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Integrantes: Pérez Frías Yohann Jesús Cortez Berrospi Max Raqui Ccancce Miguel Ingeniería Mecánica y Eléctrica Docente: Ing. Luis Zúñiga

EXAMEN PARCIAL MATEMÁTICA 3

1. f

(3ptos)Hallar la longitud de arco de la ecuación paramétrica:

t ( t ) = t− Sint , 1−Cost ,4 sin ( ) 2

(

2.

)

si1 ≤ t ≤2

2 2 r (t)= (−2+ Sint , t +2 , t −1+2 Sint)

(5ptos)Dado el Camino:

Calcular: a) La curvatura y la torsión para t = 0 b) Las ecuaciones de los planos osculador, normal y rectificante para t=0

3.

(4ptos) Dada la siguiente suma de integrales 0

x+2

4

∫ ∫

√ 4−x

f ( x , y ) dy dx +∫

∫

f ( x , y ) dy dx

0 −√ 4− x

−5 − √ 4−x

a) Construir la región de integración b) Expresar la suma de integrales, como una sola integral c) Calcular el valor de la integral para f(x, y)=

4.

y

2

(3ptos) Mediante la definición de Límites, demostrar que:

x (¿ ¿ 2−3 x− y 2 + 4 y )=13 a ¿ lim ¿ ( x, y ) → ( −2 ,3)

5.(2ptos) Resolver: 3

a ¿∫ −3

√ 9−x 2

∫

1 x x+y

( x + y )dy dx b ¿ ∫∫ ∫ ( x + y + z)dz dy dx

1

0 0

0

6. (3ptos) Calcular la derivada direccional de la función: 2 2 2 2 f(x, y, z)= x yz−3 √ x + y + z →

En el punto P, para el cual su vector unitario está en la dirección

Q (3, 5, 8).

PQ donde P (1, 2, 2)

Docente: Ing. Luis Zúñiga.

DESARROLLO:

1. Hallar la longitud de arco de la ecuación paramétrica: I. Desarrollo Matemático:

t f (t )  (t  sent , 1  cos t , 4sen( ) ) 2 Sabiendo la Fórmula:

1 t  2

si :

b

L   f '(t ) dt a

f '(t )  ( 1  cos t , sent , 2 cos  

t ) 2

Derivando la función: Aplicando la formula:

L

2

L

2

L

2

L

2

L

2

L

2

L

2

L

2

L

2

1  cos t , sent , 2 cos

1

t dt 2

t (1  cos t ) 2  ( sent ) 2  (2 cos ) 2 dt 2

1

t (1  2 cos t  cos 2 t  sen 2t  4 cos 2 ) dt 2

1

t (2  2 cos t  4 cos 2 ) dt 2

1

2 t 2(1  cos t )  4 cos 2 ) dt 2 2

1

[4

1

(1  cos t ) t  4 cos 2 ] dt 2 2

[ 4 sen 2

1

t t  4 cos 2 ] dt 2 2

[ 4( sen 2

1

Seno Del Ángulo Mitad

1  cos     2  2

sen 

1  cos    sen 2    2  2

t t  cos 2 ) ] dt 2 2

(4)(1) dt

1 2

L   2 dt 1

2

L  2  dt 1



2

2 (t ) 1  2( 2  1)  2

L  2u u = unidad métrica

II.

2.

Desarrollo con Software.

Dado el Camino:

2 2 r (t)= (−2+ Sint , t +2 , t −1+2 Sint)

Calcular: a) La curvatura y la torsión para t = 0 b) Las ecuaciones de los planos osculador, normal y rectificante para t=0

I.

Desarrollo:

r (t)  Determinamos desde la 1ra hasta la 3ra derivada de la Función

r (t )   2  sent , t 2  2 , t 2  1  2 sent  r '(t )   cos t , 2t , 2t  2 cos t  r ''(t )    sent , 2 , 2  2 sent  r '''(t )    cos t , 0 ,  2 cos t 

.

 Evaluamos con el valor de

t 0

r (t) , para las derivadas halladas de

r (0)  (2 , 2 ,  1)

3

r '(0)  (1 , 0 , 2)

 5

r ''(0)  (0 , 2 , 2)

2 2

r '''(0)  (1 , 0 ,  2)

 5

.

También Hallamos sus respectivos módulos

a) La curvatura y la torsión para t = 0 Formulas:

f '(t )  f ''(t )

K

f '(t )



3

 f '(t) 

f ''(t ) 

f '(t)  f ''(t )

2

g[ f '''(t)] TORSIÓN

CURVATU RA Determinamos:

K

f '(t )  f ''(t )

 i j k  1 0 2   r '(t )  r ''(t )   1,0, 2    0, 2, 2    0 2 2

f '(t )

3

r '(t )  r ''(t )   1,0, 2    0, 2, 2   (0  4)i  (2  0) j  (2  0) k r '(t )  r ''(t )   1,0, 2    0, 2, 2   4i  2 j  2k r '(t )  r ''(t )   1,0, 2    0, 2, 2   ( 4, 2, 2)

Componentes del producto vectorial de la primera y segunda derivada.

r '(t )  r ''(t )  ( 4) 2  (2) 2  2 2  24 Modulo del producto vectorial.

