• Author / Uploaded
• hector

• Categories
• Análisis matemático
• Álgebra abstracta
• Objetos matemáticos
• Álgebra
• Matemáticas elementales

Citation preview

Solucionario

S E C U N D A R I A

II

U N I DA D 1

OBRA COLECTIVA, DISEÑADA, CREADA Y PRODUCIDA BAJO LA DIRECCIÓN DE:

ERLITA OJEDA ZAÑARTU DRA. EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

1

U N I D A D

Pág. 10

1. II. La quiwicha es deliciosa y la maca tiene grandes propiedades Clave: 2. p: 22 + 1 = 5 q: 32 – 1 = 6

a

(V) (F)

3. p ∧ q

Clave:

a

Clave:

b

4. (∼p ∧ ∼q) → (r → ∼s) ≡ F p≡F q≡F r≡V s≡V

F

V

Clave:

d

p≡V q≡F r≡V s≡F

6. (∼p ∧ q) ∧ (q ↔ r) ≡ V ~p ∧ q ≡ V ; p≡F q≡V r≡V 7. (p → ∼q) ∨ (∼r → s) ≡ F F Luego: p ≡ V q ≡ V 2

F r≡F s≡F Matemática II

e

Clave:

c

Clave:

c

Clave:

c

Clave:

e

(V) (V) (V)

I. (p ∧ q) → r V →V V

III. p ∧ (q → r) V∧ V V 9. (∼p ∧ q) → (r ∨ ∼p)

F

Luego:

8. p: 23 + 32 = 17 q: 62 = 36 r: 32 + 42 > 24

Clave:

II. (p → r) ∧ q V ∧V V

5. (p ∧ ∼q) → (r → s) ≡ F

II. (p ∨ ∼q) ∧ (p ∧ s) V ∧ F F III. p ↔ (p ∧ r) V↔ F F

(∼p ∧ q) → (q → p) (F ∧ F) → (F → V) F → V V

V Luego:

I. (∼p ∧ ∼q) ∨ ∼q F ∨ F F

Pág. 14

Clave:

d

q↔r≡V

1. 800 11 77 72,... 30 22 8 hay 72 números múltiplos de 11

Clave:

c

2. 200 12 12 16,... 80 72 8 hay 16 números múltiplos de 12

10. 120 = 23 × 3 × 5

3. 187 < 6 < 794 187 < 6k < 794 31,1... < k < 132,3 k: 32, 33, 34, ...., 132 ktoma: 132 – 31 = 101 valores Luego hay 101 números

3+1 1+1 S.D. = 2 – 1 3 – 1 2–1 3–1 S.D. = 15 × 4 × 6 S.D. = 360

Clave:

b

4. 500 23 46 21,... 40 23 17 hay 21 números múltiplos de 23

Clave:

Clave:

e

d

7. 12 = 22 × 3

Clave:

d

Clave:

b

Clave:

c

Clave:

c

12. 3 + 1 N 4 + 1 → N = MCM(3; 4; 7) + 1 7 + 1 N = 84 + 1 N = 85

13. 4 a a 8 = 7 –1 2 3 1

→ –4 + 2a + 3a + 8 = 7 5a + 4 = 7 a=2∨a=9 Luego "a" puede tomar 2 valores

14. 4 a 7 2 5 8 = 11

hay 2 divisores primos

– + – + – +

Clave:

9. 360 = 23 × 32 × 5 C.D.compuestos = 24 – 3 – 1 = 20

c

11. 22n = 2n × 11n C.D. = 25

6. Sean los números consecutivos (a – 2); (a – 1); a; (a + 1); (a + 2) Luego: a – 2 + a – 1 + a + a + 1 + a + 2 = 5a = 5 Clave: d

N = 24 × 3 × 55 C.D.(N) = (4 + 1)(1 + 1)(5 + 1) = 60

Clave:

(n + 1)(n + 1) = 25 → n = 4

5. Sean los números impares (a – 2); (a); (a + 2); luego: (a – 2) + (a) + (a + 2) = 3a = 3

8.

51+1 – 1 5–1

Clave:

b

→ –4 + a – 7 + 2 – 5 + 8 = 11 a – 6 = 11 a=6

b 15. x 2 y 3 y x = 45

5 9

Para que sea 5 → x = 5 luego: Clave:

e



52y3y5=9 →5+2+y+3+y+5=9 Matemática II

3

15 + 2y = 9 y=6 Piden: x + y = 11

Por dato: C.D. = 28 (2n – 3)(1 + 1)(1 + 1) = 28 2n – 3 = 7 n=5 Clave:

d

16. C.D.(N) = 12 N = 2a · 3b C.D.(N) = (a + 1)(b + 1) 12 = (a + 1)(b + 1) 3 × 4 = (a + 1)(b + 1) a=2 ∧ b=3 a=3 ∧ b=2 Por dato debe ser el menor posible número es: N = 23 · 32 N = 72 Piden: 7 + 2 = 9 Clave: c

Clave:

20. Sea “n” el número de veces que se debe multiplicar por 8 a 300, luego: 300 × 8n = 22 × 3 × 52 × 23n = 23n+2 × 3 × 52 Por dato: C.D. = 126 (3n + 3)(1 + 1)(2 + 1) = 126 n=6

120 cifras

222 = 8 + r 8+6=8+r r=6

Clave:

c

18. 10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 5a = 37 150 + 5a = 37 7 a=7 Clave:

= = = = 4

1 4n 1 – 16 15 4n × 16 n–2 4 × 15 22n–4 × 3 × 5 Matemática II

e

Clave:

a

1. 50 – 175 5 10 – 35 5 2– 7

Luego:

4n – 4n–2

Clave: Pág. 18

17. 7422…222 = 8 + r

19.

a

d

MCD = 5 × 5 = 25 2. 16 – 48 – 96 – 15 2 8 – 24 – 48 – 15 2 4 – 12 – 24 – 15 2 2 – 6 – 12 – 15 2 1 – 3 – 6 – 15 2 1 – 3 – 3 – 15 3 1 – 1 – 1 – 5 5 1– 1– 1– 1

3. MCM(7k; 3k) = 189 7 × 3 × k = 189 k=9

MCM = 25 × 3 × 5 = 480

Clave:

c

Clave:

e

4. MCD (135; 90; 225) 135 – 90 – 27 – 18 – 9 – 6– 3 – 2–

225 45 15 5

10. MCD(A; B) × MCM(A; B) = A × B 2 × 240 = 16 × B 30 = B

5 3 3

Piden: 3 + 2 + 5 = 10 Clave:

5. MCD (140; 168; 224) 140 – 168 – 224 4 35 – 42 – 56 7 5– 6– 8

a

2 2 2 5

Clave:

a

Clave:

b

7. A = 24 × 36 × 54 × 113 B = 23 × 38 × 52 × 72 MCM(A; B) = 24 × 38 × 54 × 72 × 113 Clave:

a

8. A = 25 × 33 × 7 B = 33 × 7 × 11 MCD(A; B) = 33 × 7

180 – 234 2 90 – 117 3 30 – 39 3 10 – 13 Longitud del lado = 2 × 32 = 18 N° lotes: Atotal = 180 ×2234 = 130 Alote 18

c

Clave:

c

Clave:

c

Clave:

d

13. MCD(A; B) × MCM(A; B) = A × B MCD(A; B) × 350 = 1750 MCD(A; B) = 5

14. 2 – 6 – 1 2 1 – 3 – 1 3 1–1–1 Clave:

6

b Nº de ladrillos =

9. 40 + 3

Clave:

12. MCD(180; 234)

6. MCD(12k; 18k; 30k) = 48 6k = 48 k=8

N 30 + 3

c

MCM = 23 × 5 = 40

Piden: 200 : 40 = 5

28 → nº lapiceros

n° cajas: 5 + 6 + 8 = 19

11. 20 – 8 10 – 4 5 – 2 5 – 1 1 – 1

Clave:

→ N = MCM(40, 30, 16) + 3

6×6×6 = 36 2×3×1

15. MCD(A; B) = 4

16 + 3

4 3 2 2 A B 20 8 4 20 8 4 0

N = 240 + 3 Nmínimo = 243 Clave:

b Matemática II

5

6. 20 – 4 = 4 – c –12 = c

B = 20 × 3+ 8 B = 68 A = 68 × 4 + 20 A = 292 Clave:

32 40 = 4 d d=5

d

Piden: –12 – 5 = –17

Pág. 22

1. Total: 400 personas Mujeres: 240 Varones: 160 V 160 2 = = M 240 3

7.

Clave:

8. Clave:

e

3. A = 3k, B = 2k Por dato: 3k – 2k = 5 k=5

e

Clave:

Clave:

c

b

4. Pedro 180 9 = = José 80 4

9. Clave:

a

5. a = 3k b = 7k Por dato: a + b = 80

Clave:

e

a b c = = =k 8 10 18 → a = 8k, b = 10k, c = 18k Por dato: a + b + c = 180° 8k + 10k + 18k = 180° k = 5° Piden: a = 8k a = 40°

Piden : B = 2k = 10

Matemática II

Clave:

A 2 = → A = 2k, B = 9k B 9

Piden: B = 9(12) = 108

Por dato: 7k = 56 k=8 Piden: B = 4k = 32

6

b

Por dato: 9k – 2k = 84 k = 12

c

2. A = 3k, B = 4k

10k = 80 k=8 Piden: b = 7k = 56

Clave:

A 5 = → A = 5k, B = 8k B 8 Por dato: (5k)2 + (8k)2 = 356 25k2 + 64k2 = 356 89k2 = 356 k=2 Piden: A × B = (5k)(8k) = 40k2 = 160

Clave:

b

10. Total: 400 personas

+22

–x

H 3k = M 2k



13.

2 1

=

A 5k = B 8k

=

7 9

+22

–x

3k + 2k = 400 k = 80 → V = 240; M = 160 Luego: 240 – x 2 = 160 – x 1

5k + 22 = 7 9 8k + 22 45k + 198 = 56k + 154 4=k → A = 5k = 20 , B = 8k = 32

x = 80 Luego, se retiraron 80 parejas Clave: 11.



Alcohol Agua

a

5 → Alcohol = 5k; Agua = 3k 3

=

Por dato: 8k = 72 k = 9 → Alcohol = 45 Luego: 45 = 9 10 27 + x x = 23

14.

=

Clave:

c

Clave:

e

L 9 = → L = 9k; A = 5k A 5

Por dato: 2L + 2A = 336 18k + 10k = 336 28k = 336 k = 12

b

+ 10 años

A 8 = B 11

a

L × A = (9k)(5k) = 45(12)2 = 6 480 Clave:

12.

Clave:

–4

7 9

15.

A 7k = B 5k

+ 10 años

=1 +4

8k + 10 = 7 9 11k + 10

Luego: 7k – 4 = 5k + 4 2k = 8 k=4

72k + 90 = 77k + 70 20 = 5k 4=k Piden:

→ A = 7k = 28; B = 5k = 20 Piden:

8k – 4 = 32 – 4 = 28 = 7 40 10 11k – 4 44 – 4

A + B = 48

Luego, la relación era de 7 a 10 Clave:

c Matemática II

7

Pág. 28

1.

8. Au = 10 + 20 +

15 × 60 × 1 200 = 108 100 100

Au = 32% Clave:

Clave:

c

80 75 100 3. × × × 30 = 18 100 100 100 Clave:

c

4. Tengo 100% – Vendo 20% 80% – Vendo 40% 40% Clave:

a

Clave:

c

5. 200 100% 120 x% buen estado 120 × 100 200 x = 60% x=

6. 460

115 son papayas 345 no son papayas

100% x% 345 × 100 x= 460 x = 75%

8

Matemática II

c

9. 100% – 15% = 85% Sea “N” el precio de la grabadora, luego: 85% N = 170 N = 200 Clave:

a

10. Tengo: 200 → 20% (200) = 40 Luego tengo: 200 + 40 = 240 Gasté: 20% (240) = 48 Queda: 240 – 48 = 192 Piden: 200 – 192 = 8 Clave:

d

Clave:

d

Clave:

d

11. Gano: 40% (400) = 160 Tengo: 560 Luego gasto: 20% (560) = 112 Queda: 560 – 112 = 448 Al final gano (S/.) 448 – 400 = 48

12. Niños: 40% Niñas: 60%

460 345

7. Du = 20 + 40 – Du = 52%

Clave:

c

20 30 60 2. × × × 9 000 = 324 100 100 100

Luego: 40% N = 200 N = 500

10 × 20 % 100

Ahora: Niños: 20% Niñas: 60% 80% Clave:

c

Clave:

b

20 × 40 % 100

80% 100% 60% x% 100 × 60 x = 80 x = 75%

3.

13. 540 × 15% = 81 Me deben S/. 81 Pagan: 20% × 300 = 60 Aún me deben: 81 – 60 = 21 14. 210 x

Clave:

100% 30%

x =

Clave:

15.

b

A1 b

Clave:

e

Clave:

d

Clave:

d

Clave:

a

M 4 441

P

360 × M × 441 · 2 196 M

c

M 4

(21)2

360 × M = 196

=P

1 620 = P

Pág. 30

6. V1 = 10 ; D1 = 15 V2 = 5 ; D2 = x

1. V = 7k; M = 9k Por dato: 16k = 160 k = 10

Se cumple: V1 × D1 = V2 × D2 10 × 15 = 5 × D2 30 = D2

Luego: V = 70; M = 90 Entonces deben llegar 20 varones Clave: 2. N < 600 10 + 7 N 12 + 7 → N = MCM(10; 12; 15) + 7 15 + 7 N = 60 + 7 N = 540 + 7 N = 547

P

360 × M = (14)2

140%b

A1 = ab A2 = (60%a)(140%b) A2 = 84%ab A2 = 84% A1 Luego, el área disminuye en 16%

Solución de problemas

60%a

A2

Clave:

5. Precio D.P. (tamaño)2 I.P. Energía P E =k T2

a

zanja 12 16

4. n° secretarias digitan día 2 350 7 x 600 4 2×7 x×4 = 350 600 x=6

210 × 30 100 x = 63 Piden: 210 + 63 = 273

c

obreros h/d días 3 4 6 x 6 2 3×4×6 x×6×2 = 12 16 x=8

a

7. Lado = 3k ; Lado menor A =A (3k)2 = (2k) · x 9k2 = 2k · x 4,5 k = x

Clave:

= 2k

e

Perímetro Perímetro

=

4(3k) 12k 12 = = 2(2k) + 2(4,5k) 13k 13 Clave: Matemática II

a 9

8. 100% + 60% = 160% 3N 160% 100% 160 N % x 3 160 × 100 x = 3 160

13. A = 47 + 5 B = 47 + 31 C = 47 + 41 A + B + C = 47 + 77 Clave:

x = 33,3%

a



= 47 + (47 + 30)



= 47 + 30

→ residuo = 30

9. El equipo ganó 12 encuentros, luego: 12 + x x x =

100% 85%

Clave:

a

Clave:

c

14. Pc = S/. 600

(12 + x) × 85 100

x = 68 Clave:

c

Pv = Pc – 25% Pv 125% Pv = 600 Pv = 480

10. Sea la cantidad de dinero "x", por dato:

Pág. 33

Se pierde: 40% x → queda 60% x

Se gana: 20%(60%x)

1. (p ∧ q) → r ≡ F p≡V q≡V r≡F

Se tiene: 120%(60%x) Luego: 120%(60%x) – 88 = 200 72x = 288 100 x = 400 Clave: 11. 36 =

e

720 × 30 × t 1 200

e

Clave:

d

3. 999 = 9 × 111 = 32 × 3 × 37 = 33 × 37 C.D.(999) = (3 + 1)(1 + 1) =8 Clave:

Matemática II

Clave: b

12. Pv = 6 500 Pv = Pc + G 6 500 = 130% Pc 5 000 = Pc

10

e

2. I. V ∨ F ≡ V II. F → F ≡ V III. V ↔ F ≡ F IV. F ∧ F ≡ F

t=2 Clave:

Clave:

b

4. 240 = 24 × 3 × 5

10. A × B = 245 MCM(A; B) = 5MCD(A; B)

C.D.(240) = 5 × 2 × 2 = 20 C.D.(N) = C.D.S + C.D.C 20 = 4 + CDC 16 = C.D.C Clave:

c

5. 9 999 = 9 × 11 × 101 = 32 × 11 × 101

Sabemos que: MCD(A; B) × MCM(A; B) = A × B MCD(A; B) × 5MCD(A; B) = 245 MCD(A; B) = 7 → MCM (A; B) = 35 A = 35 B=7 Piden: 35 – 7 = 28

Piden: 3 + 11 + 101 + 1 = 116 Clave:

c

e

7. 820 = 22 × 5 × 41 = 4 (5 × 41)

= = = =

Clave:

a

Clave:

c

412 – 410 410 (42 – 1) 220(16 – 1) 220 × 3 × 5

C.D.(N) = (21)(2)(2) C.D.(N) = 84 A 9. = 6 → A = 6B B MCM(A; B) = 72 MCM(6B; B) = 72 6B = 72 B = 12

H 11. = P

3 5

=

Clave:

Clave:

c

Clave:

d

Clave:

c

5 7

+ 20 años

Luego: 3k + 20 5 = 5k + 20 7 21k + 140 = 25k + 100 40 = 4k 10 = k Piden: H = 3k = 30

C.D.(4) = (2)(2) =4

8. N N N N

e

+ 20 años

6. 1 800 = 23 × 32 × 52 C.D.(1 800) = 4(3)(3) = 36 Clave:

Clave:

b

a 24 12. = = c 24 a 2 · = 24 3 a = 16 24 2 · = c 3 36 = c Piden: a + c = 52 13. Área días 72 8 2 14 x 2 14 · 8 x = 72 x = 32

2 3

Matemática II

11

14. Peones 14 21

h/d 7 8

14 × 7 × 15 150

días 15 x

=

obra (m2) 150 240

2. Inicialmente: 8 personas / 10 días / 8 h/d obra →

21 × 8 × x 240

x = 14 Clave:

b

15. Pv = 2 600 Pv = Pc + G Pv = 100% Pc + 30% Pc 2 600 = 130% Pc 2 000 = Pc Clave:

a

16. C = 4 000 r = 7,5% trimestral 30% anual t = 15 meses 4000 × 30 × 15 1 200 I = 1 500

Se contratarán “x” personas adicionales Se observa que las 8 personas han trabajado la mitad del tiempo indicado para concluir la obra por lo tanto, solo han hecho la mitad del trabajo. En consecuencia ahora todos los obreros con el grupo que se incorpora deberán terminar la obra, es decir, deberán realizar la mitad del trabajo. (N° de obreros)(N° de días)(N° de h/d) = cte.

