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(IC-444) TRABAJO 5 Ingeniero: Yachapa Condeña, Rubén Alumno: Cárdenas Quispe, Erbin Luis Código: 16062905

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

EJERCICIOS PROPUESTOS Dados los sistemas Q – q y Q* - q* en los ejercicios 1, 2 y 3. Se pide calcular:   

La matriz T, tal que: La matriz T1, tal que: Comprobar que :

q=Tq* Q=T1Q*

T t  T1

1

EJERCICIO Nº 01 A

A

A0 I0

A0 I0

3 1

B

2

D

A0 I=œ

3

4

B

I=œ

A0 I0

A=œ I0

A0

E4

E1 C

Q-q

Q* - q*

Solución:

T:

q *1  1

y

q *i  0

cuando

i 1

A

B

D

E C

T11  0

2

A0 I0

A=œ I0

C

Calculamos la matriz

D

T31  0

T21  0

2

T41  1

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

q*2  1

y

q *i  0

cuando

INGENIERÍA CIVIL

i2 A

B

D

D'

E C

T12  0 q *3  1 y q *i  0

para

T32  0

T22  0

T42  0

i3 A

D'

B

D

E C

T13  0

q*4  1

y

q *i  0

cuando

T33  0

T23  1 / L

T43  0

i4 A

B

B'

D

E C

T14  1

T34  0

T24  0 3

T44  0

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

Por lo tanto, la matriz de transformación

T

es:

0 0 T  0  1 Calculamos la matriz

INGENIERÍA CIVIL

0 0 0 1/ L 1 0 0 0

1 0 0  0

T1 : Q *1  1 y Q * i  0 para i  1

Problema Primario:

A

B

R1

R3

D

R2

E

R4

1

C

Equilibrio de miembros A

B u B

N B

D u-u' L

u' D

u-u' L

E C N

Equilibrio de nudos Nudo B: u-u' L R1

u

R2

N

4

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Nudo D:

u-u' L R3

u'

T131  0

T121  0

T111  0

T141  1

Q * 2  1 y Q * i  0 cuando i  2 Problema Primario A

B

R1

D

R3 1

R2

R4 E C

Equilibrio de nudos Nudo B u-u' L R1

u

R2

N

Nudo D

u-u' L R3

u'

T112  0

T132  1

T122  0

5

1

T142  0

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Q * 3  1 y Q * i  0 para i  3 Problema Primario A

1

B

R1

R3

D

R2

R4 E C

Equilibrio de nudos Nudo B u-u' L R1

u

R2

N

Nudo D

u-u' L

1 R3

u'

T113  0

Problema Primario

T123  L

T133  0

T143  0

Q * 4  1 y Q * i  0 para i  4 A

1 R1 B

D

R2

R4 E C

6

R3

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Equilibrio de nudos Nudo B

u-u' L 1

R1

u

R2

N Nudo D

u-u' L R3

u'

Por lo tanto, la matriz de transformación

T t  T1

T144  0

T 1 es: 0 0 T1   0  1

Se puede notar que:

T134  0

T124  0

T114  1

0 0 1 0

0 L 0 0

1 0 0  0

1

T  T1 t

1

0 0 0 0  0 1 / L  1 0

7

0 1 0 0

1 0 0  0

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

EJERCICIO Nº 02

1 1

A

A0 I=œ

2

A=œ I0

B

A=œ I0

C

4

A=œ I0

E

3

A=œ I0

A

B

A0 I=œ

A=œ I0

F

C

2

A=œ I0

E

3

D

A=œ I0

A=œ I0

4

D

Q-q

F

Q* - q*

Solución Calculamos la matriz

q

* 1

1 y q i  0

T:

*

para

i 1 C'

A

B

B'

C

C''

E D

F

tg53º  x  4 / 3

q * 2  1 y q *i  0

para

T11  0

T21  4 / 3

T31  0

T41  1

i2

A

C

B

E D

F

T12  0

T32  0

T22  0 8

T42  1

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

q *3  1 y q *i  0

A

para

INGENIERÍA CIVIL

i3

A'

C

B

E D

F

T13  1 q * 4  1 y q *i  0

para

T23  0

T33  0

T43  0

i4

A

C

B

E D

F

T14  1 Por lo tanto, la matriz de transformación

T34  1

T24  0

T

es:

 0 4 / 3 T   0   1 Calculamos la matriz

0 0 0 1

T1 :

Q *1  1 y Q * i  0 para i  1

9

1 0 0 0

0 0 1  0

T44  0

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Problema Primario

1

R2

R1 A

R4

B

R3

C

E

D

F

Equilibrio de miembros

u N1

B

u-u' L

N3 B

u'

u-u' L

C N3

N2

N4

A

A

B

C

E D

F

N4

N2 N1

Equilibrio de nudos

Nudo A

u-u' L R1

u

N1

Nudo B u-u' L

R2

u'

N3

N2

Nudo C 1 R4

N3

N4

T111  0

T121  3 / 4 10

T131  0

T141  0

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

Q *1  2

y

INGENIERÍA CIVIL

Q * i  0 para i  2

Problema Primario

R2

R1 A

R4 C

1

B

R3

E

D

F

Equilibrio de nudos Nudo A u-u' L R1

u

N1

Nudo B u-u' L

R2

u'

N3

N2

Nudo C R4

N3

1

N4

T112  0

T132  0

T122  0

11

T142  1

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Q * 3  1 y Q * i  0 para i  3 Problema Primario

1

R2

R1 A

R4 C

B

R3

E

D

F

Equilibrio de nudos Nudo A u-u' L 1

R1

u

N1

Nudo B u-u' L

R2

u'

N3

N2

Nudo C

R4

N3

N4

T113  1

T123  0

T133  0

12

T143  0

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Q * 4  1 y Q * i  0 para i  4 Problema Primario

R2

R1 A

R4 C

B

R3 E

1

D

F

Equilibrio de nudos Nudo A u-u' L R1

u

N1

Nudo B u-u' L

R2

u'

N3

N2

Nudo C R4

N3

N4

T134  1

T124  0 Por lo tanto, la matriz de transformación T 1 es: T114  0

 0 3 / 4 T1    0   0 Se puede notar que:

T t  T1

0 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1  0

1

T  T1 t

1

0 4 / 3 0 0  1 0  0 0

13

0 0 0 1

0 1 0  0

T144  0

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

EJERCICIO Nº 03

5

3

C

C

4

4 6

A=œ I0

A0 I0

A=œ I0

A0 I0 2

6 5B

D

1

1B

2

D 3

7

A=œ I0

A0 I0

A

A=œ I0

A0 I0

A

E

E

Q* - q*

Q-q

Solución Calculamos la matriz T : q *1  1 y q * i  0 para i  1 C

C'

B

D

A

E

T11  0 T21  0 T31  0 q * 2  1 y q *i  0

para

T41  1 T51  0

T61  0

T71  0

i2 C

B

D

A

E

T12  0 T22  0

T32  0

T42  0

14

T52  0

T62  0

T72  1

D'

7

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

q *3  1 y q *i  0

INGENIERÍA CIVIL

i3

para

C'

C

B

D'

A

E

T13  0 q * 4  1 y q *i  0

D

T23  0

T33  0

T43  0.4

T53  1 T63  0

T73  0

i4

para

C

B

D

A

E

T14  0 T24  0 q *5  1 y q *i  0

T34  0

T44  0

T54  0

T64  1 T74  0

i5

para

C

B

B'

D

A

T15  1

E

T25  0

T35  0

T45  0

15

T55  0

T65  0

T75  0

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

q * 6  1 y q *i  0

para

INGENIERÍA CIVIL

i6 C

B'

B

D

A

E

T16  0 q * 7  1 y q *i  0

para

T26  1 T36  0

T46  0

T56  0

T66  0

T76  0

i7 C

B

D

A

T17  0

E

T27  0

T37  1 T47  0

T es: 0 0 0 0 0 0  0 0 0  T  1 0 0.4 0 0 1  0 0 0 0 1 0 

T57  0

Por lo tanto, la matriz de transformación

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  0 0 0 0 0 0 0 0  1 0 0 0 0 0 0 0

Calculamos la matriz

Q  1 y Q i  0 para i  1 * 1

*

16

T1 :

