, determinada per: c2  ap2     ap   

Com que l’àrea és 10 m2, tenim que: 10 



c

 c  4,80 m

De manera que ap  4,15 m. L’altura de la piràmide està determinada per: 4,152  h2  2,42  h  3,39 m V

· 10 · 3,39  33,9 m2

a) Calculem l’apotema de la base i, després, l’altura de la piràmide mitjançant el teorema de Pitàgores: 52  ap2  2,52  ap  4,33 cm 82  h2  4,332  h  6,73 cm V











 145,70 cm3

366

10

Cossos geomètrics

b) Calculem l’apotema de la base i, després, l’altura de la piràmide mitjançant el teorema de Pitàgores: 32  ap2  1,52  ap  2,60 cm 62  h2  32  h  5,20 cm V











 40,56 cm3

a) V   · 42 · 10  502,65 cm3 b) Calculem el radi de la circumferència: 2r  37,7  r  6 cm V   · 62 · 12  1.357,17 cm3

a) Calculem l’altura del con: 82  h2  52  h  6,24 cm V

 · 52 · 6,24  163,36 cm3

b) V 

 · 82 · 18  1.206,37 cm3

c) Calculem el radi de la circumferència: 44  2r  r  7,00 cm Calculem l’altura: 112  h2  72  h  8,49 cm V

 · 72 · 8,49  435,64 cm3

a) Calculem el costat: 9,92  c2  c2  c  7 cm V  73  343 cm3 b) La diagonal del cub està determinada per D2  d2  c2. Podem expressar d en funció de c com a d  de manera que: D2  2c2  c2. Així doncs: 8,662  3c2  c  5 cm

c,

V  53  125 cm3

367

10

Cossos geomètrics

a) Calculem l’altura de la base, que és igual a l’apotema de la piràmide: 82  ap2  42  ap  6,93 cm Calculem l’altura de la piràmide: 6,932  h2    

V

·



   h  6,53 cm 

· 6,53  60,34 cm3

b) Calculem l’aresta: a2  82     a  9,24 cm  

Calculem l’altura de la piràmide: 82  h2      h  7,85 cm 

V

·





· 7,85  96,71 cm3

a) V 

 · 63  904,78 cm3

b) V 

 · 103  4.188,79 cm3

c) Calculem l’àrea: 78,54   · r2  r  5 cm V

 · 53  523,60 cm3

a) L’altura del cilindre es correspondria amb el diàmetre de l’esfera, i el radi de la base, amb el radi de l’esfera. Calculem el radi de l’esfera, ja que en coneixem l’àrea: 452,39  4r2  r  35,97 cm  d  2 · 35,97  71,94 cm Vcilindre   · 35,972 · 71,94  292.416,03 cm3 b) El cub té un costat igual al diàmetre de l’esfera, de manera que el volum del cub és: V  71,943  372.315,66 cm3

368

10

Cossos geomètrics

Comprovem quin és el radi de l’esfera: 96  4r2  r  2,76 cm Per tant, el volum de l’esfera és: Vesfera 

 · 2,763  88,07 cm3

Comprovem ara quin és el costat del cub: 96  6 · c2  c  4 cm Per tant, el volum del cub és: Vcub  43  64 cm3 Té més volum l’esfera.

L’altura de la piràmide és igual al costat del cub. L’àrea de la base és l’àrea d’un quadrat de 12 cm de costat, de manera que el volum és: V

· 122 · 12  576 cm3

Per calcular l’àrea necessitem saber l’apotema de la piràmide, que determinem per mitjà del teorema de Pitàgores: ap2  122  62  ap  13,42 cm A  122  4 ·



 466,08 cm2

a) És el volum d’un ortoedre d’arestes 4 cm, 2 cm i 2 cm, i una piràmide de base un quadrat de 2 cm de costat i 2 cm d’altura. V4·2·2

· 22 · 2  18,67 cm3

b) És el volum d’un cilindre de 3 cm de radi de la base i 4 cm d’altura, més un con de 3 cm de radi de la base i 4 cm d’altura. V   · 32 · 4 

·  · 32 · 4  150,80 cm3

369

10

Cossos geomètrics

c) És el volum d’un cilindre de 4 cm de radi de la base i 8 cm d’altura, menys un con de 4 cm de radi de la base i 4 cm d’altura. V   · 42 · 8 

·  · 42 · 4  335,10 cm3

d) És el volum d’un cub de 9 cm d’aresta menys el volum de 8 cubs de 3 cm d’aresta. V  93  8 · 33  513 cm3 e) És el volum de mig cilindre d’1,5 cm de radi de la base i 5 cm d’altura, més el volum de mig con d’1,5 cm de radi de la base i 5 cm d’altura. V

·  · 1,52 · 5 



·  · 1,52 · 5  23,56 cm3

f) És el volum d’un cub de 6 cm d’aresta menys el volum d’una piràmide de base un quadrat de 6 cm de costat i 4 cm d’altura. V  63 

· 62 · 4  168 cm3

g) És el volum d’un cub de 8 cm d’aresta menys el volum d’un tetraedre de 5,66 cm d’aresta. Calculem l’altura d’una de les cares del tetraedre, que també és l’apotema de la piràmide: 5,662  ap2  2,832  ap  4,90 cm Ara calculem l’altura de la piràmide: 4,902  h2    

V  83 





   h  4,62 cm 

· 4,62  490,64 cm3

h) És el volum d’un cilindre de 6 cm de radi de la base i 7 cm d’altura més el volum d’una semiesfera de 6 cm de radi. V   · 62 · 7 



·  · 63  1.244,07 cm3

a) És el volum d’una piràmide de base un quadrat de 12 cm de costat i altura H menys el volum d’una piràmide de base un quadrat de 6 cm de costat i altura h. Calculem l’apotema de la piràmide gran: 182  ap2  62  ap  16,97 cm Calculem l’apotema de la piràmide petita: 92  ap’2  32  ap’  8,48 cm Calculem l’altura de la piràmide gran: 16,972  H2  62  H  15,87 cm Calculem l’altura de la piràmide petita: 8,482  h2  32  h  7,93 cm V  122 · 15,87  62 · 7,93  1.999,8 cm3

370

10

Cossos geomètrics

b) És el volum d’un con de 4 cm de radi de la base i altura H menys el volum d’un con de 2 cm de radi de la base i altura h. Calculem l’altura del con gran: 122  H2  42  H  11,31 cm Calculem l’altura del con petit: 62  h2  22  h  5,66 cm V

·  · 42 · 11,31 

·  · 22 · 5,66  165,79 cm3

a) La longitud varia entre 0⁰ i 180⁰, i la latitud, entre 0⁰ i 90⁰. b) Per a la longitud, al meridià de Greenwich, i per a la latitud, a l’equador.

Com que es tracta de calcular, hauríem de veure un mapa de la comarca i comprovar quins meridians i paral·lels la delimiten. Si ho fem per a Catalunya, veiem que es troba aproximadament entre els meridians 0º i 3º E i entre els paral·lels 40º N i 42º N. Si tenim un mapa més precís, podrem acotar més les mides.

Si considerem la Terra com una esfera, l’àrea seria: A  4 · 6.3712  510.064.471,91 cm2  5,1 · 108 km2; i el volum: V 

·  · 6.3713  1,08 · 1012 km3

a) La longitud d’un meridià és la d’un cercle màxim si considerem la Terra com una esfera, de manera que fa 2 · 6.371  40.030,17 km b) Abasta 15⁰. c) Si considerem la Terra com una esfera, és un fus esfèric de 15⁰, de manera que: A





2,13 · 107 km2

d) Sí, el que indica la longitud.

La longitud de Moscou és 37⁰ 36’  37,6⁰ E, i la de Venècia és 12⁰ 20’  12,33⁰ E. La diferència de longitud entre les dues ciutats és: 37,6  12,33  25,27⁰. Així doncs, la diferència horària és: 25,27 : 15  1,68  1 h 41 min 4,8 s

371

10

Cossos geomètrics

Comprovem la diferència horària entre les longituds respectives: 74⁰  3⁰ 43’  74  3,72  70,28 De manera que tenen un diferència horària de: 70,28 : 15  4,69 h  4 h 41 min 24 s

a) La diferència de longitud amb una ciutat 40⁰ a l’oest és de 56⁰ 20’  56,33⁰, de manera que la diferència horària és de: 56,33 : 15  3,76 h  3 h 45 min 36 s. Com que ens desplacem cap a l’oest, restem la diferència horària, així és que en aquesta ciutat són: 15  3 h 45 min 36 s  11 h 14 min 24 s, és a dir, aproximadament són un quart de 12 del matí. b) La diferència de longitud amb una ciutat 70⁰ a l’est és de 53,67⁰, així és que la diferència horària és de: 53,67 : 15  3,58 h  3 h 34 min 48 s Com que ens desplacem cap a l’est, augmentem la diferència horària, de manera que en aquesta ciutat són aproximadament dos quarts de 7 de la tarda. c) Si el sol hi surt 3 hores més tard, vol dir que es troba a l’oest de Viena. Que la diferència sigui de 3 hores vol dir que la diferència de longitud és 3 · 15  45⁰ a l’oest de Viena. Com que Viena és a l’est, si x és la longitud de la ciutat: x  16⁰ 20’  45⁰  x  28⁰ 40’ O d) Si el sol hi surt 3 hores abans, vol dir que es troba a l’est de Viena. Que la diferència sigui de 3 hores vol dir que la diferència de longitud és 3 · 15  45⁰ a l’est de Viena. Com que Viena és a l’oest, si x és la longitud de la ciutat: x  16⁰ 20’  45⁰  x  71⁰ 20’ E

50⁰ A O

C 80⁰ 60⁰

B

372

10

Cossos geomètrics

a) Com que les latituds de A i B es diferencien de 80⁰, i com que la de B és 60⁰ S i sabem que A es troba a l’hemisferi nord, aleshores la latitud de A és 20⁰ N. C es troba al mateix paral·lel que A, per tant la latitud de C és 20⁰ N, però no podem calcular les longituds. b) Si C dista 65⁰ del meridià zero, la seva longitud pot ser 65⁰ E o 65⁰ O. Sabem que A dista 50⁰ de C, de manera que la seva longitud (i per tant també la de B, ja que es troben al mateix meridià) pot ser 115⁰ E, o 15⁰ E, o 115⁰ O, o 15⁰ O. c) Ens falta saber si C es troba a l’est o a l’oest del meridià zero i si A està situada a l’est o a l’oest de C.

Pot ser qualsevol longitud, l’únic que ens diu aquesta dada és la distància que hi ha a l’equador, però no sabem res al voltant de la distància respecte del meridià zero.

Calculem el preu per a cada tipus de llauna i el volum corresponent. El preu està determinat per l’àrea, així és que primer calculem les àrees. Tipus de llauna A: 2 · 12(12  3)  1.130,97 cm2 Tipus de llauna B: 2 · 10(10  5)  942,48 cm2 Tipus de llauna C: 2 · 6(6  12)  678,58 cm2 Comprovem els preus i els volums: Llauna A: preu  1.130,97 · 0,02  22,62 €

V   · 122 · 3  1.357,17 cm3

El cm3 surt a 22,62 : 1.357,17  0,016667 €/cm3 Llauna B: preu  942,48 · 0,02  18,85 €

V   · 102 · 5  1.570,80 cm3

El cm3 surt a 18,85 : 1.570,80  0,01200 €/cm3 Llauna C: preu  678,58 · 0,02  13,57 €

V   · 62 · 12  1.357,17 cm3

El cm3 surt a 13,57 : 1.357,17  0,009999 €/cm3 El més rendible és fer llaunes del tipus C.

La longitud més gran de la caixa és la diagonal, de manera que hi cabran tots els llistons que siguin més petits. Calculem la diagonal de la base per poder determinar la de la caixa: d2  402  252  d  47,17 cm

373

10

Cossos geomètrics

A la base de la caixa es pot posar el llistó de 46,5 cm, així és que aquest cap a la caixa. Ara calculem la diagonal de la caixa: D2  47,172  182  D  50,49 cm Així doncs, hi cap el llistó de 50,3 cm, però els de 50,6 cm i 51 cm no caben a la caixa.

Calculem l’àrea de l’habitació (exclòs el terra, és a dir, una de les bases de l’ortoedre) i restem l’àrea de la finestra i de la porta. Aortoedre  3,5 · 4,2  (3,5 · 2  4,2 · 2) · 2,5  53,2 m2 Afinestra  1,22  1,44 m2

Aporta  0,9 · 2,1  1,89 m2

Apintar  53,2  1,44  1,89  49,87 m2 Necessitarà 3 pots, perquè amb 2 només podria pintar 40 m2 i no n’hi hauria prou. Amb 3 pots pot pintar 60 m2, de manera que encara li sobrarà pintura.

Necessitem calcular en cada cas l’àrea lateral de les figures. En el cas de la piràmide, hem de saber l’altura de cadascun dels costats, és a dir, l’apotema, que podem calcular ja que coneixem l’altura total de la torre: ap2  1,622  32  ap  3,41 m Atorre cúbica  (4 · 6) · 6  4 ·



 184,92 m2

Calculem el radi del cilindre: r2  24,63  r  2,8 m La generatriu del con és: 4 · 2,8  11,2 m Atorre cilíndrica  2 · 2,8 · 7   · 2,8 · 11,2  221,67 m2 Sortirà més cara la torre de base cilíndrica, perquè té més metres quadrats de façana.

a) L’àrea que cobreix en cada volta és l’àrea lateral del cilindre: A  2 · 1,8 · 24  271,43 cm2 b) L’àrea de la peça és:  · 9,52  283,53 cm2 Si es pogués optimitzar el corró, de manera que l’àrea no coberta a la primera volta quedés totalment coberta a la segona i que amb una volta ja quedés pastada, aleshores caldrien dues voltes de corró. c) 5.428,6 : 271,43  20 voltes

374

10

Cossos geomètrics

Calculem la diagonal de l’ascensor. La diagonal de la base de l’ascensor és: d2  12  12  d  La diagonal de l’ascensor és: D2  (

m

)2  2,52  D  2,87 m

No podrà fer entrar el tub a l’ascensor, perquè la longitud màxima de l’ascensor és de 2,87 m.

Tenim dues parts, la que arriba fins als 2 m, que és el volum d’un ortoedre de costats 4 m, 20 m i 2 m, i l’altra part, que seria la meitat d’un ortoedre igual que el primer, ja que es tracta d’un ortoedre partit per un pla de la manera següent:

És a dir, el volum és V

del volum d’un ortoedre de dimensions 4 m × 20 m × 2 m.

· 4 · 20 · 2  240 m3

Vinicial  33  27 m3 a) Vqueda  33 

 · 1,53  12,86 m3

El percentatge que queda és:

· 100  47,63 %

375

10

Cossos geomètrics

b) Vqueda  33   · 1,52 · 3  5,79 m3 El percentatge que queda és: c) Vqueda  33 

· 100  21,44 %

 · 1,52 · 3  19,93 m3

El percentatge que queda és:

· 100  73,81 %

HAS DE SABER FER

a) Si és convex verifica la fórmula d’Euler, de manera que tindrà: 16  C  2  24  C  10 cares b) Si és convex verifica la fórmula d’Euler, de manera que tindrà: 6  C  2  12  C  8 cares

La diagonal de la base és: d2  (4x)2  (2x)2  d  x La diagonal de l’ortoedre és: D2  (

)2  x2  (x

)2  21  21x2  x  1

L’àrea total és: 2 · (4 · 2)  (4 · 2  2 · 2) · 1  28 cm2

Calculem l’apotema de la base (com que és un hexàgon regular, el radi de la base és igual al costat): 122  ap2  62  ap  10,39 cm A2·



A  62  4 ·



 (6 · 12) · 25  2.548,08 cm2

 132 cm2

L’àrea lateral del cilindre està determinada per: 2r · h  75,36 cm2; com que r  4 cm, tenim que h  3 cm.

