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MODELACIÓN MATEMÁTICA FUNDAMENTAL

SITUACIÓN PROBLEMA: ACCIDENTE EN MONTAÑA RUSA, VAGÓN SE DESCARRILA

Ana Sofía Mendoza Segura A01612359 Cinthya Aracely Sánchez Godínes A01612365 Diego Carrillo Torres A01612532 Silvia Sánchez Urbina A01612288

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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Encontrar una función que corresponda a la curva faltante de la montaña rusa, con la cual no haya ningún otro problema técnico al momento de hacer funcionar el juego, para después elaborar un presupuesto óptimo de los materiales que se utilizarán en la construcción de la parte faltante de la montaña rusa.

PARTE 1 1. Encuentra la ecuación de la recta que une los puntos A y B de la montaña rusa Para obtener la recta que une los puntos A y B, se tiene que sacar la pendiente, para así poder obtener la fórmula de la función utilizando punto- pendiente: Coordenadas (12,35); (35,10) ∆𝑦 10 − 35 25 = =− ∆𝑥 35 − 12 23 Utilizando la fórmula de punto- pendiente: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 35 = −

25 (𝑥 − 12) 23

𝑦 − 35 = −

25 300 𝑥+ 23 23

𝑦=−

25 300 𝑥+ + 35 23 23

𝑦=−

25 1105 𝑥+ 23 23

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2. ¿Consideras que la recta es un modelo adecuado para unir la montaña rusa? Justifica tu respuesta. No es un modelo adecuado ya que las funciones son curvas, para poder unirlas se necesitaría una con las mismas características, para que la unión no sea de manera muy pronunciada. Si la gráfica resultante fuera recta la unión entre estas resultaría en una punta, que podría provocar un choque. 3. ¿Qué condiciones o características debería tener la función que una a los puntos A y B de la montaña rusa? La función debe de ser cúbica con concavidad hacia arriba para que exista una curva suave que una a las otras dos funciones, y que propicie una subida segura para los pasajeros del vagón. 4. ¿Cómo se relaciona la primera derivada con estas condiciones? La primera derivada de una parábola corresponde al valor de la pendiente, dando resultado una línea recta inclinada. 5. Encuentra una función polinomial que cumpla las condiciones anteriores y que una los puntos A y B de la montaña rusa. (Sugerencia: Si tienes 𝑛 condiciones, te sugerimos

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proponer un polinomio de grado 𝑛 − 1). Comprueba usando el cálculo diferencial que la función elegida es la correcta. En un mismo sistema de coordenadas, grafica las funciones f(x), g(x) y la función que las une.

Se utilizó un polinomio de grado 3 como base para hacer las funciones. Fórmula general de un polinomio de grado 3: 𝐴𝑥 3 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 + 𝐷 Se sustituyen las coordenadas que corresponden al gráfico de la montaña rusa en f(x) dentro del polinomio de grado 3, en donde en x se sustituyen los valores del eje abscisa y esto se igualó al valor de la ordenada. Coordenada (0,30) 𝐴(0)3 + 𝐵(0)2 + 𝐶(0) + 𝐷 = 30 𝐷 = 30 Coordenada (2,35) 𝐴(2)3 + 𝐵(2)2 + 𝐶(2) + 𝐷 = 35 8𝐴 + 4𝐵 + 2𝐶 + 𝐷 = 35 Coordenada (8,40) 𝐴(8)3 + 𝐵(8)2 + 𝐶(8) + 𝐷 = 40 512𝐴 + 64𝐵 + 8𝐶 + 𝐷 = 40 Coordenada (12,35) 𝐴(12)3 + 𝐵(12)2 + 𝐶(12) + 𝐷 = 35 1728𝐴 + 144𝐵 + 12𝐶 + 𝐷 = 35 Se resolvió el sistema de ecuaciones mediante un programa computacional dando como resultado: 𝑓(𝑥) = −

