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• Enrique Miranda

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Solucionario de Clase integradora

ESTADÍSTICA – MA444

Clase integradora para la PC2 - 2015 –2 Pregunta 1 El tiempo de vida útil de un microprocesador se distribuye exponencialmente con una media de 3000 horas. X = Tiempo de vida útil de un microprocesador X Exp (β=3000) a. ¿Qué proporción de microprocesadores funcionará a lo más 6000 horas? P(X ≤ 6000) = 1-e-6000/3000 = 0.8647 b. Si la confiabilidad es una medida del tiempo de vida útil de un microprocesador, ¿cuál será el tiempo mínimo que contiene al 28% de los microprocesadores que duran más? P(X ≤ K) = 1- e-K/3000 0.72 = 1- e-K/3000

0.72

K = 3818.9

0.28

c. Si se tienen 4 microprocesadores que funcionan en forma independiente, ¿cuál es la probabilidad que por lo menos tres de ellos tengan vida útil de al menos 7000 horas? P(X ≥ 7000) = 1- P(X < 7000) = 1- (1- e-7000/3000 ) = 0.0970 Y= número de microprocesadores que tengan vida útil de al menos 7000 horas Y Bin (n=4, p=0.0970) P(Y≥3) = P(Y=3) + P(Y=4) = 0.003385 Pregunta 2 Una fábrica cuenta con 3 máquinas: Alpha, Beta y Gamma. La máquina Alpha produce diariamente el triple de Beta y ésta el doble de Gamma. Además se sabe que el peso de los artículos producidos por Alpha se distribuye exponencialmente con una media de 5kg., el peso de los artículos producidos por Beta se distribuyen uniformemente entre 3kg y 8kg., mientras que el peso de los artículos producidos por Gamma se distribuye normalmente con una media de 6 kg. y una desviación estándar de 2 kg. Si se extrae al azar un artículo, ¿Cuál sería la probabilidad de que pese a lo más 5 kg.? Maquinas Alpha Beta Gamma

Cantidad 6n = 6/9 2n =2/9 n =1/9 9n =1

Peso de artículos P(X≤5) 0.632 X Exp (β=5) 0.4 YU(a=3 b=8 ) 2 2 ZN(µ=6 ; , =2 ) 0.30854

Alpha P(X≤5) =1- e-5/5 = 0.632 Beta P(X≤5) = 2/5 = 0.4 Gamma P(X≤5) = P( Z 

56

2

) ) = P(Z≤-0.5) = 0.30854

P(T) = 6/9*0.632 +2/9*0.4 + 1/9*0.30854 = 0.5445

1

Solucionario de Clase integradora Pregunta 3 La empresa ACM Constructores tiene para el pintado de las paredes dos marcas de pintura A y B. Se sabe que la duración de la pintura marca A tiene distribución exponencial con media igual a 500 días y la pintura marca B tiene distribución normal con media de 235,30 días y desviación estándar de 73,98 días. a. Si la empresa constructora necesita que la pintura dure más de 200 días, ¿Cuál de las marcas elegiría, en base a la probabilidad de duración de cada una de ellas? Pinturas A B La marca que

Duración de la pintura Probabilidad P(X>200) = 1- P(X≤200) = 1 – [1-e -200/500]= 0.6703 X Exp (β=500) P(Y>200) = 1- P(Y≤200)= 1- P(Z≤-0.48) = 1 - 0.31561=0.68439 Y N(µ=235.30 ; ,2 =73.982 ) elegiría, en base a la probabilidad seria la pintura B.

b. El departamento de post venta premiara al 12% de propietarios que mantengan con mayor duración la pintura marca B en sus paredes, ¿Cuál es el valor mínimo de duración para que el propietario se haga acreedor del premio?

0.12

P(X ≤ K) = 0.88 P(Z ≤ K- µ)= 0.88 (tabla)  K-235.30 = 1.18 73.98 K= 322.5964

Pregunta 4 La corporación “Metálica S.A.” fabrica barras de construcción de acero. Se sabe que los pesos de las barras de construcción de 5/8” de diámetro tienen distribución normal con media de 1.552 kg/m y varianza de 1.440 (Kg/m)2. Según disposición de la norma técnica si el peso de una barra de construcción se encuentra entre 1.380 y 1.450 kg/m se considera dentro de la especificación técnica. a. ¿cuál es la probabilidad de que el peso de una barra seleccionada aleatoriamente se encuentre fuera de la especificación técnica? X: pesos de las barras de construcción de 5/8” de diámetro X N(=1.552,2 =1.440) P(no encontrarse dentro de la especificación técnica)