Clave:

c

Reemplazando valores, tenemos que: 8 × 5 × 8 = (8 + x) × 2 × 10 x=8 Clave:

a

3. Sea l: divisor común de 2 520 y 2 000 y el mayor posible (para usar menos trabajadores) l = MCD (2 520; 2 000) = 40 m 2 520 m l l … … l

1. A = 5k, B = 7k, C = 11k Luego de sumar 130, 260 y n a cada uno de ellos, respectivamente tenemos que: (*) 5k + 130 7k + 260 11k + n = = 13 17 19

l l …

2 000 m

… l

· N° murales 2 520 1° av: + 1 = 63 + 1 = 64 40 2 000 + 1 = 50 + 1 = 51 40 115 murales Como se necesitan 3 trabajadores por mural 115 × 3 = 345 Clave: c

k = –195

2° av:

Reemplazamos en (*) 7(–195) + 260 11(–195) + n = 17 19 Resolviendo n = 910 Clave: Matemática II

(8 + x) personas 2 días 10 h/d

Además, recordemos que:

I=

12

Se hizo así: 8 personas 5 días 5 h/d

c

4. a + b + c = 12 ∧ abc = 12 bc = 4 (criterio por 4) Como c es par: c c c c c

= = = = =

0 2 4 6 8

→ → → → →

b b b b b

= = = = =

4; 1; 2; 1; 0;

6; 3; 4; 3; 2

8 5; 7; 9 6 5

Luego: 3+5+4+3+2 = 17 soluciones

Matemática II

13

2

U N I D A D

Pág. 40

1. Sea “R” el recorrido y “F” lo que falta recorrer, por dato: 1 3 R= F ∧ R + F = 12 ... (I) 5 5 R = 3F Remplazamos en (I) 4F = 12 F=3 → R=9 Clave: a 2. Sea “x” el número de aves: 4x x Palomas: Otros: 5 5 x 5 1 Gallinas: Gallos 5 6 6

Clave:

Clave:

932 = 900

E=

997 – 99 9 898 + 2 9

+ =

14

Matemática II

b

7 10 =– 15 15 3 x= 15 1 x= 5

Clave:

a

d

Clave:

b

Clave:

d

Tipo “B”

Usan Queda Usan 5 1 3 6 6 4 2+3 1 1 5 + = = 12 6 4 12

Queda 1 4

Clave:

b

Clave:

d

a b – = 1,805 b a a2 – b2 = ab

1805 – 180 900

a2 – b2 65 = ab 36 ab = 9 × 4 a + b = 13

Clave:

y>x

9. Tipo “A”

10.

900 = 100 9

2 9 5 5 × × +x = 3 10 6 9 1 + 2x 5 = 2 9 9 + 18x = 10 1 x= 18

8. x +

b

2 9

Piden: 100 = 10 6.

d

233 225 Clave:

5. E =

y=

5–4 1 = 20 20

x =8 5

12 3 582 – 58 + + 100 9 900 108 + 300 + 524 = 900

4–5 1 =– 20 20



x = 240 3. Sea “x” lo que me deben, luego: 7 x = × 960 = 840 8 Ahora: 3 Pagan: (840) = 630 4 Me deben: 840 – 630 = 210 4.

7. x =

11. Gasta =

3 no gasta 4

G N G + N = 49 3 N + N = 49 4 7 N = 49 4

N = 28 3 G= (28) = 21 4 Clave: 12. · ·

3 5

3

=

27 125

M = 1 –

80 – 50 – 1 16 2 – – 1 = = 125 25 5 125

M=1–

27 29 56 + = 125 125 125 56 69 1– = 125 125

13.

Clave:

e

1– 1 8

16. E =

7 8

1

1+ 8 7

15 7

7 8 = 15 15

13 12

6+4+3 12 3+ 1 12

×

Clave:

b

Clave:

d

–74 13

13 –74 12 E = × 13 37 12

70 5k = 98 7k

(5k)(7k) = 315 k2 = 9 k=3 5(3) 15 Luego: = 7(3) 21

E=

13 –74 × = –2 37 13

21 – 15 = 6 Clave:

d

17. P =

14. M = a + b

1 5 + 9

11a + 7b 844 155 = 77 999 999 11a + 7b =

1

e

29 125



1

15. M = 1 – 1+

77 × 844 155 999 999

P =

11a + 7b = 65 P=

4 3 a+b=7 Clave:

a

1

73 90 2+ 11 9

1 5 110 + 9 293 1 2455 2637

=

=

=

1 5 + 9

1 2 + 73 110

1 1465 + 990 2637

2637 ≈ 1,074 2455 Clave: Matemática II

c 15

18. E = E =

E =

321 – 32 – 900 289 – 900 17 – 15 30 30

249 – 24 900

=

3x + 360 = 1 260 x = 300

–1

225 900 –1

–1

2 30

–1

Clave:

Clave:

Clave:

b

c

21. 503,54 – 84,5 = 419,04 419,04 : 0,97 = 432 Clave:

c

Clave:

b

Clave:

b

2.

1 = 0,5 2 3 – = –0,75 4

3. –∞

24. 2,60 × 12 = 31,2 31,2 : 13 = 2,4 Clave:

Matemática II

c

– 3 = –1,73 p = 3,14 2 2 = 2,82 Ordenamos de mayor a menor 3 1 p; 2 2 ; ;– ;– 3 4 2

23. 750 : 2 400 = 0,3125 0,3125 × 84 = 26,25

16

Clave:

Pág. 44

1. FFVF

2 = 84 5

d

Ahora: 45 – 30 = 15 15 + 35 = 50

20. 8431,24 : 0,97 = 8 692

x + 40 – x + 40 3 3

Clave:

· 50 – 20 = 30 30 + 15 = 45 2 · 45 = 30 3

e

19. - Un litro de leche cuesta S/.17,50 - Un litro de vino cuesta S/.43,75 43,75 : 17,50 = 2,5

2x + 40 = x + 40 25. x – 3 3

a

26. Total: 50 2 50 = 20 5

= 15

22. 846,40 : 32 = 26,45 El metro cuesta 26,45 · Piden 20 m 26,45 × 20 = 529

Clave:

–2,8

0

p 2

2 3

10

3 + 15

+∞

d B A

4. –

2

B – A = 〈3; +∞〉

3

+

Clave:

c

5.

B

11. |3x – 2| = 0 → 3x – 2 = 0

A – –1

0

2

5

+

x=

A  B = [–1; 5] Clave: 6. –

b

B

A 1

3

7

9

A – B = [1; 3〉  〈7; 9〉

7. – –2

A 2

–∞

Clave:

– –2

3

1 15 2 8

3

5

Clave:

d

5

+∞

5+2

P Q –5

–

+

4 e+1

15.

0

9

+

Q – P = 〈–∞; –5〉

AB=∅

9.

b

B

A

a

+

B – A = [–2; –1〉

8.

Clave:

2 p 3,777

14.

–1

c

c 13. II y III

B

Clave: 12. |x – 3| = 2 → x – 3 = 2 ∨ x – 3 = –2 x = 5 ∨ x = –1 C.S. = {1; 5}

+

Clave:

2 3

Clave:

Clave: 16.

B –

d

2,3

3,1

– –8

+

N

M

A

e

2

5

8

+

M – N = [–8; 2]

A  B = [2,3; 3,1〉 Clave:

Clave:

d N

17.

10. |x + 1| = 0 →x+1=0 x = –1

M – –4

Clave:

a

b

–2

6

+

M  N = [–4; +∞〉 Clave: Matemática II

a 17

23.

18. –5  2x – 1 < 4 +1 –4  2x < 5 5 : 2 –2  x < 2

– –6

Luego: ×(-4): –10 < –4x  8 +(3): –7 < 3 – 4x  11 → x  〈–7; 11]



→ x  〈–7; 29〉

24.

– –8

b

–4

4

21. |x + 1| = 5 → x + 1 = 5 ∨ x + 1 = –5 x=4 ∨ x = –6 C.S. = {–6; 4}

5

2

4

a

6

( )2:

M – N = (M  N) 〈–2; 5〉 – [5; 6] = 〈–2; 5〉 Clave:

a

1 5 < x– 4 2 –

2


1 Números enteros positivos y menores que 5: 2, 3, 4 (tres números) Clave:

d

5. 7x – 1 > 3x + 3 4x > 4 x>1

MCM (4; 5; 2) = 20 a

Multiplicamos por 20 a cada término 20 ·

6. 3x – 1  20 3x  21 x7 C.S. = [7; +∞〉

1 x–1 x–2 + 20 · < 20 · 2 4 5 5(x – 1) + 4(x – 2) < 10 5x – 5 + 4x – 8 < 10

Clave:

9x – 13 < 10

c

7. MCM (3; 2; 6) = 6 2(3x – 2) + 3(x – 3)  5 6x – 4 + 3x – 9  5 9x  18 x2 Mayor valor de “x” es 2

9x < 23



23 9 Valores enteros positivos de "x"



son: 1; 2



Luego la suma es: 1 + 2 = 3

x
3(x – 1)

10x + 6 + 2x + 1 > 4

5x + 5 > 3x – 3 2x > –8 x > –4 No puede tomar el valor de –6

12x > –3 x>– C.S. = 〈–1/4; +∞〉 Clave:

d

11. x: edad de Juan

b

Clave:

d

Clave:

a

Clave:

c

2x – 6 + 3x – 6 > 4x – 4 5x – 12 > 4x – 4 x>8

x + 3 > 15 2

El menor valor entero “x” es 9

x > 12 2 x+1 x–1 + 6 2 3 MCM (2; 3) = 6

x > 24 …(II)

15.

De (I) y (II) 24 < x < 26 → x = 25 Clave:

b

multiplicamos por 6 a cada término 6·

12. Sea “x” la cantidad de patos x • x – 35 > 2 2x – 70 > x x > 70 …(I)

x+1 x–1 +6· 6·6 2 3 3(x + 1) + 2(x – 1)  36 5x + 1  36 x7

C.S. = [7; +∞〉

• (x – 35) + 3 – 18 < 22 x – 50 < 22 x < 72 …(II) De (I) y (II): 70 < x < 72 Luego: x = 71

Clave: 14.2(x – 3) + 3(x – 2) > 4(x – 1)

• 2x – 17 < 35 2x < 52 x < 26 …(I) •

1 4

16. x – 3 < 2x + 2 < x + 5

Clave:

c

x – 3 < 2x + 2 –5 < x x > –5 ... (I) • 2x + 2 < x + 5

5x + 3 2x + 1 13. + >1 2 4 Multiplicamos por 4 a cada término 5x + 3 2x + 1 4· +4· >4·1 2 4

x < 3 ... (II) De (I) y (II): –5 < x < 3 C.S. = 〈–5; 3〉

Matemática II

75

17.11 – 6x  1 – x < 7 – 2x

• x–

• 11 – 6x  1 – x 10  5x 2x x  2 …(I) • 1 – x < 7 – 2x x < 6 …(II)

x > 130 6 5x > 130 6 x > 156

De (I) y (II): 156 < x < 160 Luego “x” impar y múltiplo de 3 es: 159

De (I) y (II): 2  x < 6 Valores enteros de “x” : 2, 3, 4, 5

Clave:

b

Clave:

c

cuatro 20.Sea ab el número de 2 cifras: Clave:

b

18. –17 – x  7x – 1  x + 11 • –17 – x  7x – 1

a–4 >b 2

–16  8x –2  x x  –2 …(I)

b
2b

d

a–4 2

20 – 2a < a – 4 24 < 3a 88 Entonces: a = 9 De (III) tenemos: 1 < b < 2,5 Entonces b = 2 Luego ab = 92 Producto de cifras: 9 × 2 = 18

x+2 x+6 x+3 + + 5 3 5 7 MCM (3; 5; 7) = 105 Multiplicamos a cada término por 105

21.

•

x–1 1  4x + 2 5 5(x – 1)  2(20x + 1) 5x – 5  40x + 2

x+2 x+6 x+3 + 105 · + 105 ·  3 5 7 105 · 5

–7  35x

105 ·

x–

35(x + 2) + 21(x + 6) + 15(x + 3)  525

1 5

…(II)

35 x + 70 + 21x + 126 + 15x + 45  525 –∞

71x + 241  525 71 x  289

–13 –1/5

+∞

C.S. = Æ

x4

Clave:

C.S. = 〈–∞; 4] Intervalo no solución: 〈4; +∞〉

24. Clave:

x–3 x+1 4 – 4x x2 – 4x + 4 > 0 (x – 2)(x – 2) > 0 (x – 2)2 > 0 x≠2 C.S. = – {2}

4x2 + 8x  0 x2 + 2x  0 → x(x + 2) < 0 P.C.: x = 0 ∨ x + 2 = 0 x=0 ∨

x = –2

+ –∞

– –2

Clave:

+ 0

+∞

14. x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = x2 + 6x + 9

C.S. = [–2; 0] Clave:

e

11. –x2 + 5x > 0 x2 – 5x < 0 → x(x – 5) < 0 P.C.: x = 0 ∨ x – 5 = 0 x=0 ∨ x=5 +

5

C.S. = 〈0; 5〉

+∞

Clave:

e

a

Clave:

d

16. 40 – 3x – x2  0

12. 42 – x – x2 > 0

x2 + 3x – 40  0 x –5 x +8 → (x – 5)(x + 8)  0 P.C.: x – 5 = 0 ∨ x + 8 = 0 x=5 ∨ x = –8

x2 + x – 42 < 0 x +7 x –6 → (x + 7)(x – 6) < 0 P.C.: x + 7 = 0 ∨ x–6=0 x = –7 ∨ x=6 +

– –7

+

+ 6

–∞

+∞

Clave: Matemática II

– –8

+ 5

+∞

C.S. = [–8; 5]

C.S. = 〈–7; 6〉

80

Clave:

2(2)2 + (2m – 1)(2) + m – 21 = 0 8 + 4m – 2 + m – 21 = 0 5m = 15 m = 3

+

0

–∞

x2 – 4 = 0 (x + 2)(x – 2) = 0 x + 2 = 0 → x = –2 x–2=0→x=2 Mayor valor: 2

15. x = 2

–

–∞

d

c

Clave:

a

(x – 3)2  0 → x2 – 6x + 9 = x2 – 6x – 1 + M

17. x2 – 3x  2x x2 – 5x  0 x(x – 5)  0 P.C.: x = 0 ∨ x – 5 = 0 x=5 + –∞

9=–1+M 10 = M Clave:

– 0

21. (5x – 2)2 – (3x + 1)2 = x2 + 60

+ 5

+∞

25x2 – 20x + 4 – (9x2 + 6x + 1) = x2 + 60 25x2 – 20x + 4 – 9x2 – 6x – 1 = x2 + 60

C.S. = 〈–∞; 0]  [5; +∞〉 Clave:

a

18. x2 – 8x – 33 < 0

–∞

15x2 – 26x – 57 = 0 Fórmula general: x1,2 =

(x + 3)(x – 11) < 0 x+3=0 ∧ x – 11 = 0 P.C. x = –3 x = 11 +

– –3

d

–(–26) ±

262 – 4(15)(–57) 2(15) x1 = 3

x1,2 =

26 ± 64 30

+

x2 =

+∞

11

–19 15 Clave:

C.S. = 〈–3; 11〉 Clave:

a

c

22. x(x + 4)(x + 6) + 16 = (x + 1)(x + 2)(x + 6) x3 + 6x2 + 4x2 + 24x + 16 = x3 + 3x2 + 2x + 6x4 + 18x + 12

19. x2 + 2x + n > 0

x2 + 4x + 4 = 0

Tiene que ser aspa simple (x + 1)(x + 1) > 0 x2 + 2x + 1 > 0 x2 + 2x + 1 = x2 + 2x + n

(x + 2) (x + 2) = 0 x+2=0 x = –2

n=1 Clave: 20. 1 + 6x – x2  M –x2 + 6x + 1 – M  0 ...×(–1) 2 x – 6x – 1 + M  0 Tiene que ser un binomio al cuadrado.

a

Clave:

d

Clave:

c

23. ∆ = 0 (–n)2 – 4(4)(1) = 0 n2 – 16 = 0 (n + 4)(n – 4) = 0 n = –4 ∨ n = 4 Menor valor: –4

Matemática II

81

24. ∆ > 0 ∆ = 32 – 4(m – 3)(2) > 0 9 – 8m + 24 > 0 33 > 8m 8m < 33 m < 4,1 m = 0; 1; 2; 3; 4 5 valores

P.C.: A + 2 = 0 ∨ A = –2 + –∞

Clave:

d



A

A

Clave:

e

Clave:

b

• n + 3n = 3a – 2 3a – 2 .... (I) 4

• n(3n) = a2 – 1



3n2 = a2 – 1 ... (II)



Reemplazamos (I) en (II)

3a – 2 2 = a2 – 1 4 2 3 (9a – 12a + 4) = a2 – 1 16

Clave:

L

+∞

Sean las raíces n y 3n, luego:

n=

m = 8 ; n = 15 Piden: m + n = 23



+ 3

27. x2 – (3a – 2)x + (a2 – 1) = 0

x  〈3; 5〉 x=3 ∨ x=5 x–3=0 ∨ x–5=0 (x – 3)(x – 5) < 0 x2 – 8x + 15 < 0 Luego: x2 – 8x + 15 = x2 – mx + n



– –2

A  〈–2; 3〉

25. x2 – mx + n < 0

26. L – A = 3 → L = 3 + A

A–3=0 A=3

d



3



27a2 – 36a + 12 = 16a2 – 16 11a2 – 36a + 28 = 0 11a –14 a –2 11a – 14 = 0 ∨ a – 2 = 0 a = 14 ∨ a = 2 11



Solución de Problemas

L

Pág. 140

1. x: Dinero de Roberto. Área = A × L ; Perímetro = 2A + 2L A × L < 2A + 2L Reemplazamos los valores de “L” A(3 + A) < 2A + 2(3 + A) A2 – A – 6 < 0 (A + 2)(A – 3) < 0

4x + 6 – 4 = 39 2 4x + 6 = 43 2 4x + 6 = 86 x = 20 Clave:

82

Matemática II

b

2. x: Número a encontrar

5. Días transcurridos: x x = 91 + x 30 360

2x + 6x = 4(40) 8x = 160

366x = 2 730 + 30x 336x = 2 730

x = 20 Piden: 20 –

20 = 10 2

Clave:

b

3. x: N° de personas. Cada persona paga: S/. n nx = 300 …(I) (x – 3)(n + 5) = 300 nx + 5x – 3n – 15 = 300

x = 8,425 → 8d 3h Día 9

x( 5 x – 5) = 300 3

Clave:

d

x + y = 45 (–) y–x= 9 2y = 54 y = 27 b

2. x: Edad de Marco y: Edad de su papá x + y = 59 ... (I) (y + 5) – (x + 5) = 33 y – x = 33 ... (II) Sumamos (I) y (II) 2y = 92 y = 46 x = 13 Piden: 13 + 3 = 16

4. N° gallinas: x (2 patas) N° conejos: 86 – x (4 patas) 2x + 4(86 – x) = 246 2x + 344 – 4x = 246

N° gallinas = 49 N°conejos = 37 12

b

y: N° de canicas de Raúl

Clave:



Clave:

1. x: N° canicas de Carlos

5x2 – 15x – 900 = 0 x2 – 3x – 180 = 0 x – 15 x + 12 x = 15 ∨ x = –12 Luego: 15 – 3 = 12 personas

49 = x

b

Pág. 141

5 2 x – 5x = 300 3



Clave:

4(x + 3) = 72 4x + 12 = 72 4x = 60 x = 15 Piden: 15 + 8 = 23

En (I):

98 = 2x

b

6. Edad de Pablo: x

300 + 5x = 3n + 15 5 x–5=n 3



Clave:

Clave:

c

Matemática II

83

3. 24 Hist. y 20 Lit.

Pruebas nacionales e internacionales

36 Hist. y 15 Lit. x: grosor del libro de Historia y: grosor del libro de Literatura 24x + 20y = 36x + 15y

Pág. 142

1. P(x) = (x5 + x4 + x3) + (8x2 + 8x + 8) P(x) = x3(x2 + x + 1) + 8(x2 + x + 1)

5y = 12x → y = 12 x 5

P(x) = (x2 + x + 1)(x3 + 8)

Piden:

P(x) = (x2 + x + 1)(x + 2)(x2 – 2x + 4)

24x + 20( 12 x) = 24x + 48x = 72x 5 Luego, se pueden colocar 72 libros de Historia Clave:

e



Mayor T.I.

Σ coeficientes = 1 – 2 + 4 = 3 Clave:

4. x: N° de chicos (1 regla) y: N° de chicas (2 lápices) x + y = 35 (–) x + 2y = 55 y = 20 x = 15

5 ± 29 2

2. x =

1 x2 = 1 (25 + 29 – 10 29) = (27 – 5 29) 2 4 Clave:

a

5. x: N° botellas de 5l

x3 = 1 (125 – 75 29 + 435 – 29 29) 8

y: N° botellas de 2l

x3 = 70 – 13 29

x + y = 70 …×(–2) 5x + 2y = 230

x4 =

1 (729 – 270 29 + 275) 4

– 2x – 2y = –140 5x + 2y = 230

x4 =

1 (727 – 135 29) 2

3x = 90 x = 30

Clave:

e

3 M= x

6. x: N° preguntas correctas (+5) y: N° preguntas incorrectas o no contestadas (–2)

3

x2 (x3 – 140) 3 4 x +1

(70 – 13 29)

M=

x + y = 30 …×(2)

3

5x – 2y = 94 2x + 2y = 60 5x – 2y = 94

(+)

84

Matemática II

3

1 (27 – 5 29)(70 – 13 29 – 140 2 1 (727 – 135 29) + 1 2

–(70 – 13 29)

M=

7x = 154 x = 22

a

3

Clave:

d

3

1 (27 – 5 29)(70 + 13 29 2

1 · 27 (27 – 5 29) 2

– 702 – (13 29)2 M= 3

M=–

3

Taller de Práctica

1 (27 – 5 29) 2

Pág. 144

1. 9x2 – 25y2

1 (27 – 5 29) 2

= (3x)2 – (5y)2 = (3x + 5y)(3x – 5y)

(–1) 1 = 3 3 Clave:

Piden: 3x + 5y + 3x – 5y = 6x

c

3. 6x2 – 26x + 24 = 10x2 – (30 + 5n)x + 15n

Clave:

b

Clave:

e

Clave:

b

Clave:

c

2

4x – (4 + 5n)x + (15n – 24) = 0 ∆=0 (4 + 5n)2 – 4(4)(15n – 24) = 0 16 + 40n + 25n2 – 240n + 384 = 0 25n2 – 200n + 400 = 0 n2 – 8n + 16 = 0 (n – 4)2 = 0 n = 4

2. 2x2 – 5x – 3 2x +1 x –3 (2x + 1)(x – 3) Σ coeficientes Clave:

2+1=3 1 – 3 = –2

c

4. (2k + 2)x2 + (4 – 2k)x + (k – 2) = 0 a Por dato: x1 · x2 = 1

b

x+3 2

3.

c

+ 3x – 2 = 4x 7 3

·

42

21(x + 3) + 6(3x – 2) = 14(4x) 21x + 63 + 18x – 12 = 56x

k – 2 = 1 → k – 2 = 2k + 2 2k + 2 –4 = k



17x = 51 x=3

Piden: x1 + x2 = – –(4 – 2k) = – (4 + 8) 2k + 2 –8 + 2 = –12 = 2 –6

4. Clave:

e

5. Ahorro de Andrés = x

x–2 3

– x–3 = x–4 4 5

·

60

20(x – 2) – 15 (x – 3) = 12(x – 4) 20x – 40 – 15x + 45 = 12x – 48

Ahorro de Renzo = x + 10 Por dato: x + x + 10 = 350 x = 170 Clave:

c



7x = 53



x = 53 7

Matemática II

85

7. x2  49

5. 5y = 3 – 2x

x2 – 49  0 (x – 7)(x + 7)  0 Puntos críticos: –7; 7

3x = 2y + 1 (2x + 5y = 3) × 3 (3x – 2y = 1) × –2 6x + 15y = 9 –6x + 4y = –2

+

(+)

–∞

19y = 7 y=

7 19

2x = 3 –

35 19

22 19

a

+

0

7

+∞

Clave:

a

Clave:

a

Clave:

d

9. 2x2 – 24y2 + 2xy – 2x + 34y – 12 2x2 + 2xy – 24y2 – 2x + 34y – 12 2x 6y +4 x + 4y –3 Clave:

e

6. (4x – y = 10) × 5

→ (2x – 6y + 4)(x + 4y – 3)

10.

(5x – 2y = 8) × –4

(+)

9x – 7y = –52

...×(5)

5x + 3y = –22 ...×(–9) 45x – 35y = –260 –45x – 27y = 198

3y = 18 y=6

(+)

– 62y = –62 y=1

4x – 6 = 10 4x = 16 x = 4 Piden: x + y = 10

Luego: 45x – 35(1) = –260 x = –5 C.S. = {–5; 1} Clave:

Matemática II

–

x  [0; 7]

11 + 7 = 18 19 19 19

20x – 5y = 50 –20x + 8y = –32

Clave:

+ –∞

Piden:

86

+∞

7

x2 – 7x  0 x(x – 7)  0 Puntos críticos: {0; 7}

11 x= 19

x+y=

–7

8. –x2 + 7x  0

35 =3 19

2x =

+

x  [–7; 7]

2x + 5( 7 ) = 3 19 2x +

–

e

11. Sea “x” el número de libros Pág. 145

• 1 + 3 x  21 2 2 + 3x  42 3x  40

1. N° de libros: “n” Precio de c/libro: “p” Luego: np – a = (n – 1)p + b np – a = np – p + b p=a+b

x  13,3 • 2 + 5 x > 14 4 8 + 5x > 56 5x > 48

Clave:

c

Clave:

d

x > 9,6 2. x: N° de amigos de Pedro

Luego, "x" puede ser 10, 11, 12, 13, pero que tenga tercia solo 12

p: Precio de entrada por c/u Clave:

b

(x + 1)p = 200 ...(I) (x + 1 – 5)(p + 2) = 200 ...(II)

12.10x4 + 13x3 + 15x2 – 7x – 4

(I) = (II):

5x2

–x

–1

2

3x

+4

2x

xp + p = xp + 2x – 4p – 8 5p = 2x – 8 5p + 8 = x 2

Se tiene: 18x2 Se quiere: 15x2

En (I):

Falta: –3x2 → Cantidad a descomponer (5x2 – x – 1)(2x2 + 3x + 4) Clave:

a

5p + 8 + 1 p = 200 2 (5p + 10p)p = 400 (p + 2)p = 80

2

13.(x – 2)  16 x2 – 4x + 4  16

p2 + 2p – 80 = 0

x2 – 4x – 12  0

p

+ 10

(x – 6)(x + 2)  0

p

–8

Puntos críticos: {–2; 6}

p = – 10 ∨ p = 8

+ –∞

–2  x  6

– –2

Luego:

+ 6

Pedro pagó:

+∞

8 + 2 = 10 Clave:

c

Matemática II

87

3. 13(a + 1)3(a – 1) – (a – 1)3(a + 1) – 4(a2 – 1) 13(a + 1)3(a – 1) – (a – 1)3(a + 1) – 4(a + 1)(a – 1) (a + 1)(a – 1)[13(a + 1)2 – (a – 1)2 – 4] (a + 1)(a – 1)(13a2 + 26a + 13 – a2 + 2a – 1 – 4) (a + 1)(a – 1)(12a2 + 28a + 3) 4(a + 1)(a – 1)(3a2 + 7a + 2) 3a 1 a 2 4(a + 1)(a – 1)(a + 2)(3a + 1) Clave:

c

4. P.C. = 2; 4 → →

x = –2 x = 4 Luego:

Factores x+2=0 x–4=0

(x + 2)(x – 4)  0 x2 – 2x – 8  0 2x2 – 4x – 16  0 ...(I)

Por dato:

(a2 – 14)x2 – 4x + 4a  0 ...(II)



Comparamos (I) y (II) 4a = –16 → a = –4 a – 14 = 2 → a = ±4 2

Luego: a = –4

88

Matemática II

Clave:

b

6

U N I D A D

Pág. 151

6.

b

a

A

5a

B

C

D

1. Del gráfico :

4 + 2x + 5 + 3x + 8 = 42 5x = 25 x=5

Clave:

e

Clave:

c

Del gráfico: AC = a + b Por dato: AD + 5AB = 90 b + 6a + 5(b) = 90 6a + 6b = 90 a + b = 15 → AC = 15

2. Se cumple:

7x – 13 = 2x + 32 5x = 45 x=9

Clave:

b

3. AB = 3x , BC = 4x ; CD = 5x Por dato: AD = 72 3x + 4x + 5x = 72 x=6 Piden: CD = 5x = 30

4.

m A

7.

2AM = 3BC 2(m + 4) = 3(8) 2m + 8 = 24 2m = 16 m=8

8

A

Clave:

4 B

x B

C

Luego: AC = 16

e

8. x

c

7

A

5.

3 B

Por dato: AC + 4BC – 2AD = 3 (x + 3) + 4(3) – 2(x + 5) = 3 x + 3 + 12 – 2x – 10 = 3 5–x=3 2=x

2 C

B

y C

D

Por dato: AC + BD = 33 x + 7 + 7 + y = 33 x + y + 14 = 33 x + y = 19 Piden: AD = x + y + 7 = 26

5

A

D

Clave:

Clave:

x

C

Por dato: AC + BD + AD = 54 x + 8 + 8 + y + x + y + 8 = 54 2x + 2y + 24 = 54 2x + 2y = 30 x + y = 15 Piden: AD = x + y + 8 = 23

d

4 M

y

D

Clave:

c

9. 4m

Clave:

b

A

m B

m C

14 D

Matemática II

E 89

12.

Por dato: AE = 44 6m + 14 = 44 m=5

64 a

b

P

10.

x 3

x A

B

b

x 5 C

R

PQ = 3QR RS = 4PQ a = 3b c = 4a Del gráfico: a + b + c = 64 a a + + 4a = 64 3 16a = 64 3 a = 12

Piden: AC = 5m = 5(5) = 25 Clave:

Q

c S

Piden: QS = b + c = 4 + 48 QS = 52

Clave:

d

Clave:

b

D

13.

