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• Cesar Alexander Palomino Alegria

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SOLUCIONARIO DEL EXAMEN FINAL DE METODOS NUMERICOS

1. Dados los siguientes valores x f(x)

1 1

2 5

2.5 6

3 9

4 3

5 1

a ¿ calcular f ( 3.4 ) usando el polinomiointerpolante de newton de orden1, 2 y 3. escoger la secuencia de los pntos para que obtenga la mejor aproximacion posible b ¿ como aproximaria el error cometido para cada caso SOLUCION a) ORDEN 1: Elegimos el intervalo [3,4] ya que 3.4 está entre ellos y si no lo hubiéramos tomado así se estaría extrapolando y su error es mayor. x 3 4 f(x) 9 3 Usando el programa de matlab hallamos el cuadro de diferencias divididas y calculamos el polinomio interpolante de newton. x 3 4

f(x) 9 3

f[,] 0 -6

p1 ( x )=27−6 x=6.6 (evaluado en x=3.4) ORDEN 2: Elegimos el intervalo [2.5, 3,4] ya que 3.4 se encuentra entre ellos. x 2.5 3 4 f(x) 6 9 3 Usando el programa de matlab hallamos el cuadro de diferencias divididas y calculamos el polinomio interpolante de newton. x 2.5 3 4

f(x) 6 9 3

f[,] 0 6 -6

f[,,] 0 0 -8

2

p2 ( x )=−8 x + 50 x−69=8.52( evaluadoen x=3.4 )

ORDEN 3: Primera elección: x f(x)

2 5

2.5 6

3 9

4 3

Usando el programa de matlab hallamos el cuadro de diferencias divididas y calculamos el polinomio interpolante de newton. x 2 2.5 3 4

f(x) 5 6 9 3

f[,] 0 2 6 -6

f[,,] 0 0 4 -8

f[,,,] 0 0 0 -6

p3 ( x )=−6 x 3 +49 x 2−127 x+ 111=9.82 ( evaluadoen x=3.4 )

Segunda elección: x f(x)

2.5 6

3 9

4 3

5 1

Usando el programa de matlab hallamos el cuadro de diferencias divididas y calculamos el polinomio interpolante de newton. x 2.5 3 4 5

f(x) 6 9 3 1

f[,] 0 6 -6 -2

f[,,] 0 0 -8 2

p4 ( x )=4 x3 −46 x 2+ 168 x−189=7.66 ( evaluado en x=3.4 )

f[,,,] 0 0 0 4

b)

error 1=f [ , ] ( x −x0 )( x−x 1)

error 1=−6 ( 3.4−3 ) (3.4−4)=1.44

error 2=f [ ,, ] ( x−x 0 ) ( x−x 1 )( x −x2 ) error 2=−8 ( 3.4−2.5 ) ( 3.4−3 )( 3.4−4 ) =1.728

error 3=f [ , ,, ] ( x−x 0 ) ( x−x 1 )( x −x2 ) ( x−x 3 ) error 3=−6 ( 3.4−2 ) ( 3.4−2.5 )( 3.4−3 ) ( 3.4−4 )=1.8144

error 4 =f [ , , , ] (x−x 0) ( x−x 1 )( x−x 2) ( x−x 3 ) error 4 =4 (3.4−2.5 )( 3.4−3 ) ( 3.4−4 ) (3.4−5 )=1.3824

Vemos que

error 4 < error 3

por lo que es más exacto tomar el intervalo [2.5, 3, 4,5] Programa que utilice

2.5

2. calcular la integral ∫ 1

e−x dx con un error menor que 5 x 10−4 x

a ¿ calcule la integral por regla de simpson Como el error en la regla de Simpson 1/3 es:

( b−a ) h4 ' ' ' ' (b−a) / f ( ε ) max/ , pero como h= 180 n ( b−a )5 ' ' / f ( ε ) max/≤ 5 x 10−4 4 180 n Como

f ' ' ' ' (ε)

, con

ε

que toma los valores entre [1,2.5] es máximo en

4 12 24 24 '' −x 1 f ( x )=e ( + 2 + 2 + 2 + 2 ) x x x x x f ' ' (1 ) max=23.9

( 1.5 )5 (23.9)≤ 5 x 10−4 4 180 n

ε =1

√ 4

( 1.5 )5 (23.9) ≤n −4 180(5 x 10 )

1 n=6.7=8intervalos ( ya que simpson toma valores pares) 3 Usando el programa en matlab calculamos la integral

2.5

−x

∫ ex

dx=0.194506( con 8 intervalos)

1

b ¿ cuantos intervalos seran precisos para laregla de ltrapecio Sabemos que el error en la regla del trapecio es:

( b−a ) h2 ' ' (b−a) / f ( ε ) max/, pero comoh= 12 n ( b−a )3 ' ' / f ( ε ) max/≤ 5 x 10−4 2 12n

Como

'' f ( ε ) , con ε

que toma los valores entre [1,2.5] es máximo en

ε =1

2 2 '' −x 1 f ( x )=e ( + 2 + 2 ) x x x f ' ' (1 ) max=1.84

( 1.5 )3 (1.84)≤5 x 10−4 2 12n

√

( 1.5 )3 (1.84) ≤n −4 12(5 x 10 )

n=32.17=32 intervalos b ¿ duplicando el numero de intervalos de que manera serian afectando el error de cadauna de lasreglas

SIMPSON:

error=

( b−a ) h 4 ' ' ' ' (b−a) / f ( ε ) max / , pero como h= 180 n

error=

( b−a )5 ' ' /f ( ε ) max/ si duplicamos el numero de intervalos 180 n4

n 2¿ ¿ ¿4 180 ¿ ( b−a )5 error= ¿

( b−a )5 error= / f ' ' ( ε ) max/¿ 4 180(16) n EL ERROR QUEDO DIVIDIDO ENTRE 16

TRAPECIO:

( b−a ) h2 ' ' ( b−a) error= / f ( ε ) max/ , pero como h= 12 n error=

( b−a )3 ' ' / f ( ε ) max/ siduplicamos el numero de intervalos 12(2 n)2

n 2¿ ¿ ¿2 12 ¿ ( b−a )3 error= ¿

( b−a )3 '' error= / f ( ε ) max/¿ 12(4)n 2

EL ERROR QUEDO DIVIDIDO ENTRE 4

3 . sea la vigamostrada en la figura sometida auna carga distribuida triangular a ¿ aproxime la deflexion de la viga y ( x ) usando el metodo de diferencias finitas para x=0.25, 0.5,0.75 sabiendo que laecuacion de la elasticaes EI y '' =M ( x ) M ( x )=

wlx w x 3 − 6 6l

Reemplazamos los datos

EI y ' ' =

wlx w x 3 − 6 6l

100 y ' ' =

3

100 x 100 x − 6 6

y '' =

x−x 6

3

Viendo el grafico vemos: x y

0 0

0.25 y1

0.5 y2

0.75 y3

1 100

Método de diferencias finitas

y i +1−2 y i+ y i−1 x i−x i3 = 2h 6

Para i=1

y 2 −2 y 1 +0 0.25−0.253 = 2(0.25) 6 y 2−2 y 1=0.01953125 Para i=2

y 3 −2 y 2 + y 1 0.5−0. 53 = 2( 0.25) 6 y 3−2 y 2+ y 1=0.03125 Para i=3

100−2 y 3+ y 2 0.7 5−0.7 53 = 2(0.25) 6 −2 y 3 + y 2=−99.97265625

CON EL PROGRAMA EN MATLAB DE ELIMINACION GAUSSIANA CON PIVOTEO PARCIAL

Nos da como resultado x

0

y

0

0.25 0.5 0.75 24.96289 49.94531 74.95898 06 25 44

1 100

b ¿ si la ecuacion de la elastica obtenida por lateoria de resistencia de materiales empleando el metodo 3

(

5

)

1 wl x w x de la dobleintegracion es : y ( x )= − + c x+ c 2 determine el error EI 36 120 l 1 absoluto para cada punto.

1 wl x3 w x 5 y ( x )= − +c x +c 2 cuando ( x =0, y =0 ) …(x=1, y=100) EI 36 120 l 1

(

)

Calculamos las constantes

c 2=0 cuando ( x=0, y =0 ) 100=

1 100 100 − + c x+ 0 100 36 120 l 1

(

100(100)=

100 (100 )−

)

100 − +c ) ( 100 36 120 1

100 100 + =( c 1 ) 36 120

c 1=9998.0556 Para x=0.25:

y ( x )=

1 wl x3 w x 5 − +9998.0556 x EI 36 120 l

(

)

y ( 0.25 )=24.99556489 error=¿24.99556489−24.9628906/¿ 0.03267429

Para x=0.5:

y ( x )=

(

3

5

1 wl x w x − +9998.0556 x EI 36 120 l

)

y ( 0.5 ) =49.99348981 error=¿ 49.99348981−49.9453125 /¿ 0.04817731

Para x=0.75:

y ( x )=

(

3

5

1 wl x w x − +9998.0556 x EI 36 120 l

)

y ( 0.75 )=74.99515821 error=¿74.99515821−74.9589844 /¿ 0.03617381