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UNIDADES TECNOLOGICAS DE SANTANDER

FACULTAD DE CIENCIAS SOCIECONOMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO: CÁLCULO

UNIDAD DE CONSOLIDACIÓN- SITUACIÓN PROBLEMA

ROSA ISELA GARCIA CARDENAS MARIA CAMILA SUAREZ MARTINEZ LADY LIZETH VELASQUEZ VACCA ELIZABETH VILLAMIZAR BETANCOUR WILLIAM YESID VILLAREAL PINZON

COLOMBIA SANTANDER 2020

INTRODUCCION

En este trabajo encontraremos la primera actividad de la unidad 3 que desarrollamos después de repasar y reforzar nuestros conocimientos con la cartilla didáctica de Cálculo. Dándole solución a la situación problémica, se tuvieron en cuentas los temas sobre Ingreso marginal, Costo marginal, y utilidad marginal, así logrando lo requerido por esta unidad.

¡Atentos a la siguiente situación problémica! Cuando un fabricante tiene una determinada producción de un bien y observa que ésta es menor que la demanda de su producto, entonces requiere incrementar su producción para satisfacer la demanda, pero necesita saber si al incrementar dicha producción no se generan gastos excesivos que disminuyan su ganancia y es así que aparecen los conceptos de costo marginal, ingreso marginal y beneficio marginal. Es así que el costo marginal, se define como el costo adicional que se genera al producir una unidad adicional de un producto o servicio. También se define como la razón de cambio del costo total con respecto al número de artículos producidos y comercializados (es decir, el costo aproximado de una unidad extra producida). Por otra parte, ingreso marginal, es la razón de cambio del valor total recibido con respecto al número de unidades vendidas (Es decir, el ingreso aproximado recibido por la venta de una unidad adicional vendida). Finalmente, la utilidad marginal, es la razón de cambio del valor total de la utilidad obtenida con respecto al número de unidades producidas y vendidas (Es decir, la utilidad aproximada obtenida por la fabricación y venta de una unidad adicional).

Con base a las definiciones anteriores, resuelva las siguientes situaciones para la siguiente empresa: Desde el costo marginal (Empresa “Químicos Einstein” produce Thinner Acrílico por litros y Alcohol Antiséptico por unidades):

a. El costo total en dólares de producción de x litros de Thinner Acrílico está dado por C ( x )=45+5 x2 . Determinar el costo marginal cuando se producen 3 litros de dicha sustancia ( Thinner Acrílico). C ' ( x )=10 x C ' ( 3 )=30

b. El costo en la producción de x unidades de Alcohol Antiséptico es e=0.002 x 2+ 0.4+50−

100000 . Determinar la ecuación del costo marginal y el x

costo marginal para producir 40 unidades. Se determina la ecuación:

C=C´ ( x )=0,002 x 3+ 0,4 x 2+50 x−100000

Se determina el costo marginal: C ' ( x )=0,006 x 2+ 0,8 x ++50 C ' ( 50 )=0,006 ¿ C ' ( 150 )=15+ 40+50 C ' ( 150 )=115

Desde el ingreso marginal: c. Empresa “Químicos Einstein” como fabricante vende un producto (Alcohol Antiséptico) a I ( x )=3 x 2 +5 x −20 pesos/unidad. Determinar la ecuación del ingreso marginal y el ingreso marginal para X =100 . I = px=( 3 x 2+5 x−20 ) x=3 x 3 +5 x 2−20 18 x+10

dI dx

dI dI =9 x2 +10 x ∨x=100 dx dx

|x=100

= $1810 unidad adicional vendida.

Desde la utilidad marginal: d. La ecuación de la demanda para el producto Alcohol Antiséptico producido por la empresa “Químicos Einstein” (fabricante de dicho producto) es y la función de costo es 10 p+ X +0.01 x 2=700 2 C=C ( x )=1000+ 0.01 x . Calcular la función utilidad marginal y también evaluar la utilidad marginal para x= 100 Unidades.

p=



C ( x )=1000+ 0.01 x 2



10 p+ x+ 0.01 x 2=700

700−x−0.01 x 2 10

p=70−0.1 x−0.001 x2 I ( x )= p × x I ( x )=(70−0.1 x−0.001 x 2) x I ( x )=70 x−0.1 x 2−0.001 x3