AB = 3BC = 5CD x = 3BC AB = 5CD x = BC x = 5CD 3 x = CD 5

8 A

16 B

x C

D

Por dato: AD = 35 Del gráfico: 8 + 16 + x = 35 x = 11

Por dato: AD = 69 x + x + x = 69 3 5 23x = 69 15 x = 45

Clave:

e Pág. 154

1. 11. m

6 B 3

A

3 C

2x

x Por dato: 5AB = 2AC 5m = 2(6 + m) 5m = 12 + 2m m=4

Luego: x=m+3 x=4+3 x=7

Del gráfico: 2x + 2x + 2x = 90° x = 15° Clave: Clave:

90

Matemática II

2x 2x

a

a

2. Por opuestos por el vértice :

6. Sea el ángulo “x”, por dato:

2

x – 13 = 51 x2 = 64 x=8 Clave:

2Cx = 50° Cx = 25° 90° – x = 25° x = 65°

c

3. A

Clave:

c

Clave:

a

Clave:

a

CSa = 10°

x O

e

7. Sea el ángulo ”a”, por dato: B

36°

Clave:

90° – (180° – a) =10° 90° – 180° + a =10°

C

a = 100° Por dato: m AOC = 4m AOB Del gráfico : x + 36° = 4x 12° = x

Clave:

a

8. A = SC(50°) – CC(40°) CCC(70°)

4. Por bisectriz se cumple:

A=

S(40°) – 40° C(70°)

A=

140° – 40° 20°

A=5 x + 10° = 2x 10° = x Clave:

e

9.

5. 3α

130° x

6α x

Del gráfico: x

x = 3a

O

Del gráfico: 2x + 130° = 180° x = 25°

... (I)

ademas:

Clave:

a

3a + 6a = 90° a = 10° Reemplazamos en (I) x = 3(10°)

x = 30°

Matemática II

91

10. Por alternos internos:

14. Sea el ángulo “x”, por dato:

12x – 10° = 7x + 35° 5x = 45° x = 9°

Cx – x = 10° 90° – x – x = 10° x = 40° Clave: Clave:

c

15. C

B

11. Por conjugados internos a

q + q + 50° = 180° q = 65° Además: x + q = 180° x + 65° = 180° x = 115°

A

Clave:

12.

x

b

x

b

x

b

O

D

Por dato: m AOC + m BOD = 260° a + x + x + b = 260° … (I) Del gráfico : a + x + b = 180° … (II) Reemplazamos (II) en (I) x + 180° = 260° x = 80° Clave:

c

Clave:

d

120°

16. 4x

180°

A

x

a

Por propiedad: x + 180° – 4x = 120° 60° = 3x 20° = x

O

Clave:

b

13. Del gráfico: 4a + 3a + 2a = 180° a = 20° Piden: Sa = 180° - 20° = 160° Clave:

92

Matemática II

d

B a

30° b b

x C

D

Del gráfico: 2a + 30° + 2b = 180° a + b = 75° Piden: x = a + 30° + b x = 30° + 75° x = 105°

17.

20. Por dato:

60° 60°

3(Sa – Ca ) = 2SC(2a) 3(180° – a – 90° + a) = 25 (90° – 2a) 270° = 2(180° - 90° + 2 a) 135° = 90° + 2 a a = 22°30’ Clave:

2x

2x

80°

21.

Por conjugados internos: 60° + 2x + 80° = 180° x = 20°

c

16a

360° – 16a x

Clave:

b

2a

Por alternos internos: 360° – 16a = 2a a = 20° Además: x = 2a x = 2(20°) x = 40°

18. Por alternos internos: (x + 6a)a = (5 + 3a)2a ax + 6a2 = 10a + 6a2 ax = 10a x = 10 Clave:

b

22.

b – 60° 60°

Clave:

e

Clave:

b

b

a 180° – a

Por ángulos correspondientes: b – 60° = 180° – a a + b = 240°

19. A P a x O

B a–x

Pág. 161 C

1. 70°

Por dato: m AOB – m BOC = 30° a + x – (a – x ) = 30° 2x = 30° x = 15°

2β + 30°

Clave:

d

60°

120°

Por ángulo exterior: 2b + 30° = 130° b = 50°

Clave: Matemática II

e 93

En el ∆ABC: 48 + 2α + 2q = 180° α + q = 66° En el ∆APC: α + b + q = 180° b + 66° = 180° b = 114°

2. Por propiedad se cumple: b + b + 2b = 120° b = 30° Clave:

c

3. θ 300°

Clave:

b

Clave:

b

β

6.

60°

B

130° 30°

x A

Por propiedad se cumple: q + b = 60° + 30° q + b = 90°

θθ

Clave:

Del gráfico, por ángulo exterior 130° = 90° + 2q q = 20° En el ABC x + 20° = 90° x = 70°

c

4. θ

C

2θ

7. 120°

3θ

θ

B

60° xβ

Por ángulo exterior: 3q + q = 120° q = 30° Clave:

b A

5.

B

48°

P

A

94

α α

Matemática II

β θ θ

C

β P

β

En el ∆ABC, por ángulo exterior: b + b = 60° b = 30° En el BPC: x + b + b +90° = 180° x + 2(30°) = 90° x = 30° Clave:

C

c

8.

En el ∆ ACP b + 20° + 80° = 180° b = 80° En el ABC (por ángulo exterior) b + b = 90° + x 160° = 90° + x x = 70°

B 8 x

L1 x = 10

6

A

C

x

Como L1 es mediatriz, entonces BP = PC =x En el sombreado, por Pitágoras: x2 = 62 + 82 x = 10 Clave:

c

130°

100°

θ

12.

30°

A

C

Por propiedad: 3a = 90° + b

a = 45°

2a 2 Clave:

b

Clave:

b

13. Por propiedad se cumple: 3x – 12° = x + 6° 2

B

x 20°

80°

B

3a

10.

β

C

2a

Clave:

β

20° 20°

Del gráfico: x + 20° = 180° x = 160°

Del gráfico: a + q + 100° = 180° a + q = 80° ... (I) Además se cumple: α + q + x = 180° ... (II) Reemplazamos (I) en (II): x + 80° = 180° x = 100°

A

d

M

A

θ

Clave:

B

9.

x

b

11.

x

αα

Clave:

C

6x – 24° = x + 6° x = 6° Piden: 4x = 4(6°) = 24°

P Matemática II

95

14.

17.

B P 50°

D x

a

x y

q 50°

A

a

50°

a

a C

E

En el ∆ PEC (por ángulo exterior) 50° + a = x + a x = 50°

15.

θ θθ

q

Clave:

B

e

C

a a

z

Del gráfico: α+q=x 2α + 2q = y 3a +3q = x + y ... (I) Además: 3q + 3α + z = 180° De (I) → y + x + z = 180° Clave:

q

18.

d

B

9 E 5 a A

4

q

P 4

F

a

x D A

Del gráfico: EF = 5 Clave:

c

16. y 3α 3α

4

Del gráfico: • 2α + y = 3α → y = a • 4α + x = 6α → x = 2a • 3α + y = 76° 3α + α = 76° α = 19° Piden: x + y = 3a = 3(19°) = 57° 96

Matemática II

C

4

Q

Como L es mediatriz de AC, entonces AQ = 4 En el APQ, por Pitágoras: x2 = 32 + 42 x=5 Clave: 19. B

104° 76° 2α 2α

3

c

3α a L

x

x

A

2a

5

2a

a D

5

C

Como L es mediatriz de BC, entonces m DBC = a Además BD = DC = 5

Clave:

d

En el DDBC, por ángulo exterior m ADB = a + a = 2a

En el cuadrilátero ABCD: 100° + 70° + 2b + 2q = 360° 2b + 2q = 190° b + q = 95° ... (I) En el cuadrilátero ABPC: 100° + b + q + a = 360°

En el DABC, por ángulo exterior m BAC = 2a En el DABD isósceles x=5 Clave:

c

100° + 95° + a = 360° a = 165° Además: x + a = 180° x + 165° = 180° x = 15°

Pág. 166

1. 80° + 70° + x + 100° + 60° = 360° 310° + x = 360° x = 50° Clave:

d

Clave:

b

Clave:

e

Clave:

e

2. α + 2α + 3α + 100° = 360° 5.

6α = 260° α = 43,3°

C

B

140° 130°

Clave:

c

P x

3.

θ

110°

2x

A

70°

θ

α

α

D

En el cuadrilátero ABCD: 130° + 140° + 2a + 2q = 360° 2a + 2q = 90° a + q = 45° En el triángulo APD: x + q + a = 180° x + 45° = 180° x = 135°

50° 4x

Por propiedad: 50° + 70° = 2x + 4x x = 20° Clave:

a

6. Por propiedad se cumple:

4.

B 100°

θ α

β

A

x β

110° + x – y = 180° x – y = 70° ... (I) x + y = 110° ... (II) Sumamos (I) y (II): 2x = 180° x = 90°

C θ

P 70°

D

Matemática II

97

7.

B

10. (b + B) + (b + B) = 45

C 4, 5

3 4, 5

2 3(b + B) = 45 2 b+B = 15 2

0 3

A

Clave:

D

Del gráfico: AC = 9 ; BD = 6 Piden: 9 + 6 = 15

11. Clave:

c

4k

c 15

3k

8. Por mediana del trapecio se cumple:

3k

4k

7 = x + 1 + 2x + 7 2 14 = 3x + 8 2=x Clave:

b

9.

Por Pitágoras: 152 = (3k)2 + (4k)2 225 = 9k2 + 16k2 225 = 25k2 9 = k2 3=k Perímetro = 14k = 14(3) = 42

b=k 44

Clave:

b

Clave:

a

12. x 15

B = 3k

8

Del gráfico:

15

44 = k + 3k 2 k = 22 Piden B = 3k = 3(22) = 66 Clave: 98

Matemática II

8

c

Por Pitágoras: x2 = 152 + 82 x2 = 275 + 64 x2 = 289 x = 17

13.

10

B

4

θ

B

2θ

10

A

16.

C

C 2x

7x

10

θ θ

D

Del gráfico: AD = 10 + 4 = 14

A

Clave:

c

14.

7x

D

Del gráfico: 7x + 2x = 90° x = 10°

Clave:

4

5

17.

5

45° 4

5

5

Mediana = 4 + 9 2 = 6,5 Clave:

15.

B

b

m

7

β

x=m+2 2 9 + 2 x= 2 x = 5,5

9=m x A

β

β

x

2

Del gráfico: 7=m+5 2 14 = m + 5

C 105°

a

Clave:

d

Clave:

d

D

18. En el D ACD: b + b + b – x = 180° 3b – x = 180° ... (I) Por conjugados internos: 105° + b = 180° b = 75° ... (II) Reemplazamos (II) en (I): 3(75°) – x = 180° 3(75°) – 180° = x 45° = x

10

10 8 6

6 8

10

10

Perímetro = 4(10) = 40 Clave:

d Matemática II

99

19.

B – b = 3 → B – b = 6 ... (II) 2 Sumamos (I) y (II):

b

M

2B = 40 → B = 20 Piden: AD = B = 20

N P

Q

B

Clave:

a

Clave:

c

Por dato: MN = 28 = B + b → B + b = 56 2 B – b → B – b = 16 8= 2 2b = 40 b = 20

(–)

22. x² + 8x α

Clave:

a

x α

20.

10

B

(x + 4)²

C

Por propiedad: x2 + 8x + 16 – x2 – 8x =x 2 8=x

30° 10 A

D 5

10

5

Del gráfico: AD = 5 + 10 + 5 AD = 20

Clave:

a

23. 6

α

x

21.

b

B

8

C

α

4

P A

M

N B

Por dato: B + b =17 → B + b = 34 ... (I) 2 100

α

Matemática II

8

12

Q D

Del gráfico: x= 6+4 =5 2 Clave:

e

Pág. 169

6.

1. 180°(n – 2) = 900° n–2=5 n=7 Luego, el polígono es el heptágono. Clave:

3 60° 30° L3 2

c Del gráfico:

2. 180°(n – 2) + 360° = 3780°

L3 3 = × 3 2 2

180°(n – 2) = 3420° n – 2 = 19

L3 = 3

n = 21 Clave:

c

Clave:

a

Clave:

b

Clave:

b

7. Por dato: ND – 133 = N° de lados n(n – 3) – 133 = n 2

3. 360° = 10n n 36 = n2 6=n

n(n – 3) = 133 + n 2 Clave:

d

4. 360° = 180° (n – 2) n

4=n–2 n=6

n 2

Clave:

c

2

8. Por dato: N° de lados – 2 = ND n(n – 3) n–2= 2

5. 360° = 1 180°(n – 2) n

n2 – 3n = 266 + 2n n2 – 5n – 266 = 0 n 14 n –19 n = –14 ∨ n = 19 Luego, el polígono tiene 19 lados

n

4=n–2 n=6 Piden ND = 6(6 – 3) = 9 2 Clave:

b

2n – 4 = n2 – 3n n2 – 5n + 4 = 0 n –4 n –1 n = 4 ∨ n = –1 Luego, el polígono tiene 4 lados

Matemática II

101

12. Por dato:

9.

m e = 2m i 360° = 2 180°(n – 2) n n 2 3 60°

60°

L6

360° = 360°(n – 2) n=3 Luego, el polígono es el triángulo

2 3 60°

Del gráfico: L6 = 2 3

a

Clave:

b

13. Por dato: Clave:

a

10.

n° vertices = ND 2 n(n – 3) n+n = 2 2 n° lados +

2n + n n2 – 3n = 2 2 2 3n = n – 3n n2 – 6n = 0 n(n – 6) = 0 n=0∨n=6 Luego, el polígono es el hexágono

2 30°

r

Del gráfico: r=1 Lc = 2pr = 2p(1) = 2p

14. Clave:

60°

e R

11.

β

α

θ

Los ángulos interiores de un hexágono regular miden: 180°(6 – 2) = 120° → q = 120° 6 Del gráfico: b = 360° – (120° + 90°) b = 150° Por cuadrado: a = 90° Piden: a + b + q = 90° + 150° + 120° = 360° Clave: d Matemática II

6=R

3

6 3

120°

102

Clave:

Del gráfico: R=6 Lado del cuadrado: 2R = 2(6) = 12 Perímetro: 4(12) = 48

30° 3 3

Clave:

c

Pág. 172

1. Por ángulo interior: 68° + 3x + 12° 2 110° = 80° + 3x x = 10° 55° =

Clave:

e

2.

5.

D

y

150°

y

x

110°

A x

x

z

B

C

Por ángulo interior: 110° =

z

Por dato: AB = 18 → x + y = 18 BC = 19 → y + z = 19 AC = 17 → x + z = 17 2x + 2y + 2z = 54 x + y + z = 27

150° + α 2

α = 70°

Clave:

e

3.

(+)

Clave:

b

Clave:

a

6. 2x

6+k

A

8– k

6+k 8– k

A x

Clave:

x

34°

Como AD es diámetro, se cumple: 2x + 68° = 180° x = 56°

a

7.

B

4.

D

B

Del gráfico: AB = 6 + k + 8 – K AB = 14

68

x 100°

x 140°

B

2+x

x A

x

50°

120°

A

2+x C

Por ángulo exterior:

Por dato: AC = 8 x+2+x=8 x=3

x = 140° – 100° 2 x = 20° Clave:

c

Clave: Matemática II

b 103

8.

Q P A

8

Aplicaciones de la congruencia

B 8 6 10

1.

B 42° x 28°

O

N

M

Por Pitágoras: OP2 = 102 – 82 OP = 6 Piden: PQ = 10 – 6 =4

A

P

28°

Q

En el DABC 42° + 42° + x + 28° + 28° = 180° x = 40°

b

Clave:

42°

2.

9.

Pág. 173

C

c

Clave:

L

B

E

20°

7

A

x

E

50° 90°

40°

θ θ

A

3 x

J

4

7 11



T

Por ángulo exterior: 130° – 50° 2 x = 40° x=

En el sombreado, por notable x = 37°

3. Clave:

Clave:

e

B

d

Q

10.

M

2

P

r

A

6 r

Del gráfico: r=8–6 r=2

8



6

N

C

Por base media en el DMBN QP = MN = 2 2 MN = 4

Clave:

a

Por base media en el DABC MN = BC 2 BC = 2(4) BC = 8

104

Matemática II

Clave:

b

4.

7.

B 2a

b 2a

15

a 9

a

A

N

12

a

M

C

12

b

a a

a a+b

En el sombreado, por notable: q = 45°

Trazamos AN, luego DANC: isósceles →m NAC = m NCA = a En el AMB, por Pitágoras: AN2 = 92 + 122 AN = 15

q b

Clave:

a

Clave:

c

Clave:

e

8. Por mediana relativa a la hipotenusa x2 – 7 =

En el DANC ( Por ángulo exterior) m BNA = a + a = 2a

36 2

x=5

Luego el DBAN es isósceles, entonces: AB = AN AB = 15

9.

B x

Clave:

c

2a

a

5. P

C

A En el BAC, por notable m BCA = 30° → x = 60°

60°

A

6

60°

6

M

B

B 6

En el PMB (notable de 30° y 60°) → PB = 12

6.

10.