376

Cossos geomètrics

10

Calculem la generatriu del con, que és la diagonal del triangle: g2  132  62  g  14,32 cm Suposem que el fem girar sobre el catet de 13 cm: A   · 62 · (6  14,32)  2.298,14 cm2 Suposem que el fem girar sobre el catet de 6 cm: A   · 132 · (13  14,32)  14.504,98 cm2

Calculem l’aresta del cub: 70,56  c2  c  8,4 cm V  8,43  592,704 cm3

Calculem el radi de la base: 42,73  2r  r  6,8 cm h  6,8 · 2  13,6 cm V   · 6,82 · 13,6  1.975,63 cm3

Diferència de latitud entre A i B: 101⁰ Diferència de latitud entre A i C: 127⁰ Diferència de latitud entre B i C: 26⁰ Diferència de longitud entre A i B: 51⁰ Diferència horària entre A i B: 51 : 15  3,4 h  3 h 24 min Diferència de longitud entre A i C: 104⁰ Diferència horària entre A i C: 104 : 15  6,93 h  6 h 55 min 48 s Diferència de longitud entre B i C: 155⁰ Diferència horària entre B i C: 155 : 15  10,33 h  10 h 19 min 48 s

377

Cossos geomètrics

10

COMPETÈNCIA MATEMÀTICA. En la vida quotidiana

La capsa és un ortoedre, el volum és: Vcapsa  62 · 57 · 18  63.612 cm3 El volum de cada pila és: Vpila   · 5,252 · 44,5  3.853,26 cm3 El volum de 4 piles és: 3.853,26 · 4  15.413,04 cm3 Espai que sobra: 63.612  15.413,04  47.898,96 cm3

378

10

Cossos geomètrics

FORMES DE PENSAR. RAONAMENT MATEMÀTIC

Perquè la formiga pogués recórrer l’octaedre sense repetir cap aresta, aquesta figura s’hauria de poder dibuixar amb un sol traç, i efectivament es pot fer. 4

11 9

12

5

6

1 8

3

10

2

7

En canvi, en un cub això no és possible, per moltes proves que fem.

Si el costat del cub és x, tenim que la diagonal de la base és: dbase2  x2  x2  dbase  Ara calculem la diagonal del cub: d2  ( a) d 

· 6  10,39 cm

b) d 

· 4,5  7,79 cm

x)2  x2  d 

x

x

Primer hem de calcular l’altura dels triangles que formen les cares (que, alhora, coincideix amb l’apotema de la piràmide). Si l’aresta fa x, aleshores: x2  h2 

h

x

Ara, com que és un triangle equilàter, sabem que la distància del seu centre al punt mitjà d’un dels costats és 1/3 de l’altura; per tant, amb l’altura de la piràmide (tetraedre) dibuixem un triangle rectangle amb la hipotenusa igual a l’apotema de la piràmide i els catets igual a   

   

    

   H  

x

x

de l’altura de la base i l’altura del tetraedre:

x

379

10

Cossos geomètrics

Es forma un triangle rectangle amb la diagonal, l’aresta lateral i dos radis de l’hexàgon de la base: d12  122  242  d1  26,83 cm Es forma un triangle rectangle amb la diagonal, l’aresta lateral i dues altures dels triangles en què es divideix la base. Calculem l’altura dels triangles: 122  h2  62  h  10,39 cm d12  122  20,782  d1  24,00 cm

La diagonal de la base està determinada per: dbase2  x2  y2 La diagonal de l’ortoedre està determinada per: d2  dbase2  z2  x2  y2  z2

Considerem x un dels costats del full i y l’altre costat. Si enrotllem el costat x, aleshores: 2r  x  r  Si enrotllem el costat y, aleshores: 2r  y  r 

 

, el volum és: V   · 

  ·y  

, el volum és: V   · 

  ·x  

 

Els volums no són iguals.

Calculem quin seria el volum de l’octaedre. El volum de l’octaedre és el volum de dues piràmides de base quadrangular i en el qual totes les arestes fan c. Calculem l’apotema de la piràmide: c2  ap2     ap   

Ara calculem l’altura de la piràmide: 



 2     h     h    

El volum d’una de les piràmides és: V 

· c2 ·



c

c  0,2357c3

Si multipliquem aquest volum per 2, tenim que el volum de l’octaedre és 0,4714c3.

380

Cossos geomètrics

10

a) L’àrea lateral del cilindre és: AL  2 · 10 · 10  628,32 cm2 L’àrea lateral del con és:  · 10 · g; perquè sigui igual que la del cilindre:  · 10 · g  628,32  g  20 cm b) L’àrea lateral del cilindre és: AL  2 · r2  628,32  628,32  1.256,64 cm2 L’àrea lateral del con és: AL   · r2  10 · g  314,16; perquè sigui igual que la del cilindre: 31,42 · g  314,16  1.256,64  g  29,90 cm

PROVES PISA

Les figures II i III.

381

10

Cossos geomètrics

a) Hem de calcular l’altura dels triangles que formen els costats: 122  h2  62  h  10,39 cm A  122  4 ·



 393,36 cm2 (aquesta és l’àrea de tota la superfície de l’àtic, si per planta entenem

tan sols el terra, que seria de 144 cm2) b) Els triangles es troben en posició de Tales, de manera que els costats són proporcionals als del triangle gran. Sabem que els costats ET i EF fan 6 cm, la meitat que l’original, així és que EF també farà la meitat, és a dir, 6 cm.

382

11

Funcions CLAUS PER COMENÇAR

Y A F

1 G

D 1

X E

C B

a)

H

1

3

b) 2

c) d)

4

4 3

8 5

INTERPRETA LA IMATGE

Amb les dades que ofereix la gràfica, no podem determinar el temps que va durar el vol. Va avançar 80 m i l’altura màxima que va aconseguir va ser de 2 m.

383

Funcions

11

T'HI ATREVEIXES?

A 9 hi correspon 3, perquè té 3 divisors: 1, 3 i 9.

Trigarà 10 dies, perquè cada dia avança un metre.

Si és lineal, l’única opció és que sigui la funció constant y  3, així és que el seu recorregut és 3. Si no és lineal i no talla l’eix X, el que en sabem és que el recorregut són els nombres enters positius.

El valor és de 24 hores.

ACTIVITATS

a) És funció, perquè a cada valor de x, la quantitat de sabons que comprem, correspon un únic preu que paguem. b) És funció, perquè per a cada parell de dígits finals del DNI tan sols hi ha un possible resultat quan se sumen. c) No és funció, perquè per a dos rectangles de la mateixa amplada, el perímetre pot ser diferent, és a dir, hi correspon més d’un valor, dependrà també del valor de l’altura. d) És funció, perquè a cada valor de x, nombre de monedes de 2 €, correspon una única possibilitat de quantitat de diners que representen.

384

11

Funcions

a) Correspondria, respectivament: 1, 2, 3, 4 i 5 b) Correspondria, respectivament: 7, 9, 11, 13 i 15 c) Correspondria, respectivament: 1, 2, 2, 3 i 2.

Resposta oberta. Per exemple: És funció la relació entre el número de sabata i la longitud del peu. No és funció la relació entre la temperatura que fa i la possibilitat de pluja.

a) El doble d’un nombre menys u. b) L’oposat d’un nombre més tres.

a) y  3x

b) y  x2

c) y  2x  5

f(x)  2x  3 f(8)  2 · 8  3  13

f(4)  2 · (4)  3  11

f(10)  2 · 10  3  17

Si considerem x la mesura expressada en metres, la funció que l’expressa en cm és f(x)  100x.

a)

x

2

1

0

1

2

f(x)  3x  2

8

5

2

1

4

385

11

Funcions

b)

c)

x

2

1

0

1

2

f(x)  x2  2

6

3

2

3

6

x

2

1

0

1

2

f(x)  x  3

5

4

3

2

1

Y b)

c)

a)

1 1

X

El preu final dependrà de la quantitat d’entrades que es comprin i no es pot comprar un nombre d’entrades negatiu. Expressió algebraica: f(x)  15,75x x

0

1

2

3

4

f(x)  15,75x

0

15,75

31,5

47,25

63

Y

10 1

X

a) Expressió algebraica: f(x)  10x Y

x

0

1

2

3

4

f(x)  10x

0

10

20

30

40

5 1

X

386

11

Funcions

b) Expressió algebraica: f(x)  1.000x x

0

1

2

3

4

f(x)  1.000x

0

1.000

2.000

3.000

4.000

Y

250 X

1

Pa: 10x (gris fosc) x

1

2

3

4

5

6

f(x)  10x

10

20

30

40

50

60

x

1

2

3

4

5

6

f(x)  3x

3

6

9

12

15

18

x

1

2

3

4

5

6

f(x)  16x

16

32

48

64

80

96

Carn: 3x (gris clar)

Llet: 16x (blau fosc)

Fruita i verdura: 6x (blau clar) x

1

2

3

4

5

6

f(x)  6x

6

12

18

24

30

36

Y

10 1

X

387

11

Funcions

a) En funció del temps, dels minuts que l’aixeta estigui oberta, la quantitat d’aigua que en brolla és: y  4x Y

2 1

X

b) En funció dels minuts que l’aixeta estigui oberta, la quantitat d’aigua que falta per omplir el dipòsit és: y  200  4x Y

20 10

X

a) f(x)  2x  2 ·

 3x

b) f(x)  2 · (x  4)  2 · (x  1)  4x  10

Y

Y

1

11 10 9 1

X

1

X

388

11

Funcions

f(x)  3x  6 Dom f  ℝ

Y

Im f  ℝ 1 1

X

a) f(x) 

b) Dom f  ℝ  {0}, Im f  ℝ  {0}

a) Dom f  ℝ

Im f  [7, )

b) Dom f  ℝ  {0}

Im f  ℝ  {0}

c) f(2) 

a) Dom f  ℝ

Im f  ℝ

c) Dom f  ℝ

Im f  2

b) Dom f  ℝ

Im f  [0, )

d) Dom f  [0, )

Im f  [0, )

Per a la primera funció: Dom f  [5, 5], Im f  [4, 4] Per a la segona funció: Dom f  [5, 4], Im f  [2,2; 5]

389

11

Funcions

a) Dom f  [2, 6), Im f  [1, 3]

b) Dom f  (2, 5), Im f  [3, 0]

Dom f  [0, 24], Im f  [8, 28]

Hi ha discontinuïtats en x  1 i en x  3. La gràfica talla l’eix X en x  1 i en x  2. La gràfica talla l’eix Y en x  0.

Resposta oberta. Per exemple: Y

2 2

X

Si passa per (1, 1) compleix que: 1  a · 1  b; i si passa per (2, 1) compleix que: 1  a · 2  b. Tenim un sistema de dues equacions amb dues incògnites, i si el resolem obtenim que: a  2 i b  3 La funció és: f(x)  2x  3; els punts de tall amb els eixos són: (0, 3) i (3/2, 0)

390

11

Funcions

a) 4x  1  0  x  1/4. El punt és (1/4, 0) b) 2x2  4  0. No existeix x que compleixi aquesta condició, perquè tindríem que x2  2, i no hi ha cap nombre real que ho compleixi. c)

x

ix

d)

 x  2/3. El punt és (2/3, 0)

. Els punts són (

, 0) i (

, 0)

e) (x  1)2  0  x  1. El punt és (1, 0) f) 3(x  1)  0  x  1. El punt és (1, 0)

a) x  0  3  0  3. El punt de tall és (0, 3) b) x  0  2 

 2. El punt de tall és (0, 2)

c) x  0  02  0  2  2. El punt de tall és (0, 2) d) x  0 

1

. El punt de tall és (0, 2/5)

e) x  0  (0  2)2  4. El punt de tall és (0, 4) f) x  0 



. El punt de tall és (0, 8/3)

g) x  0  4 · 0  4  4. El punt de tall és (0, 4) h) x  0 



. El punt de tall és (0, 9/10)

391

11

Funcions

a) Punt de tall amb l’eix Y: x  0 

 0,25. El punt de tall és (0,

)

b) Punt de tall amb l’eix Y: x  0  3 · 02  0. El punt de tall és (0, 0) c) Punt de tall amb l’eix Y: x  0  4 · (2  0)  8. El punt de tall és (0, 8) d) Punt de tall amb l’eix Y: x  0 

 0,5. El punt de tall és (0,

)

Per a a) la correspondència és III). Comprovem que els altres punts de tall són els punts de tall amb l’eix X:  0  x  1 i x  1. Per a b) la correspondència és I). Els punts de tall amb X són els que compleix, 3x2  0, això és quan x  0, de manera que tenim de nou el punt (0, 0). Per a c) la correspondència és II). Comprovem que els altres punts de tall són els punts de tall amb l’eix X: 4 · (2  x)  0  x  2. Per a d) la correspondència és IV). Comprovem que el punt (–1, 0) és el punt de tall amb l'eix X:

 0  x –1

a) x  0  2 · 0  3  3. El punt de tall és (0, 3) b) x  0  0  4  4. El punt de tall és (0, 4) c) x  0 3 · (0  1)  3. El punt de tall és (0, 3) d) x  0 

 3  3. El punt de tall és (0, 3)

e) x  0. Per a qualsevol valor de x, el valor de y és 3, de manera que passa pel punt (0, 3). Tenen el mateix punt de tall amb l’eix Y les funcions a), c), d) i e).

Sí, és possible, per exemple la funció y  x i la funció y  x2. Y

1 1

X

392

11

Funcions

La funció creix en (, 4)  (3, 1)  (2, 3)  (4, ). La funció decreix en (4, 3)  (3, 4). La funció és constant en (1, 2). Té màxims per a x  4 i x  3. Té mínims en x  3 i x  4.

Resposta oberta. Per exemple: Y

1 1

X

x

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

y

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

La funció decreix en (, 3) i creix en (3, ). Y

1 1

X

393

11

Funcions

a) L’afluència de clients augmenta de 8 del matí a 12 del migdia i de 4 a 6 de la tarda. I disminueix de 12 del migdia a 2 de la tarda i de 6 de la tarda a 12 de la nit. b) Arriben més clients a les 6 de la tarda. c) A les 8 del matí, quan el centre comercial era tancat.

a) Li puja la temperatura durant les 3 primeres hores de mesurament; després, entre la 4a i la 5a hora; també entre la 6a i la 8a hora, i, finalment, l’última hora del mesurament, entre la 9a i la 10a hora. Li baixa la temperatura entre la 3a i la 4a hora, entre la 5a i la 6a hora, i entre la 8a i la 9a hora de mesurament. b) La temperatura ha estat màxima, de 40 ⁰C, en la 3a i la 5a hora del mesurament. c) La temperatura mínima s’ha produït en la 9a hora del mesurament.

Resposta oberta. Per exemple: Y

1 1

X

394

11

Funcions

Simetria parella: f(x)  (x)3  (1)3 · x3  x3  x3  f(x). No hi ha simetria parella. Simetria imparella: f(x)  (x)3  (1)3 · x3  x3  f(x). Té simetria imparella.

Resposta oberta. Per exemple: Y

1 1

X

Sí, per exemple: Y 1 1

X

a) És una funció contínua. b) No talla l’eix X i talla l’eix Y en (G, 8,5). c) És creixent de gener a febrer, de març a abril, de juny a juliol i d’agost a octubre. És decreixent de febrer a març, d’abril a juny, de juliol a agost i d’octubre a desembre. d) Màxims relatius: febrer, abril, juliol i octubre. Màxim absolut: octubre. Mínims relatius: març, juny i agost. Mínim absolut: gener. e) Es van superar els 12 milions a l’octubre, al novembre i al desembre.

395

Funcions

11

a) El sol surt a les 8 del matí i es pon a les 8 del vespre. b) Sí, ja que no hi ha cap salt en el traç de la funció. c) Creix entre les 8 del matí i les 2 de la tarda, i decreix entre les 2 de la tarda i les 8 del vespre. d) El màxim de la funció és a les 2 de la tarda, quan el sol assoleix una altura de 60 m sobre l’horitzó. És a dir, el punt del màxim és (14, 60). e) Aquest dia hi ha 12 hores de sol.

ACTIVITATS FINALS

a) És funció. Per a qualsevol nombre que considerem, no hi ha cap altra possibilitat a l’hora de calcular-ne la meitat que un únic resultat. b) És funció. Per a qualsevol nombre que considerem, no hi ha cap altra possibilitat a l’hora de calcular-ne el valor absolut que un únic resultat. c) No és funció. Si no ens especifiquen el signe de l’arrel quadrada, per a un nombre tenim dos possibles valors; per exemple, a 1 correspondria 1 i 1. d) És funció. Per a qualsevol nombre que considerem, no hi ha cap altra possibilitat a l’hora de calcular-ne l’arrel cúbica que un únic resultat.