T67  0

T77  0

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Problema Primario R5 R4

C

R6

R2 B

R1

D

1

R3

R7

A

E

Equilibrio de miembros C

C

N1

DN

B

1

N2 B

D

A

E N2

Equilibrio de nudos Nudo B

R2 R1 R3

Nudo C R5 R4 R6

N1

Nudo D N1

1 R7

N2

T111  0

T121  0

T131  0

T141  1 T151  0.40 17

T161  0

T171  0

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Q * 2  1 y Q * i  0 para i  2 Problema Primario R5 R4

C

R6

R2 B

R1

D

R3

R7

A

E

1

Equilibrio de nudos Nudo B R2 R1 R3

Nudo C R5 R4 R6

N1

Nudo D

D

1

R7

T112  0

T122  0

T132  0

T142  0

T152  0

T162  0

T172  1

Q * 3  1 y Q * i  0 para i  3 Problema Primario 1 R5 R4

C

R6

R2 B

R1

D

R3

R7

A

E

18

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Equilibrio de nudos Nudo B R2 R1 R3

Nudo C 1 R5 R4 R6

N1

Nudo D N1

R7

N2

T113  0

T123  0

T133  0

T143  0

T153  1 T163  0

T173  0

Q * 3  1 y Q * i  0 para i  3 Problema Primario

R5 C1

R4 R6

R2 B

R1

D

R3

R7

A

E

Equilibrio de nudos Nudo B R2 R1 R3

Nudo C R5 R4

1

R6

N1

19

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Nudo D N1

R7

N2

T114  0

T124  0

T134  0

T144  0

T154  0

T164  1 T174  0

Q * 5  1 y Q * i  0 para i  5 Problema Primario R4

R5 C

R6

1

R2 B

R1

D

R3

R7

A

E

Equilibrio de nudos

Nudo B

R2 1

R1 R3

Nudo C R5 R4 R6

N1 Nudo D N1

R7

N2

T115  1 T125  0

T135  0

T145  0 20

T155  0

T165  0

T175  0

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Q * 6  1 y Q * i  0 para i  6 Problema Primario R5 C

R4 R6 1 R2 B

R1

D

R3

R7

A

E

Equilibrio de nudos Nudo B

1 R2 R1 R3

Nudo C

R5 R4 R6

N1 Nudo D

N1

R7

N2

T116  0

T126  1 T136  0

T146  0

21

T156  0

T166  0

T176  0

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Q * 7  1 y Q * i  0 para i  7 Problema Primario R4

R5 C

R6

R2 B

R1

D

1

R3

R7

A

E

Equilibrio de nudos Nudo B

R2 R1

1

R3

Nudo C

R5 R4 R6

N1 Nudo D N1

R7

N2

T117  0

T127  0

T137  1 T147  0

T157  0

22

T167  0

T177  0

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

Por lo tanto, la matriz de transformación

T 1 es:

 0  0   0  T1   1  0.40   0  0 

Se puede notar que:

T t  T1

INGENIERÍA CIVIL

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1  0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0  0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0

1

T  T1 t

1

0 0  0   0 1  0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

23

0 0 0 0 0 0 1 0.40 1 0 0  0 0 1 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 1

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

EJERCICIO Nº 04 Si sobre la estructura de la figura 5.8.1 actúa el sistema de cargas presentado a continuación. Se pide calcular los vectores de cargas generalizadas Q y Q* para los sistemas de coordenadas presentados en las figuras 5.8.2 y 5.8.3. Comprobar el resultado obtenido utilizando la matriz T del ejemplo 5, si se sabe que W

W

2

W

1

Q*  T t Q. W

3

A

6

B

A=œ I0

C

A0 I0

W

4

5

7

A0 I=œ

A0 I0

W W

A=œ I0

E D

F

Solución

i) Equilibrio de elementos: Sistema Q

A

N1

B

B

N1

C

N2

A

u-u' 3

u-u' 3

D

B

u

E

C

u'

F N2

Problema Primario

R2

R4

W

W

A

R5 B

2

R1

W

1

W

3

6

C

W

5

W

R3

4

R6

R5

W

7

E D

F

24

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Equilibrio de nudos Nudo A R2 W2

R1

W1

A

R3

Nudo B

R4 W

3

R5 B W

4

Nudo C W

6

C

W

5

R6

R1 

3W1  W4 3

R2  W2

7

R4  W3

R3  0

R5

W

Por lo tanto, la matriz de vectores Q es:

R5 

3W5  W6 3

R7  W7

 3W1  W4    3  W  2   0   Q    W3   3W5  W6    3  W7    Problema Primario: Sistema Q*