U ( x )=I ( x )−C ( x) U ( x )=70 x−0.1 x2−0.001 x 3−(1000+0.01 x2 ) U ( x )=70 x−0.1 x2−0.001 x 3−1000−0.01 x 2 U ( x )=−0.001 x3 −0.11 x 2+70 x−1000 U ´ ( x )=−0.001 ( 3 ) x 3−1−0.11 (2 ) x 2−1+70 ( 1 ) x1−1−0 U ´ ( x )=−0.003 x 2−0.22 x+70 U ´ ( 100 )=−0.003 ( 100 )2−0.22 ( 100 ) +70 ¿−30−22+70 U ´ (100)=18

e. La compañía ha lanzado un nuevo tipo de Alcohol al mercado, la función utilidad durante su primer año está dada por t3 2 U ( t )= −6 t +27 t +60 millones , 1 ≤t ≤ 12 , 3

siendo t los meses del año.

Determine: 1. En qué meses del año se dio la mayor y menor utilidad. R. En el mes (1) Enero a mes (3) Marzo, fue donde tuvieron su menor utilidad en el año. Y partir del mes (6) Junio a mes (12) Diciembre, tuvieron su mayor utilidad en el año. 2. De cuanto fue su mayor y menor utilidad. R. Su mayor utilidad fue en el mes (12) donde se obtuvo una utilidad de 936. Y la menor utilidad se dio en el primer mes (1) donde fue de 71,58.

∫

(

t3 −6 t 2+ 27 t+60 dt 3

)

¿

1 3 t dt −6 ∫ t 2 dt +27 ∫ t dt+60 ∫ 1 dt 3∫

¿

2 t4 3 27 t −2 t + +60 t 12 2

t(t 3−24 t 2 +162 t+720) 12 12( ( 12 )3−24 ( 12 )2 +162(12)+720) 12 12(1728−3456+1944 +720) 11232 ¿ = =936 12 12 U ( 12 )=

U ( 9 ) =9 ¿ ¿ U ( 6 ) =6 ¿ ¿ U ( 3 )=3 ¿ ¿ U ( 1 )=1 ¿ ¿

Desde el costo marginal, ingreso marginal y utilidad. f. Los costos marginales de producción de X unidades de producto denominado Alcohol Antiséptico producido por la empresa “Químicos Einstein”, están dados por C ' ( x )=x 2−5 x−2

Por otra parte, supongamos que los ingresos marginales se dan por: I ' ( x )=3+5 x +2 x 2

Si al fabricar 40 unidades se genera un costo 20000 unidades monetarias y un ingreso de 50000 unidades monetaria. Determine la utilidad total que genera la venta de 50 unidades. C ´ ( x )=x 2−5 x−2

C ( 40 )=20000

I ´ ( x )=3+5 x +2 x2 I ( 40 )=50000

U ( 50 )=?

I ´ ( x )=3+5 x +2 x2 I ( x )=∫ ( 3+ 5 x +2 x 2) dx

∫ 3 dx +∫ 5 x dx+∫ 2 x 2 dx 3∫ x+ 5∫ x I ( x )=3 x +

1+1

+2∫

x 2+1 2+1

5 x 2 2 x3 + +C 2 3

5 ( 40 )2 2 ( 40 )3 50000=3 ( 40 ) + + +C 2 3 50000=120+ 4000+ 42666+C 50000=46786+C 50000−46786=C 3214=C I ( x )=3 x +

5 x 2 2 x3 + +3214 2 3

C ( x )=∫ ( x 2−5 x−2 ) dx

∫ x 2 dx−∫ 5 x dx−∫ 2 dx x 2+1 ∫ 2+1 −5 ∫ x 1+1 +1−2 ∫ dx

C ( x )=

x3 5 x2 − −2 x +C 3 2

C ( 40 )=

x3 5 x2 − −2+C 3 2

20000=

(40)3 5 ( 40 )2 − −2 ( 40 ) +C 3 2

20000=21333−4000−80+C 20000=17253+ C 20000−17253=C 2747=C C ( x )=

x3 5 x2 − −2 x +2747 3 2

U ( x )=I ( x )−C ( x ) 5 x2 2 x3 x3 5 x2 ( ) U x =3 x+ + +3214− − −2 x+ 2747 2 3 3 2

(

)