Clave:

3

a

B

A

2θ 2θ D

8 θ

Del gráfico: D BAD es isósceles, luego AB = 8

a

a F

x

a

D

C

Trazamos EF//AB, entonces EF es base media del DACB

8

→ EF = A

E

θ

6 =3 2

Por ángulos correspondientes m EFC = m BAC = a

C

En el gráfico, el DFED es isósceles, luego x = 3 Clave:

e

Clave: Matemática II

a 105

Cuadriláteros y trapecios 1.

Pág. 174

12

B α

4.

R 45°

3 2

4

Q

45°

A

α A

4

8 M

S

3 D

3

El perímetro del cuadrilátero PQRS es: 4 (3 2) = 12 2

D

En el BMA, por base media: PQ =

3

P

2

4P

C

3 2

C

α

3

Q

B

a

Clave:

b

AM → AM = 4 2

El DBAM es isósceles, entonces BA = 4 Piden: 2p = 12 + 12 + 4 + 4 2p = 32

5. 53°

A

Clave:

e D

75° x 75°

45° 60°

10 8

B

x

2. 75°

8

C

Como ABCD es un cuadrado, entonces: x=8 2 30°

30° 60°

60°

Del gráfico: x + 75 = 180° x = 105°

6. Clave:

x+y

d y2 – x2

3. α

3x2

60°

2x + 2

60°

Del gráfico: a + 60° = 90° α = 30° Clave: 106

Clave:

Matemática II

b

Por romboide no cumple: • y2 – x2 = 3x2 y2 = 4x2 y = 2x ...(I) • x + y = 2x + 2 ...(II) Reemplazamos (I) en (II): x + 2x = 2x + 2

x=2 → y=4 Piden: 2p = 2(x + y) + 2 . 3x2 = 2(2 + 4) + 6(22) = 36

10.

x

Clave:

15 = 5k

x

k=3

d

7. 10

a

a+

3

Del gráfico: x = 4k = 4(3) x = 12

a

4 3x 

53°

3k

Por paralelogramo se cumple: • 10 – a = a → a = 5 • 3x – 4 = a + 3 3x – 4 = 8 x=4

Clave:

Clave:

a

b Pág. 177

8.

C

B 105°

75°

1.

6

6

A

x A

x C

B

D

12

75°

30°

16

D

En el trapecio ABCD se cumple: x + 105° + 30° = 180° x = 45°

Clave:

Del gráfico: 6 + x = 16 x = 10

c

9. 6

B

2.

a

10

5

14

Clave:

a

2

3 B

C

D

5

a

a

D

En el trapecio ABCD, por mediana: x+5=

x A

5 A

c

C 5

x O

Clave:

6 + 14 2

x=5 Clave:

Por dato: AC – 4BC + 2AD = 7 x + 3 – 4(3) + 2(x + 5) = 7 x + 3 – 12 + 2x + 10 = 7 3x + 1 = 7 x=2

a Matemática II

107

3.

6.

42°

3a 5a 2a

Q 48°

2a

x R

Del gráfico: 3a = 90° a = 30° Además: x + 2a = 180° x + 60° = 180° x = 120°

x

48°

En el D PQR 48° + x + 42° = 180° x = 84°

Clave: Q

Clave:

e

70°

α+x E α+x α x F R

α P

15° 130°

x

En el D PQF (Por ángulo exterior) a + 2x = a + 70° x = 35°

180°

Por propiedad: 180° – x + 15° = 130° x = 65° Piden: C(65°) = 90° – 65° = 25°

Clave:

d

Clave:

b

8. 58° Clave:

c

2x x

5. Por propiedad se cumple:

x

Por ángulo semi-inscrito

a+m+x=b+n a + a + 40° + x = a + 20° + a + 60° 2a + 40° + x = 2a + 80° x = 40°

2x = 58° 2 x = 58° Clave:

Matemática II

d

7.

4.

108

P

b

9. A

B 30° 60°

Pág. 178

75°

75° 60° P x

1. A

60° 30°

30°

M

D

C

D

Del gráfico: x + 60° + 75° = 180° x = 45°

2a

a 6 a 3

Clave:

c

B

60°

45° a 3

C

a

Del gráfico:

10. a

A

DC = 2a BD a 6

B

DC = 6 BD 3

a

Clave: a

D

2a

a

3a Mediana = a + 2a = 2 2 altura a Piden: = = 2 3a mediana 3 2

45°

a

C

2. C α

Clave:

d D β

11. Por dato: 70°

20°

2

360 = 6 180(n – 2) n n 360 · 360 = 6 · 180(n – 2) n n2 120 =n–2 n

A

150°

E

B

En el DADE 20° + b = 70° → b = 50° En el DACB 150° + 20° + a = 180° a = 10°

n = 12 Luego, el polígono tiene 12 lados Clave:

Clave:

d

Matemática II

e 109

3.

4. A

3

1

x

F

10

x2 + 9

x+1

D

B

3

P

C

A



x.3 2 9.3 = 2 27 = 2

=

Clave:

110

Matemática II

6 2a

E Q C

Como AD = DB y DE // AC; entonces, por el teorema de la base media en el triángulo ABC se cumple: DE = AC = a 2 Por dato tenemos que P y Q son puntos medios de las diagonales AE y CD del trapecio, además, PQ = 6 Entonces por teorema se cumple: 6 = 2a – a 2

Piden: FBC

a

D

En el DFC, por Pitágoras (x + 1)2 = ( 10)2 + ( x2 + 9)2 x2 + 2x + 1 = 10 + x2 + 9 2x = 18 x=9

A

B

d

a = 12 Piden: AC = 2a AC = 24

Clave:

d

7

U N I D A D

16x = 162 x = 16

Pág. 184

1. n = 5 2p = 5(8) = 40 Clave:

Clave:

a

Clave:

a

Clave:

e

Clave:

c

8. R = 3 . 24 = 18 4 Acc = p(242 – 182) = 252p Clave:

b

9.

3. 2p = 48 4L = 48 → L = 12 A = 122 = 144

120°

Clave:

15cm

e

2

Asc = 4. h = 2 . 36 = 24 3 36 . 24 = 432 A= 2 Clave:

d

5. A = 36 3 L2 3 = 36 3 → L = 12 4 Piden: 2p = 3(12) = 36 Clave:

a

6. 2p = 2(2a) + 2(5a) 126 = 14a → a = 9 Piden: A = (18)(45) = 810 Clave:

18 + 14 · x = 162 2

e

a

2. n = 8 2p = 8(3,6) = 28,8

7.

Clave:

p · 15 · 120° = 75p 360°

10. A = 169p pr2 = 169p → r = 13 Piden: L = 2p(13) = 26p

11. 2p = 96 2(x + 4) + 2(3x + 4) = 96 2x + 8 + 6x + 8 = 96 8x = 80 → x = 10 Piden: A = (10 + 4)(3 . 10 + 4) A = 476

b 12. h = 4k B = 5k A = 90 Matemática II

111

Luego: (4k)(5k) = 90 → 10k2 = 90 2 k=3 Piden: h = 4(3) = 12

17. 2A = 8 3 A =4 3 A = 6(4 3 ) = 24 3

Clave: 13.

25

Clave:

b

18. ARS = A – 2(A ) ARS = 24 · 12 – 2(p · 62) = 288 – 72p = 72(4 – p)

x

Clave:

e 19.

14. ARS = A – A

2 ARS = p · 82 – 16 2 ARS = 64p – 128 ARS = 64(p – 2)

c

a

15

Por Pitágoras: 252 = x2 + 152 625 = x2 + 225 → x = 20 Piden: A = 30 . 40 = 600 2

Clave:

B 45° 53°

35 = 5k → k = 7

21

Clave:

d

A

45°

37° 21

28

C

AABC = 49 · 21 = 514,5 2

15. A = (mediana): h A = 38 · 14 = 532 Clave:

e

Clave:

d

Clave:

c

16. L

r

20.

4 A

A Clave:

Matemática II

C 4

2p = 48 4L = 48 L = 12 →r=6 Piden: A = p · 62 = 36p

112

B

b

D

= 8 · 4 = 32

21.

B

12

6. Simetría central

C

12 2

A

ARS = A – A 2 p(6 2 )2 12 · 12 = – 2 2 = 36p – 72 = 36(p – 2)

D

Clave:

e

Clave:

d

Clave:

c

Clave:

a

7. R(0; 90°)

8. A(–3; 7) → A'(–3; –7) Clave:

c 9. B(–5; –9) → B’ (5; –9)

Pág. 188

10.

y

→

→ 1. T (5; 2 )

5

Clave:

d

B´(–5; 3)

2. Reflexión

–5

Clave:

B(3, 5) 3

0

x

3

b Clave:

3. A(–2; 6)

T(3; 4)

d

11.

A'(1; 10) Clave:

y 6

c

4 3 4. T1(–2; 4) T2(–1; –2) T = T1 o T2 = (–3; 2)

A'(–4; 1)

Clave:

b

1

–4 D'(–4; –2)

A B D C 2 4 B'(0, –1)

6

x

C(–2; –4) Piden: –4 + 0 – 2 – 4 = –10

→ 5. V(6; 1↑) = V(6; 1) Clave:

Clave:

d Matemática II

e 113

12.

IV. 0 + 2 = 2 5 + 6 = 11

A(2; 5)

Clave:

d

Clave:

d

V. (–5)(–3)(1)(4)(–4) = –240 B(6; 1)

–90° O –90°

16.

A'(5, –2)

A B

(3; –4) C

B(1; –6)

P

Piden: 3 + (–4) = –1 Clave:

13. C(2; 6)

C'(–4; –3)

d

B'(–6; –5)

v(–7; 3)

C' (–5; 3) Clave:

A'(–2; –7)

c I. (–2) + (–7) = –9

14. A(–5; 3) u(4; –3) A’(–1; 0) B(–3; 1) u(4; –3) B’(1; –2) C(1; 7) u(4; –3) C’(5; 4) Piden: –2 – 4 + 2 = –4

V(–7; –2) V(–7; –2) V(–7; –2)

A’’ (–8; –2) B’’ (–6; –4) C’’(–2; 2)

Clave: 15. A(–3; 4) u(3; 7) B(–1; 7) u(3; 7) C(3; 5) u(3; 7) D(6; 1) u(3; 7) E(–2; 2) u(3; 7)

A’(0; 11) B’(2; 14) C’(6; 12) D’(9; 8) E’(1; 9)

I. 0 – 5 = –5 II. –3 + 11 = 8 III. 12 + 4 = 16

114

Matemática II

V(–5; –3) V(–5; –3) V(5; –3) V(–5; –3) V(–5; 3)

Clave:

b

Clave:

b

Clave:

c

II. (–5) – (–3) = –2 III. (–2) + (–6) + (–4) = –12

a

A’’(–5; 8) B’’(–3; 11) C’’(1; 9) D’’(4; 5) E’’(–4; 6)

Pág. 193

1. V F V F

Clave:

e

Clave:

e

Clave:

a

Clave:

c

Clave:

b

2. F V V V

3. Es el teorema de las 3 perpendiculares

9. 53°

Clave:

e

5k = 15 → k = 3

3k = 9 37° 4k = 12

AD = 12 . 9 = 54 2

4. Dos planos paralelos Clave:

Clave:

b

Clave:

a

Clave:

a

Clave:

d

c 10. 3x – 2 = x + 3 2 6 3x – 2 = 2x + 6 x=8 AC = 3(8) – 2 + 12 = 34

5. 82 = 42 + BC2 64 = 16 + BC2 BC = 48 BC = 4 3 Clave:

a 11. A

20

12 C

6. 2x + 3x + 65° = 180° 5x = 115° x = 23°

B

x

25

Clave:

25

e En el ABC, por Pitágoras: 202 = 122 + x2 400 = 144 + x2 x2 = 256 → x = 16

7. 182 = x2 + (9 3 )2 324 = x2 + 243 x2 = 81 x=9 Clave:

e

12.

B x

A

8. 3x + 17° = 48° – 2x 5x = 65° x = 13° Clave:

b

15

8

x2 = 152 + 82 x2 = 225 + 64 x = 17

Matemática II

115

13.

A

Pág. 197 25

24

1. V F V

O

B

r

Por Pitágoras: 252 = 242 + r2 615 = 576 + r2 r=7

Clave:

A 41

L1

F

30°

H

b

Clave:

e

a

16. H

Clave:

e

En el HBM, por Pitágoras: x2 = (2 2 )2 + ( 2)2 x = 10

A x 2 2

M

Matemática II

2

C

Clave:

d

5. 4x – 12° + 2x + 48 = 180° 6x = 144° x = 24°

36

Clave:

116

Clave: b

En el MHF, por notable (37° y 53°) x = 5(6) x = 30

36

18

2

d

4. 2x + 3x – 15° = 90° 5x = 105° x = 21°

M

B

Clave: L2

Clave:

2 2

c

3. 4x + 34° = 90° 4x = 56° x = 14°

Por Pitágoras: 412 = 92 + x2 1681 = 81 + x2 x2 = 1600 x = 40

37°

Clave: b

9 x

B

x

c

2. F V F V

14.

15.

Clave:

Clave:

b

6. Por triedro equilátero se cumple: x2 + 9 = 58 x=7

7. 6x – 25° = 4x + 43° 2x = 68° x = 34°

8.

6.

D

d 9

A



B x 3 3 6

a

3 H 6 3 C

Por dato: d = 10 3 a 3 = 10 3 a = 10 Piden: AL = 4a2 = 4(10)2 = 400

En el ABC, trazamos la altura AH, luego HC = 3 → AH = 3 3 En el DAH, notable de 30° y 60° → x = 60° Clave:

b

Pág. 202

Clave:

b

Clave:

e

Clave:

e

d

2. A = 18 C=9 Sabemos que: C+V=A+2 9 + V = 18 + 2 V = 11

8.

4 7 9

Clave:

V = 9 · 7 · 4 = 252

b

3. C = 4 V=4

9. Clave:

4.

a

7. AT = 2(6 · 10 + 6 · 15 + 10 · 15) AT = 600

1. V F F V Clave:

Clave:

d

a=3 3 AT = (3 3 )2 3 = 27 3 Clave:

c

(3 2 )3 2 3 27 2 3 2 V= 3

10. Sea “a” la longitud de la arista del tetraedro, por dato:

5. V =

AT = 150 6a2 = 150 a=5 Piden: V = 53 = 125

6a = 72 → a = 12 Piden: 12 6 3 =4 6

h=

V = 36 Clave:

d

Clave: Matemática II

b 117

11. d = a 3 = 6 a= 2 3

15. V = 192 3 ... (I) 42 3 AB = 6 = 24 3 4

Piden: AT = 6(2 3 )2 = 72

Reemplazamos en (I): Clave:

b

(24 3 )h = 192 3 3 h = 24

Clave:

d

12. 16. Sea "a" la longitud de la arista del octaedro, por dato: 12a = 36 3 a=3 3 Piden: AT = 2 3 (3 3 )2 AT = 54 3 Clave: d

3k

d 4k 8k

Por dato: d = 2 89 → (8k)2 + (9k)2 + (3k)2 = (2 89)2 64k2 + 16k2 + 9k2 = 4(89) 89k2 = 4(89) k=2 Piden: V = (16)(8)(6) = 768

17. 37°

Clave:

5k = 30 k=6

d

4(6) = 24 = h

53°

13.

3(6) = 18

6

36 = 648 2 648 · 24 V= = 5184 3

AB =

60° 6 2 6

6 2

6

60°

6 60°

6 2

2

Clave:

a

6

6

18.

Luego, el ángulo formado mide 60°

3k

d

Clave:

a

6k 9k

Por dato: d = 3 14 (9k)2 + (6k)2 + (3k)2 = (3 14 )2 81k2 + 36k2 + 9k2 = 9(14) 126k2 = 126 → k = 1 Piden: AT = 2(9 · 6 + 9 · 3 + 6 · 3) = 198 V = 9 · 6 · 3 = 162

14. AT = 188 2(6x + 4x + 64) = 188 10x + 24 = 94 x=7 Piden: V = (7)(6)(4) = 168 Clave: 118

Matemática II

e

Clave:

a

19.

22. 4k

3k

L2

L1

5k

Por dato: 3k + 4k + 5k = 60 12k = 60 k=5 Además: H = 3k + 4k = 7k = 7(5) = 35 Piden: AL = (3 · 5 + 4 · 5 + 5 · 5) · 35 AL = 2 100 Luego: 15 · 20 AT = 2 100 + 2 4 AT = 2 400

60° a 2 a a 2 a

Luego, el ángulo formado por L1 y L2 mide 60° Clave:

Solución de problemas

c

Pág. 204

1. A = (2,50)(1,80) A = 4,50 Clave:

e 2. r = 24 LO = 2p(24) = 48p AO = p(24)2 = 576p

20. V = 288 (4x)2 · 2x = 288 3 3 x = 27 x=3

6

a 2

Clave:

d

Clave:

c

Clave:

c

Clave:

a

3. 2p = 16 2 4L = 16 2 → L = 4 2 Piden: A = (4 2 )2 = 32

ap

6

Por Pitágoras: ap2 = 62 + 62 ap2 = 72 ap = 6 2

4.