396

11

Funcions

a) És funció. Donat un cercle amb un radi determinat, tan sols hi ha una possibilitat per valorar-ne l’àrea. b) No és funció. Per exemple, si tenim un quadrat d’1 cm de costat, el perímetre és 4 cm i l’àrea és 1 cm2, i podem tenir un rectangle d’igual perímetre (els costats d’1,5 cm i 0,5 cm, per exemple) i l’àrea seria 0,75 cm2. c) No és funció. Per a un rectangle d’1 cm base i 1 cm d’altura, tenim un perímetre de 4 cm, i per a un rectangle d’1 cm de base però amb una altra altura, per exemple 2 cm, tenim un perímetre de 6 cm.

Són funcions b) i d). Les gràfiques a) i c) tenen valors de x als quals correspon més d’un valor de y.

Longitud (cm)

20 2

Hora del dia

Cap a la meitat del dia la longitud de l’ombra és més curta, perquè el sol és més amunt i incideix en els objectes de manera més perpendicular. a) És una funció, ja que per a cada hora del dia només hi ha un únic valor possible de mesurament de l’ombra. b) No seria la mateixa, perquè variaria d’acord amb el sol (hora de sortida, posició, etc.).

a) y 

2

b) y 

c) y 

397

11

Funcions

a) A  c2

a) y  4 · 3  3  9

c) V 



b)

b) 1  4x  3  x  1/2

a) f(1)  3

f(2)  0

f(3)  5

b) f(1)  1

f(2)  1

f(3)  5/3

c) f(1)  9

f(2)  0

f(3)  3

d) f(1)  1

f(2)  16

f(3)  25

a)

r3

c) y  4 · (2)  3  11

x

2

1

0

1

2

f(x)

5

4

3

2

1

d) 5  4x  3  x  2

Y

1 1

b)

X

x

2

1

0

1

2

f(x)

3/2

1

1/2

0

1/2

Y

1 1

X

398

11

Funcions

c)

x

2

1

0

1

2

f(x)

11

6

1

4

9

Y

1 1

d)

X

x

2

1

0

1

2

f(x)

3

7/2

4

9/2

5

Y

1 1

e)

X

x

2

1

0

1

2

f(x)

8

7

6

5

4

2

1

0

1

2

7/2

11/4

2

5/4

1/2

Y

1 1

f)

X

x f(x) Y

1 1

X

399

11

Funcions

a)

b)

x

4

2

0

2

4

f(x)

3

2

1

0

1







x

3

2

0

2

3

f(x)

3

1

0

1

3

x f(x)

4

2

1

0,75

0,75

1

2

4

0,25

0,5

1

1,5

1,5

1

0,5

0,25

A  b · h  48  b · h  h  48/b b

1

2

3

4

8

h

48

24

16

12

6

a) Cert. f(2)  2 · 22  1  2 · 4  1  9 b) Cert. f(1)  2 · 12  1  3  2 · (1)2  f(1) c) Cert. 2x2  1  0  x2  1/2. No hi ha cap nombre real que compleixi aquesta condició. d) Fals. Per exemple: f(1)  3

a) Dom f  ℝ

Im f  ℝ

d) Dom f  ℝ

Im f  ℝ

b) Dom f  ℝ

Im f  ℝ

e) Dom f  ℝ

Im f  [0, )

c) Dom f  ℝ

Im f  [2, )

f) Dom f  ℝ

Im f  ℝ

400

11

Funcions

a) Dom f  [2, )

b) Dom f  ℝ  {2}

c) Dom f  ℝ  {0}

a) Dom f  ℝ  {2}. No és contínua, no està definida en x  2. b) Dom f  (3, 3). És contínua.

a) Punts de tall amb l’eix X: 3x  2  0  x  2/3. El punt de tall és (2/3, 0) Punt de tall amb l’eix Y: x  0  3 · 0  2  2. El punt de tall és (0, 2) b) Punts de tall amb l’eix X: per a qualsevol valor de x, el valor de y és 2; no hi ha punts de tall amb l’eix X. Punt de tall amb l’eix Y: per a qualsevol valor de x, el valor de y és 2. El punt de tall és (0, 2) c) Punts de tall amb l’eix X: 4x  1  0  x  1/4. El punt de tall és (1/4, 0) Punt de tall amb l’eix Y: x  0  4 · 0  1  1. El punt de tall és (0, 1) d) Punts de tall amb l’eix X: x2  2  0  x  

ix

. Els punts de tall són (

, 0) i (

, 0)

Punt de tall amb l’eix Y: x  0  0  2  2. El punt de tall és (0, 2) 2

e) Punts de tall amb l’eix X: per a qualsevol valor de x, el valor de y és 5; no hi ha punts de tall amb l’eix X. Punt de tall amb l’eix Y: per a qualsevol valor de x, el valor de y és 5. El punt de tall és (0, 5) f) Punts de tall amb l’eix X: (x  1)2  0  x  1. El punt de tall és (1, 0) Punt de tall amb l’eix Y: x  0  (0  1)2  1. El punt de tall és (0, 1)

401

11

Funcions

a)

x

2

1

0,5

0,5

1

2

f(x)

2

3

5

3

1

0

Y

1 1

X

No és contínua, té una discontinuïtat en x  0. b)

x

1

3/4

0

5/4

3

8

f(x)

0

1/2

1

3/2

2

3

3

2

1

1

2

3

1/2

3/4

3/2

3/2

3/4

½

Y

1 1

X

És contínua. c)

x f(x) Y

1 1

X

No és contínua, té una discontinuïtat en x  0. d)

x

0

1/3

f(x)

0

1

1  1,7

4/3

3

16/3

2

3

4

Y

1 1

X

És contínua.

402

11

Funcions

e)

x

3

2

1

1

2

3

f(x)

7/3

3

5

3

1

1/3

Y

1 1

X

No és contínua, té una discontinuïtat en x  0. f)

x

6

5/2

0

3/2

2

f(x)

4

3

2

1

0

Y

1 1

X

És contínua.

Preu

0,1 2010 2012 2014 Any

Hi ha un creixement del preu del quilo de patates del 2010 al 2011; baixa del 2011 al 2013, i torna a pujar del 2013 al 2014.

403

11

Funcions

Considerem que les gràfiques acaben a l’espai dibuixat: a) Dom f  [4, 4]

Im f  [2, 2]

Creix en (4, 3)  (1, 3). Decreix en (3, 1). Té un màxim en x  3 i mínims en x  4 i x  1. b) Dom f  [4, 4]

Im f  [3, 3]

Creix en (4, 2)  (0, 2). Decreix en (2, 0)  (2, 4). Té un màxim absolut en x  2, un màxim relatiu en x  2 i mínims en x  4, x  0 i x  4.

Són periòdiques a), de període 2, i c), de període 4.

a)

c)

Y

Y

1 1

b)

1

X

d)

Y

1

X

1

X

Y

1 1

X

1

404

11

Funcions

a)

b)

Y

1

Y

1 X

1

1

X

a) f(x)  (x)2  (x)  x2  x f(x)  f(x) No té simetria parella.

f(x)  f(x)  No té simetria imparella.

b) f(x)  x/2 f(x)  f(x) No té simetria parella. c) f(x)  (x  2)  (1) (x  2)  (x  2) 2

2

2

f(x)  f(x) No té simetria parella.

f(x)  f(x)  Té simetria imparella. 2

f(x)  f(x)  No té simetria imparella.

d) f(x)  (x)2  2(x)3  x2  2x3 f(x)  f(x) No té simetria parella.

f(x)  f(x)  No té simetria imparella.

e) f(x)  (x)  (1) x  x 3

3

3

3

f(x)  f(x) No té simetria parella.

f(x)  f(x)  Té simetria imparella.

f) f(x)  3/(x)  3/x f(x)  f(x) No té simetria parella.

f(x)  f(x)  Té simetria imparella.

Resposta oberta. Per exemple: Y

1 1

X

405

11

Funcions

Resposta oberta. Per exemple: Y

1 X

1

Construïm una taula de valors i, després, la representació gràfica; a partir d’aquí n’analitzem les característiques. a)

x

2

1

0

1

2

f(x)

13

8

3

2

7

Y

1 1

X

És contínua creixent. b)

x

2

1

0

1

2

f(x)

½

1

3/2

2

5/2

Y

1 1

X

És contínua creixent.

406

11

Funcions

c)

x

2

1

0

1

2

f(x)

3

4

3

0

5

Y

1 1

X

És contínua. És decreixent en (, 1) i creixent en (1, ). Té un mínim en x  1.

a) Sí, per exemple la funció y  x. Y

1 1

X

b) No, perquè si és periòdica de període T, aleshores f(x)  f(x  T); si és sempre creixent tenim que f(x) < f(x  0,001), però aleshores f(x  T) < f (x  0,001) i com que x  T > x  0,001, indica que ha decrescut (si T < 0,001, podem prendre l’increment de x més petit). c) Si és simètrica respecte de l’eix X no és funció, perquè hi hauria més d’un valor possible per a un únic valor de x.

La gràfica a la qual fa referència l’enunciat és la c).

407

11

Funcions

a) 50 passatgers b) Al principi i al final del trajecte, ja que hi ha 0 passatgers. Durant el trajecte és al cap de 25 minuts de circulació. c) 40 minuts

Guany

600 1

Setmana

a) De 10 h a 20 h, és a dir, de les 10 del matí a les 8 del vespre. b) A dos quarts d’una (12.30 h). c) 200 visitants d) La quantitat de visitants creix de 10.00 a 11.00 h, d’11.30 a 12.30 h, de 16.00 a 16.30 h, de 17.30 a 18.00 h i de 18.30 a 19.00 h. La quantitat de visitants decreix de 12.30 a 13.00 h, de 13.30 a 14.00 h, de 16.30 a 17.00 h i de 19.30 a 20.00 h. e) Hi ha hagut més de 100 persones d’11.30 a 13.30 h i de 18.30 a 19.30 h. f) Sí, de 14.00 a 16.00 h i de 17.00 a 17.30 h.

408

11

Funcions

HAS DE SABER FER

a) Sí, ja que per a cada possible valor de x tan sols hi ha un possible valor de y. b) y  2x  2, en què x és imparell i més petit que 50. c) x

1

3

5

7

9

11

21

31

41

49

y

4

8

12

16

20

24

44

64

84

100

4

1

0

1

12

4

7

2

3

8

Y

Y

1 1

X

2 1

X

y  10x  480 Y

200 1

X

a) Punts de tall amb l’eix X: x2  6  0  x  

ix

. Els punts de tall són (

, 0) i (

, 0).

Punts de tall amb l’eix Y: x  0  02  6  6. El punt de tall és (0, 6) b) Punts de tall amb l’eix X:

 0  x  4/5. El punt de tall és (4/5, 0)

Punts de tall amb l’eix Y: x  0 

 2. El punt de tall és (0, 2)

409

11

Funcions

a) Dom f  [0, 10]

Im f  [0, 7]

b) Sí, és contínua. c) Creix en (0, 1)  (2, 4)  (5, 6)  (8, 10). Decreix en (1, 2)  (4, 5)  (6, 8). d) Si n’excloem els extrems, hi ha màxims en x  1, x  4 i x  6, i hi ha mínims en x  2, x  5 i x  8.

La gràfica a) és d’una funció periòdica, de període 2,5.

Resposta oberta. Per exemple: Y

1 1

X

410

11

Funcions

COMPETÈNCIA MATEMÀTICA. En la vida quotidiana

a)

Altura (peus)

10.000 10

b)

Durada (min)

Altura (peus)

10.000 10

c)

Durada (min)

Altura (peus)

10.000 10

Durada (min)

FORMES DE PENSAR. RAONAMENT MATEMÀTIC

411

11

Funcions

És la gràfica b). Les altres gràfiques, independentment de si els valors són adequats o no, no són possibles, perquè x no pot adoptar valors negatius ja que és una distància.

Minutera

Horari

60 min  360⁰

12 · 60 min  360⁰

1 min  x

1 min

y

x  6⁰. La busca dels minuts recorre 6⁰ cada minut

y  0,5⁰. La busca de les hores recorre 0,5⁰ cada minut

Comprovem l’angle que es forma cada 15 minuts. A les 0.00, angle de 0⁰ A les 0.15, minutera 6 · 15  90⁰ i horari 0,5 · 15  7,5⁰, angle 90  7,5  82,5⁰ A les 0.30, minutera 6 · 30  180⁰ i horari 0,5 · 30  15⁰, angle 180  15  165⁰ A les 0.45, minutera 6 · 45  270⁰ i horari 0,5 · 45  22,5⁰, angle 270  22,5  247,5⁰ A la 1.00, minutera 0⁰ i horari 0,5 · (1 · 60)  30⁰, angle 30⁰ A la 1.15, minutera 6 · 15  90⁰ i horari 0,5 · (1 · 60  15)  37,5⁰, angle 90  37,5  52,5⁰ A la 1.30, minutera 6 · 30  180⁰ i horari 0,5 · (1 · 60  30)  45⁰, angle 180  45  135⁰ A la 1.45, minutera 6 · 45  270⁰ i horari 0,5 · (1 · 60  45)  52,5⁰, angle 270  52,5  217,5⁰ A les 2.00, minutera 0⁰ i horari 0,5 · (2 · 60)  60⁰, angle 60⁰ Angle

50 10

Minuts

Amb l’eix X, infinits, però amb l’eix Y tan sols un, ja que, si en tingués més, voldria dir que a x  0 correspon més d’un valor i, doncs, no seria funció.

No, perquè si és simètrica respecte de l’eix X, a cada valor de x correspon més d’un valor a y i, per tant, no és funció.

412

11

Funcions

El recipient groc és un con. A mesura que creix el volum, l’altura creix cada cop més depressa. Gràfica 2. La part inferior del recipient vermell és un cilindre, i el volum és proporcional a l’altura; després és un con, i per tant, a mesura que augmenta el volum el creixement de l’altura s’accelera. Gràfica 4. El recipient blau és una esfera. L’altura creix més de pressa al principi i en acabar d’omplir el volum de l’esfera, coincidint amb els pols. Gràfica 1. El recipient verd és un con invertit. El creixement de l’altura s'alenteix a mesura que tenim un volum més gran. Gràfica 3.

PROVES PISA

a) El període dura 5 s. b) En 5 s emet raigs de llum durant 2 segons. En 1 min hi ha 60 : 5  12 grups de 5 s; emet raigs de llum 12 · 2  24 s. c)

Llum Obscuritat 0

2

4 6 8 Temps (s)

10

413

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa CLAUS PER COMENÇAR

a) 2x  8  2  8  2  2x  x  3 b) 6x  8  20  6x  20  8  x  2 c) 4x  16  5x  2  4x  5x  2  16  x  2 d) 13  8  7x  13  8  7x  x  3

a)

b) 3

9

18

12

30

4

2

1,2

INTERPRETA LA IMATGE

Si no tenim en compte la quota fixa, una trucada de 25 segons costaria 25 · 0,2  5 cèntims, i una trucada d’1 minut i 14 segons costaria 74 · 0,2  14,8 cèntims. La gràfica seria: Tarifa (ct.)

0,2 0,5

Temps (s)

414

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

T'HI ATREVEIXES? y  0 i x  0. La primera és una funció, la segona no.

ACTIVITATS

a) És funció afí de pendent 1 i ordenada en l’origen 2. Talla l’eix Y en el punt (0, –2). b) No és funció afí. c) És funció afí de pendent 2 i ordenada en l’origen 5. Talla l’eix Y en el punt (0, 5). d) És funció afí de pendent 4 i ordenada en l’origen 1. Talla l’eix Y en el punt (0, 1). e) No és funció afí. f) És funció afí de pendent 1 i ordenada en l’origen 4. Talla l’eix Y en el punt (0, 4).

Comprovem el pendent que té. La funció serà de la forma y  mx  4. A més, sabem que 2  m · 1  4  m  2 El pendent és positiu, de manera que és creixent.

Y

1 1

X

Són paral·leles (d’esquerra a dreta són: n  2, n  1, n  0, n  1).