5 x2 2 x3 x 3 5 x2 ( ) U x =3 x+ + +3214− + −2 x+ 2747 2 3 3 2 U ( x )=

x 3 10 x 2 + +5 x +467 3 2

U ( x )=

x3 2 +5 x +5 x+ 467 3

U ( x )=? U ( 50 )=

(50)3 + 5(50)2+5 ( 50 ) + 467 3

U ( 50 )=

125000 + 5 ( 2500 )+250+ 467 3

U ( 50 )=41666+12500+250+ 467 U ( 50 )=54883

$54.883 es la utilidad generada por la venta de 50 unidades Resumen

El cálculo es una herramienta que nos permite desarrollar problemas de diversas áreas de la actividad humana, en economía, la industria, física, química, etc. Para así poder determinar los valores máximos y mínimos de una función, y aplicado a nuestra área nos permite optimizar la producción y las ganancias o al mismo tiempo nos ayuda a calcular y minimizar costos de operación y riesgos, por lo tanto, aplicando en este ejercicio nos dio a conocer la utilidad marginal de un producto determinándolo por un periodo de tiempo, aplicando fórmulas de cálculo. El análisis marginal es un examen de los costos asociados y los beneficios potenciales de actividades comerciales o para la toma de decisiones financieras, con el análisis marginal buscar conocer y determinar si hay una pérdida o un beneficio al incurrir en costos adicionales, dentro del análisis marginal encontramos:  Costo marginal: valor límite del costo promedio por articulo extra cuando el número de artículos extra tiende a cero, es la derivada de la función costo con base a la cantidad producida, este costo mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto al incremento de la cantidad que se produce. Es muy importante no confundir el costo marginal con el costo promedio. Si C(x) es la función de costo, el costo promedio de producir x artículos es el costo total, C(x), dividido entre el número de artículos producidos.

Costo promedio por articulo=

c (x) x

 Ingreso marginal: El ingreso marginal es el aumento de los ingresos totales cuando se vende una unidad de producto más, es la tasa de variación del ingreso R, con respecto al número x de unidades producidas.  Utilidad marginal: cambio del valor total de la utilidad obtenida, respecto al número de unidades vendidas y producidas

Definiciones de los términos:



Producción: La producción es la actividad económica que se encarga de transformar los insumos para convertirlos en productos.

 Ingreso marginal: El ingreso marginal es el aumento de los ingresos totales cuando se vende una unidad de producto más. Como esta unidad es vendida al precio de mercado, para una empresa en libre competencia el ingreso marginal es igual al precio. 

Utilidad marginal: La utilidad marginal es el beneficio que obtenemos por el consumo de una unidad adicional de un bien o servicio. También puede denominarse como la razón de cambio de valor total de la utilidad que se obtiene en relación a la cantidad de bienes o servicios producidos y vendida. En otras palabras, concluidas es la utilidad medianamente producida a la hora de la fabricación y comercialización de alguna unidad adicional.

 Costo marginal: Costo adicional que se genera al producir una unidad adicional de un producto o servicio.

Conclusión. En el presente trabajo se ampliaron los temas sobre el análisis marginal el cual se vio el costo marginal, utilidad marginal e ingreso marginal, dándole así una respuesta a cada uno de los ejercicios a solucionar, determinando para ello el análisis correspondiente. Este análisis en muy importante para la toma de decisiones en cuanto a producción, venta y precios de productos, mediante este análisis podemos determinar el punto óptimo a partir del cual si se tiene un precio y un coste se produzca una maximización de los beneficios. El aprendizaje de estos nuevos conocimientos fortalece nuestras habilidades como futuros contadores, ya que nos enfrentamos a muchos desafíos en el ámbito laboral.

Referencias  Unidades Tecnológicas de Santander. (2017). Cartilla D8idactica Digital. Bucaramanga Santander 

Quiroa Myriam(s.f). Que es producción. Economipedia https://economipedia.com/definiciones/produccion.html



Gil Susana. (s.f). Que es ingreso marginal. Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/ingreso-marginal.html#:~:text=El %20ingreso%20marginal%20es%20el,marginal%20es%20igual%20al %20precio.



Roldán Paula. (s.f). Que es utilidad marginal. Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/utilidad-marginal.html#:~:text=La %20utilidad%20marginal%20es%20el,de%20un%20bien%20o %20servicio.