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Clase del viernes 4 de diociembre de 2015

1.

Práctica (examen 2)

Ejercicio 1.1 ACME fabrica cuatro clases de cables sencillos para un contratista gubernamental. Cada cable debe pasar por cuatro operaciones consecutivas: corte, estañado, encamisado e inspección. La tabla siguiente muestra los datos pertinentes del caso.

El contratista garantiza una producción mínima de 100 unidades de cada uno de los cuatro cables. 1. Formule el problema como modelo de programación lineal y use SOLVER para determinar el programa óptimo de producción. 2. Con base en los precios duales generados por SOLVER, ¿recomienda usted aumentar la producción diaria de alguna de las cuatro operaciones? Explique por qué. 3. Los requisitos de producción mínima de los cuatro cables, ¿representan una ventaja o una desventaja para ACME? Describa una explicación con base en los precios duales que proporciona SOLVER. 4. La contribución unitaria actual a la utilidad, especi…cada por el precio dual, ¿puede garantizarse si se aumenta la capacidad del estañado en 10 por ciento? El modelo, donde xi denota la cantidad de unidades de cable i a ser fabricada, i = 1; 2; 3; 4, está abajo. Además, también se colocó el análisis de sensibilidad provisto por el SOLVER. Maximizar 9:40x1 + 10:80x2 + 8:75x3 + 7:80x4 Sujeto a: 10:50x1 + 9:3x2 + 11:6x3 + 8:2x4 · 4800 tiempo de proceso para corte 20:4x1 + 24:6x2 + 17:7x3 + 26:6x4 · 9600 tiempo de proceso para estañado 3:2x1 + 2:5x2 + 3:6x3 + 5:5x4 · 4700 tiempo de proceso para encamisado 5x1 + 5x2 + 5x3 + 5x4 · 4500 tiempo de proceso para inspección x1 ¸ 100 cantidad de cable tipo 1 x2 ¸ 100 cantidad de cable tipo 2 x3 ¸ 100 cantidad de cable tipo 3 x4 ¸ 100 cantidad de cable tipo 4 x1 ; x2 ; x3 ; x4 ¸ 0

1

Celda $K$4 $K$5 $K$6 $K$7

Nombre X1 X2 X3 X4

Restricciones Celda $I$6 $I$7 $I$8 $I$9 $I$10 $I$11 $I$12 $I$13

Nombre R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8

Valor Igual

Gradiente reducido

100 100 138.4180791 100

Valor Igual 4405.649718 9600 1618.305085 2192.090395 100 100 138.4180791 100

0 0 0 0

Sombra precio 0 0.494350282 0 0 -0.684745763 -1.361016949 0 -5.300282486

Coeficiente Aumento Disminución objetivo permisible permisible 9.4 0.684745763 1E+30 10.8 1.361016949 1E+30 8.75 1E+30 0.594117647 7.8 5.300282486 1E+30

Restricción lado derecho 4800 9600 4700 4500 100 100 100 100

Aumento permisible 1E+30 601.7241379 1E+30 1E+30 33.33333333 27.64227642 38.4180791 25.66037736

Disminución permisible 394.3502825 680 3081.694915 2307.909605 100 57.80538302 1E+30 43.01737951

Solución. Inicialmente, colocamos nombres a las restricciones (vea el modelo arriba). En la primera pregunta se nos pide el modelo matemático, que ya fue dado. Vemos también en la primera tabla provista por el SOLVER, que las cantidades óptimas de cada tipo de cable a ser fabricados son: x¤1 = 100;

x¤2 = 100;

x¤3 = 138:42 y

x¤4 = 100 unidades

La función objetivo óptima correspondiente es claramente z¤ = 9:4(100) + 10:8(100) + 8:75(138:42) + 7:8(100) = 4011:2 dólares En la segunda parte, se nos pregunta si vale la pena aumentar el tiempo de proceso de corte, estañado, encamisado o inspección, de modo que resulte en algún bene…cio para ACME. Mirando los primeros cuatro precios sombra (asociados a las cuatro primeras restricciones): Nro 1 2 3 4

tiempo tiempo tiempo tiempo

de de de de

Restricción Precio sombra proceso de corte 0 proceso de estañado 0:49 proceso de encamisado 0 proceso de inspección 0

percibimos que, por cada minuto que se incremente en el tiempo de proceso de estañado, el ingreso aumentará en $0:49, en los otros tres casos no hay mejora. Por lo tanto, sólo se recomienda aumentar el tiempo de proceso de estañado. Recuerde que, si la disponibilidad “9600 minutos” es cambiada por algún valor dentro del intervalo de factibilidad h9600 - 680; 9600 + 601:72i = h8920; 10201:72i el nuevo precio sombra seguirá valiendo 0:49. Si la nueva disponibilidad no pertenece a este intervalo, nada se puede decir del nuevo precio sombra, pues éste puede cambiar.