Clave:

3k

c

21. D + d = 8( 3 + 2 ) a 3 + a 2 = 8( 3 + 2 ) a( 3 + 2 ) = 8( 3 + 2 ) a=8 Piden: AT = 6(8)2 = 384 Clave:

4k

Por dato: 2p = 70 2(4k) + 2(3k) = 70 k=5 Piden: A = (4 · 5)(3 · 5) A = 300

d Matemática II

119

5. 2p = 36 3L = 36 → L = 12 Piden: 122 3 AD = 4 = 36 3

10. 8,1 12,16

Clave:

e

6. V = (36)(26)(12) V = 11 856 Clave:

Piden: 402 · 60 V= 3 V = 32 000 b

Clave:

e

Clave:

c

Clave:

d

(4 3 )2 3 4

A = 72 3 AD =

8. Por dato: 3x – 18° = 126° 3x = 144° x = 48° Piden: Sx = S48° = 180° – 48° = 132°

(6 2 )2 3 4

AD = 18 3 Piden: A 72 3 AD = 18 3 = 4

Clave:

a 13. AT = 642 2(7k · 5k + 7k · 6k + 6k · 5k) = 642 107k2 = 321 k2 = 3 → k = 3 Piden: V = (7 3 )(5 3 )(6 3 ) V = 630 3

9. AT = 152 (2 · 8 + 2 · 2)x + 2(2 · 8) = 152 20x + 32 = 152 x=6 Piden: V=2·8·6 = 96 Clave:

Matemática II

b

11. a = 3 33 2 V= =9 2 3

12. A = 6 Clave:

Clave: d

7. Sea "a" la longitud del lado de la base de la pirámide, por dato: 4a = 160 → a = 40 ; h = 60

120

ACC = p(12,162 – 8,12) ACC = 3,14 (147,8456 – 65,61) ACC = 258,28

a

Pág. 207

7.

1. A = 81 L2 = 81 → L = 9 Piden: 2p = 4(9) = 36 Clave:

AL = 236 4a2 = 256 a=8 Piden: d=a 3 d=8 3

Clave:

d

Clave:

b

Clave:

a

Clave:

a

Clave:

a

d 8.

2. A = 108 (4a)(3a) = 108 a=3 Piden: 2p = 2(12) + 2(9) = 42

3. A(5; –7)

T(–4; 3)

ASC =

Clave:

b

Clave:

d

A'(1; –4)

4. 132 = x2 + 122 169 = x2 + 144 x2 = 25 → x = 5

p · 122 · 150° = 60p 360°

9. Se cumple: 5q – 12° = q + 56° 4q = 68° q = 17° Piden: S17° = 180° – 17° = 163°

8 2

10. Ac.c. = p Clave:

c

2

Ac.c. = 16p

11.

5. 3q + 17° + 2q + 38° = 180° 5q = 125° q = 25°

20 12

Clave:

e

x 12

6. a = 6 2 Piden:

Por Pitágoras: 202 = 122 + x2 → x = 16 Piden: 32 · 24 A = = 384 2

(6 2 )3 . 2 12 V = 72 V=

Clave:

a Matemática II

121

3.

12. ARS = AD – 3(ASC) p · 62 · 60° 122 3 ARS = –3 360° 4 3 ARS = 36 – 18p ARS = 18 (2 3 – p)

B

Clave:

a

d

a

Pág. 208 a A

1.

B

R

O

R

P

a

En el APB, por Pitágoras: (2a)2 + (3a)2 = (2 65)2 13a2 = 4(65) a2 = 20 Piden: Acruz = 6a2 = 6(20) = 120

r

A

a

C

Por dato: A = 50p

Clave: 4.

pR2 = 50p → R = 10 2 Además: AB + BC = 28 ...(I) Por el teorema de Poncelet AB + BC = AC + 2r Reemplazamos en (I) AC + 2r = 28 20 + 2r = 28 r=4 Piden: AO = p(4)2 = 16p

B

A

Matemática II

C

D

H a 3

a

2

G

F a

a 2 E

Clave:

d

Clave:

b

2. d = a 2 Piden: d a 2 = = 2 a a

122

a

a

H

En el AEG, por relaciones métricas: a(a 2 ) = (a 3 ) 2 a=3 Piden: AG = a 3 = 3 · 3 = 9 Clave:

e

8

U N I D A D

Pág. 215

1. AL = 2prg AL = 2p(4)(11) AL = 88p

Clave:

6. 152 = h2 + 92 → h = 12 p 2 V= . 9 . 12 3 V = 324p

Clave:

e

Clave:

b

Clave:

b

Clave:

e

Clave:

e

d 7.

2. g = h = 20 AL = 240p AL = 2prg 240p = 2pr . 20 6=r V = pr2h V = p(6)2(20) V = 720p

13

h 5 2

2

2

13 = h + 5 12 = h p 2 V= . 5 . 12 3 V = 100p Clave:

a

3. r = 2; g = 6 AL = 2prg AL = 2p(2)(6) AL = 24p

8. ASE = 4p(4)2 ASE = 64p

Clave:

e 9. D = 6 2r = 6 → 4 V = p(3)3 3 V = 36p

4. AL = 24p 2prg = 24p 2p(x)(4) = 24p x=3 Clave:

r=3

b

10. AL = 140p r=7 140p = 2p(7)g g = 10

5. AL = prg AL = p(9)(15) AL = 135p Clave:

a Matemática II

123

14. AT = 81p g = 2r AT = pr(g + r) 81p = pr(2r + r) 81p = p(3r2) 27 = r2 → AO = 27p

11. AL = 88p  AT = 120p 2prg = 88π  2pr(g + r) = 120p rg = 44 ...(I)  r(g + r) = 60 ...(II) De (II): rg + r2 = 60 44 + r2 = 60 r2 = 16 r=4 g = 11 V = p(4)2(11) V = 176p b

Clave:

c

Clave:

c

Clave:

e

16. ASL = A1 2pR2 = A1 Abase = A2 pR2 = A2 A1 2pR2 = =2 A2 pR2

12. g = r = 4 AL = 2prg AL = 2p(4)(4) AL = 32p Clave:

a

13.

17. AO = pR2 9p = pR2 R=3 4 V = pR3 3 4 V = p(3)3 → V = 36p 3

30° 2k

60° k

AL = 18p g = x = 2k AL = prg 18p = p(k)(2k) 18 = 2k2 9 = k2 3=k x = 2(3) = 6

18.

10

3k

4k

Clave: Matemática II

e

15. A = 2pR2 + pR2 = 3pR2 Clave:

124

Clave:

e

(4k)2 + (3k)2 = 102 16k2 + 9k2 = 100 25k2 = 100 k =2 r = 4(2) = 8 g = h = 3(2) = 6 v = p . (8)2(6) → V = 384p

21. Vesfera = 2(AS.E.) 4 3 pR = 2(4pR2) 3 R = 6

Clave:

c

e

Clave:

a

22. Vcilindro = p(6)2 . (12) = 432p Vesfera = 4p(6)3 = 288p Vcilindro – Vesfera = 432p – 288p = 144p

19.

a

Pág. 220 2r

a

1. 3x + 90°– (2x – 7°) + 90° = 360° 3x – 2x + 7 + 180° = 360° x + 7 = 180° x = 173°

a

D=6 3 a 3 = 6 3 a=6 2r = 6 → r = 3 V = p(3)2(6) → V = 54p Clave:

20.

Clave:

d

prg AL 2 =2→ = pr(g + r) AT 3 3g = 2g + 2r → g = 2r ...(I)

2.

Clave:

c

Clave:

e

–(9°– 2x) + x + 3° = 180° –9° + 2x + x + 3° = 180° 3x – 6° = 180° 3x = 186° x = 62°

g2 = h2 + r2 (2r)2 = h2 + r2

3. Todos los ángulos se expresan en sentido antihorario (+):

h=r 3 Luego:

–q

V = 9p 3 p 2 . r . r 3 = 9p 3 3

–a – (–q)

–a

b

r3 = 27 Planteamos la ecuación: –a –(–q) + b = 180° –a + q + b = 180°

r=3 Diámetro = 2(3) = 6 Clave:

c

Clave: Matemática II

d 125

10. a = 360° + 60°; b = 1440° + 100°; q = 1080° + 280° a  60°; b  100°; q  280°

4. –(4° – 3x) = 20° –4° + 3x = 20° 3x = 24° x = 8°

b Clave:

b

q

5. 5x – 3 = –(9 – 6x) 5x – 3 = –9 + 6x 6=x

a

"Ninguno es coterminal" Clave:

Clave:

e

c 11. a = –3547°, b = 233°, q = –773° a = –3600° + 53°, b = 233°, q = –720° – 53°

6. 4x – (–4x) + 120° = 360° 8x = 240° x = 30°

b Clave:

a

53  a 53  q

"Ninguno es coterminal" 7. –(3 – 7x) + 4x – 6 = 90 –3 + 7x + 4x – 6 = 90 11x = 99 x=9

Clave:

e

Clave:

c

Clave:

b

12. –(20 – x)

Clave:

c

Clave:

c

9. –(–20°) + 5x – (10° – 3x) = 90° 20° + 5x – 10° + 3x = 90° 8x = 80° x = 10° Clave: Matemática II

2x

–(20 – x) – (20 – x) + 2x = 180 –20 +x – 20 + x + 2x = 180 4x – 40 = 180 4x = 220 x = 55

8. –36° + 45° – x –(–30°) = 90° 9° – x + 30° = 90° –x = 51° x = –51°

126

–(20 – x)

e

13. –b + a + 90° + x + 90° = 360° –b + a + x = 180° x = 180° + β – α Suplemento: a – b  Sx = a – b

14. –3x + 2q = 90°, pero: q = 2x –3x + 2(2x) = 90° –3x + 4x = 90° x = 90° E = 2q – x E = 4x – x E = 3x = 270°

18. x

–f – 90°

Clave:

b

15. Se completa la gráfica:

x – f – 90° = 360° x = f + 450°

19.

L1

Clave:

b

Clave:

a

Clave:

d

–(40° – x)

180° – x

b

a

x

–(50° – 2x) L2

-40° + x – 50 + 2x = 180° 3x = 270° → x = 90°

b + 180° – x – a = 180° b–a=x Clave:

c

20. L1

b + 15° b + 15°

L2

b + 60

16. –b = –a + x + q –b + a – q = x Clave:

c

17. –(5y – 2x) + 4x + 5y = 180° –5y + 2x + 4x + 5y = 180° 6x = 180° x = 30° Clave:

c

–x

b + 60° = b + 15° – x x = –45°

21. Sean "a" y "b" ángulos coterminales. (a > b) a – b = 360°n (+) a + b = 540° 2a = 360°n + 540° a = 180°n + 270° Matemática II

127

500° < a < 800° 500° < 180°n + 270° < 800° 230° < 180°n < 530° n=2 Luego: a = 180°(2) + 270° a = 630° b = 540° – 630° = –90°

4. 36° ×

5. Clave:

6. 60g ×

7.

c

10g = 80g 9°

2. 120g ×

9° = 108° 10g

Clave:

Clave:

c

a

b

Clave:

c

Clave:

a

Clave:

d

Clave:

b

Clave:

d

Clave:

c

p rad 3p = rad 200g 10

p 200g rad × = 5g 40 p rad

8. a = 2° 4‘ 10” 2° = 7200” 4‘ = 240” 7200” + 240” + 10” = 7450”

Pág. 224

1. 72° ×

Clave:

p 180° rad × = 60° 3 p rad

e

22. Sean los ángulos coterminales: a = 13k b = 7k q = k (q < 90°) a - b = 360°n 13k – 7k = 360°n 6k = 360°n → k = 60°n Como q es agudo (q < 90°), entonces: q = 60°n (n = 1) q = 60° Luego: a = 13(60°) = 780° Clave:

prad p = rad 180° 5

4°40‘ entonces 4° = 240‘ 7´ 240´ + 40´ 280´ P= = = 40 7´ 7´

9. P =

p rad + 50g 4 p 180° 9° A= rad × + 50g × g 4 prad 10

10. A =

3. 20° ×

128

prad p = rad 180° 9

Matemática II

Clave:

d

A = 45° + 45° → A = 90°

250m 336´ 360° + – 6´ 180° 10m P = 25 + 56 – 2 P = 79

11.

16. P =

x

70g

9° = 63° 10g 63° + x = 90° x = 27°

Clave:

d

Clave:

d

Clave:

e

Clave:

d

70g ×

17. Clave:

c

12. C = 10k ; S = 9k 5(10k) + 2(9k) N= 10k – 9k 50k + 18k 68k N= = = 68 k k Clave:

pk 13. C = 10k ; S = 9k, R = 20 C–S=4 10k – 9k = 4 → k = 4 p.4 p R= →R= 20 5

Clave:

c

e

14. 4(9k) – 3(10k) = 30 36k – 30k = 30 → k = 5 C = 10(5) → C = 50g

15. M =

18. (x + 24)° < > (x + 60)g 9° 9x + 540 ° (x + 60)g · g = 10 10 Entonces: 9x + 540 x + 24 = 10 10x + 240 = 9x + 540 x = 300

19.

Clave:

3p 180° rad × = 60° 9 p rad 1g 200m × = 2g 100m 60° + 48° 180° A= g = 2 + 8g 10g 108° A= → A = 12 9°

c

4p rad < > abg 25 4p 200g ⇒ rad × = 32g prad 25 a+b 3+2 R= = =5 a–b 3–2

3(10k) + 9k + 10 10k – 9k

M = 39 + 10 M = 49 = 7

20. Clave:

c

10k 9k – 3 = 4 3 30k = 36k – 12 Matemática II

129

12 = 6k → k = 2 p.2 p R= = 20 10

25. pa rad 10

Clave:

e 80ag 3

pk 21. S = 9k, C = 10k, R = 20 3(10k) – 2(9k) 6 pk = 2(9k) – 10k 5p 20 12k 3k = → k = 25 8k 50 p(25) 5p R= = 20 4

22.

Clave:

e

p 180° rad × = 5° 36 p rad 9° 60g × g = 54° 10 x° + 5° + 54° = 180° x = 121 Clave:

23.

e

7p rad a°b´c´´ 64 7p 180° rad × = 19,6875° 64 p rad 19,6875° = 19°41´15´´ = a°b´c´´ a + b 19 + 41 60 = = =4 c 15 15 Clave:

24. bg = bg ×

c

9° 9b° = 10g 10

b

Clave:

a

Clave:

c

26. S = 180k C = 200k R = pk 180k + 2(200k) + 4(pk) = 145 + p 580k + 4pk = 145 + p 4k(145 + p) = 145 + p 1 k= 4 1 p R=p = rad 4 4

27. C = 10k, S = 9k 10k 17 17 =n+ →k=n+ 10 p p 9k 7 14 =n+ →k=n+ 18 p p (I) = (II): 17 14 n+ = 2n + p p 17 14 3 – =n→n= p p p

...(I) ...(II)

6 14 20 180 + =9 = p p p p 180 prad × = 1 rad p 180

10a – 9b = 1800 Clave: Matemática II

Clave:

S=9

9b° a° – = 180° 10

130

p 180° arad . = 6a° 30 prad 80 g 9° a . g = 24a° 3 10 6a° + 24a° = 90° 30a° = 90° a=3 Mayor ángulo agudo es: 24(3)° = 72°

d

Pág. 230

4. x

1.

1

q 2

3 5

3

2

3

2

x =3 +1 x = 10

a

1 3 A=3+2=5 A=3+6

x Por teorema de Pitágoras: (3 5 )2 = 32 + x2 45 = 9 + x2 36 = x2 → x = 6 3 1 tg a = = 6 2

Clave:

e

Clave:

a

5. Clave:

e a

q

2.

3

a2 = 7 2 + 32 a2 = 16 a=4 3 4 M=8 +6 4 3 M = 6 + 8 → M = 14

17 a

a

1

7

17 2 = a2 + 12 16 = a2 4=a A = ( 17 )2 + 4 A = 21 Clave:

b 6.

3.