415

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

a) Infinites, ja que són totes les de la forma y  2x  n, en què a n es pot assignar qualsevol valor. b) Tan sols una, la que compleix que 5  2 · 0  n  n  5, és a dir, y  2x  5. c) Sí, la que compleix que 0  2 · 1  n  n  2, és a dir, y  2x  2.

a) El pendent és 2.

d) El pendent és 4/5.

b) El pendent és 1/3.

e) El pendent és 1/7.

c) El pendent és 1.

f) El pendent és 10. Y f)

c)

a)

d) b)

e)

1 1

X

Proporcionalitat directa creixent: y  x i y  7x Proporcionalitat directa decreixent: y  x i y  7x

La funció és y 

x. Comprovem quins punts hi pertanyen.

a) x  0  y 

 0. El punt (0, 5) no pertany a la funció.

b) x  2  y 

 5. El punt (2, 0) no pertany a la funció.

c) x  2  y 

 5. El punt (2, 5) pertany a la funció.

416

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

y  mx, si passa per (2, 4) compleix que 4  m · 2  m  2 La funció és y  2x.

És una funció lineal, perquè una de proporcionalitat directa passa sempre per l’origen, de manera que només passaria per dos quadrants.

Y y2 y1 y0

1

X

1 y  2 y  3

y  7

a) y  6

b) y  3

c) y  5

d) y  0

Són funcions les rectes r i t. La recta s no és una funció. El punt de tall de r i s és (1, 3) i de s i t és (1, 2). Les rectes r i t no es tallen, són paral·leles.

Si és paral·lela a l’eix Y, serà de la forma x  m; com que passa per (2, 9), la recta és x  2.

417

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

12

a) Passa pels punts (2, 0) i (0, 2). Es compleix que 0  m · 2  n i que 2  m · 0  n, per tant tenim que 2m  n  0 i que n  2   2m  2  0  m  1. L’equació és y  x  2. b) És una recta horitzontal, l’equació és y  3. c) Passa pels punts (–1, 0) i (0, –1) Es compleix que 0  m · –1  n i que –1  m · 0  n, per tant tenim que n  1 i que 0  –m –1  m  –1. L’equació és y  –x – 1. d) Passa per l’origen, és de la forma y mx. A més, passa pel punt (2, 1), de manera que 1  m · 2  m  1/2. L’equació és y  x/2. e) Passa pels punts (0, 1) i (1, 2). Es compleix que 1  m · 0  n i que 2  m · 1  n, per tant tenim que n  1 i que m  n  2   m  1  2  m  3. L’equació és y  3x  1. f) Passa per l’origen, és de la forma y mx. A més, passa pel punt (1, 2), de manera que 2  m · 1  m  2. L’equació és y  2x.

418

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

Y s t A

1

X

1

r

B

a) r i s passen per l’origen, són de la forma y  mx. Com que r passa per A, compleix que 1  m · 3  m  1/3; així, l’equació de r és y  x/3. Com que s passa per B, compleix que 2  m · (1)  m  2; així, l’equació de s és y  2x. Per a l’equació de t sabem que passa per A i B, de manera que compleix que 1  m · 3  n i que 2  m · (1)  n; resolem el sistema de dues equacions amb dues incògnites i tenim que 

. L’equació és







i

.

b) y  1 c) x  –1

L’equació és y  5x  3.

L’equació és y  –3x.

a) 2  3 · 1  n  n  1. L’equació de la recta és y  3x  1. b) y  3 

    

(x  (1))  3 

(x  1)  5y  15  x  1  x  5y  14  0

L’equació és y  4  1(x  0)  y  x  4. Y y  x  4 1 1

X

419

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

La recta vermella passa per (0, 3) i (2, 1). El pendent és

  



 2. L’equació punt-pendent és y  3  2 (x  0)  2x  3.

La recta verda és horitzontal. No té pendent. L’equació és y  2. La recta blava passa per (0, 0) i per (1, 1). El pendent és

 1. L’equació punt-pendent és y  x.

a) x  y  2  0 b) x  y  0 c) y  1  0 d) y  2  3 (x  (2))  3x  y  4  0 e) y  3 

(x  2)  y  3 

(x  2)  3y  9  2x  4  2x  3y  5  0

Y 2x  y  2  0

1 1

X

x  2y  0

Seria x  2  0, en què a  1, b  0 i c  2. Si b és 0, no hi ha el terme y, de manera que són rectes paral·leles a l’eix Y (i no són funcions).

420

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

a)

b)

1

1

1

1





x

4

–2

–1

1

2

4

y

–1

–2

–4

4

2

1

1 1



a) Proporcionalitat directa. b) No és de proporcionalitat. c) Proporcionalitat inversa.

421

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

a)

  

En valors positius de la x, la funció

està per sobre.

En valors negatius de la x, la funció

està per sobre.

b) En valors positius de la x: la funció En valors negatius, la funció

x · y  – 12 o bé



estarà per sobre de totes les funcions i la funció

estarà per sobre de totes les funcions i la funció

, per sota.

, per sota.



2 2





422

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

12

Cap funció de proporcionalitat inversa pot tallar ni l’eix d’ordenades ni l’eix d’abscisses, i tampoc pot passar per l’origen de coordenades.

a) f(x)  13  15x, en què x és cada hora de feina. b)

Facturació (€)

10 Temps (hores)

1

f(x)  5  4x o

Temperatura ( C)

2 1.00

    





Hora

2.00



423

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

a) X (persones)

1

2

5

10

20

25

50

...

Y (dies)

50

25

10

5

2,5

2

1

...

b) Dues persones trigarien 25 dies, 5 persones trigarien 10 dies i 10 persones, 5 dies. c)



d)

a) X (base)

1

2

4

6

Y (altura)

24

12

6

4

b) 12  x · y o bé



424

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

c)

12

Y

 4

X

4

x (alumnes)

1

2

3

y (dies)

6

3

2

Si l’ajuda l’Enric trigaran 3 dies, i si són tres persones, 2 dies.

ACTIVITATS FINALS

Són lineals les funcions r i t. Són afins les funcions s i u. Les funcions lineals són rectes que passen per l’origen de coordenades.

425

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

a) Funció creixent amb pendent 3.

e) Funció decreixent amb pendent 1.

b) Funció decreixent amb pendent 2.

f) Funció creixent amb pendent 3.

c) Funció creixent amb pendent 1/3.

g) Funció decreixent amb pendent 1/4.

d) Funció decreixent amb pendent 0,75.

h) Funció decreixent amb pendent 1,5.

Y

A

1 1

X

a) Infinites, per un punt poden passar infinites rectes. b) Tan sols una, la que passa per A i per (0, 0). Per dos punts només passa una recta.

a)

b) L’ordenada de A és y  4. c) y  2x

426

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

Recta r: m > 0 i n > 0

Recta t: m < 0 i n > 0

Recta s: m > 0 i n < 0

Recta u: m < 0 i n < 0

El signe del pendent el deduïm per la inclinació de la recta, i el de l’ordenada en l’origen, pel punt de tall amb l’eix Y.

Per a la recta r considerem els punts (2, 4) i (2, 2). El pendent és 2/4  1/2. Per a la recta s considerem els punts (1, 1) i (2, 4). El pendent és 3/1  3.

a) m  1/2

b) m  5/3

c) m  1/5

d) m  1/6

e) m  5/2

Com que és de proporcionalitat directa passa per (0, 0), de manera que el pendent serà m  4/3. L’equació de la recta és y  4x/3. Comprovem quins punts compleixen aquesta equació: A: y  4 · 3/3  4  6. La funció no passa per A. B: y  4 · (3)/3  4. La funció passa per B.

427

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

C: y  4 · 2/3  8/3  3. La funció no passa per C. D: y  4 · 6/3  8. La funció passa per D. E: y  4 · (1)/3  4/3  1. La funció no passa per E. F: y  4 · 6/3  8  8. La funció no passa per F.

Si és de proporcionalitat directa passa per (0, 0) i també per Q. El pendent és m  4/1  4. L’equació de la funció és y  4x. Y

2

x

2

1

3

2

y

8

4

12

8

1

X

El valor de l’ordenada en l’origen és el punt de tall amb l’eix Y. a) Punt de tall amb l’eix X: 2x  4  0  x  2. Punt (2, 0) Punt de tall amb l’eix Y: x  0  2 · 0  4  4. Punt (0, 4) b) Punt de tall amb l’eix X: x  0  x  0. Punt (0, 0) Punt de tall amb l’eix Y: x  0  0  0. Punt (0, 0) c) Punt de tall amb l’eix X:



 0  x  4. Punt (4, 0)

Punt de tall amb l’eix Y: x  0 





. Punt (0, 4/5)

d) Punt de tall amb l’eix X: 4x  1  0  x  1/4. Punt (1/4, 0) Punt de tall amb l’eix Y: x  0  4 · 0  1  1. Punt (0, 1)

a) y  3x

b) y  5x

c) y  1,2x

d) y  0,5x

428

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

Y

y  x

yx 1 1

X

Les expressions algebraiques són y  x, que és creixent, i y  x, que és decreixent.

e)

Y c)

f) a)

1 1

d)

X

b)

a) f(0)  3 · 0  6  6, g(0)  4  2 · 0  4  6. El punt A pertany a f, però no pertany a g. b) f(2)  3 · 2  6  0, g(2)  4  2 · 2  0. El punt B pertany a f i a g. c) f(1)  3 · 1  6  3  2, g(1)  4  2 · 1  2. El punt C pertany a g, però no pertany a f. d) f(1)  3 · (1)  6  9  6, g(1)  4  2 · (1)  6. El punt D pertany a g, però no pertany a f. e) f(3)  3 · 3  6  3, g(3)  4  2 · 3  2  3. El punt E pertany a f, però no pertany a g. f) f(1)  3 · 1  6  3, g(1)  4  2 · 1  2  3. El punt F pertany a f, però no pertany a g.

429

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

Ha de ser decreixent perquè el pendent és negatiu, de manera que no pot ser ni a), ni b) ni d). Comprovem que és c). La recta c) passa per (0, 1) i per (2, 0), aquests punts pertanyen a la recta 

· 0  1  1 i 

· (2)  1  0. Així és que la representació de la funció donada efectivament és c).

Y y3 x  5

x3 1

y0 X

1 y  2 x0

Són funcions constants a), c) i d).

u

t

s r

Recta vermella (r): passa per (0, 4) i (1, 1), y  4  Recta verda (s): passa per (0, 0) i (1, 1), y  0 

(x  0)  y  4  3x (x  0)  y  x

Recta blava (t): passa per (0, 5) i (2, 1), y  5 

(x  0)  y  5  2x

Recta groga (u): passa per (0, 0) i (1, 1), y  0 

(x  0)  y  x

430

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

12

a) x  9  3x – 5  x  7. Punt de tall (7, 16) (7, 16) y  3x  5

yx9

2 2

b)







 x  2. Punt de tall (2, 3)



(2, 3) y  7  2x



1 1

c) –2x  3 – x  x  –3. Punt de tall (–3, 6)

(3, 6)

y3x 1 1

y  2x

431

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

12

d) 4x – 5  3 – x  x  1. Punt de tall (1, –1)

y  4x  5

1 1

(1, 1)

y  x

y   1  2 (x  4)  2x  7

Passa pels punts (−1, 5) i (0, –4). 

   

L’equació de la recta és: y  –9x – 4.



    

5  5 · 1  n  n  0 L’equació de la recta és: y  5x.

a) y  4 

(x  0)  4 

b) y  0 

(x  0) 

c) y  7 

(x  5)  7 

x

x x



432

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

12

d) Per a x  0, tenim dos valors de y, que o bé és 0 (en l’origen) o bé és 4 (en A). La recta és x  0. e) y  4 

(x  0)  4 

f) y  0 

(x  0) 

x

x

a) Si tenim en compte que passa pel punt (0, 4) i si ho prenem com a punt, el pendent és 3; l’equació punt-pendent és la que està indicada. Equació general: 3x  y  4  0 b) Si tenim en compte que passa pel punt (0, 0) i si ho prenem com a punt, el pendent és 2, l’equació punt-pendent és la que està indicada. Equació general: 2x  y  0 c) Si tenim en compte que passa pel punt (0, 5) i si ho prenem com a punt, el pendent és 1, l’equació punt-pendent és la que està indicada. Equació general: x  y  5  0 d) Si tenim en compte que passa pel punt (0, 4) i si ho prenem com a punt, el pendent és 1/3, l’equació punt-pendent és la que està indicada. Equació general: x  3y  12  0 e) Si tenim en compte que passa pel punt (0, 0) i si ho prenem com a punt, el pendent és 3, l’equació punt-pendent és la que està indicada. Equació general: 3x  y  0 f) Si tenim en compte que passa pel punt (0, 4) i si ho prenem com a punt, el pendent és 1/4, l’equació punt-pendent és la que està indicada. Equació general: x  4y  16  0

a) No és funció. Té d’equació x  1 b) y  5 c) y  6 d) No és funció. Té d’equació x  4

433

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

a) f(1)  m · 1  n  1

f(1)  m · (1)  n  7

Resolem el sistema: m  4 i n  3 b) f(0)  m · 0  n  2/3

f(1)  m · (1)  n  1

Resolem el sistema: m  1/3 i n  2/3 c) f(1)  m · 1  n  1

f(2)  m · 2  n  6

Resolem el sistema: m  5 i n  4 d) f(2)  m · 2  n  5/2

f(5)  m · 5  n  2/5

Resolem el sistema: m  7/10 i n  39/10

a)





b) 2 · (2 − 5)  −6 ≠ 5 · (7 − 3)  20. No passa per A.

a) Si és paral·lela té el mateix pendent, i si passa per l’origen, l’ordenada en l’origen és 0, de manera que l’expressió algebraica que busquem és y  x. b) Comprovem quin és el pendent de la recta que passa per A i B: L’equació punt-pendent de la recta que busquem és y  2 

    

(x  1)  y 



c) y  –3x – 1,5 d) y  −3x  n  4  −3 ⋅ 2  n  n  10  y  −3x  10 e) 2y  6 − 3x  

 





             



434

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa



La recta que passa per A i B és:



L’equació de la recta és:

Mirem si C pertany a la recta:

 



 

L'equació de la recta és



a)

  

 







 







 

. Per tant, els tres punts estan alineats.

El pendent de la recta que passa per A i B és I com que passa per A:   

. I com que passa per A: 

   



   





i perquè passi per C 



 





Substituïm el punt A(2, 3): 3  6 ⋅ 2  n  n  3 − 12  −9  y  6x − 9. b) Substituïm el punt C(p, −5): −5  6p − 9  4  6p 



Considerem dos dels punts, A i B, i trobem l’equació de la recta que els uneix:              

Després comprovem si el punt C(5, 7) pertany a la recta o no: y  5  1  6 ≠ 7  Els tres punts no pertanyen a la mateixa recta.

435

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

x

–4

–2

–1

–1/2

–1/4

1/4

1/2

1

2

4

y

1

2

4

8

16

–16

–8

–4

–2

–1

a) Funció discontínua i creixent. b)



 1 1

a)

b)

x

–6

–3

–1

6

12

24

y

–4

–8

–24

4

2

1



c)

5

(6, 4) (12, 2)

(24, 1)

5 (6, 4) (3, 8)

(1, 24)

436

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

Les gràfiques són les següents: y  3x

(1, 3)

1 1

 (1, 3)

Es tallen en els punts (1, 3) i (–1, –3). Si resolem el sistema, trobarem els punts de tall:  

    



   









Les gràfiques són les següents: (1, 7)

Es tallen en els punts (1, –7) i (–1, 7).

y  7x

Si resolem el sistema, trobarem els punts de tall:

1

      



1









   

 

 

(1, 7)

437

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

12

a) És de proporcionalitat directa i l’expressió algebraica és y  105x. Y

200 5

X

b) No és de proporcionalitat directa. c) És de proporcionalitat directa i l’expressió algebraica és y  1,4x. Y

0,5 0,5

X

d) No és de proporcionalitat directa. e) No és de proporcionalitat directa. f) És de proporcionalitat directa i l’expressió algebraica és y  1,21x. Y

0,5 0,5

X

438

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

a)

b)









12

en què x  pes (g) y  preu (€)



a) y  2,50  0,98x

b) 6,95  2,50  0,98x  x  4,54 km

439

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

12

a) y  100  22x Y

50 X

1

b) 2.080  100  22x  x  90 m2

a) y  35x  5.000 Y

1.000 50

X

b) Perquè comencin a tenir guanys: y > 0. Comprovem-ho quan y  0  35x  5.000  0  x  142,85. Han de vendre com a mínim 143 entrades. c) y  35 · 180  5.000  1.300 €

440

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

a)

b)

a

1

2

5

10

25

b

25

12,5

5

2,5

1

12

a · b  25

a) y  56  17(x  2), per a x > 2. Per a x < 2 no està definit el ritme al qual treballa, sabem que al cap de 2 hores és 56 cm. b) y  56  17 · 3  107 cm c) 311  56  17(x  2)  x  17 hores

y  (1  0,35)x  0,65x

441

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

Preu  5  2,5xy

a) y  0,096x, en què x  profunditat (m) y  pressió (atm) b)

Pressió (atm)

y  0,096x 0,096

Profunditat (m) 1

c) Per a x  11.033 m  y  0,096 ⋅ 11.033  1.059,17 atm

442

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

12

Camelot: y  1.000  5x Morgana: y  200  10x Y

Camelot Morgana 500 50

X

Si són menys de 160 convidats, surt millor el preu del Morgana. Si són entre 160 i 300 convidats, surt més econòmic el preu del Camelot.

a) El ciclista 1 al cap de 60 min ha recorregut 25 km; va a una velocitat de 25 km/h. El ciclista 2 al cap de 60 min ha recorregut 32,5 km; va a una velocitat de 32,5 km/h. b) El ciclista 1 circula durant 90 min, i el ciclista 2, durant 60 min.

