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• Pepe AZ

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1._ HALLE LAS SENDAS OPTIMAS U*(t);Y*(t); λ*(t) EN LOS SIGUIENTES CASOS:

2

a). V=

∫ (3 y−2 u2) 0

dt

s.a. y´=3u-1; y(0) =1;y(2)= y 2

H=3y- 2u

1)

2

y ¿ ¿ libre) ¿

+ λ(3u-1)

∂H ∂u =0 -4u+3 λ=0 2

d H d u2 =-4≤0

2) y´=

∂H ∂λ

u¿t =

y´=3u-1

¿

reemplazando ut : y´=

3) λ´=-

∂H ∂y

3λ 4

9λ 4

–1

λ´=- 3

integrando λ = -3t+ H 1 condición de tranversalidad: λ(1)=0 [-3t+ H 1 ¿ t=T=2

=0 -6+ H 1 =0

H 1=6 λ¿t =−3 t+6 u¿t =

−3 t 4 +

9 2

En (2) reemplazamos λ: : y´=

9(−3t +6) 4

Integrando :

25 t 27 t 2 + 2 8

¿

y t =-

+ H2

2 25 t ¿ y t =- 27 t + 2 8

H 2=1

+1

1

b). V=

∫ ln(4 yu) 0

dt

s.a. y´=4y(1-u) ; y(0) =1 ;y(1)= e

H= l n(4 yu)

1).

+ λ (4y(1-u))

∂H ∂u =0

4y 4 yu

- 4 y λ =0

−1 d2 H 2 2 = u du 1 u¿t = 4yλ

2). y´=

2

∂H ∂λ

Reemplazando u:

1 y´=4y-4y( 4 y λ )

y´=4y-4yu

–1

1 y´=4y-( λ ) ∂H ∂y

3). λ´=-

4u λ´= 4 y u −4 λ+4 u λ

Reemplazando u:

1 1 λ´= y −4 λ+ 4 λ ( 4 y λ ) −4 t

¿

λt = A1 e

En 2 reemplazamos

1 λ¿t : y´=4y-( A 1 e−4 t )

y c = A2 e 4 t y p=B e

4t

y p=4 B e4 t y ¿t =

1

c). V=

∫−u2 0

dt

s.a. y´=(y+u) ; y(0) =1 ;y(1)=0

H=

−u

2

+ λ (y+u)

A2 e

4t

1).

∂H ∂u =0

d2 H −2 d u2 =

-2u+ λ

¿

ut =¿

2−t

e 2( 1−e 2)

λ u¿t = 2 2). y´=

∂H ∂λ

y´=y+u

λ ¿ Reemplazando ut : y ´=¿ y+ 2 ……2´ 3). λ´=-

∂H ∂y

λ´=- λ λ´+ λ=0

r=1

λ¿t =¿

λ¿t =C 1 e−t

−t

En 2´reemplazamos λ´:

y c =C 2 e

C1 e y´-y= 2

t

y p=B e−t

y p ´ =−B e−t

C 1 e−t -B e −B e = 2 −t

−t

-2B=

−C 1 2

B=

−C 1 4

yp =

−C 1 e−t 4

e2−t 2 1−e

−t

y ¿t =C2 e t−

C1 e 4

y t = C 2 e 0−

C1 e−0 =1 4

y t = C 2 e 1−

C 1 e−1 =0 4

e2 C1 = 2 1−e

C1 =4 C 2−1

y ¿t =

−et e2−t − 2 2 4(e −1) 4 (1−e )

1

d).

V=

(u2 + y 2 ) ∫ −1 2

dt

0

y 1 ( y 1 libre)

s.a. y´=(u-y) ; y(0) =1 ;y(1)= H=

−1 2 2 (u + y ) + λ (u-y) 2

1).

∂H ∂u =0

2

d H −1 ≤ 0 2 du =

-u+ λ=0

u¿t =¿ λ ∂H ∂λ

2). y´=

y´=u-y ¿

Reemplazando ut : 3). λ´=-

y´= λ –y

∂H ∂y

λ´=y+ λ λ´-y- λ=0

Expresando matricialmente (2) y (3) :

[ ] [ ][ 1 0 0 1

[] [ y ¿t ¿ λt

][ ] [ ]

y ´ + 1 −1 y λ ´ −1 −1 λ

=

r1 t

A1e r t B1 e 1

r 2t

A2 e r t B2 e 2

]

=

0 0

Raíces características :

[[ ] [

]]