6 4

5

a 1

q

q

Aplicamos el teorema de Pitágoras. ( 5 )2 = a2 + 12 → 2 = a luego: 2ctgq + 3tgq = 1 2 2 +3 =1+6=7 2 1

12

4 6

18

Completamos la figura reconociendo al triángulo rectángulo. Entonces: 4 1 tg q = = 12 3 Clave:

b

Clave: Matemática II

b 131

7.

10. 2x + 10° + 3x + 40° = 90° 5x = 40° → x = 8° 3y – 18° = y + 12° 2y = 30° → y = 15° Luego: x + y = 8° + 15° = 23°

5 1

q

a

Completamos la figura y aplicamos el teorema de Pitágoras. 52 = 12 + a2 24 = a 2 6 =a Luego: 6 . ctgq = 6 . (2 6 ) = 12 Clave:

Clave:

b

Clave:

e

Clave:

c

Clave:

d

5 + 3( 3) + 2( 2) 4 A=5+3+2 A = 10

11. A = 4

b

8. 1 12. sen (2q – 70°) = 2 sen (2q – 70°) = sen 30° 2q – 70° = 30° 2q = 100° q = 50°

a 15

q

12

Aplicamos el teorema de Pitágoras: a2 = 52 + 122 a = 13 Luego: R = sen q + cos q 5 12 R= + 13 13 17 R= 13

13. C b

A

Clave:

d

Clave:

Matemática II

c=9

B

Aplicamos el teorema de Pitágoras: b2 = 92 + 42 b = 97 Luego: 4 97 cos C = 97 97 = 4

9. Por R.T. recíprocas: 5x – 13° = 2x + 35° 3x = 48° x = 16°

132

q

4=a

e

14.

Luego: a + b = 20°

3 1

q

b

Clave:

b

a

1 sec y sen 2x = cos y 2x + y = 90° Luego: 90° 90° M = csc2 + csc2 3 2 2 2 M = csc 30° + csc 45° M = 22 + 2 2 = 4 + 2 = 6

18. sen 2x =

3 1 = 9 3 Por Pitágoras: 32 = a2 + 12 2 2 =a Piden: secθ + tgθ 3 + 1 2 2 2 2 sen q =

4 = 2 2

Clave:

2 Clave:

c 19. a

15. Las razones ya están expresadas en las gráficas. Piden: 2sen q + 2cos b =2

m

a 5

4 8 +2 12 12

"Completamos el cateto faltante" Planteamos la tangente para "a" para calcular el valor de "m". 4 m tg a = = m 9 2 36 = m 6=m Luego: 4 2 tg a = = 6 3

=2 Clave:

a

16. x + 10° + 2x + 20° = 90° 3x = 60° → x = 20° y + 10° + 3y + 40° = 90° 4y = 40° → y = 10° Luego: x + y = 20° + 10° = 30°

Clave: Clave:

17. Por propiedad: 3a + 20° = 50°  4b = 40° 3a = 30° b = 10° a = 10°

4

d

20.

b

5

8

4k

q

3k

5 x

Matemática II

133

Usamos el dato: 4 tg q = 3 4k = 8 → k = 2 Entonces: x=6+5 x = 11

4

q

3

7 7 7 . = 12 4 3

sen q . tg q = Clave:

7

c Clave:

e

21. a

5

Pág. 235

x 8

q

82 = 52 + x2 64 = 25 + x2 x = 39 5 R = 16 8 – 39 R = 10 – 5 = 5

5

1.

x

7m

a 24 m

5 39

7 Del gráfico: tg a = 24 → a = 16° Clave:

d

2 2 + ctg (10 – x)° . tg (10 – x)° 1 sen 40° . csc 40° – 2 2+1 3 A= = 1 1 1– 2 2 A=6

134

Matemática II

Clave:

c

6m

30°

60°

Clave:

3sec 20° + sec 20° 3sec 20° 4sec 20° 4 sec q = 3sec 20° = 3

a

2.

22. A =

23. sec q =

Clave:

d

d

d Se observa del gráfico: cos 60° = 6 1 d = 2 6 d=3

3.

6.

60° 100 m

h

60°

37°

d

20 m

100 Se observa del gráfico: tg 60° = d 100 3 = d 100 3 d= 3

h Del gráfico: tg 37° = 20 3 h = 4 20 h = 15 Clave:

a

Clave:

c

Clave:

b

Clave:

e

7.

4.

d 48 m A

53

30° 30 m

d

30 Se observa: cos 30° = d 30 3 = d 2 d = 20 3

48 Se observa del gráfico: tg 53° = d 4 48 3 = d d = 36 Clave:

a

8.

5.

30°

q

H

77 m 30° 264 m

24 m

q Del gráfico H tg 30° = 7 H 1 = 7 3 7 3 H= 3

77 Del gráfico: tg q = 264 7 tg q = 24 → q = 16° Clave:

b Matemática II

135

9.

12.

53°

4k = 8

60

53°

H 53

3k = 6 k=2

15

d

6

Del gráfico: H = 8 + 1,5 H = 9,5

Clave:

Del gráfico: 60 tg 53° = d 4 60 3 = d d = 45

b

10.

Clave:

d

Clave:

a

13. 53° H

h = 3k

4 km 53°

37°

45°

5m

h = 3k

Del gráfico: H sen 53° = 4 4 H 5 = 4 H = 3,2

4k

Del gráfico: 5 + h = 4k 5 + 3k = 4k k=5 Luego: h = 3(5) h = 15 Clave:

c 14.

11.

h 3k =

37° 1,8

7,2

30°

H

40 m

4k = 9,6 k = 2,4 9,6

Del gráfico: H = 1,8 + 7,2 H = 9,0 Clave: 136

Matemática II

b

Del gráfico: h tg 60° = x h 3 = x h = x 3 ...(I)

60° x

Luego:

Del gráfico: 12 tg 37° = d + 9 3 12 4 = d+9

h tg 30° = 40 + x 1 h = 40 + x 3 4+x=h 3 40 + x = (x 3 )( 3 ) 40 + x = 3x x = 20 Reemplazamos en (I) h = 20 3

3d + 27 = 48 3d = 21 d=7

Clave:

c

Clave:

c

Clave:

c

17. L

15.

37° 5m

53° 3m

3k = 9

4n

53° 37°

53°

37°

12 = 4k k=3

20 4m

3n

Del gráfico: L+9 tg 53° = 12 4 L+9 3 = 12

Del gráfico: 3m = 4n 4n m= 3 Luego: 4m + 3n = 20 4n 4 3 + 3n = 20 16n + 9n = 60 25n = 60 12 16 n= 5 m= 5 28 Suma de visuales: 5(n+m) = 5 5 = 28 Clave:

48 = 3L + 27 2L = 21 L=7

18. d

37° k=6 53° 3k = 18

16. 37°

53° 12 = 4k → k = 3

37° d

53° 3k

53°

4k = 24

B

37° d

A

Del gráfico: 24 tg 37° = 18 + d 3 24 4 = 18 + d 18 + d = 32 → d = 14

Clave:

9 Matemática II

b 137

19.

22. H = 3k = 15 H

q

37°

20 = 4k 30°

H = 15

60°

40 m

15 tg q = 5 = 3

A

Del gráfico: H tg 60° = A H 3 = A

Clave:

H 60° x

Clave: 20.

c

H–h

θ

H

h d

Se observa: ctgq =

d → d = (H – h) ctg q H–h Clave: b

21.

d

H

2q d

sen 2q =

138

Matemática II

H Se observa: tg 60° = x H 3 = x H = x 3 ...(I) Luego: H tg 30° = x + 20 3 1 H = 3 x + 20 3 x + 20 3 = H 3 De (I) x + 20 3 = (x 3 ) 3 x + 20 3 = 3x 20 3 = 2x x = 10 3 H = 30

Solución de problemas

q

H d H = d sen2q

c

23.

H = A 3 ...(I) H Luego: tg30° = 40 + A H 1 = 40 + A 3 40 + A = H 3 De (I) 40 + A = (A 3 ) 3 40 + A = 3A A = 20

q

5

Clave:

d

1. r = 5 cm g = 8 cm AT = 2p r (g + r) AT = 2p(5) (8 + 5) AT = 130p

30° 20 3

Clave:

a

Pág. 237

Clave:

a

2. d = 14 m g2 = h2 + r2 r = 7 m 252 = h2 + 72 g = 25 m h = 24 1 2 V = pr h 3 1 V = p(7)2(24) 3 V = 392p Clave:

6. –(4° – 3x) + 20° = 5x –4° + 3x + 20° = 5x 16 = 2x 8° = x Clave:

b

Clave:

e

Clave:

a

Clave:

a

e p 7. A + B = 70° y A – B = rad 10 p 180° A–B= rad × 10 prad A – B = 18° Entonces: A + B = 70° (+) A – B = 18° 2A = 88° A = 44° B = 26

3. AL = 81p 2 g = 2k r=k AL = prg 81p 2 = p(k)( 2 k) 81 = k2 9=k→h=9 Clave:

b p 8. M = 50g + rad – 5° 18 9° 50g × g = 45° 10 p rad × 180° = 10° 18 prad

4. D = 10 cm R = 5 cm 4 V = 3 pr3 4 V = 3 p(5)3 500p V= 3

Luego: M = 45° + 10° – 5° M = 50° Clave:

e

5.

9. 180° – (–b)

+q 180° – (–a) 3k

Del gráfico: 180° + b + q + 180° + a = 180° 180° = –(b + q + a) 180° = –b – q – a

q

37° 2k

2k

3k 3 tg q = 2k = 2 = 1,5 Clave:

e Matemática II

139

10.

12.

avión 37°

5

53°

4k = 2400 k = 600

3

a

q b

53°

a

x

3k = 1800

x

2400 tg 37° = 1800 + x 3 2400 4 = 1800 + x 1800 + x = 3200 x = 1400

sen q = 0,6 3 sen q = 5 ctg a = 2 a ctga = 3  b = 4 a 2= 3 a=6 x=a+b x = 10

Clave:

a

Clave:

d

13. Clave:

e

15° 36

11.

x

30°

15° 36 globo 53°

x sen 30° = 36 1 x = 2 36 x = 18

50

x barco

53°

45° x

14.

50 + x x 4 50 + x = 3 x 4x = 150 + 3x x = 150

tg 53° =

x

Clave: Matemática II

H

53° 1,30

140

37°

e

5,4 5,4

17.

x tg 53° = 5,4 4 x 3 = 5,4 x = 7,2 H = 7,2 + 1,3 = 8,5

4k = x H 37° 1,75

Clave:

b

28

h

a

h

3k

4k tg 37° = 28 + 3k 3 4k 4 = 28 + 3k 84 + 9k = 16k 84 = 7k k = 12 H = 4(12) + 1,75 = 48 + 1,75 = 49,75

74°

h

15.

53°

h

a

h

Clave:

b

74°

x

5h tg 74° = x 24 5h 24 h 7 = x → 35 = x 3h 24 72 tg a = x = 3 35 = 35 tg a = 2,06

18. x H

37° 45°

Clave:

28

28

a

45°

x tg 37° = 28 3 x = 4 28 → x = 21 H = 21 + 28 = 49

punto de observación

16.

28

Clave:

45° x

d

200

Pruebas Nacionales e Internacionales

45° bote

1.

200 sen 45° = x 200 1 = x 2 x = 200 2

Pág. 239

A

13 5

Clave:

b

B

12

1 Matemática II

C

141

a

Clave:

B

3

2

7

C

H

13 2 = BH2 + (2 3 )2 13 = BH2 + 12 BH = 1 (2 7 )2 = 12 + HC2 28 = 1 + HC2 HC = 3 3 Tg a = tg (q + b) tg q + tg b tg a = 1 – tg q . tg b tg a = 2 3 + 3 3 1 – (2 3 )(3 3 ) tg a = 5 3 = – 5 3 1 – 18 17

Q

45°

C

m

a

Pág. 241

a

a c

D

1. AL = 2prg = 20p; AT = 2pr(g + r) = 28p rg = 10  r(g + r) = 14 rg + r2 = 14 Relacionamos resultados: 10 + r2 = 14 r2 = 4 r=2 →g=5=h Luego: V = pr2h V = p(22)(5) V = 20p Clave:

d

3a

a

b b

2. g = 6 m r=5m AT = 2pr(g + r) AT = 2p(5)(11) AT = 110p

C

CD = 3 → CD = 3(DB) DB c 4a ctg a . ctg b = . =4 a c Clave: Matemática II

β–a

n

Clave:

B

A

P

6β 6(75°) = = 30° α 15°

Clave:

3.

m

a + b = 90° ABP ≅ QBC α + 45° = β – α 2α + 45°= β 2α + 45°= 90° – α 3α = 45° α = 15° β = 75° Luego:

13

2

45°

m+n

q b a

A

a β–a

n

b A

2.

142

B

4.

AC2 = 52 + 12 → AC = 26 13 26 AB 13 26 = = = AC 26 2 26

a

Clave:

e

3. AL = 2prg = 6p  V = 3p → rg = 3  pr2h = 3p r2h = 3 Pero h = g → rh = r2h 1=r→g=3 Luego: AT = 2pr(g + r) = 2p(1)(3 + 1) = 8p

–45 + 63x = 10(5x + 2) –45 + 63x = 50x + 20 65 = 13x → x = 5

Clave:

b

4. r = 3 Triplicando el radio para la otra esfera, tenemos R=9 Luego: 4 V = pR3 3 4 V = p(9)3 3 V = 972p Clave:

9.

e

5. –(11 + 13x)° + 90° + (19x – 10)° + 90° = 360° –11 – 13x + 180 + 19x – 10 = 360 6x + 159 = 360 6x = 201 x = 33,5 Clave:

prad 8. 250g 200g

d

6. –x = –a + b + q x=a–b–q

=

Clave:

a

Clave:

c

Clave:

b

Clave:

c

Clave:

b

5p rad 4

g 3p 200 = 24g 25 p

10. Llevamos todo a una misma unidad. Entonces: ag = 70 = q° Luego: q° = 2x + 15 70 = 2x + 15 55 = 2x 27,5 = x

11. Llevamos todo a una misma unidad. f° = x + 15 Pero: 2xg = x + 15 2(80) = x + 15 160 = x + 15 145 = x

12. Expresamos los ángulos en grados sexagesimales: Clave:

b

7. Cuidamos el sentido y la variedad de cada ángulo: 9 (5 – 7x)g 10g = (5x + 2)°

9° 180° 4a = 250g 10g = 9 4a = 225° – 20° 4a = 205° a = 51°15° Clave: Matemática II

c 143

13.

16.

4 h

q Por Pitágoras: h2 = 72 + 72 h=7 2 Luego: 7 2 7 2 sen q = 7 7

7 7

7

x 7

4

2 30°

2 3 Por la relación de los valores del triángulo de 30° y 60° Luego: x + 2 = 7 x=5

2

1 2 = 1 7 14

Clave: Clave:

b 17. Por ser recto el triángulo posee ángulos agudos complementarios. Entonces: 36° + (7n + 4)g = 90° (7n + 4)g = 54° (7n + 4) 9°g = 54 10 7n + 4 = 60 7n = 56 n=8

14. q b

b

a

a

Entonces: tgq × tgb = a × b = 1 2 2a b

Clave:

Clave:

a

Clave:

b

15. x

18 = 3k 37° 60°

30°

53°

36

3k = 18 → k = 6 x = 4(k) → x = 24

144

Matemática II

e

a

18. Simplificando la relación general tenemos: p S = 9k; C = 10k  R = k 20 Luego: 3(9k) + 2(10k) = 141 27k + 20k = 141 47k = 141 k=3 p R= (3) 20 3p R= 20

Clave:

b

19. Simplificamos la relación general de medidas angulares, tenemos: p S = 9k; C = 10k; R = k 20 Luego: 4S – 3C = 30 4(9k)-3(10k) = 30 36k – 30k = 30 6k = 30 k=5 p R= k 20 p R= (5) 20 p R= 4 Clave: d

20. Llevamos todo a una misma unidad. 180° 9° 20g 10g 4 R= + 2° 9° 1g 10g R = 18° + 450° 2° 9° R = 9 + 50 = 59

a

4°

n

3°

n

2°

n

1°

n

q

q

b

c

30

b

a

Clave:

22.

Clave:

21.

Graficamos y planteamos los valores según la relación de la R.T. tangente: Entonces: tg a = 4n ; tg b = 2n ; 9 9 n tg q = 9 Luego: tg a – tg b – tg q = 1 4 4n – 2n – n = 1 9 4 9 n= 4 x = 4n x=4 9 4 x=9

x

d

a 10

b n

Le damos el valor de cateto desconocido Luego: 3tg a . ctg b + tg a n + 30 3 30 10 + n 30 10 + n 3n 30 = + 10 + n 10 + n = 3(n + 10) 10 + n =3

9

Clave:

Matemática II

c

145

3. Nos piden h (altura del nivel de agua en el cilindro). Pág. 243 20

Vcono =

B

1.