Curvatura:

K

r '(t )  r ''(t )

Torsión:

r '(t )

3



24 5

3



2 6 5 5

Curv atur

 r '(t)  r ''(t )



r '(t)  r ''(t )



2

[r '''(t)] 

( 4,  2, 2) ( 1,  0, 2) ( 24) 2

(4)(1)  (2)(0)  (2)(2) 0  0 24 24

Torsión

b) Las ecuaciones de los planos osculador, normal y rectificante para t=0. Formas generales de los respectivos planos.

ur POsc :  P  f (t )  B 0



ur PNor :  P  f (t )  T 0

uu r PRec :  P  f (t )  N 0

u r ur uu r T , B, N

 Para hallar los planos debemos, primero, determinar los vectores

.

Formulas:

ur f '(t ) T f '(t )

Determinamos vectores:

ur f '(t )  f ''(t ) uu r B ur  ur N  B  T f '(t )  f ''(t )

ur r '(0) (1,0, 2)  1 0 2 T   , ,  r '(0) 5 5 5  5

Vector Tangent

ur r '(0)  r ''(0)  4 ,  2 , 2   2 1 1 B   , ,  r '(0)  r ''(0) 2 6 6 6  6

Vector Binorma

r (0)  (2 , 2 ,  1)

3

r '(0)  (1 , 0 , 2)

 5

r ''(0)  (0 , 2 , 2)

2 2

r '''(0)  (1 , 0 ,  2)

 5

uur ur ur  2 1 1  1 0 2 N  B T  , ,   , ,  6 6 6 5 5    5    i j k   uur  2 1 1 2 0 1 4 1 N    (  )i  (  ) j  (0  )  6 6 6 30 30 30 30 30   1 0 2   Para  5  determinar los 5 5  vectores uur  2 5 1 Vector consideramos N  , ,  las derivadas 30 30   30 Normal

para t=0, y sus

Determinamos las ecuaciones de los planos:

ur POsc :  P  r (0) B 0 1 1  2 ,  ,  0 6 6  6 2 1 1 ,  ,  0 por 6 6 6 6

 ( x, y, z )  (2 , 2 ,  1)   

 x  2 , y  2 , z  1 

  ( x  2)(2)  ( y  2)(1 )  ( z  1)(1)   0  2x  4  y  2  z 1  0 2x  y  z 1  0 Ec.

Plano Osculador

ur PNor :  P  r (0) T 0

r (0)  (2 , 2 ,  1)

0 2  1 , ,  0 5 5  5 1 0 2 , ,  0 por 5 5 5 5

 ( x, y, z )  (2 , 2 ,  1)   

 x  2 , y  2 , z  1 

  ( x  2)(1)  ( y  2)( 0)  ( z  1)(2 )  0 x  2  0  2z  2  0 Ec. x  2z  4  0

Plano Normal

uur PRe c :  P  r (0) N  0

5 1  2 , ,  0 30 30  30 2 5 1 , ,  0 por 30 30 30 30

 ( x, y, z )  (2 , 2 ,  1)  

 x  2 , y  2 , z  1 

  ( x  2)(2)  ( y  2)(5)  ( z  1)(1)  0  2 x  4  5 y  10  z  1  0 2 x  5 y  z  13  0

Ec. Plano Rectificante

3. Dada la siguiente suma de integrales 0

x+2

∫ ∫ −5 − √ 4−x

4

f ( x , y ) dy dx +∫

√ 4−x

∫

f ( x , y ) dy dx

0 −√ 4− x

a) Construir la región de integración b) Expresar la suma de integrales, como una sola integral

c) Calcular el valor de la integral para f(x,y)=

I.

Desarrollo:

a) Construir la región de integración (Usando el Software Winplot)

y2

b) Expresar la suma de integrales, como una sola integral 0

  5

x2

f  x, y  dydx 

 4 x

4

  0

4 x

 4 x

f  x, y  dydx

y  x  2 ................ x  y  2............ f ( y ) y   4  x .......... x  4  y 2 ...........g ( y )  De la Gráfica podemos deducir los límites para

f ( y)  g ( y)

quetambién,

2



4 y2

3 y  2

y   3, 2

y

.

f  x, y  dxdy

c) Calcular el valor de la integral para f(x,y)=

y

2

(Desarrollo matemático

y con software)

I 

2

I 

2

I 

2



3



I 

2

I 

2

I 

2

3

3

3

3

3

 

4 y 2

f  x, y  dxdy

y 2 4 y 2 y 2

 

y

2

y 2 dxdy

4 y2 y 2

y 2 dx dy 

 x  dy 4 y2 y 2

y 2  4  y 2  y  2  dy

 6y



2

 y 4  y 3  dy

y y I   2 y3    5 4  

5

4

2

3

 4 (2)5 (2) 4  ( 3) 5 ( 3) 3 I   2(2)      2(3)   5 4 5 4    125 I Integ. Cuando 4 2 3

f ( x, y )  y

4. Mediante la definición de Límites, demostrar que:

x (¿ ¿ 2−3 x− y 2 + 4 y )=13 a ¿ lim ¿ ( x, y ) → ( −2 ,3)

Sabemos:

  0 ,   0 / 0  ( x, y )  ( x0 , y0 )    f ( x, y )  0    Reemplazamos con los datos de nuestro ejercicio.