 1  P(

1.38  1.552

1.44

Z

1.450  1.552

1.44

)

P(no encontrarse dentro de la especificación técnica) = 1-P(-0.14 n = 44.93

Redondear al mayor entero. Tamaño de muestra n = 45

Pregunta 7 Los satélites transmisores de datos necesitan alta potencia para evitar bloqueos, es por ello que deben utilizar la banda KU con un valor mínimo de 11 GHz de frecuencia, valor de especificación. Los ingenieros de telecomunicación de INTELSAT desean estimar la frecuencia promedio de sus satélites y verificar si, en promedio, están cumpliendo con la especificación. Por lo tanto seleccionan al azar 66 satélites y registran las frecuencias. Los resultados se muestran en el siguiente gráfico: Realice la estimación con 98% de confianza y diga si INTELSAT cumple con la especificación. Li 10.5 10.9 11.3 11.7 12.1 12.5

Ls 10.9 11.3 11.7 12.1 12.5 12.9 total

x 10.7 11.1 11.5 11.9 12.3 12.7

fi 4 10 9 7 16 20 66

IC(µ) = 11.99 ± 2.3851* 0.6612 =

x  t n 1, 2

s s    x  t n 1, 2 n n

𝑋̅ = 11.99 S = 0.6612 T0.01, 65 = 2.3851

[11.7959, 12.1841]

66 Con un confianza del 98% podemos afirmar que el [11.7959, 12.1841]GHz, contiene la verdadera frecuencia promedio de sus satélites. Cumple con la especificación por tener ambos valores mayores al mínimo de 11 GHz.

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Solucionario de Clase integradora Pregunta 8

Se desea estimar la proporción de componentes electrónicas que fallan antes de cumplir su vida útil de dos años. Para esto un ingeniero electrónico selecciona al azar 150 componentes y encuentra que 6 fallan antes de cumplir su vida útil. a. Realice la estimación con una confianza del 94%. Interprete. pˆ = 6/150 = 0.04 pˆ (1  pˆ ) IC ( p)  pˆ  z(1 / 2) 1-α =0.94, α = 0.06; α/2= 0.03; 1- α/2 = 0.97 n Z = 1.88 0.97

0.04×0.96

𝐼𝐶(𝑃) = 0.04 ± 1.88 × √

150

ME 𝐼𝐶(𝑃) = [0.00992 ; 0.07] Con un confianza del 94% podemos afirmar que el [0.00992 ; 0.07], contiene la verdadera proporción de componentes electrónicas que fallan antes de cumplir su vida útil de dos años

b. Si el fabricante garantiza que a lo más el 5% de sus componentes no cumplen con el tiempo de vida útil de dos años, ¿la información obtenida en a), pone en duda tal afirmación? Explique. Con un nivel de significación del 5%, no se cumple lo que el fabricante garantiza

Pregunta 9 Se tiene la siguiente información de los principales problemas que la empresa Tricom S.A. que vende concreto premezclado debe atender.

Estime la proporción del problema que se debe a “demora en el secado”, con una confianza del 95%. Interprete.

pˆ = 15/72 = 0.2083 1-α =0.95, α = 0.05; α/2= 0.025; 1- α/2 = 0.975 Z0.975 = 1.96

IC ( p)  pˆ  z(1 / 2)

pˆ (1  pˆ ) n

0.2083×0.7917

𝐼𝐶(𝑃) = 0.2083 ± 1.96 × √

72

𝐼𝐶(𝑃) = [0.1145 ; 0.3021] Con un confianza del 95% podemos afirmar que el [0.1145 ; 0.3021], contiene la verdadera proporción que se debe al problema de secado.

5

31

Solucionario de Clase integradora Pregunta 10 Visual Systems S.A. está lanzando al mercado sus nuevos proyectores con tecnología DLP (Procesado Digital de la luz) que utiliza un nuevo chip DMD. El departamento de ventas desea realizar una encuesta con la finalidad de estimar la proporción de clientes que preferirían este novedoso proyector. El estudio requiere que el error al estimar la proporción no sea mayor a 4,5% con un nivel de confianza de 97%. Se tiene conocimiento por estudios anteriores que aproximadamente el 35% de los clientes podrían preferir el producto. Si el costo operativo para realizar la encuesta es de 5200 soles y además un costo adicional de 3,5 soles por cada encuesta. ¿Cuánto es el costo total que debe tener la empresa para realizarla?

z12 / 2 pˆ (1  pˆ ) n e2

E = 0.045 1-α = 0.97, α = 0.03; α/2= 0.015; 1- α/2 = 0.985 Z0.985 = 2.17

pˆ = 0.35

n

2.17 2 x(0.35 x0.65) 0.045 2

= 529.02, redondeando 530 Costo total = 5200 + (3.5x 530) = 7055 soles.