40

α

Vcilindro = π402 · h ....................................(II) (nivel de agua)

θ

4m

A

α

θ

2m

o

π202(40) ....................................(I) 3

2m

4m

α

h

C

Sea m ABC=α, luego prolongamos CO hasta A, entonces, AO = 2 m y m BAC = α Se observa que ABC: equilátero (α=60°) Además AB = BC = AC = 4 m Finalmente, calculamos AL AL = π(2)(4) AL = 8π Clave: e 2. En este problema se desprecia el tamaño del observador.

40 Como las expresiones (I) y (II) son iguales. π40 × 40h = h=

10 3

π · 20(20)(40) 3 Clave:

4. Por dato: AAHB = 4S =

mh 2

.........(I)

nh 2



AAHB = S =



(I) : (II) → 4n = m

.........(II) .........(III) B

B

q

θ a

4+a A

θ 6

45° 4

90°–θ a

4S

C A

Sea MC = a En el de 45°, la altura BC = 4 + a 4+a ACB: tgθ = ....................................(I) 6+4+a a MCB: tgθ = ....................................(II) 4+a

Matemática II

h S

a

θ m

h m = → h2 = mn n h mn h tgθ = = = n n

la altura es: 8 + 4 = 12

146

h

H

n

C

Por los ángulos complementarios α y θ los triángulos AHB y BHC son semejantes:

Igualamos (I) y (II) 4+a a = →a=8 6+4+a 4+a

.........(IV) (4n)n 2n = =2 n n Clave:

Clave:

b

c

b

9

U N I D A D

6. N° alumnos con puntaje 17 = 3

Pág. 248

Clave:

De la tabla, respondemos:

a

7. Puntaje mayor que 12, pero menor que 18: 2. n = 18 + 15 + 9 + 11 + 24 = 77

3 + 4 + 4 + 2 + 3 = 16 Clave:

c

Clave:

b

8. Puntaje mayor que 15; pero menor o igual que 19:

3. Escabeche: 9 Clave:

e

4. Estofado: 18

2 + 3 + 1 +1 = 7 Clave:

e

Clave:

d

Clave:

c

9. Puntaje múltiplo de 3:

Escabeche: 9 Luego: 18 + 9 = 27

Clave:

d

12 15 18 Luego: 2+4+1

2 4 1 =7

5. Arroz chaufa: 11 Cebiche: 24 Luego: 11 + 24 = 35 Clave:

a

10. Porcentaje con puntaje 15: 18%

Completamos la tabla, luego respondemos: Puntajes

fi

Fi

hi

hi%

11

2

2

0,09

9

12

2

4

0,09

9

13

3

7

0,14

14

14

4

11

0,18

18

15

4

15

0,18

18

16

2

17

0,09

9

17

3

20

0,14

14

18

1

21

0,05

5

19

1

22

0,04

4

total

22

1,00

100

11. Puntaje mayor o igual que 11; pero menor o igual que 16: (9 + 9 + 14 + 18 + 18 + 9) % = 77 %

Clave:

a

Clave:

e

Clave:

b

Completando la tabla respondemos:

12. 30 + 60 + 15 = 105

13. hi = 60 = 0,40 150

Matemática II

147

14. UNMSM O UNAC

20. T = 500 – 180 – 80 100 – 60

20% + 10% = 30% Clave:

d

Completamos la tabla y respondemos

=

240 40

=6 Clave:

a

Clave:

b

Clave:

e

Clave:

c

Clave:

d

15. 145 + 125 – 95 = 175 Clave:

c

21. A = 12% + 20% + 10% 18% – 12%

16. E = 11 + 6 – 5 –4 9–5

=

= 8 4

42% 6%

=7

=2 Clave:

c

17. Q = 46 + 31 + 11

22. n = 50 + 80 + 100 + 180 + 60 + 90

11 – 9

= 500

= 26 2 = 13 Clave:

e

23. Igual o más de 58: 100 + 180 + 60 + 90 = 430

18. Igual o más de 120 : 9 + 6 + 4 = 19 Clave:

b

24. Menos de 74: 180 + 100 + 80 + 50 = 410 Completamos la tabla y respondemos

19. x5 + x6 = x1 + x2 + a 78 + 86 = 46 + 54 + a 64 = a Clave: 148

Matemática II

c

Del diagrama circular:

Pág. 252

Del diagrama de barras:

A D

1. VB = 12 m/s Clave:

c

2. Vc = 5 m/s e

3. Las velocidades menores a 16 m/s son VA, VB, VC y VD. Luego:

C

360° 120° Luego:

180 x

x = 120° . 180 = 60 360°

Hay 4 autos Clave:

c

4. Las velocidades mayor a 12 m/s son VD y VE

Clave:

b

360° 90°

e

Clave:

d

Clave:

a

Clave:

b

180 x

x = 90° . 180 = 45 360°

Del histograma: 8 m/s2 5 m/s2 Clave:

Clave:

9. Para radio “B”:

Luego: Hay 2

[20; 25〉

B

8. Para radio “C”: Clave:

5. [10; 15〉

100° 50° 120°

d

10. Para radio “D” o “A”: (100° + 50°)

x

x = 150° . 180 = 75 360°

2

6. amayor = 15 m/s Luego: [15; 20〉

Clave:

a

11. Para radio “A”: 360° 100°

180 x 100° . 180 = 50 x= 360°

7. amenor = 3 m/s2 Luego: [5; 10〉 Clave:

b

Luego: 50 – 45 = 5

Matemática II

149

16. 4 + 7 + 9 + 12 = 32

Del diagrama circular:

12. Para ingeniería: 360° 160°

Clave:

a

Clave:

e

1440 x

x = 160° . 1440 = 640 360°

17. Clave:

(7 + 12) . 100% = 39,6% 48

a

13. Para medicina: 360° 50°

1440 x

Del diagrama lineal:

x = 50° . 1440 = 200 360° Clave:

e

18. n = 30 000 + 25 000 + 20 000 + 5 000 = 90 000 Clave:

b

Clave:

a

14. Para derecho: 360° 90°

1440 x

19. SABORATI: 25 000 ÁRTICO: 20 000 Luego: 25 000 – 20 000 = 5 000

x = 90° . 1440 = 360 360° Para contabilidad: 360° 1440 60° x

20. DELICIAS: 15 000

x = 60° . 1440 = 240 360°

TU HELADO y ÁRTICO: 30 000 + 20 000 = 50 000 Luego: 50 000 – 15 000 = 35 000

Luego: 360 + 240 = 600 Clave:

d

15. n = 4 + 7 + 9 + 12 + 16 = 48 Clave: Matemática II

e

Clave:

c

21. Para el menos vendido: 15 .100% = 16,7% 90

Del histograma:

150

Clave:

c

8. R = Me(A) – Me(B) = 26 – 9

Pág. 257

Clave: De los datos ordenamos: 5 5 6 6 7 7 8 9 10 10 11 11 12 13 Luego, respondemos:

9. x =

8 · 15 + 12 · 10 + 16 · 20 + 20 · 30 + 24 + 25 100

x = 17,6

1. x = 126 = 8,4 15 Clave:

a

e

10. n = 100 = 50 2 2

Clave:

b

Clave:

d

Clave:

a

[18; 22〉

Luego:

2. Me = 8 Clave:

e

Me = 18 + 4 50 – 45 Me = 18,67

30

3. Mo = 6 Clave:

d

11. Mo 4. Me + Mo = 8 + 6 = 14 Clave:

b

[18 – 22〉 D1 = 30 – 20 = 10 D2 = 30 – 25 = 5 Luego: Mo = 18 + 4

Ordenamos los datos de menor a mayor: A: 22 22 22 23 24 24 25 26 27 28 28 30 31 31 34 B: 5 6 7 7 7 9 11 11 13 15 15 Luego, respondemos:

10 = 20,67 10 + 5

Completando la tabla:

5. xA = 397 = 26,5 20

12. åxifi = 4 200 + 6 300 + 5 500 + 10 400 + 13 500 + 8 500 Clave:

c

= 48 400 48 400 x= = 121 400 Clave:

c

Clave:

b

6. xB = 106 = 9,6 11 Clave:

d

Clave:

a

7. P = MO(A) + MO(B) = 22 + 7 = 29

13. n = 400 = 200 [120; 140〉 2 2 Me = 120 + 20 200 – 180 = 125 80

Matemática II

151

14. Mo → [140 – 160ñ

19. x = 800 · 12 + 1200 · 28 + 1500 · a = 1164 12 + 28 + a

= 90 – 80 = 10 2 = 90 – 50 = 40 Luego 1

Mo = 140 + 20.

336a = 3360 a = 10

10 = 144 10 + 40

Clave:

Clave:

a

c

20. x = 10 · 10 + 30 · 20 + 50 · 30 + 70 · 20 + 90 · 10 90 x = 50

15. x = 52 + 53 + 53 + 55 + 59 + 60 + 60 + 62 + 62 + m 10

Clave:

516 + M 10 516 + m = 578 m = 62

c

57,8 =

Pág. 260

Clave:

a

1. T = 5040 – 6 .720 16. Me = 59 + 60 = 59,5 2

= 5040 – 4320 = 720 Clave:

c

d

Clave:

e

2. A = 720 – 120 = 600 25 25

17. Mo = 62 Me = 59,5 Luego: Mo - Me = 62 – 59,5 = 2,5

= 24

Clave:

b

3. Por propiedad: 5x – 3 5x – 3 =1  =0 22 22

Del histograma

18. x = 45 · 2 + 55 · 3 + 65 · 4 + 75 · 1 = 590 = 59 10 10 Clave:

152

Clave:

Matemática II

5x – 3 = 22  5x – 3= 0 c

10.

x=5x= 3 5 Luego: 3 C.S = ; 5 5

A

B

C

4

Clave:

a

4. (4x – 7)! = 5!

D

3

5

Luego: 4 × 3 × 5 = 60 Clave:

e

Clave:

a

Clave:

d

Clave:

b

Clave:

c

11. V 62 = 6! = 4! . 5 · 6 = 30

4x – 7 = 5 4x = 12 x=3

4!

Clave:

4!

b

12. P = 8! – 5! – 4! 5!

5. Pollería 5

chifas + 4 =9 Clave:

c

= 5! . 6 . 7 . 8 – 120 – 24 5! = 336 – 144 = 192

6. V93 = 9! = 6! . 7 . 8 . 9 = 504 6!

6!

Clave:

c

13. P = 6! . 2! = 720. 2 = 1440

7. P6 = 6! = 720 Clave:

8.

P25

d

14. D = (6)! – 300. 2!

= 5! = 2! . 3 . 4 . 5 = 60 2! 2! Clave:

e

3. (a + 1). a! 9. M = (a + 2) (a + 1). a! – – a2

15.

a!

Kathie Flor

  

  

a!

= 720 – 300 (2) = 720 – 600 = 120

= a2 + 3a + 2 – 3a – 3 – a2 = –1

Fijo

Clave:

c

4!

Luego: 4! = 24 Clave: Matemática II

e 153

5. n(A) = 4 + 5 = 9

16. R = 10! + 3! – 5! = 120 + 6 – 20 = 106 3!

7! 3!

Clave:

Luego: b

P(A) = 9 = 1 18 2 Clave:

c

Clave:

b

Clave:

e

Clave:

d

Clave:

a

Pág. 263

6. Por propiedad: • Al lanzar el dado: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Luego

1. A: Número par

P(A  B) = P(A) + P(B) = 0,46 + 0,29 = 0,75

A = {2; 4} n(A) = 2

Luego: P(A) = 2 = 1 6 3

Clave:

e

2. A: sale número impar 3 A = {3} Luego: P(A) = 1 6

n(A) = 4 B: sea negra n(B) = 26 Luego P(A  B) = 4 + 26 – 2 52 52 52 = 28 52

n(A) = 1

= 7 13 Clave:

d

8. Por propiedad:

3. Sale número compuesto mayor que 2 A = {4; 6} n(A) = 2 Luego P(A) = 2 = 1 6 3

P(AUB) = 0,37 + 0,52 – 0,24 = 0,65

Clave:

a

9. A: los resultados son iguales

• De la urna n(Ω) = 4 + 3 + 5 + 6 = 18 Respondemos:

n(A) = 6 Luego P(A) = 6 = 1 36 6

4. n(A) = 3 + 6 = 9 Luego: P(A) = 9 = 1 18 2 Clave: 154

7. A: sea 6

Matemática II

a

10. A: la suma es múltiplo de 4

15. Por propiedad:

n(A) = 9 Luego:

P(A  B) = P(A) × P B = 5 × 4 = 5 A 13 12 39

P(A) = 9 = 1 36 4 Clave:

c

Clave:

16.

15 min

  

11. A: la suma es número primo.

d

n(A) = 15 Luego P(A) = 15 = 5 36 12

4:15 pm

5 pm

  

4 pm

60 min

Luego: Clave:

d

P(A) = 15 = 1 60 4 Clave:

12. P(A) = 3

Solución de problemas

6

e

Pág. 264

P(B) = 1 2

1. Datos:

Luego: P(A∩B) = P(A) × P(B) = 3 × 1 = 1 6 2 4 Clave:

e

= 306

13. n(Ω) = 43 A: sale 6 Luego: P(A) = 7 43

n = 18 k=2 Luego 18 16! . 17 . 18 V2 = 18! = 16! 60

n(A) = 7

Clave:

a

Clave:

b

Clave:

d

2. Líneas terrestres : 4 Clave:

b

14. n(Ω) = 14

Líneas aéreas: 3 Por principio de la adición: 4 + 3 = 7

3. Color rojo: 5; Color azul: 4

A: sale lápiz o borrador n(A) = 4 + 3 = 7 Luego: P(A) = 7 = 1 2 14

Color verde: 7; Color celeste: 6 Luego, por principio de la multiplicación 5 × 4 × 6 × 7 = 840 Clave:

a Matemática II

155

8. Datos: n=9 Presidente Delegado k=3 Secretario Por combinación: C93 = 9! = 6! . 7 . 8 . 9 6! 3! 6! . 6

  

4. n=7

Luego por permutación lineal: P7 = 7! = 5040 Clave:

e

= 84

5. Palabra: MALAGA

Clave:

e

9.

  

Por permutación con repetición: m = 6; n = 3 Luego: 6 P 3 = 6! = 3! . 4 . 5 . 6 3! 3! = 120

n=8

Luego por permutación lineal: P8 = 8! = 40 320

Clave:

Clave:

b

Clave:

a

Clave:

e

c

10. Galletas: 8 Chizitos: 12 Chupetines: 10 Caramelos: 6 Sea: A: sea chupetín n(A) = 10 n(Ω) = 8 + 12 + 10 + 6 = 36 Luego P(A) = 10 = 5 36 18

6. Por permutación circular: n=8 Luego Pc8 = (8 – 1)! = 7! = 5040 Clave:

a

7. chocolate: 8

11. n(Ω) = 6 × 6 = 36

Vainilla: 5 Frambuesa: 6 Por principio de multiplicación: 8 × 5 × 6 = 240

n(A) = 6 P(A) = 6 = 1 36 6

Clave: 156

Matemática II

c

5. (x2 – 10x + 14)! = 5!

12. A: sale múltiplo de 3 A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60} n(A) = 20 n(Ω) = 60 Luego: P(A) = 20 = 1 60 3 Clave:

b

x2 –10x + 14 = 5 x2 – 10x + 9 = 0 x –9 x –1 x=9∨x=1 xmín = 1

6. P5 = 5! = 120

Clave:

a

Clave:

c

Clave:

b

Clave:

c

Clave:

e

Clave:

a

Clave:

d

7. Marca A: Pág. 268

360° 70° x=

Completando la tabla:

720 x

70° · (720) = 140 360°

8. Marca C o D: 1. WARNER : 12 Clave:

e

360° 70° x=

2. TNT: 10 WARNER: 12 CINECANAL: 20 Luego: 10 + 12 + 20 = 42

720 x

120° · 720 = 420 360°

9. Marca B:

Clave:

c

3. TNT o CINECANAL :

360° 100 80° x 80° · 100% x= = 22,2% 360°

10. x = 6700 = 33,5 200

20% + 40% = 60% Clave:

e

11. n = 200 = 100 2 2 Luego:

4. N = 11! . 12 . 8! . 9 8!

= 108

[28 – 38〉

11!

Me = 28 + 10 Clave:

100 – 70 = 33 60

a Matemática II

157