R1

R3

W

W

A

R4 B

2

W

1

R5 W

3

6

C

R2

W

5

W

4

R6

W

7

E D

F

25

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Equilibrio de nudos Nudo A

R1 W2 W1

A

R2

Nudo B

R3 W

3

R4 B W

4

Nudo C

R5 W6

C R6

R1  W2

R2  0

R3  W3

W5 W7

R4  W4  3W1

R5  3W5  W6

Por lo tanto, la matriz de vectores Q* es:

  W2    0     W3  Q*    W4  3W1  3W5  W6     W7  iii) Comprobamos que Q*=TtQ

0 0  0 Q*    3 0   0

 3W  W4  1 0 0 0 0  1    W2  3   0 0 1 0 0 0   W2         W 0 0 1 0 0  0  3     0 0 0 0 0  W3  W4  3W1    0 0 0 3 0  3W5  W6  3W5  W6      W 3 0 0 0 0 1    7   W7 

26

R7  W7

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

EJERCICIO Nº 05 Para el pórtico plano de la figura 5.2 se desea calcular la relación inversa que existe entre las coordenadas generalizadas. Por consiguiente ahora se tiene:

2

A

A

B

A=œ I0

3

B

1

A

3

B 2

A0 I=œ

A=œ I0

D

D

D 1

C

C

C

Q-q

Q* - q*

q  Tq * .

Calcular la matriz T tal que

Solución i) Calculamos la matriz

q

* 1

1 y q i  0

T:

*

para

i 1 B'

A

A'

B

D C

tg  x  3 / 2

q * 2  1 y q *i  0

para

T11  0

T31  0

T21  3 / 2

i2

A

B

D C

T12  0

T22  0 27

T32  1

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

q *3  1 y q *i  0

para

INGENIERÍA CIVIL

i3 B'

A

A'

B

D C

T13  0

ctg  x  3 / 2 Por lo tanto, la matriz de transformación

T

T23  0

es:

 0 0 0 T  3 / 2 0 1  0 1 0

28

T33  0

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

EJERCICIO Nº 06 Para la siguiente estructura compuesta por elementos totalmente flexibles se dan dos sistemas de coordenadas generalizados, el primero difiere del segundo en la coordenada uno, está inclinado un ángulo la horizontal. Se pide calcular la matriz T tal que

5

2

A

1

4

A

6

B 3

D

C

con respecto a

5

2

B 3

1

q  Tq * .



4 6

D

C

Q-q

Q* - q*

Solución: i) Calculamos la matriz

q

* 1

1 y q i  0

T:

*

para

i 1 A''

A

A'

B

D

C

T11  cos

T31  0

T21  0

q * 2  1 y q *i  0

para

T41  0

T51  0

T61  0

i2 A' A'' A

B

D

C

T12  sen

T22  1

T32  0 29

T42  0

T52  0

T62  0

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

q *3  1 y q *i  0

para

INGENIERÍA CIVIL

i3

A

B

D

C

T13  0

T23  0

q * 4  1 y q *i  0

para

T33  1

T43  0

T53  0

i4

A

B

B'

D

C T14  0

T24  0

q *5  1 y q *i  0

T63  0

para

T34  0

T44  1

T54  0

T64  0

i5 B'

A

B

D

C

T15  0

T25  0

T35  0

T45  0 30

T55  1

T65  0

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

q * 6  1 y q *i  0

para

INGENIERÍA CIVIL

i6

A

B

D

C T16  0

T36  0

T26  0

Por lo tanto, la matriz de transformación

T

T46  0

es:

cos   0   0 T   0  0   0

sen 1 0 0 0 0

31

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0  0 0  1

T56  0

T66  1

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

EJERCICIO Nº 06 Las siguientes figuras muestran una estructura y las fuerzas externas que actúan, así como los diagramas de deformación elementales, para un determinado sistema de coordenadas. Calcular el vector de cargas generalizadas Q. W2

W1

A

W1

B

A0 I=œ

W3

W4 W6

A=œ I0

A0 I0

D

C Estado de carga

Deformada elemental q1

Deformada elemental q2

Deformada elemental q3

Solución i) Equilibrio de elementos

N B

u

B

C

u'