Pregunta 11 Una máquina produce varillas metálicas usadas en el sistema de suspensión de un automóvil. Se selecciona una muestra aleatoria de 15 varillas y se miden los diámetros. Los datos resultantes se muestran a continuación: 8.24

8.21

8.23

8.25

8.26

8.23

8.20

8.26

8.19

8.23

8.20

8.28

8.24

8.25

8.24

Asumiendo que los diámetros tienen distribución normal, ¿se puede afirmar que el diámetro medio de las varillas es menor a 8,20 mm? Use un nivel de significación del 5%. _

t

1. Ho: μ ≥ 8.20 H1: μ < 8.20 2. α =0.05 3. Regiones críticas

x  ~ t( n1) S/ n

𝑋̅ = 8.234 S = 0.0253 T0.05, 14 = 1.76131

0.04 * -1.76131

t

(8.234  8.20) 15 = 5.2048 0.0253

4. Decisión: No se rechaza H0. Conclusión: Con un nivel de significación del 0.05, no se puede afirmar que el diámetro medio de las varillas es menor a 8,20 mm

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Solucionario de Clase integradora Pregunta 12 Un fabricante produce un cable de alambre de cierto tipo que tiene una resistencia media a la ruptura mayor de 300 kg. Se descubre un nuevo proceso y más barato que desea emplearse, siempre que el cable así producido cumpla con la condición anterior sobre la resistencia media a la ruptura. Si una muestra aleatoria de 36 cables producidos con el nuevo proceso ha dado una media de 304.5 kg y una desviación estándar de 15 kg. ¿Debería el fabricante adoptar el nuevo proceso? Use un nivel de significación del 2%. Asumir que la distribución de la resistencia a la ruptura es normal. _ x  t

1. Ho: μ ≤ 300 H1: μ > 300 2. α =0.02 3. Regiones críticas

S/ n

~ t( n1)

𝑋̅ = 304.5

S = 15, n= 36 T0.02, 35 = 2.13316

0.02

t

*

(304.5  300) 36 = 1.8 15

2.13316 4. Decisión: No se rechaza H0. Conclusión: Con un nivel de significación del 0.02, 300 kg

se puede afirmar que resistencia media a la ruptura sea mayor de

Pregunta 13 Los usuarios de la sustancia XP90 indican que cuando esta sustancia no es óptima ocurre un fenómeno conocido como licuefacción y se requiere un reproceso. La certificadora, encargada de la realización de los análisis físico-químicos, asegura que la proporción de reprocesos disminuye cuando la sustancia está certificada por lo tanto una de las metas de la empresa es tener más del 20% de sustancias certificadas. De una muestra de 120 reprocesos se identificó que 26 usaron sustancias certificadas. En base a esta información podemos afirmar que ¿la empresa ha logrado la meta? Use α=0,03

Zc 

1. Ho: P ≤ 0.20 H1: P > 0.20 2. α =0.03 3.

Zc  4.

0.217  0.20 0.20 x0.80 120

= >> Zc = 0.47

pˆ  p0 Z p0 1  p0  n

𝑝̂ = 26/120=0.217

Regiones críticas

0.97 0.03 * 1.88 5. Decisión: No se rechaza H0. 6. Conclusión: Con un nivel de significación del 0.03, no se puede afirmar que la proporción de sustancias certificadas sea mayor al 20%, es decir la empresa no cumplió su meta.

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Solucionario de Clase integradora Pregunta 14 Un inspector preocupado porque algunas obras no estarían cumpliendo con la norma de seguridad G-050 sobre la protección en las obras para los trabajadores, decide seleccionar al azar 90 obras para visitarlas. Registra el número de faltas de seguridad más frecuente en la obra obteniendo la siguiente gráfica. Es cierta la afirmación que la proporción de obras donde la falta de seguridad de trabajadores que laboran sin protección contra el ruido es mayor al 10%. Use =0,02.

Zc 

1. Ho: P ≤ 0.10 H1: P > 0.10 5. α =0.02 6.

Zc  7.

0.2  0.10 0.10 x0.90 90

= >> Zc = 3.16

pˆ  p0 Z p0 1  p0  n

𝑝̂ = 18/90=0.2

Regiones críticas

0.98 0.02 * 2.05 7. Decisión: Se rechaza H0. 8. Conclusión: Con un nivel de significación del 0.02, se puede afirmar que la proporción de obras donde la falta de seguridad de trabajadores que laboran sin protección contra el ruido es mayor al 10%.

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