443

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

c) Ciclista 1: y  25x/60  5x/12 Ciclista 2: y  32,5x/60  13x/24 d)

y  13(x  20)/24

Y

5x/12  13(x  20)/24  x  86,67 min y  36,11 km

5 10

e)

y  (5(x  5)/12) · 1,40

X

Y

(5(x  5)/12) · 1,40  13x/24  x  70 min y  37,92 km

5 10

X

1es rebaixes: y  0,75x 2es rebaixes: y  0,6 · 0,75x  0,45x Y 1es rebaixes

2es rebaixes 5 10

X

444

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

12

a) P  2 · 5  2 · (5  x)  20  2x b) A  5 · (5  x)  25  5x

y  25  5x

y  20  2x

5 1

Preu

50 20

Consum

HAS DE SABER FER

a) Funció afí

d) Funció afí

b) Funció lineal

e) Funció afí

c) Funció afí

f) Funció de proporcionalitat inversa

445

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

12

a) i b) Pendent

Ordenada en l’origen

m  4

n  –3

m  –1/9

n  0

c) y  3 – 2x

m  –2

n  3

d) y  –3(1 – x)

m  3

n  –3

m  1/2

n  –1/2

a) y  4x – 3 b)

e)







y  4x – 3 y  3 – 2x

y  –3(1 – x)







c) Punt de tall amb els eixos a) y  4x – 3 b)



(0, –3) i (0,3/4) (0, 0)

c) y  3 – 2x

(0, 3) i (3/2, 0)

d) y  –3(1 – x)

(0, –3) i (1, 0)

e)





(0, –1/2) i (1, 0)

446

12

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

a)

1 1 

b) Funció discontínua decreixent.

a) Temps Nivell agua

0

1

2

10

15

120

114

108

60

30

b) És una funció lineal. Nivell aigua

20 1

Temps

447

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

12

c) Hi haurà 30 cm d’altura. d) y  120  6x  0  x  20 Triga 20 min a buidar-se.

COMPETÈNCIA MATEMÀTICA. En la vida quotidiana

Cost (€) Tarifa C Tarifa A

Tarifa B

10 100

Temps (min)

Segons el temps que parli li sortirà més barata una tarifa o una altra. Perquè A li resulti més barata que B ha de parlar entre 0 i 100 minuts. Perquè la tarifa C resulti més econòmica que la A ha de parlar més de 500 minuts. I perquè la tarifa C surti més barata que la B ha de parlar més de 740 minuts. Si aquest mes ha parlat 2 hores i 36 minuts, és a dir, 156 minuts, la tarifa més barata per a aquest cas és la B.

448

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

12

FORMES DE PENSAR. RAONAMENT MATEMÀTIC

Resposta oberta. Per exemple: a) y  2; y  3; y  4... b) x  –3; x  –4; x  –5... c) y  x – 3; y  x – 5; y  x – 10...

a) Si es tallen en l’origen, totes dues són de proporcionalitat directa. b) És possible. c) Si no es tallen vol dir que són paral·leles, és a dir, tenen el mateix pendent, i això és possible. d) És possible. e) Sí, per exemple, y  4x com a funció de proporcionalitat directa i y  4x  1 com a funció afí. f) L’ordenada en l’origen d’una funció de proporcionalitat directa és 0; si la funció afí té aquesta ordenada en l’origen, passaria a ser de proporcionalitat directa.

449

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

12

a) 22  20.000 22  1  20.000  400  1 22  2  20.000  400  2 ... Si considerem x la quantitat d'euros que augmenten, el nombre d'abonats serà: 20.000  400x b) El nombre de clients seria: 20.000  400 · 5  18.000 c) La facturació és: (22  x) · (20.000  400x)  440.000  11.200x  400x2 d) La quantitat d'euros que han d'apujar la quota mensual és: 518.400  440.000  11.200x  400x2  x  14

PROVES PISA

450

Funcions lineals i de proporcionalitat inversa

12

a) Comprovem quan són iguals les dues freqüències cardíaques recomanades: 220  x  208  0,7x  x  40 Freqüència cardíaca

Fórmula nova

Fórmula antiga

20 20

Edat

A partir de 40 anys, la nova freqüència cardíaca recomanada augmenta respecte de l’anterior. b) La fórmula per calcular la freqüència cardíaca recomanada perquè l’exercici físic sigui més efectiu és: y  0,8(208  0,7x)  166,4  0,56x

451

13

Estadística CLAUS PER COMENÇAR

Punt mitjà de [0, 4):

. Pertanyen a l’interval els punts: 0, 2 i 3.

Punt mitjà de (4, 6]:

. Pertanyen a l’interval els punts: 5; 5,5 i 6.

Punt mitjà de (1, 2):

. Pertanyen a l’interval els punts: 0,25; 0,5 i 0,75.

Punt mitjà de [4, 5]:

. Pertanyen a l’interval els punts: 4; 5 i 4,5.

a) 6

b) 48

c) 6

INTERPRETA LA IMATGE

Calculem la mitjana dels dos grups: Mitjana per als homes: 1,97 hores

Mitjana per a les dones: 3,43 hores

La diferència d’hores és 3,43  1,97  2,06 hores  2 hores 3 minuts 36 segons Aquest estudi dóna una diferència respecte de les dades de l’Idescat d’uns 40 minuts; no s’aproxima gaire a les dades de l’enquesta, pot ser perquè es tracta d’una mostra petita.

T'HI ATREVEIXES?

Ha fet tres viatges.

452

13

Estadística

Una recta paral·lela a l’eix horitzontal.

Són 7 persones. En Lluc ocupa la posició quarta, de manera que la Paula és la cinquena. Davant de la Paula hi ha 4 persones, i darrere, 2 persones més.

ACTIVITATS

Població: 700 bombetes Mostra: 50 bombetes Individu: cadascuna de les bombetes Grandària de la mostra: 50

Nivell d’estudis; variable qualitativa Superfície d’una casa: variable quantitativa contínua Edat: variable quantitativa discreta

Resposta oberta. Encara que, segons la quantitat d’alumnes de l’institut, es podria considerar com a mostra tota la població.

a) Nombre

1

2

3

4

5

Recompte

6

4

2

1

2

b) Color Recompte

Vermell

Blau

Verd

1

3

4

453

13

Estadística

Dada més petita: 3 Dada més gran: 30  5,4. Utilitzem una amplitud de 6.

Dividim en 5 parts iguals: Dades Recompte

[2, 8)

[8, 14)

[14, 20)

[20, 26)

[26, 32)

2

5

2

3

3

 4,5. Utilitzem una amplitud de 5.

a) Dividim en 6 parts iguals: Dades Recompte

[2, 7)

[7, 12)

[12, 17)

[17, 22)

[22, 27)

[27, 32)

2

4

1

2

4

2

 6,75. Utilitzem una amplitud de 7.

b) Dividim en 4 parts iguals: Dades Recompte

[3, 10)

[10, 17)

[17, 24)

[24, 31)

4

3

4

4

 6,17. Utilitzem una amplitud de 7.

c) Dividim en 6 parts iguals: Dades Recompte

[2, 9)

[9, 16)

[16, 23)

[23, 30)

[30, 37)

[37, 44)

3

4

3

4

1

1

 12,33. Utilitzem una amplitud de 13.

Dividim en 4 parts iguals: Dades Recompte

[2, 15)

[15, 28)

[28, 31)

[31, 44)

7

7

1

1

Per assegurar-nos que tots els punts pertanyen a un interval, però que els punts extrems no pertanyen a dos intervals, cosa que complicaria el recompte, perquè hi hauria punts que comptarien en dos intervals.

454

13

Estadística

xi

fi

Fi

hi

Hi

%

3

4

4

0,29

0,29

29 %

4

4

8

0,29

0,58

29 %

5

3

11

0,21

0,79

21 %

6

1

12

0,07

0,86

7%

7

2

14

0,14

1

14 %

14

1

xi

fi

Fi

hi

Hi

%

0

3

3

0,1

0,1

10 %

1

8

11

0,27

0,37

27 %

2

7

18

0,23

0,60

23 %

3

6

24

0,2

0,8

20 %

4

3

27

0,1

0,9

10 %

5

3

30

0,1

1

10 %

30

1

xi

fi

Fi

hi

Hi

%

0

3

3

0,03

0,03

3%

1

6

9

0,06

0,09

6%

2

12

21

0,13

0,22

13 %

3

24

45

0,26

0,48

26 %

4

48

93

0,52

1

52 %

93

1

S’ha d’anar restant a cada freqüència la freqüència següent, per obtenir així les freqüències absolutes. A més, el nombre de dades és la suma de totes les freqüències. Una vegada s’han aconseguit les freqüències absolutes i el total de dades, es poden calcular la resta d’elements de la taula.

455

13

Estadística

Dada més petita: 12

Dada més gran: 51

Dividim en 6 parts iguals:

 6,5. Fem intervals de longitud 7.

xi

fi

Fi

hi

Hi

%

[11, 18)

3

3

0,125

0,125

12,5 %

[18, 25)

4

7

0,167

0,292

29,2 %

[25, 32)

6

13

0,250

0,542

54,2 %

[32, 39)

8

21

0,333

0,875

87,5 %

[39, 45)

2

23

0,083

0,958

8,3 %

[45, 52)

1

24

0,042

1

4,2 %

24

Dada més petita: 125

1

Dada més gran: 456

Dividim en 8 parts iguals:

 41,375. Fem intervals de longitud 42.

xi

fi

Fi

hi

Hi

%

[125, 167)

5

5

0,167

0,167

16,7 %

[167, 209)

4

9

0,133

0,3

13,3 %

[209, 251)

4

13

0,133

0,433

13,3 %

[251, 293)

5

18

0,167

0,6

16,7 %

[293, 335)

4

22

0,133

0,733

13,3 %

[335, 377)

4

26

0,133

0,866

13,3 %

[377, 419)

1

27

0,033

0,899

3,3 %

[419, 461)

3

30

0,100

0,999

10 %

30

1

456

13

Estadística

Dada més petita: 3

Dada més gran: 49

a) Dividim en 8 parts iguals:

 5,75. Fem intervals de longitud 6.

xi

fi

Fi

hi

Hi

%

[2, 8)

3

3

0,036

0,036

3,6 %

[8, 14)

5

8

0,060

0,096

6%

[14, 20)

9

17

0,107

0,203

10,7 %

[20, 26)

12

29

0,143

0,346

14,3 %

[26, 32)

12

41

0,143

0,489

14,3 %

[32, 38)

17

58

0,202

0,691

20,2 %

[38, 44)

16

74

0,190

0,881

19 %

[44, 50)

10

84

0,119

1

11,9 %

84 b) Dividim en 10 parts iguals:

1  4,6. Fem intervals de longitud 5.

xi

fi

Fi

hi

Hi

%

[0, 5)

2

2

0,024

0,024

2,4 %

[5, 10)

3

5

0,036

0,060

3,6 %

[10, 15)

3

8

0,036

0,096

3,6 %

[15, 20)

9

17

0,107

0,203

10,7 %

[20, 25)

12

29

0,143

0,346

14,3 %

[25, 30)

10

39

0,119

0,465

11,9 %

[30, 35)

12

51

0,143

0,608

14,3 %

[35, 40)

13

64

0,155

0,763

15,5 %

[40, 45)

13

77

0,155

0,918

15,5 %

[45, 50)

7

84

0,083

1,001

8,3 %

84

1

457

13

Estadística

c) Fem intervals de longitud 8 començant per la dada més petita i fins a abastar la dada més gran. xi

fi

Fi

hi

Hi

%

[3, 11)

7

7

0,083

0,083

8,3 %

[11, 19)

7

14

0,083

0,166

8,3 %

[19, 27)

18

32

0,214

0,380

21,4 %

[27, 35)

19

51

0,226

0,606

22,6 %

[35, 43)

20

71

0,238

0,844

23,8 %

[43, 51)

13

84

0,155

0,999

15,5 %

84

1

d) Fem intervals de longitud 9; comencem per 0, en lloc de fer-ho per la dada més petita, perquè els intervals quedin més equilibrats, ja que si comencéssim per 3 l’últim interval seria [48, 57) i la majoria es trobarien fora de les dades que es poden obtenir a la prova. xi

fi

Fi

hi

Hi

%

[0, 9)

5

5

0,060

0,060

6%

[9, 18)

5

10

0,060

0,120

6%

[18, 27)

22

32

0,262

0,382

26,2 %

[27, 36)

22

54

0,262

0,644

26,2 %

[36, 45)

23

77

0,274

0,918

27,4 %

[45, 54)

7

84

0,083

1,001

8,3 %

84

1

També podríem haver fet els intervals tenint en compte que la dada més petita que podem agafar és 0, i la més gran, 50, perquè són els límits del que pot ser la puntuació de la prova.

a) 6 Freqüència

5 4 3 2 1 1

2

3

4 5 Dades

6

7

8

458

13

Estadística

b)

Freqüència

5 4 3 2 1 10

20

30 Dades

40

50

5

10

15

20 Dades

25

c)

Freqüència

3

2

1

30

35

22 Freqüència

18 14 10 6 2 f1

f2

f3

f4 Dades

f5

f6

f7

Es podrien restar les freqüències absolutes acumulades d’una dada respecte de l’anterior, d’aquesta manera es trobarien les freqüències de cada dada i es podria dibuixar el diagrama.

Blaus Grocs

Negres

Grisos

Vermells Blancs

459

13

Estadística

Buits: 10 habitatges  25 %  90° Famílies amb més d'un fill: 15 habitatges  37,5 %  135° Una persona: 8 habitatges  20 %  72° Parelles amb un fill: 7 habitatges  17,5%  63° Buits

Famílies amb més d’un fill

Una persona Parelles amb un fill

Nre. 37: 1  5%  18° Nre. 38: 2  10 %  36° Nre. 39: 6  30 %  108° Nre. 40: 4  20 %  72° Nre. 41: 3  15 %  54° Nre. 42: 1  5 %  18° Nre. 43: 2  10 %  36° Nre. 44: 1  5%  18°

44

43 42

37 38

41

39 40

a)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Edat (anys)

460

13

Estadística

b) xi

fi

Fi

hi

Hi

%

1

5

5

0,25

0,25

25%

2

4

9

0,2

0,45

20%

3

3

12

0,15

0,60

15%

4

3

15

0,15

0,75

15%

5

2

17

0,1

0,85

10%

6

1

18

0,05

0,90

5%

7

1

19

0,05

0,095

5%

8

0

19

0

0,095

0%

9

1

20

0,05

1

5%

20

1

de 20  5 alumnes

Nre. 37:

Nre. 38: 45 % de 20  9 alumnes Nre. 39: 4 alumnes Nre. 41: 20 – (5  9  4)  2 alumnes

37

38

39

40

41

Nre. de calçat

Perquè cada dada es representa amb un punt. Si les dades que s’han de representar fossin molt grans, s’haurien de dibuixar molts punts i valdria més representar-les amb un altre tipus de gràfic.

461

13

Estadística

9

Freqüència

8 7 6 5 4 3 2 1 2,8 3,4

4

5,2 5,8 6,4

4,6 Pes

a) Porten un pes superior a 4 kg: 8  5  3  2  18 alumnes b) Porten un pes inferior a 5,2 kg: 6  4  8  5  23 alumnes d’un total de 28, és a dir, el 82,14 %

a) La dada més petita és 0,85; la dada més gran és 1,56  Interval

Freqüència

[0,82; 0,97)

1

[0,97; 1,12)

4

[1,12; 1,27)

4

[1,27; 1,42)

5

[1,42; 1,57)

2

 0,142. Fem intervals de 0,15.