C

u-u' L

u-u' L

D

C

N

32

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Problema Primario

R2 W

W

2

R1

1

A

W

B

1

R2

W

W

4

R3

W

3

6

D

C Equilibrio de nudos Nudo A

R2 W2

R1

W1

R2

Junta A u-u' L

A u

W3

Nudo B u-u' L

W

1

W

u'

4

R3

W

6

N

R1  W1

R2  W3  W6  W2 L

Por lo tanto, la matriz de vectores Q es:

W1    Q  W3  W6  W2 L   W4

33

R3  W4

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

EJERCICIO Nº 08 Elaborar un programa de computación para obtener el vector de cargas generalizadas Q: Solución a) Codificación del Programa El programa está codificado en el lenguaje de programación de MATLAB (m-file), que está dividido en tres m-files: Autor.m, cargas.m y estructura.m.  Autor.m disp('***UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA***') disp(' FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL') disp(' ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL') disp(' ANÁLISIS ESTRUCTURAL II') disp(' (IC-444) ') disp(' CÁLCULO DE VECTORES DE CARGA') disp('DOCENTE: Mg. Ing. YACHAPA CONDEÑA, Rubén A.') disp('ALUMNO :CÁRDENAS QUISPE, Erbin Luis.') disp(' AYACUCHO - PERÚ') disp(' 2010')  Cargas.m %Arreglo Q_total disp('INGRESO DE CARGAS PARA LA ESTRUCTURA'); disp('-------------------------------------'); fprintf ('\n DEFINICION DE LA MATRIZ DE CARGAS Q : \n'); Q=zeros(1,ngl); puntual = zeros(3,nod); V1=input('\n ¿Existen cargas en las juntas ? : ','s'); if V1 == 's' njc = input ('\n ¿Cuantas juntas cargadas hay? :'); for i=1 :njc if i==1 else disp('siguiente junta cargada '); end NC = input (' \n Nº de la junta cargada :'); Q1(1)= input ('\n Fuerza horizontal : '); puntual(1,NC)= Q1(1); Q1(2)= input ('\n Fuerza vertical : '); puntual(2,NC)= Q1(2); Q1(3)= input ('\n Momento : '); puntual(3,NC)= Q1(3); VCJ(i,:)=CG(NC,:); for m =1 :3 n=VCJ(i,m); if Q1(m)~=0 Q(n)=Q1(m); else end end end Q_CJ = Q'; else V1 = 'n' ; Q_CJ = Q'; end Q=zeros(1,ngl); repartida = zeros(1,mbr); Q2_almac (mbr,6) = zeros; V3 = input ('\n ¿Existen cargas en los miembros?: ','s' ); if V3=='s' nmc= input ('\n ¿Cuantos mienbros cargados hay?: '); for ll=1:nmc

34

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

if ll==1 MC = input('\n Nº del primer miembro cargado :'); V4 = input('\n ¿El miembro tiene carga uniformemente distribuida?' ,'s'); else MC = input ('\n Nº del siguiente miembro cargado :'); V4=input('\n ¿El miembro tiene carga uniformemente distribuida?' ,'s'); end if V4=='s' car= input ('\n Carga distribuida: '); repartida(1,MC)=car; Qa2(1)=0 ; Qa2(4)=0 ; Qa2(2)= car*L(MC)/2 ; Qa2(5)=Qa2(2); Qa2(3)= car*(L(MC)^2)/12; Qa2(6)=-Qa2(3); else V4 = 'n'; Qa2(1)= input ('\n Fuerza axial N.I. : '); Qa2(2)= input ('\n Fuerza cortante N.I. : '); Qa2(3)= input ('\n Momento N.I. : '); Qa2(4)= input ('\n Fuerza axial N.F. : '); Qa2(5)= input ('\n Fuerza cortante N.F. : '); Qa2(6)= input ('\n Momento N.F. : '); end Q2=Qa2'; for mm =1:6 Q2_almac(MC,mm)=Q2(mm)'; end for m=1:6 for n=1:6 T2_3I(m,n)=T2_3(MC,m,n); end end T2_3I; clear Q3 Q3 = (-1)*T2_3I'*Q2 ; for g =1 :6 h = VC(MC,g); if h ~=0 Q(h)= Q3(g)+Q(h); else end end end Q_CM = Q' ; else V3='n'; Q_CM = Q' ; end %%%%%%%%%%%%%%%%repartida fprintf( '\n Vector de Cargas Totales:'); Q = Q_CJ + Q_CM  Estructura.m % Arreglo CG. Coordenadas generales disp('Ponga (s) para SI, (n)para NO:'); viga=input('¿Es solamente estructura de vigas? :','s'); nod=input('Numero de nudos totales :'); nnr=input(' Numero de apoyos :'); ngl=0;