5 2 35 𝑥 + 𝑥 + 30 24 12

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Después se sustituyen las coordenadas que corresponden al gráfico de la montaña rusa en g(x) dentro del polinomio de grado 3, en donde en x se sustituyen los valores del eje absciso y esto se igualó al valor de la ordenada. Coordenada (35,10) 𝐴(35)3 + 𝐵(35)2 + 𝐶(35) + 𝐷 = 10 42875𝐴 + 1225𝐵 + 35𝐶 + 𝐷 = 10 Coordenada (37,15) 𝐴(37)3 + 𝐵(37)2 + 𝐶(37) + 𝐷 = 15 50653𝐴 + 1369𝐵 + 37𝐶 + 𝐷 = 15 Coordenada (40,20) 𝐴(40)3 + 𝐵(40)2 + 𝐶(40) + 𝐷 = 20 64000𝐴 + 1600𝐵 + 40𝐶 + 𝐷 = 20 Coordenada (52,20) 𝐴(52)3 + 𝐵(52)2 + 𝐶(52) + 𝐷 = 20 140608𝐴 + 2704𝐵 + 52𝐶 + 𝐷 = 20 Se resolvió el sistema de ecuaciones mediante un programa computacional dando como resultado: 𝑔(𝑥) =

1 3 163 2 4306 70780 𝑥 + 𝑥 + 𝑥− 306 306 153 153

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Ya teniendo las funciones principales de la montaña rusa, ahora se buscará una función (con la misma pendiente) que las una de una manera adecuada para el funcionamiento de la montaña. Se desea unir los puntos A y B de la montaña rusa, a partir de los siguientes puntos: Coordenada (12,35) 𝐴(12)3 + 𝐵(12)2 + 𝐶(12) + 𝐷 = 35 1728𝐴 + 144𝐵 + 12𝐶 + 𝐷 = 35 Coordenada (35,10) 𝐴(35)3 + 𝐵(35)2 + 𝐶(35) + 𝐷 = 10 42875𝐴 + 1225𝐵 + 35𝐶 + 𝐷 = 10 Para obtener la función h(x), la cual debe tener la misma pendiente que las funciones f(x) y g(x), se debe derivar las funciones obtenidas anteriormente.

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𝑓(𝑥) = −

5 2 35 𝑥 + 𝑥 + 30 24 12

𝑓´(𝑥) = − 𝑔(𝑥) =

5 35 𝑥+ 12 12

1 3 163 2 4306 70780 𝑥 + 𝑥 + 𝑥− 306 306 153 153

𝑔´(𝑥) =

1 2 163 4306 𝑥 + 𝑥+ 102 153 153

Se sustituye en las funciones ya derivadas las coordenadas de A y B Coordenada (12,35) 𝑓´(𝑥) = −

5 35 (12) + = −2.0833 12 12

Coordenada (35,10) 𝑔´(𝑥) =

1 163 4306 (35) + (35)2 + = 2.866 102 153 153

Al resolver el sistema de ecuaciones: 𝑓(𝑥) = 1728𝐴 + 144𝐵 + 12𝐶 + 𝐷 = 35

𝑓´(𝑥) = 432𝐴 + 24𝐵 + 1𝐶 + 0𝐷 = −2.0833

𝑔(𝑥) = 42875𝐴 + 1225𝐵 + 35𝐶 + 𝐷 = 10

𝑔´(𝑥) = 3675𝐴 + 70𝐵 + 1𝐶 + 0𝐷 = 2.866 Mediante un programa computacional se dio como resultado: ℎ(𝑥) =

680021 17425291 2 57833957 46318201 𝑥3 − 𝑥 + 𝑥+ 121670000 60835000 24334000 1216700

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6. Encuentra una función h(𝑥) = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 (0.01𝑥) + 𝑏 𝑐𝑜𝑠 (0.01𝑥) + 𝑐 𝑠𝑒𝑛 (2(0.01) 𝑥) + 𝑑 𝑐𝑜𝑠 (2(0.01) 𝑥) que cumpla las condiciones anteriores y que una los puntos A y B de la montaña rusa. Comprueba usando el cálculo diferencial que la función elegida es la correcta. En un mismo sistema de coordenadas, grafica las funciones f(x), g(x) y h(𝑥). Para obtener la función h(x), se realiza un proceso similar a los previos. Se sustituye en la x los valores del eje de las abscisas y se iguala a los puntos que coinciden con el eje de las ordenadas.