  0 ,   0 / 0  ( x, y )  (2,3)    x 2  3 x  y 2  4 y  13  

(a ).... x  2   

y  3   ....(b)

para   1 :

( x  5)( x  2)  ( y  3)( y  1)  

1  x  2  1  1  y  3  1  3  x  1  2  y  4 8  x  5  6  1  y  1  3 (c).... x  5  8 

x 2  3 x  y 2  4 y  13  

y  1  3....(d )

(a )  (c)  x  2 x  5  8 .......(I) (b)  (d )  y  3 y  1  3 ......(II)

x  5 x  2  y  3 y  1   (IyII) 8  3   11  

    Relación    minentre   1,  11  11 

 y

Algunas propiedades de valor absoluto

ab  ab ab  a b a  b  b  a  b

5. Resolver: √ 9−x 2

3

a ¿∫

∫

1 x x+y

( x + y )dy dx b ¿ ∫∫ ∫ ( x + y + z)dz dy dx

1

−3

0 0

0

Desarrollo: a)

I 

3



9  x2

3 1



( x  y ) dydx

 y I     xy   3  2   3



3



9  x2

2

 dx  

1

 ( 9  x 2 ) 2 (1) 2  x( 9  x )     x(1)   dx   2 2   

I    3    3   8  x 2  2 I     x 9 x  x   dx 3 2    1 3 I    2 x 9  x 2  8  x 2  2 x  dx  2 3  1 3 1 3 I   2 x 9  x 2 dx  8  x 2  2 x  dx   2 3 2 3 2









2 I    3

 

 9  x   2 3

3

3

1 x3 2  8 x   x   2 3 

2  1  30    (0)   2  3  I  15 I



Resultado de la Integral “a” Comprobación del resultado de la Integral. (ClassPad)

3

3

b)

I 

1

I 

1

I 

1

x



0 0



x



x

x y

0

( x  y  z ) dz dy dx

 ( x  y ) x  y dz   

0 0

0



 ( x  y)  z  0

x y

0 0





x y

0

z dz dy dx 

 z 2     2

 dy dx 0



( x  y )2 I     ( x  y )( x  y )   dy dx 0 0 2   1 3 x  I     ( x  y ) 2 dy  dx 0 2 0   1

1

x





x y

 3 x 2  2 ( x  2 xy  y ) dy  dx  0 2  

I   0

 3  I   x 2 y  xy 2   0 2   1

 3  I     x3  x 3  0 2   1

I

x 3   3 

 x

y 3  3 

 0 dx

7 1 3  x  dx 2 0

7  x 4 I   2 4  7 I 8

1

0

Resultado de la Integral “b” Comprobación del resultado de la Integral. (ClassPad)

dx

6. Calcular la derivada direccional de la función: 2 2 2 2 f(x, y, z)= x yz−3 √ x + y + z

En el punto P, para el cual su vector unitario está

→

en la dirección

f

PQ donde P (1, 2, 2) Q (3, 5, 8)

 x, y , z 

 x 2 yz  3

x2  y2  z2

  df 2x   2 xyz  3   2 x 2  y 2  z 2 dx   3x f x  x, y, z   2 xyz  x2  y 2  z 2 f x  x, y , z  

fx  1 , 2 , 2  8  f x  1 , 2 , 2  7

3 9

fx(P)

  df 2y   x 2 z  3  2 x2  y2  z 2  dy   3y f y  x, y , z   x 2 z  x2  y 2  z 2 f y  x, y , z  

f y  1 , 2 , 2  2  f y  1 , 2 , 2  0

6 9

fy(P)

  df 2z   x 2 y  3  2 x2  y 2  z 2  dz   3z f z  x, y , z   x 2 y  x2  y2  z 2 f z  x, y , z  

fz  1 , 2 , 2  2 

6

fz  1 , 2 , 2  0

fz(P)

9

 Hallando la derivada direccional. Formulas:

ur Dar f  f ( P ) ar Vector Gradiente

ur  f ( P )   f x (P) , f y (P) , f z (P) r a Q  P r a   3 , 5 , 8   1 , 2 , 2  r a  (2 , 3 , 6)

ar 

(2 , 3 , 6) (2 , 3 , 6)  (2 , 3 , 6) 7

 2 3 6 ar   , ,   7 7 7 ur Dar f   f ( P ) ar Dar f   f x (P) , f y (P) , f z (P) ar  2 3 6 Dar f   7 , 0 , 0  , ,   7 7 7  2   3   6 Dar f   7      0     0    7   7   7 Dar f  2 Derivada

Direccional

r a Q  P

Vector Unitario Direccional