35

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

CG=ones(nod,3); % analisis de restricciones for i=1:nnr if i==1 disp(' Datos del primer apoyo '); else disp(' Datos del siguiente apoyo '); end nudres= input (' Numero del apoyo :'); X1 = input ('¿Se desplaza en X? :','s'); if X1=='n' CG(i,1)=0; else end Y1 = input('¿Se desplaza en Y? :','s'); if Y1=='n' CG(i,2)=0; else end R1 = input ('¿Tiene rotación? :','s'); if R1=='n' CG(i,3)=0; else end end % grados de libertad for i=1:nod for j=1:3 if CG(i,j)~=0 ngl=ngl+1; CG(i,j)=ngl; else end end end % % CG % Arreglos vectoriales ini y fin. Nudos iniciales y finales. mbr =input(' Numero de miembros:' ); for i=1:mbr fprintf ('\n Miembro %d:',i); ini(i)=input ('\n Numero de su nudo inicial:'); fin(i)=input ('\n Numero de su nudo final:'); end ini; fin; % Arreglo VC. Vectores de colocacion for i=1:mbr for k=1:3 VC(i,k)= CG(ini(i), k); VC(i,k+3) = CG(fin(i),k); end end VC; % Arreglo L, SENO y COSENO fprintf ('\n Coordenadas para los nudos: \n'); for i=1:nod fprintf ('\n Coordenada del Nudo %d: ',i); x(i) = input ('\n En x [m]:'); y(i) = input ('\n En y [m]:'); end for i=1:mbr Dx(i) = x(fin(i)) -x(ini(i)); Dy(i) = y(fin(i)) -y(ini(i)); L(i) = ((Dx(i))^2 + (Dy(i))^2)^0.5; SENO(i) = Dy(i)/L(i); COSENO(i) = Dx(i)/L(i); end L; SENO ;