462

13

Estadística

c) 6

6

5

5 Freqüència

Freqüència

b)

4 3

4 3

2

2

1

1 0,82 0,97 1,12 1,27 1,42 1,57

0,82 0,97 1,12 1,27 1,42 1,57

Longituds

Longituds

Interval

Freqüència

[150, 155)

2

[155, 160)

4

[160, 165)

6

[165, 170)

5

[170, 175)

6

[175, 180)

4

a) Mitjana:

 6,76

Mediana: 7 (hi ha 17 dades, agafem la dada en posició 9) Moda: 5

463

13

Estadística

b) Tenim en compte les marques de classe.  5,25

Mitjana: Mediana:

 5 (hi ha 20 dades, agafem la dada en posició 10 i 11)

Moda: 4,5

a) Ordenem les dades: 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9 Hi ha 15 dades. La mediana és 6. b) Ordenem les dades: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5  2,5.

Hi ha 18 dades. La mediana és

Ordenem les dades: 2, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 9. Hi ha 9 dades. La mediana és 5. a) Afegim de dada el 5. b) Afegim les dades: 3 i 4.

Ordenem les dades: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 Hi ha 18 dades. Q1  1

Q2  2

Q3  4

Hi ha el 25 % de les dades que són 1. Hi ha el 50 % de les dades que són 1 o 2. Hi ha el 75 % de les dades que són més petites que 4.

50 places és el 25 % de les dades, de manera que Q3 indica la nota de tall per passar l’oposició, ja que per sobre hi haurà el 25 % de les persones amb millor nota.

464

13

Estadística

Calculem la mitjana: 2,27. xi

fi

|xi  x|

(xi  x)2

1

6

1,27

1,61

2

4

0,27

0,07

3

2

0,73

0,53

4

1

1,73

2,99

5

2

2,73

7,45

Rang: 5  1  4 DM 

 1,16

2    1,93  1,39

 1,93 CV 

 0,61

Marc: Mitjana: 5,4 Desviació típica: 1,85 Coeficient de variació: 0,34 Lluís: Mitjana: 5,4 Desviació típica: 2,42 Coeficient de variació: 0,45 Ha estat més inconstant en Lluís.

Grup A: Variància: 0,04 Coeficient de variació: 0,2/0,5  0,4 Grup B: Variància: 4 Coeficient de variació: 2/12  0,17

465

13

Estadística

Utilitzem les marques de classe. Mesures de centralització Mitjana: 5,25

Mediana: 5

Moda: 4,5

Q2  5,5

Q3  6,5

2  1,69

  1,3

Mediana: 1,25

Moda: 1,25

Q2  1,25

Q3  1,34

2  0,03

  0,17

Mediana: 1,225

Moda: és bimodal  1,2 i 1,3

Q2  1,225

Q3  1,35

2  0,04

  0,2

Mesures de posició Q1  4,5 Mesures de dispersió DM  1,15

CV  0,25

AGRUPADES Interval

Freqüència

[0,8; 0,98)

3

[0,98; 1,16)

2

[1,16; 1,34)

7

[1,34; 1,52)

4

Mesures de centralització Mitjana: 1,21 Mesures de posició Q1  1,07 Mesures de dispersió DM  0,15

CV  0,14

SENSE AGRUPAR Mesures de centralització Mitjana: 1,21 Mesures de posició Q1  1,1 Mesures de dispersió DM  0,16

CV  0,17

466

13

Estadística

ACTIVITATS FINALS

No, perquè a l’institut hi ha alumnes de molts més nivells, és a dir, edats, fet que condiciona l’alçada. Així és que agafaríem una mostra molt concreta que no reflectiria la realitat de l’institut.

Podem analitzar les variables que puguin afectar la paga setmanal, com pot ser l’edat o el nombre de germans. Segons aquestes dues variables, escollim alumnes que cobreixin totes les possibilitats d’aquestes dues variables.

a) Qualitativa

e) Quantitativa discreta

b) Quantitativa contínua

f) Quantitativa discreta

c) Quantitativa discreta

g) Qualitativa

d) Quantitativa contínua

h) Quantitativa discreta

Dia de naixement: variable quantitativa discreta Mes de naixement: variable quantitativa discreta Pes: variable quantitativa contínua Alçada: variable quantitativa contínua

467

13

Estadística

a)

Tipus de transport

fi

Fi

hi

Autobús

30

30

0,19

Metro

34

64

0,22

Taxi

12

76

0,08

Bicicleta

28

104

0,18

Moto

18

122

0,11

Caminant

35

157

0,22

Dada

fi

Fi

hi

0

4

4

0,1

1

10

14

0,25

2

7

21

0,175

3

6

27

0,15

4

8

35

0,2

5

4

39

0,1

6

1

40

0,025

b) El 10 %. c) 17,5  15  20  52,5 % d) 15  20  10  2,5  47,5 %

468

13

Estadística

Televisors

Famílies (fi)

Fi

hi

Hi

0

1

1

0,05

0,05

1

7

8

0,35

0,40

2

6

14

0,30

0,70

3

4

18

0,20

0,90

4

2

20

0,10

1

a) Faríem el recompte per a cadascun dels menús. b) Agruparíem els plats i faríem el recompte per a cada grup.

0,1 18

0,12

60 51

40 % 0,34

34 %

0,04

4%

469

13

Estadística

Intervals

Marques de classe

fi

Fi

hi

[145, 155)

150

4

4

0,25

[155, 165)

160

6

10

0,375

[165, 175)

170

3

13

0,1875

[175, 185)

180

3

16

0,1875

Dada més petita: 2

Dada més gran: 98

Farem intervals de longitud 10. Missatges

fi

Fi

hi

[0, 10)

4

4

0,07

[10, 20)

5

9

0,08

[20, 30)

5

14

0,08

[30, 40)

8

22

0,13

[40, 50)

10

32

0,17

[50, 60)

12

44

0,2

[60, 70)

6

50

0,1

[70, 80)

7

57

0,12

[80, 90)

1

58

0,02

[90, 100)

2

60

0,03

470

13

Estadística

a) Nota

fi

Fi

hi

Hi

2

1

1

0,03

0,03

3

2

3

0,07

0,10

4

3

6

0,10

0,20

5

8

14

0,27

0,47

6

6

20

0,20

0,67

7

5

25

0,17

0,84

8

3

28

0,10

0,94

9

2

30

0,07

1,01

b) El 10 % c) El 20 % d) 17  10  7  34 %

Freqüència

180 140 100 60 20 Dl.

Dt.

Dc.

Dj. Dv. Dades

Ds.

4

6

Dg.

a)

0

1

2

3

5

471

13

Estadística

Dades

fi

Fi

hi

Hi

0

2

2

0,10

0,10

1

1

3

0,06

0,16

2

3

6

0,16

0,32

3

4

10

0,21

0,53

4

3

13

0,16

0,69

5

4

17

0,21

0,90

6

2

19

0,10

1

b)

10

20

30

40

50

60

70

80

Dades

fi

Fi

hi

Hi

10

1

1

0,0625

0,0625

20

0

1

0

0,0625

30

2

3

0,125

0,1875

40

3

6

0,1875

0,375

50

6

12

0,375

0,75

60

3

15

0,1875

0,9375

70

0

15

0

0,9375

80

1

16

0,0625

1

472

13

Estadística

Ciclisme Futbol

Futbol: 116° Natació: 39°

35

Bàsquet: 82°

Fórmula 1

25

Fórmula 1: 72°

15

Ciclisme: 51°

5

Natació

F

Bàsquet

N

B

F1

C

No té sentit dibuixar el polígon de freqüències, perquè com que són dades qualitatives les podríem posar en l’ordre que volguéssim, i així no té sentit el polígon de freqüències.

Per a la dada de freqüència 6: Per a la dada de freqüència 20:

 26°

Per a la dada de freqüència 15:

 64°

 86° Altres Dada fi  28

Dada fi = 20

Dada fi = 6 Dada fi = 15

a) Vedella:    

Xai:     







   

    







473

13

Estadística

Plat

fi

Fi

hi

Hi

%

Vedella

20

20

0,5

0,5

50%

Xai

6

26

0,15

0,65

15%

Peix

14

40

0,35

1

35%

b) Peix

Peix: 126° Vedella

Vedella: 180° Xai: 54° Xai

a)

b) 12

12

10

10

8

8

6

6

4

4

2

2 145 153 159 165 171 177 183 189 195

145 155 165 175 185 195

a) Ordenem les dades: 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5 Mitjana: 1,81

Mediana: 1,5

Moda: 1

b) Ordenem les dades: 2, 2, 2, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 8, 8 Mitjana: 4,72

Mediana: 4

Moda: trimodal  2, 4 i 6

c) Ordenem les dades: 10, 10, 10, 10, 10, 15, 15, 15, 20, 20, 25, 25 Mitjana: 15,42

Mediana: 15

Moda: 10

474

13

Estadística

Música Mitjana: 6

Mediana: 5,5

Moda: 3

Desviació mitjana: 2,4

Variància: 6,6

Desviació típica: 2,57

Mitjana: 5,9

Mediana: 6

Moda: bimodal  5 i 6

Desviació mitjana: 1,61

Variància: 3,99

Desviació típica: 2,00

Coeficient de variació: 0,43 Cinema

Coeficient de variació: 0,34

Dada més petita: 12 

Dada més gran: 70

 9,67. Fem intervals de longitud 10. Interval

Marca de classe

Freqüència

[11, 21)

16

5

[21, 31)

26

3

[31, 41)

36

9

[41, 51)

46

6

[51, 61)

56

5

[61, 71)

66

2

475

13

Estadística

Mitjana: 39

Mediana: 36

Moda: 36

Q1: 26

Q2: 36

Q3: 46

11

71 Q1

Q2

Q3

x3

 x  6,14

a)

b)

 x  10

Resposta oberta. Per exemple: 777777999999

Ordenem les dades: 1

2

2

2

2

2

2

3

3

3

4

4

4

4

4

4

4

5

5

5

5

6

6

6

6

6

7

7

8

8

Q1: 2,5

Q2 : 4

Q3 : 6

1

8 Q1

Q2

Q3

476

13

Estadística

a) Mitjana: 3,4

Mediana: 3

Moda: 3

b) Afegim com a dada 3,4. La moda no canvia, però la mediana passa a ser 3,2. c) Afegim com a dada 3. La moda no canvia, però la mitjana passa a ser 3,33. d) Afegim com a dada 1. La mediana no canvia, però la mitjana passa a ser 3.

a) Sí, la mediana no queda afectada perquè hi hagi una dada molt petita, perquè depèn dels valors que es troben al centre; però sí que influeix en la mitjana. Per exemple: 177777999999 La mediana és 8. Però la mitjana és 7,25, perquè queda afectada per la dada x1  1. b) Si fos més gran, seria perquè està influïda per una dada molt gran. 7 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 100 La mediana és 8. Però la mitjana és 15,58, perquè queda afectada per la dada x12  100.

a) La moda es correspon amb la dada 2013. Tenim 50  150  300  350  425  450 400  275  2.400 dades. La mediana és 2013. La mitjana és 2012,20. b) La moda es correspon amb l’interval [9, 12), de mitjana de classe 10,5. Tenim 10  20  15  40  5  30  120. La mediana és la mitjana de classe de l’interval [9, 12), és a dir, 10,5. La mitjana és 10.

477

13

Estadística

a) xi

fi

(xi  x)2

1

2

18,15

2

3

10,63

3

2

5,11

4

3

1,59

5

6

0,07

6

2

0,55

7

3

3,03

8

2

7,51

9

3

13,99

10

1

22,47

Mitjana: 5,26

Mediana: 5

 : 6,42

: 2,53

2

Moda: 5

b) Interval

Marca de classe

fi

(xi  x)2

[10, 11)

10,5

5

3,06

[11, 12)

11,5

3

0,56

[12, 13)

12,5

10

0,06

[13, 14)

13,5

5

1,56

[14, 15)

14,5

1

5,06

Mitjana: 12,25

Mediana: 12,5

2: 1,27

: 1,13

Moda: 12,5

478

13

Estadística

a) Interval

Marca de classe

fi

|xi  x|

(xi  x)2

[0, 6)

3

2

18,75

351,56

[6, 12)

9

4

12,75

162,56

[12, 18)

15

1

6,75

45,56

[18, 24)

21

7

0,75

0,56

[24, 30)

27

2

5,25

27,56

[30, 36)

33

8

11,25

126,56

b) Mitjana: 21,75

Mediana: 21

Moda: 33

c) Q1: 12

Q2: 21

Q3: 33

d) DM  8,38

  102,94

  10,15

2

xi

2010

2011

2012

2013

2014

2015

fi

50

100

150

50

75

25

CV  0,47

479

13

Estadística

a) L’any 2014 hi havia un total de 425 ordinadors. b) L’any 2012. c) 2015

2010

2014

2011 2013

2012

a) xi

fi

Fi

hi

Hi

G

100

100

0,096

0,096

F

60

160

0,058

0,154

M

70

230

0,067

0,221

A

62

292

0,060

0,281

M

97

389

0,093

0,374

J

120

509

0,116

0,490

J

100

609

0,096

0,586

A

78

687

0,075

0,661

S

66

753

0,064

0,725

O

126

879

0,121

0,846

N

69

948

0,066

0,912

D

90

1.038

0,087

0,999

b) Van llogar la pista més de 80 vegades els mesos de gener, maig, juny, juliol, octubre i desembre, que són 6 mesos, fet que representa el 50 % dels mesos.

480

13

Estadística

c) 1.000 800 600 400 200 G

F

M

A

M

J

A

J

S

O

N

D

Hi ha un total de 64 habitatges. a) La quarta part dels habitatges tenen 1 habitació (Q1  1). b) La mediana és 2, cosa que vol dir que el 50 % dels habitatges tenen 2 habitacions o menys.

Dada més petita: 13 

Dada més gran: 82

 8,9. Fem intervals de longitud 9.

Interval

Marca de classe

fi

|xi  x|

(xi  x)2

[12, 21)

16,5

6

23,65

559,32

[21, 30)

25,5

5

14,65

214,62

[30, 39)

34,5

7

5,65

31,92

[39, 48)

43,5

2

3,35

11,22

[48, 57)

52,5

6

12,35

152,52

[57, 66)

61,5

4

21,35

455,82

[66, 75)

70,5

3

30,35

921,12

[75, 84)

79,5

3

39,35

1.548,42

481

13

Estadística

Total de dades: 36 Mesures de centralització: Mitjana: 40,15

Mediana: 39

Moda: 34,5

Q2: 39

Q3: 61,5

2: 411,72

: 20,29

Mediana: 165

Moda: 165

2: 153,74

: 12,40

Mesures de posició: Q1: 25,5 Mesures de dispersió: DM: 17,5

CV: 0,51

Mesures de centralització: Mitjana: 164,61 Mesures de dispersió: DM: 10,04

CV: 0,08

El 25 % dels alumnes més alts es troben a partir de 175 cm.

a) Mitjana de l’Adrià: 5,67

Mitjana de la Rebeca: 5,17

b) Desviació típica l’Adrià: 1,03

Desviació típica de la Rebeca: 3,31

CV de l’Adrià: 0,18

CV de la Rebeca: 0,64

El rendiment acadèmic de l’Adrià ha estat més regular. c) Mediana de l’Adrià: 6

Mediana de la Rebeca: 3

L’Adrià obtindria la nota més alta.

482

13

Estadística

a) Són 5  5  6  2  2  20 treballadors b) Calculem la mitjana utilitzant les marques de classe: 60,5. Recorren de mitjana 60,5 km. c) La mediana es troba entre la dada 10, que és 55, i la dada 11, que és 65. De manera que la mediana és 60. Això vol dir que el 50 % dels treballadors recorren menys de 60 km. d) Les tres quartes parts dels treballadors recorren menys de 65 km. e) 40

90 Q1

Q2

Q3

Per a les quantitats que ha recorregut tenim: Mitjana: 5

Mediana: 5

Moda: és bimodal  4 i 6

a) Els diumenges ha de recórrer 5 km. b) Els diumenges ha de recórrer 5 km. c) Els diumenges ha de recórrer una distància que no sigui ni 3, ni 4, ni 6 ni 7, per exemple 5 km.