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Posteriormente se deriva la función para que h(x) tenga la misma pendiente que f(x) y g(x). Finalmente se elaboró un sistema de ecuaciones para tener como resultado la unión de las curvas del juego mecánico. Coordenada (12,35) 𝑓(𝑥) = 𝐴(𝑠𝑖𝑛(0.01(12))) + 𝐵(𝑐𝑜𝑠(0.01(12))) + 𝐶(𝑠𝑖𝑛(2(0.01(12)))) + 𝐷(𝑐𝑜𝑠(2(0.01(12)))) = 35 𝑓(𝑥) = 0.1197122073𝐴 + 0.9928086359𝐵 + 0.2377026264𝐶 + 0.9713379749𝐷 = 35 Coordenada (35,10) 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑠𝑖𝑛(0.01(35)) + 𝑏(𝑐𝑜𝑠(0.01(35)) + 𝑐(𝑠𝑖𝑛(2(0.01(35)) + 𝑑(𝑐𝑜𝑠(2(0.01(35))) = 10 𝑔(𝑥) = 0.3428978075𝐴 + 0.9393727128𝐵 + 0.6442176872𝐶 + 0.7648421873𝐷 = 10 Coordenada (12,35) 𝑓 ′ (𝑥) = 0.01(𝑐𝑜𝑠(0.01(12)))𝐴 − 0.01 (𝑠𝑒𝑛(0.01(12))) 𝐵 + 0.02 (𝑐𝑜𝑠 (2(0.01(12)))) 𝐶 − 0.02(𝑠𝑒𝑛(2(0.01(12))))𝐷 = −2.0833 𝑓 ′ (𝑥) = 0.009928086359𝐴 − 0.001197122073𝐵 + 0.0194267595𝐶 − 0.004754052529𝐷 = −2.0833 Coordenada (35,10) 𝑔′ (𝑥) = 0.01(𝑐𝑜𝑠(0.01(35)))𝐴 − 0.01 (𝑠𝑒𝑛(0.01(35))) 𝐵 + 0.02 (𝑐𝑜𝑠 (2(0.01(35)))) 𝐶 − 0.02(𝑠𝑒𝑛(2(0.01(35))))𝐷 = 2.866 𝑔′ (𝑥) = 0.009393727128𝐴 − 0.003428978075𝐵 + 0.01529684375 − 0.01288435374𝐷 = 2.866

Mediante la ayuda de un programa computacional pudimos tener como resultado la siguiente ecuación: ℎ(𝑥) = 10877.10115 𝑠𝑒𝑛(0.01𝑥) − 1847.221844 cos(0.01𝑥) − 5318.52527 𝑠𝑒𝑛(2(0.01𝑥)) + 1885.07346 cos(2(0.01𝑥))

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Por medio de un graficador se obtuvo lo siguiente:

Como se ve en la imagen la curva es exactamente la misma que la que nos da la función: ℎ(𝑥) =

680021 17425291 2 57833957 46318201 𝑥3 − 𝑥 + 𝑥+ 121670000 60835000 24334000 1216700

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PARTE 2 1. Los rieles por donde se van a deslizar los carros se fabrican en madera de pino con un perfil metálico adosado. Investiga el costo aproximado del metro lineal de este tipo de riel, elabora el presupuesto para la construcción del perfil de la montaña rusa que une los puntos A y B. 

Metro lineal de riel (precio aproximado): $318

A partir de la fórmula de Longitud del arco, se obtuvo la cantidad de metros requeridos para unir los puntos A y B:

Teniendo el precio por metro lineal lo único que se debe hacer es multiplicar el precio por el resultado anterior: 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 = $318 ∗ 47.70 𝑚 = $15,168.6 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 2. La estructura que va debajo de los carriles se construye de maderas importadas de Estados Unidos, para los travesaños se utilizaron piezas de madera laminada en tiras, encoladas con resina y sometidas a presión y calor para obtener un elemento de alta resistencia en cuanto a las propiedades físicas y mecánicas. El costo estimado de un metro cúbico de esta estructura es de 700 dólares, elabora un presupuesto para la construcción de la estructura que va debajo de los carriles que une la montaña rusa en los puntos A y B. Calculando la integral de h(x) podemos obtener el área debajo de los rieles, la cual va a ser los metros cuadrados necesarios para poner la estructura debajo de los carriles:

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Si tenemos que el metro cuadrado tiene un costo de 700 dólares, para obtener el costo debemos multiplicarlo por los 300 m2 requeridos: 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 = $700 ∗ 300 𝑚2 = $210,000 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