2

En la tercera pregunta, los requisitos de producción mínima de los cuatro cables son manejadas por las últimas cuatro restricciones del modelo. Según el SOLVER, vemos que: Nro 5 6 7 8

Restricción cantidad de cable tipo cantidad de cable tipo cantidad de cable tipo cantidad de cable tipo

1 2 3 4

Precio sombra -0:68 -1:36 0 -5:30

Note además que, por cada unidad que se decida disminuir en el requerimiento mínimo de cable de tipo 1, digamos de 100 para 99 unidades, la función objetivo aumentará $0:68, esto porque el precio sombra respectivo es -0:68. por cada unidad que se decida disminuir en el requerimiento mínimo de cable de tipo 2, el ingreso aumentará en $1:36. la disminución (o aumento) del requirimiento mínimo de fabricación de cable de tipo 3 no ocasiona variación en el ingreso, pues su precio sombra es cero. por cada unidad que se decida disminuir en el requerimiento mínimo de cable de tipo 4, el ingreso aumentará en $5:30. Esto nos lleva a concluir que esos requerimientos mínimos (100 unidades para cada tipo de cable) están muy altos. Por lo que representan una desventaja para la empresa. Recuerde que, si por alguna gestión se consigue disminuirlos, se debe tener en cuenta los correspondientes intervalos de factibilidad. La cuarta pregunta está relacionada a la segunda restricción (tiempo de proceso de estañado). Animados por el precio sombra positivo (0:49), se está queriendo aumentar el tiempo de proceso de estañado a la cantidad de 9600 + 0:1(9600) = 10560 minutos. Sin embargo, vemos que 10560 no pertenece al intervalo de factibilidad correspondiente h8920; 10201:72i. Por tal motivo, no se puede garantizar que el nuevo precio sombra sea igual a 0:49 para esa nueva disponibilidad (incluso para la nueva disponibilidad de 10560 el precio sombra podría pasar a ser negativo). Ejercicio 1.2 Un artículo se vende a $25 cada uno, pero se ofrece un 10 % de descuento para lotes de 150 unidades o más. Una compañía utiliza este artículo a razón de 20 unidades por día. El costo de preparación para pedir un lote es de $50, y el costo de retención por unidad por día es de $:30. El tiempo de espera es de 12 días. ¿Debe aprovechar la compañía el descuento? Solución. Resumiendo, tenemos: c1 c2 Q D K h L

: : : : : : :

precio sin descuento, $25 por unidad precio con descuento, $22:5 por unidad 150 unidades 20 unidades por día $50 por pedido $0:30 por unidad y por día 12 días

3

El costo total por unidad de tiempo es de la forma 8 (50)(20) (0:30)q > < CTU1 (q) = 25(20) + + si q < 150 q 2 CTU(q) = > : CTU2 (q) = (22:5)(20) + (50)(20) + (0:30)q si q ¸ 150 q 2 Paso 1: Calculamos qm :

qm =

r

2KD = h

s

2(50)(20) = 81:650 unidades (0:30)

Vemos si 0 < Q · qm . Como esto no sucede, vamos al paso 2. Paso 2: Hallamos P resolviendo P2 +

2 2KD (c2 D - CTU1 (qm )) P + =0 h h

es decir, como CTU1 (qm ) = CTU1 (81:650) = 25(20) +

(50)(20) (0:30)(81:650) + = 524:5 81:650 2

tenemos 2 2(50)(20) ((22:5)(20) - 524:49) P + = 0 0:3 0:3 20000 P2 - 1490P + = 0 3 Resolviendo la ecuación de segundo grado, tenemos dos soluciones, P2 +

P1 = 4:487 8 ó P2 = 1485:5 Como debe suceder P > qm , elegimos P = 1485:5. Vemos que qm < Q · P, por lo que el pedido óptimo es q¤ = Q = 150 La respuesta es que sí, la empresa sí debe aprovechar la oferta (no debería aprovechar la oferta si sucediera P < Q). Ahora construimos la política óptima completa. Calculamos el ciclo de duración de pedido: q¤ 150 t0 = = = 7:5 D 20 Como t0 < L, calculamos el tiempo de entrega efectivo: ¹ º 12 Le = 12 7:5 = 4:5 7:5 y con esto, calculamos el nivel de inventario:

y(t0 - Le ) = y(7:5 - 4:5) = y(3) = -20(3) + 150 = 90 Por lo tanto, la política óptima es: pedir 150 unidades cuando el inventario esté en 90 unidades. El costo total diario es: (50)(20) (0:30)(150) CTU(150) = CTU2 (150) = (22:5)(20) + + = 479:17 dólares por día 150 2 ——-o—— 4