483

13

Estadística

a) Novallar

25

Torrellum

40

20

30

15 20 10 10

5 Sense fills

Un fill

Dos fills

b) Mitjana Novallar: 1,7

Tres fills

Sense fills

Un fill

Dos fills

Tres fills

Mitjana Torrellum: 1,85

La mitjana és més alta a Torrellum. c) Q3 de Novallar: 2

Q3 de Torrellum: 2

En els dos casos és a partir de 2 fills. d) CV de Novallar: 0,50

CV de Torrellum: 0,94

Les dades estan menys concentrades a l’edifici Torrellum.

Els pesos de tots menys en Ramon són x. Tenim que I ara





71,4

M

Restem les dues expressions i tenim que







 M  71,4 

.

El pes depèn de la quantitat d’amics del grup.

484

13

Estadística

a) Mitjana CM: 34,64

Mitjana P: 38,57

La mitjana és més alta en la prova de psicomotricitat. b) CV de CM: 0,33

CV de P: 0,33

La dispersió ha estat igual en els dos casos.

a) La mitjana variaria, però les dades continuarien igual de disperses. Per exemple, considerem les dades de l’activitat anterior per a la prova de psicomotricitat i sumem 4 a les dades: Dada

Freqüència

15

1

25

7

35

9

45

5

55

4

65

2

Mitjana: 38,57

Desviació típica: 12,88

La taula seria ara: Dada

Freqüència

19

1

29

7

39

9

49

5

59

4

69

2

Mitjana: 42,57

Desviació típica: 12,88

A més, la mitjana s’incrementa la mateixa quantitat que hem sumat.

485

13

Estadística

b) La mitjana varia perquè varien les dades. I en aquest cas la desviació típica també varia, perquè les dades no canvien una constant, per tant es redistribueixen i la dispersió és diferent. Per exemple, considerem les dades de l’activitat anterior per a la prova de psicomotricitat i multipliquem les dades per 3: Dada

Freqüència

15

1

25

7

35

9

45

5

55

4

65

2

Mitjana: 38,57

Desviació típica: 12,88

Dada

Freqüència

45

1

75

7

105

9

135

5

165

4

195

2

Mitjana: 115,71

Desviació típica: 38,63

La mitjana i la desviació típica queden multiplicades per 3.

486

Estadística

13

a) Com que són 20 equips, han de jugar 19 partits d’anada i 19 de tornada, que fa un total de 38 partits. 2,91 · 38  110,58 S’espera que hagin marcat al voltant de 110 gols en total. b) En aquest cas: 2,91 · 34  98,94 S’esperaria que marquessin al voltant de 98 gols en total. c) En aquest cas: 2,91 · 42  122,22 S’esperaria que marquessin al voltant de 122 gols en total.

La mitjana és 1. Durant 2 dies ha pescat 0. Els altres 5 dies ha de fer una suma de 7 per mantenir la mitjana 1. En aquests 5 dies ha pescat almenys 1, i en queden 2 més, de manera que o bé hi ha hagut 2 dies que ha pescat 2 peixos o bé hi ha hagut un dia que ha pescat 3 peixos. Amb aquestes dades calculem la desviació típica. Per a quan la pesca és 2 dies 0 peixos, 3 dies 1 peix i 2 dies 2 peixos:   0,76 Per a quan la pesca és 2 dies 0 peixos, 4 dies 1 peix i 1 dia 3 peixos:   0,93

Tenim el 70 % que mengen fruita (el complementari del que no menja fruita). Hi ha el 85 % dels altres percentatges, cosa que vol dir que tenim el 15 % que són en els dos grups, és a dir, que mengen fruita en els àpats i també entre els àpats.

487

13

Estadística

Temps d’arribada a l’IES

[0, 15)

[15, 30)

[30, 45)

[45, 60)

Nre. d’alumnes

132

221

86

61

Fi

132

353

439

500

hi

0,26

0,44

0,17

0,12

Hi

0,26

0,70

0,87

0,99

Percentatge

26 %

44 %

17 %

12 %

Q1: 7,5

Q2: 22,5

500

0,99

Q3: 37,5

60

0 Q1

Q2

Tipus de transport

Q3

Públic

Privat

Nre. d’alumnes

325

175

Fi

325

500

hi

0,65

0,35

Hi

0,65

1

Percentatge

65 %

35 %

500

1

No té sentit calcular les mesures de posició ni dibuixar el diagrama de caixa perquè són dades qualitatives. Curs

1 ESO

2 ESO

3 ESO

4 ESO

1 Batx.

2 Batx.

Nre. d’alumnes

140

100

92

70

55

43

Fi

140

240

332

402

457

500

hi

0,28

0,2

0,18

0,14

0,11

0,09

Hi

0,28

0,48

0,66

0,80

0,91

1,00

Percentatge

28 %

20 %

18 %

14 %

11 %

9%

500

1

No té sentit calcular les mesures de posició ni dibuixar el diagrama de caixa perquè són dades qualitatives. Edat

12

13

14

15

16

17

18

Nre. d’alumnes

25

52

77

125

151

40

30

Fi

25

77

154

279

430

470

500

hi

0,05

0,104

0,154

0,25

0,302

0,08

0,06

Hi

0,05

0,154

0,308

0,558

0,860

0,940

1,00

Percentatge

5%

10,4 %

15,4 %

25 %

30,2 %

8%

6%

Q1: 14

Q2: 15

500

1

Q3: 16

12

18 Q1

Q2

Q3

488

13

Estadística

Pes de la motxilla

[0, 2)

[2, 4)

[4, 6)

[6, 8)

[8, 10)

Nre. d’alumnes

50

188

132

118

12

Fi

50

238

370

488

500

hi

0,1

0,376

0,264

0,236

0,024

Hi

0,1

0,476

0,740

0,976

1

10 %

37,6 %

26,4 %

23,6 %

2,4 %

Percentatge Q1 : 3

Q2 : 5

500

1

Q3 : 7

0

10 Q1

Q2

Q3

HAS DE SABER FER

Mitjana

fi

Fi

hi

Hi

[12, 15)

25

25

0,0625

0,0625

[15, 18)

175

200

0,4375

0,5

[18, 21)

116

316

0,29

0,79

[21, 24)

84

400

0,21

1,00

a) Han preguntat a 400 persones. b) És el 21 %. c) 180 140 100 60 20 12 15

18

21

24

489

13

Estadística

Mitjana:

   

 1,6

Dades ordenades: 1 1 1 2 3 Mediana: 1 Rang o recorregut: 3  1  2 Desviació típica:







 



 



Despesa

Marca de classe

fi

Fi

[10, 15)

12,5

8

8

[15, 20)

17,5

12

20

[20, 25)

22,5

32

52

[25, 30)

27,5

20

72

Més de 30

32,5

8

80

 



 



 0,8

a) Mitjana: 23 Va ser una despesa mitjana de 23 € per client. b) Van pagar més de 27,5 €. c) El coeficient de variació és 0,24.

COMPETÈNCIA MATEMÀTICA. En la vida quotidiana

490

13

Estadística

a)

20

Ajudes en les tasques de casa teva?

Quantes hores dediques a aquestes activitats?

15

15

10

10 5 5

Sí

[0, 1)

No

[1, 2)

[2, 3)

[3, 4)

Fas les activitats següents?

20

15

10 5

Treure la brossa

b) Mitjana nois: 0,89

Anar a comprar

Rentar els plats

Fer-se el llit

Coeficient de variació nois: 0,93

Mitjana noies: 1,89

Coeficient de variació noies: 0,53

Mitjana total: 1,38

Coeficient de variació total: 0,75

491

13

Estadística

Les noies dediquen de mitjana 1 hora més a les tasques de casa; a més, les seves dades estan més agrupades al voltant de la mitjana, mentre que les dades dels nois són més disperses. Quan considerem tot el grup, tant la mitjana com la dispersió es compensen entre els dos grups. La mitjana augmenta el temps mitjà dels nois, però disminueix el de les nois; i el coeficient de variació indica que les dades totals són una mica més disperses que les de les noies, però menys que les dels nois.

FORMES DE PENSAR. RAONAMENT MATEMÀTIC

Dades

fi

Fi

hi

A

2

2

1/10

B

8

10

2/5

C

10

20

1/2

a) La mitjana seria 18.

c) La mitjana seria 24.

b) La mitjana seria 4.

d) La mitjana seria 4.

a) Tindríem que el valor bo de la suma és x, i hem obtingut la mitjana de hem de restar a la que tenim b) Hauríem de sumar a la mitjana

; per aconseguir la mitjana bona

 12.  4.

c) Hauríem de multiplicar la mitjana per 2. d) Hauríem de dividir la mitjana entre 5.

492

Estadística

13

PROVES PISA

Poden dir que si es fes servir la mediana com a valor per comprovar quin grup ha obtingut millor nota, tots dos serien iguals amb una mediana de 64,5. També podrien dir que les dades del grup A són més disperses, mentre que les del grup B són més agrupades, cosa que vol dir que en el grup B hi ha més alumnes amb una nota al voltant de la mitjana que no pas en el grup A, que hi ha més alumnes amb una nota molt bona o amb una nota molt dolenta.

Un diagrama de barres no resulta adequat perquè hi ha dades amb unes freqüències molt diverses, des de 0,5 anys fins a més de 100 anys, i així no es podria utilitzar una escala a l’eix vertical que ens permetés llegir bé totes les dades.

493

14

Probabilitat CLAUS PER COMENÇAR

xi

0

1

2

3

4

fi

3

3

4

6

4

hi

0,15

0,15

0,2

0,3

0,2

xi

10

20

30

40

fi

7

2

6

5

hi

0,35

0,1

0,3

0,25

a)

c)

b)

d)

INTERPRETA LA IMATGE

494

Probabilitat

14

T'HI ATREVEIXES?

Construïm l’arbre genealògic cap enrere; en la generació immediatament superior, cada mascle té un sol avantpassat, i cada femella, dos.

Té 19 avantpassats.

Les combinacions possibles amb dos fills són: {AA, AO, OA, OO}. Si sabem que un és noi, queda reduït a {AO, OA, OO}. De manera que la probabilitat que tots dos siguin nois és 1/3.

Si tots són de llimona, la probabilitat que no sigui de llimona és 0. Si tots són de taronja, la probabilitat d’agafar-ne un que no sigui de llimona és 1. En la resta de casos no podem saber les probabilitats, perquè dependrà dels caramels que hi hagi de cada tipus.

ACTIVITATS

a) És aleatori, no sabem què ens contestarà l’amic. b) És determinista, com que tan sols hi ha boles blaves, sabem què sortirà. c) És aleatori, no sabem quina carta sortirà.

495

Probabilitat

14

a) E  {10, 11, 12, 13, ..., 97, 98, 99} c) E  {As d’oros, dos d’oros, tres d’oros, quatre d’oros, cinc d’oros, sis d’oros, set d’oros, sota d’oros, cavall d’oros, rei d’oros, as de bastos, dos de bastos, ..., rei de bastos, as d’espases, ..., rei d’espases, as de copes, ..., rei de copes}

Esdeveniments elementals: {A}, {L}, {U}, {M}, {N}, {E} Esdeveniment compost: per exemple, treure vocal  {A, U, E}

E  {VdB, VN, VM, VmB, VmN, VmM}

E  {BB, BC, BE, BO, CB, CC, CE, CO, EB, EC, EE, EO, OB, OC, OE, OO}

496

Probabilitat

14

a) E  {11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66} b)

E  {CCC, CC, CC, C, CC, C, C, }

a)

Els esdeveniments elementals són VmVm, VmVd, VdVm, VdVd, que queden reduïts a VmVm, VdVm, VdVd si l’ordre no importa.

497

Probabilitat

14

b)

Els esdeveniments elementals són VmVmVm, VmVmVd, VmVdVm, VmVdVd, VdVmVm, VdVmVd, VdVdVm, VdVdVd, que queden reduïts a VmVmVm, VmVmVd, VmVdVd, VdVdVd si l’ordre no importa.

a) Parell: 2  2C, 2 4  4C, 4 6  6C, 6 Imparell 1  11, 12, 13, 14, 15, 16 3  31, 32, 33, 34, 35, 36 5  51, 52, 53, 54, 55, 56 b) «Que surti nombre parell»  {2C, 2, 4C, 4, 6C, 6}

498

14

Probabilitat

a) A la primera columna indiquem la primera bola que traiem, i a la segona columna, les opcions per a la segona bola.

E  {12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54} b) Similar a l’anterior, afegint-hi que es pot repetir el nombre. E  {11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55} c) Si traiem tres boles alhora, no es pot repetir, seria com el primer però afegint-hi una columna més, que no repeteixi cap dels resultats anteriors. A més, com que són tres boles alhora, no importa l’ordre, és el mateix 123 que 213. E  {123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345}

a) R  «Que la carta sigui un as»

S  «Que la carta sigui un rei»

ARS

499

14

Probabilitat

b) R  «Que la carta sigui un rei»

S  «Que la carta sigui de copes»

ARS c) R  «Que la carta sigui un cavall»

S  «Que la carta sigui de bastos»

ARS

a) A  B  {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12} b) A  C  {2, 4, 6} c) A  B  C  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12} d) A  B  C  {6}

No, perquè no sabem quin és l’espai mostral total. Podria ser dels nombres que van fins al 10 o de tots els nombres parells, per exemple.

a) P(A)  0 b) P(A) 

Sí, perquè tots els resultats tenen la mateixa probabilitat que surtin.

Estaria trucat i no hi podríem aplicar la regla de Laplace per saber la probabilitat de cadascuna de les cares.

500

14

Probabilitat

E  {1, 2, 3, 4, 5, 6} a) A  {3}

P(A) 

b) B  {3, 6}

P(B) 

c) C  {1, 2}

P(C) 

d) D  {1, 2, 3, 5, 6} P(D)  e) E  {1, 3, 5, 6}

P(E) 

P(que sigui de llimona) 

P(que no sigui de llimona) 



a) P(treure bola negra)  b) P(treure bola que no sigui blanca)  c) P(treure bola negra o verda) 





E  {CC, C, C, } a) P(A) 

b) P(B) 



c) P(C) 

d) P(D) 

501

14

Probabilitat

a) P(que sigui d’avellana) 

c) P(que sigui de pistatxo o de tiramisú) 

b) P(que no sigui de xocolata) 

d) P(que no sigui de pistatxo ni de tiramisú) 

 

E  {C1, C2, C3, C4, C5, C6, 1, 2, 3, 4, 5, 6} a) P(cara i nombre parell) 



b) P(creu i múltiple de 3) 



502

Probabilitat

14

a)

E  {1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 2-1, 2-2, 2-3, 2-4, 3-1, 3-2, 3-3, 3-4, 4-1, 4-2, 4-3, 4-4} b) P(A)  c) P(B)  d) P(C) 



503

14

Probabilitat

E  {NaNaNa, NaNaNn, NaNnNa, NaNnNn, NnNaNa, NnNaNn, NnNnNa, NnNnNn} a) P(A) 

c) P(C) 

b) P(B) 

d) P(D) 



E  {CAS, CSA, ACS, ASC, SCA, SAC} P(SAC) 

504

14

Probabilitat

68

57

125 100

105

P(dona-sí) 



Nens

Nenes

Total

Ulls foscos

10

12

22

Ulls clars

10

4

14

Total

20

16

36

Nois

Noies

Total

Macarrons

11

13

24

Verdura

4

8

12

Total

15

21

36

a) P(nen) 



P(ulls foscos) 



b) P(nena - ulls clars) 

a) P(noi) 





b) P(noi-verdura) 



505

14

Probabilitat

c) P(macarrons)  d) P(noia-verdura) 

 

30

108 100

142

72

Tenim:













P(treure 4)  0,32

Sí, ho podem assegurar, perquè si tots els esdeveniments fossin equiprobables, com hauria de ser en un dau, la probabilitat de treure 4 seria 0,167.

Caldria anar agafant diferents grups de xinxetes, cada vegada més grans, i comprovar quantes xinxetes defectuoses hi ha en cada grup. S’hauria de veure cap a quin nombre tendeix la raó xinxetes defectuoses enfront de xinxetes totals.