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

COSENO ; % Matriz K3 %fprintf ('\n Caracteristicas de los miembros : '); %Elas= input ('\n Modulo de Elasticidad [T/m2] :'); Elas= 1; G=0.4*Elas; %Beta= input ('\n Factor de Forma :'); Beta=1; aux=zeros(ngl,ngl); for i=1 : mbr %fprintf ('\n Miembro %d:',i); B(i)=1; %B(i) = input('\n Base [m]:'); H(i) =1; %H(i) = input('\n Altura [m]:'); Area(i) = B(i)*H(i); Inercia(i) = B(i)*H(i)^3/12; fi = (3*Elas*Inercia(i)*Beta)/(G*Area(i)*L(i)^2); c=((4*Elas*Inercia(i))/L(i))*((1+fi)/(1+4*fi)); cp=c; a=((2*Elas*Inercia(i))/L(i))*((1-2*fi)/(1+4*fi)); b=((c+a)/L(i)); bp=b; t=(b+bp)/L(i); r=((Elas*Area(i))/L(i)); %Matriz de rigidez de miembro K2 en coordenadas locales K2(i,1,1)=r; K2(i,1,2)=0; K2(i,1,3)=0; K2(i,1,4)=-r; K2(i,1,5)=0; K2(i,1,6)=0; K2(i,2,1)=0; K2(i,2,2)=t; K2(i,2,3)=b; K2(i,2,4)=0; K2(i,2,5)=-t; K2(i,2,6)=bp; K2(i,3,1)=0; K2(i,3,2)=b; K2(i,3,3)=c; K2(i,3,4)=0; K2(i,3,5)=-b; K2(i,3,6)=a; K2(i,4,1)=-r; K2(i,4,2)=0; K2(i,4,3)=0; K2(i,4,4)=r; K2(i,4,5)=0; K2(i,4,6)=0; K2(i,5,1)=0; K2(i,5,2)=-t; K2(i,5,3)=-b;K2(i,5,4)=0; K2(i,5,5)=t; K2(i,5,6)=-bp; K2(i,6,1)=0; K2(i,6,2)=bp; K2(i,6,3)=a; K2(i,6,4)=0; K2(i,6,5)=-bp;K2(i,6,6)=cp; %Matriz de paso T2-3 T2_3(i,1,1)=COSENO(i); T2_3(i,1,2)=SENO(i); T2_3(i,1,3)=0; T2_3(i,1,4)=0; T2_3(i,1,5)=0; T2_3(i,1,6)=0; T2_3(i,2,1)=-SENO(i); T2_3(i,2,2)=COSENO(i); T2_3(i,2,3)=0; T2_3(i,2,4)=0; T2_3(i,2,5)=0; T2_3(i,2,6)=0; T2_3(i,3,1)=0; T2_3(i, 3,2)=0; T2_3(i,3,3)=1; T2_3(i,3,4)=0; T2_3(i,3,5)=0; T2_3(i,3,6)=0; T2_3(i,4,1)=0; T2_3(i,4,2)=0; T2_3(i,4,3)=0; T2_3(i,4,4)=COSENO(i); T2_3(i,4,5)=SENO(i); T2_3(i,4,6)=0; T2_3(i,5,1)=0; T2_3(i,5,2)=0; T2_3(i,5,3)=0; T2_3(i,5,4)=-SENO(i); T2_3(i,5,5)=COSENO(i);T2_3(i,5,6)=0; T2_3(i,6,1)=0; T2_3(i,6,2)=0; T2_3(i,6,3)=0; T2_3(i,6,4)=0; T2_3(i,6,5)=0; T2_3(i,6,6)=1; %Matriz de rigidez de miembro K3 en coordenadas globales for m=1:6 for n=1:6 K2I(m,n)=K2(i,m,n); end end for m=1:6 for n=1:6 T2_3I(m,n)=T2_3(i,m,n); end end fprintf ('\n Matriz de Rigidez en Coord. Globales del Miembro %d: ',i); K3=T2_3I'*K2I*T2_3I %Ensamblaje mataux=K3; for j=1 :6; if VC(i,j)==0; mataux(j,:)=0; mataux(:,j)=0; else end end

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

k=zeros(ngl,ngl); for cont1=1:6; for cont2=1:6; if mataux (cont1,cont2)~=0, uno=VC(i,cont1); dos=VC(i,cont2); tres=mataux(cont1,cont2); k(uno,dos)=k(uno,dos)+tres; else end end end if i==1; aux=k; else if i~=1, aux=aux+k; else end end end fprintf ('\n Mat. de Rigidez de la Estructura (solo para los grados de libertad):'); Mat_rigidez = aux cargas; b) Para poder comprobar la solución del programa realizado en el lenguaje MATLAB (m-file), realizaremos una solución analítica con un ejemplo aplicativo Determinar el vector de cargas generalizadas Q, por medio del problema primario y complementario para el marco plano de la siguiente figura cuyos elementos son totalmente flexibles. 2 T/m B

C A0 I0

A0 I0

A0 I0

A

D

Sistema Q – q 5

2 1

C

B 3

4 6

A

D

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INGENIERÍA CIVIL

Problema Primario

R2

R5 2 T/m

R1 B R3

C R4 R6

A

D

Equilibrio de elementos

2 T/m B

B

C

2.667 T-m

c

2.667 T-m

4T

4T

A

D

Equilibrio de nudos

Junta B R2 R1 R3

R1  0

Junta C 4T

4T

2.667 T-m

R2  4T

Problema Complementario 4T

2.667 T-m

39

R4

2.667 T-m

R3  2.667T  m

R5 R6

R4  0

R5  0

R6  0

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Por lo que la matriz Q es:

 0.000   4.000    2.667  Q   0.000   0.000     0.000  c) Comprobar la solución analítica con el programa realizado en el lenguaje MATLAB (m-file)  Ejecutamos el programa “estructura”:

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

 Ingresamos los datos de la estructura: como el número de nodos, apoyos, miembros y las respectivas coordenadas de los nodos; así como también sus respectivas cargas ya sea en los miembros o juntas, para este caso solo existen carga repartida en la barra. El usuario debe enumerar los nodos y las barras.

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

 Podemos notar que la solución del programa en MATLAB es la misma que la solución analítica, por lo que se puede concluir que el programa es perfecto.

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