=0

[

]

=0

1 0 1 −1 r+ 0 1 −1 −1

r+ 1 −1 −1 r−1 r

2

2

- 1 −1=0 r= ± √ 2

para r 1=¿

√2

se puede obtener la relación existente entre

[

[

√ 2+1 −1

][ ]

=0

]

=0

−1 A 1 √2−1 B1

( √ 2+1) A 1 −B1 − A1 ( √ 2−1) B1

A 1 y B1 :

( √ 2+ 1 ) A 1−B 1=0 B 1 = ( √ 2+ 1 ) A 1

−¿ t

e). V=

∫¿

dt

0

s. a. y´=y+u ; y(0) =5 ;y(r)=11 Planteando la hamiltoniano: H =-1+ λ (y+u) 1).

∂H ∂u = λ=0

Si

λt > ¿ 0

Si

λt < ¿ 0

(r 1 libre)

ut ∈ [0,T>

2). y´=

∂H ∂λ

3). λ´=-

∂H ∂y

y´=y+u

λ´+ λ =0

λ´=- λ r=-1

¿

−t

λt =C 1 e C1 e−t =0 y´= y + u por condiciones inicial : y(0)=5 5= C1 e

y ¿t =C1 et −

(0 )

u¿t =¿

-u

e1 5

C2 5

25 t 5 y = e− 4 4 ¿ t

∞

f). V=

∫ ( 1− y ) u .

dt

0

s. a. y´=(1-y)u ; y(0) =0

ut ∈ [0,1]

Planteando hamiltoniana: H= (1-y)u+ λ (1-y)u 1).

∂H ∂u = 1-y+ λ (1-y)=0

2). y´=

∂H ∂λ

3). λ´=-

∂H ∂y =

y´=(1-y)u

λ't =-u- λu

λ+1=0

, λ’+ λ=-u

;

r+u=0

λ¿t = A1 e−ut -1 Y’ =u-yu

;

y’+yu=u

y ¿t =A 2 e−ut +1 Por condición inicial : −u ( 0)

O= A 2 e

A 2=−1

+1

λ' u= −1− λ

Λ’=(1- λ)u

¿

¿

ut =0 ; ut =u

1

h). V=

∫ (2 y −3 u−u2 ) 0

dt

s. a. y´=y+u ; y(0) =5 ;y(1)=

yt

( y t libre)

hamiltoniana: 1).

∂H ∂u =0 -3-2u+ λ=0 U=

λ−3 2

Por principio del máximo: 2). y´=

3). λ´=-

∂H ∂λ

y’=y+u

∂H ∂y

λ’=-2- λ

λ¿t = A0 e 1−t -2 2 en 1

2 e 1−t−5 , y’-y= 2 y c =¿

A 1 et

; λ’+ λ=-2

Y=K e

1−t

t

Y’=K K e

1−t

(K e

1−t

-K e

1−t

)t

II Parte ∞

V(a)=

∫ e− ρt ln(u)

dt

0

s. a. y´=hy-u ; y(0) =c ;lim t ∞ =

yt

demuestre qu e se cumple la siguiente condición: −ρa

V(a) = e

V(0)

Solución ∞

V(a)=

∫ e− ρt ln(a)

Y’=by-u

H

cte

dt

0

y(a)=c

= ln (u) + m t (by-u)

Planteando los cuatro principios: cte

1.-

∂H ∂u

2.-

∂ H cte ∂ mt =y´

i m u - t =0 ;

=0 ;

;

3.- mt ´ = ρ mt -

mt=

i u

y ¿t =by−u cte

∂H ∂y

mt ´ = ρ mt−mt b

m´ t + mt b− ρ mt =0

m ¿t = A 1 e−(b−ρ)t Replazando en 1

A 1 e−(b−ρ)t =

1 u 1 (b− ρ)t e u¿t = A1

Trabajando en 2 y reemplazando:

1 (b −ρ) t e A1 y ´¿

t=by−¿

Solución complementaria:

y c = A2 e(b)t y p=C e

(b−ρ )t

1

(b− ρ)t

Y´=(b-p) C1 e

1 C1 (b - ρ−b )=A1 1 C1 =A1 y p=

−1 (b− ρ) t e A1 p bt

¿

y t =A t e +

ba

1 ( b−ρ )t e A1 p

y ( a ) = A2 e +

solucion general

1 (b− ρ) a e ]=0 A1 p

Demostrando si se cumple: −ρt

V(a)= e

A2

(v(0))