506

14

Probabilitat

a) A i B són compatibles, ja que pot sortir el cavall de bastos, per exemple. A i C són compatibles, el rei és una opció vàlida per als dos esdeveniments. B i C són compatibles, ja que pot sortir el rei de bastos, per exemple. b) Resposta oberta. Per exemple: Incompatible amb A seria D  «Sortir un tres de bastos» Incompatible amb B seria E  «Sortir una carta d'oros» Incompatible amb C seria F  «Sortir un as» Incompatible amb tots tres seria G  «Sortir el dos de copes»

Compatibilitat A i B: són compatibles.

Compatibilitat A i C: són compatibles.

Compatibilitat A i D: són compatibles.

Compatibilitat B i C: són incompatibles.

Compatibilitat B i D: són incompatibles.

Compatibilitat C i D: són incompatibles.

Si A està inclòs en B, els esdeveniments són compatibles. a) Fals. Per exemple, si tirem un dau B  «sortir parell» i A  «sortir 2», A està inclòs en B, però la probabilitat no és la mateixa. b) Fals. Com que són compatibles, la probabilitat de la unió és la suma de les probabilitats menys la probabilitat de la intersecció. c) Fals. Per exemple, si tirem un dau B  «sortir parell» i A  «sortir 2», B està inclòs en A, i tenim que el complementari de B és «sortir imparell», que té com a probabilitat 1/2, però 1  P(A)  1  1/6  5/6. d) Cert. Com que A està inclòs en B, la seva intersecció és A, de manera que la probabilitat de la intersecció és igual a la probabilitat de A.

507

14

Probabilitat

a) A i B són incompatibles, de manera que P(A  B)  P(A)  P(B) 







b) A i C són compatibles, la intersecció és A, ja que A està inclosa en C; per tant, tenim que P(A  C)  c)

 «Treure una moneda igual o més gran que 50 ct.»

 

d)

 «Treure una moneda que no sigui d’1 €»

 

e)



 «Treure una moneda de 50 ct. o de 2 €»







f)



 «Treure una moneda de 2 €»









a) Considerem R  «Treure 2 boles vermelles» i S  «Treure 1 bola verda i 1 bola negra» Són dos esdeveniments incompatibles. P(R) 





P(S) 





P(A) 



 













508

14

Probabilitat

b) P(B)  1 



c) P(C)  1 



d) P(D)   

     

     

e) P(E)  1  P(D)  1 

     

     

     

     

   





ACTIVITATS FINALS

Deterministes: b), d), h) Aleatoris: a), c), e), f), g)

a) E  {bastos, copes, espases, oros} b) E  {0, 1, 2} c) E  {vermell, blau, verd} d) E  {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} e) E  {1, 2, 3, ..., 18, 19, 20} f) E  {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1, 2, 3, 4, 5, 6} g) E  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} h) E  {1, 2, 5, 10, 20}

509

14

Probabilitat

a)

b)

c)

a) L’espai mostral és el mateix, ja que la bola pot ser verda, vermella, blava o blanca; el que passa és que les probabilitats no són les mateixes. b) Els espais mostrals són diferents, ja que en el primer cas importa l’ordre: no és el mateix 2-1 que 1-2; en el segon cas no hi ha ordre: 1-2 i 2-1 és el mateix.

a) E  {2, 3, 4, 6}

b) E  {1, 2, 4, 6}

c) E  {1, 2, 4, 5}

d) E  {4, 6}

510

14

Probabilitat

a)

 {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19}

b)



 {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}

c)



 {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}

d) A  B  {10, 15, 20} e) A  B  C  {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} f)

 

 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20}

a) A  B  {1-5, 1-6, 2-4, 2-6, 3-3, 3-6, 4-6, 5-6, 6-6} b) A  C  {1-5, 1-6, 2-4, 2-3, 3-3} c)



E

d)



 {1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 2-2, 2-4, 2-5, 3-3, 3-4, 3-4, 4-4, 4-5, 5-5}

e)

 

 {1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 2-2, 2-5, 3-4, 3-4, 4-4, 4-5, 5-5}

f)

 

 {2-3}

a) P(A) 



b) P(A) 

c) P(A)  0

d) P(A)  1

511

14

Probabilitat

a) P(A) 



e) P(A) 



b) P(A) 



f) P(A) 



c) P(A) 



g) P(A) 

d) P(A) 

P(bastos) 

P(bola vermella) 



És més probable obtenir una bola vermella.

 

 1  0,3  0,7

P(2) 



P(parell) 



P(4) 





P(1) 





P(2) 



P(4) 





P(5) 





P(3) 





Hi ha 24 boles amb un 1, 16 boles amb un 2, 14 boles amb un 3, 26 boles amb un 4 i 20 boles amb un 5.

512

14

Probabilitat









a) Freqüència relativa de A: Freqüència relativa de B:





 





Freqüència relativa de C: 

b) A  B  {1, 3, 5, 6, 7, 9}  Freqüència relativa: A  B  {3, 9}  Freqüència relativa:



A  C  {1, 2, 3, 6, 9}  Freqüència relativa:





 





 









A cada esdeveniment assignaria de probabilitat la seva freqüència relativa.

a) P(bola no negra)  1  0,25  0,75

b) P(bola no blanca)  1  0,4  0,6

a) 300 · 0,3  90 b) 300 · 0,15  300 · 0,25  120 c) Hi ha més quantitat de boles vermelles i grogues, que són de les que més hi ha.

513

Probabilitat

14

Es poden formar 24 nombres diferents.

a)

Podem formar 6 seqüències.

514

14

Probabilitat

b)

I tindríem aquest mateix esquema dues vegades més, quan comencem per la groga i la verda. Així doncs, el total de seqüències és 9 · 3  27.

Hi ha un total de 6 · 4  24 possibilitats. a)

b)

c)



a) b) Ja hem extret una bola i no ha estat l’1; cada bola de les que queden té el 50 % de possibilitats de sortir, de manera que té les mateixes probabilitats de sortir 1 en el segon intent que de no sortir i, per tant, el tercer intent serà 1.

515

14

Probabilitat

c)

Que no surti 1 en el primer intent pot passar dues vegades de tres, és a dir, la probabilitat és

. I d’aquestes

vegades, en un cas és segur que no sortirà 2 i en l’altre cas hi ha el 50 % de possibilitats que surti. 





a)

E  {CCC, CC, CC, C, CC, C, C, } b) P(A)  c) Les probabilitats són les mateixes.

516

14

Probabilitat

Home

Dona

Total

Menor d’edat

42

38

80

Major d’edat

84

76

160

Total

126

114

240

a) P(home) 



b) P(dona - menor d’edat) 



c) P(home - major d’edat) 



d) P(menor d’edat) 

a) P(noi) 



b) P(Conxita) 

a) P(vermella) 



c) P(noia) 



d) P(Alexandre) 

P(verda) 

P(blava) 

b) No és just, la Sònia té més possibilitats que hagi d’endreçar que no pas la Sara. c) Sí, així és just, perquè totes dues tenen les mateixes possibilitats que els toqui endreçar.

517

14

Probabilitat

a)

b)

Que sumi 11 tan sols passa si surt un 5 i un 6; però per aconseguir un 7 hi ha més possibilitats: 1 i 6, 2 i 5, 3 i 4. així és que escolliria el 7.

D’una banda, P(C)  2 · P(), i d’altra banda, P(C)  P()  1. De manera que si substituïm: 3 · P()  1  P()  1/3.

a) P(A)  b) P(B)  c) P(C)  d) P(D)  e) P(E) 

518

14

Probabilitat

a) La probabilitat que la cinta sigui taronja és

i la probabilitat que la granadura sigui taronja és

b) Perquè totes dues siguin de color taronja:

; perquè siguin de color verd o morat:

. cada una.

c) d) També e) Per a una cinta taronja i una granadura morada:

; però per a una cinta morada i una granadura taronja:

Noi

Noia

Total

Amb ulleres

6

8

14

Sense ulleres

9

9

18

Total

15

17

32

a) P(noi) 

c) P(noia amb ulleres) 

b) P(noi sense ulleres) 

d) P(ulleres) 

Hi ha 25 persones per als tres torns. Les persones que treballaran en el primer o en el segon torn són 20. La probabilitat que a un treballador no li toqui el tercer torn és que l’escullin entre aquestes 20 persones de les 25 que són, és a dir

.

519

14

Probabilitat

Es poden formar 36 parelles. a)

b)

c) Cada vegada que s’escull un noi, té 8 parelles possibles; que aquesta parella sigui en Marc és

a) A  «comprar el diari A»  0,3 b) B  «comprar el diari B»  0,2

.

«no comprar el diari A»  1  0,3  0,7 C  «llegir els dos diaris»  0,07

D  «comprar el diari A o comprar el diari B»  0,3  0,2  0,07  0,43 c) E  «els que llegeixen un diari més els que els llegeixen tots dos»  0,43  0,07  0,50 d)

 1  0,50  0,50

P(A)  P(escoltar música)  0,5

P(B)  P(escoltar informatius)  0,4

P(C)  P(no escoltar la ràdio)  0,4 A  B  «escoltar música i informatius» P( )  P(A  B)  0,6  P(A)  P(B)  P(A  B)  P(A  B)  0,3

520

14

Probabilitat

a) És segur que la porta s’obrirà, de manera que la probabilitat és 1. b) Hem d’escollir les dues targetes correctes entre tres: podem escollir les dues correctes, o bé una de correcta i una de falsa, o bé l’altra correcta i la falsa. Així és que l’opció d’obrir al primer intent és

.

c) Hi ha tres possibilitats, les mateixes que hem descrit a l’apartat anterior.

Fem el diagrama d’arbre amb la freqüència de victòries per a cada cas.

Podem comprovar que la probabilitat que guanyi Nadal és:

521

Probabilitat

14

Observem que la probabilitat que guanyi Nadal és:

Per tant, Nadal té més probabilitats de guanyar en 5 sets.

522

14

Probabilitat

Homes

Dones

Total

Carn

16

20

36

Peix

12

12

24

Total

28

32

60

a) P(home) 

e) P(dona que ha menjat peix) 

b) P(dona) 

f) P(persona que ha menjat peix que és dona) 

c) P(carn) 

g) P(persona que ha menjat carn que és home) 

d) P (peix) 

h) P(home que ha menjat carn) 

Nois

Nois

Noies

Total

Teatre

12

18

30

Taller d'escriptura

10

10

20

Total

22

28

50

a) P(noi - teatre)  b) P(noia - taller d’escriptura)  c) P(noi)  d) P(noi - taller d’escriptura) 

523

14

Probabilitat

a) Hi ha un nombre de boles múltiple de 7; si n’hi hagués 7, n’hi hauria 1 de vermella, ja que hi ha 6 boles entre blaves i verdes, però això no ens donaria la probabilitat indicada, de manera que podrien ser 14 boles en total, això faria que hi hagués 8 boles vermelles i la probabilitat seria

.

b) Si hi ha 10 boles, de les quals 4 serien vermelles, hi hauria una probabilitat per a les boles blaves de 0,2. c) Si hi ha 15 boles, de les quals 9 serien vermelles, hi hauria una probabilitat per a les boles verdes de

.

d) Perquè la probabilitat de boles vermelles sigui la meitat, hi ha d’haver tantes boles verdes com blaves, així és que hi hauria d’haver 6 boles vermelles.

El que escull primer té

de probabilitats d’agafar el palet més curt, més que si s’ha de fer una segona ronda;

la probabilitat dels altres és

, de manera que prefereixen escollir primer i ningú se’n queixa.

Fem el diagrama d’arbre que representa l’extracció de les monedes:

La probabilitat és:

524

14

Probabilitat

Considerem les llibretes L1, L2 i L3, i les taules T1, T2 i T3. La correspondència bona és L1-T1/L2-T2/L3-T3. Les possibilitats són: L1-T1/L2-T2/L3-T3, L1-T1/L2-T3/L3-T2, L1-T2/L2-T1/L3-T3, L1-T2/L2-T3/L3-T1, L1-T3/L2-T2/L3-T1, L1-T3/L2-T1/L3-T2. Així és que la probabilitat d’encertar és

.

(La probabilitat d’encertar amb el primer és

i, després, encertar amb els altres dos que li queden és

manera que la probabilitat d’encertar-los tots tres és

, de

.)

A  {almenys dos alumnes celebren l’aniversari alhora}

 {no hi ha dos alumnes que celebrin l’aniversari alhora} Considerem que hi ha dos alumnes i comprovem la probabilitat de :  Casos possibles: 3652  133.225  Casos favorables: El primer ha nascut un dels 365 dies de l’any; el següent, un dels 364 dies restants: 365 · 364  132.860 Probabilitat: 132.860/133.225  0,9973 Considerem que hi ha tres alumnes i comprovem la probabilitat de :  Casos possibles: 3653  48.627.125  Casos favorables: El primer ha nascut un dels 365 dies de l’any; el següent, un dels 364 dies restants, i el tercer, un dels 363 dies que queden: 365 · 364 · 363  48.228.180 Probabilitat: 48.228.180/48.627.125  0,9918 Si generalitzem, tenim que per a 23 alumnes, la probabilitat de és 0,4927. De manera que la probabilitat de A, que és que dos alumnes facin els anys el mateix dia, és 1  0,4927  0,5073. És més probable que facin els anys el mateix dia que no pas que els facin en dies diferents.

Que encerti en el primer pis té una probabilitat de seria de

; en el segon pis, descartada la primera clau, la probabilitat

. De manera que la probabilitat d’encertar i obrir els dos pisos a la primera és

.

525

14

Probabilitat

a) La probabilitat d’encertar cada pregunta és la probabilitat és

i la de fallar-la és

. Per encertar-ne 3 i fallar-ne 2,

.

b) Per aprovar l’examen cal encertar almenys 3 preguntes, de manera que la probabilitat és encertar-ne 3 i fallar-ne 2, o bé encertar-ne 4 i fallar-ne 1, o bé encertar-ne 5.

La probabilitat de suspendre és

.

Ni el divendres ni el diumenge són a la botiga, de manera que hi ha 5 dies possibles perquè hi coincideixin. A  «La Paula és a la botiga» P(A) 

P(B) 

B  «En Robert és a la botiga» P (A  B) 

a) Hi ha sis opcions de posar les claus; així doncs, la probabilitat és: b) La probabilitat d’agafar la clau correcta per al pany 1 és i per agafar l’última clau correcta és

.

, per agafar la clau correcta per al pany 2 és

. Així és que la probabilitat d’obrir la caixa al primer intent és

.

526

14

Probabilitat

HAS DE SABER FER

E  {TaL, TaM, TaX, TaTo, LM, LX, LTo, MX, MTo, XTo}

Vaca1: V1  «Que sigui vedell» Vaca2: V2  «Que sigui vedell» Vaca3: V3  «Que sigui vedell» A  V1  V2  V3

a) P(vermella) 



b) P(blanca)  c) P(blava) 

 

P(vermella o blanca)  P(no blava)  1 









50  33  17 dones P(dona) 

COMPETÈNCIA MATEMÀTICA. En la vida quotidiana

527

14

Probabilitat

Total de cançons: 88 a) P(bona) 

Total de cançons bones: 62 c) P(bona i festa) 



b) P(electrònica) 





d) P(pop no bona) 

FORMES DE PENSAR. RAONAMENT MATEMÀTIC

Resposta lliure.

Resposta lliure.

528

14

Probabilitat

a) N: nombre de bombons Nombre de bombons de fruita seca: x

Nombre de bombons de panses: x  2

Nxx2   





 7x(x  1)  2 · (2x  2)(2x  1)  7x2  7x  2(4x2  2x  4x  2)  

 7x2  7x  8x2  12x  4  0  x2  5x  4  x  1 i x  4 No podem acceptar com a solució 1, perquè tindríem un nombre de bombons de panses negatiu. De manera que el nombre de bombons de fruita seca és 4, el de panses és 2 i el total de bombons és 6. b)











PROVES PISA

E  {OP, OX, OS, PX, PS, XS} Pot escollir entre 6 combinacions diferents.

529

Probabilitat

14

L’afirmació que reflecteix millor l’opinió del geòleg és la C. La A no és certa perquè l’afirmació del geòleg no es pot relacionar amb una data concreta del futur, la probabilitat indica que serà en els 20 anys vinents, però pot ser demà o l’últim dia de l’any 20. La B no és certa, perquè encara que la probabilitat que dóna el geòleg és alta, no és 1, per tant no és segur. La D no és certa, perquè tot i que no es pot tenir la seguretat sobre el terratrèmol, el geòleg sí que dóna una probabilitat sobre què podria passar.

530